EG - ER - Semana 12

Ejercicios resueltos
Semana 11. Distribuciones discretas
1. En una población de drosóphila, que ataca a cierta variedad de fruta, se sabe que el
25% ha desarrollado mutación en las alas. Si se escogen aleatoriamente 6 moscas de
esta población:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de estas moscas presenten mutación de alas?
b) ¿Cuál es la probabilidad que más de tres presenten mutación de alas?
c) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más una mosca presente mutación de alas?
d) Si se sabe que más de una presenta mutación de alas, ¿Cuál es la probabilidad que
como máximo 4 presenten mutación de alas?
Solución:
x: número de moscas seleccionadas que han desarrollado mutación de alas

x ~ B(6,0.25)
a) p( x  2)  C2 (0.25) (0.75)  0.2966
6 2 4
6
b) p( x  3)   Cx6 (0.25) x (0.75)6 x  0.0376
x4
1
c) p( x  1)   Cx6 (0.25) x (0.75)6 x  0.5339
x 0
4
p(2  x  4) 
Cx6 (0.25) x (0.75)6 x
0.4614
d) p ( x  4 / x  2)   x 4 2   0.99
p( x  2)
C
0.4660
6
x (0.25) x (0.75)6 x
x2
2. Se cree que el número promedio de individuos por cada 2 km 2 de cierta especie de

mamífero que habita en las alturas de cierta región es de 1.2.
a) En una zona de 2.8 km2, cuántos individuos esperaríamos en promedio encontrar.
b) Si se observa un área de 3 km2 en dicha región, ¿cuál es la probabilidad que se
encuentren más de 3 individuos de esta especie?
c) Si se selecciona dos áreas independientemente de 3km2 cada una. ¿Cuál es la
probabilidad que en cada una de estas áreas no haya más de 2 individuos?
Solución:
a)   2.8(1.2) / 2  1.68 individuos en promedio

b) x: número de individuos en 3km2
  3(1.2) / 2  1.8
3
e1.8 (1.8) x
p( x  3)  1  p( x  3)  1    1  0.8912  0.1087
x 0 x!
2
e1.8 (1.8) x
c) p( x  2)  1  p( x  2)  1    0.269378 probabilidad que haya en un área
x 0 x!
de 3km2 más de dos individuos.
Y: número de áreas con más de dos individuos. Y: 0, 1, 2.
p( y  0)  (1  0.2694) 2  0.5338
3. En cierta región hay 8 individuos de una especie de mamífero, de los cuales tres son
machos y el resto son hembras. Si seleccionamos al azar a cuatro individuos, y
observamos el número de machos seleccionados
a. ¿Qué valores posibles podría tomar la variable mencionada?
b. ¿Cuál es la probabilidad que haya más de un macho?
Solución:
a) X: número de machos seleccionados. X: 0, 1, 2, 3.
C13C35  C03C45
b) p ( x  1)  1  p ( x  1)  p ( x  0)  1   0.5
C48
4. Se supone que el número de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable

aleatoria con distribución de Poisson con parámetro igual a 0.5.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en un mm3 de agua del estanque no haya ninguna
bacteria?
1 1
  bacterias / mm 3 t  1mm3   t  *1  0.5
2 2
(0.5) 0 e 0.5
P( x  0)   0.6065
0!
b. Si sabemos que en un tubo de ensayo (con una muestra de agua de 1 mm 3) hay
bacterias, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de tres?
P( x  2)  P( x  0)  P( x  1)  P( x  2)
0.5 2 e 0.5
P( x  2)  e 0.5  0.5e 0.5   3.88e 0.5 =0.985612
2!
c. En 5 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm 3 de agua en

cada tubo). ¿Qué distribución sigue la variable Y: número de tubos de ensayo, entre
los 5, que no contienen bacterias?
y = numero de tubos de ensayo tal que ( x  0)

y = (0,1,2,3,4,5)
5 
P( y  k )   (0.6065 ) k (0.3935 ) 5k k  0,1,2,3,4, 5
k 
5. La experiencia ha demostrado que el número medio de llamadas que llegan a un

conmutador de una central telefónica es de 2 llamadas por minuto.
a. ¿Cuál es la probabilidad de recibir 3 llamadas en 3 minutos?
x: Número de llamadas cada 3 minutos que llegan a un conmutador de una central

telefónica.
2 llamadas ------- 1 minuto
 llamadas ------- 3 minutos
 6 x ~ P  6
6 3
px  3 
e 6
 0.089
3!
6. Si el conmutador puede recibir un máximo de 5 llamadas en 3 minutos, ¿cuál es

probabilidad que no se pueda contestar todas las llamadas que entren en un periodo de
3 minutos?
7. En una tienda comercial se ha observado que cada 75 segundos se efectúa una venta.
a. Halle la probabilidad que en un intervalo de un minuto se efectúe no más de dos
ventas.
60
x: Número de ventas por minuto x ~ P(0.8)    0.8
75
2 0.8 x
e (0.8)
  p( x  2)    0.95258
x 0 x!
b. Si se eligen al azar 2 intervalos de un minuto, halle la probabilidad que en ambos
intervalos se efectúe no más de dos ventas.
y: Número de intervalos (de un min c/u) con ventas no mayores de dos.

y ~ B(2, 0.95258)
 2
p ( y  2)   (0.95258 ) 2 (1  0.95258 ) 0  0.9074087
 2
8. El gerente de producción de una compañía que vende máquinas fotocopiadoras ha
verificado que 16% de sus máquinas instaladas requieren nuevos ajustes después de su
instalación. Si se seleccionan al azar 8 máquinas para ser instaladas en una empresa:
a. Defina la variable aleatoria y su función de probabilidades
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 requieran nuevos ajustes después de la
instalación?
c. La compañía estima que el costo del ajuste después de la instalación por máquina es
de $100 más $8.5 por gastos de movilidad. Si este costo lo debe pagar la compañía
¿Cuál será su costo esperado?.
Solución:
a.
X = Número de máquinas que requieren nuevos ajustes después de su instalación
n=8
P = P(Exitos) = 0.16
f(x) = 8Cx 0.16x 0.848-x
b. P(X>=3)= 1 P(X<=2) =1 – 0.8774 = 0.1226

c. Sea la V.A. C= Costo C = 100 X + 8.5 E( C ) = 100 E(X) + 8.5
Pero: E(X) = n * p = 8*0.16 = 1.28
Entonces: E(C ) = 100*1.28 + 8.5 = $ 136.5
1. Un proveedor de árboles de navidad, encontró que en cada día de trabajo se producen

un pequeño número de ellos que no están aptos para ser vendidos debido a defectos
(producidos en su fabricación), se está considerando este como un problema que tiene
distribución de Poisson, además se sabe que la probabilidad de no encontrar árboles
con defectos en un lote producido en un día de fabricación es de 0.00248.
a) ¿Cuál es el número promedio de árboles que no están aptos para vender en un día
elegido al azar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se produzcan a lo más 2 árboles que no
estén aptos para ser vendidos?.
Solución
a)
b) = 0.0619688

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Semana 11. Distribuciones discretas

x: número de moscas seleccionadas que han desarrollado mutación de alas

2. Se cree que el número promedio de individuos por cada 2 km 2 de cierta especie de

a)   2.8(1.2) / 2  1.68 individuos en promedio

4. Se supone que el número de bacterias por mm 3 de agua en un estanque es una variable

c. En 5 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm 3 de agua en

y = numero de tubos de ensayo tal que ( x  0)

5. La experiencia ha demostrado que el número medio de llamadas que llegan a un

x: Número de llamadas cada 3 minutos que llegan a un conmutador de una central

6. Si el conmutador puede recibir un máximo de 5 llamadas en 3 minutos, ¿cuál es

y: Número de intervalos (de un min c/u) con ventas no mayores de dos.

b. P(X>=3)= 1 P(X<=2) =1 – 0.8774 = 0.1226

Entonces: E(C ) = 100*1.28 + 8.5 = $ 136.5

1. Un proveedor de árboles de navidad, encontró que en cada día de trabajo se producen

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