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Algebra Superior
Algebra Superior
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Ejemplo 7.4. Considérense los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b}. Entonces, la familia
F = {A, B}
tiene como unión al conjunto [
S = {1, 2, 3, a, b}.
S∈F
1Más adelante daremos significado a este concepto.
1
Es importante observar que el cuantificador existencial de la definición es una forma de generalizar
la disyunción. En efecto, consideremos dos conjuntos A y B y la familia {A, B} que sólo contiene
a estos dos conjuntos como elementos. En ese caso, la unión de dicha familia resulta en todos los
elementos x de forma que x ∈ S para algún S ∈ {A, B}, esto quiere decir que colecciona todos los
elementos x tales que x ∈ A o x ∈ B. En otras palabras,
[
S = A ∪ B.
S∈{A,B}
Ejemplo 7.5. Consideremos los conjuntos A1 = {1, 2, 3}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {2, 3, 4, 5} y A4 =
{1, 5} y la familia
F = {A1 , A2 , A3 , A4 }
entonces la unión de esta es simplemente el conjunto
[
S = {1, 2, 3, 4, 5}.
S∈F
Definición 7.3. Sea F una familia de conjuntos. Se define la intersección de los elementos de F
como el conjunto \
S = {x | ∀S ∈ F.x ∈ S}
S∈F
Es importante aclarar que una familia puede ser el conjunto vacı́o sin problema alguno. Sin
embargo, siguiendo la definición para ese caso, se deben buscar los elementos del universo que estén
en todos los elementos de la familia vacı́a pero esto resultará cierto para cada elemento del universo.
En otras palabras: \
S = U.
S∈∅
2En un curso de cálculo, una familia de intervalos de esta naturaleza es un ejemplo de un recubrimiento abierto
de [0,1]. Bajo la misma idea, es siempre posible obtener un recubrimiento abierto de [a,b] para cualquier intervalo.
2
En general, si no hubiera un universo, una intersección de una familia vacı́a serı́a demasiado grande y
por esta razón no es deseable siquiera considerar un caso de esta naturaleza. Nosotros lo evitaremos
en la medida de lo posible y siempre consideraremos que las intersecciones se realizarán sobre
familias no vacı́as.
Ejemplo 7.7. Consideremos los conjuntos de números A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 2, 4}, A3 =
{1, 2, 3, 4, 5} y A4 = {1, 2, 5}, junto a la familia
F = {A1 , A2 , A3 , A4 }.
Entonces la intersección de ésta es simplemente el conjunto
\
S = {1, 2}.
S∈F
Teorema 7.2. Sea F una familia de conjuntos y sea B un conjunto cualquiera. Si A ⊆ B para
todo A ∈ F, entonces [
S ⊆ B.
S∈F
Además, si B ⊆ A para todo A ∈ F, entonces
\
B⊆ S.
S∈F
Demostración. De nueva cuenta sólo mostraremos sólo la primer parte. Supongamos entonces que
[
x∈ S
S∈F
entonces existe un elemento A ∈ F de forma que x ∈ A, por hipótesis se tiene que A ⊆ B al estar
en la familia, luego x ∈ B, lo cual es suficiente para mostrar la contención que bucábamos.
Teorema 7.3. Sea F una familia de conjuntos. Entonces, se satisfacen las igualdades
!c !c
[ \ \ [
c
S = S y S = Sc.
S∈F S∈F S∈F S∈F
Demostración. Una vez más sólo mostraremos el primer resultado para el cual exhibiremos las dos
contenciones. De la primer igualdad debemos observar que la unión a la izquierda es sobre la familia
F pero al lado derecho, la intersección se realiza sobre la familia
F 0 = {S c | S ∈ F} .
Con esto en mente supongamos que !c
[
x∈ S
S∈F
entonces x no pertenece a dicha unión. En otras palabras, no es cierto que exista un elemento A ∈ F
de forma que x ∈ A o, lo que es lo mismo, para todo A ∈ F se cumple que x ∈ / A. Esto quiere decir
que x ∈ Ac para todo elemento A ∈ F lo cual implica que está presente en todos los elementos de
la familia F 0 indicando con esto que \
x∈ Sc.
S∈F
Esto muestra que, !c
[ \
S ⊆ Sc.
S∈F S∈F
Supongamos ahora que \
x∈ Sc.
S∈F
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Entonces, para todo A ∈ F, se tiene x ∈ Ac o en otras palabras x ∈ / A. Esto quiere decir que es
falso que x ∈ A para algún A ∈ F lo cual implica, por definición, que se debe tener
!c
[
x∈ S .
S∈F
Luego,
!c
\ [
c
S ⊆ S .
S∈F S∈F
3. Índices y familias
Hemos ya considerado la posibilidad de tener conjuntos que sus elementos son otros conjuntos
y hemos tenido a bien llamarlos familias de conjuntos. Estos conjuntos son especiales y ahora que
hemos desarrollado una teorı́a de funciones, podemos dar un tratamiento simplificado a un conjunto
que contiene conjuntos través de introducir el concepto de ı́ndices.
Definición 7.4. Sea F una familia de conjuntos. Por una indicación de F entenderemos una
función sobreyectiva A : I → F. Al conjunto I se le denomina el ı́ndice de la indicación.
Ejemplo 7.9. Consideremos la familia
F = {. . . , {−1}, {0}, {1}, . . . } .
Entonces, la función A : Z → F, definida por A(n) = {n}, es sobreyectiva. Esto quiere decir que A
es una indicación y su ı́ndice es el conjunto de los enteros.
Para simplificar la notación y dejar patente el concepto de ı́ndice, nosotros convendremos que en
lugar de A(i), escribiremos Ai . Esto nos permite denotar a una familia F que admita una indicación
A : I → A como
F = {Ai }i∈I .
La pregunta ahora es si es posible obtener familias no indicadas. Por fortuna esto es imposible: Para
cada familia F, la función identidad 1F : F → F es una función sobreyectiva (de entre muchas otras
cosas) por lo que resulta en una indicación de F usando a F misma como ı́ndice. Cuando usemos
a la familia misma como ı́ndice, podremos expresar a dicha familia como
{A}A∈F .
Por todo lo anterior, preferiremos expresar a una familia a través de un ı́ndice. Sin embargo, habrá
ocasiones en que será más sencillo no hacerlo y esto dependerá mucho del contexto.
Ejemplo 7.10. Consideremos la familia
F = {[1], [2], [3], [4], . . . }
donde [n] = {1, 2, 3, . . . , n}. No es difı́cil verificar que la función n 7→ [n] es sobreyectiva y por
lo tanto podemos considerar al conjunto de números naturales positivos como un ı́ndice para la
familia. Bajo la representación que hemos dado, la familia se podrá escribir usando el ı́ndice como
{[n]}n∈N .
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Ejemplo 7.11. Podemos considerar a la familia de todas las funciones constantes en R, i.e.,
F = {f : R → R | f es constante}.
Entonces, podemos definir la función F : R → F como a 7→ κa donde κa (x) = a para todo x. No
es difı́cil convencernos que dicha función es sobreyectiva por lo que resulta una indicación de la
familia. Usando al conjunto de números reales como ı́ndice, podemos entonces represetar a dicha
familia de funciones como
{κa }a∈R .
Debe observarse que los ı́ndices sólo buscan reformular la notación para familias de conjuntos
y los resultados válidos para éstas pueden ser formulados para familias indicadas y como hemos
comentado, ésta será nuestra preferencia. Para mostrar como se manipulan las familias indicadas,
mostraremos un resultado que ya hemos trabajado para uniones e intersecciones de dos conjuntos.
Teorema 7.4. Sea f : A → B una función y sea {Bi }i∈I una familia de subconjuntos de B.
Entonces, son ciertas las igualdades
" # " #
[ [ \ \
−1 −1 −1
f Bi = f [Bi ] y f Bi = f −1 [Bi ].
i∈I i∈I i∈I i∈I
Demostración. Mostraremos sólo la primera igualdad usando dos contenciones. Supongamos pri-
mero que
" #
[
x ∈ f −1 Bi
i∈I
entonces,
[
f (x) ∈ Bi
i∈I
lo cual quiere decir que f (x) ∈ Bi para algún i ∈ I. Esto en particular indica que x ∈ f −1 [Bi ] y en
consecuencia [
x∈ f −1 [Bi ].
i∈I
6
Luego, " #
[ [
−1
f Bi ⊆ f −1 [Bi ].
i∈I i∈I
Supongamos ahora que [
x∈ f −1 [Bi ].
i∈I
Entonces, existe i ∈ I de forma que x ∈ f −1 [Bi ] y por tanto f (x) ∈ Bi . Lo anterior indica que
[
f (x) ∈ Bi
i∈I
Luego, " #
[ [
−1 −1
f [Bi ] ⊆ f Bi .
i∈I i∈I
Ejemplo 7.12. Considerando el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, las siguientes familias de subconjuntos
de A son particiones de A:
{{1}, {2}, {3}, {4}}
{{1, 2}, {3}, {4}}
{{1}, {2, 3, 4}}
{{1, 2}, {3, 4}} .
Esto, por ser todos sus miembros conjuntos no vacı́os, no tener elementos en común y resultar la
unión de sus elementos el conjunto A. En contraste, las siguientes familias de subconjuntos de A
no son particiones:
{∅, {1, 2, 3, 4}}
{{1, 2, 3}, {3, 4}}
{{1}, {2, 3}}
La primera por contener al menos un elemento vacı́o, la segunda por existir una pareja con un
elemento en común y la tercera al ser su unión diferente al conjunto A.
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Ejemplo 7.13. Consideremos P ⊂ Z el conjunto de los números pares e I ⊂ Z el conjunto de los
números impares. Entonces la familia
{P, I}
constituye una partición de Z pues ambos conjuntos son no vacı́os, P ∩ I = ∅ al ser todo entero o
par o impar pero no ambos y por último, al tener Z = P ∪ I.
Ejemplo 7.14. La familia de intervalos semi abiertos indicada por Z y definida como
{[n, n + 1) | n ∈ Z}
constituye una partición de R. Esto se debe a que ninguno de los intervalos puede ser vacı́o, además
de tener [n, n + 1) ∩ [m, m + 1) = ∅ siempre que n 6= m y, finalmente, al satisfacer la unı́on de
dichos intervalos la siguiente igualadad (ejercicio 7.7)
[
[n, n + 1) = R.
n∈Z
Ejemplo 7.15. Para un conjunto A cualquiera, la familia formada por todos los subconjuntos
unitarios de A es una partición. En otras palabras, es una partición de A la familia la familia
{{x} | x ∈ A} .
De la misma manera, la familia que como único elemento tiene al conjunto A, {A}, es una partición.
Ésta es comúnmente llamada la partición trivial de A. Por último, si S ⊂ A entonces la familia
{A, A\S} es una partición de A. Lo anterior constituye una prueba que cada conjunto admite al
menos una partición, incluso si el conjunto es vacı́o.
Ejercicios
Ejercicio 7.1. Considera los siguientes conjuntos:
{A3 } {A1 , A3 , A4 }
{A1 , A4 } {A1 , A2 , A3 , A4 }
Ejercicio 7.2. Considera [n] = {1, . . . , n} y la familia indicada por Z+ definida como
{[n]}n∈Z+ .
Encuentra la unión y la intersección de dicha familia.
Ejercicio 7.3. Sea a ∈ R y sea la familia de intervalos semi abiertos
{[a, a + ε) | ε ∈ R+ }.
Encuentra la unión e intersección de dicha familia.
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Ejercicio 7.4. Retomando uno de los ejemplos, considera la familia
Iδ = {Ix | x ∈ [0, 1]}
donde δ > 0 es un número cualquiera y para un número real x, definimos
Ix = (x − δ, x + δ).
Encuentra la unión e intersección de dicha familia.
Ejercicio 7.5. Sea [a, b] un intervalo cerrado. Encuentra una familia de intervalos abiertos, I, de
forma que
[
[a, b] ⊂ I
I∈I
Ejercicio 7.6. Formula el concepto de partición de un conjunto para una familia sin usar ı́ndices.
Ejercicio 7.7. Considera la familia de intervalos semi abiertos de R
P = {[i, i + 1) | i ∈ Z} .
Demuestra que
[
I = R.
I∈P
Ejercicio 7.8. Una familia de conjuntos F se dice estar totalmente ordenada si para cada par de
conjuntos A, B ∈ F se cumple que A ⊆ B o B ⊆ A. Demuestra que si F es una familia totalmente
ordenada entonces también lo está la familia
F 0 = {S c | S ∈ F}
Ejercicio 7.9. Para un conjunto A, el conjunto potencia es una familia de conjuntos. Considerando
esto, demuestra que
[
S = A.
S∈2A
Ejercicio 7.10. Sea F una familia de conjuntos y sea B un conjunto cualquiera. Si B ∩ A = ∅ para
todo A ∈ F, demuestra que !
[
B∩ S = ∅.
S∈F
Ejercicio 7.11. Termina las pruebas de los teoremas 7.1, 7.2 y 7.3 y reformulalos para familias
indicadas de conjuntos. Convéncete que las pruebas no cambian drásticamente y que por ello,
podemos darlos por válidos sin mayor problema.
Ejercicio 7.12. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos. Demuestra las siguientes igualdades
!
[ [
B∩ Ai = (B ∩ Ai )
i∈I i∈I
y !
\ [
B∪ Ai = (B ∪ Ai )
i∈I i∈I
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Ejercicio 7.13. Sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos y sea B un conjunto cualquiera. Demuestra
las siguientes igualdades !
[ \
B\ Ai = (B\Ai )
i∈I i∈I
y !
\ [
B\ Ai = (B\Ai ).
i∈I i∈I
Ejercicio 7.16. Usando el contexto del ejercicio anterior, demuestra que si f es inyectiva entonces
" #
\ \
f Ai = f [Ai ].
i∈I i∈I
Ejercicio 7.17. Sean {Ai }i∈I y {Bj }j∈J familias indicadas de conjuntos. Prueba que
!
[ [ [
Ai ∩ Bj = (Ai ∩ Bj )
i∈I j∈J (i,j)∈I×J
y
!
\ \ \
Ai ∪ Bj = (Ai ∪ Bj )
i∈I j∈J (i,j)∈I×J
Ejercicio 7.18. Sea {fi : Ai → B}i∈I una familia de funciones. Si para todos los i, j ∈ I, tenemos
que
fi (a) = fj (a),
para cualquier a ∈ Ai ∩ Aj , demuestra que existe una función
[
f: Ai → B
i∈I
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Referencias
[Apo84] Apostol, Tom M.: Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra Lineal. Editorial
Reverté, 1984.
[C+ 90] Cárdenas, Humberto y cols.: Álgebra Superior. Editorial Trillas, 1990.
[Gri97] Grimaldi, Ralph P.: Matemáticas discreta y combinatoria. Addison Wesley Iberoamericana, 3a edición, 1997.
[H+ 90] Hasser, Norman B. y cols.: Análisis matemático. Curso de Introducción Vol. 1. Editorial Trillas, 2a edición,
1990.
Eduardo
c Antonio Gomezcaña Alanis. Versión 04df005 (2019-08-19 08:53:13 -0500)
Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual
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