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    CO3121 Clase 17

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    El documento resume la desigualdad de Chebyshev y la ley de los grandes números. La desigualdad de Chebyshev establece que la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media en más de k veces su desviación estándar es menor o igual a 1/k^2. La ley de los grandes números afirma que la media muestral converge en probabilidad a la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

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    El documento resume la desigualdad de Chebyshev y la ley de los grandes números. La desigualdad de Chebyshev establece que la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media en más de k veces su desviación estándar es menor o igual a 1/k^2. La ley de los grandes números afirma que la media muestral converge en probabilidad a la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

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    Desigualdad de Chebyshev

    Ley de los grandes números

    Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes


    Números.

    Pedro Ovalles
    povallesgarcia@usb.ve
    Departamento de Cómputo Cientifico y Estadistica
    Universidad Simón Bolivar

    6 de abril de 2021

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Desigualdad de Chebyshev

    Teorema
    Si Y es una variable aleatoria con media finita µ y varianza σ 2 , entonces,
    para cualquier k > 0,
    1
    P (|Y − µ| < kσ) ≥ 1 −
    k2
    o
    1
    P (|Y − µ| > kσ) ≤ .
    k2

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Demostremos el caso de una variable continua. Si f (y ) es la función de


    densidad de Y , entonces

    Z +∞
    V (Y ) = σ 2 = (y − µ)2 f (y )dy
    −∞
    Z µ−kσ Z µ+kσ Z +∞
    = (y − µ)2 f (y )dy + (y − µ)2 f (y )dy + (y − µ)2 f (y )dy
    −∞ µ−kσ µ+kσ

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Como la segunda integral es siempre no negativa entonces:

    Z µ−kσ Z +∞
    2 2
    σ ≥ (y − µ) f (y )dy + (y − µ)2 f (y )dy
    −∞ µ+kσ

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Ahora, si y < µ − kσ, es claro que (y − µ)2 ≥ k 2 σ 2 . De igual forma si


    y > µ + kσ también se cumple que (y − µ)2 ≥ k 2 σ 2 .

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Por lo tanto:

    Z µ−kσ Z +∞
    σ2 ≥ (y − µ)2 f (y )dy + (y − µ)2 f (y )dy
    −∞ µ+kσ
    Z µ−kσ Z +∞
    ≥ k 2 σ 2 f (y )dy + k 2 σ 2 f (y )dy
    −∞ µ+kσ

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Asi:
    "Z #
    µ−kσ Z +∞
    2 2 2
    σ ≥k σ f (y )dy + f (y )dy
    −∞ µ+kσ

    ⇒ σ 2 ≥ k 2 σ 2 [P(Y ≤ µ − kσ) + P(Y ≥ µ + kσ)]


    ⇒ σ 2 ≥ k 2 σ 2 P(|Y − µ| ≥ kσ).

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Demostración

    Dividiendo por k 2 σ 2

    1
    P(|Y − µ| ≥ kσ) ≤ .
    k2

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Ejemplo

    Una máquina para llenar cajas de cereal despacha, en promedio, µ onzas


    por caja. El fabricante desea que la cantidad real de onzas, Y , que
    despacha esté dentro de 1 onza de µ por lo menos 75 % de las veces.
    ¿Cuál es el máximo valor de σ, la desviación estándar de Y , que se puede
    tolerar para cumplir las especificaciones del fabricante?

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Solución

    Deseamos que P(|Y − µ| < 1) ≥ 0,75. Utilizando el teorema de


    Chebyshev tenemos que

    1 1
    1− = 0,75 ⇒ 2 = 0,25 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = 2.
    k2 k

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Solución

    Por otro lado queremos que kσ < 1 ⇒ 2σ < 1 ⇒ σ < 21 . Por lo tanto la
    desviación estándar debe ser máximo 0,5.

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    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Convergencia en probabilidad

    Definición
    Suponga que Z1 , Z2 , ... es una sucesión de variables aleatorias. Se dice
    que la sucesión converge en probabilidad a b si para cualquier ε > 0 dado,

    lı́m P(|Zn − b| < ε) = 1.


    n→∞

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    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Media muestral

    Definición
    Dada una muestra aleatoria X1 , X2 , ..., Xn , la media muestral se define
    como
    n
    1X
    X̄ = Xi
    n
    i=1

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.


    Desigualdad de Chebyshev
    Ley de los grandes números

    Ley de grandes números

    Teorema
    Suponga que X1 , X2 , ..., Xn constituye una muestra aleatoria con media
    µ y media muestral X̄ . Entonces,

    lı́m P(|X̄ − µ| < ε) = 1


    n→∞

    para ε > 0. Es decir que la media muestral converge en probabilidad a la


    media.

    Pedro Ovalles Desigualdad de Chebyshev. Ley de Grandes Números.

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