RELACIÓN DE EJERCICIOS (Curso 2019-2020)

EJERCICIO 1
Se considera la función f (x) = −x2 + 6x + c.
1. Calcule el valor del parámetro c para que la recta tangente a la gráfica de la función en el
punto de abscisa x = 4 pase por el punto (0, 11).

2. Calcule el área de la región acotada limitada por las gráficas de f (x) = −x2 + 6x − 5 y
g(x) = 5 − x.

EJERCICIO 2 
 x+2 si x < −1
Se considera la función dada por f (x) =

x2 + x + 1 si x ≥ −1
1. Estudie la derivabilidad de la función f .
∫ 4
2. Calcule f (x)dx.
−2

EJERCICIO 3
 2x

 si x < 0
x−1
Se considera la función f (x) =


−2x2 + 3x + 2 si x ≥ 0

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f .

2. Analice la monotonı́a y determine los extremos relativos de f .

3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [0, 2]

EJERCICIO 4
Dadas las funciones f (x) = −x2 + 3x + 2 y g(x) = 2x2 − 6x − 10,

1. Calcule los puntos de corte de las gráficas de f y g.

2. Calcule el área de la región acotada delimitada por las dos gráficas.

EJERCICIO 5

 −x2 + x + a si x ≤ 1

Se considera la función f : R → R definida por f (x) =

 b
si x > 1
x+1
1. Determine a y b para que f sea continua y derivable en R.

2. Para a = 2 y b = 4, represente gráficamente f .

3. Para a = 2 y b = 4, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 1.

1
EJERCICIO 6
Se consideran las funciones f y g, definidas en R de la siguiente forma:

f (x) = x2 g(x) = 4 − x2

1. Calcule los puntos de corte de las gráficas de f y g

2. Represente sobre un mismo sistema de coordenadas cartesianas las gráficas de f y g y

calcule el área de la región del plano delimitada por las gráficas de ambas funciones.

EJERCICIO 7 

 x+a si x < 1



Se considera la función f (x) = x2 − 2 si 1 ≤ x ≤ 3





x+b si x > 3

1. Determine los valores de a y b para que la función sea continua en R.

∫ 5
2. Para a = −2 y b = 4, calcule f (x) dx
0

EJERCICIO 8 
 2x3 − 2x2 + 4 si x ≤ 1
Se considera la función f (x) =

x2 + 3 si x > 1

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .

2. Calcule el máximo y el mı́nimo de f en el intervalo [−1, 1].

3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas en el intervalo

[0, 2].

EJERCICIO 9 
 −3
 si x < 0
x+1
Se considera la función f (x) =


−x2 + 4x si x ≥ 0

1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .

2. Estudie la monotonı́a y calcule la abscisa de los extremos relativos.

3. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de g(x) = −x2 + 4x y el eje OX.

EJERCICIO 10 
 2x − x2 − 3 si x < 0

Se considera la función f (x) =

 3
si x ≥ 0
x−1
1. Compruebe que f es continua en x = 0. ¿Es derivable en x = 0?

2. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f (x), las rectas x = −1, x = 1/2
y el eje OX.

2
EJERCICIO 11
Una empresa conoce que el gasto instantáneo de combustible que le genera una de sus máquinas
viene dado por la expresión

f (x) = x · (x − 5) · (x − 7), x ∈ [0, 5]

donde x viene dado en horas.

1. Calcule para qué valor de x se tiene que f alcanza un valor máximo.

2. Calcule el gasto total de combustible consumido.

EJERCICIO 12
Dadas las funciones f (x) = x2 − 8x + 16 y g(x) = x − 2, se pide:
1. Represente ambas funciones en los mismos ejes coordenados.

2. Determine los puntos de corte entre las gráficas de ambas funciones.

3. Calcule el área delimitada por las gráficas de ambas funciones.

EJERCICIO 13
De la función C(q) que representa los costes de producción de una empresa, en miles de euros,
en función de la cantidad fabricada q, en miles de kilogramos, se sabe que su derivada viene
dada por C ′ (q) = 60q 2 − 80q + 35. Se pide:

1. Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función C(q) y esboce la gráfica

de la función C ′ (q) en el intervalo (0, 1.5).

2. Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la función de costes C(q)

3. ¿Cuál es el coste adicional que debe asumir la empresa si decide pasar de fabricar 1000 kg
a fabricar 1500 kg?

EJERCICIO 14
La temperatura en el interior de un horno de cerámica viene dada por la función

f (t) = −t2 + 4t + 5, con t ∈ [0, 5]

donde t representa el tiempo en horas y f (t) está expresada en cientos de ◦ C

1. Estudie la monotonı́a de f y calcule la temperatura máxima alcanzada.

2. Represente gráficamente f (t).

∫ 5
3. Calcule f (t) dt
0

EJERCICIO 15
Dada la función f (x) = x3 − 4x2 + 4x,
1. Estudie su monotonı́a y calcule sus extremos.

2. Represente gráficamente la función.

3. Obtenga su primitiva.

4. Calcule el área de la región acotada limitada por la gráfica de f y el eje de abscisas entre
x = 0 y x = 2.

3
EJERCICIO 16
La función que mide la concentración plasmática de un fármaco en función del tiempo, medida
en mg/l, viene dada por la expresión:

 −t2 + 4.5 t si 0 ≤ t ≤ 4

C(t) =

 4
si t > 4
t−2
donde t es el tiempo transcurrido, en horas, después de administrar el fármaco.

1. Estudie la continuidad de la función C(t).

2. ¿En qué momento se detecta la concentración máxima del fármaco en la sangre y cuál es
dicha concentración?

3. Esboce la gráfica de C(t).

4. Calcule el área bajo la curva de C(t) entre las 0 horas y las 6 horas.

EJERCICIO 17 
 x+2 si x < −1
Se considera la función dada por f (x) =

x2 + x + 1 si x ≥ −1

1. Estudie la monotonı́a de la función f .

2. Calcule el área de la figura limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0
y x = 2.

EJERCICIO 18

 −5x − 10 si x ≤ 1
Se considera la función f : R → R definida por f (x) =

−x2 + 2x − 2 si x > 1

1. Esboce la gráfica de f .

2. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y la recta
x = 2.

EJERCICIO 19
Dadas la parábola f (x) = 3x2 y la recta g(x) = −3x + 6, se pide:

1. Represente sobre un mismo sistema de coordenadas cartesianas la gráfica de cada función.

2. Calcule el área del recinto plano limitado por las gráficas de f y g.

EJERCICIO 20
Calcule el área limitada por las gráficas de la función f (x) = x3 − 3x y de la recta y = x.