Problemas Resueltos de Calculo de Derivadas PDF
Problemas Resueltos de Calculo de Derivadas PDF
Problemas Resueltos de Calculo de Derivadas PDF
=
f '(x) = ) 2 5 )( 5 ( 2
) 1 3 ( 3
2
2
x x x
x
x x
= ) 2 5 10 25 ( 2
1
3 2 2
2
x x x x
x
+ =
= ) 25 15 2 ( 2
1
2 3
2
x x x
x
+ = x x x
x
50 30 4
1
2 3
2
+ =
=
2
3 4 5
1 50 30 4
x
x x x + +
b) . ln ) 1 ( ) (
2
x x x g =
g '(x) = 2x ln x +
x
x 1
2
=
x
x x x 1 ln 2
2 2
+
1
c) . 2 ) (
5x
x h =
h '(x) = 5 2
5x
ln 2
d) . ) 1 ( ) 6 ( ) (
3 2 3
+ = x x x x i
i '(x) = (3x
2
6)(x
2
+ 1)
3
+ (x
3
6x) 3 2x (x
2
+ 1)
2
=
= (x
2
+ 1)
2
((3x
2
6) (x
2
+ 1) + 6x(x
3
6x)) =
= (x
2
+ 1)
2
(3x
4
+ 3x
2
6x
2
6 + 6x
4
36x
2
) = (x
2
+ 1)
2
(9x
4
39x
2
6)
e) . ) 1 ( ) (
1 2 +
+ =
x
e x x j
j '(x) = e
2x + 1
+ (x + 1) 2 e
2x + 1
= e
2x + 1
(1 + 2x + 2) = e
2x + 1
(2x + 3)
f)
2
3 cos 3 ) ( x x x k = .
k '(x) = 3 cos 3x
2
3x 6x sen 3x
2
= 3 cos 3x
2
18x
2
sen 3x
2
Nota: La expresin simplificada final siempre puede resultar subjetiva, y debe
entenderse como una expresin cmoda para operar y para volver a derivar si es
preciso. Por ejemplo, en el d y el f se podra extraer 3 factor comn.
4) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) =
2
2
2 1
3
5 2
x
x x
+
|
.
|
\
|
f '(x) =
4
2
2 ) 2 1 ( 2
3
5
3
5 2
2
x
x x x x
+
|
.
|
\
|
=
4
2 2
4 2 2
9
) 5 2 ( 10
x
x x x x +
+
=
=
4
2
2 2
9
20 50
x
x x x
+
=
4
) 2 2 (
9
20 50
x
x x x
+
=
3
2 2
9
20 50
x
x x
+
=
=
3 3
3 4
9
18 18
9
20 50
x
x
x
x x
+
=
3
3 2
9
18 18 20 50
x
x x x +
b) g(x) = (3x + 2)
2
ln(1 + x
2
)
g '(x) = 2(3x + 2)3ln(1 + x
2
) + (3x + 2)
2
2
1
2
x
x
+
=
= (18x + 12)ln(1 + x
2
) +
2
2
1
) 2 3 ( 2
x
x x
+
+
c) h(x) = 2
5x
+
2
1
x
h'(x) =
3
5
2
2 ln 2 5
x
x
5) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) . ) 5 (
1 3
) (
2 2
x x
x
x
x f
=
f '(x) = ) 2 5 )( 5 ( 2
) 1 3 ( 3
2
2
x x x
x
x x
= ) 4 10 )( 5 (
1 3 3
2
2
x x x
x
x x
+
=
2
= ) 4 10 20 50 (
1
3 2 2
2
x x x x
x
+ =
2
5 4 2
4 30 50 1
x
x x x +
=
=
2
2 4 5
1 50 30 4
x
x x x + +
b) . ln ) 1 ( ) (
2
x x x g =
g'(x) = 2x ln x +
x
x 1
2
c) . 2 ) (
3x
x h =
h'(x) = 3 2
3x
ln 2
d) . ) 1 ( ) 6 ( ) (
3 2 3
+ = x x x x i
i'(x) =(3x
2
6)(x
2
+ 1)
3
+ (x
3
6x)3(x
2
+ 1)
2
2x =
= (3x
2
6)(x
2
+ 1)
3
+ (6x
4
36x
2
)(x
2
+ 1)
2
=
= (x
2
+ 1)
2
[(3x
2
6)(x
2
+ 1) + 6x
4
36x
2
] =
= (x
2
+ 1)
2
(3x
4
+ 3x
2
6x
2
6 + 6x
4
36x
2
) =
= (x
2
+ 1)
2
(9x
4
39x
2
6)
6) Calcular las derivadas de:
a) y
x
x
=
+
sen
cos 1
y ' =
2
) cos 1 (
) sen ( sen ) cos 1 ( cos
x
x x x x
+
+
=
=
2
2 2
) cos 1 (
sen cos cos
x
x x x
+
+ +
=
2
) cos 1 (
1 cos
x
x
+
+
=
2
) cos 1 (
) cos 1 (
x
x
+
+
=
x cos 1
1
+
b) y = arctg(e
2x
) y ' =
2 2
2
) ( 1
2
x
x
e
e
=
x
x
e
e
4
2
1
2
+
c) y x = sen
3
3 y ' = 3 (sen
2
3x) (3 cos 3x) = 9 sen
2
3x cos 3x
d) y
x
x
=
ln
( ) 2
2 1
3
= ln (x 2)
3
ln 1 2 x = 3 ln(x 2)
2
1
ln(2x 1)
y ' =
1 2
2
2
1
2
1
3
x x
=
1 2
1
1
1
2
3
x x
=
1 2
1
2
3
x x
e) y x e
x
=
3 3
y ' = 3x
2
e
3x
+ x
3
(3) e
3x
= 3x
2
e
3x
3x
3
e
3x
=
= 3x
2
e
3x
(1 x)
7) Derivar y simplificar:
2
3 arctg x y = ;
3
1 2 x
e x
y
=
;
3
2
3
) 2 (
ln
=
x
x
y ; x y 4 cos 2
2
=
-
2
3 arctg x y = y ' =
2 2
) 3 ( 1
6
x
x
+
=
4
9 1
6
x
x
+
-
3
1 2 x
e x
y
= =
x
e x
1 2
3
1
y ' = ) ) 1 ( 2 (
3
1
1 2 1 x x
e x xe
+ =
3
) 2 (
1
x xe
x
-
3
2
3
) 2 (
ln
=
x
x
y =
3
) 2 (
ln
3
1
2
x
x
= | | ) 3 ln( ) 2 ln(
3
1
2
x x =
= | | ) 3 ln( ) 2 ln( 2
3
1
x x y ' =
|
.
|
\
|
3
1
2
1
2
3
1
x x
=
) 3 ( 3
1
) 2 ( 3
2
x x
- x y 4 cos 2
2
= y ' = 2 2 (cos 4x) (sen 4x) 4 = 16 sen 4x cos 4x =
3
= 8 2 sen 4x cos 4x = 8 sen (2 4x) = 8 sen 8x
8) Derivar y simplificar: (2 puntos)
a) y = e
2x
tg x y' = 2e
2x
tg x + e
2x
(1 + tg
2
x) = e
2x
(tg
2
x + 2 tg x + 1)
b)
3
2
2
4
ln
=
x
x
y = ( ) ) 4 ln( ln 2
3
1
2
x x y' = |
.
|
\
|
4
2 2
3
1
2
x
x
x
c) y = 2cos
3
3x y' = 2 3 cos
2
3x ( sen 3x) 3 = 18 sen 3x cos
2
3x
d) y = arcsen x
3
y' =
2 3
2
) ( 1
3
x
x
=
6
2
1
3
x
x
9) Derivar las siguientes funciones, simplificando los resultados:
a)
x
e y
3 cos
2 = 3 ) 3 sen ( 2 '
3 cos
x e y
x
= = 6 e
cos 3x
sen 3x
b) x y 2 arctg =
( )
2
2 1
2 2
2
'
x
x
y
+
= =
x
x
2 1
2
1
+
=
x
x
x
x
2 1
2
2
2
1
+
=
x
x
x
2 1
2
2
+
=
) 2 1 ( 2
2
x x
x
+
=
x x
x
2 4
2
2
+
c)
3
2
3
) 3 2 (
ln
=
x
x
y =
3
) 3 2 (
ln
3
1
2
x
x
= | | ) 3 ln( ) 3 2 ln(
3
1
2
x x =
= | | ) 3 ln( ) 3 2 ln( 2
3
1
x x . Derivando:
(
=
3
1
3 2
2
2
3
1
'
x x
y =
(
3
1
3 2
4
3
1
x x
d) x x y 4 tg 3 =
x
x x y
4 cos
4
3 4 tg 3 '
2
+ = =
x
x
x
4 cos
12
4 tg 3
2
+
e) x y 3 sen 2
2
=
y' = 4 (sen 3x cos 3x) 3 = 6 2 sen 3x cos 3x = 6 sen 2 3x = 6 sen 6x
10) Derivar las siguientes funciones, simplificando los resultados:
a)
x
xe y
3 sen
2 =
y ' = 2e
sen 3x
+ 2xe
sen 3x
(cos 3x)3 = 2e
sen 3x
(1 + 3x cos 3x)
b)
3
2
1
) 3 4 (
ln
=
x
x
y
Simplificando la expresin antes de derivar, aplicando propiedades de logaritmos:
y = )] 1 ln( ) 3 4 [ln(
3
1
2
x x = )] 1 ln( ) 3 4 ln( 2 [
3
1
x x
y ' =
|
.
|
\
|
1
1
3 4
4
2
3
1
x x
= |
.
|
\
|
1
1
3 4
8
3
1
x x
c)
x
x y
2 cos
3 =
Tomamos ln antes de derivar: ln y = ln 3x
cos 2x
= ln 3 + ln x
cos 2x
= ln 3 + cos 2x ln x
4
Derivando miembro a miembro:
x
x x x
y
y 1
) 2 (cos ln 2 sen 2 0
'
+ + = =
x
x
x x
2 cos
ln 2 sen 2 + =
x
x x x x 2 cos ln 2 sen 2 +
y ' =
x
x x x x
x
x
2 cos ln 2 sen 2
3
2 cos
+
= ) ln 2 sen 2 2 (cos 3
1 2 cos
x x x x x
x
d) x y 3 sen 2
2
=
y ' = 2 2 sen 3x (cos 3x) 3 = 6 2 sen 3x cos 3x = 6 sen 2 3x = 6 sen 6x
11) Derivar las siguientes funciones, simplificando los resultados:
a)
2
cos
3
x
y xe =
y ' = 3e
cos x
+ 3xe
cos x
2x(sen x
2
) = 3e
cos x
(1 2x
2
sen x
2
)
b)
2
5
2
4 3
ln
( 1)
x
y
x
=
Simplificando la expresin antes de derivar, aplicando propiedades de logaritmos:
y =
2 2
1
[ln(4 3) ln( 1) ]
5
x x =
2
1
[ln(4 3) 2ln( 1)]
5
x x
y ' =
2
1 8 1
2
5 4 3 1
x
x x
| |
|
\ .
=
2
1 8 2
5 4 3 1
x
x x
| |
|
\ .
c) y = arctg 3x
y ' =
( )
2
3
2 3
1 3
x
x +
=
3
2 3
1 3
x
x +
=
3
2 3 (1 3 ) x x +
d)
2
3 cos 5 y x =
y ' = 3 2 cos 5x (5 sen 5x) = 15 2 sen 5x cos 5x = 15 sen 2 5x = 15 sen 10x
12) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
f(x) =
x
x
x 2
2 +
; g(x) = (x
2
+ 1)
2
ln(e
3x
+ 4)
f '(x) =
2
2
1 ) 2 ( ) 2 2 ln 2 (
x
x x x
x x
+ +
=
2
2 2
2 2 2 ln 2
x
x x x
x x
+
=
2
2
2 2 ln 2
x
x x
x x
+
g'(x) = 2(x
2
+ 1)2x ln(e
3x
+ 4) + (x
2
+ 1)
2
4
3
3
3
+
x
x
e
e
=
=
4
) 1 ( 3
) 4 ln( ) 4 4 (
3
2 2 3
3 3
+
+
+ + +
x
x
x
e
x e
e x x
13) Derivar y simplificar:
a) y = 2(7x
3
3x)
6
y ' = 2 6(7x
3
3x)
5
(21x
2
3) = 12(21x
2
3) (7x
3
3x)
5
=
= (252x
2
36) (7x
3
3x)
5
5
b) y =
1
12 3
2
x
x
y ' =
2
2
) 1 (
1 ) 12 3 ( ) 1 ( 6
x
x x x
=
2
2 2
) 1 (
12 3 6 6
+
x
x x x
=
2
2
) 1 (
12 6 3
+
x
x x
c) y = 1 2
2
+ x
y ' =
1 2 2
4
2
+ x
x
=
1 2
2
2
+ x
x
d) y = (x + 1)e
2x + 1
y ' = 1 e
2x + 1
+ (x + 1)2 e
2x + 1
= e
2x + 1
[1 + 2(x + 1)] = e
2x + 1
(1 + 2x + 2) =
= e
2x + 1
(2x + 3)
14) Derivar y simplificar:
a) y = 2(7x
2
3x)
5
y ' = 2 5(7x
2
3x)
4
(14x 3) = 10(14x 3) (7x
2
3x)
4
b) y =
2 3
1
4
x
x
y ' =
2 4
3 4
) 2 3 (
) 1 ( 12 2 3
x
x x x
=
2 4
3 4 4
) 2 3 (
12 12 2 3
+
x
x x x
=
2 4
3 4
) 2 3 (
2 12 9
+
x
x x
c) y = x 2 sen
y ' = x
x
2 cos
2 2
2
=
x
x
2
2 cos
d) y = e
2x + 1
ln 3x
y ' = 2e
2x + 1
ln 3x + e
2x + 1
x 3
3
=
|
.
|
\
|
+
+
x
x e
x
1
3 ln 2
1 2
=
x
x x
e
x
3 ln 2 1
1 2
+
+
6