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Matematicas I
Matematicas I
Matematicas I
ÍNDICE
Introducción 7
Mapa conceptual 8
Unidad 1
Lógica y conjuntos 9
Unidad 2
Sistemas numéricos 24
3
2.1 DEFINICIÓN 27
2.1.1 SISTEMA DECIMAL 27
2.1.2 SISTEMA BINARIO 29
2.1.3 SISTEMA HEXADECIMAL 29
2.2 CONVERSIONES ENTRE DISTINTOS SISTEMAS 30
2.3 APLICACIONES PRÁCTICAS 32
Autoevaluación 34
Unidad 3
Álgebra 35
Unidad 4
Trigonometría 55
Autoevaluación 73
Unidad 5
Geometría Analítica 75
Unidad 6
Calculo diferencial 94
Unidad 7
Calculo Integral 120
Unidad 8
Determinantes y matrices 136
Unidad 9
Cálculo de probabilidades 147
6
INTRODUCCIÓN
MAPA CONCEPTUAL
9
UNIDAD 1
LÓGICA Y CONJUNTOS
OBJETIVO
El estudiante identificará las bases de la teoría de conjuntos y la lógica para una mejor
comprensión en lo general de las matemáticas y en particular de los capítulos subsecuentes,
así como la simbiosis entre ambas teorías y el cómo han revolucionado los fundamentos del
pensamiento y del análisis.
TEMARIO
MAPA CONCEPTUAL
11
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se estudian los fundamentos de la lógica y los conjuntos como base
fundamental para clasificar y formalizar los métodos del razonamiento, motivo del curso en
las siguientes unidades, es decir, se da un enfoque de razonamiento a la naturaleza de las
matemáticas.
12
p p'
1 0
0 1
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p q pq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
14
p q pq
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
8) = el conjunto universal.
9) = el conjunto vacio.
10) La colección de los números naturales e impares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … }
={ ∈ }
1.4.1 Unión
Consideremos a los conjuntos A y B. La unión de los conjuntos A y B denotado A U B es el
conjunto de los elementos que contiene a todos los elementos de A y a todos los elementos
de B. La notación descriptiva del conjunto y su representación gráfica son:
A UB= { ∈ ∈ }
17
Universo
A B
1.4.2 Intersección
Consideremos a los conjuntos A y B. La intersección de los conjuntos A y B denotado A ∩ B
es el conjunto de los elementos comunes que contienen tanto A como B. La notación
descriptiva del conjunto y su representación gráfica son:
A ∩B= { ∈ ∈ }
Universo
A B
A -B= { ∈ ∉ }
Universo
A B
A B = (A – B) U (B – A)
Universo
A B
1.4.4 Complemento
El complemento de un conjunto A se denota por A’, es el conjunto que contiene el conjunto
universo y no contiene ningún elemento de A:
19
A’ = { ∈ ∉ }
Universo
A B
denotado como A x B es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas ( ) tales
que a ∈ A y b ∈ B:
A x B = *( ) ∈ ∈ +.
{( )( )( )( )( )
( )( )( )( )}
Conjuntos Proposiciones
AB pq
A=B p q
AB pq
AB pq
A' p'
AB p q'
AB pq
A(AB)=A p(qr)p
A(BC)=(AB)(AC) p ( q r) ( p q ) ( p r )
( A B )' = A' B' ( p q )' p' q'
… …
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Observar que los tres primeros ejercicios están relacionados, en particular debe hacer los
tres al mismo tiempo para cada proposición que se construya.
= ( )
23
AUTOEVALUACION
Calcular:
1
Jiménez Murillo, J. A. Matemáticas para la computación, p. 109.
24
UNIDAD 2
SISTEMAS NUMERICOS
OBJETIVO
TEMARIO
2.1 DEFINICIÓN
2.1.1 SISTEMA DECIMAL
2.1.2 SISTEMA BINARIO
2.1.3 SISTEMA HEXADECIMAL
2.2 CONVERSIONES ENTRE DISTINTOS SISTEMAS
2.3 APLICACIONES PRÁCTICAS
25
MAPA CONCEPTUAL
26
INTRODUCCIÓN
2.1 DEFINICIÓN
A medida que la actividad humana ha evolucionado, fue necesario usar cualquier referencia
que funcionara como unidad para que, a partir de ella, y haciendo posteriores agrupaciones,
se crearan los primeros sistemas numéricos. Así, un Sistema Numérico es un conjunto de
símbolos y reglas que permiten construir todos los símbolos válidos en el sistema.
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Identifiquemos que son 10 símbolos (en este caso son números que conocemos
perfectamente) que definen la base, esto es base 10. Con estas cifras se pueden expresa
cantidades hasta de 9 dígitos (un digito es un número o símbolo de nuestro sistema). Para
expresar cantidades más grandes a los números que se pueden generar con todas las
combinaciones de estos 9 dígitos, se introduce el concepto de representación posicional en
el sistema numérico. Lo anterior consiste en asignar un valor posicional específico de
acuerdo con el lugar que ocupa el dígito dentro del número.
Con las definiciones anteriores, tomemos el número que representa la distancia de la
tierra al sol: 149675000 kilómetros. Notemos que este número se puede representar con las
operaciones de suma y producto que nos son familiares, como sigue:
= ∑
(1.1)
donde di es uno de los símbolos definidos en el sistema de numeración, b es la base del
sistema de numeración, n es el número de dígitos de la parte entera del número y k es el
número de dígitos de su parte fraccionaria.”2
El número decimal 123.45 se compone en su parte entera (123) del digito 1 en con su
valor posicional 100, el digito 2 con su valor posicional 10 y el digito 3 con valor posicional 1.
El número en su parte fraccionaria (45) para el digito 4 tiene el valor posicional 0.1 y el
digito 5 tiene el valor posicional 0.01, lo que nos lleva a escribir el número como:
Continuando con los sistemas numéricos y dependiendo del valor de b se tienen diversos
sistemas posicionales, de los más conocidos además del base 10 (b = 10) tenemos: b = 2
Sistema Numérico Base 2, b = 16 Sistema Numérico Hexadecimal. Vemos con detalle estos
últimos.
2
Jiménez Murillo, J. A., Matemáticas para la computación”, p. 4.
29
{0, 1}
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
(101010)2 =
=
31
La lectura de los dígitos en base 2 se realiza en sentido de abajo hacia arriba (del
último al primero), obteniendo así el valor (101010)2. Por lo tanto: (42)10 = (101010)2 como ya
sabíamos. Desde luego, este procedimiento de conversión es aplicable para cualquier par de
bases.
Para el paso contrario, pasar (1715004)10 a base 16 hacemos divisiones sucesivas por
las base 16:
= (= )
= (= )
= (= )
= (= )
= (= )
= (= )
32
Recordemos que debemos leer de abajo hacia arriba el conjunto de valores obtenidos:
1A2B3C que es el valor buscado en el sistema hexadecimal.
Dando una formalidad a los ejercicios anteriores, tenemos que dados X y W sistemas
numéricos cualesquiera, para convertir un número del sistema X al sistema decimal se hace
uso de la relación 1.1 que es la notación exponencial del número.
Por otro lado, para pasar de un sistema decimal a un sistema W cualquiera se divide la
parte entera del número entre la base a la que se desea convertir y la parte fraccionara del
número a convertir se multiplica por el número base de la conversión. Observemos que para
pasar de un sistema X a otro W se debe pasar primero por el sistema decimal. La siguiente
figura 1.1 nos representa esta serie de pasos para una mejor comprensión.
Decimal
Sistema X
Sistema W
Representación Notación Decimal Para la parte Entera
Exponencial en Base se divide entre la
X Base W.
Para la parte
fraccionaria se
multiplica por la
Base W.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
1. En la afirmación de que las reglas aprendidas en particular para los sistemas decimal
y binario, también son aplicables al sistema octal; desarrollar en grupo el sistema de
33
AUTOEVALUACIÓN
1. Verificar usando el método propuesto que el valor decimal 1024 equivale a los
números señalados en las bases indicadas:
2. Convertir/Verificar:
UNIDAD 3
ÁLGEBRA
OBJETIVO
El estudiante identificará y representará las estructuras abstractas, permitiéndole
comprender las propiedades de los conjuntos de números y los distintos tipos de funciones.
Además comprenderá que como rama de la matemática el algebra le permitirá el estudio de
la cantidad en general, haciendo uso de un lenguaje de números y letras para representar
simbólicamente las cantidades manejadas, aplicando estos conocimientos a la solución de
problemas arquitectónicos y estructurales.
TEMARIO
3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
3.2 NÚMEROS REALES
3.3 EXPONENTES
3.4 RADICALES
3.5 LOGARITMOS
3.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
3.6.1 Definiciones Generales
3.6.2 Leyes del álgebra elemental
3.6.3 Factorización y productos notables
3.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
36
MAPA CONCEPTUAL
37
INTRODUCCIÓN
Continuando con nuestro trabajo, toca el turno al álgebra que por propia definición nos lleva
al estudio de la cantidad en general a través de las la teoría de conjuntos y los sistemas
numéricos. Tomaremos las operaciones básicas, potenciación, radicación y logaritmos. De
igual manera se abordará el tema de las leyes del algebra elemental, la descomposición
factorial, productos notables. Lo anterior permitirá el conocimiento necesario para los
capítulos sucesivos de la materia.
38
Cuando se presenta la necesita además de restar surgen los números enteros { ... -4, -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.Este conjunto de símbolos se obtiene a partir de los naturales
añadiendo los opuestos para la operación suma.
El siguiente paso en esta evolución es la necesidad de particionar o dividir, surgen
entonces los números racionales también llamados fraccionarios o quebrados. Los
racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la operación de
multiplicación. Ejemplos de este conjunto son: {... 1/2, 5/3, 8/10, 10/7, ….}.
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como
cociente de dos números enteros. Por ejemplo, pensemos en el número . A este tipo de
números les llamamos irracionales.
Por último, para nuestro objetivo, la unión de los racionales y los irracionales forma el
conjunto de los numeros reales.
Para tener un contexto completo del algebra y en particular de las expresiones
algebraicas, es necesario estudiemos ciertas operaciones asociadas en este caso al
conjunto de los números reales, estas son: exponentes, radicales y logaritmos.
3.3 EXPONENTES
Es necesario para nuestro estudio definir la operación de exponenciación. Consideremos n
un número del conjunto de los naturales que llamaremos la potencia y un número real que
llamaremos la base. La notación representa el producto del número real por si mismo n
veces y se llama la notación exponencial . La siguiente matriz representa la definición y
las propiedades o reglas inherentes a esta operación.
negativo.
El exponente es una 91/3 = √
fracción irreducible: n/m.
Multiplicación de · = =
potencias de igual base,
enteros positivos.
Potencia de una ( )3 =
potencia, enteros
positivos.
Potencia de un producto ( ) = ·
o propiedad distributiva
respecto al producto.
Propiedad distributiva, ( )5 =
respecto a la división.
División de potencias de = = = = =
igual base.
Teorema exponentes =
negativos. ( )-n = ( )n
Propiedades que no
cumple la potenciación.
En general no se cumple:
3.4 RADICALES
De manera análoga a la operación de potenciación debemos definir la operación de los
radicales (cuyo símbolo es √ ) o raíces de un número. Consideremos n un número del
conjunto de los naturales pero mayor que la unidad que llamaremos el orden o índice de la
raíz y un número real que llamaremos radicando. La notación √ representa la raíza
enésima de y es el valor obtenido bajo las siguientes definiciones:
i. Si = 0, entonces √ = 0.
41
3.5 LOGARITMOS
La función exponencial tiene su función inversa y recibe el nombre de Logaritmo. Por tanto
consideremos un número en notación exponencial:
bn = x
donde b es un numero positivo y distinto de la unidad, x un numero positivo y n puede ser
cualquier número real. Para este número exponencial definimos el logaritmo de x como el
exponente n a que hay que elevar la base b para obtener x, la notación se determina como
sigue:
logb x = n
Como proposición lógica tenemos:
en símbolos:
iii. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo
positivo distinto de 1, pero los sistemas de logaritmos más comunes son el de base 10 y
base natural es cuya base es el numero e = 2.718281824.
Con este previo, pasemos al contexto de las expresiones algébricas.
, , , , , , ,
Con estas definiciones y ejemplos, es necesario dar nombre a cada una de las partes
que componen una expresión algebraica genérica. Consideremos sin pérdida de generalidad
la expresión algebraica: -7ax2 en la cual el símbolo “-” es el signo de la expresión, el valor “7”
recibe el nombre de coeficiente, “a” constante, “x” variable y “2” es la potencia del coeficiente
en la variable x.
Radicación:
Relación:
Menor que: <, Mayor que: >, Igual a: =.
Agrupación:
El paréntesis: (), El corchete: [], La llave: {}.
46
Operador Descripción
Operación de suma (+) Notación:
Propiedad conmutativa:
Propiedad asociativa:
.
Posee un elemento neutro 0 que no altera la suma:
.
Regla de los signos:
+ y + da +
+ y· - da Signo del número mayor
- y + da Signo del número mayor
- y - da -
Operación de Multiplicación (*) Notación o
Propiedad conmutativa: =
Propiedad asociativa:
Posee un inverso multiplicativo. La operación
inversa llamada división, para números diferentes a
cero, o equivalentemente .
Posee un elemento neutro 1,es decir que no altera
la multiplicación:
Es distributiva respecto la adición:
.
Regla de los signos:
+ por + da +
47
+ por - da -
- por + da -
- por - da +
Orden de ejecución de las En primer lugar se calculan los valores de las
Operaciones expresiones encerradas en signos de agrupación
(paréntesis, corchetes, llaves), seguidas por
multiplicaciones y divisiones, y seguidas finalmente
por las sumas y las restas.
Igualdad (=) Es reflexiva:
Es simétrica: si entonces
Es transitiva: si y entonces
si y entonces y
si entonces
Si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede
ser sustituido por el otro.
Si entonces .
Si y no es cero, entonces .
Desigualdad (<,>) Transitividad: si y entonces
si y entonces
si y entonces
si y entonces
Dada una expresión algebraica se llaman factores o divisores a las expresiones que
multiplicadas entre si dan como resultado la primera expresión, por lo tanto descomponer en
factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en sus factores. Por ejemplo el
numero 20 se factoriza en sus factores primos: 20 =10 · 2=5 ·2 · 2.
Los productos notables son expresiones algebraicas cuyo resultado debe ser escrito por
simple inspección. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Hecho el preámbulo anterior, procedamos a ver mediante la siguiente tabla varios de los
casos que nos ocuparan.
Binomios conjugados
Diferencia de cuadrados
Polinomio al cuadrado
Binomio al cubo ;
Adición de cubos
Diferencia de cubos
Suma de potencias
enésimas
Diferencia de potencias
enésimas
Rectángulo b: base.
a: altura.
Paralelogramo b: base.
A: altura.
C: lado
Rombo a: lado.
D: diagonal mayor.
d: diagonal menor.
Triángulo b: base.
a: altura.
c, d: lados.
Círculo r: radio. c
Ortoedro : aristas.
Cubo : arista.
51
Pirámide : Área de la
base.
Suma áreas triángulos
: Área lateral.
: altura.
Pirámide : Área de la
Truncada base superior.
Suma áreas trapecios
: Área de la
base inferior.
: Área lateral.
: altura.
: Volumen de la
pirámide pequeña de
base b.
: Volumen de la
pirámide completa de
base B.
Cilindro : Área de la
base.
: Área lateral.
: altura.
: generatriz.
: radio.
Cono : Área de la
base.
: Área lateral.
: altura.
: generatriz.
: radio.
52
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
AUTOEVALUACIÓN
ii. √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ R.
iii. 5
√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ R. √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.
5
55
UNIDAD 4
TRIGONOMETRÍA
OBJETIVO
TEMARIO
MAPA CONCEPTUAL
57
INTRODUCCIÓN
En la sección 2.1.1. de la unidad 2 del presente libro hablamos del número 149675000 que
representa la distancia de la tierra al sol en kilómetros. La pregunta que viene al caso es el
¿cómo se determinó esta distancia? Definitivamente la forma de medición fue a través de
un método analítico y es aquí donde la Trigonometría rinde sus frutos, ya que por medio de
esta rama de las matemáticas es posible estimar distancias que no se pueden establecidas
directamente. Tal estimación se realiza mediante seis razones que se denominan razones
trigonométricas o más propiamente funciones trigonométricas que son la base de estudio de
la presente unidad.
58
Con lo anterior, un ángulo es la cantidad de rotación por medio de la cual la línea recta
cambia de una dirección a otra en un mismo plano. Si esta cantidad de rotación mantiene el
sentido de las manecillas del reloj se denomina ángulo negativo y si por el contrario es en el
sentido contrario a las manecillas del reloj se denomina positivo.
Antes de precisar la manera de medir los ángulos, es necesario recordar la constante
llamada pi que denotada por el símbolo es base fundamental en las métricas establecidas
para los ángulos. es la relación o cociente entre la longitud de una circunferencia y su
diámetro.
59
Con lo anterior, la métrica para determinar el valor numérico de los ángulos puede ser en
grados o en radianes.
Para la medida en Grados, consideremos segmentar el círculo unitario en 360 partes
iguales, a cada una le llamamos un grado sexagesimal; es decir, un grado es la trescientos
sesentava ( ) parte de un ángulo plano a partir de un punto (establecemos que una vuelta
completa o una revolución es aquella vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj
que mide 360 unidades).
Un radian es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en
longitud al radio del circulo que ha generado.
Si denotamos por a los radianes y por º a los grados tenemos las siguientes fórmulas
unitarias para radianes y grados en función de :
= =
De acuerdo con la definición anterior, para cada una de las funciones trigonométricas en
el circulo unitario de la figura anterior del triangulo ABC, es posible determinar los valores de
las funciones.
Ejemplo. Considere el triangulo rectángulo de cateto 5, cateto adyacente 4 y cateto
opuesto 3 (en base a la figura anterior c= 5, b= 4 y a = 3), calcular los valores de las seis
funciones trigonométricas definidas para el ángulo .
Solución. Sen = ; Cos = ; tan = ; Csc = ; Sec = ; Cot = .
No existe No existe
62
No existe No existe
Para 60º considerar un triangulo rectángulo similar al de la figura de la sección 4.2 con
√
valores b=1, c=2 entonces a=√ y = 60º. Por lo tanto: Sen = , Cos =1/2, Tan =√ ,
Para 30º considerar los valores a=1, b= √ , c=2 y = 30º. Nuevamente por propia
√
definición: Sen = , Cos = , Tan = , Csc =2, Sec = y Cot =√ .
√ √
Para 45º considerar un triangulo rectándolo con catetos unitarios por tanto la hipotenusa
será √ . Así, a=b=1, c= √ y =45º. Sen = , Cos = , Tan =1, Csc =√ , Sec =√ y
√ √
Cot =1.
Para 0º y 90º baste observar que alguno de los catetos vale cero y el otro al igual que la
hipotenusa vale 1. Así, para =0º: Sen = , Cos = , Tan =0, Csc =∞, Sec = y Cot
=∞. El símbolo ∞ es llamado infinito y no corresponde a un numero en sentido estricto, por
conveniencia diremos que corresponde a un cociente de la forma a/0 para cualquier número
real a.
Para 90º el ejercicio es similar y se deja como actividad de aprendizaje.
De cociente.
cot( ) =
Suma y diferencia de
ángulos.
Ángulo doble.
Ángulo Mitad.
Otras.
65
i. Sen = .
ii. Cos = .
iii. Tan = si ≠ 0.
iv. Csc = si ≠ 0.
v. Sec = si ≠ 0.
vi. Cot = si ≠ 0.
Para estas definiciones conviene observar que los signos de las funciones en relación
con el cuadrante cartesiano en que se encuentre el ángulo pueden ser positivos o negativos.
Para el análisis o construcción de una tabla que determine los signos de las funciones en
cada cuadrante se deben considerar los signos de las variables "x", "y", "r" según el
cuadrante, y aplicar la definición de la función trigonométrica considerando precisamente los
signos, vemos la siguiente tabla y el ejemplo que clarifican los conceptos. El valor de r por
definición siempre es positivo.
66
Cuadrante Valor x Valor y Valor r Sen Cos Tan Cot Sec Csc
I Positivo Positivo Positivo + + + + + +
II Negativo Positivo Positivo + - - - - +
III Negativo Negativo Positivo - - + + - -
IV Positivo Negativo Positivo - + - - + -
Ejemplo. Determine los signos de las seis funciones trigonométricas de los ángulos que
se forman con relación al eje x positivo y cada uno de los puntos: P(2,3), Q(-3,1) y R(-1.5,-
2.5):
Solución. La siguiente tabla resume los resultados. El cálculo de los valores se deja al
estudiante como un ejercicio de autoevaluación.
P(2,3), √ 2 3 + + + + + +
Q(-3,1), √ -3 1 + - - - - +
R(- ,- ), √ - - + + - -
teorema de Pitágoras, podremos resolver cualquier triángulo rectángulo. En relación con los
elementos conocidos se distinguen dos casos:
L
h
10º
150 m
Entonces, tan10º = h / 150; h = 150 · tan10º = 150 · (0.176) = 26.4 m.
Por otra lado L2= 1502 + h2 = 1502 + 26.42 = 22500 + 696.96 = 23196.96, L= 152.30 m.
3
En lo sucesivo se presupone que se sabe halar los valores de las funciones trigonométricas y ángulos usando
herramientas como una calculadora o tablas matemáticas. Es útil recordar la manera en que se obtienen los valores de los
ángulos especiales o sus valores.
68
h h
35º 47º
600 m x
Observamos que la tangente es la función que involucra la altura con un ángulo y un lado
conocido (a medias). La idea es aplicar esta para los dos triángulos rectángulos y como en
ambos la distancia x es la misma, esta se calculara por igualación. Con este breve:
tan 35º = h/600+x despejando h: h = (600+x)tan35º = 600tan35º + xtan35º
tan 47º = h/x despejando h: h = x tan47º
Igualando los segundos miembros de las h‟s:
x tan47º = 600tan35º + xtan35º despejando x:
x tan47º - xtan35º = 600tan35º ; x (tan47º - tan35º) = 600tan35º ;
x = 600tan35º / (tan47º - tan35º) por lo tanto x = 1129.032 m
Ahora, retomando la ecuación inicial: h = x tan47º obtenemos h = 1210.32 m.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
= =
45º
60º
90º 100g
120º
135º
150º
180º 200g
210º
225º
71
240º
270º 300g
300º
315º
330º
360º 400g
AUTOEVALUACION
1. Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos que se
forman con relación al eje x positivo y cada uno de los puntos: P(2,3), Q(-3,1) y
R(-1.5,-2.5):
P(2,3), √ 2 3 + + + + √ √
√ √ + +
Q(-3,1), √ -3 1 + - - - √ √
√ √ - +
R(- ,- ), √ - √ √
√ - + + - -
√
B 24º10’ 47º40’ A
8.4 millas
4
Earl W. Swokowski and Jeffery A. Cole, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, problema propuesto,
p. 680.
75
UNIDAD 5
GEOMETRÍA ANÁLITICA
OBJETIVO
TEMARIO
MAPA CONCEPTUAL
77
INTRODUCCIÓN
5.2 ANTECEDENTES
En base al inciso i de la sección anterior donde se prevé la representación geométrica de un
conjunto de puntos en el plano debemos ir invariablemente a la definición de lo que es el
plano, concretamente el plano cartesiano que nos permitirá la representación grafica de ese
conjunto de puntos.
Llamamos Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas al sistema referente
que se forma por la intersección de un par de rectas denominadas ejes (uno vertical
79
denotada por Y llamado eje de las ordenada y otro horizontal denotada por X llamada eje de
las abscisas), que se cruzan de forma perpendicular formando cuatro cuadrantes que se
enumeran en sentido retrogrado del I al IV romano. Al punto de intersección de las rectas le
llamamos origen de coordenadas denotada por “O”. La siguiente figura nos ilustra la
definición en el plano.
.
Como se observa en la figura sobre los ejes se marcan divisiones (para efectos de
visualización equidistantes), siendo el origen el punto cero que es la intersección de esos
ejes. Para indicar la dirección de tales ejes, cada eje es una recta numérica que incluye
todos los números reales en modo creciente de izquierda a derecha en el eje de las abscisas
y de abajo a arriba en el eje de las ordenadas a partir del O, es decir todos los números
positivos están a la derecha y arriba del origen, entanto que los negativos a la izquierda y
abajo del mismo origen.
Por último, para la localización de un punto en el plano se considera la distancia a los
ejes que son sus coordenadas, es decir; que las coordenadas de un punto P son P(x, y), en
este orden, las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y
separadas por una coma, tal es el caso del punto (0,0) u origen como bien se aprecia en la
figura.
Bajo este sistema de referencia, estamos en condiciones de graficar y determinar
métricas cualitativas a los objetos del plano, en particular determinemos la distancia d entre
dos puntos cualesquiera denotados por P1(x1, y1) y P2(x2, y2). En principio, la distancia entre
dos puntos del plano equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado
numéricamente. En la figura siguiente, es evidente que por el teorema de Pitágoras la
distancia d está dada por la diferencia de las abscisas y la correspondiente de las
ordenadas:
d2 = ( ) ( )
80
d = √(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
) ( )
Y
y2 P2(x2,y2)
y2-y1
My=(y2+y1)/2 M(Mx,My)
y
P1(x1,y1)
y1
x2-x1
O x1 x2
Mx=(x2+x1)/2 X
Procediendo con un análisis similar las coordenadas del punto medio M del segmento
(fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos) puede hallarse promediando
las coordenadas x y y de los dos puntos extremos, respectivamente. Algebraicamente
tenemos la fórmula del punto medio como se ilustra también en la figura anterior:
M (Mx, My) = ( )
Las fórmulas que generalizan este concepto para hallar los valores de las coordenadas
del punto P(x, y) que divide un segmento en una razón dada r = (P1M / MP2) son:
( )=( )
donde M ya es cualquier punto entre P1 y P2 sobre el segmento que estos determinan, vea la
figura anterior. Es conveniente aclarar que P1M y MP2 denotan los segmentos de recta entre
los puntos que se indica.
Ejemplo: dividir el segmento de recta formado por los puntos P(1,1) y T(5,5) en cuatro
parte equidistantes.
Solución. Sean P(1,1), Q, R, S y T(5,5) los puntos.
Para el punto Q primer cuarto las coordenadas son la proporción 1:3 por lo tanto r = 1/3:
81
Para el punto R segundo cuarto las coordenadas son la proporción 2:2 por lo tanto r =
2/2 = 1 (ecuación del punto medio):
( )=( )=( )=( )=( ).
Para el punto S tercer cuarto las coordenadas son la proporción 3:1 por lo tanto r=3/1= 3:
( )=( )=( )=( )=( ).
= = =
Cabe aquí citar el hecho de que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y dos
rectas que se cortan perpendicularmente tienen sus pendientes reciprocas y de signo
contrario.
Una recta se representa analíticamente o algebraicamente como una ecuación lineal con
dos variables y se determina si se conocen dos condiciones que la definen (dos puntos por
donde pasa, la pendiente y uno que pertenece a ella, por citar un par de ejemplos). Así,
existen varias maneras de representar la ecuación de una recta. Veamos los siguientes
casos.
Ecuación de la recta en forma punto pendiente. De la formula anterior tomemos solo a la
primera identidad = ; expresemos términos como se señala:
( )= ( )
Llegamos así a la ecuación de la recta conocido un punto P1(x1, y1) y la pendiente .
Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada al origen. Si en el caso anterior, el
punto que se conoce es de la forma (0, b) el problema se reduce aun más ya que P1(x1, y1) =
P1(0, b) y la ecuación quedaría:
( )= ( ); ( )= ( ); =
Esta última ecuación es la recta de pendiente y ordenada al origen .
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ahora tomemos el segundo y cuarto
termino de la identidad de la definición de la recta, obtenemos: = ; expresemos
= ( )
Esta es la llamada ecuación de la recta dados dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
Forma general de la ecuación de la recta. Es una expresión de la forma:
83
=
en la que e son las variables y son constantes arbitrarias dentro de los números
reales. La pendiente de esta recta es = y la ordenada al origen es = .
Ejemplo: tomar el segmento de recta determinado por los puntos P1(x1, y1) = P1(1, 1) y P2(x2,
y2) = P2(5, 5) hallar la ecuación su mediatriz. Recordar que la mediatriz de un segmento es
una recta perpendicular a otra y que pasa por el punto medio de ella.
Solución. La secuencia de pasos y su solución es:
i. En primera instancia se determina el punto medio del segmento P 1P2.
Punto medio es M(x, y) =M(3, 3) resultado del ejemplo de la sección anterior.
ii. Calcular la pendiente del segmento P1P2.
= = = = 1.
Como aplicación inmediata, para calcular la distancia d de un punto P1(x1, y1) a una
recta expresada esta última en su forma general = tenemos la formula:
d= / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Si la ecuación de la recta está representada en su forma reducida = , d es:
d= / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Ejemplo: hallar la distancia del punto P1(x1, y1) = P1(-2, -4) a la recta: =
Solución. Por aplicación directa de la formula:
d= / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ; d = ( ) ( )( ) / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
( )
d= ( ) / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ; d = / √̅̅̅̅̅ ; d =
84
5.4.1 Circunferencia
La circunferencia es el punto geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto
fijo llamado centro.
Se le denomina radio a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro. Y se
le nombra diámetro al segmento de recta formado por dos radios alineados, y es la distancia
mayor que puede darse entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
La ecuación de la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos
los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación:
.
De esta ecuación se deduce la ecuación general de la circunferencia:
donde se considera:
D = -2h; E = -2k; F = h2 + k2 – r2
85
Particularmente, si se conoces los puntos extremos de un diámetro P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
la ecuación de la circunferencia es:
El caso particular de centro el origen (h, k) = (0, 0), la ecuación en su forma reducida se
simplifica a la expresión:
D = -3 =-2h entonces h =
E = 5 = -2k entonces k = -
5.4.2 Parábola
Para el resto de las cónicas, vale la pena apoyarnos en las siguientes figuras, donde el corte
de la figura A genera una Parábola, el corte B una Elipse y el corte C una Hipérbola.
86
F
L L’
Para estas condiciones, pero con apertura hacia la abajo la ecuación es:
87
De manera genérica la ecuación de una parábola vertical hacia arriba (como la que se
aprecia en la siguiente figura) con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es:
De manera análoga para las parábolas con apertura hacia la derecha e izquierda las
ecuaciones respectivas son:
Hasta aquí hemos descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de
coordenadas, por lo cual las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede
tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales lo que nos
lleva a presentar la ecuación genérica de una parábola:
=
88
( ) = ( ) vs tenemos h = 2; k = -2; p= 1; 4p = 4.
Con estos valores: V(h, k) = V(2,-2), F(h, k+p) = F(2,-2+1) = F(2,-1, Lado Recto = 4p =
4. La ecuación de la directriz y=k-p = -2-1 = -3.
5.4.3 Elipse
La Elipse. (figura B). La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano llamados focos es siempre la
misma, constante positiva y equivalente al diámetro mayor o igual a la distancia entre los
vértices. Gráficamente:
89
Los elementos de una elipse son: eje mayor segmento ̅̅̅̅, un eje menor segmento ̅̅̅̅ .
Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos. El punto Q es un punto
cualquiera que pertenezca a la elipse.
Sea P1(x2, y1) el centro de la elipse, la ecuación de este conjunto de puntos esta dado
por la formula:
para a > 0 y b > 0, y además a es la mitad del eje mayor y b es la mitad del eje menor ( estas
mitades también se les llama semiejes y a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las
ordenadas). El origen O es la mitad del segmento ̅̅̅̅̅̅̅. La distancia entre los focos ̅̅̅̅̅̅̅ se
llama distancia focal y vale 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
La excentricidad denotada por e de una elipse es la razón entre su distancia focal
5.4.4 Hipérbola.
90
La Hipérbola. (Figura C) es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que el
valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es
siempre igual, constante positiva y equivale a la distancia entre los vértices. Además de los
focos, los elementos en la hipérbola son los siguientes: Centro, Vértices, Distancia entre los
vértices, Distancia entre los focos y Las asíntotas.
La ecuación de este conjunto de puntos y análogamente a la elipse las hipérbolas de
centro en el origen (y en general) pueden abrirse a la derecha e izquierda, hacia arriba y
abajo. Sus ecuaciones son:
Las hipérbolas tienen dos rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la
curva se aleja hacia el infinito llamadas asíntotas. Las hipérbolas cuyas asíntotas son
perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Como ejemplo las hipérbolas de este tipo
tenemos las ecuaciones y2 – x2 = 1 y x2 – y2 = 1 que se visualizan en la siguiente grafica.
Para la parábola en lo particular se tienen diversas aplicaciones. Por ejemplo las antenas
satelitales y radiotelescopios se sirven del principio de concentración de señales recibidas
desde un emisor en un receptor colocado en la posición del foco de la parábola.
De igual manera la concentración de la radiación solar en un punto (foco), mediante
un reflector parabólico tiene su aplicación para la capitación de energía solar. Por el
contrario, una fuente emisora colocada en el foco de una parábola enviará un haz de rayos
paralelos al eje.
En el diseño arquitectura el uso de las cónicas es común, ya que las construcciones
en general presentan este tipo de figuras.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
1. La intersección significa que dos líneas o cuerpos se cortan entre si. Particularmente
para las rectas significa que ambas tienen un punto en común. Para hallar la
intersección de un par de rectas expresadas de la forma general:
Ax1 + By1 + C1 = 0
Ax2 + By2 + C2 = 0
Se dice que se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas. Investigue por lo menos un método para esta solución: igualación,
sustitución, suma y resta, grafico.
2. Analice los casos particulares de rectas: y= mx, y=constante, x=constante, rectas
paralelas, rectas perpendiculares. Apóyese gráficamente y determine analíticamente.
3. Mediante procesos algebraicos pase de la expresión general de la recta Ax+By+C = 0
a la expresión reducida y = mx + b concluyendo que la pendiente de esta recta es
= y la ordenada al origen es = .
AUTOEVALUACIÓN
5
1. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los
puntos (-2 , 3) y (6 , -3).
R. (2/3 , 1), (10/3 , -1), (2 , 0).
2. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento P1P2 dado por los puntos P1(x1, y1) =
P1(-3, 2) y P2(x2, y2) = P2(1, 6) R. =
3. Determinar el punto de intersección de las rectas 4y – 2x = 8 ; 2y + 4x = 14. R. (2, 3).
4. La longitud de una circunferencia está dada por la formula donde r es el
radio. Calcular la longitud de la circunferencia cuya ecuación es:
25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 0. R. = 2√ .
5. Hallar las coordenadas del vértice, foco, ecuación de directriz y eje, magnitud del lado
recto para la parábola: = R. (y- )2 = 12(x+2). V(-2, ). F(1, ).
5
Lehmann, CH. Geometría Analítica, pp. 15, 64, 109, 160.
94
UNIDAD 6
CÁLCULO DIFERENCIAL
OBJETIVO
En esta unidad el estudiante tomará como punto de partida los problemas irresolubles de la
geometría analítica, permitiéndole el estudio del cálculo de una manera natural. Identificará
los límites como una herramienta para resolver problemas geométricos llegando así a la
determinación de la derivada, de rectas tangentes y normales, calculo de máximos y
mínimos. Concluyendo con la solución de problemas prácticos.
TEMARIO
MAPA CONCEPTUAL
96
INTRODUCCIÓN
{
Funciones
{
{
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una
gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante fórmulas o
expresiones analíticas y su gráfica.
Ejemplos:
i. La regla que asocia a cada número real su exponente cubico es una función cuyo
dominio es R (números reales).
ii. La función dada por los pares ordenados {(1,a), (2,d), (3,c)} y representada por la
regla:
Función uno a uno. Una función f es Uno a Uno si para cualesquiera dos elementos del
dominio x0 y x1 (x0 ≠ x1 ) se cumple f(x0) ≠ f(x1).
Función Monótona Creciente. Si f es una función real tal que para cualesquiera dos
elementos del dominio x0 y x1 con x0 < x1 se cumple f(x0) < f(x1).
Monótona Decreciente. Si f es una función real tal que para cualesquiera dos elementos
del dominio x0 y x1 con x0 < x1 se cumple f(x0) > f(x1).
Función Continua. Intuitivamente diremos que una función es continua dentro de ciertos
límites si para valores del dominio X digamos x0 corresponde siempre un valor f(x0), y
cualquier cambio en x0 digamos x0 + ∆x0, por pequeño que sea tendrá un correspondiente
cambio en f(x0 + ∆x0). “∆x0 denota el pequeño cambio”.
Función Discontinua. Esta fácil, porque es aquella que no es continúa.
Ejemplo. De la clase de Geometría Analítica tenemos las siguientes rectas: y = 0.5x+2
(color rojo), y=2x-6 (color verde) y y=-x+5 (color azul).
99
Para las rectas y=0.5x+2 (color rojo) y y=2x-6 (color verde) son Continuas y
Crecientes. Para la recta y=-x+5 (color azul) es Continua y Decreciente.
Reforzando visualmente el concepto de discontinuidad de una función, la siguiente figura
nos muestra la grafica de una función cualquiera primero continua y enseguida discontinua
en el punto x1.
En general si la gráfica de una función (es decir la función) f(x) tiene una asíntota en x 0
Observemos que cuando se hace muy grande, se hace muy pequeña, más y más
cercano a cero. Sin el concepto de límite es muy difícil hablar de este hecho, porque nunca
llega realmente a ser cero. El lenguaje de los límites nos permite hablar acerca del
comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, concibiendo el hecho de
que nunca llegará allí –ésta es la idea central de límite. Por lo tanto, pasemos al tema de los
límites de funciones, base del cálculo diferencial.
6.2 LÍMITES
Antes de definir formalmente el concepto de límite de una función, continuemos con el
ejemplo de la sección anterior con la función:
-1 -1
-10 -0.1
-100 -0.01
-1000 -0.001
-10000 -0.0001
… …
→ -∞ →0
1 1
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
… …
→0 +∞
-1 -1
-0.1 -10
-0.01 -100
-0.001 -1000
-0.0001 -10000
… …
→0 -∞
102
muy grandes) se dice que la función tiende a 0, de igual manera en el segundo caso ( para
números negativos de muy grandes) la función tiende a cero. Estos hechos se denotan:
positivos de muy cercanos a cero) se tiene que la sucesión o secuencia de valores de f(x)
llegara a ser un numero positivo tan grande como se quiera (símbolo +∞), ya con la notación
negativos de muy cercanos a cero) se tiene que la sucesión de valores de f(x) llegara a ser
un numero negativo tan grande como se quiera (símbolo -∞), resultando que ( )= - ∞.
( ) = 0, ( ) = 0, ( )= +∞, ( )= - ∞.
Otro ejemplo ilustrativo del hecho de los límites de funciones que nos permitirá la
comprensión del concepto es para la función:
Veamos un ejemplo más. Consideremos el siguiente juego de parábolas:
103
Este límite se entiende como el valor más próximo y debemos dejar en claro que si en
ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto prescrito no siempre pasa esto,
podemos afirmar que este es el mejor de los casos en el cálculo de límites. Tomemos el
siguiente replanteamiento:
( )
f(x) = x2 = x2 ( .
)
No importa qué valor tome o no tome f(x) en x=3, la idea central del límite es que se
puede determinar cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un
valor dado, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Por fin, demos la definición formal
de límite que no varía en la idea intuitiva que ya tenemos, solo precisa los conceptos.
iv. Caso particular, el límite del producto de una constante por una función es igual
producto de la constante por el límite de la función.
, siempre y cuando
vii. Sea n un número entero. El límite de la potencia de una función f es igual a la
potencia n-ésima del límite de la función.
viii. Sea n un número entero. El límite de un radical n-ésimo de una función f es igual
al radical n-ésimo del límite de la función.
Adicional, vale la pena tener en mente los siguientes resultados sobre límites:
105
Ejemplos.
Como caso particular, el límite P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 cuando x → c es:
( )= ( )
y su solución. Primero recordemos que expresiones de este tipo no son validas en los reales
pero para efectos del algebra de límites se conviene en ser aceptadas. Consideremos k
elemento de los reales.
Limite cuando x → .
±k=
k· =
k/ =0
/k= para k ≠ 0.
0/k= 0 para k ≠ 0.
k/0=
k
={
∞
={
Ejemplo. Calcular el limite x → del cociente de los polinomios: (x2 + x - 4) / (4x3 + 1).
Solución. En principio sería una forma indeterminada ⁄ , por lo tanto se sugiere dividir
por la potencia más grande que es x3, además recordar que para cualquier n positivo:
Así:
(x2 + x - 4) / (4x3 + 1) = (1/x + 1/x2 – 4/ x3) / (4 + 1/ x3) = 0 / 4 = 0.
3
x –1 x–1
3 2 2
-x +x x +x+1
-------------
2
x –1 3 2
2
-x –x x /x=x
2
--------- x /x=x
x–1 x /x =1
- x+1
---------
0
Con lo que (x3 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x2 + x +1) / (x - 1) = x2 + x +1= 3.
(x / x ) = simplificando (1 ) = 1
(x2 / x ) = simplificando ( x) = 0
Hecho lo anterior es necesario pasar a otro de los conceptos fundamentales del cálculo y
base para cualquier estudio posterior, la continuidad de una función.
6.3 DERIVADAS
6.3.1 Tangente a una curva
En la sección 6.1 de esta unidad al enfrentar nuestra primer definición de función continua
en un punto x0 hablamos del concepto de cambio o incremento denotado por ∆x0. En lo
sucesivo para la notación de incrementos en un punto x0 se usara indistintamente ∆x0 o h.
Veremos el asunto de la deriva de una función a la par de la interpretación geométrica
como curva tangente en un punto de la misma en base a lo aprendido de la geometría
analítica, esto con el apoyo del concepto de incrementos y sobre todo de los límites.
Dado el punto x le aplicamos el incremento h llegando al punto x+h. Respectivamente los
valores de la función y serán f(x) y f(x+h) y la longitud de este segmento es f(x+h)-f(x). Estos
segmentos son los catetos de un triangulo rectángulo del ángulo para la recta secante S1
de la curva y=f(x). De la geometría analítica (ver el detalle en la siguiente figura) la
pendiente de esta recta secante es la tangente del ángulo y además el incremento de y
entre el incremento de x (también denominado cociente diferencial) es:
( ) ( )
Aplicamos esta misma idea a la recta secante S2 y así sucesivamente hasta llegar a la
recta secante Sn que coincide con la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto x en la
medida en que h tiende a cero. De esta forma aplicando el concepto de límites formalizamos
la definición de Recta Tangente.
Se llama recta tangente a una curva en un punto x al límite de las posiciones de una
secante, cuando el segundo punto de intersección de la secante coincide con el primero.
109
Curva
y=f(x)
Y
f(x+h) (x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
Secante 2
f(x)
Secante n
Tangente
(x,f(x))
f(x)
h
O x x +h
X
Secante 1
del cociente de incrementos cuando este exista. En cuyo caso decimos que la función y=f(x)
es derivable en el punto x. Si por el contrario este límite no existe, entonces la derivada de
y=f(x) no existe en x. Definimos la función derivada de y=f(x) denotada por f ‟(x) como la
función dada por la regla:
( ) ( )
f ’(x) =
, ,
Se puede escribir la derivada de f en el punto x = a de la siguiente manera:
f’(x)=2x-2
derivada
y=2x-12
y=(-x/2)-7 tangente
normal
(2,-8)
( ) ( ) ( ) ( )
f ’(x) = = = ((x+h)2 – x2 – 2(x+h) + 2x – 8 + 8)/ h =
ii. Por otro lado, en el punto x=2; y= x2 – 2x – 8│x=2 = 4-4-8=-8; el punto de tangencia
es (2,-8). La pendiente en (2,-8) es m = f‟(x) │x=2 = 2x-2│x=2 = 2. Ahora
conociendo un punto (2,-8) y la pendiente m=2 podemos conocer la recta tangente
(de las clases de geometría analítica): y - y1 = m ( x – x1 ); y – (–8) = 2(x - 2); y=
2x-4-8; y=2x-12.
iii. Finalmente la ecuación de la recta normal en el punto (2,-8) está dada por la
expresión (igual de la clase de geometría analítica) y – y1 = - (x – x1); y – (-8) =
- (x – 2); y + 8= - x +1; y = - x - 7
La derivada que resulta del producto de una constante por una función, es igual al
producto de la constante por la derivada de la función:
;
Otra forma de expresar la regla de la cadena es y=h(x), f=g(y) entonces f=g(h(x)) = (g○h):
= .
Algunas reglas básicas para la derivación son las siguientes y para una relación
completa consulte la bibliografía de la unidad:
Función Derivada
113
:
f(x) = (1-senx)/(1+senx) = h/g
f‟(x) = ((1-senx)‟(1+senx) – (1- senx)(1+ senx)‟) / (1+senx)2 =
f‟(x) = ((-cosx)(1+senx) – (1+senx)(-cosx)‟) / (1+senx)2 =
f‟(x) = ((-cosx - cosxsenx) – cosx + senxcosx) / (1+senx)2 =
f‟(x) = -2cosx / (1+senx)2.
Ejemplo: Como ejercicio de aplicación de la regla de la cadena, calcular la derivada de la
función z=(2x+1)2 +3(2x+1) - 7.
= =[d(y2+3y-7)/dy•d(2x+1)/dx]=(2y+3)•(2)=4y+6=4(2x+1)+6=8x+4+6 =8x+10.
( ) ( )
En la sección 6.3.1. determinamos que m = tan = Del simple concepto de
negativa. En un mínimo la concavidad será hacia arriba por lo que la segunda derivada será
positiva. Siendo desde luego la primera derivada cero en el punto de análisis.
Por último, un punto de inflexión es aquel x0 del dominio de f en donde la curva que
cambia de sentido de su concavidad. Ahora, el cómo determinar los puntos de inflexión es
inherente a toda la teoría ya desarrollada.
Para determinar las características de la grafica de una función f, se siguiere seguir los
siguientes pasos.
i. Determinar el Dominio. Como ya sabemos el dominio de una función es el
conjunto de valores donde la función está definida. Sobre todo, si fuera el caso
se deben determinar los valores de x donde la función no está definida.
ii. Continuidad de la Función. Determinar cómo se comporta la función en el
intervalo de los puntos donde no está definida. Calcular los límites laterales en
los puntos de discontinuidad y en los extremos de los intervalos de
discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=x 0 da infinito se
dice que f tiene asíntota vertical de ecuación x=x0.
iii. Análisis de posibles asíntotas. Recordar el cálculo de los límites de la función
cuando x tiende a +∞ y -∞, como se ha realizado en los primeros ejercicios de
esta unidad.
iv. Cálculo de Máximos y Mínimos. Para calcular los máximos y mínimos
debemos que tener en cuenta los valores que anulan a la primera derivada.
Esto es, se halla la segunda derivada y se calculan sus raíces. Enseguida se halla
la tercera derivada y se sustituye en ella las raíces previas de la primera derivada.
116
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
1. Recordemos que el límite de una función f(x) cuando x tiende al valor x 0 ( x → x0) es
igual a una contante ℓ, si existe un valor ξ>0 tan pequeño como se quiera tal que el
valor absoluto de la diferencia entre la función f(x) y el limite ℓ es igual a ξ para todo
valor de x lo suficientemente próximo a x0 con excepción del propio valor x0.
¿Por qué es necesario excluir el valor x0 en la definición de limite?
2. Recordemos que para una función f(x) continua en un intervalo I = [a, b] que toma
todos los valores entre f(a) y f(b). Si f(a) y f(b) son de signo contrario entonces f(x)
tiene una solución o raíz en I.
Considere la función f(x) = x2 - x – 2 cuya grafica se muestra:
Tomar los intervalos [-2,0] y [0,3], verificar que se cumple la condición de cambio de
signo en los extremos y calcular las raíces.
3. Demostrar aplicando la definición de derivada la derivada de la función indicada:
118
AUTOEVALUACIÓN
3. Dada la función y=f(x) = 3x2 -5x + 6 hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la
recta normal en el valor de abscisa x=2. R. y = -7x + 6, x = -7y + 58.
4. Calcular la derivada del cociente f(x)= . R. f‟(x) = -19/(3x-2)2.
5. Usar la regla de la cadena para calcular para y=(u2 / u2 +1), u=2x+1. R. 6x(x2+1)2.
UNIDAD 7
CÁLCULO INTEGRAL
OBJETIVO
El alumno identificará los elementos y conceptos del cálculo integral desde un carácter
intuitivo, trabajando con una visión geométrica basándonos en el concepto del área y dando
continuidad a la unidad del cálculo diferencial y la serie de problemas irresolubles de la
geometría analítica. Distinguirá y relacionará la integral definida e indefinida de una función.
Sabrá integrar numéricamente conociendo las técnicas elementales del cálculo de
primitivas.
Comprenderá los elementos del cálculo integral aplicándolos a problemas propios de
la ingeniería y la arquitectura resolviéndolos de manera analítica.
TEMARIO
7.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
7.1.1 Área bajo una curva
7.2 INTEGRAL DEFINIDA
MAPA CONCEPTUAL
122
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se estudian los elementos y conceptos del cálculo integral como base
fundamental para la resolución de problemas de ingeniería y arquitectura tales como el
cálculo de áreas y volúmenes, cálculo de centros de gravedad de sólidos y cálculo de
momentos de inercia entre otros muchos a partir de las teorías desarrolladas en los capítulos
anteriores.
El cálculo diferencial e integral constituye el segundo gran desarrollo en la historia de
las matemáticas después de la geometría euclidiana y integran la matemática moderna, por
ende no cabe duda de su usabilidad en la vida cotidiana de nuestro siglo aunado al gran
avance tecnológico que hoy nos rodea.
123
Como se aprecia, una aproximación al área bajo la curva lo constituye la suma de las
áreas de los rectángulos en color amarillo y una mejor aproximación es la suma de las áreas
de los rectángulos en color verde. Por qué no proseguir con estas subdivisiones cada vez
más pequeñas con las cuales se espera una mejor aproximación al área buscada. Demos
cierto matiz de formalismo a la idea.
124
Ecuación. 7.1
Donde el término Sn es igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura ya que el
área de cada rectángulo está dada por el producto de la base (xi ) por la altura que es el
valor de la función y=f(x) evaluada en el punto ξi es decir (ξi) que está contenido en el
intervalo xi ≤ξi ≤xi+1. Ya hemos inducido que entre más fina sea la subdivisión del
segmento [a, b], más próxima se hallará la suma Sn al área S bajo la curva, consideremos
entonces una sucesión de tales valores por división del intervalo [a,b] en partes cada vez
más pequeñas donde la suma Sn tenderá a S. En otras palabras, suponemos no sólo que n
(subdivisión de intervalos) crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi
en la n-ésima subdivisión tiende a cero (lo más pequeña posible). Así:
Con esta última fórmula, tenemos que el cálculo del área buscada se reduce a
calcular el límite S. Con estos fundamentos estamos listos para pasar a la definición formal
de la integral definida.
= Ecuación. 7.2
125
Por lo tanto, el valor del área bajo la curva es de 9 u 2. Este método para calcular
áreas a través de los límites resulta oneroso, por lo que es necesario recordar que el cálculo
diferencial es la operación inversa del cálculo integral, lo que nos permite a través de las
primitivas o diferenciales hallar la integral de una función de una manera más económica y
no necesariamente con la definición de la integral.
Antes de concluir esta sección es conveniente acotar una serie de propiedades de la
integral definida. Sean Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b],
entonces se cumplen las siguientes proposiciones siendo c una constante y a < c < b en
caso de ser requerida:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
126
En los apartados anteriores partimos del hecho de un concepto gráfico y no formal de lo que
debiéramos entender como el área bajo una curva, de este punto pasamos a una definición
formal del área bajo la curva obteniendo así una definición matemática de la integral
definida.
La palabra ”integral” también hace referencia a la noción de primitiva que es una
función F, cuya derivada es la función dada f y en este caso se denomina la integral
indefinida. Formalmente decimos que una primitiva arbitraria F(x) de una función dada f (x)
es la integral indefinida de f (x) y se escribe de la forma:
f (x) dx
Por otro lado, si F(x) es una primitiva de f (x), la integral indefinida de f(x) está dada
por la formula:
para F(x) una primitiva de f (x). Esta fórmula también se acostumbra denotar con la fórmula
de Newton y Leibnitz, como sigue:
Ecuación 7.3
Después de las definiciones y desarrollos anteriores, es necesario pasar a analizar y realizar
las técnicas de integración, pero antes resolvamos el mismo ejemplo de la sección 7.2
anterior, ahora con las técnicas que ya conocemos.
Ejemplo. Calcular el área de la región limitada por la curva y = x2 y las rectas x = 0 y x
= 3 mediante la técnica de la primitiva de la función.
Solución. La primitiva de la función y = f (x) = x2 es F(x) =( x3 / 3 ) ya que la derivada de F(x)
es x2, así aplicando la fórmula de integración de Newton y Leibnitz:
127
adx a dx ax C.
Constante
Potencias x n1
n
x dx C, si n 1.
n 1
e
Exponenciales x
dx e x C.
Logarítmicas 1
x dx L | x | C
Constante elevada a función ax
a dx C
x
La
senxdx cos x C.
Seno
sec
Secante cuadrada 2
xdx tgx C.
cos ec
Cosecante cuadrada 2
xdx cot gx C.
Arco tangente 1
1 x 2
dx arctgx C
Arco seno 1
1 x2
dx arcsenx C
∫ ( ) = ∫ (12x3 + 3x2 + 6x + 3)dx = ∫ (12x3 )dx + ∫ (3x2 )dx + ∫ (6x )dx + ∫ (3)dx
= (12x4)/4+ (3x3)/3+ (6x2)/2+ 3x = F (b) – F (a) = F (1) – F (0) = 10.
Evaluando en [a, b] = [0, 1] aplicando la ecuación 7.3 tenemos el valor 10.
Ejemplo. En la sección 7.1 se realizó el planteamiento de calcular el área bajo la curva de la
función y = √ limitada por las rectas =0y = 1, calcular el área por integración.
∫√ dx = ∫ ½ dx = ( 3/2
/ 3⁄2) + C = 2⁄3x3/2= 2⁄3 √x3 + C
Ahora, el problema se circunscribe al intervalo dado por las rectas =0y = 1 por lo
que debemos calcular esta integral ahora definida desde 0 a 1:
manera que: f (x) dx = g (u) du. Se calcula esta ultima integral y se restablece el valor de
h(x) = u en este ultimo valor para obtener el resultado de la integral original de f (x) dx.
Como se espera, este modo permite transformar muchas integrales en otras
prácticamente inmediatas. Una idea que suele funcionar bien para encontrar un posible
cambio es buscar dentro de la integral una función que su derivada (salvo constantes que
aparezcan multiplicando) esté multiplicando el diferencial dx, si a esa función la llamamos u
normalmente la integral queda más sencilla.
x (x+2)1/2 dx = (u-2) (u)1/2 du = (u3/2 - 2u1/2 )du = (u5/2 / 5/2) - (2 u3/2 / 3/2) + C =
ambos miembros de esta última ecuación: u·dv d(u·v) v·du con lo que nos quedará
escojamos como v hay que saber integrarla, en otras palabras; la integral v·du debe ser
mucho más sencilla de calcular que la integral original original u·dv. Bajo la premisa
i. Una vez iniciado el método, si la nueva integral v·du es más complicada que la
ii. Integrar potencias impares de las funciones seno y coseno usando la identidad
cos2x+sen2x=1,
iii. Integrar potencias pares del seno y coseno usando las identidades sen 2x= (1-cos2x),
cos2x= (1+cos2x),
7.5 APLICACIONES
∫ ( ) = ∫ (√ – 2
)dx = ∫ ( √ )dx – ∫ ( 2
)dx = ⅔ − ⅓ = ⅓ u3.
132
geométrico del área. Denotadas por ( 1, 2), las coordenadas de este punto
( 1, 2)=(b/2,h/2).
La integral Ix =
y2 dA representa el momento de inercia respecto al eje x.
Ix =
y2 dA = ∫ (y2 bdy) = b∫ ( y2 dy) = b(y3)/3 = F(b) - F(a) = bh3/3.
Ejemplo. Recordando como iniciamos nuestra exposición del cálculo integral en esta
unidad con la aproximación de área bajo la curva de la función y = √ en el intervalo unitario
del cuadrante positivo, ahora procedamos a calcular el volumen que se genera al hacer rotar
esta la función y sobre el eje x. Las siguientes figuras ilustran el hecho.
Radio r
r = √𝑥
Área = 𝜋r2
A(x)= 𝜋r2
Radio r
r = √𝑥
Área = 𝜋r2
A(x)= 𝜋r2
Volumen = A(x)dx
0≤x≤1
Como se observa en las figuras, la distancia del centro del eje (eje X) a cada punto de
la superficie del solido es la función y = √ o sea que r = √ . Los limites de integración son el
134
intervalo unitario 0 ≤ x ≤ 1. Entonces el volumen esta dado por la función de área A(x)
multiplicada por el diferencial. Integrando:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
AUTOEVALUACIÓN
1. ∫2 (2x + 3) 2 dx R. x3 + 12 x2 + 18 x + C.
4. ∫ex cos x dx R. ex (sen x + cos x ) + C. Sugerencia tomar u = ex, además las aplicar el
método de integración por partes dos veces con la misma función u y se llega como
resultado a una integral igual a la que origino el problema, se despeja la integral para
obtener una primitiva.
= sec2x.
136
UNIDAD 8
DETERMINANTES Y MATRICES
OBJETIVO
El estudiante identificará y aplicará los conceptos básicos de Matrices y Determinantes, sus
propiedades y problemas que requieren de estas técnicas para su solución.
TEMARIO
8.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
8.2 MATRICES
8.2.1 Tipos de Matrices
8.2.2 Operaciones con Matrices
8.3 DETERMINANTES
8.3.1 Propiedades de los Determinantes
8.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
137
MAPA CONCEPTUAL
138
INTRODUCCIÓN
En esta unidad vamos a hacer una presentación básica de los conceptos fundamentales
para el conocimiento y uso de las Matrices y los Determinantes de cara a fundamentar el
empleo de las mismas. Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que
facilitan el uso y tratamiento de datos.
139
det(A) = |A| =
Una matriz cuadrada permite utilizar todas las entradas para obtener una suma de
productos que la representa, a este número se le llama el Determinante. Veremos la manera
de calcular este número a la vez de cómo operar con estas dos nuevas entidades.
140
8.2 MATRICES
Como vimos en la secciona anterior, las matrices se denotan por las primeras letras
mayúsculas del alfabeto: A, B, C.
Recordemos la notación de una matriz:
( )
( )
Matriz Cuadrada. Como ya se ha dicho, tiene = , ejemplo:
( )
Matriz Triangular Superior. Si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos. Ejemplo:
( )
Matriz Triangular Inferior. Si todos los elementos por arriba de la diagonal principal son
nulos. Ejemplo:
( )
Matriz Diagonal. Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene
elementos en la diagonal principal, es llamada Matriz Diagonal. Ejemplo:
( )
Matriz Identidad. Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se
denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In donde n es el orden o
tamaño de la matriz. Ejemplo:
I4=( )
A=( ) entonces At = ( )
Matriz Simétrica, Es una matriz cuadrada para la que se cumple que At = A. Los
elementos son simétricos respecto a la diagonal principal, es decir; es su eje de simetría.
Ejemplo:
( )
A=( )
ya que: At = −A.
142
At = ( ) ; –A =( )
i. Conmutatividad: A + B = B + A.
ii. Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C.
iii. Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
iv. Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los
elementos de A.
Multiplicación de una Matriz por un escalar. Multiplicar el escalar por todas y cada una de
las entradas. Sea A = ( ij) y un numero real. Entonces ·A =( ij ). Esta operación
obedece a las siguientes propiedades:
Ejemplo. A = ( ) k· = , entonces
( ) )
·A= ( )=( ) =( )
143
Multiplicación de una Matriz por otra Matriz. Para efectuar esta operación algebraica se
pide que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la
segunda. Sean A = ( ij) matriz de orden × ,B=( ij ) matriz de orden × yC=( ij ) esta
será el producto y es de orden × , entonces el producto C = A · B en la entrada ij se
obtiene multiplicando uno a uno los elementos de la fila i de A por los elementos de la
columna j de B y al final sumando los resultados. En fórmulas, la entrada ij de la matriz
producto C de orden × , queda definida por la expresión:
Cmxp = Amxn · Bnxp ; ij = ∑k=1,n ( ij · ij ).
Ahora, realicemos los cálculos para obtener las entradas de la matriz producto C.
( ).( )=( )=
C=( )
A · A-1 = In y A · A-1 = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. Si una matriz tiene inversa,
dicha matriz posee la propiedad de la unicidad.
8.3 DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada A de tamaño n, esta permite utilizar todos sus elementos o
entradas para obtener una suma de productos, como ya hemos descrito en la sección 8.1.
Para una matriz A = ( ) el determinante de A que es orden 1 se define como:
iii. Si A contiene dos o más renglones o dos o más columnas iguales, entonces det (A) = 0.
iv. Si A es matriz no singular, entonces det (A) ≠ 0.
v. En el producto de determinantes, det (AB) = det (A) · det (B).
vi. En el producto del determinante por un escalar, det (kA) = kn det (A).
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
AUTOEVALUACIÓN
lado el producto kn det (A) donde n es el orden de la matriz. ¿Se cumple: det (kA) = kn
det (A) ?. R. -1736.
B·A? R.No.
UNIDAD 9
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
OBJETIVO
El estudiante analizará los conceptos y técnicas de la teoría básica de la probabilidad,
enfocándolos al manejo de la información aplicable al campo de la arquitectura.
TEMARIO
9.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
9.2 TÉCNICAS DE CONTEO
9.2.1 Factorial
9.2.2 Permutaciones
9.2.3 Combinaciones
9.3 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO
9.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
148
MAPA CONCEPTUAL
149
INTRODUCCIÓN
9.2.1 Factorial
Consideremos n un número del conjunto de los naturales. El símbolo n! se lee “n factorial” y
corresponde al producto consecutivo de los n primeros números naturales:
n! = 1· 2 ·3 · 4 · ··· · (n-2) · (n-1) · n,
Además se define 0! = 1. Por ejemplo, 3! = 1· 2 ·3 = 6, 5! = 1· 2 ·3 · 4 · 5 = 120. Es
conveniente acercar ahora la notación de producto de n números en forma resumida y
redefinir el n! con la siguiente nomenclatura:
151
9.2.2 Permutaciones
Consideremos el conjunto formado por los elementos * +. La pregunta que nos hacemos
ahora es: ¿de cuantas maneras distintas puede ser ordenado este conjunto? Hagámoslo:
“ , vemos que son 6 las ordenaciones posibles
de estos elementos, sin repetirlas. Bien, a cada una de estas ordenaciones le llamamos una
Permutación.
En general, sean n y r números naturales tales que r ≤ n, una ordenación de un numero r
de dichos objetos se llama una Permutación r o más explícitamente, una Permutación de los
n objetos tomados de r a la vez y se denota por P(n, r) y se calcula por la formula:
P(n, r) = ( )
P(n, r) = P(6, 3) = ( )
=( )
= = = 120.
9.2.3 Combinaciones
De manera directa y en el contexto que estamos trabajando, una Combinación r es una
selección de n objetos en donde el orden no se considera. Así, a partir de la fórmula de las
permutaciones, una combinación denotada por c(n, r) o ( ) se calcula por:
( )
c(n, r) = ( ) =
i. Contienen eventos o sucesos, que son los posibles resultados del experimento.
ii. Son repetibles bajo idénticas condiciones.
iii. El resultado de un experimento es impredecible.
iv. Si el experimento se realiza un gran número de veces, el resultado muestra una
cierta regularidad en su comportamiento.
erróneo ocurra como el cociente q de los sucesos erróneos f entre el total de eventos n: q =
= . Notemos que:
p+q= + =1
Entonces:
p = 1- q o q = 1 – p
Por lo que las posibilidades a favor de la ocurrencia de un evento son y las
Ejemplo. Calcular la probabilidad de que al lanzar al aire una moneda caiga águila y que
caiga sol.
Solución. Tenemos dos sucesos elementales que son el que caiga águila y el que caiga
sol, ambos son igualmente probables. Entonces la probabilidad de que caiga águila o sol es:
p (águila) = = .
p (sol) = = .
153
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
AUTOEVALUACION
2. Se tienen 20 comensales pero sólo 17 lugares libres. ¿De cuantas formas puede
realizarse la asignación de lugares? R. .
BIBLIOGRAFÍA
Carmona y Pardo, Mario de Jesús, Matemáticas para Arquitectura, México, Trillas, 2008.
Swokowski, Earl Wiliam, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, México, Cengage
Learning, 2009.
Aguilar Márquez, Arturo, Calculo Diferencial e Integral, México, Pearson, 2010.
Nieves Hurtado, Antonio, Probabilidad y Estadística para Ingeniería, México, McGraw Hill, 2010.
Kleiman, Ariel, Matrices, México, Editorial Limusa, 2010.
Jiménez Murillo, José Alfredo, Matemáticas para la Computación, México, Alfaomega, 2009.
Lehmann, Charles H, Geometría Analítica, México, Limusa Noriega Editores,
Santalo Sors, Marcelo, Carbonell Chaure, Vicente, Cálculo Diferencial e Integral, México, Grupo
Editorial Éxodo, 2007.
Polya, George, Cómo Plantear y Resolver Problemas, México, Editorial Trillas, 2008.
Kasner, Edward, Matemáticas e Imaginación, México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes,
2007.
Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev, La matemática: su contenido, métodos y significado. Vol. 1, 2
y 3., España, Alianza Editorial, 2003.
Nota: La mayoría de los gráficos utilizados tuvieron como base o fuente el sitio web Wikipedia, de
uso libre.
158
GLOSARIO
Una vuelta completa: Es aquella vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj que
mide 360 unidades.
Concavidad: Cualidad de cóncavo
Cóncavo: Que se asemeja al interior de una circunferencia o una esfera.
Convexo: Que se asemeja al exterior de una circunferencia o de una esfera.
Convexidad: Cualidad de convexo
Cónicas: Ver secciones cónicas.
Denotar: Indicar, anunciar, significar.
Digito. Es un número o símbolo de nuestro sistema de numeracion.
Dupla: Par ordenado de valores.
Equidistantes. Que estan a la misma distancia.
Indeterminancion: Que no es concreto ni definido
Nomenclatura: Lista de nombres de personas o cosas.
Notacion: Sistema de signos convencionales que se adopta para expresar conceptos
matemáticos.
Radio Vector: Segmento de línea recta que une un punto variable con el origen en un
sistema de coordenadas.
Regla de la Cadena: es una fórmula para la composición de dos funciones.
Secciones Conicas: Las cónicas se refieren a la intersección de un plano determinado
sobre un volumen denominado cono, de aquí el nombre genérico de cónicas.
Segmento: Fragmento de recta que está perfectamente comprendido entre dos puntos.
TIC: Tecnología de información y comunicaciones.