TRANSFORMACION DE COORDENADAS

1. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN
La transformación de coordenadas es un proceso matemático por el cual describimos los puntos
en un plano de manera diferente. Esto se logra a través de dos procesos: la traslación y la
rotación de los ejes coordenados.

Sea un punto 𝑃(𝑥, 𝑦). Consideremos que los ejes originales 𝑋𝑌 han sido rotados mediante el
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ) y trasladados al nuevo origen 𝑃⃗0 denominado vector
vector unitario de rotación 𝑢
traslación, obteniéndose los nuevos ejes coordenados 𝑋′𝑌′. Entonces el mismo punto 𝑃 tendrá
ahora las nuevas coordenadas 𝑃(𝑥′, 𝑦′).

⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 ) = (𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃) es originado por la rotación del eje X en un

El vector unitario 𝑢
ángulo 𝜃.
El nuevo origen 𝑃⃗0 = (𝑥0 , 𝑦0 ) representa al vector traslación, mientras que el vector 𝑢
⃗ representa
la rotación de los ejes coordenados.
Se tiene entonces la fórmula de transformación

𝑃 = (𝑥, 𝑦) = 𝑃⃗0 + 𝑥′𝑢 ⃗ ⊥,

⃗ + 𝑦′𝑢 |𝑢
⃗|=1

También se tienen las fórmulas de transformación inversa

𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗
𝑦 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗⊥

Ejemplo 1.
Halle las nuevas coordenadas del punto (−1,3) cuando los ejes coordenados son llevados al nuevo
origen (4,5) y rotados 30°.

Solución.

√3 1 1 √3
Se tiene que 𝑃0 = (4,5), 𝑢 ⃗ ⊥ = (− 2 ,
⃗ = (𝑐𝑜𝑠30°, sen30°) = ( 2 , 2), 𝑢 )
2

Aplicamos las fórmulas de transformación inversa

𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗
𝑦 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗⊥

Entonces se tiene

√3 1 −5√3 − 2
𝑥 ′ = [(−1,3) − (4,5)] ∙ ( , )=
2 2 2

1 √3 5 − 2√3
𝑦 ′ = [(−1,3) − (4,5)] ∙ (− , )=
2 2 2

–5√3−2 5−2√3
Las nuevas coordenadas del punto son ( , )
2 2
Ejemplo 2.
Dada la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 en el sistema 𝑋𝑌, halle su ecuación transformada si los ejes son rotados
45°.

Solución. Se tiene que

 𝜃 = 45°
 Ecuación en el sistema 𝑋𝑌: 𝑦 = 𝑥 + 3
1 1
 𝑢
⃗ = (𝑐𝑜𝑠45°, 𝑠𝑒𝑛45°) = ( , )
√2 √2

Aplicando la fórmula de transformación:

1 1 1 1
(𝑥, 𝑦) = 𝑃0 + 𝑥 ′ ( , ) + 𝑦′ (− , )
√2 √2 √2 √2

𝑥 ′ − 𝑦′
𝑥=
√2

𝑥 ′ + 𝑦′
𝑦=
√2

Reemplazando en la ecuación dada 𝑦 = 𝑥 + 3

𝑥 ′ + 𝑦′ 𝑥 ′ − 𝑦′
= +3
√2 √2

3√2
𝑦′ =
2

3√2
La ecuación de la recta en los ejes 𝑋′𝑌′ es 𝑦 ′ = .
2

Ejemplo 3.
Al efectuar una rotación de 45° sobre los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en

2
4𝑥′2 − 9𝑦 ′ = 18.

Halle la ecuación en XY

Solución. Se tiene que

 𝜃 = 45°
2
 Ecuación en el sistema 𝑋′𝑌′ 4𝑥′2 − 9𝑦 ′ = 18
 𝑃0 = (0,0) solo rotación, no hay traslación.
1 1
 𝑢
⃗ = (𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃) = ( ; )
√2 √2
1 1
⃗ ⊥ = (−𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑐𝑜𝑠𝜃) = (−
 𝑢 ; )
√2 √2

Aplicando fórmulas de trasformación inversa:

𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗
𝑦 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗⊥

1 1
𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − (0,0)] ∙ ( , )
√2 √2

𝑥 𝑦 𝑥+𝑦
𝑥′ = + =
√2 √2 √2

1 1
𝑦 ′ = [(𝑥, 𝑦) − (0,0)] ∙ (− ,)
√2 √2
𝑥 𝑦 𝑦−𝑥
𝑦′ = − + =
√2 √2 √2

Reemplazando en la ecuación dada se tiene

𝑥+𝑦 2 𝑦−𝑥 2
4( ) − 9( ) = 18
√2 √2

5𝑥 2 − 26𝑥𝑦 + 5𝑦 2 + 36 = 0

La ecuación en el eje 𝑋𝑌 es 5𝑥 2 − 26𝑥𝑦 + 5𝑦 + 36 = 0

Ejemplo 4.
Se transforman las coordenadas mediante una rotación de 60° y una traslación al nuevo origen
(2√3, −√3). Halle en el sistema original, la ecuación y la pendiente de la recta 𝑥 ′ = 3.

Solución. Se tiene que

 𝜃 = 60°
 𝑃0 : (2√3, −√3)
1 √3
 𝑢
⃗ = (𝑐𝑜𝑠60°, 𝑠𝑒𝑛60°) = (2 , )
2

 Ecuación en el sistema 𝑋′𝑌′: 𝑥 ′ = 3.

Aplicando fórmulas de trasformación inversa:

𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗
𝑦 ′ = [(𝑥, 𝑦) − 𝑃0 ] ∙ 𝑢
⃗⊥

1 √3
𝑥 ′ = [(𝑥, 𝑦) − (2√3, −√3)] ∙ ( , )
2 2

1 √3
𝑥 ′ = (𝑥 − 2√3, 𝑦 + √3) ∙ ( , )
2 2

𝑥 + √3𝑦 + √3
𝑥′ =
2

Como 𝑥 ′ = 3 entonces

𝑥 + √3𝑦 + √3
3=
2

𝑥 + √3𝑦 + √3 − 6 = 0

Aplicando la fórmula de la pendiente

𝐴 1
𝑚=− =−
𝐵 √3
 1
La ecuación y la pendiente de la recta 𝑥′ = 3 son 𝑥 + √3𝑦 + √3 − 6 = 0 y −
√3

respectivamente.

Ejemplo 5.
Halle la ecuación en la que 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑐 = 0 se transforma cuando el origen es trasladado al punto
(−ℎ, ℎ).

Solución.

Solo hay traslación, no hay rotación, es decir 𝑢

⃗ = (1,0).

𝑃 = (𝑥, 𝑦) = 𝑃⃗0 + 𝑥′𝑢 ⃗⊥

⃗ + 𝑦′𝑢

(𝑥, 𝑦) = (−ℎ, ℎ) + 𝑥′(1,0) + 𝑦′(0,1)

Entonces

𝑥 = −ℎ + 𝑥′

𝑦 = ℎ + 𝑦′

Reemplazando en la ecuación dada

𝑎(−ℎ + 𝑥 ′ ) + 𝑎(ℎ + 𝑦 ′ ) + 𝑐 = 0

𝑎𝑥 ′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑐 = 0

Después de la traslación, la ecuación es

𝑎𝑥 ′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑐 = 0
Ejemplo 6.

Halle las nuevas coordenadas de punto (−1; 3) cuando los ejes coordenados son llevados al
nuevo origen (4; 5) y rotados en 30°.

Solución

Primero hallamos el vector unitario:

⃗ = (cos 30° , sin 30°)

𝑢

√3 1
𝑢
⃗ =( , )
2 2

Calculamos las nuevas coordenadas

√3 1
𝑥 ′ = [(−1,3) − (4,5)] ( , )
2 2

1 √3
𝑦 ′ = [(−1,3) − (4,5)] (− , )
2 2

−5√3 − 2 5 − 2√3
(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) = ( , )
2 2

Ejemplo 7

Por traslación de los ejes al nuevo origen (3,2) y por rotación de 37°, las nuevas coordenadas de
un punto P son (7,6). Halle sus coordenadas originales.

Solución.

Hallamos el vector unitario:

⃗ = (cos 37° , sin 37°)

𝑢

4 3
𝑢
⃗ =( , )
5 5
Calculamos las coordenadas originales

4 3 3 4
(𝑥, 𝑦) = (3,2) + 7 ( ; ) + 6 (− , )
5 5 5 5

(𝑥, 𝑦) = (5,11)

2. PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado de la ecuación

𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0

2) Una curva está representada por la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 7 = 0 . determinar su

ecuación cuando se traslada al nuevo origen (2, 3) .

3) Determinar en qué ecuación se transforma (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 si el origen se

traslada al punto (ℎ, 𝑘).
4) Halle la ecuación en la que 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se transforma, si el origen se traslada al punto
𝑏
(− , 0).
𝑚

5) Halle la ecuación en la que 𝑥 2 − 2𝑥 + 4𝑦 2 − 16𝑦 + 13 = 0 es transformada, si los ejes

son trasladados al nuevo origen (1, 2).

6) Aplicando las fórmulas de traslación de ejes, reducir la ecuación 𝑦 2 – 6𝑦 – 4𝑥 + 5 = 0

a su forma más simple y establecer la naturaleza de la figura que representa.
7) Dada la parábola 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 haga una traslación conveniente para escribirla
de la forma reducida 𝑦′2 = 𝑘𝑥′. Hallar el valor de 𝑘.

8) Demuestre que la ecuación de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 se convierte en 𝑥′2 + 𝑦′2 =

𝑟 2 para cualquier rotación de los ejes coordenados.
9) Halle las nuevas coordenadas del punto (√2, −1) cuando los ejes coordenados son
trasladados al nuevo origen (4,5) y rotados en 45°.

10) Por rotación de los ejes coordenados transforme la ecuación 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 en una recta
horizontal. Indique la rotación.

11) Dada la ecuación 7𝑥 2 + 48𝑥𝑦 − 7𝑦 2 + 20𝑥 − 110𝑦 − 100 = 0, encuentre la ecuación

en el sistema 𝑋′𝑌′ si los ejes son trasladados al nuevo origen (2, −1) y luego rotados 37°
12) Hallar las nuevas coordenadas del punto 𝑃(3, −4), cuando los ejes coordenados giran un
ángulo de 30° entorno a su origen.
13) Por medio de una rotación de ejes, simplificar la ecuación
9𝑥 2 + 24𝑥𝑦 + 16𝑦 2 + 90𝑥 − 130𝑦 = 0

y hallar la naturaleza de la figura que representa.

14) Simplificar las ecuaciones siguientes por medio de una transformación adecuada de ejes
a) 9𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 6𝑦 2 + 12𝑥 + 36𝑦 + 44 = 0
b) 𝑥 2 − 10𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

15) Halle la ecuación transformada de la siguiente ecuación, si los ejes XY son rotados un ángulo de
45°.
𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 0

16) Dada la ecuación 7𝑥 2 + 48𝑥𝑦 + 7𝑦 2 + 20𝑥 − 110𝑦 − 100 = 0, encuentre la ecuación

en el sistema 𝑋′𝑌′ si los ejes son trasladados al nuevo origen (2, −1), y luego rotados 37°

17) Por una rotación de 60º de los ejes coordenados, una ecuación de segundo grado se
2
transforma en 𝑥′2 − 3𝑦 ′ = 3. Hallar la ecuación original.
18) Por traslación de los ejes coordenados al nuevo origen (3, 3) y después rotación en un
ángulo de 30°, las coordenadas de un cierto punto 𝑃 se transforman en (7, 6) . Hallar las
coordenadas de 𝑃 con respecto a los ejes originales.
19) Por rotación de los ejes coordenados, transforme la ecuación 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 en una
recta vertical. Indique la rotación.
20) Por una rotación de 45° los ejes coordenados, una cierta ecuación se transforma en
2
4𝑥′2 − 9𝑦 ′ = 36. Hallar la ecuación original

4
21) Por medio de un rotación de ejes de valor 𝜃 = arctan 3, simplificar la ecuación:
9𝑥 2 + 24𝑥𝑦 + 16𝑦 2 + 80𝑥 − 60𝑦 = 0
22) Por rotación de 30° de los ejes coordenados cierta ecuación se transformó en 2𝑥′2 +
3𝑦′2 = 6. Halle la ecuación original en el sistema 𝑋𝑌.
23) Encuentre las nuevas coordenadas del punto (4, −2). Si es que los ejes coordenados han
sido rotados en 30° y luego trasladados al nuevo origen (1,2).
24) Halle la ecuación trasformada de la curva 𝑥𝑦 = 4, si los ejes coordenados son rotados en
45°.

25) Dada la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 24, halle las rotaciones de los ejes coordenados para obtener
los nuevos ejes en los cuales la recta resulte ser horizontal.
26) Dada la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 12, halle las dos rotaciones de los ejes coordenados para que
la recta sea vertical.
27) Dada la recta 𝑦 = 𝑥 + 3 en el sistema 𝑋𝑌, halle su ecuación transformada si los ejes son
rotados 45°
28) Demostrar, analíticamente, que la distancia entre dos puntos en el plano coordenado es
invariante con la transformaci6n de coordenadas.
29) Sea la ecuación 16𝑥 2 − 24𝑥𝑦 + 9𝑦 2 + 85𝑥 + 30𝑦 + 175 = 0. ¿Qué medida se debe
girar al sistema 𝑋𝑌 en sentido antihorario para que se elimine el término −24𝑥𝑦?

30) Halle la medida del ángulo de rotación necesario para transformar la ecuación
 𝑥 − √3𝑦 = 4 en otra, cuya pendiente en el nuevo sistema es 1.

31) Halle la ecuación en la que 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0 es transformada si los ejes

coordenados son trasladados de manera que se eliminan los términos lineales.

32) Hallar la naturaleza de las cónicas siguientes teniendo en cuenta el valor del discriminante
a) 3𝑥 2 − 10𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 𝑥 − 32 = 0
b) 41𝑥 2 − 84𝑥𝑦 + 76𝑦 2 − 168 = 0
c) 16𝑥 2 + 24𝑥𝑦 + 9𝑦 2 − 30𝑥 + 40𝑦 = 0
d) 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
e) 𝑥 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 2 − 4 = 0