UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO

Campus Hispano

Materia: Métodos Numéricos

“Serie de ejercicios”

Mtro. Mosqueda Pérez Gabriel

Barrios Antonio Irvin Ulises
Solución de Sistemas de Ecuaciones.

Ejercicios: Saber (primer nivel)

1. ¿Qué es un sistema mal condicionado?

Se dice bien condicionada si su número de condición está cerca de 1 y se dice mal condicionada si es
significativamente mayor que 1, lo que nos indicaría que pequeñas variaciones en los datos pueden producir
grandes variaciones en los resultados y por tanto que la solución del sistema es propensa a grandes errores
de redondeo.

2. Explique el método de Eliminación de Gauss (brevemente).

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón
superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto
de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1
delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones
correspondientes.

3. Explique la técnica de pivoteo parcial y completo.

El pivoteo parcial es una de las técnicas de pivoteo. Dicta que el elemento pivote que debe escogerse es el
mayor absolutamente de cada columna.
Así inicialmente, se organiza la matriz para que el elemento absolutamente mayor de la primera columna
sea el primer pivote, luego se realiza la eliminación y a la hora de pasar al segundo elemento debe
considerarse el mayor absolutamente para ubicarlo como pivote y nuevamente hacer la eliminación, el
proceso sigue hasta que ya no hallan elementos bajo el pivote o hasta que se hayan recorrido todas las
columnas de la matriz. Este método aun teniendo errores de redondeo o de propagación son menores que
los que se presentan en el método de eliminación gaussiana.

4. Explique la técnica de escalamiento.

1. Una vez determina el diseño de la investigación el investigador procede a elegir los procedimientos
de medición y escalamiento.
2. Medición y escalamiento: asociar los números con características específicas del objeto medido y
viceversa.
3. Escalas de medición básicas.

5. Explique el método de Gauss-Jordan.

1. Ir a la primera columna número cero de izquierda a derecha.

2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón
superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto
de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener 1
delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones
correspondientes.

6. Explique las diferencias entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel son una alternativa a los métodos de Gauss-Jordan y Eliminación
de Gauss, también sirven para resolver sistemas de ecuaciones.

En estos métodos se despejan las incógnitas que se encuentran en la diagonal de la matriz, y se calculan
las aproximaciones de sus valores con los valores de las otras incógnitas (que en la primera iteración son
todas cero), se repite este proceso cambiando los valores de las incógnitas obtenidos en la iteración
anterior, hasta que se llegue a la solución, aunque hay ocasiones en las que estos métodos no convergen
hacia la solución.

Ejercicios: Saber hacer (segundo nivel)

7. Sistemas de Ecuaciones: Explique si los siguientes sistemas tienen solución o no y si tienen es única o
múltiple.

𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 11
i) 4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 10

Si tiene solución: Método gráfico, método de determinantes, método de eliminación, método de Gauss
y método de Gauss Jordan.

3𝑥1 + 6𝑥2 − 6𝑥3 = 9

ii) 2𝑥1 − 5𝑥2 + 4𝑥3 = 6
5𝑥1 + 28𝑥2 − 26𝑥3 = −8

Si tiene solución: Método gráfico, método de determinantes, método de eliminación, método de Gauss
y método de Gauss Jordan.

−2𝑥1 + 𝑥4 = 1
iii) 4𝑥2 − 𝑥3 = −1
𝑥1 + 𝑥2 = −3

Si tiene solución: Método de determinantes, método de Gauss y método de Gauss Jordan.

 8. Sistemas de Ecuaciones-Método Gráfico:
a) Use el método gráfico para resolver el siguiente sistema de ecuaciones
4𝑥1 − 8𝑥2 = −24
𝑥1 + 6𝑥2 = 34

𝑎) 4𝑥1 − 8𝑥2 = −24

−8𝑥2 = −24 − 4𝑥1
−24 − 4𝑥1
𝑥2 =
−8
X Y
0 3
1 3.5
2 4
3 4.5
4 5
5 5.5

𝑏) 𝑥1 + 6𝑥2 = 34
6𝑥2 = 34 − 𝑥1
34 − 𝑥1
𝑥2 =
6
X Y
0 5.6
1 5.5
2 5.3
3 5.1
4 5
5 4.8

Compruebe el resultado sustituyendo en las ecuaciones.

Solución: x1=4, x2=5.
 𝑎) 4(4) − 8(5) = −24
16 − 40 = −24
−24 = −24

𝑏) 4 + 6(5) = 34
4 + 30 = 34
34 = 34

b) Use el método gráfico para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 3
3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 2

𝑎) 𝑥3 = −1
𝑥2 = 1
1
𝑥1 =
2

3
𝑏) 𝑥3 =
2
3
𝑥2 = −
2
𝑥1 = 3

𝑐) 𝑥3 = 2
𝑥2 = −1
2
𝑥1 =
3

𝑎) 2(1) + (2) − (3) = 1

2+2−3=1
1=1

𝑏) (1) − 2(2) + 2(3) = 3

1−4+6=3
3=3

𝑐) 3(1) − 2(2) + (3) = 2

3−4+3=2
2=2

Compruebe el resultado sustituyendo en las ecuaciones.

Nota: Use un software 3D (Geogebra) para graficar los planos y el punto de intersección.
Solución: x1=1, x2=2, x3=3.
9. Sistemas de Ecuaciones-Regla de Cramer: Para el sistema de ecuaciones que sigue.

2𝑥2 + 5𝑥3 = 9
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 9
3𝑥1 + 𝑥2 = 10
a) Calcule el determinante.
0 2 5
𝐷𝑒𝑡(𝑥) = |2 1 1| = 1
3 1 0
9 2 5
𝐷𝑒𝑡(𝑥1 ) = | 9 1 1| = 6
10 1 0
0 9 5
𝐷𝑒𝑡(𝑥2 ) = |2 9 1| = −8
3 10 0
0 2 9
𝐷𝑒𝑡(𝑥3 ) = |2 1 9|=5
3 1 10

b) Use la regla de Cramer para encontrar cuál es el valor de las x.

|𝑥1 |
=6
|𝑥|
|𝑥2 |
= −8
|𝑥|
|𝑥3 |
=5
|𝑥|
c) Sustituya el resultado en las ecuaciones originales para efectos de comprobación.
Solución: x1=6, x2=-8, x3=5.

2(−8) + 5(5) = 9
−16 + 25 = 9
9=9
 2(6) + (−8) + (5) = 9
12 − 8 + 5 = 9
9=9

3(6) + (−8) = 10
18 − 8 = 10
10 = 10

10. Sistemas de Ecuaciones-Eliminación de Incógnitas: Dado el sistema de ecuaciones siguiente:

−1.1𝑥1 + 10𝑥2 = 120

−2𝑥1 + 17.4𝑥2 = 174

a) Resuélvalo gráficamente y compruebe el resultado con la sustitución en las ecuaciones.

𝑎) − 1.1𝑥1 + 10𝑥2 = 120

120 + 1.1𝑥1
𝑥2 =
10

𝑏) − 2𝑥1 + 17.4𝑥2 = 174

174 + 2𝑥1
𝑥2 =
17.4

b) Sobre la base de la solución gráfica, ¿qué se espera con respecto a la condición del sistema?

Espero que salgan al menos dos decimales en la solución de mis ecuaciones y por lo que puedo ver los dos
resultados serán positivos.
 c) Calcule el determinante.
−1.1 10
𝐷𝑒𝑡(𝑥) = | | = 0.86
−2 17.4

120 10
𝐷𝑒𝑡(𝑥1 ) = | | = 348
174 17.4

−1.1 120
𝐷𝑒𝑡(𝑥2 ) = | | = 48.6
−2 174

|𝑥1 |
= 404.6511628
|𝑥|

|𝑥2 |
= 56.51162791
|𝑥|

d) Resuelva por medio de la eliminación de incógnitas.

Solución: x1= 404.6512, x2=56.5116.
−1.1𝑥1 + 10𝑥2 = 120
−2𝑥1 + 17.4𝑥2 = 174
−3.1𝑥1 + 27.4𝑥2 = 294

−3.1𝑥1 + 27.4𝑥2 = 294

294 + 3.1𝑥1
𝑥2 =
27.4

−1.1𝑥1 + 10𝑥2 = 120

294 + 3.1𝑥1
−1.1𝑥1 + 10 ( ) = 120
27.4
𝑥1 = 404.65116

−2𝑥1 + 17.4𝑥2 = 174

−2(404.65116) + 17.4𝑥2 = 174
174 + 809.30232
𝑥2 =
17.4
𝑥2 = 56.51162644

11. Sistemas de Ecuaciones-Eliminación de Incógnitas: Dada las ecuaciones

0.5𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8
a) Resuelva en forma gráfica.
𝑎) − 𝑥2 = −9.5 − 0.5𝑥1

𝑏) 1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8

−18.8 − 1.02𝑥1
𝑥2 =
−2
b) Calcule el determinante.
0.5 −1
𝐷𝑒𝑡(𝑥) = | | = 0.02
1.02 −2

−9.5 −1
𝐷𝑒𝑡(𝑥1 ) = | | = 0.2
−18.8 −2

0.5 −9.5
𝐷𝑒𝑡(𝑥2 ) = | | = 0.29
1.02 −18.8

|𝑥1 |
= 10
|𝑥|

|𝑥2 |
= 14.5
|𝑥|

c) Con base en los incisos a) y b), ¿qué es de esperarse con respecto de la condición del sistema?
Que ambas condiciones son correctas, ya que en los dos me da el mismo resultado, solo que en la solución
gráfica no se pueden apreciar los decimales exactos como en la solución de los determinantes.

d) Resuelva por medio de la eliminación de incógnitas.

0.5𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8
1.52𝑥1 − 3𝑥2 = −28.3

1.52𝑥1 − 3𝑥2 = −28.3

 −28.3 − 1.52𝑥1
𝑥2 =
−3

0.5𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
−28.3 − 1.52𝑥1
0.5𝑥1 − ( ) = −9.5
−3
𝑥1 = 10

1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8

1.02(10) − 2𝑥2 = −18.8
−18.8 − 10.2
𝑥2 =
−2
𝑥2 = 14.5
e) Resuelva otra vez, pero modifique ligeramente el elemento a 11 a 0.52. Interprete resultados.
Solución original: x1=10, x2=14.5.
0.52𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8

𝑎) − 𝑥2 = −9.5 − 0.52𝑥1

𝑏) 1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8

−18.8 − 1.02𝑥1
𝑥2 =
−2

0.52 −1
𝐷𝑒𝑡(𝑥) = | | = −0.02
1.02 −2

−9.5 −1
𝐷𝑒𝑡(𝑥1 ) = | | = 0.2
−18.8 −2
 0.52 −9.5
𝐷𝑒𝑡(𝑥2 ) = | | = −0.086
1.02 −18.8

|𝑥1 |
= −10
|𝑥|

|𝑥2 |
= 4.3
|𝑥|

0.52𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8
1.54𝑥1 − 3𝑥2 = −28.3

1.54𝑥1 − 3𝑥2 = −28.3

−28.3 − 1.54𝑥1
𝑥2 =
−3

0.52𝑥1 − 𝑥2 = −9.5
−28.3 − 1.54𝑥1
0.52𝑥1 − ( ) = −9.5
−3
𝑥1 = −10

1.02𝑥1 − 2𝑥2 = −18.8

1.02(−10) − 2𝑥2 = −18.8
−18.8 + 10.2
𝑥2 =
−2
𝑥2 = 4.3

12. Sistemas de Ecuaciones-Método de Gauss: Dadas las ecuaciones siguientes

10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27
−3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5
a) Resuelva por eliminación de Gauss simple. Efectúe todos los pasos del cálculo.
𝑹𝟏
𝟏𝟎 𝟐 −𝟏 𝟐𝟕 𝟏 𝟎. 𝟐 −𝟎. 𝟏 𝟐. 𝟕
(−𝟑 −𝟔 𝟐 |−𝟔𝟏. 𝟓) 𝟏𝟎 = (𝟎 −𝟓. 𝟒 𝟏. 𝟕 |−𝟓𝟑. 𝟒)
𝟑𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
𝟏 𝟏 𝟓 −𝟐𝟏. 𝟓 𝟎 𝟎. 𝟖 𝟓. 𝟏 −𝟐𝟒. 𝟐
−𝟏𝑹𝟏 + 𝑹𝟑

𝑹𝟐 𝟏 𝟎. 𝟐 −𝟎. 𝟏 𝟐. 𝟕 𝟏 𝟎. 𝟐 −𝟎. 𝟏 𝟐. 𝟕
−𝟓. 𝟒 (𝟎 𝟏 −𝟎. 𝟑𝟏𝟗𝟒𝟖 | 𝟗. 𝟖𝟖𝟖 ) 𝐑𝟑/𝟓. 𝟑𝟓𝟓 = (𝟎 𝟏 −𝟎. 𝟑𝟏𝟗𝟒𝟖| 𝟗. 𝟖𝟖𝟖 )
−𝟎. 𝟖𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 𝟎 𝟎 𝟓. 𝟑𝟓𝟓𝟓𝟓 −𝟑𝟐. 𝟏𝟏𝟎𝟒 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟓. 𝟗𝟗𝟓

𝒙𝟏 − 𝟎. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟏𝒙𝟑 = 𝟐. 𝟕
𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟑𝟏𝟗𝟒𝟖𝒙𝟑 = 𝟗. 𝟖𝟖𝟖
𝒙𝟑 = −𝟓. 𝟗𝟗𝟓
𝒙𝟑 = −𝟔

𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟑𝟏𝟗𝟒𝟖(−𝟓. 𝟗𝟗𝟓) = 𝟗. 𝟖𝟖𝟖

𝒙𝟐 + 𝟏. 𝟗𝟏𝟓𝟐 = 𝟗. 𝟖𝟖𝟖
𝒙𝟐 = 𝟗. 𝟖𝟖𝟖 − 𝟏. 𝟗𝟏𝟓𝟐
 𝒙𝟐 = 𝟕. 𝟗𝟕𝟐𝟖
𝒙𝟐 = 𝟖

𝒙𝟏 + 𝟎. 𝟐(𝟖) − 𝟎. 𝟏(−𝟔) = 𝟐. 𝟕
𝒙𝟏 + 𝟏. 𝟔 + 𝟎. 𝟔 = 𝟐. 𝟕
𝒙𝟏 = 𝟐. 𝟕 − 𝟏. 𝟔 − 𝟎. 𝟔
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓
b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales a fin de comprobar respuestas.
Solución: x1=0.5, x2=8, x3=-6.

10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27
10(0.5) + 2(8) − (−6) = 27
5 + 16 + 6 = 27
27 = 27

−3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5

−3(0.5) − 6(8) + 2(−6) = −61.5
−1.5 − 48 − 12 = −61.5
−61.5 = −61.5

𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5
(0.5) + (8) + 5(−6) = −21.5
0.5 + 8 − 30 = −21.5
−21.5 = −21.5
13. Sistemas de Ecuaciones-Método de Gauss: Use la eliminación de Gauss para resolver el sistema que sigue
8𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = −2
10𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 4
12𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 6
Emplee pivoteo parcial y compruebe las respuestas sustituyéndolas en las ecuaciones originales.
Solución: x1=1.5, x2=-6.5, x3=0.5.

8 2 −2 −2 𝑅1/8 1 0.25 −0.25 −0.25

(10 2 4 | 4 ) −10𝑅1 + 𝑅2 = (0 −0.5 6.5 | 6.5 )
12 2 2 6 −12𝑅1 + 𝑅3 0 −1 5 9

𝑅2
1 0.25 −0.25 −0.25 1 0.25 −0.25 −0.25
−0.5 (
1𝑅2 0 1 −13 | −13 ) 𝑅3/−8 = (0 1 −13 | −13 )
0 0 −8 −4 0 0 1 0.5
𝑅3

𝑥1 + 0.25𝑥2 − 0.25𝑥3 = −0.25

2𝑥2 − 13𝑥3 = −13
𝑥3 = 0.5

𝑥2 − 13(0.5) = −13
𝑥2 = −13 + 6.5
𝑥2 = −6.5

𝑥1 + 0.25(−6.5) − 0.25(0.5) = −0.25

𝑥1 − 1.625 − 0.125 = −0.25
𝑥1 = 1.5
 8𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 = −2
8(1.5) + 2(−6.5) − 2(0.5) = −2
12 − 13 − 1 = −2
−2 = −2

10𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 4

10(1.5) + 2(−6.5) + 4(0.5) = 4
15 − 13 + 2 = 4
4=4

12𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 6

12(1.5) + 2(−6.5) + 2(0.5) = 6
18 − 13 + 1 = 6
6=6

14. Sistema de Ecuaciones-Método de Gauss-Jordan: Emplee la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el

sistema siguiente
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
5𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = −4
3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
No utilice pivoteo. Compruebe sus respuestas con la sustitución en las ecuaciones originales.
Solución: x1=14, x2=-32, x3=-5.
2 1 −1 1 𝑅1/2 1 0.5 −0.5 0.5
(5 2 2 |−4) −5𝑅1 + 𝑅2 = (0 −0.5 4.5 |−6.5)
3 1 1 5 −3𝑅1 + 𝑅3 0 −0.5 2.5 3.5

−0.5𝑅2 + 𝑅1 1 0 4 −6 −4𝑅3 + 𝑅1 1 0 0 4
𝑅2/−0.5 (0 1 −9| 3 ) 9𝑅3 + 𝑅2 (0 1 0|−3.2)
0.5𝑅2 + 𝑅3 0 0 −2 10 𝑅3/−2 0 0 1 −5

2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
2(14) + (−32) − (−5) = 1
28 − 32 + 5 = 1
1=1

5𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = −4

5(14) + 2(−32) + 2(−5) = −4
70 − 64 − 10 = −4
−4 = −4

3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
3(14) + (−32) + (−5) = 5
42 − 32 − 5 = 5
5=5

15. Sistema de Ecuaciones-Métodos Iterativos: Gauss-Seidel: Emplee el método de Gauss-Seidel para resolver
el sistema siguiente hasta que el error relativo porcentual esté por debajo de 𝜀𝑠 = 5%
10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27
−3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5
 Solución: x1=0.5, x2=8, x3=-6.
16. Método de Gauss-Seidel: De los tres conjuntos siguientes de ecuaciones lineales, identifique aquel(los) que
no podría resolver con el uso de un método iterativo tal como el de Gauss-Seidel. Demuestra que su
solución no converge, utilizando cualquier número de iteraciones que sea necesario. Enuncie con claridad su
criterio de convergencia (es decir, cómo se sabe que no está convergiendo).

17. Sistemas de Ecuaciones-Métodos Iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel: Resuelva el siguiente sistema de

ecuaciones por los siguientes métodos.
16𝑥1 − 6𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = −36
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 11
𝑥1 − 8𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = −64
a) 4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 4 b)
16𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 = −4
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 10
9𝑥1 + 8𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = −64
i) Método Iterativo de Jacobi
ii) Método de Gauss-Seidel
Soluciones: a) 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −3, 𝑥3 = 1, y para b) 𝑥1 = 4, 𝑥2 = −4, 𝑥3 = −8, 𝑥4 = −92.

Problemas: Saber Aplicar y Usar (Tercer nivel)

18. Problema: Lleve a cabo el mismo cálculo que en el ejemplo visto en clase, pero use cinco paracaidistas con
las características siguientes:

Nota: Para resolver este problema, vaya al Ejemplo 9.11

(pág. 273 y 274) Capítulo 9 del libro Métodos Numéricos para
Ingenieros S. Chapra. Revisar en la nueva edición.

19. Problema: Del problema 10.8 (Capitulo 10 Chapra. Nota: este capítulo búsquelo en el libro de biblioteca, ya
que no está en los capítulos mandados por correo), recuerde que el sistema de ecuaciones siguiente está
diseñado para determinar concentraciones (las c están en g/m3) en una serie de reactores acoplados como
funciones de la cantidad de masa de entrada a cada uno de ellos (los lados derechos están en g/d),

Resuelva este problema con el método de Gauss-Seidel para 𝜀𝑠 = 5%.

Repita el problema, pero use la iteración de Jacobi.
Solución exacta: c1=320.2073, c2=227.2021, c3=321.5026

Bibliografía:

o Métodos numéricos para ingenieros. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw-Hill. 7ma Edición.
2017. Capítulos 9 y 11. Está en biblioteca.