Capitulo 8 Numeros Complejos (II-2022)
Capitulo 8 Numeros Complejos (II-2022)
Capitulo 8 Numeros Complejos (II-2022)
8.1 Introducción
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
ln(−1) √−4 arcsin(3)
i) Los reales
Recta real
-2 0 1/2 3
5
a,b
4
3 6, 3
2
(0,1)
1
7, 0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 6 7 eje real
-2
-3
-4
-5
-6
Los numero reales son un caso particular de esta nueva estructura, ej. 6 = (6,0)
¿Una ecuación?
𝑥2 + 1 = 0
Argand explica geométricamente la multiplicación por 𝒊 como una rotación de 90° en sentido
antihorario
eje imaginario
5
a,b El real 4 (4, 0) , i (0,1)
4
3 6, 3 ¿Que pasa cuando se multiplica por i ?
2
(0,1) (4, 0) i (4, 0) (0,1)
1
7, 0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 eje real
(4 0 0 1, 0 0 4 1)
-1
-2 (0, 4)
-3
-4
-5
-6
Satisface la ecuación:
𝑥2 + 1 = 0
(𝟎, 𝟏)2 + 1 = 0
𝒊𝟐 + 1 = 0
𝒊 = √−1
8.2. Potencias de i
𝑖 = √−1
𝑖 2 = −1
𝑖 3 = 𝑖 2 𝑖 = −𝑖
𝑖 4 = 𝑖 2 𝑖 2 = (−1)(−1) = 1
Capítulo 8 Números Complejos M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
𝑖 5 = 𝑖 4𝑖 = 𝑖
𝑖 𝑘 = (𝑖 4 )𝑟 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠
Solución.
3 5 3 5
[(−1 + 𝑖 √3) ] [(−1 − 𝑖√3) ]
𝑤= +
[(1 − 𝑖 )2 ]10 [(1 + 𝑖 )2 ]10
2 3 5 2 3 5
[−1 + 3(−1)2 𝑖 √3 + 3(−1)(𝑖 √3) + (𝑖 √3) ] [−1 − 3(−1)2 𝑖 √3 + 3(−1)(𝑖 √3) − (𝑖 √3) ]
𝑤= +
[1 − 2𝑖 + 𝑖 2 ]10 [1 + 2𝑖 + 𝑖 2 ]10
2 3 5 2 3 5
[−1 + 3(−1)2 𝑖 √3 + 3(−1)(𝑖 √3) + (𝑖 √3) ] [−1 − 3(−1)2 𝑖 √3 + 3(−1)(𝑖 √3) − (𝑖 √3) ]
𝑤= +
[1 − 2𝑖 + 𝑖 2 ]10 [1 + 2𝑖 + 𝑖 2 ]10
-1 −𝑖 −1 −𝑖
3 5 3 5
[−1 + 3𝑖 √3 − 3 ∙ 3𝑖 2 + (√3) 𝑖 3 ] [−1 − 3𝑖 √3 − 3 ∙ 3𝑖 2 − (√3) 𝑖 3 ]
𝑤= +
[1 − 2𝑖 + 𝑖 2 ]10 [1 + 2𝑖 + 𝑖 2 ]10
-1 -1
5 5
[−1 + 3𝑖 √3 + 9 − 3√3 𝑖] [−1 − 3𝑖 √3 + 9 + 3√3 𝑖] 85 85 215 215
𝑤= + = + = +
[−2𝑖 ]10 [2𝑖 ]10 210 (𝑖 2 )5 210 (𝑖 2 )5 −210 −210
𝑤 = −25 − 25 → 𝒘 = −𝟔𝟒
Im
y z x yi
x Re
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧)
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Im
y z x yi
x
Re
y z x yi
1 1
𝑧2 = √2 + 𝑖 → 𝑧̅2 = √2 − 𝑖 , 𝑧3 = 7 = 7 + 0𝑖 → 𝑧̅3 = 7 − 0𝑖 = 7
3 3
𝑧4 = 8𝑖 → 𝑧̅4 = −8𝑖
Propiedades.
P1. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2
P2. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧̅1 − 𝑧̅2
P3. ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 𝑧̅1 ∙ 𝑧̅2
̅̅̅̅̅
𝑧 ̅̅̅
𝑧1
P4. (𝑧1 ) = ̅̅̅
2 𝑧 2
P5. 𝑧 ∙ 𝑧̅ = |𝑧|2
4
1i
1i
E 1i
-1 -1
−(1−𝑖)4 −(−4) 4
𝐸 = (1 − 𝑖 )−(1−𝑖) = (1 − 𝑖 )−(1−𝑖) = (1 − 𝑖 )−(1−𝑖) = (1 − 𝑖 )4 = −4
𝐸 = −4
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𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖
i) Suma: 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐 ) + (𝑏 + 𝑑 )𝑖
ii) Resta: 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑐 ) + (𝑏 − 𝑑 )𝑖
iii) Multiplicación: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖 )(𝑐 + 𝑑𝑖 ) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑑𝑖 2
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ) + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝒊
iv) División:
a 1
a b
b
𝑧 ∙ 𝑧 −1 = 1
Nota el neutro de suma: 0 + 0𝒊 = 0 , El neutro multiplicativo 1 + 0𝒊 = 1
𝑧1
¿Cómo se divide? = 𝑧1 ∙ 𝑧2−1
𝑧2
𝑧1
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑧2
𝑧1 𝑧1 𝑧̅2
= ∙
𝑧2 𝑧2 𝑧̅2
𝑧3 = 6𝑖 𝑧3 = 0 + 6𝑖 → 𝑧̅3 = 0 − 6𝑖 = −6𝑖
𝑧4 = 8 → 𝑧̅4 = 8
1+𝑖
+ 2 = (1 + 𝑖 2 )
𝑧−1
Solución:
Problema 120 Calcule el valor de x para que el número z sea un número real puro.
1 + 2𝑥𝑖 2
𝑧=( )
2+𝑖
Solución:
2 2
1 + 2𝑥𝑖 2 1 + 2𝑥𝑖 2 − 𝑖 2 2 + 4𝑥𝑖 − 𝑖 − 2𝑥𝑖 2 2𝑥 + 2 + (4𝑥 − 1)𝑖
𝑧=( ) =( ∙ ) =( 2 2
) =( )
2+𝑖 2+𝑖 2−𝑖 2 −𝑖 4 − (−1)
2
(2𝑥 + 2) + (4𝑥 − 1)𝑖 (2𝑥 + 2)2 + 2(2𝑥 + 2)(4𝑥 − 1)𝑖 + (4𝑥 − 1)2 𝑖 2
𝑧=( ) =
5 25
(2𝑥 + 2)2 − (4𝑥 − 1)2 + 2(2𝑥 + 2)(4𝑥 − 1)𝒊
𝑧=
25
(2𝑥 + 2)2 − (4𝑥 − 1)2 2(2𝑥 + 2)(4𝑥 − 1)
𝑧= + 𝒊 … (𝜶)
25 25
Ahora definimos a los siguientes números:
i) Numero complejo: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
ii) Número real puro: 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖
iii) Numero complejo puro: 𝑧 = 0 + 𝑏𝑖
Entonces para que (𝛼) sea un número real puro, debe cumplirse que su parte imaginaria debe ser
cero.
2(2𝑥 + 2)(4𝑥 − 1) 𝟏
=0 → 2(2𝑥 + 2)(4𝑥 − 1) = 0 → 𝒙 = −𝟏 , 𝒙 =
25 𝟒
Im
y z x yi
z
x Re
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𝑦
Modulo: |𝒛| = √𝑥 2 + 𝑦 2 Argumento: 𝜽 = arctan (𝑥) También: 𝑟 = |𝑧|
Propiedades.
P3 𝑧 ∙ 𝑧 = |𝑧 |2 Prueba 𝑧 ∙ 𝑧̅ = (𝑥 + 𝑦𝑖 )(𝑥 − 𝑦𝑖 ) = 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑖 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
El ángulo se mide en sentido anti horario u horario, de ello dependerá que sea positivo o negativo
en ángulo, pero siempre medido desde el eje real positivo.
13
30
C. Potosí
Príncipe Paz
Im
y z x yi
r
x Re
𝑥 𝑦
cos 𝜃 = → 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃 = → 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
𝑟 𝑟
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝒊 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝒊
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝒊 sin 𝜃) Forma trigonométrica o polar
Propiedades:
3
z r cis tan
y z 3 3i 3 6
r x 2 y2 11
2
3 6 6
r x 3 2
r 3 ( 3)2 12
3 3 r 2 3
𝟏𝟏𝝅
𝒛 = 𝟐√𝟑 𝒄𝒊𝒔( )
𝟔
Existe otra alternativa
y
3
x
r
3
𝝅
𝒛 = 𝟐√𝟑𝒄𝒊𝒔 (− )
𝟔
Problema 121 Simplificar
5
1 √3 2 − 𝒊 10
𝑤=( + 𝒊) ( )
2 2 1 + 2𝒊
Solución: y
3
1 √3 2 r
𝑧1 = 2 + 𝒊
2
1 x
2
2 √3
1 2 √3
𝑟 = √(2) + ( 2 ) = 1 tan 𝜃 = 2
1 = √3 → 𝜃 = 60°
2
𝑧1 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(60°)
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y r z 0 1i
x
En la expresión:
5
1 √3 2 − 𝒊 10
𝑤=( + 𝒊) ( ) = [1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(60°)]5 [1 ∙ 𝑐𝑖𝑠( 270°)]10
2 2 1 + 2𝒊
𝑤 = 15 𝑐𝑖𝑠 (5 ∙ 60°) ∙ 110 𝑐𝑖𝑠(10 ∙ 270°)
𝑤 = 𝑐𝑖𝑠(300°) ∙ 𝑐𝑖𝑠(2700°)
𝑤 = 𝑐𝑖𝑠 (300° + 2700°) = 𝑐𝑖𝑠(3000°)
30° 390°
Solución: Sea 𝑧1 = 1 + 𝑖 y 𝑧2 = 𝑖
𝑟 = √12 + 12 = √2
1 z 1i
1 𝜋
tan 𝜃 = = 1 → 𝜃= r
1 4
𝜋
𝑧1 = 1 + 𝑖 = √2𝑐𝑖𝑠
4 1
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Para 𝑧2 = 𝑖 z i 0 1i
𝜋 1
𝑟 = √02 + 12 = 1 , 𝜃=
2
r
𝜋
𝑧2 = 1 𝑐𝑖𝑠
2
Reemplazando en la ecuación propuesta:
𝑛
𝑛 𝜋 𝑛 𝜋 2 𝜋
(1 + 𝑖 )𝑛 + [√2𝑖 ] = 64𝑖 → (√2𝑐𝑖𝑠 4 ) + [2 ∙ 1 𝑐𝑖𝑠 2 ] = 64(1 𝑐𝑖𝑠 2 )
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝜋
(√2) 𝑐𝑖𝑠 ( ) + 22 ∙ 12 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 64𝑐𝑖𝑠( )
4 4 2
𝑛 𝑛
𝑛𝜋 𝜋 +1 𝑛𝜋 𝜋
2 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( 4 ) = 64𝑐𝑖𝑠 (2 ) →
2 2 2 𝑐𝑖𝑠 ( 4 ) = 26 𝑐𝑖𝑠 (2 )
𝒏 = 𝟏𝟎
Preámbulo
¿Resuelva la ecuación: 𝑥3 = 1 ?
Resolviendo sale 𝑥 = 1, pero faltan dos soluciones podemos recurrir a trucos matemáticos
𝑥 3 − 1 = 0 → (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) = 0 → 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0
−1 + √3 𝒊 −1 − √3 𝒊
𝑥=1 , 𝑥= , 𝑥=
2 2
𝑛
Sea el número 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 se desea calcular: √𝑧, es posible, aprovecharemos el periodo de las
funciones trigonométricas seno coseno, para ello nos conviene que el número complejo 𝒛 este en
forma polar 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠𝜃.
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Sabemos que las operaciones con números complejos cumplen la ley de la clausura, por lo tanto, al
efectuar la radicación se obtendrá un número complejo como resultado.
w3 w
2
w1
w0
wn 1
Propiedad: 𝜔0 + 𝜔1 + 𝜔2 + … … … . +𝜔𝑛−1 = 0
2𝜋
𝛼=
𝑛
Problema 123 Resuelva la ecuación
𝑥 5 − 47𝑥 4 + 𝑥 − 47 = 0
Solución:
Im r (1)2 02 1
z 1 0i
1 Re
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𝑧 = −1 + 0𝑖 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(𝜋)
4 4 𝜋 + 2𝜋𝑘
√𝑧 = √1 𝑐𝑖𝑠 ( ) , 𝑘 = 0,1,2,3
4
4 𝜋 + 2𝜋 ∙ 0 𝜋 𝜋 𝜋 √2 √2
𝑘=0 → 𝜔0 = √1 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin = + 𝑖
4 4 4 4 2 2
4 𝜋 + 2𝜋 ∙ 1 3𝜋 3𝜋 3𝜋 √2 √2
𝑘=1 → 𝜔1 = √1 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin =− + 𝑖
4 4 4 4 2 2
4 𝜋 + 2𝜋 ∙ 2 5𝜋 5𝜋 5𝜋 √2 √2
𝑘=2 → 𝜔2 = √1 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin =− − 𝑖
4 4 4 4 2 2
4 𝜋 + 2𝜋 ∙ 3 7𝜋 7𝜋 7𝜋 √2 √2
𝑘=3 → 𝜔3 = √1 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin = − 𝑖
4 4 4 4 2 2
√2 √2 √2 √2 √2 √2 √2 √2
𝑥 = 47 , 𝑥= + 𝑖 , 𝑥=− + 𝑖 , 𝑥=− − 𝑖 , 𝑥= − 𝑖
2 2 2 2 2 2 2 2
Problema 124 Halle las raíces cubicas de la unidad real, y luego calcule (I-2016):
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝐸= , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 , 𝑦 = 𝑎𝜔1 + 𝑏𝜔2 , 𝑧 = 𝑎𝜔2 + 𝑏𝜔1
𝑎𝑏
Solución:
3
𝜔 = √1
z 1 0i
Sea 𝑧 = 1 = 1 + 0𝑖
𝑟 = √12 + 02 = 1 , 𝜃 = 0 r 1
3 3 0 + 2𝜋𝑘
𝑧 = 1 𝑐𝑖𝑠 (0) → √𝑧 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) , 𝑘 = 0,1,2
3
3 0 + 2𝜋 ∙ 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0 𝜔0 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(0) = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1
3
3 0 + 2𝜋 ∙ 1 2𝜋 2𝜋 2𝜋 1 √3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝜔1 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin =− + 𝑖
3 3 3 3 2 2
3 0 + 2𝜋 ∙ 2 4𝜋 4𝜋 4𝜋 1 √3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 2 𝜔2 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin =− − 𝑖
3 3 3 3 2 2
Calculando lo pedido:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝐸= , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 , 𝑦 = 𝑎𝜔1 + 𝑏𝜔2 , 𝑧 = 𝑎𝜔2 + 𝑏𝜔1
𝑎𝑏
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En la expresión
6𝑎𝑏
𝐸= → 𝑬=𝟔
𝑎𝑏
Problema 125 Sean 𝜔0 , 𝜔1 , 𝜔2 , 𝜔3 las raíces cuartas de la unidad imaginaria negativa, determinar:
𝜔0 + ̅̅̅̅
𝜔1
𝐸=
𝜔2 ∙ 𝜔3
̅̅̅̅
Solución:
Im
𝑧 = −𝑖 = 0 − 1 ∙ 𝑖
Re
𝑟 = √02 + (−1)2 = 1
r z 0 1i
𝜋
𝜃=− 1
2
𝜋
𝑧 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 (− )
2
𝜋
−
4 4 2 + 2𝜋𝑘 )
√𝑧 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( , 𝑘 = 0,1,2,3
4
𝜋
4
− 2 + 2𝜋 ∙ 0 𝜋
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0 𝜔0 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 𝑐𝑖𝑠 (− )
4 8
𝜋
4
− 2 + 2𝜋 ∙ 1 3𝜋
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝜔1 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 𝑐𝑖𝑠 ( )
4 8
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𝜋
4
− 2 + 2𝜋 ∙ 2 7𝜋
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 2 𝜔2 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 𝑐𝑖𝑠 ( )
4 8
𝜋
4
− 2 + 2𝜋 ∙ 3 11𝜋
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 3 𝜔3 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 𝑐𝑖𝑠 ( )
4 8
y z x iy
r z rcis
x
r
y z x iy
z rcis( )
𝜋 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
3𝜋 𝜋 3𝜋
𝜔0 + 𝜔 ̅̅̅̅1 𝑐𝑖𝑠 (− 8) + 𝑐𝑖𝑠 ( 8 ) 𝑐𝑖𝑠 (− 8 ) + 𝑐𝑖𝑠 (− 8 )
𝐸= = =
𝜔2 ∙ 𝜔3
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
7𝜋 11𝜋 7𝜋 11𝜋
𝑐𝑖𝑠 ( 8 ) ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( 8 ) 𝑐𝑖𝑠 (− 8 ) ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( 8 )
𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋
𝑐𝑖𝑠 (− 8) + 𝑐𝑖𝑠 (− 8 ) 𝑐𝑖𝑠 (− 8 ) + 𝑐𝑖𝑠 (− 8 )
𝐸= = 𝜋
7𝜋 11𝜋 𝑐𝑖𝑠( 2)
𝑐𝑖𝑠 (− 8 + 8 )
𝜋 𝜋 3𝜋 3𝜋
cos (− ) + 𝑖 sin (− ) + cos (− ) + 𝑖 sin(− )
8 8 8 8
𝐸= 𝜋 𝜋
cos 2 + 𝑖 sin 2
𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋
cos ( 8) + cos ( 8 ) − 𝑖 [sin (8) + sin ( 8 )]
𝐸=
𝑖
𝛼+𝛽 𝛼−𝛽
cos 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2 cos ( ) cos ( )
2 2
𝛼+𝛽 𝛼−𝛽
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin ( ) cos ( )
2 2
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
2 cos ( 4) cos (− 8) − 𝑖 [2 sin ( 4) cos(− 8)]
𝐸=
𝑖
cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = cos 2 𝑥 − (1 − cos 2 𝑥 ) = 2 cos 2 𝑥 − 1
𝜋 𝜋 √2
1 + cos 4 𝜋 √1 + 2 √2 + √2
4
cos = √ → cos = =
2 2 8 2 2
√2 √2 + √2 √2 √2 + √2
2∙ 2 ∙ − 𝑖 ∙ 2 ∙
𝐸= 2 2 ∙ 2 ∙
−𝑖
𝑖 −𝑖
√2 + √2 √2 + √2
𝐸=− − 𝒊
√2 √2
La ecuación más bella de las matemáticas:
Evaluando (𝐼) en 𝜃 = 𝜋
"Las cinco constantes más importantes de la teoría de números, en una sola ecuación"
𝑑𝑢
Nota: Acerca de las integrales de la forma ∫ 𝑢
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3𝑥 2 + 4𝑥 1
∫ 3 𝑑𝑥 𝐶𝑉. 𝑢 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 → 𝑑𝑢 = (3𝑥 2 + 4𝑥 )𝑑𝑥 → ∫ 𝑑𝑢 = ln 𝑢 + 𝐶
𝑥 + 2𝑥 2 𝑢
3𝑥 2 +4𝑥 𝑑(𝑥 3 +2𝑥 2 )
∫ 𝑥3 +2𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ = ln(𝑥 3 + 2𝑥 2 ) + 𝐶
𝑥 3 +2𝑥 2
En 1988 la identidad de Euler fue elegida por los lectores de la revista Mathematical Intelligencer
como la fórmula matemática más bella de la historia.
𝑒 𝒊𝑥 + 𝑒 −𝒊𝑥 𝑒 𝒊𝑥 − 𝑒 −𝒊𝑥
cos 𝑥 = sin 𝒙 =
2 2𝑖
Problema 126 Demuestre la identidad
1
sin3 𝜃 cos 2 𝜃 = − (sin 5𝜃 − sin 3𝜃 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃 )
16
𝑒 𝒊𝜃 −𝑒 −𝒊𝜃 𝑒 𝒊𝜃 +𝑒 −𝒊𝜃
Solución: sin 𝜃 = , cos 𝜃 =
2𝑖 2
3 2
3 2
𝑒 𝒊𝜃 − 𝑒 −𝒊𝜃 𝑒 𝒊𝜃 + 𝑒 −𝒊𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃 = ( ) ( ) =
2𝑖 2
𝑒 𝟑𝒊𝜃 − 3𝑒 𝟐𝒊𝜃 𝑒 −𝒊𝜃 + 3𝑒 𝒊𝜃 𝑒 −𝟐𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟑𝒊𝜃 𝑒 𝟐𝒊𝜃 + 2 + 𝑒 −𝟐𝒊𝜃
=( )( )
8𝑖 3 4
𝑒 𝟑𝒊𝜃 − 3𝑒 𝒊𝜃 + 3𝑒 −𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟑𝒊𝜃 𝑒 𝟐𝒊𝜃 + 2 + 𝑒 −𝟐𝒊𝜃
=( )( )=
−8𝑖 4
𝑒 𝟓𝒊𝜃 − 3𝑒 𝟑𝒊𝜃 + 3𝑒 𝒊𝜃 − 𝑒 −𝒊𝜃 + 2𝑒 𝟑𝒊𝜃 − 6𝑒 𝒊𝜃 + 6𝑒 −𝒊𝜃 − 2𝑒 −𝟑𝒊𝜃 + 𝑒 𝒊𝜃 − 3𝑒 −𝒊𝜃 + 3𝑒 −𝟑𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟓𝒊𝜃
( )=
−32𝑖
𝑒 𝟓𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟓𝒊𝜃 − 𝑒 𝟑𝒊𝜃 + 𝑒 −𝟑𝒊𝜃 − 2𝑒 𝒊𝜃 + 2𝑒 −𝒊𝜃 1 𝑒 𝟓𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟓𝒊𝜃 𝑒 𝟑𝒊𝜃 − 𝑒 −𝟑𝒊𝜃 𝑒 𝒊𝜃 − 𝑒 −𝒊𝜃
( )=− ( − −2 )
−32𝑖 16 2𝑖 2𝑖 2𝑖
1
sin3 𝜃 cos 2 𝜃 = − (sin 5𝜃 − sin 3𝜃 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃 )
16
Un poquito de aplicación:
𝑒 𝑎𝑥
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 , ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = +𝑐
𝑎
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𝑒 (𝑎+𝑏𝑖)𝑥
∫ 𝑒 (𝑎+𝑏𝑖)𝑥 𝑑𝑥 = +𝑐
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑒 𝑎𝑥 𝑒 𝒊𝑏𝑥 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑒 𝑎𝑥 (cos 𝑏𝑥 + 𝑖 sin 𝑏𝑥 )
∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑒 𝒊𝑏𝑥 𝑑𝑥 = ∙ → ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑐𝑖𝑠(𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥 = (𝑎 − 𝑏𝑖 )
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑎2 − 𝑏 2 𝑖 2
𝑎𝑥 (
𝑒 𝑎𝑥 (𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑖𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑖𝑏 cos 𝑏𝑥 − 𝑖 2 𝑏 sin 𝑏𝑥 )
∫𝑒 cos 𝑏𝑥 + 𝑖 sin 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥 =
𝑎2 − 𝑏 2 𝑖 2
𝑒 𝑎𝑥 (𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑏 sin 𝑏𝑥 + 𝑖𝑒 𝑎𝑥 (𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑏 cos 𝑏𝑥 )
∫(𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑖𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 ) 𝑑𝑥 =
𝑎2 + 𝑏 2
𝑒 𝑎𝑥 (𝑎 cos 𝑏𝑥 + 𝑏 sin 𝑏𝑥)
∫ 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑎2 + 𝑏 2
𝑒 𝑎𝑥 (𝑎 sin 𝑏𝑥 − 𝑏 cos 𝑏𝑥)
∫ 𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶
𝑎2 + 𝑏 2
𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
Propiedades
P1 𝑒 𝑧1 ∙ 𝑒 𝑧2 = 𝑒 𝑧1+𝑧2
𝑒 𝑧1
P2. = 𝑒 𝑧1 −𝑧2
𝑒 𝑧2
P3 (𝑒 𝑧1 ) 𝑧2 = 𝑒 𝑧1 ∙𝑧2
𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 / ln
𝑧 = −1 + 0𝑖 z 1 0i
𝑟 = √(−1)2 + 02 = 1
𝜃=𝜋
1
𝑧 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 𝜋
ln(−1) = ln(1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 𝜋) = ln 1 + 𝑖 (𝜋 + 2𝜋𝑘 ) → ln(−1) = 𝑖 (𝜋 + 2𝜋𝑘 )
Su valor principal para 𝑘 = 0
ln(−1) = 𝑖𝜋
𝑧 𝑧
ii) 𝑧1 2 emplearemos un cambio de variable 𝑤 = 𝑧1 2 … (1) / 𝑙𝑛
ln 𝑤 = 𝑧2 ln 𝑧1 → 𝑤 = 𝑒 𝑧2 ln 𝑧1 … (2)
Igualando (1) y (2)
𝑧
𝑧1 2 = 𝑒 𝑧2 ln 𝑧1 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑖)
𝒛𝟐
𝒛
También sabemos: 𝒙 = 𝑒 ln 𝒙 𝒛𝟏𝟐 = 𝑒 ln 𝒛𝟏
𝑥 = 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑥
sin 𝑥 = 2
𝑒 𝒊𝑥 −𝑒 −𝒊𝑥
Solución: Empleando sin 𝑥 = 2𝑖
𝑒 𝑖𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑥 1 𝑒 2𝑖𝑥 − 1 2
=2 → 𝑒 𝑖𝑥 − = 4𝑖 → = 4𝑖 → (𝑒 𝑖𝑥 ) − 4𝑖(𝑒 𝑖𝑥 ) − 1 = 0
2𝑖 𝑒 𝑖𝑥 𝑒 𝑖𝑥
4𝑖 ± √(−4𝑖 )2 − 4 ∙ 1 ∙ (−1) 4𝑖 ± √−12 4𝑖 ± √4(−3)
𝑒 𝑖𝑥 = = = = 2𝑖 ± √3𝑖
2∙1 2 2
Solución 1
y z 0 (2 3)i
2 3
r 02 (2 3)2
r
r (2 3)
x
2
𝜋 1 𝜋
En (𝛼) 𝑖𝑥 = ln(2 + √3) + 𝑖 (2 + 2𝜋𝑘) → 𝑥 = 𝑖 ln(2 + √3) + ( 2 + 2𝜋𝑘)
𝝅
𝒙 = ( + 𝟐𝝅𝒌) − 𝐥𝐧(𝟐 + √𝟑) 𝒊
𝟐
El valor principal 𝑘 = 0
𝝅
𝒙= − 𝐥𝐧(𝟐 + √𝟑) 𝒊
𝟐
Solución 2
𝑒 𝑖𝑥 = 2𝑖 − √3𝑖 → 𝑒 𝑖𝑥 = (2 − √3)𝑖
La solución seria
𝝅
𝒙 = ( + 𝟐𝝅𝒌) − 𝐥𝐧(𝟐 − √𝟑) 𝒊
𝟐
Problema 128 Sean 𝜔0 , 𝜔1 , 𝜔2 las tres raíces cubicas de la unidad real. Calcule el valor de:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜔0 +𝜔2
𝜔 ̅̅̅̅̅
𝐸= 𝜔2 1−𝜔0
𝑟 = √12 + 02 = 1
𝜃=0
3 3 0 + 2𝜋𝑘
𝑧 = 1 𝑐𝑖𝑠 (0) → √𝑧 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) , 𝑘 = 0,1,2
3
3 0 + 2𝜋 ∙ 0
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0 𝜔0 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠(0) = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1
3
3 0 + 2𝜋 ∙ 1 2𝜋 2𝜋 2𝜋 1 √3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝜔1 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = cos + 𝑖 sin =− + 𝑖
3 3 3 3 2 2
3 0 + 2𝜋 ∙ 2 𝟒𝝅 4𝜋 4𝜋 𝟏 √𝟑
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 2 𝜔2 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) = 𝟏 ∙ 𝒄𝒊𝒔 ( ) = cos + 𝑖 sin =− − 𝒊
3 𝟑 3 3 𝟐 𝟐
Capítulo 8 Números Complejos M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
w1
w0
w2
𝜔0 + 𝜔1 + 𝜔2 = 0
𝝎𝟎 + 𝝎𝟐 = −𝝎𝟏
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1 √3 1 √3 1 √3
− 𝑖 + 𝑖 + 𝑖
2 2 2 2 2 2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜔0 +𝜔2 ̅̅̅̅̅̅
−𝜔1 1+√3 𝑖
1 √3 ̅) 1 √3 3 √3
𝜔 ̅̅̅̅̅ 𝜔1−𝜔 ̅̅̅̅̅ − + 𝑖−(1 − + 𝑖−(1) − + 𝑖 −3+√3 𝑖
𝐸= 𝜔2 1−𝜔0 = 𝜔0 0
= 𝜔2 2 2 = 𝜔2 2 2 = 𝜔2 2 2 = 𝜔2
1+√3 𝑖 −3−√3 𝑖 −3−3√3 𝑖−√3 𝑖−3𝑖 2 −4√3 𝑖 √3 𝑖 √3 𝑖
∙ − − √3 𝑖
ln 𝜔2 3
𝐸= −3+√3 𝑖 −3−√3 𝑖
𝜔2 = 𝜔2 9−3𝑖 2
= 𝜔2 12 = 𝜔2 3
=𝑒 = 𝑒− 3
ln 𝜔2
1 √3 4𝜋
Sabemos que: 𝜔2 = − − 𝑖 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( )
2 2 3
4𝜋 4𝜋
ln 𝜔2 = ln 1 + 𝑖 ( + 2𝜋𝑘) = 𝑖 ( + 2𝜋𝑘)
3 3
√3 𝑖 4𝜋 √3 4𝜋
𝐸 = 𝑒− 𝑖( +2𝜋𝑘) ( +2𝜋𝑘)
3 3 =𝑒 3 3
x2 2
2x 2
40
2x
2
2 2
Solución: x 40
2 2 22 4 1 4 2 12 2 2 3i
x 1 3i
2 1 2 2
Para 2 Im
z 1 3i 2cis( )
3 3
2 2
x 1 3i / n nx n 1 3i
2 n x n 2 i(2 3 2 k ) 1 e
n2 i 1 n2
1
2
i( 2 2 k )
nx (2 3
2 k ) n 2 2
i( 2
3
2 k ) x e 3
2 2
1
n2 2
i( 2 2 k ) 1
x e e 3
2 2
cis( 2
3
2 k )
Capítulo 8 Números Complejos M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
x 2
1
2 cos
2
3
2 k isen 2
3
2 k
Para
x 2
1 3i / n nx 2
n 1 3i
Im
1 e
3
4
z 1 3i 2cis( )
3
2 n x n 2 i(4 3 2 k )
n2 i 1 n2
1
2
i (2 2 2 k )
nx (4 3
2 k ) n 2 2
i(2 2 3
2 k ) x e 3
2 2
1
n2 2
i (2 2 2 k ) 1
x e e 3
2 2
cis(2 2
3
2 k )
x 2
1
2 cos
2 2
3
2 k isen 2 2
3
2 k
Problema 130 Determinar los complejos z, que satisfacen la expresión:
Solución: Operando:
(2+i) z2 = 5 + 14i – 4i
(2+i) z2 = 5 + 10i
z2 = (5 + 10i) / (2+i)
z2 = (5 + 10i) (2 - i)/(22+12)
z2 = (20 + 15i)/5
z2 = 4+3i => √𝑧 = √4 + 3𝑖
Capítulo 8 Números Complejos M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
lzI−a 5−4 √2
=> y = ± √ => y = ± √ =±
2 2 2
Pregunta 131 Sean las raíces cúbicas de la unidad imaginaria, calcule el valor de:
𝜔2 6
𝜔1 − ̅̅̅̅
𝐸=( )
𝜔0
Solución: 𝑧 = 𝑖 = 0 + 1 ∙ 𝑖
𝑟 = √02 + (1)2 = 1
𝜋
𝜃=
2
𝜋
𝜋 − + 2𝜋𝑘
𝑧 = 1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) →
3 3 2
√𝑧 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( ) , 𝑘 = 0,1,2
2 4
𝜋
+ 2𝜋 ∙ 0 𝜋 √3 1
𝜔0 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( 2
3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0 ) = 𝑐𝑖𝑠 ( ) = + 𝑖
3 6 2 2
𝜋
+ 2𝜋 ∙ 1 5𝜋 √3 1
𝜔1 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 (2
3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 ) = 𝑐𝑖𝑠 ( ) = − + 𝑖
3 6 2 2
𝜋
+ 2𝜋 ∙ 2 9𝜋
𝜔2 = √1 ∙ 𝑐𝑖𝑠 ( 2
3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 2 ) = 𝑐𝑖𝑠 ( ) = −𝑖
3 6
6 6
6 √3 1 √3 1
𝜔1 − ̅̅̅̅
𝜔2 − + 𝑖 − −𝑖
̅̅̅ − − 𝑖
𝐸=( ) =( 2 2 ) =( 2 2 ) = (−1)6 = 1 → 𝑬=𝟏
𝜔0 √3 1 √3 1
+ 𝑖 + 𝑖
2 2 2 2
Capítulo 8 Números Complejos M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
Bibliografía