GUÍA UNIVERSITARIA DEL INGRESO

UNIDAD N° 3

ECUACIONES E INECUACIONES
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Para resolver problemas de cualquier índole, es necesario recurrir a las herramientas

de modelización matemática. Se utiliza cuando tenemos una situación problemática,
ya que un modelo matemático es una descripción matemática, que generalmente se
puede expresar mediante una ecuación o una función, de un problema del mundo
real.

PASOS A CONSIDERAR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En el proceso de resolver problemas no existen recetas ó fórmulas mágicas, para

encontrar la solución de un problema dado. Pero sí existen una serie de técnicas y
métodos que resultan adecuados y eficientes para afrontar los problemas.

Polya (1945) propone cuatro etapas ó pasos a considerar para la resolución de un

problema, estas son:
1) COMPRENDER EL PROBLEMA 2) DESARROLLAR UN PLAN
Se sugiere: Expresar el problema mediante
 Leer el enunciado ecuaciones, inecuaciones o funciones.
 Encontrar los datos, y que es lo que
plantea el problema.
 Encontrar una relación entre los
datos y las incógnitas.
 Elaborar un esquema de la
situación.
3) PONER EN PRÁCTICA EL PLAN 4) EVALUAR LOS RESULTADOS
Comprobar los resultados, implica
comparar con el contexto el resultado
obtenido.

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ECUACIÓN

Definición: En matemática se denomina ecuación a la igualdad entre dos expresiones

algebraicas, que serán llamados miembros de la ecuación.
En la cual puede haber una o más incógnitas, este número desconocido representa la
solución de la ecuación.

Ejemplos:
16 x 1 8
4 x  2  3 ; 3x  2  x  2 x   x  3 ; 4 x  ;  ; etc.
x x2 x
Notemos el siguiente cuadro:

LAS ECUACIONES PUEDEN

Satisfacer sólo para Satisfacer para todos los No satisface para ningún valor
determinados valores de la valores de la variables de la variable
variables

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo:

2 x  1  3x  8 x 2

 9  x  3  x  3 2x  4  6x  5  4x
2 x  3x  8  1 x2  9  x2  9 2x  4x  6x  5  4
 x  9 x 2  x 2  9  9
0 1
x9 00 0 1
La ecuación es válida sí y En este caso es contradictorio
La ecuación se transforma en el resultado, por ende es un
solo sí x  9 , por lo tanto la una “identidad”. Ya que la
solución es 9 “absurdo” y la ecuación es
igualdad es válida para todo
“x”. incompatible

Para plantear ecuaciones es conveniente que saber transformar un enunciado en una

expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista de
transformaciones a tener en cuenta:

LENGUAJE VERBAL LENGUAJE SIMBÓLICO

Un número cualquiera x

El doble de un número 2x

El triple de un número 3x

El cuadrado de un número x2

El cubo de un número x3

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El antecesor de un número entero x x 1

El sucesor de un número entero x x 1

El doble del cuadrado de un número 2x 2

La mitad de un número x
2

Si n es un número natural:

LENGUAJE VERBAL LENGUAJE SIMBÓLICO

Un número par 2n

Un número impar 2n  1 ó 2n  1

Dos números consecutivos n y n 1

Dos números pares consecutivos 2n y 2n  2

Dos números impares consecutivos 2n  1 y 2n  1

Ejemplo: Anabella tiene un año más que el doble de la edad de Micaela, y las edades de
ambas suman 46 años. ¿Qué edad tiene la menor?
Considerando que x es la edad de Micaela, entonces la edad de Anabela es de 2 x  1.
Sabiendo y planteando que la suma de sus edades es 46, escribimos la siguiente
ecuación y la resolvemos:
x  (2 x  1)  46
3x  46  1
x  45 / 3  x  15
Si reemplazamos el valor obtenido de la variable x , se concluye que la edad de Micaela
es de 15 años y la edad de Anabella es de 31.

Solución: Micaela es la menor y tiene 15 años.

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CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES

En este matemática veremos los siguientes tipos de ecuaciones.

ECUACIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES POLINOMICAS

Forma general se expresa: an x n  ... a3 x 3  a2 x 2  a1 x1  a0  0 an  0

Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las

que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de
operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el
exponente de la incógnita es uno. La ecuación también es llamada
ecuación lineal, y su forma general se expresa:
ax  b  0
Donde: a y b son constantes y a  0 .
Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolver una
ecuación lineal se aplican ciertas operaciones matemáticas hasta que
ECUACIÓN obtenemos una ecuación equivalente en la que la incógnita queda aislada
POLINOMICA DE de un lado de la ecuación
PRIMER GRADO Ejemplo: 7 x  3  2 x  22
7 x  2 x  22  3
5x   25
  25 
x 
 5 
x   5
RTA:  5
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Una ecuación de segundo grado o también llamada cuadrática se expresa de la forma:

ax 2  bx  c  0

Donde a, b y c son constantes y a  0 .

Para resolver la ecuación cuadrática, una de las opciones es recurrir a la Fórmula

Resolvente:
 b  b 2  4ac
x1, 2 
2a
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
1-MEDIANTE LA FACTORIZACIÓN
Supongamos que queremos resolver la ecuación cuadrática: 2 x 2  8x  0.
Verificamos si podemos aplicar algún caso de factoreo, observamos que los términos
tienen elementos en común:
ECUACIÓN
2 x 2  8x  0
POLINOMICA DE
SEGUNDO GRADO
2 x  x  4  0  x1  0  x2  4
S  0;4
2-MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA
Para resolver la ecuación de la forma genérica ax  bx  c  0 , se utiliza la
2

 b  b 2  4ac
fórmula: x1, 2 
2a
Supongamos que queremos resolver la ecuación cuadrática: x  x  6  0.
2

Primero debemos identificar los coeficientes a, b y c, luego los reemplazamos en la

fórmula:
a = 1; b = 1 y c = (-6)

 1  12  4  1  (6)  1  1  (24)  1  25 1  5
x1, 2   x1, 2   x1, 2   x1, 2 
2 1 2 2 2

1 5 1 5
 x1  2 y x2   (3)
2 2
S   3;2
3-MEDIANTE COMPLETAR CUADRADOS:
Supongamos la ecuación: x 2  4 x  5  0.
Tomamos los dos primeros términos y tratamos de encontrar el tercero, de modo que nos
quede un trinomio cuadrado perfecto. Sumamos y restamos el tercer término encontrado
estratégicamente, de modo que los tres primeros términos agrupados sea un trinomio
cuadrado perfecto, a este lo expresamos como un binomio al cuadrado.

x 2
 4 x   5  0  x 2  4 x  4  4  5  0  x  2  9  0 
2

 x  2 2
 9  x2 3
De la última igualdad se deduce que x  2  3 ó x  2  3 , por lo tanto x1  1 y
x2  (5)
S   5;1

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DISCRIMINANTE
Llamamos discriminante a la expresión: b  4ac , que se encuentra dentro de la raíz de la
2

fórmula cuadrática, de modo que según su valor podremos determinar sus raíces:

Dos raíces son reales y Dos raíces son reales e Dos raíces son complejas
distintas. Sí: iguales. Sí: conjugadas. Sí:

b 2  4ac  0 b 2  4ac  0 b 2  4ac  0

La ecuación cuadrática tiene La ecuación cuadrática tiene La ecuación cuadrática no
dos soluciones. una única solución. tiene solución en el campo de
los reales.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sí x1 y x2 son dos raíces de un trinomio de segundo grado ax  bx  c  0 , entonces estas

2

propiedades de la suma y el producto de las raíces, son cómodas para la comprobación de

soluciones y para formar ecuaciones cuadráticas. Aclarando que a  0 .

c b
x1  x2  y x1  x2  
a a

Una ecuación bicuadrática se expresa de la forma:

ax 4  bx 2  c  0

Donde a, b y c son constantes y a  0 .

Para resolver ecuaciones bicuadradas debemos efectuar un cambio de

variable, si consideramos x  t  x  t ; de modo que se genera una
2 4 2

ecuación de segundo grado con la incógnita t.

ECUACIÓN Quedando la expresión:
POLINOMICA a t2  bt  c  0
BICUADRÁTICA
Por cada valor positivo de la variable t. habrá dos valores de “x”/
x t .
Ejemplo:
x 4  13x 2  36  0  x 2  t
Realizamos el cambio de variable y resolvemos:
13  169  144 13  5
t 2  13t  36  0  t1, 2    t1  9  t 2  4
2 2
Si : x 2  9  x   9  3.
Si : x 2  4  x   4  2.
S   3,2; 2; 3

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ECUACIONES RACIONALES

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se llaman ecuaciones racionales o

también llamadas ecuaciones fraccionarias. Para que una ecuación sea racional debe
tener una expresión en términos de “x” como denominador.
Su forma general viene dada por un cociente de dos polinomios y se denota:

P( x)
 0 con Q( x)  0 .
Q( x)

Donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Hay que tener en cuenta que el denominador de una fracción nunca puede ser nulo.
Esto nos permite saber el o los valores que no podemos tomar en la variable “x”.

Una manera de resolver ecuaciones racionales con denominadores distintos, es

multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los
denominadores de todas las fracciones contenidas en la ecuación. Esto elimina los
denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación polinómica.

No podemos olvidar que estos tipo de ejercicios debemos tener cuidado con
las soluciones. Debemos siempre comprobar los resultados.

Ejemplo:
3 x
 con x  3  0  x  2  0
x 3 x  2
3 x
 ( x  3)  ( x  2)   ( x  3)  ( x  2)
x 3 x2
3  ( x  2)  x  ( x  3)

3  x  6  x 2  3x
0  x 2  3x  3x  6
0  x 2  6x  6

x1, 2  3  15

Aclaración: es una forma de resolver, pero no es la única forma de calcular la

ecuación.

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ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación irracional es una ecuación en la que aparecen raíces que contienen a la
incógnita en su radicando.

Se debe tener en cuenta antes de resolver la ecuación el dominio de la misma y el índice

de la raíz. Porque en el caso de las raíces de orden par, debemos asegurarnos que las
expresiones de los radicandos sean positivas o igual a cero.
Para resolverlas, se elevan potencias a ambos lados de la ecuación al orden de la raíz (al
cuadrado, al cubo...).
Una vez realizada la resolución de la ecuación, siempre hay que verificar los resultados.

Ejemplo:
x 1  1 con x  1 0

 Elevamos potencia a ambos lados de la igualdad al orden de la raíz:

(Si la raíz es cuadrada, elevamos a la 2; si es cúbica, elevamos a la 3; etc...)

 x 1 
2
 1
2

 Desarrollamos las potencias:

x 1  1

 Despejamos:
x  1 1
x2

Comprobación:
2 1  1  1  1

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ECUACIONES TRASCENDENTES

ECUACIONES CON MÓDULO

Las ecuaciones con una variable dentro de las barras de módulo son denominadas
ecuaciones con módulo.
Para poder eliminar las barras de módulo y obtener una expresión equivalente para
luego resolver la ecuación, hay que usar la definición, es decir, hay dos casos a
considerar, si la expresión que está afectada dentro de barras de módulo es positiva o
negativa.
Utilizando la definición se deducen propiedades como las siguientes para resolver
ecuaciones e inecuaciones:

x  a con a    , es equivalente x  a  x  (a)

x  a con a    , es equivalente  a  x  a

x  a con a    , es equivalente x  a  x  (a)

Ejemplo 1:
x 3

x3 x  (3) S   3;3

Ejemplo 2:
x2  4

x2 4 x  2  (4)
x  42 x  (4)  2
x6 x  (2) S   2;6
Ejemplo 3:
x 3 5  4
x3  45
x3 9

x39 x  3  (9)
x  93 x  9  3
x6 x  (12) S   12;6

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ECUACIONES EXPONENCIALES

Se denomina ecuación exponencial a aquella ecuación en la cual la incógnita aparece

únicamente en el exponente de potencias, para ciertas bases constantes.

La ecuación exponencial se define como:

Antes de resolver ecuaciones exponenciales debemos tener presentes las propiedades de

las exponenciales:

PROPIEDADES:  a  0  a  1

a0  1 Ejemplo: 1000  1

a1  a Ejemplo: 1001  100

a x  a y  a x y Ejemplo: 2 x  2 x 1  2 2 x 1

a x : a y  a x y Ejemplo: 2 2 x : 2 x1  2 x1

a  x y
 a x y  
Ejemplo: 2 3 x
2y
 2 3 x2 y  2 6 xy

a loga x
 x  
Ejemplo: 2 log2 x  x

a   a1
x
x
 
Ejemplo: 2  x 
1
2x

Ejemplo 1:
3x  9
( al valor 9 lo podemos expresar como una potencia de base 3)
3 x  32
(al tener una igualdad de dos expresiones , como las bases son iguales, sus exponentes también deben
ser iguales)
x2 S  2

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Ejemplo 2:
2 x 1  4  2 x  12
( utilizamos propiedades con respecto a las exponenciales de base 2)
2 x  2  4  2 x  12
(sacamos factor común la exponencial de base 2)
2 x  2  4  12
(despejamos la variable)
12
 2x 
6
 2 x  21
x 1 S  1
Ejemplo 3:
3x1  3x  2  3x  54
( utilizamos propiedades con respecto a las exponenciales de base 3)
3 x  3  3 x  2  3 x  54
(sacamos factor común la exponencial de base 3)
3x  3  1  2  54
(despejamos la variable)
54
 3x 
6
 3  32
x

x2 S  2

ECUACIONES LOGARITMICA

En las ecuaciones logarítmicas la incógnita aparece dentro del argumento del logaritmo.

La ecuación logarítmica con base “a” se define como: log a x  b  ab  x

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Antes de resolver ecuaciones logarítmicas debemos tener presentes las propiedades de

los logaritmos.

PROPIEDADES DE LOGARITMO:  x  0 e y  0 :

log a 1  0 Ejemplo: log 2 1  0

log a a   1 Ejemplo: log2 2  1

log a xy   log a x   log a  y  Ejemplo: log2 2 x   log2 2  log2 x 

x  4
log a    log a x   log a  y  Ejemplo: log 2    log 2 4  log 2 x 
 y  x

 
log a x y  y log a x   
Ejemplo: log 2 4 x  x  log 2 4  2 x

 
log a a x  x Ejemplo: log 2 2 x   x

LOGARITMO NATURAL:
El logaritmo natural es el logaritmo en base e (es decir, el número de Euler, e≈2,7182...)
log e x 
Normalmente, el logaritmo natural se escribe como:

ln x 
 
Ejemplo: ln e 4  log e e 4  4  

Ejemplos de ecuaciones con logaritmos

Ejemplo 1:
log 2 x   4 con: x0
( despejamos la variable )
x  24

 x  16

S  16

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Ejemplo 2:
log( x  2)  log( x)  log(1) con x20  x 0
( utilizamos propiedades , la suma de logaritmos de igual base es igual al logaritmo del producto)
log(x  2  x)  log(1)


( desarrollamos el producto )

log( x 2  2 x)  log(1)
(al haber una igualdad de logaritmos de igual base, entonces sus argumentos son iguales)
x 2  2x  1
x 2  2x 1  0

x1; 2  1  2
(comprobamos los resultados y descartamos aquellos valores de la variable que no estén en el dominio de
la ecuación )


S   1 2 

CAMBIO DE BASE:

Un cambio de base es la relación que permite la conversión de logaritmos a cualquier

otra base. Se expresa de la siguiente manera:

log c b  log b  ln b 
log a b    
log c a  log a  ln a 

log 2 32 log 2 25  5

Ejemplo: log 8 32   
log 2 8 log 2 2 3  3

Ejemplo de una ecuación logarítmica aplicando cambio de base:

3 log 2 x   2 log 4 x   2
(Todos los logaritmos involucrados en esta ecuación los expresaremos de la misma base, en base 2)
Para ello primero debemos hacer:
log 4  x   y  x  4 y
log 2  x   log 2 4 y 
log 2  x   y  log 2 4 
log 2  x   y  2
1
log 2  x   y
2

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Reemplazando en la ecuación obtenemos:

3 log 2  x   2 log 4  x   2
1 
3 log 2  x   2   log 2  x   2
2 
2 log 2  x   2
log 2  x   1
x  2.
S  2

INECUACIONES

Hasta aquí nos dedicamos a resolver ecuaciones, sin embargo, muchas veces los
problemas a resolver se presentan como desigualdades.

Una inecuación es una desigualdad de dos expresiones matemáticas, en la que hay una
o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados
valores de las incógnitas.

Podemos destacar:

Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de x para los cuales es
verdadera la desigualdad.
 Ejemplos de Inecuaciones algebraicas:
2x  8  4
x  8x  2  3  x 2
2

x  1 x  3  0
2x  8
2
x 3
… etc.

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 Ejemplos de Inecuaciones trascendentes:

7x  5  2
ex  2  8
logx  3  1
… etc.

INECUACIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Dentro de las inecuaciones algebraicas racionales, podemos diferenciar:

 INECUACIONES LINEALES:
Son inecuaciones de primer grado, que se resuelven despejando la variable.
7
Ejemplo: 2 x  1  6  2 x  6  1 de modo que: x
2
 7
S    ; 
 2

 INECUACIONES NO LINEALES:
Son las inecuaciones de grado mayor a dos, o de otras potencias. Que se resuelven
aplicando la tabla de signos.

Ejemplo:
( x  5)  ( x  3)  (4  x)  0

 ;5 -5 (-5;3) 3 (3;4) 4 4;

x+5 - 0 + + + + +

x–3 - - - 0 + + +

4–x + + + + + 0 -

( x  5)  ( x  3)  (4  x) + 0 - 0 + 0 -

S =  5;3 4; o S = x   /  5  x  3  x  4

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INECUACIONES TRASCENDENTES

En este curso veremos inecuaciones con módulo, pero también dejaremos ejemplos de
otras inecuaciones para que sepan cómo se resuelve.

 INECUACIONES CON MÓDULO: Utilizando la definición de módulo se deducen

propiedades como las siguientes para resolver inecuaciones:

x  a con a    , es equivalente  a  x  a

x  a con a    , es equivalente x  a  x  (a)

Ejemplo 1:
x  2  x  2  x  2
S   ;2  2;

Ejemplo 2:
x 1  4 
 4  x 1  4 
 4 1  x  4 1
 5  x  3
S   5;3
Ejemplo 3:
3  x  1  2  x  1  15  (Asociamos expresiones semejantes)
5  x  1  15 
15
x 1   (aplicamos la propiedad del módulo)
5
x 1  3 

x  1  3  x  1   3
x  4  x   2
S  ;2  4;

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 INECUACIONES CON EXPONENCIALES: Para resolver este tipo de inecuaciones,

se debe utilizar propiedades de exponenciales
Ejemplo:
2 x  8  x  log 2 (8)
x  log 2 (2 3 ) S  3;
x3

 INECUACIONES CON LOGARITMOS: Para resolver este tipo de inecuaciones, se

debe utilizar propiedades de logaritmos
Ejemplo:
ln 2 x   0  2 x  e 0
2x  1 1 
S   ; 
2 
1
x
2

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: ECUACIONES E INECUACIONES

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

EJERCICIO 1: Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

a) 7 x  9  9 x  3 b) 3x  10  2 x  1 c) 25  2 x  20  3x
d ) 3x  9  9 x  27 e) 5  4 x  4 x  20  2 x f ) - 15  10x  4 x  27
g ) 5x  6  10x  3 h) 3  3x  4 x  5 i) 7 x  14  3x  2

EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes ecuaciones con corchetes y paréntesis.

a) 2  4 x  2  12x  3 b) x  3x  15  3x  10
c) 2  x  5  3x  17 d ) x  15  3  x  19
e) 10  5  x  3  3  x  1  f ) 3  2 x  3x  1 x  1
g ) 3 10  x 2  8  x   13 h) 2  3x  2 4  2 x  5  x  2
EJERCICIO 3: Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones

a) ¿Qué número aumentado en 12 da 53?

b) ¿Qué número multiplicado por 4 y luego sumándole 5 al producto da 29?

c) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál
es el número?
d) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
e) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es
147. Hallar el número.
f) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son
los números?

EJERCICIO 4: Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias.

x2 3x  x
a)  5x  4 b) 1 34  
3 2  9 

2   x  5 7 x  7   10
c)  d) 3
3x-20 8 x3 x3

3 x x 3x
e)  1 f)   x  21
x 1 x 1 4 6

x2 2x  1 3x  3
 3  x  3 2 
2 2 7
g) x  h)   
3 3 x 1 x2 1 x 1 x 1

x  5 x  5 10 x 1 x x6
i)   j)   
x 5 x 5 3 x6 2 6 6 x

x  1 x  2 2 x  13 x  1 3x  5 x  3
k)   l)  
x 1 x  2 x 1 x2  9 x  3 x  3

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 UNIDAD N° 3

2 x  3 4 x 2  5 x  8 3x  1 x 6 x 3 13x  48
m)   n)   2
x2 x2  4 2 x x  4 x  2 x  6x  8

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EJERCICIO 5: Determine la solución de cada una de las siguientes ecuaciones

a) 3x 2  5 x  2  0 b) x 2  2 x  3  0 c) x 2  4 x  1  0

d ) - 10x 2  1000  0 e) (2 x  1) 2  1 f ) x 2  12x  20  0

g ) x( x  1)  x(2 x  1)  2(1  x)  5 h) ( x  6)  ( x  5)  ( x  7)  ( x  4)  2

EJERCICIO 6: Plantee y resuelva las ecuaciones.

a) Hallar un número tal que el producto del mismo por su cuarta parte sea igual a 1764

b) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado más su triplo es igual a 40?

c) ¿Cuál es el número tal que la mitad de su cuadrado es igual al duplo del mismo más 6?

d) ¿Cuáles son los dos números naturales consecutivos cuyo producto es 812?

EJERCICIOS DE ECUACIONES BICUADRÁTICAS

EJERCICIO 7: Resuelva las siguientes ecuaciones bicuadráticas ( con soluciones reales y

complejas).

a) x 4  5 x 2  4  0 b) x 4  17x 2  16  0 c) x 4  125x 2  2500  0

d ) 4x4  5x 2  1  0 e) x 4  4 x 2  3  0 f ) x 4  8x 2  9  0

EJERCICIOS DE ECUACIONES IRRACIONALES

EJERCICIO 8: Resuelva las ecuaciones.

a) x - 3  x  5 b) 3x  1  3x  11

c) 3  2x  3  2  7 d ) 2x  5  1  x  2

e) x 2 - 3x  4  x 2 - 3x  1  3 f ) x  1  x 2  3x  2

EJERCICIO 9: Demuestre la siguiente igualdad 11 - 6 2  11  6 2  6 .

EJERCICIOS DE ECUACIONES CON MÓDULO

EJERCICIO 10: Resuelva las siguientes ecuaciones con módulos

a) 2x - 3 = 2 b) x  5  6 c) 2 x  6  0

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 UNIDAD N° 3

x x 1 4 x
d) 2 - =2 e) 1 f) 3
3 x5 3x

g ) x  3  2x - 7 = x h) 3x  9  2 x  6  4 i)7  4 2  x  1

EJERCICIOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

EJERCICIO 11: Halle la solución de las ecuaciones.

 2log 5  5 8log 3  eln 5  x 2  7log 3 x 

log 3 7 log 5 x
a) 3 2
b) 8 7

 
log 3 x 2 2 
c) 3  5eln x  3 10log 10
d) xe x  e x  0

e) e57 x  e f) x 2 e x  xe x  6e x  0

7
g) 2 x2  2 x1  2 x  h) 3x1  3x1  30
2
2 x1
e 2 x  5e x  e  e x1  0
4x
i)  j)
4 x2 2 x1
1
2 x x3  9 x  4  3x  3  0
2
k) l)
2
EJERCICIO 12: Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) log 4 x  2 b) logx  1  logx  2  1

c) logx  2   logx   log 8 d) log 2 x  3  log 2 2 x  1  log 2 4

e) log log x   1 f) log 2 x  log x 2

g) log 3 x 2  log 3 x  6 h) 10. log 5 x  5  5 log 5 x  0

log 35  x 3 
i) log 2 x  log 2 x  4
3 2
j) 3
log 5  x 

EJERCICIO 13: Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.

a) log x1 (6 x  1)  2 b) log x1 (2 x  1)  2

c) log x (6  x  x 2 )  2 d) log 2 x6 (3x 2  17 x  26)  2

e) log x1 ( x 2  5x  6)  1 f) log x2 ( x 2  4 x  2)  1

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 UNIDAD N° 3

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON INECUACIONES

EJERCICIO 14: Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales.

a) A  {x   /  2  x  3  3} b) B  {x   /  3  x  1  5}
c) C  {x   /  1  2  x  4} d ) D  {x   / 3x  2  3x  5  2}
EJERCICIO 15: Plantee los siguientes problemas como inecuaciones y obtenga su
solución:
a) Halle el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a 3 sea menor a 6.

b) Halle el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a 1 sea mayor o
igual que 5.

c) Un vendedor recibe un salario conformado de la siguiente manera: Sueldo fijo: $8.500

más 10% de comisión por las ventas realizadas. ¿Cuánto deben sumar sus ventas para
que su ingreso sea superior a $15.000?
d) El peso máximo que soporta un ascensor es de 225 kg. Un hombre de 75 kg, transporta
consigo cajas las cuales pesan cada uno 12,5 kg. ¿Cuántas cajas puede transportar?

EJERCICIO 16: Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones con módulo
y representa en la recta numérica.

a) A  {x   / x  3} b) B  {x   / x  4}

c) C  {x   / x  2  4} d ) D  {x   / x  6  1  x  8}

e) E  {x   / x  2  4} f ) F  {x   / 3x  12  6}

g ) G  {x   / 2x - 4  3 x  2  10}

EJERCICIO 17: Resuelva las siguientes inecuaciones no lineales.

x 3 x 1
a) 0 b) x 3  2 x 2  3x  0 c) 0
x2 x 1

d ) x 2 1  0 e) 3  x 2  5x  0 f)
2 x  1  x  5  0
x4

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 UNIDAD N° 3

RESPUESTAS: ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES
EJERCICIO 1:
a) S  {3} ; b) S  {11} ; c) S  1 ; d ) S  {6} ; e) S  {5 / 2} ; f ) S  {7}
g ) S  {3 / 5} ; h) S  {2} ; i) S   3
EJERCICIO 2:
a) S  {1/ 4} ; b) S  {5} ; c) S  7; d ) S  {21} ; e) S  {4} ; f ) S  {1}; g ) S  {1} ; h) S  {2}
EJERCICIO 3:
a) S  {41} ; b) S  {6} ; c) S  17; d ) S  {25,27 y 29} ; e) S  {20} ; f ) S  {51y52}
EJERCICIO 4:
a) S  {1} ; b) S  {6} ; c) S  12; d ) S  {2} ; e) S  {2} ; f ) S  {12}

g ) S  {4}; h) S  {0}; i) S  {10;10} ; j ) S  {3;18} ; k ) S  { 65 ;5 }; l ) S  { 54 ;1} m) S  {3;4}; n) S  2;6

EJERCICIO 5:
a) S  { 13;2} ; b) S  {3;1}; m) S  {1;0} ; c) S  {2  3;2  3} ; d ) S  {10;10

e) S  {1;0}; f ) S  {10;2; g ) S  {2  7 ;2  7} ; h) S  {4; 7

EJERCICIO 6:
a) S  {84;84} ; b) S  {8;5} ; c) S  {2;6}; d ) S  {28;29}; e) S  {};
f ) S  {}
EJERCICIO 7:
a) S  {2;1;1;2} ; b) S  {4;1;1;4} ; c) S  {10;5;5;10}; d ) S  {1; 12 ; 12 ;1}; e) S  { 3;1;1; 3};
f ) S  {i; i;3;3}
EJERCICIO 8 :
a) S  {7} ; b) S  {5} ; c) S  {3}; d ) S  {2}; e) S  {0;3}; f ) S  {1}
EJERCICIO 10:

   1 2
a) S  1 ; 5 ; b) S   ; c) S   3; d) S  0;12 ; e) S  2; f) S   ; ;
2 2  2 5
g ) S  2;5; h) S   1;7; i) S  0;4
EJERCICIO 11:
4
a) x  12 ; b) x  1  x  2 ; c) x  3  x  2 , d) 1, e) x  , f) x  3  x  2 .
7
g) x  1 , h) x  2 , i) x  2 , j) x  ln 5  x  1 ; k) x  (1)  x  2
;l) x  0  x  1
EJERCICIO 12
7 13
a) x  25 ;b) x  ; c) x  4 ;d) x  ;e) x  1010 ; f) x  1  x  100 ;g) x  9 ;
3 2
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 UNIDAD N° 3

1
h) x  ; i) x  16 ; j) x  2  x  3 .
5
EJERCICIO 13
a) x  4 ; b) x  4 ; c) x  2 ; d) x  5 ; e) x  7 ; f) x  4 .
INECUACIONES:
EJERCICIO 14
a) S   5;0 
; b) S   6;4; c) S   2;3; d) S   1 ;
6

EJERCICIO 15:
a) S   3;9 ; b) S   ;4  6; ; c) x  $65.000 ; d) x  12 cajas
EJERCICIO 16:
a) (-3;3) ; b) (-  ;-4)U(4;+  ); c) [-2;6]; d) (5;7) U {8}; e) (-  ;-6]U[2;+  );
f) [-6;-2]; g) [0;4]
EJERCICIO 17: a) S   ;2  3;   ; b) S   ;3  0;1 ; c) S  - ;-1  1; ;
5 
d ) S   1;1; e) S  - ;0   ; 
3 

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