Leccion 5 Geometria

Lección 5.
Conversión de sistemas angulares
Contesta las siguientes preguntas.
¿Qué es ángulo?
¿Qué es radio?
¿Qué es pi?
¿Qué es circunferencia?
¿Qué es diámetro?
¿Qué es un radian?
¿Qué sistemas de unidades angulares existen?
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Importancia de los ángulos en la vida cotidiana
El estudio de los ángulos les permitió a los hombres abrirse paso en el mundo, edificando
ciudades, construyendo herramientas y confeccionando su propia vestimenta, entre otras
actividades. Todo esto a partir de la comprensión de importancia de aquel pequeño punto en que
se interceptan dos rectas.
El 100% de las cosas que rodean a la humanidad están hechas a partir de conocimientos
geométricos y de trigonometría. Si bien, es cierto que la gran mayoría fueron automatizados por la
industria y la tecnología, es bueno comprender cuál es la base de todo
Podemos ver ángulos en casi cualquier parte de nuestro al rededor; por ejemplo, son usados para
construir una casa como la que vemos en la imagen.
A continuación, te presentamos algunos conceptos básicos para la comprensión del tema:
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Concepto Nombre Refpresentacion
Porción de plano limitada por dos Ángulo
líneas que parten de un mismo punto y
cuya abertura puede medirse en
grados.
Contorno o perímetro de una superficie Circunferencia
circular u esférica.
Línea recta que une dos puntos de una Diámetro

circunferencia, pasando por su centro
Línea recta que une el centro de un Radio

círculo con cualquier punto del borde
de la circunferencia.
Unidad de medida de ángulos del Radian

Sistema Internacional, de símbolo rad,
que equivale a un ángulo plano que,
teniendo su vértice en el centro de una
circunferencia, le corresponde un arco
de longitud igual al radio de la
circunferencia.
Es el valor que representa la relación pi π
entre el perímetro de un círculo
(longitud de circunferencia) y su
diámetro. Π=C/D. su valor aproximado
es 3,14159...
Relación entre grados y radianes
Existen tres sistemas de medidas angulares: el sistema sexagesimal (conocido también

como sistema ingles), el sistema centesimal (también conocido como sistema francés) y el
sistema radial (también llamado sistema circular).
De los sistemas anteriores el sistema el más usado y conocido es sistema sexagesimal, sin
embargo, el sistema radial es considerado un sistema más objetivo, por lo ello, es el
sistema utilizado para fines matemáticos y el sistema de unidades angulares establecido
por el sistema internacional de unidades (S.I.). Por ello, nos enfocaremos en esta lección
en el sistema sexagesimal y el sistema radial.

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El sistema Sexagesimal o inglés tiene como unidad al grado sexagesimal (1°) que es el
resultado de dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales.
La vuelta completa de una circunferencia ha sido dividida en 360 partes iguales, entonces:
1 vuelta completa de una circunferencia = 360°
1° = 60’ = 3600”
1’ = 60”
El grado sexagesimal, también se divide en subunidades (Las subunidades se usan para expresar
las medidas de ángulos menores a un grado)
Tenemos al minuto sexagesimal y al segundo sexagesimal

1´minuto sexagesimal
1´´ segundo sexagesimal
1° < > 60´

1´ < > 60´´
El sistema Radial o Internacional es aquel que tiene como unidad de medida a «un radian»,
definido como la medida de un ángulo central donde la longitud de arco que subtiende es igual al
radio de la circunferencia que la contiene.

Estas equivalencias son la que permiten expresar una medida angular dada en grados (°) en
términos de grados (°), minutos (’) y segundos (”) y viceversa.
Ejemplos:
• Convertir 27.312° a grados (°), minutos (’) y segundos (”)

Del ángulo proporcionado la parte entera no se trabaja. Se toman como grados, es decir 27°
Y se trabaja con la parte decimal 0.312° para convertirla en minutos.
De regla de tres:
Primero convertimos los 0.312° a minutos

Datos conocidos dato conocido y por conocer
1° = 60’ (equivalencia proporcionada)
0.312° (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.312°) x (60’) / 1° = 18.72’
De los minutos obtenidos (18.72’) tomamos la parte entera (18’) y se trabaja con la parte decimal
0.72’ para convertirla en segundos:
De regla de tres:
0.72' a segundos
1’ = 60” (equivalencia proporcionada)
0.72” (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.72’) x (60”) / 1’ = 43.2”
Entonces: 27.312° = 27°18’43.2”

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En conclusión, lo anterior no enseña lo si queremos convertir grados en grados, minutos,
segundos. Tenemos que trabajar únicamente con la parte decimal que se nos proporcione o que
resulte, multiplicándola en dos momentos por 60; la primera para obtener minutos y la segunda
para obtener segundos. Sabiendo esto pudimos resolver el inciso anterior de la siguiente manera:
27.312° 27°
0.312° 0.312° x 60 = 18.72’ 18’
0.72’ 0.72’ x 60 = 43.2” 43.2”
sumando 27°+18’+43.2”
27.312° 27°18’43.2”
• Convertir 94°45’15” a grados (°)

Del ángulo proporcionado la parte entera no se trabaja. Se toman como grados, es decir 94°
Y se trabaja con la parte dada en minutos (45’) para convertirla a grados.
De regla de tres:
Primero convertimos los 45’ a grados

60’ = 1° (equivalencia proporcionada)
45’ (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (45’) x (1°) / 60’ = 0.75°
Después tomamos los segundos (15”) y los convertimos a grados:
De regla de tres:
0.15” a grados

3600” = 1° (equivalencia proporcionada)
0.15” (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.15”) x (1°) / 3600”’ =

0.0042°
Sumamos los grados iniciales y lo obtenidos: 94° + 0.75° + 0.0042° = 94.7542°
Entonces: 94°45’15” = 94.7542°
En conclusión, lo anterior no enseña lo si queremos convertir minutos y segundos a

grados. Basta con dividir los minutos entre 60 y los segundos entre 3600.
Ahora sabiendo esto podemos resolver lo anterior de la siguiente manera:
94°45’15” 94°
45’ 0.312° / 60 = 0.75° 0.75°
15” 0.72’ / 3600 = 0.0042° 0.0042°
sumando 94°+0.75°+0.0042°
94°45’15” 94.7542°
Conversión de medidas angulares expresadas en grados (°) a medidas angulares

expresadas radianes y viceversa
Para poder realizar conversiones de un sistema de unidades a otros es necesario contar con
equivalencias establecida entre ambos sistemas.
En la imagen se da en valor de cuatro

ángulos notables de una circunferencia,
tanto en el sistema sexagesimal, como en el
sistema circular

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De ella podemos concluir las siguientes: equivalencias,
90° = π/2
180° = πrad 0° = 0 rad

360° = 2πrad
270° = 3π/2
Con las igualdades anteriores se puede realizar la conversión de una medida angular expresada en
grados una medida angular expresada en radianes y/o viceversa. Con cualquiera de ellas se
obtendría el mismo resultado sin embargo por facilidad en las operaciones aritméticas se emplea
generalmente la de 180° = πrad, y es la que emplearemos para los ejercicios de esta lección.
Convertir los siguientes ángulos expresados en grados (°), a ángulos expresados en

radianes:
• 100°
Por regla de tres tenemos:

180° = πrad (equivalencia proporcionada)
100° (dato conocido) = Xrad (dato por conocer) = (100° x πrad) / 180°
100 10 5
=180 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 18 𝜋𝑟𝑎𝑑 =9 𝜋𝑟𝑎𝑑
5
Entonces: 100° = 9 𝜋𝑟𝑎𝑑

Convertir los siguientes ángulos expresados en radianes a ángulos expresados en grados
(°):
11
• 𝜋 𝑟𝑎𝑑
9
Por regla de tres tenemos:
πrad = 180° (equivalencia proporcionada)
11
9
𝜋 𝑟𝑎𝑑 (dato conocido) = X° (dato por conocer) = (11/9 πrad x 180°) / πrad =
(11/9) ( 180°) =220°
11
Entonces: 9
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 220°
𝜋𝑟𝑎𝑑
En conclusión, del desarrollo anterior deducimos dos factores de conversión: ( 180° )para
180°
convertir de grados a radianes y ( ) para convertir de radianes a grados. Sabiendo
𝜋𝑟𝑎𝑑
ahora esto, pudimos resolver lo anterior de la siguiente manera:
Factores de conversión:
𝜋𝑟𝑎𝑑
( 180° ) para convertir de grados a radianes
180°
( ) para convertir de radianes a grados.
𝜋𝑟𝑎𝑑
convertir de grados a radianes

operaciones
𝜋𝑟𝑎𝑑 100° 10 5
(100°) ( )=( ) 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝜋𝑟𝑎𝑑 𝜋𝑟𝑎𝑑
100° 180° 180° 18 9
5
= 𝜋𝑟𝑎𝑑
9
convertir de radianes a grados.

11
𝜋 𝑟𝑎𝑑 11𝜋𝑟𝑎𝑑 180° 11 𝑥 180° 220°
9 ( )( )=( ) = 220°
9 𝜋𝑟𝑎𝑑 9
Lo anterior se resolvió de manera exacta, es decir, sin emplear decimales. Para resolver de manera
aproximada se emplean los siguientes factores de conversión:
𝜋𝑟𝑎𝑑
( 180° ) = 0.0175 rad para convertir de grados a radianes
180°
( 𝜋𝑟𝑎𝑑) = 57.3 ° para convertir de radianes a grados.

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convertir de grados a radianes
Operaciones
100° (100)(0.0175𝑟𝑎𝑑) = 1.75𝑟𝑎𝑑 1.75 𝑟𝑎𝑑
convertir de radianes a grados.

11
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = (3.84) (57.3°) = 220.02° 220.02°
9
3.84 𝑟𝑎𝑑
Convierte los ángulos proporcionados en la figura a ángulos expresados en radianes. Después,

conviértelos a ángulos expresados en grados, minutos y segundo.

Indicadores Puedo lograrlo Tengo dudas
Puedo definir qué es un ángulo
Comprendo qué es el sistema sexagesimal
Conozco las unidades del sistema sexagesimal
Comprendo qué el sistema radial
Soy capaz de explicar qué es un radian
Soy capaz de convertir ángulos expresados en grados a

ángulos expresados en radianes.
Soy capaz de convertir ángulos expresados en radianes

a ángulos expresados en grados.
¿Sobre qué temas requiero más Asesoría Académica?
Te sugerimos consultar los siguientes recursos para facilitar tu práctica de asesoría

académica:
• Matemóvil. Sistemas de medidas angulares-Ejercicios resueltos-Nivel 1. [En línea]

Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=lpCYh33U18I
• Profesor Particular Puebla. Conversiones mediciones angulares/Trigonometría. [En

línea] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=w2iL6ZYcMo0

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¿Qué sistemas de unidades angulares existen?

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Línea recta que une dos puntos de una Diámetro

Línea recta que une el centro de un Radio

Unidad de medida de ángulos del Radian

Relación entre grados y radianes

Existen tres sistemas de medidas angulares: el sistema sexagesimal (conocido también

Distribución gratuita. Prohibida su venta

1 vuelta completa de una circunferencia = 360°

Tenemos al minuto sexagesimal y al segundo sexagesimal

1° < > 60´

31 Distribución gratuita. Prohibida su venta

• Convertir 27.312° a grados (°), minutos (’) y segundos (”)

Primero convertimos los 0.312° a minutos

1° = 60’ (equivalencia proporcionada)

0.312° (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.312°) x (60’) / 1° = 18.72’

1’ = 60” (equivalencia proporcionada)

0.72” (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.72’) x (60”) / 1’ = 43.2”

Entonces: 27.312° = 27°18’43.2”

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0.312° 0.312° x 60 = 18.72’ 18’

0.72’ 0.72’ x 60 = 43.2” 43.2”

• Convertir 94°45’15” a grados (°)

Y se trabaja con la parte dada en minutos (45’) para convertirla a grados.

Primero convertimos los 45’ a grados

60’ = 1° (equivalencia proporcionada)

Después tomamos los segundos (15”) y los convertimos a grados:

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0.15” (dato conocido) = X’ (dato por conocer) = (0.15”) x (1°) / 3600”’ =

Sumamos los grados iniciales y lo obtenidos: 94° + 0.75° + 0.0042° = 94.7542°

Entonces: 94°45’15” = 94.7542°

En conclusión, lo anterior no enseña lo si queremos convertir minutos y segundos a

Ahora sabiendo esto podemos resolver lo anterior de la siguiente manera:

45’ 0.312° / 60 = 0.75° 0.75°

15” 0.72’ / 3600 = 0.0042° 0.0042°

Conversión de medidas angulares expresadas en grados (°) a medidas angulares

En la imagen se da en valor de cuatro

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180° = πrad 0° = 0 rad

Convertir los siguientes ángulos expresados en grados (°), a ángulos expresados en

Por regla de tres tenemos:

180° = πrad (equivalencia proporcionada)

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πrad = 180° (equivalencia proporcionada)

convertir de grados a radianes

convertir de radianes a grados.

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100° (100)(0.0175𝑟𝑎𝑑) = 1.75𝑟𝑎𝑑 1.75 𝑟𝑎𝑑

convertir de radianes a grados.

Convierte los ángulos proporcionados en la figura a ángulos expresados en radianes. Después,

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Comprendo qué es el sistema sexagesimal

Conozco las unidades del sistema sexagesimal