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OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Identifica cuando una función es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, par, impar,
periódica.

DOCENTE: Angela Pinilla Pinilla WhatsApp: 3219279173 ÁREA: MATEMÁTICAS

GUÍA No. 1 TERCER PERÍODO GRADO: 11.1, 11.2, 11.3
ESTUDIANTE: FECHA ENTREGA: 14 de agosto de 2020
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

1. Función inyectiva

Una función f : A → B se dice que es inyectiva o uno a uno, si no existen dos elementos distintos de A con una misma imagen.
Es decir, si x 1 , x 2 ∈ A son tales que x1 ≠ x 2 , entonces f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) .

Ejemplo 1
f

A
gB
BA
a
1
b 21
a
3
c b
f : función inyectiva 42
c
En f se observa que elementos diferentes
d3
del dominio poseen imágenes diferentes
en el codominio o conjunto de llegada.

La función g no es inyectiva ya que posee elementos

Para comprobar si una función f es inyectiva cuando está representada en el plano cartesiano, se trazan
diferentes delrectas paralelas
dominio x ymisma
al eje la
que tienen éstas imagen,
deben c y d
cortar a la gráfica de f en un único punto. tienen imagen 3.

Ejemplo 2
Indicar cuáles de las siguientes gráficas representan

a. b.

¿Cuál es el dominio
y rango de esta
función?

¿Dominio y rango de
esta función?

La función y= √ x +3 corresponde a una función

La función y=x 2−1 no es una función inyectiva, pues al trazar rectas paralelas
al eje x que corten a la gráfica, éstas la cortan en más de un punto. Además,
inyectiva puesto que cada recta paralela al eje x que
observamos que los elementos -2 y 2 tienen la misma imagen:3
corta a la gráfica lo hace en un único punto.

2. Función sobreyectiva
Una función f : A → B se dice que es sobreyectiva, si cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Es decir,
f es sobreyectiva si Cod ( f )=Ran( f ).
Ejemplo 3
f
A B f es una función sobreyectiva, dado que cada
a
elemento del codominio es imagen de algún
b 1 elemento del dominio, es decir,
c 2 Cod ( f )=Ran( f ).
d 3 ¿Es f inyectiva o uno a uno?

funciones inyectivas.
 Ejemplo 4
Encuentre el rango de cada una de las siguientes funciones y
g determine si son funciones sobreyectivas o no. B
A
a . f : R → R tal que f ( x )=x +2
1a
y=x +2 Función dada ¿Es g una 2
y−2=x Despejamos x para analizar el rango defunción la función.
1-1? 3b
Ran ( f )=R
4
Por tanto, f ( x )=x +2 es sobreyectiva, ya que Cod ( f ) =Ran ( f )c
¿Será f inyectiva?. ¿Qué clase de función es f ?

gDom no ( fes
)=?una¿Gráficamente, qué representa?
función sobreyectiva, dado que
2 ∈Cod (g), pero no es imagen de ningún elemento
b . h : R → R tal que h ( x )=2 x
y=2x Función dada
x=log 2 y Definición de logaritmo, se despeja x
y >0 El logaritmo solo está definido para cantidades positivas
Ran ( h )=( 0 , ∞ ) Se determina el rango de la función.

Luego , la función, h ( x )=2 x , no es sobreyectiva3., Función

ya que Cod (h)≠ Ran(h)
biyectiva
c. Grafique la función f : R → [ 0 , ∞) Una función f : A → B se dice que es biyectiva, si y solo si f es inyectiva y
sobreyectiva.
x → x2 Las funciones biyectivas también se conocen con el nombre de
Luego, determine si es o no una función sobreyectiva.
correspondencias uno a uno, pues cada elemento del rango debe ser imagen de
un único elemento del dominio. Para que esto sea posible la cantidad de
elementos del dominio y el codominio deben ser iguales.
Ejemplo 5

f A BgA
B

aa1
1
2
bb3
La función f es sobreyectiva si el rango de 2
4
c
la función es igual al codominio, entonces csi
3
se despeja x en la expresión y=x 2, se
g fnox=±
tiene que es √ y . yLuego,
es inyectiva
sobreyectiva, y ≥0g,
entonces
sobreyectiva,
nopor
es una función biyectiva.
( f )=f[0es, ∞biyectiva.
entonces Rantanto ¿Por
) , por tanto,
f (x) es sobreyectiva porque el rango es
Ejemplo 6
4. Funciones pares e impares
Trace la gráfica de la función f : R → R tal que
f ( x )=x 3 +1 y determine si corresponde a Una función f : A → B se dice que es par, si ∀( x , y)∈ f se tiene que
una función biyectiva. (−x , y ) ∈ f , es decir, f ( x )=f (−x ) . Si una función es par su gráfica es
simétrica con respecto al eje y .
Una función f : A → B se dice que es impar, si ∀( x , y)∈ f se tiene que
(−x ,− y ) ∈ f , es decir, f (−x )=−f ( x ) . Si una función es impar su gráfica es
Ejemplo 7
Indique cuáles de las siguientes funciones son pares o impares.
a . f ( x )=x 2−3
Analicemos si f es par: f ( x )=f (−x )
f ( x )=x 2−3 Función dada
2
f (−x )=(−x ) −3 Hallamos la imagen de (−x ) en la función f
f (−x )=x 2−3 Efectuamos la operación indicada
es par.que cada recta paralela al eje x
Concluimos que f ( x )=f (−x ), por tanto f Dado
corta a la gráfica de f en un único
b . f ( x )=x 3 + x punto, entonces f es inyectiva.
Analicemos si f es impar: f (−x )=−f (x )Además,Como Ran f )=R
f (−x )=−f (x )y,
f (−x )=¿ Cod ( f )=Ran(
concluimos quef f),es entonces
impar. f es
3
f −x =−x −x
( ) sobreyectiva. Como f es inyectiva y

5. Funciones crecientes y decrecientes

 Una función f : A → B se dice que es creciente en un intervalo I , si ∀ x1 , x 2 ∈ I con x 1 < x 2 → f ( x 1 )< f (x 2 ).
 Una función f : A → B se dice que es decreciente en un intervalo I , si ∀ x1 , x 2 ∈ I con x 1 < x 2 → f ( x 1 )> f (x 2 ).
 Función
Función decreciente
creciente

6. Función periódica

Una función f : A → B es periódica , si f ( x )=f ( x+ P ) , es decir, si las imágenes se repiten después de que la variable independiente
recorre un cierto intervalo regular. La longitud del intervalo P recibe el nombre de período.
La función tangente es periódica y su período es π, ya que tanx=tan (x +kπ ) .
ACTIVIDAD

1. Consulte características de las funciones: Lineal, logarítmica, exponencial, trigonométricas. En las características debe tener
en cuenta: Propiedades según el contenido de la guía, gráfica, dominio, rango.
3. Verifique si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas.
Justifique su respuesta.
2. Determine
a. si las gráficas representan
b. funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas. Justifique su respuesta.
a . f ( x )=2 4. Realiza la gráfica de una función que satisfaga las
4 siguientes condiciones:
b. g ( x )= 1−x √ a. Inyectiva y sobreyectiva.
1
c. q ( x )= 6 b. Inyectiva, pero no sobreyectiva.
x c. Ni sobreyectiva ni inyectiva.
d. h ( x )=x 4 −x2 −1 Observación: Se debe graficar en el plano
e. t ( x )=3−x 2 cartesiano, además, hallar dominio y rango de cada
función.
c. d. 1
f. m ( x ) = 2
x +1

5. Marque la respuesta correcta. Justifique su respuesta:

1. Sea f (x)una función par con dominio todos los números reales, tal que
f (1) = 5 y f ( 2 ) =−7.Por ser f una función par, siempre se cumple que:

A. f (-1) = -5 B. f (2) = -7 C. f (-1) = 5 D. f (7) =2

e. f.
x3
2. Las funciones f ( x )= y g ( x )=x 4 tienen como dominio todos los números
x 2+ 9
reales. De estas funciones es correcto afirmar que:

A. f(x) es par y g(x) es par.

4. Observa las siguientes gráficas de algunas funciones:

De las funciones anteriores, son impares las mostradas en
las gráficas:
A. I y II B. II y III C. III y IV
D. I y IV