Algebra 1 10

IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 01
TEORIA DE EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES
COORDINADOR: Lic. Gastón F. Flores Montero.
CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes Nota: 0 0 es indeterminado

y las diferentes relaciones que existen entre ellas,
mediante propiedades, se basa en la potenciación. Regla de Signos:
 a   
par
POTENCIACIÓN
 a   
par
Es la operación matemática que consiste en encontrar una

 a   
impar
expresión denominada potencia, partiendo de otros dos,
denominados base y exponente.
 a   
Esto es: impar
Exponente
ECUACIÓN EXPONENCIAL
b p n
Potencia
Es toda igualdad relativa que tiene la incógnita en el
exponente.
Base CUESTIONARIO
1. Evaluar:
b , n  1  
1
2
 a   a  b
PROPIEDADES
 b  .  . 
   1
 a 

  
1. a m . a n . a p  a mn  p ;  a  b
b 1 1
a) b) c)
2. a.a.a.a....a  a n ;  n   a  a a b
n factores a
d) 1 e)
b
am
3. n
 a mn , a  0
a 2. El valor de la expresión:
a   a 
n m m n 2 1
 a m.n 
 32 
0.5 
    2   3  ( 3) es:
4.  3  3

    
5. a p  aq  p  q
6. ap  bp a  b a) 30 b) 34 c) 36
d) 35 e) 38
7. a a  bb  a  b ; Simetria
2 3 x 1  8 x  2
a . b n . c p   a m.r . b n .r . c p .r
r
8.
m
3. Al simplificar: E  , se obtiene:
2 3 x 1
q
 m n  p 
  a     a ; a  m, n , p , q 
mn pq a) 2 b) 2x c) 33
9.
    d) 66 e) 128
4. Hallar el valor de M si
a . b . c   abc 
n n n n
10.
n n 1 n
an  a  22 22 22 2n
11.   ; b0 M  6258
bn  b 
n n
a b
12.     a) 5 b) 1/5 c) 1
b a d) 25 e) 125
p
1
 1n 
m  m  m 
p 5. Teniendo en cuenta que:
13.
n p
n
p n  m 
  a b c
5 5  125
14.
n
a.b  a . b n n
n 3a  c
9c
1 1
729 a b
Calcular: M=
15. an     ;  a   0
an  a 
16. a 0  1, a   a  0 a) 1 b) 3 c) 1/3
d) 27 e) 9
6. Simplifique la expresión mostrada: 66

6 6
n1 66 6
 6 66 6 
n 2 n
33 33 81 3
6
K
6 6 6 6 6
27  6
6
6

6
b) 3 3
13. Reducir:  
 
a) 3 c) 3
d) 9 e) 3n
7. Simplifique la siguiente expresión: a)

6
6 b) 0 c) 1
2 n 1
42 d) 6 e) 6 6
2n /n N
n 1
36  6 2 n 1 a1 2 a
1 a
14. Si : a a  2 . Encuentre: Ea

a) 7 1 b) 7 2 c) 7 3
8
d) 7 e) 7 7
a) 2 b) 212 c) 216
d) 2 20 e) 2 24
8. Hallar x x , si se cumple: 15. Siendo: x  5  6  6  6  ....

3
.Calcular:
 x1 x
x 3 18
E  5 15 x  5 15 x  .....
1 1
a) 3 b) c) a) 2 b) 3 c) 4
3 9 d) 5 e) 6
d) 3 e) 3 3 x 11
xx 1
9. Hallar “a”, si se cumple: x
 3 1 42 3
  3  a
 3 a  16. Si x x  3 . Calcular:
x
4  2 3 3
a)3 b) 33 c) 33
a) 2 b) 3 c) 2
3
d) 3 e)1
d) 3 e) 2 3
39
x 4 x 1 
10. Qué valor de “x” satisface la ecuación:
17. Resolver:
x  x3 3
  x  x3 
x

  x  x5
x 5    3125 1
b) 5 2
   a) 3 c)
27
   1 1
d) e)
3 81
a) 2 b) 3 c) 3
TAREA DOMICILIARIA
d) 5 e) 5
1. Simplificar:
11. Resolver la ecuación exponencial: 8
7 1   8 87
2 4 3
x x 8
 1 2 1 8
8 
3   8
1 8
8  3 
 35  244 ; x  P8 8
   
8
3 4  
 
1
a) 2 b) -2 c) 7
b) 8 8
5
2 a) 8 c) 8
1 1 d) 2 e) 88
d)  e)
2 4 56 7 6
2. Resolver: xx 7 7 e indicar x 49 .
x
2 xx x x x a) 7 7 b) 7 c) 49
12. Si : x  8 .Hallar : x d) 7 49 e) 49 7
2 x x 1
a) 2 b) 2 2 c) 2
3. Calcular “x” si x  9 . Indique xx
2 2 3 2
d) 2 e) 2
a) 2 b) 3 3 c) 4 4
d) 5 5 e) 7 7
HOJA DE CLAVES
CICLO REGULAR SEPTIEMBRE - DICIEMBRE 2023
CURSO: ALGEBRA
Semana 01: TEORÍA DE EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES
Pregunta Clave Tiempo Dificultad

(Min.)
01 D 2 F
02 B 2 F
03 C 2 F
04 A 2 F
05 B 2 F
06 B 3 M
07 D 2 F
08 C 2 F
09 C 2 F
10 D 2 F
11 C 2 F
12 E 2 F
13 D 2 F
14 C 3 M
15 A 2 F
16 C 2 F
17 D 4 D
TAREA DOMICILIARIA
01 D 2 F
02 B 3 M
03 B 2 F
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 02
TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
COORDINADOR: Lic. Gastón Francisco Flores Montero.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es el conjunto de letras y números relacionados entre sí NOTA: “Para clasificar una E.A. tiene que estar
por las diferentes operaciones aritméticas (suma, resta, simplificada, es decir efectuar las operaciones
multiplicación, división, potenciación o radicación) en un indicadas”.
número limitado de veces.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión en la que no se encuentran II. POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS

presentes las operaciones de adición y sustracción.
 
2 1 término ………….. monomio
x6 y 2 z ; 3
xy 2 4
xy8 2 términos ………… binomios
Ejemplo: 3 términos ………… trinomios
.
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO .
.
Exponentes .
n términos ……… expresión algebraica de n
Signo 
6 x3 y5 términos
Coeficiente GRADO ABSOLUTO Y GRADO RELATIVO
MONOMIO:
TÉRMINOS SEMENJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando poseen las  5 x5 y 2 z 3 w8  G. A.  5  2  3  8  18

mismas variables afectadas de los mismos exponentes.
Ejemplo: 125 p12 q 3r 6
3
  G. A.  12  3  6  8  2  1  4
F  x, y   2xy7 ; G  x, y   3xy 7 Son semejantes u 8v 2 w1
1 4
16s 45 a 23 fd 4
S  m, n   3n 4 m5 ; A  m, n   m 4 n5  2
 G.R.  s   20; G.R.  a   23
2 No son 25 3 3
semej. s f wq
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES POLINOMIO:

ALGEBRAICAS 5
4
Y  d , c, j   3 7 w3 j 4 d 3  q 2 z 8 c 6 d 5  d 5c 1 j 3r   2  sdc 9 j 6
3
I. POR SU NATURALEZA.- Pueden ser:
A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 9
(E.A.R).- Son aquellas expresiones algebraicas en G. A.  7 G. A.  11 G. A.  7 G. A.  16
las cuales no hay parte literal afectada del símbolo
radical. A su vez las expresiones algebraicas  G. A.  y   16
racionales se subdividen en:
A.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS  A  x, y, z   2 x 4 y 9  8 x 7 y 4 z 2  3xy 8 z 6
RACIONALES ENTERAS (E.A.R.E).- Aquellas
que no poseen parte literal en el denominador, ó G.R.  x   7; G.R.  y   9; G.R.  z   6
están afectadas de exponentes enteros y positivos.
A.2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
RACIONALES FRACCIONARIAS (E.A.R.F).- POLINOMIOS
Aquellas que poseen parte literal en su
denominador o poseen exponentes negativos. Un polinomio es toda expresión algebraica que tiene
B. EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES dos o mas terminos algebraicos. Es decir viene a ser
(E.A.I).- Son todas aquellas que poseen parte cualquier adición o sustracción de monomios no
literal afectada de exponente fraccionario o tienen semejantes.
letras dentro de un radical. Ejemplo:
Ejemplos:
3 2
P  x   x3  2x; se lee: “Polinomio en variable x”ó
xy
*C  x, y   24 x 2 y E. A.R.E * F  x, y   E. A.R.E x”
3 “Polinomio de
7ab 2 P  x, y   x  xy  y 2 ;
2
*S  a, b, c   E. A.R.F * A  a, b   2a 2b 5 E. A.R.F se lee: “Polinomio en

c variable x e y ” ó “Polinomio de x, y ”
1
*F  x   48 ax 5
E. A.I * D  x, y, z   5 x y z E. A.I
3 2 2
POLINOMIOS ESPECIALES
C. EXPRESIONES TRASCENDENTES.- Son aquellas
expresiones que poseen funciones
trigonometricas,logaritmicas o exponenciales y las Son polinomios con características propias, resaltando
series infinitas. por la forma como se encuentran ubicados sus términos
o por el comportamiento de los exponentes que afectan
a sus variables. Entre los más importantes tenemos:
POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel de dos o más

variables que se caracteriza por poseer sus términos de
igual grado.
Ejemplo:
n 1 n 1 6
P  x, y   x 7  8 x 5 y 2  5 x 3 y 4  4 5 y 7 x . y
G . A 7º 3 n
G . A 7º G . A 7º G . A7º
2. Si la expresión: z es racional entera.
POLINOMIO ORDENADO: Caracterizado porque los Hallar “2n”.
exponentes de una de sus variables (llamada letra
ordenatriz), están dispuestas de modo tal que tienen un a) 6 b) 8 c) 10
solo tipo de comportamiento (ascendente o d) 12 e) 14
descendente)
Ejemplo:
P  x, y   x9  47 x3 y  210 x2 y3  6xy 2  9 3. Hallar el valor de “n”, para que el grado de:
 
3
Con respecto a " x " está ordenado en forma n2
descendente. 5x y
sea 21.
Con respecto a " y " está desordenado.
POLINOMIO COMPLETO: Un polinomio es completo a) 1 b) 3 c) 4

con respecto a una de sus variables, cuando contienen d) 5 e) 7
todos los exponentes desde el mayor en forma
consecutiva, hasta el exponente cero inclusive, llamado
a este último término independiente. 4. Hallar el grado del producto:
P  x, y   2x2  5x4  3x3  7 x  1
    x  1
2 3 5 2 3
Ejemplo:
p( x)  x  1 x  x 1
El polinomio P es completo con respecto a " x", .
pero desordenado.
a) 16 b) 17 c) 18
POLINOMIOS IDENTICOS: Dos polinomios reducidos d) 19 e) 20
son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus
términos semejantes son iguales.
Ejemplo: Si se tiene:
5. Sean P, Q dos polinomios dados por:
Ax5  Bx 2  C  ax5  bx 2  c P  x   ax3  bx 2  cx  d
Se debe cumplir que: A  a, B  b y C  c
y
Nota: Sólo en polinomios idénticos podemos asignarle Q  x   2x3  x 2  3x  1 si:
cualquier sistema de valores a la variable o variables
con las cuales se esté trabajando y tendremos el mismo P  x   Q  x  1 , determinar el valor de: a + b + c + d
valor numérico en ambos miembros.
a) 0 b) 1 c) 2
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Un polinomio d) 5 e) 4
reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes
de todos sus términos son nulos o ceros.
Ejemplo: Si se tiene que: Sx 7  Ax5  Fx3  D  0 6. Determine el grado del polinomio P(x) sabiendo que el
P(x) Q(x) es igual a 21, además el
2 3
Se debe cumplir que: S  A F  D0 grado de
P(x) Q(x) es igual a 24.
3 2
En general todo polinomio de grado " n " que se anula
grado de
para más de " n " valores será idénticamente nulo.
a) 2 b) 3 c) 4
Propiedades: d) 5 e) 6
1.- Para calcular la suma de coeficientes de un polinomio
hay que asignarle a cada una de las variables el valor de 1. 7. Determine el grado del polinomio:
Para un polinomio P(x) se tiene:
 coef .de  P  x   P 1  

3
P(x)  2xh  1  4x  2h
Si la suma de sus coeficientes con el termino
2.- Para hallar el término independiente T .I . respecto a una independiente, es numéricamente igual a 20.
variable, a este hay que asignarle el valor de 0. Para un
polinomio P(x) se tiene. a) 9 b) 12
T .I .de  P  x    P  0  b)
c) 15
6 e) 3
CUESTIONARIO 8. Hallar el coeficiente del monomio:

n
1. Señale verdadero o falso:  1
P(x,y)  9    x3m 2n y5mn
m
3x y
4
 3
I. es una E.A. racional entera. Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “x” es
1 1/ 4 7.
II.
xy  x es una E.A. racional fraccionaria. a) 3 b) -3 c) 1
5x 2 d) 9 e) -9
III. x x no es una expresión algebraica.
a) VVV b) VFF c) VFV d)FFV e) VVF

bc
R
Es idénticamente nulo. Hallar “ a ”
9. Calcule el grado del resultado de efectuar:
a) 1 b) 3 c) 0
  mx  x 
m 2 2
F(x)  3x3  2 3
1 2
 x m d) 2 e) 5
sabiendo que su término independiente es -800.
a) 11 b) 13 c) 25 17. Calcular “ E  m  n  p ” en la siguiente identidad:

d) 17 e) 19
10 x 2  5mx  5  m( x 2  1)  n( x  2)( x  1) 
10. Sabiendo que el polinomio:  p( x  2)( x  1)
P(x)   ax  b  x  1  c x 2  x  1   a) 5 b) 4 c) 10
Es idéntico a: d) 11 e) 6
2x 2  5x  1 , calcular: a + b – c
TAREA DOMICILIARIA
a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3 1. Luego de reducir, clasificar:
2
x 1
11. Si el polinomio: 1 x x 1 x 1
x x 1 x 1
P(x)  a  x  2  b  x  3   2x  3  c
2 2 2 x x
a) E.A. racional entera
Es idénticamente nulo, hallar el valor de:
b) E.A. racional fraccionaria.
L  c a b c) E.A. Irracional.
d) E. trascendente
e) E. logarítmica
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. Determinar el valor de “m” si la expresión:
12. Conociendo que: b2 b2  20
a2  a  m a 1
P(x x )  x 2  x 4  x 6 .
2
P(x,y)  x  2x y5  3y 5
Hallar P(2). es un polinomio homogéneo.
Donde a < b < 9
a) 10 b) 4 c) 14
a) -1
d) 8 e) 2 b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
13. Hallar “ a  b ” si el polinomio es homogéneo:
3. Sabiendo que el polinomio:
2 a 5 2 a  4b
P( x, y)  3x y  5x
4b
y x y
3 4 9
p(x)  ax(a2  bx)  bx(b2  ac)  c   3x  1
2
a) 8 b) 9 c) 10 Se anula para más de dos valores de “x”. Calcular el

d) 7 e) 5 valor de:
c
 a2 b2 
Y  
14. Calcular “ E  a  b  c  d ” si el polinomio es b a
completo, ordenado descendentemente: 1
P( x)  2 xc d 1  5 xbc 1  7 x a b 4  8 xa 3 a) 3
b) 3
c) 9
a) 5 b) 9 c) 4
d) 3 e) 2 1
d) 9
e) 0
15. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio:
b
a ab a 3 13 b2 ba
P( x, y)  ax a  bx . y12  x y  y
b
b a
Si es homogéneo.
a) 5 b) 7 c) 9
d) 11 c) 13
16. Si el polinomio:
P( x)  ( x 2  x  3)(a  b)  ( x 2  x  4)(b  c) 
 ( x 2  x  5)(c  a)
HOJA DE CLAVES
Ciclo REGULAR/ SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023
Curso: ALBEGRA
Semana 02: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(Min.)
01 C 2 F
02 C 2 F
03 C 3 F
04 D 3 F
05 B 4 F
06 E 4 F
07 A 2 F
08 C 3 F
09 C 2 F
10 C 3 F
11 C 2 F
12 C 2 F
13 A 2 F
14 B 2 F
15 C 2 F
16 D 3 F
17 C 4 F
TAREA DOMICILIARIA
01 A 3 F
02 C 2 M
03 B 3 M
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 03
PRODUCTOS NOTABLES
COORDINADOR: Lic. Gastón Francisco Flores Montero
8. IDENTIDADES DE LAGRANGE
PRODUCTOS NOTABLES
Los Productos Notables son casos especiales que se
presentan dentro de la multiplicación o potenciación .
algebraica, en los cuales se puede obtener en forma
directa el producto o potencia sin necesidad de efectuar
la operación.
Presentándose los siguientes casos:

9. IDENTIDADES DE ARGAND
1. BINOMIO AL CUADRADO (TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO)
●
●
2. SUMA POR DIFERENCIA (DIFERENCIA DE

CUADRADOS)
10. IDENTIDADES DE LEGENDRE

●
3. BINOMIO AL CUBO
11. OTRAS IDENTIDADES AUXILIARES
4. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
●
●
5. TRINOMIO AL CUADRADO
12. EQUIVALENCIAS CONDICIONALES
Teniendo en cuenta que: , se

6. TRINOMIO AL CUBO cumple:
7. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO

COMÚN
●
CUESTIONARIO
a) - b) -168 c) 2-
1. Verificándose que: d) -182 e) 143
10. Si . Hallar el valor de
en función de .
a) a b) –21a c) 20a
d) 24a e) 30a
Calcule el valor de: k =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 11. Si: . Calcular:
2. Luego de reducir:
a) b) c) 1
d) e)
con ,
obtenemos:
12. Si se cumple:
a) 3a b) 2a c) a
d) b e)2b Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Dada la condición:
13. Si: , halle:
Halle: a) ab + 3c b) –3abc c) – abc

d) abc e) 3abc
a) 3 b) 9 c) 18
d) 27 e) 81 14. Simplificar:
4. Halle el valor numérico de:

a) 8 b) 4 c) 1
d) 2 e) 0
para
a) 35 b) 54 c) 49
d) 51 e) 5 15. Si: . Halle:
a) 1 b) 2 c) 3 3M
d) 4 e) 5
5. Si , calcular
a) 1/3 b) –1/3 2F c) –1/2

d) 1/2 e) –3
16. Si se cumple: ;
Calcular:
6. Si: , hallar
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) –2
a) 3 b) c) 1
d) 3 e) 0
17. Sabiendo que:
Calcular:
7. Si
a) 2 b) 4 c) 36
d) 26 e) 25
Hallar el valor de TAREA DOMICILIARIA
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 1. Siendo {a; b; c} R, donde los números están ligados
así:
8. Si . Hallar Calcule el número de ternas que verifican la igualdad
mostrada.
a) 5 b) 4 c) 7
d) 8 e) 9 a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
9. Si 2. Señálese el valor numérico de:
Hallar:
a) 192 b) -192 c) 193

para x= d)-193 e) -194
HOJA DE CLAVES
Curso: ALGEBRA
Semana 03: PRODUCTOS NOTABLES

(Min.)
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02 C 2 F
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04 B 2 F
05 B 3 M
06 E 2 F
07 B 3 M
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11 B 2 F
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02 B 2 F
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SEPTIEMBRE–DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 04
TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA
COORDINADOR: Lic. Gastón Francisco Flores Montero
DIVISIÓN ALGEBRAICA coeficiente del dividendo ubicado en la posición

numérica igual al grado del divisor.
Es una operación que consiste en encontrar una expresión
denominada cociente q ( x) como consecuencia otra
4.2.2.- MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
expresión llamado residuo r ( x) conociendo previamente
Se emplea para dividir polinomios por divisores de la
otras expresiones algebraicas denominadas dividendo forma: ax  b ó cualquier otra expresión
D ( x) y dividir d ( x) , d ( x)  0 . transformable a esta.
ESQUEMA:
ALGORITMO DE EUCLIDES
D ( x) d ( x)
D I V I D E N D O
r (x) q ( x) V.N
D ( x) r ( x)
D ( x) = q ( x) d ( x) + r ( x) Ó = q ( x) +
COCIENTE RESTO
d ( x) d ( x)
4.1.- PROPIEDADES
CONSIDERACIONES IMPORTANTES
1) G. A ( Q ) = G. A ( D ) − G. A ( d ) i) Se completan y ordena los polinomios en forma
T .I ( D ) = T .I ( d ) .T .I ( q ) + T .I ( r ) ;
decreciente
2)
ii) V .N = Valor numérico, es el valor que asume al
T .I = TÉRMINO INDEPENDIENTE igualar el divisor a cero.
Max G. A ( r ) = G. A ( d ) − 1
iii) La línea punteada que separa a los coeficientes de
3) la expresión algebraica del residuo siempre se
G. A. ( r )  G. A. ( d )
traza delante del último coeficiente del dividendo.
En general
4.3.- TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES
4.2.- MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
“Dado un P ( x) como D y un divisor de la forma
Existen diversos métodos para dividir polinomios,
siendo los de uso frecuente los siguientes: ax  b , para calcular el resto en forma directa se iguala el
divisor a cero; se despeja la variable y esta se reemplaza
4.2.1.- MÉTODO DE WILLIAM HORNER en el dividendo”
Se emplea para dividir por lo general polinomios entre CUESTIONARIO

divisores que sean de grado dos o más
1. Hallar: " a + b " si la división:
D I V I D E N D O 24 x 4 + 34 x3 − 12 x 2 − ax − b

deja como resto:
D
I
4 x2 + 7 x − 3
13x + 5
S
I V
G
N I
O S
C
O a) 44 b) - 44 c) 64
A R d) - 64 e) 0
M
B
I
A
D
O
" m " si la división es exacta:
2. Hallar:
28 x + 5 x3 − 2mx 2 − 9 x − 18
4
COCIENTE RESIDUO
4x + 3
a) -4 b) -3 c) -2
CONSIDERACIONES IMPORTANTES d) -1 e) 0
i) Se complementan y ordenan los polinomios en forma 3. Hallar : " a.b " si la división:
decreciente. En caso falte un término este se
complementará con cero. 20 x 4 − 13x3 + 4 x 2 + ax − 1
, b deja como
ii) El primer coeficiente del divisor se ubica en la 5x2 − 2 x + b
columna con el mismo signo, mientras que los otros lo resto: 10 x + 5
hacen con signo cambiado.
a) 42 b) 15 c) 21
d) 56 e) 33
iii) La línea de trazos separa a los coeficientes del
cociente y el residuo y se localiza a la derecha del
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023 2 ALGEBRA
4. Si al dividir P ( x) por : x4 − 1 da como resto: 2 x 2 − 1, 13. En la siguiente división:
( x )  8 x 4 + 6 x3 − 23x 2 + Mx − N
2
entonces el resto de dividir :  − 1 , es:
2
P por: x
determinar el cociente:
4 x 2 − 3x + 1
a) 7 b) 1 c) 8
d) 9 e) 10
2 x 2 + 3x + 4 2 x 2 + 3x − 4
P ( x)
a) b)
5. Sea un polinomio que es divisible
c) 2 x 2 − 3x − 4 d) 2 x 2 − 3x + 4
separadamente por (x 2
+ x − 6) y (x 2
+ x − 2) e) x 2 + 3x − 4
entonces el resto que se obtiene de dividir
P ( x )  ( x + 2 x − 3)( x − 4 )
2 2
es :
14. Hallar "n" si la división:
12 x30 + 16 x 29 + 9 x + n
3x + 4
a) 1 b) 2 c) 3 es exacta
d) – 2 e) 0
a) 6 b) 8 c) 10
6. Calcular el resto de dividir: d) 12 e) 16
( x + y ) + ( x + y )( 2 z − 1) + z ( z − 1)
2
x+ y + z −3 15. Hallar " A + B " para que el polinomio: Ax4 + Bx3 + 1

sea divisible por ( x − 1) .
2
a) z b) x c) 6
d) 5 e) xz
a) 1 b) – 1 c) 0
x 3n + x 2 n + x n − 4 d) 4 e) – 4
7. Calcular " xn " si la división: es
x2n − 1
exacta. 8 x5 + 4 x3 + ax 2 + bx + c
16. El residuo de dividir:
a) 1 b) 2/3 c) 3/2
2 x3 + x 2 + 3
es : 5x + 11x + 7 .Hallar : J = abc
2
d) 2 e) 0
8. Qué valor debe tomar "n" para que el polinomio: a) 20 b) 30 c) 40

x − nax + na x − a
3 2 2 3
sea divisible por:
d) 50 e) 60
x2 − ax + a2 x 221 + 5 x11 + 7
17. Hallar el residuo de dividir:
a) – 1 b) 0 c) 1 x2 + x + 1
d) 2 e) 3
9. Determinar el residuo de dividir: a) 6x +1 b) 6x −1 c) −6 x + 1

( )
3 − 2 x5 − 2 3x3 + 2 3x + 13 d) 6x e) −6x
x− 3− 2 TAREA DOMICILIARIA
a) 10 b) 12 c) 14
1. Si P , es un polinomio definido por:
d) 16 e) 18 P ( x ) = ax5 + bx 3 + cx − 8 tal que el residuo de
3x5 − 8 x 4 − 5 x3 + 26 x 2 + mx + n dividir P ( x) entre x+3 es 6. Entonces el resto de

10. Si la división: es
x3 − 2 x 2 − 4 x + 8 dividir P ( x) entre x −3 es:
exacta, hallar m + n .
a) 21 b) 18 c) - 22
a) 4 b) – 4 c) 2 d) 16 e) 13
d) – 2 e) – 5
2. Calcular E = p.q si la división:
11. Determinar el residuo de dividir: (x 320
+ x − 2)
5
entre
( px 4
+ qx − 19 x + 4 x − 8 )
3 2
entre (x 2
+ 3 x − 10 )
(x 4
− x + 1)
2
deja como resto ( x + 2)
a) x3 + x + 1 b) x3 + 2 x 2 + x + 2 a) 18 b) 16 c) 14
d) 12 e) 10
c) x2 + 2 x + 1 d) x − 4 x − x − 1
3 2
e) x3 − x 2 − x − 2 x 72 + x 4 − 1
3. Hallar el residuo en:
x 64 − x 60 + x 56 − + 1
12. Obtener el residuo de dividir: P ( x ) = x 71 + x + 1 por
Q ( x ) = x3 + 1 , dar como respuesta la suma de los a) x + 1

4
b) x
4
−1 c) 0
d) – 1 e) 7
coeficientes del residuo
a) 0 b)1 c) 2
d) 3 e) 4
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Curso: ALGEBRA
Semana 04: DIVISIÓN ALGEBRAICA

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SEMANA Nº 05
COCIENTES NOTABLES – BINOMIO DE NEWTON

COORDINADOR: Lic. Gastón Francisco Flores Montero.
COCIENTES NOTABLES
Signo = + , si es impar
Se denomina así a toda división exacta de dos Signo = – , si es par
expresiones binómicas de la forma:
BINOMIO DE NEWTON
Si e son números reales y es un entero

positivo, se verifica que:
CASOS:
1° Caso: :
PROPIEDAD
I. El número de términos del desarrollo del

2° Caso: :
binomio es: donde es la
potencia del binomio.
II. El grado de homogeneidad del polinomio
obtenido al desarrollar el binomio de Newton es
3° Caso: :
igual a la potencia del binomio, es decir .
Signo:
Nota: Los casos vistos anteriormente son Cocientes I. Si el binomio es de la forma , todos los
Notables Exactos ya que los residuos obtenidos son signos del desarrollo binomial serán positivos
ceros. (+).
PROPIEDAD
II. Si el binomio es de la forma , los
signos del desarrollo binomial serán intercalados
(+,-,+,-,….).
I. Si es cociente notable, Fórmula del Término Cualquiera del desarrollo
binomial
entonces , “n” es el número de

Términos del desarrollo de un Cociente
Notable y la cantidad es entera y positiva.
II. El desarrollo del Cociente Notable es un
polinomio homogéneo, cuyo grado de
homogeneidad es igual a “n - 1”
Fórmula del Término Cualquiera del desarrollo de

un Cociente Notable
Signo:
Algunas Propiedades:
I. Cuando el divisor es de la forma , todos
los términos son positivos (+).
I.
II. Cuando el divisor es de la forma se
tienen dos casos:
II.
4. Determinar el lugar que ocupa el término que lleva
III.
en el C.N.
IV.
a) 12 b) 13 c) 14
V. d) 15 e) 16
VI. 5. Si el , calcular en
VII.
a) 6 b) 16 c) 25
d) 36 e) 49
VIII.
6. Hallar el vigésimo cuarto término del cociente:
IX.
CUESTIONARIO
1. En el Cociente Notable:
a) b) c)
d) e)
Hallar si
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10 7. Dado el cociente, calcular :
2. Dado el C. N. hallar si se
sabe que
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9 2F
8. Se conoce que , calcular

a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19 en el C. N.
3. Hallar el C.N que da origen al siguiente desarrollo:
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
a) b) c) 9. En el desarrollo del siguiente cociente notable:
d) e)
Hallar el término que ocupa el lugar 10:

d) e)
a) b)
c) d) 15. Calcular el término central del desarrollo de:
e)
10. Hallar el coeficiente del segundo término de la
a) b) c)
expansión del binomio:
d) e)
a) b) c)
16. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo
del binomio:
d) e)
11. Hallar el en el desarrollo de:
a) 10 b) 13 c) – 54
d) 27 e) – 27
a) 7 b) 6 c) 5
17. Hallar si la suma de los coeficientes de los
d) 4 e) 3
12. En el desarrollo del binomio: desarrollos de y

son respectivamente iguales.
a) 12 b) 6 c) 4
d) 9 e) 13
El término central es de la forma , TAREA DOMICILIARIA
calcular 1. Hallar el valor de dado el Cociente Notable:

a) 53 b) 65 c) 35
d) – 35 e) – 65
13. En el binomio se sabe:

a) 0 b) –1 c) – 2
d) 1 e) 2
2. ¿Cuántos términos tiene el binomio de Newton?
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
14. Hallar el término independiente de en el
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
desarrollo:
3. Hallar el valor de si la suma de coeficientes
a) b) c) del desarrollo de:
es igual a .
a) 2 b) 7 c) 5
d) 12 e) 6
HOJA DE CLAVES
Curso: ALGEBRA
Semana 05: COCIENTES NOTABLES – BINOMIO DE NEWTON

(Min.)
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12 C 4 D
13 B 3 M
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01 D 4 D
02 E 3 M
03 B 4 D
SEMANA Nº 06
FACTORIZACIÓN – MCM – MCD
COORDINADOR: Lic. GASTON FRANCISCO FLORES MONTERO.
FACTORIZACION 2
a b a2 2ab b2
Definición: 3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
Es expresar un polinomio en la máxima cantidad de 3
factores racionales, los cuales son primos entre si. a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
Es el algoritmo reciproco al establecido por el axioma de la 2 2
distribución de la multiplicación respecto a la suma. a b a b 2 a2 b2
La factorización permite restituir los factores del resultado
2 2
Legendre
de la ejecución de una multiplicación. a b a b 4ab
Factor Primo (Pol. Irreductible): Es aquella expresión
algebraica racional entera no constante que posee como 5. Regla de Aspa Simple: Se utiliza para factorizar
único divisor a otra expresión idéntica a la misma. trinomios.
63 x 2 41x 6
Divisor: Es toda aquella expresión que se halla contenida
dentro de otra. El divisor puede o no ser primo.
Expresión Reciproca: Es aquella que tiene iguales los 7x 3 27 x

coeficientes de los términos equidistantes de los extremos,
tanto en valor absoluto como en signo.
9x 2 14 x
41x ter. central
CONTEO DE FACTORES Y DIVISORES DE UNA
2
EXPRESION RACIONAL ENTERA 63 x 41x 6 7x 3 9x 2
Sea Am . Bn .C p ; A, B, C con primos entre si:
# Factores = ( m + 1)( n + 1)( p + 1) 6. Regla del Aspa doble: se utiliza para factorizar
polinomios de 6 términos.
# Divisores = ( m + 1)( n + 1)( p + 1) − 1 12a 4b 2 3a 3bc 2 15a 2 c 4 10a 2b 2c3 53abc5 42b 2c 6
METODOLOGIAS DE FACTORIZACION
3a 2b 3ac 2 7bc3
1. Factor Común Monomio: Ocurre cuando todos los
términos del polinomio tienen un factor común, el cual 4a 2b 5 ac 2 6bc3
puede extraerse.
ab + ac = a ( b + c ) 3a 2b 3ac 2 7bc3 4a 2b 5 ac 2 6bc 3
2. Factor Común Polinomio: Ocurre cuando todos los
términos del polinomio tienen un factor común, el cual MCM – MCD
puede extraerse.
( x + 5)( x − 1) + ( x − 1)( x + 2 ) MCM: El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones
enteras es otra expresión algebraica entera del menor
( x − 1) ( x + 5) + ( x + 2 ) coeficiente numérico y del mayor grado posible que
contiene exactamente a cada una de las expresiones
dadas.
3. Agrupación de Términos: Se realiza luego de
comprobar la ausencia de factores comunes, los S = a 2b 4 c3 , A = a 3b 2c5
cuales se deberán de construir a partir de los
sumandos:  MCM = a 3b 4c5
a. Se asocian dos términos, creándose de este
modo un factor de referencia. MCD: El máximo común divisor de dos o más expresiones
b. Se asocian los términos restantes tratando de algebraicas enteras es otra expresión algebraica entera del
formar factores iguales al de la referencia. mayor coeficiente numérico y del menor grado posible que
c. El método concluye si se logran el factor contiene exactamente a cada una de ellas.
común.
d. El método no concluye si no se logra obtener
factor común, por lo que se deberán asociar S = a 2b 4c3 , A = a 3b 2c 5
parejas de trinomios diferentes.
 MCD = a 2b 2c3
4. Expresiones Notables: Se utiliza cuando se
reconocen los productos notables como la estructura Propiedades:
de la polinómica en estudio. 1. Si dos o más expresiones algebraicas son primas
entre sí:
a2 b2 a b a b a b a b MCD( A, B ) = 1
3 3 2 2
a b a b a ab b 2. Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras:
a3 b3 a b a2 ab b2 MCD( A, B )  MCM ( A, B ) = A  B
2 3. Toda expresión algebraica entera que divida a dos o
a b a2 2ab b2 más expresiones enteras, divide también a su MCD.
4. Si dos o más expresiones algebraicas enteras se 6. Señale el término independiente de uno de los
factores de: ( x + 1) + x + 2
multiplican o dividen por una misma cantidad, el 5
MCD quedará multiplicado o dividido por la misma
expresión.
5. Si dos o más expresiones algebraicas enteras se a) 2
dividen por su MCD, los coeficientes serán primos b) -1
entre sí. c) 3
d) -2
CUESTIONARIO e) -3
1. El equivalente de la expresión:
1 + x ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) es:
(x − 1) y el
2 2
7. El producto de dos expresiones es
a) ( x + 2 x + 2 ) cociente de su MCM y MCD es ( x − 1) . Hallar el

2 2
2
b) ( x 2 + 3x + 1) x
MCD
a) x2 −1
c) (x + 1) ( x − 1)
2
b) x2 + 1
d) ( x + 3x + 1) x −1
2 2
c)
d) x +1
e) ( x − 1) ( x + 1)
2
( x + 1)
2
e)
2. Factorizar (a + b)
2
(a 2
+ b 2 ) + a 2b 2 luego
8. Al factorizar x + 1 + x
2
( 2
) (1 + x ) 2
se obtiene:
indique el mayor grado de uno de sus factores:
a) 1
(x − x + 1)
2 2
b) 2
a)
x 2 + x + 1)
2
c) 3 b)
d) 4
(x + x + 2)
2 2
c)
e) 5
(x + x − 1)
2
d)
2
Descomponer el trinomio: x + x + 1,
4 2
en el
e) ( x 2 + 3 x + 1)
3. 2
producto de dos factores reales:
a) ( x − 1) ( x3 − x 2 + x − 1) 9. Factorizar y dar como respuesta la suma de los
b) ( x 2 + 1)( x 2 − x + 1)
2
(
factores de: 9 ( x − y ) + 12 x 2 − y 2 + 4 ( x + y )
2
)
c) ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1) a) 5x − y
b) 5x + y
d) ( x + x + 1)( x − x − 1)
2 2
c) 10 x − 2 y
e) ( x + 2 x + 1)( x − 2 x + 1) d) 10 x + 2 y
2 2
e) 5x + 2 y
4. El factor primo de mayor grado de:
10. Indicar la suma de los factores de:
2 x4 + 5x3 − x2 − 5x + 2 es:
(a − b) (c − d ) + 2ab ( c − d ) + 2cd ( a 2 + b 2 )
2 2 2
a) 2 x2 + 1
b) x2 −1 a) a 2 + b2 + c 2 + d 2
c) x2 + x −1 b) a + 2b + c + 2d
d) x2 + x + 1 c) a 2 − b2 + c 2 − d 2
e) x3 + 4 d) a + b2 + c + d
e) a 2 + b2 − c 2 + d 2
5. Factorizar
a ( a − 2 ) + b ( b − 2 ) + c ( c − 2 ) + 2 ( ab + bc + ac ) − 3 11. Factorizar: mn ( x 2 + a 2 ) − ax ( m 2 + n 2 )
e indicar un factor:
a) ( nx − an )( nx − am )
a) a + b +c +1 b) ( ax − nm )( ax + mn )
b) a - b + 2
c) ( mx − an )( nx − am )
c) a+ b + c + 3
d) a + c - b d) ( mx − am )( mn − nx )
e) a + c - 2 e) ( am + nx )( ax − mn )
12. Indicar el mayor grado de uno de los factores de: 17. El polinomio 3x3 − 21x + 18 al factorizarse tiene
x +x +x +2
8n 4n 3n
la forma: a ( x − b )( x − c )( x − d ) donde
a) 6 n b  c  d . Calcular a − b + c − d
b) n - 1 a) 7
c) n + 1 b) -7
d) 4n c) 9
e) 2n + 1 d) 6
e) 5
( x6 + 1) − 4 x6
2
13. El producto de 2 polinomios es:
y el cociente de MCM entre el MCD de ambos
( )
2
es: x + 1 − 4 x 2 . El MCD es: TAREA DOMICILIARIA
2
a) (x + 1) ( x3 − 1) 1. Un factor de
q ( x ) = ( x3 − x 2 + x − 1) ( x + 1) ( x 4 + 1) + x 4 + 2
b) ( x − 1) ( x3 + 1)
es:
c) ( x + x + 1) ( x + 1)
2
x2 + x + 2
d) ( x − x + 1)( x + x + 1)
2 2 a)
b) x2 + 2 x − 1
e) ( x + x + 1)( x − 1)
2 2
c) x 2 − 3x + 1
d) x 2 − 3x − 1
14. Si q ( x ) = x − x − 9 x + 9 es el MCM de los
3 2
e) x2 + x + 1
polinomios p ( x ) = x + 2 x − 3 y
2
2. Luego de factorizar:
r ( x ) = x +  x + 3 , el cuadrado de su MCD es:
2
x7 − 8x6 + 21x5 −15x4 −15x3 + 21x2 − 8x + 1
el producto de los coeficientes de un factor es:
a) x − 2 x −1
2
a) -5
b) x + 2 x + 1
2
b) -4
c) x − 2 x + 1
2
c) -3
d) ( x + 2 )
2
d) -2
e) -1
e) ( x + 3 )
2
15. Al descomponer en dos factores la expresión:

( a − 5)( a − 6 )( a − 7 ) + ( a − 5)( a − 6 ) − ( a − 5 )
el resultado del producto de los valores
absolutos de los términos no literales es:
a) 157
b) 165
c) 156
d) 175
e) 105
16. Si x + 1 es un factor de x2 + cx − 2 y 2 x − 1 es
un factor de dx + 5x − 4 , entonces el valor de
2
d / c es:
a) 1/2
b) 4
c) -1/2
d) -6
e) 6
HOJA DE CLAVES
Curso: ALGEBRA
Semana: 06 FACTORIZACION – MCM – MCD

(Min.)
01 D 2 F
02 B 2 F
03 C 2 F
04 C 2 F
05 A 3 M
06 C 2 F
07 D 3 M
08 B 2 F
09 C 3 M
10 A 3 M
11 C 2 F
12 A 2 F
13 D 3 M
14 C 2 F
15 D 3 M
16 D 2 F
17 E 3 M
TAREA DOMICILIARIA
01 E 3 M
02 C 2 F
IDEPUNP/CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 07
TEMA: RADICACIÓN – RACIONALIZACIÓN
COORDINADOR: LIC. GASTÒN FRANCISCO FLORES MONTERO.
⮚ RADICACIÓN
Definición: Radicación es aquella operación matemática I) Radicales de la forma: A± B
que consiste en encontrar una expresión llamada Raíz, de
modo que dicha expresión elevada a un número entero A+C A−C
positivo denominado Índice reproduzca otra expresión A=
±B ±
llamada Radicando. 2 2
En general: C
Donde:= A2 − B (raíz exacta)
n
A = q ⇔ q = A, n ∈ Z ∧ A ∈ R .
n +
II) Radicales de la forma: A± 2 B

ELEMENTO DE UNA RAÍZ
A± 2 B = x ± y
En forma esquemática
SIGNO RADICAL
Donde: x+
= y A; =
x. y B
INDICE
n ⮚
A= q RAÍZ TRANSFORMACIÓN DE RADICALES TRIPLES
A RADICALES SIMPLES.
3
CANTIDAD SUB RADICAL A ± B =±
x y
O RADICANDO donde:
TEOREMA.
( B)
2
C
= 3 A2 −
Al multiplicar simultáneamente el índice " n " y el , para hallar " x" y " y"
exponente " m " por un número racional " k " , la solución
respectivamente:
x: y:
n m
principal de A no altera.
4 x3 − 3Cx
A= x2 − C
y=
n m n⋅k m⋅k
=A A ; k ∈Q +
Ejemplo:
CUESTIONARIO
Para: 64= 4 ← Solución principal
3
Multiplicando el índice y el exponente por 2: 1. Luego de extraer la raíz cuadrada de:
=
3
64 3⋅2
642
= 6
4096 4
= 4 x6 + 8 x5 + 4 x 4 + 4 x3 + 2 x + 1 .
⮚ RACIONALIZACIÓN
=E
Hallar ∑ coef .de la raíz + ∑ coef .resto
Definición: La racionalización es el proceso que consiste en
transformar una expresión irracional en otra parcialmente a) 2 b) 4 c) 3
racional. d) 8 e) 6
Con frecuencia se racionalizan denominadores para lo cual
se debe multiplicar a ambos términos de la fracción
simultáneamente por una expresión llamada Factor 7+4 5+2 9+2 7−2 6
Racionalizante (F.R.) 2. Al reducir:
Se obtiene una expresión de la forma a + b , donde
CASOS
a > b .Determinar el valor de " a − b " .
I) Denominador monomio
a) 11 b) 5 c) 8
n n−m n m d) 3 e) 12
K a K a
⋅ =
n
am n
a n−m a ; F.R:
n
a n−m 3. Hallar el valor de " x + y " en:
II) Denominador Binomio. 13 − 88 = x − y − 36 − 5 44
Si el denominador es: Su F.R será:
a) 64 b) 201 c) 227
a+ b a− b d) 100 e) 225
a− b a+ b 4. Hallar la raíz cuadrada de:
2 2
3
a+ b 3 3
a − a b+ b
3 3 3
2 2
A2 = 5 x − 2 + 2 6 x 2 − 7 x − 3
3
a−3b 3
a +3 a3b+3b
a) 2 x − 3 + 1 − 3x b) 3x + 1 − 2 x − 3
⮚ TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES
A RADICALES SIMPLES. c) 3x − 1 + 2 x + 3 d) 2 x − 3 − 3x + 1
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE–DICIEMBRE 2023 2 ALGEBRA
e) 3x + 1 + 2 x − 3
2 1
a) 2 b) 6 c) 2
3
d) 5 e) 2
5. Transformar a radicales simples:
( ) ( ) (
S = 1 + x + 2 + x + 3 + x + ......... + x + x ) 13. Reducir:
−1
2− 3 11 − 3  11 + 3 
M= + +  
2x 2x 2x 2x 7 + 33 8  2 11 + 3 
+ −
a) 2 2 b) 2 2
a) 3 b) 6 c) 2
x 2 d) 4 e) 5
+
c) 2 2 d) 2x + 2
14.Simplificar:
2
( )
2
2x +
5
a +1
2 =A − 5 a +1
( )( )
e) 5 2 5 3 5 2
a + a +1 5
a − a +1 − a
6. Calcular:
R
= n
2 + 1 ⋅ 6 n 99 − 70 2 ⋅ 2 n 3 − 2 2 ⋅ 3n 5 2 + 7 a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
15.Si a, b, c son positivos y además c > b > a, indicar el
denominador racionalizado de:
7. Calcular el valor de la siguiente suma:
3abc
3
20 + 392 + 20 − 392 3 N=
a + b + c + 4ac − 3b 2 + 6bc − 2ab
3
4+2 4 3
12
a) b) c) 2 ( a + 2b − c ) 2 ( a − 2b + c )
a) b)
d) 2 + 3 e) 2 +1
2 ( a + 2b + c ) 2 ( a − 2b − c )
c) d)
8. Si la raíz cuadrada del polinomio P(x) es exacta. Hallar: 2(a + b − c)
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 e)
𝑎𝑎
P ( x) = ax 6 + bx 5 + 8 x 4 + 4 x 3 + 16 x 2 + 16 x + 4
6+2 3
a) 3 b) 2 c) 1 M =
d) 4 e) 5 16.Simplificar: 33 − 19 3
9. Transformar la siguiente expresión a radicales simples: a) 2√3 + 5 b) 3√3 + 5 c) 4√3 + 5

4 d) 5√3 + 5 e) 6√3 + 5
=S 193 + 132 2
N
2+ 3 E=
a) 3+ 2 b) c) 4+ 2 4
x + x y + 4 xy 2 + 4 y 3
3 4 2
17.Racionalizar
d) 4+ 3 e) 5+ 2
N ( 4
x−4 y ) N ( 4
x−4 y )
10. Efectúe 2x − 1 + 2 x2 − x − 6 x+ y x− y
a) b)
a) x−3 + x+ 2 b) x+ 5 N ( 4
x+4 y ) −
N ( 4
x−4 y )
x + 5 + x −1 x+4 − x−2 c) x+ y d) x+ y
c) d)
e) x− 5
−
N ( 4
x−4 y )
e) x− y
12
3+ 2− 5 TAREA DOMICILIARIA
11. Si: ; es equivalente a:
1. Al racionalizar indicar el denominador
2 a + 3 b + c ; hallar "a + b + c" −1
E=
a) 30
d) 40
b) 36
e) 35
c) 25 3
49 − 3 7 − 6
a) 700 b) 500 c) 300
12. Simplificar: d) 100 e) 70
x + x2 − 7 x 2. Racionalizar y proporcionar el denominador en:

P ( x) , x≠0
x + 14 x + x − 14 x
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE–DICIEMBRE 2023 3 ALGEBRA
1 a) 12
d) 17
b) 13
e) 18
c) 14
( )
3
2 + 3 + 5 −2 2 −3 3 −5 5
HOJA DE CLAVES
Ciclo REGULAR/ SEPTIEMBRE-DICIEMBRE 2023
Curso: ALGEBRA
Semana N° 07: RADICACIÓN – RACIONALIZACIÓN

(Min.)
01 C 3 M
02 B 3 M
03 C 4 D
04 E 2 F
05 A 3 M
06 B 3 M
07 B 2 F
08 C 3 M
09 A 3 M
10 A 3 M
11 E 3 M
12 A 3 M
13 C 3 M
14 A 2 F
15 A 2 F
16 B 3 M
17 B 2 F
TAREA DOMICILIARIA
01 C 3 M
02 E 3 M
SEMANA Nº 08
ECUACIONES
COORDINADOR: Lic. GASTON FRANCISCO FLORES MONTERO.
ECUACIONES b ; coeficiente de x
Son igualdades condicionales; en las que al menos debe c ; término independiente
existir una incógnita.
● DISCRIMINANTE
(∆)
Ejemplo: 3x − 2 = 6 + x
Es una ecuación de incógnita " x" ∆= b 2 − 4ac
⮚ SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

● PROPIEDAD DEL DISCRIMINANTE
Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la
ecuación, verifican la igualdad. Si la ecuación tiene una sola I. Si: ∆ > 0; la ecuación tiene raíces reales y diferentes.
incógnita, a la solución también se le llama raíz.
II. Si: ∆ =0; la ecuación tiene raíces iguales.
Ejemplo: 7 x − 5 = 2 x + 10 III. Si: ∆ < 0; la ecuación tiene raíces complejas
Solución o raíz: x = 3
conjugadas.
● PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

● ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma: b

S= x1 + x2 = −
ax + b= 0, a ≠ 0 I. Suma de Raíces: a
b c
x= − = P x= 1 . x2
Solución de la ecuación: a II. Producto de Raíces: a
● DISCUSIÓN DE LA RAÍZ : b 2 − 4ac
D = x1 − x2 =
b III. Diferencia de Raíces: a
x= −
a ● CONSECUENCIAS
Si: a= 0; b= 0 → Ec. Indeterminada

I. Raíces Simétricas:
0
S = 0 , esto es: x1 + x2 =
Si: a= 0; b ≠ 0 → Ec. Incompatible
II.
x .x =1
Raíces Recíprocas: P = 1 , esto es: 1 2
Si: a ≠ 0 → Ec. Determinada
III. Raíces Opuestas:
0
S = 0 , esto es: x1 + x2 =
Ejemplo:
Hallar: " a + b " ; si la ecuación

(a − 7) x + b =3 es ⮚ ECUACIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES
indeterminada. Son aquellas ecuaciones que tienen las mismas raíces; por
lo tanto cumplen con la proporcionalidad de sus coeficientes,
3−b esto es:
x= Dadas las ecuaciones equivalentes:
Solución: a−7 ;
Si es indeterminada: ax 2 + bx + c =0
a−7 = 0 → a = 7 a1 x 2 + b1 x + c1 =
0
3−b = 0 → b = 3 10
∴ a+b =
Se cumple:
● ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO a b c
= = = k
a1 b1 c1
Forma General: ax 2 + bx +=
c 0, a ≠ 0
Resolución de la ecuación: CUESTIONARIO

I. Por Factorización (Aspa Simple).
II. Por Fórmula general : 1. Calcule el valor de ( x 2 − 78) ; Después de

resolver:
−b ± b 2 − 4ac x +1 x −1 x + 2 x − 2
x= + = +
2a 8 3 4 6
Donde
a) 1 b) 2 c) 3 7
a; coeficiente de x2 d) 4 e) 5
a) 8 b) 10 c) 12
d) 14 e) 16
a
;
(m + n)
m
2. Calcular: b después de resolver:
8. Hallar: ; si las ecuaciones:

5 a − 3 b =
3 nx + ( m + n + 2 ) x − 14 =
2
0

25a − 9b =
 81 ( m + n ) x 2 + ( 7m + n ) x − 42 =
0
Tienen las mismas raíces
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75
d) 0,35 e) 0,15 a) 3 b) 4 c) 8
d) 9 e) 11
3. Calcular el valor de " x + y " después de resolver
el sistema:
9. Dada la ecuación:
4 6 kx 2 − ( k − 5 ) x + 1 =0 ; el producto de raíces es
+ =0
x y igual a la diferencia de las mismas. Hallar la mayor
raíz.
3 4 17
− =−
x y 6 a) 1/2 b) 1/4 c) 1/6
d) 1/3 e) 1/5
a) 1 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) 3
10. En la ecuación x 2 + px + q =0 ; determinar
x
; " p + q " ; de tal manera que una de las raíces sea
4. Hallar : y después de resolver el sistema: el triple de la otra y que la suma de sus cuadrados
3 sea 40.
( x − y ) −1 + ( x + y ) −1 =
16 a) 10 b) 8 c) 6
1 d) 4 e) 2
( x − y ) −1 − ( x + y ) −1 =
16
11. Si: x1 y x2 , son las raíces de la ecuación:

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 x2 − x + 1 =0 ; Hallar el valor de:
( 3 x1 )( 6 + x1 )( 3 − x2 )( 6 + x2 )
E =−
5. Calcular; x. y en el sistema mostrado:
a) 300 b) 301 c) 302
x+ y =4,5 d) 303 e) 304
10 x − 10 y = 3
a) 3,00 b) 3,24 c) 12. Hallar " n " para que la ecuación:

4,49 x 2 − ( n − 1) x + 3n − 11 =0 ; tenga sus raíces
d) 5,49 e) 2,25
iguales.
6. Hallar el valor de:
a) 7 b) 8 c) 9
M = n − m + 3 m + n + 5 ; si : d) 10 e) 11
7 m + 3n + 11 − 7 m − 3n + 8 = 3
13. Si: p y q ; son las raíces de: x − 7 x + 5 =
2
7 m + 3n + 11 + 7 m − 3n + 8 = 13 0;
Hallar:
E= p ( p − 3) + q ( q − 3)
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
a) 18 b) 17 c) 16
d) 15 e) 14
7. Calcular: " x + y " ; después de resolver el

sistema:
x−2 y−7 14. Si: m y n son las raíces de: x 2 − 9 x + k =0.
=
x+2 y −5 2 2
m + n + 2k
x +1 y − 3 Hallar: 27
=
x −1 y − 5
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a+x + a−x a
=
a+x − a−x x
a) 1 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) – 3
15. Hallar " p " para que las soluciones de la
ecuación:
( p − 6 ) x 2 − ( p3 − 343) x − 49 =
0
Sean simétricas:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
16. Hallar " k " ; para que las raíces de la ecuación:

( k + 1) x 2 − 6kx + 3k − 7 = 0 ; sean recíprocas.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
17. Hallar "n" , si en la ecuación:

x − ( 3n − 1) x + 4n =
2
0 ; una raíz es el triple de la
otra.
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcule el valor de " x " ; después de resolver el

sistema:
xy 4 ( x + y )
3=
5 yz 12 ( y + z )
=
xz 3 ( x + z )
2=
a) 6 b) 2 c) 4
d) 8 e) 3
2. Si: x1 y x2 son raíces de: x − 7 x + 4 =

2
0;
Formar una ecuación cuadrática cuyas raíces
sean: x12 y x 22 . Señale su T.I.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 19
y−a
;
3. Hallar el valor de: 2a sabiendo que " y " es
una raíz de la ecuación:
HOJA DE CLAVES
Ciclo REGULAR SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023
Curso: ALGEBRA
Semana: 08 ECUECIONES

(Min.)
01 C 3 M
02 C 2 F
03 A 2 F
04 C 2 F
05 B 3 M
06 D 2 F
07 C 2 F
08 D 3 M
09 D 3 M
10 D 2 F
11 B 2 F
12 C 3 M
13 A 3 M
14 C 2 F
15 E 2 F
16 C 2 F
17 D 3 M
TAREA DOMICILIARIA
01 B 3 M
02 B 2 F
03 B 3 M
IDEPUNP/ CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE-DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA
SEMANA Nº 09
TEMA: LOGARITMOS
COORDINADOR: Lic. GASTON FRANCISCO FLORES MONTERO
LOGARITMOS
8) Logb1 = 0
Definición:
Propiedades Adicionales:
Se llama logaritmo de un número en una base dada,
positiva y distinta de la unidad, el exponente a que
debe elevarse la base para obtener una potencia 1) bLogb N = N
igual al número dado.
2) a Logb N = N Logba
Notación:
Paso de un sistema de Logaritmos a otro:
Número
( b  0 y b  1) Log x N
Logb N =
Logb N = x Logaritmo del número
en la base dada
Log xb
“El logaritmo en base "b " se cambio a base " x "
base
Cologaritmo de un Número:
Por definición: Se llama cologaritmo de un número en una base
dada al logaritmo de la inversa del número en la
misma base. Es equivalente al logaritmo del número
Si: Logb N = x  b x = N en la misma base precedida del signo menos y
también al logaritmo del número en una base igual a
Sistema de Logaritmos: la inversa de la base del cologaritmo.
Se llama sistema de logaritmos al conjunto formado 1

por los números positivos y sus correspondientes Cologb N = Logb = Log 1 N = − Logb N
logaritmos en una cierta base positiva y distinta de la N b
unidad.
Los más utilizados son dos:
Antilogaritmo de un Número:
I. El sistema de logaritmos naturales, hiperbólicas o
neperianos cuya base es el número trascendente Se llama antilogaritmo en una base dada del
e = 2,718281... logaritmo de un número en la misma base al número
al cual pertenece dicho logaritmo.
Notación: Loge N = Ln N
Ln : Indica logaritmo en base e Antilogb Log b N = N
II. El sistema de logaritmos decimales vulgares o de
En consecuencia:
Briggs cuya base es 10
Notación: Log10 N = Log N Antilogb x = b x
Log : Indica logaritmo en base 10
CUESTIONARIO
Propiedades Generales de los Logaritmos:
Logb A. B = Logb A + Logb B

1. Hallar " m" :
1)
1
2)
A
Logb = Logb A − Logb B log m − 21 = 1 − log m
B 2
3) Log b An = n Log b A a) 27
d) 21
b) 22
e) 25
c) 23
1
4) Logb n A = Logb A 2. Hallar la suma de las soluciones en la ecuación:
n Log 4− x2 (1 − 2 x ) + Log1− 2 x ( 4 − x 2 ) = 2
5) Logb a .Logab = 1
a) 3 b) 2 c) – 1
6) Logb A = Logbn A = Log n b A
n n
d) 0 e) – 3
7) Logbb = 1
3. El valor de “ x ” diferente de 1 que verifica:

log x 2 = ( log x )
2 13. Calcular:
es:
Colog x ax.Colog a x = 1 − Colog x a
a) 10 b) 2 c) 100
d) 0.1 e) 0.01 − 2  2/2
a) a 2 b) a c) a
Anti log  x  4 = 4 x
2 2 1/ 2
d) a e) a
4. Hallar " x " en:
 
2
14. Resolver: Antilog2 log x 16 = x
a) 2 b) 8 c) 2 a) 2 b) 1/2 c) 3
d) 4 e) 32 d) 1/3 e) 1/4
5. Hallar el producto de raíces de la ecuación: 15. Calcular

3
x 2 , después de resolver:
4 log x ( 2 x ) = 2 log 2 x 4
5
Log x2 2 + Log x 4 =
2 6
a) 2 b) 2 c) −
2 a) 9 b) 4 c) 5
−1
d) 4 e) −4 2 d) 6 e) 7
( 3x )
log3 x x 2 16. Indicar una solución de:
= 27
6. Resolver:
log x log x
−13log x − 68 = 0
3 4 a) 1013 b) 10
14
c) 10
15
a) b) 3 c) 3
3 d) 10
16
e) 1017
3
d) e) 3 3 17. Hallar la suma de los valores de x después de
4 resolver:
7. Probar si 3x = 15 , hallar: log 3 ( 75 ) − 2x Log 2 (9 x −1 + 7) = 2 + Log 2 (3x −1 + 1)
a) 1 b) 2 c) 3
a) 1 b) 2 c) – 1 d) 4 e) 5
d) – 2 e) − 3
TAREA DOMICILIARIA
8. Resolver: log x 2 = log 2 + log 2 + log 2 + ...

2 3
1. Hallar el producto de las soluciones de la ecuación:
a) 2 b) 3 c) 5 ln x ln x + ln 3 e4 = ln x 2 e
d) 7 e) 9
a) e-e b) e c) ee
x2 = 2
log x 2 x d) e2e e) 5e
9. Resolver:
 e 
ln  2 
 e  x 
 2
a) 2 b) 3 c) 5
e
d) 1 e) 2
x  =e
ln  
 x
2. Hallar “ x ” en:
x ln x
10. Calcular: x loga 3
, en 3 loga x
+ 3x loga 3
=2
a) e b) e2 c) 1
a) 1/2 b) 1/4 c)1/3 d) e-1 e) e-2
d)1/16 e) -1/16
3. Al resolver:
11. Resolver: log xlog x − log x = 6
log 7 x + 4 + log 2 x + 3 = 1 + log1.5
a) 10-3 b) 10-2 c) 10-1
d) 0 e) 10 Indique el valor natural que asume x:
( )
a) 3 b) 4 c) 2
12. Resolver: 1 + log x 3 27 .log 3 x + 1 = 0 d) 1 e) 5
a) 3 3
b) c) 3 3
−1 −1
d) 27 e) 9
HOJA DE CLAVES
Ciclo Regular SEPTIEMBRE-DICIEMBRE 2023
Curso: ALGEBRA
Semana: 09 LOGARITMOS
Tiempo
Pregunta Clave Dificultad
(Min.)
01 E 2 F
02 C 2 F
03 C 2 F
04 D 2 F
05 A 2 F
06 E 3 M
07 C 2 F
08 C 2 F
09 E 3 M
10 A 3 M
11 B 2 F
12 E 3 M
13 C 2 F
14 E 2 F
15 B 3 M
16 E 3 M
17 C 3 M
TAREA DOMICILIARIA
01 D 3 M
02 A 3 M
03 A 3 M
SEMANA Nº 10
INECUACIONES – VALOR ABSOLUTO – VALOR VERDADERO
COORDINADOR: LIC. GASTÓN FRANCISCO FLORES MONTERO.
INECUACIÓN VALOR ABSOLUTO
Una inecuación es toda desigualdad condicional que Dentro del sistema de números reales se define el
contiene una o más cantidades desconocidas Valor Absoluto de un número real x :
denominadas variables y que sólo es verdadera para
 x si x  0
determinados valores de dicha variable las cuales se
hallan contenidos en el conjunto solución.
  x, si x  0
x =  0 si x = 0 ó x =
INECUACIONES POLINOMIALES − x si x  0 − x, si x  0

• DE PRIMER GRADO
ax + b  0; ax + b  0; ax + b  0; ax + b  0 PROPIEDADES:
Donde: a, b R ; a  0
 a, b, x, y  R :
• DE SEGUNDO GRADO
1. a 0
ax 2 + bx + c  0; ax 2 + bx + c  0 2. a = a2 ; a2 = a
2 2
ax 2 + bx + c  0; ax 2 + bx + c  0
3. x2 = x
Donde: a, b  R, a  0
4. x = y  x = y  x = −y
PROPIEDADES
5. x = b  b  0  ( x = b  x = −b ) 
• TRINOMIO SIMPLE POSITIVO 6. x  b  b  0  − b  x  b 
ax2 + bx + c  0;  xR → a  0  b2 − 4ac  0 7. x  b  ( x  b  x  −b ) 

8. x  b  b  0  − b  x  b 
• TRINOMIO SIMPLE NEGATIVO
9. x  b   x  b  x  −b 
ax + bx + c  0;  xR → a  0  b − 4ac  0
2 2
x  y  ( x − y )( x + y )  0
10.
ECUACIONES E INECUACIONES CON 11. x  y → ( x − y )( x + y )  0

RADICALES
Cuando una inecuación o ecuación contiene una

PROPIEDADES
4
expresión con radical par como A , A , etc. Para
1) lim k = k , k constante
que las soluciones sean validas debe resolverse x→a
A  0 cuyo conjunto solución constituirá el universo
dentro del cual se va a trabajar, es decir: 2) lim k f ( x ) = k lim f ( x )
x→a x →a
a)  x  0 ; x0 lim  f ( x )  g ( x )  = lim f ( x )  lim g ( x )

3)
x →a x →a x →a
b) x =0 x=0
TEOREMA: 4) lim f ( x ) .g ( x ) = lim f ( x ) .lim g ( x )

x→a x→a x→a
f ( x)
A) Si n es entero positivo par:
f ( x ) lim
lim = x →a
x0 x0 x =0 x=0 g ( x ) lim g ( x )
A1) n
A2) n 5)
x →a
x →a
A3)
n
x  n y 0  x  y
n
lim  f ( x )  = lim f ( x )  , n  R +
n
B) Si n es entero positivo impar: 6)
x →a  x →a 
x  0 x  0 x0→ x0 1 1
, g ( x)  0
n n
B1) B2)
lim =
x →a g ( x ) lim g ( x )
7)
B3)
n
x n yx y x →a
8) lim n f ( x ) = n lim f ( x ) 
d) −10,10 e) R
x →a x →a
 sen x  5. Resolver indicando el complemento del conjunto

9) lim   =1 5x + 6  5x
2
x →0
 x  solución:
10) lim ( sen x ) = 0

x →0

a) 6 , + 
b) −3, 2  c) [ −2,3
11) lim ( cos x ) = 1 d)  3, + e) − , − 2
x →0
( 0,1)  ( 0, 01)
2 x −1 5 x +1
12) lim tg x = 0 6. Resolver:
x →0
lim sec x = 1 −3 3 3
13)
x →0 a) −, b)  8 , + c) , 2
8 8
 1 − cos x  −3 
14) lim  =0 d) − , R
8 
e)
x →0
 x 
 1 
15) lim 
x →0
 =1 ( x − 5) ( x + 1) ( x − 2 )
8 11 5
 cos x  0
g ( x)  1

 ( x) g ( x)
7. Resolver:
( 2 x 2 + x + 5 ) ( x − 3)7
16)
lim  f ( x )  = lim (1 +  ( x ) )  ( x)
 ,
x →a x →a
 
lim  ( x ) g ( x )
[
a) −1, 2  3, + 
b) −2,3  4,5
=e x →a
. c) 3, + d) 
si lim f ( x) = 1  lim g ( x ) =  e) R
x→a x →
8. El menor número natural “ x ” que verifica la
donde lim  ( x) = 0
x→a
( x − 4 )( x + 2 )( x − 5)  0
( x + 6 )( 3 − x )
CUESTIONARIO inecuación:
1. Hallar un intervalo del conjunto solución de:
x − 2 x +1
 a) 1 b) 2 c) 3
x+3 x
d) 4 e) 5
 −1 1 1
9. Resolver: 2 x − 5  3
a)  2 , + b) −3, − 
2
c) −3,
2
1
a) 1, 4 b) R − 1, 4   c) R
d) − , + 
e) 0 , +   d)  e) 1,3
2
2. Resolver: x2 + 2 x + 2  0
1
10. Si ,  1,8 . Determine el menor
a) 3,5 b) 5,3 c) R 2x −1
valor de “ x ”
d) ∅ e) −2 , 2
3 5 9
a) − b) − c)
3. Indicar el complemento del conjunto solución de: 16 16 16
2 x2 − x − 10  0 19 11
d) e)
16 16
−5  −5  5
a) ,1 b)  2 ,1 c) −2, 11. Hallar los valores de “ x ” que verifican la
2 2
inecuación: −1  −3 + 3x  2 es:
 5
d)  −2,  e) 3,5 
 2 2 5

a) 2,5 b)  3 , 3 
c) 1,3
x + 20 x + 100  0
2
 e)  0,5
4. Resolver:
d) −1,1
a) −10,10 b) − , − 10 c) R −{−10}
12. Resolver: x + 2  3 − 5 x 2. Resolver: 3 x − 2  x + 6
1 1 a) −1, 4 b) −1,3

a) 0 , + b)  4 , + c)  2 , +
c) 0,3
d)  e) R
1 1
d)  3 , + e)  , +
6
3. Resolver: x − 3 + 2 x  5
2 −2
lim
x2 + 3 − 2 a) ,2 b) ,2 
c) 2 , + 
13. Calcular 3 3
x →1 x −1
−2
d) −, e) 
1 1 1 3
a) b) c)
3 4 5
1 1 1 − 2Cos
d) e) 4. Evaluar: lim 
6 2 →
3
−
3
x2 + 1 a) 2 b) 1 c) −1
14. Evaluar: lim
x → x + 1
d) 1/ 2 e) 3
a) −1 b) 1 c) 0 x+2
 x − 4
lim 
x → x + 1 
5. Calcular:
d) 1/ 2 e) 1/ 4  
f ( x ) −1 a) e−5 b) e−2 c) e−6
15. Si lim =1, d) e
−7
e) e
−8
x →0 x
f ( ax ) − f ( bx )
Calcular lim
x →0 x
a) a b) b c) a+b
d) a − b e) b−a
x+2
16. Hallar el valor de: (x 2

− 4 x + 5) x2 − 4 x + 4
cuando x→2
a)e2 b) e3 c) e4
5 6
d) e e) e
Tg x Sen x
17. Evaluar: lim
x 0 Sen3 x
1 1
a) b) 1 c)
5 2
1
d) e) 3
4
TAREA DOMICILIARIA
1. Resolver: y dar como respuesta un intervalo en:

1 1
 2
x − 2 x − 15 x − x − 2
2
a) −12, − 1 b) −3, − 1 c) −13, 2
d) −1, 2 e) −2 ,1
HOJA DE CLAVES
CICLO REGULAR/ SEPTIEMBRE – DICIEMBRE 2023
Curso: ALGEBRA
Semana 10: INECUACIONES – VALOR ABSOLUTO – VALOR VERDADERO

(Min.)
01 B 2 F
02 D 2 F
03 D 2 F
04 C 2 F
05 C 3 M
06 D 2 F
07 A 3 M
08 D 2 F
09 A 3 M
10 C 3 M
11 B 2 F
12 E 3 M
13 E 2 F
14 B 2 F
15 D 3 M
16 C 3 M
17 C 3 M
TAREA DOMICILIARIA
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04 E 3 M
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IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2023 1 ALGEBRA

CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes Nota: 0 0 es indeterminado

Es la operación matemática que consiste en encontrar una

6. Simplifique la expresión mostrada: 66

7. Simplifique la siguiente expresión: a)

14. Si : a a  2 . Encuentre: Ea

8. Hallar x x , si se cumple: 15. Siendo: x  5  6  6  6  ....

Semana 01: TEORÍA DE EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES

Pregunta Clave Tiempo Dificultad

Es aquella expresión en la que no se encuentran II. POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS

Coeficiente GRADO ABSOLUTO Y GRADO RELATIVO

Dos o más términos son semejantes cuando poseen las  5 x5 y 2 z 3 w8  G. A.  5  2  3  8  18

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES POLINOMIO:

*S  a, b, c   E. A.R.F * A  a, b   2a 2b 5 E. A.R.F se lee: “Polinomio en

POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel de dos o más

POLINOMIO COMPLETO: Un polinomio es completo a) 1 b) 3 c) 4

 coef .de  P  x   P 1  

CUESTIONARIO 8. Hallar el coeficiente del monomio:

a) VVV b) VFF c) VFV d)FFV e) VVF

a) 11 b) 13 c) 25 17. Calcular “ E  m  n  p ” en la siguiente identidad:

a) 8 b) 9 c) 10 Se anula para más de dos valores de “x”. Calcular el

Pregunta Clave Tiempo Dificultad

Presentándose los siguientes casos:

2. SUMA POR DIFERENCIA (DIFERENCIA DE

10. IDENTIDADES DE LEGENDRE

11. OTRAS IDENTIDADES AUXILIARES

4. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

12. EQUIVALENCIAS CONDICIONALES

Teniendo en cuenta que: , se

7. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO

Halle: a) ab + 3c b) –3abc c) – abc

4. Halle el valor numérico de:

a) 1/3 b) –1/3 2F c) –1/2

9. Si 2. Señálese el valor numérico de:

a) 192 b) -192 c) 193

Pregunta Clave Tiempo Dificultad

DIVISIÓN ALGEBRAICA coeficiente del dividendo ubicado en la posición

1) G. A ( Q ) = G. A ( D ) − G. A ( d ) i) Se completan y ordena los polinomios en forma

Se emplea para dividir por lo general polinomios entre CUESTIONARIO

4. Si al dividir P ( x) por : x4 − 1 da como resto: 2 x 2 − 1, 13. En la siguiente división:

x+ y + z −3 15. Hallar " A + B " para que el polinomio: Ax4 + Bx3 + 1

8. Qué valor debe tomar "n" para que el polinomio: a) 20 b) 30 c) 40

9. Determinar el residuo de dividir: a) 6x +1 b) 6x −1 c) −6 x + 1

3x5 − 8 x 4 − 5 x3 + 26 x 2 + mx + n dividir P ( x) entre x+3 es 6. Entonces el resto de

Q ( x ) = x3 + 1 , dar como respuesta la suma de los a) x + 1

Pregunta Clave Tiempo Dificultad

COCIENTES NOTABLES – BINOMIO DE NEWTON

Si e son números reales y es un entero

I. El número de términos del desarrollo del

entonces , “n” es el número de

Fórmula del Término Cualquiera del desarrollo de

4. Determinar el lugar que ocupa el término que lleva

8. Se conoce que , calcular

3. Hallar el C.N que da origen al siguiente desarrollo:

a) b) c) 9. En el desarrollo del siguiente cociente notable:

Hallar el término que ocupa el lugar 10:

c) d) 15. Calcular el término central del desarrollo de:

10. Hallar el coeficiente del segundo término de la

11. Hallar el en el desarrollo de:

12. En el desarrollo del binomio: desarrollos de y

S  a, b, c   E. A.R.F A  a, b   2a 2b 5 E. A.R.F se lee: “Polinomio en