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Codex Calculo I Completo

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TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS

CÁLCULO I Y COMO

RESOLVERLOS
PROBLEMAS DE EXÁMENES UMSA INGENIERÍA

CODEX
PRIMER PARCIAL
SEGUNDO PARCIAL
TERCER PARACIAL
J&J PAYE Hnos.
CALCULO I

CODEX
Derecho reservados de acuerdo al

D.L.- 4118-17

AUTORES: JOSE PAYE CHIPANA


JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN

SEPTIEMBRE , 2017 LA PAZ- BOLIVIA

QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN


TOTAL O PARCIAL

NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO
NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR

π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA CAPITULO I

INECUACIONES-VALOR ABSOLUTO-PARTE ENTERA

DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades
desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las
incógnitas

INTERVALOS: Los intervalos son subconjuntos de números reales que sirven para
expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en
la recta numérica real, considerando los siguientes tipos de intervalos:

(a) INTERVALO CERRADO: [a,b]= {x∈R/ a ≤ x ≤ b}

a bR
(b) INTERVALO ABIERTO: ]a,b[ = {x∈R/ a < x < b}

a bR
(c) INTERVALO CERRADO EN aY ABIERTO EN b: [a,b[ = {x∈R/ a ≤ x < b}
a bR
(d) INTERVALO ABIERTO EN aY CERRADO EN b: ]a,b]= {x∈R/ a < x ≤ b}

a bR
(e) INTERVALO INFINITOS:

[a,+∞[ = {x∈R/ x ≥ a} ]a,+∞[ = {x∈R/ x > a}

aR aR

]−∞,b]= {x∈R/ x ≤ b} ]−∞,b[ = {x∈R/ x < b}

R R
b b

]−∞,+∞[ = {x∈R/ x∈R}

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN: Se llama conjunto solución de una


inecuación a todos los números que la verifiquen, es decir que dichos números reales de
la desigualdad en el sentido prefijado

1
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN: El resolver una inecuación consiste en hallar un


conjunto solución. Es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar
la incógnita para que verifiquen la inecuación

INECUACIONES POLINOMICAS:
Una ecuación polinómica en una incógnita, es una condición de la forma

P x a x a −x a x a x a x a x a
n
n
1
n

2
n

3
2
( ) ............ 1 0 0 = + 1 + + + + + + > n ó
n
n

2
n

3
2

P x a x a −x a x a x a x a x a
n
n
1
n

2
n

3
2
( ) ............ 1 0 0 = + 1 + + + + + + < n, donde
n
n

2
n

3
2

123210 an,an−,an−,an−,......a ,a ,ason constantes

RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICA:


Las inecuaciones polinómica de la forma: P(x) > 0ó P(x) < 0,se resuelven de acuerdo a la
naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica
Para esto primero hallamos las raíces del polinomio

P x a x a −x a x a x a x a x a
n
n
1
n

2
n

3
2
( ) ............ 1 0 0 = + 1 + + + + + + =
n
n
n

2
n

3
2
Analizamos los siguientes casos:
CASO ESPECIAL: Las inecuaciones polinómica de segundo grado la forma: P(x) > 0ó P(x)
< 0 ,se resuelven de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica Para
esto primero hallamos las raíces del polinomio
2
P x = a2x + a x + a =
( )1 0 0
FORMA DE INECUACIÓN RAÍCES DE LA ECUACIÓN CONJUNTO SOLUCIÓN
10 { 12}
2

2 ax+ax+a=0→x,x
2
x<x
a2x + a x + a < a >
Raíces diferentes : 1 2
] [ 12
10 0 ,2 0 x,x

x
Raíz única: 1 Vacio φ

Raíces no reales
Vacio φ
2
x<x ]− ∞, [ ] ,∞ +[ 1 2
a2x + a x + a > a >1 0 0 ,2 Raíces diferentes: 1 2 xx
0
x ∀R −{x1}
Raíz única: 1

Raíces no reales ∀R

CASO I: Raíces Reales y diferentes


Analizar las raíces en la Recta Real y verificar su valides en los intervalos
Ejemplo.- Resolver
5432
x+x−x−x+x+>
3 5 15 4 12 0
Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
(x +3)(x + 2)(x +1)(x −1)(x − 2) > 0
Se resuelve la ecuación (x +3)(x + 2)(x +1)(x −1)(x − 2) = 0de donde: x = −3 x = −2 x =
−1 x =1 x = 2
Analizamos los valores en la recta Real y formamos intervalos para analizar y verificar los
Intervalos

I VI I
I II IIII I IV I V
I

−3
R
−2 −1 1 2
2
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el IV I x = 0en la
inecuación (0) 3(0) 5(0) 15(0) 4(0) 12 0 12 0
5432
+ − − + + > ⇒ > VERDADERO entonces IV I es solución de la inecuación y tomamos los
intervalos en forma intercalada
I VI I
I II IIII I IV I V
I

−3
R
−2 −1 1 2
Conjuntos solución es: x∈]−3,2[∪]−1,1[∪]2,+∞[

CASO II: Raíces Reales y Repetidas (múltiples)



(a) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P x a x a −x a x
axaxaxa
n
n
1
n

2
n

3
2
( ) ............ 1 0 0 = + 1 + + + + + + = n es:
n
n

2
n

3
2
- PAR la raíz no se considera para la determinación de los intervalos, la raíz se analiza en
el conjunto solución total al final si verifica se añade si no verifica se la quita del conjunto
solución (b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio − P x a x
a −x a x a x a x a x a
n
n
1
n

2
n

3
2
( ) ............ 1 0 0 = + 1 + + + + + + = n es:
n
n

2
n

3
2
- IMPAR la raíz se considera de orden 1para la determinación de los intervalos, la raíz se
analiza como el CASO I (Raíces Reales y diferentes)
Ejemplo.- Resolver
( 5 7 3)(2 ) 0
32
x−x+x−−x≥
Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
( 1) ( 3)( 2) 0
2
x−x−x−≤
Se resuelve la ecuación ( 1) ( 3)( 2) 0
2
x − x − x − =de donde:
x =1de orden PAR se analiza al final, en la Solución Final
x = 3 x = 2de orden IMPAR se analiza los valores en la recta Real y formamos intervalos
para analizar y verificar los Intervalos
I II IIII I
I

2
R
3
I x = 0en la
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el I inecuación
((0) 5(0) 7(0) 3)(2 (0)) 0 6 0
32
I NO es solución de
− + − − ≥ ⇒ − ≥FALSO entonces I la inecuación y tomamos los intervalos en forma
intercalada I II IIII I
I

2
R
3
Conjuntos solución es: x ∈[2,3]

PERO NOS FALTA Analizar el valor de Orden Par verificamos si cumple para añadir o

rechazar el valor en la soluciónx =1de orden PAR remplazando en la inecuación ((1)


5(1) 7(1) 3)(2 (1)) 0 0 0
32
−+−−≥⇒≥
VERDADERO entonces SE AÑADE AL CONJUNTO SOLUCIÓN en este caso en
x =1
nuestro
conjunto ya se encuentra si no fuera de esa manera tendríamos que añadirla
Conjuntos solución es: x ∈[2,3]

3
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

CASO III: Algunas de las Raíces NO son Reales (COMPLEJO −1 = i)


Cuando algunas de las raíces del polinomio
n
n

1
n

2
n

3
2

1 P(x) a x a x a x a x ............ a x a x a =n + + + + + + +

− NO SON REALES, en este n


n

2
n

3
2
10
caso a estas raíces NO SE CONSIDERAN en la determinación de los intervalos y para dar
la solución se sigue el mismos procedimiento que los (CASOS I y II)
Ejemplo.- Resolver
42
x−x−x−≥
2320
Solución Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
( 1)( 1)( 2) 0
2
x+x+x+x−≥
Se resuelve la ecuación ( 1)( 1)( 2) 0
2
x + x + x + x − =de donde:

1 2− + −
−+−
13
13
x x x Complejo x Complejo
=−==
2
=
2
Analizamos los valores en la recta Real y formamos intervalos para analizar y verificar los
Intervalos Sin tomar en cuenta las Raíces Complejas

I II IIII I
I

−1
R
2
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el II I x = 0en la
inecuación ((0) (0) 1)((0) 1)((0) 2) 0 2 0
2
+ + + − ≥ ⇒ − ≥ FALSO entonces II INO es solución de la inecuación y tomamos los
intervalos en forma intercalada

I II IIII I
I
−1
R
2
Conjuntos solución es: x∈]− ∞,−1]∪[2,+∞[ INECUACIONES FRACCIONARIAS:

Px
, donde
()
<

P xó 0
()
>
Una ecuación FRACCIONARIA en una incógnita, es de la forma 0 Q x
()
P(x) y Q(x)son polinomios
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN FRACCIONARIAS:
Qx()

P xó
()
>⇒PxQx>Qx≠
Las inecuaciones FRACCIONARIA de la forma: 0 ( ) ( ) 0, ( ) 0 Q x
()
()
P x, se resuelven de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de cada <⇒PxQx<Qx≠

Qx()

0 ( ) ( ) 0, ( ) 0

ecuación polinómica
Restringiendo Q(x) ≠ 0para dar la solución se sigue el mismos procedimiento se Realiza
para INECUACIONES POLINÓMICAS
Ejemplo.- Resolver
x
x
x
+

12≤
x
−x1+x

4
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA
π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA Px

()
<⇒PxQx<Qx≠
Solución La inecuación se puede escribir de la forma 0 ( ) ( ) 0, ( ) 0 Q x
()
x
x

12
2
x
21
xx
−+
0 (2 1) ( 1)( 1) 0, ( 1)( 1) 0
( )( ) 2

−x x x x x x x x
x
1
+
x

x
+
1
≤⇒0
xxx
−+
11
≤→−+−+≤−+≠
Expresamos el primer miembro en factores. Es decir:
(2 1) ( 1)( 1) 0
2
x−x+xx−x+=
Se resuelve la ecuación de donde:
x = −1, x = 0 , x =1, estos valores noven estar incluidos en el conjunto solución para cuidar
la división en cero Q(x) ≠ 0
1+ − 7
x Complejo
1− − 7
=y x Complejo
4
=
4
IV
I I
III I
I

−1
II I

0
R
1
Tomamos un intervalo cualquiera para el análisis el mas fácil en este caso el IV I x =10en la

inecuación( )()
2
2 10 10 1
00
− +FALSO entonces IV I NO es solución de la ( )(( ) )(( ) )

10 10 1 10 1 − +

≤⇒+≤

IV
inecuación y tomamos los intervalos en forma intercalada I I
III I
I

−1
II I

0
R
1
Conjuntos solución es: x∈]−∞,−1[∪]0,1[
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número x∈R, de notaremos por x, se define por la
regla:

= ⎧
00 ⎩⎨ − <≥ x si x


⎨⎧
x si x
>
0
xó x
=
00
x si x
si x
=


− < x si x

0
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO: (1)a ≥ 0 a ≥ a,∀a
(2)a = − a
(3)ab = a b
(4)
ba
a
=
b
(5)a +b ≤ a + b{desigualdad triangular}
PROPIEDADES PARA RESOLVER ECUACIONES Y DESIGUALDADES DONDE
INTERVIENEN VALOR ABSOLUTO:
(1)a = 0 → a = 0
(2)a = b ↔ [b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)]
(3)a = b ↔ a = b ∨ a = −b
(4)Si b > 0 Entonces:
P1)a < b ↔ −b < a < btambién de esta forma a < b ↔ −b < a ∧ a < b

5
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

π
π
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

P2)a ≤ b ↔ −b ≤ a ≤ btambién de esta forma a ≤ b ↔ −b ≤ a ∧ a ≤ b

P3)a ≤ b ↔ −b ≤ a ≤ btambién de esta forma a ≤ b ↔ −b ≤ a ∧ a ≤ b


(5)
P1)a > b ↔ a > b∨ a < −b P2)a ≥ b ↔ a ≥ b∨ a ≤ −b
2
(6)Si b > 0 Entonces:a < b ↔ − b < a < b
2
(7)Si b > 0 Entonces:a > b ↔ a > b ∨ a < − b
(8)
P1)2
2
a = a P2)2
a=a

PARTE ENTERA[ x ](MÁXIMO ENTERO)


DEFINICIÓN: Si “ x ”es un número real, el máximo entero de “ x ”representaremos por [ x

], mayor que todos los enteros menores o iguales a “ x”, es decir: [ x ]= max{n∈Z / x ≥ n}
Por definición de Máximo entero se Tiene:
[x ]= n ⇔ n ≤ x < n +1 ,n∈Z ó [ x ]= n ⇔ x∈[n,n +1[ ,n∈Z
PROPIEDADES DEL MÁXIMO ENTERO
(1)[ x ]∈ZPor definición
(2)[x ] = x ⇔ x ∈ Z
(3)∀x∈R,[x ]≤ xPor definición
(4)[ x ]≤ x < [ x ]+1,∀x∈R
(5)0 ≤ x − [x ]<1,∀x ∈ R

(6) [ [ x ] ]= [ x ],∀x ∈ R
(7)[ x + n ]= [ x ]+ n, n∈Z
(8)[x ]≤ n ⇔ x < n +1, n∈ Z
(9)[ x ]< n ⇔ x < n, n∈Z
(10)[x ]≥ n ⇔ x ≥ n, n∈Z, x∈R
(11)[x ]> n ⇔ x > n +1, n∈Z, x∈R
(12)∀x, y∈R,si x ≤ y ⇔ [ x ]≤ [ y ]
(13)[ x + y ]≥ [ x ]+[ y ]
(14)Si n∈Z ⇒[nx ]≥ n[ x ]
+


(15)[ ] ⎦⎤

⎢ ⎣⎡
x
=⎥
⎥ ⎦⎤

⎣⎡

∈ ∈+ nx
Si x R y n Z
n

6
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

(16)Si a y b∈Z, x∈R ⇒


P1)a ≤ [ x ]≤ b ⇒ a ≤ x < b +1 P2) a ≤ [ x ]< b ⇒ a ≤ x < b P3) a < [ x ]< b ⇒ a +1≤ x <
b

CAPITULO II FUNCIONES
FUNCIÓN: Es un conjunto de pares ordenados(x, y)de elementos de los cuales que
ninguno de dos pares tienen el mismo primer elemento

DOMINIO: Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados RANGO: Es


el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados NOTACIÓN: A =
B = RANGO f (x) : A → B
DOMINIOy
Dominio de la función: Df = A Rango de la función: Rf = B
*DEFINICIÓN INGENIERIL: LA FUNCIÓN ES UNA TRANSFORMACIÓN (PROCESO) DE
ELEMENTOS DE UN SISTEMAS INICIAL (DOMINIO) HACIA UN SISTEMA FINAL
(RANGO)
y=f
REGLAS PARA HALLAR EL DOMINIO: El dominio de una función dada por ( x) es el
conjunto de valores “admisibles” de "x" para las cuales y = f( x) ∈ Rtomemos las siguientes
restricciones:
N
() = ; = { ∈ −{ (x) = 0}}
()
(1) x Df x R D D
x
()
f x

(2)f(x) =
2n
P(x); Df = {x∈P(x) ≥ 0}
(3)f(x) = lgaP(x); Df = {x∈P(x) > 0}
FUNCIONES DEFINIDAS CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA: En las
funciones definidas con dos o mas reglas de correspondencia, su dominio y rango se
determinan de la siguiente forma:
La Función esta definida por:

⎩⎨ ∈∈
f x Df
1( ) 1
x
f
( ), donde Df Df = 1 1

x x
f x Df
2( ) 2
∩=φ

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

fSE DETERMINA: Df (x) = Df 1 ∪ Df 2


DOMINIO DE (X )
fSE DETERMINA: Rf(x) = Rf1 ∪ Rf2
RANGO DE (X )
NOTA: ESTA FORMA DE CALCULO SE EXTIENDE A FUNCIONES CON MAS DE DOS
REGLAS DE CORRESPONDENCIA
OPERACIONES CON FUNCIONES:
P1) ( )(x) (x) g(x) Df g Df Dg
f ± g = f ± → ±= ∩
P2) ( )(x) (x) g(x) Df g Df Dg
f ⋅ g = f ⋅ → ⋅= ∩
f

⎜ ⎝⎛f ⋅g f g x

= → = ∩ −{ ()= 0} ⎟ ⎠⎞
f
()
x
P3) g
DDDg ()
g
()x x

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

✔FUNCIÓN INYECTIVA: ( ) ( ) 121212


x , x D x , x D Si f x f x ∈ f ⇒∀ ∈ f =
implica x1 = x2 ∴es INYECTIVA

✔FUNCIÓN SOBREYECTIVA: y R x D Si y f (x) ∈ f ⇒ ∃ ∈ f → = La imagen de la


función es igual a rango de la función Im f = Rf ∴es SOBREYECTIVA
✔FUNCIÓN BIYECTIVA: Es una función que es inyectiva y sobreyectiva

festá en el dominio de ( x ) g tiene sentido


COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Si ( x )
componer las funciones f y gpara x. La Composición g  fy se lee [fCompuesta en g]
esta definida por: ( )( ) ( ) ( ) x x
gf=gf
(Tomar la imagen, por ( x ) g, de la imagen de xpor f)
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN: Considerando las funciones
f , g, I(IDENTIDAD)
P1) ( )( )( ) x (x)
fg≠gf
P2)(f  g) h = f  (g  h)
P3)(f ± g) h = f  h ± g  h
P4)(f ⋅ g) h = (f  h)⋅(g  h)
P5)f  I = I  f ,∀f
11
n nnn
P6)I I I I I n Z n impar ,,
+
==∈
P7)+
n m nm
I I = I n m∈Z
, ,
f  g = f: ( ) D f  g = {X ∈Dg ∧ g(x) ∈Df }
DOMINIO DE: ( )( ) ( ) ( ) xg x
g  f = g f: ( ) D g  f ={X ∈Df ∧ f(x) ∈Dg}
DOMINIO DE: ( )( ) ( ) ( ) x x

f x {(fx, x)/ xDf }



donde:
1
=
Es la función inversa ( )( )
−1

FUNCIÓN INVERSA: Si f (x )

Df = Rf Rf = Df −1 −1la cual existe si fes INYECTIVA


8

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PROPIEDADES:

,

1
P2) ( )( )
−−

P1) ( ) f f( ) x x Df x x = ∀ ∈
11
f f x = x ∀x∈Df x ,

PROBLEMAS DE EXÁMENES RESUELTOS


PROBLEMA 1

Si 9��2[������5 (5��−2
�� −1 5��
2(5 )−1)] ∙ ��(��) = (ℎ°ℎ ) [ +1
��
5 −1];�������������������� ∶ ��(2)

SOLUCIÓN:

PASO 1: Recordando que ��(��) es una función inyectiva se cumple


(��°��−��)(��(��))= ��(��)

������[�������� (����−��
�� ����
��(�� )−��)] ∙ ��(��) = +��
��
�� −��…(��)

PASÓ 2: Para simplificar la ecuación (1) procedemos a realizar un cambio de


variable: �� = ������������−��
��
��(�� )−��

���� =���� − ��

��(����) − ��→→→ ����∙ ��(����) − ���� = ���� − ��

���� =���� − ��

��(����) − ��// ��������

�� = ������������ − ��
��(����) − ���� ���� =���� − ��
��(����) − ��
9

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PASO 3: Remplazamos en la ecuación (1)


��
�� −��
��
�� ∙ ����(��)∙ �� ��(�� )−��+��
�� ��∙���
[�������� ��(�� )−��−��=

(����−�� −��

��
−�� −��= −�� ��
��(�� )−��)] =
����
∙ −�� �� → �� ��
��
−��
��
�� +��

�� ∙ ����(��)∙ �� [�������� (���� − ��


��(����) − ��)] = −�� ∙���� − ��
���� + ��… (��)

PASO 4: Para hallar ��(��) basta con elevar al cuadrado la ecuación (2) y
dividir con la ecuación (1)

(2) // ()2 ÷ (1)


��

�� �� �� ����
�� ∙�� (��)∙�� [��������( −��

����
��(��
��
)−��)]∙��(��) =(−��)��∙( −��
��
��(�� )−��)] ��
��
��∙�� [����� ����+��)
���� ��
��
−��
���( −�� ��
�� +��

��
9 ∙ ��3(��) =
��
�� ∙ (�� −

��(��) =����−��
��
�� +��; ����: �� =
��
∴ ��(��) =����
���� + ��)

��(��) =���� − ��

���� + ��=����
����

����

PROBLEMA 2

Resolver: limx→π(������(����))��
������(����(��)+������(��))

SOLUCIÓN:

Procedemos a realizar el cambio del límite para la utilización de los límites


conocidos:

10

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PASO 1: Hacer el cambio de variable

�� − �� = �� ; ����: �� → �� , �� → ��

PASO 2: Simplificamos y evaluamos

L= limu→0(������(����+����))��
������(����(��+��)+������(��+��))
L== limu→0(������(����))��
������(����(��)−������(��))

L= limu→0(������(��∗��))��
��
������(����(��)+������(��))= ��

PASÓ 3: Llevamos el límite a formas conocidas para levantar la indeterminación:

limx→0������(��)

��= ��
�� (����)��
����) ∗
��������
L=
������(����(�� ��������−���
limu→0(����� )−������(��)) �����
����(��)+�����
�����
�(��)

∙��
�(��))

�� (��)�� ∙��������
����) ∗ ��������
L= ��∙
��−��������

limu→0(����������
������(����(��)−�����
1 ����(��)−� ��
�����(��) ��

L=����∙������⁄

L = 16
�������� →

��[�
����
PROBLEMA 3 ����
1 1/2 �+
1

Resolver: ����
−��
limx→π[���������
�+����−��
����

��������+��]
����

+ ��]
SOLUCIÓN: �� ]
����[ �� = ��∞
PASO 1:
Evaluamos el
límite: 11
��
����[ ��]

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PASÓ 2: Realizamos el cambio de límite, para llevar el limite a formas conocidas: ��

− �� = �� ; ����: �� → �� , �� → ��

��������→��(
�� =
������ ����
��������→��( + ����
�� ��
������( ��+
������(���
��)
� + ����) + �� ��
������( ��+
���� ��)

������(�� +
��
������( ��)
��) + ��)

�� =
��
������( ��)
�� − ������ ��+
�� − ��)
��
−������( ��) ��−��������∙−
�� = �� ��−��������
���� + �� − }
������ ��) ����������+��
��

��������→��{( �� + ������ −��+��������


��
�� �� − ������ ��
������( ��)
�� +������ ����+��
��
−��+��
������

Si �� → �� ; �� → �� Aplicando propiedades de
límites: ��������→�� ���� = (��������→��
��)��������→�� ��

� ���� ∙��)∙
��������→��(
������(��
��� �
−��
�)
��������
��+
����
�� = ∙ −1
(��)
�� −�� �� 2
�������� ��∙�� 110
= (−������
→�� {(�� + −�� ��)∙������
��
��
�� �� ��
��)����} e ��
PROBLEMA 1
�� = ∴ �� = 4 ∙��
��−������
��−
Resolver: ��������→∞ [������+����
�� ���� ��
�� +�� −�� ]

SOLUCIÓN:

Procedemos a realizar el cambio del límite para la utilización de los límites


conocidos:

PASO 1: Evaluamos el límite

L= ��������→∞ [����∞+��∞
∞ ��∞ ∞ ∞
�� +�� −�� ] = ∞

PASO 2: Para levantar la indeterminación procedemos a factorizar los términos


de base mayor

12

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

L=��������→∞ [������+����
�� �� ��
�� +���� −�� ]

L=��������→∞ [������(��+(������)��)
�� �� �� �� �� ��+(�� ∞
���� (( ����) +��−( ����) )] = ����)
�� ∞ �� ∞
( ����) +��−( ����)

L= ��+��
��+��−��= ��

L=1

PROBLEMA 5
Determinar: ��(��) − ��(��) �� ���������� ����������������:

��(��) = ⟦��⟧ − ��|��| + �� ����: − �� < �� < �� �� ���� =


��
{⟦��⟧ + |��| ���� �� ≤ �� < ��
⟦��+��
��⟧ ���� − �� < �� < ��

SOLUCION:

PASO 1: Analizamos las funciones especiales:

* |��| = {��, �� ≥ ��
−��, �� < ��

* |��|�� = ����" ���������� ������������������"

* ⟦��⟧ = �� → �� ≤ �� < �� + ��

�� = −�� ; −�� ≤ �� < ��


⟦��⟧ = �� → { �� = �� ; ��
≤ �� < ��
�� = �� ; ��
≤ �� < ��
* ⟦��+��

��⟧ = ⟦����+ ��⟧ = �� + ⟦����⟧ ; ⟦����⟧ = �� → �� ≤����< �� + �� //(��)


���� ≤ �� < ��(�� + ��) ; ���� ∶ �� = −�� ; −�� ≤ �� < ��

PASO 2: Desarrollamos las funciones especiales con sus respectivos

dominios. ��(��) = {⟦��⟧ − ��|��| + �� ; −�� ≤ �� < ��

⟦��⟧ − ��|��| + �� ; �� ≤ �� < ��→ ��(��) = {�� + ���� ; −�� ≤ �� < ��


�� − ���� ; �� ≤ �� < ��

13

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ⟦��⟧ − |��|��; �� ≤ �� < ��

��(��) = { �� < �� �� ; −�� ≤ �� <


�� ��
⟦ ��⟧ + �� ; −�� ≤ �� <
��
��→ ��(��) = {�� ; �� ≤

PASÓ 3: Analizamos el dominio de: ��(��) −


�� −��
��(��) ; �� (��) (��)= ����(��) ∩ ����(��).

��(��) → ∄ ∄ �� + ���� �� − ���� ∄

��(��) → ∄ �� �� − (��)�� ∄

-2 -1 0 1 2 *��(��)−��(��) = {���� + �� − ��

; −�� ≤ �� < ��

PROBLEMA 1

Calcular el límite: L=
��������→��√��������(����)+������(����)+�����
���(����)−������(����) ������(����)
−��∙��
��
������(����)−������(����)+������(��− ��)

�� − ���� − (−����) ; �� ≤ �� < ��= SOLUCION;


��
{���� + �� ; −�� ≤ �� < �� (�� − ��) +

�� ; �� ≤ �� < ��

PASÓ 4: Realizamos la gráfica: ���� = ���� +


�� “Recta”, ���� = (�� − ��)�� + ��
“Parábola”

∗ ��(��)−��(��) =
0
indeterminación: L = 014

��
{���� + �� ; −�� ≤ �� < �� (�� − ��) +
�� ; �� ≤ �� < ��

Evaluando el límite se observa una


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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Luego recordando que Sen(3x)= 3sen(x) - 4������3(x) : sen(2x)=2sen(x)cosx)

Operando tenemos: lim��→0√3cos(3��)√3������(9��)+3−������(9��)+2


������(3��)−������(2��)+��������)
�) 2
−3 √ cos(3��) 3
3 | sen(9��)−1
2
������9��) ) |
2 ������(9��)
√ cos(3��)√ ������(9�
3 (3

L= lim��→0 lim��→0
2 3
3
3������(��)−4������ (��)−2����
��(��)cos(��)+������(��)=
2
2������(��){2−2������ (��)−cos(��)}

Analizando la función valor absoluto se tiene;

3������(9��)
2
> 0 → |3������(9��)
2
| = 3������(9��)
2
: ����; �� = 0

→ {�� > 0 = 0 → |3������(9��) − 1| = 3������(9��) − 1


�� < 0 = 0 → |3������(9��) − 1| = −(3������(9��) − 1)

L= lim��→0√3cos(3��) L=√32∗ lim��→0|3������(9��)−1|


2
2[2−2������ (��)−cos(� ������(��)→
������(9) ������(9��)
�)] ∙3 ∗ lim��→0|3 −1|
2 1
������(��)= lim��→0√3
������(9��)
lim��→03 −1 2[2−2(0)−1]∗
������(��)
3
lim��→0|3������(9��)−1| ����
��(9��) 9��
−1
9
√3
������(��)= 2∗
������(��) ��

lim��→03������(9��)−1ln3 =9√3
2ln(3)
���� =√32∗ ������(9��)∙
������(9��)

{
(3
���� =√32∗ lim��→0|3������(9��)−1| ������(9��)−1)
9√3
������(��)=
2ln(3)

Como los límites laterales no son iguales se concluye que:

Ǝ El limite puesto que LD= LI

PROBLEMA 2
Calcular el límite: L = ��������→∞ [����+��
����
��+��]����[ +��
�� ��−�� −��
�� ]∙ −��������������
��
��−������ ��

Recordando que utilizaremos los limites conocidos:

1 1
lim��→∞(1 + ��)��= �� lim��→∞����������( ��⁄ )
1 1
��⁄= 1 lim��→∞1 + cos( ��⁄ )
1 2 1
( ��⁄ ) = 2

15

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Repartiendo el denominador en el logaritmo, evitando exponentes negativos en la


expresión, además multiplicando y dividiendo por “x2”, tal que por propiedades de
logaritmos pueda subir como exponente.
1
2����������( �
�� = lim��→∞[��2 +
�⁄ )
�� 2
2 �� + 3]��
�� ln [1
1 21 2 1
1 − cos ( ��⁄ )
+ �� ] �� −

Llevando “x2” como exponente del logaritmo, repartiendo el límite y

1
factorizando: ��( ��−

1
2������������( �

�⁄ ))

1 1 3
+ ��) �� (1 + ��)]
�� = lim��→∞ln [1
1
��2(1 + cos( ��⁄ ))
1 2 ��2 2
+ �� ] lim��→∞[�� (1

Recordando que se puede decir que: �� =11⁄�� ; por extremos y medios es lo


mismo:
1
��−2����������( �

�⁄ )
1
�� = lim��→∞ln [1
1 2 ��2 1
+ �� ] lim��→∞[(1 + ��)

3
(1 + ��)] ∙
1 + 0] ∙ [0 − 2(1)
1
Usando limites conocidos y ��⁄
evaluando: 1 1
1 − cos( ��⁄ ) ( ��⁄ )2
PROBLEMA 3
�� = 1 ∙ [1 + 0
1
2⁄] →→→ �� = −��

��
−��
Calcular el límite: �� = ��������→��√��+�� √����−��
(��−��) ������(����−��)���� [√������ (���� − ����
+����)]

Por propiedades de logaritmos, repartiendo el limite y ordenando: ��

− 2lim��→2ln [tan (5�� − 10

��
+ 4)]
3
−4
1 �� =12∙ �� ∙ �� Donde:
�� = 2lim��→2√�� + 2√5��
−2
sin(7�� − 14)
Se puede expresar de la forma:

�� − 2; �� = lim��→2ln [tan (5�� − 10

�� 3
+ 4)] − 4

�� = lim��→2√�� + 2√5��
−2 sin(7�� − 14)
0
Para A existe la indeterminación ? ?, sumando y restando dos, luego operando:
0=?
3
−2
−4 3
−4
�� = lim��→2√�� + 2√5��

�� − 2= lim��→2(√�� + 2 + 2 − 2)√5��
− 2 �� − 2

16

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3
+ 2(√5�� − 2
3
− 2)
�� =(√�� + 2 −
2)√5�� − 2 �� − 2

Racionalizando, de manera que aparezca �� − 2 y se levante la

indeterminación: 3 2+

2√5�� − 2
3
3 +4
∙√�� + 2 + 2 3
− 2) ∙√5�� − 2
3
(√�� + 2 − 2)√5�� − 2 +4
3 + 2√5�� − 2
2 �� − 2
�� =
√�� + 2 + 2+ 2(√5�� √5�� − 2
−2 3
(�� − 2)

√�� + 2 + 2+2 ∙ 5(�� − 2)


√5�� − 2
2
3 + 2√5�� − 2
�� = 3
+4
2
√5�� − 2 �� = 4+ 10
�� − 2

1 5 4 4
4 + 4 + 4= 2+ 6= 3→ �� = 3
Para B, se utilizaran los limites conocidos:

lim��→0(1 + ��)1�� = �� lim��→0sin ��

��= 1
Operando:
��
�� = lim��→2ln [tan (5�� − 10 + 4)]
��
sin(7�� − 14)= lim��→2ln [tan (5(�� − 2) + 4)]
sin(7(�� − 2))

Cambio de base: �� = �� − 2 ; �� = �� + 2 ; �� → 0 :
��
ln [tan 5�� + tan 4
��
�� = lim��→0ln [tan 1 − tan 5�� tan 4]
sin(7��)
��
(5�� + 4)]

sin(7��)= lim��→0

Sumando y restando uno, luego elevar a la potencia necesario de manera que tome la
forma del limite conocido, y por propiedad de logaritmos el exponente no necesario
puede bajar a multiplicar:
1−tan5��
5��
�� = lim��→0ln [1 +tan 5�� + 1
2 tan 5��∙2 tan 5�� 1−tan5��
sin(7��)= lim��→0ln [1 +2 tan

1 − tan 5��− 1] 1 − tan 5��]


sin(7��)
1−tan5��
�� = lim��→0ln [1 +2
tan 5��
sin 7��
1 − tan 5��]
2 tan 5��
2 tan 5�� ∙2sin 5��
∙2 tan 5��
1 − tan 5��∙1
�� = 1−tan5�� 17
5��]
lim��→0ln [1
1 −sin 5��
cos 5��
+2 tan 5��
∙1
sin 7��
1 − tan cos 5��

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
1−tan5��
2 tan 5��
∙2 sin 5��
�� = lim��→0ln [1 +2 tan cos 5�� − sin 5��∙1
sin 7��
5�� 1 −

tan 5��]

Se levantara la otra determinación enfocándose solo en las funciones que causan la


indeterminación sin 5�� ; sin 7��:

5��] cos 5�� − sin 5��∙


�� = lim��→0ln [1 sin 5��
1−tan5��
2 tan 5�� 5��5�� sin 7��
∙2
+2 tan 5�� 1 − tan
7��7��
Aplicando limites conocidos y evaluando:
�� = ln �� ∙2
1 − 0∙1 ∙ 5
10
1 ∙ 7→ �� = 7
Llevando todo a la expresión, reemplazando:

�� =12∙ �� ∙ �� =12∙43∙107=40
����
42 Finalmente: �� =
����

PROBLEMA 4
Obtener el dominio de la función f(x)= √����������(|��|+��)+��
��

⟦��+����⟧+ √�� − ��

Solución:

Recordar que
≥0
f = 2n p(x) ⇒ Df: P(x)
Analizando primeramente la signo valor absoluto: para todo “x” función 1
0 sgn( 1) 1
> 0
⇒+>⇒+=+ x
xx +
1
x

Luego es problema se reduce a: ( ) f x + −


4

= 4
12
− x

f (x)
En dominio de la función será igual al dominio donde se cumple cada uno de las
funciones simultáneamente es decir:
⎪ x +≥ 10
⎨⎧ 2

( 1 0 4 0) {1 2 0} D f x
( ) ( ):

:2
⎯⎯⎯⎯→ D x x x 4 0

−≥
restricciones

fx
⇒+≥∩−≥−−= ⎩
x
120
−≠
x
18

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

1
D : V x 4 0 1 2x 0 1 D : x 4 1 2x 0 D : x 4 x f x f x f x( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) { }⎭⎬⎫


⎩⎨ ∩ ≤ − ≤ − < + ⇒ ≤ − − ≤ − < ⇒ ≤ − ≥ > 0 2

≤−<≤
21
fx
( ): D ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧
x40x

PROBLEMA 5

3
;0
x
<
⎪⎧
⎨+
;0
x
<
0

∧ ⎪⎪
( ) ⎩ ⎨⎧
fxx[]
Obtener: ( )( x )
fοgsi: ( )
2
gxx
=−
21
; 0,1
;0 1
≤≤
x
=
2


1
5
;1
x
>
;1
x
>

Solución.-
Recordando que la composición de dos funciones existe en un dominio:

( )( )( ( )) ( ) ( ) f g f g x g x Df (x) D D D g x
ο==∩∈
x

− 3
⎪⎪⎧ ;0
Luego operamos las funciones: ( ) ⎩⎨+
;0 x <
x
<

( ⎪⎪ 0
) ⎩ ⎨⎧
2
5 x 21 x
fxx gxx ;1
1 1
= ;0 1 ≤ ≤ =− ;0 1 ≤ ≤

;1 x >
x
>

Hallando
( )(x)
fοg en sus respectivos dominios y simplificado: 19

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ∩<→

;0 00 F ⇒ φ
⎧ − 3 x <
⎪ ≤ → 2 1 01
;0 1 ≤ ∩−<
1

3 x
xx ⇒≤<
⎪⎪ x
2 2
;1 0
⎪ − x 10 φ
∩<→ F ⇒
3 >

;0
2
x ∩≤≤ →001V ⇒<x 0
01+ <
⎪ ;0 1 ≤ ≤ 1
( )( )( ( )) ( )
x
2
1
fgfgxxοx
== ⎨
211−+ ∩ ≤ − ≤ → ≤ ≤0 2 1 1 1
xx ⇒≤≤
⎪ 1 1; 1 +> x x
2 2 1
;1 2
≤→ 0 1
⎪⎪ 5 ∩≤≤ V ⇒>x
x > 1
1
;0
⎪ < ∩>→ 01 F ⇒ φ
x
⎪ ⎪⎪ ;0 1 ≤ ≤ ∩ − > → > 2 1 1 1 ∩ > → φφ

55 x xx ⇒⇒
;1 11 F

x
>
⎪⎧
⎪⎨−+
− 3
1
( ( ))
Final mente ordenamos según su dominio: ( )( ) ()fgfgxοx

≤<x == 2
2
⎪ 211
⎪⎩
:0 12 x

;0
x > 1
1
;2 ≤≤x

;1
x >
==
;0 1
;
x
< ≤≤
x
⎪⎧
⎪⎨−+ 2
1
1 211
x
;0

≤< ⎪⎩
x 2
;1
− x
3 >
( ( )) 2
( )( ) ()
fgfgxοx
EXAMEN I/2016 Solución:
PROBLEMA 1 ❖ Evaluando el limite: �� =
��������→��3��−����

Nota:
φ conjunto vacío.

Evaluar: �� = ��������→33��−����
2
�� −9

2 30 0
�� −9⟹ −��
2 0
0 −9= 0=? ???
20

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JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Para determinar la indeterminación realizamos un cambio de límites y debido a la


presencia de funciones exponenciales utilizaremos los siguientes limites conocidos.

��������→������ − 1

��= ������ , ��������→��(1 +


��)1�� = ��
❖ REALIZAMOS CAMBIO DE VARIABLE:

C.V: �� = �� −��4⟹ �� →��4, �� → 0


�� = ��������→03��+3 − (�� + 3)��+3
(�� + 3)2 − 9= ��������→03��+3 − 3(��+3)����3(��+3)
��(�� + 6)

��������→03(��+3)����3(��+3)
(��+3)⦋1−���� (��+3)⦌
(�� + 6)∗3 3 −1
��

Evaluando y utilizando los limites conocidos , tenemos:


p
⏞ ( )⦌
(�� + 6)��������→03 �� + 3 )⦋ 1 − ���� 3 ( �� + 3 − 1
��������→03(�
�+3)����
3(��+3) ��
= ��������→0(�� + 3)⦋1����33 − ����3(�� + 3)⦌
��

6��������→0(�� + 3)ln(1 +3
3
3 ����3 �� +
3)����3⦋(1
�� + 3− 1) 1
−��
��
+−��

2��������→0(
��+3
⦌��
=9����3 �� + 3)
��∗−��
�� + 3

= −9����3

2∗ ����3��

❖ Finalmente se tiene que:

9
�� = − 2

PROBLEMA 2

Graficar: ��(��) =‖x ‖ - │x│

21
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Solución:

Analizando las funciones especiales:


}=│x│0 ≥ �� ; ��‫٭‬
−�� ; �� < 0

�� ; �� ≤ �� < �� + 1

−3 ; −3 ≤ �� <
−2 −2 ; −2 ≤ ��
< −1
‫‖٭‬x‖=�� →�� ≤ �� < �� Desarrollado:��(��) =

+ 1→‖x‖= ‖x‖ − │x│ =
−1 ; −1 ≤ �� < 0 0 ; 0 ≤ ��
< 1 1; 1 ≤ �� < 2 2 ; 2 ≤ ��
{ <3⋮
< −2 −2 −
��; −2 ≤
�� < −1
−1 − ��;
−1 ≤ ��
<0
0 + �� ; 0
≤ �� < 1
1 + ��; 1
{ ≤ �� < 1
−3 − ��; 2 + ��; 2
−3 ≤ �� ≤ �� < 3 ⋮

Finalmente realizamos la gráfica:

1 2 3 ......
-1
3
-4 -3 -2 -1

22

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PROBLEMA 3

a) Dada :��(��)5�� +5−��


��(�� + ��) − ��) = 2��(��)��(��) −
2verificar si se cumple: ��(��

b) Analizar si existe el limite: L = lim��→−1│��+1│


2
(�� −2��−3)������(��+1)

Solución:
a) Para demostrar el problema partimos de segundo miembro ya que es un poco
2 ����������������
más complejo y recordando que
��) = 25�� + 5−��
si : ��(��)5�� +5−��
→ ��(��)5��+5−�� 2
2��(��)��(��) − ��(�� +

�� −��
2∙5 + 5
�� −��
2−5 + 5
2
2��(��)��(��) − ��(�� + ��) =5��+�� + 5−��+�� + 5−��−�� − 5��+�� − 5−(��+��)
��−��
2=5 + 5−��−��
2
= ��(�� + ��)

��(�� − ��) = 2��(��)��(��) − ��(�� + ��) ���� ����������������

b)el problema puede resolverse analizando por limites laterales debido ala presencia
de funciones especiales “función signo y valor absoluto” pero una manera mucho mas
simple es aplicar la siguiente relación:
����������������� 1, �� > 0 0, �� = 0
│��(��)│ =
−1, �� < 0
�����
��(��) ∙ → │��│ = �� →│��│ =
������(��(��)) ∙ {
= 0 −��,
) = {��,
�� < 0
{ �� ≥ 0
��, �� =��(�� ��, ��
> 0 0, �� <0

→ )1 + ��(������ ∙ )1 + ��( = │1│�� + ‫٭‬


+ ��
1
+��│
=
│1
�����
1+��(�)

L=lim��→−1��+1
2
�� +2��−3= lim��→−1��+1
1
(��+1)(��−3)=
−1−3= −14
1
L=− 4⁄

23

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMA 4

Evaluar: �� = ��������→��4ln(������)
2
2������ ��−1

Solución:
❖ Evaluando el limite:
�� = ��������→��4ln(������)
0
2������2�� − 1= 0=? ? ? ?

Operando el limite para llevar a limites conocidos y recordar que:


��������→0(1 + ��)1�� = �� ; ��������→��0��(��)��(��) =
��������→��0��(��) ∗ ��������→��0��(��)

�� = ��������→��4ln(������)
2������2�� − (������2�� + ������2��)= ��������→��4ln(������)
(������2�� + ������2��)

��������
������−1
��������→��4 ⦌ �� ∗ (������2�� +
����⦋(1 + ��������→��4 ������2��)
(������ − 1))
1
��������− 1

�� = ��������→��4−(�������� − ��������)

(�������� − ��������)(�������� + ��������)=−1


1 1
√2( √2+ √2)= −1
1

❖ Finalmente tenemos lo pedido:


�� = −1

NOTA: los problemas trigonométricos se pueden resolver de muchas formas


en forma general se resolver mediante un cambio de variable llevando la
tendencia a(0) y luego así aplicar los limites conocidos.
PROBLEMA 5

DADA:

1 3 1 3
�� (�� + ��) = �� + �� ; ��(2�� − 1) = �� (3
1
�� − 2) ℎ���������� ∶ �� ( ��)

Solución:

❖ Simplificando la f mediante un cambio de variable:

24

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ππ
1 3 1 3
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA �� (�� + ��) = �� + �� ����⃗⃗

1 3
{�� = �� + ��⫽ ( )

3 1 3 1 3 1
��3 = ��3 + 3�� + ��+ �� ⟹ ��3 + �� = ��3 + 3 (�� + ��) ��

∗ ��(��) = ��3 − 3�� ⃗��⃗→


⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗�� ��(��)��3 − 3��
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
���� ������������ ������ ��(2�� − 1) = (2�� −
3
1) − 3(2�� − 1)

❖ Luego remplazamos en la condición del problema:

�� (3
3
�� − 2) = ��(2�� − 1) − 3(2�� − 1)

❖ Y como nos pide �� (1��) = �� (1��), igualamos estos dos argumentos de la función:

�� (3

��−2) = (1��) ⟹ �� = 3�� + 2


1 1
∗ �� ( ��) = [2(3�� + 2) − 1] − 3[(2(2�� + 2) − 1] ⟹ �� ( ��)
= (6�� + 3)3 − 3(4�� + 3)

❖ Finalmente si �� → �� se tiene lo pedido:


1 3
�� ( ��) = (6�� + 3) − 3(4�� + 3)

EXAMEN I/2013

PROBLEMA 1
Anote un ejemplo de función f(x) par y otro g(x) impar , luego halle (f∙g)(x)
y analice si es par o impar

Solución:

∙ Recordando que: f(-x)= f(x) “función par”, f(-x)= f(-x) “función impar”
∙ Para el ejemplo:
f(x) =x2 “función par” , g(x) =x3 “función impar”
∙ Sea: h(x) = (f∙g)(x) =f(g(x))
h(x) ={ g(x)}2 ={ x3}3=x6 → analizando si es par o impar esta función h(-x)=(-x)6=x6=h(x) “función
impar”

(f∙g)(x) es función par


25

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 2
Para la función f (x) ln(3x+3), identifique el Dominio y Rango

Solución:
▪ PASO 1
Recordando: f (x) =ln (P(x)) Df(x): P>0
▪ PASO 2
Para nuestro problema: Df(x): 3x+3Z>0 //1/3
X+1>0
X>-1 o ∀ ]-1, ∞+ [
PASO 3:
Hallamos el rango:
3x+3>0//ln
Ln (3x+3)>ln (0)
f(x) >-∞

Df(x):]-1,∞[ Λ Rf (x):]-∞,∞+[

PROBLEMA 3
3. Analice si limx→0(1 − cos x)2x Es un límite indeterminad. Justifique su
respuesta.

Solución:

∙ Analizando la indeterminación:

lim��→0(1 − cos ��)2�� = 0∞ “no es una indeterminación”

∙ Analizando por los limites laterales para obtener el valor del límite si es que existe.

26
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA 2

��
���� = =
ln(1−cos
lim��→0−(��) lim�
��)

�→0−
�� −cos
��)
2 ��
ln(1

Cambio de límite: �� → 0− y �� → 0 ; �� = 0 − ��

2
���� = lim��→0�� ln(1−cos(0−��))

0−�� 2
= lim��→0�� ln(1−cos ��)

−�� 2
= �� ln0
−0
= ��2∗∞∗∞ = ∞

+ 2
��→0 �� ln(1−cos ��)
+ n(1−cos ��) ��
= lim
��→0 (��)l
���� = lim ��

Cambio de límite: �� → 0+ y �� → 0 ; �� = 0 + ��

2
���� = lim��→0�� ln(1−cos(0+��))

0+�� 2
= lim��→0�� ln(1−cos ��)

�� 2ln00
= �� = ��−2∗∞∗∞ = 0

∙ Ya que: ���� = ∞ �� ���� = 0 ; ���� ≠ ���� el límite no existe


pero está definido.

∴No es un
límite Indeterminado puesto que: ���� = ∞ , ���� = 0 PROBLEMA 4

Analice si existe o no el límite: lim��→33��


��−3 justifique su respuesta

Solución
∙ Para que exista el límite, deben existir sus límites laterales y estas deben ser
iguales.

∙ LI = lim��→33��
3��
��−3=
9
��−3= −0= ∞

∙ LD = lim��→33��
3(3)
��−3=
9
3−3= ��= ∞

LI ≠ LD
NO EXISTE LIMITE

27

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

PROBLEMA 5
Para la función f (2x+1) =��+2
-1
��; g (9/x)

f (x) ln(3x+3), identifique el Dominio y Rango

Solución:
▪ PASO 1
Llevando a la forma mas simple cada función: realizando operaciones,
agrupando, etc.
f (2x+1) =2(��+2)
2��

f (2x+1) =(2��+1)+3
��+3
(2��+1)−1 → f(x) =
��−1
Ahora para g(x)
��−1(3/x) =��
−1 ��
��−2//3 → g(�� (3/x)) =g(
��
��−1) → g(
3
��−1) = ��

c.v. ��
2��
��−2=u → x= ux-2u → x=
��+1
=3(��+1)
g(��) =32��
��+1 2��u→x

g (��) =3(��+1)
2��
f(x) =��+3
f(x)+3
��−1→ x f(x)-f(x)=x+3 → x=
−1 ��+3
f(x)−1 → �� (x) =
��−1
Realilzando la composicion de las funciones de auditiva hacia afuera
:(��°��°��−1)(cos2x)

3 ��+3
(x)= 2(
−1
��
(��°��−1) ��−1+1) ��+3 =32(2��+2)
−1 ��+1
(x)=g(�� (x)) ��+3= 3
3 ��−1 ��+3
= 2(�� (x)+1)
−1

3��+1
) (x)−1=
−1
(��°��
(��°��°��−1)(x)= (��°��°��−1)(cos2x)=3(
(��(��°��−1)) ������2��+2)
(��°��−1
(x)= ) (x)+3
��+3+3

��+3−1 =3(2��+4)
2��

(��°��°��−1)(x)=3(��+2) ������2��
�� ��+1
3

28

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

6. construir la gráfica de la función:

a) �� = ⟦��⟧ − ��

Analizando la función parte entera: ⟦��⟧ = �� → �� ≤ �� < �� + 1


−3 − �� ; −3 ≤ �� < −2

�� = −3 ; −3 ≤ �� < −2
�� = −2 ; < 2 �� = 2 ; ⟦��⟧ − �� −2 − �� ; �� < 2 2 −
−2 ≤ �� < 2 ≤ �� < 3 = −2 ≤ �� < �� ; 2 ≤ ��
⟦��⟧ = ��
−1 �� = −1 �� = 3 ; 3 ≤ −1 −1 − �� < 3 3 − �� ;
; −1 ≤ �� < �� < 4 ⋮ ; −1 ≤ �� < 3 ≤ �� < 4 ⋮
0 �� = 0 ; ≤ 0 0 − �� ; 0
�� < 1 �� ≤ �� < 1 1
= 1 ; 1 ≤ �� ⇒ �� = − �� ; 1 ≤
{ {

∙ Graficando cada recta en su respectivo dominio.

���������������� = ℝ

������������ = ]−1,0]

b) �� = ������(��4 − 16)

Analizando la función signo:

�� = ������(��4 − 16) = ������(��2 − 4)(��2 + 4) =

������(�� − 2)(�� + 2)(��2 + 4) 29

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Donde: (��2 + 4) > 0 (���������� ∀�� ∈ ℝ, ���� ��������������


����������������
1 ; (�� − 2)(�� + 2) > 0 ⟶
�� = ������(�� − 2)(�� �� = ±2

−1 ; (�� − 2)(�� + 2) < 0 ⟶


+ 2) = { Analizando para:
Si: x=100
0 ; (�� − 2)(�� + 2) = 0 ⟶
(�� − 2)(�� + 2) > 0 ⟶

Si: x=100
(�� − 2)(��
(100 −
2)(100 + 2) < 0 (F)
+ 2) < 0 ⟶ ∙

Realizando la gráfica:

���������������� = ℝ

������������ = {−1,0,1}

PROBLEMA 7
(100 − 2)(100 + 2) > 0 (v)

Para f(x)=x3+12��, calcular limℎ→0��(��+��)−��(��)



SOLUCION

30

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA L= limℎ→0(��+ℎ)+1

3 1
2(��+ℎ)2−�� −
2��2

ℎ,agrupando de manera adecuada, factorizando


simplificando.

L= limℎ→0(��+��)3−��3
1 1
ℎ+ 2ℎ(
2 1 2
(��+��) − �� )

L=limℎ→0 [(��+ℎ−��)(��+ℎ)2+��(��+ℎ)+��2
1 2 2
ℎ+ 2�� −(��+ℎ)
2 2
ℎ�� (��+ℎ) ]

L=limℎ→0 [ℎ(��+ℎ)2+��(��+ℎ)+��2
1
ℎ+ 2(��−ℎ−��)(��−��−ℎ)
2 2
ℎ�� (��+ℎ) ]

L=3��2 −2��
2 2 2 1 3
2�� �� = 3�� − ��

L=3��2 −1��3
PROBLEMA 8
Calcular ��������→������⌊��(����������)��+������(����)⌋
�� �� ��
�� −�� ∗��

Solución

∙ Evaluando el límite: lim��→0ln⌊3(sin����)2+cos(����)⌋


2 0
�� −�� ∗�� = 0
3 2

∙ Para levantar la indeterminación procedemos a sumar y restar uno en el argumento del


logaritmo luego agrupando de manera adecuada y utilizando propiedades de los logaritmos
llevando a limites conocidos.
�� lim��→0(1 + ��)1�� =
L=��������→�� C.V. p = (�� (�� ��
��
������ (����)+������(�
(�� ��
���� {[�� + ��������(����) ���)−��) }
(��
�������� �� lim��→0sin ��
(����)+���� ������ (����)+������(�
+ ������(����) ���)−��) ��
��
∗(��+��
��
)
��(����)−��) ��] ��= 1
− ��) Si X→ 0 ; P→ 0

2 lim��→01 − cos ��
(����) −1−cos(����)
L=lim��→0 [3 ∗sin2(����)∗��2
2
��+�� ln [(1 + ��)1��]
2
(����) ∗ ��2] ∗1

31

��2
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA L=(ln ��) ∗ (3��2 −��22) ∗1��2

L= 5��2
2
2�� ∴ PROBLEMA 9
L=
5
2
OBTATIVA: hallar el valor de A y B para que la función sea continua en R

sin(����)

�� − 2; �� > 2
��(��) = ��2 + �� − 2
���� + �� ; 2
−2 ≤ �� ≤ 2 4 − �� ; �� <
−2
{
Para que f(x) sea continua en los puntos de discontinuidad, debe existir el límite, es
decir, los límites laterales en cada punto de discontinuidad deben ser iguales
(LI=LD).

Puntos de discontinuidad de la función f(x): �� = −2 �� �� = 2

; LI, LD ∈limite lateral izquierdo y


derecho

Para �� = −2

���� = lim ��→−2−��2 + (2 + ��)(2 − ��)=−2 −
�� − 2 1
2 − −3 3
4 − �� = lim ��→−2−(�� 2 − (−2 )= 4= − 4
+ 2)(�� − 1)
+
��→−2���� + �� = (−2+)�� + �� = −2�� + ��
���� = lim

Igualando:

���� = ���� ⟶ −2�� + �� = −34 ……. (1)


Para: �� = 2

���� = lim��→2−���� + �� = (2−)�� + �� = 2�� + ��

32

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA sin(����)

���� = lim ��→2+ �� → 2+; �� → 0+


����������������: �� =
�� − 2; ������������ �� − 2
���� ������������: ����
sin ����
���� = lim ��→0+ +
����∗ �� = �� sin(���� + 2��) ��→0
Igualando: ��= lim

���� = ���� ⟶ 2�� + �� = �� ……. (2)

∙ Resolviendo el sistema de ecuaciones de 2x2

(1) + (2)
3
2�� = �� − 4⟶ �� =4�� − 3
8

En (2)

2�� +4�� − 3
8= �� ⟶ �� =4�� + 3
16

∴ �������� ������: ��(��)������

���������������� ���� ℝ,�� =4�� + 3


16 �� �� =4�� − 3
8

EXAMEN II/2016

PROBLEMA 1

Anotar un ejemplo de una función ��(��)impar, deducir ��(��)−1y calcular (�� ∘ ��−1)(��)

Solución:
La función ��(��) = ��3 ⇒ calculamos la inversa, despejando ��
= �� ⇒ reemplazando �� por �� ⇒ ��(��)−1 = √��
3

3
.�� = ��3 ⇒ √��
)3 = ��
3

Calculando (�� ∘

��−1)(��) ⇒ ��(��(��) −1)


PROBLEMA 2
3
= ��( √�� ) = (√��

Identificar el dominio y el rango (Conjunto de imágenes) para la función:


��(��) = ln(�� − 1) − ln(2�� + 1)

33

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Solución:

Para calcular el dominio restringimos el logaritmo neperiano de un número negativo: .�� −


1 > 0 ∧ 2�� + 1 > 0 ⟹ �� > 1 ∧ �� > −12
⇒ intersectando tenemos ⇒ ����: ]1, ∞[
Para el rango despejamos la variable ��
y = ln (��−1
�� ��−1
2��+1) ⟹ �� =
��
2��+1⟹ 2���� + ���� = �� − 1 ⟹ ��(2���� − 1) = −1 − ���� ⇒ �� =
��
1+��
��
1−2��
.1 − 2���� ≠ 0 ⇒ �� ≠ −����2
.��(��): ∀�� ∈ ℝ − {−����2}

PROBLEMA 3

Analice si existe o no el limite Lim ��→2��


��−2. Justifique su respuesta.

Solución:

Analizando los limites laterales:


∙ LLD = lim��→0 ��(��0 + ��) ⇒ lim��→0��0+ ��
��0+��−2⇒ lim��→02+��
2
2−2+��= 0= ∞
∙ LLI = lim��→0 ��(��0 − ��) ⇒ lim��→0��0− ��
��0−��−2⇒ lim��→02−��
2
2−2−��= − 0= −∞

Como se observa que el LLD ≠ LLI. El límite no existe.

PROBLEMA 4

Anote un ejemplo de una función que presente discontinuidad evitable


(removible) en ��0 = 3

Solución:

2
�� −9
.-��(��)= � �� ≠ 3
{ 9 ����
�� = 3
��−3���

PROBLEMA 5

34

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ 4
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA Si se conocen ��(��2+1��2)=��4 +1�� ;

��(2��+1)

−1
=��
3��−2 Deducir la expresión
reducida de (�� ∘ ��−1∘ ��−1) (cos3��)
Solución:

2 2 4
.- ��2 +1�� = �� ⇒ ��2 = ��4 + 2 ∗ ��2∗1�� +1�� ⇒ ��2 − 2 = ��4 +1��4
.��(��) = ��2 − 2 ⇒ ��(��) = ��2 − 2 para hallar la inversa despejamos x ⇒ �� = √��
+ 2 → −�� = √�� + ��
��(��)
��−1
−1
=��
Para 3��−2⇒ 2�� + 1 = �� ⇒��−1 =��−1
2)−2
−��
=��−��
��(2��+1) −1
����−�� ��−1 2
�� = ��−1 3��−7⇒ ��(��)
3(
Despejando x ⇒
2= �� ⇒ ��(��)

3��−7⟹ 3���� − �� = 7�� − 1 ⇒ �� =7��−1


3��−1
����−��
.��(��) =
����−��

Hallando (�� ∘ ��−1∘ ��−1)(��) ⇒ ��(��(��−1)


−1
)

= √��−1
−1

−1
⟹ ��(��−1 √7��−15
3��−7+ 2 =
Primero ��(��−1) 3��−7 3√7��−15−√3��−7⇒
3��−7) −1
(�� ∘ �� ∘
=7√7��−15 7√7��−15−√3��−7 √3��−7
Ahora �� −1
(��(�� ) = 7√7��−15−√3��−7
3��−7−1

−1 �−7 −1
)⇒ ��−1)(��) Encontrando 3��−7
��(√7��−15 =
=7√7��−15−√ lo pedido 3√7��−15−√3��−7
√3��−7
3��−7
3��−7) 7��−15
3√7��−15−√3� 3√

(�� ∘ ��−1∘ ��−1)(cos 3��) =7√7 cos 3�� − 15 − √3 cos 3�� − 7


3√7 cos 3�� − 15 − √3 cos 3�� − 7

PROBLEMA 6

Construir la grafica de la función a) ��(��) = ⟦��⟧ − ⟦��3⟧ b)|��‖�� − 4|

Solución:
.- ⟦��⟧ = �� �� ≤ �� < �� + 1 ⟦��3⟧ = �� �� ≤��3< �� + 1 ⇒ 3�� ≤ �� <
3�� + 3
35

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

−3 − 3 ≤ �� < −2
−2 − 2 ≤ �� < −1
{ <4 <3
. ⟦��⟧ −1 − 1 ≤ �� < 0
0 0 ≤ �� < 1 1 1 . ⟦��3⟧ {−1 − 3 ≤
≤ �� < 2 2 2 ≤
�� < 0 0 0 ≤ ��
�� < 3 3 3 ≤ ��

Intersectando dominios y restando −3


− (−1) − 3 ≤ �� < −2

.- ⟦��⟧ − ⟦��3⟧ 1 − 0 1 ≤ �� < 2


−2 − (−1) − 2 ≤
�� < −1 2 − 0 2 ≤ �� < 3
{
−1 − (−1) − 1 ≤ 3 − 0 3 ≤ �� < 4
�� < 0 0 − 0 0 ≤
�� < 1
−2 − 3 ≤ �� < −2
−1 − 2 ≤ �� < −1
⟦��⟧ − { 2 ≤ �� <
0 − 1 ≤ 333≤
⟦��3⟧
�� < 0 0 �� < 4
0 ≤ �� <
111≤
�� < 2 2

b)|��‖�� − 4| ⟹ |��2 − 4��|

.- ��(��)= {��2 − 4�� ��2 − 4�� ≥ 0


4�� − ��2 ��2 − 4�� < 0
1) ��2 − 4�� ≥ 0 ⇒ �� ≥ 0 ∧ �� ≥ 4 2) ��2 − 4�� < 0 ⟹ 0 < �� < 4

0404

.��(��)= {��2 − 4�� �� ≥ 0 ∧


�� ≥ 4
4�� − ��2 0 < �� < 4

PROBLEMA 7

3
−2

Calcular �� = lim��→2 2+ √��2+4
3
�� −3��+2

36

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA Solución:

3 3
−2 +2
. �� =
lim��→2√2+ √��2+4
3 √ 2
�� −3��+2∗ 2+ √�� +4 = lim��→22+ √��2+4
3 3
+2 +2)
√ 2 3 √
2+ √�� +4 (�� −3��+2)( 2+
3 2
−4 √�� +4
3 2 2
) +( √�� +4
3 3
−2
∗( √��2+4 )(2)+4

L= lim��→2√��2+4
3 2 2
) +( √�� +4
3 2 2
+2) √�� +4 ( √�� +4
2 √ 3
(��−1) (��+2)( 2+ L=lim��→2��2−4 )(2)+4

3 2 2
) +( √�� +4
3 2 3
+2)(( √�� +4 )(2)+4)
2 √ 2
(��−1) (��+2)( 2+ √�� +4

L=lim��→2��+2

3 2 2
) +( √�� +4
3 2 3
+2)[( √�� +4 )(2)+4]
2 √ 2
(��−1) ( 2+ √�� +4

Evaluando: =4
L= 2+2
3 2 2 (2+2)(4+4+4)
) +( √2 +4
3 2
+2)[( √2 +4
2 √ 2
(2−1) ( 2+ √2 +4

PROBLEMA 8
L =4 3
)(2)+4]

4∗12⇒
(����������������2+
����������������2+
����������������2−
����������������2) . �� =
lim��→0(�������� −
��������)−1

Calcular �� = lim��→��2(��������
+ ��������)������

Solución:
. �� = �� −��2⇒ �� +��2= ��
.�� = lim��→0 (������ (�� +��2) +
��
������+���� 2
��
cos (�� +��2))����(��+��2) 1−���������� 2

��������−��������−1

. �� = lim��→0
��������−��������−1
������
= lim��→0 [(1 + ]
������
�������� −
1−��������
�������� − 1)1
lim �������
��−lim��→0�� (��) ��→0� ������
+ 1−��������
������−����� ������� +
���−1 ������
������
= ��∗�� ��������
= lim 1 ��������
(��) ��→0� �� = 12 ��∗��
��������
. �� = ��������

PROBLEMA (��)0+1 ⇒

.�� = 8

1−��������
(��)lim��→0�� ��
��������

��∗1
������+ ��������
= 37
L= e

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ��������������3��������5��−1

Hallar A para que ��(��) ������ 1) La función debe existir ��(��) =


���������������� ���� ��
��0 = 0 ��(��) { 2) Limite cuando x tiende a 0
1−������2��; �� ≠ 0 �� ; �� = 0

Solución:
1−������2��
lim��→0�������� 4
������3�������� (2��)2
5��−1
= lim��→0
1−������2��= ��������������3���
�����5��+��������−
lim��→0 ��������−1 ��2
��������������3��� 1−������2��
4
�����5��−1 ��2
.�� = (2��)2
��������(������3��������5��−1 ��−������3��������5��)
) ��2
(1−��������)
��2 − −
(1−��������)
−��������(1−������3��+������3
� �
. �� = 1−������2� (2��)2 = lim��→0 1−������2� (2��)2
4 4
lim��→0 ��2 ��2

lim��→0−��������(
1−������3��
9
(1−��������)
(5��)2)−

. �� =
2
=−(92+252)−12 4 (2��)2

1 −(34 1 (3��)2
4 2= 2)− 2 25������3��(1−������
4
+
2
5��) ⇒ �� = −354

−35 ��2
1−������2��
4
�� =

3) El límite debe ser igual a la funcion

35
�� = − 4
Hallar el dominio y el rango de: ��(��) = √−�� 1. a) (10%) 2 − 2�� + √1 − ��2

b) (10%) Sea ��(��) = 1�� (1+��


��+��
1−��) .������������������ ������: ��(��) + ��(��) = (
1+����)

2. (20%) Graficar la siguiente función:

√|��| + 2 ; −7 ≤ �� < −2
��(��) = 1 − |�� + 1|
�� 2 ; 2 < �� ≤
⟦ 2⟧ + �� ; |��| 2�� − 1
5
≤2{

3. (20%) Evaluar: lim��→∞√3��+√3��+√3��


√9��+1

4. (20%) Hallar el valor de “k” para que la función sea continua en: x = 3

38

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ��2 − 5��6

√�� − 2 − 1�� ≠
3
��2 − 2 �� = 3

��−5
5. (20%) Evaluar
lim��→∞��5−5��
��(��) =

39
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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMAS RESUELTOS

1. a) Hallar el dominio y el rango de: ��(��) = √−��2 − 2�� + √1 − ��2


b) Sea ��(��) = 1�� (1+��
��+��
1−��) .������������������ ������: ��(��) + ��(��) = (
1+����)

Solución:

2��
, �� ∈ ��+ → ����(��): ��(��) ≥ 0
=
a) Recordar que si: ��(��) √��(��)

����(��)∶ −��2 − 2�� ≥ 0 ∩ 1 − ��2 ≥ 0 → −��(�� + 2) ≥ 0 ∩ (1 − ��)(1 + ��) ≥ 0

���� ∶ �� = 100

−100(100 + 2) ≥ 0 (F)

���� ∶ �� = 100

(1 − 100)(1 + 100) ≥
0 (F)

�� ����(��): [−1,0]

Para hallar el rango existen varias maneras de calcular, en este caso procedemos a hallar
de manera gráfica (graficando)

��(��) = √−��2 − 2�� + √1 − ��2 = ��1 + ��2 ; ��1 = √−��2 − 2�� ⋀��2 = √1 −
��2

��1 ∶ ��12 = −��2 − 2�� = −��2 − 2�� − 1 + 1 = (�� + 1)2 + 1

��12 + (�� + 1)2 = 1 ; �������� ∶ ��1 = √−��2 − 2�� ≥ 0 → ��1 ≥ 0,����(��) =


����1: [−1,0] (��1)2 + (�� + 1)2 = 1 ����: �� = −12; ��1 = − (−12)2− 2 (−12) = √3/2

����������������������������

�� = 1, ��(−1,0)

��2 ∶ ��22 = 1−��2 → (��2)2 + (��)2 = 1 ; �������� ��2 = √1 − ��2 ≥ 0 → ��2 ≥


0,����(��) = ����2:[−1,0]
40

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA


(��2)2 + (��)2 = 1 ����: �� = −12; ��2 = 1 − (−12)2= √3/2

����������������������������

�� = 1, ��(0,0)

Para hallar, f(x) solo basta sumar y1 ʌ y2: f(x) = y1 + y2, “Sumando ambas gráficas” De la

gráfica: ����(��)∶ [1,√3]

∴ ����(��): [−1,0] ; ����(��)∶ [1,√3]

NOTA: Otra manera de hallar el punto máximo es derivando f(x) e igualando a cero.
“máximos y mínimos”.

b) Si: ��(��) = �� (1+��


1+��
1−��) ; ���������������� ∶ ��(��) = �� (
1+��
1−��) �� ���� ���������� �������������� ��(��) = �� (
1−��)

��(��) + ��(��) = �� (1+��


1+��
1−��) + �� (
1+��
1−��) = �� (
1+��
1−��.
1−��) ln �� + ln �� = ln(�� ∗
��)

= �� (1 + �� + �� + ����
1 − �� − �� + ����) = �� (1 + ���� + �� + ��
1 − ���� − �� − ��) , ������������������,
������������������������
1 + ���� ��
1 + ���� )
1 + ����)
= �� ( 1 −�� + �� 1 − ��) =
(1 + ����). 1 + ���� ��(��)
(1 + ����).
) = �� ( ����2��
(1 +�� + �� (1 −�� + �� 1 +�� + �� ) = �� (1 +
∴ ���� ������������������ ������: ��(��) + ��(��) = �� (�� + ��

1 + ����)

2. Graficar la siguiente función.

√|��| + 2 ; −7 ≤ �� < −2
�� 2
⟦ 2⟧ + �� ; |��| 2�� − 1; 2 < �� ≤ ��
≤2 5 (��) =

1 − |�� + 1| Solución: {

Analizando las funciones especiales: Parte entera y valor


absoluto. |��| ≤ 2 → −2 ≤ �� ≤ 2

−�� ; �� < 0; |�� + 1| = {�� + 1 ; �� + 1 ≥ 0 → �� ≥ −1


−141
|��| = {�� ; �� ≥ 0

−(�� + 1) ; �� + 1 < 0 → �� <


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ππ �� ��
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ⟦ 2⟧ = �� → �� ≤ 2< �� + 1

//(2)

2�� ≤ �� < 2(�� + 1)


Si: �� = −1 ; −2 ≤ �� < 0
�� = 0 ; 0 ≤ �� < 2
�� = 1 ; 2 ≤ �� < 4

Desarrollando las funciones especiales en la función f(x), en sus respectivos dominios.

√|��| + 2−��; −7 ≤ �� < −2


⟦��2⟧−1+ ��2; −2 ≤
�� < 0
��(��) =
⟦��2⟧0+ ��2; 0 ≤ �� ⟦��2⟧1+ ��2; �� = 2
<2
��+1
1−|��+1|

2��−1; 2 < �� ≤ 5
{

√−(�� − 2) ; −7 ≤ �� < −2

, Simplificando: ��(��) =

−��
��2 − 1 ; −2 ≤ �� < 0
2��−1; 2 < �� ≤ 5 {
��2; 0 ≤ �� < 2
5 ; �� = 2
Realizando la gráfica en sus respectivos dominios:

��1 = √− (�� − 2) ( )2 → ��12 = −(�� − 2) "������á��������"


��2 = ��2 − 1 → ��2 − 1 = ��2"������á��������"
��5 = −��

2�� − 1"�������������������� ����������������������"


1
���������������� ���������������� ∶ 2�� − 1 = 0 → �� = 2
���������������� �������������������� ∶ 2���� − �� = −�� → �� =��
1
2�� + 1; 2�� + 1 = 0 → �� = − 2ó ����������é��
������ ������
−1
−��5
−��
���� ���������� ����
ℎ���������� ������������ ∶ 2�� + 1= ��→∞
���� ���� �� =��→∞ 1 1
�������������� 2 − ��= 2
√9��+1

3. Evaluar: �������� ��
→∞ 42

3��+√3��+√3��

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Solución


3��+√3��+√3��
Evaluando el límite : �� ∞
√9��+1= ∞? ??
=�������� �� → ∞
Para levantar la indeterminación, como �� → ∞ factorizamos el término “x” de
mayor grado tanto en el numerador como en el denominador.


√�� . 3 + √3��
3 3
�� =�������� �� → √��. √9 √ ��
∞ 1
1 √9 + ��=√3 + 0
2 + ��=�������� ��
�� + √3��
→∞ 3
��4 √9 + 0=√ 3
√ 3
√�� . 3 + √ ��+

∴ �� = √3 /3

4. Hallar el valor de k para que la función sea continua en x = 3

��2 − 5��6

√�� − 2 − 1�� ≠
3 Solución: {
��2 − 2 �� = 3
��(��) =

Para que la función sea continua, en un punto de discontinuidad debe existir el limite
con ese punto y esta debe tener un valor finito.

��2 − 2 =������
2
�� → 3��(��) → ��(3) = �� − 2
�� → 3
�� → 3��(��)
��2 − 5�� + 6
=������ √�� − 2 − 1
������
0
= 0? ? ? ; �������������������� ����
��������������������������ó�� ������������������������ ��
����������������������������
(�� − 3)(�� − 2)(√�� − 2
��(3) =������ �� → 3 √�� − 2 + 1=������ + 1)
(�� − 3)(�� − 2) �� → 3

√�� − 2 − 1.√�� − 2 + 1 = 2 �� − 3= (1)(2)

��(3) = ��2 − 2 = 2 → ��2 = 4 → �� = ±2


5. Evaluar : Evaluando:
������ ��
��→3 =������
��→5
Solución: 0
5
�� −5
�� ��−5= 0? ??
��−5

5 ��
�� −5
��
Realizamos cambio de limites, para llevar �� −1

el limite a formas conocidas, ������ ��→0 ��= ln ��

�� − 5 = �� ; ���� ∶ �� → 5 , �� → 0

43

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
5
(�� + 5)
− 5��+5
������
��
�� → 0

=������ �� → 0 ����,
������������������
��5 + 5��4. 5 + 10��3. 52 +
10��2. 53 + 5��. 54 + 55 − 5��+5

4 2 2 2 2 3 5 5 ��
�� → 0(�� + 5 . �� + 10. 5 . �� + 10. 5 . �� + 5 − 5 .5 − 1
�� =������

�� = 55(1 − ln 5) SOLUCIONARIO CALCULO 1


(MAT-101)
5 5
��) = 5 − 5 . ln 5

PROBLEMA 1.

i) (5%) Calcule el dominio de la función: ƒ(x)=Ɩn(x+2)- Ɩn(2x-3)

X+2>0 ^ 2x-3>0 R.
Dom. Ƒ: x>3/2

ii) (5%) Analice si la función: ƒ(x) es biyectiva, si ƒ(x): [1,4] → [0,5] definida por
ƒ(x)=√9 − (�� − 1)2
R. ƒ(x) {���� ������������������

���� ����
�������������� Ƒ(x) No es biyectiva
���������� }

iii) (5%) Estudie la existencia del limite lim��→14⟦4�� − 1⟧ justifique su


respuesta. ��→14⟦4�� − 1⟧ = −1
���� = lim

����=lim ≠ ��
1 �� R.
��→ 4⟦4��−1⟧=0

L No existe

����
iv) (5%) estudie si la siguiente función ƒ(x) es par o impar: ƒ(x + 1��)= ��6+1
5
��
+��
��3
R. ƒ(x) = −3��
2
�� −2

ƒ(x) es impar

PROBLEMA 2 . (20%) Si ƒ(x) y ɡ(x)


son funciones definidas por:

����
ƒ(x) = Ɩn[(�� + 1)2 + (�� − 1)2] ; ɡ(x) = +��

��

−�

Hallar: (ƒ ○ ɡ)(��) y (ɡ ○ ƒ )(��)

a) Solución para la primera función compuesta:


44

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

(�� ○ ɡ)(��)= ƒ(ɡ(x))

( �� ○ ɡ)(��)= In [(��(��) + 1)2 + (��(��) − 1)2]

(�� ○ ɡ)(��)= In[(����+��


�� 2 ����
�� −��+ 1) + ( +��
�� 2
�� −��− 1) ]

(�� ○ ɡ)(��)= In[(2����


�� 2 2��
�� −��) + (
�� 2
�� −��) ]

4(��2�� 2
(�� ○ ɡ)(��) = In[ +�� )

�� 2
(�� −��) ]
45

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

b) Solución para la segunda función compuesta:

(ɡ ○ ��)(��)= ɡ (�� (x))

����[(��+1)2
(ɡ ○ ��)(��) = �� 2]
+(��−1) +��
����[(��+1)2 2]
�� +(��−1) −��
(ɡ ○ ��)(��) =[(��+1)2+(��−1)2]+��
2 2
[(��+1) +(��−1) ]−��

(ɡ ○ ��)(��) = 2��2+(2+��)
2
2�� +(2−��)

PROBLEMA 3. (20%) Calcule el límite:

lim��→1(���� − 1) − ��(�� − 1)
(�� − 1)2

Solución:

lim��→1(�� − 1)(����−1 + ����−2 + ����−3+. . . +�� + 1) − ��(�� − 1)


(�� − 1)2

lim��→1(����−1 + ����−2 + ����−3+. . . +�� + 1) − ��


(�� − 1)

lim��→1(����−1 − 1 + ����−2 − 1 + ����−3 − 1+. . . +�� − 1 + 1 − 1)


(�� − 1)

lim��→1����−1−1
����−2
��−1+ −1
��−1
��−1+. . . +
��−1

lim��→1������−1 − 1
�� −2
�� − 1+�� �� − 1
�� − 1+. . . +�� − 1
�� − 1

�� − 1+
���� �� − 1+.
lim��→1
���� 2
�� − 1 . . +�� −
1 �� − 1
��− 1
lim��→1���� − ��
�� 2
��(�� − 1)+�� − ��
��2(�� − 1)+. . . +�� − 1
�� − 1

lim��→1(�� − 1)(�� − 1)
��(�� − 1)+(�� − 2)(�� − 1)
��2(�� − 1)+. . . +�� − 1
�� − 1

lim��→1(�� − 1)

��+(�� − 2)
2 1
�� +. . . + 1

Reemplazando x=1
L = (��−1)��
2
46

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

L= (n-1)+(n-2)+…++3+2+1 = (��−1)��
2

PROBLEMA 4 . (20%) Calcule el límite:

lim��→0��(��+��)�� − ��−����
����(1 + (�� + �� + ��)��)

Solución:

lim��→0(��(��+��)�� − 1) − (��−���� − 1)
1
(��)( ��)����(1 + (�� + �� + ��)��)

lim��→0[��(��+��)�� − 1
−����
��−�� −1

��]1
(�� + �� + ��)(1
(�� + �� + ��)��)����(1 + (�� + �� + ��)��)

lim��→0[(�� + ��)��(��+��)�� − 1
(�� + ��)��+ ����−���� − 1

−���� ]1
(�� + �� + ��)(1
(�� + �� + ��)��)����(1 + (�� + �� + ��)��)

lim��→0[(�� + ��)��(��+��)�� − 1

(�� + ��)��+ ����−���� − 1

−���� ]1
(
(�� + �� + ��)����(1 + (�� + �� + ��)��) 1

(��+��+��)��)

Evaluando el límite, se tiene:

L = ((a+b)+(c)) 1
(��+��+��)������
(��+��+��)������
1
L = (�� + �� + ��) L=1

PROBLEMA 5. (20%) Hallar el valor de A para que la función sea continua en x= 0

��(��) =cos �� cos 3�� cos 5��−1

1−cos 2�� ; x ≠0

A ; x= 0

Solución:

El punto de discontinuidad de la función ��(��) es: ��0 = 0

∙ A = lim��→0 ��(��) → ��(0) = ��


∙ lim��→0 ��(��) = lim��→0cos �� cos 3�� cos 5��−1
0
1−cos2��= 0=? ?

= lim��→0(cos ��−1+1) cos 3�� cos 5��−1


1−cos 2��
47

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

= lim��→0(cos ��−1) cos 3�� cos 5��+(cos 3��−1+1) cos 5��−1


1−cos2��

= lim��→0(cos ��−1) cos 3�� cos 5��+(cos 3��−1) cos 5��+cos 5��−1
1−cos 2��
1/2 1/2 2 1−cos 5�� 1/2 2
3 5
1−cos 3��
1−cos ��
= 3�� cos
1−cos 2�� 1−cos 2��
2 (5��)2 2
1/2 1/2
(2��)2 5�� + (2��)2 2cos 1−cos 2�� 2 ]
lim��→0 [
1/2 2 5�� + (2��)2
��2
2 cos (3��)2

Reemplazando x= 0 =

-[14+94+254] = -354 ∙
��(0) = ��
A = - 35/4

PROBLEMA 6. (20%) OPTATIVA Calcule el límite:

lim��→������

− ����

��2 − ��2

Solución:

Evaluando el límite: L= lim��→������−����


2 2 0
�� −�� = 0=? ? ?

Realizando cambio de variable: C.V. u = x – e => �� → ��, �� → 0

L = lim��→0����+��−(��+��)��+��
2 2
(��+��) −��

L =lim��→0����+��−��(��+��)������(��+��)
��(��+2��)

��(��+��)[1−����
��+2��− ��(��+��)]−1

L =lim��→0��(��+��)������(��+��)
��

Evaluando y utilizando los límites conocidos, tenemos:


������
��lim��→0(��+��)[1 −�����

L =lim��→0��(��+��)������(��+��) �(��+��)]
1−���� )]
(��+��)[ ��(��+�� −1
��+2��lim��→0��

��
2��lim��→0(��+��)����(1+ ��
��

��+��−1)
L ��

=����������
−��−�� ��+��
(��+��)������[ ��+��
]

L = −���� 2��
−��
L = ���� (1+ ��+��)

�� −��
2��lim��→0

MÁS PROBLEMAS DE EXÁMENES

48

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

1. Si 2 2 a b entoces a b donde ≥ 0, : , a b R , ∈

Demostración:

Además a b a b a → − 0( )por definición

a b a b b a b → + ≥ → + 2 0 0 _ (β )

de α y βse tiene (a b a b − + )* 0 ( )

luego: 2 2 2 2 a b y a b a b − → + 0

2. Si a b, 0 ≥y 2 2 a b a b +

Demostración:

Como ( )( ) ( )
2222
abababab→−→+−00α

Como a b a b 0 0 0 ∧ → + (β )
de (α )y (β )se tiene ( )( )0
abab
+−
ab
+

Entonces: a b a b − →0

3. Si b a 0y c 0entonces a c a
+
bcb
+
Demostración:

Si b a a b 0 * 0 1 → ( )

baycbcac0**2→()

Sumando (1) y (2) se tiene:

abbcacab****++

bacabc**(++)()

De donde a c a
+
bcb
+

49

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ππ
entonces:
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA bd acc
+
4. Si a b c d , , , 0y a c
bdd+
Demostración:

ac

Dondeb d a d b c , 0 * * 1 → ( )
bd
,

Además c d c d 0, 0 * 0 2 → ( )

Luego de (1) y (2) se tiene:

adcdbccd****++

daccbd**(++)()

Donde a c c
+
bdd
+

5. Para abc , ,números reales demostrar que: 2 2 2 a b c a b a c b c + + ≥ + + * *

* Como ( )2 2 2 a b a a b b − ≥ → − + ≥ 0 2 * 0

( )2 2 2
acaacc−≥→−+≥02*0

bbccbc
abcabacbc
2*00
22***0
−+
2
2
−≥→
++−++≥
2

()
()()
222

De donde 2 2 2 a b c a b a c b c + + ≥ + + * * *
ab
ab+
Entonces
6. Demostrar que si a b 2
Demostración:

Como: a b a a a b a a b → + + → + 2 1( )

a b a b b b a b b → + + → + 2 2( )

De (1) y (2) se tiene: 2 2 a a b b +

50

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

ab
ab+
De donde
2

7. DEMOSTRAR:
222
a b c ab ac bc + + ≥ + +

SIEMPRE PARTIR DE:

222
a b a ab b ab − ≥ → − + ≥ + 0 2 0 2 1
()()()
2
22

a c a ac c ac − ≥ → − + ≥ + 0 2 0 2 2
()()()
222
b c b bc c bc − ≥ → − + ≥ + 0 2 0 2 3
()()()
+ ≥ ⎪+ + ≥ ⎨⎪+ ≥
⎧ ⎩
a b ab
22
2
a c ac
( ) 1 2 2 2 a ab ab b ab − + + ≥
22

22
2
b c bc
22
2
( ) 2 2 a c ac + ≥
22 2

2 2 2 2 2 2 a b c ab ac bc + + ≥ + +2 2

( )2 2 3 2 b c bc + ≥ 1

22
2
a b c ab ac bc
++≥++
222

()()()
a b c ab ac bc
++≥++
222

Q.E.P.D.

8. DEMOSTRAR:

51

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

()
444
a b c abc a b c + + ≥ + +
Con:
⎧ − ≥ → + ≥ ⎪⎪+ − ≥ → + ≥ ⎨⎪ − ≥ → + ≥
⎪ ⎩
ababab
02
224422
2

()
acacac
02
224422
2

()
bcbcbc
02
224422
2

()
22
abcabacbc
++≥++
444222222

()()
AB

Pero:

()
ab
−≥ ()
bc
2 −≥
() 000
ac
−≥

⎧ + ≥ → + ≥ ⎪⎪+ + ≥ → + ≥ ⎨⎪+ ≥ → + ≥ ⎪

a b ab c a c b c abc 2 2

22222222 ()
a c ac b a b c b acb 2 2

22222222 ()
b c bc a b a c a bca 2 2

22222222 ()
22
2 a b a c b c abc acb bca

++≥++
222222222
1
( ) ( ) ( ) a b a c b c abc c b a
++≥++
222222

()
≥∧≥⇒≥

Con la propiedad
B
C

ABBCAC
444

()
a b c abc a b c + + ≥ + +

52

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

9. Hallar el valor de la expresión:

411
0,1
xx
Si x
+−−

x
Sol − ⎧+ ≥ − 4 1 ,
⎪ 4x
.
x
41
1
+ = ⎨⎪− − − ⎪
⎩1

41,
4
xx
x
⎧−≥
xx
1,1
+=⎨
⎩− −
x
xx
1
41,1
Si x x x x x
∈→+=+−=−
0,1 4 1 4 1, 1 1
5
411411 5
xxxxx
+−++−−
===
Luego
xxx
()

10. Resolver
239223
xxxx
−−−−
22

()
.
Se conoce que x x x x : 2 3 9 2 3 3

Sol −−=−+
−−=+− 2331

xxxx
( )( )
2

239223233231xxxxxxxx−−−−→+−−+
2
22 ( )( )
de donde x x x x elevado al cuadro 2 3 3 2 3 1 ,

+−−+
2341 xx
++ de donde x x
22
4 12 9 4 8 4 x x x x + + − +
( )( ) ( )( )

( ) ( ) 22

20 5
4
−→− :,
4
Luego la solución es

1
−∞ −
1

Casos de Raíces Múltiples:

53

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

()0
xb±≥

Si n es IMPAR: Se asume la desigualdad como si presentara un exponente 1.

Si n es IMPAR: El factor se coloca en recta real Pero se analiza su validez en la solución total.

352
2

11. Resolver: ()()()


xxxx−−−+≥6230

Solución: Apliquemos el
Casos de Raíces Múltiples:

()0
xb±≥

Si n es IMPAR: Se asume la desigualdad como si presentara un exponente 1.

Si n es IMPAR: El factor se coloca en recta real Pero se analiza su validez en la solución total.

Entonces tendremos:

Igualamos cada factor a cero pero tomando en cuenta los exponentes de cada factor si es par o
impar:

352
2

()()()
xxxx−−−+≥6230

Exponte impar=1

31
22

()()
xxxx−−=−−66

Igualamos a cero:

( )( )
2
x x x x − − = ⇒ − + = 6 0 3 2 054

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

x
=
3
x
=−
2

Exponte impar=1

51

()()
xx−=−22

Igualamos a cero:

x − =2 0
x=
2

Exponente par:

( )2 2
30+=x

x=
−3

Este valor proviene de exponente par Analizamos al final

Los valores obtenidos tendremos que analizarlos en la recta real:

Cs x Parcial : , 3 2,2 3, ∀ ∈ −∞ − ∪ − ∪ ∞ ] ] [ ] [ [

Ha hora veremos si los exponentes pares están en el conjunto solución: o no están


x=
−3

Para:

55

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

352
2

Remplazamos en: ()()()


xxxx−−−+≥6230

252
()()
( ) (( ) ) ( ( ))
−−−−−−+−≥33632330

0 0 ≥¡Verdad ¡ Entones vemos si el cero es parte del conjunto solución sino lo añadimos:
Cs x Total : , 3 2,2 3, ∀ ∈ −∞ − ∪ − ∪ ∞
]][][[

Como vemos el cero es parte de la solución total

12. RESOLVER: 2
34612xx+−−

Solución: Utilicemos el teorema del valor absoluto para este caso:


xaaxaaxxa≤⇒−≤≤⇒−≤∧≤

Entonces tendremos:

3 4 6 1 2 2 3 4 6 1__ 3 4 6 1 2 ___ x x x x x x + − − ⇒ − + − − ∧ + − − φ β
222
()()

Resolvamos (φ )y (β )por separado y al final intersectamos los resultados:

Resolviendo (φ ):

−+−−φ
2 3 4 6 1__
xx2

()
− + − − 3 4 6 1__ _( 1) x x por

()
2

3461
xx
2
+−−

Usemos el teorema de valor absoluto para este caso: x a x a x a ≥ ⇒ ≤ − ∨

≥56

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Entonces tendremos:
222
3 4 6 1 3 4 6 1 __ 3 4 6 1___ x x x x x x + − − ⇒ + − − − ∧ + − − ω ξ
()()()

Resolvamos (ω)y (ξ )por separado y al final unimos los resultados:

Resolviendo(ω):

x x x x x x⎛ ⎞
7
22
3461347010
+−−−⇒+−⇒−+⎜⎟
⎝⎠
()()
3

Resolviendo(ξ ):

⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−−
2 19 2 19
22 346134500xxxxxx

+ − − ⇒ + − ⇒ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
33

Entonces el conjunto solución (φ )será:


⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − − − − − + − + ∀ ∈ −∞ − ∪ − ∪ ∪ ∞ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
Cs x φ⎤ ⎡ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣
7 7 2 19 2 19 2 19 2 19
:,,,,1333333

() {}

Resolviendo (β ):

22
3 4 6 1 2 3 4 6 3 x x x x + − − ⇒ + − Por teorema de valor absoluto 3

46123463

xxxx
+−−⇒+−
22

−+−∧+−Ω
3 3 4 6 ____ 3 4 6 3 ____
xxxx
22

()()

Resolvamos ( )y (Ω)por separado y al final intersectamos los resultados:

Resolviendo( ):
57

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA −+−⇒−−+−

3 3 4 6 3 4 3 0 __ ( 1)
x x x x por
22

⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−−
2 13 2 13
34300
xxxx
+ − ⇒ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2
33

Resolviendo(Ω):
⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−−
2 31 2 31
22 346334900xxxxxx

+ − ⇒ + − ⇒ − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
33

Entonces el conjunto solución (β )será:

⎤⎡⎤⎡−−−−−+−+∀∈∪
Cs x β ⎥⎢⎥⎢
2 31 2 13 2 13 2 31
:,,
3333
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ()

Por ultimo tendremos que intersectar los conjuntos soluciones (φ )y (β )para hallar la
solución total:

Cs Cs Cs φ β
=∩
(T ) ( ) ( )

Csserá: (T ) ( ) ( )
Cs Cs Cs φ β
Entonces el conjunto solución =∩
(T )
⎛⎞⎛⎞ ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 7 7 2 19 2 19 2 19 2 19 2 31 2 13 2 13 2 31
Cs T ⎤⎡ −−−−−+−+−−−−−+−+ , , , , 1 , , = −∞ − ∪ − ∪ ∪ ∞ − ∩

⎜⎟⎜⎟⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢⎦⎣
∪ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (){ }

⎤⎡⎤⎡⎧⎫⎧⎫ ⎪⎪⎪⎪∀∈∪−−−−−
Cs x T −−−−−+−+−−−+⎧⎫ ⎥⎢⎥⎢⎨⎬⎨⎬⎨⎬
2 31 2 13 2 13 2 31 7 2 19 2 19
(){ } :,,13333333

⎦⎣⎦⎣⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪

58

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

13. Resolver: 2 5 2 2 3 x x x − + − −

Si se presenta mas de un valor absoluto el meto a seguir es:

Paso1: Cada valor absoluto igualar a cero:

25223
xxx
−+−−
5
250
2
xx
−=⇒=
xx
=⇒=
00
2201
xx
−=⇒=

Paso 2: Remplazar los valores en la recta real

Paso 3: Identificar intervalos


,0
I
⇒ ]]
−∞
II ]] 0,1

III IV ⎣5,2

⎤⎤⇒

⎥⎥
⎦⎦
5
1,
2
⎤⎡⇒
59

∞⎥⎢

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

Paso 4: Evaluar cada uno de los valores absolutos de la desigualdad en cada uno de los intervalos y
resuelva.

I ⇒ −∞ ] ,0]

Para: 2 5 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo I


25121572525xxxx−⇒=−−−=−⇒−=−−()()

Para: x ⇒Nos damos valor que admite el intervalo I


xxxx⇒=−−⇒=−11()

Para: 2 2 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo I


22121242222xxxx−⇒=−−−=−⇒−=−−()()

Los valores obtenidos remplazamos en: 2 5 2 2 3 x x x − + − −

Tendremos que:

−−−−−−
(2 5 2 2 3 ) ( )
xxx
−++−+−
22325
xxx
x − 6

El resultado x −6intersectamos, con el intervalo I ⇒ −∞ ] ,0]entonces tendremos:


]]
()
Cs x T
: 6 ,0
− ∩ −∞
Cs T x ]]()
( ) : 6,0 ___ 1 ∀ ∈ −

60

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

II ⇒ ]0,1]

Para: 2 5 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo II

11
252542525
⎛⎞
xxxx
−⇒=−=−⇒−=−−⎜⎟
⎝⎠
22
()

Para: x ⇒Nos damos valor que admite el intervalo II1 1


xxxx⇒=⇒=
22

Para: 2 2 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo II


11
222212222
⎛⎞
xxxx
−⇒=−=−⇒−=−−⎜⎟
⎝⎠
22
()

Los valores obtenidos remplazamos en: 2 5 2 2 3 x x x − + − −


Tendremos que:

−−−−−
(2 5 2 2 3 ) ( )
xxx
−+−−+−
22325
xxx
−−
x 6
x 6

El resultado x 6intersectamos, con el intervalo II ⇒ ]0,1]entonces tendremos:

()]]
Cs x T
: 6 0,1

Cs T x
]]()
( ) : 0,1 ___ 2 ∀ ∈
61

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

5
⎤⎤⇒⎥⎥
III ⎦⎦
1,
2

Para: 2 5 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo III

25222512525xxxx−⇒=−=−⇒−=−−()()

Para: x ⇒Nos damos valor que admite el intervalo IIIx x x x ⇒ = ⇒ = 2 2

Para: 2 2 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo II


22222222222xxxx−⇒=−=⇒−=−()()

Los valores obtenidos remplazamos en: 2 5 2 2 3 x x x − + − −

Tendremos que:

−−+−−
(2 5 2 2 3 ) ( )
xxx
−+−−−
2525
xxx
−−
5 10
x
x 2

El resultado x 2intersectamos, con el intervalo 5


⎤⎤⇒⎥⎥ entonces tendremos:
III ⎦⎦
1,
2

62

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ⎤⎤

Cs x T ⎥⎥
⎦⎦
5
()
: 2 1, ∩
2

Cs T x
( ) : 1, 2 ___ 3
⎤⎡⇒∞⎥⎢ ][()
IV ⎦⎣
5,
2 ∀∈

Para: 2 5 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo IV 2 5

10 2 10 5 15 2 5 2 5 x x x x − ⇒ = − = ⇒ − = − ( ) (

) Para: x ⇒Nos damos valor que admite el intervalo IV x x x x

⇒ = ⇒ = 10 10

Para: 2 2 x − ⇒Nos damos valor que admite el intervalo IV 2 2


10 2 10 2 18 2 2 2 2 x x x x − ⇒ = − = ⇒ − = − ( ) (
)

Los valores obtenidos remplazamos en: 2 5 2 2 3 x x x − + − −

Tendremos que:

(2 5 2 2 3 ) ( )
xxx
−+−−
2255
xxx
−−−+
−x x 0
0
5,
El resultado x 0intersectamos, con el intervalo 2
⎤⎡⇒∞⎥⎢ entonces tendremos:
IV ⎦⎣

5
Cs x T ∩⎥⎥
⎦⎦
⎤⎤
() ()
Cs T
: 2 1,
2
( ) : ___ 4

Solo nos falta unir las soluciones (1), (2), (3) y (4)

63

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

:1234
∪∪∪
()()()()
()
Cs T
Cs T
( ) : 6,0 0,1 1,2
− ∪ ∪ ∪∅
]]]]][
Cs T( ) : 6,2
]− [
fxyfx()()
14. Demostrar que: a
+−
=, si f x ax b ( ) = +
y

Solución

Si f x ax b ( ) = +, entonces f x y a x y b ( ) ( ) + = + +por propiedad de funciones

fxyfx()()
Reemplazamos en: a

+−
=se tiene
y

a x y b ax b ( ) ( )
a
++−+
=
y

//
//++−− =
ax ay b ax b
a
y

ay
a
/
=
y
/

a a = ∴Q E P D . . . .

xx
ee + ee−
f− g
xx −
=demostrar que se cumple:
()
=y 2
()
15. Sean las funciones, 2
x
x

64

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ()()()()()abbaab fgfgg

+=+

Solución

Nos piden demostrar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b a a b f g f g g + = +entonces necesitamos


gy ( ) a b g +entonces hallemos las funciones.
f, ( ) b
g ,()b e e
()a f
f, ( ) a aa


+
=
e e fe e
f xxa

+⎫− ()
2
()
=⎬
⎭+
x
bb

2 ()
= b

2

aa

ee
g − = 2
()a −

eeee
−−⎫
xxbb
−−
gg
==⎬

22
()()
xb
ee
abab
+−+
g ab
=
()
()

+

Remplazamos en, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b b a a b fgfgg


+ = +65
INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA
aa abab+−+
⎛ ⎞ − e e−
bb
⎛ ⎞ + e e−
bb
⎛ ⎞ − e e−
⎛⎞+ee −

aa
⎜⎟ + ee−
⎝⎠ 2 ⎜⎟ =
⎝⎠ ()

⎜⎟ ⎜⎟ 2
⎝⎠22 ⎝⎠ 2

Empezamos de un extremo de la igualdad para demostrar: a

abbbbaa ee

(( )( ) ( )( ))( ) 1 e e e e e e e e+ − +
abab

−−−− −
+=
+−+−
42

1
abababababababab ee( )( ) + = e e e e e e e e+ − +

abab

+−−+−−+−+−−− −−+−−+−
42

1
abababababababab ee( )( ) + = e e e e e e e e+ − +

abab

+−−+−−+−+−−−− − + − − + − / / / /

42

1
( )( ) 22=
abab
+−+

ababee
+−−−
ee

42

()
( )( ) 1 2=
abab
+−+
ee
abab

+−+−
ee
/−
42
/

abababab
+−++−+
()()
eeee
−−
∴Q E P D . . . .
=
22

xmf
x−
= ,
− ()4 3 xg x = +
()
16. Para las funciones : 2
x

66

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA Hallar el valor de “m= ¿?” de tal manera que

cumpla :1 1 ( )( ) 2 f g mx − −=

Solución

Primero hallar las funciones inversas de 1 1 f g,− −y remplazar en la igualdad


11
( )( ) 2 f g mx − −=usando propiedades hallar “m”

=
f−
1
x
() ?¿
xmf
x−
=
− fy=
()
2x
Por definición ( ) x

y
x−

xm
= 2

Despejamos “x”

yx y x m − = −

2
yx x y m − = −
2
x y y m ( 1) 2
−=−
2 −
=
ym −
x
y 1

Cabíamos “x” por


y
“y” x−

2 xmf
x −−
xm

= Es la función 2

=

inversa 1
()

1
x

67

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA g−=

() ?¿ x

() 4 3 xg x = +

Por definición ( ) x g y

=yx=+43

Despejamos “x”

x−
= 3 4
y
por “y” y−

Cabíamos “x”


g −x

3
x 3
=Es la función inversa 1

=
()
x
4 4

Las funciones inversas encontradas las podemos remplazar en 1 1 ( )( ) 2 f g mx − −= pero

usando propiedades de composición de funciones que dice “ ( ) ( ) ( ) ( )u


fgf=
ug

Es más fácil.

Remplazamos en la igualdad


=
1
f−
() ?
Pero antes hallar 1( )
mx g


g −
En 1 x 3
=hacemos el cambio de variable “x” por “mx” entonces tenemos( )
x
4

68

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA


ππ −
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA g −

1
( ) mx
= mx 4 3

− −
2

g −
xmf
x
En 1 cambio de variable x por “1 3
= hacemos el
− mx
⎝⎠/
()x

1
2
4
⎛⎞− mx ( ) mx

/ m =” entonces tenemos
⎜⎟− 3 4

=
⎛⎞−
f
mx
− 1
( ) ()

3
⎜⎟ − 1

⎝⎠
g

1
mx

4
mx m
−−
32
=
−−
2
34
f /
mx
− 1
( ) ()
g − 1
mx
4
/
mx m f
mx
264
−−
− ( ) ()
=
− 7
1
g − 1
mx

Si 1 1 ( )( ) 2 f g mx − −=entonces:

mx m 264
f f g mx ( )( ) 2

−−
===
−−−
111
()
1
()


g mx
− mx 7
mx m f 2 6 4
mx 2

−−

==1
( ) 1( )


g mx
− 7

Solo nos queda despejar “m” =?


69

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
264
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA 2

mx m
−−
=
mx − 7
2 6 4 2 14 mx m mx
−−=−
−=−−
4 8 ___( 1)
m
= 84
m

m=
2

En MATEMÁTICAS todos los problemas se resuelven con un conocimiento amplio de la teoría

f de primer grado, de tal manera que se cumpla:


17. Hallar la función, ( ) x

(2 1)( ) 32 4 x
f f x −= +

SOLUCIÓN

f ax b = +donde, a y b son constante a de


fes de primer grado entonces es : ( ) x
Si ( ) x
terminar de la función lineal de primer grado

( 2 1)
si ( ) 32 4 _______
(2 1) ( )

xff f f x α −−
==+
x

f ax b = +entonces
si tenemos ( ) x

faxb
=−+
(2 1)
(2 1)
x −

f ax a b β = − +
(2 1)
+entonces
2 _______
x

f ax b =
si tenemos ( ) x

fx f a f b θ (2 1) ( ) (2 1) ( ) _____

−= + −x

remplazando βen θ

70

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

fx fafbθ
(2 1) ( ) (2 1) ( ) _____

−= + − x

f a ax a b b = − + +
()
f (2 )
(2 1)
x −

f a x a ab b φ = − + +
2 ___
22
()
f
(2 1)
x −

igualando αy φse tiene la relación

2 32 4
a x a ab b x
−++=+
22

(2 ) ( ) 32 4
a x a ab b x
+−++=+
22

para que se de grado lineal los coeficientes de ven ser iguales

entonces tenemos:

(2 ) 32
axx
2
//=
a − = 16 0
2
( 1) 4
( 4)( 4) 0 + = +
aa
−+=
aa
=∨=−
44

−++= 42
a ab b
2

baa
4
____
+ a
=⊕
b + 1
a

b esta en función de “a” entonces remplazamos los valores de “a” ya hallados anterior
mente en ⊕:

71

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

4 4 20 4
+⎫=
2
a
ab
b
=⇒===

44

4154
+
⎭=
ab
b= −
24
a
4 ( 4) 20 4 20 4 1 3
3
+−⎫
=−⇒==

−+−
⎭=−

como tenemos dos pares de valores y satisfacen las condiciones entonces tenemos dos
f ax b = +:
funciones de primer grado ( ) x
fxx
( ) 4 4 _________1
=+

20
( ) 4 ______ 2 f x x

=−− 3

( ) a b a f b arctg
18. Si f x( ) = arctg x( )probar qué ( ) 1 f ab
⎛⎞+
=⎜⎟
+ ⎝⎠−

Solución

( ) a b a f b arctg
Si ( ) 1 f ab
⎛⎞+
=⎜⎟
+ ⎝⎠−

entonces hagamos un cambio de variable

72

INGENIERÍA CIVIL PAYE INGENIERÍA PETROLERA

ππ
=⇒=⎪
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ⎧ ⎨=⇒=

u arctg a tg u a
()()
v arctg b tg v b
C.V. ()()

( ) a b a f b arctg
Remplazando en: ( ) 1 f ab
⎛⎞+
=⎜⎟ tenemos que:
+ ⎝⎠−

⎛⎞+
tg u tg v
u v arctg Trabajamos con la tg
()()
__________ _ _ _
=⎜⎟
+ ⎝⎠−
1()()
tg u tg v

⎛⎞±
=⎜⎟ ()()()
+ ⎝ ⎠ − pero……………… 1 ( ) ( ) tg tg

⎛⎞+ αβ
()()() αβ tg =⎜⎟
1()() α β tg tg ± ⎝⎠
tg u tg v
tg u v
tg u tg v

Entonces remplazado con el cambio de variable tenemos:


ab
⎛⎞+
u v arctg =⎜⎟
ab +

⎝ ⎠ −1
19. Haciendo el análisis completo GRAFIQUE:

2
y
x+
= 1 ____(1)
2 −2 _____
x 1
______
2
SOLUCIÓN:
x
2 =±
a) y −2
x+
DOMINIO: 11

x
D
+
1
0 , 1 1,
± ≥ ⇒ = −∞ − ∪ ∞
x 1
2

][][
73

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

b) RANGO: Despejamos “x”:

yy
++
11
_________(2)
22
xx
=±⇒=±
2
yy
−−
11
22

2
y
R
+ 1
≥ = −∞ − ∪ ∞ 0 _ , 1 1,

y − 1 ][][
2

c) INTERSECCIONES:
CON “x”: 2
y x = ⇒ + = 0 1 0;no hay solución entonces no hay intersección.

CON “y”: 2
x y = ⇒ + = 0 1 0;no hay solución entonces no hay intersección

d) ASINTOTAS:
VERTICALES: de (1) 2
xx−=⇒=±101

HORIZONTALES: de (2) 2
YY − = ⇒ = ± 1 0 1

e) REALIZAMOS UNA TABLA


X 1.2 1.5 2 3

Y +2.4 + 1.6 +1.3 +1.1

74
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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

LÍMITES Y CONTINUIDAD

+−⎜⎟
⎛⎞ ⎝⎠+−
100 50
Calcularlim 2
20. : xx2
Evaluar:

SOLUCIÓN:
x
2 3 →x x
1
⎛⎞+−+−
xx →
L xx
21120
lim ??
100 50
===⎜⎟ Indeterminado???
⎝⎠+−+−
x
231230
1 2

Factorizamos:

75

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ππ
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA

⎛⎞
−+
( )( )
xx
21
50 50
1
L
⎜⎟ +−
= ⎜⎟ ⎝

lim Si:
x
3 1 →x x ( )( )

xxx
−=−+
111
( ) ( )( )
2
xxxx
−=−++
111
32

( ) ( )( ) x x x x x
−=−+++111
432

( ) ( )( ) :
:
xxxxx
1 1 ....... 1 n n n n − = − + + + + − − −
123

( ) ( )( ) Será complicado por eso


Usaremos El LÍMITE NOTABLE

Sea:

⎛⎞−−++++xxxxx

1 1 ....... 1
nnn
n
−−−
123

( )( )
==⎜⎟
⎝⎠−−
lim lim
L
xx
11
xx
→→
11

Lxxx
= + + + + lim ....... 1
nnn
−−−
123
x

()1

Ahora evaluamos:

L x x x n Veces = + + + + = + + + + = lim ....... 1 1 1 1 ....... 1 " "_ n


nnnnn

−−−−−−
123123
x

()1
Ln
=

Para el límite dado:

76

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ππ
−−
JOSE PAYE CHIPANA CODEX-CÁLCULO I JOSUE PAYE CHIPANA ⎛⎞ ⎜⎟+

+−⎜⎟ =100 50
⎛⎞ ⎝⎠+−
11
lim
lim 2 x
2 3 2 3 →x x x x
100 50 x x 2 22
1

xx ⎝⎠+−+−
x
23

xx
1

⎛⎞ xxL
−− xxxx

1 1 lim
3131
100 50
=+ −+−
⎜⎟+ ⎝⎠
x
→ ( )( ) ( )( ) ⎛ ⎞ − −
1
xxL
xxx
111
lim lim lim
100 50
=+ +−−
⎜⎟ ⎝⎠

311
xxx
→→→
111

()()()=+
1
100 50
13
L lim x
11 x
( )( ) + 150
L=
4

3
− 1

21. xx 1
=
−+−
2

0 así que factorizamos el numerador y en el denominador


Sol.- Es indeterminado 0
factorizamos x −1

xxx
−++
++
1*1
111 3
()
2
lim 3
====
x
1*111111

xx
−+−+−
()()
1
77

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ππ
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mm
2 3 lim
22. 23
+
=

mm

Sol.-
entre
3n
Dividamos
⎛⎞ 2
+ ⎜⎟+23 1
nn
n

01
33 lim lim 1

⎝⎠+
====−
n
23
201

⎛⎞−
nnn
∞∞n
1
⎜⎟−⎝⎠
3
3

1
++⎜⎟
⎛⎞ ⎝⎠++
23. Calcular: x x x x + + + abc
lim 111
x n:

0
abc

Solució

Lo primero para resolver un límite es evaluar entonces evaluamos:


11
⎛⎞⎛⎞++++
abcabcL
abcabc
xxx
x
++++++
111010101
0

===⎜⎟⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + + + + Es indeterminado solo nos
lim 1

→ 0
x

queda resolver ese lindo límite:

El límite es parecido a este límite ya conocido”( )1


lim 1 x
+ =” entonces asemos que se
xe
x

0
parezca a esa relación.

1
⎛⎞++
xxx
x
+++
111
abc L =⎜⎟
abc ⎝⎠++
lim
x

0

78

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