ACTIVIDADES MATEMÁTICAS PRIMER PERIODO GRADO OCTAVO

LEA LA INFORMACIÓN, SIGA LOS PASOS DE LOS EJEMPLOS Y RESUELVA LA PARTE “PRÁCTICA”

TALLER # 1

TEORÍA

NÚMEROS RACIONALES

Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un
problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a
esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con las cantidades absolutas para
hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o
divisiones mayores que la misma pero que no eran cantidades absolutas, por lo que fue necesario ampliar el concepto.

¿Sabías que la planificación y construcción de una casa requiere de una gran cantidad de aritmética con fracciones y
decimales? Los planos de una casa son dibujos detallados de la planta, de las vistas anterior, posterior y laterales de un
edificio. Aquellos vienen precisados según una cierta escala.

DEFINICIONES:

Número Racional: Todo número que puede representarse como el cociente de dos cantidades absolutas, [ ]es decir, una
a
fracción con numerador a y denominador b distinto de cero.
b

a
Los números Racionales positivos son todas las (fracciones) tales que a∗b> 0.
b

a
Los números Racionales negativos son todas las (fracciones) tales que a∗b< 0.
b
EJEMPLOS:

−3
 -3 es un número Racional porque se puede poner en forma de fracción así: .
1
2
 es un número Racional porque está expresado en forma de fracción.
5
12
 es un número Racional puesto que está expresado en forma de fracción, y además como la división es
4
exacta y da 3, también es una cantidad absoluta.
 12
 0,12121212.... es un número Racional porque se puede expresar en forma de fracción así: .
99

a c
Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, es decir, si = ,
b d
entonces, a × d=b × c . a , b , c y d deben ser cantidades absolutas diferentes de cero.

10 5
=
4 2

 Simplificación de fracciones: Simplificar una fracción consiste en encontrar otras fracciones equivalentes a
la fracción dada, pero que tengan los términos menores.

144 72 36 18 9 3 1
= = = = = =
432 216 108 54 27 9 3

 Amplificación de fracciones: Amplificar una fracción consiste en encontrar otras fracciones equivalentes a la
fracción dada, pero que tengan los términos mayores.

1 3 9 18
= = =
3 9 27 54

 Números mixtos: El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.
 Pasar de un número mixto a fracción impropia.
1. Se deja el mismo denominador.
2. El numerador es la suma de la multiplicación del entero por el denominador más el numerador del
número mixto.
1 ( (2)×(3) )+ 1 7
2 = =
3 3 3

 Pasar una fracción impropia a número mixto.

1. Se divide el numerador por el denominador.
2. El cociente es el entero del número mixto.
3. El residuo es el numerador de la fracción.
4. El denominador es el mismo de la fracción impropia.
8 6 2 2 2
( )( )
= + = 2+ =2
3 3 3 3 3

Representación en la recta: para representar un número Racional en la recta numérica se realizan los siguientes
procedimientos:

- Fracciones
 Primero, se localizan las cantidades absolutas sobre la recta numérica.
 Segundo, se determina la cantidad absoluta entre los cuales se encuentra la cantidad relativa.
 Tercero, se divide cada segmento en tantas partes como indique el denominador.
 Finalmente, se cuenta a partir del cero, el número de partes que indique el numerador. Si el número es
positivo se cuenta hacia la derecha, pero si el número es negativo, se cuenta hacia la izquierda.

- Decimales
 Se ubica el número correspondiente a la parte entera
  Se ubica la parte decimal teniendo en cuenta que el segmento correspondiente debe dividirse en 10,
100, 1000…. partes iguales, conforme al número de cifras iguales que tenga su parte decimal. Dicha
división debe hacerse de manera aproximada

EJEMPLOS:

7
- Facciones: representar en la recta numérica el número Racional .
10
7
Primero, se determina el par de cantidades absolutas entre los cuales está la fracción. Como está entre 0 y 1, se
10
divide la unidad en diez partes y se cuenta a partir de cero siete partes.

- Decimales: representar el número -6,18

Primero ubicamos la parte entera, que en este caso es -6, después se divide en 100 partes (aproximadamente) la unidad
entre -6 y -7. Luego ubicamos (aproximadamente) la división 18:

Representación decimal: Para pasar de fracción a decimal sólo hay que efectuar la división del numerador entre el
denominador.

 Cantidad entera: cuando la división del numerador entre el denominador es exacta, obtenemos una cantidad
absoluta.
−12
=−3
4

 Decimal finito: es cuando la división entre el numerador y el denominador da como resultado una cantidad decimal,
con cifras decimales finitas
 197
=4,925
40

 Decimal periódico puro: es cuando la división entre el numerador y el denominador da como resultado una cantidad
decimal y cuyas cifras decimales forman un grupo llamado periodo que se repite indefinidamente.
4
=0,363636363636 …
11
´ .
Se escribe 0 , 36

 Decimal periódico mixto: Existe un primer grupo de cifras decimales que no se repiten de forma periódica, pero a
partir de una de ellas se forma un periodo como en el caso anterior que se repite indefinidamente.
87
=1,31818181818 …
66
´.
Se escribe 1,3 18

Orden en los Números Racionales:

- Fracciones: Dados a , b ∈Q se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones:

 Se dice que a es mayor que b y se escribe a> b, si a−b es un número positivo.
 Se dice que a es menor que b y se escribe a< b, si a−b es un número negativo.
 Se dice que a es igual a b y se escribe a=b, si a−b es igual a cero.

- Decimales:
 Si los decimales tienen diferente parte entera, es menor el que presenta menor parte entera. Por
ejemplo, 17,215 < 19,215, pues 17 es menor que 19.
 Si los decimales tienen la misma parte entera, se deben comparar una a una las cifras de la parte
decimal. De esta forma, resulta menor el decimal que tenga la cifra menor en el lugar de la posición
comparada.

Operaciones entre números Racionales:

 Adición y sustracción: para adicionar o sustraer cantidades relativas, tenemos las siguientes opciones:
- Fracciones: seguimos los siguientes pasos:
 Paso 1: hallar el producto del primer numerador con el segundo denominador
 Paso 2: hallar el producto del primer denominador con el segundo numerador
 Paso 3: adicionar o sustraer los dos resultados anteriores y ponerlos como numerador
 Paso 4: hallar el producto entre los dos denominadores y poner el resultado en el denominador
 Paso 5: simplificar la fracción obtenida a su mínima expresión

2 7 ( 2 ×3 )−( 3 ×7 ) 6−21 −15 −5

− = = = =
3 3 3 ×3 9 9 3

- Decimales: seguimos los siguientes pasos:

 Paso 1: Ubicar los números decimales uno debajo del otro, dejando la coma en una sola columna. Si existe
algún número natural se le agrega la coma al final y un cero adicional
 Paso 2: Luego se adicionan o sustraen los números correspondientes de derecha a izquierda
 Paso 3: Agregar la coma decimal en la columna correspondiente
 3, 65
5 , 37
+ 2 , 0

11 02
 Multiplicación: Para multiplicar cantidades relativas seguiremos los siguientes pasos:
- Fracciones:
 Paso 1: Se multiplican todos los numeradores y el resultado se pone como numerador.
 Paso 2: Multiplicamos todos los denominadores y el resultado se pone como denominador.

( −35 ) × ( 27 )= (−3( 5 ) ×) ×( 7( 2) ) = −635

- Decimales:
 Paso 1: Se multiplican los números como si fueran cantidades absolutas
 Paso 2: Poner la coma decimal en el producto de acuerdo a la cantidad de cifras decimales que tengan los
factores.
13,5 ×1,47=19845

Como entre las dos cantidades hay tres números decimales, ponemos al resultado la coma en la tercera cifra, contando
de izquierda a derecha:

19,845

 División: Para dividir dos cantidades relativas, seguiremos los siguientes pasos:

- Fracciones
 Paso 1: Se multiplican el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado
se pone como numerador.
 Paso 2: A continuación, se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el
resultado se pone como denominador.
EJEMPLO:

( 197 ) ÷ ( 111 )= (( 719)()11( 1)) = 7719

1
2 (1 )( 13 ) 13
= =
3 (2 )( 3 ) 6
13
- Decimales
 Paso 1: Se establece la cantidad que tiene más cifras decimales y se corre la coma de tal manera que quede
una cantidad absoluta.
 Paso 2: A la siguiente cifra, se corren igual cantidad de espacios que a la primera, poniendo ceros cuando sea
necesario.
 Paso 3: dividir cono cantidades absolutas.
EJEMPLO:
9,87 ÷ 0,459
La cifra con más decimales es el 0,459, por tanto se corre la coma hacia la derecha tres veces, es decir 459 .
Corremos la coma de la otra cifra 3 veces, pues esa fue la cantidad de veces que corrimos la coma a 0,459,
por tanto nos queda 9870 . Dividimos así:
 9870 ÷ 459 ≈ 21,503

 Potenciación:
- Fracciones: Para elevar una fracción a una potencia de exponente natural elevamos el numerador y
denominador a dicho exponente:
3
−7 3 (−7 ) (−7 )(−7 )(−7 ) −343
( ) 4
=
(4 )
3
=
( 4) ( 4 ) ( 4 )
=
64
En el caso de un exponente entero negativo, veremos que:
1
 a−n=
a

De esta expresión se deduce esta otra más general, para calcular la potencia entera de una fracción:

bn
−n
a 1
() b
= =
a n an
()
b

- Decimales: para hallar la potencia de un número decimal, multiplicamos el número sin la coma y al final
usamos el mismo método que en la multiplicación de decimales
( 4,5 )3=4,5 × 4,5 × 4,5=91125

Como en los factores hay tres cifras decimales, separamos tres cifras en el resultado contado de derecha a
izquierda

91,125

Propiedades de las potencias:

a 0=1

a 1=a

a m an=a m+n

am m−n
n
=a
a
m
( a n ) =anm
m m m
a b =( ab )

am a m
=
bm b ()
 a c a n c a c c a
 Radicación: Si

a n
c c
b d
, ∈Q , n ∈ N y
b d () b
c
d √
= , se dice que es raíz n-ésima de . Es decir, n = , si y sólo si,
d b
c
() b d d √
= , se denomina cantidad subradical, n es el índice de la raíz y n es la raíz n-ésima de .
d d

Para determinar la raíz n-ésima de un número racional se deben considerar los siguientes casos:

c a c

√
n

d
c
=¿± ¿ si n es par y ∈Q .
a
b d
c
+¿ ¿


√
n

d
c
=¿ ¿ si n es impar y ∈Q .
b
c
d
+¿ ¿


√
n

d
c
∉Q si n es par y ∈Q .
a
d
−¿¿

c

√
n

d
=¿− ¿ si n es impar y ∈Q .
b d
−¿¿

Algunas propiedades:

a c na nc

√ n

b d
× = ×
√ √
a c na nc
b d

√n

a
÷ = ÷
b d
m
√ √
b
a m÷ n
d

√( ) ( )
n

b
a n
=¿

a
b
¿


√( )
n

b
=¿ ¿
b
a m ×n a

√√ √
m n

b
=
b

Ejemplo: para hallar la raíz de un cantidad relativa se debe calcular la raíz en el numerador y en el denominador.
3

√
3 8
125
8 2
=¿ 3 √ = ¿
√ 125 5

PRÁCTICA

1. Indicar la fracción que representa cada dibujo:

2. Expresa cada fracción como un número mixto.
9 7
a. b.
2 3

15 18
c. d.
6 7

3. Expresa como un numero decimal cada fracción:

3 7
a. b.
5 5

−2 11
c. d.
5 5
−4
e.
5

4. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones (F o V)

15
a. La forma decimal de es 1,5.
100
3
b. La fracción se representa como 0,31.
10
235
c. 2,35 es la representación decimal de .
100
−431
d. =−0,431
1000

5. Escribe cada número decimal como una fracción.

a. 1 , 4́
´
b. 0 , 16
c. 2,5
d. −37 , 6́
e. 1 , 125´

6. Representa en la recta numérica cada cantidad relativa.

−1 2
a. b.
3 5

−4 7
c. d.
5 9

5
e.
8
7. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica tu respuesta.
5
a. El número se representa en la recta numérica entre 1 y 2.
4
4
b. El número mixto 8 se ubica en la recta entre 8 y 9.
7
−11
c. La fracción se ubica en la recta entre -3 y -4.
3
 −13
d. En la recta, la fracción se ubica a la derecha de -2.
5
12
e. En la recta, la fracción coincide con el 3.
4

8. Ordena de mayor a menor los siguientes conjuntos de Números Racionales.

12 5 9 19 36 3 23 24 51
a. , , , , , , , , .
7 7 7 7 7 7 7 7 7
−9 1 3 17 25 7 41 11
b. ,− ,− ,− ,− ,− ,− ,−
4 4 4 4 4 4 4 4
−2 1 1 3 7 4 16 14
c. , ,− , , ,− ,− , ,
5 5 5 5 5 5 5 5

9. Obtener 3 fracciones equivalentes a:

2
a.
15
33
b.
12
−4
c.
3

10. Obtener la fracción irreducible de:

125
a.
60
64
b.
28
−34
c.
121

11. Entre cada pareja de números racionales escribir: “>” mayor que, “<” menor que o “=” igual que según
corresponda. Justifique el proceso utilizando la recta numérica o la definición correspondiente.

9 8
a. y
4 3
2 1
b. y
5 2
−5 17
c. y−
13 20
8 4
d. y
30 15
−11 38
e. y
215 349
12. Escribe un número decimal que cumpla la condición dada.

a. 3,51< ¿ 3,75
b. −0,38 <¿ 0,34
c. 5 , 63<¿ ¿ 6
d. 6,1> ¿ 6,02
e. −2,02> ¿−2,1

13. Resuelve las siguientes adiciones. Luego, simplifica la respuesta hasta encontrar el racional correspondiente.

2 14
a. +
9 18

−5 3
b. +
7 9

4 5
c. +
32 24

12 8
d. +
25 45

14. Realiza las siguientes operaciones.

a. ( −215 )+(−512 )
4 −3
b. −
13 10 ( )
−7 13
c. −
9 18

d. ( −314 )−( −15

32 )

−4 −11
e.
7
+
9( )

15. Determina los resultados de las siguientes expresiones.

1 2 1
a. 2 +1 −1
3 5 15

b. 3+ ( −54 )+2 34
 2 1
c. 3 −1 −
7 5 ( 354 )
2 9 1
d. 1 −
5
−
21 10( )
16. Realiza las siguientes operaciones.
a. 3,18+5,4
b. −2,163+1,8
c. −7,06−2,165
d. 12,51+ (−3,968 )
e. 4−2,109
17. Resuelve las siguientes operaciones.
3
∗5
a. 7
12

41
∗22
b. 3
15

−9
∗4
c. 11
5

−2 −17
d.
9
∗
5 ( )
e. ( −578 )∗( −219 )
18. Calcula cada fracción de cada número.
3
a. de los 28 del salón escuchan música.
4
5
b. Los de los 6000 habitantes de una población son adultos.
7
2
c. De los 12 jugadores del equipo, son delanteros.
8

19. Halla los siguientes productos.

a. 3,24∗1,5
b. 0,26∗(−4,8)
c. (−3,71 )∗(−0,7)
d. 0,5∗(−1,66)
e. 5,18∗(−0,1)
20. Realiza las siguientes divisiones. Luego simplifica si es posible.

a. ( −412 ) ÷ 16
3 9
b. ÷
15 18

c. ( −27 ) ÷ 215
d. ( −43 ) ÷ ( −89 )
25 −4
e.
15
÷
6 ( )
21. Resuelve los siguientes cocientes.
a. 38 ÷ 5
b. 1,5 ÷ 0,25
c. 0,12 ÷ 2
d. −27,2 ÷30

22. Expresa en forma de potencia. Luego resuelve.

a. ( 13 )( 13 )( 13 )( 13 )
b. ( −12 )( −12 )( −12 )( −12 )( −12 )( −12 )(−12 )
c. ( 25 )( 25 )( 25 )
d. ( −47 )( −47 )
23. Halla la potencia indicada.
5
2
a. ()
3
4
−3
b. ( )
2
6
1
c. ()2
2
−1
d. ( )
4
24. Escribe cada expresión, como una sola potencia.
4 7
3
a.
[( ) ]
4

3 0
b.
[( ) ]
−2
5

−5 −2 −4
7 7
c.
[( ) ] ( )
3
×
3

4 8 4 3
d. () ()
5
÷
5

25. Resuelve las siguientes potencias

a. ( 1,1 )3

b. ( 2,3 )2

c. (−0,5 )3

d. (−0,7 )4

26. Simplifica cada expresión.

( 0,31 )4 ( 2,5 )9
 6 3
( 2,5 ) ( 0,31 )

(−0,02 )3 ( 1,2 )4
 2 2
( 1,2 ) (−0,02 )

( 1,4 )2 (1,9 )2
 3 2
( 1,9 ) ( 1,9 )

27. Problemas matematizables

A. EL POZO DE AGUA
Un campesino llamado Luis, tiene en su finca un pozo con el cual abastece sus terrenos y sus ganados. De este
pozo Luis debe sacar diariamente 250 litros de agua para que le alcance para toda la semana. Luis gasta para los
282 1039
terrenos litros de agua y para el ganado gasta litros de agua. Su vecino Raúl, le ha pedido prestados
5 6
50 litros de agua ese mismo día, ya que compró algunas vacas y caballos y el agua que tiene no le alcanza.
¿Puede Luis ayudarle a Pedro sin sacar más agua de la que debe sacar a diario?

B. SACANDO PROMEDIOS
 Daniel ha obtenido las siguientes notas en la clase de español:

NOTA 1 NOTA 2 NOTA 3 NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7

8,5 7 6,5 4 10 9,5 8

Él sabe que si al sumar todas las notas y dividir el resultado entre 7, obtiene su nota definitiva y que para pasar
necesita sacar mínimo 7,5. ¿Las notas que tiene Daniel le permiten pasar la asignatura de español?

C. Y EL GANADOR ES…
3
En las pasadas elecciones para la alcaldía realizadas en el pueblo de Fómeque, de los votos fueron para
11
3 5
Jacinto Romero, para Bernardo González, para Carlos Ramírez y el resto para Ignacio Torres. El total de
10 14
votantes ha sido de 15.400. César Marín es el encargado de contar los votos e informar al pueblo. Según la
información dada, ¿quién es nuevo alcalde de Fómeque?