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    Método de Coeficientes Indeterminados

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    El documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales. Este método supone una solución particular basada en la forma de la función g(x) y determina los coeficientes desconocidos igualando términos de la ecuación diferencial. Se presentan ejemplos para diferentes formas de g(x), incluyendo polinomios, funciones exponenciales y funciones trigonométricas.

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    Método de Coeficientes Indeterminados

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    El documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales. Este método supone una solución particular basada en la forma de la función g(x) y determina los coeficientes desconocidos igualando términos de la ecuación diferencial. Se presentan ejemplos para diferentes formas de g(x), incluyendo polinomios, funciones exponenciales y funciones trigonométricas.

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    Método de Coeficientes Indeterminados

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    Método de Coeficientes Indeterminados

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    El documento describe el método de coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales. Este método supone una solución particular basada en la forma de la función g(x) y determina los coeficientes desconocidos igualando términos de la ecuación diferencial. Se presentan ejemplos para diferentes formas de g(x), incluyendo polinomios, funciones exponenciales y funciones trigonométricas.

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    5.4.1.

    Método de coeficientes indeterminados


    El método de coeficientes indeterminados se aplica a la ecuación diferencial
    ′
    L (y) = a n (x) y (n) + a n−1 (x) y (n−1) + ⋯ + a 1 (x) y + a 0 (x) y = g(x)
    Donde:

    g(x) es una función polinomial, una función exponencial, una función seno o coseno o combinaciones
    de sumas y productos de estas.

    Y los coeficientes a n , a n−1 , … , a 1 , a 0 son constantes.


    El método consiste en suponer una solución particular yp (x) que contiene uno o más coeficientes
    desconocidos, que se deben determinar, y tiene la misma forma de g(x) excepto cuando g(x) sea una
    solución de la ecuación homogénea.
    Caso 1

    Si g(x)= P n(x) , es decir, es un polinomio de grado n en x.

    Para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:

    ay ′′ + by ′ + cy = g(x)
    Se supone una solución particular: yp = An x n + An−1 x n−1 + … + A1 x + A0
    Donde: An , An−1 , … , A1 , A0 son los coeficientes a determinar,
    Y g(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + … + a 1 x + a 0
    Derivando y reemplazando yp , y ′ p , y ′′ p en la ecuación diferencial L(y) = g(x) , e igualando coeficientes
    de potencias semejantes, empezando en la potencia más alta de x:

    Si c ≠ 0 , se determinan uno a uno los coeficientes buscados.


    Si c=0, pero b ≠ 0 , se debe aumentar el grado la suposición de yp (x) , es decir:
    yp = x (An x + An−1 x n−1 + … + A1 x + A0 )
    n

    Ejemplo

    Resolver: y ′′ + y ′ − 2y = 3x ∧ 2 − x + 1
    Ecuación característica: r 2 +r−2=0
    ⟹ (r + 2) (r − 1) = 0 ⟹ r 1 = −2; r 2 = 1
    Por lo tanto: yh = c1 e−2x + c2 ex
    Suponemos: yp = A0 x 2 + A1 x + A2
    Derivando: y ′ p = 2A0 x + A1 ⟹ y ′′ p = 2A0
    Reemplazando en la ecuación:

    2A0 + (2A0 x + A1 ) − 2(A0 x 2 + A1 x + A2 ) = 3x 2 − x + 1


    Igualando coeficientes de potencias semejantes

    x 2 : −2A0 = 3 ⟹ A0 = − 32
    x : 2A0 − 2A1 = −1 ⟹ A1 = −1
    x 0 : 2A0 + A1 − 2A2 = 1 ⟹ A2 = − 52

    Entonces: yp = − 32 x 2 − x − 5
    2

    Y la solución general: y(x) = c1 e−2x + c2 ex − 32 x 2 − x − 5


    2

    Ejemplo

    Resolver: y ′′ − 2y ′ = 2x 3 − 4x 2 − x + 6
    Ecuación característica: r 2 − 2r = 0 ⟹ r (r − 2) = 0 ⟹ r 1 = 0; r 2 = 2
    2x
    yh = c1 + c2 e
    Para encontrar la solución particular, teniendo en cuenta que c =0
    Suponemos yp = x(Ax 3 + Bx 2 + Cx + D) = Ax 4 + Bx 3 + C x 2 + Dx

    Derivando: y ′ p = 4A x 3 + 3B x 2 + 2C x + D
    y ′′ p = 12A x 2 + 6B x + 2C

    Reemplazando en la ecuación:

    12A x 2 + 6B x + 2C − 2(4A x 3 + 3B x 2 + 2C x + D) = 2x 3 − 4x 2 − x + 6
    Igualando coeficientes de potencias semejantes:

    x 3 : −8A = 2 ⟹ A = − 14
    x 2 : 12A − 6B = −4 ⟹ B = 16
    x : 6B − 4C = −1 ⟹ C = 12
    x 0 : 2C − 2D = 6 ⟹ D = − 52

    Por lo tanto, yp = − 14 x 4 + 16 x 3 + 12 x 2 − 52 x

    Y la solución general: y = c1 + c2 e2x − 14 x 4 + 16 x 3 + 12 x 2 − 52 x


    Caso 2

    Si g(x)= e αx P n (x) , es decir si g(x) es el producto de una función exponencial por un polinomio de
    grado n en x

    En este caso se supone una solución particular de la forma:

    yp = eαx (A n x n + An−1 x n−1 + … + A1 x + A0 )


    Si la solución particular yp que suponemos, contiene términos de la solución homogénea, entonces se debe
    aumentar el grado de la suposición, es decir multiplicar por x.

    Ejemplo

    Resolver: 2y ′′ − 4y ′ − 6y = 3xe2x
    Ecuación característica: 2r 2 − 4r − 6 = 0
    ⟹ (r − 3) (r + 1) = 0 ⟹ r 1 = 3; r 2 = −1
    yh = c1 e3x + c2 e−x

    Suponemos: yp = (Ax + B) e2x

    Derivando: y ′ p = 2e2x (Ax + B) + Ae2x = e2x (2Ax + A + 2B)


    y ′′ p = 2e2x (2Ax + A + 2B) + 2Ae2x = e2x (4Ax + 4A + 4B)

    Reemplazando en la ecuación

    2e2x (4Ax + 4A + 4B) − 4e2x (2Ax + A + 2B) − 6 e2x (Ax + B) = 3x e2x


    Igualando coeficientes de potencias semejantes:

    x : 8A − 8A − 6A = 3 ⟹ A = − 12
    x 0 : 8A + 8B − 4A − 8B − 6B = 0 ⟹ B = − 13

    Por lo tanto, yp = −e2x ( x2 + 13 )

    Y la solución general: y = c1 e3x + c2 e−x − e2x ( x2 + 13 )


    Ejemplo

    Resolver: y ′′ − 2y ′ + y = xex
    Ecuación Característica: r 2 − 2r + 1 = 0
    2
    ⟹ (r − 1) = 0 ⟹ r1 = r2 = 1
    yh = c1 ex + c2 xex
    Suponemos: yp = (Ax + B) ex , pero esta es solución de la homogénea, por lo tanto, aumentamos el
    grado de la suposición, es decir multiplicamos por x 2

    Es decir, suponemos yp = x 2 (Ax + B) ex = (Ax 3 + Bx 2 ) ex


    Derivando y simplificando:

    y ′ p = (Ax3 +Bx2 +3Ax2 +2Bx) ex


    ′′
    y p = (Ax 3 + Bx 2 + 6Ax 2 + 4Bx + 6Ax + 2B)

    Reemplazando en la ecuación:
    ′′ ′
    y − 2y + y = (Ax 3 + Bx 2 + 6Ax 2 + 4Bx + 6Ax + 2B) ex +
    −2 (Ax 3 + Bx 2 + 3Ax 2 + 2Bx) ex +
    + (Ax 3 + Bx 2 ) ex = xex

    Igualando coeficientes de potencias semejantes:

    x 3 : A − 2A + A = 0 ⟹ 0 = 0
    2
    x : 6A + B − 6A − 2B + B = 0 ⟹ 0 = 0
    x : 6A + 4B − 4B = 1 ⟹ A = 16
    x 0 : 2B = 0 ⟹ B = 0
    Por lo tanto, yp = ex ( 16 ) x 3
    1
    Y la solución general: y = c1 ex + c2 xex + ex ( 16 ) x 3
    Caso 3

    Si g(x)= e αx P n (x) sen(βx) o g(x)= e αx P n (x) cos(βx)


    Es decir, si g(x) es el producto de una función exponencial por un polinomio de grado \textit{n} en \textit{x} y
    una función seno o coseno.

    En este caso, al igual que el caso anterior, se supone una solución particular:
    yp = eαx (A n x n + … + A1 x + A0 )cos(βx) + eαx (B n x n + … + B 1 x + B 0 )sen(βx)
    Ejemplo

    Resolver:y ′′ − 2y ′ + y = ex sen(x)
    Ecuación característica: r 2 − 2r + 1 = 0
    ⟹ (r − 1) 2 = 0 ⟹ r 1 = r 2 = 1
    yh = c1 ex + c2 xex
    Suponemos: yp = (Acos(x) + Bsen(x)) ex ,

    Derivando y agrupando:

    y ′ p = ex [(A + B) cos (x) + (B − A) sen (x)]


    y ′′ p = ex [2Bcos (x) − 2Asen (x)]

    Reemplazando en la ecuación:
    ′′ ′
    y − 2y + y = ex [2Bcos (x) − 2Asen (x)] +
    −2ex [(A + B) cos (x) + (B − A) sen (x)] +
    + ex [Acos(x) + Bsen(x)] = ex sen(x)
    Agrupando en senos y cosenos e igualando coeficientes:
    cos(x) : 2B − 2 (A + B) + A = 0 ⟹ A = 0
    sen(x) : −2A − 2 (B − A) + B = 1 ⟹ B = −1
    Entonces yp = −ex sen(x)
    Y la solución general: y = c1 ex + c2 xex − ex sen(x)

    Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

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