Cap4 Cal3

Indice
general
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccion
Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumen bajo una superficie . . . . . . . . . . . . . .
Sumas superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . .
geometrica . . . . . . . . . . .
4.5.1. Interpretacion
Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . .
Integral sobre conjuntos acotados . . . . . . . . . . .
Contenido de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrales dobles iteradas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Recintos de Integracion
Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformacion
Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . .
4.16.1. Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.2. Masa - Centro de masa . . . . . . . . . . . . .
4.16.3. Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.4. Momentos respectos de los ejes coordenados
4.16.5. Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.6. Volumen de revolucion

. . . . . . . . . . . .
Integrales triples Iteradas . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.1. Recintos de integracion

. . . . . . . . . . . .
de coordenadas . . . . . . . . . . . .
Transformacion
4.18.1. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . .
4.18.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . .
1
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264
265
267
268
269
269
269

INDICE
GENERAL
4.19. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19.1. Volumen . . . . . . . . . . . . . . .
4.19.2. Masa - Momento - Centro de masa
4.20. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . .
4.21. Problemas propuestos . . . . . . . . . . .
4.22. Problemas adicionales . . . . . . . . . . .
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272
272
275
309
320

4.1 Introduccion
4.1.
Introduccion
Generalizamos la integral de Riemann, de funciones reales de una variable real sobre un intervalo
[ a, b], a funciones reales de varias variables reales (campos escalares) y a conjuntos que son mas ge un
nerales que un intervalo. Dejamos claramente establecido que la integral de Riemann tiene solo
no permite calcular integrales multiples,
gran valor teorico,

su definicion
pero si nos proporciona un
sustento matematico adecuado del concepto de integral multiple.

Afortunadamente, los teoremas
fundamentales proporcionan las herramientas de calculo de dichas integrales. Nuestro trabajo cons de la integral a intervalos de R n , y la segunda a
ta de dos partes, la primera considera la extension
conjuntos acotados de R n . Interesan de manera especial los casos particulares n = 2 y n = 3, por
la teora se mantiene a nivel de R n y los ejemplos y algunas demostraciones se realizan
esta razon,
para n = 2. Posteriormente, se analiza el calculo de las integrales dobles y triples en forma separada
con algunas de sus aplicaciones mas interesantes.
4.2.
Intervalos
En el caso n = 1. Esto es, para las funciones f : R R, el proceso de la integral requiere como
f sea positiva
punto de partida, para desarrollar la teora de la integral de Riemann, que la funcion
Veamos el significado de
y acotada sobre un intervalo de R. Esto se mantiene en la generalizacion.
intervalo en dimensiones superiores.
Definicion
4.2.1. Sean I1 = [ a1 , b1 ], I2 = [ a2 , b2 ], , In = [ an , bn ] intervalos de R, ~a = ( a1 , a2 , , an ),
~b = (b1 , b2 , , bn ) elementos de R n . Se llama intervalo cerrado de R n al conjunto [~a,~b] tal que
[~a,~b] = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ] [ an , bn ]
En particular:
Si n = 1, el intervalo cerrado [ a, b] R es el conjunto
[ a, b] = { x R/ a x b}
Si n = 2, el intervalo cerrado [~a,~b] R2 con ~a = ( a1 , a2 ), ~b = (b1 , b2 ), ~x = ( x, y), es el conjunto
[~a,~b] = {~x R2 / a1 x b1 , a2 y b2 } = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ]
Observamos que [~a,~b] R2 , es un rectangulo de vertices ( a1 , a2 ), (b1 , a2 ), (b1 , b2 ), ( a1 , b2 ), con
lados paralelos a los ejes coordenados. (figura 4.1)
Si n = 3, el intervalo [~a,~b] con ~a = ( a1 , a2 , a3 ), ~b = (b1 , b2 , b3 ), ~x = ( x, y, z) es el conjunto
[~a,~b] = {~x R3 / a1 x b1 , a2 y b2 , a3 z b3 } = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ] [ a3 , b3 ]
237
4.3 Contenido
Este intervalo es un paraleleppedo rectangular. (figura 4.2).
y
z
b3
b2
b1
a2
b2
x
a1
a2
b1
x
figura 4.2
figura 4.1
4.3.
a3
a1
Contenido
Es conocido que todo intervalo de la recta real tiene longitud, finita o infinita. En dimensiones superiores empleamos una nueva terminologa que incluye este caso particular.
Definicion
4.3.1. Sean ~a = ( a1 , a2 , , an ), ~b = (b1 , b2 , , bn ), elementos de R n . El contenido del
intervalo [~a,~b] R n , que se denota por ([~a,~b]) corresponde a
([~a,~b]) =
( bi a i )
i =1
Si n = 1, el contenido del intervalo [ a, b] R es la longitud del intervalo unidimensional.

([ a, b]) = L([ a, b]) = b1 a1
Si n = 2, el contenido del intervalo [~a,~b] R2 es el a rea del rectangulo.
([~a,~b]) = A([~a,~b]) = (b1 a1 ) (b2 a2 )
Si n = 3, el contenido del intervalo [~a,~b] R3 es el volumen del paraleleppedo
([~a,~b]) = V ([~a,~b]) = (b1 a1 ) (b2 a2 ) (b3 a3 )
4.4.
Volumen bajo una superficie
Sea f : R R2 R un campo escalar positivo y acotado en el rectangulo R = [ a, b] [c, d].
Pretendemos hallar el volumen del solido

que queda entre el grafo de f en R y el plano xy, tal como
muestra la figura 4.3
238
4.4 Volumen bajo una superficie
figura 4.3
del concepto de particion.

En el caso
Para este proposito,
veamos en primer lugar, la generalizacion
de [ a, b] es un conjunto de la forma
n = 1, una particion
P = { a = x0 < x1 < < x n = b }
es || P|| = max { xi xi1 }.
siendo la norma de esta particion
de un intervalo [~a,~b] = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ] R2 , se consideran:
Para definir particion
de [ a1 , b1 ] R
P1 = { xi /i = 0, 1, 2, , k } particion
de [ a2 , b2 ] R.
P2 = { x j /j = 0, 1, 2, , k } particion
P = P1 P2 de [~a,~b] corresponde al conjunto P = {( xi , x j )}. La generaliEn base a esto, la particion
a dimensiones mayores es entonces evidente.
zacion
Definicion
4.4.1. Sean ~a = ( a1 , a2 , , an ), ~b = (b1 , b2 , , bn ). Si Pi es una particion de [ai , bi ], entonces
P = P1 P2 Pn , se denomina particion
de [~a,~b], y || P|| es su norma o malla, la que corresponde a
|| P|| = max{|| Pi || / i = 1, 2, , n}
Ejemplo 4.4.2. Los conjuntos P1 = {0, 1/2, 1}, P2 = {0, 1} son particiones de [0, 1] R. Mientras que,
P = {0, 1/2, 1/4, 1}, Q = {0, 1/3, 3/4} no lo son. Ademas, || P1 || = 1/2, || P2 || = 1.
Ejemplo 4.4.3. Sean [~a,~b] R2 , con ~a = (2, 3), ~b = (4, 6), entonces [~a,~b] = [2, 4] [3, 6]. Si P1 =
{2, 3, 4} y P2 = {3, 5, 6} son particiones de [2, 4] y [3, 6] respectivamente, entonces
P = {(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}
es una particion de [~a,~b]. Ademas, || P|| = max{|| P1 ||, || P2 ||} = 2.
239
4.5 Sumas superior e inferior
4.5.
Sumas superior e inferior
positiva y acotada, P particion

de [~a,~b], y Ri el i-esimo intervalo
Sean f : [~a,~b] R n R funcion
P, 1 i n. En estas condiciones existen escalares m y M tales que
de la particion
m f (~x ) M, ~x [~a,~b] R n
Si definimos
mi ( f ) = in f { f (~x )/~x Ri , ~x R n }
Mi ( f ) = sup{ f (~x )/~x Ri , ~x R n }
cuya existencia esta asegurada por la hipotesis

de que f esta acotada en [~a,~b], entonces se satisface
m m i ( f ) Mi ( f ) M
(4.1)
Definicion
4.5.1. Se denominan suma inferior y suma superior, respectivamente, de la funcion f , correspondientes a la particion P, a las expresiones
n
s( f , P) =
mi ( f ) ( Ri )
i =1
S( f , P) =
Mi ( f ) ( R i )
i =1
( Ri ) es el contenido del subintervalo Ri
4.5.1. Interpretacion
geometrica
La figura 4.4 muestra una superficie S que corresponde a la grafica de un campo f : R2 R
P del intervalo la suma inferior reppositivo y acotado sobre un intervalo [~a,~b]. Para una particion
resenta la suma de los volumenes

de los paraleleppedos interiores, y la suma superior la suma de
los volumenes
de los paraleleppedos exteriores.
figura 4.4
matematica del volumen bajo la suVeamos en que forma podemos aproximarnos a una expresion
perficie.
240
4.5 Sumas superior e inferior

Proposicion
4.5.2. Sea f : [~a,~b] R n R funcion positiva y acotada, entonces para toda particion P de
[~a,~b] se tiene
m ([~a,~b]) s( f , P) S( f , P) M ([~a,~b])
Demostracion.
(4.1) por ( Ri ) y aplicando sumatoria se tiene que

Multiplicando la ecuacion
m ([~a,~b]) =
m ( Ri )
i =1
Esto es
mi ( f ) ( Ri )
i =1
i =1
Mi ( R i )
M ( Ri ) = M ([~a,~b])
i =1
m ([~a,~b]) s( f , P) S( f , P) M ([~a,~b])
Es claro entonces, que el volumen bajo la superficie S satisface

s( f , P) V (S) S( f , P)
mejora si se introduce el concepto de refinamiento.
Esta aproximacion
Definicion
4.5.3. Sean P y P particiones de [~a,~b] R n , tal que P P , entonces P recibe el nombre de
refinamiento de P.
1 3
Ejemplo 4.5.4. La particion P2 = {0, , , 1} del intervalo [0, 1] R, es un refinamiento de la particion
2 4
1
P1 = {0, , 1} del mismo intervalo.
2
Ejemplo 4.5.5. Para el intervalo [0, 1] [0, 1] de R2 la particion
1
1
1 1
1
P2 = {(0, 0), (0, ), (0, 1), ( , 0), ( , ), (1, 0), (1, ), (1, 1)}
2
2
2 2
2
es un refinamiento de la particion
1
1
P1 = {(0, 0), (0, ), (0, 1), (1, 0), (1, ), (1, 1)}
2
2
del intervalo considerado.
de [~a,~b] R n , y P es un refinamiento de ella, entonces las sumas superior e
Si P es una particion
inferior del campo f sobre el intervalo y respecto de estas particiones, satisface que
s( f , P) s( f , P )
S( f , P ) S( f , P)
unidimensional, lo que estamos afirmando, es que un refinamiento aumenta

Tal como en integracion
al volumen
las sumas inferiores y disminuye las sumas superiores. Con lo cual la aproximacion
mejora tanto como podamos refinar.
241
4.6 Integral de Riemann
4.6.
Integral de Riemann
al volumen bajo la superficie, teniendo como base

Ahora vamos a encontrar la optima
aproximacion
las ideas trabajadas anteriormente. Sea el conjunto de todas las particiones de [~a,~b] R n . De la
expresion
m ([~a,~b]) s( f , P) S( f , P) M ([~a,~b])
P , se deduce que el conjunto {s( f , P)/ P } esta acotado
que se verifica para cada particion
superiormente, de hecho, M ([ a, b]) es una cota superior. Se sigue entonces, que este conjunto debe
tener supremo. En forma analoga, el conjunto {S( f , P)/ P } tiene una cota inferior, m ([ a, b]),
siguiendose entonces que este conjunto debe tener nfimo. Debido a su importancia, a este supremo
y a este nfimo damos nombre y simbologa propia.
Definicion
4.6.1. Sea = { P/ P particion de[~a,~b] R n }, las expresiones siguientes se denominan integral inferior e integral superior respectivamente, de f sobre el intervalo [~a,~b].
Z
[~a,~b]
f = sup{s( f , P)/ P } ,
f = nf{S( f , P)/ P }
[~a,~b]
que si f es una funcion

acotada sobre [~a,~b] R n , enSe deduce, directamente de esta definicion,
P de este intervalo se tiene
tonces para toda particion
s( f , P)
[~a,~b]
[~a,~b]
f S( f , P)
(4.2)
Definicion
4.6.2. Una funcion f definida sobre [~a,~b] R n es Riemann Integrable, o simplemente integrable si esta acotada sobre [~a,~b] y satisface
Z
se denota
El valor comun
[~a,~b]
[~a,~b]
f =
[~a,~b]
f , y recibe el nombre de integral definida o de Riemann
f sobre [~a,~b] R2 se llama integral doble, y su notacion

es
Si n = 2, la integral de la funcion
Z
[~a,~b]
f =
Z Z
[~a,~b]
f ( x, y) dA
dA es la diferencial de a rea.
f sobre [~a,~b] R3 se llama integral triple, y se anota
Si n = 3, la integral de la funcion
Z
242
[~a,~b]
f =
Z Z Z
[~a,~b]
f ( x, y, z) dV

dV es la diferencial de volumen.
de [~a,~b],
Consecuencia inmediata de (4.2) es que si f es integrable sobre [~a,~b] R n , P particion
entonces
Z
s( f , P)
f S( f , P)
(4.3)
[~a,~b]
Este resultado es una herramienta que permite el calculo aproximado de la integral. Mostramos esto
para el caso n = 2.
Ejemplo 4.6.3. Sea f ( x, y) = 16 x2 y2 , [~a,~b] = [0, 2] [0, 3] Es claro que f es acotada y no negativa
sobre el intervalo [~a,~b]. Vamos a encontrar un valor aproximado de la integral de f sobre [~a,~b], usando las
particiones P1 = {0,1,2} y P2 = {0, 1, 2, 3} de [0, 2] y [0, 3], respectivamente.
z
z = 16 x2 y2
3
2
1
R3
R4
R2
R5
R1
R6
2
x
figura 4.5
3
figura 4.6
x2 + y2 = 16
y
del intervalo y la figura 4.6 la superficie que es un paraboloide.

La figura 4.5 muestra la particion
no muy buena, viene dada por la aplicacion
de la proposicion
(4.5.2). Para ello
Una aproximacion,
en todos los puntos de la particion.
debemos determinar el valor de la funcion

P = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
son: f (0, 0) = 16, f (0, 1) = 15, f (1, 0) = 15, f (1, 1) = 14,
de [0, 2] [0, 3]. Los valores de la funcion
f (0, 2) = 12, f (1, 2) = 11, f (0, 3) = 7, f (1, 3) = 6, f (2, 3) = 3, f (2, 2) = 8, f (2, 1) = 11, f (2, 0) = 12.
Con lo que m = 3, M = 16. Luego,
6 3 = 18
[a,b]
(16 x2 y2 ) dA 16 6 = 96
se encuentra mediante el empleo de las sumas superior e inferior de la

Una mejor aproximacion
sobre el intervalo. En efecto,
funcion
6
s( f , P) =
mi ( f ) A ( Ri ) =
f (1, 1) + f (1, 2) + f (1, 3) + f (2, 3) + f (2, 2) + f (2, 1)
i =1
14 + 11 + 6 + 3 + 8 + 11 = 53
243

De igual forma se obtiene la suma superior
6
S( f , P) =
Mi ( f ) A ( R i ) =
f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) + f (1, 2) + f (1, 1) + f (1, 0)
i =1
16 + 15 + 12 + 11 + 14 + 15 = 83
Esto significa que

53
[~a,~b]
(16 x2 y2 ) dA 83
media aritmetica de s( f , P) y S( f , P) entrega la aproximacion
La aproximacion
Z
[~a,~b]
(16 x2 y2 )dx dy
1
(53 + 83) = 68
2
El valor exacto de la integral es 70. De aqu que el uso de la media aritmetica de las sumas superior
e inferior, nos ha llevado a cometer un error de 2 unidades.
acotada, tomando
El siguiente resultado entrega condiciones de integrabilidad para una funcion
como base las sumas superior e inferior.
Teorema 4.6.4. Una funcion acotada f es integrable sobre el intervalo [~a,~b] R n si y solo si, para cada
> 0 existe P particion de [~a,~b] tal que S( f , P) s( f , P) < .
Demostracion.
tal que S( f , P) s( f , P) < .

(= ) Suponemos que para todo > 0 existe P particion
Del hecho de que s( f , P)
[~a,~b]
f se sigue que
s( f , P)
[~a,~b]
(4.4)
Ademas sabemos que

S( f , P)
[~a,~b]
(4.5)
Luego, de las ecuaciones (4.4) y (4.5) se sigue que

S( f , P) s( f , P)
[~a,~b]
[~a,~b]
3.6 tenemos que

Al considerar la hipotesis
S( f , P) s( f , P) < en la ecuacion
0
244
[~a,~b]
[~a,~b]
f <
(4.6)
4.7 Propiedades de la integral

de donde se concluye que f es integrable sobre [~a,~b] R2 .
(= ) Suponemos ahora que f integrable sobre [~a,~b]. Entonces
Z
[~a,~b]
f =
[~a,~b]
f =
[~a,~b]
Luego
Z
[~a,~b]
f = sup{s( f , P)} = nf{S( f , P)}
tal que
Como la integral es el supremo de las sumas inferiores, para cada > 0, existe P1 particion
Z
[~a,~b]
f s( f , P1 ) <
P2 tal que
Ahora, dado que la integral es el nfimo de las sumas superiores, existe particion
S( f , P2 )
[~a,~b]
f <
Al sumar estas desigualdades,

S( f , P2 ) s( f , P1 ) <
Si P es un refinamiento de P1 y de P2 , entonces
S( f , P) s( f , P) S( f , P2 ) s( f , P1 ) <
con lo cual se concluye la demostracion.
4.7.
Propiedades de la integral
Enunciamos las propiedades basicas de la integral, que son las herramientas que permiten operar
no debe excon cierta facilidad los conceptos ya definidos. Como se trata de una generalizacion,
que sean las mismas propiedades de la integral unidimensional.
tranar
Propiedad 1
constante, entonces ella es integrable sobre [~a,~b], y se tiene
Si c : R n R es una funcion
Z
[~a,~b]
c = c ([~a,~b])
Propiedad 2 ( Linealidad )
( f + g) es integrable
Si las funciones f y g son integrables sobre [~a,~b] R n , entonces la funcion
~
sobre [~a, b], y se tiene
Z
Z
Z
[~a,~b]
( f + g) =
[~a,~b]
f+
[~a,~b]
245
4.8 Integral sobre conjuntos acotados
Propiedad 3 ( Linealidad )
constante, entonces la funcion
(c f ) es
Si f es integrable sobre [~a,~b] R n y c : R n R una funcion
~
integrable sobre [~a, b], y se tiene
Z
Z
cf = c
f
[~a,~b]
[~a,~b]
Propiedad 4
producto ( f g) es
Si las funciones f y g son integrables sobre [~a,~b] R n , entonces la funcion
~
integrable sobre [~a, b].
Propiedad 5 ( Monotona )
Si las funciones f y g son integrables sobre [~a,~b] R n y se satisface f (~x ) g(~x ) ~x [~a,~b], entonces
Z
[~a,~b]
[~a,~b]
Propiedad 6 ( Desigualdad triangular )

f es integrable sobre [~a,~b] R n , entonces la funcion
| f | es integrable sobre [~a,~b], y se
Si la funcion
tiene
Z
Z

f
[~a,~b] [~a,~b] | f |
Dejamos hasta aqu el estudio de la integral sobre un intervalo. Vamos a extender la idea a conjuntos
acotados, y una vez que hagamos esto, volveremos a ella en mejores condiciones para su evaluacion.
4.8.
Integral sobre conjuntos acotados
Si E un conjunto acotado R n , entonces es posible hallar un rectangulo que lo contenga completa acotada sobre E. Se define
mente. Sea E [~a,~b] tal rectangulo y consideremos que f es una funcion
asociada al conjunto E, que se anota por f E a
la funcion

f (~x ) , si ~x E
f E (~x ) =
0
, si ~x 6 E
f E es la que permite, en forma sencilla, extender la integral a cualquier conjunto acotado
Esta funcion
E. Se tiene lo siguiente:
Definicion
4.8.1. Sea E [~a,~b] R n conjunto acotado. Si la integral de f E sobre [~a,~b] existe, entonces la
integral de f sobre E existe y se tiene
Z
Z
E
246
f =
[~a,~b]
fE
4.9 Contenido de E
f (~x ) = 1, entonces la funcion
asociada 1E pasa a llamarse funcion
Si la funcion
caracterstica del
conjunto E. Esto es,
1, si ~x E
1E (~x ) =
0, si ~x 6 E
4.9.
Contenido de E
Sea E [~a,~b] conjunto acotado del plano xy, tal como muestran las figuras 4.7 y 4.8.
[ a, b] [c, d]
[ a, b] [c, d]
rectangulos inscritos
figura 4.7
rectangulos circunscritos
figura 4.8
de [~a,~b], y R j el j - e simo intervalo de P. Las figuras 4.7 y 4.8 muestran rectangulos

Sea P particion
acotada por E. Sea E el interior de E (el conjunto abierto mas
inscritos y circunscritos a la region
que contiene a
grande contenido en E), E la adherencia o clausura de E (el conjunto cerrado mas pequeno
E). A partir de esto es claro que se satisface la relacion

E E E
Se consideran luego, las funciones caractersticas asociadas 1E y 1E . Con los rectangulos inscritos a
E se pueden formar las sumas inferiores
la region
n
s (1 E , P ) =
m j (1 E ) A ( R j )
i =1
las cuales son evidentemente acotadas y tienen como supremo una integral inferior. Es decir,
sup{s(1E , P)/ p } =
[~a,~b]
1E = ( E )
que recibe el nombre de contenido interior de E. Analogamente, con los rectangulos circunscritos
se forman sumas superiores de la forma
n
S (1 E , P ) =
M j (1 E ) A ( R j )
i =1
247
4.9 Contenido de E
las cuales tienen como nfimo una integral superior. Esto es,
nf{S(1E , P)/ p } =
[~a,~b]
1E = ( E)
el que recibe el nombre de contenido exterior de E.

1E (~x ) es integrable sobre [~a,~b], y su valor comun
se llama conCuando 0 ( E) = ( E), la funcion
tenido de E. La herramienta de calculo del contenido de un conjunto es la siguiente.
Teorema 4.9.1. Si E [~a,~b] R n es un conjunto acotado y con contenido, entonces
( E) =
[~a,~b]
1E
Demostracion.
Se sabe que el interior de un conjunto esta contenido en el conjunto, y que e ste a su vez es un
subconjunto de su clausura o adherencia. Es decir,
E0 E E
caracterstica, aplicada a estos conjuntos, se cumple
Para la funcion
0 1E0 (~x ) 1E (~x ) 1E (~x ), ~x [~a,~b]
Luego, al tomar integrales
0 0 ( E) =
[~a,~b]
1 E0
[~a,~b]
1E
1E
[~a,~b]
= ( E)
Como por hipotesis,

E tiene contenido, entonces 0 ( E) = ( E). De aqu que
( E) =
[~a,~b]
1E
Los casos n = 2, n = 3 corresponden al a rea y al volumen, respectivamente.

El contenido de un conjunto E R n satisface las siguientes propiedades:
1.
( E) 0
2.
( E F ) = = ( E F ) = ( E) + ( F )
3.
E F = ( E) ( F )
4.
( E F ) = ( E) + ( F ) ( E F )
248
4.10 Suma de Riemann

El siguiente resultado establece que el conjunto de las funciones integrables sobre un intervalo cerrado [~a,~b] contiene al conjunto de todas las funciones que son acotadas sobre [~a,~b] para las que el
conjunto de puntos de discontinuidad sobre [~a,~b] tiene contenido cero. Como las funciones continuas sobre [~a,~b] son acotadas, se concluye que ellas tambien son integrables sobre [~a,~b].
n
~
Teorema 4.9.2. Sea f funci
Z on acotada sobre [~a, b] R tal que el conjunto de discontinuidades de f tenga
contenido cero, entonces
[~a,~b]
f existe.
1
definida all,
xy
observamos que la recta y = x es el conjunto de puntos de discontinuidades de f , pero como en R2
una recta tiene contenido cero (area cero), entonces el teorema asegura la existencia de la integral de
f sobre [0, 1] [0, 1]
f ( x, y) =
Por ejemplo, si consideramos el intervalo [0, 1] [0,1], y la funcion
Otros conjuntos de contenido cero en R n son el vaco y un punto para cualquier exponente n, un
plano para n 3, etc.
4.10.
Suma de Riemann
f es continua sobre E = [~a,~b] R n , el conjunto D = {~x / f discontinua} =

Cuando la funcion
y la integral de f sobre [~a,~b] se puede calcular usando la llamada suma de Riemann, que en el caso
n=2 tiene la forma
Z
n
Ejemplo 4.10.1. Calculemos
f dA = lm
f E ( xi , y j ) A( Rij )
i,j=1
(2x + y) dA, E = [0, 1] [0, 2].
f ( x, y) = 2x + y es continua sobre E, de manera que el conjunto de puntos de disconLa funcion

tinuidades es vaco, el cual como sabemos tiene contenido cero.
j
de [0, 1], P2 = {y = n , 0 j 2n} particion

de [0, 2],
Sean P1 = { x = ni , 0 i n} particion
i j
1
de E, con || P|| = n . El a rea del rectangulo Rij = n12 . Si
entonces P = P1 P2 = {( n , n )}, es particion
tienen la forma ( xi , y j ), entonces la suma de Riemann
consideramos que los puntos de la particion
es

n 2n
n
i
1
j
1 n 2n
2
(
2x
+
y
)
A
(
R
)
=
+
=
ij

i j
(2i + j)
n n
n2
n3 i
i =1 j =1
i,j=1
=1 j =1
1
n3
(4ni + n(2n + 1)) =

i =1
1
n2
(4i + 2n + 1)
i =1

1
1
2
2n(n + 1) + 2n + n = 2 (4n2 + 3n)
2
n
n
249
4.11 Integrales dobles iteradas

Se concluye que
1
(4n2 + 3n) = 4
2
n
E
fE,
Por la forma en que pasamos a definir la integral sobre un conjunto acotado, mediante la funcion
resulta claro que se deben mantener las mismas propiedades enunciadas para la integral sobre un
no volvemos a enunciarlas.
rectangulo. Por esta razon,
Z
4.11.
(2x + y) dA = lm
Integrales dobles iteradas
directa de integrales multiples,
La evaluacion
mediante el calculo de sumas superiores e inferiores,
y en el mejor de los casos, el que f sea continua, mediante sumas de Riemann es un proceso largo,
complicado, y difcil de llevar a cabo. Es de imaginar un calculo para n 3, si ya para n = 2
presento grandes dificultades. Afortunadamente, existe un metodo directo y sencillo que permite el
iterada, que a continuacion

pasamos a
calculo de la integral multiple,
conocido como integracion
conocer y estudiar en dos y tres dimensiones. Tal metodo se extiende a n dimensiones en forma natu
ral. Se ha preferido partir con el caso de la integral doble iterada con el fin de agilizar la comprension
del concepto.
Definicion
4.11.1. Se llaman integrales dobles iteradas o sucesivas de la funcion f a las expresiones:
Z b Z h( x )
a
g( x )
Z d Z h(y)
f ( x, y) dy dx
g(y)
f ( x, y) dx dy
Los conjuntos siguientes

R1 = {( x, y)/ a x b, g( x ) y h( x )}
R2 = {( x, y)/ c y d, g(y) x h(y)}
y su visualizacion
e identificacion
resulta gravitante en el
se denominan recintos de integracion,
calculo de la integral. El calculo de estas integrales es como sigue.
Para calcular el valor de la primera de estas integrales, se realiza en primer lugar la integracion
respecto de la variable y, manteniendo x constante. Luego, este resultado se integra respecto
de x, obteniendo el valor de la integral doble iterada.
Para calcular el valor de la integral restante, se procede de manera analoga. Esto es, en primer
se hace respecto de la variable x, manteniendo y constante. Luego, este
lugar la integracion
resultado se integra respecto de y, obteniendo el valor de la integral doble iterada.
Veamos un par de ejemplos de integrales iteradas.
Ejemplo 4.11.2. Calculemos la integral iterada
250
Z 2 Z 2x
0
xy dy dx

4.12 Recintos de Integracion
lo muestra la figura 4.9 y corresponde a
El recinto de integracion
y
R = {( x, y)/ 0 x 2, 0 y 2x }
Luego,
0
xy dy dx =
Al evaluar los lmites superior e inferior tenemos

Z 2 Z 2x
0
y/2
dx
x=2
Z 2
0
2x3 dx = 8
x
2
figura 4.9
y
xy dx dy
y=4
y/
Ejemplo 4.11.3. Hallemos la integral iterada
xy2
xy dy dx =
Z 4Z 2
2x
y=
Z 2
1
2x
Z 2 Z 2x
x=
son el
Se observa ahora que el integrando y el recinto de integracion
mismo del problema anterior, pero que las diferenciales no mantienen el
mismo orden. La figura 4.10 muestra el recinto.
2
Z 4
Z 4Z 2
1
2
xy dx dy =
yx
dy
2
0
y/2
0
y/2
x=2
R
x
2
figura 4.10
Al evaluar los lmites superior e inferior tenemos

Z 4Z 2
y/2
xy dx dy =
y2
y(4 )dy =
2
4
Z 4
1
0
Z 4
0
y3
2y
8
dy =
y4
y
32
2
4
=8
El mismo resultado anterior.
4.12.
Recintos de Integracion
Vamos a clasificar los recintos del plano xy sobre los que hacemos las integraciones.
y
y
h( x )
d
Ry
Rx
g(y)
h(y)
g( x )
c
a
b
figura 4.12
x
figura 4.13
251

4.12 Recintos de Integracion
Recinto R x :
R x = {( x, y)/a x b, g( x ) y h( x )}
Recinto Ry :
Ry = {( x, y)/c y d, g(y) x h(y)}
que no sea
Las funciones g y h son continuas sobre el intervalo que se considere. Toda otra region
de un numero
del tipo R x o Ry , sera una combinacion

finito de regiones de estos tipos.
Los siguientes resultados garantizan que una integral doble puede expresarse como una integral
iterada, tanto en el caso de intervalos como en el de conjuntos acotados.
Teorema 4.12.1. ( Fubini ) - ( Intervalos )
Sea f funcion acotada y continua sobre el intervalo [~a,~b] = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ] de R2 , salvo quizas, en un numero
~
finito de puntos de [~a, b], entonces
Z
[~a,~b]
f ( x, y) dA =
Z b1 Z b2
a1
a2
f ( x, y) dy dx
Teorema 4.12.2. ( Fubini ) - ( Recintos )

Si f es continua sobre un recinto del tipo R x o Ry , entonces
Z
Z
Rx
Ry
f ( x, y) dA =
Z b Z h( x )
f ( x, y) dy dx
f ( x, y) dA =
Z b Z h(y)
f ( x, y) dx dy
g( x )
g(y)
Demostracion.
en la cual [~a,~b] = [ a1 , b1 ] [ a2 , b2 ],
Consideremos la figura 4.14 para probar la primera afirmacion,
a2 g( x ), h( x ) b2 .
y
b2
1
h( x )
Rx
y=
x
y = x2
g( x )
a2
a1
b1
figura 4.14
Como f Rx ( x, y) =
252
f ( x, y) , si ( x, y) R x
, entonces
0
, si ( x, y) 6 R x
x
1
figura 4.15
4.13 Transformaciones
Rx
f ( x, y) dA =
[ a,b]
f Rx ( x, y) dA =
Z b1 Z b2
Z b1 Z g( x)
0 dy dx +
Z b1 Z h( x)
f ( x, y) dy dx
a1
a1
a2
g( x )
a2
a1
f R ( x, y) dy dx
Z b1 Z h( x)
a1
g( x )
f ( x, y) dy dx +
Z b1 Z b2
a1
h( x )
0 dy dx
Al intercambiar x por y se obtiene la segunda afirmacion.

Ejemplo 4.12.3. Hallemos
( x + y) dA, si R es la region acotada por las parabolas y = x2 , y2 = x.
R como region
R x (figura 4.15).
Si escribimos la region
R = R x = {( x, y)/0 x 1, x2 y
Luego,
Z
( x + y) dA =
Z 1 Z x
0
x2
( x + y) dy dx =
x}
3
10
Ry , entonces
Si en cambio elegimos region
R = Ry = {( x, y)/0 y 1, y2 x
de lo cual
Z
4.13.
( x + y) dA =
Z 1 Z y
0
y2
( x + y) dx dy =
y}
3
10
Transformaciones
Vamos a ver ahora que sucede con la imagen de un conjunto A R2 cuando se le aplica una
T : A R2 T ( A) R2 . Esto interesa pues constituye la base del cambio de
transformacion
T sea de clase
coordenadas en una integral multiple.
Para ello se requiere que la transformacion
T
1 ( primeras derivadas continuas). Los siguientes ejemplos muestran como una transformacion
puede deformar a un conjunto.
Ejemplo 4.13.1. Sea D = [1, 1] [1, 1] subconjunto del plano uv. Vamos a determinar su imagen en el
v uv
plano xy al aplicarle la transformacion T (u, v) = u+
2 , 2 .
La figura 4.16 muestra el cuadrado en el plano uv y su imagen en el plano xy.
253
y
v=1
u = 1
T ( 3 )
u=1
D
T ( 2 )
T (D)
figura 4.16
T ( 4 )
T ( 1 )
v = 1
lineal.
Mostramos tres formas de hallar la imagen del cuadrado mediante esta transformacion
Forma 1
La primera de ellas consiste en determinar los puntos imagenes de los vertices del cuadrado, y luego
de que la transformaunir estos puntos por los respectivos segmentos de recta. Esto es as, en razon
es lineal, y en consecuencia, transforma rectas en rectas. Se tiene
cion
T (1, 1) = (1, 0),
T (1, 1) = (0, 1),
T (1, 1) = (1, 0),
T (1, 1) = (0, 1)
Al unir estos puntos se obtiene el conjunto que muestra la figura 4.16.

Forma 2
Una segunda forma de encarar el problema, es recurrir al hecho conocido, de que si f es una funcion
continua y A un conjunto compacto (cerrado y acotado), entonces su imagen es un conjunto com es necesario estudiar el efecto de T sobre cada uno de los segmentos de recta
pacto. Para ello, solo
que componen la frontera del cuadrado. Esto lo hacemos mediante el uso de parametrizaciones.
1 : [1, 1] R R2 , tal que t 7 (t, 1) es una parametrizacion
del segmento de recta
La funcion
lineal
v = 1, 1 u 1. Para determinar la imagen de este segmento mediante la transformacion
T, se procede como sigue:

t+1 t1
T (1 (t)) = T (t, 1) =
,
2
2
Dado que en el conjunto de llegada los puntos son de la forma ( x, y), entonces

t+1 t1
,
2
2
t+1
2
= ( x, y) =
t1 1 t 1
y=
2
x=
cartesiana es
Luego, la expresion
y = x 1, 0 x 1
del segmento de recta 1 (t) que se observa en la figura 4.16.

y ella representa la transformacion
Analogamente, se halla para los restantes segmentos
254
2 (t) = (1, t), T (2 (t)) =

{y = 1 x, 0 x 1}
3 (t) = (t, 1), T (3 (t)) = {y = 1 + x, 1 x 0}
4 (t) = (1, t), T (4 (t)) = {y = 1 x, 1 x 0}
Concluimos en que T transforma el cuadrado D en otro cuadrado T(D), pero con distintos vertices,
tal como indica la figura 4.16.
Forma 3
Cabe preguntarse Es posible volver desde el plano de las xy al plano uv? Adelantamos que en gene T es inyectiva.
ral, la respuesta es afirmativa bajo ciertas condiciones. En este ejemplo, la aplicacion
De manera que se tiene
u+v
= x
2
uv
= y
2
x+y = u
xy = v
lo que indica, que en este caso se puede volver mediante la aplicacion

T 1 ( x, y) = ( x + y, x y)
Otra pregunta que nos podemos formular es que sucede con el a rea de los conjuntos D y T ( D )?
Calculemos ambas a reas:
Area
de D: El cuadrado tiene a rea 4
Area
de T ( D ): El a rea del rombo es 4 veces el a rea de cada triangulo rectangulo que lo conforma. Esto es, 12 4 = 2
es
Es claro que las a reas son distintas. Ademas, el jacobiano de la transformacion

( x, y) x x 1 1
u
v
= y y = 2 2 = 1
J ( T ) =
(u, v) u v 21 12
2
tendra el jacobiano algo que ver con que las a reas sean diferentes?
Ejemplo 4.13.2. Sea P el paralelogramo acotado por las rectas y = 2x 2, y = x + 1, y = 2x, y = x.

Hallemos el conjunto A, en el plano uv, que al aplicarle la transformacion T (u, v) = (u v, 2u v) lo
transforma en P.
de ello la hacemos mas
Ubicamos el plano uv a la izquierda y por ende el xy a la derecha, la razon
adelante.
255
Polar
4.14 Transformacion
y
T (u, v) = (u v, 2u v)
v=0
v = 2
2x
figura 4.17
u=1
y=
u
u=0
y=
2x
T 1 ( x, y) = (y x, y 2x )
inversa
Ahora bien, para determinar el conjunto A tenemos que establecer la transformacion
T 1 ( x, y) = (y x, y 2x )
T despejando las variables u y v. Al igual como lo hicimos en el
que se obtiene de la transformacion
ejemplo anterior, pasamos en primer lugar los vertices del paralelogramo.

Se tiene entonces
T 1 (0, 0) = (0, 0),
T 1 (1, 2) = (1, 0),
T 1 (2, 2) = (0, 2),
T 1 (3, 4) = (1, 2)
Se concluye que A es un rectangulo acotado por las rectas v = 0, v = 2, u = 0, u = 1. Respecto de

las a reas se tiene lo siguiente:
Area
de P: El paralelogramo
tiene a rea 2
Area
de A: El a rea del rectangulo es 2
es
Ahora las a reas son iguales y ademas, el jacobiano de la transformacion

( x, y) 1 1
= 1 = J ( T 1 )
=
J ( T ) =

2
1
(u, v)
4.14.
Transformacion
Polar
Un sistema de coordenadas conocido del primer curso de calculo, y a partir de ahora de referencia
habitual, es el de coordenadas polares. En esta oportunidad, volvemos a e l, acompanados

de la
de
integral doble, en donde dichas coordenadas juegan un papel fundamental en la simplificacion
T dada por
muchos problemas que involucran calculo de integrales. La transformacion
T (r, ) = (r cos , r sen )
polar, siendo inyectiva si consideramos r > 0, y el a ngulo variando
se denomina transformacion
es
en un intervalo de la forma 0 < 2 o bien 0 < 2. El jacobiano de esta transformacion

cos r sen
( x, y)
=r

=
sen r cos
(r, )
256
Polar
4.14 Transformacion
y
T (r, ) = (rcos, r sen )
T (D)
curvas r
figura 4.18
curvas
x
En terminos geometricos las curvas r son rectas por el origen y las curvas son crculos concentricos
con el origen, siendo la imagen de un rectangulo en el plano r un paralelogramo

en el plano de
las xy limitado por dos radios y dos arcos de crculo, tal como lo muestra la figura 4.18.
Ejemplo 4.14.1. Escribimos la region S = {( x, y)/ x2 + y2 2x } en coordenadas polares.
y
Una manera sencilla de visualizar el

radio y el a ngulo en coordenadas
polares consiste en sobreponer los
planos polar y cartesiano, tal como
muestra la figura 4.19. Se observa que
el movimiento del a ngulo es 2
2 y el radio, que nace del origen,
desde 0 a la curva
barre la region
r = 2cos .
x2 + y2 = 2x
r = 2cos
x
r
figura 4.19
Analticamente, de las expresiones x = rcos , y = rsen , se obtiene r2 = 2r cos , y de esto

r (r 2cos ) = 0 = r = 0
r = 2cos
Ejemplo 4.14.2. La region S = {( x, y)/ a2 x2 + y2 b2 }, a < b, representa la region acotada que acotan
crculos concentricos de radios a y b, respectivamente. La figura 4.20 muestra el recinto, que en coordenadas
polares, equivale a
S = {(r, )/ 0 2, a r b}
y
y=1
figura 4.20
x
r
y = x2
x
r
figura 4.21
257
4.15 Cambio de variable

Ejemplo 4.14.3. La region cartesiana S = {( x, y)/ x2 y 1, 1 x 1}, en coordenadas polares
corresponde a la union de tres regiones polares (figura 4.21). En efecto;
x2 = y = r2 cos2 = r sen = r = 0 r = tg sec
de modo que
S1 = {0 r tg sec , 0
}
4
Analogamente
S2 = { 4
4.15.
3
4 ,
S3 = { 3
4 , 0 r tg sec }
0 r csc }
Cambio de variable
fue de gran ayuda en

En la teora de la integral definida unidimensional, el metodo de sustitucion
su calculo. Es evidente que este proceso facilita el calculo de la integral al reducir el integrando a
para esa clase de funciones asegura que
uno mas simple. Recordemos que el metodo de sustitucion
Z b
a
f ( x ) dx =
Z d
c
f ( g(t)) g (t) dt
donde a = g(c), b = g(d), y bajo el supuesto que g tiene derivada continua en [c, d]. Es decir, g 1 ,
y que f es continua en el intervalo [ g(c), g(d)].
de este metodo, que se aplica cuando se trata de un inEn dimensiones superiores existe una version
difcil de visualizar y operar con la integracion.
tegrando complicado o de un recinto de integracion

R1 del plano xy, en otra
En cualquier caso, hay que transformar una integral extendida a una region
R2 del plano uv o bien a la inversa.
integral extendida a una region
Teorema 4.15.1. (Cambio de variable)
Sea T : D1 R2 D R2 transformacion inyectiva de clase
T (u, v) = ( x (u, v), y(u, v)). El Jacobiano de T, dado por

x

( x, y)

= u
J ( T ) = J (u, v) =
y
(u, v)

u
1 del plano uv en el plano xy tal que

x
v
y

v
mide (en valor absoluto) la distorsion que sufre el a rea del conjunto D1 al ser llevada por T en D. Si la funcion
f : D R es integrable, entonces
Z
258
f ( x, y) dA xy =
D1
f ( T (u, v)) | J ( T )| dAuv
4.15 Cambio de variable

es como sigue
La situacion
T
R2uv R2xy R
compuesta f T es la aplicacion
que conecta directamente R2uv con R
La funcion
La idea central del cambio de variable es trasladarse de un espacio, en el que el proceso de inte se dificulta, a otro espacio en el cual el calculo es mas sencillo. Por ejemplo, nos encontramos
gracion
del planeta Saen la Tierra y nuestra mesa de trabajo es el plano uv, queremos obtener informacion
turno tal como a rea, masa, momentos y centros de masa. Para este fin enviamos una nave espacial
hasta alla para que recopile los datos que se encuentran sobre el plano xy de Saturno y nos lo envie
de vuelta a la Tierra. La figura 4.22 muestra esta idea, y es claro que el satelite juega el papel de la
T y es e ste el Jacobiano que se necesita. Para no perder de vista esta ilustracion,
es
transformacion
conveniente mantener el plano xy a la derecha y el uv a la izquierda.
En resumen, si tenemos que calcular una integral en el plano xy, y por la naturaleza del problema se
o bien por el campo escalar que
observa que presenta dificultades, ya sea por el recinto de integracion
hay que integrar, entonces se debe pensar en la alternativa del cambio de variables. Este cambio
o
de variables (si no viene dado) se determina a partir de la naturaleza del recinto de integracion
bien del campo escalar a integrar. El Jacobiano que se debe utilizar proviene de las ecuaciones que
tengan las variables x e y despejadas, ya que as las derivadas seran respecto de las variables u y v.
Esto indica que el trabajo que estamos realizando se traslada del plano xy al uv.
Ejemplo 4.15.2. Se
Z considera el paralelogramo R acotado por las curvas y = 2x 2, y = x + 1, y =
2x, y = x. Hallar
xy dx dy, empleando la transformacion T (u, v) = (u v, 2u v) del plano uv en el
plano xy.
sobre P no es sencillo, debemos dividir el recinto en tres

Se observa que el proceso de integracion
por la cual se sugiere el uso de una
(3) regiones R x o bien en dos (2) regiones Ry . Esta es la razon
que simplifique el proceso. Este trabajo de graficacion
lo hicimos anteriormente. La
transformacion
T es lineal e inyectiva, y por construccion,
lleva el rectangulo A acotado por las rectas
aplicacion
v = 0, v = 2, u = 0, u = 1, en el paralelogramo
P (figura 4.23). El jacobiano de la transformacion
es

( x, y) 1 1
=1

=
J (T ) =
(u, v) 2 1
259
4.16 Aplicaciones de la integral doble

y
T (u, v) = (u v, 2u v)
y
x
2
T 1 ( x, y) = (y x, y 2x )
v = 2
figura 4.23
u=1
y=
2x
v=0
u=0
y=
2x
Luego, por el teorema del cambio de variables, la integral sobre el paraleleppedo P es equivalente
con la integral sobre el rectangulo que es su pre-imagen. Esto es,
Z
xy dx dy =
Ejemplo 4.15.3. Hallar

1, x2 + y2 = 4.
(u v)(2u v) du dv =
Z 0 Z 1
2 0
(2u2 3uv + v2 ) du dv = 7
ln( x2 + y2 ) dA, si D es la region del primer cuadrante entre los crculos x2 + y2 =
de integracion
la muestra la figura 4.24, en donde se han sobrepuestos los planos cartesiano
La region
y polar. En polares los crculos tienen ecuaciones r = 1, r = 2, respectivamente. Es sencillo ver que
polar es r, la integral
el a ngulo vara entre 0 y 2 . Sin olvidar que el Jacobiano de la transformacion
toma la forma

Z
Z 2 Z /2
3
2
2
2
r ln r d dr =
ln( x + y ) dA =
4 ln 2
2
2
0
D
1
y
y = x2 + 2
r
D
1
x
r
figura 4.24
4.16.
x
r
figura 4.25
Aplicaciones de la integral doble
Vamos a estudiar algunas aplicaciones de la integral doble, tales como a rea, volumen bajo una su de una region
en torno
perficie, centros y momentos de regiones planas, y volumen de revolucion
260

a una recta en el plano. Como se puede ver, las aplicaciones son las mismas que se estudian en la
unidimensional. En esta oportunidad vamos a ver que las cosas se simplifican.
integracion
4.16.1. Area
R x = {( x, y)/a x b, g( x ) y h( x )}, mediante el calculo integral
El a rea de una region
unidimensional viene dado por
A( R x ) =
Z b
a
[h( x ) g( x )] dx
Por otra parte, sabemos que el contenido de un conjunto R x del plano, esta dado por
A( R x ) =
1Rx
Rx
y que el teorema de Fubini afirma que

Z
Rx
1Rx =
Z b Z h( x )
a
g( x )
dy dx =
Z b
a
[h( x ) g( x )] dx
Esto significa que ambas expresiones para el a rea son equivalentes.

Para calcular a reas de regiones del tipo Ry , el procedimiento es similar, se tiene
A( Ry ) =
Ry
1 Ry =
Z b Z h(y)
a
g(y)
dx dy
Ejemplo 4.16.1. Hallemos el a rea limitada por la parabola y = x2 + 2 y la recta y = x + 4.

como R x o Ry . La figura 4.25 muestra que
En primer lugar, debemos definir el recinto de integracion
es mas sencillo tomar recinto del tipo R x .
R = R x = {( x, y)/ 1 x 2, x2 + 2 y x + 4}
entonces
A( R x ) =
Rx
1Rx =
Z 2 Z x +4
1
x 2 +2
dy dx =
Z 2
( x + 4 x2 2) dx =
9
2
El lector interesado puede estudiar la dificultad al considerar un recinto del tipo Ry .
4.16.2. Masa - Centro de masa

Si un objeto esta hecho de un material delgado y uniforme, entonces la masa de dicho objeto es un
plana sobre la cual esta situado. Este multiplo
multiplo
del a rea de la region
depende de las unidades
utilizadas. Si el objeto es de un material no uniforme, entonces se puede expresar la masa de e l, en
de la densidad ( x, y) del material en cualquier punto. Esto nos lleva al siguiente hecho
funcion
261

Definicion
4.16.2. La masa de un objeto plano con densidad variable ( x, y) que ocupa una region R del
plano es
Z
M=
( x, y) dA
R
En terminos fsicos, la masa es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a un cambio del
movimiento rectilneo.
Ejemplo 4.16.3. Un objeto plano ocupa la region R = {y x 4 y, y 0} del plano xy. La densidad
en cada punto es ( x, y) = 1 + 2x + y. Hallemos su masa M.
es muy complicado. La figura 4.26 muestra el recinto
Trabajar sin un recinto que modele la situacion
Elegimos recinto del tipo Ry , para
acotado que nos permitira establecer los lmites de integracion.
tener que
Z 2
Z 2 Z 4 y
16
( x + x2 + xy) dy =
(1 + 2x + y) dx dy =
M=
3
0
y
0
y
~x
x
y
R
~n
~x0
figura 4.26
comp~n (~x ~x0 )
figura 4.27
4.16.3. Momentos
R del plano cartesiano, una recta con normal n dirigida hacia la region,
y un
Se considera una region
entonces la distancia de ese punto
punto sobre esta recta (figura 4.27). Si x es un punto de la region,
a la recta se puede calcular. De hecho, se construye el vector ~x ~x0 y se determina la magnitud de
vectorial sobre el vector normal.
su proyeccion
Definicion
4.16.4. Sea ~x0 un punto fijo de una recta L y ~n un vector normal a dicha recta. El primer
momento (ML ), y el segundo momento o momento de inercia (IL ), de una region R R2 con respecto
a la recta L, vienen dados por la expresiones:
ML =
comp~n ( ~x ~x0 ) dA,
~x R
el numero
comp~n (~x ~x0 ) =
es la distancia dirigida del punto ~x a la recta L.
262
IL =
~n (~x ~x0 )
||~n||
comp~2n ( ~x ~x0 ) dA,
~x R
4.16.4. Momentos respectos de los ejes coordenados

Si en las definiciones de ML y de IL , se considera que L es el eje x, entonces se escoge el vector
positiva del eje ~y. Esto significa que puede ser elegido el vector uninormal ~n en la direccion
~
tario j = (0, 1), con lo cual, comp~n (~x ~x0 ) = ~j (~x ~x0 ) = ~j (( x, y) ( x, 0)) = y. Se concluye
que
Z
Z
Mx =
y dM
Ix =
y2 dM
positiva del eje x, con lo cual el vector

Si L se toma como el eje y, escogemos n en la direccion
~
unitario i = (1, 0) es el elegido. Se tiene que, comp~n (~x ~x0 ) = ~i (~x ~x0 ) = ~i (( x, y) (0, y)) =
x. Luego,
Z
Z
My =
x dM
Iy =
x2 dM
Definicion
4.16.5. Se llama momento polar de inercia con respecto al origen, a la expresion
I=
( x2 + y2 ) dM = Ix + Iy
Ejemplo 4.16.6. Sea R = {( x, y)/ 1 x 2, x2 y x + 2}, la region que muestra la figura 4.28.
Se supone que la region es homogenea, lo que significa que la densidad es 1. Luego, M = A. Los momentos de
la region R respecto de los ejes coordenados son:
x dy dx =
9
4
x dA =
Z 2 Z x +2
Z 2 Z x +2
423
y dy dx =
28
Z 2 Z x +2
63
y dy dx =
20
y dA =
2
x dA =
Iz = Ix + Iy =
1 x 2
1 x 2
1 x 2
1 x 2
Iy =
36
5
y = x2
Ix =
y dy dx =
My =
y dA =
Z 2 Z x +2
Mx =
x
r
figura 4.28
639
35
En terminos fsicos; El momento es una medida de la tendencia de la materia a girar alrededor de

a
una recta. Al Momento de Inercia de un cuerpo se le considera como una medida de la oposicion
en e l una fuerza de rotacion.
girar de e ste cuando actua
del plano.
Intimamente
ligado con la masa se encuentra el centro de masa de una region
Definicion
4.16.7. El punto P = ( x, y) =
centroide si la densidad es constante.

1
My , Mx se llama centro de masa de la region R o
M( R)
263

Teorema 4.16.8. Si la recta L pasa por el centro de masa de la region plana R, entonces ML = 0.
Demostracion.
Para simplificar suponemos que la densidad en cada punto de R es 1. Sean ~n = (n1 , n2 ) normal
unitaria a la recta L, y P = ( x, y) punto sobre L. Se tiene
ML
=
comp~n (~x ~
P) dA = ~n (~x ~
P) dA
R
R

Z
=
n1 ( x x ) + n2 (y y) dA
R
= n1
x dA n1 x
dA + n2
y dA n2 y
dA
= n 1 My n 1 x A ( R ) + n 2 M x n 2 y A ( R )

= n 1 My x A ( R ) + n 2 M x y A ( R )
= n 1 [ My My ] + n 2 [ M x M x ] = 0
4.16.5. Volumen
Sea E un subconjunto de R3 con contenido (volumen) que denotamos por V ( E). Si este conjunto E se encuentra limitado lateralmente por una
superficie cilndrica con generador paralelo al eje
z, superiormente por una superficie de ecuacion

cerraz = f ( x, y), e inferiormente por una region
da y acotada R del plano xy, entonces una repre grafica de E puede ser la que muestra
sentacion
la figura 4.29.
figura 4.29
Definicion
4.16.9. Sea f : R R2 R tal que z = f ( x, y) es una superficie que denotamos por S y que
tiene volumen V. Entonces
Z
V (S) =
f ( x, y) dA
R
En el caso que el volumen se encuentre acotado inferior y superiormente por superficies de ecuaciones z1 y z2 , entonces
Z
V (S) =
(z2 z1 ) dA
Ejemplo 4.16.10. Hallemos el volumen acotado inferiormente por el plano xy, lateralmente por el cilindro
x2 + y2 = 4, y superiormente por el paraboloide z = x2 + y2 .
264

R del plano (figura 4.30) sobre la cual hacemos integracion
es
La region
p
p
R = R x = {( x, y)/ 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 }
Luego
V=
( x2 + y2 ) dA =
Z 2 Z 4 x 2
(x
2 4 x 2
+ y2 ) dy dx = 8
R respecto de los planos xz e yz, se puede escribir

Por simetra de la region
V=4
Z 2 Z 4 x 2
0
( x2 + y2 ) dy dx
En coordenadas polares todo es mas sencillo ya que

V=4
y
Z /2 Z 2
0
r3 dr d = 8
L
R
L
L
y = x2
x
2
figura 4.31
figura 4.30
4.16.6. Volumen de revolucion
acotada R del plano xy y una recta L que no intersecte el interior de R

Consideremos una region
(L puede ser frontera de R). Ademas de las situaciones que muestra la figura 4.31, la recta L puede
o bien a su izquierda. Si R gira un a ngulo alrededor de la recta L, entonces se
estar bajo la region
tienen tres situaciones:
Si la recta L es paralela al eje x, entonces es de la forma y = c, y el volumen que genera la
al rotar alrededor de L viene dado por
region
V ( R) =
|y c| dA
Si la recta es paralela al eje y, entonces es de la forma x = c, y el volumen que genera la region

al rotar alrededor de L viene dado por
V ( R) =
| x c| dA
265

Si la recta no es paralela a los ejes coordenados, entonces Pappus se hace presente, y se tiene
el siguiente resultado:
Teorema 4.16.11. ( Pappus )
Si una region R gira un a ngulo alrededor de una recta L del plano, y si L no intersecta a R, entonces el
volumen generado es igual a veces el producto del a rea de R por la distancia recorrida por el centro de masa
de R. Esto es,
V ( R) = A( R) |( x, y) L|
Ejemplo 4.16.12. Hallemos el volumen generado al rotar la region acotada por la curva y = x2 , y las rectas
x = 2, y = 0 alrededor de:
1) El eje x
3) La recta x = 5
2) El eje y
4) La recta x + y = 6
Soluciones:
y = 0, de modo que la rotacion
se hace respecto de una recta paralela al eje
1) El eje x tiene ecuacion
x, y en tal caso
Z
Z 2 Z x2
32
V = 2
y dA = 2
y dy dx =
5
0
R
0
es con respecto a una paralela al eje y.
2) En este caso la rotacion
V = 2
x dA = 2
Z 2 Z x2
0
x dy dx = 8
es el mismo anterior.
Observar que el recinto de integracion
3) La recta x = 5 es una paralela al eje y, por tanto
V = 2
| x 5| dA = 2
Z 2 Z x2
0
(5 x ) dy dx =
56
3
respecto a la recta x + y = 6 se hace uso del Teorema de Pappus.

4) Para hallar el volumen de rotacion
y la distancia de e ste a la recta. Los
Para ello debemos determinar el centro de masa de la region,
momentos Mx y My los obtenemos de los resultados de las partes a) y b) dividiendo por 2. Se tiene,
rea del recinto R es 83 . En consecuencia, el centro de masa tiene coordenadas
Mx = 16
5 , My = 4. El a
x = 23 , y = 65 . La distancia del centro de masa a la recta es
d[( x, y), L] =
En consecuencia,
266
3
2
+ 56 6
33
=
2
10 2
44 2
33
8
V = 2 =
3 10 2
5
4.17 Integrales triples Iteradas
+
y
x=5
=
6
4
y = x2
y = x2
figura 4.32
4.17.
figura 4.33
Integrales triples Iteradas
de integral iterada de dos a tres o mas dimensiones se realiza de manera natural.

La extension
Definicion
4.17.1. Se llama integral iterada tridimensional a una integral de la forma
Z b Z g2 ( x) Z h2 ( x,y)
a
g1 ( x )
h1 ( x,y)
f ( x, y, z) dz dy dx
es analoga a la de la integral doble iterada, en el

El siguiente ejemplo muestra que su determinacion
respecto de z, las variables x e
sentido de que se consideran constantes, para la primera integracion
y evaluado su resultado en h1 ( x, y) y h2 ( x, y) se procede con
y. Una vez realizada esta integracion
respecto de la variable y. Su resultado, luego de evaluarlo en g1 ( x ) y g2 ( x ) se integra
la integracion
entre a y b.
respecto de la variable x y se evalua
Z 5Z 2Z 3
0
( x2 + 2yz) dx dy dz
es un cubo de dimensiones
Al mirar los lmites de la integral se observa que el recinto de integracion
se realiza como sigue:
[1, 3] [0, 2] [0, 5]. La integracion
Z 5Z 2Z 3
0
3

( + 2xyz) dydz
3
1
( x + 2yz) dxdydz =
Z 5Z 2 3
x
Z 5Z 2
26
560
3
+ 4yz) dydz
267
4.17 Integrales triples Iteradas
4.17.1. Recintos de integracion
El numero
de integrales triples iteradas es de seis (3!) y son:
1.
2.
[~a,~b]
[~a,~b]
f ( x, y, z) dx dy dz
3.
f ( x, y, z) dy dx dz
4.
[~a,~b]
[~a,~b]
f ( x, y, z) dy dz dx
5.
f ( x, y, z) dx dz dy
6.
[~a,~b]
[~a,~b]
f ( x, y, z) dz dy dx
f ( x, y, z) dz dx dy
uno por cada integral iterada. Estos recintos

Esto quiere decir que existen seis recintos de integracion,
tienen las siguientes formas:
R xy
Ryx
R xz
Rzx
Ryz
Rzy
=
=
=
=
=
=
{ a x b,
{ a y b,
{ a x b,
{ a z b,
{ a y b,
{ a z b,
f 1 ( x ) y f 2 ( x ), g1 ( x, y) z g2 ( x, y)}
f 1 (y) x f 2 (y), g1 ( x, y) z g2 ( x, y)}
f 1 ( x ) z f 2 ( x ), g1 ( x, z) y g2 ( x, z)}
f 1 (z) x f 2 (z), g1 (z, x ) y g2 (z, x )}
f 1 (y) z f 2 (y), g1 (y, z) x g2 (y, z)}
f 1 (z) y f 2 (z), g1 (z, y) x g2 (z, y)}
Se observa que estas regiones de R3 estan relacionadas con las de la integral doble en R2 . Por ejem R xy en el plano cartesiano de las xy se corresponde con una region
del tipo R x .
plo, la region
en R3 debe tenerse muy clara la forma en que las regiones
Respecto del proceso de integracion
en la integral triple iterada. Por ejemplo, si ya tenemos definida
definen los lmites de integracion
en la forma R xy entonces lateralmente debe acotar la variable x, frontal y posteriormente
la region
debe hacerlo la variable y, y superior e inferiormente la variable z.
Ejemplo 4.17.3. La region R del espacio tridimensional que se encuentra en el primer octante y acotada por
la esfera unitaria de centro el origen de coordenadas, tiene las siguientes representaciones:
p
R xy = {0 x 1, 0 y 1 x2 , 0 z 1 x2 y2 }
Ryx = {0 y 1, 0 x
Rzy = {0 z 1, 0 y
Rzx =
{0 z 1, 0 x
R xz =
{0 x 1, 0 z
Ryz = {0 y 1, 0 z
268
1 y2 , 0 z
1 z2 , 0 x
1 z2 , 0 y
1 x2 , 0 y
1 y2 , 0 x
1 x 2 y2 }
1 y2 z2 }
1 x 2 z2 }
1 x 2 z2 }
1 y2 z2 }
figura 4.34
de coordenadas
4.18 Transformacion
4.18.
Transformacion
de coordenadas
doble, el cambio de variable permite calcular integrales de integranAl igual que en integracion
do difcil o integrales sobre recintos complicados. En R3 existen dos cambios de coordenadas muy
importantes; las coordenadas cilndricas y las coordenadas esfericas.
4.18.1. Coordenadas cilndricas

T (r, , z) = (rcos , rsen , z)
Si T : R3 R3 es la aplicacion
entonces ella es inyectiva y de clase 1 , con Jacobiano

cos
sen

J (r, , z) = rsen rcos
0
0
= ( x, y, z), tal que r > 0, 0 < 2,

0
0 = r
1
T da origen a las denominadas coordenadas cilndricas. La figura 4.35 ilustra la

Esta aplicacion
que existe entre coordenadas rectangulares ( x, y, z) y las coordenadas cilndricas de un punrelacion
to P de R3 .
z
( x, y, z)
( x, y, z)
r cos
figura 4.35
figura 4.36
a coordenadas cilndricas T : D1 R3 D R3 , para una funcion

f : D R3
La transformacion
integrable es tal que
Z
4.18.2.
f ( x, y, z) dx dy dz =
D1
f (rcos , r sen , z) r dr d dz
Coordenadas esfericas
T : R3 R3 tal que
La transformacion
T (r, , ) = (rcos sen , rsen sen , rcos )
269
de coordenadas
4.18 Transformacion
0 , es inyectiva y de clase 1 . Se llama transformacion
esferica,
con r > 0; 0 < 2;

y su Jacobiano es

cos sen
sen sen
cos

0 = r2 sen
J (r, , ) = rsen sen rcos sen
rcos cos rsen cos rsen
en coordenadas esfericas T : D1 R3 D R3 , para

Respecto de la integral, una transformacion
f : D R3 integrable, satisface
una funcion
Z
f ( x, y, z) dxdydz =
D1
f (r, , ) r2 sen d dr d
existente para un punto P, entre las coordenadas rectangulares y

La figura 4.36 muestra la relacion
las coordenadas esfericas.
Ejemplo 4.18.1. El punto rectangular (0, 3, 4) en coordenadas cilndricas y esfericas satisface la siguiente
relacion:
rectangular
cilndrica
esferica
(5, , arccos )
(0, 3, 4)
(3, , 4)
2
2
5
Ejemplo 4.18.2. El punto (1, 4 , 1) en coordenadas cilndricas, satisface en coordenadas rectangulares y esfericas la siguiente relacion:
cilndricas
rectangular
esfericas

2
2
(
,
, 1)
( 2, , )
(1, , 1)
4
2
2
4 4
Ejemplo 4.18.3. Para hallar
e( x
2 + y2 + z2 )3/2
dV, siendo D el recinto del primer octante que acota la esfera
unitaria de R3 , usemos la transformacion esferica, en virtud de que el exponente de la funcion exponencial

as lo aconseja. La figura 4.37 muestra el recinto. Se observa ademas, que una integracion en coordenadas
rectangulares resulta tarea imposible. El recinto en coordenadas esfericas tiene la forma
D = {(r, , )/ 0 r 1, 0 <
, 0 }
2
2
Luego
Z
( x2 +y2 +z2 )3/2
dV =
Z 1 Z /2 Z /2
0
=
2
270
Z 1
0
e r sen d d dr =
2
r3 2
er r2 dr =
( e 1)
6
Z 1 Z /2
0
er r2 sen d dr
4.19 Aplicaciones
z
x=
y=
x2
+
y2
=
x 2 + y2 + z2 = a2
( a, 0, 0)
x
x 2 + y2 = 1
(0, a, 0)
x 2 + y2 = a2
figura 4.37
figura 4.38
Ejemplo 4.18.4. Vamos a escribir el volumen de la region R que es interior a la semiesfera x2 + y2 + z2 =

a2 , z 0 y se encuentra dentro del cono z2 = x2 + y2 , en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfericas.
Calculamos la expresion mas simple.
correspondiente al primer octante.
La figura 4.38 muestra la parte del recinto de integracion
Cartesianas:
Cilndricas:
Esfericas:
V=4
V=4
V=
Z a/2 Z a2 /2 x2 Z a2 x2 y2
0
Z /2 Z a/2 Z a2 r2
r
Z 2 Z a Z /4
0
x 2 + y2
dzdydx
r dz dr d
r2 sen d dr d
integral. Al intersectar ambas superficies se obtiene 2z2 = a2 , de donde se

Calculemos esta ultima
deduce que z = a/ 2. Como z = rcos , entonces = 4 .
V =
Z 2 Z a Z /4
0
= 2
4.19.
r2 sen d dr d =
2
1
2
a
2 3
r3
=
a
3 0
3
Z 2 Z a
0
!
2
1
2
2
1
2
r2 dr d
Aplicaciones
Dentro de las aplicaciones de la integral triple se encuentran el volumen que acota una superficie
en el espacio, los momentos de un solido

respecto de una recta o plano, y el centro de masa de un
solido.
271
4.19 Aplicaciones
4.19.1. Volumen
Si un conjunto E de R3 tiene contenido (volumen) V ( E), entonces
V ( E) =
1E =
Z Z Z
dx dy dz
Ejemplo 4.19.1. Hallemos el volumen que acotan, en el primer octante, los planos coordenados y el plano
x + y + z = 1.
La figura 4.39 muestra que el recinto es una piramide. Como estamos usando una integral triple, lo
Para ello, ponemos un monito dentro del recinto
primero es establecer los lmites de integracion.
y vemos por donde puede caminar, y al saltar, donde golpean los pies y la cabeza.
Puede caminar en el triangulo del plano xy, acotado por x = 0, y = 0 y x + y = 1, de tal forma
que:
0 x 1 y 0 y 1x
z = 0. La cabeza choca contra el
Los pies estan sobre el plano xy, que tiene por ecuacion
x + y + z = 1. Luego, 0 z 1 x y.
plano de ecuacion
z
y+
x+z =
x2 + y2 = 4x
z=
1
y
x+
x=
y=1
x
figura 4.39
V=
Z 1 Z 1 x Z 1 x y
0
dzdydx =
Z 1 Z 1 x
0
0
x 2 + y2 + z2 = 1
figura 4.40
(1 x y)dydx =
1
6
4.19.2. Masa - Momento - Centro de masa
Si un solido
tiene densidad ( x, y, z) en cada punto, entonces su masa M se determina mediante la
expresion
Z
M=
( x, y, z) dV
Ejemplo 4.19.2. Hallemos la masa del solido que en el primer octante es interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 16
y al cilindro x2 + y2 = 4x. La densidad de volumen en el solido vara con su distancia al plano xy.
272
4.19 Aplicaciones
Al considerarlo en forma R xy , entonces
La figura 4.40 muestra el recinto de integracion.
p
R = {0 x 4, 0 y
4x
x2 , 0
16 x2 y2
Es claro que el monito esta obligado a moverse dentro de la parte del cilindro que queda en el
z = 0, y la cabeza queda bajo
primer octante, y cuando salta, los pies tocan el plano xy, de ecuacion
la esfera. Como la densidad es ( x, y, z) = z, entonces la masa es tal que
M=
z dV =
Z 4 Z 4x x2 Z 16 x2 y2
0
1
z dz dy dx =
2
Z 4 Z 4x x2
0
(16 x2 y2 )dy dx
Al cambiar esta integral a coordenadas polares se tiene

4cos
Z
1 /2
r4
2
(16 r ) r dr d =
8r
d
2 0
4 0
0
0
Z /2
Z /2

2
4
=
32cos2 (1 + sen2 )d
64cos 32cos d =
0
0
/2
sen 4
sen 2
) + 4(
) = 10
= 16( +
2
4
0
1
M =
2
Z /2 Z 4cos
Definicion
4.19.3. Sea ~x0 un punto fijo de un plano P y ~n su vector normal. Si R es una region en R3 , se
definen:
El primer momento de R respecto de P como
MP =
comp~n (~x ~x0 ) dM
El momento de Inercia de R con respecto a P como

IP =
comp~n2 (~x ~x0 ) dM
Los casos particulares son:

positiva del eje z, teniendose que
Si P es el plano xy, se escoge el vector ~n en la direccion
comp~n (~x ~x0 ) = ~k (~x ~x0 ) = z
de donde,
Mxy =
z dM,
Ixy =
z2 dM
273
4.19 Aplicaciones
positiva del eje x. Se tiene que
Si P es el plano yz, se escoge ~n en direccion
comp~n (~x ~x0 ) = ~i (~x ~x0 ) = x
Luego,
Myz =
Iyz =
x dM,
x2 dM
positiva del eje y. Se tiene

Si P es el plano xz, se elige ~n en direccion
comp~n (~x ~x0 ) = ~j (~x ~x0 ) = y
Luego
Z
Mzx =
Izx =
y dM,
y2 dM
Definicion
4.19.4. El centro de masa de un solido de masa M es R3 es el punto de coordenadas
( x, y, z) =
1
( Myz , Mzx , Mxy )
M
z
y+
z=
1
x+z =
Ejemplo 4.19.5. Hallemos: masa, centro de

masa, primer y segundo momento respecto de
los planos coordenados de la region que en el
primer octante acotan los planos coordenados y
el plano x + y + z = 1. La densidad = 1 en
cada punto del solido.
lo muestra la figuEl recinto de integracion

ra 4.41 y se trata de un tetraedro.
Como recinto R xy se tiene
x+y
=1
figura 4.41
R = {( x, y, z)/0 x 1, 0 y 1 x, 0 z 1 x y}
Masa :
M=
dz dy dx =
Z 1 Z 1 x
x dz dy dx =
Z 1 Z 1 x
Z 1 Z 1 x Z 1 x y
0
(1 x y) dy dx =
1
6
Primeros momentos :
Mxy =
Z 1 Z 1 x Z 1 x y
0
x (1 x y) dy dx =
1
24
x2 (1 x y) dy dx =
1
60
Segundos momentos :
Ixy =
Z 1 Z 1 x Z 1 x y
0
Por simetra, Mzx = Mxz =

1
.
mente, Izx = Ixz = 60
274
1
24 .
x dz dy dx =
Z 1 Z 1 x
0
En consecuencia, el centro de masa es el punto ( 41 , 41 , 14 ). Analoga-
4.20 Problemas resueltos
4.20.
Problemas resueltos
Ejemplo 4.20.1. Aproximemos por la media aritmetica de las sumas superior e inferior
Z
( x2 + y) dA,
R = [0, 4] [0, 2], P1 = {0, 1, 2, 3, 4},
P2 = {0, 1, 2}
del intervalo [ a, b] que muestra la figura 4.42. En

Las particiones P1 y P2 dan origen a la particion
f en los vertices. Se obtiene
cada subrectangulo R j se considera el valor que toma la funcion
y
f (0, 0) = 0, f (0, 1) = 1, f (4, 0) = 16

f (1, 1) = 2, f (0, 2) = 2, f (3, 1) = 10
f (2, 0) = 4, f (2, 1) = 5, f (3, 2) = 11
2
b
1
b
f (3, 0) = 9, f (1, 2) = 3, f (4, 1) = 17
figura 4.42
f (1, 0) = 1, f (2, 2) = 6, f (4, 2) = 18

De este modo, en R1 el mnimo es m1 = 0, el maximo M2 = 2. En R2 es m2 = 1, M2 = 3, y
as sucesivamente. Se tiene entonces
8
s( f , P) =
mi ( f ) A( Ri ) = 0 1 + 1 1 + 2 1 + 1 1 + 5 1 + 4 1 + 10 1 + 9 1 = 32
i =1
8
S( f , P) =
Mi ( f ) A( Ri ) = 2 1 + 3 1 + 6 1 + 5 1 + 11 1 + 10 1 + 18 1 + 17 1 = 72
i =1
De esto obtenemos
( x2 + y) dA =
1
( s( f , P) + S( f , P) ) = 52
2
El valor exacto de esta integral es

Z
( x + y) dA =
Z 4Z 2
0
( x + y) dy dx =
Z 4
0
Ejemplo 4.20.2. Hallemos, mediante una suma de Riemann,
[0, 2] [0, 1].
(2x2 + 2) dx =
152
= 50,66
3
f ( x, y) dA, si f ( x, y) = x + 4y, R =
Como se trata de una suma de Riemann, lo primero es dividir los intervalos [0, 2] y [0, 1] en n subin del intervalo [0, 2] [0, 1]. Tetervalos de igual longitud, para posteriormente, obtener la particion
nemos:
P1 = { x =
i
, 0 i 2n}
n
275

P2 = {y =
j
, 0 j n}
n
i j
de [0, 2] [0, 1]
P = {( , )} es particion
n n
A( Rij ) =
1
n2
|| P|| =
1
n
Con estos datos se tiene lo que sigue

Z
2n
f ( x, y) dA =
lm
(xi + 4yi ) A( Rij )
i =1 j =1
2n
lm
i =1 j =1
4j
i
+
n
n
1
n2
2n
=
=
=
lm
i =1
lm
1
n2
lm
(n i + 2n(n + 1)) n3
2n
(i + 2n + 2)
i =1
1
(n(2n + 1) + 2n(2n + n)) = 6
n2
Ejemplo 4.20.3. Sea R = [1, 1] [0, 3]. Tracemos un diagrama de la particion de este recinto, indicando
los valores que toma la funcion escalonada f ( x, y) = [ x + 1][y] sobre R.
[ x + 1] = 0 1 x < 0
[ x + 1] = 1
[y]
[y]
[y]
= 0
= 1
= 2
En consecuencia
276
0
0
1
2
x <1
2
b
1
b
y <1
2
b
x <2
1
b
0
b
0
b
y <3
0,
0,
f ( x, y) =
1,
2,
1 x < 0,
0 x 1,
0 x 1,
0 x 1,
0y<3
0<y<1
1y<2
2y<3
x
figura 4.43

[ x + 1] [y] dA, si R = [1, 1] [0, 3].
es el del ejemplo anterior, con lo cual se conocen los valores de la parte

en el orden
entera. Hacemos la integracion

dy dx. Tenemos:
(
!
Z 1
Z
Z 1 Z 3
3, 0 x < 1
dx
[ x + 1][y] dy dx =
[ x + 1][y] dA =
0, 1 x < 0
1
1 0
R
Z 0
0 dx +
Z 1
0
3 dx = 3
Ejemplo 4.20.5. Escribimos el recinto R que se senala
como un recinto R x y como recinto Ry :

1. R es el recinto limitado por las rectas y = x, x = 0, y = 1.
La figura 4.44 muestra el recinto de integracion.

R x = {( x, y)/ 0 x 1, x y 1}
y
y
y=1
Ry = {( x, y)/ 0 y 1, 0 x y}
figura 4.44
x
2y
x=0
y=
figura 4.45
figura 4.46
que acotan x + y = 2, x2 + y2 2x = 0, x 0, y 0
2. R es la region
La figura 4.45 muestra el recinto de integracion
R x = {( x, y)/ 1 x 2, 2 x y 2x x2 }
p
Ry = {( x, y)/ 0 y 1, 2 y x 1 + 1 y2 }
que acotan y = x, x = 2y, x 0, y 0

3. R es la region
La figura 4.46 ilustra el recinto de integracion.

R x = {( x, y)/ 0 x 4,
x
y x}
2
Ry = {( x, y)/ 0 y 2, y2 x 2y}
|cos( x + y)| dA, si R = [0,] [0,].

277

coseno presenta cambio de signo a medida que x + y recorre desde 0 hasta 2. Se tiene:
La funcion
|cos( x + y)| =
cos( x + y), 0 x + y 2 , 3
2 y 2
cos( x + y), 2 x + y , x + y
3
2
Sea f ( x, y) = cos( x + y), entonces la integral se descompone como sigue

Z
| f | dx dy =
Z /2 Z /2 x
Z Z /2 x
/2 x
Z /2
0
f dy dx
f dy dx
(1 sen x )dx +
/2
dx +
Z /2 Z x
/2
/2 x
Z Z x
/2 0
Z /2
0
f dy dx
dx +
f dy dx +
/2
x+y = 0
Z Z
f dy dx
/2 3/2 x
sen x dx
Z /2
0
f dy dx
sen( x + ) dx
x+y =
(1 + sen( x + )) dx = 2
x+y =
Z /2 Z
x + y = 2
x+y = 2
x+y = 4
x+y =
3
2
x+y = 1
x+y = 0
x+y = 3
figura 4.47
figura 4.48
[ x + y] dA, si R = [0, 2] [0, 2].
maximo entero presenta cambio de valores a medida que x + y recorre desde 0 hasta 2.
La funcion
y se tiene que
La figura 4.48 muestra la situacion,
0,
1,
[ x + y] =
2,
3,
0
1
2
3
x+y
x+y
x+y
x+y
A partir de esto, la integral dada se descompone como sigue

278
<1
<2
<3
< 4i
[ x + y] dx dy =
Z 1 Z 1 x
0
= +
=
Z 1
0
0
1Z 2
0 dy dx +
2 x
dx +
2 dy dx +
Z 2
1
= 1+22+
Z
Z 1 Z 2 x
Z
1 dy dx +
1 x
2 Z 3 x
2 x
(2 x ) dx + 2
Z 2 Z 2 x
2 dy dx +
Z 1
0
x dx + 3
1
3
+1+2+ = 6
2
2
Z 2Z 2
1
2
3 x
1 dy dx +
3 dy dx
( x 1) dx
sen2 x sen2 y dA, si R = [0, ] [0, ].
es sencillo. Las funciones trigonometricas que estan al cuadraEn este caso, el recinto de integracion
do tienen una identidad conocida. Se tiene,

Z
Z
Z Z
1
2
2
2
2
2
( x sen 2x )sen y
dy
sen x sen y dy dx =
sen x sen y dA =
2 0
0
0
R
0
=
Ejemplo 4.20.9. Hallar I = 2
Z
0
Z x
Z 1
1/2 0
sen2 y dy =
y2
2
4
dy dx, en funcion de A y B, si A =
Determinar constantes m, n Z + , tales que I = mA nB + e1 e1/4
Z 1
0
t2
dt, B =
Z 1/2
0
et dt.
Z x
y2
1/2 0
Z 0 Z y
1/4
dy dx +
Z 1Z x
0
y2
Z 1Z 1
y2
dy dx
y2
I = 2
Z
(figura 4.49) nos ayuda en la determinacion

exacta de los lmites
Un esquema grafico de la situacion
de integracion.
y
= 2
e dx dy +
e dx dy
1/2 1/2
0
y
Z 0

Z 1
1
y2
y2
e (y + ) dy +
= 2
(1 y ) e
dy
2
1/2
0
= e
Z 1/2
0
21
1
2
x
figura 4.49
et dt + 2A
Para determinar las constantes m y n tenemos que, I = mA nB + e1 e1/4 = e1 e1/4 B +

2A, de lo cual n = 1, m = 2.
Ejemplo 4.20.10. Bosquejamos el recinto cartesiano dado S y lo escribimos en coordenadas polares.
1. S = {( x, y)/ x2 + y2 a2 , a > 0}
279

La figura 4.50 muestra el recinto en el plano xy, y sobre e l se ha sobrepuesto el plano polar.
Con esto logramos visualizar en forma rapida el movimiento del radio polar y del a ngulo. Se
tiene el siguiente recinto polar:
S = {(r, )/ 0 r a, 0 2 }
y
x 2 + y2 = a2
x2 + y2 = 2x
x
r
x
r
figura 4.50
figura 4.51
2. S = {( x, y)/ x2 + y2 2x }
en el plano polar,
La curva que acota el recinto (figura 4.51) es una circunferencia cuya ecuacion
se halla como sigue:
r2 = 2rcos = r (r 2cos ) = 0
de donde r = 0 r = 2cos . Luego
S = {(r, )/
r , 0 2cos }
2
2
Ejemplo 4.20.11. En los ejercicios siguientes transformamos a coordenadas polares y calculamos la integral:
1. A =
Z 2a Z 2ax x2
0
( x2 + y2 )dy dx
esta acotado por las curvas, x = 0,

Se lee de la integral dada
que, el recinto de integracion
de la
x = 2a, y = 0, y = 2ax x (figura 4.52). La ultima
de estas curvas es una porcion
2
2
2
es, ( x a) + y = a . En consecuencia
circunferencia de centro ( a, 0) y radio a. Su ecuacion
Z 2a Z 2ax x2
0
( x + y )dy dx =
Z /2 Z 2cos
0
r3 dr d =
3 4
a
4
x2 + y2 = 2ax
R
a
figura 4.52
280
2a
x
r
R
1
figura 4.53
x
r

2. A =
Z aZ xq
0
x2 + y2 dy dx
satisface que
La integral nos dice que el recinto de integracion
0 x a, 0 y x
Luego, la integral en coordenadas polares es
Z aZ xq
0
x2
+ y2 dy dx
Z /4 Z a/cos
0
1
r dr d =
3
2
Z /4
0
a3 sec d
a3
ln(1 + 2)
=
6
Ejemplo 4.20.12. Sea T (u, v) = (u + v, v u2 ) aplicacion del plano uv en el plano xy. Vamos a determinar:
El Jacobiano de T. La imagen del conjunto S por la transformacion T, esto es, T (S), siendo S el triangulo de
vertices (0, 0), (2, 0), (0, 2) en el plano uv. El a rea de T (S) mediante una integral doble en el plano xy, y por
una integral doble en el plano uv.
adecuada de los sistemas cartesianos ayuda basCuando de transformaciones se trata, la ubicacion
tante a la hora de saber cual es el Jacobiano que se necesita poner en la integral. Como siempre,
elegimos que el plano uv este a la izquierda y el xy a la derecha (figura 4.54)
T (S)
+
v
=
2
figura 4.54
y = x2
T nace del plano uv y llevara al conjunto S en otro conjunto que

Es evidente que la transformacion
denotamos T (S). El Jacobiano de T es

x x

1
u v 1

= 1 + 2u
J (T ) =
=

y y
2u 1

u v
281

La frontera de S se parametriza
1 ( t ) =
(0, t)
= T (1 (t)) =
(t, t)
= y = x
2
2 ( t ) =
(t, 0)
= T (2 (t)) =
(t, t )
= y = x2
2
3 (t) = (t, 2 t) = T (3 (t)) = (2, 2 t t ) =
x=2
en donde el parametro t es tal que 0 t 2. Luego, T (S) es como muestra la figura 4.16
Area en el plano xy
A[ T (S)] =
Area en el plano uv
A[ T (S)] =
Z 2Z x
x2
Z 2 Z 2 u
0
dy dx =
14
3
(1 + 2u) dv du =
14
3
x2 y2 dx dy, si R es el recinto que acotan en el primer cuadrante las curvas
xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x.
Metodo 1: Directo
de las cuatro curvas se encuentran resolviendo los sistemas
Los puntos de interseccion
{y = x, xy = 1},
{y = x, xy = 2},
Se obtiene
{y = 4x, xy = 1},

( 2, 2),
(1, 1),
1
( , 2),
2
{y = 4x, xy = 2}
2
, 2 2)
2
Si f ( x, y) = x2 y2 , entonces
f dA =
=
=
Z 2 Z y
1
1/y
Z 2 5
y
1
7
ln 2
3
f dx dy +
3
3y
Z 2 Z 2/y
dx +
2 1/y
Z 2
7
3y
f dx dy +
dy +
Z 22 Z 2/y
2
Z 22
2
y/4
f dx dy
y5
8
3y 192
dy
Metodo 2: Transformacion
que estamos considerando es T ( x, y) = ( xy, y)

La figura 4.55 muestra S y T (S). La transformacion
1
1
la cual se obtiene al considerar xy = u, y = v. Su Jacobiano es J ( T ) = y. Luego, J ( T 1 ) = = .
y
v
282
inversa de T, la que viene

Otra forma de obtener esteresultado es considerar la transformacion
u
, v . Para determinar el conjunto en el plano uv que por la transformacion

dada por T 1 (u, v) =
v
T corresponde al conjunto S del plano xy, tenemos dos formas; una parametrizando cada curva
frontera de S y enviandola por T al plano uv, o bien, lo que es mas sencillo, reemplazar directamente
en las curvas. Veamos ambas formas, dejando al lector la metodologa futura a emplear.
T (S)
u
v =
4u
y=4
xy = 2
xy = 1
figura 4.55
Parametrizacion
I
que se puede elegir es la siguiente
Una parametrizacion
1
1 1
1 (t) = (t, ), t 1 = T (1 (t)) = (1, ),
t 2
t
u = 1, v =
2
2
2
t 2 = T (2 (t)) = (2, ),
2 (t) = (t, ),
t
2
t
3 (t) = (t, 4t), 1 t
4 ( t ) = ( t2 , t ), 1 t
2 = T (3 (t)) = (4t2 , 4t),
2 = T (4 (t)) = (t2 , t),
1
t
u = 2, v =
2
t
v = u2
u = v2
Reemplazando
En lugar de parametrizar, se puede usar el hecho de que como xy = u, entonces en el plano uv se
tiene que u = 1 y u = 2 son las curvas frontera que acotan el recinto. Para transformar la recta y = x,
consideramos y = v, y que xy = u, con lo cual la dependencia entre u y v es v2 = u. De la misma
forma se encuentra que a la curva y = 4x corresponde v2 = 4u.
Parametrizacion
II
mas adecuada que la anterior, y que se obtiene de la forma del recinto de
Una parametrizacion
283

es considerar xy = u,
integracion
y
x
es
= v. Esta transformacion
y
T ( x, y) = ( xy, )
x
A partir de ella se obtiene el recinto {(u, v)/ 1 u 2, 1 v 4}, cuyo Jacobiano es

u u

x
x y y
2y
J ( T ) = v v = y 1 =
x

x2 x
x y
se concluye que
J ( T 1 ) =
1
x
=
2y
2v
grafica es mucho mas simple que la anterior (figura 4.56)

En este caso, la situacion
y
y=4
v
4
T (S)
1
1
xy = 2
xy = 1
figura 4.56
Vamos a calcular la integral dada mediante la primera de las transformaciones. Queda como ejercicio
restante.
el calculo por la transformacion
Z
u2
1
2 v2 dv du =
x y dx dy =
2
1 2v v
S
1
Z 2
1
7
=
u2 ln 4 du = ln 2
2 1
3
2
Z 2Z 4
1
Z 2Z 4 2
u
1
Ejemplo 4.20.14. Hallemos el a rea de las regiones acotadas que se indican:

R esta acotada por la parabola y2 = 2x y la recta y = x.
1. La region
siendo claro que
La figura 4.57 muestra el recinto de integracion,
A=
284
Z 2 Z x 2
0
dy dx =
Z 2Z y
0
y2 /2
dx dy =
2
3
dv du

y
2x
y=
r = 2(1 + sen )
figura 4.58
figura 4.57
2a
figura 4.59
R es interior a la cardiode r = 2(1 + sen ).

2. La region
El radio barre desde cero hasta la curva polar r = 2(1 + sen ), y que el a ngulo vara desde 0
hasta 2 (figura 4.58). En consecuencia
A=
Z 2
0
Z 2(1+sen )
0
dr d = 6
R es interior a la cardiode r = a(1 + cos ) y exterior al crculo r = a.

3. La region
En la figura 4.59 se observa que el radio barre desde a hasta la curva polar r = a(1 + cos ) y el
a ngulo vara desde - 2 hasta 2 . Luego
A=
Z /2 Z a(1+cos )
/2 a
r dr d =
a2
2
Z /2
/2
(2cos + cos2 ) d =
a2
( + 8)
4
Ejemplo 4.20.15. Calculemos el volumen de la region R = {( x, y, z)/ 4x2 + 9y2 36, x > 0, y > 0, z =
3x + y, z 0}.
4x2 + 9y2 = 36 representa un cilindro elptico, que crece en direccion
del eje
En el espacio la ecuacion
z. En la figura 4.60 se muestra la parte correspondiente al primer octante. El plano z = 3x + y, ademas
de pasar por el origen de coordenadas, en el primer octante para sobre la elipse 4x2 + 9y2 = 36. Esto
significa que este plano corresponde a la superficie que acota superiormente el recinto, ya que la
los consideramos
inferior es z = 0. Como vamos a usar una integral doble, los lmites de integracion
que delimita la elipse 4x2 + 9y2 = 36 y los ejes coordenados.
en el plano xy y corresponde a la region
Se tiene lo siguiente:
V=
de donde,
Z 3 Z 364x2 /3
0
(3x + y) dy dx =
Z 3 p
0
36 4x2
1
(36 4x2 )
+
18
3

1
1
2 3/2
3
V = (36 4x ) +
(108x 4x ) = 4 + 18 = 22
12
54
0
dx
285

z
x2 + y2 = 16
z = 3x + y
4x2 + 9y2 = 36
2
10
y
figura 4.60
y
2x + y + z = 20
figura 4.61
Ejemplo 4.20.16. Hallemos volumen que acota R = {( x, y, z)/ x2 + y2 16, 2x + y + z = 20, z 0}.
y
En la figura 4.61 hay una idea de como van

x2 + y2 = 16
situados el plano y el cilindro. Es claro que
el plano corta al cilindro y lo cubre superiorx
en coordenadas cartemente. Una integracion
4
sianas debe considerar 4 volumenes

V1 , V2 , V3 ,
V4 , ya que no es posible calcular V1 por ejemplo,
figura 4.62
y luego multiplicar por 4, pues el plano al crecer
genera volumenes
distintos sobre cada octante.
El calculo en coordenadas polares es mas sencillo, ello se debe a que el cilindro proporciona los
(figura 4.62). Si x = r cos , y = r sen , entonces su jacobiano es
lmites laterales de integracion
J (r, ) = r, y se tiene
V=
Z 4 Z 2
0
(20 2r cos r sen ) r d dr = 320
Ejemplo 4.20.17. Calculemos el volumen que acotan las superficies z = 0, x2 + y2 = 1, x + y + z = 3.
La superficie z = 0 corresponde al plano xy. El cilindro x2 + y2 = 1, centrado en el origen, es

del eje z. El plano x + y + z = 3 corta a los ejes coordenados en los
de radio 1 y sigue la direccion
puntos (0, 0, 3), (3, 0, 0), (0, 3, 0). La grafica de esta superficie se muestra en la figura 4.63. El volumen
viene dado por
V=
286
Z 1 Z 1 x 2
(3
1 1 x 2
x y) dy dx = 3

z
x 2 + y2 = 1
z = xy
( x 1)2 + ( y 1)2 = 1
3
x
x+y+z = 3
figura 4.63
figura 4.64
Ejemplo 4.20.18. Hallemos volumen acotado por las superficies ( x 1)2 + (y 1)2 = 1, xy = z, z = 0.
La figura 4.64 muestra el solido

al cual se determina el
volumen. El cilindro pone los lmites laterales y la superficie z = xy (parecida a la silla de montar) pone la
tapa superior al recinto que calculamos su volumen.
Para simplificar los calculos, nos vamos a coordenadas polares. La figura 4.65 muestra el recinto de inte en el plano. La sustitucion
adecuada es
gracion
y
( x 1)2 + ( y 1)2 = 1
R
b
figura 4.65
x 1 = r cos , y 1 = r sen
al origen de coordenadas.
cuyo Jacobiano es r. Es conocido que esto conlleva un proceso de traslacion
Con esto,
V=
xy dy dx =
Z 1 Z 2
0
(1 + r cos )(1 + r sen ) r d dr =
Al integrar, primero respecto de , las integrales que contienen seno y coseno se anulan.
Ejemplo 4.20.19. Hallemos volumen acotado por las superficies z = 0, x2 + y2 2ax = 0, x2 + y2 = z2 .
Si usamos coordenadas polares debemos escribir las curvas que acotan el solido
en esas coordenadas.
La curva x2 + y2 - 2ax = 0 en el plano xy es una circunferencia de centro ( a, 0) y radio a, la que en
r = 2acos . En el espacio x2 + y2 = z2 es un cono de ecuacion
coordenadas polares tiene ecuacion

polar z = r. La figura 4.66 da una idea del recinto que queda sobre el plano z = 0 y que encierra
lateralmente el cilindro. La tapa inferior la pone z = 0 y la superior el cono. dado que el jacobiano
es J = r, y el a ngulo recorre desde 0 hasta 2 , entonces
V=2
Z /2 Z 2acos
0
r2 drd =
16a3
3
Z /2
0
cos3 d =
32a3
9
287

z
x 2 + y2 = z2
y=x
y = x3
x
1
2
x2 + y2 = 2ax
figura 4.67
figura 4.66
Ejemplo 4.20.20. Al calcular, por doble integracion, el volumen V limitado superiormente por una superficie
z = f ( x, y) e inferiormente por una region S del plano xy, se ha llegado a la siguiente suma de integrales
V=
Z 2 Z x3
1
f ( x, y) dy dx +
Z 3Z 8
2
f ( x, y) dy dx
Dibujar la region S y expresar el volumen V mediante una integral iterada con el orden de integracion inverx
tido. Calcular V si f ( x, y) = .
y
en el plano xy. La integral iterada que proporciona
La figura 4.67 muestra el recinto de integracion
el volumen V, es
y

Z 8Z y
Z
Z
1 8
27
1
1 8 x2
x
dy =
V=
y 1/3 dy =
dx dy =

1/3
y
2 1 y y1/3
2 1
2
y
1
y
Ejemplo 4.20.21. Calculemos el volumen acotado por las superficies x2 + y2 = 2ax, z = 0, x2 + y2 = az.
La figura 4.68 muestra el cilindro y el paraboloide. Al considerar coordenadas polares:

1
V=
a
z
Z /2 Z 2acos
/2 0
r dr d = 4a
Z /2
/2
cos4 d =
3a3
2
z
x2 + y2 = az
x 2 + y2 + z2 = a2
2
x
288
x2 + y2 = 2ax
figura 4.68
figura 4.69

Ejemplo 4.20.22. Hallemos el volumen del recinto interior al cilindro ( x2 + y2 )2 = a2 ( x2 y2 ) y a la esfera
x2 + y2 + z2 = a2 , z 0.
polar r2 = a2 cos 2. La figura 4.69 muestra el
El cilindro ( especie de lemniscatta) tiene ecuacion
cilindro y la esfera. Se tiene
V=4
Z /4 Z acos 2 p
0
a2 r2 r dr d =
Z
8 /4
8a3
3
( a2 r2 )3/2
Z /4
0
acos 2

d

0
(1 cos 2 )
3/2
1 d
1
(1 cos 2 ), entonces
2

Z /4
Z /4
8a3
8a3
3
2 3/2
3/2
sen d
(2 sen ) d =
V=
2
3
4
3
4
0
0

/4

2a3
1 3
a3
3/2
=
2 (cos + cos
3 + 20 16 2
=
3
4
3
18
0
Dado que sen2 =
Ejemplo 4.20.23. Hallemos volumen acotado por el cilindro x2 + y2 = 16 y los planos z = 4x, z 0.
sobre el recinto al que calculamos su volumen. La porcion
La figura 4.70 proporciona informacion

de volumen del primer octante es equivalente a la del cuarto. El plano z = 4x es la tapa superior del
Por tanto,
recinto, y el cilindro aporta los lmites de integracion.
V=2
Z 4 Z 16 x2
0
4x dy dx = 8
Z 4
0
16 x2 dx =
512
3
x2 + y2 = 16
z = x 2 y2
z = 4x
1
y
x
figura 4.70
figura 4.71
289

Ejemplo 4.20.24. Hallemos volumen del recinto acotado por la superficie z = x2 y2 , z 0 y los planos
x = 1, x = 3
=
y
b
x
b
(1, 1)
figura 4.72
x
(1, 1)
Z 3Z x
(3, 3)
b
V=2
En la figura 4.71 tenemos un bosquejo de

grafica. La superficie es la silla situacion
la de montar y ella sirve de tapa para el
se
recinto, luego, los lmites de integracion
obtienen de las demas hipotesis.

La figura 4.72 muestra el recinto en el plano. La
traza de la silla en el plano xy se obtiene
de x2 y2 = 0, de lo cual y = x. Esto hace que existen dos porciones equivalentes, ubicadas en el primer y cuarto cuadrante. Por tanto, el valor de la integral
lo encontraremos multiplicando la primera
por 2. Tenemos que,
porcion
( x2 y2 ) dy dx = 2
Z 3
1
( x3
(3, 3)
x3
80
) dx =
3
3
Ejemplo 4.20.25. Hallemos volumen, en el primer octante, acotado por x + z2 = 1, x = y, x = y2 .

Mirando la figura 4.73, se observa que el cilindro z2 = 1 x pone la tapa superior y que los lmites
se obtiene en el plano xy del recinto que acotan y = x y x = y2 . Se sigue que el
de integracion
volumen es
Z 1
Z 1 Z x
4
1 x dy dx =
( x x ) 1 x dx =
V=
8
15
x
0
0
z
z2 = 1 x
y
y=
400 25x2
x = y2
figura 4.73
x
figura 4.74
y=x
Ejemplo 4.20.26. Hallemos centro de masa de la region que acota la curva y =

y = 0.
290
400 25x2 y la recta

por tanto, x = 0. Ahora calculamos
Se observa de la figura 4.74 que el eje y es de simetra de la region,
y el Mx para dar respuesta al problema.
el a rea de la region
A( R) =
Z 4 Z 516 x2
4 0
dy dx = 10
Z 4p
0
16 x2 dx
Esta integral se calcula con x = 4sen , ya que entonces dx = 4cos d, con 0

A( R) = 10
Mx =
En consecuencia, (0,
Z /2
0
2.
Luego
16 cos2 d = 40
Z 4 Z 516 x2
4 0
25
y dy dx =
2
Z 4
(16 x2 ) dx =
256
3
32
) es el centro de masa.
15
1
Ejemplo 4.20.27. Hallemos centro de masa de la region que acota x 2 + y 2 = a 2 en el primer cuadrante.
Para el centro de masa se necesitan los momentos respecto de
En la figura 4.75 se muestra la region.
los ejes coordenados y el a rea de la region.
Luego; x =
a
5
A( R) =
Z a Z ( a x )2
My =
Z a Z ( a x )2
x dy dx =
Z a
Mx =
Z a Z ( a x )2
y dy dx =
a3
30
dy dx =
a2
6

a3
x ( a + x 2 a x ) dx =
30
=y
y
y
y=x
x2 + y2 = a2
x
figura 4.75
y = 2x x2
1
figura 4.76
291

Ejemplo 4.20.28. Hallemos los momentos de inercia con respecto a cada uno de los ejes coordenados de la
region R = {( x, y)/ y = 2x x2 , y = x }
La figura 4.76 permite observar que las integrales que definen los momentos de inercia son:
Ix =
Iy =
Z 1 Z 2x x2
x
Z 1 Z 2x x2
x
1
y dy dx =
3
2
x2 dy dx =
Z 1
0
Z 1
0
(8x3 12x4 + 6x5 x6 x3 ) dx =
x2 ( x x2 ) dx =
29
420
1
20
Ejemplo 4.20.29. Sea R la region acotada por las curvas y = x2 , y2 = x. Calculemos IL si L es la recta
y = 3.
y el punto
Sea ~n = (0, 1) vector normal a la recta. Elegimos un punto ( x, y) cualquiera sobre la region
(0, 3) sobre la recta dada, entonces
comp~n ( x x0 ) =
De esta manera,
IL =
Z 1 Z x
0
x2
~n ( x x0 )
= y+3
||~n||
(y + 3)2 dy dx =
233
56
y
y = x2
y = x2
x
+
y
(0, 3)
y2 = x
y2 = x
~n
x
figura 4.77
1
b
y = 3
x
figura 4.78
(0, 5)
Ejemplo 4.20.30. Si R es la region acotada por y = x2 , y2 = x, hallemos IL , con L la recta x + y + 5 = 0.

En la
De la recta x + y + 5 = 0 se deduce que ~n = (1, 1) es un vector normal y apunta hacia la region.
elegimos un punto de la forma ( x, y) arbitrario. En la recta dada escojemos el punto (0, 5).
region,
De esta forma, la componente es
comp~n ( x x0 ) =
Luego,
1
IL =
2
292
Z 1 Z x
0
x2
~n ( x x0 )
x+y+5
=
||~n||
2
( x + y + 5)2 dy dx =
2451
420

Ejemplo 4.20.31. Calculemos los momentos que se indican para la region R que acotan y = x2 e y2 = x.
1. ML si L es la recta y = 1.
La figura 4.79 sirve como modelo para establecer las hipotesis

requeridas por cada problema.
Un vevtor normal a la recta y = 1 es ~n = (0, 1). Como siempre, ( x, y) representa un punto
y elegimos (0, 1) como punto sobre la recta dada, entonces
arbitrario en la region,
comp~n ( x x0 ) =
Luego
1
ML =
2
~n ( x x0 )
= 1y
||~n||
Z 1 Z x
0
x2
(1 y) dy dx =
11
60
y
y = x2
y = x2
x
+
=
0
~n
y=1
b
(0, 1)
y2 = x
~n
y2
=x
x
figura 4.79
(0, 0)
x
figura 4.80
2. ML si L es la recta x + y = 0.
La figura 4.80 ilustra este caso. Se considera ~n = (1, 1) como vector normal a la recta, ( x, y) un
y (0, 0) un punto sobre la recta dada, entonces
punto arbitrario en la region,
comp~n ( x x0 ) =
Luego
1
ML =
2
~n ( x x0 )
x+y
=
||~n||
2
Z 1 Z x
0
x2
3 2
( x + y) dy dx =
20
Ejemplo 4.20.32. Sea R la region limitada por las parabolas y = x2 , x = y2 (Figura 4.80). La figura 4.81
muestra la regicon rotando sobre diversas rectas L. Verificar que el resultado en cada caso es el que se indica:
293
(a)
(e)
(b)
(c)
(d)
figura 4.81
1. L es el eje x. Figura 4.81(a)

V = 2
Z 1 Z x
x2
y dy dx =
3
10
2. L es la recta x = 1. Figura 4.81(b)

Z 1 Z x
V = 2
3. L es la recta y = 2. Figura 4.81(c)
x2
| x 1| dy dx =
Resp. V =
4. L es la recta x = 3. Figura 4.81(d)
31
10
Resp. V =
5. L es la recta x + y = 0. Figura 4.81(e). Resp V =

y = 0 y la superficie z = xy.
11
30
23
10
3 2
10 .
x y2 z3 dV, con S el solido que acotan los planos y = x, x = 1, z = 0,
La superficie z = xy pasa sobre el recinto y sirve de tapa superior (figura 4.82), siendo la inferior
los hallamos en el plano xy (figura 4.83). De esta forma tenemos el
z = 0. Los lmites de integracion
siguiente recinto
R = {0 x 1, 0 y x, 0 z xy}
Luego,
Z
2 3
x y z dV =
=
294
Z 1 Z x Z xy
0
1
28
Z 1
0
1
x y z dz dy dx =
4
2 3
x 2 dx =
1
364
Z 1Z x
0
x2 y6 dy dx

z
y
z = xy
1
x
x=1
y
figura 4.82
figura 4.83
y=x
(1 + x + y + z)3 dV, si S es el solido que acotan, en el primer octante, los
planos coordenados y el plano x + y + z = 1.
La figura 4.84 muestra el tetraedro que se

forma en el primer octante. El acotamiento lateral lo vamos a encontrar en el plano
xy. El acotamiento inferior y superior en di del eje z. Se tiene el recinto de intereccion
gracion
x+y+z = 1
R = {0 x 1, 0 y 1 x, 0 z 1 x y}
Luego,
Z
(1 + x + y + z)3 dV =
Z
S
Z 1 Z 1 x Z 1 x y
0
1
=
2
Z 1 Z 1 x
1
1
=
2
Z 1
1x
2
x 2 y2 z
+ 2+ 2
a2
b
c
y
figura 4.84
(1 + x + y + z)3 dz dy dx
(1 + x + y )
1
1
+
2 1+x
dy dx
dx =
5
1
ln 2
2
16
x 2 y2 z2
dV, si S es el solido 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
es un elipsoide de semiejes a, b, c. El calculo en coordenadas cartesianas es

largo y complicado. Preferimos un cambio de variables de la forma:
x = a r cos sen ,
y = b r sen sen ,
z = c r cos
295

El Jacobiano es J = abc r sen . En consecuencia
y2 z2
+
+ 2
a2
b2
c
Z 2
x
S
dV =
Z 1 Z 2 Z
0
1
= 4abc
abcr sen d d dr = 2abc
r4 dr =
4
abc
5
Z 1 Z 2
0
r4 d dr
Ejemplo 4.20.36. Hallemos, por integral triple, el volumen del solido acotado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 .
Escribimos la integral en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfericas.
Coordenadas cilndricas
es la circunferencia x2 + y2 = a.
En este caso, con z = 0 obtenemos que el recinto plano de integracion
Por tanto,
x = r cos , y = r sen , z = z = J (r, , z) = r
Es claro que el a ngulo vara entre 0 y 2, que el radio r barre desde0 hasta a y que el acotamiento
inferior y superior, que corresponde a la variable z, es desde 0 hasta a2 r2 . Luego, considerando
volumenes
equivalentes en los 8 octantes, tenemos:
Z
dx dy dz = 8
= 8
8
=
3
Z /2 Z a Z a2 r2
0
Z /2 Z a p
0
Z /2
0
r dz dr d
a2 r2 dr d
a3 d =
4a3
3
Coordenadas cartesianas
de las variables x e y es la cuarta parte
Al considerar el primer octante, el recinto R de integracion
de la circunferencia x2 + y2 = a2 . Esto es,
p
R = {( x, y)/ 0 x a, 0 y a2 x2 }
Por lo tanto,
V=8
dx dy dz = 8
Z a Z a x 2 Z a2 x 2 y2
0
dz dy dx =
4a3
3
Coordenadas esfericas
Lo mas claro es que el radio r vara de 0 hasta a (se mide desde el origen hasta la cascara de la esfera).
Para determinar el a ngulo (el mismo de las polares) se tiene en cuenta el Ecuador de la esfera, lo
que significa que 0 2. finalmente, el a ngulo considera la medida desde el polo norte al
polo sur, esto es, 0 . En consecuencia,
Z
296
dx dy dz =
Z a Z 2 Z
0
r2 sen d d dr =
4a3
3

Ejemplo 4.20.37. Hallemos el volumen que queda entre dos esferas concentricas de radios a y b.
Suponemos 0 < a < b, y usamos coordenadas esfericas para calcular el volumen (Figura 4.85).
Z
dx dy dz = 8
= 8
Z b Z /2 Z /2
a
Z b Z /2
= 4
r2 d dr
Z b
r2 dr =
r2 sen d dr d
4 3
( b a3 )
3
x 2 + y2 + z2 = b2
x2 + y2 = 3z
r=a
x 2 + y2 + z2 = 4
y
y
figura 4.86
figura 4.85
x
r=b
Ejemplo 4.20.38. Calculemos el volumen del cuerpo limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 9, y el paraboloide
x2 + y2 = 8z
En la figura 4.86 se ve que la esfera es la tapa superior del recinto y que el paraboloide es la inferior.
de ambas superficie nos proporcionara el recinto de intregracion
para las variables x
la interseccion
e y.
(
x 2 + y2 + z2 = 9
= z2 + 8z 9 = 0
x2 + y2 = 8z
Por tanto, a esa altura (z = 1) se genera una

de lo cual, (z 1)(z + 9) = 0 = z = 1 unica
solucion.
circunferencia
x 2 + y2 = 8
En polares se tiene que
que es nuestro recinto de integracion.
x = r cos ,
y = r sen = 0 2,
0r2 2
Ahora, establecemos la integral que entrega el volumen en cilndricas.

297
V =
=
=
Z 22 Z 2 Z 9r2
Z 2
0
r2 /8
r dz d dr =
1
r4
(9 r2 )3/2
3
32
40
3
Z 2 Z 22 p
22
d =
Z 2
20
r2
2
9r
8
r dr d
Ejemplo 4.20.39. Hallemos el volumen del recinto que es exterior a la hoja superior del cono z2 = x2 + y2 e
interior al cilindro x2 + y2 = 1, con z 0.
Mirando la figura 4.87, se observa que el cono pone la tapa superior y que los lmites de integracion
se obtiene en el plano xy del recinto que acota el cilindro. Las coordenadas cilindricas facilitan los
calculos. El recinto del plano xy es
R = {(r, )/ 0 2,
0 r 1}
El volumen tiene su equivalente integral:

V=
Z 1 Z 2 Z r
0
r dz d dr = 2
Z 1
0
r2 dr =
2
3
9x2 + 4y2 = 36
z z2 = x 2 + y2
z
9x + 4y 6z = 0
y
figura 4.87
x
y
x
figura 4.88
x 2 + y2 = 1
Ejemplo 4.20.40. Hallemos volumen del solido que se encuentra en el primer octante acotado por la superficie
9x2 + 4y2 = 36 y el plano 9x + 4y 6z = 0.
En la figura 4.88 se ve que el plano acota superiormente y que el cilindro aporta los lmites laterales.
En cilindricas se tiene el recinto
R = {(r, , z)/ 0
298
,
2
0 r 1,
0z
1
(18rcos + 12r sen ) = A}
6

Cabe indicar que hicimos
x = 2rcos ,
Tenemos:
V=
Z 1Z
0
Z A
0
y = 3rsen = J (r, ) = 6r
6r dz d dr =
Z 1Z
0
r (18rcos + 12r sen ) d dr
Al integrar respecto de
V=
Z 1
0
18r sen 12r cos
2
dr =
Z 1
0
30r2 dr = 10
Ejemplo 4.20.41. Hallemos volumen del solido interior a la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y al cilindro x2 + y2 =

2y.
Para situarse en la hipotesis

del problema, la figura 4.89 nos sirve de ayuda. La esfera pone la tapa
para las variables x e y. En coordesuperior al recinto y el cilindro entrega los lmites de integracion
nadas cartesianas el recinto es
q
p
p
2
2
{( x, y, z)/ 1 x 1, 1 1 x y 1 + 1 x , 0 z 4 x2 y2 }
Nos cambiamos a polares
x = r cos ,
y = r sen = J (r, )) = r
Esto es mas sencillo que haber considerado polares modificadas, esto es

x = r cos ,
y=
1
+ r sen = J (r, )) = r
2
de la esfera en coordenadas cilindricas, con polares tradicionales, es z2 + r2 = 4. Por lo

La ecuacion
tanto, el recinto tiene la forma
p
{(r, , z)/ 0 r 2sen , 0 , 0 z 4 r2 }
Por simetra del recinto consideramos 2 veces 0
V=2
Z /2 Z 2sen Z 4r2
0
2.
r dz d dr = 2
Luego,
Z /2 Z 2sen p
0
4 r2 d dr
La ultima
es directa, de modo que
16
V=
3
16
1 cos d dr =
3
3
2
3
8 32
3
9
299

y
z
x2 + y2 = 2y
r = 2sen
b
y
x 2 + y2 + z2 = 4
figura 4.89
figura 4.90
Ejemplo 4.20.42. Hallemos el volumen dentro del cono z =
x2 + y2 y bajo el plano z = 4
En la figura 4.91 se muestran el cono y el plano. Es claro que este plano es la tapa superior y el cono
debemos intersectar el plano y el cono para conocer
la inferior. Para saber los lmites de integracion
se halla
el maximo conjunto en el cual se mueven las variables x e y. Al efectuar la interseccion
x2 + y2 16
Pasando a coordenadas polares, x = r cos , r = r sen , se tiene el recinto
{(r, , z)/ 0 r 4, 0 2, r z 4}
Por tanto,
V=4
Z /2 Z 4 Z 4
0
r dz d dr =
Z /2 Z 4
0
r (4 r ) dr d = 4
Z /2
0
Despues de evaluar
V = 4
16
64
=
3
3
Para quienes son fanaticos de las coordenadas esfericas, el volumen es
V=
300
Z 2 Z
0
Z 4/cos
0
r2 sen dr d d =
64
3
r3
2r
3
2
4
0

z
z
z=4
z2 = x 2 + y2
z = 2x2 + y2
z = 4 y2
y
figura 4.91
figura 4.92
Ejemplo 4.20.43. Hallemos el volumen limitado por z = 2x2 + y2 , z = 4 y2 .

El recinto que se obtiene al dibujar el paraboloide z = 2x2 + y2 y el cilindro z = 4 y2 es el que se
muestra en la figura 4.92. Es claro que el cilindro pone la tapa superior y el paraboloide la inferior.
se encuentran despues de intersectar ambas superficies.
Los lmites de integracion
(
z = 2x2 + y2
= x2 + y2 = 2
z = 4 y2
es el disco de ecuacion
x2 + y2 2. Pasando a cilndricas se tiene
Luego, el recinto de integracion
V=
Z 2 Z 2 Z 4r2 sen2
0
r2 (1+cos2 )
r dz d dr =
Z 2 Z 2
0
r (4 2r2 ) d dr = 4
Ejemplo 4.20.44. Hallar el volumen de la region definida por las desigualdades x2 + y2 2x 0, 0 z

x2 .
Estamos en presencia de dos cilindros; uno de ellos x2 + y2 2x = 0 rectilneo y con centro en (1, 0, 0)
que pone los lmites laterales, y el otro z = x2 parabolico

que sirve de tapa superior del recinto. El
volumen que vamos a calcular se representa en la figura 4.93.
Tomamos cordenadas polares centradas en (0, 0), el cambio es
x = rcos ,
y = rsen ,
z = z = J (r, , z) = r
Se observa que tenemos dos recintos de volLa figura 4.94 muestra el recinto plano de integracion.
los consideramos como sigue:
umenes equivalentes, por ello, los lmites de integracion
{(r, , z)/ 0
, 0 r rcos , 0 z r2 cos2 }
2
con lo cual,
V=2
Z 2cos Z r2 cos2
0
r dz dr d = 2
Z 2cos
0
r cos dr d = 2
2cos
r4
cos2 d

4 0
301

Lo que equivale a tener
V=8
cos6 d = 8
5
1 5
=
8 4
4
z
y
z = x2
r
r = 2cos
x
b
x2 + y2 2x = 0
y
figura 4.93
ZZZ
figura 4.94
z dV sobre el recinto R limitado por abajo por la hoja superior del cono
z2 = x2 + y2 y por arriba por la esfera x2 + y2 + z2 = 9.
de ambas superficies da como resulEl recinto R aparece dibujado en la figura 4.95. La interseccion
3
2
2
es x + y = 92 . Calcularemos todo en coordenadas
tado z = , de lo cual, la curva de interseccion
2
esfericas
R = {(r, , )/ 0 r 3, 0 2,
}
4
2
de lo cual
ZZZ
z dV =
Z 3 Z 2 Z
0
r sen r2 cos d d dr =
81
8
es
Para los amantes de las cilndricas, su expresion
ZZZ
302
z dV =
Z 3/2 Z 2 Z 9r2
0
z r dz d dr =
81
8

z
y
z2 = x 2 + y2
r
r=
b
y
figura 4.95
x 2 + y2 + z2 = 8
3
2
figura 4.96
Ejemplo 4.20.46. Calculemos el volumen limitado por el cono de ecuacion x2 + y2 = z2 , z 0 y el plano

z = 3.
Lo primero es graficar el cono y el plano ( figura 4.97) para visualizar correctamente los lmites de
Se observa que el plano z = 5 es la tapa superior y el cono la inferior. La interseccion
integracion.
2
2
de estos proporciona el recinto en que se mueven las variables x e y. Se obtiene x + y = 9. En
coordenadas cilndricas
{(r, , z)/ 0 r 3, 0 2, r z 3}
Con lo cual el volumen se representa como
V=
Z 3 Z 2 Z 3
0
rdz d dr = 9
z
z=3
x 2 + y2 = z2
x 2 + y2 = z2
z = 2 x 2 + y2
y
figura 4.97
y
figura 4.98
Ejemplo 4.20.47. Hallemos el volumen limitado por las superficies z = x2 + y2 y z = 2 x2 y2 .

303

El primer paraboloide pone la tapa inferior
Aqu la figura 4.98 es nuestro bosquejo de la situacion.
de ambos entrega el recinto del plano en que se mueven
y el segundo la superior. La interseccion
es x2 + y2 = 1. Por tanto, el recinto es el interior a esta
las variables x e y. La curva de interseccion
circunferencia. Las coordenadas cilndricas permiten escribir el recinto como
{(r, , z)/ 0 r 1, 0 2, r2 z 2 r2 }
Con lo cual el volumen es
V=
Z 1 Z 2 Z 2r2
0
r2
r dz d dr =
Ejemplo 4.20.48. Hallemos el volumen del cuerpo definido por {( x, y, z)/ 0 z

2
x2
4
y2
9
1}.
y2
y2
La superficie z = x4 + 9 es un paraboloide elptico y x4 + 9 =

Aqu la figura 4.99 ilustra la situacion.
de
1 un cilindro recto. El paraboloide pone la tapa inferior y el cilindro los laterales. La interseccion
ambos entrega el recinto del plano en que se mueven las variables x e y. Al intersectalas se halla
2
y2
es x4 + 9 = 1. Por tanto, el recinto es el interior a esta

z = 1, con lo cual, la curva de interseccion
elipse. Usemos coordenadas cilndricas modificadas
x = 2rcos ,
y = 3rsen ,
z = z = J (r, , z) = 6r
Por lo tanto,
{(r, , z)/ 0 r 1, 0 2, 0 z r2 }
Con lo cual el volumen es
V=
Z 1 Z 2 Z r2
0
6r dz d dr = 3
z
z=
x2
4
y2
9
x 2 + y2 + 1 = z2
x2
4
y2
9
=1
x 2 + y2 + z2 = 9
y
figura 4.99
y
figura 4.100
Ejemplo 4.20.49. Calculemos la masa del solido limitado por la hoja superior del hiperboloide de dos hojas
x2 + y2 z2 + 1 = 0 y la esfera x2 + y2 + z2 = 9, y cuya densidad en cada punto es ( x, y, z) = z2 .
304

Al mirar la figura 4.100 se observa que la esfera pone la tapa superior al recinto y que la hoja superior
de ambas superficie es la curva x2 + y2 = 4. Por tanto,
del hiperboloide la inferior. La interseccion
del plano xy es el disco x2 + y2 4. En coordenadas cilndricas la integral
el recinto de integracion
que proporciona la masa es
M=4
Z 2 Z 9r 2
1+r 2
r z2 dz dr d =
4
(122 25 5)
15
Ejemplo 4.20.50. Hallemos el volumen del solido acotado por los planos y = 0, z = 0, y las superficies
y2 = x x2 y z2 = 4x.
El cilindro z2 = 4x es la tapa superior del recinto y el cilindro pone los lmites laterales. La figura
4.101 muestra esto. En coordenadas cilndricas la integral de volumen es
V=
Z cos Z 2rcos
0
r dz dr d =
8
15
la parte del primer octante.

Hay que tener presente que es solo
z
( x a )2 + ( y a )2 + ( z a )2 = a2
x 2 + y2 = x
z2 = 4x
b
y
figura 4.101
y
figura 4.102
Ejemplo 4.20.51. Hallar la masa de la esfera ( x a)2 + (y a)2 + (z a)2 = a2 , si la densidad en cada
punto de la esfera es igual a la suma de los cubos de sus coordenadas.
mirar la ecuacion
de la esfera dan ganas de hacer una traslacion
Con solo
x a = u,
y a = v,
za = w
Ahora tenemos la esfera centrada en el sistema u, v, w.

M=
ZZZ
( x + y + z ) dV =
ZZZ
[( a + u)3 + (v + a)3 + ( a + w)3 ] dV
Nos vamos a esfericas

u = r cos sen ,
v = r sen sen ,
w = rcos
305

Como J (r, , ) = r2 sen , entonces
M=
Z Z a Z 2
0
[3a3 + 3a2 (u + v + w) + 3a(u2 + v2 + w2 ) + u3 + v3 + w3 ]r2 sen d dr d
Algunas integrales de seno y coseno se anulan despues de integrar respecto de , de modo que
M=
Z a
0
(12a3 r2 + 12ar4 ) dr =
32 6
a
5
Ejemplo 4.20.52. Hallemos el volumen que encierran los cilindros z2 = y, y2 = x, z2 = 2y, y2 = 2x, x2 =
z, x2 = 2z
Los seis cilindros, al mismo tiempo, dan un susto terrible. Pero aqu es donde entra todo el cuento de
saber si tenemos la pelcula clara. Por supuesto que se puede hacer as como esta dado el problema,
adecuada
pero un cambio de variables es mejor. Mirando los cilindros se ve que la transformacion
es
2 2 2
z y x
T ( x, y, z) =
, ,
= (u, v, w)
y x z
su Jacobiano es

0

2
J = y2
2xx

yz2
2y
x

0 = 7
2
x2
2z
y
que
Como este Jacobiano deber estar en valor absoluto, entonces | J | = 7. Pero, la transformacion
hicimos nace del plano xyz, que es el plano donde la cosa estaba difcil, luego, el Jacobiano que se
necesita es | J 1 | = 17 . En consecuencia,
V=
1
7
Z 2Z 2Z 2
1
dw dv du =
1
7
hace que
Dibujar el recinto que encierran los seis cilindros es tarea titanica. Pero la transformacion
el recinto que ellos acotan se transforme en un cubo (figura 4.104) es
z2
z2
y2
y2
x2
x2
= 1,
= 2,
= 1,
= 2,
= 1,
=2
y
y
x
x
z
z
306
z2 = x
z2
[1, 2] [1, 2] [1, 2]

= 2y
z2 = y
z2 = 2x
y
x
y2 = x
y2 = 2x
figura 4.103
Ejemplo 4.20.53. Escribimos en cilndricas
figura 4.104
Z 1 Z 1 x 2 Z 1+ x + y
0
( x2 + y2 ) dz dy dx
en los lmites de integracion

de cada
En esta clase de problemas debemos fijar nuestra atencion
variable y hacer un bosquejo del recinto. Podemos particionar el problema mirando primero los
(z va primero de acuerdo al
lmites del recinto plano xy, que son las variables finales de integracion
orden
entregado). Tenemos:
p
{( x, y)/ 0 x 1, 0 y 1 x2 }
Su grafica se ve en la figura 4.105. Ademas, la variable z tiene al plano xy como tapa inferior del
recinto y al plano z = 1 + x + y como tapa superior. En cilndricas se tiene:
Z 1 Z 1 x 2 Z 1+ x + y
0
( x + y ) dz dy dx =
Z 1 Z 1+rcos +rsen
0
r3 dz dr d
y
r
z = 1+x+y
1
y=
1 x2
x
r
x
figura 4.105
z=
4 x2
figura 4.106
Ejemplo
4.20.54. Escribir en coordenadas esfericas
la region que, en el primer octante, acota la superficie
2
2
y = 4 x z entre los planos y = x e y = x 3.
307

Lo primero es hacer un buen bosquejo del recinto (figura 4.107). Se trata de una esfera cortada por
dos planos. La esfera pone la tapa superior y el plano z = 0 la inferior. la figura 4.108 muestra el
plano xy donde esta el movimiento de las variables x e y. El recinto en esfericas es

}
{(r, , )/ 0 r 2, 0 ,
4
3
La figura 4.108 muestra el movimiento del a ngulo . El movimiento del radio en las esfericas se inicia
en el origen y llega a la superficie que acota superiormente, en este caso, desde 0 hasta el radio de la
esfera r = 2. El movimiento del a ngulo se mide desde el polo norte a la base z = 0, es decir, desde
0 hasta 2 .
z
(1,
x2
z2
3)
1
b

( 2, 2)
b
y=
y=
x
3
x
r
x
y=x
y=x 3
figura 4.108
figura 4.107
sen( x + y z)
dV, si el recinto R es el siguiente
x + 2y + z
R
R = {( x, y, z)/ 1 x + 2y + z 2, 0 x + y z , 0 z 1}
4
para darse cuenta que tenemos

Es suficiente con mirar el integrando o bien el recinto de integracion
adecuada. Se tiene
que hacer un cambio de variables, lo que equivale a definir una transformacion
u = x + 2y + z,
Su Jacobiano es
v = x + y z,
z=z

1 2 1

J (u, v, z) = 1 1 1 = 1
0 0 1
Como en la integral el Jacobiano va en valor absoluto, entonces

Z
sen( x + y z)
dV =
x + 2y + z
Al integrar se llega a
Z 2Z
1
308
Z 1
sen v
0
Z 2Z
1
Z 1
sen v
0
dz dv du = (1
dz dv du
1
2) ln 2
2
4.21 Problemas propuestos
4.21.
Problemas propuestos
1. Encontrar las funciones que verifican las condiciones indicadas:

f
f
= 3x + y,
= x + 4y3 + 7, f (0, 0) = 5
x
y
f
f
= xy e x
= x e x e x + y1/2 , f (0, 4) = 3
b)
x
y
a)
ye x ( x 1) + 2 y + 3
Resp 23 x2 + xy + y4 + 7y + 5,
f ( x, y) que verifica las siguientes tres propiedades:
2. Encontrar la funcion
a)
b)
c)
f
x
f
y
RR
= 3x2 y + y2 .
= x3 + 2xy.
D
f ( x, y) dx dy = 1, D es el interior del triangulo de vertices (0, 0), (1, 1) y (2, 0).

Resp f ( x, y) = x3 y + xy2 +
2
5
3. Calcular las siguientes integrales:

a)
Z 3Z 4
0
x ydx dy
b)
Z 4Z 3
2
x ydx dy
c)
Z 1 Z 1 x 2
0
xy3 dy dx
Resp 84, 54,

sucesiva:
4. Calcular las integrales dobles por integracion
RR
a)
I xy ( x + y ) dx dy donde I = [0, 1] [0, 1].
RR
b)
sen2 x sen2 y dx dy donde I = [0, ] [0, ].
RR I
c)
I sen ( x + y ) dx dy donde I = [0, 2 ] [0, 2 ].
1
24
Resp
Resp
1
3
2
4
Resp 2
5. Escribir una suma de Riemann cuyo lmite cuando n sea igual a

Z 10 Z 2
5
( x2 + 3xy)dy dx
5n 4n
Resp.
(xi2 + 3xi y j ) n2
i =1 j =1
6. Sea R = {y =
x, y = x }. Si f ( x, y) =
( sen y
y
1,
y 6= 0
y=0
, hallar
f ( x, y) dA.
Resp. 1 sen 1
309
7. Hallar el volumen de los solidos

descritos a continuacion:
bajo la superficie z = 4 2x + y y sobre el dominio D = {( x, y)/ 0 x 1, 1
a) La region
y 3}.
bajo la superficie z = x2 + y2 y sobre el dominio acotado por x = 0, x = 2, y = 0

b) La region
e y = x2 .
bajo la superficie z = xy2 y sobre el dominio acotado por y = x e y = x2 .
c) La region
bajo la superficie z = 4 x y sobre el dominio acotado por la parabola (y 2)2 =
d) La region
4x y la recta y + 2 = 2x.
Resp 10,
8. Calcular la integral
Z 1Z x
e x+y dy dx.
Z 1Z 1
ln( x + 1)(y + 1) dx dy.
Z 2Z 0
|y| cos
Z 1 Z |x|
1 2| x |
21, 6
Resp 12 (e2 2e + 1)
Resp 4 ln 2 2
x
dy dx.
4
e x+y dy dx.
1312 1
105 , 40 ,
Resp
Resp
e2
2
+ 1e + 3e13 56
2
2
comprendida entre las graficas de las curvas
12. Sea D la region
RR y 2= x , y = x , y las rectas
4
y calcular D ( x 1) dx dy.
x = 1, x = 1. Dibujar el recinto de integracion
Resp 15
13. Hallar el volumen bajo el plano z = x + y y sobre el recinto limitado por x = 0, x =

2,
128
2
2
x + y = 16.
Resp 3 16 16
14. Calcular
R 3 R ln y
1
y e x dx dy.
Resp
14
3
15. Sea R el recinto acotado por y = 1 x, x = e, y = ln x. Hallar:

a) el a rea de R.
b) el volumen del solido

que se encuentra sobre el recinto R y bajo la superficie z = 3 x.
RR
16. Hallar D ( xy y3 ) dx dy, siendo D el recinto plano limitado por las rectas y = 0, y = 1,
23
x = 1, x = y.
Resp. 40
RR
comprendida entre las graficas de las curvas
17. Calcular D ( x2 y) dx dy, siendo D la region
2
2
y = x , y = x , y las rectas x = 1, x = 1.
Resp 45
RR
del primer cuadrante encerrada por las parabolas y2 =
18. Hallar D xy dx dy, siendo D la region
1
x, y = x2 .
Resp 12
310

19. Sea D = {( x, y)/ x2 + y2 2, y 0}. Hallar
RR
D (1 +
xy) dA.
Resp
en cada una de las integrales siguientes:

20. Cambiar el orden de integracion
a)
R 1 R x2
0
x4
f ( x, y) dy dx
b)
R1Ry
0
f ( x, y) dx dy
c)
R 4 R 2x
1
Resp.
R0 R1
f ( x, y) dy dx
R1R
4 y
0
f ( x, y) dx dy
R1R1
f
(
x,
y
)
dy
dx
+
1 x
0 x f ( x, y ) dy dx
R8R4
R4Ry
R2Ry
f
(
x,
y
)
dx
dy
+
f
(
x,
y
)
dx
dy
+
4 y/2 f ( x, y ) dx dy
2 y/2
1 1
T : R2 R2 dada por:
21. Considerar la aplicacion
T (u, v) = (u + v, v u2 )
Sea D el triangulo de vertices (0, 0), (2, 0), (0, 2) en el plano uv. Hallar T ( D ) = D y calcular
el a rea de D, mediante una integral doble en las variables x e y, y tambien una integral doble
en las variables u y v.
Resp= 14
3.
RR
2
y
limitada por las rectas
22. Calcular la integral D e( x+y) 1 + x dx dy, donde D > es la region
y
Resp 21 (e4 e).
y = x, y = 2x, x + y = 1, x + y = 2. Sugerencia: usar x + y = u, x = v.
real continua, S = {( x, y)/ | x | + |y| 1}
23. Sean f una funcion
a) Usar el cambio de variables u = x + y, v = x y para demostrar que
ZZ
b) Calcular
RR
S (x
f ( x + y) dx dy =
ZZ 1
f (u) du
Resp 32 .
+ y2 + 2xy) dx dy.
24. Mediante el cambio de variable, x = u + v, y = v, calcular

ZZ
( x + y) dx dy
D es el paralelogramo
de vertices (1, 1), (3, 1), (0, 0) y (2, 0).
Resp 4
25. Usar el cambio de variables u = y x, v = y + x para hallar

ZZ
yx
sen
dx dy
y+x
D
donde D es el trapecio con vertices (1, 1), (2, 2), (4, 0), (2, 0).
Resp 3(cos 1 1).

311

26. Calcular
ZZ
(2x + y)
x 2y
2x +y
dx dy
acotada por 2x + y = 1, 2x + y = 4, x 2y = 1, x 2y = 1.
donde D es la region
Resp 51 (e1/4 + e1/4 e1 )
27. Hallar las siguientes integrales dobles utilizando un cambio de variable adecuado:
a)
ZZ
x y
e x+y dA, donde R es el triangulo limitado por las rectas x = 0, y = 0 y x + y = 1.

Resp 14 (e e1 )
x2 e x /y
dA, donde D es el recinto limitado por las curvas x = y, x = 2y, x2 = y y
b)
2
2
D y( x + y )
x2 = 2y.
Resp (e2 e)( arctg 2 4
ZZ q
c)
y2 4x2 dx dy, donde D es el recinto acotado por las curvas y 2x = 1, y + 2x =
ZZ
1
Resp 72
(7 3 ln 2)
1 e y2 4x2 = 14 .
RR
28. Calcular D ( x + y)2 dx dy, si D el paralelogramo

limitado por y = x, y = x + 1, y = 2x, y =
2x 3.
Resp 13
RR
del primer cuadrante acotada por las curvas x2 + y2 = 4,
29. Hallar D xy dx dy, si D la region
x2 + y2 = 9, x2 y2 = 4, x2 y2 = 1.
Resp 15
8
RR
{0 y x, 0 x 1}. Evaluar D ( x + y) dx dy haciendo el cambio
30. Sea D la region
x = u + v, y = u v.
Resp 21
31. Sea T (u, v) = (4u, 2u + 3v). Sea D = [0, 1] [1, 2]. Hallar T ( D ) = D y calcular:
RR
RR
a)
xy
dx
dy.
Resp
140
b)
D
D ( x y ) dx dy.
Resp 42
en el plano limitada por las curvas x2 y2 = 1, x2 y2 = 9, x + y = 4, x + y = 6.

32. Sea R la region
dada en otra
Mediante el cambio de variables u = x + y, v = x y, se transforma la region
T. Se pide:
region
a) Representar graficamente las regiones R y T.
Resp A = 4 ln 23
R utilizando T.
b) Calcular el a rea de la region
f ( x, y) sobre una region,

de a rea A, al valor
33. Se llama valor medio de una funcion
valor medio =
1
A
ZZ
f ( x, y) dA
indicada:
Calcular el valor medio de las siguientes funciones en la region
312

a) f ( x, y) = x, con R el rectangulo de vertices (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2)
b) f ( x, y) = x2 + y2 , con R el cuadrado de vertices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)
c) f ( x, y) = xy en el dominio acotado por x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3.
d) f ( x, y) = 4 2x + y en el dominio acotado por x = 0, x = 2, y = 0 e y = 4.
Resp. 2, 83 , 32 , 0
34. Usar coordenadas polares para evaluar:
RR
2
2 3/2 dx dy, R es el tri
a)
angulo de vertices (0, 0), (1, 0), (1, 1).
Resp 12
R (1 + x + y )
RR
3
3
2
2
2
2
b)
R ( x + y ) dx dy, siendo R = {( x, y ) / x 0, y 0, x + y 1, x + y 2x 0}.
1
Resp 960
(203 + 453 3 280 )
RR
2
2 3/2 dx dy, R es disco x2 + y2 4.
c)
Resp 64
5
R (x + y )

RR
y2
y2
x2
x2
+
dx
dy,
R
es
el
recinto
que
acota
la
elipse
= 1, a, b > 0. Resp ab
d)
1
2
2
a
2
R
a
b
b2
e)
RR
D (x
+ y2 ) dA, siendo D = {( x, y) R2 / ( x 1)2 + y2 1}.
del plano A = {( x, y) R2 / y 4x x2 , y 6 3x, y 0}.

35. Calcular el a rea de la region
Resp
36. Hallar el a rea del recinto encerrado por una elipse de semiejes a y b.
151
6
Resp ab
37. Hallar el a rea comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x y las rectas
y = x, y = 0.
Resp 23 2 + 1
38. Una piramide esta limitada por los tres planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6. Repre
doble.
sentar el solido
y calcular su volumen por integracion
Resp
6
39. Calcular el volumen del solido

acotado, en el primer octante, por los planos x = 1, y = 1 y la
2
2
superficie z = x + y .
Resp 32

acotado por la superficie z = x2 + y, el rectangulo R = [0, 1]
[1, 2] y los lados verticales de R.
Resp 11
6
41. Hallar el volumen limitado por:
a) x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 3z.
b) z = x2 + 6y2 , x2 + 4y2 = 4, z = 0.
Resp
19
6
20
3

bajo el plano z = 4x y que esta sobre de la circunferencia
x2 + y2 = 16. Resp 512
3
313
43. Encontrar el volumen del solido

en el primer octante, limitado por las superficies x + z2 =
1
(15 32)
1, x = y, x = y2 .
Resp 120
limitada por las curvas y = x2 9 e y = 9 x2 .
44. Hallar el a rea de la region
Resp 72
del plano xy
bajo el plano 3x + 8y + 6z = 24 y sobre la region
limitada por la parabola y2 = 2x, la recta 2x + 3y = 10 y el eje x.
Resp. 337
30
RRR
46. Calcular
R ( xz + 3z ) dV si R es el paraleleppedo en el primer octante limitado por los planos
coordenados y los planos x = 2, y = 3, z = 4.
Resp. 192
RRR
limitada por las superficies z = x2 + y2 y z = 27 2x2 2y2 .
47. Calcular
R z dV si R es la region
Resp. 243
2
RRR
sobre el plano xy, limitada por el cilindro x2 + z2 =
48. Calcular
R ( xz + 3z ) dV si R es la region,
9 y los planos x + y = 3, z = 0, y = 0.
Resp. 648
5
49. Utilizar coordenadas cilndricas para calcular el volumen del solido

en el primer octante limi2
2
tado por el cilindro x + y = 1 y el plano z = x.
Resp. 31
definida en I = [1, 2] [1, 4] como sigue:
50. Sea f una funcion
, x y 2x
( x + y )2
f ( x, y) =
0,
en otra parte
del rectangulo I en la que f no es nula y calcule el valor

Indicar, mediante un dibujo, la porcion
de la integral all.
Resp 61 ln 2
51. Un solido
esta limitado por la superficie z = x2 y2 , el plano xy, y los planos x = 1 y x = 3.
Calcular su volumen por doble integracion.

Resp 80
3
RR
acotada del primer cuadrante situada entre las
52. Calcular D x2 y2 dx dy siendo D la porcion
hiperbolas xy = 1 y xy = 2 y las rectas y = x e y = 4x.
Resp 37 ln 2
RRR
2
2
53. Calcular
V (2x z + 2zy ) dx dy dz, siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono
z2 = x2 + y2 e interior al cilindro x2 + y2 = 1, con z 0.
Resp 3
RRR
R xyz dx dy dz, siendo R el conjunto
R = {( x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, z 0}
Resp.
314
1
48

RR
D (x
del plano
+ 5y2 ) dx dy, extendida a la region
D = {( x, y) R2 / y 0, 4 x2 + y2 16}
Resp 180
el volumen del solido
56. Calcular, mediante integracion,

limitado por el cono x2 + y2 =
4z2 y la
esfera x2 + y2 + z2 = 5, siendo 0.
Resp 10
3 ( 5 1)
RR
57. Calcular I f ( x, y) dx dy siendo I = [0, 1] [0, 1], con

x + y, x2 y 2x2
f ( x, y) =
0,
en otra parte
Resp
58. Calcular
59. Calcular
RR
RR
A (x
A (4x
21
40
2
5
+ y2 ) dx dy siendo A = {( x, y) R2 / x2 + y2 1}.
Resp
1
2
+ 7y) dx dy donde A = {( x, y) R2 / 0 x 1, x3 y x }.
Resp
6
5
T definida por las ecuaciones x = u2 v2 , y = 2uv:

Resp J ( T ) = 4(u2 + v2 )
a) Calcular el jacobiano J ( T (u, v)).
b) Sea R el rectangulo en el plano uv con vertices (1, 1), (2, 1), (2, 3), (1, 3). Representar,
mediante un dibujo, la imagen T ( R) en el plano xy.
T definida por las ecuaciones x = u + v, y = v u2 .
a) Calcular el Jacobiano J ( T (u, v)).
b) Un triangulo A en el plano (u, v) tiene vertices (0, 0), (2, 0), (0, 2). Representar, mediante
un dibujo, la imagen T ( A) = D en el plano xy.
c) Calcular el a rea de D mediante una integral doble extendida a D y tambien mediante otra
integral doble extendida a A.
Resp A = 14
3
RRR p
62. Calcular
x2 + y2 dx dy dz, siendo A el solido
formado por la hoja superior del cono
A
2
2
2
z = x + y y el plano z = 1.
Resp. 6
RRR
2
2
63. Calcular
limitado por la superficie 2z = x2 + y2 y el
V ( x + y ) dx dy dz, siendo V el solido
plano z = 2.
Resp. 16
3
R1R1
Resp e2 1
64. Calcular 0 y ey/x dx dy
para
65. Invertir el orden de integracion
R2Rx
1
f ( x, y) dy dx
Resp.
Z 1Z 2
0
f ( x, y) dx dy +
Z 2Z 2
1
f ( x, y) dx dy
315
RR p
66. Sobre el rectangulo R = [1, 1] [0, 2] calcular R |y x2 | dA.
Resp 2 + 43
RRR p
x2 + y2 dA si D = {( x, y, z) R3 / z2 x2 + y2 , x2 + y2 1, z 0}. Resp. 32
67. Calcular
D
RR
(u, v) = (u2/3 v1/3 , u1/3 v2/3 ) = ( x, y). Calcular ( D) xy dA, si
68. Considerar la trasformacion
D = {(u, v)/ u 0, v 0, u + v 1}.
69. Calcular
RR
x y
x +y
Resp.
dx dy, si A = {( x, y)/ x 0, y 0, x + y 1}.
1
72
Resp 14 (e e1 )
70. Si D = {( x, y)/ 1 x 3, x2 y x2 + 1}, calcular el a rea de D.

Resp 2
RR
71. Si D = {( x, y)/ 0 x a, 0 y b}, calcular D ( x2 + y2 ) dA.
Resp 31 ab( a2 + b2 ).
RR
2
2
2v
. Calcular M e x +y + xy dx dy en donde
72. Utilizando el cambio x = u v , y =
3
M = {( x, y) R2 / x2 + y2 + xy < 1}
Resp.
(1 e 1 ).
3
73. Hallar el volumen que se encuentra sobre el recinto {( x, y)/ 1 x 0, 1 y 4} y bajo

el plano z = 2x + 5y + 1.
Resp 75
2
74. Hallar el volumen del solido

que se encuentra sobre el recinto acotado por y2 = x e y = x2 , y
6
bajo el paraboloide z = x2 + y2 .
Resp 35
75. Calcular la masa, el centro de masa y los momentos de inercia de la lamina que se encuentra
en el primer cuadrante, acotada por y = x2 y la recta y = 1. La densidad ( x, y) = xy.
Resp M = 61 , x = 74 , y = 43 , Ix =
1
10 , Iy
1
16
RRR
del
76. Calcular
E y dV, donde E es el recinto que se encuentra bajo z = x + 2y y sobre la region
5
2
plano xy acotada por y = x , y = 0, x = 1.
Resp 28
RRR
77. Calcular
a acotado por x = 4y2 + 4z2 y el plano x = 4.
Resp 16
3
E x dV, donde E est
78. Hallar el volumen del solido

acotado por x = y2 , z = 0, x + z = 1.
Resp
8
15
79. Usar coordenadas cilindricas para calcular:

RRR 2
2
acotada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planos
a)
E ( x + y ) dV, donde E es la region
z = 1, z = 2
Resp. 24
RRR
que se encuentra sobre el plano xy, acotada por los cilinb)
E y dV, donde E es la region
2
2
2
2
dros x + y = 1, x + y = 4 y bajo el plano z = x + 2.
Resp. 0
80. Hallar la masa del solido

acotado por el paraboloide z = 4x2 + 4y2 y el plano z = a, a > 0.
2
Considerar dendidad constante e igual a 1.
Resp M = a 8k
316

81. Hallar el momento de inercia Ix de un cubo con densidad constante 2 y lado L, si uno de los
4L5
vertices esta en el origen y tres aristas caen en los ejes coordenados. Resp.
3
RR 3
del plano que acotan y = x2 , y = 0, x = 2.
82. Calcular A x cos( xy) dx dy, donde A es la region
Resp 13 (1 cos 8)
donde B = {( x, y)/ x 0, y 0, x2 + (y 2)2 4}.
B 10dA,
84. Calcular
RR
RR
86. Calcular
RR
y
acotada por y2 = x, x = 0, y = 1.
A e dx dy, si A es la region
83. Calcular
Resp 20
xey dx dy, donde A = {( x, y)/ x 0, 0 y 4, x2 y}.

Resp 14 (e16 1)
RR p
85. Calcular A xy y2 dx dy, siendo A el triangulo de vertices (0, 0), (10, 1), (1, 1).
Resp 6
87. Calcular
88. Calcular
6, 623
RR
RR
A (( x
2)2 + y2 ) dx dy, donde A es el crculo x2 + y2 4x = 0.
A 4( x
Resp
1
2
Resp 8
+ y) e xy dx dy, donde A es el triangulo de vertices (1, 1), (1, 1), (0, 0). Resp

limitado por z = 4 x2 y2 , z = 0.
Resp. 8
90. Calcular el a rea encerrada por las graficas x = y2 + 1, x = 0, y = 0, y = 2.
Resp.
91. Hallar el a rea encerrada por las graficas x = y + 3, x = y2 + 1.

92. Hallar a rea encerrada por las graficas y = 6x x2 , y = x2 2x.
93. Hallar a rea encerrada por las graficas x = y, x = 2y y2 .
94. Hallar volumen del solido

limitado por las superficies z = 2x2 + y2 , z = 4 y2 .
14
3
Resp.
Resp.
9
2
64
3
Resp.
9
2
Resp. 4
95. Calcular el volumen limitado por el plano 2x + 2y z + 2 = 0 y el paraboloide x2 + y2 = z.
Resp. 8
96. Hallar volumen exterior a z2 = x2 + y2 e interior a x2 + y2 + z2 = 1.

Resp.
2 2
3

limitado por z = 0, z = h que es exterior al cilindro x2 + y2 = 1 e
2
interior al hiperboloide x + y2 z2 = 1.
Resp. 3 h3

limitado por los cilindros x2 + y2 = a2 y x2 + z2 = a2 .
99. Hallar volumen limitado por las superficies ( x 1)2 + (y 1)2 = 1, z = xy, z = 0.
Resp.
16 3
3 a
Resp.
100. Hallar volumen interior al cilindro x2 + y2 = 2ax, limitado por el paraboloide x2 + y2 = az y

el plano z = 0.
Resp. 32 a3
317

101. Calcular
RRR
A (x
determinada por z = 2, x2 + y2 = 2z.

+ y2 )2 dV, si A es la region
Resp.
32
3
RRR p
limitada por el plano z = 1 y la hoja superior del
x2 + y2 dV, si A es la region
102. Calcular
A
2
2
2
cono z = x + y .
Resp. 6
RRR
103. Calcular
A z dx dy dz, si A es el recinto acotado del semiespacio z 0 intersectado por la
2
2
esfera x + y + z2 = 1 y el cono x2 + y2 = z2 .
Resp. 8
104. Calcular, con el cambio de variable u = x n , v = yn , w = zn la integral triple:
ZZZ
Vn
x n 1 y n 1 z n 1
1 x n yn zn dx dy dz
donde Vn = {( x, y, z)/ x 0, y 0, z 0, x n + yn + zn 1}, siendo n numero

natural mayor
8
que uno.
Resp. 105n
3
105. En el rectangulo [0, 1] [0, 1] se define la funcion
,
0<x<y<1
y2
1
f ( x, y) =
0<y<x<1
2,
0, otro caso
Demostrar que:
Z 1Z 1
0
f ( x, y) dx dy 6=
Z 1Z 1
0
f ( x, y) dy dx

acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por la
superficie 9x2 + 9y2 + 16z2 = 42 33 y lateralmente por el cilindro x2 + y2 4y = 0.
Resp 16( 34 )
107. Calcular
RR
|sen( x + y)| dx dy, si r = [0, ] [0, ].
Resp 2
limitada por el paraboloide z = 2 x2 y2 e inferiormente por

108. Hallar el volumen
de la region
p
el cono z = x2 + y2 .
Resp 5
6
RRR
109. Calcular
a determinada por z + x 6, z 0, y 0, x 3y2 .
Resp. 6
R y dV si R est
110. Se consideran g, h : R R dos funciones diferenciables. Se define f : R2 R por
f ( x, y) =
Probar que
318
2 f
2 f
=
.
x2
y2
Z x y
0
g(t) dt +
Z 0
x +y
h(t) dt

de integracion
y cambiar el orden en la integral siguiente
111. Esbozar la region
Z 0 Z ( x + y )2
2 0
f ( x, y) dy dx +
Z 2 Z ( x y )2
0
f ( x, y) dy dx
Resp.
R 4 R 2 y
y 2
f ( x, y) dx dy
112. Hallar el volumen limitado por los paraboloides z = x2 + y2 y z = 2 x2 y2 .

113. Hallar el volumen del cuerpo definido por D = {( x, y, z) R3 / 0 z
x2
4
y2
9
Resp
1}.
Resp 3
114. Hallar el volumen comprendido entre x2 + y2 + z2 = 100 y x2 + y2 = z2 , z 0.

Resp
1000
3 (2
2)
2
2
115. Calcular
z = 0y
p el volumen interior al cilindro x + y = 2ax limitado por las superficies
3
z = a2 x y2 , siendo a > 0.
Resp. 38 a3 32
9 a
116. Hallar la masa de la lamina limitada por las circunferencias x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x y

de densidad ( x, y) = x.
funcion
Resp 7
2
2
2
117. Hallar el centro de masa de la lamina
p D = {( x, y) R / x + y 1, x 0, y 0} que tiene
densidad en cada punto ( x, y) = 1 x2 y2 .
Resp ( 83 , 83 )
118. Calcular el centro de gravedad de un cilindro circular recto de radio de la base R, de altura h y
cuya densidad vara proporcionalmente a su distancia a la base.
Resp (0, 0, 32 h)
119. Calcular el momento de inercia con respecto al eje y del a rea plana comprendida entre la
parabola y = a2 x2 y el eje x.
Resp 4a5
15
120. Calcular el momento de inercia con respecto al eje z del volumen del paraboloide z = x2 + y2 ,
3
limitado por el plano z = a.
Resp a6
121. Usar coordenadas esfericas para calcular
del elipsoide
x2
9
y2
4
+ z2 = 1
122. Usar coordenadas esfericas para calcular
RRR
RRR
V (4x
A (x
+ 9y2 + 36z2 ) dx dy dz siendo V el interior
+ y2 + z2 ) dx dy dz, siendo
A = {( x, y, z) R3 / x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 z2 , z 0}
319
4.22 Problemas adicionales
4.22.
Problemas adicionales
caracterstica
1. Sean A = {( x, y) R2 / | x | +
Z |y| 3}, B = [2, 2] [2, 2] y B la funcion
correspondiente a B. Calcular
B ( x, y) dx dy
Resp. 14
A, B, C, D (no necesariamente constantes) para que la

2. Determinar los lmites de integracion,
siguiente igualdad de integrales iteradas sea correcta:
3
Z 2Z
2 x
( x 2)2
f ( x, y)dy dx =
Z BZ D
A
f ( x, y)dx dy
Resp. A = 0, B = 1, C = 2
y, D = 2 y3
P = {0, 2, 3} {1, 2, 3} sobre el rectangulo A = [0, 3] [1, 3] y f : A R

3. Sea P la particion
definida por f ( x, y) = x y. Calcular la suma superior de Riemann S( f , P).
Resp. 5
4. Sea f : A = [0, 1R] [0, 1] R tal que f ( x, y) = xy. Usar el lmite de una suma de Riemann
para probar que A xy dA = 41 .
5. Hallar
ZZZ
z e x
2 y2
dx dy dz, si R = {( x, y, z) R3 / x2 + y2 1, 0 z 1}.
Resp.
6. Calcular
7. Hallar
Z 4Z 2
dy dx
p
.
x + y2
1
2 (1 e )
Resp. 4 + 4 2
(y2 x2 ) xy ( x2 + y2 )dx dy donde
D = {( x, y) R2 / x > 0, y > 0, a xy b, y2 x2 1, x y, con 0 < a < b}

Se sugiere el cambio de variable u = x2 y2 , v = xy.
b
Resp 12 log 11+
+a
8. Calcular el momento de inercia con respecto al eje y del a rea plana comprendida entre la
5
parabola y = a2 x2 y el eje x.
Resp. 4a
15 .
RRR
acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y la
9. Calcular
A x dx dy dz, si A es la region
superficie z = x2 + y2 , x 0, y 0.
Resp. 8152
R
del primer cuadrante limitada por las curvas x2 + y2 = 4,
10. Hallar R xy dx dy si D es la region
x2 + y2 = 9, x2 y2 = 4 y x2 y2 = 1.
Resp. 15
8
R
del primer cuadrante limitada por las
11. Hallar la integral D ( x2 y2 ) dx dy, siendo D la region
2
2
2
2
curvas x + y = 1, x + y = 4, y = x, y x = 1.
320

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Indice

4.16.6. Volumen de revolucion

4.17.1. Recintos de integracion

no permite calcular integrales multiples,

gran valor teorico,

sustento matematico adecuado del concepto de integral multiple.

Si n = 1, el contenido del intervalo [ a, b] R es la longitud del intervalo unidimensional.

Volumen bajo una superficie

Sea f : R R2 R un campo escalar positivo y acotado en el rectangulo R = [ a, b] [c, d].

Pretendemos hallar el volumen del solido

4.4 Volumen bajo una superficie

del concepto de particion.

4.5 Sumas superior e inferior

Sumas superior e inferior

positiva y acotada, P particion

cuya existencia esta asegurada por la hipotesis

( Ri ) es el contenido del subintervalo Ri

resenta la suma de los volumenes

4.5 Sumas superior e inferior

(4.1) por ( Ri ) y aplicando sumatoria se tiene que

Es claro entonces, que el volumen bajo la superficie S satisface

unidimensional, lo que estamos afirmando, es que un refinamiento aumenta

4.6 Integral de Riemann

al volumen bajo la superficie, teniendo como base

que si f es una funcion

f , y recibe el nombre de integral definida o de Riemann

f sobre [~a,~b] R2 se llama integral doble, y su notacion

4.6 Integral de Riemann

del intervalo y la figura 4.6 la superficie que es un paraboloide.

debemos determinar el valor de la funcion

se encuentra mediante el empleo de las sumas superior e inferior de la

f (1, 1) + f (1, 2) + f (1, 3) + f (2, 3) + f (2, 2) + f (2, 1)

4.6 Integral de Riemann

f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) + f (1, 2) + f (1, 1) + f (1, 0)

Esto significa que

media aritmetica de s( f , P) y S( f , P) entrega la aproximacion

tal que S( f , P) s( f , P) < .

Ademas sabemos que

Luego, de las ecuaciones (4.4) y (4.5) se sigue que

3.6 tenemos que

4.7 Propiedades de la integral

f = sup{s( f , P)} = nf{S( f , P)}

Al sumar estas desigualdades,

con lo cual se concluye la demostracion.

4.8 Integral sobre conjuntos acotados

Propiedad 6 ( Desigualdad triangular )

Integral sobre conjuntos acotados

de [~a,~b], y R j el j - e simo intervalo de P. Las figuras 4.7 y 4.8 muestran rectangulos

E). A partir de esto es claro que se satisface la relacion

el que recibe el nombre de contenido exterior de E.

Como por hipotesis,

Los casos n = 2, n = 3 corresponden al a rea y al volumen, respectivamente.

4.10 Suma de Riemann

contenido cero, entonces

f es continua sobre E = [~a,~b] R n , el conjunto D = {~x / f discontinua} =

Ejemplo 4.10.1. Calculemos

(2x + y) dA, E = [0, 1] [0, 2].

f ( x, y) = 2x + y es continua sobre E, de manera que el conjunto de puntos de disconLa funcion