Tercer grado

Matemáticas 3
Aprendizajes fundamentales

COLECCIÓN DE CUADRNILLOS DE TRABAJO PARA

LA RECUPERACIÓN DE APRENDIZAJES DURANTE
Y POST-PANDEMIA

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
 Autoridades Estatales

Jaime Bonilla Valdez

Gobernador del Estado de Baja California

Catalino Zavala Márquez

Secretario de Educación

Xochitl Armenta Márquez

Encargada de Despacho de la
Subsecretaria de Educación Básica
y de la Coordinación General de Educación Básica

Rosa Gisela Tovar Espinoza

Encargada de Despacho de la
Dirección de Educación Secundaria
Mariel Tovar Olivares
Jefa del Departamento de Desarrollo Académico
Héctor Adolfo Campa Valdez
Jefe del Departamento de Gestión Institucional

Coordinadores

Karol Edith Fletes Pérez

José Luis Pulido Sánchez

Colaboradores

Eduardo Núñez Katzenstein Rosa María Zamora Cebrera

Perla Teresa Santillán Jiménez

Jorge Martínez Mendoza
Mónica Gutiérrez Ojeda
Mauro Daniel Elizalde Palafox
César Humberto Godínez Nery

Filiberto Portilla Tejeda Marco Antonio Macías Jasso

 Jefaturas de Nivel

Ramón Ramírez Granados

Jefe de Nivel Secundaria de Mexicali
Gibran Díaz de León Olivas
Jefe de Nivel Secundaria de Tijuana
Gilberto Bugarín Mercado
Jefe de Nivel Secundaria de Ensenada
Yessica Denis Sánchez Castillo
Jefa de Nivel Secundaria de Playas De Rosarito
Eladio Ruiz Heredia
Jefe de Nivel Secundaria de Tecate
Juana Elizabet Ramírez Montesinos
Jefa de Nivel Secundaria de San Quintín

Equipo Estatal del Servicios de Asesoría y Acompañamiento a las Escuelas

(SAAE)

Jesús Amado Petrikowski Trinidad Fabiola Euridice Rincón Rey

Supervisor Secundaria General Federal Subdirectora Secundaria General Estatal
María Isabel Grifaldo Guerrero
Timnia Abisai Corpus Montoya
Subdirectora Secundaria Técnica Federal
Inspectora Telesecundaria Estatal
Jared Sarai Moreno Corona
Karol Edith Fletes Pérez Subdirectora Secundaria Técnica Federal
Jefa de Enseñanza de Matemáticas.
Alicia Bautista Pérez
Secundarias Generales Federal
ATP Secundaria General Estatal
Ricardo Pérez Orozco Gabriela González Meza
Jefe de Enseñanza de Tecnología. ATP Secundaria General Estatal
Secundarias Generales Federal
Eliseo Godínez León
Gibrán Díaz de León Olivas ATP Secundaria General Estatal
Director Secundaria Técnica Federal
María de los Ángeles Ávila Osuna
Alba Catalina Soriano Guevara ATP Secundaria Técnica Municipal
Directora Secundaria General Estatal Iliana Thalia Pérez Gandiaga
Docente de Educación Especial
Ana Berena Barajas Guzmán
Directora Secundaria General Estatal Zayd Vizcarra Córdova
Supervisor de Educación Especial

Mexicali, Baja California.

Junio de 2021
 Presentación
Colección de cuadernillos de trabajo para la recuperación de aprendizajes
esenciales durante y post pandemia

La Secretaría de Educación, a través de la Subsecretaría de Educación Básica en

coordinación con la Dirección de Educación Secundaria, presenta esta colección
que surge de las redes y comunidades de aprendizaje que el equipo de académicos
de los Servicios de Asesoría y Acompañamiento a las Escuelas (SAAE) de
Educación Básica en el nivel ha conformado.

Ante la contingencia mundial que prevalece por el SARS Cov-2, la Nueva Escuela
Mexicana y sus principios de equidad y excelencia para la mejora continua de la
educación, son el fundamento de cada objetivo trazado, como el del presente
proyecto, donde se coloca al centro de la acción pública el máximo logro de
aprendizaje de las niñas, niños, adolescentes y jóvenes.

Cerca de dos centenares de maestros frente a grupo, directivos, supervisores e

inspectores del nivel de Secundaria fueron convocados por Delegados y Jefes de
Nivel para esta labor. Dirigidos por los Jefes de Enseñanza, especialistas de cada
una de las asignaturas de los seis municipios, a partir de la colaboración, la
cooperación, el intercambio de saberes, experiencias y de gestión de información
académica, propiciaron un análisis que derivó en la selección de aquellos
aprendizajes esperados que se consideraron esenciales para la recuperación y
nivelación de aprendizajes de los estudiantes durante y post pandemia, mismos que
fueron la base para los cuadernillos de trabajo.

Por tanto, los presentes materiales digitales refrendan el compromiso de

acompañamiento a las escuelas para la mejora de las prácticas educativas,
priorizando el interés superior de niñas, niños y adolescentes, reconociendo el papel
de las maestras y maestros en su contribución a la transformación social.

Maestro Catalino Zavala Márquez

Secretario de Educación de Baja California.
APRECIADA COMUNIDAD ESCOLAR:

La Subsecretaría de Educación Básica, ante el confinamiento por el Covid-19, lleva

a sus hogares la Colección de Cuadernillos de Trabajo para la Recuperación de
Aprendizajes Esenciales Durante y Post Pandemia de las asignaturas de Educación
Secundaria.

Nuestros estudiantes, a través de estos cuadernillos de trabajo, tienen la

oportunidad de realizar actividades de retroalimentación mediante estrategias de
búsqueda de información y las situaciones que se presentan, para llegar al
aprendizaje esperado que se ha considerado esencial en la apropiación de nuevos
conocimientos, siempre atendiendo la formación en el desarrollo individual,
producción de conocimientos, desarrollo de habilidades, valores y actitudes.

Las actividades incluidas son interesantes, divertidas, siendo posible

desarrollarlas de manera individual, con el apoyo de la familia y los libros de texto
gratuitos. Asimismo, los aprendizajes esperados seleccionados para esta colección
se encuentran especificados en cada actividad de las cinco secciones diseñadas
para las y los estudiantes:

Empecemos, pues, una nueva experiencia de aprendizaje juntos, que estos

cuadernillos sean un modo más de seguir acompañándonos en la educación a
distancia, confiando que pronto existan las condiciones necesarias para transitar al
regreso seguro a clases presenciales, momento que sus maestras y maestros
anhelamos.

Xochitl Armenta Márquez

Subsecretaria de Educación Básica
 ÍNDICE

Situación de aprendizaje 1. Explica la diferencia entre eventos complementarios,

mutuamente excluyentes e independientes. Resuelve problemas que implican calcular la
probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e
independientes…………………………………….................................................…. ..........1

Situación de aprendizaje 2. Resuelve problemas que implican el uso del teorema de

Pitágoras…………………………………………………………...............................……..… 5

Situación de aprendizaje 3. Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de

segundo grado……………………………………………...................................…………...10

Situación de aprendizaje 4. Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican

utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier
figura………………………………………………………………..........…………...…………15

Situación de aprendizaje 5. Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas

para definir el enésimo término de una sucesión ………………...............................…….20

Situación de aprendizaje 6. Resuelve problemas que implican el uso de las razones

trigonométricas seno, coseno y tangente……………………….........................……..……25

Situación de aprendizaje 7. Calcula y explica el significado del rango y la desviación

media………………………………………………………………............................…..……30

Situación de aprendizaje 8. Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones

lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo
grado…………………………………………………………………………...........……..……35

Situación de aprendizaje 9. Resuelve problemas que implican calcular el volumen de

cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se
utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las
dimensiones………………………………………….................................................………43

Situación de aprendizaje 10. Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones

lineales y cuadráticas…………………………………………….................................……..48
 Situación de Aprendizaje 1
Aprendizaje Explica la diferencia entre eventos complementarios,
esperado: mutuamente excluyentes e independientes. Resuelve
problemas que implican calcular la probabilidad de eventos
complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos que no

tienen resultados favorables que ocurren al mismo tiempo. Por lo
tanto, podemos decir que, si ocurre uno, el otro no puede ocurrir.

Los eventos complementarios son aquellos que si ocurrieran al mismo tiempo

la probabilidad sería 1, es decir, el 100% de posibilidades y si uno no ocurriera la
probabilidad del otro sería el 100%. En otras palabras, uno es lo que le falta para
ser el universo. Ejemplo: si hablamos del experimento de lazar un dado {1,2,3,4,5,6}
(universo), y un evento fuera que salga un numero par {2,4,6} y el su evento
complementario seria que salga un número impar {1,3,5} y la suma sería el 100%.

Si los resultados favorables para cada evento son distintos

decimos que los eventos son mutuamente excluyentes.

Si definimos los siguientes tres eventos de un experimento de

lanzar un dado como:

A: es un número par, B: es un número mayor que 2 y C: es número menor o igual

que 2.

Los resultados favorables para cada evento son:

𝐴 = {2, 4, 6} , 𝐵 = {3, 4, 5, 6} y 𝐶 = {1, 2}

Al comparar los resultados de A y B se observa que tienen dos elementos en común

que son el 4 y el 6. Entonces la probabilidad de lanzar un dado y obtener un número

1
 2 1
impar y mayor que 2 es 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 6 = 3. Por lo tanto, al tener elementos en común

decimos que no son mutuamente excluyentes.

Pero si comparamos los resultados de los eventos A y C podemos observar que

no tienen elementos en común, por lo tanto, son mutuamente excluyentes, así que
𝑃(𝐵 𝑦 𝐶) = 0 .

Observa la tabla que se presenta a continuación con los resultados

de lanzar un dado rojo y otro azul al mismo tiempo y sumar los
números de las caras que quedan en la parte superior y contesta
lo que se te pide.

1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

 Marca con color amarillo todos los resultados favorables del evento A: la
suma es mayor que 8.
 Marca con color naranja todos los resultados del evento B: la suma es menor
que 7.
 Marca con color rosa todos los resultados del evento C: la suma es un
numero par.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay en total?

b) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento A?

c) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento B?

d) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento C?

2
e) ¿Cuántos resultados están marcados con color amarillo y naranja a la vez,
es decir, son favorables tanto para el evento A como para el evento B?

f) ¿Cuál o cuáles son los resultados en común del inciso anterior?

g) ¿Cuántos resultados están marcados con color naranja y rosa a la vez, es

decir, son favorables tanto para el evento B como para el evento C?

h) ¿Cuál o cuáles son los resultados en común del inciso anterior?

i) ¿Cuántos resultados están marcados con color amarillo y rosa a la vez, es

decir, son favorables tanto para el evento A como para el evento C?

j) ¿Cuál o cuáles son los resultados en común del inciso anterior?

Para el experimento de lanzar dos dados nombraremos ahora los

eventos:

A: la suma es un número mayor que 5.

B: la suma es un número menor o igual a 5 y
C: el número en el dado rojo es un número menor que 3.

a) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento A?

b) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento B?
c) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento C?
d) ¿Cuál es la probabilidad del evento A?
e) ¿Cuál es la probabilidad del evento B?
f) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?
g) ¿Cuáles son eventos mutuamente excluyentes?
h) ¿Cuáles son eventos complementarios?
i) ¿Cuáles no son eventos mutuamente excluyentes?

3
 Se tiene una baraja inglesa como se muestra en la imagen. El
experimento consiste en sacar una carta y anotarla. Se definen
los siguientes eventos.

A: se saca una figura (J, Q, K, A), B: se saca un número

(2,3,4,5,6,7,8,9,10), C: se saca una carta roja, D: se saca una carta negra.

Imagen: Adaptado de wikipedia.org, 2005

(https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Set_of_playing_cards_52.JPG?uselang=es )

Contesta lo que se indica.

j) ¿Cuál es la probabilidad del evento A?

k) ¿Cuál es la probabilidad del evento B?
l) ¿Cuál es la probabilidad del evento C?
m) ¿Cuál es la probabilidad del evento D?
n) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran el evento A y el B al mismo tiempo?
o) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran el evento A y el C al mismo tiempo?
p) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran el evento C y el D al mismo tiempo?
q) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran el evento B y el D al mismo tiempo?
r) ¿Cuáles eventos son mutuamente excluyentes?
s) ¿Cuáles eventos no son mutuamente excluyentes?
t) ¿Cuáles eventos son complementarios?

4
 Situación de Aprendizaje 2
Aprendizaje Resuelve problemas que implican el uso del teorema de
esperado: Pitágoras.

Los cuadrados de los triángulos

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos
interiores de 90° (recto).
Los catetos son los dos lados del triángulo rectángulo que
forman el ángulo recto.
La hipotenusa es el lado del triángulo rectángulo que esta
opuesto al ángulo recto y siempre es el lado mayor.

Elementos de un triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras
El filósofo y matemático griego Pitágoras, demostró que los
lados de todo triángulo rectángulo mantienen una relación entre
sus medidas, se conoce como teorema de Pitágoras.
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa”

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
Este teorema tiene diversas aplicaciones ya que permite calcular medidas
desconocidas en cualquier situación que tome forma de un triángulo rectángulo,

5
como al colocar un cable de un poste al piso, recargar una escalera en una pared,
al trazar la altura de un triángulo cualquiera, las diagonales en paralelogramos o el
apotema de polígonos regulares, al utilizar el círculo unitario para obtener las
funciones trigonométricas, para calcular la distancia entre dos puntos en el plano
cartesiano, entre muchas otras.

Demostración del teorema de Pitágoras

Si tenemos cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos 𝑎 y 𝑏 e hipotenusa 𝑐,

los podemos acomodar de tal manera que se forme un cuadrado de lado 𝑐 (que el
lado del cuadrado mida lo mismo que la hipotenusa de los triángulos)

Se puede calcular su área de este cuadrado de dos maneras:

1. Calculando el área de cada una de sus partes y sumándolas.

La figura se conforma de 4 triángulos de base 𝑎 y altura 𝑏 y un cuadrado de lado

(𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
𝑎 − 𝑏. La fórmula para obtener el área del triángulo es , entonces de
2
𝑎𝑏
acuerdo a las medidas se obtiene , y para los 4 triángulos:
2

𝑎𝑏
4( ) = 2𝑎𝑏
2
El área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado el lado, entonces:

6
 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Al sumar ambas, se obtiene el área del cuadrado completo.
2𝑎𝑏 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

2. Con la medida del lado del cuadrado completo.

Como el lado del cuadrado es 𝑐, entonces el área es 𝒄𝟐 . Y como se trata del área
del mismo cuadrado, queda demostrado que:
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
También se pueden realizar comprobaciones obteniendo el área de cuadrados
con las medidas de cada uno de los lados del triángulo rectángulo.

7
 Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica se forma por tres números enteros positivos que pueden ser
las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y, por tanto, cumplen el
Teorema de Pitágoras 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 .
Por ejemplo, los números 3, 4 y 5.
Se puede observar que los números 3 y 4 corresponden a los catetos por ser los
dos menores, entonces aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:
32 + 42 = 52
(3)(3) + (4)(4) = (5)(5)
9 + 16 = 25
25 = 25
Como se cumple la igualdad, se trata de una terna pitagórica.

En parejas, realicen las siguientes actividades.

1. Determinen si los siguientes conjuntos de números son
ternas pitagóricas. Realicen las operaciones en su cuaderno.
¿Es una terna pitagórica?
Números
Sí No
5, 12 y 13
7, 15 y 18
20, 23 y 29
39, 80 y 89
65, 72 y 97

2. En cada uno de los siguientes triángulos, encuentren la medida del lado

faltante.

8
 ___________ ___________

3. Resuelvan los siguientes problemas utilizando el teorema de Pitágoras.

Realicen las operaciones en su cuaderno.
a) ¿Cuál es la altura que alcanza una escalera de 3.7 m al recargarla en la pared
si en el piso se encuentra a una distancia de 1.2 m de la misma? ____________
b) Encuentren la medida de la diagonal de un cuadrado que mide 8cm de lado.
____________
c) Una plaza de forma rectangular mide 45m de largo y 28m de ancho. Si se cruza
de una esquina a otra en diagonal, ¿cuántos metros se recorrerán?____________

Para conocer más acerca del

teorema de Pitágoras se puede consultar
el vídeo llamado “11. El teorema de
Pitágoras” de Acervo – Televisión
educativa (Dic/2020) a través del enlace
https://youtu.be/FqUxTHo_hRc

9
 Situación de Aprendizaje 3
Aprendizaje Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de
esperado: segundo grado.

Segundo grado, dos soluciones

Una ecuación cuadrática o de segundo grado se caracteriza

porque ya simplificada el mayor exponente o grado de su
incógnita es dos.

A la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se le llama forma general de la

ecuación cuadrática. Se dice que una ecuación cuadrática está acomodada cuando
tiene dicha forma igualada a cero. Ejemplo 4𝑥 2 − 9𝑥 + 8 = 0

Si los valores de 𝑏, 𝑐 o ambos son iguales a cero, se dice que se trata de una
ecuación incompleta. Ejemplos: 3𝑥 2 − 6𝑥 = 0, 𝑥 2 − 7 = 0 , 8𝑥 2 = 0.

La solución de una ecuación cuadrática está dada por dos valores 𝑥1 y 𝑥2 que
puede tomar la incógnita para satisfacer la igualdad.

Una ecuación cuadrática acomodada como 6𝑥 2 + 10𝑥 − 56 = 0 puede tener

hasta tres términos que incluyen signo, coeficiente, incógnita y exponente, el que
contiene el exponente dos se llama término cuadrático (+6𝑥 2 ), el que contiene el
exponente uno se llama término lineal (+10𝑥) y al término que no contiene a la
incógnita o con exponente cero se le llama término independiente (−56).

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas,

uno de ellos es mediante la factorización. Por lo que es
importante recordar algunos de los productos notables que
facilitan ese proceso.

10
 Productos notables

Producto notable Factorización

Monomio por 𝑎(𝑏 + 𝑐) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 Factor común
polinomio monomio

Binomios (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 𝑎2 − 𝑏 2 Diferencia de

conjugados cuadrados

Binomios al (𝑎 ± 𝑏)2 𝑎2 ± 2𝑎𝑏+𝑏 2 Trinomio cuadrado

cuadrado perfecto

Binomios con (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 Trinomio de la forma

término común 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización

Ejemplo: Resolver 𝑥 2 + 8 = 9𝑥
1. En caso necesario acomodar la ecuación de tal manera que la ecuación
quede igualada a cero.

𝑥 2 − 9𝑥 + 8 = 0

2. Factorizar el otro lado de la igualdad

(𝑥 − 1)(𝑥 − 8) = 0
3. Igualar cada factor a cero y resolver.

𝑥−1=0 𝑥−8=0

𝑥 =0+1 𝑥 =0+8

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟖

Se colocan los subíndices 1 y 2 en la 𝑥 para distinguir una respuesta de la otra.

Es como decir: resultado uno y resultado dos.

11
 Resolución de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general

La fórmula general cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de

la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂

Ejemplo: Resolver 𝟑𝑥 2 + 5𝑥 = 138.

1. En caso necesario reducir y acomodar la ecuación para que quede igual a

cero 𝟑𝑥 2 + 𝟓𝑥 − 𝟏𝟑𝟖 = 0
2. Identificar los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en la ecuación, que corresponden a los
coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente
respectivamente, así como sus signos.

𝑎 = +𝟑 𝑏 = +𝟓 𝑐 = − 𝟏𝟑𝟖

3. Sustituir los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en la fórmula general.

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 −𝟓±√𝟓2 −4(𝟑)(− 𝟏𝟑𝟖 )

𝑥=  𝑥=
2𝑎 2(𝟑)

4. Resolver, primero se obtienen el cuadrado de b y el producto de 4ac y se

suman las dos cantidades. Después se calcula la raíz cuadrada. En caso de
que dentro de la raíz cuadrada se obtenga un número negativo, significa que
la ecuación no tiene solución.
−5±√25+1656 −5±√1681 −5±41
𝑥= 𝑥 =  𝑥=
6 6 6

Cuando queda con ±, se separan los signos, obteniendo una ecuación con + y
una con – y se resuelven ambas. Se le colocan los subíndices para diferenciarlos.

−5 + 41 36 −5 − 41 −46 𝟐𝟑
𝑥1 = = =𝟔 𝑥2 = = = −
6 6 6 6 𝟑
𝟐𝟑
Y listo, la solución de la ecuación es 𝒙𝟏 = 𝟔 , 𝒙𝟐 = − 𝟑

12
Ejemplo cuando no tiene solución: Resolver 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎.

𝑎 = 𝟖 𝑏 = −𝟏𝟎 𝑐 = 𝟐𝟎

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 10±√(−10)2 −4(8)(20) 10±√100−640 10±√−540

𝑥=  𝑥=  𝑥=  𝑥=
2𝑎 2(8) 16 16

No tiene solución

En equipos resuelvan los siguientes ejercicios:

1. Determina si las siguientes ecuaciones son ecuaciones

cuadráticas marcando con una x el cuadro correspondiente.

Ecuación SI NO Ecuación SI NO

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖 = 𝟎 𝟗 − 𝟖𝒙𝟑 = 𝟒𝟎

𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟕 = 𝟎 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙𝟐 = 𝟔

2. De acuerdo a la ecuación, organicen sus términos según corresponda.

Término Término
Ecuación Término lineal
cuadrático independiente

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖 = 𝟎

𝟔 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 = 𝟎

𝟏𝟓 + 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎

3. Resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas en su cuaderno, utilizando

el método que se indica. Escriban las soluciones.

13
 Ecuación Método 𝒙𝟏 𝒙𝟐
4𝑥 2 − 100 = 0 Factorización
4𝑥 2 − 7𝑥 − 15 = 0 Fórmula general
𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0 Factorización
2𝑥 2 − 12𝑥 + 16 = 0 Fórmula general

Funciones cuadráticas y gráficas

Con las funciones cuadráticas se obtienen parábolas que cruzan al

eje x en los mismos valores que las soluciones de la ecuación. En
la siguiente sección pueden encontrar el enlace a una calculadora graficadora para
comprobar sus resultados.

Enlaces recomendados. Acervo-Televisión Educativa (ene 28,

2021) 18. Ecuaciones cuadráticas por factorización.
Matemáticas. Telesecundaria.

Recuperado de https://youtu.be/RYWQJLZxdRY

Carreón, D. (ene 15, 2016) FÓRMULA GENERAL Super Facil.

Recuperado de https://youtu.be/Wj4cHg8oHzI

Calculadora gráfica GeoGebra. https://www.geogebra.org/graphing

14
 Situación de Aprendizaje 4
Aprendizaje Resuelve problemas de congruencia y semejanza que
esperado: implican utilizar estas propiedades en triángulos o en
cualquier figura.

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir

de construcciones con información determinada
Figuras Congruentes: Cuando dos o más figuras tienen los

ángulos y los lados correspondientes iguales. (símbolo )

Figuras Semejantes: Cuando dos o más figuras tienen los
ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes
proporcionales.

SEMEJANTES: tienen la misma CONGRUENTES: tienen el

forma (ángulos iguales) pero no mismo tamaño y la misma
necesariamente el mismo forma ¡Son idénticas!
tamaño (lados
proporcionales)

Instrucciones: ¿Semejantes o
Lee el siguiente texto e identifica que tipo de figuras son Congruentes?
1 Figuras que tienen la misma forma y su tamaño es diferente
se llaman.
2 Tienen los mismos ángulos, pero sus lados son
proporcionales.
3 Dos triángulos que mantienen los mismos ángulos y la
misma medida de sus lados.
4 Dos triángulos cuyos ángulos midan 90º , 50º y 40º son…
5 Dos triángulos cuyos lados midan 4cm, 6cm y 8cm

15
 Para verificar que dos triángulos son congruentes (iguales) es
suficiente que se cumplan cualquiera de los siguientes criterios:

Criterios de CONGRUENCIA de triángulos

LLL (lado, lado, lado) que tengan tres lados iguales.

LAL (lado, ángulo, lado) que tengan dos lados y el ángulo que estos forman
iguales.
ALA (ángulo, lado, ángulo) que tengan dos ángulos y el lado entre ellos igual.

Y para identificar si dos triángulos son semejantes, es suficiente con verificar una
de las siguientes condiciones:

Criterios de SEMEJANZA de triángulos

AA (ángulo, ángulo) que dos ángulos sean iguales a dos ángulos del otro
triángulo.
LLL (lado, lado, lado) que los tres lados de un triángulo sean proporcionales al
otro.
LAL (lado ángulo, lado) dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual
y los lados que lo forman son proporcionales.

Responde las siguientes preguntas encerrando la respuesta

correcta.

1) ¿Encierra los triángulos que sean congruentes de acuerdo al

criterio ALA (ángulo, lado, ángulo)?

60º 5 30º
a) b) c) d)
60º 30º 50º
30º 60º 30º
5 6 5

16
2) ¿Encierra los triángulos que sean congruentes de acuerdo al criterio LAL?
a) 22º b) 22º c) 22º d) 22º e) 22º

4 7 7 7 4 7 7 7

4 4

62º
3) Escribe si son triángulos semejantes y justifica tu respuesta.

28º

4) Se arreglará el segmento AB de un papalote compuesto de dos triángulos

rectángulos, ¿Cuál es la medida de dicho segmento? A B
Si los segmentos ED = 4, CD= 5, CE= 3
y AC=5 C
5
3
E D

4
5) Franco pintará el siguiente diseño en su pared, su hermana que está
estudiando los criterios de congruencia de triángulos le
dijo: “esos triángulos son congruentes por el criterio 1.6 1.6

___________” (justifica tu respuesta).

Para más información, accede a los siguientes videos:

https://www.youtube.com/watch?v=9JFngPZcH7c&t=11s&ab_chann
el=Profeenc%40sa
https://www.youtube.com/watch?v=SZpFDUBUlng&ab_channel=pro
femoises

17
 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

Lados homólogos: el lado que ocupa el mismo lugar en otra u

otras figuras, son los lados correspondientes.

Razón de semejanza: constante de proporcionalidad entre los

lados homólogos, se divide la longitud de un lado entre el lado que le corresponde.

El teorema de Tales nos indica que, si cortamos un triángulo

trazando una recta paralela a uno de sus lados, obtendremos un
triángulo semejante, el cual tendrá ángulos congruentes (iguales)
y sus lados homólogos son proporcionales entre sí (Fig. A).
También se puede extender al análisis de dos líneas cualquiera que son cortadas
por otras líneas paralelas entre sí, como lo vemos en la Fig. B. A C

F E

Figura “A” Figura “B”

H G

J I

B D
Entonces, se cumple que:

Lo anterior se cumple porque si extendemos las líneas AB y CD, estas se cruzarán.

m 9 cm
¿Cuánto mide el segmento x en 6 cm

este dibujo?...

y
5cm x

18
Los tramos que están enfrentados tienen la misma razón, por lo que sus divisiones
deben de dar lo mismo y por tanto las podemos igualar: 9 6
=
Multiplica el 5 por el 6 y lo divides entre el 9. X = 3.33 5 x

Resuelve lo que se te indica:

1) Calcula el valor de X.
6
6 3
=
4 3
x 4
x

2) Calcula el valor de X, escribe y explica los 18cm

procedimientos.
12cm

4cm X

3) Calcula cual es la distancia entre la joven y

la pelota.

3m
1.5m

x
3.8m

Consulta el siguiente enlace:

Teorema de Tales. Explicación y
ejemplos.https://www.youtube.com/watch?v=6nYnXeqrhKQ&
ab_channel=ArchimedesTube

19
 Situación de Aprendizaje 5
Aprendizaje Utiliza en casos sencillos expresiones generales
esperado: cuadráticas para definir el enésimo término de una
sucesión.

Sucesiones

Sucesión aritmética

Observa las figuras e identifica el patrón para completar la

información y contestar correctamente las preguntas.

Cuadrados Número de líneas

___1___ ___4___

___2___ ___7___

_______ _______

_______ _______

 ¿Cuántos cuadrados tendrá la siguiente figura? ____________

 ¿Con cuántas líneas contará? ____________
 ¿Cuántos cuadrados tendrá la novena figura? ____________
 ¿Con cuántas líneas contará? ____________
 ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular la cantidad de líneas con las que
cuenta cualquier figura de esta sucesión? ________________________
____________________________________________________________
 ¿Eres capaz de encontrar la expresión algebraica que permita encontrar el
término enésimo de esta sucesión? _______
 Si tu respuesta anterior fue sí, ¿Cuál es? __________________

20
 Sucesión cuadrática

Observa las figuras e identifica el patrón para contestar correctamente las

preguntas.

 Anota las líneas con las que cuenta cada figura:

Figura 1: _____ Figura 2: _____ Figura 3: _____ Figura 4: _____

 ¿Cuántas líneas tendrá la figura 5? _______

 ¿Cuántas líneas tendrá la sexta figura? _______
 ¿Cuántas líneas tendrá la décima figura? _______
 ¿Cuántas líneas tendrá la figura 20? _______
 Describe el procedimiento que utilizaste para contestar las preguntas
anteriores: ___________________________________________________

Glosario

Expresión cuadrática: Es una expresión donde el máximo exponente

es 2. Su forma general es: an2 + bn + c.

Sucesión: Conjunto ordenado de números o figuras que siguen una regla o patrón.

Sucesión aritmética: Sucesiones cuya diferencia entre términos consecutivos es

constante y su regla de sucesión es de la forma an + b.

Sucesión cuadrática: Sucesiones cuya segunda diferencia entre términos

consecutivos es constante y su regla de sucesión es de la
forma an2 + bn + c.

Segunda diferencia: Diferencia entre las diferencias de los términos consecutivos

de una sucesión.

21
 Método de las diferencias

Para descubrir la expresión algebraica de una sucesión

cuadrática cómo la que se obtiene al contar las líneas en las
figuras del ejercicio anterior es necesario obtener la diferencia
que existe entre las diferencias de los términos que forman la sucesión, esta
segunda diferencia, de ser constante, es la que nos indica que ciertamente se trata
de una sucesión cuadrática.

En cualquier sucesión cuadrática se puede calcular su enésimo término utilizando

una expresión cuadrática de la forma an2 + bn + c, donde n representa la posición
del término que se quiere calcular en la sucesión y las literales a, b, c son
coeficientes conocidos.

El método de las diferencias aprovecha las siguientes propiedades para

encontrar el valor de cada uno de estos coeficientes:

1. El primer término de la sucesión cuadrática es igual que a + b +c.

2. El primer término de la diferencia es igual que 3a + b.
3. La diferencia entre dos términos consecutivos de la diferencia es 2a.

Ejemplo: Observa la sucesión de figuras y utiliza una expresión cuadrática para

estimar el número de triángulos que tendrá la figura 15 de la sucesión.

Obteniendo las ecuaciones:

Sucesión Original: 2, 7, 14, 23, … Ecuación: a + b + c = 2

Primera Diferencia: 5, 7, 9, 11, … Ecuación: 3a + b = 5

Segunda Diferencia: 2, 2, 2, 2, … Ecuación: 2a = 2

22
Resolviendo las ecuaciones:

2a = 2 3a + b = 5 a+b+c=2

a= 3(1) + b = 5 1+2+c=2

a=1 3+b=5 3+c=2

b=5–3 c=2–3

b=2 c=–1

Obtén la regla: Considera n=15, sustituye:

an2 + bn + c n2 + 2n – 1

1n2 + 2n – 1 (15)2 + 2(15) – 1

n2 + 2n – 1 225 + 30 – 1

254

Respuesta: La figura 15 de esta sucesión tendrá 254 triángulos.

Actividades

Actividad 1: Obtén la regla de sucesión utilizando el método

de las diferencias. Sucesión: 3, 6, 12, 21. Regla: ________

23
 Actividad 2: Indica cuántos cuadrados tendrá la figura 30 de la sucesión.

________________________________________________________________

Sitios de interés

https://www.matematicastamayo.com/mateminis/sucesiones-cuadr%C3%A1ticas

https://www.geogebra.org/m/gCey5XJ9

24
 Situación de Aprendizaje 6
Aprendizaje Resuelve problemas que implican el uso de las razones
esperado: trigonométricas seno, coseno y tangente.

Trigonometría
La palabra trigonometría proviene de un vocablo latino
compuesto por trígono, que significa “triangulo’’ (tres ángulos) y
metría, “proceso de medir’’ o “medida’’. Es la rama de las
matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de
las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los lados de los
triángulos.
Las funciones trigonométricas son seis (seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante). Basta con dominar las primeras tres (seno, coseno y
tangente) para dar solución a las interrogantes solicitadas en un triángulo. Las
funciones como como la cotangente, secante y cosecante son utilizadas en cursos
posteriores en nivel de preparatoria para auxiliar las identidades trigonométricas.
Para la resolución de problemas es necesario tener a la mano las tablas
trigonométricas las cuales puedes descargar en internet o bien una calculadora
científica que también puedes descargar e instalar en tu celular para realizar tu
trabajo.
Funciones trigonométricas para el ángulo A

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎
Seno: <A= =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏
Coseno: <A = =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎
Tangente: <A= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏
Cotangente: <A= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
Secante: <A ==
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
Cosecante: <A= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎

25
Funciones trigonométricas para el ángulo B
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
Seno <B= =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
Coseno <B = =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
Tangente <B= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
Cotangente <B= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
Secante <B= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐
Cosecante <B= =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏

Ejemplo 1: Dado el siguiente triángulo calcular

a) Hipotenusa

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 < 300 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 300 10 𝑐𝑚
= b) Cateto opuesto
1 𝑐
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
1(10 𝑐𝑚) = 𝑐(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜30 )0 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 < 300 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜300 ) = 10𝑐𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 300 𝑏

=
1 10 𝑐𝑚
10 𝑐𝑚 10 𝑐𝑚
𝑐= 0
= = 11.54 𝑐𝑚
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜30 0.8660 1𝑏 = 10 𝑐𝑚(𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 300 )

𝑏 = 10 𝑐𝑚(0.5773)
c) Ángulo A 𝑏 = 5.77 𝑐𝑚
<A+<B=90; despejando <A=90-<B; entonces <A=900 − 300 = 600

26
Ejemplo 2: Dado el siguiente triángulo calcular
a) Cateto opuesto ‘’b’’.
b) Cateto adyacente ‘’a’’.
c) Ángulo ‘’B’’.

a) Cateto opuesto ‘’b’’ b) Cateto adyacente ‘’a’’ c) Ángulo ‘’B’’

𝑐. 𝑜 𝑐. 𝑎 <A+<B=900
0
𝑠𝑒𝑛 < 27 = 𝑐𝑜𝑠 < 270 =
ℎ ℎ
<B=900 −< 𝐴
0
𝑠𝑒𝑛270 𝑏 𝑐𝑜𝑠 27 𝑎
= =
1 7 𝑐𝑚 1 7 𝑐𝑚 <B=900 − 270

1𝑏 = 7 𝑐𝑚(𝑠𝑒𝑛270 ) 1𝑎 = 7 𝑐𝑚(𝑐𝑜𝑠270 ) < 𝐵 = 630

𝑏 = 7 𝑐𝑚(0.4539) 𝑎 = 7 𝑐𝑚(0.8910)

𝑏 = 3.17 𝑐𝑚 𝑎 = 6.23 𝑐𝑚

Mapa conceptual donde se identifican las tres funciones

principales para resolver los problemas del triangulo
rectángulo (lados y ángulos).

Funciones trigonométricas

Seno Coseno Tangente

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Imagen número 5

27
 El esquema sirve para identificar como cambian los catetos según el ángulo de
ubicación.
𝑐𝑜 𝑥
sen<A = =
ℎ 𝑑

𝑐𝑎 𝑦
cos<A = =
ℎ 𝑑
.
𝑐𝑜 𝑥
tan<A = =
𝑐𝑎 𝑦

<A y <B 𝑐𝑜 𝑦
sen<B= =
ℎ 𝑑

𝑐𝑎 𝑥
cos<A = =𝑑
ℎ

𝑐𝑜 𝑦
tan<A = 𝑐𝑎 = 𝑥

Imagen número 6
Instrucción: Aplica lo aprendido y resuelve los problemas que
a continuación se describen, utiliza calculadora científica o
tablas trigonométricas.

1. ¿Cuál es la altura de un poste que está sostenido por un tirante de 20 metros

y un ángulo de elevación de 30 grados?

2. Una escalera de 10 metros de largo está sostenida sobre una pared y forma
un ángulo de elevación de 60 grados. Calcula la distancia que hay del punto
donde inicia la escalera a la pared.

3. Un papalote se quedó atorado en un árbol de 25 metros de altura, un piloto

de avión ve el papalote en la punta del árbol con un ángulo de depresión de
36 grados. ¿Cuánto hilo le dio el niño al papalote?

28
 4. Calcula el ángulo y los lados faltantes para los siguientes triángulos.

Instrucción: Busca en el diccionario los siguientes términos.

Triángulo, triángulo rectángulo, ángulo, razón, seno, coseno,

tangente, cotangente, secante, cosecante, ángulo de elevación,
ángulo de depresión, tablas trigonométricas, cateto, cateto
adyacente, hipotenusa.

Enriquece lo aprendido mediante los siguientes videos explicativos:

Filiberto Portilla Tejeda. (2021, 22 abril).

Funciones trigonométricas (para ángulo
“A”) [Vídeo]. YouTube.

https://www.youtube.com/watch?v=m2nHdLHpTRY&feature=youtu.be

Fuentes

Acosta Sánchez, R. (2003). Matemáticas II geometría y trigonometría (2.a ed.,

Vol. 1). Fondo de Cultura Económica.

29
 Situación de Aprendizaje 7
Aprendizaje Calcula y explica el significado del rango y la desviación
esperado: media.

El Rango y la Desviación Media son dos medidas de

dispersión que nos dan información para analizar el
comportamiento de un conjunto de datos.

La Desviación Media es el promedio de la diferencia de las distancias de cada

valor a la Media Aritmética y el Rango es la diferencia entre el valor máximo y el
valor mínimo del conjunto. El rango indica la amplitud del conjunto de datos, es una
medida que indica la distancia dentro de la cual se encuentran todos los datos. Sin
embargo, dicha medida no da cuenta de lo que pasa con los puntos interiores que
no son extremos.

Por ejemplo. La Profesora Cristina dará un premio al alumno que haya obtenido
el mejor puntaje en un juego de Probabilidad, Marina y Ricardo lanzaron dos dados
en nueve ocaciones. Sumando las caras resultantes de los dos dados, obtienen los
siguientes resultados:

Jugadores/
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Lanzamientos
Marina 7 2 8 9 11 10 8 12 5
Ricardo 12 10 6 4 9 12 12 5 2

a) ¿A quién le corresponde el Premio? ¿En cuál de los cálculos se puede

apoyar la profesora Cristina para decidir a quién otorgar el premio?
- Media Aritmética (Promedio).
- Rango.
- Desviación Media.

30
 b) Para ello efectuaremos el cálculo de la Media Aritmética (Promedio) de cada
conjunto de datos.
7+2+8+9+10+10+8+12+6 72
Marina 𝑥 = = =8
9 9
12+10+6+4+9+12+12+5+2 72
Ricardo 𝑥 = = =8
9 9

Observamos que el resultado del cálculo de la Media Aritmética (Promedio) es igual

para los dos alumnos.

a) Enseguida haremos el cálculo del Rango de cada conjunto de datos.

o Rango= Valor Máximo – Valor Mínimo.
o Marina = 12 – 2 = 10.
o Ricardo = 12 – 2 = 10.

Se observa que el resultado del Rango es igual para ambos; nos indica que la
distancia entre los valores máximo y mínimo es igual. Sin embargo, no se observa
que sucede con los puntos interiores.

b) Para conocer que tan dispersos estan los datos respecto a la Media, se
efectuará el cálculo de la Desviación Media. Esto significa que, a cada dato
se le resta la Media Aritmética. Observa que en la columna Desviación se
anota la diferencia en valor absoluto, es decir, se obtiene la distancia de cada
dato a la Media, siendo todos positivos. Enseguida se obtiene el Promedio
de las desviaciones, se suman todas las desviaciones y se dividide entre el
número de datos sumados.

31
 Marina

Diferencia DM = 1+ 6+ 0+ 1+ 3+ 2+ 0+ 4+ 3
Media
del dato con Desviación
Dato Aritmética 9
respecto a D= |x1 – x|
(Promedio)
la Media
7 7 - 8 = -1 |7 – 8| = 1 DM= 20 = 2.2
2 2 – 8 = -6 |2 – 8| = 6
8 8–8=0 |8 – 8| = 0 9
9 9–8=1 |9 – 8| = 1
11 8 11 – 8 = 3 |11 – 8| = 3
10 10 – 8 = 2 |10 – 8| = 2
8 8–8=0 |8 – 8| = 0
12 12 – 8 = 4 |12 – 8| = 4
5 5 – 8 = -3 |5 – 8| = 3

Ricardo

Media Diferencia del Desviación DM = 4+ 2+ 2+ 4+ 1+ 4+ 4+ 3+ 6

Dato Aritmética dato con D= |x1 – x| 9
(Promedio) respecto a la
Media
12 12 – 8 = 4 |12 – 8| = 4 DM= 30 = 3.3
10 10 – 8 = 2 |10 – 4| = 2
9
6 6 – 8 = -2 |6 – 8| = 2
4 4 – 8 = -4 |4 – 8| = 4
9 8 9–8=1 |9 – 8| = 1
12 12 – 8 = 4 |12 – 8| = 4
12 12 – 8 = 4 |12 – 8| = 4
5 5 – 8 = -3 |5 – 8| = 3
2 2 – 8 = -6 |2 – 8| = 6
¿Que observamos?

Aunque el Rango sea el mismo, la dispersión del conjunto de datos de los dos
alumnos no lo es, puesto que los datos de Marina estan menos dispersos (2.2) de
la Media y los datos de Ricardo están mas alejados (3.3) de la Media.

Por lo tanto, podemos concluir que se le otorgará el premio a Marina, ya que

presenta la menor dispersión en relación a la Media, sus datos estan mas cercanos
a la Media.

32
 Media Aritmética: Es la suma de todos los valores de
un conjunto de datos, dividido entre el número de datos
sumados. Conocido comunmente como Promedio.

Valor Absoluto: Es el valor del número sin considerar su signo; esto es

representa la distancia del cero hasta un número ( en una recta numérica), se
escribe el número dentro de dos lineas verticales |-6| = 6 |+6| = 6.

Desviación Media: Es un dato estadístico que indica la concentración o la

dispersión de los valores de una variable. Que tan agrupados o dispersos estan los
datos respecto a la Media Aritmética. La Desviación Media de un conjunto de datos,
es el promedio de la diferencia de las distancias de cada valor a la Media
Aritmética.

Rango: Es una medida de dispersión que nos indica la distancia dentro de la cual
se encuentran los datos. El Rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el
dato mayor y el dato menor, indicando la amplitud del intervalo.

Resuelve la siguiente situación:

Se preguntó a los grupos de tercer grado de dos escuelas

secundarias: ¿A cuántos de ustedes les gusta el fútbol
soccer? Obteniendo los siguientes resultados por grupos.

No. De No. De
Escuela
Escuela A Alumnos que Alumnos que
B
Grupos prefieren prefieren
Grupos
fútbol soccer fútbol soccer
A 13 A 18
B 11 B 22
C 27 C 17
D 29 D 23
E 10 E 16
F 30 F 24

33
 a) ¿En cuál de las dos escuelas hay mayor preferencia por el fútbol soccer?
______________________________.

b) Calcula la Media Aritmética (promedio):

Escuela A X= _______________________

Escuela B X= _______________________

c) Calcula el Rango:
Escuela A __________ Escuela B __________
d) Calcula la Desviación Media para cada escuela:
Escuela A
Media Diferencia del dato
Desviación
Dato Aritmética con respecto a la
D= |x1 – x|
(Promedio) Media
13
11
27
29
10
30

DM= __________________________
DM = _____

Escuela B
Media Diferencia del dato
Desviación
Dato Aritmética con respecto a la
D= |x1 – x|
(Promedio) Media
18
22
17
23
16
24
DM = __________________________
DM = ______
La escuela que tiene mayor preferencia por el fútbol soccer es: _____________.

34
 Situación de Aprendizaje 8
Aprendizaje Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones
esperado: lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo
grado.

Recomendaciones para solución de problemas.

 Leer el planteamiento del problema.

 Clasificar los datos conocidos y establecer la incógnita.
 Modelar el problema mediante una ecuación algebraica.
 Analizar la ecuación y establecer el procedimiento para resolución.
 Resolver la ecuación establecida.
 Comprobar solución de la ecuación en el problema.
 Detallar la solución del problema.

A continuación se muestran algunos ejemplos de la interpretación de lenguaje

común a lenguaje algebraico, para poder traducir un problema en ecuación para
calcular resultado.

Interpretación algebraica

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Un numero x
La suma de dos números x+y
La diferencia de dos números x–y
El producto de dos números (x) (y)
Dos números consecutivos x, x+1
El cuadrado de un numero x²
Un número aumentado en 2 x+2
El doble de un numero 2x
La tercera parte de un numero 𝑥
3

35
 Traduce a lenguaje algebraico las siguientes frases

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Piensa en un número. x
Suma tres.
Multiplícalo por dos.
Réstale ocho.
Divide entre dos.
Al número que te dé súmale 1.
El resultado obtenido es el número que pensaste.

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Piensa en dos números de una cifra x, y
cada uno.
Selecciona 1 y multiplícalo por dos.
Al resultado suma seis.
Multiplícalo por cinco.
Suma el otro número.
Resta treinta.
El resultado obtenido son los números que pensaste.

Relaciona cada enunciado al sistema que corresponde

1. Tres lapiceros y dos cuadernos cuestan $19.00, x + y = 31

mientras que ocho lápices y cinco cuadernos x– y = 3
$49.00.
2. La mitad de un número más la mitad de su 3x + 2y = 19
cuadrado suman 203. 8x + 5y = 49
𝑥
3. Hallar dos números tales que sumen 31 y su + x² = 203
2
diferencia 3.
4. Un tren recorre 800 km en dos etapas, si en la (x + 100) + x = 800
primera recorre 100 km más que en la segunda.

36
Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con 2 incógnitas

Método de solución: Existen diversos métodos para resolver un sistema de

ecuaciones entre los que destacan por su simplicidad el método de reducción
(suma y resta) y el método de sustitución.

Método de reducción: Este método consiste en sumar las dos ecuaciones y

eliminar una de las variables, obteniendo una ecuación de primer grado y con una
incógnita.

Ejemplo:

La suma de las edades de Patricia y Daniela es de 32 años, y

Daniela es 2 años mayor que Patricia, ¿cuál es la edad de
Patricia?
Solución:
x = Edad de Patricia
y = Edad de Daniela

Se relacionan los datos para obtener:

- La suma de las edades de Patricia y Daniela es de 32 años: x + y = 32
- Daniela es 2 años mayor que Patricia: y = x + 2
- Las ecuaciones forman el siguiente sistema
x + y = 32
y=x+2

Al resolver el sistema por este método de sustitución, se obtiene:

x+y=32 x+(x+2)=32 x+x+2 = 32 2x + 2 = 32 2x = 32 – 2
2x = 30 x = 30/2 x = 15

37
 1. Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces
el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es
igual a 78.

2. La base de un rectángulo mide 20dm más que su altura. Si el perímetro mide 172
dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

altura

base

3. En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen de

matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90% de los chicos.
¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

4. Luis y Manuel tienen un ahorro mensual, lo que aporta Luis más lo que aporta
Manuel es de $900.00, si restamos la cantidad de Luis a la cantidad de Manuel el
resultado obtenido es $100.00.

5. Un hotel tiene 94 habitaciones entre dobles e individuales. Si el número de camas

es 170. ¿Cuántas habitaciones dobles tiene? ¿Cuántas individuales?

6. Tres hermanos se reparten $2,600.00. El mayor recibe doble que el mediano y

este el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

7. Un gimnasio ofrece un paquete a sus nuevos clientes, $450.00 de inscripción y

una mensualidad de 700 pesos, ¿cuál será la cantidad que pago en el transcurso
de 1 año?

38
 Ecuaciones de segundo grado

Ecuación cuadrática completa

ax²+bx+c = 0
ax² término cuadrático bx término lineal c término independiente

Ecuaciones cuadráticas incompletas

ax² + bx = 0 ax² + c = 0

Resolución por factorización

La ecuación cuadrática se descompone en dos factores lineales

igualados con cero, se generan dos ecuaciones de primer grado,
que al resolverse permite encontrar las dos soluciones de la
ecuación.

Solución

 Raíz del término cuadrático será primer término en cada factor.

 Los segundos términos serán 2 números que sumados da término lineal y su
producto término independiente

Resolución por fórmula general

Se identifican los valores a, b, c en la ecuación propuesta. Se sustituyen valores
de la formula general, se realiza parcialmente operaciones y se determinan las dos
soluciones de la ecuación.

x² + 9x + 14 = 0
a=1 b=9 c = 14

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎

−(9) ± √(9)² − 4(1)(14)

𝑥=
2(1)

39
 Se realizan las operaciones
correspondientes

Resolución de problemas de ecuaciones cuadráticas

Ejemplo 1

El producto de dos números es 144, el mayor excede en 7 al menor, encuentra el valor

de los números.

Número menor = x (x) ( x+7) = 144 sustituimos los datos.

Número mayor = x + 7 x² + 7x = 144 resultado de multiplicación
x² + 7x – 144 = 0 igualación de ecuación a cero

Resolución de ecuación por método de factorización.

x² + 7x – 144 = 0
(x+16) ( x – 9)
X + 16 = 0 X–9=0
X1 = - 16 X2 = 9
Numero menor = 9 número mayor = 9 + 7 = 16
Los números son 9 y 16

40
 Ejemplo 2

La suma de los cuadrados de las edades de María y Javier es de 89 años. Si maría es

3 años mayor que Javier, ¿Qué edad tiene María y Javier?

Javier = x (x²) + (x + 3)² = 89

María = x + 3 x² + x² + 6x + 9 = 89
2x² + 6x – 80 = 0

Solución por fórmula general.

A=2 b=6 c = -80
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎

−(6) ± √(6)2 − 4(2)(−80)

𝑥=
2(2)

−6+26 −6−26
X1 = =5 x2 = =-8
4 4

Edad de Javier: 5 Edad de María : 8

41
 Resuelve los siguientes problemas

1. El área de un rectángulo equivale a 99 m², si sabemos que

su base es 2 metros mayor que la altura, ¿Cuáles son sus
dimensiones?

99 m²

2. El producto de dos enteros consecutivos pares, es 48. Encuentra esos números.

3. En un polígono se puede trazar 27 diagonales. Calcula el número de los lados.

(𝑳)(𝑳−𝟑)
d=
𝟐

Puedes encontrar más explicaciones y

ejemplos en:
https://www.geogebra.org/t/equation

42
 Situación de Aprendizaje 9
Aprendizaje Resuelve problemas que implican calcular el volumen de
esperado: cilindros y conos o cualquiera de las variables que
intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo
cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las
dimensiones.

Cilindro

Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva

y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases,
superficie que se forma cuando una recta, llamada generatriz
gira alrededor de otra recta paralela, eje. Otra forma de definirlo es el cuerpo que
se genera cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

Elementos del cilindro

 Eje: Es el lado fijo alrededor del que gira el rectángulo.

 Bases: Son aquellos círculos que crean los lados perpendiculares al eje.
 Generatriz: Es el lado que engendra el cilindro, opuesto al eje. La generatriz
del cilindro es igual a la altura.
 Altura. Es la distancia entre las bases y es igual a la generatriz.

Eje Base

Altura

Generatriz

Base

43
 Desarrollo plano de un cilindro

El cilindro es un cuerpo geométrico conformado por

dos bases con forma circular y una cara lateral curva.
Su desarrollo plano presenta dos círculos congruentes y
un rectángulo. El perímetro del círculo tiene relación con
la medida de la base del rectángulo que forma parte de su desarrollo plano.

Fórmula para determinar el volumen de un cilindro

V = ( r² ) ( h ) V = Volumen = 3.1416 r = radio h = altura

Cono

Es el cuerpo geométrico obtenido al hacer girar un triángulo

rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos del cono

 Base: es el círculo sobre el que se apoya.

 Radio del cono: es el radio de la base.
 Vértice: es la cúspide o pico del cono.
 Eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el cateto sobre el que
gira el triángulo rectángulo para formar el cono.
 Altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.
 Superficie lateral: es la cara curva del cono.
 Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el cono al
girar o, lo que es lo mismo, cualquier segmento trazado entre el vértice del
cono y un punto del contorno o circunferencia de su base.

44
 Cúspide C

Eje o altura Generatriz

Base
B
A
Radio
Desarrollo plano de un cono

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y

un círculo. El sector circular está delimitado por dos
generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud
de la circunferencia de la base. Donde r es el radio de la base y h es la altura
del cono.

Fórmula para determinar el volumen de un cono

V = ( r² ) ( h ) V = Volumen = 3.1416 r = radio h = altura

3
Caso 1: Volumen de un cilindro

DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN

r = 8 cm V = ( r² ) ( h ) V = ( 8² ) ( 15 )
h = 15 cm

OPERACIONES RESULTADO
( 8 ) ( 8 ) = 64 cm²
( 64 cm² )( 15 cm )= 960 cm³ 3015.936 cm³
( 960 cm³)( 3.1416 ) = 3015.936 cm³

45
 Caso 2: Volumen de un cono

DATOS FÓRMULA SUSTITUCIÓN

r = 4 cm V = ( r² ) ( h ) V = ( 4² ) ( 7 cm )
h = 7 cm 3 3

OPERACIONES RESULTADO
( 4 ) ( 4 ) = 16 cm²
( 16 cm² )( 7 cm )= 112 cm³ 117. 2864 cm³
( 112 cm³)( 3.1416 ) = 351.8592 cm³
351.8592 cm³ / 3 = 117.2864 cm³

Observa cada reactivo y contesta correctamente

1. Se tiene un cono que mide 12 cm de altura y 3 cm de radio. ¿Cuál
es su volumen? Considera 
A) 100 cm³ B) 113.04 cm³ C) 145.6 cm³
D) 150.45 cm³

2. Para ver el tema de hoy el maestro Daniel llevó un cilindro de

plástico con un cono de plastilina inscrito en él, como se muestra
en el siguiente dibujo:

Si el radio de la base del cilindro mide 2 cm, calculen cuánto medirá su volumen.
Considera 
A) 8.37 cm³ B) 25.12 cm³ C) 75.36 cm³ D) 100.48 cm³

3. La siguiente figura representa un cono:

16 cm

46
Si el radio de la base del cono mide una cuarta parte de lo que mide su altura. ¿Cuál
es su volumen? Considera 

A) 267.94 cm³ B) 133.97 cm³ C) 803.84 cm³ D) 100.48 cm³

4. Dos contenedores tienen un radio de 10 cm, pero diferente altura, como se

muestra en la imagen:

40 cm

20 cm

¿Cuál es la relación que hay entre los volúmenes de estos contenedores?

A) El volumen del contenedor B es tres veces el volumen del contenedor A
B) El volumen del contenedor A es el doble del volumen del contenedor B.
C) El volumen del contenedor A es ocho veces el volumen del contenedor B
D) El volumen del contenedor B es la cuarta parte del volumen del contenedor A.

5. Observa el siguiente cilindro inscrito en un prisma: ¿Cuál es el volumen del

cilindro? Considera 

A) 235.5 cm³ B) 300 cm³ C) 150 cm³ D) 78.5 cm³

47
 Situación de Aprendizaje 10
Aprendizaje Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones
esperado: lineales y cuadráticas.

Recuerda: En una ecuación lineal, sus variables están

elevadas a la primera potencia. Así, una ecuación lineal puedes
escribirla de la siguiente manera: ax+by=c.

Cuando graficas una ecuación lineal en el plano cartesiano,

obtienes una línea recta. Observa algunos ejemplos de gráficas de ecuaciones
lineales.

En la gráfica de la izquierda puedes observar una línea recta que presenta un

crecimiento ascendente; en la gráfica de la derecha, la línea recta se comporta de
manera descendente.

y = 2x + 1 y = - 2x + 1

Una ecuación lineal también se representa de la forma: y=mx+b; en este caso,

tienes a las dos variables, “x” y “y”, elevadas a la primera potencia, y a las constantes
“m” y “b”; donde "m" representa la razón de cambio entre dos coordenadas,
mostrando la inclinación de la línea recta; y “b” es el punto en donde la línea recta
corta al eje de las “y” (ordenada al origen).

48
 También en esta misma forma de ecuación lineal, puedes localizar a la variable
dependiente “y” y a la variable independiente “x”.

Una ecuación cuadrática es aquella que tiene como expresión general la forma:

ax2 + bx + c = 0

En donde a, b y c son constantes, y “x” es la variable independiente.

También ten presente que la gráfica asociada a una relación cuadrática es una
curva llamada "parábola".

Las siguientes gráficas representan ecuaciones de segundo grado.

Podemos observar que:

 La primera parábola se abre hacia abajo, y la segunda hacia arriba.

 En una parábola, un vértice es el punto que corresponde al menor o al mayor
valor que toma la ordenada. Es decir, es el punto de inflexión o cambio de la
parábola.
 Que el vértice de la parábola que se abre hacia abajo, está arriba. Y el vértice
de la parábola que se abre hacia arriba, está abajo.
 En una gráfica, su ecuación es y= -x2 y en la otra y= x2.

Hasta aquí, hemos recordado las características más importantes de las ecuaciones
lineales y de las ecuaciones cuadráticas.

49
 Tenemos dos recetas para preparar pay de queso. Para elaborar
un pay de queso se utiliza los siguientes ingredientes:

 La receta 1 requiere 3 porciones de queso por cada 5 porciones de leche.

 La receta 2 requiere 4 porciones de queso por cada 7 porciones de leche.

a) ¿Cuál de las 2 recetas tiene mayor sabor a queso?___________________

b) ¿Cómo saber cuál de las dos recetas es mejor?___________________
c) Completa las siguientes tablas:

Receta 1

Queso 3 6

Leche 5 15

Receta 2

Queso 4 8

Leche 7 21

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d) Elabora una gráfica para cada receta.

Gráfica receta 1 Gráfica receta 2

e) ¿Qué podemos concluir al comparar y analizar las gráficas?______________

_______________________________________________________________
_______________________________________________________________

En el siguiente video puedes obsevar con

detenimiento más sobre este contenido.

https://www.youtube.com/watch?v=PyE0PMGJ6mw

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