Estándares Pensamientos numérico y variacional

3. Números racionales Recurso

imprimible

El conjunto de los números racionales está formado por los números de la forma a ,
b
donde a y b son números enteros y b  0.

El conjunto de los números racionales se simboliza como  y se determina como:

Matemáticamente
 5 % a , a y b !  y b ! 0/, a se llama numerador y b denominador.
b Explica por qué todo nú-
mero entero es un número
Cada número racional se representa con un único punto en la recta numérica, donde los racional y, sin embargo, no
números racionales positivos se ubican a la derecha del cero y los racionales negativos a todo número racional es
la izquierda del cero. un número entero.

3.1 Orden en el conjunto de los números racionales

Dados los números racionales a y c con b y d  0, se puede establecer una y solo una
b d
de las siguientes relaciones:
a , c,a . c,a 5 c
b d b d b d
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se transforman los
números en fracciones equivalentes de igual denominador. Luego, se determina la rela-
ción que existe entre los numeradores de las fracciones equivalentes.
Además si b . 0 y d . 0, se cumple que: si a , c entonces a  d , b  c.
b d

EJEMPLOS
1. Representar en una recta numérica los siguientes 2. Ordenar de menor a mayor los siguientes números
números racionales. racionales 3 , 2 2 , 4 y 2 5 .
4 3 5 4
a. 3 Primero, se expresan los números como fracciones equi-
4
Se divide, en cuatro partes iguales, la unidad entre 0 y 1. valentes.
Luego, se cuentan tres de esas partes a partir del cero. 3 5 45   2 2 5 2 40   4 5 48   2 5 5 2 75
4 60 3 60 5 60 4 60
Así:
3
Luego, se ordenan las fracciones equivalentes, así:
2 75 , 2 40 , 45 , 48
4
60 60 60 60
3 2 1 0 1 2 3
Por tanto, el orden de los números es:
5
b. 2 2
2 5 , 2 23 , 3 , 54
4 4
Para representar en la recta numérica 2 52 , primero, se
determina el par de enteros consecutivos entre los cuales 3. Para envolver un regalo María emplea 2 3 del papel y
1
está la fracción. Como 2 52 está entre 23 y 22, se divide Manuel del papel, ¿quién utilizó más papel?
4
la unidad en dos partes y se cuenta a partir de 22 una Se buscan fracciones equivalentes y se comparan:
parte a la izquierda, como se muestra en la figura. 2 5 8 y1 5 3
3 12 4 12
5
2 Como 12 8 . 3 , entonces, 2 . 1 .
12 3 4
3 2 1 0 1 2 3 Luego, María empleó más papel para envolver su regalo.

© 35
 Actividad Recurso Ampliación
3.2 Operaciones con números racionales
imprimible multimedia Adición y sustracción: la suma o resta de dos o más números racionales con igual de-
nominador es un número racional que corresponde a la suma o resta de los numeradores
con el mismo denominador. Mientras que la suma o resta de dos números racionales con
Recuerda que… distinto denominador equivale a la suma o resta de los números racionales equivalentes
El recíproco del número con igual denominador.
a
racional b es el número Multiplicación: el producto de dos o más números racionales es otro número racional,
b
racional a , si a y b  0.
cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores.
División: el cociente entre dos números racionales es el producto del primer número
racional con el recíproco del segundo.

EJEMPLOS
1. Realizar las siguientes operaciones. 2. Leer y responder.
a. 2 10
3 1 3
8 Andrés realizó las siguientes inversiones. Primero, abrió
una cuenta bancaria con la mitad del capital. Luego,
5 2 1031 8  Se suman los denominadores ya que el denominador gastó 13 de lo que le quedaba en un viaje de vacaciones.
es igual. Por último, donó $280.000 a las personas damnificadas
5 2 3 Se realiza la operación. por el invierno.
Si al final quedó con $1.120.000, ¿cuánto dinero tenía
b. 2 1 2 5 Andrés antes de hacer las inversiones?
6 14
5 2 7 2 15 Se obtienen las fracciones equivalentes.
42 42
5 2 22 Se restan los numeradores.
42
5 2 11
21 Se simplifica.

c. 2 1  4
3
6
5 2 1  3 Se multiplica por el recíproco de 43 .
6 4
5 2 3 5 2 81 Se multiplica y se simplifica.
24
d. 2 3 1 % 15  92 83 1 21
a 4 kC/
4 Para resolver el problema, se realizan las operaciones in-
5 2 3 1 % 15  92 83 1 a2 82 kC/  Se obtiene la fracción versas del final hacia el comienzo, como sigue:
4 equivalente. Donó $280.000, antes tenía:
5 2 1 % 5  92 8C/ 
3 1 5 Se suma y se elimina 1.120.000 1 280.000 5 1.400.000
4
el paréntesis.
Gastó 13 , le queda 23 de lo que tenía, así:
5 2 3 1 %2 5 / Se multiplica.
4 40
23  1.400.000 5 2.100.000
5 2 3 1 %2 81 / Se simplifica.
4 Invirtió la mitad, es decir, 12 .
5 2 68 1 %2 81 /  Se obtiene la fracción Luego, al principio tenía 2  2.100.000  4.200.000.
equivalente. Por tanto, Andrés tenía $4.200.000 antes de hacer las
5 2 78 Se suma. inversiones.

36 ©
 Estándares Pensamientos numérico y variacional

Interpreto • Ejercito • Razono • Soluciono problemas

Afianzo COMPETENCIAS

Escribe los números racionales representados en Resuelve las siguientes operaciones.

cada recta.
34. 2 12 1 %973 2 a 1 2 52 kC 2 a 23 2 5  71 k/
4 4
27.
35. %93 2 a2 5 kC 2 3  2 /  a2 5 1 72 k
2 1 0 5 2 4 1 3
28. �1 0 1
cada uno de los números racionales 7 ,
36. Ubica
4
Ordena de mayor a menor cada grupo de números 1 6 3 14 3 7
racionales. Luego, relaciona cada número con la letra 2 3 , 8 , 10 , 20 , , 10 ; en cada cuadro de tal
4
correspondiente y determina el nombre de un lugar forma que el producto en cada rama sea igual a
único de Colombia.
2 7 .
40
29. 5    3   2 13   2 5   2 12    23
6 4 4
A R A O M P

30. 2 13 8
8   2 5
E D

31. 2 11 4 2 1 7 43 3
5   2 9   2 15   2 5   2 3   2 45   2 5
A M S U Z P A

Lee y resuelve.

37. Si un ladrillo pesa 1 kilogramo y medio ladrillo.

¿Cuánto pesa ladrillo y medio?
38. El área de hielo del monte Kilimanjaro se ha re-
ducido en 25 , los glaciares del monte Kenya se han
reducido en 3 de su superficie y los glaciales del
4
Cáucaso, en Rusia, han disminuido su superficie
en 12 . ¿Qué lugar ha perdido más hielo en su
32. ¿Cuál es el nombre del lugar?
superficie?
33. Resuelvelas operaciones del laberinto. Luego,
Lee y responde.
determina el camino a la salida, siguiendo los
resultados de menor a mayor. Tomás ha gastado 15 de sus ahorros en un vestido, 23 en
un par de zapatos y 81 en una blusa. Si en total tenía
11 4 $1.200.000:
 (1) 5 1   (  1)
12   3 39. ¿Qué fracción representa la parte del dinero que
3 2
gastó?
5 1 1 1

4

6

6

3 40. ¿Cuánto dinero empleó en la compra de cada uno
de los artículos?
1 3 1 7 41. ¿Cuánto dinero le quedó a Tomás después de las
   
4 10 2 5
compras?
7 42. Si el costo de una chaqueta es $650.000, ¿puede
3  14 3 19
5
3
5
 
4 20 comprar la chaqueta con 12 del dinero que tenía
inicialmente?

© 37
 3.3 Representación decimal
Recurso
de un número racional imprimible
Los números racionales se pueden representar en forma de número decimal dividiendo
el numerador entre el numerador. Los números decimales obtenidos de esta forma
pueden ser:
Números decimales finitos: son los números decimales que tienen una cantidad
exacta de cifras decimales.
Actividad Números decimales infinitos periódicos: son los números decimales que tienen una
o varias cifras que se repiten indefinidamente, a las cuales se definen como período.
Los números decimales infinitos periódicos se clasifican como decimales periódicos
puros, cuando el periodo comienza a partir de la primera cifra decimal, y decimales
periódicos mixtos, cuando hay una o varias cifras que no se repiten después de la coma
y el período se repite después.

3.4 Representación fraccionaria

Ampliación
de un número decimal multimedia
Para escribir un número decimal en forma de fracción se debe tener en cuenta lo si-
Matemáticamente guiente:
¿En qué condiciones una Si el número es decimal finito se plantea una fracción, donde el numerador corres-
fracción corresponde con ponde al número decimal sin la coma y el denominador es una potencia de 10, cuyo
un número decimal finito? exponente coincide con la cantidad de cifras decimales del número.
Si el número es decimal periódico, se plantean ecuaciones de tal manera que se elimine
el período y se determine la fracción requerida.

EJEMPLOS
1. Expresar 9 y 2 4 3 como números decimales. Luego,
2. Escribir en forma de fracción cada número.
4
escribir el tipo de número decimal. a. 21,55...
9 4 x 5 21,55… Se representa el número decimal.
10 2,25 9 5 2,25 10x 5 215,55… Se multiplica por 10.
20 4
10x 2 x 5 215,55… 2 (21,55…) Se restan las ecuaciones.
0
9x 5 214 Se realizan las restas.
4 3 14
x52 9 Se divide entre 9.
10 1,333
10 2 34 5 21,33… Por tanto, el número decimal 21,55… se expresa como
10 2 14
9 .
1 b. 4,12
Por tanto, 9 5 2,25 y es un número decimal finito. 4,12 5 4122 Se expresa como fracción.
4 10
412 5 103 Se simplifica.
Además, 2 34 5 2 1,333... 5 2 1, 3 y es un número 100 25
decimal infinito periódico puro. Por tanto, 4,12 en fracción es 103 25 .

38 ©
 Estándares Pensamientos numérico y variacional

Interpreto • Ejercito • Argumento • Propongo • Soluciono problemas

Afianzo COMPETENCIAS
Escribe un número decimal que cumpla con las con- Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa.
diciones dadas. Justifica tu respuesta.
43. Un número decimal asociado al número racional 58. Todo número entero es un número decimal. ( )
2 85 . 59. Existe un decimal finito cuya expresión fraccio-
44. Un número decimal infinito periódico puro naria es 3a . ( )
mayor que 92 . 60. No existe ningún número entero a tal que la frac-
ción 5a , represente un número decimal infinito
45. Un número decimal finito menor que 24 y periódico puro. ( )
mayor que 25.
Observa y resuelve.
Anota el número decimal representado en cada
gráfica. 0, 6 5 6 2 0
9 5 9 5 3
6 2

46.
B 4, 19 5 419992 4 5 415 99
1 0 61. Verifica la expresión fraccionaria de cada decimal.
47. 62. Formula una regla asociada a la conversión de un
D
número decimal a fracción. Luego, compruébala.
2,1 2,2

48. Lee y responde.

49.
El calentamiento global ocasiona el deshielo de los
glaciales, aumentando el nivel del mar. El deshielo
7 mm anuales al
de los glaciales de Alaska, aporta 50
aumento del nivel del mar, el deshielo de Groenlandia
produce un aumento de 100 13 mm y, en el mar

Expresa cada número decimal de la forma a . Luego, Amundsen, Antártida, aporta 15 mm.
b
une los puntos para encontrar la ruta de ascenso a la
cima (siguiendo el orden de los ejercicios).
50. 0,8 54. 4,5
51. 2,75 55. 21,44…
52. 20,66… 56. 3,75
53. 3,5 57. 22,77…

25
�
9
25
8 13
15 �
9 9
4 2
1
�
6 7 21 63. ¿Qué cantidad decimal de milímetros aumenta el
18 �
7 2 4
2
nivel del mar en cada lugar?
5 3 �
1 4 11 3 64. ¿Cuál de los tres glaciales afecta más el aumento
5 3 4 4 anual del nivel del mar?
5
65. ¿En cuánto aumentó el nivel del mar en total al
considerar los tres lugares?

© 39
 4. Números irracionales Ampliación
multimedia
Actividad

Algunos números decimales no pueden ser representados como números racionales de

Historia de la forma a .
las matemáticas b
Los pitagóricos afirmaban Por ejemplo, el número 2 5 1,41421356… es un número decimal con infinitas cifras
que todos los números po- decimales, además no presenta ningún tipo de periodicidad.
dían ser expresados como
el cociente de dos núme- El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra  o por R 2 Q y
ros naturales. Sin embargo, está formado por todos los números decimales infinitos no periódicos.
no lograban encontrar los
números adecuados para Los números 3 , 5 , , 3 2 , Log 2 son ejemplos de números irracionales, ya que en su
expresar la medida de la representación decimal, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
diagonal del cuadrado de
lado 1. 3 5 1,73205… 5 5 2,23606…   3,14159…
3
2 5 1,25992… Log 2 5 0,30102…

1 d
4.1 Representación en la recta numérica
Ampliación
de los números irracionales multimedia
1
En la recta numérica, a los puntos que no les corresponde un número racional, les
d 5 12 1 12 5 2 corresponde un número irracional. A cada número irracional le corresponde un punto
sobre la recta numérica.
Es posible representar algunos números irracionales utilizando construcciones geomé-
Enlace web
tricas.
Por ejemplo, para ubicar en la recta numérica, el número irracional 2 se realizan los
siguientes pasos:
Primero, se construye AB con A en 0 y B en 1.
Segundo, se traza el segmento BC perpendicular a AB de longitud 1.
Tercero, se une A con C para formar AC .
La medida de AC se halla aplicando el teorema de Pitágoras. Así:
(AC )2 5 (AB)2 1 (BC )2 Se aplica el teorema.
(AC )2 5 12 1 12 Se remplazan las medidas de cada cateto.
(AC )2 5 2 Se resuelven las operaciones.
AC 5 2 Se halla la raíz cuadrada.
Por último, con un compás, se hace centro en A y se toma la distancia AC. Luego,
con esta distancia, se traza un arco que corte la recta numérica. El punto corresponde
a 2.
C

A B D
0 1 2

40 ©
 Estándares Pensamientos numérico y variacional

Representación de 5
Para ubicar 5 , se realizan los siguientes pasos:
Primero, se construye AB con A en 0 y B en 2.
Segundo, se traza el segmento BC perpendicular a AB de longitud 1.
Tercero, se une A con C para formar AC .
La medida de AC se halla aplicando el teorema de Pitágoras.
(AC )2 5 (AB)2 1 (BC)2 Se aplica el teorema.
(AC )2 5 22 1 12 Se remplazan las medidas de los catetos.
Matemáticamente
(AC )2 5 5 Se resuelven las operaciones.
Comprueba o refuta la si-
AC 5 5 Se halla la raíz cuadrada. guiente afirmación.
Por último, con un compás, se hace centro en A y se toma la distancia AC. Luego, con Todo número irracional se
esta distancia, se traza un arco que corte la recta numérica. puede representar con re-
gla y compás.
Este punto corresponde a 5 .
C

A B D
0 1 2 5

Interpreto • Ejercito • Razono • Soluciono problemas

Afianzo COMPETENCIAS
Marco con un ✓ los números irracionales. Justifica Aplica el procedimiento para ubicar 2 y 5 en la
tu respuesta. recta numérica, con el fin de determinar el punto de
la recta asociado a cada número.
66. 0,100100100…
72. 10 73. 2 3 74. 8
67. 0,623462346223…
68. 3,1421142214231424… Lee y resuelve.
El número de oro c 5
11 5 m
69. 2 10 1 5 2 , se aprecia en la

70. 3 2 7 naturaleza, por ejemplo, la longitud del abdomen

de una abeja dividido por el número  es igual a la
71. Escribe los números irracionales que pueden longitud del tórax, y la longitud del tórax dividido
aparecer en la siguiente figura. entre  es igual a la longitud de la cabeza.

1
75. Realiza la construcción con regla y compás del
número .
76. Si el abdomen de una abeja mide 1,2 cm, ¿cuánto
mide su cabeza?

© 41