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    Anual SM Semana 31 - Álgebra

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    Nando Alarcon
    Este documento trata sobre la función exponencial y logarítmica. Explica sus propiedades, gráficas y cómo resolver problemas utilizando estas funciones. También muestra ejemplos de aplicaciones como resolver inecuaciones exponenciales.

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    ÁLGEBRA

    PROGRAMA ACADÉMICO VIRTUAL

    Ciclo Anual Virtual Aduni


    Función exponencial

    Semana 31
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    𝐎𝐛𝐣𝐞𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬
    ✓ . Conocer la función exponencial, logarítmica, sus gráficas y propiedades.
    ✓ .Aplicar las propiedades y realizar las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica.

    ✓ . Resolver
    . problemas algoritmicos y/o contextualizados con el apoyo teórico eficaz las
    funciones exponencial y logarítmica.
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    Función exponencial
    Es importante el estudio de la
    función exponencial y logarítmica,
    pues su aplicación es frecuente en
    diversos campos del quehacer
    humano.
    La función exponencial es útil para el
    estudio del interés compuesto, el
    crecimiento poblacional de una
    especie determinada, la cantidad de
    personas contagiadas por un virus,
    etc.
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    Función exponencial
    Es aquella función cuya regla de correspondencia es

    𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
    𝑥
    1
    donde: Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+ 𝑓 𝑥 = ; 𝑥 ∈ ℝ . Su gráfica es:
    2

    𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: Tabulando
    𝑥 𝑌
    𝑓 𝑥 = 2 ; 𝑥 ∈ ℝ . Su gráfica es:
    𝑥 𝑦
    Tabulando 𝑌 −2 4 4
    𝑥 𝑦 −1 2
    −2 1/4 4 0 1 2
    −1 1/2 1 1/2 1
    0 1 2 2 1/4
    1 2 1 −2 −1 0 1 2 𝑋
    2 4
    −2 −1 0 1 2 𝑋
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    En general: 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
    Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene • 5𝑥 < 59 ⟷ 𝑥 < 9
    𝑥 11
    Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1 1 1
    • ≥ ⟷ 𝑥 ≤ 11
    2 2
    𝑌 𝑌 • 2𝑥 ≤ 64 ⟷ 2𝑥 ≤ 26 ⟷ 𝑥 ≤ 6
    𝑥 7
    • 𝑥>7 ⟷ 4 > 4
    3 𝑥 5
    • 3 < 𝑥 ≤ 5 ⟷ 0,2 > 0,2 ≥ 0,2
    1 1
    𝑥 5
    1 1
    • 𝑥≥5 ⟷ 0< ≤
    𝑋 𝑋 3 3

    Función creciente Función decreciente


    𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
    𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
    𝑏 <𝑏 ⟷𝑥<𝑦 𝑏 <𝑏 ⟷𝑥>𝑦 𝑦 = 𝑏𝑥 > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
    No cambia el sentido Sí cambia el sentido (Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1)
    de la desigualdad de la desigualdad
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    Aplicación 𝟏: Aplicación 𝟐:
    Halle el dominio de la función Halle el rango de la siguiente función
    𝑓 𝑥 =3 3𝑥−1 𝑥−1
    1
    𝑓 𝑥 = ; 𝑥 ∈ ሾ2; 10ۧ
    2
    Resolución
    Analizaremos el radical. Resolución
    Como:
    3𝑥 − 1 ≥ 0 2 ≤ 𝑥 < 10
    Como la base
    1≤𝑥−1<9 1
    3𝑥 ≥ 1 0<𝑏= <1
    1 1 𝑥−1 9 2
    𝑥≥ 1 1 1
    ≥ > Cambia el sentido
    3 2 2 2
    1
    𝐷𝑜𝑚𝑓 = ൤ ; +∞ۧ 2−1 ≥ 𝑓(𝑥) > 2−9
    3

    𝑅𝑎𝑛𝑓 = ‫ۦ‬2−9 ;2−1 ሿ


    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    Inecuación exponencial
    𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Aplicación 𝟏:
    1
    𝑥 Resolver
    ≤ 4𝑥 53𝑥 ≥ 52𝑥−1
    2 4 𝑥 ≥ 2 𝑥−3

    3𝑥 − 3 > 9𝑥 Resolución
    Buscaremos que las potencias tengan bases iguales
    𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
    Se reducirá la inecuación a una mas simple para buscar 4 𝑥 ≥ 2 𝑥−3
    aplicar los siguientes teoremas: Como la base 𝑏 = 2 > 1
    22 𝑥 ≥ 2 𝑥−3
    Aplicaremos el teorema 1
    𝒙 𝒚
    1) Si 𝒃 > 𝟏: 𝒃 < 𝒃 ⟷ 𝒙 < 𝒚 22𝑥 ≥ 2 𝑥−3
    2𝑥 ≥ 𝑥 − 3
    2) Si 𝟎 < 𝒃 < 𝟏: 𝒃𝒙 < 𝒃𝒚 ⟷ 𝒙 > 𝒚 𝑥 ≥ −3

    𝐶𝑆 = ሾ−3;+∞ۧ
    CURSO DE ÁLGEBRA C R E E M OS E N L A E X I GE N C I A

    Aplicación 𝟐: Aplicación 𝟑:
    Resolver Resolver
    3𝑥 𝑥−1
    1 1 4 𝑥 + 1 5 𝑥 − 25 ≥ 0
    <
    3 9
    Resolución
    Resolución 4 𝑥 + 1 5 𝑥 − 25 ≥ 0
    Buscaremos que las potencias tengan bases iguales
    +
    𝑥−1
    3𝑥 2
    1 1 5 𝑥 − 25 ≥ 0
    <
    3 3
    Como la base 5 𝑥 ≥ 52
    3𝑥 2𝑥−2 1 Como la base 𝑏 = 5 > 1
    1 1 0<𝑏= <1
    < 𝑥≥2
    3 3 3 Aplicaremos el teorema 1
    Aplicaremos el teorema 2
    𝐶𝑆 = ሾ2;+∞ۧ
    3𝑥 > 2𝑥 − 2
    𝑥 > −2
    𝐶𝑆 = −2; +∞
    www.aduni.edu.pe

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