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Inecuaciones
Inecuaciones
Inecuaciones
Sabemos que el conjunto de los números reales, incluye los números racionales, y
los números irracionales. Unos y otros se hallan tan “mezclados” en ℝ que:
• Entre dos números reales cualesquiera, a y b, existen infinitos números
racionales e irracionales.
• No existe el siguiente de ningún número real.
• Si a y b son dos números reales diferentes, no es posible formar una lista
ordenada con todos los números reales comprendidos entre a y b.
Pero sabemos que el conjunto de los números reales está ordenado. Ejemplos de desigualdades:
En el conjunto de los números reales, además de las operaciones conocidas a) 3 + 7 > 6
(suma, producto,…) están definidas dos relaciones de orden: b) 3 + 7 < 8
Las relaciones numéricas que se expresan con estos signos se llaman desigualdades
y las relaciones algebraicas que los utilizan se llaman inecuaciones.
Lo mismo que ocurre con las igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o
falsas. Esta valoración en el caso de las literales puede depender del valor de la
incógnita.
Propiedades:
• Dados dos números reales A y B, se verifica una, y sólo una, de las
siguientes condiciones: A > B ó A < B ó A = B
• Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma
expresión se obtiene una desigualdad del mismo sentido.
• Al multiplicar o dividir por un mismo número positivo los dos miembros de
una desigualdad se obtiene una desigualdad del mismo sentido.
• Al multiplicar o dividir por un mismo número negativo los dos miembros
de una desigualdad se obtiene una desigualdad de sentido contrario.
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INECUACIONES Ejemplo:
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones 10 x < 5
en las que aparecen una o varias incógnitas, es decir, una Es una inecuación con una incógnita.
inecuación es una desigualdad algebraica. Ejemplo:
x2 − 4 x ≤ y − 3
Una solución de una inecuación es cualquier valor numérico Es una inecuación con dos incógnitas.
de cada una de las incógnitas que hacen cierta la
desigualdad.
Ejemplo:
EJEMPLO: x 4 ≥ 16
• El valor x = 4 es “una” solución de la inecuación 2x -3 < 7
ya que 24 - 3 = 5 (que es menor que 7). x 4 − 16 ≥ 0
• Los valores x = 4 e y = 3 son “una” de las soluciones de la
•
inecuación 2x + y > 5 ya que 24 +3 = 11, que es mayor que 5.
La inecuación x2 < -10 no tiene solución. No es posible
(x 2
+ 4 ) ( x + 2 )( x − 2 ) ≥ 0
encontrar un número real cuyo cuadrado sea negativo. S = ( −∞, −2] ∪ [ 2, +∞ )
Ejemplo:
Resolver una inecuación es calcular el conjunto formado por
todas sus soluciones que, en general, son infinitas. 7 (3 − x ) ≥ 5
21 − 7 x ≥ 5
EJEMPLO:
Dada la inecuación: 3x + 10 ≥ 2x + 13, resolviéndola obtenemos la −7 x ≥ −16
solución: x ≥ 3 7 x ≤ 16
a) La inecuación x ≥ 3 indica el conjunto de todos los números 16 16
reales mayores o iguales que 3. x≤ ⇒ S = −∞,
b) Gráficamente la representamos así: 7 7
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