TALLER 3er Corte

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
TALLER DE CALCULO
JUAN DAVID BARRIOS DE LA VICTORIA

LUIS ALEJANDRO REDONDO MENDOZA
ZHARICK PAOLA LEON LOBO
MARCOS PEÑARANDA
3er CORTANTE
VALLEDUPAR
CESAR
2021-1
Cálculo Diferencial e Integral
Taller Tercer Corte
Resolver los siguientes problemas
Ejercicio 1.
(Costo marginal) La función de costo marginal de una empresa es 𝐶 ′ (𝑥) = 30 + 0.05𝑥
a) Determine la función de costo 𝐶(𝑥), si los costos fijos de la empresa son de $2000 por
mes.
b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?
c) Si los artículos se pueden vender a $55 cada uno, ¿Cuántos deben producirse para
maximizar la utilidad?
Sol:
a)
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
= ∫(30 + 0.05𝑥)𝑑𝑥
= ∫ 30𝑑𝑥 + ∫ 0.05𝑥𝑑𝑥
= 30 ∫ 𝑑𝑥 + 0.05 ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
= 30𝑥 + 0.05 ∗ 𝑥 2 + 𝑘 → 𝑘 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2000)
2
𝑪(𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎𝟎
b) 𝑥 = 150
𝐶(150) = 0.025(150)2 + 30(150) + 2000
𝐶(150) = 562.5 + 4500 + 2000
𝑪(𝟏𝟓𝟎) = $𝟕𝟎𝟔𝟐. 𝟓 Costará $7062.5 producir 150 unidades en un mes
c) 𝐶 ′ (𝑥) = 30 + 0.05𝑥 ∴ 𝐶 ′ (𝑥) = 55

30 + 0.05𝑥 = 55
0.05𝑥 = 25
𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 Deben producirse 500 para maximizar la utilidad
Ejercicio 2.
(Costo marginal) El costo marginal de cierta empresa está dado por 𝐶 ′ (𝑥) = 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 2.
Si el costo de producir 200 unidades es de $22700, encuentre:
a) La función de costo
b) Los costos fijos de la empresa
c) El costo de producir 500 unidades
d) Si los artículos pueden venderse a $90 cada uno, determine el nivel de producción que
maximiza la utilidad.
Sol:
a)
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
= ∫ 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 2 𝑑𝑥
= ∫ 24𝑑𝑥 − ∫ 0.03𝑥𝑑𝑥 + ∫ 0.006𝑥 2 𝑑𝑥
= 24 ∫ 𝑑𝑥 − 0.03 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 0.006 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥

1 1
= 24𝑥 − 0.003 ∗ 𝑥 2 + 0.006 ∗ 𝑥 3
2 3
𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥 2 + 0.002𝑥 3 + 𝑘
b) 𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥 2 + 0.002𝑥 3 + 𝑘 ; 𝐶(𝑥) = 22700, 𝑥 = 200

22700 = 24(200) − 0.015(200)2 + 0.002(200)3 + 𝑘
22700 = 4800 − 600 + 16000 + 𝑘
22700 − 20200 = 𝑘
𝒌 = 𝟐𝟓𝟎𝟎
c) 𝐶(500) = 24(500) − 0.015(500)2 + 0.002(500)3 + 2500

𝐶(500) = 12000 − 3750 + 250000
𝑪(𝟓𝟎𝟎) = $𝟐𝟔𝟎𝟕𝟓𝟎
d) 𝐶 ′ (𝑥) = 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 2 ∴ 𝐶 ′ (𝑥) = 90

24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 2 = 90
0.006𝑥 2 − 0.03𝑥 = 66
(0.006𝑥 2 − 0.03𝑥 − 66 = 0) ∗ 1000
6𝑥 2 − 30𝑥 − 66000 = 0
−(−30) ± √(−30)2 − 4 ∗ 6 ∗ (−66000)
𝑥1,2 =
2∗6
30 ± 30√1761 5 ± 5√1761 5(1 ± √1761)
𝑥1,2 = = =
2∗6 2 2
5(1 + √1761) 5(1 − √1761)
𝑥1 = ; 𝑥2 =
2 2
𝑥1 = 107.41067 ; 𝑥2 = −102.41067
𝒙𝟏 ≈ 𝟏𝟎𝟕 Deben producirse 107 unidades para obtener una utilidad máxima.
Ejercicio 3.
(Costo marginal) El costo marginal de los productos ABC es 𝐶 ′ (𝑥) = 3 + 0.001𝑥 y el costo de
fabricar 100 unidades es $1005. ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades? Los artículos se venden
a $5 cada uno. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta se incrementa de 1000
a 2000.
Sol:
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
𝐶(𝑥) = ∫ 3 + 0.001𝑥𝑑𝑥
𝐶(𝑥) = ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 0.001𝑥𝑑𝑥
𝐶(𝑥) = 3 ∫ 𝑑𝑥 + 0.001 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝟏
𝑪(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒌 → 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝟐
𝐶(100) = 1005
(100)2
1005 = 3(100) + 0.001 ∗ +𝑘
2
1005 = 300 + 5 + 𝑘
𝑘 = 1005 − 300 − 5
𝒌 = 𝟕𝟎𝟎
1
𝐶(𝑥) = 3𝑥 + 0.001 ∗ 𝑥 2 + 700
2
(200)2
𝐶(200) = 3(200) + 0.001 ∗ + 700
2
𝐶(200) = 600 + 20 + 700
𝑪(𝟐𝟎𝟎) = $𝟏𝟑𝟐𝟎
Ingresos al vender 1000 a 5 𝐼(𝑥) = 1000 ∗ 5 Ingresos al vender 2000 a 5 𝐼(𝑥) = 2000 ∗ 5
𝐼(1000) = $5000 𝐼(2000) = 10000
(1000)2 (2000)2
𝐶(1000) = 3(1000) + 0.001 ∗ 2
+ 700 𝐶(2000) = 3(2000) + 0.001 ∗ 2
+ 700
𝐶(1000) = 3000 + 500 + 700 𝐶(2000) = 6000 + 2000 + 700
𝐶(1000) = 4200 𝐶(2000) = 8700
𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥) 𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶(𝑥)
𝑈(1000) = 5000 − 4200 𝑈(2000) = 10000 − 8700
𝑈(1000) = 800 𝑈(2000) = 1300
𝑼(𝟏𝟎𝟎𝟎) − 𝑼(𝟐𝟎𝟎𝟎) = 𝟓𝟎𝟎
Si el volumen de venta aumenta de 1000 a 2000 unidades, la utilidad tendrá un incremento de
$500
Ejercicio 4.
(Costo marginal) El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por
𝑥
𝐶 ′ (𝑥) = 1000 √𝑥 2 + 2500 en donde 𝑥 es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos
fijos son de $100, determine la función de costos.
Sol:
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
𝑥
𝐶(𝑥) = ∫ √𝑥 2 + 2500𝑑𝑥
1000
𝑣 = 𝑥 2 + 2500
𝑑𝑣 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥 =
2𝑥
𝑥 𝑑𝑣
𝐶(𝑥) = ∫ √𝑣 ∗
1000 2𝑥
1 1 1
𝐶(𝑥) = ∫ √𝑣 𝑑𝑣 = ∫ 𝑣 2 𝑑𝑣
2000 2000
3
1 𝑣2
𝐶(𝑥) = ∗ +𝑘
2000 3
2
3
𝑣2
𝐶(𝑥) = +𝑘
3000
3
(𝑥 2 + 2500)2
𝐶(𝑥) = +𝑘 → 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (100)
3000
𝟑
(𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝟎𝟎)𝟐
𝑪(𝒙) = + 𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎𝟎
Ejercicio 5.
(Costo marginal) Un industrial textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela
2
particular dado por 𝐶 ′ (𝑥) = 20𝑥𝑒 0.01𝑥 , donde 𝑥 es el número de rollos producidos de la tela. Si los
costos fijos ascienden a $1500, determine la función de costo.
Sol:
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
2
𝐶(𝑥) = ∫ 20𝑥𝑒 0.01𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 0.01𝑥 2
𝑑𝑣 = 0.02𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥 =
0.02𝑥
𝑑𝑣
𝐶(𝑥) = 20 ∫ 𝑥𝑒 𝑣
0.02𝑥
𝐶(𝑥) = 1000 ∫ 𝑒 𝑣 𝑑𝑣
𝐶(𝑥) = 1000𝑒 𝑣 + 𝑘
2
𝐶(𝑥) = 1000𝑒 0.01𝑥 + 𝑘 → 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (1500)
𝟎.𝟎𝟏𝒙𝟐
𝑪(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆 + 𝟏𝟓𝟎𝟎
Ejercicio 6.
(Tasa de desempleo) Durante una crisis económica reciente, el porcentaje de desempleados creció a
razón de
0.4𝑒 −0.1𝑡
𝑃′ (𝑡) =
(1 + 𝑒 −0.1𝑡 )2
donde 𝑡 es el tiempo en meses. Dado que 𝑡 = 0 había 4% de desempleados. ¿Qué porcentaje estaba
desempleado:
a) 10 meses después?
b) 20 meses después?
Sol:
𝑃(𝑡) = ∫ 𝑃′ (𝑡)
0.4𝑒 −0.1𝑡
𝑃(𝑡) = ∫ 𝑑𝑡
(1 + 𝑒 −0.1𝑡 )2
𝑒 −0.1𝑡
𝑃(𝑡) = 0.4 ∫ 𝑑𝑡
(1 + 𝑒 −0.1𝑡 )2
𝑣 = 1 + 𝑒 −0.1𝑡
𝑒 −0.1𝑡
𝑑𝑣 = 𝑑𝑡
−0.1
−0.1𝑑𝑣
= 𝑑𝑡
𝑒 −0.1𝑡
−0.1𝑑𝑣
𝑃(𝑡) = 0.4 ∫ = −4 ∫ 𝑣 −2 𝑑𝑣
𝑣2
𝑣 −1 4 4
𝑃(𝑡) = −4 +𝑘 = +𝑘 = +𝑘
−1 𝑣 (1 + 𝑒 −0.1𝑡 )
a) 𝑡 = 10
4 4
= = 2.92
(1 + 𝑒 −0.1(10) ) (1 + 1)
𝑒
4
2
+ 2.92 = 𝟒. 𝟗𝟐% estaba desempleado 10 meses después
b) 𝑡 = 20
4 4
= = 3.52
(1 + 𝑒 −0.1(20) ) (1 + 1 )
𝑒2
4
2
+ 3.52 = 𝟓. 𝟓𝟐% estaba desempleado 20 meses después
Ejercicio 7.
(Incremento en las utilidades) El costo marginal de cierta empresa está dado por 𝐶 ′ (𝑥) = 15.7 −
0.002𝑥, mientras que su ingreso marginal es 𝑅 ′ (𝑥) = 22 − 0.004𝑥. Determine el incremento en las
utilidades de la empresa si las venas se incrementan de 500 a 600.
Sol:
𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶 ′ (𝑥)
𝐶(𝑥) = ∫ 15.7 − 0.002𝑥𝑑𝑥 = 15.7 ∫ 𝑑𝑥 − 0.002 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝟏
𝑪(𝒙) = 𝟏𝟓. 𝟕𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟐 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒌 → 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝟐
𝑅(𝑥) = ∫ 𝑅 ′ (𝑥)
𝑅(𝑥) = ∫ 22 − 0.004𝑥𝑑𝑥
𝑅(𝑥) = 22 ∫ 𝑑𝑥 − 0.004 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝟏
𝑹(𝒙) = 𝟐𝟐𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒 ∗ 𝒙𝟐 + 𝒌
𝟐
Buscamos la variación para 𝑥1 = 500 𝑦 𝑥2 = 600
∆𝐶(𝑥) = 𝐶2 − 𝐶1
= 𝐶(600) − 𝐶(500)
1 1
= [15.7 ∗ 600 − 0.002 ∗ 6002 + 𝑘] − [15.7 ∗ 500 − 0.002 ∗ 5002 + 𝑘]
2 2
= 9060 + 𝑘 − 7600 − 𝑘
∆𝑪(𝒙) = $𝟏𝟒𝟔𝟎
∆𝑅(𝑥) = 𝑅2 − 𝑅1
= 𝑅(600) − 𝑅(500)
1 1
= [22 ∗ 600 − 0.004 ∗ 6002 + 𝑘] − [22 ∗ 500 − 0.004 ∗ 5002 + 𝑘]
2 2
= 11280 + 𝑘 − 9500 − 𝑘
∆𝑹(𝒙) = $𝟏𝟕𝟖𝟎
∆𝑈(𝑥) = ∆𝑅(𝑥) − ∆𝐶(𝑥)
= 1780 − 1460
∆𝑼(𝒙) = $𝟑𝟐𝟎
Ejercicio 8.
(Decisión de inversión) Una compañía está considerando la compra de una nueva maquinaría de un
costo de $5000. Se estima que la maquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + 𝑡)
dólares anuales en un tiempo 𝑡 después de la adquisición. ¿Se pagará la maquina a sí misma durante
los próximos 5 años?
Sol:
5
𝑃 = ∫ 160(5 + 𝑡)𝑑𝑡
0
5 5 5
𝑃 = 160 ∫ (5 + 𝑡)𝑑𝑡 = 160 (5 ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡𝑑𝑡)
0 0 0
5 𝑡2 5 1
𝑃 = 160 (5𝑡 | + | ) = 160 (5(5 − 0) + (52 − 02 ))
0 2 0 2
160 ∗ 25
𝑃 = 160 ∗ 25 +
2
𝑷 = 𝟔𝟎𝟎𝟎
Sí se pagará por sí sola y dejará una ganancia de $1000 dólares.

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JUAN DAVID BARRIOS DE LA VICTORIA

c) 𝐶 ′ (𝑥) = 30 + 0.05𝑥 ∴ 𝐶 ′ (𝑥) = 55

= ∫ 24𝑑𝑥 − ∫ 0.03𝑥𝑑𝑥 + ∫ 0.006𝑥 2 𝑑𝑥

= 24 ∫ 𝑑𝑥 − 0.03 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 0.006 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥

b) 𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥 2 + 0.002𝑥 3 + 𝑘 ; 𝐶(𝑥) = 22700, 𝑥 = 200

c) 𝐶(500) = 24(500) − 0.015(500)2 + 0.002(500)3 + 2500

d) 𝐶 ′ (𝑥) = 24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥 2 ∴ 𝐶 ′ (𝑥) = 90

𝐶(𝑥) = ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 0.001𝑥𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = 3 ∫ 𝑑𝑥 + 0.001 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝐶(𝑥) = ∫ 15.7 − 0.002𝑥𝑑𝑥 = 15.7 ∫ 𝑑𝑥 − 0.002 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑅(𝑥) = 22 ∫ 𝑑𝑥 − 0.004 ∫ 𝑥𝑑𝑥

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