16 Probabilidad condicionada

ACTIVIDADES INICIALES
16.I.

En una determinada prueba, se han obtenido estos valores: VP = 17, FN = 3, FP = 2, VN = 78.

Halla su sensibilidad y su especificidad.
Sensibilidad:

VP
17
VN
78
= = 0,85 . Especificidad:
= = 0,975
VP+FN 20
VN+FP 80

16.II. Una determinada enfermedad es mortal si no se trata, pero el tratamiento no tiene graves

efectos secundarios para los pacientes sanos. En este caso, es importante detectar el mayor
nmero posible de enfermos, aunque se cuelen falsos positivos. Qu tipo de prueba es
preferible, con mucha sensibilidad y poca especificidad o al contrario?
Es preferible que la prueba tenga una sensibilidad alta, ya que es fundamental identificar al mayor
nmero posible de enfermos.

16.III. En el caso anterior, por qu no se trata directamente a todos los pacientes, para asegurar que

todos los enfermos reciben tratamiento?

Hay muchas razones. Econmicamente, no es rentable dar un tratamiento a muchas personas que no
lo necesitan. Tampoco se sabra la incidencia de la enfermedad entre la poblacin. Adems, si hay
algn efecto secundario, se estara causando molestias a un gran nmero de pacientes sin
necesidad.

ACTIVIDADES PROPUESTAS
16.1. Actividad resuelta.

16.2. Se lanzan dos dados octadricos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 8. Halla

las siguientes probabilidades:

a)

Obtener un cinco.

b)

Obtener un 3 y un 7.

c)

La suma de las caras es igual a 10.

Llamamos D1 y D2 a los dados

a)

P ( Obtener un 5 ) = P ( cinco en D1) P ( otro valor D2 ) + P ( cinco en D2 ) P ( otro valor D1) =

1 7 7 1 14
7
= + =
=
8 8 8 8 64 32
b)

P ( Obtener un 3 y un 7 ) = P ( 3 en D1) P ( 7 en D2 ) + P ( 7 en D2 ) P ( 3 en D1) =

11 11
2
1
= + =
=
8 8 8 8 64 32
c)

18

P (La suma es 10 ) =

Unidad 16 | Probabilidad

7
64

16.3. Se lanzan un dado cbico con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas.

a)
b)
a)

Forma el diagrama de rbol. Cuntos resultados se obtienen?

Halla la probabilidad de que salgan un nmero primo y 2 caras.
Se obtienen 6 2 2 = 24 resultados.

b)

Los resultados Nmero primo y 2 caras son {2CC}; {3CC}; {5CC}.

3
1
=
P ( Obtener un primo y dos caras
) =
24 8

16.4. Actividad resuelta.

16.5. En un campamento de verano hay inscritos 90 jvenes, de los cuales 70 hablan ingls con

fluidez; 25, francs, y 15, ambos idiomas. Escogido un joven al azar, halla la probabilidad de
que:
a)

Hable los dos idiomas.

b)

Hable francs, sabiendo que habla ingls.

Sean A = habla ingls; B = habla francs

a)

P (Hable los dos idiomas ) = P ( A B ) =

b)

P (A B)
=
=
P (B/A
)
P ( A)

15 1
=
90 6

15
15
3
90
= =
70 70 14
90

Probabilidad | Unidad 16

19

16.6. Si P ( A B ) = 0,11, P( A ) = 0,64 y P( B ) = 0,49, halla P(A/B) y P(B/A).

( )
P (B ) =
1 P (B ) =
1 0,49 =
0,51

P (A) =
1 P A =
1 0,64 =
0,36

P (A B)
=
P ( A)
P ( A B)
P ( A/B
=
=
)
P (B )

=
P (B/A
)

0,11
= 0,305
0,36
0,11
0,2157
0,51

16.7. Sabiendo que el 24 % de una poblacin es miope y que de ellos un 8 % tiene astigmatismo,

halla el porcentaje de los que padecen ambos defectos.

El 8 % del 24 % en tanto por uno es 0,08 0,24 = 0,0192, lo que hace que el 1,92 % de la poblacin
padezca ambos defectos.
16.8. Actividad resuelta.
16.9. En un equipo de ftbol hay 18 jugadores diestros y 3 zurdos. Elegidos 5 jugadores al azar para

lanzar los penaltis, halla la probabilidad de que el primero y el tercero sean zurdos.
P (1 y 3 zurdos ) =
P (1, 2 y 3 zurdos ) + P (1 y 3 zurdos y 2 diestro ) =

3 2 1
3 15 2
96

=
0,0196
18 17 16 18 17 16 4896

16.10. Dados dos sucesos, A y B, se sabe que:

P(A) = 0,6 P(B) = 0,5 P ( A B ) = 0,8

a)

Halla P ( A B ) .

b)

Son A y B independientes?

a)

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) 0,8 = 0,6 + 0,5 P ( A B ) P ( A B ) = 0,3

b)

P ( A )P ( =
B ) 0,60,5
= 0,3
= P ( A B ) luego s son independientes.

16.11. En una carrera participan 225 hombres y 175 mujeres, distribuidos en tres categoras: jnior,

snior y veterano. En la de veterano se han apuntado 75 hombres y 90 mujeres, y en la de

jnior, 25 chicos y 15 chicas.
Se elige un dorsal al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Mujer.
b) Corredor masculino jnior.
c) De la categora snior.
d) De la categora jnior, sabiendo que es hombre.
e) Hombre, sabiendo que pertenece a la categora jnior.
Sean H = ser hombre; M = Ser mujer; V = ser veterano; J = ser junior; S = ser snior
Nmero de hombres snior: 225 75 25 = 125; Nmero de mujeres snior: 175 90 15 = 70

20

a)

175
7
d)
P (=
M) =
400 16

b)

25
1
P ( H J )=
=
400 16

c)

P=
(S )

Unidad 16 | Probabilidad

195 39
=
400 80

P (J H )
P ( J |=
H)
=
P (H )

e)

25
25
1
400
= =
225 225 9
400

P (J H )
P (H | =
J)
=
P (J )

25
25 5
400
= =
40
40 8
400

16.12. Actividad resuelta.

16.13. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se sacan tres de ellas.

Halla la probabilidad de que sean del mismo color.

P (Mismo color =
) P ( A1 A2 A3 ) + P ( N1 N2 N3 ) + P ( R1 R2 R3 =)

5 4 3
6 5 4
3 2 1
186
31
=
+
+
= =
14 13 12 14 13 12 14 13 12 2184 364

16.14. Se lanzan tres monedas en las que la probabilidad de salir cara es 0,4. Halla la probabilidad de

obtener dos caras y una cruz.

P ( cruz ) =
1 P ( cara ) =
1 0,4 =
0,6
P ( dos caras y una cruz =
) P (C1 C2 X 3 ) + P (C1 X 2 C3 ) + P ( X1 C2 C3 =)

= 0,4 0,4 0,6 + 0,4 0,6 0,4 + 0,6 0,4 0,4 = 0,288

16.15. Una empresa fabrica MP4 en tres fbricas. El 35 % en la fbrica A, el 45 % en la B y el resto en

la C. La probabilidad de que un MP4 de la fbrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo sea

de la B es de 0,001, y de que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, halla la
probabilidad de que sea defectuoso.
A = fabricado en A

B = fabricado en B P

C = fabricado en C

P(A) = 0,35

P(B) = 0,45

P(C) = 0,20

P(D|A) = 0,0015

P(D|B) = 0,001

P(D|C) = 0,0005

D = es defectuoso

P (D )= P ( A D ) + P ( B D ) + P (C D )= P ( A)P (D | A) + P (B )P (D | B ) + P (C )P (D | C )=

= 0,35 0,0015 + 0,45 0,001 + 0,2 0,0005 = 0,001075

Probabilidad | Unidad 16

21

EJERCICIOS
Experimentos compuestos. Probabilidad condicionada
16.16. En el armario de Luis hay seis camisetas blancas, cuatro azules, tres negras y dos rojas. Si

saca consecutivamente dos camisetas, qu tipo de experimento realiza?

Dibuja el diagrama de rbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos.
a)

Sacar dos camisetas negras.

b)

Sacar la primera camiseta blanca y la segunda azul.

a)

P ( N1 N2 ) = P (N1 ) P (N2 / N1 ) =

3 2
6

=
0,0286
15 14 210

b)

P ( B1 A2 ) = P (B1 ) P ( A2 / B1 ) =

6 4
24

=
0,1143
15 14 210

16.17. Si al sacar tres cartas de una baraja espaola obtengo tres oros, la probabilidad de obtener

una espada, si hacemos una cuarta extraccin, es la misma si devuelvo las cartas a la baraja
que si no lo hago? Por qu?
No, porque aunque el nmero de casos favorables es el mismo, si no devolvemos las tres primeras
cartas el nmero de casos posibles para la cuarta extraccin es distinto en ambos casos. En
particular:
Con reposicin: P ( espada
=
)
Sin reposicin: P ( espada
=
)

22

Unidad 16 | Probabilidad

10
= 0,25
40
10
0,27
37

16.18. Si lanzo dos dados de seis caras, qu es ms probable lograr como suma, 7 o 10?

Representamos las sumas en una tabla de contingencia.

Dado 1
Dado 2
1
2
3
1
5
6

2
3
4
5
6
7

3
4
5
6
7
8

4
5
6
7
8
9

5
6
7
8
9
10

6
7
8
9
10
11

7
8
9
10
11
12

3
1
6
1
=
=
P ( suma 10
) =
36 12
36 6
La probabilidad de obtener como suma 7 es el doble de la probabilidad de obtener como suma 10.
P ( suma =
7)

16.19. Se extraen cuatro fichas de un domin. Averigua la probabilidad de que ninguna sea doble.

De 28 fichas 7 son dobles, por tanto, P D1 D2 D3 D4 =

21 20 19 18

0,29
28 27 26 25

16.20. En un experimento que consiste en extraer una carta de la baraja espaola se consideran los

siguientes sucesos.
A = obtener una figura
B = obtener un oro
Explica razonadamente cul de las siguientes probabilidades es mayor, P(A/B) o P(B/A).
3
P (A B) =
40
3
3
P ( A B ) 40
P ( A B ) 40
3
3
1
P ( A /=
B)
P (B / =
A)
= =
= = =
10 10
12 12 4
P (B )
P ( A)
40
40
Es mayor P(A/B).

Independencia de sucesos
16.21. Dados los sucesos A, B y C, conocemos las siguientes probabilidades:

10
2
2
P(C) =
P (B C ) =
63
13
9
3
12
5
P(B) =
P(A/B) =
P (A C) =
104
13
7
Qu parejas de sucesos son independientes?
P(A) =

Observacin: si X e Y son independientes entonces =

P(X /Y )

P ( X Y ) P ( X )P (Y )
=
= P( X )
P (Y )
P (Y )

12
2

= P ( A) por tanto, no son independientes.

13 13
2 2
4
3
Sucesos A y C: P ( A) P (C ) =
=

= P ( A C ) por tanto, no son independientes.

13 9 117 104
5 2 10
Sucesos B y C: P (B ) P (C
=
)
= = P ( A C ) por tanto, s son independientes.
7 9 63

Sucesos A y B: P ( A / B ) =

Probabilidad | Unidad 16

23

16.22. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste un tiro libre es de 0,85. Si lanza

consecutivamente dos tiros libres, cul es la probabilidad de que no acierte con ninguno de
ellos? Son sucesos independientes? Razona tu respuesta.
Sean los sucesos E1 = encestar en el primer tiro libre y E2 = encestar en el segundo tiro libre.

( )
P ( E E )= P ( E ) P ( E / E =
)

( )
0,0225
= P ( E ) P ( E )

P ( E1 ) =
P ( E2 ) =
0,85 P E1 =
1 P ( E1 ) =
0,15 =
P E2
1

0,15 0,15=

Son sucesos independientes.

16.23. Si P ( A B ) =

P ( A ) P (B ) =

4
5
2
, P(A) =
y P(B) = , son A y B independientes? Calcula P(B/A).
5
6
7

4 5 20 2 2
=
= = P ( A B ) luego no son independientes.
5 6 30 3 7

P( A B)
P (B / A=
)
=
P ( A)

2
5
7= 10
=
4 28 14
5

16.24. Si A y B son dos sucesos independientes tales que P ( A) = 0,4 y P(B) = 0,3:

24

a)

Calcula P(A/B).

b)

Halla P ( A B ) .

a)

P (A / B)

b)

P ( A B ) = P ( A) + P (B ) P ( A B ) = P ( A) + P (B ) P ( A)P (B ) = 0,6 + 0,3 0,60,3 = 0,72

Unidad 16 | Probabilidad

por ser independientes

( )

P ( A) =
1 P A =
1 0,4 =
0,6

Tabla de contingencia
16.25. Copia y completa la siguiente tabla de contingencia, que muestra el tipo de medio de

transporte que utilizan para llegar hasta su puesto de trabajo los 200 empleados de una
empresa situada en la periferia de una gran ciudad.
Hombres
Pblico
Privado

Mujeres
50

85

120
Se escoge un trabajador al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea un hombre y utilice el transporte pblico.
b) Utilice el transporte pblico sabiendo que es un hombre.
c) Sea una mujer sabiendo que usa transporte privado.
d) Los sucesos ser hombre y utilizar el transporte pblico son dependientes o
independientes? Razona tu respuesta.

a)
b)
c)
d)

Hombres
Mujeres
Pblico
35
50
85
Privado
85
30
115
80
200
120
35
7
P ( hombre transporte pblico ) =
=
200 40
35
7
=
P ( transporte pblico / hombre
) =
120 24
30
6
=
P ( mujer / transporte privado
) =
115 23
Son dependientes ya que:
35
7
85
=
=P ( transporte pblico )
P ( transporte pblico / hombre ) =
120 24 200

16.26. En el men del da de un restaurante hay arroz, sopa de espinacas o ensalada mixta para elegir de

primer plato, y bacalao o entrecot de segundo.

De los 45 comensales que hay en el restaurante, 18 escogieron sopa de espinacas; 13, arroz; 8
comieron entrecot y ensalada, y de los 23 que tomaron bacalao, 10 eligieron sopa de
espinacas de primero.
Escogido un comensal al azar, halla la probabilidad de que:
a) Haya comido sopa y entrecot.
b) Haya elegido bacalao si sabemos que ha tomado ensalada de primero.
c) Haya tomado sopa de primero si sabemos que ha elegido entrecot.
Se construye una tabla de contingencia:
Bacalao
Entrecot

a)
b)

c)

Arroz
7
6
13

Sopa
10
8
18

Ensalada
6
8
14

23
22
45

8
P ( sopa entrecot ) =
45
6
3
P ( bacalao / ensalada
=
) =
14 7

P ( sopa entrecot )
8
4
o bien P ( sopa / entrecot
P ( sopa / entrecot
=
=
=
) =
)
22 11
P ( entrecot )

8
8
4
45
= =
22 22 11
45

Probabilidad | Unidad 16

25

16.27. Copia y completa la tabla de contingencia referida a los sucesos A, B, C y D, de los que

conocemos las siguientes probabilidades condicionadas.

P(B/C) =

15
25

P(D/B) =

12
27

P(D/A) =

5
15

Ten en cuenta que las fracciones no han sido simplificadas.

A
10
5
15

C
D

B
15
12
27

25
17
42

Probabilidad total
16.28. Extraemos sucesivamente cuatro bolas de la urna de la figura. Calcula la

probabilidad de obtener la palabra ROMA en los siguientes casos.

a)

Devolviendo la bola a la urna despus de cada extraccin.

b)

Sin devolverla.

a)

A4 )
P (R1 O2 M3
=

b)

P ( R1 O2 M3 =
A4 ) P ( R1 ) P (O2 / R1 ) P ( M3 / R1 O2 ) P ( A4 / R1 O2 =
M3 )

1 1 1 1
1
=

4 4 4 4 256
1 1 1
1
=
1
4 3 2
24

16.29. Un examen de Historia consiste en desarrollar un tema a elegir entre dos propuestos. Alejandra se

ha preparado el 60 % de los temas. Halla la probabilidad de que apruebe el examen.

Para aprobar el examen debe elegirse al menos un tema que se sepa, por tanto, si el nmero de
temas es suficientemente alto tendremos:
P ( aprobar=
) P ( conocer al menos un tema=) 2P ( conocer solo uno ) + P ( conocer los dos=)

= 2 0,6 0,4 + 0,6 0,6= 0,84

Tambin se puede plantear por paso al suceso contrario:
P ( aprobar ) =
1 P ( suspender ) =
1 P ( desconocer los dos ) =
1 0,4 0,4 =
0,84

16.30. Se extraen dos cartas de una baraja espaola. Halla la probabilidad de que sean del mismo palo.

P (Dos oros Dos copas Dos espadas Dos bastos ) =

10 9
360
=
P (Dos oros ) + P (Dos copas ) + P (Dos espadas ) + P (Dos bastos ) =
0,231
4 =
40 39
1560

16.31. Si se tiran tres dados de seis caras, cul es la probabilidad de que en todas las caras aparezca

igual nmero de puntos?

P ( tres unos tres doses ..... tres

=
=
seises ) P ( tres unos ) + P ( tres doses ) + ... + P ( tres
seises )
1 1 1
1
= =
6
6 6 6
36

26

Unidad 16 | Probabilidad

16.32. Un jugador de dardos dispone de dos oportunidades de dar en el blanco de una diana.

La probabilidad de acertar cuando lanza es de 0,63.

a)

Halla la probabilidad de que atine al menos una vez.

b)

Cul es la probabilidad de que falle en los dos lanzamientos?

a)

La probabilidad de fallar es 1 0,63 = 0,37. Como los lanzamientos son independientes:

P ( acertar al menos uno ) =

1 P ( fallar los dos ) =
1 0,37 0,37 =
0,8631
b)

P ( fallar=
los dos ) 0,370,37
= 0,1369

16.33. Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los nmeros posibles de

tres cifras al extraer tres bolas de dicha urna sin remplazamiento, cul es la probabilidad de que
el nmero formado sea par?
Y si las extracciones se efectan con remplazamiento?
Sin remplazamiento se pueden formar 4 3 2 = 24 nmeros. Si exigimos que las unidades sean pares
12
podremos formar 2 3 2 = 12 nmeros. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
24
3

Con remplazamiento se pueden formar 4 = 64 nmeros. Si exigimos que las unidades sean pares
32
2
podremos formar 2 4 = 32 nmeros. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
64
Ntese que en realidad el problema consiste en ambos casos en elegir una bola que corresponder a las
unidades del nmero y la mitad de las bolas tienen un nmero par.

16.34. Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, se

extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.

Dibuja un diagrama de rbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la

probabilidad de que la bola extrada sea blanca.

1 7 1 4
11
P ( blanca ) =
+
= =
0,55
2 10 2 10 20

Probabilidad | Unidad 16

27

16.35. En un centro de enseanza secundaria, el 55 % de los estudiantes matriculados son chicas. Se

sabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y que el 25 % de los
alumnos tampoco.
Si se elige un estudiante al azar, cul es la probabilidad de que se haya encontrado enfermo?
Realiza el diagrama de rbol correspondiente.

P ( enfermo ) = 0,550,35 + 0,450,75 = 0,53

16.36. Mara y Paula juegan un partido de tenis de mesa. La vencedora ser la primera que gane dos de

los tres sets de los que consta el encuentro.

a)

Dibuja un diagrama de rbol con todos los posibles resultados.

b)

Calcula la probabilidad de que Paula gane el partido si la probabilidad de que Mara logre
un set es de 0,4.

a)

b)

Considerando los sucesos Pi = Paula gana el set i y Mi = Mara gana el set i, por el teorema de la
probabilidad total tenemos:

P ( gane Paula )= P ( P1 P2 ) + P ( P1 M2 P3 ) + P ( M1 P2 P3 )=
= 0,6 0,6 + 0,6 0,4 0,6 + 0,4 0,6 0,6 = 0,648

16.37. Se tira un dado octadrico con las caras numeradas del 1 al 8 y, si sale nmero par, se extrae una

bola de una urna que contiene cuatro bolas amarillas y seis moradas, y si sale impar, se toma una
bola de otra urna que guarda ocho bolas amarillas y dos moradas. Halla la probabilidad de sacar
una bola morada.

4 6 4 2
32 2
P ( sacar bola morada ) =

+
= ==
0,4
8 10 8 10 80 5

28

Unidad 16 | Probabilidad

16.38. En una bolsa hay cuatro monedas; dos de ellas estn trucadas de tal modo que la probabilidad

de salir cara en una de ellas es de

1
, y en la otra, la probabilidad de salir cruz es de 0,4.
3

Se lanza dos veces una moneda escogida al azar. Halla la probabilidad de sacar dos cruces.
Sean E = sacar una moneda equilibrada; T1 = Sacar moneda trucada 1; T2 = Sacar moneda
trucada 2.
Adems sabemos que ambas tiradas son independientes, por tanto tenemos:

P ( Sacar dos cruces ) =P ( E ) P ( X / E ) P ( X / E ) + P (T1 ) P ( X / T1 ) P ( X / T1 ) + P (T2 ) P ( X / T2 ) P ( X / T2 ) =

2 1 1 1 2 2 1 4 4
2
4
4
497
= + +
=
+
+
=
0,276
4 2 2 4 3 3 4 10 10 16 36 100 1800

PROBLEMAS
16.39. En una poblacin, la probabilidad de medir ms de 170 centmetros es del 30 %, y la de ser

aficionado al cine es del 65 %.

Cul es la probabilidad de que una persona elegida al azar mida menos de dicha altura y le
guste el cine?
Por tratarse de sucesos independientes:

P ( medir menos de 170 cm ser aficionado al cine ) =

0,7 0,65 =
0,455

16.40. Segn un informe de la Cruz Roja sobre los enfermos que padecen paludismo en frica, si son

atendidos en un dispensario, los

3
se curan al cabo de tres semanas.
5

En una muestra al azar de cinco pacientes, calcula la probabilidad de que:

a)

Se curen exactamente tres.

b)

Sanen al menos dos.

c)

Se recuperen todos.

a)

Consideremos los sucesos Ai = se cure el enfermo i.

=
P ( Ai )

a)

5 3
P ( se curen exactamente 3 ) =
3 5

b)

P ( sanen al menos 2 ) =
1 P ( sane 1 sane ninguno ) =
1 P ( sane 1) P ( sane ninguno ) =
2
1 5
5

( )

3
2
; P Ai
=
5
5

27 4
2
=10

0,346
5
125
25

272
3 2
=
1
=
0,91296
5
5
3125

5

3
243
c) P ( sanen todos
=
= 0,07776
) =

3125
5

Probabilidad | Unidad 16

29

16.41. Silvia posee una moneda de 2 euros, dos de 1 euro, una de 50 cntimos y otra de 20. Si toma

del monedero dos monedas al azar, cul es la probabilidad de que la cantidad que sumen
ambas sea superior a un euro?
La suma es inferior a 1 solo si las monedas extradas son la de 50 cntimos y la de 20 cntimos,
por tanto:

P ( sumen ms de 1 ) =
1 P ( sumen menos de 1 ) =
1 P ( extraer la de 50 cnt y la de 20 cnt ) =
1 1
9
=
1 2 =
5 4 10

16.42. En un aula con 24 estudiantes de 1. de ESO, los profesores de Matemticas, Lengua e Ingls

piden cada da al azar los cuadernos a algunos alumnos para revisarlos. El de Matemticas se
lo reclama a cuatro alumnos, el de Lengua a seis y el de Ingls a ocho.
Halla la probabilidad de que a un alumno concreto, en un da:
a)

Le pidan dos cuadernos.

b)

No le reclamen ninguno.

c)

Le soliciten los tres cuadernos.

d)

Tenga que entregar al menos un cuaderno.

Sean los sucesos M = le piden el de Matemticas; L = le piden el de Lengua;
I = le piden el de ingls.

a)

P ( le pidan 2=
I
) P M L I + P M L I + P M L =

4 6 16
4 18 8
20 6 8
5

+

+

=
24 24 24 24 24 24 24 24 24 36

20 18 16
5

=
24 24 24 12

b)

P ( no le pidan ninguno=
) P M L I=

c)

P ( le pidan los tres=

I)
) P (M L =

d)

P ( le pidan al menos 1) =
1 P ( no le pidan ninguno ) =
1

4 6 8
1
=
24 24 24 72

5
7
=
12 12

16.43. En un pas, la probabilidad de nacimientos de hijos varones est en torno al 52 %. Halla la

probabilidad de que una familia de cuatro hijos tenga:

30

a)

Por lo menos un nio.

b)

Exactamente, una nia y tres nios.

c)

No tenga ningn nio.

a)

P ( al menos un nio ) =
1 P ( todas nias ) =
1 ( 0,48 ) 0,947

b)

3
4
P ( una nia
=
y tres nios ) ( 0,48 )( 0,52 ) 0,236
1

c)

P ( todas =
nias )

Unidad 16 | Probabilidad

( 0,48 )4

0,053

16.44. Un rbol de Navidad est alumbrado por una tira de 25 bombillas de colores nuevas. Si la

probabilidad de que una de ellas se funda antes de 15 das es de 0,1, cul es la probabilidad
de que el alumbrado del rbol funcione sin problemas durante los 15 das de las fiestas
navideas?

P ( ninguna se funda
=
)

( 0,9 )

25

0,072

16.45. Una entidad bancaria realiza un sorteo de tres premios entre sus clientes, para ello reparte

1000 papeletas. Uno de los clientes habituales tiene en su poder 20 nmeros. Cul es la
probabilidad de que reciba algn premio?

980 979 978

P ( obtenga algn premio ) =
1 P ( no obtenga ningn premio ) =
1

0,059
1000 999 998

16.46. Las estadsticas de los derbis entre dos equipos de la misma ciudad e histricamente rivales

son las siguientes: el 25 % de las veces ha ganado el equipo A; el 45 %, el conjunto B, y el

30 % han empatado. En el prximo torneo van a enfrentarse en tres ocasiones.
a)

Cul es la probabilidad de que gane A los tres partidos?

b)

Cul es la probabilidad de que A venza al menos en un partido?

a)

P ( A gane los
=
tres )

b)

P ( A gane al menos un partido ) =

1 P ( A no gane ninguno ) =
1 ( 0,75 ) =
0,578125

3
0,25 )
(=

0,015625
3

16.47. El departamento de seleccin de personal de una empresa entrevista a 65 candidatos para un

puesto, 35 de ellos poseen experiencia laboral previa y 40 disponen de un ttulo universitario.

a)

Cul es la probabilidad de que el elegido tenga experiencia laboral?

b)

Cul es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia laboral y un ttulo
universitario?

Sean A = tiene experiencia; B = tiene titulacin.

35
7
=
65 13

a)

P (A
=
)

b)

P ( A B ) = P ( A) + P (B ) P ( A B ) 1 =

35 40
10
+
P (A B) P (A B) =
65 65
65

16.48. Un profesor tiene dos estuches. Uno contiene cinco bolgrafos azules y tres negros, y el otro, dos

azules y seis negros.

Si abre un estuche al azar y extrae un bolgrafo:
a)

Cul es la probabilidad de que sea negro?

b)

Si el bolgrafo elegido es de color azul, cul es la probabilidad de que lo haya tomado del
segundo estuche?
Sean E1 = elige el estuche 1; E2 = elige el estuche 2; N = elige bolgrafo negro; B = elige
bolgrafo azul.

a)

P ( N ) = P ( E1 )P ( N / E1 ) + P ( E2 )P ( N / E2 ) =

b)

P ( E2 A )
=
P ( E2 =
/ A)
P ( A)

1 2

2=
8
9
1
16

1
8
=
7
16

1 3 1 6
9
+ =
2 8 2 8 16

2
7

Probabilidad | Unidad 16

31

16.49. Pedro desea coger la bicicleta guardada en su trastero y para ello necesita abrir dos puertas.

Dispone de cuatro llaves, dos de ellas abren la primera puerta, otra abre la segunda y la cuarta
es la llave maestra.
Si escoge las llaves al azar, cul es la probabilidad de que abra las dos puertas en el primer
intento?
Sean los sucesos A = coge una llave de la 1 puerta; B = coge la llave de la 2 puerta;
M = coge la llave maestra.

P ( Abre las dos a la primera ) = P ( A ) P ( B M / A ) + P ( M ) P ( B / M ) =

2 2 1 1 5
+ =
4 3 4 3 12

16.50. En una empresa, los productos pasan por tres pruebas de calidad independientes. En la primera

se detecta un 8 % de productos con defectos; en la segunda, un 12 %, y en la tercera, un 15 %.

Halla la probabilidad de que un producto pase el control de calidad en:
a) Tres pruebas

b) Dos pruebas

c) Una prueba

Sean los sucesos A = pasa la 1 prueba; B = pasa la 2 prueba; C = pasa la 3 prueba.

a)

P ( pasa las tres pruebas=

) P ( A B C=) 0,920,880,85= 0,68816

b)

P ( pasa dos pruebas=

) P A B C + P A B C + P A B C=

= 0,92 0,88 0,15 + 0,92 0,12 0,85 + 0,08 0,88 0,85 = 0,27512
c)

P ( pasa una prueba=

) P A B C + P A B C + P A B C=
= 0,92 0,12 0,15 + 0,08 0,88 0,15 + 0,08 0,12 0,85 = 0,03528

AMPLIACIN
16.51. En una urna hay seis bolas blancas y cuatro negras. Extraemos sucesivamente (sin

devolucin) tres bolas al azar. Cul es la probabilidad de que hayamos sacado dos blancas y
una negra?
a)

11
32

b)

1
2

c)

1
6

d)

3
10

Llamando BN al suceso obtener 1 blanca, 2 negra, el suceso pedido es:

6 5 4
6 4 5
4 6 5 360 1
P ( dos blancas y una negra ) =
P ( BBN ) + P ( BNB ) + P ( NBB ) = +
+
= =
10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 2
La respuesta es la opcin b).

16.52. En una urna hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Cul es la probabilidad de que al extraerlas

una a una no salgan en orden correlativo creciente?

a)

5
6

b)

1
3

c)

1
2

d)

1
3

Hay 6 posibilidades de extraccin (P3) y solamente en un caso 1 2 3 estn en orden correlativo

1 5
creciente, siendo entonces p =1 = la probabilidad pedida.
6 6
La respuesta es la opcin a).

32

Unidad 16 | Probabilidad

16.53. En Espaa hay un 52 % de mujeres. La probabilidad de que un hombre sea calvo es de 0,2 y el

96 % de las personas calvas son hombres. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que
sea calva es:
a)

Del 6 %

b)

Del 8 %

c)

Del 10 %

d)

Del 12 %

Para fijar ideas, supongamos 1000 personas, de las cuales 520 son mujeres (52%) y 480 hombres.
As pues, el nmero de hombres calvos es la quinta parte de 480, es decir, 96. Sea x el nmero de
personas calvas. Entonces, el 96% de x es el nmero de hombres calvos, es decir, 96, con lo que
96 x
= 96 y x = 100, con lo que la probabilidad de que elegida al azar una persona sea calva es
100
100
1
.
=
p =
1000 10
La respuesta es la opcin c).

16.54. En una reunin, el 60 % son mujeres, de las que fuman el 30 %. De los hombres solo fuma la

cuarta parte. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que fume es:
a)

1
4

b)

7
25

c)

3
10

d)

7
20

Si fijamos en 1000 el nmero de personas de la reunin, hay 600 mujeres y 400 hombres, de los que
fuman el 30%, de 600 y el 25% de 400, es decir, el nmero de fumadores es
280
7
30 600 25 400
.
280 , por lo que la probabilidad pedida sera
+
=
=
p =
100
100
1000 25
La respuesta es la opcin b).

16.55. Un examen de tipo test consta de 50 preguntas. En cada pregunta hay 4 opciones y solo una

es correcta. Un estudiante sabe solo 10 de las 50 y contesta a todas. Cul es la probabilidad

de que elegida una pregunta al azar, el estudiante la haya contestado correctamente?
a)

1
5

b)

1
4

c)

9
20

d)

2
5

El estudiante contestar correctamente una pregunta si es de las que las sabe, o si, siendo de las
10
40 1
20 2
.
restantes, acierta. As pues, la probabilidad pedida sera p = 1 +

==
50
50 4
50 5
La respuesta es la opcin d).

Probabilidad | Unidad 16

33

AUTOEVALUACIN
16.1. Se lanzan cuatro monedas de un euro y se anota el resultado de la cara superior. Qu tipo de

experimento se realiza?
Forma el diagrama de rbol y calcula la probabilidad de obtener cuatro caras.

El experimento que se realiza es

aleatorio compuesto, ya que por muchas
veces que se repita, jams se podr
predecir el resultado que se va a obtener
en un prxima experiencia.

4 caras )
P ( obtener
=

1 1 1 1
1

=
2 2 2 2 16

16.2. Extraemos tres cartas de una baraja espaola. Calcula la probabilidad de que las tres sean

ases:
a)

Si se devuelve cada carta antes de realizar la siguiente extraccin.

b)

Si no se reponen las cartas extradas.

a)

P=
=
es un as )
( tres ases ) P (la 1 es un as ) P (la 2 es un as ) P (la 3

b)

P ( tres ases )

4
4
4
1
=

40 40 40 1000

P=
(la 1 es un as ) P (la 2 es un as ) P (la 3 es un as )

4
3
2
24
=

0,00041
40 39 38 59280

16.3. En una bolsa hay bolas numeradas, nueve de ellas llevan el nmero 5, seis llevan el 7 y cinco

llevan el 6. Si se sacan tres bolas, calcula la probabilidad de poder formar un nmero capica
comprendido entre 600 y 700.
Un nmero capica entre 600 y 700 debe empezar y acabar en 6 y la cifra central puede ser
cualquiera, por tanto, basta extraer dos seises para asegurar que se puede formar un nmero
capica.
Sea Ai = la extraccin i es un 6. Entonces tenemos

P ( al menos dos seises=

) P ( A1 A2 A3 ) + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 =
5 4 3
5 4 15
5 15 4
15 5 4
960



= 0,14
=
+
+
+
20 19 18 20 19 18 20 19 18 20 19 18 6840

34

Unidad 16 | Probabilidad

16.4. De la urna de la figura se extraen tres bolas consecutivamente y sin

remplazamiento. Realiza el diagrama de rbol y calcula la probabilidad

de que:
a)

Las tres sean rojas.

b)

Dos sean verdes y una azul.

c)

Las tres sean verdes.

Sean Ri = La extraccin i es roja; Ai = La extraccin i es azul; Vi = La extraccin i es verde.

a)

P ( las tres sean rojas ) = P ( R1 R2 R3 ) = P ( R1 ) P ( R2 / R1 ) P ( R3 / R1 R2 ) =

=
b)

5 4 3
60
1
=
=

10 9 8 720 12

P ( dos verdes y una azul=

) P (V1 V2 A3 ) + P (V1 A2 V3 ) + P ( A1 V2 V3 =)
2 1 3
2 3 1
3 2 1
18
1


==
=
+
+
10 9 8
10 9 8
10 9 8 720 40

c)

Es imposible porque solo hay dos verdes. La probabilidad es cero.

Probabilidad | Unidad 16

35

16.5. La siguiente tabla de contingencia muestra los alumnos candidatos al Consejo escolar de un

instituto:
Mujer
3
1
2

1. ESO
2. ESO
3. ESO
4. ESO
1. BAC

Hombre
1

2
4
3
5

10
Copia y completa la tabla. Elegido un candidato al azar, calcula la probabilidad de que:
a)

Sea hombre.

b)

Sea mujer y est en 4. de ESO.

c)

Sea mujer o estudie 2. de ESO.

d)

Sea de 1. de ESO, sabiendo que es mujer.

e)

Sea hombre, sabiendo que est en 1. de ESO.

1. ESO
2. ESO
3. ESO
4. ESO
1. BAC

Mujer
3
1
2
1
3
10

Hombre
1
1
2
2
2
8

a)

P ( sea hombre
=
)

8
4
=
18 9

b)

P ( sea mujer y est en 4. de ESO ) =

c)

P ( mujer o de 2. de ESO ) = P ( mujer ) + P ( de 2 ) P (mujer y de 2 ) =

d)

P ( sea de 1. sabiendo que es mujer ) =

e)

P ( sea hombre sabiendo que es de 1. ) =

4
2
4
3
5
18

1
18
10 2
1
11
+

=
18 18 18 18

3
10
1
4

16.6. Una compaa de autobuses cubre las tres rutas de un colegio. El 70 % de los vehculos realiza

la primera ruta; el 20 %, la segunda, y el 10 % completa la tercera. Se sabe que, diariamente, la

probabilidad de que un autobs sufra una avera es del 2 %, 3 % y 5 %, respectivamente, para
cada ruta. Determina la probabilidad de que, un da cualquiera, un autobs se avere.
Sean Ri = el autobs es de la ruta i; A = el autobs se avera.
Haciendo uso de la probabilidad total
P ( se avere un autobs ) =P ( R1 ) P ( A / R1 ) + P ( R2 ) P ( A / R2 ) + P ( R3 ) P ( A / R3 ) =

70 2
20 3
10 5
250
1
=
+

=
=
100 100 100 100 100 100 10000 40

36

Unidad 16 | Probabilidad

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Calcula y decide > La probabilidad en los exmenes

Has hecho alguna vez un examen tipo test? En general, se proporcionan varias
respuestas posibles, y solo una es correcta.
Sin conocer la respuesta, es posible acertarla. Por lo tanto, un alumno que
respondiera al azar, sin saber nada, tendra muchas posibilidades de sacar
algunos puntos.
Para corregir esto, en muchas pruebas se penalizan las respuestas incorrectas.
En el test de la izquierda, por ejemplo, se descontaran 0,25 puntos por cada
fallo. De esa forma, se compensan las respuestas aleatorias.
En otros casos las preguntas son eliminatorias, ordenadas por dificultad, de
modo que el primer fallo es el que determina la nota. Este tipo de prueba es
parecida a muchos concursos de televisin de preguntas y respuestas, como
Quin quiere ser millonario?
La probabilidad de acertar cada pregunta no es realmente la misma, ya que
depende mucho de los conocimientos del concursante (o del estudiante!).
Evidentemente, una buena preparacin mejorar enormemente la posibilidad de
lograr un buen resultado.

16.1. Qu exmenes tipo test conoces? Qu caractersticas tienen?

Respuesta abierta. Por ejemplo, los exmenes para el carnet de conducir, en los que solo se permite
un nmero de errores de cada tipo.

16.2. Un

test de 10 preguntas tiene dos opciones para cada una: verdadero o falso.
Lamentablemente, est en un idioma desconocido, y tenemos que contestar al azar. Qu
probabilidad tenemos de acertar todas las respuestas? Y de acertar exactamente 5?
10

1
1
La probabilidad de acertar todas es =
0,00098 .

1024
2

La de acertar exactamente 5 es

252
0,246 .
1024

16.3. En el Concurso de Primavera de Matemticas, para cada pregunta hay cinco posibles

respuestas, de las que solo una es correcta. Cada acierto vale 5 puntos, cada respuesta en
blanco vale 2 y los fallos no dan puntos. Pablo no sabe la respuesta de las dos ltimas. Es
mejor que conteste ambas al azar o que las deje en blanco? Estudia todas las posibilidades.
Mediante un diagrama en rbol, por ejemplo, se puede calcular que la probabilidad de fallar las dos
es 0,64, la de acertar una es 0,32 y la de acertar ambas es 0,04. Por tanto, la probabilidad de sacar
ms de 4 puntos es de 0,36, por lo que es ms seguro dejarlas en blanco.
En particular, contestando al azar la esperanza es obtener 2 puntos.

Probabilidad | Unidad 16

37

Interpreta y concinciate > No ms spam!

Tu proveedor de correo electrnico ha desarrollado un filtro antispam que utiliza inteligencia
artificial para bloquear los correos basura, y ha estudiado su funcionamiento sobre una base de
5000 mensajes. Los resultados del anlisis se muestran en la tabla.
Mensaje

Spam (S)

No spam (S )

Bloqueado (B)

1250

50

1300

No bloqueado (B )

250

3450

3700

1500

3500

5000

16.1. Halla la probabilidad de perder un mensaje que te interesaba y la de recibir un mensaje que no

deseabas.
Probabilidad de perder un mensaje que me interesaba: P (B S=
)
Probabilidad de recibir un mensaje que no deseaba: P (B S=
)

50
= 0,01
5000

250
= 0,05
5000

16.2. Las

probabilidades P (B / S ) y P (B / S ) se llaman sensibilidad y especificidad,

respectivamente, y se utilizan para medir la fiabilidad del filtro. Hllalas, interpreta qu
significan y explica por qu no se utilizan P (S / B) y P (S / B) en su lugar.
P (B=
/ S)

1250
0,83
1500

3450
0,99
3500
que no es spam.
P (B=
/ S)

Es la probabilidad de que sea bloqueado un correo basura.

Es la probabilidad de que llegue a nuestra bandeja de entrada un correo

No se utilizan P (S / B ) y P (S / B ) porque el sistema consiste en analizar si el correo es spam o no, y

a partir de ah bloquearlo. Es decir, nosotros lo que sabemos es si el correo es deseado o no lo es.

16.3. La sensibilidad y la especificidad de los filtros antispam nunca son iguales a 1, ningn filtro

es perfecto! Consulta www.e-sm.net/4esoz72 y haz un resumen de buenas prcticas para evitar

el spam.
Respuesta abierta.

38

Unidad 16 | Probabilidad

Aprende a pensar > La falacia del fiscal

Tanto la probabilidad como la estadstica son utilizadas en los juicios para determinar si el acusado
es culpable o inocente, pero no siempre adecuadamente.
Uno de los errores ms comunes es la llamada falacia del fiscal, en la que se confunden la
probabilidad P(A/B) (la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B) con P(B/A) (la
probabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurrido A).
Observa el siguiente caso de falacia del fiscal.
En Villajusta, ciudad de 1000 habitantes, se ha cometido un gran robo. Tras analizar con cuidado el
escenario del delito, la polica ha encontrado rastros de sangre de tipo AB negativo. Esta sangre es
muy poco comn y solo se encuentra en un 1 % de la poblacin. La polica detiene a varios
sospechosos y comprueba que uno de ellos es AB negativo, as que se le imputa el delito.
En el juicio, el fiscal argumenta elocuentemente: Como el acusado es AB negativo, la probabilidad
de que sea inocente es de 9/999 = 0,009, luego la probabilidad de que sea culpable es del 99,1 %.
Algn miembro del jurado tiene mayor certeza de poder levantarse maana?.
16.1. Antes de analizar la falacia, considera el caso del lanzamiento de un dado, con los sucesos:

Par = que salga par y Dos = que salga 2. Calcula P(Par/Dos) y P(Dos/Par) y observa que
son claramente diferentes.
1
P(Par/Dos) = 1 y P(Dos/Par) =
3
16.2. Teniendo en cuenta lo anterior, te ha convencido el fiscal? Antes de contestar, piensa:

cuntas personas hay en Villajusta que tengan AB negativo?

1 % de 1000 = 10.
16.3. Calcula la probabilidad de tener AB negativo si se es inocente y la probabilidad de ser inocente

si se tiene AB negativo.

AB
No AB

Inocente (I)

Culpable (C)

10

990

990

999

1000

9
= 0,009
999
9

P (Inocente / AB=
= 0,9
) P ( ser inocente si se tiene AB negativo=) 10
= P ( AB negativo si se es inocente
=
P (AB / Inocente)
)

16.4. Qu error comete el fiscal en su argumentacin? De qu probabilidad condicionada del

apartado anterior est hablando el fiscal y a cul corresponde la probabilidad que calcula?
El fiscal habla de P (Inocente / AB ) = P ( ser inocente si se tiene AB negativo ) , que es 0,9 (y, por
tanto, la de ser culpable es 0,1), pero en su argumentacin
P(AB negativo si se es inocente), pues confunde los condicionales.

utiliza

el

valor

de

16.5. Hay algunos casos famosos de errores judiciales por mal uso de la probabilidad. Lee sobre los

juicios de Sally Clark (www.e-sm.net/4esoz73) y Janet Collins (www.e-sm.net/4esoz74).

Escoge uno de los dos, realiza los clculos y argumenta con tus propias palabras por qu las
acusadas no podan ser declaradas culpables.
Respuesta abierta.
16.6. Qu opinas sobre el mal uso de la probabilidad y la estadstica en los juicios y en la prensa?

Debtelo en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta.

Probabilidad | Unidad 16

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Proyecto editorial: Equipo de Educacin Secundaria del Grupo SM

Autora: Antonia Aranda, Rafaela Arvalo, Juan Jess Donaire, Vanesa Fernndez, Joaqun Hernndez, Juan
Carlos Hervs, Miguel ngel Ingelmo, Cristbal Merino, Mara Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, Jos R. Vizmanos, Yolanda A. Zrate

Edicin: Oiana Garca, Jos Miguel Gmez, Aurora Bellido

Revisin contenidos solucionario: Juan Jess Donaire
Correccin: Javier Lpez
Ilustracin: Modesto Arregui, Estudio Haciendo el len, Jurado y Rivas, Flix Anaya, Juan Francisco Cobos,
Jos Santos, Jos Manuel Pedrosa
Diseo: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetacin: SAFEKAT S. L.
Coordinacin de diseo: Jos Luis Rodrguez
Coordinacin editorial: Josefina Arvalo
Direccin del proyecto: Ada Moya

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