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Manual de Algebra Alumno DGETI
Manual de Algebra Alumno DGETI
Manual de Algebra Alumno DGETI
Álgebra
Manual del Estudiante
Periodo escolar
2020-2021
Álgebra (Aprendizajes Esenciales)
Propósito
Marco teórico
Los seres humanos somos capaces de conocer el mundo a través del lenguaje, del
análisis lógico-matemático, de la representación espacial, del pensamiento musical, del uso
del cuerpo para resolver problemas o hacer cosas, de la propia interpretación del universo,
la interrelación con los demás individuos y de una auto comprensión de nosotros mismos.
Donde los individuos se diferencian es en el nivel e intensidad de sus habilidades y en las
formas en que recurre a esas mismas y se les combina para llevar a cabo diferentes labores,
para solucionar diversos problemas y progresar en distintos ámbitos.
Marco referencial
Al analizar los procesos de aprendizaje de las matemáticas, es posible percatarse
que los alumnos han experimentado una serie de estrategias por parte de los docentes para
que las competencias las transfieran en situaciones de la vida real. Esto exige relacionar,
interpretar, inferir, interpolar, inventar y aplicar los saberes a la resolución de problemas,
mediante la intervención en la realidad reflexionando y actuando sobre la acción y
reaccionando con responsabilidad ante situaciones imprevistas o contingentes.
Dado que las competencias están constituidas por uno o más contenidos de
aprendizaje, es necesario identificar los indicadores de logro para cada uno de ellos, pero
integrados o que se puedan integrar en la competencia correspondiente y el medio para
conocer el grado de su aprendizaje será la intervención del estudiante ante la situación
problemática planteada. La evaluación bajo el enfoque de competencias no solo implica
evaluar el resultado del aprendizaje del alumno, también el proceso de enseñanza-
aprendizaje, por lo que conlleva a que en paralelo también el facilitador va desarrollando,
aprendiendo y evaluando bajo el enfoque de competencias, su propia praxis educativa.
Un escenario de este tipo pretende crear las condiciones que propician aprendizajes
significativos desde la distancia, donde lo más importante radica en ser consciente de lo
que se hace y para qué se hace, y no sólo de solucionar el problema. En esta perspectiva,
el docente está comprometido a supervisar de manera permanente el trabajo de sus
alumnos, orientar y retroalimentar los contenidos que se requieran en plenarias, o en
especial individualización, respetando los procesos de discusión y los argumentos que
conduzcan al entendimiento y solución de los ejercicios, atender las dudas individuales y
propiciar, siempre, la participación activa y comprometida de los estudiantes.
Esta obra se hará llegar a los alumnos por los medios que dispongan en el contexto
de cada región del país, tratando de abarcar la totalidad de la población de estudiantes de
la DGETI. Para ello, en los planteles se establecerán los mecanismos para que se lleve a
cabo una interacción favorable entre maestros y alumnos, a fin de dar seguimiento a los
avances que tengan los jóvenes y establecer los criterios de evaluación que se consideren
viables de acuerdo con las circunstancias de cada región, en el marco de la contingencia
actual.
1. En la medida de lo posible, que los docentes que impartan el curso posean las
competencias necesarias, preparación pedagógica, dominio de los temas y estabilidad
emocional, que le permitan desempeñarse en este importante puesto social.
4. El docente podrá realizar clases por video conferencias, grabar sus propios videos
explicativos, proporcionar links de videos y textos explicativos de los temas, tutoriales, etc.
con el propósito de que el estudiante tenga los recursos suficientes para la adquisición de
las competencias y aclaración de posibles dudas en los contenidos.
COMPETENCIA ATRIBUTOS
Introducción
Las autoridades de la Secretaría de Educación Pública del país, han planeado la
apertura de las clases a distancia en este período de contingencia, en todos los niveles
educativos, aprovechando los medios electrónicos para que los docentes puedan
desarrollar su cátedra de manera digital, teniendo comunicación con sus grupos de alumnos
y así poder desarrollar las estrategias pertinentes que le permitan al estudiante alcanzar,
en lo mayor posible, las competencias establecidas en los planes y programas de estudio
nacionales.
Justificación
Estos tiempos que les tocó vivir a los estudiantes de nuestros planteles en todo el
país son particularmente difíciles. Tener que enfrentarse a las circunstancias de la nueva
modalidad de educación a distancia, representa para la mayoría de ellos un verdadero
problema en el afán de comprender los contenidos que marcan los programas de estudio
vigentes en todos los niveles. Contar con los medios de comunicación digitales adecuados
en casa, aunado a las dificultades económicas que muchos de nuestros alumnos
atraviesan, se ha convertido en un complicado reto para ellos y sus familias.
Conscientes de esta situación, las autoridades de la Dirección General de
Educación Tecnológica Industrial y la Academia Nacional de Matemáticas de este
subsistema, se han dado a la tarea de diseñar estrategias que favorezcan en todo lo posible
la enseñanza de los temas de matemáticas, que le serán útiles para la continuación de sus
estudios en este nivel bachillerato y los que el joven emprenda a continuación, en la
búsqueda de su preparación y formación profesional.
Es por eso que los manuales elaborados por dicha academia están diseñados para
apoyar la práctica docente y colaborar con los alumnos detonando en ellos la capacidad de
observación, globalización, jerarquización, regulación de su propia comprensión, y por
consecuencia, sus competencias matemáticas, cuya utilidad se verá reflejada, no sólo en
el contexto académico, sino en cualquier ámbito de su vida cotidiana.
Este material es el resultado de la experiencia de los maestros que lograron
concentrar los contenidos de los programas de las asignaturas de Álgebra, Geometría
Analítica y Cálculo Integral y trabajar en sólo los esenciales, con el propósito de ofrecer a
los alumnos las herramientas prioritarias para su formación académica en este nivel y sus
estudios posteriores, evitando así el exceso de trabajo escolar en su hogar.
Índice
Índice ......................................................................................... 9
Bloque 1 | Expresión algebraica ............................................13
1.1 Tránsito del entorno aritmético al algebraico ........................................................... 13
Introducción ................................................................................................ 13
1.1.1 Tránsito del lenguaje común al lenguaje algebraico ..................................... 13
Actividades de Apertura ............................................................................. 14
Actividades de Desarrollo .......................................................................... 17
Actividades de Cierre ................................................................................. 20
Actividades de Contextualización o Transversalidad ................................. 23
Ejercicios Adicionales................................................................................. 24
1.2 Notación ........................................................................................................................ 25
1.2.1 Término algebraico y elementos (signo, coeficiente, base y exponente) ... 25
Introducción ................................................................................................ 25
Actividades de Apertura ............................................................................. 27
Actividades de Desarrollo .......................................................................... 28
Actividades de Cierre ................................................................................. 29
Actividades de Contextualización o Transversalidad ................................. 30
1.2.2 Expresión algebraica (términos semejantes, clasificación y grados de
expresiones) ................................................................................................................ 31
Introducción ................................................................................................ 31
Actividades de Apertura ............................................................................. 32
Actividades de Desarrollo .......................................................................... 34
Actividades de Cierre ................................................................................. 34
Actividades de Contextualización o Transversalidad ................................. 36
1.3 Evaluación numérica de expresiones algebraicas ................................................... 38
1.3.1 Evaluar expresiones algebraicas para diferentes valores numéricos. ........ 38
Introducción ................................................................................................ 38
Actividades de Apertura ............................................................................. 38
Actividades de Desarrollo .......................................................................... 40
Actividades de Cierre ................................................................................. 41
Introducción
Actividades de Apertura
Para poder cambiar el lenguaje común a algebraico, primero debemos identificar las
operaciones aritméticas básicas y las palabras afines a ellos.
Signo de
Palabras afines o sinónimos.
operación
√ Raíz.
La suma del triple de un número más el doble de otro número distinto al cuadrado.
Lenguaje
Parte del enunciado Explicación
algebraico
x2 + y2
3x2 + 2x + 4
√𝒙𝟑 − 𝟐𝒚
√𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟐
𝟑 𝟐𝒙𝟐
√
𝟑𝒚
Lenguaje
Explicación Lenguaje común
algebraico
2
El cuadrado afecta a todos los
(2𝑥 − 𝑦3 ) El cuadrado
elementos
Describimos el elemento de la
2𝑥 Del doble de un número
izquierda
Al hablar de lenguaje común existen varios sinónimos o formas más breves para hacer el
enunciado como:
(Simplificando el enunciado)
Cualquiera de las respuestas anteriores es correcta, aunque existen muchas otras, la última
por su brevedad es la más usual.
Cuando se adquiere cierta habilidad ya no será necesario hacer tablas u otro tipo de ayudas,
ya que el proceso se vuelve algo mental y automático, para ello se debe ejercitar con la
realización de diversos ejercicios.
Actividades de Desarrollo
Ejemplos:
1. José tiene un terreno cuadrado. ¿Cuál es la expresión algebraica de su
perímetro?
Si esta pregunta se le hiciera a un alumno adelantado de primaria, diría que le faltan datos
para responder. Sin embargo, dentro del marco algebraico podemos responderla, pues
sabemos que lo que se requiere es la medida de un lado del cuadrado, entonces,
nombrando una literal que represente esa medida podemos expresar el perímetro.
Sea l = medida del lado del cuadrado. La medida del perímetro la podemos expresar como
𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 y sabiendo que una suma de números iguales se puede abreviar mediante
una multiplicación, el resultado final sería 4𝑙.
Sabemos que los kilos de verdura los podemos obtener sumando los kilos de tomate y los
kilos de cebolla. Como no tenemos esa información, el problema es aritméticamente
insoluble, Pero con las herramientas del álgebra solo tenemos que asignar una literal que
represente la información faltante:
x= Kilos de tomate, y=kilos de cebolla, por lo tanto, María llevó x + y kilos de verdura.
Observe que se requiere el uso de dos literales, una para el peso de cada verdura, porque
no hay una relación explicita entre las cantidades de las verduras compradas.
3. Juan descargó tres archivos de la red de internet, cada uno el doble de pesado
que el anterior. ¿Cuántos MB de datos de memoria ocupó en su
USB?
1. El profesor Rigoberto tiene cuatro hijos. Cada uno es un año mayor que el
anterior. ¿Cuál es el total de años que acumulan los cuatro hijos de Rigoberto?
Actividades de Cierre
Como ya se había establecido que la expresión del perímetro es 4x, entonces la igualdad
que permite resolver el problema es 4x=60.
2. María fue al mercado a comprar cebolla y tomate. Si hubiera comprado dos kilos
más de tomate y el doble de cebolla, llevaría a casa 10 kilos de hortalizas. Por otro
lado, si hubiera comprado la mitad del tomate que lleva, el peso de las hortalizas
sería de 6 kilos. ¿Cuántos kilos de cada una de las hortalizas compró?
Anteriormente establecimos las literales x= kilos de tomate que compro Maria, y= kilos de
cebolla.
x + y = peso total de hortalizas compradas.
No se sabe cuántos kilos compró, pero de las condiciones dadas, sabemos que:
𝑥 + 2 + 𝑦 = 10. Ya que si hubiera comprado 2 kilos más de tomate el total serían 10
kilos. La ecuación anterior tiene dos incógnitas, por lo tanto, requerimos formular
otra ecuación para que se pueda resolver el problema.
Sabiendo que si hubiera comprado la mitad del tomate que compró, llevaría 6 kilos en total,
1
tenemos que: 2
𝑥 + 𝑦 = 6.
Las ecuaciones que al resolverlas nos dan la solución del problema son:
1
𝑥 + 2 + 𝑦 = 10 y 2
𝑥 +𝑦 =6
3. Juan descargó tres archivos de la red de internet, cada uno el doble de pesado que
el anterior. Para guardarlos utilizo un dispositivo USB de 32 GB, el cual ya tenía
información equivalente a 100 MB. Después de almacenar los tres archivos la
Actividad 2
Determina las ecuaciones que permitan resolver los problemas planteados a continuación.
Recuerda que solo se requieren las ecuaciones, no su solución.
1. El profesor Rigoberto tiene cuatro hijos. Cada uno es un año mayor que el anterior. La
suma de sus edades es de 54 años ¿Cuál es la edad del mayor de los hijos de
Rigoberto?
2. Jesús tiene un terreno cuadrado y su hermano uno rectangular. El largo del terreno de
su hermano mide 5 metros más que el lado del terreno de Jesús. Mientras que el ancho
del terreno de su hermano mide lo mismo que el lado del terreno cuadrado. Si la
superficie o área de los terrenos juntos es de 1200 metros cuadrados ¿Cuáles son las
medidas de los dos terrenos?
3. En una caja de cartón se empacan 400 latas de atún. Al acomodarlas, resulta que caben
5 latas más a lo largo que a lo ancho y a lo alto caben 3 latas más que a lo ancho.
¿Cuántas latas en total tocan el fondo de la caja?
Actividad 3
Inventa enunciados de situaciones o problemas que den lugar a expresiones algebraicas
y/o ecuaciones y determina dichas expresiones.
Para cada problema dado determina las ecuaciones necesarias para llegar a la
solución.
1. En el corralón de la ciudad de Monterrey están almacenados 1700 vehículos, entre
sedán, pick ups, vagonetas y camiones. Hay 300 autos Sedán menos que Pick Ups.
Las vagonetas son las 3/8 octavas parte de las Pick Ups, mientras que los camiones
son 1/10 del total de autos y vagonetas existentes. ¿Cuántos vehículos de cada tipo
hay en el corralón?
Ejercicios Adicionales
Expresión
Lenguaje común
Algebraica
1.2 Notación
1.2.1 Término algebraico y elementos (signo, coeficiente, base y exponente)
Introducción
Signos de operación
En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones
que en aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y
extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética
excepto el signo de multiplicación ya que en lugar del signo “ × ” que se usa
en aritmética, se suele emplear un punto medio entre los factores “ a • b“ o
también colocando los factores entre paréntesis “(a)(b)”.
Si los signos son iguales el resultado de una multiplicación de términos debe ser positivo.
En cambio, si los signos son diferentes el resultado será negativo. En otras palabras, podría
decirse signos iguales se suman, signos diferentes se restan. Esto va relacionado en
operaciones básicas con números enteros. Lo anterior mencionado se muestra en la
siguiente tabla:
Suma y resta
Signos iguales se suman y se deja el mismo signo
Signos diferentes se restan y se deja el signo del valor mayor
Multiplicación División
(+)×(+) = + (+) ÷ (+) = +
(‒)×(‒) = + (‒) ÷ (‒) = +
(+)×(‒) = ‒ (+) ÷ (‒) = ‒
(‒)×(+) = ‒ (‒) ÷ (+) = ‒
Termino algebraico
En general el termino algebraico es el producto y/o división de una o más variables (factor
literal) y un coeficiente o factor numérico.
Jerarquía de operaciones
Se refiere a que orden de operaciones deben
efectuarse de acuerdo con el orden siguiente:
Actividades de Apertura
Hasta ahorita hemos definido qué son los términos algebraicos, los signos de agrupación,
las leyes de los signos y la jerarquía de las operaciones. En los siguientes ejemplos
trabajaremos únicamente con la jerarquía operaciones en números, la jerarquía de
operaciones algebraicas la revisaremos más adelante.
a) −9 + 3(−10 + 21) − 32 =
Solución: −9 + 3(−10 + 21) − 32 =
Comenzamos con las operaciones dentro de los paréntesis: −9 + 3( +11 ) − 32 =
Para quitar los paréntesis se multiplica por el elemento de afuera: −9 + 33 − 32 =
Realizamos las operaciones resultantes = −8
b) 2 + [−2 − 3(2 − 7) − 4] + 12 =
Solución: 2 + [−2 − 3(2 − 7) − 4] + 12 =
Comenzamos con las operaciones dentro de los paréntesis 2 + [−2 − 3( −5 ) − 4] + 12 =
Para quitar los paréntesis se multiplica por el elemento de afuera 2 + [−2 + 15 − 4] + 12
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes 2+[ +9 ] + 12 =
Para quitar los corchetes multiplicamos por el elemento de afuera 2 + 9 + 12 =
Realizamos las operaciones resultantes = 23
.
Actividades de Desarrollo
1
e) 3 𝑥𝑦𝑤 5 Signo: Coeficiente: _ Literales: Exponentes:
9
f) 𝑎𝑦𝑏 Signo: Coeficiente: _ Literales: Exponentes:
11
1
e) 𝑥𝑦𝑤 5 Signo: Coeficiente: _ Literales: Exponentes:
3
1
e) 3 𝑥𝑦𝑤 5 Signo: Coeficiente: _ Literales: Exponentes:
Actividades de Cierre
Es importante conocer los elementos que conformar un término algebraico porque en temas
I. Resuelve los siguientes ejercicios y preguntas de acuerdo con los temas revisados de
2. Siguiendo la ley de los signos ¿qué signo obtenemos al multiplicar dos signos
iguales?
7
3. En la expresión − 𝑎11 ¿cuál es su exponente?
2
4. Resuelve: 2 + [4 − 3(3 − 6) − 4] + 10 =
7. Siguiendo la ley de los signos ¿qué signo obtenemos al multiplicar dos signos
diferentes?
7
8. En la expresión − 𝑎11 ¿cuál es su coeficiente
2
Rosa es mi tía, tiene un canal de YouTube donde platica a sus seguidores las
experiencias de sus viajes, así como también la cultura y tradiciones de los lugares que
visita. La semana pasada viajó a Guatemala (del náhuatl Quautlemallan “lugar de muchos
árboles”), este país es nuestro vecino, se encuentra entre el Pacífico y el Caribe, ahí puedes
encontrar volcanes, bosques tropicales y antiguos sitios mayas. La naturaleza exuberante,
la hospitalidad de su gente, el colorido de sus fiestas, las lagunas, los volcanes y el mar,
así como sus arraigadas tradiciones y apego a los modos de vida de sus ancestros son en
sí mismos un enorme atractivo.
Para recorrer los lugares, mi tía rentó una camioneta, La moneda que utilizan en
este país es el Quetzal. Haciendo la conversión a pesos mexicanos, el costo de alquilar la
camioneta fue de $30 pesos por día, más $0.5 pesos por kilómetro recorrido. Mi tía rentó
una camioneta por dos días y tuvo que pagar $360 pesos en total. ¿Cuántos kilómetros
recorrió mi tía?
Introducción
• Los términos 4𝑎𝑏 𝑦 − 6𝑎2 𝑏 no son semejantes porque, aunque tienen literales
iguales, no tienen el mismo exponente, ya que la a del primero tiene de exponente
1 y la a del segundo tiene de exponente 2.
• Los términos −𝑏𝑥 4 𝑦 𝑎𝑏 4 no son semejantes, porque, aunque tienen el mismo
exponente, las literales no son iguales.
Ejemplo: 3ab, -5a2b , a2b2 , 8ab2 ninguno es semejante aunque tengan las mismas literales.
El término nulo es todo aquel término que tiene como coeficiente o número el cero.
3x3 + 0x2 – 3x + 8
A los polinomios que intervienen en una división, siempre será necesario agregarle los
términos nulos correspondientes al grado de los términos faltantes, para que el polinomio
este ordenado y completo, aunque no tendrá valor, sólo representación de orden de las
literales o letras con su exponente. Recordando que cualquier cantidad multiplicada por
cero su resultado es cero y por lo tanto la expresión original no cambia.
Términos semejantes:
5𝑎 − 3𝑎 = 2𝑎 término semejante
6𝑛 − 4𝑚 = 6𝑛 − 4𝑚 no son términos semejantes
7𝑥 + 2𝑥 = 9𝑥 término semejante
8𝑎 − 3𝑏 = 8𝑎 − 3𝑏 no son términos semejante
12𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 = 12𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 no son términos semejantes
Actividades de Apertura
Actividades de Desarrollo
Actividades de Cierre
Actividad 1: Anota la respuesta correcta con color rojo en cada rectángulo vacío.
Expresión algebraica Grado Número de términos
absoluto de la
expresión
2x − 5 y3
x2 y3
5
x 2 + y 3 − z + xy 2 z 3
2 x 2 − 3 y 3 + 5x 2 y 3 z 2
Actividad 2: En el siguiente cuadro, dibuja un círculo con un mismo color cada término
semejante, sí hay más términos semejantes, utiliza otros colores.
6
2 pq5 3.3 p5q − x3 0.6 ab2 3 y2
5
1 2
-1.5p5q -x3 33 y2 3.5 pq5 − ab
2
3 5
1.8y2 pq -3 x3 -15x3 18 p5q
4
2 y2 -14 ab2 6 5 3 2
pq 3.5 ab2 y
5 4
LUNES x
MARTES y
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
SÁBADO 0
DOMINGO 0
Termino algebraico Coeficiente Variables Grado absoluto Grado del monomio con respecto a x
1. 3𝑥 2 𝑦
2. m
3. m𝑥 3
4. 3x𝑏 5
5. 8𝑥 3 𝑦 2 𝑧 4
Introducción
Actividades de Apertura
Solución: Primero sustituimos el valor de a que es igual a 4, la letra b por -1; y la letra por
c.
a - 2b + 3ac =
4 – 2 ( -1) + 3 (4)(2) =
De modo que resolvemos las operaciones: 4 +2 +24 = 30
La respuesta es “d”.
Para la resolución de este tipo de expresiones algebraicas se utilizan la ley de los signos.
a) 87 0F b) 100 0F c) 77 0F d) 50 0F
Solución: Sustituyendo el valor de oC que es igual a 25. 0
F = 9/5 ( 25 ) + 32 = 77 0F
𝑎 2 +4𝑎+8
Ejemplo 4: Evalúa la expresión algebraica siguiente: 𝑎2 +3𝑎+2 ; cuando a = 1.
a) 2 b) 3 c) 6 d) 4
Ejemplo 5: Valora la velocidad horizontal de una pelota lanzada en línea recta a partir de
que la expresión algebraica de la velocidad es la siguiente: V = d / t; Cuando la
distancia d = 10 metros y el tiempo es de t = 5 segundos.
a) 5 b) 1 c) 2 d) 4
Actividades de Desarrollo
a) 8 b) – 8 c) 9 d) 30
Problema 2: Si tienes una batería y midiendo tiene un voltaje E = 125 volts y la corriente
es de I = 5 amperes, siendo la expresión algebraica: R = E/I ¿Cuánto vale la
resistencia del resistor(R)?
a) 25 b)50 c) 75 d) 10
a) 80 0F b) 86 0F c) 96 0F d) 76 0F
𝑎 2 +4𝑎+8
Problema 4: Evalúa la expresión algebraica siguiente: 𝑎2 +3𝑎+2 ; cuando a = 0.
a)2 b) 3 c) 4 d) 8
a) 5 b) 7 c) 8 d) 10
Actividades de Cierre
a) 100 b) 35 c) 99 d) 34
Introducción
Actividades de Apertura
En este apartado vas a conocer las leyes fundamentales de los exponentes, así como
aquellas que involucran a los radicales y por ende a los exponentes fraccionarios.
am * an = am+n
Por ejemplo:
c) (b12) (3b–2) = 3b12+(–2) =3b12–2 = 3b10 d) (– 4z5) (5z2) (z2) = –20z5+2+2 = –20z9
1 2 1 2 5+8 13
+
e) (𝑝4 ) (𝑝5 ) = 𝑝4 5 = 𝑝 20 = 𝑝20 *
*Las leyes de los exponentes que estamos estudiando, aplican de la misma forma cuando se opera
con exponentes fraccionarios.
𝑎 𝑛 𝑛
(𝑏 ) = 𝑎𝑛
𝑏
Por ejemplo:
3 3 3 3 3 34 81
a) ( )4 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 =
4 4 4 4 4 4 256
En caso de que te encuentres con una fracción mixta se transforma el numero a
fracción:
1 7 7𝑥7 72 49 1
b) (3 )2 = ( )2 = = = = 12
2 2 2𝑥2 22 4 4
𝑥 5 𝑥5 2𝑎𝑏 3 23 𝑎3𝑏3 8𝑎3 𝑏3
c) ( ) = 𝑦5
d) ( ) = 𝑐3 =
𝑦 𝑐 𝑐3
1
a –n =
𝑎𝑛
Por ejemplo:
1 1 1
−
a) n–3 = b) 𝑥 2 = 1
𝑛3
𝑥2
1 3 1 𝑎
c) 3m –7 = 3. = d) a.b–5= a. =
𝑚7 𝑚7 𝑏5 𝑏5
1 1 1 5 1
a) z8 = b) x9 = c) 5m 2 = 5. = d) a4b3=
𝑧 −8 𝑥 −9 𝑚−2 𝑚−2 𝑎−4 𝑏−3
𝑎 −𝑛 𝑏 𝑛
( ) = ( )
𝑏 𝑎
¿Por qué podemos hacer esto?, si tenemos un número entero con exponente
negativo, lo colocamos debajo de un número uno, como lo vimos en leyes anteriores.
1
5–2 =
52
Por ejemplo:
1 1
5 −2 3 2 𝑥 −3 𝑦 3 𝑚𝑛 −6 𝑝 6 5 −4 3 4
a) ( )
3
= ( )
5
b) ( )
𝑦
= ( )
𝑥
c) ( )
𝑝
= ( )
𝑚𝑛
d) ( ) = ( )
3 5
Por ejemplo:
4 3 8 1 1 1 1 5
+ 6
a) √𝑏 3 =𝑏 4 b) √𝑦 8 =𝑦 2 = 𝑦 4
3 3 2
c) √𝑥 ∙ √𝑥 = √𝑥 ∙ √𝑥 = 𝑥 3 ∙ 𝑥 2 = 𝑥 3 2 = 𝑥 6 = √𝑥 5
4 3
√𝑥3 3 5 1
𝑥4 1 1
d) 5 = 5 = 𝑥4−6 = 𝑥−12 = 1 = 12
√𝑥 6
𝑥6 𝑥12 √𝑥
Actividades de Desarrollo
Con las leyes antes descritas y apoyándote en los ejemplos desarrollados para cada
caso, resuelve los siguientes ejercicios, de esta forma te familiarizaras más con estás leyes
que te serán de gran utilidad en todos los temas que requieran de operaciones algebraicas.
1.- Desarrolla las potencias y aplica las leyes de los exponentes, para resolver los siguientes
ejercicios.
a) 34 = b) (–5)5 = c) 63 =
g) m1 = h) 951 = i) (t +5)1 =
60 201
j) 31 + 50 = k) 4𝑥 0 + 𝑥 1 + 5 = l) + 120 − 61 ∗ 30 =
51
2.- Aplica las leyes de los exponentes correspondientes al producto y cociente de mismas
para resolver los siguientes ejercicios.
a) (a2) (a3) = b) (x6) (x–4) = c) (23)(27)(215)=
d) (a8)(a– 6)(a10)= e) (5a2b2) (2ab2c3)= f) (–7m2n3) (3mn9)=
5𝑛6 8𝑎6 𝑏3 𝑐7 −6𝑥5
g) = h) = i) =
−3𝑥8
3
11𝑛 4𝑎3 𝑏3 𝑐4
3.- Aplica las leyes de los exponentes de potencia elevada a otra potencia y de producto,
para simplificar los siguientes ejercicios.
a) (23)7= b) (33) –2= c) (b3)4 =
3
d) ((x2)3)4 = e) (4𝑥 5 )2= f) (3*4*2)5=
2
g) (a3b5c–4)2= h) (2x5)3 (−5x2)2 = i) (3𝑦 3 )3 (2y2)2 =
4.- Aplica las leyes de los exponentes de la potencia de fracciones, para resolver los
siguientes ejercicios.
1 1
a) ( 4 )5 = b) (2𝑚)3 =
5 2 2𝑎𝑏
c) (3 )2 ∗ (3 )2 = d) ( 3𝑐 3 )2 =
Potencia Fracción
a) 𝑚−4 =
b) 2𝑘 −3 =
c) 𝑎−4 𝑏 = =
d) 𝑚−1 𝑛−2 =
5.- Completa la siguiente tabla. Para ello recuerda que existen los exponentes fraccionarios
𝑚
𝑛
y aplica la igualdad: √𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
Expresar con signo radical Expresar con exponente fraccionario
1
𝑥3
4
√𝑥 5
5
𝑦6
6
√𝑎 5 𝑏 4
4
(2𝑥𝑦)3
4
(9𝑥)3
4 𝑥 7 𝑦12
√
125𝑥
Actividades de Cierre
Operación Simplificación
a) (5ax2) (a2x3) (6ax) =
2 𝑏3 2 1
c) ( 2
)3 . ( ) . ( 2 )2 =
𝑏 4 𝑏
2
(−2𝑚 𝑛 )5 4
d) =
(12𝑚3 𝑛5 )3
2𝑝 𝑝3 𝑟 2 2
e) ( 3𝑞2 𝑟3 )−3 . ( 𝑞4
) =
3𝑛
9 𝑦𝑚+4
f) 2𝑛 =
9 𝑦𝑚
2.- Resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta, opera y simplifica las expresiones
que se te presentan, empleando las propiedades de exponentes fraccionarios.
Expresa tus resultados con exponentes positivos.
5 4 𝑚 𝑛 3
1) √𝑎3 √𝑏 = 2) 4√𝑎𝑏5 𝑐 6 = 3) √𝑎 √𝑏 √𝑐 𝑥 =
Con lo que ahora sabes y has aprendido estás en posibilidad de darle aplicación a las leyes
de los exponentes. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
1.- Problema Para preparar una mezcla de mortero se requieren 8–1 toneladas de cemento,
¿Cuánto kilogramos de cemento se emplearán?
2.- Problema. Si 10 gramos de sal se añaden a una cantidad de agua, la cantidad k(t) de
1
sal que no se disuelve después de t minutos está dada por k(t) =10 *( )𝑡
2
Introducción
Si queremos saber qué número debemos elevar al cubo para obtener 8, escribimos:
3
√8 , lo cual se lee: “raíz cúbica de 8” y significa: “que número elevado al cubo da como
3
resultado 8”, entonces, √8 =2, porque 23 = 8.
Para comprender mejor está operación, es necesario tener en claro los términos de la
radicación, estos son el radicando, el índice y la raíz:
La raíz n-ésima:
Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original...
y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... la raíz n-
ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original
En el caso de la raíz cuadrada se puede expresar con índice o sin índice. (Solo se aplica
a la raíz cuadrada)
a
2
√𝑎 = √𝑎 Raíz cuadrada de
Sin embargo, cuando se trata de raíces que NO son raíces cuadradas, SIEMPRE se
deberá escribir el índice:
3
√𝑦 🡪 raíz cúbica de y
5
√𝑥 🡪 raíz quinta de x
Si la raíz indicada es exacta, se dice que es racional; si no es exacta, es irracional. Por
3 4
ejemplo, √4 = 2, √8𝑎3 = 2𝑎, √16𝑎8 = 2𝑎2 son expresiones racionales; mientras
3
que √2 = 1.4142 … y √3𝑎2 , son irracionales.
4 4
√16𝑎4 =2a ó √16𝑎4 =–2a porque (2a)4 =16a4 y (–2a)4 =–16a4
4
Por tanto, √16𝑎4 =±2a
Actividades de Apertura
En este apartado vas a conocer las propiedades de los radicales. Debido a que las
raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las
propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes.
d) En algunos casos, es necesario simplificar el radicando con las leyes de los exponentes.
6 (162 2−5 )3 6 ((24 )2 2−5 )3 6 (28 2−5 )3 6 (28−5 )3 6 (23 )3 6 29
√ =√ =√ =√ =√ =√ =
82 2−3 (23 )2 2−3 26 2−3 26−3 23 23
6 6
√29−3 = √26 = 2
𝑚
𝑛
√𝑎𝑛 = 𝑎𝑚
Ejemplos:
2 7 5
3 4 3
a) √𝑦 2 =𝑦 3 b) √67 =6 4 c) √(2𝑥 + 𝑦)5 = (2𝑥 + 𝑦) 3
Recuerda que está propiedad también la estudiamos en las leyes de los exponentes. Esto
nos demuestra la relación entre estas operaciones.
Ejemplos:
3 3 3 3
a) (√8 ) . (√2). (√6) = √8 ∗ 2 ∗ 6 b) ( √𝑥)( √𝑦)( √𝑧) = √𝑥𝑦𝑧
5 5 5 5
c) ( √3𝑐) ( √2𝑑) = √3𝑐 ∗ 2𝑑 = √6𝑐𝑑
Ejemplos:
a) Resolver la siguiente multiplicación de radicales:
4 3
√3 ∗ √4
Observamos que, para obtener el índice común del resultado, tendremos que
multiplicar 4*3=12; después para obtener el nuevo radicando, se eleva el radicando del
primer factor (este caso el 3), a la potencia que del índice el segundo radical (33 ) y se
multiplicará por el radicando del segundo factor (este caso el 4), elevado a la potencia del
índice del primer radical (44 ). Así tenemos que:
4 3 4∗3 12
√3 ∗ √4 = √(33 )(44 ) = √(33 )(44 )
= 12√(27)(256)= 12√(6912)
𝑛 𝑚 𝑛𝑚
√ √𝑎 = √𝑎
Ejemplos:
3 4 (3)(4) 1
12
a) √ √𝑥 = √𝑥 = √𝑥 = 𝑥 12
Si analizamos un poco este ejercicio, nos podemos dar cuenta de que no es la única forma
de resolverlo, ya que podríamos emplear la propiedad de exponentes fraccionarios:
1
3 4 1 3 1
√ √𝑥 = (𝑥 ) = 𝑥 12 = 12√𝑥
4
3 4 5 −3 3 3
√√𝑥4 𝑦−6𝑧 3.2 6
= √√(𝑥 4−4 𝑦 5−(−6) 𝑧 −3−0 )= √√(𝑥 0 𝑦 11 𝑧 −3 )= √(𝑥 0 𝑦 11 𝑧 −3 )= √(𝑦11 𝑧 −3 )
𝑥 𝑦 𝑧0
Ejemplos:
a) Resolver la siguiente división de radicales:
4
√3
3
√4
Observamos que para obtener el índice común, tendremos que multiplicar 4*3=12; después
para obtener el subradical, se eleva el radicando del numerador (en este caso el 3) a la
potencia 3 que es el índice del radical del denominador (33 ); y se dividirá entre el radicando
del denominador (en este caso el 4) elevado a la potencia 4 que es el índice del radical del
numerador (44 ). Así tendremos que:
33 33 12√ 27
4 4(3)
√3 12
= √ = √ =
3
√4 44 44 256
2(3) 3 6
√25
√252 = √15 625 = √15625 5
6
b) Revisemos un segundo ejemplo. 3 = 729 6 =3
√27 27 √729
5
√𝑥2
5(3) 2 3 15 𝑥 6
c) Revisemos otro ejemplo. = √(𝑥 ) = √
3√𝑦 𝑦5 𝑦5
Actividades de Desarrollo
Como pudiste comprobar las propiedades de las raíces nos permiten operar expresiones
aritméticas y algebraicas en forma inmediata, al transformar una expresión algebraica que
sea compleja en la forma equivalente más sencilla.
1.- Para comenzar, obtén las raíces indicadas, recuerda que la a raíz n-ésima es aquella
cifra que multiplicada por si misma el número de veces que indica el índice del radical, dará
como resultado el radicando. No olvides considerar los signos.
Radical Raíz o raíces Radical Raíz o raíces
5
a) √64 = e) √−32 =
3 4
b) √125 = f) √81 =
4 4
c) √256 = g) √625 =
2.- Aplica las primeras dos propiedades de las raíces y las leyes de los exponentes donde
sea necesario para simplificar los radicandos.
1ª propiedad
9 7
a) √𝑥 9 = b) √57 =
7 9
c) √𝑥 2 𝑥 5 = d) √28 2−5 26 =
76 3 (74 )6
e) √ = f) √ =
74 78
5 (610 )2
g) √ =
6−3 67
2ª propiedad
11 12
a) √(322 )3 = b) √𝑦 7 =
5 7
c) √𝑚3 = d) √1114 =
4 7 611
e) √𝑧 −6 𝑧18 = f) √ =
63
3.- Realiza los siguientes productos de radicales con índices iguales o distintos. Aplica las
propiedades correspondientes según sea el caso.
3 3 4 4
a) ( √4) (√5 ) = b) (√𝑥 2 ) (√𝑥𝑦 3 ) =
7 7 5 4
c) (√2𝑎𝑏 5 ) (√5𝑎3 𝑏2 ) = d) (√𝑤 2 ) (√𝑧 5 ) =
3 6 7 4
e) (√32 ) (√2 ) = f) (√22 ) ( √6) =
4 3 5 4
g) (√𝑥 5 ) (√𝑥 2 ) = h) (√𝑤 2 ) (√𝑧 5 ) =
4.- Simplifica las siguientes raíces de raíces en tu cuaderno. Consulta los ejemplos descritos
en las actividades de apertura.
a)
3
45 16 = b)
6
84 2 =
c)
6
84 2 = d)
3
64m7 n18 =
1 2
3 3x 3 y 2 4 a2 x 3 y 2 3
1 (𝑏 1 𝑐 2 )(𝑎9 𝑏 2 𝑐 5 )
3 5 ((𝑎
e) = f) √ √√ =
(𝑎2 𝑏 3 𝑐 1 )2
5.- Realiza los siguientes productos de radicales con índices iguales o distintos, en tu
cuaderno. Aplica las propiedades correspondientes según sea el caso.
3 27 2
64 4𝑥
a) √121 = b) √ = c) √ =
64 64
3 𝑥6 4√
81
d) √ = e) 3√ =
𝑥 10 64
Actividades de Cierre
3 ((𝑥 2 )3 )4
b) √ =
𝑥 10𝑥 −6 𝑥 4
76
c) √ =
74
6
√64
d) 4 =
√256
4𝑥 2 9𝑥 4
e) (√ 4
) (√ )=
2 36
4
f) (√2𝑎𝑏 2 ) (√𝑎3 𝑏 )=
4 𝑥 11𝑦 16 𝑧 −5
g) √ −9 −13 4 2 =
𝑥 𝑧 (𝑦 )
3 3
−3 𝑦 −2 𝑧 −3 )(𝑥 −4 𝑦 5 𝑧 −2 ))
√ √√((𝑥
h) (𝑦 −2 𝑧 5 )2
=
4 5
6 7 8
9 10
Horizontales
3
+ 4=
3 1
− 3
1. 1.000 3. 42 = 5. (2) (4 2 ) = 7. (2)(√22 )
3
(√213 ) =
2
32·5
3 3 5
3
· 32 ( )
9. (√3)(√32 )(√75 )= 10. =
Verticales:
2. 4 9 +5 9 = 4. 4 2 8= (3 2
6. 2 2 = ) 3
8. 121 28 =
Introducción
Actividades de Apertura
En una suma de expresiones algebraicas solo es necesario expresar los términos que las
componen y luego debemos simplificar los términos semejantes. Cuando restamos
expresiones, antes de simplificar debemos de cambiar el signo de todos los términos del
polinomio que se va a restar (sustraendo). Recuerda también estas otras reglas.
2.- En suma y resta algebraica: solo intervienen los coeficientes, los exponentes
permanecen inalterables.
3.- Es recomendable: Asociar los términos que contengan el mismo signo, aplicando
posteriormente el punto 1.
Ejemplo 3: reduce los términos semejantes de: −𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟗
Proceso:
Asociar términos semejantes 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟓 − 𝟗 =
Realizar las operaciones agrupadas: −𝟑𝐱 𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 , estos términos no son
semejantes por lo que no pueden reducirse.
𝟑 𝟓 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 𝟓
𝒉− 𝒚− 𝒉+ 𝒚+ 𝒉− 𝒚− 𝒉 + 𝟒𝒚 =
𝟒 𝟕 𝟑 𝟐 𝟔 𝟏𝟒 𝟏𝟐
𝟑 𝟓 𝟐 𝟓 𝟗𝒉+𝟏𝟎𝒉−𝟖𝒉−𝟓𝒉 𝟏𝟗𝒉−𝟏𝟑𝒉 𝟔𝒉 𝒉
𝟒
𝒉 + 𝟔𝒉 − 𝟑 𝒉 − 𝟏𝟐 𝒉 = 𝟏𝟐
= 𝟏𝟐
= 𝟏𝟐 = 𝟐
𝟑 𝟓 𝟑 𝟐𝟏𝒚+𝟓𝟔𝒚−𝟏𝟎𝒚−𝟑𝒚 𝟕𝟕𝒚−𝟏𝟑𝒚 𝟔𝟑 𝟗
𝟐
𝒚+ 𝟒𝒚 − 𝟕 𝒚 − 𝟏𝟒 𝒚 = 𝟏𝟒
= 𝟏𝟒
= 𝟏𝟒 𝒚 = 𝟐 𝒚
𝒉 𝟗
Resultado: 𝟐 + 𝟐 𝒚
Dados los siguientes ejercicios efectúa la suma algebraica siguiendo los pasos
recomendados.
𝟏 𝟒 𝟐 𝟑
𝐳− 𝐳+ 𝐳− 𝐳=
𝟑 𝟓 𝟏𝟓 𝟏𝟎
𝟑 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟒 𝟑 𝟓
𝐚𝐛 − 𝐦𝐧 + 𝐚𝐛 + 𝐦𝐧 − 𝐚𝐛 − 𝐦𝐧 + 𝐚𝐛 − 𝐦𝐧 =
𝟒 𝟑 𝟑 𝟔 𝟔 𝟏𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝐚 𝟓 𝐚 𝟒 𝐚 𝟏 𝐚
𝐱 − 𝐱 + 𝐱 − 𝐱 =
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
Actividades de Desarrollo
Con ejemplos específicos mostraremos la aplicación de las reglas para desarrollar
óptimamente la secuencia de una suma y/o resta algebraica.
Ejemplo 1: Sumar 3𝑥 + 2 𝑦 4𝑥 − 6.
Ejemplo 2: Sumar:4𝑥 3 + 6𝑥 2 − 8𝑥 + 5 𝑦 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 9𝑥 + 9
Reducir : 5𝑥 3 + 2𝑥 2 − 17𝑥 + 14
Actividad
Dados los siguientes ejercicios efectúa la suma algebraica siguiendo los pasos
recomendados.
3 4 2 2 7
3. (5 𝑥 2 − 5 x + 5) + (x − 5 𝑥 2 + 5) =
3 5 2 4 5 4 3 5 2
6. ( 4
ab − 3 mn + 3 ab + 6 𝑚2 n) + (− 6 ab − 12 mn + 2 ab + 2
𝑚 n)
2 5 4 1
7. ( x a − x a+1 ) + ( x a − x a+1 )
3 3 3 3
Actividades de Cierre
Resultado: 𝟗𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟗𝒛
𝟑𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝟒𝒂 + 𝟓𝒂 − 𝟔𝒃 − 𝟕𝒃 − 𝟖𝒂 + 𝟓𝒃 + 𝟐𝒂 =
Actividad:
1.-Dadas las siguientes expresiones elimina los símbolos de agrupación y reduce los
términos semejantes:
−(𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 − 𝟒) + (𝒂 − 𝟐𝒃 + 𝟓) − (𝟒𝒂 − 𝟕𝒃 − 𝟔) =
De acuerdo con las finanzas que una madre de familia ha tenido se encuentra el
siguiente estado financiero:
Recibe un sueldo de $2100, $150 por vales de despensa, $500 por pago de pensión
alimenticia. Y tiene los siguientes gastos: $1400 despensa para la comida, $150 servicio de
autotransporte de la familia, $250 pago de servicios públicos, $350 por gastos diversos.
Establece el estado financiero de doña Carmen. ¿Cuánto ahorra por semana si este
presupuesto es en promedio igual? ¿Cuánto ahorra al año?
$2100+$150+$500-$1400-$150-$250-$350= $2750-$2150= $600
Doña Carmen ahorra en promedio $600 por semana.
El año tiene 52 semanas ella puede ahorrar en un año: ($600)(52)=$ 31,200
Llegaron 20 costales, retiraron 18, llegaron 34, retiraron 23, ingresaron 15, sacaron
28 para repartirlos, llegó una carga con 26, sacaron 25 para repartirlos. Establece el
movimiento que hubo durante esas 4 horas que tuvo de registro. Si al final de esas 4 horas
llegó un pedido para surtir 18 costales, determina si pudieron satisfacer dicho pedido.
entraron 20 34 15 26
retiraron 18 23 28 25
20+34+15+26 = 95
-18-23-28-25= -94
95-94=1costal al final de ese lapso solo había en existencia un costal
Por lo que no podían surtir el pedido de 18 costales de azúcar, había un déficit(faltante) de
17 costales
3.1.2 Multiplicación
Si “c” es el número
3. ¿Qué números
a a b
son “a” y “b”
+ a b a
b c c
Introducción
Recuerda:
Leyes de los exponentes. Si las bases se multiplican
los exponentes se suman
Leyes de los signos: (+)(+) = +
(-)(-) = -
(+)(-) = -
(-)(+) = -
Actividades de Apertura
Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno
de los términos del polinomio
Ejemplo 1: Multiplicaremos el monomio 3x² por el polinomio -x5+4x³-5x-1:
a)3𝑥 2 (−𝑥 5 + 4𝑥 3 − 5𝑥 − 1) =
Multiplicamos coeficientes con signos y literales con sus exponentes = −3𝑥2+5 + 12𝑥2+3 −
15𝑥2+1 − 3𝑥2
Resolvemos las operaciones y presentamos resultado = −3𝑥7 + 12𝑥5 − 15𝑥3 − 3𝑥2
b)2𝑎𝑏(3𝑎 − 𝑎𝑏 2 + 4𝑏 2 𝑐 2 ) =
1+2
Multiplicamos coeficientes con signos y literales con sus exponentes = 6𝑎1+1𝑏 − 2𝑎1+1𝑏 +
1+2 2
8𝑎1𝑏 𝑐
3 3
Resolvemos las operaciones y presentamos resultado = 6𝑎2𝑏 − 2𝑎2𝑏 + 8𝑎𝑏 𝑐2
Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada uno de los términos de uno de los
polinomios por el otro, y realiza después la reducción de términos semejantes de los
polinomios obtenidos en la multiplicación.
Ejemplo 1: Halla el producto de los siguientes polinomios:
P ( x) = 4 x 3 −5 x + 1
Q ( x) = 2 x 2 −7
Solución:
P( x) Q( x) = (4 x 3 −5 x + 1) (2 x 2 −7) =
Actividades de Desarrollo
(−3 · 4 · 𝑦 · 𝑥𝑧 2 ) + (4 · 5 · 𝑧 2 · 𝑥) + (4 · 2 · 𝑧 2 · 𝑥𝑦) + (4 · 4 · 𝑧 2 · 𝑥𝑧 2 )
(16𝑥𝑧 4 )
Actividades de Cierre
Efectúa los siguientes productos. Recuerda que para multiplicar monomios se multiplican
los coeficientes y se suman los exponentes de las variables que componen la parte literal
(“para multiplicar potencias con la misma base se deja como base la misma y se suman los
exponentes”). Cuando una variable no tiene exponente se considera que el exponente es
“1”.
1) (2x3 – 3x2 + 5x – 3) . 3 x2 =
2) (6x4 – 5 x2 – 7) . (– 4 x3) =
Multiplicación de polinomios.
Actividades de Apertura
• Polinomio entre
monomio cociente
• Polinomio entre
polinomio
divisor dividendo
operaciones
residuo
Actividades de Desarrollo
De dos monomios: se dividen los coeficientes y se aplica la ley de los signos (si la
división no es exacta, se puede dejar indicada); posteriormente, si los coeficientes literales
son iguales, se restan sus exponentes, si las variables literales son diferentes, entonces se
queda indicada la división.
Ejemplos:
4𝑎6 𝑏 4 4 𝑎6 𝑏4 4
1) = (−2) (𝑎2 ) ( 𝑏 ) = (−2) 𝑎6−2 𝑏 4−1 = −2𝑎4 𝑏 3
−2𝑎2 𝑏
2𝑥 4 2 𝑥4 1 1
2) 4𝑥 3 = (4) (𝑥 3 ) = 2 𝑥 4−3 = 2 𝑥
7m 2 n 3 −7
= mn 2
3) − 3mn 3
10a 5b 6 − 2a 4 b 6
=
4) − 5ax 4 x4
NOTA: recuerda que cuando una variable literal tiene como exponente cero equivale
a la unidad y, por lo tanto, será como multiplicar por uno al término.
Ejemplo:
− 9x 2 y 3
= 3x 0 y 2 = 3 y 2
2
1) − 3x y
(1) Se ordenan los dos polinomios en forma decreciente según las potencias de x,
teniendo cuidado de dejar los huecos correspondientes a los términos que falten
en el dividendo.
(2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
(3) El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta
del dividendo, obteniendo un resto parcial.
(4) Si el resto parcial es cero, o su grado es menor que el grado del divisor,
hemos concluido la división. En caso contrario, se repite el proceso hasta
llegar a un resto cuyo grado sea menor que el divisor.
Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un
polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos
sumandos. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo:
Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y
“divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor”
nos resulte el “dividendo”.
(3x 2
) (
− 10x3 + 4 x5 − x + 6 x 2 + 1 − 2 x )
Se ordenan los dos polinomios
tomando en cuenta los exponentes de 4 x5 + 0 x 4 − 10x3 + 3x 2 − x + 6 x2 − 2x + 1
la variable (x) en orden decreciente y
completando con coeficiente cero (0) la
potencia faltante.
4 x5 4 x5
2
= 2 = 4 x (5 − 2 ) = 4 x 3
x 1x
Se multiplica el primer término 4 x5 + 0 x 4 − 10x3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1
del cociente por todos los términos del
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4x 3
divisor, a estos productos se les
cambia el signo y se ordenan debajo del
4 x5 + 0 x 4 − 10x3 + 3x 2 − x + 6 x 2 − 2 x + 1
− 4 x5 + 8 x 4 − 4 x3 4 x3 + 8 x 2 + 2 x − 1
8 x 4 − 14x 3 + 3x 2 − x + 6
− 8 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2
2 x3 − 5 x 2 − x + 6
− 2 x3 + 4 x 2 − 2 x
− x 2 − 3x + 6
x2 − 2x + 1
− 5x + 7
El cociente de la división es : 4 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1
Actividades de Cierre
Realiza las siguientes divisiones algebraicas apoyándote en los temas revisados. Hay
espacio suficiente para que realices todas las operaciones.
Introducción
En este diagrama se indica que en las operaciones las deberemos efectuar empezando con
la resolución dentro de los paréntesis, corchetes y llaves, posteriormente revisaremos
cuales operaciones tienen potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones y por
último las sumas y restas.
Actividades de Apertura
Para este ejemplo 1 analiza cómo comenzamos la resolución y compara con el diagrama
de la jerarquía de operaciones:
1) Comenzamos revisando si hay paréntesis y
se resolvieron las operaciones que estaban
dentro de ellos.
2) Después revisamos si había potencias y
raíces. En este ejemplo no hay.
3) Después se realizaron las multiplicaciones.
No había divisiones.
4) Por último se sumo y resto dependiendo de
sus signos. Puedes revisar el tema de “ley de
signos” en las primeras páginas de este libro.
Ejemplo 2:
b) 2 + [−2 − 3(2 − 7) − 4] + 12 =
Solución: 2 + [−2 − 3(2 − 7) − 4] + 12 =
Comenzamos con las operaciones dentro de los paréntesis 2 + [−2 − 3( −5 ) − 4] + 12 =
Para quitar los paréntesis se multiplica por el elemento de afuera 2 + [−2 + 15 − 4] + 12 =
Realizamos las operaciones dentro de los corchetes 2+[ +9 ] + 12 =
Para quitar los corchetes multiplicamos por el elemento de afuera 2 + 9 + 12 =
Realizamos las operaciones resultantes = 23
Actividades de Desarrollo
En esta sección revisaremos que la jerarquía de operaciones se utiliza igual para términos
aritméticos que para los algebraicos. Analiza los siguientes ejemplos con detenimiento,
después te tocará practicar lo aprendido.
Actividades de Cierre
Para los siguientes ejercicios deberás resolver las operaciones guiándote con la jerarquía
que acabamos de practicar en los ejemplos previos. Te recomendamos resolver por
renglones, así como nosotros resolvimos antes. Esto te traerá más orden mientras dominas
el proceso.
1. Resuelve los siguientes ejercicios:
1) −5 − 10(2 + 4𝑥)=
2) 92 + 3(7𝑥 − 20) =
Introducción
(±) Más o menos el doble producto del primer término (2)(x)(y) = ± 2xy
por el segundo
Ejemplo:
( x ± 4 )²
Cuadrado del primer termino (x) ² = x²
(±) Más o menos el doble producto del (2)(x)(4) = ± 8x
primer término por el segundo,
Más el segundo al cuadrado (4)² = 16
Resultado (x ± 2)² = x² ± 8x + 16
Actividades de Apertura
A continuación, incluimos más ejemplos para resolver con la regla general que enunciamos
previamente. Te invitamos a analizarlos detenidamente:
Ejemplos:
A. (n + 6)2= (n)2+2(6)(n)+62= n2+12n+36
Actividad:
Relaciona las dos columnas escribiendo en los paréntesis de la izquierda las letras con el
trinomio cuadrado que correspondan en cada renglón:
( ) (3𝑎 + 4𝑏)2 b)
25 2
𝑎
5 9
+ 7 𝑎𝑏 + 49 𝑏 2
36
( ) (𝑎 − 3𝑏)2 h) 𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 9𝑏 2
(
5 3
) ( 𝑎 + 𝑏)
2
j) 25𝑎2 − 70𝑎𝑏 + 49𝑏2
6 7
Actividades de Desarrollo
Actividades de Cierre
7. (x3 – 3ya)2 9
8. (k2 – 2)2
5
9. ( – m3)2
3
Los productos notables nos sirven para reducir procedimientos y para ahorrarnos
algunos pasos a la hora de hacer operaciones. Se utilizan en la ingeniería civil, pues ayuda
a medir, calcular y contar las áreas del perímetro, también sirven para calcular la superficie
del terreno.
A. B.
Ejercicios Adicionales
2. (m – 10)2
3. (a – 2)(a – 2)
1
4. (y + )2
4
1
5. (y + )2
3
6. (p – 6)(– 6 + p)
1
7. (2 – b)2
8. (-5 + x)2
4
9. ( + n)2
3
Introducción
Regla General
Formar un binomio con los cuadrados con signo negativo (Diferencia). (x² - y² )
Ejemplo
(x - 6) (x + 6)
Cuadrado del primer y segundo término. x=x²
6 = 6 ² =36
Formar un binomio con los cuadrados con signo negativo (x² - 36 )
(Diferencia).
Resultado (x - 6)(x + 6)=(x² - 36
)
Actividades de Apertura
A continuación, incluimos más ejemplos para resolver con la regla general que enunciamos
previamente. Te invitamos a analizarlos detenidamente:
Ejemplos:
A. (y-1)(y+1)= (y)2-(1)2=y2-1
B. (4x+3)(4x-3)=(4x)2-(3)2= 16x2-9
Relaciona las parejas que son suma por diferencia con su producto.
Actividades de Desarrollo
b) (3x+8)(8-3x)
c) (5x4+1)(5x4-1)
d) (xmym+1)(xmym-1)
Actividades de Cierre
Ejercicios Adicionales
Introducción
Regla General
Ejemplos
( x + 9) ( x + 3)
Cuadrado del término común (x) ² = x²
Más el producto de la suma de los no comunes por el (9+3)x = (12)x
término común
Más el producto de los no comunes (9)(3) = 27
Resultado (x+9)(x+3) = x²+12x+27
( x - 9) ( x + 3)
Cuadrado del término común (x)² = x²
Actividades de Apertura
Ejemplo:
A. (y+7)(y-3)= (y)2+ (7-3)y + (7)(-3) = y2+4y-21
B. (3x+1)(3x-5)= (3x)2 +(1-5)3x + (1)(-5) = 9x2 -12x-5
C. (a+3)(a+8)= (a)2 + (3+8) a + (8)(3)= a2+11a+24
Resuelve los ejercicios, escribe el valor que representa cada letra y completa la frase oculta.
Actividades de Desarrollo
¿Puedes o no utilizar el producto notable estudiado anteriormente cuando los binomios que
se multiplican son: (3x+2a) (3x-5a)? Justifica tu respuesta
Actividades de Cierre
c) Hallar el Área de una puerta cuyas dimensiones son (6x +10 ) (6x -2 )
Ejercicios Adicionales
1. (a – 8)(a + 5)
2. (s + 7)(s – 4)
3. (b – 10)(b – 2)
4. (x – 6)(x – 5)
5. (r + 4) (r + 6)
6. (n – 3) (n + 4)
7. (m – 1)(m – 8)
8. (b – 9) (b + 3)
9. (x + 2)(x – 5)
10. (p + 8)(p – 3)
Introducción
Regla General
Ejemplo
( x + 2)³
Cubo del primer termino (x) = x³
(+) Más tres veces el primer término al cuadrado por el (3)(x)² (2) = (3)(2) (x²)= 6x²
segundo
(+) Más tres veces el primer término por el segundo al (3)(x)(2)² = (3)(x)(4)= 12x
cuadrado.
(+) Más el segundo término al cubo (2)³ =8
Resultado (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x +
8
Regla General
Ejemplo:
( x - y)³
Cubo del primer termino (x) = x³
(-) Menos tres veces el primer término al cuadrado por el (3)(x)² (y) = 3x²y
segundo
(+) Más tres veces el primer término por el segundo al (3)(x)(y)² = 3xy²
cuadrado
(-) Menos el segundo término al cubo (y)³ =y³
Resultado (x + 2)³ = x³ -3x²y+3xy² -
y³
Ejemplo:
( x - 2)³
Cubo del primer termino (x) = x³
(-) Menos tres veces el primer término al cuadrado por el (3)(x)² (2) = (3)(2) (x²)=
segundo 6x²
(+) Más tres veces el primer término por el segundo al (3)(x)(2)² = (3)(x)(4)=
cuadrado 12x
(-) Menos el segundo término al cubo (2)³ =8
Actividades de Apertura
B. (5b-3)3= (5b)3-3(5b)2(3)+3(5b)(3)2-(3)3
= 125b3-225b2+135b-27
Actividades de Desarrollo
Actividades de Cierre
Halla la expresión polinomial que corresponde al volumen del cubo de las figuras:
Volumen: __________
Volumen: __________
Ejercicios Adicionales
1. (x – 1)3
2. (p + 6)3
3. (m – 2)3
4. (b + 10)3
1
5. (k - )3
3
Bloque 5 | Ecuaciones
En la vida diaria, podemos encontrar situaciones que nos llevan al uso de distintos tipos
de ecuaciones lineales, entre ellas tenemos:
• Ecuaciones lineales con una incógnita
En una clase de Inglés de bachillerato, la mitad de los alumnos tiene 16 años, la sexta parte
tiene 18 años y la mitad de la diferencia de los alumnos de 16 y 18 años, tiene 17 años, los
ocho restantes tienen 19 años. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
Para resolver este tipo de planteamientos, revisa con atención los siguientes apartados
Introducción
Una ecuación lineal, es una igualdad que involucra una o más variables a la
primera potencia y que se verifica únicamente para determinados valores de las
variables involucradas. En este manual, abordaremos las ecuaciones con una y
dos incógnitas.
Una ecuación lineal con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra con
exponente uno y que es cierta para un solo valor de la letra, a este valor se le llama solución
de la ecuación.
Actividades de Apertura
Al resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se obtiene el valor de la
incógnita que satisface la igualdad.
Ejemplo.
El valor de “x” que cumple con la ecuación 3𝑥 + 2 = 8 es:
a) −2 b) 1 c) 2 d) −1
Solución:
Se sustituye cada valor de los cuatro incisos propuestos en la igualdad, aquel que cumpla
con la igualdad será el valor de x.
Actividades de Desarrollo
Para la resolución de ecuaciones, se aplican los despejes, los cuales permiten obtener el
valor de la incógnita mediante las operaciones inversas.
Suma Resta
Resta Suma
Multiplicación División
División Multiplicación
Ejemplo 3: El valor de “y” que cumple con la igualdad −2(5𝑦 + 1) = −4(𝑦 + 6) − 2 es:
a) −4 b) 4 c) 3 d) −3
Solución:
Se eliminan los paréntesis en la igualdad multiplicando:
−2(5𝑦 + 1) = −4(𝑦 + 6) − 2
−10𝑦 − 2 = −4𝑦 − 24 − 2
Se agrupan en el primer miembro los términos con la incógnita y en el segundo los
términos independientes.
−10𝑦 − 2 = −4𝑦 − 24 − 2
−10𝑦 + 4𝑦 = −24 − 2 + 2
−6𝑦 = −24
Se simplifican los términos semejantes:
−24
𝑦=
−6
𝑦=4 La respuesta es el inciso “b”.
1 2
Ejemplo 4: El valor de x que satisface la igualdad 3 2 + 5 3 − 𝑥 = 0 es:
1 5 5 1
a) 9 6 b) 9 6 c) −9 6 d) −9 6
Actividad
Encuentra los valores que se te solicitan en cada ejercicio:
1) El valor de “x” que se cumple con 6𝑥 − 10 = 2 es:
_________________
_________________
_________________
_________________
1 2
5) El valor de “x” que se cumple con 2 3 + 3 4 − 𝑥 = 0 es:
_________________
_________________
1° 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥 Resolvemos:
2° 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥 + 1 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 + 𝑥 + 4 = 2165
3° 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥 + 2 5𝑥 + 10 = 2165
4° 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥 + 3 5𝑥 = 2165 − 10
5° 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜: 𝑥 + 4 5𝑥 = 2155
2155
𝑥= = 431
5
Ejemplo 7: Al sumar la edad de Fabián con la edad de Belem, se obtiene 51. Si Fabián es
3 años más grande que Belem, ¿Cuál es la edad de Belem?
a) 21 años b) 24 años c) 27 años d) 30 años
Solución:
Elementos del problema: Fabián excede 3 años a Belem, entonces:
Edad de Fabián es: x + 3
Edad de Belem es: x
Planteamiento:
Edad de Fabián + Edad de Belem: 51
(𝑥 + 3) + 𝑥 = 51
Resolución: 𝑥 + 3 + 𝑥 = 51
2𝑥 + 3 = 51
2𝑥 = 51 − 3
2𝑥 = 48
48
𝑥= 2
𝑥 = 24
La respuesta es el inciso “b”.
Actividades de Cierre
Ejercicios Adicionales
obtiene localizando el punto de cruce de las rectas, los sistemas inconsistentes no tienen
solución.
Enseguida debemos de formular las ecuaciones que sean posibles para tratar de resolver
el problema. En esta situación, una ecuación seria:
L + C= 45
ecuación 1
Con esta única ecuación no podríamos saber cuántos celulares y cuantas computadoras
tiene la tienda. Como hay dos incógnitas y ya no es posible formular otra ecuación,
requerimos de información adicional. Para ello se debe hacer investigación adicional o
recopilar más información. Supongamos que logramos saber que el costo de una
computadora es de 6000 pesos y el de un celular es de 4000 pesos y en
los registros de contabilidad se tiene que la tienda pagó 240 000 pesos por
ambos productos. Con esta información adicional podemos formular otra
ecuación ya que sabemos que:
A) Método de Reducción
B) Método de Sustitución
C) Método de igualación.
Despejando C:
6 000(45 – C)=240 000 – 4 000C
-270 000-6000C=240 000-4000C
270 000- 240 000=6000C-4000C
30 000 = 2000 C
Dividimos entre 2000 para obtener el valor de C: C=30000/2000
C=15 celulares. Y ya saben cómo obtener L.
Actividad
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
3𝑎 − 2𝑏 = 4 5𝑥 + 2𝑦 = 8 95𝑥 + 20𝑦 = 800
1. { } 2.{ } 3. { }
𝑎 + 𝑏 = −1 2𝑥 − 4𝑦 = −8 20𝑥 − 4𝑦 = −100
2. Un químico cuenta con dos soluciones de ácido. Una contiene 15% de ácido
puro y la otra 6 %. ¿Cuántos cm3 de cada solución debe usar para obtener
400 cm3 de una solución con 9 % de ácido?
Actividades de Desarrollo
Consideremos ahora una situación que da lugar a tres ecuaciones y obviamente tres
incógnitas.
Martin trabaja repartiendo comida en Uber Eats. Ayer llevó tres pedidos a
diferentes clientes. El primero pidió tres tacos, dos quesadillas y dos aguas
frescas; el segundo, cuatro tacos, una quesadilla y un agua y el tercero,
dos tacos, dos quesadillas y un agua.
El importe de cada uno de los pedidos fue de 105, 90 y 80 pesos
respectivamente. ¿Cuánto cuestan cada taco, quesadilla y agua?
Nuestras incógnitas son el costo de cada taco, quesadilla y agua. Asignando una literal que
represente estas incógnitas:
t=costo de un taco q= costo de una quesadilla w= costo de un
agua.
Enseguida establecemos las ecuaciones correspondientes:
ec.1 3𝑡 + 2𝑞 + 2𝑤 = 105
ec. 2 4𝑡 + 𝑞 + 𝑤 = 90
ec. 3 2𝑡 + 2𝑞 + 𝑤 = 80
Para resolver este sistema de ecuaciones utilizaremos los métodos de reducción e
igualación.
A) Método de reducción.
Primero debemos eliminar una de las literales de manera que al final obtengamos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello formaremos parejas con las
ecuaciones originales y eliminaremos una de las literales. Pare este caso, seleccionaremos
w.
Segunda pareja:
ec. 2 4𝑡 + 𝑞 + 𝑤 = 90
ec. 3 2𝑡 + 2𝑞 + 𝑤 = 80
Entonces ec. 5 2𝑡 − 𝑞 = 10
2(15) − 𝑞 = 10
30 − 𝑞 = 10
30 − 10 = 𝑞
𝑞 = 20 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠
B) Método de igualación.
Para llevar a cabo este proceso, despejamos una de las incógnitas o literales de las tres
ecuaciones. Despejaremos t de las tres ecuaciones. Aunque no es el despeje que facilita el
proceso, nos servirá para ejemplificar mejor las dificultades que podemos encontrar en
otros problemas.
Nuestro sistema de ecuaciones es: ec. 1 3𝑡 + 2𝑞 + 2𝑤 = 105
ec. 2 4𝑡 + 𝑞 + 𝑤 = 90
ec. 3 2𝑡 + 2𝑞 + 𝑤 = 80
Despejando t en ec. 1 3𝑡 + 2𝑞 + 2𝑤 = 105
obtenemos la ec. 4: 3𝑡 = 105 − 2𝑞 − 2𝑤
105−2𝑞−2𝑤
ec. 4 𝑡= 3
Despejando t en ec. 2 4𝑡 + 𝑞 + 𝑤 = 90
obtenemos la ec. 5: 4𝑡 = 90 − 𝑞 − 𝑤
90−𝑞−𝑤
ec. 5 𝑡=
4
Con estas tres nuevas ecuaciones que representan los valores de t, podemos igualar sus
valores (ya que representan la misma incógnita) para generar un sistema de ecuaciones
con solo dos incógnitas, q y w.
105−2𝑞−2𝑤 90−𝑞−𝑤 80−2𝑞−𝑤
ec. 4 𝑡= 3
ec. 5 𝑡= 4
ec. 6 𝑡= 2
105−2𝑞−2𝑤 90−𝑞−𝑤
Igualando 4 y 5 y simplificando: 3
= 4
90 − 𝑞 − 𝑤 = 2(80 − 2𝑞 − 𝑤)
90 − 𝑞 − 𝑤 = 160 − 4𝑞 − 2𝑤
−𝑞 + 4𝑞 − 𝑤 + 2𝑤 = 160 − 90
obtenemos la ec. 8 ec. 8 3𝑞 + 𝑤 = 70
A partir de aquí podemos proceder por cualquiera de los métodos ya descritos. Vamos a
resolver por el método de sustitución.
Despejamos w de la ecuación 8: ec. 9 𝑤 = 70 − 3𝑞
Sustituimos w en la ecuación 7: −5𝑞 − 5𝑤 = −150
−5𝑞 − 5(70 − 3𝑞) = −150
Simplificamos y despejamos q: −5𝑞 − 350 + 15𝑞 = −150
10𝑞 − 350 = −150
10𝑞 = −150 + 350
10𝑞 = 200
200
𝑞= 10
= 20 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠
Conociendo el costo de una quesadilla, sustituimos este valor en la ecuación 9 para saber
el costo de un agua: ec. 9 𝑤 = 70 − 3𝑞 , ecuación 9.
𝑤 = 70 − 3(20) = 70 − 60 = 10 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.
Ahora solo falta el costo de los tacos. Este lo podemos calcular usando cualquiera de las
ecuaciones 4 al 6. Usando la ecuación 5.
90−𝑞−𝑤 90−10−20 60
𝑡= 4
, 𝑒𝑐. 5 --------- 𝑡 = 4
= 4 = 15 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.
Y así tenemos las mismas soluciones que obtuvimos con el método de reducción.
Actividades
I. Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones:
4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 15 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 12
1. { 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 2 } 2. { + 2𝑦 − 5𝑧 = −7}
3𝑥
2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 4 𝑥+𝑦−𝑧 =0
Problema 1. Una parte de 25 000 dólares se invierte al 10% de interés, otra parte al 12 % y
el resto al 16%. El ingreso anual total de las tres inversiones es de 3200 dólares. Además,
el ingreso de la inversión al 16% es igual al ingreso de las otras dos inversiones
combinadas. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa de interés?
Actividades de Cierre
Ahora debemos razonar sobre la manera de hallar equivalencias o igualdades para formar
las ecuaciones.
Las fracciones de trabajo que hace cada uno dependen de la rapidez con que hacen el
trabajo. Si la hermana sola tardara 20 minutos, entonces cada minuto hiciera 1/20 del
trabajo, pero como sabemos que el tiempo es la incógnita tm, por lo tanto, la muchacha,
cada minuto hace 1/tm , si esto lo multiplicamos por los minutos trabajados, obtendríamos
la fracción del trabajo que ella realiza. Para el hermano haríamos un razonamiento
semejante. Entonces:
8
Primera situación: 𝑡𝑚
= 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑎𝑐ℎ𝑎
15
= 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜
𝑡ℎ
La suma de las fracciones de trabajo de ambos debe dar un entero (el trabajo completo):
8 15
ec. 1 𝑡𝑚
+𝑡 =1 esta es una de las dos ecuaciones.
ℎ
Como se tienen dos incógnitas debemos desmenuzar el enunciado para encontrar más
relaciones de igualdad. Inmediatamente nos damos cuenta de que la otra alternativa
planteada originará la ecuación faltante.
12 10
Segunda situación: 𝑡𝑚
+ 𝑡 = 1, segunda ecuación.
ℎ
12 10
ec. 2 𝑡𝑚
+ 𝑡ℎ
=1 Ahora a pensar cuál método es el más adecuado para
resolverlo.
ecuación 3
De la ecuación 2:
12 10 12 10 12 𝑡ℎ −10 𝑡𝑚 𝑡ℎ 12𝑡ℎ
𝑡𝑚
+ 𝑡 = 1 ---------- 𝑡𝑚
=1−𝑡 --------- 𝑡𝑚
= 𝑡ℎ
---- 12
=𝑡 ---- 𝑡𝑚 = 𝑡
ℎ ℎ ℎ −10 ℎ −10
ecuación 4.
8𝑡ℎ − 80 = 12𝑡ℎ − 180 --------- 8𝑡ℎ − 12𝑡ℎ = 80 − 180 --------- −4𝑡ℎ = −100
−100
de donde 𝑡ℎ = −4
= 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.
Por tanto, la muchacha tardaría 20 minutos y su hermano 25 si pintaran cada quién por su
cuenta la pared.
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2
5. {4𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = 3}
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 1
3. Si la temperatura de ebullición del agua a una altura h (medida en pies sobre el nivel
del mar) es t grados Celsius, entonces, ℎ = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 2 , donde a, b y c son
coeficientes que deben determinarse experimentalmente. En la experimentación, se
encontró que el agua hierve a 100 °C al nivel del mar, a 95°C a 7400 pies de altura
y a 90 °C a 14 550 pies, determine los valores de a, b y c.
Problema 1.
A la verdulería La pasadita acaban de llegar 3 contenedores con productos que se detallan
en la siguiente tabla:
Problema 2
Un Tráiler transporta un contenedor cargado con tomate, cebolla y zanahoria. El
precio de compra de cada producto es de 25, 18 y 24 pesos por kilogramo respectivamente.
El peso total del contenedor es de 3 toneladas y el peso de la cebolla iguala al peso de la
zanahoria y el tomate. El costo del producto es de 64 000 pesos. ¿Cuántos kilogramos de
cada producto lleva el contenedor?
Ejercicios Adicionales
1. Un hombre tarda 23 minutos mas que su hijo para recorrer 5 millas. Sin embargo, si el
hombre duplica su velocidad, puede recorrer la misma distancia en un minuto menos
que su hijo. ¿Cuál es la velocidad del hombre y cuál la de su hijo?
2. En 20 onzas de una aleación hay 6 onzas de cobre, 4 onzas de zinc y 10 onzas de
plomo. En 20 onzas de una segunda aleación hay 12 onzas de cobre, 5 onzas de zinc
y 3 onzas de plomo, mientras que en una tercera aleación hay 8 onzas de cobre , 6
onzas de zinc y 6 onzas de plomo. ¿cuántas onzas de cada aleación tiene que
combinarse para obtener una aleación que contenga 34 onzas de cobre, 17 onzas de
zinc y 19 onzas de plomo?
Introducción
Se llama ecuación cuadrática o de segundo grado a toda ecuación que tiene la forma
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
donde “x” es una variable, los coeficientes “a, b y c” son números cualesquiera y donde “a”
es diferente de cero. Las ecuaciones cuadráticas pueden ser “completas” o “incompletas”
ECUACIONES ECUACIONES
COMPLETAS INCOMPLETAS
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
Actividades de Apertura
Actividad
En las siguientes ecuaciones cuadráticas, identifica los coeficientes numéricos y
escribe sus valores (sigue el ejemplo del primer renglón):
1) 10x2 + 2x – 3 = 0 10 2 -3
2) x2 – 3x + 2 = 0
3) -2y2 + y + 3 = 0
4) 3x2 + 3 = 0
5) x2 + x + 9 = 0
6) -2x2 - 3x = 0
Actividad
En los siguientes ejercicios, utiliza las palabras “completa” o “incompleta”. Identifica y anota
sobre la línea el tipo de ecuación que representa.
1) x2 - 5x + 10 = 0 Es una ecuación
2) x2 – 5x = 0 Es una ecuación
3) x2 – 3x + 2 = 0 Es una ecuación
4) x2 – 9 = 0 Es una ecuación
Actividades de Desarrollo
a) Método Gráfico
Una ecuación cuadrática tiene por representación gráfica una curva
llamada parábola. Si la parábola corta el eje de las “x” en uno o dos
puntos, la abscisa de esos puntos es la raíz o solución de la ecuación.
x y
-2 5
-1 0
Raíz Raíz 0 -3
x1=-1 x2 = 3
1 -4
2 -3
3 0
4 5
Ahora bien, definamos un rango de valores para “x” y realicemos la sustitución en la función:
y = x2 – 2x – 3
Si x = -2 Si x = -1 Si x = 0
Y así sucesivamente con cada valor definido en el rango. Observa que cada pareja de
valores de la tabla que se encuentra junto a la gráfica se genera con el procedimiento
anterior.
Actividad
Determina las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas mediante una gráfica.
1) x2 - 4x - 5 =0 2) x2 - 4x + 4 = 0
3) x2 - 2x = 0 4) x2 - 4 = 0
a) x² + x + 1 = 0 b) x² - 1 = 0 c) x² - x
–1=0
Grafica la ecuación:
x2 – 9 = 0
x2 = 9
Segundo paso: obtén las raíces de la ecuación, sacando raíz cuadrada a ambos miembros.
x = √9
x = ±3
x(2x + 3) = 3x + 50
2x2 + 3x = 3x + 50
2x2 + 3x - 3x – 50 = 0
2x2 + 3x - 3x – 50 = 0 2x2– 50 = 0
2x2 = 50
x2 = 50 / 2
x2 = 25
Quinto paso: obtén las raíces de la ecuación, sacando raíz cuadrada a ambos miembros.
x = √25
x = ±5
x1 = 5 x2 = - 5 raíces de la ecuación
Actividades de Cierre
1) x2 - 36 = 0 2) x2 - 16 = 0 3) 2x2 = 200
10) (x + 3)(x - 3) = 27
Ahora bien, para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax2 + bx = 0,
donde el coeficiente “c” es igual a cero, puedes utilizar el siguiente procedimiento:
Este método consiste en factorizar y aplicar la propiedad del cero en la multiplicación: si
el producto (multiplicación) de dos factores es cero, entonces al menos uno de ellos es cero.
Ejemplo: Encuentra las raíces de la siguiente ecuación cuadrática. 2x2 = 5x
2x2 – 5x = 0
x(2x – 5) = 0
x=0 2x – 5 = 0
2x – 5 = 0
2x = 5
x=5/2
x = 2.5
Actividad: Resuelve por factorización cada una de las ecuaciones y obtén sus raíces.
1) x2 - 2x = 0 2) x2 + 4x = 0 3) x(x + 4) = 3x2
x2 – 11 = 10x
Primer paso: pasar el término de la derecha a primer miembro (izquierda) para igualar a
cero la ecuación. x2 – 10x
– 11 = 0
x2 – 5x + 4 = 0
Actividad: Resuelve por factorización cada una de las ecuaciones y obtén sus raíces.
1) x2 - 10x + 25 = 0 2) x2 + 2x + 1 = 0 3) x2 - 3x = 28
4) x2 - 6x = -5 5) x2 - 4x + 4 = 0 6) 14 = x2 + 5x
Esto te ayudara a prever o anticipar el tipo de solución que tendrás al resolver una
ecuación.
3x2 - 8x + 4 = 0
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
Segundo paso: sustituye cada valor en la formula general 𝑥=
2𝑎
−(−8)±√(−8)2 −4(3)(4)
𝑥=
2(3)
−(−8)±√64−48
Tercer paso: realiza las operaciones indicadas. 𝑥= 6
−(−8)±√16
𝑥= 6
Observa que el discriminante √16 es un valor positivo, lo que nos indica que la ecuación
−(−8)±4
tendrá dos soluciones diferentes. 𝑥=
6
8+4 8−4
𝑥1 = 𝑥2 =
6 6
12 2
𝑥1 = 𝑥2 =
6 6
𝑥1 = 2 Reduciendo la fracción
1
𝑥2 =
3
1) x2 + 9x + 18 = 0 2) x2 + 6x + 8 = 0
3) x2 - 7x + 12 = 0 4) 3x2 + 5x + 2 = 0
7) 2x2 - 9x - 5 = 0 8) 4x2 - 4x + 4 = 0
Ejemplo 1: Si el largo de un jardín que tiene forma rectangular es 6 metros mayor que su
ancho y el área del jardín es de 27 metros cuadrados. Determina el perímetro del jardín.
Ancho x
x(x+ 6) = 27
x2 + 6x = 27
x2 + 6x – 27 = 0
(x + 9)(x – 3) = 0
X+9=0 x–3=0
X1 = - 9 x2 = 3
Paso 3: Analizamos las raíces. Como lo que deseamos saber es una dimensión de un
terreno, no nos sirven los valores negativos, por lo que desechamos x1 = -9 y elegimos
para continuar x2= 3.
Entonces tenemos que el ancho del jardín es de 3 metros y el largo es de 9 metros (ya que
el problema nos dice que el largo es 6 metros mayor que el ancho).
P = 2(3 + 9)
Si x + y = -3
Entonces y = -3 – x
Paso 2: sustituimos “y” para construir la ecuación y desarrollamos para calcular las raíces.
x2 + 3x – 88 = 0
( x +11)(x – 8) = 0 Factorizamos
x + 11 = 0 x- 8 = 0
x1 = - 11 x2 = 8
Paso 3: analizamos las raíces. En este tipo de problemas buscamos números positivos
y/o negativos que nos den como solución de una multiplicación -88, por lo que las raíces
las podemos de manera directa x1 = - 11 x2= 8, y solo comprobamos.
La suma de ( -11 ) + ( 8) = -3
Ejercicios Adicionales
1. Se desea construir el marco para un retrato rectangular el cual ocupa una superficie
de 500cm2, si se sabe que la base del marco es 5 centímetros mayor que la altura,
¿Cuáles son las dimensiones del marco fotográfico?
2. El producto de dos números enteros consecutivos es 210. Determina cuales son los
números.
3. El cuadrado de un número más el triple del mismo número da como resultado 40.
¿Cuál es el número?
4. Se desea construir una cerca de un terreno rectangular, si se sabe que el largo del
terreno es el doble que su ancho y su área es de 450 metros cuadrados. Además,
sabemos que el metro lineal de cerca tiene un costo de 125 pesos. Determina sus
dimensiones, perímetro del terreno y el costo de construir la cerca.
Ejercicios Adicionales
2. 3x2 = 12
3. x2 – 3x = 0
4. x(x + 5) = 0
5. (x + 2)2 = 4x + 20
6. (x + 2)(x + 3) = 0
7. (x – 2)(x – 3) = 0
8. x2 - 5x + 4 = 0
12. La longitud de un rectángulo es 7 cm mayor que su ancho. El área es 120 cm2. Halla
las dimensiones.
Fuentes consultadas
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Aguilar, M., A., Bravo, V., F. V., Gallegos, R., H. A., Cerón, V., M., & Reyes F., R. (2009).
Aritmética.México: Pearson
Aguilar, M., A., Bravo, V., F. V., Gallegos, R., H. A., Cerón, V., M., & Reyes F., R. (2009).
Geometría y Trigonometría.México: Pearson
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Cuéllar, J. A. (2019). Matemáticas 2.México: McGrawHill
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