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El proyecto danés KOM y sus posibles consecuencias

para la formación del profesorado 1

Mogens Niss 2
IMFUFA, Universidad de Roskilde
Dinamarca
mn@mmf.ruc.dk

Resumen 3

Se define el concepto de competencia matemática y se describe las

ocho competencias matemáticas identificadas por el proyecto KOM. Tam-
bién se analizan sus implicaciones en la formación de profesores de
matemáticas y la propuesta del proyecto KOM al respecto.

Palabras clave

Competencia matemática, formación de profesores, competencias del

profesor de matemáticas.

Abstracto

Define el concepto de competencia matemática y describe el

ocho competencias matemáticas identificadas por el proyecto KOM. También
analiza sus implicaciones para la formación de profesores de matemáticas
y propuesta de proyecto KOM al respecto.

Palabras clave

Competencia matemática, Formación del profesorado, Habilidades matemáticas del profesor.

1. Introducción

Este documento está guiado por un intento de responder a dos preguntas principales: ¿Qué
significa dominar las matemáticas? y ¿Qué significa ser un buen matemático?

1 Este artículo fue aportado generosamente por M. Niss en el contexto de su participación

como conferencista magistral inaugural en la XIII CIAEM que tendrá lugar en Recife, Brasil,
26 - 30 de junio del 2011.
2 Mogens Niss fue durante muchos años secretario general de la International Commission

en Instrucción Matemática.
 3 El resumen, las palabras clave, el resumen y las palabras clave fueron agregados por los editores.
Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2011. Año 6. Número 9. pp 13-24.
Costa Rica

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14 Mogens Niss

profesor de matematicas? Para que la discusión tenga un punto algo concreto

de partida, comencemos por considerar un ejemplo de una posible tarea escolar
en el nivel secundario superior. Debe tenerse en cuenta que no se trata de
recomendar (o lo contrario) esta tarea como una actividad valiosa. Sirve ilustra-
sólo con fines positivos, como combustible para la discusión general subsiguiente, y ha sido
elegido por su relativa simplicidad y porque tiene sentido en los límites
de varios niveles educativos (según el país).

2. Ejemplo ilustrativo

Suponga un trozo de cartón rectangular, de dimensiones by 2b. Queremos

para producir una caja abierta doblando los lados del cartón. ¿Qué tan grande
volumen que podemos obtener mediante este proceso? Si queremos obtener al menos un cierto
volumen, ¿qué dimensiones debe tener el cartón?

X
2b

Figura 1: Cartón de dimensiones by 2b.

Este es un problema de matemáticas aplicadas algo estilizado. Para responder a la pregunta

implicaciones implícitas en él, se necesita un modelo matemático, por ejemplo, de la siguiente manera:

1. Matemizar el problema:

Marque franjas del mismo ancho (variable), x, a lo largo de todos los lados de la tarjeta.
tablero, corte las esquinas y doble los lados para producir la caja abierta. La resultante
caja tendrá el volumen

V (x) = x (2b - 2x) (segundo - 2x) = 2x (segundo - x) (segundo - 2x).

Las preguntas del problema se pueden traducir a las matemáticas: ¿hay un

(factible) valor de x para el cual V (x) alcanza un valor máximo? Si es así, ¿hay
más de uno de esos valores de x? ¿Qué debería ser b para asegurar un cierto
volumen mínimo de la caja abierta?

2. Especificación en términos matemáticos:

Según la naturaleza de la situación, los valores factibles de x satisfacen 0 <x < b ,

2
a pesar de que V como una función polinomial se define para todo x en R. Ahora estamos
listo para especificar las preguntas matemáticas que implica el problema:
 ✐

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Q 1: ¿Existe un valor de x en el intervalo factible I =] 0, b / 2 [para el cual V es

máxima en yo?

P 2: Si es así, ¿cuál es este valor?

P 3: ¿Hay más de un valor de x en I?

P 4: Si es así, ¿es un valor 'mejor' que los demás si se introducen criterios adicionales?
duced?

P 5: ¿Qué debería ser b para obtener al menos un volumen determinado?

3. Representar V por su gráfica:

Observamos que V (0) = V (b / 2) = V (b) = 0 y que el polinomio no tiene
otras raíces. En el intervalo factible I =] 0, b / 2 [, tenemos x> 0, b - x> 0
y b - 2x> 0, por lo tanto, V (x)> 0 en I. Para x negativo, V (x) es negativo. Para
b / 2 <x <b, V (x) es negativo cuando b - x> 0 y b - 2x <0. Para x> b, V (x)
es positivo ya que tanto b - x como b - 2x son negativos.

Esto nos permite esbozar cualitativamente la gráfica de V (ver Figura 2 que también
contiene la gráfica de la derivada, V / , de V para un propósito posterior).

y = V (x)

0 b/2
y = V / (x)

Figura 2: Gráfico de V y V .

4. Respondiendo a la P1:
Como V es una función polinomial, es continua en el intervalo cerrado [0, b / 2].
Por tanto, alcanza un valor máximo en ese intervalo.

Como V (0) = V (b / 2) = 0, y como V asume valores positivos en I, el máximo

el valor se alcanza en el interior, es decir, en I. Entonces, la respuesta a la P1 es “¡sí!”. Esta
La respuesta está respaldada visualmente por la lectura de la gráfica de V.

5. Respondiendo a la P2:

Aquí usamos un poco de cálculo. Como podemos reescribir

V (x) = 2x (2x 2 - (2b + b) x + b 2 ) = 4x 3 - 6bx 2 + 2b 2 x,

✐
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dieciséis Mogens Niss

tenemos que la derivada de V viene dada por

V / (x) = 12x 2 - 12bx + 2b 2 = 2 (6x 2 - 6bx + b 2 ).

Resulta que
/ 3) / 6.
V / (x) = 0 para x = b (3 소
/ 3) / 6 es factible
Como b (3 + / 3) / 6 no es factible (> b / 2), mientras que b (3 -
(/ 3/6 < 1 ), solo hay una solución posible y factible, es decir, x 0 = b (3 -
/ 3) / 6. 2

El valor de V en x 0 es
/ 3) [b / 3) / 6] [b / 3) / 3] = b 3 / 3/9> 0.
V (x 0 ) = (2b / 6) (3 - - b (3 - - (3 -

Lo que hemos encontrado es un punto extremo para V en I. ¿Podemos estar seguros de que es un
punto máximo? Sí, porque en 4. argumentamos que hay un punto máximo para V
en I, y dado que hemos identificado solo un punto extremo, x 0 , en I, x 0 tiene que
ser un punto máximo.

(También podríamos argumentar que

V // (x) = 12 (2x - b),

así que eso

/ 3) / 3 / 3 <0,
V // (x 0 ) = 12 [b (3 - - b] = -4b
lo que implica que x 0 es un punto máximo para V.)

El valor x 0 es un valor exacto. Si queremos una estimación que sea útil para
propósitos prácticos, por ejemplo, x 0 ≈ 0.211b, normalmente tenemos que hacer uso de herramientas
o ayudas como calculadoras, computadoras o tablas para obtenerlo.
En resumen, podemos concluir que existe una y solo una solución factible
/ 3) / 6
al problema, a saber, x 0 = b (3 - ≈ 0,211b.
Esto responde a la P2.
6. Respondiendo a Q3 y Q4:

No hay otro punto máximo para V en I. Por lo tanto, no hay alternativa a

considerar.

7. Respondiendo a la pregunta 5:

Se encontró que el volumen máximo que se puede obtener en I es b 3 /3/9. Entonces,

si queremos obtener un cierto volumen mínimo dado, V 0 , esto se puede obtener
por elección
b = (3 / 3V 0 ) 1/3 .

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 Nuevamente, se puede obtener una estimación numérica para un V 0 dado mediante
computadoras, calculadoras o tablas.

Esto responde a la P5 y ahora se ha resuelto todo el problema.

Ha llegado el momento de analizar qué se necesita para hacer lo que acabamos de hacer. En orden
para completar con éxito esta tarea, uno tiene

para poder realizar modelos matemáticos de una situación pseudopráctica

ución como un medio para hacer preguntas y resolver problemas pertinentes a ese
situación.
poseer un sentimiento por el tipo de preguntas que hacemos en matemáticas y
el tipo de respuestas que podemos esperar, que es un elemento clave en el pensamiento
matemáticamente.
Ser capaz de plantear, concretar y resolver problemas matemáticos.
para formular y justificar declaraciones, soluciones y conclusiones, es decir, para
razonar matemáticamente.
hacer uso de diferentes representaciones matemáticas y traducir
entre ellos. En este caso nos hemos encontrado
representaciones simbólicas.
para poder manejar el simbolismo matemático y el formalismo.
para poder comunicarse sobre asuntos matemáticos
hacer uso de herramientas y ayudas matemáticas

Estos son exactamente los componentes principales del proyecto KOM danés que
describirá en la siguiente sección.

3. El proyecto Danish KOM (Competencias y aprendizaje de

Matemáticas)

Sin entrar en detalles de la génesis del proyecto danés KOM 2000-

2002, que contó con un complejo escrito del Ministerio de Educación y el entonces
Consejo Nacional de Educación Científica y Matemática, tarea principal del
proyecto (dirigido por el autor de este artículo) debía considerar, y posiblemente
respuesta - la pregunta "¿Qué significa dominar las matemáticas?". Para
diversas razones por las que inmediatamente decidimos adoptar un enfoque basado en competencias
proach. Esto requiere una definición.

Definición: Poseer competencia matemática significa tener conocimiento de,

comprender, hacer y usar las matemáticas y tener una opinión bien fundada

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al respecto, en una variedad de situaciones y contextos donde las matemáticas juegan o

puede jugar un papel.

Una competencia matemática es un componente principal distinto en matemática.

 competencia.
Competencias matemáticas

En el proyecto KOM hemos identificado ocho de estas competencias, que pueden

Se considerará que forman dos grupos, cada uno de los cuales contiene cuatro competencias.

La capacidad de hacer y responder preguntas en y con las matemáticas:

Competencia en pensamiento matemático: dominio de modos matemáticos de pensamiento,

incluye

- comprensión y manejo de las raíces, alcances y limitaciones de

conceptos dados;
- abstraer conceptos, generalizar resultados;
- distinguir entre diferentes tipos de enunciados matemáticos, p. Ej.
definiciones, teoremas, conjeturas, enunciados sobre objetos individuales
y casos particulares;
- poseer conciencia de los tipos de preguntas típicas de las matemáticas,
y comprensión de los tipos de respuestas que se pueden esperar;
- poseer la capacidad de plantear tales preguntas.

Competencia en el manejo de problemas: formular y resolver problemas matemáticos

lemas, incluye

- detectar, formular, delimitar y especificar problemas matemáticos

lemas puros o aplicados, abiertos o cerrados;
- poseer una capacidad para resolver problemas, planteados por uno mismo o por otros, si
deseable de diferentes maneras.

Competencia de modelado: poder analizar y construir modelos matemáticos

con respecto a otras áreas, incluye

- analizar los fundamentos y propiedades de los modelos existentes, y evaluar-

conocer su alcance y validez;
- Realización de modelos activos en contextos dados, es decir, estructuración y matemáticas.
ematizando situaciones, manejando el modelo resultante, dibujando matemática-
conclusiones concretas del mismo, validando el modelo, analizándolo críticamente,
comunicarlo, monitorear y controlar todo el proceso.

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Competencia de razonamiento: ser capaz de razonar matemáticamente, incluye

- seguir y evaluar el razonamiento matemático de otros;

- comprender qué es (no) una prueba y en qué se diferencia de otros tipos
de razonamiento;
- comprender la lógica detrás de un contraejemplo;
 - descubrir las ideas principales en una prueba;
- diseñar y llevar a cabo argumentos formales e informales, incluyendo
transformar el razonamiento heurístico en prueba válida.

Las competencias del segundo grupo se centran en

La capacidad de trabajar con herramientas y lenguaje matemático:

Competencia de representación: ser capaz de manejar diferentes representaciones de

entidades matemáticas, incluye

- comprender (decodificar, interpretar, distinguir) y utilizar diferentes tipos

de representaciones de entidades matemáticas;
- comprender las relaciones entre diferentes representaciones del mismo
entidad;
- elegir, hacer uso y cambiar entre diferentes representaciones
ciones.

Competencia en símbolos y formalismo: ser capaz de manejar el lenguaje simbólico

y sistemas matemáticos formales, incluye

- decodificación del lenguaje simbólico y formal;

- traducir de un lado a otro entre el lenguaje simbólico y el lenguaje natural.
calibre
- Manejar y utilizar declaraciones y expresiones simbólicas, incluyendo
fórmulas
- comprensión de la naturaleza de los sistemas matemáticos formales.

Competencia de comunicación: ser capaz de comunicarse, en, con y sobre

matemáticas, incluye

- comprender, examinar e interpretar diferentes tipos de escritos,

expresiones o textos matemáticos orales o visuales;

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- expresarse de diferentes maneras y con diferentes niveles de precisión,

sobre cuestiones matemáticas a diferentes tipos de audiencias.

Competencia en herramientas y ayudas: ser capaz de utilizar las herramientas y relacionarse con ellas.
y ayudas de las matemáticas, incluye

- tener conocimiento de la existencia y propiedades de diferentes

herramientas y ayudas para la actividad matemática (por ejemplo, reglas, brújulas,
torres, tablas, centicubos, ábacos, calculadoras, ordenadores, Internet);
- tener una idea de las posibilidades y limitaciones de tales herramientas;
 - uso reflexivo de herramientas y ayudas.

Parece que estas competencias proporcionan una sistematización de los elementos

involucrado en el tratamiento del ejemplo inicial.

Las competencias están estrechamente relacionadas, pero son distintas. Uno puede pensar
y representan cada competencia como constituyendo una red borrosa delineada de
aumentando la densidad hacia un centro de gravedad. Las diferentes redes se superponen, pero
como cada uno tiene su propio centro de gravedad, las redes son claramente discernibles desde una
otro. Además, si nos centramos en una de las competencias, las demás pueden
ser llamado como medio auxiliar para perseguir los fines del en cuestión.
Supongamos, por ejemplo, que tenemos la competencia de manejo de problemas en
mente. Entonces está claro que, digamos, la competencia de representación, los símbolos
y la competencia de formalismo y la competencia de razonamiento, y tal vez la
la competencia en herramientas y ayudas, todos son muy útiles para ayudar en la
especificación y sobre todo en la solución de problemas matemáticos.

Todas las competencias tienen una naturaleza dual, ya que cada una de ellas contiene dos
lados. Un lado enfatiza la capacidad del individuo para comprender, seguir,
Relacionarse, analizar y juzgar el ejercicio de otras actividades de las actividades abarcadas.
por esa competencia, y uno enfatizando la propia independencia del individuo
seguimiento y realización de estas actividades.

Las competencias también comprenden lo que algunos pueden querer ver es competencia independiente.
petencies, como la intuición y la creatividad. La intuición está en la agenda en la mayoría
de las competencias, por ejemplo cuando hablamos del tipo de preguntas
y los tipos de respuestas que son característicos de las matemáticas, de desarrollar
razonamiento heurístico, y de hacer uso de diferentes representaciones. Creativ-
La capacidad puede verse como la fusión de todos los aspectos del desempeño de los ocho
competencias.

Finalmente, las competencias son específicas de las matemáticas, incluso si sus títulos pueden
tiene sentido en otros campos y materias. Y, lo más importante,

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abarcan todos los niveles educativos, desde la escuela primaria hasta la universidad,
y en todas las áreas temáticas, desde la aritmética hasta la topología.

Visión general y juicio sobre las matemáticas como disciplina

Las competencias matemáticas se manifiestan en el manejo de situaciones y

contextos en los que una tarea o un desafío relacionado con las matemáticas se
directamente presente. Sin embargo, en el proyecto KOM queríamos insistir en que
La educación matemática también debe servir para establecer una forma reflexiva, sólida y
imagen equilibrada, con los más entendidos, de las matemáticas como disciplina. Nosotros
por lo tanto, identificó tres formas de visión general y juicio con respecto a las matemáticas
la matemática como disciplina, que vimos como piedras angulares de tal imagen:

La aplicación real de las matemáticas en otras materias o prácticas.

áreas. Aquí enfatizamos que las matemáticas se están aplicando realmente
 y empleado fuera de las matemáticas en otras materias y campos de la ciencia
práctica social o científica, que debe reflejarse en las matemáticas
educación.
El desarrollo histórico de las matemáticas, tanto internamente como desde
un punto de vista social. Aquí enfatizamos que las matemáticas han sido
y se está desarrollando en el tiempo y el espacio, en la sociedad y la cultura, y por
seres humanos con diferentes tipos de antecedentes y roles y por un
variedad de propósitos diferentes. Una vez más, esto debería reflejarse en matemáticas
educación matemática.
La naturaleza de las matemáticas como disciplina. Aquí destacamos que
Las matemáticas tienen características importantes en común con otras
campos, y características igualmente importantes que lo distinguen de otros
tales campos. Esto no solo debe reflejarse, sino también reflejarse en
en educación matemática.

En resumen, aquí la atención se centra en aspectos importantes de las matemáticas en su conjunto,

no en situaciones matemáticas.

***

¿Cómo se puede emplear y utilizar todo esto en la educación matemática? Bien,

básicamente de tres formas diferentes.

En primer lugar, de manera normativa, cuando decidimos sobre las metas y objetivos de la enseñanza
aprendizaje y aprendizaje, diseñar planes de estudio, establecer prioridades, producir materiales didácticos,
y así sucesivamente, y cuando monitoreamos la coherencia y la progresión en matemáticas
educación.

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En segundo lugar, de forma descriptiva, cuando queremos saber y comprender qué

en realidad ocurre (o no ocurre) en la educación matemática. Utilizando la
competencias y las tres formas de visión general y juicio como lentes a través de
que la realidad de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se puede representar y
analizado, también nos permite comparar, digamos, la enseñanza, los planes de estudio y las instituciones
y puede ayudarnos a identificar las causas de los problemas de transición de una
segmento del sistema educativo a otro.

Finalmente, puede servir como apoyo metacognitivo para profesores y estudiantes,

cuando luchan con preguntas sobre el camino que la enseñanza o el aprendizaje
está tomando actualmente, los énfasis adoptados, los problemas que se han producido, etc.

4. Posibles consecuencias para la educación de la enseñanza de las matemáticas.

ers

Ahora estamos preparados para abordar nuestra segunda pregunta orientadora "¿Qué significa
¿Quieres ser un buen profesor de matemáticas? ”.
 Puede que no sea una gran sorpresa que, en el proyecto KOM, la primera aproximación
mación a una respuesta es esta:

Un buen profesor de matemáticas es aquel que puede fomentar eficazmente el desarrollo

de competencias matemáticas con sus alumnos.

Aunque esta respuesta sugiere un enfoque y algunas prioridades que no son

necesariamente un lugar común entre los educadores de matemáticas, tiene que ser admitido
ted que tampoco es demasiado informativo. Tenemos que ser más específicos para
obtener una respuesta útil.

Huelga decir que si un profesor de matemáticas va a fomentar el desarrollo de la

competencias matemáticas con los estudiantes, ese profesor debe poseer estas
competencias por sí mismo. Lo mismo vale para las tres formas de descripción general.
Esto puede ser un poco más controvertido, en particular en educación
sectores donde la formación docente se centra en la formación del docente generalista
con énfasis en la educación general y la pedagogía general, mientras que
Las cuestiones relativas a la asignatura o asignaturas de enseñanza se consideran de nivel secundario.
importancia. No obstante, la mayoría de los educadores matemáticos tienden a estar de acuerdo en que
Dado que los profesores enseñan lo que saben, los profesores de matemáticas deben saber y
poder hacer lo que (deberían) enseñar. Por tanto, en muchos lugares la formación de profesores
Los programas de aplicacin se construyen como una especie de producto cartesiano de
la educación y la pedagogía, por un lado, y el conocimiento de la materia en
el otro. En otros lugares, se ha optado por integrar estos dos componentes
nentes para futuros profesores, de modo que resulte en un específico, didácticamente modificado
la enseñanza de las matemáticas como asignatura escolar más que como disciplina.
✐

Página 11
El proyecto danés KOM y sus posibles consecuencias para la formación del profesorado 23

El proyecto KOM ha tomado otro camino. Propone tres componentes principales

de la educación (y desarrollo profesional) de un profesor de matemáticas: A
educación matemática basada en el enfoque de competencias. Un componente
de la educación general y la pedagogía, y - y este es probablemente el más novedoso
parte en este contexto - competencias didácticas y pedagógicas con
con respecto a las matemáticas.

Hemos identificado seis de tales competencias, de la siguiente manera:

Competencia curricular

Esto incluye la capacidad de comprender, analizar, evaluar, relacionarse e implementar

mentar los planes de estudio y los programas de estudios de matemáticas existentes, así como la capacidad de
estructurar nuevos si es deseable o necesario.

Competencia docente

Esto incluye la capacidad de diseñar, planificar, organizar, orquestar y llevar a cabo

Enseñanza de las matemáticas, que incluye: Crear un amplio espectro de enseñanza / aprendizaje.
situaciones; buscar, evaluar, seleccionar y crear materiales didácticos; inspirar
educar y motivar a los estudiantes; discutir los planes de estudio y justificar la enseñanza / aprendizaje
ing actividades en discusiones con los estudiantes.

Descubrimiento de la competencia de aprendizaje

 Esto incluye la capacidad de descubrir, interpretar y analizar el aprendizaje de los estudiantes de
matemáticas, así como sus nociones, creencias y actitudes hacia las matemáticas
ics. Incluye además la identificación del desarrollo, incluida la progresión, con
el estudiante individual
Competencia de evaluación

Esto incluye la capacidad de identificar, evaluar, caracterizar y comunicar

los resultados del aprendizaje y las competencias de los estudiantes, a fin de informar y ayudar al
estudiante individual y otras partes relevantes. Incluye conocer, seleccionar,
modificar, construir, analizar críticamente e implementar un conjunto variado de
formas e instrumentos de evaluación para servir a diferentes formas formativas y sumativas
propósitos.

Se supone que todos estos aspectos deben afectar y dirigirse a diferentes categorías de estudiantes,
de diferentes antecedentes, en diferentes situaciones y en diferentes niveles, mientras
prestando atención a las necesidades y oportunidades individuales del estudiante. Próximo
vienen dos competencias que se centran en la posición del profesor de matemáticas
en entornos profesionales e institucionales.

Competencia de colaboración

Esto incluye la capacidad de colaborar con diferentes tipos de colegas en y

fuera de las matemáticas, así como con otros (padres, superiores, autoridades,
✐

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24 Mogens Niss

empleadores) en relación con la enseñanza de las matemáticas, sus condiciones de contorno y

circunstancias.

Competencia de desarrollo profesional

Esto incluye la capacidad de desarrollar la propia competencia en matemáticas.

profesor (por lo tanto, es una metacompetencia), que incluye participar y relacionarse
a actividades de desarrollo profesional, como cursos en servicio, investigación
y proyectos de desarrollo, conferencias; reflexionando sobre la propia enseñanza
y necesidades de desarrollo; mantenerse actualizado sobre los nuevos desarrollos
y tendencias en la investigación y la práctica.

En Dinamarca, este enfoque da lugar a importantes iniciativas intelectuales, estructurales y culturales.

Desafíos culturales, políticos y financieros para nuestros sistemas de educación previa al servicio.
y desarrollo en servicio para profesores de matemáticas de cualquier nivel.
De hecho, implementarlo de manera seria requiere reformas fundamentales de
nuestros sistemas. No me sorprendería que ocurriera lo mismo en otros países,
también entre los vecinos de Dinamarca.

Hay indicios en el debate danés de que los elementos de las reformas a lo largo de
Es posible que se inicien líneas en los próximos años. El grado en que esto
suceder depende en gran medida de las condiciones políticas y económicas, la mayoría de
que son bastante controvertidos. Sin embargo, afortunadamente no nos enfrentamos a un “0-
1 problema ”, dejándonos con la opción entre“ no hacer nada ”y“ profundo
y reforma total ”. Las ideas e intenciones aquí esbozadas se pueden implementar
dentro de un continuo de posibilidades, que van desde iniciativas locales en servicio hasta
una basecambios
escalar experimental con un
profundos grupoelde
de todo profesores en una sola institución, a gran
sistema.

Referencias

Niss, M., (1999). Kompetencer og uddannelsesbeskrivelse. Uddannelse No. 9, 1999, 21-29.

Niss, M., (2003). Competencias matemáticas y aprendizaje de las matemáticas: el danés

Proyecto KOM, en Gagatsis, A. y Papastavridis, S. (eds.): 3 ª Conferencia Mediterránea
en Educación Matemática 3-5 de enero de 2003. Atenas: Sociedad Helénica de Matemáticas,
115-124.

Niss, M., (2003). Alfabetización cuantitativa y competencias matemáticas, en Madison, Bl: &
Steen, LA (eds.): Alfabetización cuantitativa: por qué la matemática es importante para las escuelas y el
leges. Princeton, Nueva Jersey: Consejo Nacional de Educación y Disciplinas, 215-220.

Niss, Mogens y Jensen, Tomas H. (eds.), (2002). Kompetencer og matematiklæring - Idéer

og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark [Competencias y
aprendizaje de las matemáticas - Ideas e inspiración para el desarrollo de la educación matemática
catión en Dinamarca]. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. Copenhague: menos
visningsministeriets forlag.