rLJ TCJR i AI-- iÜH: üF'E:RÉITJ 1i]NE$ NA'T'R I {:J I ITL..

EIi

RAFAEL. RUHDA RIVEFÉ

SAN"| I A6ü DE: L:AL I

{:T]IIF.üf{ACIüN UNIVE}T$I]-ARIA AUT.{]NÜFlA DÉ ÜC;üIIJHNfE

t}IVISIT]f.I DK. INGFJ:NIERIAfi

I]RÜüRAI'IA DH INCiE:N]:ERIA EI.-.ITÜTRI{:A

1?94
 TUTORIAL DE OPERACIONES HATRICIALES:

RAFAEL RUEDA RIVERA

Trabajo de grado presentado como requieito parcial,

para optar al Título de Ingeniero Electricieta-
Direetor: J- KENJI I'¡ATANABE H.
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IX[1
' BtBt-torEcA

SANTIAGO DE CALI
.
ililililililillllllllll a
ffi[llululltriltrlulululluilll

T--

CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE

DIVISION DE INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICA
1994
 2 ) ., . .-i,..
E/. F ;' .' ''-^-'

./.¡' ..) ' ,.,

'..,

/''.,
/":, J'

Nota de Aceptacfón

Aprobado por el comlté de

trabajo de grado en
cumplimiento de los requl.altoa
exigidos por la Corporacj.ón
Universitaria de Occidente
para optar al título de
('

t, Ingeniero EleetricLsta
(l

Preeidente del Jurado

I

I ...

Jurado

u Cali, febrero de 1994

iii
 AGRADECIMIENTOS

A H-, Coordinador Académico del Programa de

KENJI IilATANABE
Ingenierla Eléetrica, Profesor de Análisls de Siatemas de
Potencia de Ia Univereldad Autónoma y Dlrector de la
Teeis.
A HENRY MAYA, CoordLnador de Postgrados e Inveatigación de
la Universidad Autónoma
A GONZALO YEPES, Jefe de} Area de Potencia de Ia
Universidad Autónoma
A RAFAEL CAICEDO, Jefe de Area y Profesor de l{atemáticaE de
la Universidad Autónoma
A RMRA, IngenLero de Sietemae de
GUSTAVO ADOLFO CAI{ACHO
Ia Universidad San Buenaventura
A MARIA DEL CAR¡'IEN MANCILIA, Técnica en Sistemas
A ANA CLAUDIA nrNDA, Socióloga de Ia Universidad del Valle
y dtgitadora profeslonal.

1v
DEDICATORIA

A u¡l Señor Jesueristo

por quien vivo y para
qul.en vivo, con todo
ni corazón.

A mis padres, que me

dieron la vidan y
agradeeiendo 6u apoyo
constante.
 TAHLÉ\ DE TÜi'i'TF.f{IIiü

pá9.
t
I N'T IiüDUTC 1T]N I

t. f"!A"fRIüES y ALfjElrRA t'tÉ\TF:ICIAL €

1.1. Dü:FIi{IüIÜN B

1. :::. PARI-ES DÉ L'NA IÍA'TIT I Z üUADRADA c¡

1.3. {:L.AsIFI{:AÜION DE LAIS I"IATITIT]TSJ i()

1.3. 1. Hatri.: cLtádrad¿{ 1C'

1 .3.;1 , l'latrir vec:tor- l. {)

1.3..5, l'latrie diaq0nal 1ü

1,3.4. Matrie trr.arrgutlar inf *r-ror" 1ü

1..J. :i. l"latrir tri;rngl.rLar sltpe+rior I()

1.::i.ó. Platri.: erstrictamente triangltlar lfl

1.:5.7. l'latri.z triangr"rlar inferiar (]

sltpet-inr ltn idad I lr
r..s.8. l"latri: nula 11

I. 4. HATRIf:EIi ESFETIAL-TE; r1.

1.4. L. l"latri-J unidad il_

1.4,:i" l"latrir escalar 1.1

1.4,:i. üasos3 perticutlarps; de rnatriceg rutadr-adas 1?

1 "4"4. l"latr-i¡ cnnjugada 1.5

vl"
t.4" 5. f4atri-s transtrLtesta 1::i

1.4.á. I'latris sirnÉtri.ca l5

L. il .7 . l"latrr ¡ rcrn j ltg¡eda transpuesta L7

1.4.81 . l'latris inversa 1?

1.5" DETERI"IINAN'TE DE IJNA T'IAI-RIZ CLJAT}IIAL}A 2C)

1.5.l- Ferrnntaciones; 3c)

i .5.2. Determin,*nte de ltna rnatrir cltadrada 31.

I.5.3. Fropiedades de Lns determtnarrtes :::::

1"5.4, l'lenor Camplementerio v Adjutntm de ltn

Hlemento :t4

1.6 . üARA{:TER I5T'I TA DE UNA I"IAI'F:I ; ?ó

L.'7. TITi\NSFCIRMATIi.]NF-S ELEI'IEN'TALES; ?"7

L 7, I . Tipa rje T ransf arrnaciones Fosiblee. ?7

I .7. ,l . Inversa cje lina tr'*tngf ormación ele'mental 'J8

1.8. I'IATRICHS EüUIVAL.ENTH.S 28

I . 9. t{A-rRI{-tÉS Ht..Et'lENTAl-.8$ t?
l- .9. .1 , Inversa tle ttn F¡rr:ducto de rnatrices
e I ementa l. es 3t
I . I . =. Las l'latrices E lemen ta I es y st.ts
Operacirnes 3::i

1.I.O. I,IA RIZ PE I-O5 ADJUN OS DE UNA I"If{TftIZ

CUADRADA .5/+

1,l(f.1. l"latri¡ cle lnst Adjutntc)É a frdjt-tnta *'.-q4

1.10.?, Platriz de Ios adjltntos de ltn producta 3ó

1 . 1T . 5IS-TEMAS NE: F.CI.JAÜIüNES I-INEAI-H:I3 ;:i6

1.11. 1. De?finici.onesi .J{]

1. 1i.2" tiol.nr:iún l=ledr.rnte la lrlotaciÓn Flatríciai '.:.:i-/

v¡"l.
I' l1 ,::i, ]"eoremae Futndarnenta I es :59

'.39
I .IF¡
SOLUCIÜN UE ECUÉ\{:IONE:S

1.12.1. Elirninaciórr de lliaLtss con interc¿rrnbÍos

Fn Ia rnatri.s xllrntntad¿r F¡ * (C + 1) tA bl :ji?

1.1r,r. EI rnétods {lF üáLtEs Jardan 41

1.1?.f,. Hatrir escalonada redltcirJa 41.

t , l'J.4. El lrlúrners rje $alltcic]nes 4ó

1. 1;1.3, Selecciúrr de Fivotesi :./ Hliminación de

{ialrss en la Práctica 4"t

I . 1.?. ó. Requisitr¡s de I j-nnev pará ordenemiento

casi óptimo 4A

.t? r+g
{ INVF.RSA NE UNA I-IATFIIZ

1,13.1. l"latri z inversa 4?

1.1:5.?. Inver-sa de nna matri.z clrafional 5ü

1. . 1.5.:5, Inversa cle 1a rnatriE de lcr*; *djuntes; 5C)

I . 13.4. Inversa rJe Lag; H;rtri.ce:; Elernentales 51.

1.14, FAI;:TICION [tE I'IAI-ÉICHS [:N I'IATRICH$ SHFARADAS 5'J

-l
1.1d1..1. Iief in i ci.ón ¡;.

1.15" l-:EIIU{:CIC}N üE ld.Ri:.!N 5ó

r.1á. UNA trONT}I[,'IOH NEÜE$AI-TIA Y $UFITIHNTH

FARA L"Tr HXI5TENC]:A tIE t..A INVEIITiA 59

1.1ó"1. 'I'esremas. corslarias y pruebas 5"/

,J
. I"IA T'R I CES D I SPERSAS T SF}ARS I'T'Y } Ér9

.J. I. &9
" IN'T'ÍTI]DUCCIÜN

3,?. I'IATRIüF.S DE IhIüIilEIVCIA I]Ii UNA RED á9

t.::.1. Gráf i.caE y terrninolegia de redes 69

Matr-ir de incid*:ncia rama'-nodo 7t:t

=.2.3.
vl11
 '7'j
?.:1.:5, l"latr-i.ces de Incidencia de Arbcil y Hsla.bc¡n
;:.2.4. I'tat-r'i¡ de incicJencia rarna-calnirio 7A

-7b
?"?.5. l'latri: de inciciencre rama-mal Ia
?.5. DISI}E.F{$IÜN DE LAs ETUACIONÉi6 T)E ÉF-D ?8

?.:5. I . fioeficiente de dispers3ión 7t3

?.T"3. DisperEión cJe la rnatrir coefici¡*rrte ncldal -/E

?.:5.3 "
Drspersién cle la rnatr,:u cn*f icient+¡ rnal la i3()

7.4. I{ATRIÉT.s DE TC}EFIüItsNT'E CI]N Í]IÍ'|E'TRIA INCIT}ENTE AJ:

?,5. TAüTÜRIZAüIT]N MATI-.iITIÉTL. g4

3.3.1. In tr-odutcción 84

3. 5. ?, Fc¡rrna f]¡-oducto de la Inversa g5

?. 5.3. T r iangu I ación de* Flatr i ce$ 9;i

?.5.4. Hi. f act-prr taciórt 1{17

?.3. 5. CÜI"IFARATI{JN ENTIIE LI]ÍJ I"IE:'TÜDÜS DE

.TRIANüI"JLÉ¡CICIN
Y
L{IFAC]"ÜRI ZACIüN I1:3

ELII"IINACIÜN DE. TJIT]F'ERSIÜN T}IRIIJIDA ils

In trodltcción 1r 5
-fécnicas3 de F reordenamr.ento 1i'¡
TÉcnicas de mrdenamientc¡ dr.rrámico. 136

ComparacíÉn de las técntcas anterior-es. l::i I

Descomposicion tJe redes l:i4
F.RCIISRAI-IACION DE ÜI$T.'TR$ITli{ T}IRIGIDA 1.ió

In troducción :t3á

AL|4AüE|{AMIENTü DE: UNA LISTA DE NUl"lt'-tt0$i l.;:.$

AI.I'II¡CF-NAI"IIF-N'TO t}E I"IATRICHS DISF'H:RTAS 141

i
I i,l '. . : :,li
t ii;: {,, , 1;¿t i.
1r ii i.,
'1' :
2.7.4. Frr.nciÉric:s de pr-trql-arnaciÓn para el
order¡amientm v factorizaciÓn 15:5

? ''l '5' flrincipios de proc¡rarnacit5n de

ma'trices de transformaciÓn 1. d:á

:-C. I',IATRIf:ES DE ESI.iETJIAL INTHRES EN ÉI...

ANAI-ISIS DE ITEDES L'tá

::5. I" IN'IRtlDr..lüü.1.{lN L7#

;i .'J . 1....4 i'laTlt I Z Y-'bus L7'l

:5.3" t'A l'lATltIZ J--ht-ts 1i3I

:i.:5. t " A.tgori.tmo de construcciÓn de 1a ni;rtri; ta5

::i,;:i. l.-A HATHIZ HIBi{:IDA I tf i:i

;.4. L-A l'lAT'RIZ JACUttIAf'lÉ:\ 1.

{itr

:3.4.1.. l-r:rrrnando Ia matri;r .jacobrana

"l{l{:l
::i.4.:1. Aprovechandc la digpersión (sparsitv ) ?(r¡
:::; .5 , LA I"IA'[ [T I ;I J AC]ÜEI I ANA NESAü{-IFL-ADA 311

:i.3.L. tii.mplifi.caciones, Lle el algoritmo der

New t rn-'hla Phsic¡n :i11

:5.5.:;: . Desact:planda las ecuaciones cie

Newton-ltaFhsnn ?15

.:i.5. f. . I]esacor:landa : 1.7

4. PRC}E{LEI"IA5 ÍTÉALES GIUE RÉLACIÜNAN IIATI.{IÜES
IJN LíI 1N6E:NIERIA EL-ÉCT.FIICI¡ t1.9

4" I. ÉrtlLl.CAtIüh¡Éli ;Jl9

.4, :? Í:'AF{ltl'lür-fROS IDE L. INE:Agi DH THAhISM:tSI:ON ?.Jü
.J?TJ
4.I.1 Frahlerna
4.5 LINEAS DE TRANSMISION DH GF(AhI I]üTENCIA t54
¿1.::i. I Intlt-tctancia de linr:a 234

4 . .l;. 2 Capaci tancia de I inea 'J41.

4.4 . $ILÉÜR I THü IJE C:T]NSTRUCT I üi{ Dts LA I"If¡T Ii I Z

I}E II,IPEI]ANCIA Z-BUS Y I'IA'T'RIZ UE

'J47
ADI"II"TANCIA Y_TITJS

4.4.1. E.-iernpto del algmritmo de cl:ns:tr-utt:crÓrl ;i4ü

4,4, ?, Ejemplo rJe "rdicion de l inea cc:n acople 2ór)

4.4.5. F'r'oblema ü'7{j

4 .4 .4 . tlrr:b l. enia ;:El4

4,4.5" Problerna 79'.;|

4.4. ó. Problerna :i(]6

4 .4 ,'7 " lLrcrb I ema :itt

4.5. Z-Iazo -1:19

4.5.1. Problerna 3t?

4.5.3. Froblerna ;i?1.

4-6. EI--IMINAÉIÜN ÜE IqUDt.iS FOI.T AL.GEHRA I.IATRICIAI- :.ii??

4,6.1. frrcblema 3;i;l

4.á.;1. Frabl.ema *-124

4 .6 .:!' . F rob I ema .Jt6

4.'I . ANALIIiIgi IrE UrrRTCI CI|-{i:.:t..¡iTil s3g

4.7.L. Frt:blema :5:lÉi

4 .7 .". F rob l ema. :531

4 .7 ..!,. Frob I erna ;If,5

4.7.4. Frsblerna ;i4O

4.7.5. Froblerna 34-{

F'roblerna :54t
4 "7.6,
4 .7 .7 . F reb l errna 37t
4.7.ÉJ" Frc:bletma 3fi6
4.ü. CONI"INÜHNÜIAS 3ré
4.É.2. FrabLema .35?

4.8..J. l3r-ublerna 4Cr4

4.9. FACTOÉIZACION Lt-f 4rl9

4.9.:t. Frobierns 4{l?

4,q.i.. F'rnblema 413

4"9,3. F robleme 4L'7

4.1ü. ANALISTs DE. T.I.-UJÜ DH {:AHTJA 4::L

4.1r1.1. Fr-oblern* 4:?1.

4.1.{1.?. f}roblema 4:;:5

4 , .t .t . DE.SF AÜHü H:{:üNfri"l I CO Y L-A f:{:lt.JAC I ÜN IiE FEFTD i ÜA 43r.

4.11..1. Froblerna 4.:i1

4. .T?. I"IATR IfiEs D IS[}[:R$AS Y E:I'IF'AüIUL:: AMIHNl'ff 444

4,1t. f, Prablema 444

4 . L7. "I . t'rcrb lerma ,'14.8

$, FOÍ-1|'IULA5 I"IA"iRICIAI'.Hs HAs GENEFTAL I ZAI}AS

EN 1..-A INtSHhlIHRlA ÉLf:ÜIRICA 45::i

ci .l
CÜI"IFÜNENTES 5I I'IH]"R I CAS. EFEC Ü SüBRI:
I-A II'IILEI]ANÍ:IA Y COhISIDüRACIONES DE FüTENüIA 453

5. i. INDIJC}TANCIA T}E LINT."A 4:i4

ri "{ fiAPAÍ:ITI}N{:IA DH LINHA 46fi
.TRANSF'NRMACITiN
5.4. FIüDAL- 4'7::i

Et=
ÜOI{EX IONES'T'RIFAfliIEAg EN T'FIAN$IjNRI{ANORES 47'.d

$.6. TAL..CLJL,ÜSI F.ARA UFIA I...INHA ]-RIFAI:}IÜA 4Br.¡

:r.7. LA T4AüLJII'.IA t:iIN{:ITI]NI{:]A 481.

g-r{
r¡r / ¡ I ¡ [...o*; parárnetrog básicns de la máqutina 4ÉJ 1

xlt
3.7.?. Las ecltaciones g€:nerales rJe la máqutina 488

5, 7,:5, 1.,á e¡c*ación q€rneral de pntenc:r,a 49::i

5.9. cüRTCls {:IRCUIT'tl$ 4'.16

5.8.I. Valores matriclales generalirados de

certo circlti.to para estudios de f al lag
gi.mÉtri. cas 496

$.g.:;:. Valores rnatriciales qeneraLilacjos de c¿rrto

circutito pare fallag linea a tierre 4+9

5.8.3, Val.ores rnatricíaleÉ qeneraliradag de cc:rto

crr-cutito Para f ¿rI tas I íneia a 1ínea 5{j4

5.8.4. Valores rnatriciales geneFaliaados de csrto

círcltita para f al las cioble Iínea a tierra 5(j'7

5 . tl . 5 , '['ransif ormeción a cmrnFonen tes simet'ri ca's s1(l

5.S.&. la trif ásir:e a tierra

l5aI Fc¡r cornponente
y por fase 514

5"8,7, Fal le línea rt tiarrra por component-e

V por fase 5r"9

ú. DISEfiO {:OT"IFU]"AüILINAL' 5?;i

6,1. ÜF'EF-:ACIONüs DE I'IATRICES CüN NLIi'IEIITJS LIN'T'EHOSJ

Y ftEALEf:i 535

á.1.l- Egtrutci.t-tra deI Sistema 52ó

á.1.;1 , {Jpcionex clel rnendt PFr.ncrpal 5r7

Cr.1.t. l. l'h-rLtiplicacj.ón de matrice:; 5:7

á. I .3. t, $ltrnatoria cltf rnatrices 5?8

6.L.t.*'r.. Fte*sta de rnatrics¡s s?9

6.1,2,4. l'latri;r t-ransPuesta. 53?

ó.1.2.3. t"lultiplicaci.Ón de Ltna matri¡ escalar pür

Ltn esca I ar- 53rl

ó.1 . t. ó. m*ttiz aumentada sf,r

6. 1 . 2.7 . Bperaciorres con matrices de tr*rnsf crmaci.*ln f.',.5t

¡riii
5.1";::"9" F:'ar"ticrCrn det inatr"Í.ce'¿ 554

t, 1 $a{:r-i;: l-.U fi.:itl

"7"q "
ó, l. . ill " lt) " .[nversi.Ón cJE' l'.rcin ti::iér

.:i :I -7
,5
" :1 . üFh-itA{:: I ilNfii$i ÜH l"lÉ\-rR I üF"5 ÜüN NtJf'lElt{]S üilt'lt-'1..-FiJ t:ls

,5.:;i. 1. üstrl.tc'tLtra de;+I E:ii.stem* f¡.li'i'

6 . ? . ::' . 0ücicrnt;s de I menlt [:¡r-irrr:i $a ]' :1i:ii9

ó. :i " flFEltA[: I ÜNb-S ilF- Flrl-rRI [:ti-ii FI $Fli:Fl5iÉ{!i $:]ry

,b.:l; .1., ll.sti-uctltr-'¡ deI siEtenra 5:1?

f:r " li , "il . [Jpci.ones clt*J. mr¡nli pr-i.n*:i.r¡aJ. $4t-r

fr , rt . I hIVHFISA IlF" tJl\¡Éi PIA]-ft I I :i4 I

{.lf:lNüL- l..f gi l: llf.lH$; 15ri.::;

TJII]L-IÜÉftAFTIA 544.

ANEXfIi; ii¡lfr

¡r iv
 ANEXT]S

ANE):ü L. 'l"Atlt-A5

ANHXüI ?, FI]BI'IULAS

AFiExü f,. SIi'lEuL{l6IA DE ESTE FltüYEtiTu

ANHX{] 4. F.ANTALLA|J DEI... ST]FTWAFIE (ARCHIVC}f¡ EJECLIT¿\BI.Es)

ANEXf] 5. AYLJDAS
 RHSUI"IENi

Las matriceg. qLle al eran gó1o Lln recurso

princípio
alrtebráico, constÍtt-tyéronse finalmente en Ltne e¡ípresión y un
rnecliO matemático fnLly i.mportante' Y cada ver más cuanto rnás
ge aumentaron Y se cornpl Ias recls¡s Y circltitos
icaron
e1éctr j.cos i convirtiéndase en Ltn r-ecurscl institr-rrble de la
ingeniería ,/ Ia lngenieria EiéctrÍca. cionde eI cornfiuttadar
jr-rega al li el papel protagÓnico" F:'recisamente esg¡ grarl
tarna¡io de Ios sistemas de potenr:i.a Y Ia r¡eces.idad cle Ios
diferenteg cálculos requtiere en primer lltgar de.¡ la
recOlección de cJatos, y en Segutndo. .[a inter¡vel'rciÓn de Ios
mj.smos en las cJif erentes rnatrices v clperaciones. 5e

neces3i'l-¿rr.l siernpr-e entcr'¡ces der divelrs(Js sc]'f twares para e*11o.

Y s,e :;abe qlte es el dlseño de Éstc¡s Io qute precisamente más

dinerm v t.iempo cuesta a l as efnpresas de energ ía . E I

snftware que cclmplementa erste tuttorial de operaciones
rna'hricrales relaci.ona dtnicarnente operaciones matr-iciales y
por Lc¡ tanto no irrcluryer precisamente la recolecciún de* l$s
n fii. ,nIc¡oritmat:; ni prüc{i?sffi5 iteretivos
datosi tarnbiÉn en

muchas, f ormas apI i.c,adog a las rnatrifieg; i pero que ncl

¡rvi
cünstitt-tyen en pri.ncipis erI mli-ietrvu cie este pr-oyecto.

Y hablando df#l sof tware hag(] menciÓn: 5(]Í'¡ c|.iatr(] prclqrárnas

básicos, separadt:g rmplÉfnentarjos en Fascal versión 5.5 y qlte
5,e pLreden corrÉ?r c6fno e.jeCr:tables con l¡3s nornbres¡ t"latrir.;F: t

l'latrj.a_..c, f"latri.E-..-D, y l"latr-ir-.I realisándo Iag oper-aciones

rnatricialeg, con reales y enterosr f:ofilp1+:jas," dispersáSr Y la
inversa de reales" respectivemente- Asi cclrfio otro en versiórt
'1
urrbo Fascal 5.t) para Ia inversa de las; complejas. $er trata
de qlre cLtfnpla eI prapúsr.tr:: cJer máxima asequibiliderrJ para el
LlsLlar-io ,/' por eL lo contier'¡e gr-.rias ex¡rl icatorias de las
rJiferente5, operaciones en los respectivos menús y las
ind icaciones sucesivas para ftacer I a5, Llna ve! utgted ha
elegiclo la que necesita. lambién sE f aci I itará urn pequeñct
fnanLral por separadc: qLte cc:niendrá precisarnent-e los proqrafnag
furentes" n cÉdigos. y 1a e*xplicación deI sc:ftware empleado.
lJornotutorial , el. pr-oyecto inclr-tye tcrdas Ies expl ícaciones
pertinentes tJe 1o qlte eE el álqebra matricial requrerida s?n
1a Ingenieria H1Éctrica V tambiÉn *:gntendrá cJiferentes;'/
nlrrnerosÉ$ ej ernF¡ l oE gLt€! s€t ap I i. can en tsda 1a prof esiÓn .

5e tretó de ql.te los ejernplos Eli{tllicato¡ios sbarcárnn eI

conte.rniclo cleesta profer:;iúrl para ilLtstrar de manera sencil la
las a¡:I icacic¡nes pr*cticas: dt* las matrices y la habi I ided de
:;r-r álgebr-a. Y natlrralrnente aquti na hxy labor investigatrva

xvi i
y *óIo Ée butsca qLtÉ? el lerctor puteda darse cltenta de la
r-rti I idad terrninante de las rnatrices Fn cada ámbito o

contorno dif erente de la inqr:nieria.

Se destacan tambiÉn las dif nre¡nters y nLlmerr.rsístmas f órrnulas

matriciales, qt.re corno esqureleto a armazón de la Ingeniería
EIÉctrica" eupresan medrante slrÉ variables fltndamentales
tc:d¿ns lat; nec*rsi.dacle*s Íntimantes del íngeniero i paF¡i

cál.cut.[c:s y tambiÉn para Ltna comprensién más amplia de st-ts

prapiedades componenteg y ccln la e¡lpresrón rnág reduci-da qute

tiene lugar en Ia ingenie¡-ía.r comcl es la notacrón matrlcial.

$e dE:dicér Lrn capítr..rlo especial tambiÉn püra I.+s matriceg cle

especial r.nter"és y qLre 'LencJrán as:-t Lrna lrti. Iiciad generalrsada

¿i 1s¡ largct de toda la prnf esión " Igutalmc?nte Lln capítt-tlo
e¡lclr-lt;ivo Far'á 1.es matr'j.cepÉ] clispers.rs dc¡nde 5e explicat
aprecia y aprovecha esta característica de Las diferentes
rnatrices coef icrentes. Y lrn Crl timo capitr-rIo conteniendo urna

expl icación somera del sof tware cornFlernentarin.

Gk-ri.*iera "*quri hacer urna anotaciórr cofncl es qLte en esta tes.is

toda la letra en negri l. la representa matrir t ye sea
aquerl

comcl matri:, verctor o aún cc:mo algún elernento en perticular

de l¿r ma.triz de procedencia y qLre Ee degea destacar der errtre

c¡trc¡s, valores qlre teng*n alguna incÍdencia operacionel.

lív].11
 I NT'R[]DU{:ü I üN

Antes de l,os $(-)'g las; matr]"ce5 fltsrOn uEacJat3 solamente corna

herrarn.rentag cle invest-igación. i si.stematienben el

EntonceÉ

nrclenamierrto f ísi.co clel n¡nts*rial y gerierral.mente fmrraban al

inve*tígadsr- á s*tt- fir{Ján i zaclc¡ .

[as m*trices de esta Épnca en algutna forma reducían la

gestirSn de cál rltlo¡ de tndo.¡ rnodos, la ausencia de
complrtaclilres cle alta velc:ci.dad limitaban las investiqaciones
á pequteños cr¡njr.,tntns de ecltaciclnes qLlF involutcraban sóIo
matricps rnLly pequreFías qt-re representaban perquerñns circutitoe;
eqlriva l en tes .

L.a p¡i.me¡a gerneraciÉn rje compt.ttadores rle pequeña es'cala

extencJiú el L.tÉcl de má tri.ces a la s,r¡lltciÓn de problr:mas cje
redes. áLrnqLr€l aún dei tarn*ñn L j.mi tado ,/ ccn a I gún ga:itcl de

tir:mpo murcho máyor al de hoy, como es Iógico. c$n le

nacie*nte tecnolc¡qia de la siistemati=aciÓn de datos.
FRII"IEROS I"IETODO$ CT]MFIJTI.\TIü]NAL-ES
fli:t I l"tERos l'lETÜDOs üü]'lPt.i-rA{: I llhlAl..-Esi

Hn 1955 ya tt:dos los problemas de r"edes e1éct.rrcas eran

rgsLrg¡ltns a fnáno n pcar ta calc¡-tladora de re6 . i-a

cal.clrladglra cje redi cclrnc] era llamadar eFá PocÍl conocidar Lln

pclco eli'Ligta. y no efectlraba ningCrn cálcutlc¡ en realiclEd.

T¿rn sóla era Lln ¿rrtíct-tIo "análcaq6" eLéctricm. Fara
prablemas s"1éctricos clI aná1ago hacie relacinnes directas'
ü analngias; o s€rfl" La corriente elÉctrica en el probleme cje
redes es r€?FFesentacJa pür corr.iente en eI análaQor vfiIta-ie
es repr-esient*do por voltaje.'/ esí sLlcesivamente. La rerJ

investiqada era tambrén reF:r-esentacta prr c:tFa red a escala

mt".ry redurcida. Flra rn.ts un rnedro representativo o rlutstra'Livc:
rnc:naf ási co o a Ltna scl I a I ínsra .

EL CÜMFIUTADÜR

f-a sequnda ,/ tercera qeneración de los complttadclr€:s

cligitale¡; par"ible Ia investigación de qrandes

hicieron
r-edes., ( s$tructLtras de acc?ro " gi$terüas de redes ds gr'árl
pmtencia, etc. ), per rnÉtrdcs nrat-r-i.ciales. l-a sltpericridad
de L a ca I cur I acJsra rJe rerrleg cclrno Llna herramre¡nta pára 1¿r
eclnc¿r*ión c1e lcrs sisteínás elÉctricoE de potencia Y siste¡m*E
de tr1.*neraciún cle FÉrsclná1 es jursti{'icacla :;óIr: cc¡mcl elermerito
 ..1'

pedegÉgicü y cuando la respltesta de la red a vari'os ajutsteei'

(ángr-tto de generadcr, nj-vE¡l cle vmltaje) r erá disporriblt+ ',1

r-ápidamerrte cbservable, El hombre derscubrió 1;r solurción en

e1 rompntador diqital . fiLty;i disperribi l idad tlLlrnent-.rba

'¡erti.gi.nOsamente en el nturrido empresarial asi. critno La

capacir1ad t1e los¡ []rc-qr,¡fnaÉ cornplttxciona. les { este rnt:dr.o.
prcmisorio, hábil y económi.cn tení* la respuest.r pár';t 113s
grandes de entOncet;. I arraliradmr cJe r-edest cJe
E.iS{::em*rs H:

otra papter Érá urn¡r fierremit+nta muty espercial i¡ade e j.ilcIutsc¡

¡o estabü qenera. lmente dísponi.ble para todo ti¡ra de Ltst-taric¡.
Cnnse¡cutenternente tamt¡iÉrr. ÉI caI r:ul"rdor- de redes enrpe:É á
desaparecer- y EÉ ha e¡:tinqltitj¡ )ra €rn lo$ Estados Litiidos"

i"IH-TODüE} {:üHPUI-AC I ONALES

1..-a disFnnibi I idad deI cornplrt¿i.clcrr canrbió considerabls¡ment-e ia

aFroi{i.mac j.ún matemática en las s¡1lLtciones de pedgÉ.

üá I ür-i I os fnLly g rancles pueden ser I I evarloe r¡ cabc¡ más

rápidarnente uelando etrLtaciones cle rnal la. LaE primeros

Fircig r¿mas cum¡rlttac.iona I es ana I r, rabarr e I 'f i t-t.j o Fn recles

simplernente auttr.¡matizando pc,r e:;tcs, rnétadc:s de notácíón
aF¡reviada ( 1a notación met-r'icial. ) "

Di.versos invest igadores cnnsiderarün e l traba j o ccln I a

r¡*atr-is incidente Z y los algoritmos de la matrir de cnnexiún
 4

para determinar aurtornáticamente las mal las independ j.ent'es en

la l-ed, )/a que eÉta era I'a parte inás dif i cil der la
prFrpqrración cje los datt]s pará la fr:rmltl¿rciÓn de Ia malla del
prablener cofno 5e Fodrá er:pli.car en eI caplitr-rlo segltndo.
fl(]steri.c¡rmente log mÉtocJ{]s de ecutación nmdal fueron
rle$arrol Iadüs y trrobados3 cofn63 sltperiores i:le¡-a Ia snlr-tciÓn
conrpurtacinnal de F¡r'oh¡lemas rle redes:''

La imtrc:rt:ante Eei qt-lc? el hmmhre habia Fncontrado un rnedi¿:

eifica:r y sabí.a ya qL.re Éste sería la prclfnesa para r€lsuIver"
Ér-rE prr.rblerna$ con máyif r exactitt-td \,! prontitr-rd: el
L:offrpilt.Rcjclr. Y fure,ron entonces 1¿rs matri.ces tambi.Én ege rnedio
cientifico qLte expresaba t r'€¡5':lvia l..rf; i'nttruÍetutrles
ing*nie*rr. ls*s c1e rnanera intet igente iz práctica '

EST'LJDII]5 DE CORTfl CIÉüUI1"T)

si. la matri.z cJe incicle+ncia Z qlre describe la r-ed esta

di*ponibl.e iv.g. , ha sido cofntrlet*ada) I lms análisi.E; de f aI la

üÉfnplertos plrecJen cal curlarse cün Lln mínimo de operaciones
¿rri.tmét-rcEs para el diseñn de lns prclgrarneg ' El algoritrna
clÉfiÉralrnente ltsadu para calcltlar La rnatrir Z putefle ser utsado
pflrfi moriificar 1a rna'triu F*ra cl ifere+ntes c6nd'iciones del

:;j.ste*ma Én fnl-ry poco ti.ern¡ro camplttacir¡rial. La rnatri's Z ha

€ncontrAdo gr-a¡l ,¡cef:taciÚ¡ Fn la intlltstrra tje p63tencia' 5u

 5

alsclri.trno también es exFlicadc: en detal le [?f] este t-rabajs'

ái-lnr{Lle cofnft s3El gabe r ño hace parte cie e.l sof tware qt-t€¡

r:trrrlp.lernenta etst-e prcyecto.

L-a limitación i.m¡rnesta pcir la capacidarJ cle almacenamj.ento de

l.* ma{:rj-r Z debido aL tamafio qLre putecla entreqar el gi.stema
a ser erstndiado, flre slrperado por la tÉcnica clel descarte de

eJels matriciales, ql.r€l consiste sirnpLenrente en cimitirlas o

" é:H tra€?r l. og " .

Los cortas cir-curitosr tambien ge ccmputan usando técnicas de

óptimo orden de l¿: matrr.: clisperÉifrr lcrs cuales fueron

or"ic¡i.rralmente de*arruL laclos Frár-a estudios de f lurjcts del

cfirüa. El lrnmbre siempre inicirl Fesolviendo slts probl.emas ern

ag "frreas qLrÉ se I e f aci. I i taron ,, *sitas sol Lrcioners :;e

.l

insinlre.rnrr y avent"rjaron en rtras necegi.tadas p$r igurai..

Atrrrrvechands las técnicas de la, matrir distrersá sie consirlure
egtlrdr.os de cortncirruritcrs para grandes eist.emas, srnermtlarqct
el lo ya eixcede al ob jetivo ccncreto dr* este tra|¡,it.jo
investigativo.

FL.ANEACIT]N DE UN 5I5TEI"1A

L.a planeacirSn de Llna 'fntlrra er:pansión de Lrn sigtema de

pt:t-encia e¡LÉctricc¡ granrJe clebe reali:arse al m€rnc:s cen die¡
 6

áiios; de anticipacrón ' La verif i.caci.ón rle qLre eI :;istenia

f:rof¡Lte5to geá viable cl no. putede real i¡arge en el sisterna

actlral " con las nuevas f aci I idades qLt€l ger-án instelaclas "
perc! debsr tiirnurl,nrse y ¡rrnbarse Fara vsrri.f icer qLle el sisterna
opererá apropiadarnente bajo cnndiciones de operaciÉrr
nclrrnales y t-arnbién he.jo aqLrisl las condi.ciones de contingencia
qLrcl sÉ? e";pÉra ra¡t:nablÉrnente plredan ocutrrir. Ugutalmente los
sisternas; son prob.edos para ccrntingencias dr:bles como Ia
rrÉr'dida de clog l ineaE de transmisrón rnayc¡rÉg " dcls
qener¿rdoresr cJ Lrna 1ínea y L.ln tJeneraclor, l-lna ver Lln plan ha
si.dc¡ aceptado cümo satisf actorro r si e I servicio a I c:s

cl iürr¡tes y el costo de Ias f aci I idades adrci.onales están

r*i.endo consi.derarjos' las prt.teEas de cnrto circutito deben

sirnlrlerse paFa determr.nar- si. eI sr+¡'terrna puecle ser protegido

por Lrrl esqLrema de reLervaclor"e* ,i*pro¡riado. tlgto debe hacerge
considerandn el tamaño de lr:s interrltpt-trres reqLreridos'r páFá

el aÍslamiento v acl.areci.ún de 1a f al la de¡1 sistema r y

tambiÉn 1a cornplej rdacl clel sisterna de relevaci.ón de
Frotección reqne'rida. l-os sigternas tambi.Én deben probarse
pár-& estabilidad transit-nria para determinal- 5l- retcrnará 1a

cmndir:ión de e*stads estable desputés qLte han gidt: gt..tjetos' a

$eveFas conti.ngencias "
BASÉ DÉ- DATüS

Para la sol.urción de problemas de sl.gtem.rs asociadc:s cün la

planeaci.ón cJe urn frrturrr¡ sigterna de pot-encia o Ia operacit3n
cle lrn sistema ya elíistent*" els nscesario tener urr banca del

dati::s rnLry cornpletci n incluyendu par-ámetros de I ínea de

trensrni.s,ián (Rn X, y Bc)¡ impedarrci.ag cle transi'ormadores,i
c*rr*cteristicaE de gernerador-es (inrpedencias. potencia';,
Íner-ci.a t factc:reE de patencia) ¡ caracteristices
'/ de

reglllación de voltaje deI qener-adgr-r y cal.actglrístrces cle l.a

turrbina gobernadora. Lr.¡s métc'tclus rnatriciales ha ser
descritos requerirán siempre de esto:; datog,

Todc¡s estc¡g datos sc:n básicos para la eolLtción de¡ f It-tjt: de

cár-qc1 , cmFtct circuito y cál ct-rIss de es.|'-abi L ided transit-a¡"ia

usandcl los mÉtodos matriciales suer serán deE,critos en eEte
proyecto. [.-os los pariirnetr*g no hacerr p*r-te cle
c*lcr-rlos clc*

esta i.r'rvestigaci.ón ya qLle só1o se e*stlrd j.ar'án rnétmdc¡s ,/

o¡:eraciones rnatrrciales y púr tantc¡ no ser'án.inclr-rirJas en
este prolrecto. Siempre Ee asumirá que la k¡as¿r de datos se
ha cornplertaclo y está clisponible,

For- r:tra trarte cabe sefialar qure el doclrmento consta de dcls

tomos" cacla Llno ct:n tres ca¡:ítr-rlas respectivamente" )/ Lln
rnanLral expl icatori.o deI smf tware de o¡:eraciones matrici.aIes.
 f"IATRICES Y ALBREBRA MATRICIAt..

.1. T. DEFINIÜION

Llna rnatrir pxq ( láase "p por q" ) €?s Lin ,*rreq¡lo re*tarrgular
A de pq núrneros ( o símbo I oe qt.r€r representan núrnerog )

encerr-ados efi corchetes cuadrados. [ ], parÉntesis. ( :. o )

barras. ll ll ; les númercls en arregls Ee llaman elementos y

están colocados en p renglones hori¡ontales y c¡ colr-rmuas
verticales. La matriz sE puede rerpresenta,r- esqlremáticamente
por "matri= f O*¡Jr p)íe"r o hien" "rn*rtrir A = [ Or¡]r p]íq".
{.llrarrdo no exist-en dlrdas ace?rca del orden de lrna matri¡, Ee
F{rFres{i*rrtará simplemente pcrr una letra mayürscurla en cursi.va
cl Fn negril la, por ejemplm, "matFir A" . El elemento ( i, j )

se denet* como or¡ r en letras letinae cltrsj.vas minúsculas,

).i eg aquel qlte sie Erncr.rentr,n err el crurce del i--Ésimo renglÉn
con la j-ésimá cülurrnnar nurngirando las columnas de izqurierda
a derecl'¡a y los r€?nglones de ar-riha abajo.

üuando se escri.be lrn sisterna de ecrraciones en las3 forma$ en

qLrer une ecuración matricial reernFlara a tado e1 sisterna tle
eclraciones escaleresr set rJice que es;t* repl-e$ÉntacJo en
 9

notación matricial.

Son notaciones matriciales¡

r
I ott Oa5. , . o,..1 F, l F,l
cre"¡ II lx= I lb=
I
I

i oo" O3¿ga . .. l' != I'

|

I
o AX=B
ll.ll.l
o"Jtt'tr.i
I
t
I
I o,'t
L-.._
Op2. . '
l':'j ["-i
I.. ? PARTES DE UNA HA-THI Z CUADRAIJA

Fara urre rnatriz cuadrada A de orcjen p, los e'lerr€lntos Orr,,

¡I:au¡ r Cl¡"¡a constituyen 1a diagonal principal.

Para la misma rnatri¡. loe Hlementüls o¡"rr o¡r-r¡2¡trrq or¡,

conEtituyen 1a diagonal secLrndarla,

El triángr-ilo superi.or esta f ormado por los elemelntos { or¡ }n

dsnde i.*lj.

Et triángulo inferior eEta formada por los elemento:: { or¡J.,

dsnde ilj.

n v!fSl0r'r¡
(pr.i¡ P:f:^til:)
 lü
1.3 GLASIFICACIüN DE LAs I'IATRIEEI'J

1.3.1 f'latri¡ cuadrada: una matri: cHadrada A e5 pxq c(]n

p=qi de 1o contrarÍo eti retangltlar.

1.3.2 Hatriz vectgr: Hs ¡"rna matri.z r*ctangula¡ qlte pLle{le

ser de una ccllLrfnne ( pxl ) , I larr¡i¡da vector coLutmna i o de ltna
fila (1:tq), llamada vector fila

1.;f.3 diagorral.: E.s Llna rnatri:l cuadr-ada ruyog

l'latriz
elementos que nr: est*n en la diagonal principal son iguales
a fi:Rro. Sie denota par cJiag(dl... ' ndF) quüi representa a los
elementos ( i r i. ) de 1a di'agonal, cJif erernt'es de cero'

1.:5.4 l"latriz tr.'i-angutlar inf'erior: Hs uná rnat-riz Cltadracia

corl sólo ÉlÉrnentos en erl triángurln irrf eri.or '

l-,f,.5 I'letriE triangutlar sltperior: E.s nna matri¡ cltadrada

ct:n sólo elementos en el t-riángr-r1.r sutperior '

1.3,& r'ratrra egtricta,nente' triangutl;rr: LJna ma.tr-ir es

es,tri.ctamente trÍangular s,l" *on tri.anq¡utlares sltpe*rinres ct

i.nferiores y s¡-rs elementos dr¡ la diagonal principal Éon

cero5.
 11

L "7 l'latrí z triangu 1ar in f erimr o sltperior un idad T : Es

.3
lrrra matrir trianglrlar rnf erior (o super-1or ) cuyots elernentos
scn igural.es a 1.

1.5.8 l'latrir nula¡ H.s aqnel la que tiene nulcls todos st.rs

e I ermen tos .

1. 4 I'IATR I CES ESF Eü I ALtlS

1.4'1. l'latri¡
unid¿¡d¡ Llarnada tarnbién matri¡ identidad
r¡írr es 1a ¡natriz diagonal rr = diag(1....r1). Algr-rngs
tambiÉn la representan por U (ó u).

Representación:

1 ;t ¡

I
() f)i
,II
I.' = .l
.l
I
() c,l
I
o 1l
I

1.4.t Platriz escalar: H* 1a matria diagonal D que verif j.ca

qug Orr = O=- iE = O-- = l:.
 13

ülrando el orden de la matriz evidente " ü no haya

G?s

necesiidad de considerarln, l,a rnatriz unidad se representará

tror I. 5e ve inmediatamente qr-re-fn + In + + In = p.In
= rJiag(prprFr...,p)r e Ie = I.I..-I = I.

1.4.::i üagos particr-rlares de rnetrices cuadradas; 5Í A y B

son dos matrices cuacjrarjas y re vérifica gure AB = BA. diches

n¡atrices re I larnari perrnlrtables, cnnrnurtativas c, qLre conmutan.

Es fácil rJ* mostrar qure si. A es urra matri.¡ cuadrada de ordern

fir conmlrte consigo mism&" y tambián con In.

En las condicioneg anteriores. si A y B son talers qure AB =

BAn las matrices A ,/ B Fe 1larnan antiperrmr-rtablee

anticonmlrtBtivasa,

5i lrna rnatriz A. curnple con A.*+t = An Ee dice que lct mátrir

A tiene un periodo li. Si l,; = 1" egto es. Aa = Ar la matrir
A se I lama idernpotentea

Una matri¡ A tal que Al, = C), s,i.E¡nda p un n(trnerr¡ en terc '/
pnsitivsr s€ llama nilpotente. 5i fr e5 el rnenor número
entero,! positrvo para el cutal AP = (-) . 1a ma'Lriz A eF

n i I poten'he de índ i ce p "

aAYRES, Frank Jr. l"latri.ces. Shar.rm-McGraw-Hil l " 1?7t1. 11 p.

 13

1.4.4 l"latriz conjugada: sea A una matri: cLryÉt3 eLementos

Ecln núrneros cofnplejos; la rnatrie sbtenifia a partir- de' A

:+urstitt-tyerrdo cada elernento por su conjugaclo se I i,a.ma rnatriz
conjlrgada cJe A y $e representa Á a At'

--1
G+t¡ 1- =rl
E.i emplo: 5i A El
lr * =: ?- ::ll
t--.

r 3j r + ejl
--i
l5
A-Ar= I I

is 3j 3 + 3ji
L J

I .4.4. 1 Frog:iedades de la canir-rgacÍón I

I.4.4.1.1 {Ar')r = ff

L.4,4.1.? (A + B)'¡ = Ar + Br

L.4.4.1.3 (l{A)r = K'¡.4ü

L.4.4.1,4 {AB)* = ArBr

1.4.5 l'latriz transpt-rer*ta; Sea A nna matris lf,)-rer la matriz

AT.. tnanepuesta de At es la matriz qLt€r se obt:.ene
intercaotbi¿rndo Ias f i, 1.as y columnas de Al la primere fila se
vuelve la prime.ra cElLtmna. y agí sucesivamernte.
 t4
':1

Ejemplo: A =l!f-'
I =l Ar=ff'=
r ';1
+t

5l
i

L-5:l L:
6l
_J
I

Platriz tr-anspLtesta trermrtiana: AH de A €ts, I;¡ metriz qnP

g¡-re se trbtiene ton¡ando el cofilFlejo c6njLlgado de stlg;

elementcls en AT - la trrirnera colutmna der AH cr;nsiste en lüs

c$rnplejos con.iLtgados dEl pr-imer |.*?nqlórr de A. y asi
ÉLrcegrvamente. Esto es {.AH.}'r¡ = 'lÁ'*.ra páFá t { i ':. q '1

1 {: j {: p.

E j errnp 1o r

r'-
l1 + 3j ji--1
I
$= t3
I

I
+ 3j 5l I

I
lr
't +ol I

t*

--'l

B'-{ = fitt+ :':j

-i
3-3j
Fi
l+
6-
-rl
t3j
I

!
t__ -.J
 15

1,4.5.f Leyes pára las transpuestas¡

1,4.5.1.1 (Ar)r ='A y (ffx)x = fl

1.4,S.I..? (A +. 8)f = AT+ Br' ,/ (A + Bi¡¡ = A}{ + BFI

l'4,5.1.;1 (rA)T = cAl V (cA)¡t = cA|.r

1,4.5.1.4 {AB¡r' = B'rftr Y {AB)FI = ffxftrt

1.4.5.1.5 {ABC)T = t(AB)CI.r = Cr(AB}-r = C'r(BTAT) = CrBTA'r

v { ABC }ra = CI{BHAr{

.t .4. á l'latriu s.irnétrica: Una rnatri¡ simétrrca es Ltna rn.ctt-i¡

rLradrade A tal qurEl A = AT. For tarrto en Ltna rnatrl¿ r:uádrada

ft = [ or¡ ] simétrica ser vs.rif ica qlte or¡ = or¿ Fara todcls
.tog valores3 cle i v de J

Ejempln¡

*1
:l- 3 ul
fl=
3 F :jl I

4 ';. ól
I

Es simétrica y tambiÉn *::A para cutalqutier esicalar k::.

 let

Si A eg; una matri¡ cut¿rdrada de ordeln nr la matriu A + AT es

si.rnÉtrica. Una rnatrir cltadrada A tal que Ar' = -A se lLame
herrnisimÉtr j-ca D antisimÉtrica i por tantor Eñ L(na matri¡
cutadrada A hermisimÉtricá 5e verj.f r.*a que o*¡ = - o¡* par-a
todos loE valorgs de i y de j. Évi.dentem6lrltt l¡1g elementos
de Ia diagonal principal deF:en ser- nltlns,

E.jemplor

ft= [-ii
-r -il

t:il
Una matri.= B (cuadrarja) Fara la cltal BH = B, der modo que
'{8.:'., = {:Bi'r¡. pára tnde i y .i se dice gLte els' hermiti.ana.
Las anteriores matriceg deF¡en ser cltedradas. Si. A es p;<q
AT eg exp¡ o sea que q debe ser i.gt.tal p. para que A = AT.

Ej emplo r Ccrnsidere las matricstg I

fr=it
--1
3l
B=
[= 'l C=
F 3 -1
rl
L' :i
t

-slJ
I I
I
4i ls +.1
r: J L_
 l7
Hntcnces A es simétrica ../ herrnitianai B nü ers siimÉtríca ni
her-mitiana¡ y C es hermitiana pero no sirnd¡trica.

Et prodr-tcto de dos matrices sirnÉtri.cag en gFneral no Fg

simétrics. así corno tam¡:oco el prOclucto cle dOs matricers
herrnitÍana.s eg, qeneFalmente. her-mitiarrs: Si A = AT Y B

= BT, entclnce:; (ABlt = Br.ffT = BA + ABr Eft q¡eneral. asi que

(AB)T * AB y AB es no sim*trica.

Si A es Lrna matris simÉtrica pxp Y B E!5 Ltna matril pxq

entonceg BTAB es simétrica, ya qt-te (BTAB)T = BTAT(Br')a'=
BTAB.

De rnodo similar, BHAB es hermitiana gi A es herrnitiarra.

ubserrve qlre la demostraci.ón anterior hace ltn poderoso Llso de
las pronierlades qenerales' de laE matrice:i qLte se habi.an
der.ivado anteriormente si.n tener c¡ue eg;cri.bir en detal le las
slrfias cornplicadas invc:lr".rcraclas en el prodttcto BrAB. EEto
i Ir-rstra 1a conveniencia y prcler de 1a notaciót*r matricial Y

Lc:r; rtrsilltaclos genÉr'al.es st:bre matrices.

L.4.7 i'latri= con jr.rgada transpuesta: L¿r apl icaciÓn

sLrcesiva cle la transposiciún y la conJu$ación en crralquier
I Froporcir:na r páFa Ltna rnatr-i¡ Ínicial Ao l¿r matriz
ortJen
conjuqada tranxpr-resta A*,, qLle se def ine cortto:
 tE

A*'= (A*)1'= (A'r')ü

l- 4.7. I Fr-opiedades ¡

1.4.7.1.1 (A*)* = A

L,4.7.1.? (A + B)* = A* + B*'

1.4.7.1.3 (ctA)* = ¿t)tA*

L.4.7.1.4 (AB)* = B+A+

Una matrir es herrnítica si. A+ = Ai por tantar si A = Fte(A)

+ jlmtA), e€ tendrá A* = Re(A) - jIm(A) Y errtonces:
Re(A) = Re(A)r Im(Ai = - Im(A)

Las niatr-ices herrniticas poseen Ia par-te real simÉtrica y la

parte imaginaria antisirnÉtri.ca.

Una matri¡ Eii A+ = *Ai empleando Ltn

es antiherrnítica
razonarníento anáIogo el anteriar Fe cüncluye qLler en Éste
cast: . debe ct-lrnp I i rge :

Re(A) = -Re(A); Im(A] = Im(A)

 19

Es decir " Iag, matrices anti.trer-mi.ticas ti.enen antisernÉtricas

la parte real, y simÉtrica 1a parte imaginaria' La rnatrir
con j ugacla transputesta Ési 1a misrna tpansputeeta h*rrnltiana

vista anteric¡r-men te.

1..4"8 tlatri.s inversa: $ean A V E dcrs matrices cutadradag

cle fcr¡na qr-re AB = BA = Ii eri egtag condÍciÚnes, la matril B

sGr llama inver-sa de A y ste egcribe B = A*a

Ejemplor

como itL' i? rl
ol It L-r
-;
I
l_t
rl =fl I
tJ r')rJ sl =I

llada utr¡a de las matricex del producto es inversa de l.a otra.

Sean A '/ B dns matrices cuadradas del mismo orden cllyas

inver-gas siort r r*epectivamente n A-" ,/ B'-ar entonces (ABl-r
= g--rft--r r És decir,

Ia inversa del producto de rJos matr¡ce:; qUe p(fgeen f'nVer5'ir

É€ igural al prodltcto de la inver-sa en orden contrario.

-c"c*itl
**,ñ-;.,ilor
ir:¡ rgtar¡ t
i¿r¡ fi|¡
|
 tr)
I" . S DET'ERI'II NANTE DE UNA MA R I Z T]I.JAI}FIí¡DA

1.S.1 Ferrnlrtacisnese

Considerernog las }l = é permlrtaci.ones des los nürrne'rog entero:¡

l. '3" s"

1?¿{ 1:i2 etj: ?31 31t 321

'/ i3 de lag 4! = t.l permlrtacioneg de los ent-e¡-os

r. t, 3. 4.
1?34 2154 31?4 413.3

13?4 3S14 421.4 4?13

En una permutación dada exÍst-e une inver-sicn cu*ndn ttn

ente¡ro precec{e a otro rnenor qLt€l é1. Eji el nÉtmero de
inversiones de una permntación es paF ( impar) . dirhe
permt.rtacién se L lama par ( impar). fssr eJemplo en el prirner
caso, la permutación 1?;i es par¡ ,/a qt.le no hay en el Ia
invergiór¡ algnnai la perrnutación 1;i2 eE¡ impar porgLte en

ella e¡riste una inversiónr el:i pr-ececle al 2i la perrnuttaciór¡

31I eE par porgue en ella exis¡ten dos inversionesr el 3
precede* aI L ,/ el :5 precede al ?. En el segltndo cest:, Ia
permutación 4?13 es; par porqLrc¡ en el la existen cut;rtrc¡

aIbid. n, ?{:},
 =i
inversionegr el. 4 Pre'cede al !:. el 4 pr-ecec3e aI 1r el 4

precede al :5 y el 3 Precede al 1.

l-.5.f Determinante de nna matriu cutadracJas

üonsideremcrg la matri¡ cltaclrada de orden n

--1
lt t"2 45.. r t_ñ I

a.a 2= ais. ¡. íÉn I

I
I

I
I
nt
t-
n.j ñil¡r.. fln
J

Y Ltn pf OdUCtO rJ a ?:t 5 itj s r¡J ñ

de n elementog elegidms de fnanera qLte solo exrst'a Ltn

elernento de cada f i ta Y uncl de cada colt-tmna. En este
produrcto lnE f actoresi se hen tarnaclo pclr ccmoclirlaci " de f c¡rma
q¡-t€r los primeros sr-tbindiceg siglten eiil orden natural It
?..... ni la s¡_.rcesión qlre .fmrmalr lms segundos subíndices jtr
.j:a,.... j,, e5 Lrne de tas nl permurtacimne¡s de InE ents?rag 1"
?. ..., n. (Farar rnayoilf acilidad pmdemos suponeF qLt€l los
segurndns :iubj.nrlices, están dispueetos tanrbiÉ'n en or-der¡

natural. ),

5Ibid. p. ?O.
 2?

Dada Ltna pÉrrnLt taclÉn j¡., i*, r-.r J"" de los gegLlndos

surbíndices ' rjef inrmos E¡r¡a.. -Jn = *1 n -lr geglln que dicha
perrnlrtacÍón gea par o irnpar, For tantor el Froducta con st-t

srgncl e5 ¡

E¡¡.¡ 3-.-Jn Or¡r ClzJa ..'OnJn

Se Il.ama polinomio determinante o , simp l ernen t*¡ . determÍnán te

de A. y se representa por lAlt a detA, la surma de tmdos3 los
prodltctos con su signu de Ist forma anterior -térmi.nos de
lAl-' clLiE se Pueden f orrnar con lt:s elementog de A; es
dectr.

'(a

lA|
ll = t- É.rrJz-.-Jn Or.¡r O3,.tz ClnJn
p

En clonde IaE gurnas s€t e¡rtienclen a lasF = n! perrnlttaciot'ler;

J r.r=- . -Jn de toe enterog 1, 2t . . . f'l . Hf c'lt-cJen del
determinante cle Llna matris clradr',ada eri el orden n de Ia
misma,

I . S.3 F'ropiedades de los determinantes

f.5.3.1 Si todos lss elernentos de Ltna linea (fila o

colurnna) de una matrie clurdracla A s6n nurlos. eL determinante

lAl = (t.
 ?:-5

1. $i A e:l Ltna rnatrÍ r cltedr¿rda lAt l =i le I t es decir't

5.3.;:
a todo teortrna relativo a la*; filas de un determinantet 1€
corresponde otro relativo a Lag cc¡lumnag' y viceversa.

L.5,:i.3 Si A' es 1a matril que 5e mbtiene cle A.

murltiplicando ltn renglón (o ltna cclt-tmna) de A por Lin eEcalar
cr entoncee' lA'l = -lAl,

1.S.:5.4 Si A' Es la matrie gLle Ee c¡btiene cJe A tras'ladando

nna de sLrs lineas p luqares' fBl = (-1)F"lAl,

1.5.3.5 Si A tiene dos renglr¡nes iguales lAl = r),

1.5,::5.á Si A'es la matrit qLte se obtiene de A" st-tmando eI

mrlltiplm de r.rn renglón (r*rna cnllrrnna) a otr-o. entonces lA'l
= lAl-

f .5,3,7 Si E es Ltna matris elr*mentel y A ed; Ltna. m*tr-ir

cualqnierar entonr:es ¡EAi = lEl.lAl = IAE¡.

1.5,3.S Si A y B son rles ina.tricers cr-.r;tlesc¡r-ti.era de'orden n"

entonces iABl = lA!. lBl = lBAl.
 34

1.:,.1i I'lenor- ügrnplerinent*ri.o y Adjunta tle rtn Elementc:a

l$ea A una ma'tria cr-radrada cl,e* srrlen n cllyo determirrante detA

v.iene dada r;ilr'*.1 ¡:rolÍnnrnin lAl = .ri E¡r¡:e...rnor¡r o:a¡=
... O¡.¡^. fiei llanra mtrnc:ri- nompl*rnÉn{:*rrc de A a de lAl, y Ée
reprexent-;-r lltrr ll"i ij | . aI cJietermj.,riaiitti de I.a matrÍ: cttadrecja
dEl ürrjeil ( n-1 i qilF resu I ta de sltprimi r en A todmg I os
eplernentos de lsr f i La í ,¡ todos los elernentos de l,a colutrnna

,J.

A erste determinante EE? 1e denorninar corrientementer ñencir

deI elernento or¡.

El menor afectado su signa (-1 )"*,lfl., I recibe el nombre

der

de ¿rdjltnto del elerne*nto Or¡ Y 5€? repre*ent,R por- .1.¡. r;1

H-iemplo:

r or;¡ ors 1

I
or r I
I

Sea lama'Lrrr: fl= i

I
o;¿r Qz,= o=. I

i
! I
I
I
I
o;¡.r o=,a o:g¡¡ I
L J

Qzz o=:¡ r o:::c

o:¿
l'lrr l'l t :¡
ot:ta o;s:¡ o:sr. ost

aIbid. p, Í12¡ tJ3.

 i:5

Oar Ctz:¿
Il¡.o
osr o;ra

c{rr. = (-l)r*t fl'lrr. l = lMrlli a.t== (-1)t'*=lMr:al = ll'lral

ür:s = (-l)t** lHt=l = lMr;sl.

Luegot lAl = orrfl'lr.rl or.=ll'lral + Oroll'lt=l = o¡ad{a, *

Orad(r:¿ + O¡,;s¿{r¡

1.5,4.1 El valor del rJeterminánte detAn siendo A la ffatris

cLradFaclá de orden n, eE iqual;:r l* sut¡la de los prodLtctüs cle

los elsrmentas de ltna linea (fi. la o colLurrná) de lAl por gus

respectivos ad j Lrn tcrs ¡ EE clecrF "
n
1.5"4.1.1 !Al
ft = Ct¡.rrJ¡.r * O¡.ar.1r.= * ¡..r + Ornü¡.n = E (lrxflrx
t.¡

n
1.5.4.1.2 !Al
ll¡-l = Ctr3{tr¡ * O:a5rj{a¡ + * On.¡d(nJ = E Or<¡{I¡r¡

1.5,4"2 La sLrrna de los productos de los elementos de urna

I inea ( f i la s colr-rmna ) de Lrná fi¡atrir cuadracja A pc:r Iog

adjllntos de otra Iinea ( f ita o cslnmna) es igutal a t).
 ?6

I .& CARACTER I ST'I NA I}E UNÉT I'IATR I Z

La característica t: rango rje urna matri:: no nutla A es iqual

e r si eI determinant-e de aI menos Ltno de SLIE rnenoreg
cuadradog de orden r eg clistinto de 0" giendo nltlos los
correspnndientes a todos Ios; merior€rs cutadrados de orden (r
+ 1)r si eÉ que e:<iste' La caracteristica de Ltna matriz
nula es t:r,

E.j emplo:

fi=
Ir2
?
3
:ti
4l F=2yaque 1? =-l+o
L= 5
| ?3
'J

Siendo detA = ó

Una rnatris cUadrada A de orden n ser I lamet regular si- sLt

caracteristice r = rli es decir, si sLr determinante e5

distinto cle {-)r lAl + O. En casc contrarior A recj.be el

nornbre de singular.

De la iqualdacJ lABl = lAl.lBl se decJrtce qLt€r! El prodncto de

rJos o mág rnatrÍces cutadradag regulares de orden n GlF otra
matri: regutlar¡ el producto de dos o más matrices cuadradas
de orden n FE Lrna rnatri;¡ sinqttlar ei al menos utna de ellag
 ?'1

r*$ s.inqLl I ar' '

L.7 TRANSFORMACITJNES ELEI"IENTALES

tion I.as operaciones cfin matrices qLte nr: mndifican ni sLt

c¡rden ni ELt r.:aracteristica. Una clperación elernental de

r*nglón, (a veces li¿rmada gó1o operación de renglén) " en Ltne
matrÍz A ee. cltalÉsqLtiera de los tres tipos de operasiones.

L.7.L Tipo de Transforrnacitrnes Posibles

1.7.1.1 La permutación de la fila Lr/ Ia fi 1a Jr 5e

r-epres*nta por Hr¡. La permutaciÓn de la columna Ly Ia

cüIurmna j s;e representa For Hr¡.

L.7.L.I El pr"odt-tcto de tc:dc:s los elernent-as cJe Ia f ila i por

Lrn escalar l'; distinto de () se reF:resenta por Hr. ( h ) . El
prodr:r:to de todas lss elementog de la ct:lutmna i por Lln

escalar l,; distinto d€¡ {:}i se representa por l{r(h}.

1.7.1.3 La rje Ios elementus de la fila i con Ios

6r-tma

correspondientes de la fila j r multiplicados por- un escalar

k, $e re¡rresentan por H1¡ (h). La sutma de los elementos de
la colurmna i cc¡n los corresFüncli.entes de 1a colt-tmna .j r
murl ti.pl i.cados pclr Lrn e$calar l.*. sF representan por l'.r¡ ( h: ) .
 ?B

Las transforrnaciones dn tipo H se llanian trans'forrnacioneE

elementales de f i 1a. y las transf orrnaciones de tipo E: se
denc¡minan transf c:rmacionet; element-ales de colurnna. Ambag
sort r en qeneral r tr-ansf orrnaciones el.ementaleg3 de I inea,

1.7.? Inversa de utna trangfnrmaciÓn elen¡ental: l.-a inversa

de Lrna transf ¿rrmación e I ernen ta L Hs Llna operaciún qt-le
destrlr./e el ef ects de ésta i es cJecir qLte si después de
realirar Ltná tr-ans;{'c:rmátrién elemental sobre A se aplj.ca Llna

'l-rans'f clrrnación inverga r 5E reproduce la matrir original A.

1.7.3.1 L¿rs transformaci.ones elementales inversas scln¡

I .7.'J. I .1 Hr¡ -'t = Hr¡ Kt¡'-'t = F:.¡.¡

t.7.2.1..3 Hr-a = Hr ( 1/h: ) l:.i-a(1.;) = [1r(1/h)

L.7.2.1.3 Hr¡-a(k) = Har(-k) F:.r.¡--r(k) = Hr¡(-h.

1 .8 MATRICES EC{UIVALENTES

Dos matrices A y B se denominan equivalentss. A s Br 5i Ltna

de eI las s'e de*dutce de Ia otra Cofno consecLtencia cle

trangf orfnaciones Flementaleg de I inea. L,as; rnatriceg

ElqLlivalenters han de tener el misrno nrden e igutal
 =9
caractsristica.

E j emp 1o : AP I i. cando surcesivamente lag trangf ormacior¡es

elementales H=*(-?) ' Hlsr{1), H;sa(--1),

[t ? -1 4l l-t z -l ol ii [r ?-r +l
e =l ? ,i
sl I rr {) s -¡l lc, (:) 5 -31
4
-rj L-t -? -tJ 1,:, s
b {r
.-¡

|-r -r 6 -Ej
L

['? -1
i! lO {-, 5 fl =B
r{) (:l 0l
J

r .9 HATRITES EL.EI'IF:NTALÉ.5

Le rnatril qLte resutl ta de apl icar uná trensf orrnación

elemental de línea ( f ite o columna) a la matri¡ utniclac In
r-ecibe el nembre cle matriz elernental de l inea. Las matri.r:es
elementales lás, repretsentaremos, p$r el símbola empleado Far-a

la transformaciÉn que da lutgar a La matrrz en cuestiÓn.

E.Semplos de rnatrices elementales obtenidag del

[t () ,)l
Is = l0 I (tl
fr(-'tj
!
:'lti!
I
I
 .5C¡

I ,ll
[,, {:} c,l [r üol
H¡.:a = 11 = Kt= ¡r(h) = l.) I ol {J nl
= K:¡(l';)
l_o0tj L,'

it r:, -rl
H:a= ( ]'; ) =lrr I hl = E::¡:e ( k)

Lr' r] tj

Sean A y B dos matrices eqLtivalerntes. ftepresentafn$s poF Har

H:¡,.... H.,i Krr l(¿'... ¡ Kcr las rnatrices elementales de'
f i t a ri co I umna corrc¡spond ien te6 a l as transf ormaciclne€.
elernentales de fila y colLtfnna qt-te transfúrrnan A en Br siendo
Hr la prirnera tr-ansf orrnáción de f ila, H= la segttndan ' . . i
l..r 1a prirner-a transf ormaciún de colLtrnne o lt= t Ia SegLlnda r

en estás sondiciones¡

H-...Ha.Hr.A.Kr.Ka...Ko = PAQ s B

P = H-...Ha,Hr '/ Q = Kr.Ka...K¡

For tantor 1a condición necesaria y sLlf iciente para que dosr

matri.ce€t A y B seen equivalentes e:; que existen dos matrices

P '! A regLrlareei corno las ya definidast del mánere qlre 5e
verifique Ia relación PAE = B (relación de equtiválencla).
 3i_

E-i emp 1o :

Su*a A = lt
F: F
-1
-2
--'!
?l
3i ,Hsr(.-1 i.H¿r(-2).4.1'::?¡.(..?).Fl;¡r ( 1) .

flL- 2 I 2i
J

hl¿¡. (-3) . 1,.+¿( I ) . l{:s( 1/1l) =

['i t) ü ;lrli [-r ri :-l

'Jl
r)l.a*
l. l-? 1
i-r {r ri
i__ J Ii_
c, 0 1l
J

l--t -? t)
--1
,)l I (:t I
--1
c,l
1,, I ü rll {
l. ü olt
l,l t-) I ,rl fJ I rll
r) {J 1l o c) 1l
L- -J F J
--i
F {¡
I
(:)

{)
-;l t:)
i;l') r:,
{
r)
ü
c,l
.'rl*
ls
| {:} ü I c,l
|
c¡
.L

I ,)i
{l 1l o
jlr
{) r)
lc, j l3
L-
t-,

;o -1
1(l
-t
ül -? -.1
C!
F L/?.

(Jl {) ,,l= -?1 {,i

I
.4. I
lfJ
I
lfl 1l
(:) c, :L /!. -I rl
I
I
l,l (J L/2 -l
:J I

C} rl t)
C} TJ

,i t: 1l

-1
Itl ü

PAtr = {JL 0 :l = B

r:l 1.

: d
 f,?

Puegtc¡ qLle toda matrir eg eqlti.valente a sLr prapia f orrna

normá], sEl rledurce qLie I Sr A es Ltna n¡atrir requrlar cltadrada

de orden nt e¡riEten dos matrrces regularers P y trt talete; qLle
PAO = In.

1.9.1 Inversa de urn producto de matrices elementales

Sean:

P = H-....H:t.Hr Gl ,= K¡.K:e....Kc

las rnatrices def inidag anteriormente. Corno cada r-tna de I a:;

matrices H y K Fclsee inversa, y le inverga cle t.tn prndutcto EG

ignat al produrctm de las .inversas en orden contrario.

P'-t = H-ar.H-r:¡....H'-a- Q*.r = K--ar. "..K-ta.l(--'at

Sea A Llnfr rnatri: cuacJrada regutlar de orden rrr y P y O las

¡natrices definidas anteriormente que verifican Ia relación
PAO = In. [in estas condicianeso

ff := p-.r (PAo)o-r = P-r.I^.Gl-a = P--r.o-.r

Hernos demostrado " pLtclf-s q üt I tec¡re¡na sÍgt-ti.en te :

 f,:l;

1.9.1 .1 Cr_ralqurier matriz regular t;E pltede elípreEier ccafno

producto de matrices É?lernenteles'

clomo consecuÉnciei reg3lrltan estos otrOs teoremas:

5iA e5 Lrna matria regurlar, la caracte¡ri.:i'tica de 1a matri¡

AB( ,/ también la cle BA) Ft; igural a la correspondi.enter de B.

Si P )/ O sori dos matrices rÉgLtlares. la caracteristica de

PAO caincide con la de A.

1.?.3 Las Matrices Elementales y sus Operaciones

1.9.:.1 Cada oper'acián elemental de fila es, entonces

eqnivalente a 1a premltf tipl ícación por une rnatris elemental
de fila H.

1.9.?.? Y cad*r operación elementel de cslt-tmna es

eqlrivalente a 1"* postmurl tipl íc,ación por Ltna matris eleinental
de colnfiria K.

1.?.3.3 üuralquier secuencia de operacione5' elementales de

fila o colttrnna Es eqltivalente a prpmLlltiplicaciones Y

postrnul tipL icaciones sttcesiva5' de matrÍces elernentalesi de

f i 1a v co I ltmna resPectivamen te "
 f,4

1,9.2.4 Cada matriz elemental es no *ingltlar-.

1.9.?.5 Un prciclurcto de rnatrices no si.ngutlares fr5 n0

sirrgular {o sea r€}gltIar-¡.

1.1q) MA-TRIZ DE LOs ADJLJNTOS DF: IJNA I'IATRIZ CI.JADRADAS

1..1{t.1 l'latris de' los Acljutntt:s o AcJjutrrta

En sentido no hermitico. = [ Or¡ -] ttna matri.¡ cutadr**da

Sea A
de orden n y üLr eI ad jr-rnto { menor complementarlo con 5Lt
signo ) deI silemento or¡ i por clef inición ',

T* rr,,L o^Il
I
üra ü22 a^= |
adjnnta de A = adjA = I

....,1 I

I
I
ri(tn .f:an O^-
|

Obsérvese g1-te los adjltntas de 1r¡s elenrentog de Ia f i la

(columna)i de A son los elementos de* }a colurmn;r ifila) i de

1¿r matrix aclj A.

6ibid. p. 49' St:i.

 .l:'
bljemplo: Err la matrr:

fi=
r'3i
Ie s ai

L- r:i
rfal = 6" tfré = -:;1 . ür;¡ = '-.:i. rJ:ar = 1. r,l'E.R = *$. üa:s

= 3, d;s¡. = -5. d'.=z = 4' .-llr::s = '- I

lueqo
l-.
t -=-l
-5 4l
I

Ad.J A =
i-r
[=
3l
Aplicande los T'ec:rernas 1.5.4,1 y 1. 5.4. t. se tíene

r-
I

I
I
otr oa¡,. , . o1.,
trI
tl
tl
l" Ir di{er...tJI¡a
'--l
I
I
!

ll"
I
A(adjAl =
I

I oct Oera, . . O=- Lt Q.aa...fl¡2 I

I
.l
I
I
I
I
f
Onr O-:¡...O--
till"
I l¡

an d{¿n...r1n¡
t
I
I

I
L* -.J L_ J

= dias ( lAl , lAi , lAl) = lAl.I- = (adj A)A

 :5é

1.1r1.? I'iatrir de los ad.iuntos de un prodlrcto

Sr A '/ B son matrices cuadrarJas rJe orde¡n rlr

aclj AB = ad.j B.adjA

I..11 SISTEFIAS DE ECUACIONHS LINEALE$a

1.11.1 Definicionee

Congiderernc:s Lrn sisten¡a de fn ecuraciones I inealeg con n

incógnitas Xrr Xar. ¡. i. r X-r

1,11.1. r
orr xa + o¡.a xa *...+ o¡^ xñ = hr

O:ar Xa + O:r;¡ Xre +... + O:¡^ Xn = h=

Ctmr Xa * O-¡¿ X¡¡ +.., + O-- Xñ - h-

en eI cual todos lns cuef icient**¡, de las incÉgnitas ( or¡ ) y

Ios t-Érnrinos independientes (hr) pertenecen a Lrn cuerpo F.

$e l tarna solución del sisterna en F, todc conjnnto de valores

de 1*as incógnitas X.rr X=n.....X-" pertenecientes a F. qt-te

satisfagan s;irnultáneamente Ias m ecutaciones dadas. Si. el

éIbid. p.73r 7¿a.

 3'7

sisterna tiene solurción se denornina. compati.blel en cáso

contrario es incompatible. Un sistema compatible puede

tener Ltna o infinÍtas solt-tcrones'

Dc:s si.stemag dei ecuaciones linealesr gobre un migmo cuerpo

F. de ign*I nCtmerc de incógnitag se l larnan equivalentes
clrando toda solutción de uno de ellos 1o es tanibiÉn del otro.
Para obtener un sistema eqltivelent-s* af ( 1' Lf .1.1) se pueden
ef ectuar Fn tcrn ces Ltnfr o más de I as transf orrnaciones
siguientes (seg(rn las def iniciones matriciales ya vista.s) I

Ferrnurtar do:¡ ecuaciones.

Mr-rl tipl icar Lrna ecLlación por une constante distinta de cero.

Sumar Lrne ecuación a otra multiplicada por Ltna congtante.

Fara resolver Lrn sisterna de ecuacÍones cc¡mpat-ibIe sP

sugtiturye el sistema dacJa por etro equtivalente.

t . 11.: Solr-rción l"lediante la Notación Platricial

Uti I i¡ando esta nctaci.ón, el si.stenra de ecuracic¡nes I ineales

( 1. f 1.1.1) se purecle escribir en la f orrna
 f,8

t. 11.3.1
t*' Orr'
I Cla2.., O.t-

I l-;l [l=l
I

I
Ctar. Oa=... Oz-

lli-ll
I
I
I
I

I
I
I
L
Omr 062... Q"-
i L'^i L'-J
o bien de manera más comPacta'
AX=]l

Siendo A = [or-¡ -l la matriz de los cneficientes. X = [X¡.

X2. ..,. . ¡ X-l' r ,/fl= [hrr hzr.....ti-]'.

Ct:nsiderernos ahnra I a rnatr i ¡ amp I iada con l os tárminos

independientes, n tarnbién I lamada metrix áLtmentanda derl

sistema (1.11.1.1).

1.tr_ . ?.3
--'l
l-", , oa=. . . o'- h' I
I

I I
io= 1 Gt22. . . O:r^ h= I

t I
= tAH¡
I
I
Ct6s. . ' O-- hr.
Lo' a J
I

(t"'ada una de las filae de (1.11.;:.t) es una FpprÉ?sentación

abrervlada de les coFrespondientes ecuacic:nes¡ para leer la
ecuación de ilna fila bastara sirnplemente con añadir
 39

apropiadarnt*nte las incóflnitas Y los signas '+ ó -r et E. )

1.11,3 Teoremas Fundamentales

1.11,3.1 La condición neceearia y suf iciente para qLte Lln
sistefi¡a' AX = Hr de rn ecuaciones lineale:¡ con n incúgnitas
sÉe compatible, es que Ia matriz de l61s coeficientes ,/ Ia
ampl iada cctn loe tÉrrnj.nos independi.entes terrgan 1a rnisrna

caract"erísti ca .

1.11.3,? En un si.stema cilmpati.ble i 1.11.1.1) en el fiue r +i

n 5e pueden elegi.r n r incógnitas de forma qLte le

caracteristica der la rnatriz de los coeficientes de las r
inCógnitas restantes sea r'. Al es-'ignar valores arbitrarÍos
a elg,tas, n r incúgnitas" las c:tras r qltedan perfectamente
determinad,*s.

Si un sistema de ercuaciones I ineales se trasf arrna

i. . 11 . f,,3

en otro sistema lineal f:or medio cle ltna dei las operacionesi
elernentalers. e*ntmncegi lss cf r.¡s sistemag son eqltivnlenteg'

1.I.? SOLIJ{:]ION DH ECI.JACIONES

I . 13.1 EL irni.naciórr cle Gaussz con intercarnbios en Ia matris

alrmentada p x (Q + t.) tA bl procecle corno se ind i. ca a

ZNOBLE. DanÍel . Algebra Lineal Apl icacla ' Prenti.ce l-{al I,

1989. p. 99, l(}{t

l¡*ffi",,*
I ¡.
qe., ü i;
;;"il;';;j
'r',., i
 4(:)

cc¡ntinuración r

1.13,1.1. Siea j = L V r-¡. = l¡ r-.r'tilice el renglón F3 Fát"á

erl iminar en l.a c$l.r.inrná j de la rr¡atriÍ áLtrllerrtada ;rctual corncl

6e indica en los pasr:s del ( f . f.2.1.? al t.12. f .á) '

I . 1?. I .3 Seleccione Lln renq 1ón de elntre lr:s reng lanes

r t'5 + l" '.... r p pat-a s|.t uscJ en Ia el'iminaciÓn
nLtmera'dcls F¡

de 1a ccrlnmna j i l Iamei á este renglén i " cle modo qLt€r el

elemento ( i.,_j ) -l lamado pivote- €?n 1a rnatri¡ altmentada
actural sea dif erenter de ceFci. 5i no hay elementos
diferentet; de cero en esta parte inferi.or rle Ia columna J r
entoncc*s ncl se reqt-tiere de eliminación: ponga F5+¡. = F¡ para
r-rti I izar el rnismo reng lón , Y sal t-e directamente aI pascl

(r.1?.1.á).

1..1:l .1.3 Intercarnbie lr¡s rengltrnes i*'Ési.mo y r¡-Ésimo.

I . 1?. I .4 Reemplace este nilevo reng lún r5 -és'i'rte por sí misirrcl

divicJida entre el pivote {sut elernenta dif erente de cert: en

s3u co l urnna j -*Eirnfr ) .

1.1?.1.5 este nLtevo rerrglón r¡-ésimo paFa eliminar

Utilice
los elementos en la cr.¡lumna j-Ésinra en los rengLc:nes r¡*Í,'
r¡+2r r F. Ponga r-5 +r = F.¡ +1. paFa utti l i ¡ar e l
 41

sigr-rient-e reng 1ón ,

1.1?.1.á I q T F.¡+r 5 p:t entonces ar.ln eEi posrble

Si j
SegUir etiminando¡ incrernente j en 1y vutellv* aI f-'aso nütnierc:
1,11.1,=.

En caso contrarir, ge ha c{frnplet¿idr-¡ La nlÍnrj.n¿*ci.ori de GauiEisl

vaya al pascl ridtmerr: .t . l:;1 . I . 7.

1.13"1.i Interr:rrete la rn;rtrj.; redutcida fi,n*.1 ccllll'f la niatrj.r

áLtmerrt-ada prrtri Lu-l siie't$ina c1e efiLl*t:it:nerS y pr*Ced+i a
enccl¡trar las snlltcj.nne*s, :;i exrete,n medi.ante la si.rstitr.tcrún
fgn r-evf.*rga "

f .1:t.:l tiL méf-sdo cie tiiautss Jcirdan G?E; Ltri re'ri.n¿imientc} del
inétada cle redurcción rJ de eI iminación c-{e Gai..tsg r án terii¡r .

Qlrer es áquel qute p6r medio de operacicnes e*lementaless

cr:nviertp .ta matri:r €{ur¡1l:ntad¿¡ ( la. rnatrj-;l de ltrs coe'f icientes

en cascl cle qLr$ e¡l *istein;r sela hurrogéneo ) ' en Llna matr-i:i
Éscalonacla redltcitia "

L.l.:i.S l"latri¡ esc¿ilonada reclltcicJa

lJna rrratri¡ es de,.l.a for-rna esr-:al.or-¡ada redlrcida si y s'oi.o -si

satigface las si.r¡r.ti.entt¡s cc¡ncjisi.ones.
 .r .¿

l. t:1 .:ii.1. ür.raiqr"tier f ila cltyas cúfrrpon€?ntei; sealr todas ceF{:,r

deberi ester dehajo cJ** ac¡Ltellas frlas qLi{l t-engan al.gltna
c:$rnpünen ter nc: nlt 1a .

1,1?.3.3 L.a primera cgrnpüne¡nte rli:¡ n1.ll* de r:ada f iIa c¡lte ncl

terr'.ja todc:t; sLtE {?lfi}mÉ?rl tng nltlot; t¡s utn 1.. E*;ta curnponente ge
I I am.r I capi ta l. .

1,1:;:,:5,.1 Hl núrrerr.¡ ds cer(]s al cornien¡m de ltrre f ila altrnenta

a rnedicla qure clescendemcls.

1.12.;;.4 TadaE los demáe elementos de 1a cnlumna donde

eparece Lrn 1 capital r Ecln cerclS.

Se plrede rnostriar qlte la centidad der speraciorres ¿iritméticas

qure hay qLte reali=ar E!E menclr con el mÉtoclo de Éauss que c(3n

el de G.*Lters-Jord,*n. Asi.. terrÉmclt3 qt.te pare res{f,1ver Lln

sisteina de n eclta*ione*; cc,n n incdignitaE o eI rnétodo de

elirninaciún de Gaurss requi**re i.rproximadamerrte 1./*aln5 $urnas y

mr-rl tipl icacianes mientras que el. métodc: de Eiauss-ilnrdart

requiere cerca de 'áns Y mr,.rl. tipl icacinnes ' Adtn Én
sr-lrnas

computaclüFEt*: de al t;r velcrcidail esta díf erencia de Ltn 5r-t7,

pnede s€lr significativa cltands n es lo st-tfi.cj.enterrente
grancje, (ver E:jercic:in sigt-tiente). $¿: lrará énf asis e¡r eI
mÉtodc de iial.rE,si-Jordan por sL{ importancia en la teoría,
 4f,

Ejemplal Encltentre tadas las solucione's del siquiente

gÍsteme de ecutaciones.

:5y-3e=6
x-y+4¡='-3
x+6¡=4

So I r-rciÉn

j,/-3a=fiX -v +4==*3
Hr¡t -1E"+E=
,l-y+4i=-*-i*'--l J'./ *Jr=g-------:l

:{{'óz=$ x+62=4

r
l.
3-3 ;lF
lRra
-1 4i -:ll
il
--1

-Ra+F::s
ll -1. 4 -::r F__lrl
I
3- 3i ái
il
I'L {)6 4l
JL
I' r) Éi :l

i{-Y+lll=-J ;'i-Y'*¡{E=-3
t/3)Ea
( -lEt'+E-
3y - *-i¡.= ó ------¡ y != ?--'-*---.)'

Y+32='/ Y+22='/
 44

;-r 4 -.;t t-1 4 -.;i

I t rrrtn=
(t ri -:i 6 l-"
I
- --- r..r I -1 -'i--* [ -R=*Ro

zl
:13 -J :'I? :i
I{-y+4:E'-3 ¡r-ir+42=-3tÍ
{ 1/.:i ) Ha -iE=+E.
'/ z= 2------i. y E= 2-------*.¡

3:=$ u= 5,/:3

-1
F-r ,r -; -
tz=ln''
I -1 4 _3_i
I

l,' I
! r l-R=+rtt
-l rJ 1-i ?l_--I

I
¡
I
rJ Q1 5/3 I
[{)3 -J

N+5==-l
lE5+ft -SE=+Et
------.} Y = LL / :' -'----:l

r=5/3 u = 5/:,

--1
I (:¡ 5i -1 I
| -3lt:s'{-Rr
{:) I {l 1.1"/3l--_--
I
1:, () 3/:3 i
*J
 4.5

:.{ = -¿l

\!t i; 1113

E= 5/3

It c¡ {, -ál-1
l"
I
I
1() 11/]
I

|
I
I
01 3/3 |
t_" -..J
I

Del rjrttimo siEterra rle ecuaciones o de su corres'pondiente

rnatriz áLrrnentada vemns qute existe una solutcián ütnica
(xr yt ¡) = (-6r LL/3.S/3),

En eI método de eliminacicln de 6auss procedemos en Ia forma

arrterior-r p€rt.o sLlspendernos con el si.stema ]{ -'/ + 4¡ = -3.
y r = 3r r = 5,/3, qLre flte rnárcado con Ltn asterisco. La

matri ¡

--1
-1 4i -3 ¡
I
I

Ct t -1 2 i
I
I
I
I

C) ü 1i 3/ 3l
J I
I

qt-rel correÉponrJÉ este eistema se di.cet qt.te eEtá en la forma

esce I c¡nada .
 46

Et ánte¡ior sisterna 5e Fesi-leIve por sustitucién. De la

drltima de las ecu;rciones s,e tiene E = 313. Sustitutyendo
este vá1or en Ia segltncla ecuta.ciÓn y despe.iando' obtenemos
,/ = 3/3 + ? = 11./3' Conocidos los valorÉ$ de Y y ¡ losi
eLrs;titt-rirnos en la prirnera ecutación Y obtenemos
lí=y 4z -$=L7./:3 -?rll3 $=-'6.

1.1?.4 El NCtrnero de SolucionesB

Frimerc¡ cfJn5idere eI casor aparentemente simplet de utna Snla

ecuración ali b con una incógnita lf i i.nmediatamente gel
=
'[iende a decir qlte le solutci.t3n de esta ecutación eE >t = b/ar
pero de hecho existen trers pclsl-bilidades:

1.ft,4.1 Si a + C). entnnces :'í = b/a tiene sentidor y ásta

esi La rirnica solución e esta ecutaciÉn.

f .1?,4,? Si a = 0, entonces e)íisten dos posibilidades:

Si b + O, entmncesr en la ecuación" 5e pide encontrar x
t¿l qlre O>: = b * ()r y no existe Ltna solt-tción >:. Se dxce que
"nO eXigte 56lUCión" 1¡ q¡-te "1A ec¡-laCión eS inConsisterite" :/A

gLre irnplica qute t-r = b * ,- t lo cual es Ltne contradrcciÉn'

eIbid. p. 1O4
 4'/

5i b = (lr Eñtonces hay infinitamente mucha$ soluciones:

f;ada nürmero x €ts Ltna $olutción yá qLte (rx = tJ = b sin importar
el valor cle x,

Estos ej emp l os y prob l emas mutegtran QLt€ r en genera I ' ncl

eg, pclgible determinar si las ecutaC.ioneg tienen Ltñár nlnqLtna.

o infinitamente m¡-tchas 516lLtciones só1o a partj.r de los

números de Ias ecutaciones o incógnitas.

Fuede sucede*r qLte dos ecuaciones ccln lrl incégnitae; seen

inconsistentes r ñlientras qLte lt} tcuaciones con dai¡
incúgni.tas tengan una solución ürni.ca. La eliminación dsr
Éat.tssi es el rnÉtodo más apropiado párá deterrninar cltáI de las
$i tt.raciünesl FlFeva I ece.

1,1?,5 SeleccÍón de F ivstes '/ El inrinación ds* Galtss en Ia

Prác'hi. ca

En lss r:álcr-t1og prácti.cEs3r suele grrr inteligente

intercernbiar ecltaci.c:neg, eun cltandt¡ ncl 5e enf renten corl

Lrn pivote ceiro. Hste hecho pueide resLlltar extrafior ya gt-te

I a e I iminación de Galtss siempre+ prodltce e I ( miEmo )
resultado correcto sin importar quÉ secuencia de pivates
d i f eren tet; de cet.o scl I percl ésta st-tpcne qLte I a
t-tti. I i ce

ari.tnrética se I le¡ve* e cabo corl exactitud " ,/ las

 48

Cornplrtadclras en lag, gLte 5e resu€llven lss sistemag de

ect.táciones e¡r la prár::tica rarf, ver r-eal iaan una áritmética

exacta. Ester hecha sobre 1a aritrnética computacional
inexacta af ecta de marrera drástrca 1a eliminaciÓn de Galtss -
y cLtrñtlqlti.er otro algc]r'itmt] cornputtacional- ,/ r'equiere qLre
ser reexamine le seleccitS¡-t de pivotes.

1, l.;l . á Requrisi tns de f inney pára ordenamíento cesi Óptimo

1.1::.á.1 Enltrnere lats f ilas de Ia rnetrir de aclterdo al

ndrmern de tÉrminos n$ diagonales antes de la el irninacién.
La f ila con eI ffienor númer-o de tÉrrninos es el iminada
primero.

1.1?.á.',? Enltmere las f i.tas pará qLte a cada pasca del procgrso
la próxima file a ser operÁdá contenga fnenor ndtrnero de

tÉrmi.noE dj"f erentes de cero, Si más' de ltn¿r f ila curnple este

critesr-ia. 5,eleccione cltalqutiera. Este esquema r-eqUiere una
simulación de los efectos en I¿i ácLtfnular:iÓr¡ de términos
diferenteg de cero deI prmceso de elinrinaciónt segútn vereños

en el próximo c;ipítutlc:. L¿r irif c:rmación dei entr¿rda es Ltná

I ista por f i tas de los ¡ldtfnÉrcÉ de colt-tmnas' de términus
dif erentsss cle cero no diagonales.

1.13.á.3 Enurnere asi entonces Ia:; f.ilas Fará qt-le á cada

 4g

pa.so del proc€lscl . la prú¡lirna fila a ser operada sea aqutella

qlre intt-oducirá el fnelnc¡¡. núrnero de térmirlc:s ncl cero. Si mág

dtr Ltna f i Ia cr-rmple este criterio I 5€lercione c¡-.talqltiera '

E5;to invmlusra Lrna :;imLrlación cle. pruebae de cada aLternativa
f acti b 1e de I trrmceso dsr ta I i.rninaciÓn en cad* pescl - La

informaciCrn de entracla es ta rnisma r{Lle para el requisitn

an ter-ior- .

Además de considerar el nütmero de ceros y lcrs nilevcts

eleinentos introdutcidos dutrante Ia el iminaciÓn ( l l.enadm) r los
elernentos de 1a matriz qile cambian deben ser ordenados
Crltimos para qt.le solamente los rjrltimosi factores (v.9. n lJ---t
B--r Un-rr D^) deban s*r rnsdificadss. Términos no simÉtricos
a cáLrsá cJe aspectog f actibles plred*n ser tornados de Ctltimosi"
y elefnentos del vectmr F qlte cambian plteden ger rtsados Ffrra
t-omar la f i. la correspondiente como Ctl tima a ser
calculada.

1.13 INVERSA DE UNA NATRIZ

1.13.1 l'latriu inversa

.Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n de forma que AB

= BA = I¡ en estas condiciones, B es la matriz de Ar (B

A'-a)r y reciprocamente" A es la inverga der Br (A = B"-a).

tlniv'rsidnO -r,,r'¡ ¡t!0 ftc l^.¡¡¡(6¡¡

fp..-.in f;l lrr,¡
 5{)

-[ecremas I

1.13.1.1 La condici.ón neces,aria Y Eiuf iciente para gue

una matri: cuadracla A posea inverga eg, quEl sea regular. La

inversa de una matri;,r regutlar de* orden n es tlnica.

1.,13.1,3 Sea A Ltna matrir singr-rlar¡ la igualdad AB = AC

implicaquteB=C.

1..f 3.? Inverea de una matri.l diagonal

La inversa de una matri z diagonal regutlar. diag ( hr ¡

1",2,..,,¡ k-) eis 1a matria diagonal diag(1/k¡.r L/l:.2

1/k-).

1.1.1.i Inversa de la matri¡ de los adjuntos

Según 1'5,4.1 6e dedr-rce" A adj A = lAl'I' 5i A es Ltna

rnatri e regut I ar '

-ar.t/lA[ üzt/lAl... d(nllloll
o'=/ lAl üzz/ lA| . . . o-=/ lA|
I

|
I
A.-¡. = adjQ = ..... r.... ......
lAl -.'...! I

lAl... a^-/lAl
I
ü=,n/
_o'^/lAl -J
I
 51

1,13.4 Inverea de las l'latrices Elemental.es

liupongamosi que se r-edr-tce la rnatrir cutadracJa y regt-tlar A a la

rnatrit I, mediante transf ormacic¡nes elementaleg. de manera
qLle;

H-...'.Ha.Hr.A' Xr.l(a....Kr = PAO = I

COmo A = p-.r.Gl-'.r, y (B-r.)--r = Br resurlta

f.13,4.I A-r' = (P-r.Q-a)*'a = Gl.P = Kr.Ke.,..K¡'H-....

H=.H¡.

En el nurneral L .9 Eie demastró qlre Llna rnatrÍz regt-tlar 5€'

podia rÉdLtcir a forma normal aplicando ütnicamente.

transforrnaciones de fila. Haciendo O = I en (1..If,.4.11 5e
dedutce,

1.19.4,? A-¡. = p = H-...Ha.Hr

Es decir:

1.1:.4.3 Si la matrir A se reduce a la matril I medíante

una E,Llcesión de transformaciones de f ila' 1a matri¡ inversar
A-'r n eE igr-.ral at produrcto en orden contrario de las
correspondientes matrices ele[¡enta].e$.
 5?

1,14 FI\RTIT]IüN DH I"TATRICES E:N I'IATRICES SEFARADAS

Para e1 rnanejo de rnatricÉs exist-e un método particularrnente

rltil denominado partición Y congiste en considerar varias
partes de Llna matril como g,utbmatrices que se toman comc}
elernentog simples al apl icar las reglas Ltsutales dg la
mul tipl icación y de L a sLlma '

1.1.4. t Derf inición

Se dice que Ltnfr matri¡ A eg, separáda cutando 5€t dibuti an

Iíneas verticalee; punteladas qi-le att-avieean la ¿rltutra
cürnFleta cle 1a rnatrir entrer cnlurmrras seleccionades y I íneas
hu¡i¡r:ntales punteadas que' atravieaan Io anchu de Ia matri;¡.
cJibur-iadas entrer renglorreg E¡É1ecciÉnados,. Las peqLleñas
matrices qLlcr se forman a partir de los elementas corrteniclc¡s
clentro de los rectángutloe f ormados por estas 1íneas :;e

I laman slrbmatrices de la partición o separación de A.

For ejemplo sr-tpongamos ltna matri: de 15 * 3t A. donde

o¡.t ors -lI

l-""
I I
fl= I

I o.'
I
oz'- o:a::¡

t...-.. os= o:so

I
I
I
I
L*o*' : J
 5:3

La matriu $e ha partido en cuatro submatriceg' tror rnedio de

1a I inea de tr-egos. F'oderno$ escribirla en 1a f orma

r
fl=
lD
|
'i
lF
t- _:r

Siendo Las sub'r'atrr,ceg

-'t
I
I or r. ora [-*=-l
P =l E=
I
o:¡r o'=J I
I
L_ L.==J

P = [. orr o'o:¿ ] [f s O*r:c

Dos rnatrices¡ pfirticionarlas o nclr scrn iguales si Y solo si

9iLtg forrnas particionaclas scln iguales.

Diremm$ qLre A y B Éon particiclnadcas idéntj.carnente $i las

matrices de rnatrices rest-rltante+s cnntienen el mf srno número
de renglones y cülttmriasi ¡ y 5i.r además, Ias partes
correspc¡ndientes tienen el mismo r¡rtlen.

Para se*gltir los pascrs; de la mutl tipl icación matricial en

f nnción de las gubmatric€rs r supongñrnoEi qLtüp A ha de

postmultiplicarse por otra matrir B para farmar el producto
 54

C, siendm

$=
F"tl
o='l
I

Lo*:J

Farti.endo 1a n¡atrir en 1a f orma i.nrl i cada , tenetmnÉ

ff=
r"l
tt
lrl J
1..-..

Cutyas matriñes son

p= |"i
f=:J
J= b;sr

El prodLtctc: es

r -1 r-]
r..14.1.1 E=AB= l"=ll"l
L'- :J L" J
 5S

üonsicleradas las e¡ubma l:ricÉ5 {:iclmo elementos sirnpl'e5. tenemc}s

r..r4.I.r * ."J
G =l[-o" * u:i I

i_:"

El trroc]ucto quedará cleterminado nfectuancJo firralrnente J.ag

mr-rltiF:licaciones y st-tmag tle subrnatríces irrdicadas.

Si C egtá constitutic1c¡ por dos st-tbrnatrices l'l y N. tales qute

I.I4.I.B
f,= f"-t
I I

L.l
5e tendrár cornpaFando con la ecs ( 1' 14.1.::)

1.1-4. 1.I lrl = DH + EJ

Irl = FH +. GJ
 56

Si guereftoÉ cleterrnina.r sc¡ l arnen te 1a sLtbmatr i r N" FE

dernuregtra pclr part i ci pación ql.te !r

N=[o=r. Gs¡¡l oosb=t

F,,.l
tl
!-1=:J

* 9srbrr + o;¡zbat + ors;!bl=¿

1.15 REDUCCIOT'I DE IiRON

üonsiclere 1a m*tri I dF 1a f igutra , 1a ELtbrnatri I pLtede ser

modif icacla para ref lejar los cernbios en la red que toman

F" . r=l
t'.-......-¡
Lt-" '. =l

I ugar cLrando I os ej el: rclrrespond ien teg a I as f i I *s de 2s

y cc¡lurnn,*s de Zz sc:n el iminadag ' Erita matrir rnodif icada ¿' t
plrede sier viste cofio r-rrra redlrcción de !:.ron tr Lrna elj.minación
algebraica. La reducciÉn de [:.rorr es dada por!

Z't = 2t .- Zd Z*-L 2s',

 t,7

L-¿r va I r-der de la redLtcc:1Én'irr¡tÉr'.1trt- El-tectF EEr nrcltlaÍ]á

Eünslderandcl 1a ecuraci.ón rñatrrcral

i*'- -1
A'l r --1
iA' I
lx'
!l=
ii
t
I Br Ba]
I

iAo A.l I

lx= I
L- L_ .J
-.t

En la cutal Ar¡ Aa, A:s: 4.'' Ptteden ser tornadas corno matrices
o simplps coef icrentes y Xr n X:rr Br '/ 8a son vgctores Ü
n

*,irn¡:leE variables i r-especti'¡arnente.

La ecuracifin enterrior- en forme e>ttrandida es:

A.rXt. + A=Xzr =Br

A*Xr + A+Xa =Ba

Iteescribiendo da:

AqXa = Ba - AsX r

Fremultiplicando por A-a¿ tenemog;¡

[3= fl.a*1El¡¡ '- Ae. "1A:sXr

Siutstitt-ryendo a Xe' eñ la primera de estas egLráctones r

ArXr. + A::(A+-aBr - A+""aA:sXr) = Br

 5El

Ftearreglando y agrupando térmi.nos tenemog:

(Ar - A¡rA+*rA::r) Xr = Br" - AaA+-aB:r

Hl coeficiernte de 1a Íncóqnita Xr €!e; vistm com6 un resLlltado

de I a redLtc6ión del h.ron fion Ar cofnc¡ 5E ve Ern sLl
g¡cuación. La Ftedr.rcción dE h.ron es grandernente simpf if icacla
cuando un eje en partict-tlar eÉta Éi.endc¡ el iminado.
Eliminaciones reFetitivas de utn solo eje Éon sr-tp€?riores; a la
eliminacj.én de m¡-tchos ejes en Ltna Eola reducciÉn. En el
cag,o reducción de un solo ejer Zo-t se convierte en
de la
Ll7++. La modÍficacién rje lc:s elementos fuera de los
ejeÉ qLre están siendo eliminados PLtede 5er llevada a cábÜ
elementca por elemento más que fJOr }a epl icación rlp Ia
ect-tación de redLtcciór'¡ de Krorr. Todog' los elernentng son
fncld i f i cadss " y nfi sÉ rmquiere memoriá de;
eln st.r I Ltgar

álfnacenamientt: adiciorraL al comFLltador de el rne¡nor ZaZa-LZs.

Pnede verificarse fácilmernte Ia eliminación deI eje k es
sifllp I emen te .

Zr,s = 2,. t TtxZr.t/7*.*.. injfl.;

Hsta importante operación 5Gt ernplea cuando Ltsted construtye

la matriz Z mediante ÉI elgclritrno qLte 5É Éxpl i.cará €rn el
sigurient-e capitulor y 5E r-rtili¡a cltandcr hay rierre de lazo.
 59

1.16 UNA üüNDIüIOI{ NT.-EESARIA sUF I Ü IENTE FAÍTA LA

EXISTENTJIA DH LA INVERSA

Et propósito rJe esta seccién, es desarrclllar propiedades rnás

prnfurndas de matrices elementales e invertibles¡ aI migmt:
tienrpor .jurstif ica.ré lag condicinnes necesarias y suficientes
para la existencia de la inversa de r.tna matriz Cr..radrada E y

el mÉtodo t-tsadn para este cálct-tlo.

1 .16. L Teorermag, corol.arios y prueba*

1.1á,1.,1 Teorerna

l.Jna matrir de transformación der fila elemental es;

invertible. y su ínversa es Llna matrÍr de transformación cJe

fila elemental del mismo tipo.

1.1á.I.2 FIan generál cle Prueba

1.16.1,?.1 Farte I. l"lostrar qile una rnatrj"z de

transformación de 1ínea elemsntal de el primer tipo es$ 5Lt

propia inversa. Esto Fár-eüe posible, pclrqLte la operación de
irrv+:rge de intercambiar dng f ila,s es Íntercarnbiar las mi*:m,ag

dos filas.

f;;:-::T---É-'--
untycrs;tlod ¡iul0rrt,ltiíl i;e
¡ f li ii,::,h l
t
 Ér()

I..ler.1.t.t Farte I I. Mostrar qt-te una rnatriz dF

trar¡sfclrfnáción de f ila elemental, la cual mutltiplica Llna

filsr por l/h. es 1a inversa cle urna rnatrir cJe transfnrrnaciÓn

Ce f i la elernentaL la cltal mr-tl tipL ica la misma f i la por V..

1.1á.1.2.3 Farte III. Hcstrar que una fitatril de

transformación de f ila elemental la cual sltma -l'; v*cest La i-

ésima fila a la j-ésima fila es !a inversa de la matriu rje
trangforrnación elernental qute aiiade l,;. veces la iésima f ila a

la j-ésima fiIa,

Ejemplo: I lurstrarÉ l* parte I I I del frrecedente plan para

una matrit de 3 por 3. Haga E la matri¡ de' tranEformaciÓn
de fila s?Iemental l.a cltal sutna l.; veces la tercera fila a la
segunda fila

t-
l1 ü1
f= l- 1 kl
l" (:t
L {

Vemos oue
--l
I {, ,)l

E-l = c) t -kI I

:#T
 61

Debido a

;r]1f,rti ;(:!i ;.,;li; (:,;l

c) r -ni o I kl=l- ' ol
;",i i:li :o:l :{:,:l [:ül

I . 16, I .3 Teorerna

Una matri.z de transforrnacic¡n de coltlmna elemental esi

.rnvertible, v gi-t j.nvs¡r-ga es una matriz de transforrnacién cle

cnlurnna elemelntal del misrno tipo.

1.16,1.¿1 Teorema

Sean A y B rnatriceg C de m por n erntonces A ¡: B si y solo gi

exist.e una rnatri¡ P invertibler tal que B = PA doncle P eg un

producto de matrices de transformación de fi. las

elementales,.
 áll

1..1á.1.5 Flarr qeneral de pruteba

Farte I . $i A tz B entonces existe Ltna secu€lncta

I . 1ó.1 .5. I
de p operaciones de f rla eilnment-ales las cuales transformarr
A en B. según ya vi.mos erri.ste matrj.ces de transforrnació¡r de
f ila elemental corFeEpondientes Ero Eá¡,,.. ! EF tal qLte! por
ley asociat-ivao obtenemos

(Eo. . .EaEr. )A = B

PA = B donde P = E¡'...EceEr

y tarnbién segdtn vimos, rnatrices de transformación de fila

elemental son invertibles, Y productos de matricesi
inversibles da otra invertihlel de aqutí qute F es invertible.

1- 1.6.1.5.2 Parte I I . Flecíprtrcá6ente si e>li.sten matrices der

transformación de f ila elernental Err E=, .... t Er tales qute

B eg igutat (Ep....EzEr)4' entcrnces por ley asociativa A fi B.
Note qure asociar cün cada rnatrir de transforrnaciórr de f ila
elemental es Ltna operación de f i la elemental i cuando Ltna

otreración de fila elemental es aplicada a una matri¡ eI

resLlltada es Ltná fila equtivalente a la matrie origin,*I.
 s3

f . 1ó. I .6 Te¡orema

Sea A y B matrices C de¡ n Fclr fn entoncee A rr B si,/ sóLo gi

existe una matriz invertible tr tal qr..te B= AGI donde O es un
proclurtcl de matrices de transforrnácián de columnas

elementales.

Aho¡a esttamos en la posición de jr-tstificar el procedimiento

deI cá1ct-tlo de inversa para Ltna matr-í¡ invertible' En

realidad el prtrcecJirnientm de cálcutlo se realiza por medio de

Irn prodnctc¡ de rnetrÍces de transforrnación qLte cLtrnplan corr Ia

ccnrJición nec€lsarie y sutfj.ciente par-e Ltná matriz cutadrada
qLre teinga utna i.nversa,

1 .16 .I.7 Temrema

Una matri¡ A rle la forma C, n For ni es invertibfe eí y stllo

sí A 11 I-.

1. tó,1.8 Frueba.

1.1ó.1.8. f Parte I. A x I- -> (A eÉ invertible) -

 64

DECLARATIÚN RAZüN

- A t: I- expl íca que eniste Lln T'eorerna 1 .1á.4

prodr-rcto P invertible n For n
de matrices; de transfarma*iÓn
de fila element¿rl tal qute PA =
I-.

F = A--a -::. A eE, invertible

l.ló.1.9.? Parte II. (A es inver't.ible) -:r (A s I-)-

DETLARAü]ION RAZCIN

- Curalquier matri¡ C dif erente de

cpro tiene una fiI* egltivalente a

urnamatrit escalonada reducida; de

aquti pc]demos dercir que A ;r Br

donde B es una rnatria escalonada
redltcida.

Entonces debe exigtir Llna T'ecrema t ' tó.4

rnatri: P invertibl+* la cltal
{*F el prudr-tc'hn 'Je rnatrice+s
de transfor-mación de f il,n
 é5

elernentaL tal c¡ue PA - E.

B es invertible - B et; el produrcto de

clos rnatricerg
invertibles.

Asurne qr-reB * I-. Ent-onces Siglte de la

en Ia rirltima fila de B congiste defi.nici.ón de

enteramente de ceros escalán Y el

hecfro de qute B eg

cuedrada.

La r.lltima f ila de BB*a cnnsiste - Asumi.er¡do el

enteramente de cercls anter-ior y de la
derfini.citin de

mr"rltip:licación de

rnatrices, siendo B

ínverti. b 1e .

Fero BB-¡. = I^ de ahi qLrEl Ia si B es inversi.ble

CtLtima fila de BB-'a no ccinsiste '/ púr definición.
enteramente rJe cpros.
 b6

Asutrnienoo qLle
I + I^ es Ltna
crntraci icción.

A ,1 In Ss3qL1n Ia ú.i ti.ma '/

Ia primera
declaración rl sPl

tÉ..crr-ema. l . lCr.'i

F*ra l.as dsi+cl.araciclr-¡eg FriflleFra y seguncla rje la p*irte I de 1a

prlierba d*l tecrerna l.ló.7. clbservatn{fs, que A--r'= prncJltc+;n cle*

rnatr" j"ces cle tr,ansf nr-inaCÍÓn rje f i 1a elems*ntales Para

trar¡sf r¡rmar A en I-.

1..1ó. f ,9 {lor-olaric:

5i [A:I-];: II-:P] para utn;* m¡.¡.trr¡ A de la fsrma C ent*nces

F es la invErrs¿r de¡ A.

í..lbser-ve qlte este {:nFolarin Jr-tsti.fir.:a eI métorjo de ¿:á1ct-tlm der

A--¡' i. lustradr.¡ arrtetriot'rnente*.

 6"i

I.1&.I.ltl'l'esr-erna

F¿rra utn;.r ntatr-ia A dE+ L;i fcr-ma C, n pür n, irrveertiblet pltede'

ae¡- escr-ita ili:lrn{:: ltn pr-ocJr-rrtct dsr m*.trices de transifclrrnacid¡n

de f i I*rs el.erneln'taLes,

1.16"1..f1 Frrte¡h.¡

ilÉul....AFtA{: I flN RAZON

iA eg inve'rtible -.:'(A;: I^) Tec¡rema L.1"6.'7

Deben e¡ristir matrices de Tegrema 1,1"ó'4

transf armaci"ón rje f i. I as
elementales Er. . . .EP tal qLlcl

(Eo,.. '.Er)A = l^

A eg eI Elrorjt.tütú de matrrces 'femrer¡a l" ' 16.1

dr,: transfcrmación de f ilat;
eIernentaIes
 ó$

f . 1ú.1 " 1? [Jna matrí: Cj invert-ible puede ser- escrita corno ltn

procJurcto rje matris:es de transforrnaciÓt-t de colufnnas

elementales'

1..1á.1.3 SeaAy Bmatricesc, fnpúrn. AxBsi y solosi

existen rnatrices inversÍbles P y tr tal qLte

PAO=B
 I'IAT'R I CES D I SPERSAS ( 5F'AÉ5I TY )

?.1 INTRÚDUtrCIüN

La g,oluciúrr de Ltn prohlerna L ineal de redes reqLtlere

primer;rmente la f ormlriar:iC¡n de utn cr:njnntr¡ rle ecuacion€lÉ qLte

re,presentan Él comportami.entcl cje .la red. Y segutndor la

rnanÍputlació¡ de Ia matrir coef ic.iente asi producida. La
formurlaciÉrr cJr¡ las ecLtacifines puede hacers,e por la tÉcnica
nodal o la tÉcnica de mallas. corno vel-ernc¡s.

Ef $isten¡a de ecutaciorres pute*de ser lineal o no lineal. h'apa

solurcioner el segr-tndo caso debe linealizarse por Ltn pl.clceso

iterativo como el. Ne¡wton Raphson o el Gautsg Seidel -

3.3 I"IATRICES DE INCIDENCIA DE LJNA RED

3.?.1. Gráficas y terminología de redes

El trarado geométricr de Lrna red r cr:n0cido cornc] topologia n

purede def inirEe corno una gráf i.ca equtivalente de 1a rni.sma.

Diferentes sLtbqráf .tcá5 purerlen obtenerse de sLt gráfica

,, ta l

It':,
 :ro

oriqrnal quÍtando determinadas rarnas '

Una qráf ica di.rigida es; agLtel la en Ia cual a suts rarnas se lel

ha dado una direccién definidat arbitrariarnente. aunqLte

tambiÉn pclr cclnvenrenci.a. igual a la det f1t-tjm o corriente

gLie corr-e Pmr e I l as .

lo I
lbl I cl

Repregentacién ge6mÉtrica de problernas fisicgxg (a) 6ráfica¡

(b) red eIÉctrica¡ (c) estrutctura mecán¡.cá

t.?.t Hatris de incidencia rama-nodo

L.-a matri: de incidencia es rectangt-t I ar con e I nÚtmero de

filas igual al número de nodss y el nrltmero de colt-tmnas igutal
al núrmero de rarnas en la recl .

De allí, Él elernento Cr..r en 1a fija i,/ colurmna -i de 1a

matri: C rje incidencia correspclnde al norJo i,/ rame j¡ y
est-á def inide torilcr
 7L

sí Ia Farna j sal.e del nocJo i

Cr¡
Ft, gi.
(-r, 1a rame j entra al nodo i
'

L,r. si la rarna j no est-á conectacja al ncdo i.

Esta matriu €ls I l arnada matri : de incidencia rama-nodo no

redutcirJa.

Ej emp Iu r

o -1 -1 -;1
I
C' = a 1 I
I
I
b ,1 1 -1 .l I

c -t ,l
J

Los puntos indican elementos ceros.

En apl icaciones de r-*des eis necesari.o t;eleccionar Ltn noda

cclmo node cJe referencia c:! nodo clependierrtei ye qt-te todas

las v cantid*des nodales son dependientes en é1. 5e

r<¡rnas
cr€ra errtonces una nLreva matriz de incidencia llarnada matriz
de incidencia redltcida rarna-nodo qt-te no incluye Ia f i Ia
correspcndiente al nodo de referenci.a. Esta matrir 5e

I Iamará comütnmente matri¡ de incidencia rama*nodal. 5i eI

 'tiJ

nor.lca o eE eI nodcl rle referenciaf ésta será

-1
a I .1 .t
I
I

{-=b 1 1-1 .l I

I
I

c -l rl I

2.3.3 FlatrÍces de Incidencia de Arbol y Eslabón

Una subgráf ica conectada cLtyo númerCr de refnas es Ltno menos

qLrct el nCtrnero total de nodos es definido cüfnc) un ár'boL de la
gráf Íca, l-as ramas removidas pare sbtener el árbal son
definirJag como eslabclnes de la gráfica. Un árbol rJebe ger
Llna surbgráf ica conectada, '-/ en carnbio eI eslatrón pltede
estar conectado c: desconectado,

Lineas I Ienas en 1a sigt-tiente gráf ica indican árboles '/

I íneas discontinLtes r €!s5,labones ¡

*{/ T;
 73

Rearregl*rndor Ei es necesarior el orden del n(tmero de las

rafnas. la rnatriz de incidencia rarna-nodal puede 5e¡-
par-ticicnade para creár las matríces de incidencia de ártrol
r¡ e31 eb¡Én. Fara el Crl timo ejemplo " la rnatriz de incidencia
E5 particionada así !

a [--r .:1
.t
:l
$=b l1
I
I .-1 .l
.i
= IC-: C- ]
c -1 1l
L- ,-J

La matris C- r coFregpclndiente a la suhrgráf ica del árbol de

1a rnatri¡ de incidencia rama-nodal, e5 cttadrada Y ncl

singur I ar .

3. ?.4 Hatris de incide'ncia rama-camino

Cuando Lrn árbel está rlef inida pára Llna qráf ica dada r urt

r-lnics camino pr"rede ser tra:adc¡ desde cLtalqui.er r¡odo a.[ rrodo
de referencia urgandr las rfrrnas árbol ' tjna matri.z A de
incidencia de::cribiendo estosi caminc:s pttede ser construitJa
por el elemento or¡ en la fi.ja i y 1a columna j defj.nido
ct]mfi ¡
 ?4

*1, si. 1a dirección de l.a Fa{I¡a -i es }a rni'grna

que Ia dirección de r-tn camino desde el nodo
at nocla de r-ef erenc¡.a.

rr = ( -1. si la direcciÓn de' Ia rerne j es opuesta a

la clireccrón de un camino desde el nods i al
nodo de referencia.
i t). r+i la rarne j no es Ltn camino degde el nodo
i al nodo de referencÍa.

Esta matriu es de nutev¡ cutadrada./ nc s,inqutlar y es llarnada

la matr-i: de .incidencia rama-caming.

üon$j.dere el árbsl mos,trado pr:r lineag llenas en la f igura.

Fara este s*j emp 1o
 73

La matrir de incidencia de árt¡o I c- la matriz de

Íncidenci.a rama-camino A gon

I ? :i 4 4

--1 t- --1
.l
á 1 .l a lr
f
I I
I I
t: 1 .t b
I
t.
I
l. -l
$= I ft= I

c *rl I
c
I
t. .1 -1
t
|
I I I

d I :Ll
I
d
I
t
I'L_ "1. .t I

-J J

F'ara cutalqltier red, Ia rna'tri: de irrcidencia rama-cafnino está

relacionacla e 1a matr-i:¡ de incidencia rarna-nodal. por:

E-AT = U

Donde U es la matriu Ltnidad que* hemos conocido tambiÉn

rnetrir identidatl o matriil I.

AT = E---t

Esta rel.acÍón pltede s€lt. mLly tltil porqLte eg rnlicho más simple
transponer una rnatrir qLle invertirla.
 7á

?.2.5 l"lat-riz de incidencia rama-maIla

Curel.quier trayectoria cerrada qLtE etravieaa sdlo Ltna veI

curalqutier rafna e:l def inida como Ltna mal Ia, El nÚtrnero de
m¿rl las independientes, es igual al nütmerci de e¡cuaciones de
mal 1a. Una mal la básica plrede contener cltalqltiet- núrnero de

refnas cje el árbol, pero Ltna Y sélo Ltnar rama eglabóni de

al l í q¡-re el nrjtmero de mal I.as independiente es igual al

núrnero cle ramas ee1¿rt¡ún, Se rJef ine ag'i la matriE de

incirlenCia básica rame'-mal la er'l Ia cutal el elernento d.rr sl-t

la f i ta i y colLlmna -i corresponde ¿i la mal la L '/ rerna j .

Este elemento es defirri.d*: cc¡mo:

*t, si la dirección de l.a inal la básica i es la

[
a la de la rarna j.
I

I misma
= ( -1, 5i la dirección de le malla básica i
I

d¡,¡ eis
i

i oplrest- á a Ia cle la l.ama j.

:

L r:).'
:

$i la mal la básica i no inclutye la rarna j.

5i la dirección de les rnal las básicas es la misma de las

ramas eglatrén v 1a matriz de incidencia rarna-rnal la es3

particionada para separ-ar el árbol de las rarna5 e5labón. se

tiene la siguriente rnatri:.

D-[D-rD-]=[D-:U]
 7'7

Donde D* as la matris Hnidad.

Fare las dog mallas, P't Gl:

'q

p[t I .t
D-
I
I I
ql I
I
L_

ütras la5' que no 5on básicas pueden obtenerse dsr Ltna

maI

gráfica dada por Ltna transformación lineaI de las mallag

básicas, Fara el ejemplo anterior Ltn nLtevm vector fila se
obtiene surmancJo las f ilas cÉrrespondientes a las mallas P y

O; este nt-tetvc) vector eg:

T 5

r [-I 1l , qlre def ine la mal la s.lgutienter

 78

?.T DISFEÉSION DE LAS EüUACIÜNHS DE REDES

?.3"1 Coeficiente de disPersién

La mayoría de losi prohlernas de redeg se caracterila porqLle

no g;cin cctmtrIetarnente interdependientes, 1o cual significa
qlrÉ cualqutier elernento erspecífica ncl está directamente
enla¡ado a todns los otroE elementc¡s. lle al l í qHe IaE
ecuracir¡nes matriciales que cJeEcriben tales problemas
contienen Ltna gran proporción de elementos ceros '/ 5crn
conocidas corno ecutaciones diEpersas. Hl ef ecto de la
clisÍ¡ersión ( , e5 fnLty importante '/ puede ser fnuy
sparsity )

bernefi.cj.oso en la eficierncia computtacional de 1a solutción de

reclee " El cnef iciente dt disprersión de Llna rnatriz es
definidc¡ cfimci }a raeón entre el número de elementos ceros y
el ndrmero total tje elementos de Ia rnatri¡.

2.3.2 Dispersión de 1a matri.r coeficiente nsd;rl

Sea n eI ntlmero de nodos independlentes Y b' el número de

rama5 conectadag entre los noclos i.nclepencJientes FXcIltye'ndo
aqLlelles conectadas al nodo de referencía. Ent¡1nces el
ndrmero total de elementos cl ifere'ntes de ceFt: en 1a r¡atri'z
coef i.ciente nocJal Y ee3I ri + 2b'.
 7q

El nürmero total de elementc¡s en la matriz Y Erg¡ n3 ,

De r EII coef iciente

aquti de dispersión la matri¡
coeficiente nadal Y eg :

c,d. = úl&-5_3HJ = I - n + 2b'

¡l ¡3

Ejemplo: Considere Llna red práctica con mil nodc¡s'/ mi. I

quinientas ráma5. Sr-t c'd = 1. - 1,üü(L+ ?-ü--L.sgtl = tJ.?i?ó
I . üC,r)t

Para la mayoria de redes en la práctica. el nCtmero de rarnas

es aprtrximadarnente prmporcional al nCtmero cJe nodos ' En

sigternas de transmigión eléctrica 1a raeón mencionadá e5 rnás

(r mentrF 1,5. f-te allí QLtÉr eLtnqt-t€ el ndtmero total de

elementos en la nratriz coeficient*r artmenta cutadráticamenter

con el n(rmero de nr:das; el ndrrnero de elernentos diferenteE de
cero sólo isminltye I inealmernte. Lo qute esl b' =
cl 4n r donde
,r es eI f actor de proporcionalidad r luegol

c.d. = 1 - b +..?r¡_
n

Y. para cutalquier factor a, el c.d. set aprol;irna a la unidad

cutando el ndtmero de nodos attrnernta'

."''. ,h
$¿q¡rr:0 r:ii
I
 8Ó

una impartante propiedad de la matFiz Y de coeficiente nodal

es qLle, per-a Lrna red dada, E1 coeficiente de dispersiÉn
depende solernente de ta gráfi.ca de la redr o seár el nrlmero
de ramas ,/ el ndtmero de nodos. y de alli qLle ser considera

Lrna cnnstante.

!.fi,f, Disperrsiún de 1a nratri¡ coef icierrte rnal le

EI ndtmero de elementos di.ferente de cero en 1a matr͡ Z

cc¡ef iciente de malla es: b - n + :P

Donde b = número totel de rárnasi

n = ndrmero de nodos independientes, o sear exclUyendo al
nodo de referenci.a¡
F = ndrmer-o rje pareg de mallas incidentes¡
b - n será el ndtmero de mallas independientee'

Et nrirrnero totat de elementos en la nratriz Z Eerá:

(b - n)3,

Y c.d = lE.:. nlj-:- (b - n J-?91.. = I - --E--*Ú*-g¡l.-

(b - n)2 (b - n)r
Fara clralqutier recl el coef iciente de dispersión de 1a matri=
coe*f iciente mal la dependeirá de Ia def inicién inicial de las
rnaI las
 {al lbl tc I

Fig. Carninos alternativos de rnallas o laaos definidos.

Asltrniendo Llno de Ios noclos de la f igura cctrno ref erencia '

para la (b): n 15i b = 14¡ pr = ?7.

Y el ndtmero totel de elementos diferentes de c€tro I á3.

Entonces el c.d. = t-r.233. v la posi.ción de elernerrrtos no cerÉ

en 1a metri¡ coeficiente mal la es el rnostrado en la f igltra.

1 234 3 6-tB?
I X X.X x .XX.
7. X xxx X XXXX
5 XX X xxx
4 X x.x x .xx,
5 X XXX X xxxx
ó XX X xxx
7 X X.X X .XX
t X XXX X XXXX
s XX X X. *.:
 8?

Fara (c)¡ n = 15¡ b = 24i P = 1?.

Y el número total de elernentos no ciero es 33. Entences el

c.rJ. = t-¡.593. y 1a posici*n de elementos no cer(] en la
matri¡ coeficiente mal 1a es el rnostreda en la f igurra :

-'t
{
.t ;X -t
I
:: XX x X -l
I

? .x x x 'l
I

4 x. x x x ,lI
I
5 .X x '/.
X X .!
I

6 X X X XiI
I

7 X XX ,i
I
I x XX xlI

.x
I
I
I x
:J

El ejemplE anterimr.ilt-ts1:re la impmrtancia de 1a definición

de las mal lag en La di.spersi.ón der la matri¡ coef iciente
mal la. Fara la Eolt-tción rJe redes qrandes es irnportante
redltcir el n(rrnero de elementc¡s difererntes de cero en la
matr.ir coeficiente á Ltn minirns. Excepto para redes
regulares rnuy peqltefias i en todo traso; es rnLly dif íci I
encontrar nn mÉtodo qure def j.na aurtomática y ef icienternente
 83

rnal laF que den L.rn má>r ímo de d.i.sF¡ersrón "

Si se usa la formltlación nmdal ert eI ejemplo anterior, el

nrlrnero total de elernentos nü ceros €!n la rnatrir coeficiente
nodal es 5?, y sLt c.d. eE ü'ó93.

Siendo fnLty ct-t.idadoso en Ia def iniciÓ¡ rle laE rnal las en }a

red anterj.or. eI nútmero de elementss ng1 cer6s en Ia nratri':
coef iciente rna1la es fnenor qLle en 1a matriz coef lciente
nodal . Este c. d. tiene Lln ef ectc¡ signif icativo en la
ef i.ciencia cornputacional de 1a solurción de redes' Autnque el
númerc de ecutacionesi en la formutlación nodal pltecle ser meyor-
que en Ia forrnurlación de mallas,t Llst-ralmente se cornpens'a ccn
1a dif icurltad en Ia def iniciún cte lae-" mal lae conv€?ni.entes
Fara dar utn márrÍrno de dispersiÓn.

T.4 I'IATRICES DE COEFICiENTE C]ON SII'IETRIA INT]IDENTE

Una rnatri¡ cltadrada qute no Fs simÉtrica putede def inl"rse como

sirüÉtrica inciden'be cuando tc¡clos 1o:i elementos nc: ce¡rcls; t;oli
reefnplazados por la r-rnidad t rest-tI tanda en Llna matriz
simÉtrica. Para algutna* redes" s;in enrbnrgo, 1a matrj.z
coef iciente ncl es nec*.+gariarnente sirnétrica. Esta no

sirnetria purede c¡curri r . por ej emp I a t en una red ct:n

atenlración cle flttjs. ct Eea, cuanda el flujo qLtF entra aI

 84

final cle Lrna rama no eE igr-ta} aI gue sale al ot-rm fi.nal de

l.a mísn¡a rafna. Fara taleg trasc:=,r SLts, matrices coeficientes
aCln Foseen simetría incidente Y la dispersÍón de las redes
no suf 1-e alteración. For ejemplo, g,i flas redes tierren la
migma gráf ica percl uná pClEElF ater¡utaciÓt-t, entonges por cada
ele'mento no cero en La matril Coefisiente de ut¡ra rs+d hay Ltn
elernento correspondiente no cero en 1a matri¡ coeficiente de
La atr-a red.

Las apl icaciones de dis¡:er-sión para solutciones de¡ redes

también se Lttilrza para redes con si.metria incidente cmn los
cambíos apropiados en L as matri ces coef j. cien ter -

2.5 Í:ACTCJRIZAüION I"IATRICIAL

2.5.1 Introdlteción

El an*lisis cle utn sisterna grande usando la r-ed aprolrimacla

frecutenterne+nte necesita 1a solttción de cientos Y tal. ve:
miles de ecutaciones; simultaneas de Ia forma AX = b. AdemáE
tJiversas solurcic¡nes son a rnenndo requeridaB con l* rniSrne
matri¡ coe'fi.ciente A Fera ccrn geri.es de vectores b
d i f ¿"ren tes .
 B3

Una posibi l idad eF I a inver$iún directa de la rnatrir ' pero

egltp reqlriere ¡! local izaciones de memori.a pará los
{:oÉficisrntes y alrededor rJe ns nperacionee aritmÉtii:á5 para
l*r solr-rción de n ecltaciones I i.neales gimltl táneas. Aun si le
nratrir A ElEi rnLry dispersa r EU inverga es¡tá cc¡rnpLetarnerrte
I I ena . y en ton ces este método reslt I ta norme I rnen te muli

ineficiente en su técnica para la sr:lr.rción de utn gren nütrnercr

cie eclraciones.

De todo* modss. gracies e sLl lógica sistematiradar ellas

perrniten por- gi migrnas técnices nutrnéric*.s',/ progr-efnáCÍón
computacic¡naL , 1as cutales, cuanrlo Iaei t*cnicas de dispersión
e$tán inclr-ridas, pr-teden FedLlcil- dr*sticamente tanto el
númere¡ cfe operaciones cofnü log requterimientos de men¡oria'

l-,fa)' mlrchos mÉtodos posibles de factoriraciÓn t '/

aclaptacicneE. Debe anotarse sin embarqo t qLtgr r aLtnqLls I a
forma y fnanipurleción putede ser comtrlejar e5to9 mÉtnd135 son

básicamente muty simpl eÉ Y smn sólo extensÍones sistemáticas

de Ia técnic* báEica de elimÍneciÓn de Gautss.

2.5.? Forma Fredltcto de la Inversa

La f orrna prodltcto de Ia inversa, la rn.etri ¡

:, ñ0 está A--r

cal cuilada er:pl. ícitamente pEro eE obtenida mr-rltiplic.rncjo n

 üó

f actores rnatriciales. v. q . A.r = T-. . . T:¡', T= n Tt

Los pasos reqlreridos para alcanrar est-e resultado scrn mejor

i 1r-rstrados cr:ngiderrando erl sigui.ente problerna
de tercer orden.

otz
["" uZ?
Io'
L"r,
(l
l2 ;il [lL;l

En Ia técnica de el irni.nación cle Eauss " los elementc¡s deba-io

del elemento diagonal de la prirnera columna son el imln¿idss
Lrsarrdo el pri.rner coef ici.ente diagonal corno Ltn pivote. F-eto

puede realiaarse dividiendo l* prirnera fila pür orr r

mr-rltiplicando 1a nlteva 'fil.a pctr o=r Y o:r¡. respectivarnente"
y substrayendo estcrs rsrsLtltados de 1a segunda y tercera fila
respecti.vamente. En luqar" de lt:;ar egta tÉcnica" las mrsrnag

series de operaciones pueüen lograrse prernul ti.pl icando la

matri.r coef iciente A por Lrnñ matri¡ de transf clrmación Tr r
donde:
I
oll
'f¡ = _oI
atl

- iL!
d¡t
.l
_
 a7

Esta operaci.ón entrega Llna nueva matris A(rr = T¡A' donde:

u,r( I I u, ,t t
'-l
..\il t = urJl ) ,rrtt )
I

orr( | ) ,]JÍ¡I

Los elernentos o..¡ ( t'¡ de A( 'L ) son obtenidos pclr el método

urs,¡rdo en 1a elirninaciórr de Gautssr v.9.:

O.r(a) = 0r¡ *Qlt!t:

ott i = 1.2...n
clonrJe
j = ?t...n

tle aqr-rí que la ecltación AX = b es trangformada en Ltn

prmdurcto reIácionado de ecLteciones qt-te pueden expresarse

cclmfi i

A(¡.)X=TrAX=Trb

Este prüceso pr.lede cóntinL(arse Ltsando el ser¡Ltndrl elen¡ento

dragonal de 1a nlteva matril cclef .i-ciente A( a ) trGnicl pivclte.
Llsando la misma técníca los elementos fltera cle la diaganal
cle la segutnda cclltrnna de A( a ) pueden redt.lcirse a r) Y el
elemento diagonal hacerse I premuti tipl. icando 1a matriE A( 't )
p[]r Llna rnatri¡ de transforrnacién T;Er donde¡
 BT

o,Jl)
-;' )
I
'l'l = t.
I ;r(1,
,r¡ r( I )
I -;l1r
L

Egta nperación entrega Ltna nuelva matriz fl{a) = T36<rr =

T:¡T rA r donde :

[:lll
a(1) =

Y la ecrración original. es ahora transfermada en:

A(r¡rX = T:¡A(a)X = TaTTAX = T:¿Trb

5i el Frncesn de trensf ormaci.ón ccrntinúta r entoncE s { Para
arablema der n-Ésimo orden" la ecltaciún se hace:

A(n)X = T-...T!?TaAX = T^..,T=Trb

Fero A(n ) ha sÍdo reducida gecutencialmente á Ltna matrÍ:

lrnidad. De aLIi. }a ecutaciÉn anterior es:
 89

X = T-... .TaTrb
Y por ccrrnparación:
A-1 = T-'...T?Tab

De le Crl tima ecLtación s;e contrlutye qLt6t el procescl de

transf ormar:ión Fr'üdt-tce Ia l.nversa de la fnatriu clricJinal Ar

ohterrida irnpl ícitarnente cümo el. prodLtcto de n f actores o
rnatri ces cJE 'trans'f orrnación .

Cada rnatri: de tran5forrnación Tr (i = 1r... -n) eg' una matrir

Lrnitaria excepto poF 5u i-ésíma columna. L-as solucioneis¡ en
cofnputadores digitaleg Édlt: netresitán gLlardar esta i-Ésima
colLrmna; todcl$ lss rf,tros elementos de Ia matril serán
conocidos implícitamente. En probleflias de redes dispersas
1a i-Ésima trolLtfnna de Tr también c6ntendrá L(na qren
proporción de elementos {) (ceros).

Comc: Ltrl ej emp I E de etta t*cnica' con5 idere r*fncls' el

siguiente !

3 -1 -1
-l t
-1
-1
?

llrl[l]
iil . b:
 9{)

L¿r prirnera matri: ds trans{'orrnaciÉrr Tr sE} ¡rl¡tiene de }a

prirnera cc:lLtmná dF la rnatrir coef iciente " Y €r:;:

--'l
; .l
3 I
I

L1 .t ¡

f, I

Tr= I

I I .l I

3 I

I
1l
_.J

La matris coef ície¡rte redutcida A( a

' se obtiene For
eliminación de Gauss v Els:

-l-l
?:rd
1

A( ¡., = T.4 tt
33
=

-! .=5.
{¡
¿l
3T I

-l ,l
J
 91

Simi larrnente 1a regltnda matrir de trangformación y Ia

correspondiente matris de coef i cien te reducida son t

:l r -3
¿¡
t{

5
l1
5i :1

.E 3i
'l
I
-r.
5l
.l
t
T:¡ =
I
A(u)=TaA(a)=
5l-'l
I
.11 .t I' F-
5 I
I I

t
I
I I

t: -1 r I
-J

La tercera matri= de tr-ansforrnación y la c{:lrrespcindient-e

matrir de coeficiente redutcida gon:

; r:l
4l F
I
_rl
.l
I
I I
. I I .l t. -1 |
El t
fll
T:¡ = A(s)=T:sA(:a)=
5 .lI -11
8l I

I
"l
5 .l I ai
tl
J I
t-. :J
 ?i:
La matri a de transf ormación f i.na I ,/ I a cmrrespond i.en te
rnatrí¡ coef iciente reducida Eon!

I el
3i
r
l1
I
1

I I
1, 1
I' ,I
3l
-l I
I I
T+= I
A('4)=T+A(is)g I

rrl
:31
t. I
I
I
I I

8l
I
I
¡' rl
1 I
L_ --J
I

Usando la penúl ti.ma ecua{:ión .La scllLrcif:n en lag ec¡-tacioneE

originale:; pLred€?n ahora ca.!.cLrlarE,e der
X " T+T*TnTrb

F :_J I F r.
¿ti
:l |";
lr ¡. E 1
3;t
-l
E
LI

l1
t
I
l=t !

! -l t.
I
I I
'l I
I
1l a tlt-. I
::5
I

|
Bl ¡i
| 'tt
I
I
$i I
5 .t I
!1 l1
:::i
I
ai E
t-

ril
I
I

5 1l I
L.l

I'
I

¡;
I
el I t. 1

L J
I I

_J
I
I J t_
 93

I- --1
FI trl
tl l3l
l'l tl l5l
t-t

-ll= lr; I

lr l,*t
tl I

l3l
lll.tó
I

l'l
LJ
r3i
L--J
|
t

Eg clararnente evidente de este ejemplc: numÉricc qLte

scrlarnente la i*ésima columne de 1a i-Ésima rnatri: de

tr-ansformaci.ón rrecesita BRr almacenada y qLre cada nLreva

matri¡ de cceficiente reducida plrede gobreegcrÍbirse sobre

l a precedern te .

':.:i.:5 Trianglrlación de l'latrices

Clt rc¡ mÉtodo rnLly ef ectivc¡ y rnás amp l iamen te lrgado qLre

rnanipula matrires coefiriente pára resolver ecuaciones

l inealeg es el de Ia triangurlación cJ descomposición
trianqular. Este factori¡a 1a matri¡ coeficiente en su forrna
trianglrlar. Los das mÉtadas más i.rnportantes Éon el L.H (o
tambiÉn LU] r y eL LDH (CI L-DU).
 g4

?.5.$.1 Factorización LH

El métc:do LH de factoriración consiste en expre,gar la matrig

coef iciente A corno e} produrcto de dos f actsres rnatri cialeg.
ta I es qt.re :

A=LH

Donde L = l'latr i r: trianglrlar inferior

l{= l'latri z triangutlar superior la cr.taL tiene elementcts
lrn i tarios en su diagonal.

L-a capacidad de factorizar en esta for¡na es Llne propiedad

f t-rndamental de cutalquier rna.trir clradrada. Fara un problerna
de tercer *rden estos factores rnatricialeg Eon!

T
I
r.
o.r

o=r
O¡.=
""**l
o:a,s [.' :" l*t
'll'
'
-1 r ht=
t
h,.ol
la:¡
I
I

I oe=
| =l l=,r
il' I
I

I
L-
o=. osa
",''"j !_,*.
l*," t-J [i-
1l
J
I

l'lultiplicando L y H e iguralandm Iori el.ementos de esta

metrices con los coFrespondientes elementos de A:
or, = r. oria = lt. hr.o
lr or:s = lr"rhr*
O=, = l=., Qzn = l,", hr= + l== o:a:¡ = l=, h.o + l==h",=,
o¡*., =: l=, o:sz = l,n, hr= + l== €t:¡:s = l=" hr," + l=,nh== .l-
l=ro
 95
Y rearreglando da

lr,. = o* hr= = hro = 9.*

i:: ltt

l=t = oar l== = oa:a - l="ht= h-,s = - l=tht=)

T=L'to==

f)e estas ecuracloners esi evidente qure hay un úrnico vaior para
I y h que e::tán dados per los elementost originales de A.

5i e I con j ltn to de eclraciones I Ínea I es; sirnLr I táneas es escri to

en f c¡rrna rnatricial (AX = b). tenemos

LHX=b

Haciendo HX = Y. entonces !

LY=b
 96

Escribiendo expl. ícit-amente las dos tjtl timas ecltacianes Fara

Lrn prCIblema de tercer orden. ts*nemos:

xa {- hr=x= {' hr.or= Y, lr.. Yt =b,

x,¡ + h== xt Yz l=* Yt + l.oY- = b-
x¡s Y:o I,"r I. + l,n=y=+ l=*y*=b=

Sierndo L una matriz triangular inf erric:r, Y putede encontrarse

rle L y b pür- slteti.tt-tción lracia adelante, 7 trorno H eF Ltna
rrratt-ir triangurlar sutperior el vectcrr desconocido X putede
encontrarse de H 1.' Y por sutetiturción hacia atrás. Para un

problema de tercer orden. EStá técnica entrega los

siquienteg valoreg de Y y X.

Yt = Xs=Y*
-b-"
lt.

Ya = -J..( b= - l=r /t ) Xa= Y=* h=*xo

l==

Y- = Libr* l=t Yt l*=Y.a) xr = Y, hr,ux= -h"=x*

-lo=

tsl problerna para esta tácnica eE determinar L y H¡ egtc¡

putede lograrse rnecjiante Ltna modificación sistÉmatica deI
proceso bási.co de eliminaciórr de iiauss.
 97

Congiclere la matri¡ coef iciente de* te*rcer orden ¡

fi=
r
I
otr ora o"l
o:r;s
I
Qar Qzz,
I
I

L_
o*r o:¡,o o"J I

En el F¡roceso de elirnÍnaciÉn de [iauss los elemer¡tos debajt¡

deI elErnentn rJiagon,i*I de 1¿r trFirnera cmIurnna son eIim.i.nadog
Lrs,andcl el prirner el.emento di.agonal coflto Ltn pivote. Fjsts s'e:

logr* dividienclc:.l.a primere fil.a pclr- r.ar mltltiPlicando

l.a nl-teva f .i la pnr ár- '/ :sr. respectivamente 'i suetrayendo
sLrs relslrltados respect.ivi:s de Ia segutnda y tercerrag f ilas
respecti.vafrrente. En Lltgar de* egta tÉcnica se consigute 1o

mismo Frernul tipl icaridn Ia rnatrit coef iciente A pcrr Llna

matri¡ de transforrnación Lr, cJoncle

rt* I --l
.l I
i or., I
I
I
I
I
I
oot I

Lr= t-
I

ott
.l t

I
I I

I
I
I
o*. I
I
t--
I
1l
Lo" "J
I
 98

Lr esi incidentelmente idÉntica a 1e matri¡ de transifr:rrnaciún

Tr discr-rtida ant€¡riorrnente.

Esta operación entrega t-rna nLrÉva matri r coef i.ciente A( ¡' ) r

donrJe A(a' = LrA

ct Lr-rA(t'' = Ar dOnde:

or.t -1 oa:e ( r' ) or-<rr--l

I

L¡.-" = o=t lv A( )
I
a
= o?a(a' O=*a t, i

o=t ,,1J o:s:e ( a ) O*oatrj I

Los elementos oar ( I ) de A(a) Ecln obtenidos pclr el métcrds de

eliminación de GaLtss cLrya ecuación e5:

Oa5 ( 1) = Or¡ pr r Or.:

ft

Donde i = lt Ir..'.fi
j = tr....n

Este proceso puede continLterse Llsandcr el segundc elemento

diagonal de 1a nLteva rnetrir coeficiente A(¡'' como pivote'
Usandn la misma tÉcnica los elementos debajo del segundo
elemento di.agonal de A(a' pLlerlen eli.minarse prÉmultiplicando
 s9

la matri¡ A( a ) FloF utna matris clÉ transf srmación triangltlar

Ín f eri"or La . donde:

it
La=l 1_.*_
0a=<r.r
Qo,urrr

oiaa ( ¡. )

Esta operación ent-rega une nt-reva rnatri! A(a), donder:

A(et = L:¡A(a) C¡ A(r, = l_=-rft<z)

H.n concl.r-r*ión tenemoE;

A = Lr.-'aL,'*r6<ar

Cantinr-rando ester proceso pare trada elemento diagonal en

turno" y pare Ltn problenra de n-ésimo arden:

A = Lr'-aLa-t ...L--r6<-r
 l{)()

Donde A(r¡ t será Ia rnatriz triangular superior H! la cual t

para un prablema de tercer arden' es¡

I 0r.=(a) Orra=rl
A(n) = r{= I

|
.l *'';'
i
t_ J

TambrÉnr cürno los factores Lr...L', son matrices triangutlarÉs

in'f erioreE, el. prmdurcto L de estas matrices indlvicJutales
será también una matri¿ triangurlar inferioro donde;

L = Ll-aLa-'a ....L--t

Lo que para Ltn problerna cle tercer orden e5:

L-
|.-o'
I o=,
itl
'
I
.-] ft
. ll orez( a )
rF
.llrll-r . Il=
L_*' '._l l* O-a(a)
Jt ' o=s'='-J

r .t
-''1
Io" I

l*"
I
I
I
q¡¿¡' ( t' ) .l I
I
I
IL- o*'. O-a(¡.) Ot*a=, I

I
-J
 1(l I
Como los ele¡nentog diagonales de H son siemprn Ltncls ellc¡s nc:

neces,itarán Eer relacionados expl ícitarnente cutando . e Ltsa Lln

computador diqital, Las dos matrices triangulares podrárt

entonces cnmtrinarse para propúsitos de alnracenam.iento donde

lg]s elementos cJiagonales de 1¿r conrbi.nar:ión ccngtitutyen I¿t

rnatrie L.

camo Ltn ejemplo de esta tÉcnica considere el ejemplo

nurrnérÍ cc¡:

*3
-1 -r -]
. I
)q. I - --'l
tl I

."1
I

rl
I

-1 r
I I
xa
I
I t-
I
I

-l ';t ..- 1
I
|
)qr I rl i

I
I
I
-1 1l
I
x4
I

I
1t
J _J
-j

Usando el pr-ficeso rJe el.iminar: ión de Ciauss y r"eescri.bienrlo

lsg elernentos de A tron los el.eine*ntos de 1a nueva matriz
coeficíente redltcida y los elernentc¡s rje L ,/ H en cada pfrso
de reducción. tenernr¡s cclrncl prlmer- pasü!

l'1 -tf,:5 -1. :l

I

-t
I

l-1
I
a
f,:5
.-1 ,I
I
I

I
I
I
l-1 -t r5. rl I

i
:5 .5
I
I
I
,-l
L :l
 103

La seguncla redutcción e5:

r- i*!
l3 -t -l'l
::i
I '-1 I
I
I
I I
¡
t I
I
,l
;' -'!3
ET
l-1 I
¡
I
I
I
I I
I
I
¡
I -t I

l-1
_l
¡t
I
g 1l
;¡
...i.l 5
I I
I
I
I I I
I

I
I
-1 rl I

I I
J

La tercera rednccrÉn eÉ:

:l
-t
;
I
I

-1 t
3
r
t*-l
rq
I

-1 -t3 E
5
5l
--- t
8l
-l
-1 rl
8i
J
 1(13

Y los factmres matriciales triangn l ares inferinr 1r slrperi.or

$Gn:

-t
:5 1-L-L I
.Jf,
-t E. .lL ¡:i
:i
l= l{=
-.1 -L E- I -¡.
35 I
r!
{
ü. I
t I
I
-J

t-os elenrentos de Y gE en cLt€tr1 tran re6clviendo la ecuración

correÉpond iente usandc: *;r-rsti tr-rción hacia adelante, así:

'i
-t r
lr
I I
I ¡

I I
I
E
,l I
l1
::::

i lt
-1 -1
...1
t
L¡
.l I

t
=lt
irl
tl
;l1
I llirl
-1
alJ LJ
-J

Cnn lo que tenemss:

Yt=Ln'/a=4"\1 ==1 Y+=1á

35 ::5
 I. fl4

Los elementos de X Eie encuentran de gLt ecutacifirt

coFrespc:ncj ien te utsando sut*iti tt-tción hecia etrás . Asi ¡

I -L-t xr I [-rl
.lt
::: 5
x? |llsl ltl
5 I = r5l
I -s" ,(= I l'l
I
¡
I
I
t.
a

I x4ll'rl
I
I
L* JTJ
En tances:

X+ = É.t Xr:r = Llt X:a = lv Xr = L

.3 .J ];

i:.5.3.? Factorisación LDH

La tÉcnica cle descomposición triangltlar clescrita en 1a

precedente sección crea las bases de tÉCnicas muty modernas
y elf icienteg. Es evidente del e.jemplo numérico anterior que
lns elefnentos en la i-Ési.rna colt-tmna de L son diferentes de
la i-Ésima fila de H. Esto significa gLle tanto L comú H

deben 5,er conocidas er:pIícitamente y ambas matriceE dehen

aI macenarse . Este f¡robl ema putede aI iviarge en e I ce5'o de

nna matri¡ coeficiente simétrica A, descomponiendo la rnatriz

 105

triangular inferior L. Egte mÉtcrdor QenÉFáImente conaciclo

cclrro f actori zación LDH. €xpFesa la matríu coeficiente
clrig.inal A ctrmo un produrcto de tres f ar:toreg matriciale¡s,
atii r

A = L'DH

Doncle L'es iqual a Llne matriz trianqlttar inferior con

elernentors unitarios en sut diagonal.

H es igual a Lrna matri= triangltlar sutperior con elementos

r-rnitarios en slr diagonel. D eg igu*l a utne matril diagon;tl
c{fn elementos cero fuera de la iliagonal.

Esta descompr:sición s€? consi.glte factor-izanclo 1a matris

coeficiente ariginal A en las rnatrices triangulares L y Hr

corno ya elíplicamos. La matrir L es lltego f actorisada en L'

y D. La rnatriz diagonal D simplemente consi.ste cJe los
elementr¡s diagonales de L; y la nilÉva matria trianr¡ltlar
inf eriar L' sale de diviclir cade colt",trnna de L prrr el
elernento diagonal de dicha colurmna. FotJernoE referirnas
nurevamente el ejemplo snterior:
 Ir)á

r
I
1.
Lr
,5
.t
--1

-t I

I
r
I
[:
Lt
.t
.l I

L' = II
l)=
t-L -l I

E.
35 5

I
t-
I
L
I *l
3

-J

F -.1
33
-1 I
t' 1-l
l{= I
I
5 I
I
I I
I

t'
I
.1 -sl I

I Bl I

I
I
t. 1l
L J

F-n e*ste ejemplo s¡e pLlÉcle ver qt.le L' y H Eon transpuestas Ltna

de la otr-a gracias a qLtE la matriz A es simÉtrica. Este es

Lrn benef icio de esta tÉcnica para alrnacenarr bien la matrrz

tri*ngular inferior L'r o la matria triangutlar superior Hi

aquel Ia qlre* no se almacena es conocida impt icitamente¡ Y A

eE eHpreg;ada cofno:

A = L,DH

5i L'DHX = b
 LCrT

HX=YyDY=Y'

Donde L'Y' = b

Loe elementnE cle Y' g,e ohtendrán de L' y b sutstitutyendo

hacj.a arJelante en la ulltima ecltecióni losi el*rnentos de Y se
obtendrán de D y Y' involucrando Ltna clivi.siún trivial ' y

finelmente los eLernentns rle X 5e obtendrán de H Y Y

sustituty*ntjo haCia atrás en Ia ecuaciúrr ccrrespondiente,

3.5,4 E¡ifactoriaación

Los dos mÉt-odos de factorización vistos son rnuy tlti. lsE pára
regolve¡ grandes conjutntos rJe ecLiatrlfines Ij.nealss'
particulárm€ntei curando es necesario r€scllver las ini*m"'rg

ecLraciclnes básicas pero coll difere¡ntes vectcres hacia la

der-echa. Autnqlte ambas tér:nicas involt-tcran f actorizaciÓn r el
métadc¡ de expre*ión cle es¡tos, f actr¡res e$ ffiLty cl if eir*nt-e.
Zotlen}.;npf i:::oinbirrú estas dc:g tÉcni.cas en eI Ilainarlo mét*da
ds* bi f actori.::acién .

Es,te método es r¡art j.ct.t.l.armente aÉl icable p+rra n¡atrice* de*

coeficiente clir:per'safi qlte tienen ele*ffierttus di.agnnalÉ5 y qLte

5r,n sim¿*tri cás t ,/ t $i nf,¡ r t.i.enen Llna egtrLttrtl".tre d i.spersa

si.métri ca .
 tilt
El está hasadc¡ en encctntrar 2rr factores rnatr.r.ciales
rnÉtodcr

Barfr Lrn ppoblerna de n-ésimo ordenn tal qr-te el producto de

estos f actores satj"sf acen el si.gt-tiente requtisito:

L ( n , L ( n -- r. , . . . . L ( 2 ) L ( a ) AR r ) R 2 t . . . . R n - R ( ;t ) =
( ( ( 'r' ) U

Donde A = rnatrí¡ coef ir.:i.ente ariclinal.

l- = factores matriciales del lado íequtierdo
ft = f actores metr-iciales de¡1 lado derecho
U = rnatris utnidad de orden n

Premltitiplicando Ie ecltación anterig]r por laE inversas de

L(n). L(n-.rr....L(4, ',/ L(r) cOngeCUtiVamente da:

AR( r)R('¡) .,. .R(ñ-r. tR(n ) = (L( ¡. )

' ).-a (L(a) l"-1 ... (L(n-¡. ) -r.
{L("r} l-"4

Fost-multipLicanda 1a ecutación anterior por L(ñ)r

L(n--t ).. ¡L(a) v L(a) censecurtlvarnente tenemos:

AR( a rR(= ) r , .R(ñ-'r lR(ñ )L(fl ¡L(rr-'l ) . . .L( 3)L ( a ) = lf

F inalmente FrE-rnLtl tipl icando Ia úl tima ect.lacifin FJor A-r

tenemc¡E;

R( a )R(:á) . ¡ .R(n-.t )R(n )L(n )L(h*¡. r . .L(2)L(.1 ) = A-"¡

'
 t_c'?

Ejemplo i

*1
'T
-t

:r
-t
i .t
X1
{2
I
I
I
I -l I
1
I
I

X3 l=
I I
I II
-1 J¿
-1 |
I
1 I
I

t
I
. -1. 1l
I
x¡l l t.
I
I
t* J J -.J

tl primeF paso de redLtcción, L(arA((')R(a) = A(a). da

-t 1.t
ft 3-1-l II
I F 33 E
l*"' I I
I
I
l1
t ---
I -1 2 I t. 1. 'l
l= I

lr
t-- -1 -1. I
I
I .l I

ll I I
I

l,l -t rl I I
rl
t_ J t: _t

I*
l1
s -r
I

l.
l-
133;
I
l.!;; -1 5 -l
l'-!',
I
I

l.L- . -1

I Unirrrsidrc ,,1¡'r r itlrü dt íji,.iú¿;ir:

C¡,.:44 f'h.lin..,¡
I .- -¿--..*+!--_+*Á_.
 r.10

Et Éegundo FaSo de redLtcciÓn, L(u )A(r')R(5¡) = A(at i da

l. t .i it
i' t -l lft
rc, :l I
'i i'' r !
,, || ,;-,i | ,
')i

|l=ll33rrl |=
l:+'lL- '-1 :.J t t
i;l
l. r .
I
I

s "-'l
l=l
[' 'lJ
Eii tsrcer paso de redltccián. L(rtt A<2' R(:5' = A(;s' r da:

r" 1.
-1
.t 1.
-1
.l
ll (:!
I

I
t. {J .1 -l
I
.1 .l I

I I I
i
t-
-rl ()0
I
I
t. !. q 5t
I
I
Él 5 si
I I

t. .1 I 1l
L-
¡_
B J
I
:-r J J

i;
I
¡
l. I I

I
1.
I
I .lI
I
I I

t. sl
I

L ii
 111

EI cuarto y rlLtimo paso de reducción. L(4)A(;rrR(4) = A(a) =

u, da:

1..{) 1, .lF
itl r
.1.{J .1 .l l. I ' .l
ttl
lll=
.t l. . I .i
ttl
rtl
8l sl l.) r:¡ c) 1l
ir t_
t' sl
L J J
t.;
I
:t I
I I
I

t. 1. .t ¡

I
I
t.
I
I
.1
I

I
t- Il I

L-- J

La solución a las ecuacioneg originales puede entonces

encontrarse de la sigutiente ecuación:

A-r = R(r-rR(1"¡R(srR(¡r)L(¿l)L(:3)L(2)L(a)

Y riorno R( 4, es Lrne matrir Lrnitaria:

X = R(a)R(2rR(¡BlL(4)L(3rL(e)L(trb
 1lii

Esta mutltiplicaciÉn rnatricial entre'ga el r-esultado:

f,
t-l
t3l
I
tlti
13l
I
X=
tt
ll:tl I

l3l
tt
t16
l*l
I

L_ =J

Este ejemplo nutmérico rnutes;tra que aúrn para Ltn pequÉñO

problerna de cuarto orden las matriceg g,on dispersas. Lo cual
indica qLre pár'a grandes protrlernas con un al to grado de
dispersión, para lr: cltal esta tÉcnica es idealrnente
ernpl.eada. lasi ganarrci.as sün rnLty significativag.

Para cfrlcLtlar X" el vector b det¡e 5er mltltiplicadc:

sect-rencialment*: por iln f actores metriciales. torno sea i
excepto por Ltna fila o Ltna colutmna¡ estos factores son tedos
matrice*g unitaries '/ de al li qLte cada rnurltiplicación
ividural se hace fnLty senci I la " Y corl $na programaciÓn
incl

adecurada involt-tcra sÉ1o elementos tJiferentes de Q para cacla

matri=.
 113

T.5.5 CCII"IPARACION EN'TRH LüÉi I'IETT]D{]S I}E TRiANÜUL.ACION Y

BIFTACTORI ZACION,

El proc6lso nLrmérico involutcraclo en la descomposición

triangltlar y la bifactrriraciÉn scln básicamente idÉnticost
dependiendo ambms de Ia técni.ca de la elirninaciÉn de Gaussi.
He a11i, {*l ncrrnerr¡ totat de operaciones aritrnÉti*as
reqlrerido para factcriear La matria coeficiente de Ltn
conjlrnts cladn de ecutaciones lineal*s sinmutltáneas y pera una
st.cLrer'¡cia dada de el iminación son los rnisfiios para ambos
mÉtodoE. l{asta aqui n0 hay superirrridacJ clel. Ltno ccln

respecto al otro. Eutandü Ltn cnmpurtador cligital es uti 1i::ado

para resol.ver numéricarnente las ecutaciorles'. el mÉtodo de

bif actsrización tiene Ltna verrtaj a básica sobre el de

triangr-t1Í¡ación, debido a qt-te los factares creadcls con los

dos métodos sc¡n dj.ferentes. qlte hace que la bifactorisaciÓn
reguiera rtenos r rnenos indicaciones Y clPeracit:nes
rnernoria

aritmÉticas más simples para re$cllver las ect.taci6n€?5 r

conaciendo ya lsg factores.

Fara i lurstrar algurnas de estas dif erenciaE r cons;idere las

matrices producidas en t=l e.jemplo anterier. Fara ambos

métodc¡s la:; rnatrices ptteden superpclnersen si 5F ignoran Lss

Llnc)s cliagan;rles de 1a matrir trianqLllar sr-tperior y la rnatri¡
del ladm derecho, conocidog implícitamente.
 114

De la matrir FesultacJo eE evi.dente qLter aunqLte 1e rnatri:

coef iciente original ds: laE ecltaciones era simÉtrica, Iag
matricersi st.lperi.mputes,taei de la descc:mposicién triangular son

as;irnÉtricas r mientras que las de la bif actori¡acÍón son

$imÉtricas. En el caso de la bif actr¡rizaciÓn sÉlci sie

necesi tarAn en tonces lns f ,¿rctores de I l edo .i=qltierdn para

ser almacenadog y los cle*l lado derecho serán conclcidos
impiicitamente, En Eil casa de la descornpasición triangltlar
las matrices; tri.anglrlare*s inferior y sltperior deben trer
alrnacenadi*sn 1o cural dc¡hla la rnernorÍa reqtter-ida '! Ia
infsrrnación indexada.

[-: -r35 -1 -l lll

.5 13
*__l
I
3
I
l-1 llf,ls-r 1311l-
3 515
I
L-l L*
I

l-1 -1 {3 Il-5--' t .r 5l l5 I

:, 5f 8l :1 5 Al Il-

*1
Ll
I
t.
I

I
. 3l I ! g.
r.r I I :l
I
L J J

Este problerna inherente cJe Ia rlescompor;ición triangutl*r

purede superar:;e* descornponiendo la forrna LH a la forma LDH.

La memoria alrora Ée redltse a la de b.ifactorización percl a

costa rle rnayor número de operaciones que disrnirrltye Ia

ef iciencia cornpurtacional .
 Lls
La atra dif icutl tad ccrn 1a descomposicién triangltlar es qute
el producte de 5Ll5 dos factoreg matriciale;; entreg;rn la
matril coef iciente original '/ t'"¡o 5u inversa. De otra par-te'
el producto rJe las r¡atrices producida ptrr 1a bif actoriaación
sí entrega sLt inversa. flonsecutentemente, pará resolver las
ecuacisnes despuÉs der f actnrizar es más dif íci I Ltsar
rlexccmposición triangutlar qute Lt5ar bifactnri¡ación.

A pesár de estas diferencias arnbss metódos pr-teden 5'er fnLty

eficientes y mLty sup€trieres aI de Ia inversiÚn directa de la
matr-it. Fara lograr slt eficiencia Ein embargoi ámbclÉ metódos

reqLtíer-En de LII'¡ prclgrafnador muty diestro y la incllts'iÓn de"

Far ejemplo" tÉcnicas de cJisper5'iÓn. Además" las diferencias
relativas entre lns dos metódoE puerJen invertirse
signif icetivarnente, clependiendo de 1a cal idad Y 1a

ef iciencia cc:mplttacional del prograrna, ya qLle esstá ScJlo

fnerginalmente relacionado a las diferrenciag matemáticas
entre los dog mÉtodc:s.

?.6 ELIT4INACION DE DISPERSICIN DIRI6IDA

3.á.1 Introdurcción

Anteriormente vimcrs cómo si la rnetri¡ coeficiente A e5

dispersa log f actores puteden pclseer Ltn al to grado de

 11ó

clispersión, qLrct ct:rno sabemos 6nn aqt.tell.as gue pclseen rnltchc¡s

els¡mentos cerros. Es claro que la eficiencia de la smlución
alrrnen ta gi *-'o I arnen te qltardarnos y Ilrücesemos e l emen tos
diferentes de cErü.

Llna prnpiedad desaf ortltnada de 1a erl imirración o Ia

factoriración de matrices dispersas es qlte los nltevcls

elementos diferentes de cero plteden generarse contínutamentei
1o ct.rcal disminuye eI grado original de dispersión. Esta
caracteristica es 1a r¡Lre conocefnos cc:mt: L lenado. E-s

claramente de*:eeble conser-vaF el núrnero de Ins' nr.lelvos

elernenttrs a utn rníni.rno. para minimizar así tambiÉn el espacio

de mernoria reqlreridc¡ y el tiempo total de cómputtn necesar.to.

La cantidad de I lenado depende en gran parte de el crrden en

qlre las f i las '/ colt-tmnas pivotales Ecrn seleccionadas.

Existe Lrn núrm*ro definido de tÉcnicas pára seleccionar" Ltn
crrden de eliminación acjecuada '/ así redltcir la cantÍded de
L l enadc¡ . Estas tÉcn i cas plteden ser rnLty e*f i cien tes
camplrtacionalrnente y pureden produrcir urn orden de eliminación
surficienternente trFFcana al óptimo para seir de Ltn valor
práct.ico irnportante en anál isis de redes rnuy grandes ,!
dispersas.
 LL7

2.á.3 TÉcnicas de Freordenamiento

?.6,::, I l"lenclr número de rarnas conectedas: En este mÉtodo

de ordenamien to I a securen cia de es I iminación pltecJe

determinarse inspeccionando 1a gráfica ori.gi.nal del

problernar estando 1a secutencia relacionada al ndtmero

anmentativo de¡ rárnas conectadas a sada nsdo.

Si mág; de urrr nodo tienen eI nrisrno núm**ro d*: ramas conectadas

a Él i entonces éstos puteden elirninarse en cualqLtr.er c¡rden.
Ilara i llrstrar egte mÉtodo conEÍdere Ia matr j.z dispersa
representada por el gráf ico sigiri.ente,

En este ejernplo, lc:s nodos 6'/'7 ti.enen solamernte Lrna rafna

conectada a ellos. siendo entonces segdrn el método lc¡s
primeros a ser elimj.nados" en cualqurier orden. El nodo ?

tiene dcrs remas conectadas a Él r y es el próximo candidato,

F inalmenter lns nodos 1! 3. 4. y :i ti.erren tedoe tres ramas

conectados a el los y son entances eliminados en CrIti¡ro llrqar'

y en curalquier orderr. Altnqure para este e-iernplo purerlen
e:ristir dif erentes sÉcutenci.as, Lrn posible crden de
 118

eliminación es:

(6r-7rlr1r3!4rS)

En la práctica el núrneiro de ramag c*nectadas a c¿rda nodo no

scr deterrnina por inspección de I a gráf i ca ya qLtF otro
método ps mirancjo el nútmero cle elementos futera der la
díaqonal en 1* f -i 1* ,r colltrnna correspondientnr del misrno

elemento diaqonal de la matri.r coef i.ciente agociarla.

Entonces el orden de la eI iminación tambiÉn pltede
determinarEe inspecci.onando e I nütmeru de e I emen tos ncl

diagenales y hacienrlo utn arregls en orden ascendente.

Este esqLlerna E¡s rfiuy simple de progrernar para Lln ccmputtaclor

digital y eI número de operaciones reqLrerido párá cletermrnar
el orden de el iminación es poc$. E1 esqurema produrce eI
óptimo orden pera ur-rá gráf ica estrel la '/ es LrELralmente
adeclrado pára 1a solurcicln práctica de peqlreños sistsrmeg,
Para qranrles problemas con cientas de var-iables t: máÉ. eI
métsrJo sÉ hace inadecuado porqt-re e I nürmerr¡ der nLl€rvos
elernentos diferentes de cero at.rrnenta st-rstanci.almente, l.o qlre
obLiga el us,n de nr-revr:s métodos. Fr-reder ser de ttrdos modos

Lrn compromiso raronable pare L.ln investigador qLre s:stÉ

esturdiando lrn problema un tanto más cJifi.cj.l. Sin embargo,
c$rr¡c] esta gitlración ncl es rnLry f reclrente. el mÉtodo debe É3er'
 r19

visto cclrno Lu.t método gimple para pr-nblema6 simples.

:J,á.3.,J Enrutnchamienta diaqorral.

El proFósito de este esqLlerna es organi¡ar IoE eI ementos

difer-entes de cero originales de Llne rnatri E en una banda

estrecha alrerledor, bien de Ia diagonal mayor o de la
diagonal rnenori cofno se mutegtra en la figurra.
X XX X

XX X X /X X X

XX X XX
X X X X .X
X X X X X

X X X- X X X

Una de las prspiedadeg básicas, de la fact6r'i¡aciÉrl es que n¡¡

se cFean nt-levc:s elernentc¡s di.ferentes de cercl fuera de Llna
banda diagonaL rnayor durante el proc€rscr de eL irninaciÓn.
Similarrnente c¡cttrr€r con ltna banda diagonal rnenor para tipos
especiales cJe prohlemag. De al I i. qLte solamente loE
elernentc¡s dentro de la banda necesitan ser a1¡nacenadsE'/
tocJas las operaciones aritmÉticas están cc:nfinadas a ee;tos
elementc:s. De todos mmdns inclutgo los elernentos cerog
dentro cle la banda deben rier almacer'¡ados y,a qute dltrarrte eI
prüct*Fo de elirnÍnación es muy posible que esitos elementos se
 I TCI

hagan d i f eren tes de cero , lsor ersta r-a¡ón eI mÉtodo nr:

apruvecha la cl ispersión, al menoÉ qLte el ancho de la banda

sea relati.varnerrte estrecho y el núrnsro origrnal de eleffientos

cerr.¡s de }a banda sea rnuy pequte'ño.

Los páEos lógicgs nElc€?.€ar"i.as para arreglar estcs elementus

di.ferentes de* cero en Ltna banda diaganal mayor 5on los
sinlt.ientes:

Seleccione el nodc: con el menúr' ndtrnera de rárnas

conectadas a Él y clesignelo con eI nCtmero Ltno. Si
exit;te más de Ltn nsdo cün igutal númerro de rarnas sE
pueden seleccionar en cltalquier ordeni

Asiqne la sígr-riente sÉcl..lencia de nütmercs Para aqLtellt:s

noclos directamente conectadss aI uno;

Uontinrjreee el prccctsc: de'gcrita ante¡ri.or hasta haber

designado tndos loe nocJns deI srsiterna.

Considere e,l sigutierrte gráficm:

 1?1

Éi igr-tiendo la gecltencia cinte*rinr der pasOs lcrs nodos de e a q

de la f igr-tra pureden enLtmereFse astil

L-os nndos con el rnenor rrúrnero de FarnaÉ conectñdos e

el los son d '/ q. Escr:jemos arbitrariamente eI nodo d

'/ le designarnos el nútmer-o Ltnni

Los nodos directarnente conectaclos * d E¡on á y e.

Hst-c¡s nndas plteden ser desrgnadms arbitr-ariamente
corno nodr:g 3 ./ 3 re*sFec'ti.vamerrte.

Los nc:dos directamente conectados a los nodr:E a Y e

scln b y f i desi.gnadax cornc: nodos 4 Y 5. €rn cttalqltier
orcJen. Finalmente¡ las nodos conectadog á los nodos b

'/ f , scln c y gi desÍgnados ctrrnrl noclos 6 y 7.

De agr-ri Ltn posible ar-de+n pa.r-a lns rrodo-ql es;

N.pj_e-_..ref"'.9¡m-Er.d.e.i-- t. 3.. "-L--1-, --Lo*.L 1 . 7

Nodo eriginal : d"' a, er b. f, trr q
 1?:l

Y l. a ma.t-ri: creada por esta t3ecLiencia dr3 ordenarnÍento es l.a.

sigrrien te I
d o lc
d X X X

a X X X X

c X X X X X

b X X X X X

I X X X X

c X X X

I X X

El esquerna de ensutnchamiento aI ternati.vo consiste en

arreg I ar I os e l ernen tos no ceros en urna banda alrederlor de la

diagonal menor. f:-1 praceclimientr: para ésto es el sr.gutiente:

Se l eccient* Ltrl nodo ccln el rnenor número clP Fefnas

conectacJas a él ,/ designe I o como Lrnc¡ ¡

Seleccinne los nodos rJirectampnte conectados al ncdo

Lrnc: y clesigne' a eI lcls lcls números mág al tor; disponibles

gue son" si hay n nodos, los nLtevos adyacentest ct:mo nr

n-lr ...i

Seleccione los nr:dog cl irectamente conectados e Éstos y

asigneles los próxirnc¡s nulmeros rnenores di.sparribles; qt-tfir

 1t3
sün para est-e tercer pas{f I los nados adYacentes

desi.gnados cÉmo ?. :ir... i

Unntindre se*cutencialme,nte eI proce56 alternativo

descrrtci e*n los items anferiere:i hasta cofnpl.etar tedo:i
lo:¡ nodns de la gráfica.

Fara ilutetrer ester proteso consiirJere 1a gráf ica sigt-tiente:

Siguriendo la secltencia de pases lóqicc,sr los nrrdos de a a g

pureden en|-tm6?FaFse así:

H¡:isten varios nodos tron solamenter una rarne conectada

a ellos y cualqutiera cle estos purecle seleccionarse cclmcl

primero. Escojamog arbitrariamente el nodo c con el

n(rrnern Llno ¡

El único node di.rectamente conectado e c Gls e. El

núrrnern tc¡t-al de nodos es 7l y en este estado el rnaycr
nürmers de nc:dos disponibles es 7. Entonfies el nodo a

es el '7f
 1'J4

EI itnicr: nodo cJirectamente cofiectado a a €*s b. El

oróximo nürmero rlisponihle es ?, asignado entgxnceg a bi

Los nados d.ir-*ctamente conectados a b son d Y e.

Lc]s prÉ>l imos nürmercs de nods d ispon i b I ers rnás a I tog
scln 5 y á I y estos strn asignados en cuaiqutier orden e
los nodos d '/ e. Finalrnente, lot; nodos cl irectamente
conectado5 ál nodo d. scln t ,/ q. Los pr"Éxirnos nctmeros

de nodo disponibleg; más hajos Eon ::i '/ 4. Y éstr:s Ei'on

asign*dos a t '/ q en cltalquier orden.

'Tsnsrmos entOncets Ltn posible orden r aunc¡Lte plteden e¡lrEtir

otras secLtencias al te?rnatives divr*rsas¡

N.e-d-g--rgnglLbradg1-}" ij ...*.3-"--.4 .*É,... 17

Norjc: oriqinal ! cr' b, f " gr'*-5d" er a

Lo cural crea Ltna matríz cclmo 1a mc¡strada en 1a si.guienter

figut'at . b r s. d e a

"[* / x
Dl x ,r/x x x
TI
l// X X

:[ *:/
,/^
ul/ x x *r*
.f . x i,/
cl.x x
t/ x /
,lx x
 r?5
Ambos egqLlernas ds en:ttnchamiento" tje l.a diagonal maynr Y

fnenclr! 9,6rr eficientes gOlamente FArá gráficas con

estrlrctltras esip€tcrales. Hl ernrutnchami.ento diagCnal mayor es

más aplicatrle perA pecles, tipo e5,caleret ct?fn{f, la mostráde en
!.a f igUtra i O Fear pclFct rnatriCes cLlyo qráf icOs consisten de

nodos principal.rnernte cc¡n*rctaclús en Lrna cedena. De la f i.gltra

de La matril qLlF Fe fclrmar yra vig'tar se ve qr..te log' elernentms
dift*ren{:es rJe cÉrc oct.lpan la handa. y detrido á que ningútn
elsrrnento diferente de cero pr-tede cFea¡.se fltera der l.a ha¡da'
f*l enrLlnchfrmiento de 1a di.ac-lonal mayer ha al caneado rrininia
mernol-ia y rnáximo a¡:rovecharnientn de Ia rJispersiónr paFa et;te

problema partÍct-tlár.

Eon redes de, tipo racJial i corncl 5e ve en Ia ütl tirna gráf i*a;
e1 FnrLrncharniento en la diagonal mayor permite a rnltchos

e l ernen tc:s ceroÉ :;er a I macenados en I a banda , 1o cuta I

requriere es¡:acio de almacenamiernto innecesario y rnayor

tiempo cJe ccrmputtación. For e.jemplo" si l.a banda dsp la

cliaqonaL mayar ha sidcr ltsada para esta gráf ica, ltna posible
matrir gLtÉ? resLrl taria sería la sigtlientel
 r?6
En Ia figr-tra podemos veF ql.t{3 el número de elementos
,Jiferentes de ceFo en Ia b¿rnda es de 19t'/ el ndlmert: cle
el€mentos ceros es 1{) I proForción mlty signif icativa pera el
total, Para este tipo de problerna es rná$ e'f iciente lisar eI
enrLtncharniento en la dragonaL meno¡-. Coino Ee ve en 5u
t¡iátriZ Corresp6ncJiente,. el nútmero de elementos' ceros pára
ser álnracenados Ee ha redltcitlo a 6.

frara Lrn tipo de preblern¡a rnás cclmplerjor coffro es Lttl gistema de

distrit-rurciórr e1Éctrica, arnbc¡s tipos de enzunchamientn
Darecen tener Llna egtFLtctLtrá fnLty diSpersa dentro de 1a

banda. Oclrrrirá entonces nn I lenadn congiderable rjltrante e'I

flrcrceism de el. iminacictn. Hsta desventaja signif icativa pue'c1er

redlrcir-se optirni¡¿qndr: el anchc¡ de tranda i pero ésto r a

elípensas cle mayor tienrpc: compntacional. Urr méteiJo mutchc¡ fltág

efectivcl rt ¡rficíente para estas t-a*tjesr gelneralmente rnás

largas y dispersas. És el ordenarniento dinárnico'

3,6.:3 TÉcnicas de orden¿rmientt: dinárnico.

Lss esqLrernas der ordenamiento descritos en 1a seccién

antr¡rior- preestableceln el orden de el irninación antes del
procescl de redutcción. Durante este PrGc€rEE de eliminaciént
el gráflcfi correspclndient-e a la matrir redLlcida está
carnbi.ando csntínlramente. Lcls esqltemas de prec:rdenamiento
 L37

discurtidos previamente ntr plteden tener en cltenta estos

cafnb|ofir y For 1O tanto no 5e puede gárantÍzar Lln eÉqt-tefna
raronablemente eficiente o casj. óptimo. F'ara s'Ltpet.ar este
problema, la gráfica cclrre?spclndiente obtenida tn cada Fas$
cle redutcC ión purede siÉr exarninada Fára cc¡nservar I a
dispersión de Ia matr.ie roef icie¡nte en el siglri.ente traso rJe
redurccién. L.c¡s e5qilemes qLle cltmpLen con este sbjetivs 5crn
cnnocidos cclfno de ordenarniento diriárnico. E>listen
esqLlernras

cJiverg'os rnÉtodos pr:si.blesi qute tran s,idn prc¡FjLtestos¡ pero las

clns inás aprnpiados pará redes generalmente gr-andeS '/
distrersas :ion lms sigutientes¡

3,6.::i. I l'lenns r¡{rmers de l-arnág canectadas

Hgita tÉcni.i:a eF la más *imple ,/ cernútnmente utsada del

ordenarniento rJintrnico. Es idéntica aI primer e€iqlteme de

preardenamiento ye vistor €!xcepto qLt€' se aplica tembiÉn e
cada pasü tje redltcción. Es eqltivalente entonces a la de

el irninaciÉn de Lrn nodo e la v€*z r en la gráf ica rerdutcida.

teniendc¡ el fnenot- ndrmero de ráfi¡as conectadag. Fara til
ejemplo clsrdo al uomienlOi en la gráfica original existe g3Ól(]

Llna rafna conetctada a los nodos ó y 7, SeleCcionernos el nndc:

6 creando la gráf ica redltcida ( tl) " Despr.iés tenemoe el norjc:
7 con e I rn€rnoF númerc: de FemáE cÍJnectedáÉ r s iendo e I

siguiente seleccic¡nado pare 1a próxima el i¡¡inación ' y qLie

 I2€}

crea la gráf ica r-educicla ( c) . Élhmra Ios nodos z1 3 v 4

tienen el menmr nÚtmern de ramas; COnectadas" y escogernos el
nr¡do 'J trara 1a siguiente el iminaciÉn ' creando I a qrá'f ica
redLtcida(b)'LuegoeliminarrdoelnodoScreamoglagráfÍca
reducida (e). Pasteriormente seleccionemos eI nodo I para
crear 1a grá'f ica ( f ) i y Lln orden rle el iminación arbitraria
seria:

(á, 7r t" 3" 1, 4r 5)

l\--lH'-O
A-
có-Y i¡)

S---
á->@(c)
H
(r)

Corno vernosr FFteste método se inspecciona la gráfica" o la

trerrestrondiente rnatris r€?dt-tcida " escogiendo c6fno pivotes
conseclrtivos los elementos diagonales que tengan eI fnenor

ndrmero de elementos no diagonaleg en ÉLt correspondiente f ila

y ccllumna¡ y si es necesario. seleccionando arbitrariamente
 1t9
dicho 6rden. Egta técnÍca es f áci I de prografnar .v €?5;

computacionalrnente eficiente. acercándose al ordenamiento

óptimo.

il .á.:i.;l Introducción al rnenor nútmero de rarnas.

En este ,, E I nodo de l. a g ráf i ca reducida QLI€ r

e5qLtefna

e1 iminado . introdltce eI m€rnoF nútrnero rJe rafna5 I É5 e I

seleccionado como el rnás adecltado para ia eliminaciÓn. Si

más de uncr cumple esta propi.edad. la selección es

arbritraria.Esta técnica. basada en ia valencia ' dismlnutr/e

la cantidad de I lenado de Ia matriz coeficiente reducida en
cada peso, Este proceso de selección no consiste
necesariamente en seleccionar- utn noclo con el menor núrnero de
ramas conectadas a é1,

Fara e I mistmo ej ernp 1o ' €tscogerntrs prirnero b y '7 pare el j.minar

Ios dag primeros páscrsi Peiro en el tercer pasmt eI esqLtemá

difiere:

N (c)

?
\ é
(o) (l )

rn¡l de
t:[,, ñfa"(!
 13c)

Aurnque log nodos t, i y 4 tÍenen todos cJos ramas asocÍadast

si eliminarnas el 4 no s,e introdutce ninguna otra rafnat ye que
1o:i nt:dos L ,/ 5r directamente cc:nectados a 4 ^ ya erstán
interconectados. 5i el imrnarnoe eI il , introduciria Ltná nLleva
r-ama entre los nsdos: L y S¡ '/ eliminands el -"i i.ntrudltciría

Ltne nLreva reme entre los nodos t,/ 5. tiimilarmente' si

egcogefnos el 1 o el. 5! con tres ramas cc¡nectadas a ellos"
introdurciríamos clos nurevas rama5. De aquí entonce5 eEcclgerncs
eL nodm 4 para el tercer paso de reducciÓn y creafnos eÉí Ia
gráf ica td ) . EI imminanclo cr..ralqlriera de los nodos restantes
intrc¡durCimOE LtnA nLleva rema. SeleCCionamns entonces
arbitrariamente erl noda 1. Y €ie crea Ia gráf ica (e) .
Curalqlrier elimi.nación ahora no introcJutce ningune nLi€,ve Fernai
y arbitrariamente, fin.alrnenter Fodemcrs tener la siqltiente
iieclte*ncia posible:

(6, 7.4. 1. :. '5r 5)

Este mÉtoda es más difícil cle prografnar qute eI anterior y eE'

tarnbién fnenos ef iciente en ct"tanto aI tie*mpo cornputtacional.

Si.nembargo minimíua el llenadn en cacla pas,o de redutccián. y
por ende.. Ia mernoria reqlter-ida párrá los n¡-tevos elementos
creedos,
 131

Este mét6do pr-tetJe extenderse p¿1ra QLIE r en cada pag'o cle

reducción" Éeleccione Hn nod{] qu€? produteca el, fnenclF nútmerc:

de nuevas ramas pára los, dOg pasos sigLtients?s. F'ltede además
inclnir diversos trasos hacj.a adelanter or en el limite.
sxamÍnar e1 número tntal de pa€to5 de redutcciÓn necesarims
para elirninar todos los nodos de la red. []on tado Ée;to se
consiglre Ia má¡lima conservación de 1a dis¡ie¡sión ,/ ¡ por
consiguiente I el éptimo orden . Sinernbárgfl 1.1 computtación
entra necesaria tral-a este ideal nc: es cclnveniente pera
aplicacioneis má:; práctiCts y r tronsecutentemente, egte rnÉtndc:

en realidad no es rnLty corriente.

?.6.4 ComF¡aración de las tÉcnicag anteriores -

Hay qLre tener en cuenta dos f actores f utndamentales pera

elegi.r' el mejor mÉtoda que regutelva Lln conjttrrto cle
ecuraciones lineales simurltáneas, grandes y díspersas. Estos
on: el requter j,mi.entO rJe mernoria de almacenamiento y eL
tiernpo de cÉmpurto. Cutalqr-tier conEideraciÓn pera este
respecto .depencle de Ias f aci I idarjes cmrnputacionales
disponibLes. Arln disponie?nclo de eltficiente memoriar es rrás
deseabLe L.tsar Ltn ffiétcld$ qLlÉ? reqltiera el minj"mo de memOrÍa y

de t-iernpc" así corncl tle nestirin y e=flter:,:o cürnpLttacionales'

 Lr3
üuralquiera rJe las técnÍcas eJescrites puteden usarse cif,n

cutalqutiera de los métodos de f actsriración csnocidos. No

exit;te. s,inernbargor Llná tÉcnica ql.le stá urniversal.mente

apl icahle¡ esto depencle de las rnetag rlel utsuario '

E.s imposible clrbrir'1a ct:mbineción de todos lcrs problernas

e>listentes, temaños de prnblemas y e:;trutctutras rligtrergasi
a$í qlrer sólcr sÉl purede hablár Én tÉrminos gener-ales,

Para peqlreÍios problernas de pocas variables, e¡:ir;ten sólo

diferenci.rs rnarginales entre Ios varios métodoti. De hecho.
sri el problema es rnLty pequreñm; ter-riendo de I.{t e 15

variables; el tiernpo Ltsadn Fara la rnversión directa eE rnt.ty

Fcrcor y el altmento de rnemori.a es Focct también r Ya qLte el
prnhlema ed; peqr-refrr:. Enando el tamaño deI probl.erna aumeintat
üparecen nLrevas diferencias entre log mátodas. Fara
pr-oblernas con hasta 5C¡ a más varj.ables hay gLte considerar ya
el niejor métodm de ordenarniento y tembién la estrltctltra y

ef .iciencia del programa,

flara probl.ernas pequteños no se necesita programer métodos muty

c6rnplej os I y para problernas peqlreños '/ grandes con Ltna

egtrnctrrra simiLar" se debe aptar por 1a eficiencia.

l*os esqLrernas de enELrnchamiento son rnLty r-estringidos en st.l

aplicación y sÉlc: son Cttiles pare tipos especiales de

 13:::

prcltrlemas. sinembárgo cabe anstar qlre tiene va.rias ventajas"

qLrF prnbable¡nente los haga rnuy populares. El proceso de
eliminación es sistemático. lo cual es rnlry rltil curando se
curenta con Lrna mernoria de respaldo. TambiÉn. la mernoria
reqlrerida es determinada de antemano por el ancho de banda.
Finalmente, e¡s rnt.ry fácil para prograrnar. Fero de otra parte
también tj.ene desvent¿rjas importantes. üuranrjo log tiernpos de
eliminación y solr-rción ndrmerica son incorporados en toda su
apreciación " ge' ha cornprobado quÉ e,sitas' métodos Ecln
ineficientes para problemas de redes generales. TambÍÉn.
aLrnqt.re la banda purede ser rnLly dispersar EtFr murchos casos es
se Ilene cornpletarnente despuÉs de la eliminación.
comürn qLre

se ha hecho un gran trabaj o para rnerj orar ELr ef iciencia.

part.icularmente minimirando el anchr: de banda reqlrerido. Arln
asi n a'steg t*cnicas de eni:nchamiente modernas no parecen
atractivas para anáIisis general de redes '/ G?n cásos clonde
la banda scrrr enchas con relación at orden de la matri¡.

Los autores han logrado rnltchas tÉcnicas de ardenarnientc¡ de

factorÍ¡ación v su enperiencia para problernas de recjers
grandes '/ dispersas lran cmnfirrnado Lrna combinación de
factarización y ordenamientcr dirrámico simple csmo eI mejor
arreg lm drspc:nibl.e. Hsta combinación ha sido aFl rcacla a Lrn

qran r-ango cle di.verrsos problemas, particularmente en el

ccqrnpo cJe 1a ingeniería. lográndnse scrlr-rciones mLly eficientes
 1;i4

y Se acepta slnembargo n ba.j os cr.ertes

aprox irnadas .
cir-cunstanci.as y con problemas espeCiaLes, Ltna Comt'inaclÓn
d i f eren te cofno pref erida . Y se espera también l-lná tnayfJr
investigación y mejoramiento para combinaciones rnáe;

versáti Ies,

:.6.5 Descomposición de redes

Existen tÉcnicxs adicionales im¡rortantes par;t problemas

donrje las t-écnicas de dispersión tror gí solas ntr sün
sr-rficientes pará Iograr una snlutciÓn eficie¡rrte. Estn pltede
ocurrir en problemas prácticc,s qt-t€l contienen grLtptls de gran
nfrrnero de nodos interconectados, Un ejemp161 de É5t0 existe
en lc,s siig,temas de potencia cje transmisiÓn y digtribltción.
Cada área, bien sea indutstrial o densamente poblada' tenclrá
Lln número de nodog interconectados pür mltchag I íneas i

mientras qt.te las ár-eas diferentes estarán conectadas pcrr-

trocaÉ3.

Para problemas de est"e tipo existen clos gracJos de di.s¡iersión

pasible: Uno, clentro de cada sr-tbsistema¡ y el otr-o' entre
l os d i f ere*n tes subgisternas . AI gltnas vece€ e$ ven taj ogo

r€scllver tales problemas particionando 1a rnatrir coeficiente

en bloques ¡ cada trloc¡ute cerrespc:ndi.endo a cada subgistema
m*g cercanemente interconerctado. Al ternativsmente, Ia r-ed
 1f,:i
pl-(edf3 descompon€rrse en estas caj *rs o subsisternas,
utlteniéndoeie ci.ertas veinta j as. ,/ alglrnas veces si.endo
necesario hacerlo.

Existeg dos aproximacioneg fundamentalrnente diferenters par;r

solurción cle problemas de este tipn: EI mÉtndo matricial, y

Ia aproximación diakoptical. En el primer mÉtodo 1a matris

cnef iciente eÉ par-ticionada en bloqures de sLrbmatrices,
construidc:s ccln Lrn canocimiento cIe la topologia o gráfica
deI prnhlerrna. fin l¿r aprclxirnar:ión dial,;optical e1 sistema es
surbdividido. qui.tando cl "arl-aficancle" elgurna de les
in terccne>: i. c¡nes v Feso I vi,endm inder¡end ierr temen te mecl ian te i:: I
niétndm c:rtsdr:xo" F'clr ejempla" el del di.spe*rsi,Ín. ['4E
gt: l. r-rc ir:ns?s¡ compcnen ters son I utega st.tperF¡Lrestas lrsancir: Lln

Flrücesü sisitemático simple pará r:htener La scrlnción clel

gistema oriqinal. F-n general. se necesita menns rnemc¡ria '/
tiempc Fara 1a serguncJa aprolr iniación r aLrnqlre e l, rn*tclds dr.l

particiórr es rnás simple de implermentar.

La eficj.encia y la memorie complrtaciona. l requrerridag cc¡n

arnbc¡s métndr:s depende ds 1,* f crma €rn qu€l e I sisternfi *?g

descomplresto. Ge¡neraLmernte 1a r:fÍci¿¡ncia autmenta s,i I.l

partirión tl*;ri sisterna pr*duri:e s:r-rbsisternas con Lrn rnírri.mn cJe
acoF¡le entrer *Llns.
 1.36

},..7 F,HII$ITAI"IAüION üE D]TiITEHSiIüN TiIIi:ITiITiA

?..7 .1 Intrcdt-t*ción

t-aÉ ecLiáct$nes si.rnt..tltáne¿ts; (::cln t..rn altc: grado cje dispersiÚrt

piredern r-Érfitcilverse ¡¡ecJiante l.a irrversión mel:r-ici¿rl drrecta.

Aunqure estos mÉtotJos s"mrr fácilels de prografnar- r'lu aÉ¡rclvechan

q3i¡ernbarqffi 6Ll c,¡r,.'icteristic¿r c! is¡:ersa 1r df"Eiafor-turnarJamente
Frcrlutcen Ltna matri: j.nversa Cf.rlfipletamente L lena. frera
grarrdes probleirnasi 1a memoria es entonces extremadamr:fite
gr.arrde y Las rnÉtados; mLry irref icientes. Eonseclternternernt€*

estüs métodos son s{:laffrente i{dei:Ltüdcs pará problerna* mLl}/

perqurerñas ü p;trá probl.slmas qr.tE: t-.errqan Ltna matri: cc¡ef j.ciente

üo'Trpletarnente I .l.enn.

¡..-g]s nrétorlo$ ¿rl. tern;rtivos cJr.rectr¡g Fár'¿{ Ia inversiC¡¡-t dc*

m;ttrices g;on.l.;rs tÉcnicas cle factorización basarjas Rrl Ia

elirninacirSn de fi,au:is. Con e:;tog métodos se pltede apr'ovechar
l¿r dÍs,Ff:?l-siÉn y. ccn Llná tÉrnica de r:r-denarniento arprnpiad;:t
gel pltecle obtgne*r Lrná Süli,tciC.lri directa COn LlnA rnirrrma
cantidacJ cJe merrnr:r'ia iz tÍernpn con¡Fitt-acic:rial.

Heto:; fliÉtoclo:; de f ;rctt:ri:¡ación explcitan la dÍEpersión de dos

rnane'ráE ¡ F'rirner.tftL.n te , j lrn ho con Llnc{ técn i ca adecurarla de
c¡r'clenaniientc¡. el núrrnero de* nt-revos elementeg creadc¡s durante
 r3"/

1a f artor-izaciÓlr Plteder mini.mi;:arse' Er'¡ segunda lutqar'' eEtos

métodoÉi sótÉ necesitc-{n alrnai:enar,/ procesar loS elementc]e
rjj.fe*rer¡'Les rje cÉrcll ésto lc hace en lo qlre cJeneralmente es
1I¡imadc¡ Faquete 63 f orma compactal Iocal ieantJo cada elernerrto
cJurrsrnte el procesr: de factori:aciÉn €? identificándolo cflfn{:

Lrn elernentü FartÍct-tIar de 1a corFÉ5po¡rdiente matr:":r

c¡1ef iciente. Esto requtiere inf ormación inde:'la.da Fára cad;r
velOr ndtrner-ico a ser inccrparatJo '/ Alrnacenado ' en 5Lt
pnsición relativa estahleci.da.

Los rnÉtodms de f actori ¡.aciÓn srJn r Fn Éí rnl'smns '

relativamente áciles de l-rroqra.ftari yá- qt-te sH tÉcnica está

f

basacia t;c:l.arnente en el Elrclcetso de eliminaciÓn de 64U55' Perc

hay conlpli,c*ci.c5r1 cgarrrlo 1a m;rtrir treefisiente ya nÓ es
alrn"rcenad;i c:omo Lrn tndo 5.1.no gLte 5e almacenan só1o los
elerne¡n.b.c¡s, dif erenteg de cero É¡n Llne f orma cornpacta. E.ste

compactarn.iento reqt.rlere Frografnación adrcional y t-iFmpo de

ej ecurc j.ún para j.cJentif ir:ar cada elemento. Es esto Lm qLte
pLredg hacer Llr¡ programa fnLty ef rciente Y otrn Frografna fnLty

inef icÍenter aunqr.re arntlos estén basadt:s en los misrnos métodog

tJe f actori:ación Y ordenemiento '

No es f cutantitativamente matric€ls qLle seen

áci I def inir
tratables para técnicas de dispersién y prcigramaciÓnr /a QLte
es,to depende no Eolamerrte del ordern de la matri¡ y eI nútmero
 1.5S

de log elernentos di"ferenteg, de cero s,lno tamtrién cJe Ia

poeic.ión relativa de Éstos en 1a ¡natriz cneficiente. Fara

¡'irOtrlerras mLly pequteñosr el esflter¡c¡ extra requteridc: para

apt.nvechar Ia dispersión plrede ser cons'iderado sirr val{rr.
Con prüblernaE rnt-ty grandes, teniendo Ltn c:rden de 5ü '/ rnás

sinermharcto, la elirnirraciún '/ prclgrarna.ciÓr¡ de dispersión

diriqida amerita el egflter=c: aclicional, papticularmente si
las elprnentcrs dif*r-entni$ cje cero son rlistribuidog cje rnanera
r-eLati.vamente utnif orme en toda le ffatriE. Fara problernas
dispersos" de cercá de rfiil vari.ableE, es'tas, tÉcnicas siñn

esenciales. Si tanto peqlrefíos corno qrandes prablernas 5e

rlresentárr, entances el proqlrám{i de di.*¡:ersión dirrgida putede
y debe ser ursado tambiÉri pará problemas más gencillos'

Es clarm¡ segdrn antecedentes e investigaciclnes¡ gLle Ios

prof:lenia:; rJe Frclgramación de dispersión dirigida están
ast:ciados n6 solamente c$n los aspectos básicos de 1a
factorÍ=aci.ón y 1a $olLtción nutmÉrica sino también con e1
problerna deI alrnecenamientn ,/ 1a identificación de lr¡E
elernentos dif erentes de ceFt: a gutardar-.

?..7.7 ALI"IAEENAMIENTÜ DE UNA LISTA iÜE NU]'IEROS

Antes de describir Ias t-Écnicas cle alrnacenamientt: del

elernentos dif erentes de cero en Lrr¡a matriz disper-Ea rn forma

 139

cofntracta eÉ ¡ece5ariO el{plicar los aspectos qenerales en e}

almacenañli.entc]Ylairjgntificaciéndelagseriegdenütmerog
en Lln computadEr y lai3 É:roblernas asociados con Ia
modifi.cación de éstoE cltando ingresan nuevoEi n(tmeros a Ia
memaria. En cltalqltier prograrne cnrnputtacional. este ¡:rnbleme
reqlri.ere la definición rje Ltn nütmero cJe arreglos en los
cnaleg los elernentos', st-t iclentificecÍón Écln alrnacenados y

degde lg¡s cltaleg Fl.telder'l siempre t '/ f áCi. lmente ' s'€]r

relc:cal i¡*dos.

Fara una larga ligta el pFocesc: Ae insertar nUevog ndunercrs,t

rf,art-iclllarrnente dentr-o de ltna l ista r/á Pxistente. tiencie a
consurmir fnLtcho tiempo descle el putnto de vista computacional.
LJn métsclo más; eficiente es Ltsiar Ltna tÉcnica conocida cofno
L ista l igacla. L-as l istes I igadas hacen posible qLle Ios
valc:lrers nnrnéricOs a Fer almancenacJos en cutalqltier Orden
cons,erven finalrnentel 1a s,ecLtenci€t deseada rn*diante la
t-Écnica de ligadr:. Esta técnica ccrnsiste en Froporci.onar un
Lt-rg,:tr de *lrnacenarniento par;r el valmr nutrnérico de cada iterm
de nna lista y esociar ccn este llrgar la direcr:ión para eI
valor numérico del prúximo i.tern. Esta dirección asociada' se
explica así:

Valor Numérico de utn ltem:

IJirección del Praxirno I tem
 14ó

ftlsÍ er:isten más iterns a continuac.iÓn'

= {:} si eL itern Presente es¡ eI último

Esta técnica de ligar requiere 1a introdr-rcr-:ión de ltn n|.tevo

arreglo l lamado FROXIMA '/ er"l el cltal 1a dirección del
próxino nürrnero reqLreridr: en 1a lista egtá almacenado. Fara
la lista sigr-rientel 3{t-5r SCr-g. Í6-3,45-'7n la lista en la
secLlencia original es:

[-ocal i¡ación

VALBR f,cr-s 3{l-9 ?é;-:i 43-7

PR0X It"lu ?.f.4{-J

Adernás rje La l ista de arriba €r=; necegarir alrnacenar la

dirección del prÍmer nrimero de 1a lirite. Esto pltede hacerse
en Ia práctica con un¿{ €;c¡1a v¿rriat¡le entera I G r cofno
sÍrnpl if icáfnog, en eI ejernF¡lo anteric:r. mediante un asterrsi:o'

5i ahora el n(rmero ?g-3 s€P adiciona a la I ista y 1a

secuencia rle ndrrnerus É€l mantiene en orden nltrnÉr-ico
;.¡Ecendente, eóto será suficiente colccar este nlrevrl ntlmero
al 'f .lnal de 1a I ista ya Fl{istente y cambiar las direcc'innes
€!n e1 arreglol F'RUXI14Üi lc¡ cltal' ctá¡
 141

Local ización

r{l-5 5ü-9 ló-5 43-7 28-2

4{t3'J1

Egta técnica de arreglo e5 consi.derablemerrte eficiente'/

rápida '/ sóIu necesita Lln valor en FRllXIlfÜ para cambiar '/
uno nt-revcl FaF¿t ser aíiadido. Lcs mÉr'itos de est€! esqLlefná son
claramente ev.identeg alrnqLre reqlriere de rnenoria adicional '
lo c|-raI debe cJe Eier confrontado cc]ntre el tiempo de
com¡:utación a redltcir'

Aurnqueel ejemplo anteric¡r' puede Ferecer rnLty trivial. la

técnica implernentada es 1a base de ltna de las rnág' eficientes
,/ paderosas tÉcnicag para álmacener matriceg' fnLty c1 randes y

drspersas Fn uná fc¡rma. compacta'

7..7.7. ALHACENAI"TIENTO DE ]'IA'TRIT.Es DISF'EITSAS

En 1a técnica anterior 1a Iista de números aImacenadoe;

forman sc:lo Ltn verctor qLl€t requrieren solamerrte de urr nivei.

de iderrtif icacÍón. Fara alrnacenar Llná matrir ya la
identificación es Ltn poco más compleja par;( rEconocer tanto
Ias filas como las, colLtmnas. ConEiderernos Ia matri¡
coef iciente A siguriente ',/ I'os tres eÉqLlglrnas más prácticos
 t4'J

cünclci.dtls.

3.O -1,C, -1.0 .t

I
-l.r) ?. c,
ff= I
*1,11 . 2.tl -1.o I
I
I
. -1.0 1.,)l
J

?.7 "::i. t Es;qltema I

tjorno yá dijimos, '/ colLtfnna cle Ltn

1a pü5ición en Ltna fila
elementc: dado debe deeignarse ccn el fin de ident'ificar la
posicj.én rg3lativa cJel elernento €!n Ia matri¡. Esto puede
logr.+r*e f$cilmente almacenando toda la infOrmaciÓn
rell ievante de cáda elementc en tres arrec.¡ los ' Egtos scln :

VALOR (valor nutmér-ico del elementslr IFILA {indice de fi}a)t

e ICOL ( índice de colurmna ) . 5e def ine así la lr¡cal iu aciÓn
de cada elemento diferent-e de cero medÍante coordenadas de
s3u posi.ción ern 1;r rnatri¡.
 147

Llsandú está tÉcnica. el almacenarniento de la matriu se pLtecle

irnp I ernen tar así:

Local i=ación

VALOR .5 -1 -l -1 3 -l 2 -1 -1 t'

If:ILA 11L2231; 544

IÜOL 1É3121-J4:54

Ugandoeste método de almacenamierrtg todag los; elementos son

almacenados e identif icados por sLts incJlces IF ILA e ICOL '
É-ste método bási co en ciertag ci rcungtan cias pLtede
rnodif icarse para redutcir 1a cantidad de rnemoria requerida '
F.ar ejernplct, si todoe; los elementos cliagonales de 1a matrir
son cJi.feprenteE de cero -el caEo rnás corriente qLte ocL{Fre en
l. * mayaría de ppohlemas de recles- Ltna redurcción en la
fnernc1riá puede lngrarse almacenanflr¡ lo=, elementos diagonales
sep,aradarnente. En tales cas,os ncr s,e requtiere inf6rmaciÓn
inrjer¡rada ,/e qt.te los elernentos gon almacenados en ¡iLt clrden
naturral y sLrs posiciorres relativas 5e cñnc¡cen

impl icitamente " Eetos el.ernentos se alfnácenán en un sólo utn

erregla *imple¡ por ejemplo" DIA6' Fat-a rnatrices simétricas

tarnbiÉri se plrede almacenat. solarnente 1a matri: triangular
surperinr ( i los elernentos no almacenados s€!
a inf erior )

ccln$cerán también irnpl icitamente. Usando estas dos

rnodif icaciones del esqLterna básico, 1a rnatrir A putede ahora
 14.4

alrnecenarE¡e así:

LocaI i ¡ación

VALBR -1.C) -1.(t -t,ü

IFILA I I :q

-{ 4
ICOL 2

(a) Hlementos no diaganales slrPerlores¡

Local ización

ib) Elernentos diagonale*.

Eomparancjo los requterimientos de me¡noria entre el mÉtado

básico,/ eL rle 1a versión rnodifícada e:i claro qLt€r se tia

recllrcido de treinta posicioneE a trece.

2.7 ,3.? Esqrterna I I

Con cada elemento diferente de ceror VALUR ( I ) t de una

matri.z dada r €s posihler asociar ltn único entero ' IF{:JS ( I } r
con el clral La f i la y La ccllutrnna del elernento plteden
deterrninarse. Si. Lrn elernento o.r¡ en la f i la i y la colLtrnna
 145

en el
-i de ltna matrir At teniendo ltn orden Fr ¡ es almacenado
1r-rgar l. eI valar indice pltede obtenerse de la sigt-tiente
ecuración:

IFnEi (l) = i + (: 1)n

Y este valor incJice idéntifica la fila y la colutrnna de cacla

e¡lernento. t-a mernoria r*qlrerida est-á gr-tardada ent¡:nces en

dog arreglnsl VALÍIR (VaLor numérico del elemento) I e IFOS
{ írrdice de posición ) . usando este ef;qt-terna, 1a r¡atri: A

purede gltardarse así ¡

Loca I i aación

3-l-1 -1 il -1 t-1 -1 i.

159?á3111$121ó

Er;ta es l. a base de I ' )/ con e I eisqLrerna I Yt viStcl

e€qLlelma

Farñ matricee5 simÉtricas cün elementos diagonale*" Puede

re'drrcr rse e I a sigr-tiern te f crma :

Locel i¡acidn
 146

Loc¿il ización

Fara recongtrutir la pc:siciÓn fila y columna de cltalqutier

elemento almacenado en el lngar I t se ltti I i ra la sigr-tiente
técnica computacional ¡ La posiciÓn colurnna j se obtiene cjel
valsr índÍce de:

j es el rnensF entero ¡ lP*gS.-LI)

n

Y la posición fila i se obtiene de:

i = IFüs (I) (j 1)n

For ejemplot IFCTS (.3) = 15'

rEü5-1¡-L =LA
n 4

Y eI fienor entero mayor ct igutal a t5/4 es 4.

De aquti J =4
i = IFUS (3) (j l)rt
= l-i - {;:i * 4)
=J,
 L47

Y vemcrs qLtF el Flemento está en 1a lcrcaI iración tres '

tercera f i Ia ,/ curarta colttmna cJe la rnatriz, v.g. r EE el
e I emen tcr o;¡+ .

La ventaja de este esquerna e:i que Ia memori.a es menor qlte en

el esqLtertá alrter-ior, Esta ventaja se consiglte sinemtlargc e

er:pensas del tiempo cnmputtacional adi.ciorial requterido para

cal curlar valctre€ índi.ceE Y Fa¡-a reconstruir
los IaS

posicitrneg f ila y ssLutrnna de estos valores índices. De aL lí

qLre ningürn c?EqLt{pme pited;r considerar€ie ccmc Sutperior al ot-rOi
la deci.sién dependerá de Ltn balance propio que haga eI
ursnario errtre el tÍermpo,/ Ia mernoria complttacionales á
rnanej ar.

?.7"3.f, Esquerna III

Ningurno de lc:s dos esqLrerndrs anteriares urtiliaa la tÉcnica de

lista ligada. El tercer esqLterle est-á basado en Esta técni.ca

y pürraaones ya descrrtas generalrne*nte es visto como Llrl
esqr-rÉrna extremademente útti I para maniputlaciÓn y

alrnacenarniento de matrices rnt.ly grandes y dispersas'

L:n Ia solL.rciÉn de ecltaciones l ineales simdtl taneas por

curalqr.ri.era de Log nrÉtoclos de e*l iminación de Gaugs los
procesos de¡ f actot-i¡ación l:e real isan Fn Ltna [:ase f i la a
 148

fiIa o en Lrna t¡age colutr¡na e i:olutmna. ES entorr€es fnlty

deseat¡1e y más eficierite ir'¡clexar la infc'rmaciórr elmacenada
de tal mc}dm qute pr-reda rec:t-tFerarsF dutrante 1a factori¡aciÓn
Ft.¡ una fnanere singur I ar , Ta.mbiein clutrante eI Frclcese de
el irninación 10s elementos cJif er-entes cle cero scln
csntinuramente generados o bOrrados y el esquerna Eln fltefnt]rla
deber egtar habilitando egtas mndifi.caciones para sEl. rnás
eficiente. Finalmenter para minimisar l'a generación de
nLrgrvr:E elementc:s diferentes de ceroi É?g¡ r'lecesario conocer eI
de e:itos elementos €rn cada colutmna (o f rla) ' Eg3ta
i-lfrmepc¡

inf ormación pltede nec*esitarse durante 1a el iminaciÓn '/ por

lo tanto cteber xncorFclrarse y sier sr'tf icientemente f le>rible
pára pernritir el pivoteo en cltnlc¡utieir nrden deseado'

Un esqLrema p6*ible qure sati*faga l(]s requtisrtos anteri'ores

sE L.rne e>li-ensión de Ia técnica de alrnacenamientc¡ de l ist-a
l igada. Este esqLrefna de mer¡oria asufne el prüceso de
elirninación de GaLrss en Ia base colurnna a colltmna.

Esite ÉsqLterTta consiste de das t¿rblas. La primera con tre:l

arreg los I
VALCIR (valmr nurnéri.co del elemento)
IFt.L-A ( índice tje f iIa)
F'RCIXIMU ( local izaci.Ón clel próximo elementcr dif erente de
cero ern la colutmna) -
 L49

La segurnda t¿rbla cornprende los sigt-.rientes tres arreglos:

DIAIS (valor nltmérico del elemento diagonal )

ICID ( ínclice de cclutmna indicador de direcciÓn )

NOCE (núrmerro de elernentms no diaqonales no cern)

Fara Ix matris A anterior. utsada previamente " r-rti I iu amos eI

esqLrefne agi:

[-ocal i=ación 7*

VALIlR -1 -1. -1 -t -1 -1
IFIL-A :: 3114:5
F F:rlX I l'l0 :0{JFuo s 1C,

I-r.¡cal i;¡aciún

DIAG 3. {:) ?. {l ?. (r 1.rl

ICIT¡ I 5 4 ¿r

NÜCE t I ¿- 1

Además cje la informac.ión alrnacenacla en estas dos t*blas. e5'

necesaricl conocer la dirección de la primera posicj.ón libre
en }a primera tab I a . Hs'Eo pltede hacerse en 1a práctica
Irsandr¡ ltna varíable entera qLtt ha sido denc¡tada arriba pmr
Lrn asterisco.

I i/.
it :,.,
I
L
 15Ü

üonsidere priiner-o l13s trees elementr:s almacenados en

lccatl i¡¡rcirln 1 cle la prirnera tablá. VALOR ( I ) nflE d¿t el

valor nl.lmér-t.cm de urn elementu no cet.c y no di.aganal ' If-ILA

( I ) entrega 1a posiciÉn de 1a 1',i.Le de este elemento. y

FRdXIHo ( r ) ncg mlrestra l.* direcciórr cle el Fttoxll"lti e'rlemento

t-lo diagonal díferente de üer-(f qLte aFar-Écs? Én 1a rnisrna
collrmna de la rnatri:, un valsr de cero €ln eEte a.rregla
i.ndica qlre no e¡:i.sten más elernentos diferentes de cero en

egá colt.tmrra "

cc¡ngirjer.e ahora log; tres elernentos almacenadoE en la

localisación n tle Ia segltnda tat¡1a. DIAG (m) entrega el
valcr nurnérico del elefnento diagonal en la c¡:lutmna m, ICID
(m) pr-esent.r 1a iscaliuación en 1a primera tabla de erl
primelr elernento no diagonal diferente de cerü en la colltmn.*
frlr V NüfjE im) nü5 mltestra el ndtmer* tr:taI de elernentos n':
di.agonaler,s y cJiferentes cle {:erc} en 1a colltmna m'

se cc]nclurye qi-re la fiefnc¡r-14 requterida pára este elsqt-lefná

parg¡ce mushs fnayor gu€l er¡ lns esquefnag;, anteriorers. pHro nÚ
et; estrictarnente ciertmr 7a qLle la informaciÓn alrnacenacla
mediantel este €?sqLtefna cr:ntj.ene toda 1a i.nfsrrnai:ión que es
nÉcegia¡ía parfl t.econEtgt-tir 1a matrir d*:sde el aI¡nacÉn de
memtrri;r y reali.zar el proceso de f actoriracióri en cLlalquier
secnencia derseada de elinrinación. Los das esqLtefnáEi previcrs
 I f'I
nocont.renenELtficienteinformat;icnEí5euti'li;ra
clrclenamiÉnto dinámico " y For cgnsi'gLliente necesi'tarán Ltna

memor-ia adi.cÍonaL

La gran ventaja de esta r.1 ltima tÉcnica E5, qLt€¡ 1639' nLtevog

elementos plteden colocarEe y Iss 63lernentos eXrgt-entes pt-lÉclen

borFarg,e ccln Lln¿r minima cantidacj de e:sl'LtErEo ' Ec¡nEidere

*hara crSrno pltede irnplemefitar-se erl el. cá5cl cle LIrIA matri r
almacenaCla y sltpclnqa clt.tÉ? Clc:s nl.levos elenrentOs aparec*)n r

ad.icic:náncloge a los at-r'eglos exist-enttrs:

Or+ = -t.t:l y O., = -?.t)

kl r:*lementa oer egta en 1a fi1.a 4 Y la columna l de la

matrit. F'rirne'ro localice eI rirltirno elernento nm cel.o en la
cnlutinna t. Usando ICID { 1) y medianter el pt-oceso descrito
yar este elemento se encurentr* en lurga.r rJos de }a prirrrera
tabla. El nLtevn elementn O+r eF almacenado tln tnI primer'
lurg*r libr-e de 1a pplfnepa tahl,a (1r-rgar 7l l/ el val63r de

tr'RClXIf40 (:t) Y NUCE ( 1) se niodif icarán ecordemente'

 1$r

fpnemog ent6nce5 las sigutientes modificaciones pare Ia'

nrimtra talr.[a I

FRCIX1]'tO (l) ='/

vAt-flR 17 ) = '-;:. O

IFILA ( 7} =Q

FRBX ImU (.'7 | =Q

NÜCE (T) :f

AdicionandÉ tarnbién eI elemento or+. laE tablas rnt:dificadag

gOn:

Lc¡cali.uacióri 9* I {:}

VALÜR -1 -1 -1 -1 -t -1 -i: -3
If:ILA 114141
=-1
FRTJX I HA ?7ós{J€i ()O 1{l {)

l-ocal i.zaci.ón

DIAG 3.{) 2. {) ?. rl 1.r-¡

TtrID t :J 4 6

NÜüE 3 I ? 7
 153

rjÍmi1¿rrmenter si Lln elernento es har-raclo der la liriitat 5Ll

lacalisaciÓn €?sitá dispanible párá Ltn nt.tev¡: elernentg ha 5€?r'

aiiecJido " y los vá.lore,E áFri:rpiadps en PRCIX If{ü y i{O{:E 5on

mc,d i. f i c¿rdog acürdernen te.

[it; e?vidente entonces qure Ia lcJcaI i:¡¿rciÓn de lfis ÉIernentos nc:

iaq¡onales y no cElro en los arregl(]s flo nRcesitan guardar

cl

relaci*n a sLl posición en 1a matrir correspondientei 1a

localisación e identificación está rleterminada solamente por
le5, dir*:ccioneg3 en los varicls arrerJlos incticcts. Los

elementc:s diagorrale's sinembarqo r si. det¡en acornc:dars€! en sLl

nrden natt.lráI '

2.7.4 l3rínci.pios de prograrnáción pára e1 ordenarniento Y

factori racit:n

Los, €rsqLtefnas de prclqrafnacÍón de di.spersión dirigida

discurt-iclms pLreden Lls¿t|.ge conj urntamente con cualqltier clsqlterna
de r:rdenarniento y cutalquti.e*r mÉtmdo de f actorizaci.én' E.s muy

r-1ti I describir lag princi¡:ios .involticraclos en 1a

pr$grarn.rción de éstos métodos con el f in de aprovechar la

estrurctltpa dispeirsa. Con lcr a./Llda de estog principins V las
técnicas ya vistas Lln ana 1i$ta competente fJLtede crear Lln
prclgrfrrna de eclterdo a 'sLtE n€?cesiclades particutlares l¡ e los
 I.S4

tipos de Problema"

Uno de lüs aspectos qLte mág consLtmen tiempo en I asi

solr-tciones de disper*ión cliriq¡ida es decidi¡- e1 orden rnáE

adecuacjo cle pivoteo. La- proqrantacid:n entonceg eg

Lr$r.rálmente Ltn cclmprornlso s¡ntre el tiempo y la memoria

rerqurerida.

Ucrnsidere 1a matrr= A sigutiente¡

[- :,.,: -1.(l -l . i) I
.l
I
I

| -t.., ?, (r
ft= I I

-' .', t. {) -1.rll

| -1. {l ,.r,1
I
L_ I

Llsando eI I eI proceso de simutlación es determinar

¡rs;qtrema I I

y grabar 1a gecurencia de ardenarnrento dinámico basada en srl

rrinin¡o nütrnero de elernentog no Cero en cutalqui'er colutnrna.
Ent-oncee. erlernás de lOs arreg los lra conccidoe;. se necesi ta
er:tra para la segutncla ta.h¡1a en eL cutal el. mrden
Lrn arr€?c3lo

de el imiriac.ión dutrante 1a simutlar:ióri sefi grava.dn. Est*

arreg Io purefle* I lamarse NÜRD ( secutenci.a nurmérica dEi
c:r-denamiento). L-as dos taLrlas ccln sl.ts siete arregli:s son
 155

las siguti.entes;

i-cca L i ¡ación

VALOR -1, -1 -1 -1 -t -1
T I-'I LA :1.51143
PRtrX II,IÜ '¿0{:}5C}{J El 91üó

Local iz¿rcrrln

DIAG :i.0 l. tj :: . r-r 1.(:)

ICID I :5 4 6

NüüE l: I ? I
NI]RI) ü Cr rJ ü

Para separar la mer¡or-ia de la rnatrie coefici.ente en fcrma

cornpacta del proc{35o de sirnul¿rción'/ tarnbién Fáre poder
redefinir Lag n|-tevas; matriceg coeficiente con 1a rnisma

estrurctltra de dispersión ' Erl; ventajoso f ormltlar eEtclg

erreglog3 en Ltna sLtbruttina separada en el programa principal.
como veremos rnás arlelante.

Et prirner pa5,o en el proc€rso de simutlación els enccJntrar la

primera crlutmnn pivotal. Hsto eE rnuy simple ya qLie 5e }ogra
burscandr¡ todes los elefientog de NOUE (ndtrnero de elementos rrcr
 13{}

cero en cacja colLirnne), pera cletectar el mínimo valor'. Fare

el ejernplol NocE (?} = L,/ NtJcF- (4) .l' indicando qLte ambas
t y 4 trenen cada Ltna sólamente Ltn elemeritr: nD
colurmn¿rg
diagonal V diferente de cercl . De ac¡uí qt.te cualqltiera cle
estag dos puredet ser la primera colLlfnna pivotal, Escogeremos
la cslltmna lJ e insertarnos en NORD (3) Hn entero I pnr ser la
r:rimera columna y fila a eliminar' t-a segunda tabla se
transforrna entmnces:

Localizaci.ón

ID I ATJ 5.0 3.rl :i.() 1.{)

ICID L _1 4 6

NCrCE 2 I ? I
rl (:) (J
NT]RI) J.

La pró:.tirna colutmna a esct:ger L.tsando ordenarniento dinámico

depende cjel número de ele¡nent-oe diferenteg de cerc! q1.le
e>listan en sacla cclurmna de I;r matria reducida desputés de qute

lecnlltmna?yfitaÍJhansicloelirninarJas"Egtenúmerodg".
erlementclg diferentes rler cF¡rcl pr-tede carnbiar rJebidct á qge
nlrevog elernentcrs trltprjen gentera¡-Ee dlrfante 1a redltcciÓn' El
prónirn6 paso e5 simutlar 1 trr-t]ces'o de reduccitln que
el

ocurriríe en la. elirnínaciÓn de Ia colt.tmna t',, Ia fila ?.

 Lh7

En este proceso de simutlaciÉ¡n los valores nutrnÉricos de IoE

elementc:s ncl son impsrtanteg, el criterio es gi tal eLementc¡
srxis.te. Entoncpg, el reqlrisito es €?ncontrar la FosiciÓn
s,t:lan¡errte de tc¡dos Los elemerntog diferentes de cercl .

Ant-erior a 1a primelra reducc.lún 1a estrltctutra di.sper*a de Ia

rnatriz es i

qi.
-..-..-

i
I

Hsta matriz tambiér'r fnt.testra la. columna y f i 1a a el irnrnarse

primern. Segrirn 1s el iminación rJe GaLtss " lGs' rnétodos de
facteri.¡acién ó 1a el iminaci.ón de disper€iión dirigida yél
descritos, eliminando 1á cslumna ll y la fila ? no se generán
nLrevcl€3 elementog V g(]lamente eI vaLor deL e'lemento I r.
cambi¿r,
 158

Tsrn€rmt:g entonces pare le estructr-tra de Ia nlleva matri¡

redutcida:

rl
t_ .l
I

x Y xl
I
X
lJ

Giracra* á qlte todcis lo:; eLementos nn diagorrales r-estantes

a la cr¡lt_rmna pivotal ty fila) sson c(*ro€, Iá prirneira
reducción ef ecta el valor del elemento t t- solamente ' üomo
exrste ya Lrn elernento diferente de trerc! en esta f;o5i.ciÓn"
DIA6 ( t ) I el primer paEi(] de redltccíÓn no irrtradutce ningütn
nt-revo elemento dif erente rle c:€tro '

Frimero ccr'¡siderandB Ia primera tabla'/ recordando qLle 1a

colurrnna ? f ue la prirnera crrllrmna pivotal. butscamns en IF IL.A.
,,/ vernclS qLre tndns los element-osi diferentes de cerr: en la
ila t puteden ser borr;rdag, E.n este ca$c, solarnente eltiste
.f

Lrn elemento. en el lr-tgar 1. F-n l;r pr-áctica lc:s valsres rro

se t¡rrr-ran 51no qLle 5€? SOtlreegCriben Clta¡dt: s+efr requtericlo'
Far-a ilr-rstrar lus principio* irrvnlutcr.*clns, I$s valnres qute
tian si.do rermr:vidog cfe 1a pri.mera tabla 5e mutestr¡r'n abajo'
t_a locali¡ac.ión 1 r*stá ahüra viicán** '1, Lrbre pat-e ácornodfrr
alg(rn nLrevo elementa qenerada. La posiciÓn I ibr"e ( con erL
 159

eg movida a 1. -f'amhién eI valor de It"lO ( 1' )

as,teriscu )
FRTJX

es ahclra 7 1a prirnera localiración pr-evia libre

"
dispr:nibIe, De restc todge lc:s valores de la prirnera tabla
nc: cambian.

Ahara corrgiclere la se,gutnda tabla. üomc¡ lo:; elernentos de la

.iila 3, v.g, l1-rqar I en la primera tabla, ha¡ sÍdo horrados"
eI índice ICID { 1) debe rnoclif j.carse*. derbe atrora. ref erir al
elernento d.ifere+nte ije cerr: rlr: 1a calutrnna .1 " v.g. el
trr'ó>limo
element-o almacenado en el lltgar ? de La pri.mera tabla. Esto
deber tleterrninárse ltsandc: el indice Én PROX IH0 t 1) I '/

F,ROXI]"|ü {l} = :. El valor de ICID (1) es3 ahora ?. 5i nü

hurbi*ran m¿ls elernentcs; en ia. r:olt-tmna I . P[{OX Il'l0 ( f ) tendría

Lrn cero al igutal qr-te ItiID ( f), Similarrnentai trcf,fnc) se

rJetecta Lln sóIo elemento diferente de cero borrado en la

colLtmna 1" el valor de Nt.lCE ( f ) debe tambiÉn modif icarEe a
NOCE (1) = 1"

Con estas morlif icacionesr realiradas prJr corltpt.ttaclor'" Las dfis

nLtevas tablas snn:

L..sc*. I i.:aciÉri 1* I 1ü

VALOft -1 -1 -.1 -1 -'1

I ¡. ILA :l; l. rt 4 :3

FTF{TI X I HN r)()5{){J 1{l

'in:ve;sld,J0 r u'r.r'(;tTi0 de 0rildlltr

t.trrii,r, i,,i,. "ir::t
 1d¡t-¡

Loi:eI i:acit)n I
4

DIA{3 .5. {-¡ ;?,{} :¿. {:} 1.rl

.J 4 é
ITID 3

NEi]E o l_ o

NüRD {) 1 {:r D

5e repite i:1 pr-ocescl párá cietermrnar las r¡róximas colutmna Y

fila á elimina.r, simLllancjm el Faso cle redutcci6n.
I n*pecci.onanclo en NÜEE , l as cr:l l. t'tmnas I o 4 pueden Éer la";

rlLrervos ¡:ivotes. llscogernos 1a I "

y 1a rnatr i ¡ redltcida
f orrnarla es ¡

---l
ri .--*- I 't
I

1 .l I

I
Eie convierte en I
X XI I
I

x xl
J

Usianclo I o:; Frinciptios comprlttacionales cle,:;crit'os Elara eI

pr¡.mf*r pasci cle rq+dutccrón, É:gta prirnera redr-tcción prodmce las

dclg nuevag tabLas siquientes:
 1ér

Local iu ación 4*

-l - r -1 -'i

3 1-43
t-l r)1rlf]

[-ocalÍuacíón

T}IAG .3. Ct t.o 2.O 1.{t

IüID ¿- f, 5 6

NOCE I I I 1

NüR¡) 3 I 0 ü

Repitiendo eI prücet;o y lreando esta ver la colltmna 3 cctrncl

columna pivotal r el tercsr pascl de reducción Eimulado

entrega r

[...scal i=ación óx lr")

VAL-OR -1 -1 -l
IFII*A 3l-4
F,RÜX I HO r)(1lCI
 r62

Localizacicln I

n I A{:¡ :\.r) :1"{l :;l . {l I ..j

IT]I D 3 .:.
5 {)

NOCts t I I ü

NÜRI) ? I 3 4

Err esta Crltima tabla. el vaior de NORD (4) puede Éer'

drrecternente 4" ye que Ia cglltrnna 4 gerá .La ltima colt-lmna r.1

ira se;leccic¡nar cornc¡ Lrná colurrnna pivotal. famt¡ien eI v*Lclr-

de ICID (4) es cero, Ia t:ltal rndÍ.ca qLte rlesputés de+ Ia
t-ercera redurccién no e>:ister¡ elementos diaqenales diferer,tee
de ce¡.o en Ia r:Olltrnna 4. Esto s{t cOnfirrna $lclr el valc¡r de*
NUCE {4) qLre €*5, tarnh.¡i.ár¡ cG?rü. Far-a la cuart¿r y tiltim¿i
reidlrcción no se pltede geneFar ningrln elemento di'fer-ente cJe

c€¡rp y afecta solarnente el valsr del elernento diagonal,.

las dos rll timas ta[:1as represent.rn
üon*;e:cLrssnternente 1a

sirrurlación completa dedutcj.endo IoE v"tloreg y posiciones de

I os, e I ernen tos3 f irra I es ,

En eI primer past¡ de reduccr.ón eolamente tres valclreg

necegitan calct.tlarse. Esto* €it:n:

l== = -.-.!....*.-. = ._1_

o== t
 1É1:5

lr= = -*-9t=-- = -.1

0== 3.

qir =

*t-
l+

üespuée del prlrnÉr' pase de reducción, la Br-imera rratrir de

l.a irqlrierda ,/ 1a rnatriz de coeficiente reducida son r

reEpectivárnente r

fil l2 i[--¡
ll:r
. -'1
--1
I

rll
l. I .itl I .l
I
I
I

Itll r
i

ll I

ttl
l. . I .l | -1 , ? -1
I

rll
itt
|
I
I
I

!- 1r . -r 1l
I

L- *.J L- I

-l

L..c:r; mrgmtrs FaEog pLteden r€eal iEarse crmputtacionalmente, asi :

pere NüRI} . 1a prrrnera cffiILLtrnna. a eliminarse ¿'s ,¿' s;iendo NLIRD

tt) igual a 1. Esto local I i.za et pivote rc:'qLteridor DIAIi (t) r

y asi|l o== Fe pHede cclmp|.l-rtar. De ItID (,J) t la lacal.i=*ción

de I prirner es I emen to no diagonal ciiferente de cero Fs

rJeterminada. la cutal es 3, y entonces r:¡ pnerde ahore

compntarse. De FRIIXIi"lü (:3)'.
( igual a ceror sÉ conclr-.tye que
 164

no eFíisten otras elementos fLtera de 1a diagonal y dif erents-"s

de cerffi gln la colLlmna:, ,/ qLte entonCes eI único elenento
af ectac3oen la matri¡ redutci.da está en 1¿r f i la L '/ coll.tmna
1r v.g. orr. Ahora el nLrevc¡ valr:r o',rr pllede computtarse'
DesplrÉs de 1a trrirnera reducción los valores almacenadOs en
las dos; tablas gon:

Loca I i:ación

VALOR -1 r). 5 -1
IFILA 3 I 4

FROX Il"ltl "l rJ Q 1r)4E}910

[-oca I i s¿rci.rtn

DIAG ?.5 o.5 ;t,c! 1.rl

ICID Í 3 5 {-l

NT]üE I I 1 {-)

tlüFD ¿. I .:r 4
 1ó5

Us;ancls Iús mismos principios de cálcutlo. para 1a segutnda'/

tercera redltccinnes respectivement-ei tenemos:

Loca I i. zacÍón I 1

Loca I i aación

VALüR r). 5 Cr.615

DIAG cr.4 (J. 5 O. á3S ri..575

Siimi larrnent-e ¡ €ft eI pasil cJe redurcción f inal r las tablas

def inítivasi Eon i

Loca.l i u aciɡr

VALÜR o.4 (r. 5 ü, ói¡5

IFIT-A 1 I 4

PROX IHÜ 70 (:) 1ü

 té6
Lc¡ca I i zación 4

DI AE {).4 f). 3 0.ót5 ?.6ó

IüII) ¿, .:i 5ü
NüCE 1 I to
NORI) ;¡ ,t l: 4

?.'t. 5 Fr in ci pios de prsgrarnación de matrices de

transf c¡rrnación

Como ya vimos, matrices de transformación elementales tor¡an

Ir-rgar durante 1a factorÍración Y É?n cada paso cJe
e I irni.nación . Estc: ocLtrre en cut¿rlqltier métods de

f actori¡ación á LtsaF r frLtnqLte Ios tipos cje matrices serán

di.f ererrtes Én cada mÉtoda. Es¡tas matricErF Eün 'f urrdamentales
en la scllutciórr r1irecta de ecltaciones .[ ineales y por el lo eI
pr$gramador det¡e¡ urtiliear-1as para 5er almacenadas+ Y
rnarripuladas en cáI clrlos t-an ef icientemente cornc sea posihl.e.

Cansidere prirnero lot; varios aspectos concernientes a Ia

memoria de e*;te tipo de rnatri¡. t.Jn pltnt-o irnportente es qlte
no es eÉenclat alrnacenaF toda la rnatri¡ sino Egla.mente lA
colurmna significativa o la fila significatÍva yet qlte lcrs

otroe; elementos cJiferentes de cero scrl diagonales y todoÉ3

el las igltales a 1., lsor lo tants ésta3s sÉfi asltmidns
 Lf',7

implícitamente.

eL casn de rnatrices coef icientes simátri.casi cascl generaL

Err

de las problemas, de redesi algLtnog, mé'Lodosr €ñ particular

t¡if actori¡ación r cre¡an rnatriceg qLter excepto For Ios
elernent-os diagonales, son Ia transpuesta de otra respectiva"
F(]r 10 tanta e5 sLrf iciente almacenar Ltna de el laf;.
GenBralment*p la rnatri: 'factor de la i¿qutierda es alrnacenada
en este métadmr cLryo5 elermerrtos diagonaLeg gon un(]s.

Cons.idere ahora Ia maniputlaciÓr'r de estas matpices a

almacenar. Generalmente consiste en Ltna mr-rl tipl icaciórr de

Lrn vector pclr la matriz de transformaciÓn pará prodr"rc'ir Ltn

nLlÉjvcl vectc¡r'. Hs¡te Flrocescl mr-tI tipl i.catori.o mediante otras

matrices de transfor-mación continüta sutcesivanente hasta

encontrar la respue*ta de1 vector final. Éste tipo de
rnr-rltiplicacioners putede l levar:;e a cabo muy simplemente ccln
el rnínirno número cJe operaciones aritméticas r cofno ya
vfa|"emclg.
 1ó.8

üonsidere 1a mltltiPlicaciÚn de ltn vector PGr ltne rnatri¡ de

transformaciÓn teniendo utna colurmna siqnif icatrva¡ así !

t. b' ¡
II
'I I

II
't I
I
I

b'I
I
I
I
I
I
I
,
b' lr

T¡b = b'

Los elementos del ve¡ctor b'son calcltlados de:

b, = b, .+ or*b.

Y br" = o.rr b.n

Fara valores cerc¡s de o¡ r.. los valc¡res de 5 ¡ gon L$s

mismos de b¡. ÉntonceE las ecuraciones anteriores netresitan
Llsiar solamente log, elementos diferentes de cero de Ia matrrz
de trangf orrnación. Es, ahora evidente cómo Lln mÉtodc] de
1Íeta l igada de rnemoria eÉ iníportante para esta
manipurlación. Comenzando Eln el primer elemento dif erente cle

cero el elemento apropiado det vectar es nrodif icado. La

lista l.igada indica el prÓximo s*Iemento, y eI prÚxirno
elemento apropiado de el vector es modificads. For 1o tanto
gr¡Iamente aqLlel lcls elernentot; del vector que 5erán
 1á9

rnodif icados son afectaclos' los mtrns perrnanecen iguales, ,!s

lo más importanter no Éon procesados en nlngLtná forme,

üonsidere ahora la rnr-rl tipl icación de Lrn vectEr pür Ltne

matri: de trangformacíún teniendo Ltnát fi 1a significativai

asgF r'

I b.¡ b,'l
I I
I I
\. I
I
I
¡ I
t I
I I
Ail----- 0ii -----Oin b,¡
l.'.
",,
I
I
I
I
I
I
b,, b'n

T¡tr = b'

En este caso' todos lcrs elernentos de b' tgcln los mÍsmos de b'
er:cepto For eI elernento 5..' calcltlado asi;
n
(1

t = j,
|
b' or¡ D.¡

't-1

ventajosa fsrmular- la parte de 1a informacÍón del e5quema

E5,

de li5,ta tigada €rn Ltna sltbrutina separada reÉolviendo las

ecuracianes pera 1a misma matri¡ coeficiente factorisada perú
con diferentes veictoreE en eI Iado derecho. Veamos el

siguiente eje*mplol
 L7(J

t-
I

I
l*'
I
3

t
-1
2
-L

*.1
¡
.l
I

I
I
Xr
X,¡
Ii!11r'l
r
l=ll
tl. I

I
I ? Xr;

j
l-. |
I

I
I
i
L_
-'l
I I

L,

iJ=ando 1r¡s €*lementar; diagcnals*s comc pivnte*s en e I crrderl ii.

1, '.:::i y 4r 1z el mÉtoda rjt: bif actor-ir¿rción. terremor¡ I ¿rs

si gr-riern ters gol uciones :

r -1 t*
tl .l
--1
.fi I
lx*
I
I
I
I
5
I I I
I
t

lx=
I
I
I
I
t1
i-"
I :1 .
t
Ir t- t?
l-

I t. I .1
I
I
I ^;r I I I
I
I I I
1 .I
J
I
lx=
L- J
I I
L_ _J
R( a) R(:¡)
r'- '-1
[-t l1
f
I
'l I
I I
I
I I
.l
i¡r
!

I
I I
I I

I s
I
I
t. I
I .l I

I
I
€} I

I
I
BI I

I
t. I I 3l I
L-. .J
R(:3' (4)
 L"/ L

--1
i* T--
It I
I | --' I
I
I
i5
t
I
I I
I t.
I
I
I
I
I
.! I
li:
I
I
I
I

B is
I
I
I
I
.3 g
I

I
L- I

L(:5) L(iü)

f- -t r-- --1
l1
I
I
t
'l
lri
¡l t-Iq
I i
I

t
t
'l I
q
3
I
t
I
.l ¡
t,.i
:5 I
I

I I
I 1á
1l I

Li- _l
I
I

L_' J
L( a ) x

La rnisina secutenc.ia dE mlrl tipl icaclones putede real.izarEe

compurtact clna l men te urs¿rndn e l dr l tirno get de tab l as dade en 1a

secciÉn anterÍorr como srgue:

Ctrns.i.cJere la nrutltiplicacj.Ón de L(r'b.

De NURD, eI primer elemento d.iagonal escogido cofrro pivote
f ure:

O:¡= = t-l .$

b'= = O==b=
 L'77.

(r.5 * t
ü.s

üe ICID , el prirrer elernento nc] diaqorial y no cero. egtá

(? )

en eI I.r-rgar o locali¡ación 15 de Ia primera tabla, '/ VAL..OR

i3) = tJ.5, De IFTILA {3) ! este eLemento está en la f iIa l,
v.g," Éste es el elernentm ora.

H.t = br+ o".bo

1+ (r).5 * r)
= f ."J

De FROXIf'ltl (3), vemos qLte ntr hay más elernentos futera de l'¿t

diagonal " ,/ entoncÉs lcag' otros valoresi de b permanecÉn

ina I terados .

Egt,af3 seri.es de pas(]s rnl-lestran qLle!

r-
lr
I
ó.5
--1
I
I
r1-l
I
T.=l
1l
I I
I I
I
I
t. r)"5 .l r).51
l=
I I
L(.l)b= I

't 1l
I I
t I
t.
I
I ll I
I
I
I
L
rlJ I I
I
I
I
L-
1l
I
rl
_J
I

-J
 1'7-q

,i.*te prclceso puede cc¡ntinr-ta¡se en e.[ r¡rrjen i.ndicado por NÜRD

hesta qute las rnatr.ices rJeI lado izqr-ri*rdo sean ltearjas. estr:
eg L(.r) ! L(2t i L(;¡)|l L..t, L.og migmoE príncipios 5e aplicán
para los factores R. pero como estos factores ncl eÉtán
alrnacensdos enplicitamente qurizá 5;ee ürtil índicar los
c;rfnbios €*n su indexads. Es necesari.o fnLlltiplicar po}F R(4t
ya qLte F5 La matriu Llnitaria.

Fare ilustrar esto$ puntns, hagase la multiplicación del

L(4) L(:s) L(2) L( ¡. rb = b'

Y considere la rnutl titrl i*aciÓn cf e:

R (.:n r b' = btt

L.r: cual en f orma metrici;rl es !

r-, t- ?
1

lr. I
I ;_
5 s
I
I

_1_ !_
t 2

1i I _1,.J
B 5
I
I _1."á
.T
ls
1l I
?j

R(ii) b' b"

 L74

EEte próceEtr puecle reali¡arse comFutacir'¡nalmente asi¡

Los elementos a considerar s,on aqLtcrllos rndexados por NOftD

(3). De ICID {3) I el prirnero de estos elernentoe está dado
en el lugar- 5 de Ia primera table. ,! de FRüXIHÜ (5)'
scllamente existe Lln elemento no diagonal y cliferente de
cer{f,, L-a ún.ica dlferencia s.ignificatíva en Ia

i.nterpretación de l* pcsicíón cle este elernento es aqLtella en

!a qure IFILA (5) - 4, qLle indica qlte el elernento está en i.a

cuarta colLtfnna en lltgar de la cltarta f i. 1a " O sear qLte el

elemento en cltestión Fs o=.+ y no o*:r¡. Entmncesn de VALSR
(5),

u:s+ = O.6?5
y H's = d;s;s U* + lr*+ b+

Ahora tod¡:s los eleme3ntcrs diagonale's de le=; metrices del

larlo derecho sorr Ltnosr

H,= li= + o¡¡+ 5.

I + ( {1.6?5 * $.3f,3:5)
4.I3T3 = _Uf-
-?.

Este proceso contindta en el orden i.nversn segtrn NÍIRD hasta

qLre todas las matrices del lado derecho seán Ltsadás Y

 r 7:i

ohtener- f inalmente e¡1 vector solutciÓn '

Hn este purrrtm Élfi evirjente que exÍsten distintos asflect'Es

irrvcllr-tcradng en el anáIisis cte redes grandes dispers'rg: LaÉ3
ecuraciones describiencJo erl problerna, lá selcute*nci¡r de
eliminaciórr eetablecida, 1a rnatri¡ coeficiente factnri'zacla
t f inalmente" el probleina nl-lÍtericamente reguelto' Ést$s
"/

cuatro as¡:ectos purec!en ser inclr-tidas en Ltn prográma cnmpleto

o trataclos '/ programadss ccrnro sutbrltti.nas seP€xrades' La
separación de estos aspectos en distintas subrutinas
of recería una ventaja rnuy importante'
 PIATRICES DE ESFECIAL INTERES EN EL

ANALISI5 DÉ REDE5

3.1 INTRODUCEION

L.as matricee de especiat i.nterÉs en el anáIisis de redes

Eolr !la rnatri¡ admitancia buts ( Y-br-rs I r 1a impedancia blts
(Z-bLts) I La jacobiana, la trít¡rida, y la matrie jacobiana
desac6plada. La fer-maciún der Ia rnatrir jacobiana estará
relaci.onacla a 1a matri; Y--br.tg.

La matrir Y-bt-ts, purede ser f áci Imente establecida '

Y ELt
nrodificación para la adi.ción ó extracción de una li.nea de la
recJ es ErxtrernatJamer¡te simple. Sinembargo. Fare re¿lltcir el
c}rden de esta matri r requtiere una reducción de F"ron pará
cacja Fje remavi.do. La matri? cclntiene'elementog nG¡ ceros
f uera de Ia diaqo¡al solarnente pára aqLtel Iog b¡tses
clirectamente conectados. Esto revela cuáles buses están
conectaclcls FlcJr elementus en lar red. l-a mAtril c$ntiene así
Llná descripciún cofnpleta de la red interconectada. l.*a

inforrnación nutmÉrica gLt€3 ésita cantiene es' rnuy dispe*rsa. en

las redes rJe siistemas de potenc.ia:, Ya oHF" en promedio'

 L-/7

exister¡ tres Iineas cnnectadas a Ltn scl]'o bLis'

En centraste. la matri.¡ Z na se nrocjifica fáciLrnente ptrr la

adic.ion (ó remscrÉrr) dei ltna linea en la' red' Esto se debe
a qLle Etn eI ensarnbLe ó medificacic¡n de la matris sie regLtlere
Lrna rectutcción cJe F:.r-on FaFa la adiciÓn de cacla 1i'nea c'e
cierre de? camino o lare. L.a rerjutcción de el orden de la
matri¡ Z es fnuy 51fnp1e deb¡id6 a qLt6l cualqutier e.le gt-le nrf, Éea
de nlrestrc rnterÉs pltede el irninarse simplernente mediante la
colocaciérr de ceros en dicho eje' Esta matril no dicsl nada
acHlrca de cómo eSta i.n terConectada nutestra F€d . '! está
cürnp I etarnen te I l ena .

3,t L.A I'IATRIZ Y--buts

For ley de l:.irchl-iof f . 1a corrj.ente de inyeccÍón en el buts I

de Ltna red es igutal a la s;r.lfna de lae corrientes f lt-tyendo
tracia af ltera de I bus en L atl I ine,as conectadas á é I .

Aslrrriendo qlre el volta.je rJel burs pará cada Ltncl Es ccnscido

cffn resf¡ecto al blts referencia, la corri.ente inyectarla pltede
caiclrlarse pclr!

v (E. - E.¡) Y¡.¡ = Er-I] Yr¡ - I E¡Y".¡

It = l¡
rfr ,f, rf.
 L'78

Donde E3 es el voltaje en el bus j con respecto al blts cie

refel-encia V Yr¡ es la admi tancia

"
cle¡l elernenta tle
transmisión entre el br-rg L '/ el buts j '

üomo i va desdelanParaLtn red cJe n butgs:sr forrnamos Ltn

conj un to clg n ect-tac]-clnes. Estas ecltacinnes Pueden

escri bi rse en forma matricial

f vru ftz fu
w lr
l
I r" )"' Y't I2
l:::
fn, f.vz
I
fro¡ lt |:l I;
L

Donde:

Yxr. = f, Y*r :/ Yxr = -- Yxr

La relación entre 1a red Y la rnatri¡ Y purede i. 1t-tstrarse

-j7.0

-i 1.0
 l.7c

F-n e$te sist-ema radio de X a R *:s gra¡de (mayor qlt*: l't'r} I

{i+I

pg*r.fnxtienrlo qute l* parte real sea ignarada. El eje l'; de la

rnatrir puede obtenerse cortocircutitancla todog las butses
€?xceptr3 el bus h. erplitrandfi Ltrl voltaje de 1..0 pti entre el
bus l.; y la referencÍa, y micli.endc¡ le corriente en las lineas
de la recta. Consiclere el caso derl buts l. de Ia f igura
siguiente I
Iírrnlr¿ Bus 4
i-)- Ic-t

-/0.8

-i4.0

Referenc rq

La csrric?nte que entra a Lrn blts es def inida csmcr positiva.

Iar = (E¡, - Et ) Y.ra -EtYra Forqute Ea =c)

Ia.r. = -Er (- j4.r)) .ja.a Üutando Er = l-.o
I¿r = j 5.(l
I.rr. = jC),€l

I f rren te I¡.-.¡ + Ir-a * t"

-4

-jü.8 - j4.() - j5.r) = j?,8

I
3
f.
i.
 Iti",

Ei pr-in'er e.le de la rratril ss etntnnces

i---i9.8 j4'tl j5.ol

Lc¡s elementes de cada eje cje 1a matriE corresponden e la

cr:ncJición de todos los, bursesr eHceptA Llt-to¡ cortoCircuitados'
[_ae derf inicic¡nes de¡ los elementog dei la rnatriz 5rfn:

tarJa elementc: dia;.¡onal es l.a sltma de las admitancias

ccir¡ectadas, al br-ts corresponcliente al eje de La matri¡.

Cada elernento no diaqgnal es igual a la admrtancra entre

los buses correspclndient* a. lx frla v cü l Ltfnná r ccf,f'l signo
mencls.

Con estas cJel'iniciones y Llna li.st;r rJe da.tss del log el.errentas
de¡ Ie re*60 la metrÍ;r pltede ensatnblarse fáci. Imernte*. l'lt-.ty a

menLlclrr 1a inatrir no está ensambladar pEFo coÍlc¡ cada ecuaciérr

rje el g,et E5, reqlterida, 5{: f crma de 1¿r I ista de dat-11s de
Linea oriqinal. lo cutal cla l.os dtre; bu:;es a las f inales de la
l inee y sLt admitcrficiá.

L..asn F?cLt;rciones' de el 5et no son independientes. y Ist

rnatris de 1a ecltaciÓn es singltlar. i recutÉrrJese de lA

cJef iniciún en el capítlrLo i i , De aquí. qr-te la ecutaciÓn

 18r

correspclndienteE al bLts ref erenci.a es omitida y la rnatriz Y

bus en utn gistema de n bLrseg contiene sol.amente n I ejes'

3.3 L-A HATRI Z Z-bt-tsi

t.Jrr bltqi de Ltna red es t;e I ec:cionado p¡imern cofn6 Ia

ref erencia. Eg5'te butg no está inclltÍdo en la. matrir" pÚrque

gn incllrsi.ón calrsaría qute 1a matriz f uera 5i¡.nq|.tlar! ct]mcl yá
v€.rernns. Cada e.je de la matris Z-butg eE Lln *rbal abierto
equrivalente de 1a Fed, despltÉs de que todag las mal Ias '/
cj.rcuritos pará1e1ns; han s'idc: eI i.mirrarJos por cmnversiones
slrcegi.vfr:; del ta-estrel 1a. Un elemento diaqonal es la
irn¡:eclancia prapia ( théveni.n ) entre e1 buts correspondiente
al ej e y el blrs ref erenci¿r. Los elernentos n(] diagonales son
las impedancj.as rnútlras cle lc¡s otros butses. Las irnpedancias
mCrturas gon lc¡s trutnt-ns de utnión de las ramaEi que conectan los

otrog b1tges a la i.mpedanci.a propia de1 árbnl abierto

eqlriva I en te .

Lo:i elemerrtos de 1a matrir cleL eje l':. plteden ÉElten6¡rs€l

circnlando utna corriente de 1.O pLt entre eI blts U"'/ eI bt-tg
de referencia. L.ug elementc¡g de 1a matril son los voltajes
cle* Ios b¡tseg metlidos con respect-o a la referencia' qLte

r-e'sLrlta¡r der este flutjo de cmrri.ente.

 142

Luego Zr.x = Ex V Z** = E¡

Este no eF Ltn método Prácticó de clbtener los elerrnentos cJe

este rnatrir r FEFo i Iurstrará la relación entre los elementt:s
de la matri¡ v la rcld.

Ejemplo:
Cr:nsidere Ia red de la 'f .igltra

Lre elernentos de 1a matri: rJe esta red pueden calrularee

reefnp I az;rncJo Primerm 1a delta de la rÍanE derecha pÉr Ltne

estrel la eqlrivalente " y conectándola a Ia recl . así ¡

0.084
 183

Llrego convertirnos la de I ta de I bus 1" bt-ts 2 y referencia á

su estrel 1a eqr-rivalentel

La impedancia propia del buts I es (). oc)7BI{) + O. Ü{)1149 =

(1. r:x:)gr:té9 ! y 1e irnperJanci.a propiar del butt3 ? es {). C,rll?49 +

O. ü1f-)491 = Cr. ü11741). La irnpedancia niCttua Z tz = (:t. üt)1'J4?.

La impedancia rndttua Zr;s e*i obteriicla pt1r Ltn divisor de

voltaje de Er.

Ers = {J. (:x:t{)5?€} * Er = ü.rJCt{)491.6 = Zt'

r:r.0(:)fls¡:¡8 + (r. (¡12887 + r). (!84

0.012887
 1t34

Obtener la matriz Z de lrna recl medi-antel este método resutlta

en Lrna tarea por dernás tediasa. Ile todos modos el sisterna
purede enearnblarse por Lrna línea a Ia vez; luegor ccfno cada
linea es frdicio¡eda a lea red, 1a rnatri¡ es rnodif icadar FE¡á
cümpgnÉar ptrr la linea qlte ha sido aiiadida. Aei. es cofno se
cnnstitutye entnnceg, el algoritrno de constrltcciÓn de 1a

matrir Z-bt.ts.

Debeanotarse qute La irnpeclarrcia propia del bug de referencia

con respecto al burs de referencia eÉ ceror y todas las
impedancias rndrturas del L¡urs de referencia scln tambián €eFcl .
El eje de la rnatril del blrs referencia es entonces ltna fila
y Lrna cr¡lurmna de cerclÍ;' Si erste eje eg, inclurido en la
ma,trig, será singular. La rn¿rtrir.z de Ltn sigtema de n bl-tseE

inclurye n I e-ies. debido a qlte el €?je de referencia no

será a1li inclutidc¡. Cada ej e eE Ltn árboi abierto
eqr-ti.valente cje eL sistema e'rrtre eI. bt-ts ctrrre5'Fondiente aL

e¡je y eI hus de ref erenciá! entregando n '- I equivalentes.

Cor¡clr-tírncs qute las matrices Y-buts'/ Z-buts de utn sistema de

n blrses son entonces n 1 por n L '/ singutlareg'
 1fi5

;T.3.1 Algoritn¡o cje construtcción de Ler rnatriz Z

Calclrlar IaE irnpedancias de una matr-ir de Ltn sigterna de

tranemiEión cornpletarnente ensamblaclo sería completamente
irnpos.ible¡ g3in embargor És posible, pc¡r medios simplers
mocJificando la matrj.r Z de Ltn sisterna por la adíción de utna
Sola I inea a ta veE. De nsta manera el Éi.Eterna pLteiJe
engambláFE,e cclfnenzando con Lln Eistema de utna scla línea de
transmisión y adicionándole Ltna r'¡Lleva Iínea cada t*=" '/
modif icando la matri.s Fért.a carla arJici.ón. hasta e'nsarnblar
torlo e¡l siste¡na comPleto.

-.f..3,1.1 Freparaciún de datos

U¡ diagrama de un sistema es dibr-rjado. LoE putntos de uniÉn'

donde 2 ó rnás I íneag de transmisión r trangf orfnadore5' I o

impe,JanrÍas cle genEradt]Fc son cclnectadosr '|3on asignadosi c{]rnc

Lrn hug3 dtnica é nod¡3r con Ltn n(tmero. EI nútme¡c¡ cero eF

reservado Fat-Ét el butsi cle re'ferencia. Hn estucliog de corto
circurito el bLts de referencia 5e selecci.trna comü el punto
*omdtn detrás de todas las r-eactancias de los generadores.
( En etro:i estLtdios el bus ge ref el¡encia putede sgtr'
seleccionado como tierr-a, ut cltro buts deI sistema. )
 1É6

Los datos Eon preparados deEcribiendo cadcr elemento clel

sistefta de transmisiÚn por lc¡g, dos htises en LÜe f inaleg de
1a L inea , y sLt impedancia ' Hn Ltna bage cornún por Ltn idád '
Estg¡g datos scln seguiclos por- Llna farrra al.gori.tmicar cclrl Lln
orden aleatnrro c Ltna secLtencia tal q¡.le cada 1ínea
s,elecc j.onarJ;r de 1a I ista cJe datos par-a prclcesar puteda selr'

conectada aI sisterna qlte está s.iendo ensamblado. La prxrnera

linea en la lista debe ser Ltna qLte parta de la refererrcia a
a I grhn btts de I sistema para en tregar Lln camino a 1a
referencia pór la corriente inyectada en cutalqltier nodo de
Ia red a engarnhrlar.

Cada linea Eeleccionada de la lista putede caer dentro de

estas tre.?s categorías:

tjna linea desrje la rerferencia a Ltn nLlevtr husi

Une linea radiel desde r-tn blts e>listente a Lln nltevo bt-tE¡

LJr

Una I ínea entre rJos bt-tses ya Ínc lltidos en el sigtema

(llamada r,rna Iinea de cierre de camino o rnal Ia o lazo),

T'res rlrtinas difererrtes 5€t n€'cesitan para modificar la

rnatriz pür la arjición rJe una l inea al sietem*r rlependiendo
 l87
del tipo de l* linea e ser ai\adida.

3.3.1,! Urra línea desde Ia ref erenci.a a ttn nLtevt] Elt-tg

tsste tifro cte Iínea en Lrn si.stenra se pltede a'ncc¡ntrár tenlen{lE

a Lln BLtsi como la refs*r+*ncía y el ctrr: but$ como utn butg nltevo.
La i.nyecciün de col-rie*nte Fn et nl.levo bute h. no producirá
vr¡ltaje en cualqlti.era de Los putntos de uniún cJe los árboles
abiert-os ya clesarrolladms, ya qLle no hay corriente f luyenda
€3r'r clralqui*r parte de la red q¡-te hasta ahsra $e ha7á

engamb I ada . Veamc¡s 1a f iqut-a :

,fÍÍ,,,or,

La corriente inyectacla a cltalqLlr.era de lns otros trutses del

sistema nü produrcirá vi:ltaje en el buts l'., debido a qLte no
fray corpi.€nte f l.uyendo t*n }a nuteva linea. De alli que le='

irnpedan ci.as müttgas de I buts H son todas iguta I es a c€¡ro .

Tcdos los elernentos na diaqsnales de Ia nlteva fila y colt-tr¡na

cor-r€¡spondienteg al blts h sr:n entonce*s c€?ros.

 1El8

2".* = Z¡r... = {t:r r + k

La írnpedancia mrltua del nt-tÉvo bi-ts Fi e$ l.a impedancia de Ia

t ín€ra clt-te egtá siendo afiadida al si.Etc¡nra. El elernento

d iagona I de I nutevo e.j e trorreglponde entonces para eI nLtevo

butg l,;.. e Z*r. = Ztlnr¡ ¡¡¡+'

Fara Ia adición de utna Iínea radial de'sde la referencia e un

nLrevo br-rs se aLrrnenta la matriz pc]r una fila y ccllLtmna de

ce|F{]s y el elemento iagonat de este nLtevo eje 5erá Ia

cl

irnpeclancia cle Ie nueva linera. HI t¡t-ts nulmerm k es añadido a

Ia tista de¡ butses, cllte farmar"án el sisteffa'

::i..:T. L .5 Acl icién de una I ínea racl ia I a un nl-tevo bLts

Una linea radial desde utn blts de un siEtema a un nLtevo buts

es identificada como aqt.teila que une un burs ya incluitlo err

el sir¡tema Y otro nLlevo' La inyección de una corriente

urnitaria en **1 bt-tg q produtcr* vol taj eg, en todos Ios otro5
burses cleI sistema qile son idénticoE a log voItajes que
produrciría si fuera inyectar3a en el blts p'

wq4?

flu¿va lírrca
 T.B?

Zo*. = Zr*, k+ q

Z¡..¡=Zx.'osk+C

La impe*dancia propia del buts q es igual a la impedancia

propia det bus p más la irnpedancra de la I ínea qt-te egtá
eiendo aFíadida

Zo* = Zr,' * ZrJ.--- FGI

Un nurervo eje se aiiade a la matriz" correspcsndiente aI nLtevo

bur* q ¡ loE elementos nt] di.agonales de 1a nLleva f i la '/
colurnna gion los n¡ismos de I'a fila'./ cr¡Iurnna cJel buts p del

sistc*ma e¡>lisit€,nte, E1 elementc: cliaganal es obtenido de 1a

ect-tación anterior, 7 t*l bt-ts Cl eE añadido a I ista de bt-lses

del s;is,t€*rna.

3. S. 1.4 Adición de utna línea qlte cierra un caminglr o lazn

Una línea qLre completa Lrna rnálla o lazo es identificada cclrno

aquella dos bu:;es qLle Ya han s,idc: incluridos ein la

qLtEl Llncl

lista y por lo tanto ya han sido ensambladog al sistema. La

adiciÉn de urna li.nea qure cierrre un carnino no añade Ltn nLlevÜ
nodo al sigt-emár qLle entregaría Ltn nLtevo eje a la rnatrrr "
$in embargc, existe Llna nLteva inqr-rieturcl: la respute*ta del

Llnir.rrsic;ü ,.: írl.tt tlt Ciljr;'

ryri1 Fi:.tl
I
 19(]

s;istema a I¿r introdutcción de Ltna corriente unitarra en 1a

rna I la creada por I a ad i ción de esta nr-.teve I ínea '

La inye¡Cci.ó¡ de Lrná cprFiente unitaria en el burs p ocasiona

voltajeg en cada bus clel sisterüa q¡.te son id*nti.cos a los3
elementoe de la m¿itri.l Z de la colutmna p der clicha rnatriz.
übserve 1a s.iqurente f iqura ¡

t a

q p Eno=Zno

Eno= Zno n
¡t

f
n
t
Bus g

rc =-I'o

Io=L.O

L-a i¡yección de Ltna corrientsr unidad en eI bus cl de -1.f1

produrce voltajes en los butses del sisterna iguales á lcis
elementc¡s de la rnatriz Z en 5Lt cOlLlmna Q I flero de :;lgnü
contrario, Una cc¡rriente de mal la utnitaria putede ser Ir =

1 . $:, €l Iq = -1 . ü. actLtando en cclnci.erto. L-os v{]l taj es qute

aparecen en los buses :;on las diferencias entre les colutmnas

de I os bu:;es p ,/ q
 191

0
Zrt Zn zro 2,, zrn 0

Zz, Z, zro Zzq zrn

io
Zt, Zt, zto zto Ztn

l':: ':l
Iq

i^, i^, ¿^o ¿,, ;,,

ó

Un e-ie de mal la, o laaor €5 añadido a la matriz Z de 1a

ecuación matricial anterior" tel guel

Zi-r--- = Zre - Ztq¡ i + Iazo

Zt-to--t = Zc* Zor, i + Ia=o

El elemento rjiaqonal de este eje de rnal la sÉ: hal la a5í:

üonsidere árboles abiertos eqltivalent-es de los buses

l63s doe
p y q. Los puntos de ltni.Én en las impedancias propias de
todc:s los bt-rseg excepto F Y q aútn no scrn de interés
solamente* el putnto de utni.ón del buts q al buts p equivalentet
,/ eI pr-rnto de Ltnión del buts p al buts q eqltivalenter Eñ la
siglriente figura:
 19?

zoo'z*

zro- z*

f=1.0

Él válor de 7',o = Z.o, Eon la corriente anyectada hacia

adentro del bus p ,/ hacia af utere derl blts q habrá Ltna
diferencia de potencial de cero entre eI puntn q en le
impedanci.a p y el punto p en la r.mpedancia q. Estos dos
plrntos pneden enlararse sin carnbio en la respuresta de Ia red
a estas ccrrientes i.nyectadas. Véase la f igura si.guientel

rp = 1'o
 19.5

Elvültajequedebeintroducirgeenlamalla.creacloporla
aci icióri de 1a nLteva I ínea p-q para Ltna ccrriente utni'taria
f Iuryendor É5tá rJado por 1a sr.glrient-e ecuaci.Ón¡ el elernPnto
cliagonal del nuevo eje eg igutal al

Z:r-.o-ar-o 3 Zc- + Za. - SZt.¡ + Z:-¡.ntt FGI

Debido a qLt€f la matri = Z contiene árboles abiertos

eqLrivalssnf.esr eI e.je de Ia mal ta debe ser elirnlnado mediante
redlrcción de Kron. Cada elemento nuevo de I'a matri¡ eg

rnodificado mediante 1a eclración )ra conocide sigutiente:

7'¡-l = 7tl Zt-t^-oZt¡-o-J /7r--o* t-!É

Y el eje del laro eE borrado ds, la matrir.

 194

un caso especi.al de li.neias de srerre ÜcLtrre cutando ltna 1ínea

e5 añad irja deEde Lrn blts ex igten te p a 1a ref et-encia '
Reclrerrle c{Lre el eje referencia no está inr:luido en 1a
matr-tz ! perct qure todog las elernentos de dicho eje Son cerc¡s'
Aqurí p ers el burg del gisterna y q E5 el blrs referencia cero.
La ecltación se reclutce entonces al

Z¡.-mrt r¡ Zrer i+ I azo

Z-¡t r--i Zr¡r r i+ l aro

Debido a que Z.".=21¡¡=f-t.

La otra ecuacrÉn ge Feclltc€t á:

Zt--o-l¡xo E 7a, + Z----t l{n'r o¡t

Ilebido á gue Z..¡ = Zc,o = r::' ! Z,'. = Z¡rc, = Ct¡

los elernentos flrera de la diagonal de el nLtevo eje de lazo
g36n i.gLtales, a los correspondientes al eje F¡r y los elefl¡entc:t;

diagonales están dadog por Ia rjtttima ecl-taciÓn. Este n1-tevo

nje cle 1a¡o sEr elimina tamt¡iÉn mediante la red¡-tcción de
lr"ron , siendo borraclo.
 193

3.:3 LA I'IA'TRIZ HIBRIDA

Una rnatriz hibrida esi Ltna matriz Y o 7 en la cural ltno o mági

ej es han si.do st-t j etms a Ltn¿1 oPeración de Pivoteo de e I

algori.tmo de inversión cle Shipley. tonsidere lat matriz Y

oz

f^'i ^='l
'L^l
-i
Utiliramos la operaci.ón de pivote ttsando A+ cclfno el pivote'
La transf ormación A'+ = A.-t ocasionará qLte el elemento
admitancia se vltelva Lrna irnpedarrcia o viceversa.

rl 2 A,:¡A+-t será adirnensional

A'¡¡ - A:¡Ao-r será adimensional
Ftt- Ar - AaA+-rA;*r qLlÉ retendrá la rnisma climensión de Ar'

DespurÉs de une c: mág operacinnes de pivoteoo }a rnatril g'€l

convierte en Lrn híbrido, y n(] es ya una imperJancia p|-tlFa o
Lrna admitanci,a pLtre. EI pivoteo putede tornar lutgar en
curalr?r-rier secLtencia segr.irn requtiera É1 problema. sabiendo que
e'l elernents pivote nunca putede ser cero ' DesplrÉs de
 L9b

diversas oPeraciones de pivot-err:, lá identificaciÓn de la

naturaleza de cada elemento Puede ser claramente

considerada.

Ejemplcr: SutPonga qute en la red de la figura:

Iftcal c
+

Referenctq

Er r Ez r E:¡ r e 14 gon conÉcidos t¡ áE necesita encontrar Irr

Ir, Isr', E+- La matriu Y de la figlrra es Ltsada tron loe
valol-es ¡1 = r_rr agí!

rJ j9.s {) ,j 4. t) {) + j{) ü + i5.ol

I
I
rJ + .j r|. r-) ü i r3.9 {) + j3.rl 0 + _ió.rl !
l*
c) +.jf-! () + J:r . ct ar j11.Ct {:} + i7,a
{) + j5.rl {) + j6.tl {_¡ j'7 .t_t () .- i rs.:JI
 L97

rI
r
--1
r .0ü81 ¿.r.s-rul] I, I
tl t-
=llI
I . r_)1:.:i7 / t::l;!l5 t

1 ,01H5 /*J.-?.*bl.- I I* |

E+ |L-r
,..
=rp".p I

Pivoteando el elerne*nto Vr,+ i.nvertirg'mos parciaLmente L¿t

matris Y y aei c,ambi.arnos eI valor desccnc¡ciclo E¡ y el valor
de L*. DesPutÉs de la aperacrÓn cle pivotea l.a ecutas:ión de* Ia
matri r Ets !

;; -.is.4rrr. 0 + j5.6áó7 (:) + j1.9444 *tt.2778 + ,;;l

I
rJ + j3.61167 ü j :11 .9+0 r) + ¡$.$:5::i3 *ü.33;53 .+ jr)l I

I'l
{-)+ jf .9444 {) + j 5.3.333 {l - .i 8. t778 -c¡.3889 * .¡oi
I
{l.37FE + j{l r1.3.53f, + jü rl , 38t19 + _i O fJ + .j.rj 55á |
J

-t
1. {)oB1 ¿-qr-É:ff"] f- Ir I

I
1"c'1:i7 /*..LJ.tüg. I
Ic
1 . clr.És
l'= In¡
¿..J!ejÉ".7- |
I

r. r¿-Í.ág I
I
E¿
J
I
-J

LoE velcrres de las var Í ab l es se obt i.er'¡en en tc¡n trÉls

rnul tipl icando. ( l.Jsted purede hacer 1a rnul tiPI icación

rnatricial medi.ant* el prt:grarna en F'ascal, cclrnplernento del
 l9A

tuttsrial, en el rnenút de {:{rrnplmJms v submenúl tje

murltiplicacién. para verificer el Fesl-tltado' Et; de anotar
aquri qure los valgres deben inqresars:{i en form"r r-e¡;t*rngltiar'
y púr I o tan to hay qLte hacr*r I e convergiÓn po l ar-
rectanqltlar. i

Ir rJ. 4flQ4/--ÉY._?_3. 7.{15 * 1{)-5 - j{).4

Ia 1).4ss'7 i --E-eLJ!_{t {).(j$6?"7 i{l,4f.l:}
I* ü.59c'7 z_:Zl,L-tÍf (:) . ?C)51rJg - -i
tL. 5dr::i5.:i.3

E,r 1 . (184e l.fJ..r.É5.L1. t , r:84Fj;i + .-i {) " {lt:J:i:;lÜ

.5.4 t..A I'IAT'RIZ JAüÜFIANA

!i,Rbemos qLl€¡ 1;. solurción de1. vol taj e de una red pued*

calculart;e utsando I;t rnatrir jacr:biana si'guiente:

--'l
i-o'.l =
D' t ati ?P i ¿E1t [-ott
I

ln' t )r¡ da t AE iL_ot

L""J L- J
II

Doncie Anr v AU $cln l.as cc:rreccifineE neceEar-ias para Ias

inyecciones de* potencia active,'/ reactiv;r en ÉrL br-rs pará Ias

cantirladr:s cle potencras activa y reactiva cleseadas. L-a's

derivadas F¡arciales scrn el trromedie de c¿*mbro de Iá{5

5.nye"Cci.O¡e* tlt¡ pOtenCiAS aCti'¡¿r y r*¡aCtrV¿a Pñ Cada blts fiCln

respecto eI ánqLtlo del valtxje y los cambios de la magnitud

det vclltaje en cada blts del sistema' A¿i e€i e.l. vectcr de Los
 199

cafnbiüÉ clel ángulo, y aE el vectnr de los carnbios der

fnagnitr-td qLtct oceciionarán la cJifÉrencia r*ntre las inyecciones
deseada$ y laei inyecciones actt.lales a csnvertirs€! en cÉFo.

Debido a qLle la corr-ección rJe pr-írner orden e5 calculada, ltn

pr€lceScl iter-ativo s€t reqlterirá en el q1-te lag ecuaciones¡ cJ€?

vc¡ I taj e gi(f,n cr.radráticas, E I pr-irnerr pasE eE r-t*eg;cribir- I a

ecut;iriórl j acobiar¡a en notaciÉn simpr if icacla i re€rfipla¡andc:
AL1 por AE / E y lag derivadas parciales por l-1. lrlr J! y L

f"--l = [', "l i- a¿i I

L"-j L' '_l [i"'-J
DondeNvLEonlas derii'adas parciales aProPiadas

mlrltiplicadas Por E.

E:; de interé:; investigar la natutralera de los elefientes de

IoE iner-rorf:sr H" N. J, L. Y cómo sarr obtenidOs cle la lista de
datc¡s de lineao primitiva. ConEidere primero los elementms
d iagona l es ' Corno veremcls I c:s e I ¿srnen tos son !

H*,.. ''t -Gix - B*. *E,"=

L-xr. = L;lF. - B,.nE¡t'
N*".=Px*{!i¡,rE¡.4
Jxx=Fx*6r.¡.E¡"4

+-^-:__-*--n
Univarsidctl ..u,ur,tflrtl de Urcil:+nr¡ II
( ¡'..irl¡ Pii':r!n'¡ I
 t{lC}

BxxElSIag|.lmadelagsl-tsceptánciasilelogeilernentosde
tr-ansición. serie y paraleln " cñnectados al bt-ts h, Y [3*x €F
I a sLlfna de cc¡ndlrctanciag cc:nect-ádas a I bus3 l'; . Para una
conf iguración dadar et;tfi5 valc¡ree perman€?cen constantes y
pueden obtenerse añaclis:ndo lc]s vál(lres en los datr:s de
I inea, los cLta les sün gltardados en una 1ísta aLlxi l ia¡ de

cJatfis. Los casos de carnbi.o de f lr-t-io tJe carga que involt-tcra

¿icJición cl remosiÓn de* l irreas, reqltieren :;olamente qLte Ios
elernentoE necesclriog cje Elxx y Éxx sean alterados en la lista
an¡r i 1i;rr de datos .

3,4.1 Fermande 1a rnatria j acobi.ana

Est* ¡natri¡ hace referenc.l.a a la relaciÓn Iinealisada entre

¡requeños cambic¡s er'¡ l*rs posi.ciones ánqLlleree deI voltaje de
rr barra n a{i , ;z las peQltt*fi(3s camt¡ios en l as fnagn i tudes
br-rs.

cJel volta-ie de bar-ra, AE: / E, con res¡rect'o a carnbio:: en la

potencia real y Ie potencia reactiva en la trarra. 1..-a

srulurción de estas r*cLraciones si.rnltltáneas entrega los valores

del a,$ y aE / E, ql-le redltce afl y at¡ a 0 si las potencias
tienen re*leciórr lj..neal cr:n 1a fnagnitr-rd cJe1 voltaje y e1
ángurla de 1a barra¡ FFro las etrLtáciones 5on cuadrátrces y
p¡1r el Lo Ee necesita rle Lrn Frc:ceso iterativo. Lc¡g nl-t€lvclg;

valores para le potencia entregados en los butses dpben ser

compurtados utsando log valcre'e revisadc¡s de E y lE I . L.as3
 :tü r

nuevas diferenciag entre 1a p$tencia eictnal y la potencra

rleseada def inen n.-revcls valores deAp y A[1 t Y se comienle Llna
nLrÉva iteraci.ón '

Antep$ de cclmenrer a formar la nretriz debe establ'ecerge

cr-rá1es elementos deI .j acr:biano $El requerirán. L..a m¿rtri¡

ti.ene de Llno á curatro elementas qLte podr'ían ser

j acobi.ar-¡a

considerados r. sr?t- la diagonat de la matrir dependienda de

gi el burs Fi es utn buts cle generacii.ln. cor] F y E constarrteE'
ci Lrn bi.ts de cargar üon P '/ n rmnstantee'

si el h es Ltn genÉrador. [¡ nc] está especif icada. y la

bursi

ecr.ración cclrr€:spBndiente de aülk rlo está definida ni F5

utEacla. Como Ex elg Ltna canstante' AEx = t-t¡ '/ Nxr' no ge
neces j.ta. De all i qLre Fare Lln generador e>riste una gc]la
erntrada, H*.*.

Si eL bt-ts h eg uri blts de üarqa" toclos los cltatro eLement'os;

Hr.x, Nxr* r Jx¡' r L*x grn ingr-esadc:s á la rnatri¡ jacnbraná '
Las errtraclas no cJiagoneles t-egltieren l. 3 O 4 elem*:nt(]s '
depe¡rcli.enda del tipo rje brrses di,rectarnente conectadog
rnerjiante 1a red de tr-ansmisiÉn. Los elementos requeridos
trará los 4 casoÉ posibles están cladus en ta tabla siguriente;
 ?r)?

rn üieneradclr m Cárqa

l,r. qenerador H*- H¡rm l Nr..-

cargá Hx-, J ¡.r, H*-r Nx-r J¡*-r L*.-

Las entrádas en la tabla antericlr gon f áci Imentsr

€'stablecidaE cuandt: lc¡s valc:res qLre son esPecif icados y ql.te

puedsn vaFi.ar son cünEiderados'

Una pctsi.ble rnatrr;r jacobiana Fara l.a recl de Ia f igltra e5tá

dada en la matris qt-le Ie sigLte:

aPr ¡ttr,\i3 Hn 00 0 0 H¡.,\in J6¡

.\0¡ J*Ltt Jtt 00 00 JyLt, J E-t/ E,
IP: /t:! II=z t/::\s 0 0 00 t6:
5P¡ 00^!_, I]:, ¡/55^!5 //16¡!ó 0 0 A6,
A0¡ 00 Jsz J:s Lss Jsc Ls¿ 0 o J Er.r ¡;,
lP. 00 0 Hcl I'cs ,fu fuo 116¡ r\i 46.
AQo 00 0 JasL¿s Jo^La, JaLu Á E6/ E6
lP. Ho¡ ivo¡ 0 0 0 II¡6^'.6 /l-tr- 46.
A0o Jq Lot 0 0 0 JrtLn+ J*L* E!/ EA
^
 ,:{)3

Nclte qLte ALtnqLte el buts l no trOg¡€3e ecltacj.ctn" 6ut efecto en el

si5t1.pma es tamado en cttenta pere compl.ltar F¡' +.jü:lc Y P+ +

jtior Llsando 1a sigr-tiente ecLlaciÓn!

F* + jGl" = Ex EY*-|E-*

Debe recgrdarse también qlte la matriE no se almacet.1a cgfno eñ

Ia figurra sinü linea por liriea en la forma
qLre es ensarntlláda

triangutlar rnediante el iminaciones de Gausg en cada f i la "

ántes de a l macenarsG*. Fisto 5e hace pará apr¡3vechar 1e
distrereión de Ie rnisrna rnetFi r,

3.4. = Aprc¡vechando la dispers j.én ( sparsity )

En el en$amble de Ia rnatri¡ jacobiana de Ia rjrltima e{:LlaciÓrl

ínñtricial " debe explotar5e la cá¡-acteristica dispersa'
Tarnbién pára alcánIaF 1a velocidad'/ econofnia de fnemc¡t-iai
qLre hace este método tan provgtchoso i se Llti I iu a Ltn
ürdenclmien{:o casi Óptimo qlte incorFoFe cade blts a I'a rnatrÍa'

La rnatris j ac(]biana nc¡ eg; €?nsafirblarja Y llrego triangul i¡ada

p6lr' la eI iminaciÓn Galtssiana i Fs ensarnblada en la f orma
triangulizada y ;;cllamerrte log elementosi. diferenterg de cero
5on almacenadasi cclfno vifnos en el capítutIo anterio]-,
 ?ü4

Las prirneras f i las Íncorpnradas a la matriu coFresponclen

a los bu6eE cc¡n el rns¡nor nútmero de cone>lioneg. Esto permite
qLle la cantidad de " I Ienado" 5ea mínima dltrante 1a
elirninaciún. 5e toma asj. ventaja en la cantidad de cÓmputo
y Én I*r rnernoria der elrnacenamient-o de Ia matriz. ünrno l(]s
buseg Ét:n incluidos en la matril. el ndtmero de conexiones
para lmE blrses no Fr-ocegados faltantes es colocado pcar lag
li.neas incluidas Ern 1a matriz aiiacl iendo 1a fila de el bus
qr-re está sienrlo prncesado. La reid cle hlard '/ Hale eg utsada

para i lurstrar la f ormacion cJe 1a rnatri= '

 3Ü5

E I nrlrnerc¡ de ccnexiones Pera cacla t¡r-rti; es cladn en la tabla

sigt".tien te:

Ndrmero de Ndrmero de Lineas Etlrges

Ltus conectadas Conectadas

:5 ¡¿ 214

t 3 4t6

5 ? L16

t t: 3,, $

h ;i 1.4'S
{. 3 .1 rl;i r á

Para fcrnrar la matris se tlebe cofnenlar por ltnn de los bUtses

qLre tiene gólamente dss 1íneag conectades. E1 bt-ts 3 es;
s"rtis'factorio. La primera fila de 1a rnatriz pltede estar
dada entnnces Porl

Fila I IH;s;s l!;¡:¡ H¡., H,¡* N;s.]

Éeal irando la trangulacrón 6aussíana d.ividiendo por H.os:

l-1 N:¡¡:¡/H;¡;r H;sa./Hs;s Hrs+/H:¡=¡ N;s.*/N¡;=¡]

 trlá

Lo cutal Puede ser escrito¡

t1 N' =o l{' :s= H' ¡¡+ N' trt l

Fi I a t I == J=+ Ls+
Jt:¡ Ls;¡ il J

continurandr¡ la el imÍnaciÓn ÉF ml.tI tipl ica Ia prirnera f i Ia

modificarl¿¡ por Js:s Y 5e resta de la fila I:

[ü L';c;s J's:a J'¡'+ L'*+]

Oividimos lurego 1a segltnda f i 1a mcldif icada Flor i-' rss

I t-l I J ";ra J ".s+ L t';s+ -l

La matris en €ste pLtntü e*sta dada por!

N' ;r;s H' s= H' =o N' =l

f-t*: 1 J"o. J":n. l-"::s+i
| .'i
L
 7-ü7

l-as I irreas v cr:lnexiones deI restn rJe butseg no ProceEaclcle

están darJas en la sigutiente: t¿rbla:

Núrmero de Núrmersde Lineas Butses

Burg conectadas Dsnect¿rdos

I 3 4'é
5 l: !tá

: t 5

6 T lr4r5

4 :t r"ó

H I hl-ts ;l debe ahora ser Frocesaclo r ya qt.t€r i.ntrodltc:-Fiá

so I amen te dc:s elernentr:s a la matri¡: , Añadie¡ndo la. tercera

fila a la rnatri¡ Produtce:

Fila L' N' *= H' =a H' *o N' s+ (J 0l-1

['
Fi la ?'
i,r I J' *:¿ J' s+ L' 34 tJ r)l I

I
I

Fila 3'
I
N*s Haa (J t-t l{:as N:at t
L*'= I

H:r= y N=;s EOn ahsra ceros por elrrninacién tiaLtssiana \!t lati
filas reg,ultantes lLregr: divididas pÉr el elerne'nto modificado
H' ,¡a i re:;u I tando I a sinlt j.en te rnatri z ¡
 trlt

I
i
l. N' ;*;r H' ;:l:a l-l ' :Ir* N' ;s+ tJü I
a

I
i
1 iJ -i:it r'i ' ;rs+ l-' (:) {:l I
{..t
'*o I
I

-l
I

l{l 0 I Ha¿r hl¡,+i H'a* N' --t

I
L-.

ÜadaoFer¿lclonenlaellmlnt{:J.Énffialtg.-ranaet]Llnafil.aciel.a
mÉrtriu J Ac$btana reqLriere uná oFeraclón idÉntrca en eI

elernentn coFrespondie¡'ite deJ. .¡ectnr eFr(fr ( F o i] ).

[..a adiciórr {Je las filas restántÉÉ entreqa Ia rnatriE

,siquient:Él erl 5t-r f orma trianr¡ut I ar st-lPerItrt. !

--1 -'1
;:l
j-'-
I P' i1 N' x;s H' :,til ü {) ü f:r H' ;¡o N' :3 ¿[
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 tü9

A[.s
I
Af:=.¿E:¡ I
I
I
I
At-ie I

A¿i !,

AEs/Ec,

Affa
AE'6/86

Afi+
I

6Ea/E+
J

NotÉs,e qLre FarÉr man tener Llna ncltacifJn consistEn te I os

Erlementos en Lina 'f iLa P g,on listados cofno H y Nr y en la

AGlr cnrnü J y N. txl prifl¡Ér ELrhindice indi.ca el bng cLtyo errclr

egtá Eiendcl reduciclo. y e} segutt"tdo irrdica EI vol ta j e o el
ángr-r1o del bLrs qLre está siendo ajutstado, As,i J's¡a e5 e1
profnedio cle carnf:io d€3 Gl=ri cLlando E.* está siendo ajugtado.

La matriz anterior final pt-terlel s,er gutardada por €l método de

Bramrnel ler r visto en el capitr-rIo ánterÍg3r r y tLtyg f arma de
ernpaqutetamiento verefnofi en Lin E*jemplt] en el capitulo
si.gr-riente. E!t-t el menúr cJe clispersas del prográr'Iia en Fascal t
Eubrnendt de ermpaqLtetariliento.
 21Ü

El ajLrste en E.r eÉtá deterrnj.naclo de AQ'¿ = AEt i E+' L¿t

silsti.turción hacia atr"1s e$tablece todos log a-iu:ites a ser'
ef ectuados g¡n las fnegnitudes del vr¡l ta.je' '/ e} ángurlo. EI
vector e É5 correg ido LtEarrclo estos a j LlsteÉ Y Ltn
vo I ta j

proceclirnientc¡ iterativo reqre€a a la ecltaciÓn de pot-encias.

5i lOg elementos derl vectOr errür :;ctn reducicjos e Ltrl valor
¡:equreño satisf actoria n €1 pFoceso se cclinplpta i dF
1o

cmntrarii: torja e1 Froc:es6 egi rerpeti.do hasta 16qrar1o.

La matri: jacobiana debe ser- r-Efnrmada peFa cada rt'eraciÓn'

det¡ido á qLte 1og bt-tses pLteden carnbiar s,Lt cáracteristice como
de los tirnites logrados en cacla iteración'
trclnsÉcL.tencia frer

ejelmplo, Lrn buts de vsltaje controlado podria no sostener s;u

voltaje á Ltn valur deseado de el má¡limo (minÍmo) cle vares
preeiscritos pür log datos de entrada. 5i un generador
elf cede este ]ímite" eI generador cembia a Ltn blts de fi y Gl

contrslados. y la Gl es putesta al Límite qute futera vrolado'

En l¿r r:róxÍm.c .iteración debe tenerse en cuenta este cambio
en Érl ti.po de bugi para la f orrnacién de La maf-ri¡. En las
iter-acioners signientes el blts puede volver a t3Lt tipc:
6r'Íginal si. el I irrite cje vares y eL volt'aje deseado vr.lelve
nLrevarnente a estar dentro del rángs.

Para eI Frocescl iterativs s,e putederr urti lisar- rnétodog

¡lrmÉricos de aprüxÍmaci.ón trofnc Nerwton-Raphscni y ott-cst qlte
 211

no Eon obj etivo de esta i.nvestigaciÓn ¡ pero qLle sí 5Gn

necesariog para reernplazar los valores iteradog en Ias
matrices cleg3Éritag, hasta s?1 r-esLll tado f in¿rl .

;1 . 5 LA Í'IA.T'R I Z ..I AÜCILt I ANA DÉSAüOFLAI}A

:5.5.1 Sirnplif icaciones de el algoritmo de Newton'-Raphson

[-a potencia entregacla a L.tn h:us depende más de 5u proplc'

vsltaje qLtE de 63I vsltaje de butses vecinss. Esto É?s pol'f¡Lte
en Lrn sis,tema de pctenciag el elemento diagonal de 1a matri'z
admitancia nodal es dominante. Esta dominanCia es ci'erf-a en
general si n0 hay rafias de impedancia negati.vá. tales cofllÜ
capacitores en serie ,! ciertas ramag 5¡r'l el circltito
eqr-rivalente de un trarisf orrnadar. 81. algc]ritmo original de
ward y Hale tFecünclf,en est-.¡ senf3itividad aI incorparar
golarnente los eLe.rmentos diagonales en elI j acubiano. Este
alcjoritrno simplificado tiene É¡rito en solLlción de problermag
cle poterncia perü f eI I e Fnrá dar Ltna scrlutción a algltnes
problernas qLte plteden g,Ér resLtel t-aE' pc]r erl mÉtodo de Ia
matri:.: jacotriana l lena. Es de j.rrterég qLte esta técnica
Eimpl if icada puede resolver r-tná categoría fnLty vastá de
problernas¡ sin embargo|l el promedio de converg€tncle e5
cornparat.ivamente pobre. f-}-tando Ltna s,crlcrción no es obtenidat
no r3e sabe dónde la tÉcnica pr-tilo f ¿rl lar pa¡a encontrar }a
 :13

solLrción o si. La red siendc¡ pr*hada nf] tiene Ltna s(]lución'/

fallaría FaFa cperar.

urra raracter-rstica de loE sistemas elÉctricos cie transmisiÓn

detrotencraesIaaltareactancíacc]nrelaciénala
resigtencia de las lineers y transformadores. Debido a este
rntjio elevadsn Ia ¡rotencia transmitida desde Ltn F¡us a atro
sobre Lrna linea de transrnisión d*pencle. en primer lutqar'r de
La dif srencia angul.ar entre el vnl taje de los dos bt-tges en
las f inales de la I ínea, y sc]lamerrite FJára Ltn graclo mLty
menor. de 1a diferencia cle ias dos maqrritr-rdeg del voltaje'
Ei f lirjo de veres" de otrr: lado, eg, inf lltenci.ado f utertemente
por Ia diferencia en Ia magnrtlrd del voltajer Y Eolamente en
ilna rnÉ*n{rr entensiÓn por 1a diferencia angltlar de los
vü I ta.j es de arnbos butses .

En la primera frgr-tra. dos voltajes de igual rnagnitud'/ {:¡3r'l

urna diferencia angltlar de fi son aplicados a los dos finales
rje utna I inea de transmisién ' La dif erenci.a de vol ta je errtre
Ios dos finales de La linea es AE. La corriente I en la
línea ret¡azará el voLtaje diferencia AE por un é'ngltlg
üercent: á tltl!". dsrbrdo a qLle eI redio X:R de la linea 6+5
elevaclo. Pc:r r{Rsones de estabilidad eI ángr-rlo E esi per¡uteño
(máxirno de ?{:}" qr-rizá} ' EI ángr-tIo ent-re L '/ Er (o E::} eil
gÉnFralrnente pequefio, y eI cornporrente de potencia r-eal de 1a
 rt3
c(]rriente eE qrande cornparáclo cün eI cornponentE reactivo'

En la segurnda figurra. log dog voltajes qllcl sBn aplicadss a

losfír¡alesdeLtnalineaegtánenfageperotienen
rnagniturdes dif erentes, 1o cual produtce Ltna dif erencia de
volta.je AE a través de Ia linea.' La corriente en Ia linea
retraea egta cliferencia de volta.ies (V los voltajes5, de lc}g
burses ) pctr casi 9ü" . l-a potenc.ia transf erida ss*rá
mayilrfnerrte reacti.va" IlebidB a qLtEt en Ltn sistema de potencra
las magnitlrdes de voltaje deben estar dentro de valores
1ímites estrechos" lar capacidad de transmitir vereg está
Lirnitida comtrarada a 1a de transrnitir vatios'

El

En 1965 reconociÓ egta i.ndependencia errtre La

carpentier
poten ci a r-eal con respecto a los cambÍos de Ia maqnitud de
vol.tajet y 1a indepenclencia entre la potencia reactiva con
respectn a los cambios en ángr-rlo. El sr-rgirié gue Nx-
y J¡- del jacobiano podían .igr-ralarse a ce'roi con Io cutal lc]s
vatios y vares serían desacnPlados, asi:
 t14

L- AF'r.l IH*-] [46-]

f_ AGlr.l [L*-] [aE-/E-J

Este desacople disminuiria eL tiempo para cada iteracrÓn ya

qLte hay mencls cálcurles qlté hacern y reduciria Ia memoria cle

alrnacenamiento rerquerida Fara la rnatri¡ ' La tÉcnica

euqerida atrajo mLly Fctct: ia at'ención debido e qr.te Ic:s
cálcurlos de f lr-tjo fie ca¡ga no habian at.lfn€:ntado al punto qlte
reqr-telrían atención ínmedia.ta.

En la ürltima mitad del los 6O's el rápido cre¡cirniento en e¡I

nútmero de intercorrexione= rje alts vc¡ltaje aLtrnr*ntó el área cir*

irr.flurencia de 10s esturclioÉ de sistemas mutclro máE, all* de lc¡s

1 irni tes de l as compañ ías , Y a sistemas vs:cinns . Estfi

requrerría rnás y rnáe butses para Ltna FepresentaciÚn apropiadat

,/ cclnsetruenternente.r mayr:r tíempo cle cÓmplrto Pára cada casor
tambiÉn corn6 Lln fnayt¡p aLrfnentq3 en el n(tmetro de csndiciones de
c(¡ntj-ng€ncia qLte reouerían rnvestigaciÓn ' flon este
i.nsentivc¡r E!1 rn*tadn sucleri.dn pür 6arpentier fute

reinvegtigado. Los métcdsg qu*l €volutcionarcn no solament'e

se acopl.aba¡r a La93 ecLlaci6¡eg3 rl€l potencia activa y reactiva.
sinca q¡.re tarnbién " a través de hábi Ies modif icaciones
adicicnales" autmentÚ Ia veloci.dad ccmplttacic¡naI '
 :115

:i.s.i Desacoplendo las; ecutaciones de Newton-Ftaphson

fiI elernento H¡- de Ia ecltaciÓn desacaplada eEta deterrnitraclo

por la ecr-taciÓn sigutiente. para el caso en que i:' f lrl:

-..?.r* = Re {--iE,"E-t.os1[t*. f:;-] + jsin([;* fi-)] ((3*.- -

)E^
j Bt.- ) i'

Y está deterrninadr: entoncers porr

H¡,- = ExE-[GxmgÉñ ( Axasen( f¡¡ fi-) Etxmco5( f':;x 6-) ]

Debido e que ljx ü- e5 Llst-talmente fnenor qLte Llnos poco

grados en las redes de sisternas de potenc:.asr

cos(E*. f-i-) x 1. Det¡ido tarnbién al gran radio x:R de las
]íneag de transmisión y transforrradnres y como sen(fir"

6- ) es pequtefio , Gx-Sien ( 6 x 6- ) 1.1. B¡.- .

Con egtos f actores Ee putecJe simpl if ic.ar I'a ecutaciún ml'iy

aprox imadamen tP :

Hx^ E -E¡..E-F¡..-.
 ?16

Y rJividi.endo por Hr*.

H*.- I E* = --Eollko

Fara erI cáso l,; = lllr

Hr..x = -FrrE*.t - Gl¡. Y L*'x = -F*.xH".z + Q¡'

Sjatremos ya qqe flx ti{: Br*.*.E,.,=. tnt6nce5 | Ltna b¡.tená

eproxirneción de H*¡. Y L*.¡. e5:

H*,. I -Fxr.Hr"s - Glx )/ Lxr. = --Br**.F-r,-

Dos si.mfllificaci.ones más ric:n he¡ctrae:. En el córnpLlto der Hr..¡.r

c¡-taLqLlÍer reectclr en paralelo
Y cLtalqLtier
(shr-rnt ) t

tr-ansforfnadclF cün tap varieble y aterriEedc en arnbr:s ledos.

g,e Orni.ten. debido a qil€3 eE,tas FEtáctenciáE prt]dLtcen varRs.
Hagamos B' = Etxr.. üon estas mcldif .i.cac.iones'
AP / v = [B'E-] taf;]"

Adernás asignendo a Em el válsr de I putr tenemos

AF' / E = fF'l [A¿;]

 2L7

Fara rje¡terminar L¡x r omitirnc:g de Fx* cualqutier ef ect-o de

cambio de fase y designamos el rest-tltado H". Nuevarnenten
para E- = 1.0, encontrárnclg t Aü / EJ = [8" ] ¡ AE1

Fara ctralqr-rÍer c6i5c particr-rlar de flr-rj¡1 de carqat" H',Y Br'

son constantes y no necesit¡rn recalcular-ge en las
interaciones. L.ag matrices B' y B" son dispersas '/ 5c]n

a lmacenaclas cÉfno f actc¡res triangn l ars?g constan tes.

3.3.3 Desacoplando

EI algoritmo Ltsadú flara f Lr-t-jos de' carga está basado en el

desacoplarniento. qLle purede Lrsarse tarnbi.Érr etn estirnaciÓn de
estado y transitc¡r'ios. El jacobieno puede ser escritt: con

alglrnos blcques coÍno siutbmatr-icee cero:

A'r t, Br r)
J'rfiJ E
[,, l_
rl D-r r-) E']
L_r'

{fc
A()
=lltr
,)l
{)D
H {:r |-" o_J

{)E
 ¿*t.8

F = AT * A + B'r * B¡ Gi= ET * C + DT * D + E'r * E

5i :ieparamos eI vector b ccln los vectorsrs br Y b=r

rest:lvemos los conjltntos independíentes:

F)*xr=brVB*x¡¡=b=

Y si nrtogonali=a¡nos A = Qa I Ra Y B = On * Rs

Entonces F puede reescribirse cürfift:

F = RaTGI¡¡rOaRa + Rrl'9.r6**. = Ro.Ra + R*tRp = R¡rT[Ra +

( Rar ) -aRpa'Rnl

Y }lrego en el lado derechc¡ tenernos:

R¡rGlabr + R¡,Opb=

= RAI (Glab" + (Ra)-tRsQpb:p]

Tenemog ási corno solLlción !

P = (RaT)*aRE.i [Ra + PRe,] x = ca + Pc=

De aqlrí ct ,/ c:a soñ el resLtltado de inclutir el lado derecho

en el prclceso de ortogonal ización.
 T'U.TÜT"IIAI.-. IiE T]I]b.i:IAÜIÜNE$ MAT.RIiJIAI.-E:s

RAFAE:I.. fiiJENA RIVERA

SAhtT.IAGÜ tiH CiÉ\t...I

fii:}I.TI.'üRAü I ÜIU UN I q/ER$ I 'T'AR I A AIJI"I]NI.}I"IA ÜH Üi]ü I DEN H.

üIV:tSIOlU [ih1 Il'.|üHME[iIAÉí

l-f{U{.iRAMA DH I Niit:":N I [:R l Él Et-Eü i"R I üli
t.9v4
 TUTORIAL DE OPERACIONES MATRICIALES

RAFAEL RUEDA RIVERA

Trabajo de grado preeentado corno requl.aLto parcial,

para optar aI Título de Ingeniero Electricieta.
Director: J. KENJI WATANABE H.
N
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lffi
ror u,oi.,u.j'=o"o )- t
016516
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E
sANTIAGo DE cALI U
\
CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE

DIVISION DE INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA EI,ECTRICA
1994
 <

)-:/.'
4,/
;

PRESENTACION

EI proyecto de grado tltulado Tutorial de operacionea

matricLales tuvo como propósito reaaltar la importancia de
lae matricee cono instrumento de aplicación al campo de Ia
Ingenierla Eléctriea.

El documento final eetá dividido en 6 capítuloa que Ee

presentan en dos tomos. En el primer tomo Ee presenta una
teorfa de introducción a las matrLces en eL campo eléetrico;
el eegundo tomo contempla e} proceao de apllcación de lae
miamas- Por ú]tlmo, eI documento ae acompaña con ur¡ r¡anual
de instruccionea conteniendo eI software.
 IJRI]BLENAS REAI-Es C.IUE T{ELAüIONAN I'IA'TftI{:F-5

EN LA INTJENIHRIA EI..-Hfi.T.I-IIüfI

4,1 AFL-IüACIüNE"$

Usted trscjrá verif i.car lc:g resutl tadog de las oper*cionee

rna'l-ri cÍa I es qt.re se ef ect*an en I os prob l emas de este

capítr.rln. Hl turtsrial presentacJo cclrnc¡ trabajo de grado

tiene cornü cornplermefito eI programá en Fas;cal qute real.i¡a las
operaciones ccln n¡atrice$ qlle usted necegita,

Son rlra-'-rcl l$s FrclqFáflrcts, rJisefiadcrei en pascál vereiún 5.5 t

y corrtienen respectivanrente* lae operacioneÉ cmn reales '
cnfilpLejcrt=, disper-ses r y 1¿r invt+rsa seqldtn reqltiera el
r-rsurari.o. Hscc:gi.enclo el prográrna qLte nece$ite €?nc$ntr-.rr-á

Lrnüs mer¡úrg res¡rectivos qLtÉ¡ relacionan Ia$, operaciones

propiamente dichas. Operaciones tales cc¡rno: ELtma. restat
mul tipl icación " con jlrflad"r ¡ transpltesta r Fártición,
tra¡-¡sf ormac j.ones. f actori:acir5n , solt-tc j.ón de la ecuteción AI
= Br reducción de F.:rOn. y Otras.
 t?c)

Én el capitr-rlo 6" se hará una Éxplicacrón más en detalle de

estos pr-clgrarnági qLr€¡ han trataclo cle hacerge de la manera rn*s
asequible pc:sible, con todas las f acil idacles pará etl

lrsuario.

Aqui podernas anotarI antes de mostrar los e.jenrplns nltmáricos

de la amplia q3arna de aplicaciones v necesi.cJacles que tieinen
las rnatrices s"r1 La Ingeriieria Eléctri.i:a¡ que tratándt¡se de

nfrmeros ücrfnplej os. t..reted iJs¡her',i Íngr-esar los-" elemerntos de

rnanera rectangltlF.r', :z' plor- lo tanto ¡:ri.m*ro dis¡:orrer de lss
valcres real. e imagir'¡ar.r.or rtl.;Fec{:ivamente"

T;rmbiÉn se dará urna capia del

futerrte. erl cutai " como
prac¡Farna

ssr e::pl icar'á opmrtutnamente, pltede modif icarse segütn Ias

necegi.dades de cada usuario.

4.2 FARAÍ"IETROS DH LINEAS DE ]-RAN5I'II5ION9

4. ?. I Froblema
Una l inea trif ásica de doble circr-tito y dos condutctnre¡s
agrurpacJog por fase, a 6t-r H:, tiene lag dirnensi.nnes mnstraclaE;

en la 'f igurá para condurctoresi sn la piosición A. Los cal¡les

pür fase son doe ccndlrctorers ACSR, nombre de codigo l;iwi..

tk,ursic, tiearge L. tarnpurtr*r Side*d. Fourer Sysitems Anal'7si.s.

Prelntice¡ Hal l . tsnq¡lewood üliffs. New Jersey. 1986, p.
El9-9;::
 :1:1

1.'7SF pLrlg¿rclérs de diámetre, y espaciadas IA pulgadas. L-as

cables cle guarda ti.enen ü,5118 purlgaclas de diámetro de

alurn.inio y acÉ?rr: ino¡l .idable {alr'rrnowelcJi, con las *i.guientt:E

protried,*des ¡

r-c = 1 .2{t71 l'}/mi L Ia I RI'IG {). txrltgá pr.es t

X- = t:J.7l:ff li,/milla¡ x'- ti . I.ltl l"ifllrni I 1a ,

Aguma qlre la temperatur¿r oe los condnctore:i, pclr f¿r:ie ee 75"[]

con resistencia a á{, HE de ().ü55 fllmilla. La resistividad
de Ia tie*rra es de lt-lt-r fl-m, Usie el tárrnino del trrirnÉr c¡rderr

de la r-edlrcción de Carspn par-a correrccionÉs de tierra y lrac¡a

Io siclni.ente:

4. li. L. I Sean los circuritasi A y El *rrergrrados por dif erentes

f ltentes. Calcule lns ccrnporrernter; si.rnétriccls de Ias
imperlancias :;eries nropia '/ murtna pclr mi 11a para Hná gr:la
secciórr de I inea no transpuersta.

4, ?. l. .: Ftepita la anteri.or pár'a uná 1ínea transpnestfi,

emplearrclo transposiciones ia)'. tf ) y (h) de la f igur-a.
Calcule las capacitancias de carqa rJe lxs lineas para les
I íneas transolrestas.
 .J??

/+.:,1,:5 CaIclrIe lae cornf¡onenf-es sinrátricas de la

impedarrci.ae gerrie:; y cap*citanci.as en paralelo (shunt) para
Lrn.á L inea transpueast-a ideaJ. qlte emplea todas 1*s nLlerve
trogiciones de la fi.gura

Shicld wires

p= lü)fl-r¡

b'

7¿

(a) (b)

x x x X

a b' b a

a' c

7 7.

(d) (f)

x x x x

a c b b'

c lb'

Vri

(s) (D
 ?t5
Sslr-rciún 4.2.1.1 Z^a = Tr¡ai Zt.t = rG + F.r'r + .j (l'::- +'
Xrrii = lfJ{t f¿-m.

Para el códiqt: r següln la tabLa de cara,cteri*ticasi

],{j.wi. del
condltctor ACgiR. a '75"C: l-c = {),t]¡5SO f'},/miI Ia.

$egúrrr la tabia de reactenci.a i.ndnrtiva (Xa de conclutcteres en

pagr-rete É\ü5R a 6ü Hr en fllmrlla: X- = {l.14qi :/ según la
tabla cle¡ rsracta¡rcia caFacitrv,* ( X' - ) en f"lQ¿m.i l ia: X' - =

ü. ü529.

Arr.r seguirn el prinrer tÉrrnino cle ccrr*ccrón el*ctrica de

Car-son pára retc¡rno de ti.erra esr

Arr.. * {r.(l?5:::ir-,4 (f / 6t--t ) = tJ,rl?$.504,, ya qLle 'f = 6O Hz,

Y, AXr¡. = t).7'794'7. (f / #ü ) logr,r(?16?"5361 It/'f ,

Fteempl.a¡ando f = áO l{r '/ l= 1r)r) l)-rn: AXr.r = ("t.96?8499.

Rl{G'g¡ = .f'N N'-r-Lr fd =, lrldrmeiro de, surbcc¡ndlrctnr.es = ll

= ..-...---D.*.-* D = Diss,tancia eritre $urbr:onclurctgre¡s

?Sen ( n/N ) ad'/¿¡cerntes = 1Él"
 :::;i4

= -..1_-f,"_n_i-e+ = {).75
?tiern ln/'i!l

r-r = itl'lG = *¡-.¿3"1": = O, U7;|3?

?!fi t?,,

RME'e = ,f::I(ü.75*rl .t_t'7?29 = ().:i3f_) pies

Tt_t = ()..(l.lEg + tt.tl?5.Jr)4 + j(ü.L49 + 0,?ó?8499) =

3

(r.1il28o + jl-"LIfts

Z^n = Ar.'-", + J[AX^,_ r_t.279411 if / 6t, ) togro{d-^) ]

Sieqrln eL primer tÉrrnintr rJe cc:rrección el.Éctrica de Car;;c:n;

Af-- = {J.O?53t14(f / bü) = {¡.ü?53{)4 {f = át))

AX-- = r).?794? (f / ¡l,ü) logro{21*?.5:56.t t¡17l = Q.9á3u499

Egtarnos construtyendo Zae, = Zs¡¡

t.-as dist;rncias si.glrientes están rnedrdas centro a rentro:

cÍ;lb = ;54. 54 i cjac = óI. 1';1i rjbc = 31 .95

 ?25

Estas di.stancias se haI l¿rn tanrbiÉr'r r-el.rcionanrjo eI triánqltla

de prtágoras.

Za^o- = Za,o,-t, = r-¡ + jI x¡t¡ - r].27942tóü / áO) lOgrotd-¡,)-l

= r-r.{-1953{)4 + j1r1.9628499.- O.t/V4? 1oQ.r.o{::4,*Or' = f).Ü9ti::{}r+
+ j tl. 5;i3 fl/mi I 1a .

Z.,a-- =: Zar¡-- 5 {1 . tj9:isf)4 +' j l-f},96:il8l+q¡? Ü. t7üii4?

loqa,;,(6:;1. l.'J) :l # tl"{l?S:iit)4 +' jt.i.461.78 fi¡'mil. 1a.

llara Ztae = Ztea:

Z¡¡e-*'! {1.()?5.5{:)4 +. jit).?¿,::i3$ - t-i.:¿"i94i. luqrc,(5t')l =

ü"{)95:jit.l4 + j{}.48.:i::e4

Z.qpar"' ! il.()955r)4 + J {{),?ó:tt1:1 - d}.'5.794'}. lsg"o( 7f}' } l'*

{l.t}?5::i04 + jt).4:t41.ó1

Zaa**' i {). t)95:i(:J4 + -i i t).9á?Ü:i - {). ?7ry4';l Lctgr.c., i 56' ) .i *

(:t.(:)?:,5r)4 + 3t). 474;i'21.

 ??á

Zaa-,"' = Za¡¡¡-'l cl-n' = J ittg;?T..5d'?1. *-:::t = '7?.41i

Zaa' = 0.r)i/Sli{)4 + .i lt).9á;lÉ5 -. {t,,3'794:;: lugr.r('73"45' i.1 =
{}. ü?s304 + j r-). 44.5119

Z.E--' = Za¡a--'l d--' s tt,tA tigural.rnente prJr Fri.táqoras).

zaa' = {j.r)9$3i}4 + j(r1.9ó3H5 - {).?7?4:l lrg".r(tit.;:J'il =

ü.o953(]4 + i1:;t.427-16'7

Zapr"*' = Zap-t"' i du*' = "/:\.41 ( tambrén por f itágo¡as ) '

zaa' = f).ü95jiü4 + j({J.96t85 - {).?-/947 logro(73,41',)l =

rl . {)95:iC}4 + .j (l . 44L 5;:

Fare Z¡¡sa! Z¡..r. = l-"= * Fr¡. +.j(X- + Xrt)

f-- = .1.t(t7l Q/mi.lla¡ Frr. = {:).{.}?5S{)4i X- r t-r."7Cr'7r

AXr.¡" = C).9áf85

Entonces! Z-eetrr = 1.:Iü71 + {l"t)?3:}t)4 + j{ti.7.'J7 + C}.gÉr;lÉ}5)

:E 1..:5{)34 + jl.drá?U5 E Z-e,a3,=.

Par-a Z*sgca = Z*esari

7^n = AF-^ + .i[.AX-- - t].::.l/94'J(f / á{)) lgg¡.o{d--)l ñ

 ??.17

ü.ri953ü4 + .j[r].9ó?t5 - {J.ü794? Ioqr.c,{clmn} l

Fara Z*^e-__. = C1.{t9f,3Q4 + j[{r.?á3S:1 - f].2-/t:?4.t loq¡roi::i2' ) l
= f). C)953C¡4 + j t). 54?=8

Fera z-¡rc--¡¡ s f).0?$5{:)4 + i [r).9ó3ti5 - t- ,?'794i1: 1c:9¡.o(drl.t]5' ) l

= 0. fJ953{)4 +. j O.4á.Jgt

Fara Z-^-E"--r. = tJ.t)?5;:t:)rl + i It).?á2t5 - t-).?'lVA? lourc¡{f.¡5.3{t' ¡ 3

= ü.ü5,5:5ü4 + jC).4557?

Fara Z*^gr-= = r).C)953r:J4 + jt.Ct.?á!8S - rl.ll794l l.oct¡-c,tqL"3f ')l

= r).il9i:504 + .jü.41517

Para Z',A€*--r. * ¡;r.t-r953'04 + jtCt.9á:¡85 - Ct.?7941 1ogrc,i94.(12')l

= {1.0953(14 + jC).41149t

F.ár-a 2..¡s___a s r:r.Orl5lj:,r)4 + j t{,,9é:85 - ü"2"/?4I lc{]r.¡¡( l.(rt.4' } l

= ü. ü9S;i()4 + j f].394?:;

L¿rs matrices f inalrnente scrn las srelrierntnrs:

0.12280 +/r.il18 0.09s304 +p.s3301 0.095304 +p.46196

7'iA: ZiB - 0.t2280 +ll.lIt8 0.095304 + ¡o.54246
/
symmetry- 0.12280 +/¡.1l 18
 3rB
0.0953Or +p.48336 0.095304 + F.M3l2 0.095304 + F.42777

Z7a - Zi.t - 0.095304 + ¡OÍ43t2 0.095301 + J0'414t6 0.095304 + F.n4l5Z

0.095304 + ¡0.42777 0.095304 + J0J/rsz 0.095304 + F.47437

0.095304 + tO.54228 0.095304 +p.46388

Z\s = 0.095304 +p.45571 0.095304 +p.41516 O/mile

0.095304 + JO.4ll49 0.095304 + F.39421

r.2974 + jr.6698 0.095304 +p.48336

zIs: 0.09s304 + JO.44336 1.2974 + jr.6698
Q/mile

Hn c6rn[]crnentes sirnétricas ter¡*inog ! ( AV $l-rnbol.ira áveFege o

prr]rnedio I .

-l ra
Z.'ttzt* ii.-
I tl
" ,r
lze,w
fr
---l
,if
t:i
I
I I
IL_ T*-"'" I l,)
..J L_.

r-- -1
l-Zrrr. Zar" I
Zaw= | |
|L.-Zaa Z¡r...-JI

Las ecuraciones ./ gurs matrices3 re5Lrltantes son!

\tzr.rT,=
0.38978 + jr-65230 0.02205 - ¡O.M72O 0.0002r -p.03965

0.0021 +JO.03965 0.02881 + tO.59746 -0.03883 + F.02929 9/milc

0.02205 - J0.u720 0.04088 + ¡0.02767 0.0288r + F.59746

Ttz^rT,=
0.35967 +p.8s697 -0.00620 - ¡O.02321 0.026s7
-p.01643
0.02657 +/0.01643 0.00091 +p.02498 -0.01884 +p.or306 O/mile

0.00620 - ¡O.02321 0.02031 +F.0r200 0.00091 +p.02498

 ';:7_+

llurando I *s I i.neas no trarrspltestas opeFen €¡n para IeIo

'

Zo,>t'a - l/ITa-a(Zaa + Z¡¡n)Ts = l/?T.'-r (Zaa + Zan)Te

0-0' l-t' 2-2'

0.37473 + jt.2s463 0.00792 -I.03521 0.0r339 -p.02804
0.0t339 +j0.02804 0.01486 ! ¡O.3ll2z -0.02883 + l0.02tt7
0.w792 - p.0352r . 0.03060 +p.01983 0.01486 +p.3¡ t2

4,;1 . I? L-a 1ínea de t-ransmisión es transpuesta carJa ver s.

.

las, F¡osiciorres simÉtri.cas (a) r (f ) r '/ (hl de la f igutra r/ LaE

i¡ntrerjancies de 1ínea s6n pramecliadag;, [:1 ¡rrnmedi.63 l¡utgde
izarse urti I izando lss tÉrrninn:i no diagonales de las
re¿rl

metrices Z¡¡aa y Zx¡re. Alternativarnente las posicipnes X-tt

de I os cond¡-rctores putedern rotarg,e para reüa I cu I ar e,sta5i

matrices para cada conf igurr-ación. [-as rnatrices componerrtee

s1rnÉtricas rest-tltantes sion :

0' I' 2',

0.36978 0.35967
+ ir.6523 0 0 + p.85697 0 0

0.027s0
0 + tO.59937 0 0 p.026s0 0

0.02750
0 0 + ¡0.59937 0 0 É.02ó50

0.35967 0.38978
+p.85697 0 0 + iI,6523 0 0

0.02750
0 F.0265 0 0 + 70.59937 0

0.02750
0 0 p.0265 0 0 + p.59937

i
 :l::i{:J

f-lete clLle el acople muttt-to e¡tre Ias l ineas pa¡alelas, trenen

Lln gr¿rn ccrrnFt:nente de sÉ¡clrencie cero-. pe,ro cclmrJaretivame*nte
otro freqlrefio cle.l secLtencia posi tiva. 5i 55¡ rea I i:an
trarrsFc¡si.ciones nG *imÉ'Lrícas e1 acaple de s€?cuencia
pc¡si.tiva ts:ir¡drá resisterrci,* y reactancia. üuanciO las lin€las

sc}n transtrutestae simÉtr.icarnent-e operando en p{¿rrálelnn el

rergt-r L taclo es

0. 0' l-l' 2-z',

037473 + j1.25463 0 0

21" = 0 0.01375 + ¡O.31294 0

0 0 0.01375 + tO.31294

Lcrs térrninr:s diagonales rJe las rnatrices de i.mpedancia de

linea trarrsplte*ta dif ieren pclr variasi centenas; c6n el
resLrltado en la primera parte para Llna línea rlo tr-Ans¡rutesta.
A rnenlrdo los cálcurloe3 rj€? flr-tjc} rJe patencia cle Iírrea ariumen

qt.re las I íneas Eon transplte*staE irrclltgc¡ si no lo e+stán '

l.-as admítancias strunt cclmponentes sirnÉtricas

cclrFe€FclncJierrtes debido a la carqa de 1a I inea gfin

ralcurladas de la ecuación;

Y = jw[P1-'r S/mi 1 1a
 ?:iil

Donde P eE Ltna matriz NüN de "cneficientes d* pot*nci.a j. "

definidos como:

P-- = 3. 571t * 1É7 1og r. o ( d-- :-) rn]. I L aá/lt

l-t'

P-- = ?.57it * 1()'z I mg .r. o ( Clr"- ' ) m+n mr I l as/F

d__

üclnde d-- eg ta dist-ancia l:entro a cent.ro del condltr:tor m aI

condLtctor t-t i

d-- = drgtancta centr{] a centro ds*l concjltctnr m a Ia irragen

n'i

l-rm = radicl del condLlctclr fn (o radio cle el paqueter c rediü

¡rredio geornétrico Rt"lG' ¡¡) .

5i las N cclndlrctcrres inclltyen los cableg de gLlarda gLte están

aterrizadoE a 1o largo de Ia lr:ngitt-td {Je 1a I ine'¡ r s¡.ts

potenciá1es sOn iqU,ales a Cero. flara ltna linea tri.f ásica dq¡

clable circltito con condLtctores ágrLtpádüs (3 ) r Iü$ N

conductores están separadc::; en Lln circuito trif ásico É\ n

trifásicn Et" y de gr..r*.rda cl protecci.Éni as;i Ias eci|-tclctlf,!-lEE

50n I
 ?:3?

!- 7' a,e' --1 r'

["t^l Z'^. 7' ae I 'r.
tl I
I'
lt-l= I
Z'r*a 7' ss Z' sct r.

io
I
I
'**
t.*. *.1
i
I
L-
Z'r^ Z'ar, Z
- I L-t'*-J
Las cables cle gltard;t Eün eliminados; para clar

r* *-t T-
Z'^*
--l r-Z'ae-l
lEol lz' AA
t- f
I I
ll=
I
I
l*
I
lz' BA Z'** I

|..1''*j
!-=-J L_..
-J
t

r --1

1.. Z'se] '-'aI Z'sa Z'es..l

lr'^l
ll= 1F_: |
f*''^l |

[:J -iw [_t'*J

Si las lineas ¡ron ó están transpuestas, P' e:; Ltn prornedio

sc¡bre la lcangitud de l¿rs .l.inees. P'av' Lc:s cornponentes
sirnétricog en forma de admitancia son¡

Y-orc - jw
l-;_ -a ,) II P'a,+ |-i' ;l - :t.

Slmilla
I
I
L
{:} t'-'J |

f: t:J
I

La mitad de 1a admitancia Y*c're esta lccal isada en cada

terrninal de eI ec¡uivalente n de la línea.
 2:l:;i

C*c,.r.a = _L. Ye =
'iw

0120'l'2',
0
0.0¡ 19l5 0 0 - 0.0026803 0

0 0.018800 0 0 0.00075 I l2 0

0 0 0.0 r 8800 0 0 -0.00075r t2

0.01t9¡5 0 0
- 0.0026803 0 0
).0 r 8800 0
0 - 0.000?51¡2 0 0

0 -0.00075 l2 0 0 0.018800
0

4.;1 .1.3 Las lineas r-JarErleIas E3cJn transpltestas rle rnarlera

icleat y 1üs' cornpc:nentes *;imétricas de las impedanciag series

5[]n !

Zatre.'a ..

ol2o'r'2',
0.35967
0.38978
0 + p.85697 0 0
+ jl.ó5230 0

0.02750
0 0 0
0 + JO.59931
0

0.02750
0 0
0 0 + ¡o.59917
0

0.38978
0.35961 0
+p.85697 0 0 + jI.65230 0

0.02750
0 0 + p.59937 0
0 0
0.02?50
0 0 0 + p.59937
0 0
 234

Doncje golarnenteIa secltencie cero presenta acople entre los

circiritüg3 paraLelcas. La matriz de capac j.tancia shutnt para
lineasi idealrnente transpltestás Gls:

Eatlr:a *

0' I' z'.

0.01r9r5 0 0 - 0.0026803 0 0

0 0.018770 0 0 0 0

0 0 0.0t 8770 0 0 0

0.01l9r5 0 0
- 0.0026803 0 0

0 0 0 0 0.0 t 8770 0

0 0 0 0 0 0.01 8770

matriz de catracitancia shnnt (o paralela) tiene saI¡rrnente

L.a

acople en 1a secLtencia cero en tre i as I :Lneas idea l mente

transpr.testas.

4 .3 t..- INEAS DE TRANSI"IISIÜN DE tittAhl FllTÉ"NtIA

4. S. 1 Indutctancia de'¡ l. írrea

4.:5. i .1. Frohlt*ma

Fara Lrria I i.ne,a cJe tre:i conclLlctclreg iquales de' radio R,

crllc:rada en Ltn plano hori=orrtal ' con Lln espdicio pc:lfase cle
D rn cclrnct Ee describe en la f igltra. Cumpare log casos de
 2:35

L inee transPuest"r y nc' transpuesta deiscritos Eri Ia f ignra

(b).

*l F
(a'¡ 2B

Secaonlll

Soctían | |

Secc i o¡l

(b')

Clago I Linea no transPutesta.

Usando I e ecutaciórr ¡

n
Vw= Lwj wlv + E l"lwuj wI p, V/m
¡r=1
 ?3á

obtenemas para Ia c*ida t*tal de vattaje en 14. fase I:

Vr = .jwlt llo (l- + ln .l') + jwl=:Il¡ ln t

tn4Rtnl)
+ .jtlls [!o ln - 1 V/rn
iln ?l)

Usandt¡ 1a relacÍólr de cürrrentps !

Ir. + Ia + ¡- = t-t

Psdermos eliminarr Fül- ejemplo, I;g de la prirnera ecutación"

f.lar-a ohtener For re*ltniÓn de tÉrmi"ncls:

Vr = Ir.jt^r !1.,¡ {L {- ln gD) + Iajwllo ln 3 Vlm

?n4RZn

Y de fnanerá sirnilar calculamos las ceidag cier volte.le por

metro y pclr fese¡

Va = I:¡iw llc, (t. {- ln B)

In4R

v= = I*.iw Ho (J,- 't ln ap") + I=:-1 t"rs.o In il

?n4Rtn
 ?':I'l

En notaciún matricial oodemos resutmir l as an teriores;

ecuacaones a!

i-* --! r + lnt

--t f---1
lr'l
lv'l ,/4
I rr?Q {_) I

llrl
|
lltl
I

H I
f
I

lv=l = ,l wLl.$ (:) + InD. il

I
I
I I r* |

tt
tl

L""-- I
?n

I
{) lnii
FI

ri + I n'JD
ftl
I
I
I
I
I
¡
llIt
tlrr
I
ilit
I

I
I
L_ J t--J

Cat;o II L.a lírre*a tran=pute*st,n io de f ase simÉtricai.

Reempla¡amos 1es, valoreg de 1as corrientes seg{trr 1a

t-.ranspc-rsicid¡n indicada en 1a f igr-tra conservando e¡l nurnerm en

la ase para cada sección ¡ asi. iin la f áse I de }a secciÚn

f

1I I rr*emplazarnc¡g }a csrrrente I¡r pr:r I1 y asi Eucesrvainentet

trará hel lar las caidr:.9 de vml t¿rje. LJsando las €!cl.taü: rcrlle.
¿rnteriüresi a93í, y tc¡rnands el prainerdio de lag, caidag
cal culadas, cbtenernoe 1a siguier'¡te f orrnula para la c*ida de

vo 1 t;r j H en la f age I por met ¡o de la I ínesa transputasta :

Vr = ![I¡.jwtlc, (-L +. ln 3P)'F Ia¡-Lto tniil

3?n 4 F in
+ Ll. I ¡..j w LL¡r t 1- + lrr p-)
:itn4 R

+ -l.tIrjwHc, (1- + In itI ) I

=:..r
*i1.,¡ t n i: ]
S?n4 R irr
 I.l;t
Pr¡derncsi reduci r esta e¡ttrresi.ón & la sigutiente:

iE
Vr = Irjt¿[Lo I L.. *' ln {..3p.1 V/nt
?n 4 R

Debido á qt-te exieitÉ c$n'Dleta simetria entre I as f as5eg '

pod*rnas es;crrbir rlirectamente las eixtrregÍones para laE
caícJas cle vulta-ie por rnetrc Fara las fages iI Y III:

it
Vn = IajwH_r¡ [!. + In {e¡?l V/m
In 4 F;:

..!¡

V;:r = I;'.i wU*' [*.. + l.n ü¡:].1 V/nt

Irr 4t{

O err forma matricial:

r -"-t r fs -t
iV'. lvo + il.u
l nJ
r'
r-r r-l
I
lilf É
rt
I I
I
:S I
I
(J
lv.
tt l= .l t¡lt!.:
iln
7a -F I n{.:gB_
R
(.)
lro
I
I
rl
il
:sl
I
l
iu*i
I
ü Yd+ I ni"ilD I
lr*
L.- J I
I
L_.
RI I
._J
llL.-*J
 t:{9
Eri la ínea transpuesta las C*íd*rE de voltaje €ln cada
I
.fase son clirectament-e ¡::ropr:rcionales a 1a propia corrient-e
d* far¡el per¡1 independierrtes rje l;rs' cgrrrentes en las gtras
f.rses. flodernos e?¡t-c¡¡Ces erscribir lee caidas de vol'ta.jer un
l.a forma:

V- * jwLI- = -iXI- v = l, ?r ::i

f)c¡nde X tíene e.t mis,mo valor p<trá todas l.as tres f;rsers y la
dirnensi*n cJe r-eactancia pmr metro' Nos referimns a X cüfno

I a reac'tanci.a trc¡r f asc" dn la I inea r Élxpre€iada en uhrni.cs por

rnetrt:.

Si las tre$ coprienteg, de f ase pcl5eG?nsimetrÍa trif ásica '

t¡¡mbiÉn.Lal; caídas de vc:ltajei corno consecLtencia, Éi lus
voltajes (mecjidas a tierra cl entre lineas) al i'inal de Ia
líne*a Fssee t¡imetria trifás¡Íca" tami:iÉn Ic¡s; valtajes3 en eI
utrc: f i.nal,

En la linea n¡3 transpuestat solafnente la caída de voltajer

er'¡ l.a rni'E¿rd cle 1a f ase ( simétrica i r pltede e)ípres3árse en Ia
fnr-ina rjrltima' Como con$ecLtencia. las¡ caid*ag de voltaje
rnductiva no pcseerán sirnetria tri f ásica. aLtnqLt€r las
rorri.enteg Ia Elr¡sean.
 ,',i4t-r

Es, interesante ver cuales son e'stas cantirlarjes no eimét:r-i.c¿rs

pára Ltn caso esPecíf ictr,

Asurrnarnos ft = {-},S trulqadagr IJ '' ;lü piegr para este csnclltctor

e,gpecíf ir:O y di¡rrensian*E esp;rcÍates. Las matrices $lárcr Iss
dc¡sl cas.cl{! r /;r vit;tas son:

i-- o-l {). á9 ,\|

t_,
t6
I
I
I
" áfl {)

()l , [T.*=
f', ó.4t U!
I
I
I

".-d
I
I
r) á. óó I
I
I I
I
I
I {:: (] {). ó9 :/. l_2 |
t

[-
I
[_- -J

Nc¡tamos el acmple entre las fases" rnedi.das por lrls €*lementr¡s;

de val.mr {).69 E}n ta segunda rnatrir n re*Iativamenta'
in:;,ignificantes cnmparados cnn los elemerittrs de 1a diagonal
[:¡rincipat. TanrbiÉn nc'¡támc:: gt-te e:;tus elemsntos nc] están
r1e,mersiadg ifutndidos y tie¡nerr un valmr premelclia cercenc] al
cl

de Ia 1ínea transpLtesta. Far egta razÓn no Cometerí¿lmog Ltn

errür ffiLly cl rande Ei. r aún en el ca5,o cle nÚ transpuestá t
tratarnoe la caída cJel valtaje en Ltna base pür fa*ie'

La incluctancia pür faee defirrid;t en La ecuacién pára el

*jernplo nuinÉricn:

L= l.!o * ó. óó = I .:i3;: t 1{)*¿ H/m

J¿ II
 :;:41

Y l.a reactancia lf,or f ase tenclrá el valor:

X ='3'/-/ * 1.33t * tü"as 2 5'0;:l f; 1{-t-4 Q/n y fase

ü rl ,ll{)Z {t/rnLlla'/ fasg.,. For csrnparación, 1a resisterncia cle

sss{:e co¡cJltctcr-, si asttrnimg3s el di.eeíia AüiiF: . selrá
aprclximadarnente r).14 lllmi1Ia V f ase" t-r: cual cc:nf irrn;t e1

dorninitr cle 1a reactancia sabre l.a re$r€tenciá'

4,3,2 Capacitancia de ií.nea

4.:5.?.1 Froblerna

üonsiderremcls el ce$ü fnLty rmpgrtante de encc¡ntrar l¿r

capacitancia de línea cle t.tna Iínea trifásice para Ia mr5ffia

c¡3nfi.gr".rración cJel s.jenrplo anteriOr-r y ccln Iag caFqeÉ

inráq¡ene= qL.t€? verno{i en l;r figlrr-a; di*trnq¡utirernss entFe cáscls

cJe línea transf:rresta y no transpuesta.
 :14;:

El efectc: relativamente insignificante de la presencl.a de

t-ierra derno$trado por este ejemplo nns da utna E Lrena exci-tsá
pare poderla omitir

Corgos
- Rca';é-

Co rqo I
¡ñaÉ?d?S

Caso I Linea no i:.ranspltestcr. 5i 1c¡s pctencia les cle los

tres conductc¡res relativc¡s a tierra son en nrden vrr var v
v:¡, ¡3bteneirnos, LrsanrlÉ eI rnátocJo de potencÍales logaritmi.ccJs r

v1 = .-61.r.*ln?H. +-.ll¿e1nD.r + *Ih¡-InDa

tn*o R 3ne<' D tnÉo 3D

v:¡ = ._...fiIr_..1n0.r +..11,=lnfiH + _.Cl¡3*.lnür

,frtgc, D tnEq, R lnEo I)

,!3 = .....Gl.r-..InQ:e +.....-ú:aIn[.t + ....Ft.o-.1n?-H.

?n¡:,> ::li lner, $ ?nÉr:' R
 345

L-as distancia€ Dr r D:e' v H están def inidas en 1a f iqtltra.

Los valoreE nlrméri. cos scln :

fl = r-1 ,5 pr..rlqadas

n = ;J{} tr1es = ;14ü Pulgadas

?H = 5(:l pies

-
Dr. = J'f5fiü-; i:oll = "Ji:i.É p.res

I):¿ = JIs(,)t ;- r=4;ti't = ¿14.C) pr.es

Fara eetot; valores podemos eEcribir en forrna rnatricíaI:

1(l r).9+ ('.4?

["'.-j 1.8 * lo r..)
7.

ü. ?? 7. 1(:i +.?e I r'.1

l"=l'- rr. ee z.iü i| l-= I

L"*-i *:.o, L:"j

 144

i:'ara I as carga$ s?n I a. drl. tinra eclr"t¿:iC'n ( r'ee;n lvi.enrl$ rTlág;

efectivanrente por rnatrir i.nversa ) . [.]btenemos:

r'-Lrla--1
I
tl|
I
T"
| 7 .9Er -r. . üá -{),:r;H I [;,*i
I ....
t..J=
!

I == I tJ-" ¡. :e ---1 " ü6 fi I ':] -,"{,úil"=i

ii
| -r),;,t -.]-. (JÉr 7. ?tr | [:= j
l--t'=.i L*.

ü en forrna inatrrciai.

O=t*v

üoncie E es la matriz capacit-.anci.a cls¡ la I ínea.

ühservamos en lasi n¡a'trices anterrcrr*rt; el dominio cle l*s

el.ementr¡*; di.aqmnales, Ia cual sign:i.fir::a que Érsdemnsi

eEirr-i.bi r-, fiFrnl{ i.m*cl.rrnti:nt:e t

ülr i! 7.5t1 * 1.t)-"r.:itYr.

t'la ,;' i3'l;J * ir')--a¿:v'¿

tl,:l x 7'qü * 1t"r--'r':a1t-

DespuÉ= de promeclr.ar tt*n€*rnrJÉt:

Qv r; 8. f:):5 ü l{J'-a=V- rle v = 1r t! :5

 :145

üaso II Linea transpuesta

llsumimos 1a transpr:siri.ún parti.cr..rlar mogtracla en 1a fiqura

de?t ejernplo anteric¡r. l-a.F ecLlñcioneg matrrc.i-al.es ánteriores
scln só1o vál idag párá la secciÉrr I . Las eclraciones
ccrrresp{rndientee Fará las seccinnes tI y Ii: I s€r ohtienen
símplemente* camhiando lo:; sr-rbi.nclices en loe vectores ct:lurmna
v ir Q qr-re, cc:rrespünderr c+ln 1.* transpcsición. f;omp*ndi.anclc:

las t-Elgi-r I tadc¡s .

r""-l =f, ["'l para 1a sección

| ''*"
L-tt*' -i
i l"'i
L-"=-J

-*"'-l l-l
ül.rrr l= tr I rl para I a srección II
ltl I

-.n"'*l L"'._i

--1
--¡1-
'' 'l v:¡ |

{:rtt" I
I
EE v=l ¡
parfi 1a sercci.ón I I I
I I

c¡,""r I
vi.
I
I
I
*_t ..J
 ::4á

L-os'sr-rp*rindices Ee refreren a Ias tr-es gecciorreg de La

I inea respectivarnente:. Nc:te que nü hay nelce:ilclarJ de

surpnrírrclice para los voltajes de fase{ ya qLte son los fnl5ffic}s

en tod,*s I as :leccione$ .

Veamns ahr:ra. }a cáFqa pará l.a fas€l I ,/ las tr*:s s;ecclones.

Ds* lag eclt;rcicnes; ya vi.s3tae obtenermos:

l(-rrÉtlrtr ; '7.9#vt 1"t)f¡va - t--)..:iE}v;r

1{)a:üür.rr s --1 .rJóV:¡ + fLll:'Vr I.tJtbV=

l{)ae{frrrr = .-r-l .3Elv= - 1,{:Urvlf + L7,9ljvr

Sumandc¡ Ias ercutacionee tenernogl

l{)ra(ci¡"¡ + Gl arr + 6larr¡} = (7.$fi} + 8"11 -r- 7.?tl}vr. - t,s(r(v:a

+ vs)

En Lrn ¡;istema balenceads trif ásica tenemns:

vl+v:a*v:r=(.t

Y eli.ininando va * v:¡ pür esta drlti¡na ecutaciÓn obtenemos:

6'¡.+.- {.;lr. t t ..i-Rt.Ii.-l- = ü'86 * ltJ--r:r.r*

:f
 |4'1
É1 larJo irqr-tierdn dF ia ecuarión representa ei valc¡r"
proniedio, Gi¡..av de la carqa cje la línea pnr metro en la faser
I . y tf;*nÉmcs efi ton ceg; :

O.t r áv = {3. ilá * It3*'rer.rt

Ecliaciones idÉnti.cas plreden derivar$€p f áci lment-e pára las

fages II v III.

La ecuraciÉn exacta anterrior purede cclrnparerse ccn la e*cuaciór"r

fipr€>í imada cler i pr-iiner caso . l.-a trangtrosr.r ción re.sLr .[ ta ern t-tn

"de:i,accple" de las fasers; y erJemá:; E€r traba.ja con valc¡r"e*E

e¡ract-osi, De Ia Crl t-ima e*clrac.ión tenemi:s qlre
C = 8.üá * lqr"-'46 lrn y fase*.

Usted puede r:ornparar curicladosamsrnte las gitLracionesi

simi lares cort respecte a La indlrct-ancia de 1i-nea en lnE
üásos cte transplresta y nü transpure*sta.

4,4 Al-üOFtIl"l"lü DE üONSTR[.J{:ülfthl Df: [.-A t'lA]-RtZ DE: I|"I[]HDAN[IA Z-

}JIJ{! Y LII f"IA TR I Z NE ADT"I]:'T ANü I A Y-BUS

HI pr-clr¡r'arna Fn Fásc.rl qlre he rnenciorrads no trae cansi-go las

aLqaritrnms cJe constrlrcciór¡ de las rnatriceg porqu€r no hace
[¡arte de la .intesncÍén de este proyectni to Írnportante aqui
 t4t
Fs qlre usitÉd 1o conclz ca ,/ qLle r en carnbio" pLreda ltt-ili¡ario
cclfft(f, recLrr!3cl i.ndependiente cc:n el ápoyo cl€r La reducci.ón de
h:.ron qLrF en él EE r-rtilira ,/ qt-re Ud. si podrá encclntrar ,/

r-rtilirar' €pn e I prclq Fárná .

4.4.1 Ejemplt: clel. algoritmt: d*,¡ cr:nstrutccrón

Eonsidere la red clel la f igrrra y los datt:s sicuriÉ?ntee pará

construrir la matri¡ Z rnediante eI algorrtmo conc,cido:

Fvc¡lc de
Yolloic connún
 !49

DATÜs DHL EiIST'EI'IA

I- INEA x(pi-r)

ü-1.

0. c,5

3*;i I
r:r. r:u:

;:*4 I
I
(:i . {)ti4
i
r--
:i-5

6-'7

4*7 I ri. t:ru¿l

7-e ! r). t4r:r

Adición der la prirnera línea

La primera linea. debe ss¡r *ienrpre r-.tna l.i.nea coriectcrde a 1a

ref er-enci¿¡. H.s{:a primer-a f. inea plrede ser Ia 1ínea {i*1.

 'J5rl

Es r.mpcreibte aíiad.ir Llna fila Y Lrna columna de cerfig ü. Ia.

matri.: ,/a qLre esta nc¡ sxiste Érr cc]mi.eri:c¡. Hl elermentn
diagonal ee la impedancia cJe I.a I ír'ie*"r , ]-errs*mos en'L,on cers;

I
l"latri¡ = 1[(:r,ü1] r I is:ta dtp bttses = I

Hl diagrama del sisterna hasta ahsra es:

Éldición de la segurnda l inea

La próx irna L ínea r:r--ll ec3 dÉr l migme t i. pa , :/ trrea Ia rnatr-ie :

1:J
r [ ',:r.,:r t.] -l , l.ist-* de blrges = l.t
l'l;rtr i r =
?
l_" r). {)rs
I

El diagrama del sistema es':

Relerence

0.0r 5
 ,'J5r.

Adr.cisn de la tercera Linea s;eLeccimnada For procesarni.entc,

EIB la linea l'-Ji qlte¡ es una lir¡ea de malla o la:o. 0 linea cle

cierre

0.084

l-a matrir set sbtiene restando la ccllLlmn€a l meln$s la cc¡lltmna

" según i.a ecutacrón i y eI elerns¡ntn cliaqanal . sltrnándulo al

:;i

valor rje la Iinear

1. I a;ro
r'--
I I rl. rrl {) r. {rl I l ieta tje buses = l. .;
l"latriu =
?
I

Iil o. {iL 5 *{r. {)r5

I |
1a zo | ,rt -{l . {-,15 ü. r {re_.|
L--.
'r.

Anlicarnas Ia redt-rccrón cle lc.ron med Ían te I a e:cuarión :

7' t.t = Zt. I Zr--t--o( LlT1--r@-lr-o)Zr----¡

 i:5Í
F;rra Ia figltra:

j la:o
I Z.r¡ -'*.:' ?-t--t-*o
I ast: Zr---*.t --;r Z1r*.¡-.-l*:o

Usted pLreds' atr1iüar 1a ecLracióri anterr.Er par€( mr.rdif icar carja

válot-o eliminando lc:s ejes l..r.ro de l* r"nátri:r cl temh.iérl
pLrede LltiIÍzar eI pr{]gr"¿\rná en eI rnefiLl der cclrnplejos u
rea I es , e I ig renrlil en tlÉ.tos I a cper;-rc:.ún de redilcciÓn cle

l::rún.

7'a,a = ü.{)15 -' (-(l'{Jl3) i-tJ.(lLS) = t-r.r)15 '- t:}.t)ü3r)ó4t1.

= dt. ü{)1t9:35'/9
 r5:1

L"e rnatrr.;r rnodifrcatla F5!

1:t
r- '--l
I I {). r)09f)r)8?37 {:}. (}L}1:i7615 | i Ísta del bnEes = I ' ?
l'lat"riz = ! |
z I t: , rrr-rtl7á1" 5 ó. (tr.t9::579 |
L__
-J

üonversÍún dsrlta a estrel Ia: La matrir pr-tede redutcirse pare

$f?r vista cornc, Ltna eetr-el la ' L,e red de Ia f iqltr-a 5e

convi*rrte rnediante las er:lraci.r¡nes conscidas de conversiónl

7tE----*-(f.L'..gl,Ilf=1'=j1.l-iij.-...*=-(:;'J;U-LÍ-!?J$-FJ=o.r-'ü157á15
{J.(:)l + C).()15 + fl.rlt4 ü.1t1?

Za = .__(.!,*_É.1..L(._rL_U€-*...)_
* {-¡, {)07 70ó4I
{J. lClY

Z:s = ..._1."r;)*.9L.fi1,"f.-r1..*1;lg*..)_ = (),, rll" il559á4

{). iil9

E.n la rs..rj de la f rqutr-a l.a imperjancia mutut;* Zrr É5 Ia sutrna cje

'Zt v ta

?'.t. = {J.0{113761F + C).r)07'7üó? = O.Or)?{19257

 ?54

Et voltaje del blts 2 es igr-ral a le caida eln ta impedancia

Z5-. Esta es 1a impedanci.{it mLttLta Z¡-a' La impedancia propia
del burs i: es obtenida por la corriente utnitaria hacia el buts

?.

Zae = Zt + 7s = rl.Orll$'76L5 + rl.tl{)1f559ó4 = t-).t11293579

ülomo vefnos eetos vaLOreS están de acu€¡-rdcl a los ohteni.ciog

por 1a recJlrcciÉr: dei lriren ¡ qLte puede ser vistc¡ corno Lllla
recJurcci.ón de La recl o a Llna rnanipurlaci*n algebráica'

Acl ición tie l,a cu'rrta I ínea

Es la I i.nc*a (-!-3 r fi L ins*a del prirner- tipo ql.te prodltce 1a

sirSurien te rnatr.i: ¡

I f)
L

-1
r [-o.or]eos:52 {).crü1.5'7é15 (:t II i i:;ta de lr:s
I fI burses = IÍI':ii
Flatri z = t I O.0r)137á15 Cl . rl l l?::i S79 {J I
I

Blo
I

rJ $.(:¡0 5lI
I

L- _-l

Acj i. ción de 1a üutin ta I irre¿t

l-,a ¡rrér: iina l inee será Ia l inea 2-.J qlr€ cierra e¡l caminc: de
br-rs3eg rla. euistentes. HI €rje del laro es la diferencra de
 255

I as c* I umnas cc:rrespc:ncl ien tes a I r.ls bt-tses 7' y 3. Yel

elernentn diason,nl es obteniclo de Ia ecutacÍón

Zt-.o--arre = Zec, + Z=;:r - '27'z* + Zltrro¡a-;s

r) . O129SS Zg + r-t , Cx:)$ (?i{ri) r- rl,lt?

rl, t3?935S7S

L.a rnatriu at-rfnentada es;

t_ j¡ .] I azo
r* . {){)(7üStE7 *i
J.
l,: C¡, {lQ.lf,7ér5 () (-)
"
{_x)13'/ó15 I
I
I
I
(r. ü.t:;19:::i57? {1. r:r1:¡9.J579
¡: l,r . ü{l l;57{i I "i r:l I
I

::i l,: rJ ü, {:}C}5 -ü , (¡c¡5

i
{l .{'12s::5579 *{l " {)ü5 ti . 139?::i:i 79
I azt: li, . rj{)1.37á1. 5
t J|

Ap L i car¡do redurcción cJe k:.ron rersul ta la siiqt.riente¡ matrr¡;

l"
,J :3

i-' --1
I | {, "
ixr9üá9r)4 r:r. {lC).[?4tv:i ().r:.r{_¡{jr:j4?171
I
: I

l{).
(){:)I'j:4t9.1 () . {J117::i999 r) .{}{l(146?t(}
I

|rst* rJe
I
I lbr-tseri = 1.t.:i
:::.i
i{t. tl¡t1¡491t rl. tXrt)46?1lt) r). {l{14t21:.-r.111
L- --J
 u5é

El dLac¡rama de sisterna es rnoEtraclo atla.lo:

Élclicirin de la ge¡r ta I ínea

L-a línea .l-4 eg r.dentifr.cada del ti.ro dr:s. Lrna línea rJe un
e¡:i.stent-er (?) a un t¡utg ¡rut*vm ('+) Lln nLl**vñ eje ee affadido a

la rnatris. Éil elemento diaganal egta determirrarjs pür la

eclraci.Érr:

7+q = Z' ¡a + ¿L-.1,n-- e-4 (). {r1L7'3999c1 + {). (}t4

tl. {)9s'7--"?999

Sjabiendo qr-ta* Z"¡r. = Z¡"*,, '/ Zx"r = Z¡,er pare h f el con q - 4

y p = i:. La fiLa csrrespondiente al burs 4 es idéntica a la
del bns 1I"

t" :: ;i 4

1 ü. ()tll?48qri {l. {}rj{:x_,4917 ri. rlftl?4E|93-1|

fl.,r,r+,:av,ro
I
I
¿- l,r,,:r+tI+g+:i r). (_1.1 L7:!,9q5 r:j. {:}r)r:)46t?c) {). ü11. 7599?
|
I I

f, I r). tlt)rlrl49l7 r). üü{)4át:irJ ü. óri4t]:1:55 r), $ilo4ó?3{) |

I
I I

4 . ,.,,:r r'.r+*+= u. {:)l '1.7:íqqg {:}. {l()O4dr:¡:¡U t-r . r-r?:i 7::i999 |

[,r _.J
 ?3'/

EL diagrama del si.stema E?s tPl x.i.gt..iiente:

Adiciún de La séci:iffia L i.ne*

La ecuacj"ór¡ {:e e.?fit¿R adicÍr¡n entreg*l

Ze:r = Zs= -l-, Z..r^-- ú-i =: ü.üü48?1:55 + U.()57

CI
"
r14i8?1":i5

I 2 3 4 5
I 0.00906904 0.00124893 0.00004917 0.00124893 o.oooo4elT
l
2 0.00124893 0.01173999 0.00046220 0.01173999 0.00046220 |
3 0.00004917 0.00046220 0.00482135 0.00046220 0.00482135 |

4 0.00124893 0.0n73999 0.00046220 0.09573999 0.00046220 |

5 0.00004917 0.00046220 0.00482135 0.00046220 0.04182135 _l

L..a cci l umnc1 es Lrn dnpl j.cado de la cslurnna .5

 25i3

rlcjiciún de La sctava li.nea

La acliciÉrr cie l.e linea i * 6 corl¡c! El linea, els llevacia a cabc¡

corno para la linea S--$t ya que es Ltna line'a de ltn l¡L.tc;

exigtente I a un nuevo bLtE É"

Adi.ción de 1a nmvena 1ine*a

1..-a l.inea ó-)'es tambi*n del ti.pa il . g] 5ed ltna Iínea desde utn

bns existente ó a Lln nl.ievc¡ bus 7. Oespurés de la arliciún de

est-as 'i:l l. íneas I a matri: rerÉiLt I tatn te es n

I 2 3 4 5 6 7'
I 0.00906904 0.00124893 0.00004917 0.00124893 0.00004917 0.00906904 0.00906904
2 0.00124893 0.01173999 0.00046220 0.01173999 0.00046220 0.00124893 0.00124893
3 0.00004917 0.00046220 0.00482135 0.00046220 0.00482135 0.00004917 0.00004917
4 0.00124893 0.01173999 0.00046220 0.09573999 0.00046220 0.00124893 0.00124893
5 0.00004917 0.00046220 0.00482135 0.00046220 0.04182135 0.00004917 0.00004917
6 0.00906904 0.00124893 0.00004917 0.00124893 0.00004917 0.13506904 0.13506904
7 0.00906904 0.00124893 0.00004917 0.00124893 0.00004917 0.13506904 0.30306904 i

AcliciÉn de la dÉcima linea.

L*r línea 4-'./ r,*s tarnbién lrne lin{i*a rle laro c¡Lte Line clos bt-t:;e$
ya e¡li.sts*ntesi 1a f i la v colurmna son c¡t¡telnirJ*isi flor la
clil'erenc.ta de las filas v cmlltmnas 4 v 7 r-eupe*ctr.varnents*.
t L elle¡rnento rlieqonal d¡r e.rgter nuevo €rj€I gÉ oL:tre¡ne de l.a
eclracidn:
 ;i59

? t-*o.*t ¡aa = 'Zq+ + Zzz - IL.az {' ir. tnst4-z

= f_r.t_r95'7f,?9ry + f).3{J:3{)69()4 -;l(().üÚ12489.5) + (l.tl84

F-l e¡e d€r} Iazo es Erliininadc¡ cotnc 5F i. It-tgtra en Los pasos :::

v 5.

Ad i ciórr cle I a on cÉ?ava I inea .

La edición de la lirrna 5'- S. como Llna linea del tipo ilt ha

s;ido ilr-rstrada en el. pasc: é.

Adición de Ia Ctltima I inea

l-a linea 7-8 e= urna line+a de cierre der ia;n. E: I. mÉtc;rcla ha

siclo i lurltradc¡ en el Faso .5
' Es clárarrentrP v'rgtcl gLte a

pesar de la cornple'jidacl de la red esta puede t*n:;arnbLarse pcrr

e?sf-F rn*f tndt¡ añadienda Ltr'¡a l ines( a Ia ver. La matr:-=
cnrnFl*ta de*l si.s'Lema clel e-iemplo e"¡ la siqlutientel

1 2 3 4 5 6 7 8

I 0.00889104 0.00r32842 0.00011167 0.0020426E 0.00056903 0.00626215 0.w275695 0.00102639

2, 0.00132842 0.01134623 0.0m55371 0.00833387 0.00r37805 0.00303974 0.00532152 0.@220239
0.00011167 0.000553?r 0.00475959 0.00r200?0 0.00425613 0.0@85568 0.00184769 0.@375267
4 0.00204268 0.008333E7 0.00120070 0.066206r3 0.w792254 0.01834370 0.04007839 o.ot464/.39
5 0.00056903 0.00r37805 0.00425ó13 0.w792254 0.03662437 0.00652532 0.01¡f46703 0.031992ó1'
6 0.00626215 0.003039?4 0.000855ó8 0.01834370 0.00652532 0.08999879 0.03364765 0.01219496
I 0.00275695 0.00532152 0.00184769 0.04007839 0.01,14ó703 0.03364165 0.07483526 0.02708638
8 0.00r02ó39 0.00220239 0.0037526? 0.0L46439 0.03199261 0.0r2r9496 0.02708638 0.06023255

iin rvc rs ¡rjit'J i

i
1

l
 ldl{-:

¡+. dl .::: E-t er¡pIc¡ dsr acl i.cién ds+ l ir¡ea con accitllet'')

Hl sir¡ltiente+ €s Ltn e-iemplo nurnÉric¡1 de1 a.igoritmo de

cc¡nstr-urcción de 1a rnetrix rnodif rcadar con lineas con acoplt*;

DATüS DE LINI[:-A

L.ínea tteactanc¡.4

ü--1 ü.1

{)-? r.)
" -*j

i
---'*'t--*---
I
1..-t | (-,-4
I

r)-':5
+----*-*

DATT]$ DE II"IF.EDAhIüIA NE ACOTJLH I"IU'TUü

Líneas I Impelancia mutttt,a

1-:: ar I

4-3 r).li

a.)EROhrN. Homer E. EioIr-rt.ian tif Larq¡e Netwcrrl';.E hy matri:r

rnethods, Seconrl [dition. Jotrn lrliley & tions. ].nc. Ne*w
Ycrrl'r
" ühiciresteri -. Brisbar'¡c ' 1f45. p. 4'7-5,5
 ::á1

I. l*¿r nr-irnelr,a l. inea. l i.nea tJ*1. . f or-rna la rnatrrr:

I
l"la'trr¡ = 1[.ü. t. ] . L it:t¿r dgi butÉsrs. = I

?. 1..-a sequtnrla línea, l.inea t-¡-I¡ dei rnisrno tipo" fclrrna.i..:l

rnatr Í s :

I.J
1 r ,-, L i.sta de
l'latrir =
2 ti
l-*,-,. l iruE,r*e = 1.?

l"_o ''":i

5. L_a terr:era iinea j.-::l . es Lrna Iine,a de' ilie*r"re dts 1a:o.
La I.inea esta ac{]pL.icl¿r muttutámÉnt{:" p€3ro cnn ntres I inr¿as cLte

nc, han $idc¡ añ*rrli.d¿rE al e3il3tema. [:L algor-itnio ( aún sin

ácople mltturos i f srma la matr-i::: :
'il I arc:
*-l
r-().1 fl.l l i.sta de h¡[.rses, = 1" i|
l'latrrz =
1
.f,
I
I
(J
l
I
I
t l{)I

I
(J. 5 -tJ. i¡
I azr: I rl.1
I
-(:). 5
L.-- --l
 IdrJ

Pc:r rÉ::dLlt:c.rÉn de Kron. ia m{Rtrtr rnclcl .1 tI.radfi es:

L. :;

I r-
t ü.{)e {t.{l$
--i
l"
I
lrst* de Llutses = l.'l
lnlai:r.rr = I
I
I
:;: | (!, ü5 {), ?5 i
l.*- ..-J

4. Adiciórt de 1a :i inee {-)-3

I 2
i*
I II r.}. rl9 (i. fi:i t-)-tI, I i.E ta de hust*s¡ = I . J
Me.tri r * i
i
i
? i!
cL.r-rS (1" ?5 ól !
I I

aici
-l ()
I
{1.51I
L-.-

$. L-a linea l*4. esta mrttuántente acoplado a Ia linea 1*?t

t;{*qt-rn }os datoe de accf:Ie rnt.ttl-lfis en Ia sequncla t,abla. i-¿.

I inea 4 es urna L inea radial ds*sde Lrn bltg ei:i.s;tente ( Ii a Ltn

nurevo bus (4) necegitarnc:t; Frj.rneirn forrnar i.a rnetrru de acnpie

rloncle log srL€imentos rliagarrale,s s{:,n inrperciarrcj.ag propias der

lms cnndr¡.ctoree y las erleffentüs n(J ciiagonales gon I¿rs

imperclancr.as ml.ttlra:; E:ntre 1as line;is. frara la ruttrna dEr

i. inea r.qd iá I con aüclp I e mlttt-to se necesi ta I

 ;ó:ii

1-4 1-.:l
r* --1
r--4 i ü.t 'r. I i
X--o¡rtr 3 tltt
1-? {}. I ü.4
t_J
I i

L.a inversión da:

1-4 l-t
i-4 l**. rto= -t .4tBóJ
x'*o''rc-a = Y¡qsprr =
r-? l*, . or** ::. Br7r.
L-J I

Para urna l inea radial se anl ica:

Za* = Z¡.r. + l!-ecr-¡t-.LlZ*.t...'-.... 3-r.[

Yr'.

La linea PC.l (1-4i esita frcoplada a Ltna sola linera RS {f-?).

Y¡nr¡ = Yr+ = 3.714:3

tle+ La matri: de acople

[-Y¡.o-r,a] = [Yr;¡-ra] = [-1.4i18¿rJ

 TáII.

El Frifiier elernents en Ia nlteva c*Iltmrra Fára el. buts 4 É?5;

'Í+t = Zrr + LY.ro-ral-*LLr.r..-:.....J.ar1..

Yl-.-

Las elementcls lr.r, Z:ar Eoft obteni.dns de i.a rnatrra Z qLte eELa
siendcl constl.Ltrda r

7-+t = ó.{:}9 + [.:L3.i186] [t:.t¿j:L-:_.j].-rl-¿g_]- = O,{)V - 0.rll. = t-).(-rÉ}

5.7r41

Za2 = Z ta * L-l.!.*jiÉál*-LJ,,t =.-.:,....3;E:El

5.'7r4:::i

Z+==(t,t-l:i.+'r*.L.,.$gÉ.É,..1-._.[l;l_."1]:i...-:.:.._.!__.-sj-ü.1_.=(),tJb+r:¡.{)S=(¡.1.()
5 . .i 1.4::;

Z+;s = Zts + L:.iJillH.É-J...-.LLus*:.J-a=1. = + L::L-S3.-#J.. l-!-t- -:.-.-*J..

5. 714.:i 5. 714:l

[-as elernentc:s diaqonales son cal fiLlIadc:s fliediante la

ecLraciún:

Zc¡t¡ = Ze¡:¡ + l-o-fl--1..-j"X¡*¡¡-rtal.-L4.ect-..:-..-1er¡.1

Yr.o

Los valores Z¡+c¡o Zr.or'/ Ztrra Eon log valc¡res que ya han sicjo

calcLrIadms
 tá5
'Z
t + + L:-("1....f--t-.:-1-..'...f¿F-á.]-..L-I.' o...-:. .--2.=. l
s. 7r.4.5

7+ +n r) . {_r 8+ l_n $* + _-.k-.1._...$!ijFÉ_J...-_L!!-.tJ€..-..::__'tl,. _l.ul

5. ;7143

7++ = {:). {jB .- {l . .ll3 = {) .;l&

,L J T 4
r-- -1
I i{r. rl9 fJ. r)5 r:) ,). crr I
i
I
I I
t I iJ. {15 {).35 (l ,). 1{) i
rnatri E =
I
I
i
I i.sta dB buses,=.1. .:1 , ¡i " 4
':li I
| {). (:) 0,5 (-l I
I I
I

4
!
| {) . (itl (r, t.t) o r-l , t¡:
I I
L- I

Incllrirlar¡ las 1íne¡as rnLttLtamente+ acoplacicrs L-4 Y I.-'J "

6 . La I inea 4-3 e:; irlerr ti. i'i cáda corncl LrrrÉ 1 inea rni-ttl.tamen tF
acoplacja a la linea 1-2. La matrir del acople incluye la
línea 1-I y es aurnsntada para inclutir" Ix linea 4-':, .

4*::i 1.-4 .t -;l

4*.5
T:-
|
{-}.
_.
j, ü {).r---li
I

X-*.rt¡¡,- = t-4
I

lc,
rJ, :1 {).r I
I

¡
I
t
1-2
I
| {1.: (-1. 1 o'o.i
L
 t#6
La r.nversiórr de la matr-is i qLle Lrgteld puede hacer ell el
prclE rfrrna de inversa de r-ea I efi . aLrnque t¡ien eabemos qLte

cüFrespclnden a valc:reg reactivaei está dada por;

4--:i 1-4 1-?

4.-3
r| 5..5É14á-1- 1 .:i:5114ó
-1
-:J. r)'Zátl:i I
i I
X--oplr-a = Y-eofrlr = 1-4 I r.. s5s4,5 6 , 15--'r.84 -I. S{r7óe
t
I I
1*;l -:;¡ . ;:i0 7á9 4 . ó15.58 I
l-:l'tzav':
L_. _J

El el.s*rnento = 5.58461 corresponde a la nlteva li.n*a 4*:5.

Y..r:s

TarnhiÉn reqt-rr.ere de lor; elernentt:s no diaqonales de Ia matrrs

de aco¡rle ctrrr-espondiente a la nuteva 1ínea 4-3'

IYpr:¡-ne] = [Vo:r--t*Y*;s.*rc:f = [1..:i;:i946 - 3.t)7ó92]

Exami.nanda 1a lista rje butses vÉ?fnclg qLrs Ia nt-reva línea eÍ5

Lrna I. i.nea de cierre cle La¡c:. Un nuevn ej e de I a:c: *r*g

afiedi.do a la matri: utsanrjc¡ la eclración si.guiente;

Zt-.o*t: = Zo¡z Zr¡x: * LY-.*o.-¡re J.-.-I..Z.¡ r,.....: -ára xl

Y¡rcl

t;
l'¡' t- 7+t
--1
I
Z t -:e--l. 7.rst- + [. Y¿:r-r.+Y+:r-*r:¿_l I
I
/Y +*
I I

l z,. a- 72, I
I
L- -.i
 ';:67

[i.,:v ,:,. oel

= (l.+8 {J + tl.S3A4á - 3. rrTéerl I,r.. ,r" '- t-t -t:15
I /5.384ó1
I J

r*-
o.
--1
t:rl
i I

=: rl,{J8 + [1.5;184é :s.{t;r6e:1:t i

i
r=.:1,¿14ú1 s; i:J.{)tJ - ü.{};:

l''''tlj
= (¡. {_}é¡

i- ---i
I ltn * 'I+re!,
itr-.o-;¡ = 'l+e ...- z;ra +' l-r.5.lrii4ó "- :5,r1 7ó9I.1 ! | / i]. f,s4ó:L
l'l
l'2"* - L-.el
L-J

l!. ,,. r;l

= f.l.It) - t-r + [1"53{34á ;l;.(:i7á?? i I 'r
trr * l,'s.;s+ar
¡1. 'r.:i:, I

[u. r,.t ,-j

* (r, Lr) + t'1 . 5:.5É4á - 3. ü záe=l i I

rs.r*+ar
[:'''=!

S¡.rro-:a = t-).1'ü + C), lt.¡ = f-t.:l{:i

 ?68

r- -1
lZr='-
' Z¿:sl
Zr -.o-::¡ * Z+t* -'- Zr¡s * [1.5.J8*ió - li,r]'7á?lJJ I
l,/5.:i134ái
l'l
l?"o
'Zz',l
L-J

3.f17á?rllr;
- ;;1
lt) - ,)ll/5.3t4er
t*J

= -t). 3

rZ*o ---l
Z+ai
I
Zt* + [i.1i384á :5.t1'7á91¡ j
Itt l/5.5B4drl
i
L-J
;:^* z='!

t--- c).;ló
--'1

lr).(,9 - |
= O, Ji¿r - f:r + [.1 . S::ifJ4a ::;.ó7ári?:l i li 5":]84á1.
l,).r:u - {_).l{i I
L* ..-J
 t69
E:l valür de Zr-ro-rr-o €5 caict.tlada pür 1a ecuacrÓn:

Z t.¡:c¡.--:.--e

-Zp--r¡-o.I

Zto-o--t-ilF = 7a-.].¡ro - Z;s--t--o

[--z'-a¡ro - z+*r---'l
+{ l.{) + l..Y¿:¡-.*Yo=-*al tl t* r ¡xo - tc-t'---i llY+s
l.-..-t

Zt--o-l-!€ = r).t? + ü.$

r'-ri.(ió {J.:lt*1
I
+{t.,r) .{- t1.5}84& - :3.1176+:?.]
tli ,:,.,i¿ - (J,;:(,) I
) /5.3É461
i
t_ -j'

- rr.72 + to**,?E#f* = fr.e4

 =7ü
La rnatri; {¡fit-tfnetn tacja r*s :

I :: l' 4 la¡o
I r: ()9 (l . ü5 {l f-r . (ltl r). r);l
i
{). r)5 35 rl l"{l
I I
? I
I
tl . ü. r: , i:()
I
I
I I

] I
l()
I
{) ü, 5 {) .-() . 5{) l

I I

4 lü. {)8
I
(). 1rl (J ü. ?6 {). ?4
|
I
I
I
I aeu it-¡. flá
I
0 .::'r:) -.ü . 5{) r), il.¡ {1.94 I
I *..J

La clral Fs redutcicja medi.ants* La reducción cle l::ron:

1:1 3,4
I r). rl86L7 {). ()3'7:i3 f). {);5.[91 {). {)659fr I

Í ü. ü3'72.3 ü. i{)745 Cr. 106f:S

I
r). t)s$19 | I ista de bnses=
3 {).0:519:t {), 1(r6.i8 0.?34{)5 ü. 1I70t
I
I
r . a.:5,4
I

I
4 r),0á59ó t).r)S.:itg rl" lL7{)? rJ.2r)851 |

InclurÍdas las lineas ¿icotrladae rnuttltarnente i-It l--4r 1--3n,t/

4-3,

4.4.;f Froblemera

4.4.:5. 1 Fc¡rme la rnatrir .irnpedancia trlts Z-burs de la red de

la figurr*:

raSTA66" 6lennw y EI-Abiad. Ahmed H. üompurter Plethods in Power

Systern Anelysis. l"lc Graw-Hi.l1. lc.oga l{utshe" LtrJ. 1?ó8, p.95*1ü{)
 'J71.

4.4.:5.;l Mrudj.fÍque la rnátria impedanci.a bus par"a innlutir ttrr

nLrevc, elemernto d*sde erl butsi;: al blts 4 con Llna i.rnpedancia cje

(:¡.:.:i y acclplaclo ;rI e j.emerrta 5 ron Ltna impedancÍa muttlta cle

(-1. 1 .

.[mpedanci*t FrúPra i"h-r tua

Nfrmer-o CÉdÍqo Irnpedarrcia

cle I d*:1 bt-ts Zr.,,,'""
erIernentt: F-q

I l" -:;l { 1) {). ó

4 1-:1 { 'fl fJ.4 1.-r(r) r) , ;::

I 1*:5 0.5 r-?(1) ().1

'jt f,-.4 {1.:i

5 t-4 rl"l
 2'/?

Pasc: 1. Comenramog con eL el.emento I' el cural es Llná rame

descJe = t a q =f. Lt:s elernentos
p de Ia rnatriz irnpedancia
Eturs para la red parcial son:

Z¡:.¡.¡e =

f) | {1"ó

üc:mc: el. nodm I es la re1'ererrcj..¿r" lcls elemr*ntc¡g de¡ 1a pr-imer-"*

fila tr{:Jl.Ltmna EiJn {:{f rm.ii; y nc} fiece5;itan egrr-ibir-E;e. As6i

Zsr"¡e = l.:'i]
flar;c¡ t. Aíiadimc¡g eI elernento 4 qt.le es eslebón desde eI blts
cje rcs'fer-enctá F = I ál bus q = "1 " rnututamente acopiado ccn el
erl*rrnpntc I. [...a mat-rir impedanci.a altrnentada cc,n el nsdt:

fi rti c.io I ( e.: es cJe I I. a¡::t*o ) , s3erá ;

I
 ?7":I

Donde ¡

ui'.L r.2 l.
* Le +' Y-t*. ? ) ¡ l?, t, ll_.t.=*.-_--azzL
Yr=< a> - rz<2,

Zt F'lml- + -l*.f-*-Y.rril( a), r.:=( r 1.f..--Z-* t-.-.:........4.ar

" = Yr.a<:e) ir.a(a¡)

'Zt
YZl-a= , = {J. Éie invi"erte I a matri¡ de irnpedancia
nrr.mi tiva de la red parci.a I para otltener Ia matri. a de
adrni tansia primi tiva (en su progr-arná de rnvr:rsa )

1-3{1) t,-2(3)
1-r( I i
t:z
7. ¡i =

1.-.'J ( r )

1*3(r.¡ r-?(2)
r*:l(ii r-'*-*---.-
l;11-r.l
i¡i
trl
ttl
f-Z ¡., f -'J-"t = t"Y ¡-. ¡*7 = ltl

r.*?{:: ) *I ;i
 ?',l4

Hr-r tclrr ce* .

-O"ó + .!_:.1)-!.:-.tl:_É-..)_ = -{1.4

3

Lt-l Q.4 + L.:..' f..il=l.o.J)- = t:r.6

T

Y I a rnatri I alrrnen tada es3 !

:lt
[-,1. a -c,. E
tl!l
L:-r.o -. :j

Hliminancio las I*ésima fila '/ columna. da:

'l'a,nt = Iea 'lprLra = (t-á -

f:g:t_ll:L__ju._ = {r. r33:s
lrr {). ó

:l
Zar¡e = ? I c¡ . 35:j;3 ]

Faso .1. Añadiende eI eleme¡ntci t, erl cural es Llna l.arn€r descie

el bus de refere*ncia n = | al blts q = 15 n inurtuan¡en te acr.rp I atJc:

con el elernenta 1i gie eñade urn nuevc¡ br-rs y la m¿rtrir et;:

 175

Z¡rure =

Doncie

Yr-:5;-r-3(2)

Yr¡¡ - r;¡

Yr;¡. r:: < Zrs Za=

't-
4;:;:!5 -
't'.r;s
- r;s

Y Zr.a, = Zr:¡ = tJ. tie invierte la matriE ¡'Je irnnedancia

prirnitiva páre obtener- la matrir der adrni-tancia primitiva.
.5e puede notar qlre primitiva hace re'f erenci.a a equre*l las
matri.ces donde lr:s elernentos, Frspios son los velcres cle las
Iíneas o elernento:;, y los rnútlros. los valores rle los acr:ples
mütturos qlre puerJen existir entre el log,
 :.J76

1-:{t.i 1-',;{ ( ? ) 1-3

i-- --t
1-rt1) I r).á
I
r). t rJ,L l
I
17 ¡-, ¡-) = I I
t
r-3(:r) I
| {).=
f
rl.4 I
I iI
1*:5 I o.1
I

I
ü.5 |
I
L.- J

1-3(1i l-',J(2) l, -.5

1-:t1) r-
--l
| 2. É83.-E *1. . r1417 -ü.41d17 II
I
I
I I
12 ¡-,l-'-l-t = lY ¡-, ¡-J = 1-= {:: j ! -1 . Cr41.7
:5. r:,?r)8 ri. erlEtS I
I I

I *.1:i *r:,.41ó7 ü.]J()t:; 3 . r:rli::s::

I

| I
t_. -J

Entc:rrces.

-{).416'7 I fi. ?{:t8::i -t.j , :.1;li¿i.5

Z:s:a = Zar =
Yrs-¡.*

= {J.0535
 ?77

-C'-4Lá'7 | .:r-#:crct:t
l+

¿.::t;!: --
'J (i$.J:::
"

- {:).48.ji:i

l l:i
t--- --1
: i r¡. :5.5:5.5 r) . (:)3.:i5 i
Zg,ug =
gItt
r-r. r-rsr: cr.48f,:5 I
t_. _J

Peso 4, Élñadimog el elernentr: f.. sl cLlel es una rarna desde

e¡l h.¡t-ts p =iJ' al blts g = 4, y siln acoples. Este añade Ltn
nH€¡-vü br".tg

'lna = 7+a, = Z:s* = ()"{):::i-{:5

',& t!84 .-
-
'lats ñ Z=;:¡ = {f '48::J;.5

'Zao = Z.o,+ + Z*e-:l,a = ü,48::i.5 + {J.S = tJ.9H::iJ

 ';.78

Así,

2 :i 4

z [1. r,r:;r f:). ü:3.J.5 ü. ri3:iill

Zar-¡e = I
I
3 | Cr.0.J3:5 r).4B::i¿i {).4f1:tl I

4I ,r..r.,,=., rl,4Étsf, {,,9833 |

L J

Faso 5. Se aiiader el eleme'ntr: 5. qt.r€* e$ Lrn eslabórr desde p

= 2 a q = 4" y sirl acoF:[es. |..-es el j es de.L l a:rm Fará ia

matri! áLrmelntada son:

 Í't9
La rnatri.¡ aLlmentada es:

;i :i 4 I
r -'-1
'i:
I r).3:331
I
{l . ü:ts.J rl . r):i.J::1 ü.:irJür-) |
I
I
3 rl . r):s::i:::; r).48:5:3 ().4S:5.J *{-}. 45fJ{)
I
I
f
I
I
I
t1.48:iif,
4 I o.03:::i3 {) " 9f;t;sti -rl..i5r:)() |

1.
I
| {l , :5c,f:Jr") -{:}, 45r)ü .-{).95r)il .1. .45{)O
I
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L- _i

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l-lc:rno eI nLrevo elerna'nto e$tá ac{f,Flarjo ssIarnente a r: t r-o

elermento, €?E sutf iciente invertir la $Ltbmatri¡ rJe los

elemerrtas aco¡:ladas, la cttal F$l

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4.4.4 f:'roblemaaa

fsara el sigLriÉnte Eistema trifásico con la qráfica orientada

respectiva

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4,4,4 " f Fmr-rne I a mi*tri ¡ cle inciriencia A con tierra clfrno

re¡l'f ererrcia,

4.4.4.:: Fnrme Ia matri.¿ admitanci.a Ybue pclr' transf orrnacrón.

It.4.4.::1 Forrre Ia matrir impedanc:"a ?-burs usancim eI

lagari.tinc:.

Oatmg para el :;istema trif'át;j.co" reactancias cle li.neas y

generador-es

Impedancia propia Impeclarrcra ¡nlrtura

* de ü*d. del Irnpeidancra üód, de.t Impedancr.a

s*lerrrerrt. trurs p-q 7 Fr¡t
& t "ts.e brtg r-s 7',o " -*r r tt r e
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4.4.4. l- Lsr matri: de incidencra buts Es!

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Donde U es la matriÍ Lrnrdad f, :< J

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o
o
 TH?

4.4.4.::j. L.a rnatrÍ: iinpedarrcia bug pltecie formarssr aiiadiendo

prin'¡ero todas las rarnas \! lr-tego los eslabones.

Fasu 1., üornenuárncls con el elemento l-, 1* Farná des3de p = I

a q =f'

La metrir de la red parcial eg:

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I
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Faso .i. dlñadrrnc:s ei elernento" la r-arna rle¡sde Ei =I ag = .5.

Aiiade r-rn nUHVc: bus flara la matr.ir:

:i :5

cl, b ca b
--l
a i-r. rlgr-r -{J. rl'J'j -C). r)t0
h -ü. {)?{) ü. r-rü{r -ü.']?s
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Zgr¡at¡b¡G = c --{J. {125 -0 . ()'J(J {:r . {)g{)
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|
t J
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Faso f,. Afiadimc¡s el elemento ¡{. rárna de p = t a q = 4.
Usando I as f úrrnur I as .

Z.¡r-rtr¡G s Z¡'r-¡t¡rc i = t, :5

Zrot¡15¡G = Zr,,t¡tD¡G j. = lf , ;:i

Zo.,-¡tt¡G = Z,,a-'¡r'4: + Zr.orFa-rt"*

La matrir dF rrntrÉcJancis lf,Lls eg¡

/i
\, o @
obcobcobc
a 0.080 -0.020 0.080 -0.025 -0.020
-0.025

€)b -0.020 0.080 -0.025 -0.020 0.080 -0.025

0.080 -0.025 -0.020 0.080
c -0.025 -0.020
a 0.080 -0.025 -0.020
z";t¿i - @ b -0.020 0.080 -0.025
c -0.025 -0.020 0.080

o 0.080 0.680 0. l7ó 0.180

-0.025 -0.020
0.180 0.680 0. r75
c)b -0.020 0.0E0 -0.025
c 0.080 0. r75 0.180 0.680
-0.025 -0.020
 |/.':]L

Pase 4. Añadirnc¡s el elernentr:5, el eslabón de tf, = 4 a

ct = :i. Fara el nc¡do f icticin I :

Zr¡.-rt¡¡cr = Zrro¡trr€ - Zq.r¡tr¡c i =::: r 3" 4

71-1.-¡tl¡c = Z*o-¡tt¡€ Zra-¡tt¡G j. =.'J" Jr 4

Zrr-rb¡G = |e'.-¡lare -. Z"rr.-rt¡'c * Za^.rq-.tr=

Asi" Ia matrir d€r irnpedancia autrnentarla es¡

ooot
oicabcabcoóc
a .080 -.025 -.020 .080 - .02ó - .020 .080 -.025 - .020

ob - .0?0 .080 -.025 -.020 .0s0 -.025 - .020 .080 - .0?5

c - .025 -.020 .080 -.025 --t "* - .02ó -.020 .080

a .080 -.025 - .020 - .080 .02i .020

.020 -.080 .025

ob - .020 .0s0 -.025
c -.02t -.020 .080 .025 .020 - .080

.080 .080 I íi) 180 .680 t75 .180

a -.025 -.020
lso .0E0 175 is0 .650 rro
ob -.020 .080 -.025 . .

I/i) .180 .080 17 it 180 680

c -.025 -.020 060

.025 .020 .680 .lrC .180 l.000 {50 {00

a .080 -.02t -.020 -.0s0
{50
tb -.020 .080 - .02t .020 - .0s0 .02¡ .180 .0s0 17'o . {60 I .000

.lro lso .680 {á0 {60 l .660

c -.025 -.020 .080 .02í¡ .020 - -080 . .
 7.9?

l'lerdrante la recJutcción de l::ron (también en el programa):

7Ll <ñocttl.tG-dr)''tt¡G = Ztl <-nt-- rrr l- rl.l.m.Ln-caón)'¡tr¡G

Z t t- r b r e ( Z a t t ¡ tt ¡ € ) -aZ r J ' ' b ' c

l-a rnatrir de impedencia resLtltante es:

@@ o
obcobcabc
a .07{0 -.0219 - .0176 .0060 -.0031 -.002{ 0{68 -.01{.1 - .01l5

€)b .0740 -.002{ .0060 -.0031 -.0115 0{68 -.01{{

-.0176 -.0219
0168
c - .0219 -.0176 .07{0 -.0031 -.0024 0060 -.014r -.0115
a .0060 -.0031 -.0024 .07{0 - .0219 -.0176 0332 - .0106 - .008ó

z'i'ü'" : @ b
-.002{ 0060 -.0031 - .0176 .07{0 - .0219 - .0085 0332 -.0106
0032
c -.0031 - .002.r .0060 -.0219 - .0176 07{0 -.0106 -.008ó
1097
a 0{68 -.0l.l.l -.0u5 .0332 - .0106 -.0085 4014 1071

oó -.0u5 0{68 -.01.1{ -.0085 .0332 -.0106 .1097 401{ 1071

c -.014{ -.0llr 0.r68 -.0106 -.0085 .0332 . l07l .1097 ..{01.1

Fess 5. Añadimog eI elernento J. el e:;lebón desde p = ll a q

= J" rnutuamente acüpIado a.[os Rlementcrs r[ y S, r"ste

elementt: no está cclnestado al nodr: cle referencia. Los
elernentos rle las filas y cc1umnas trara el norJo ficticio l :;e

obti.enen cje l
 :!9.::'

Z r rt ¡ It r € = f,,,*-rE rG - Zqr-¡t¡¡s -F (Y¡r"¡rnr€ürt¡r€)'* Y,'a, o'rb=f

tZ a-rl¡rq 7ot-rt!r€) i. = Ir¿i.4

Z I r- ¡ t¡¡ e =Z t.¡r-. t¡. s - Z rat ¡ E¡ r e + (Zt Grb¡'e - Zra-'b¡e)Y o,.o*

( Y¡,o , pr"r- r t5 ' e ) --a i ,= :':

":5,4

Zrrtrtt.c: = Zrrrt¡t¡rc '-

+ Yo.o, rf,.tr,*(l 1-,tt¡q

La st-rbrnetr'Ír Zr:¡-rc¡¡G EFi

7'-z,-rtt¡€ s'La,.et¡ttrs Z:s:a-,h¡e -F (Ya;s".jts-'tr'e)-'¡'l(

'/-a,z*¡trre
I Y=o, a*5t},te - I.+A-¡!r¡€

'L+a^.t¡.e Zsa-¡t¡¡E
-
 ?Ll4

.tt741-'t *.. ütt9 - ..::rL7 6 . {:xlárl -. ürl3L -(t. t¡34

-.i)L76 . t:t-l 4t:, - . rltl9 -. {)rl?4 . ü+á() -. r)r).1:1

-. ü319 -. C)176 . D'74iJ -. {:}ri.Jl. -. ü()?4 . (l{_}6rJ

1.: "2 .t -.. r35ü - , l"i:5{) -. l?5{j -. r?5r) -. L;15{) -. 13St)

.3 I¡¡:l , .[:Srj - , 1;:5(l '*. l'J5r:l -.1?5{) -. l"t5{) -. 1t5t]
.7 .T 1.3 -. 1?5(l -. l-Ii-,U -. 1Í5i::, -'. Lli5t-r -. 1:15{) *. 135{)

. üi7;l - . c'fl'Z 5 -.O{lát.

-. iJ(ló1 . {lt7;l -. {l()75
, üó12 -. t)25á -- " {rilI{)
-. {)(:}75 *. {:){iál_ . {l?'7?
-. üIIr) . +61:i -, ()?5ái
. {,4f)El . {)113 -. ü{)?1
--. {1t56 -. {l:13{} . r)61t
- . r)()91 . ü4f)€t - . {,I l:5
-. üLL;i -.{,ü?1 . c)4r)t

L.a gltbmatri r Zar'r tr ¡ s eg3 !

?z'-¡tsr¡c = Z:¡:etib'G - Z=;:¡-¡b'€

T:lztrtst¡e - Teat¡t¡¡cI Zaat¡b": Z:¿:strt¡re

( Y=;s .*lir-' tt t e ) -1
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-. i)17á . ü74r] -. rl?t.9 - . rlr)?4 . ütjÉtó * . (_xl:s1

-.0?19 -.üL7á , {:}74{l .-. {)c):jil *. r)u;:4 . {)r-)á{J

. {r?7? -.0*'75 --. {)r}61. , rl4rlü1 . rl l j.,3 - , rlr)91

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1. .It7ü .14:i4 . r50á
--.1:.:)L-/6 -- . Ü49{L -r).'JC!4
. 15{)ó .1 .317ü .14:r4
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. i4--1,4 . 1sfló 1.317r1
. {)'7:i4 _ü. J{tB -. rl:á4
-.rl,, ?64 o. /;54 --. {13{)8

-. r)::{üB -r). t64 , r)7:54

 :J9'7

La matri¡ de impeuancia altrnent*da eri:

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Esta rnatriz truede verificarse inv:Lrtrendn I.a matrii de

adn¡itancia abtenida en eI itenr ant*rior. Usteci plrede

rnvertir pnr slrbmatrices y oh¡tendrA el mismo r€rst-rltacia f inal

(el 1s*ctnr misrno puede verif icarlo asi cc¡n los Frocrarnas).
 r99
4"4,5 Frnhierna

Para 1a rerl moE,tracla err la f igur-a. u*et ti.erra (rieuttrmi ct.lfici

reyf ereriili"t,, L-as i.rnplerd+rnci.*.s oe I ineaE¡ cJe 'Lransmisiórr de

secltencia nos3itiva. r*n bases l.{:x:, MVA Y 1r)(J l':.Vr son:

F?,ara eI generadOr Xr' = X'3'= r).5 pLr

X'o - t).lS pt.r

r0.0: 10.03

FlesistenciaE r/ reá[:tünc.t.as Shr".rnt se desFreciarr"

4.4. 5, I Der-ive Ybr-rg por inspección .

4.4. 5.];l Def ina I": gráfica arientada corl árbnlers v

es I at¡ones . f.tbtenga la rnatri.z rje incidencia rama-ncdal v

ürsela ÍraFá ob{:ener Ybus.

 :.iiuo

4.4.5. '3 DerÍve Zburs mediante el alqnritmo dEr ct:nstrr.tcriÓn -

theqlree los rɀLtltadclt-' invirtiencla Y bt-ts.

4.4.5.1 For inspección:

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4.4.5.:: r-\drciún de la primera .[ i.nssa de I r]erieraclor I .

l"latrir = 1 til.51

f.ldicirSn cle 1* ssrfiurrda l ine¿r del. oener.rdnr 2.

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Far r*rjucción de 1...r¿:n:

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= Zrr - Z*--r-.o( - -.-.........-L.....-
-i Z.r--o.-r = .r iJ. 5 -r( (l..i.Lill_._Al_
Zt *-o-- ¡. - !é i. . (r::

= r). ?55

7' tz =Z'z¡- =Z t¿ - Zr.-l--o ( Z r-.e*;r =c¡ - í!1.*I"ll-t).5l

-..-...-...L..-.-.-)
Z,-..r*t-!6 (1,C'2i

ñ r:i. ?45

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Ln2- 7z= - Z=-r--o( i )Zr--o--:a = C}.5 - l-:-!¡.-Ll f - -!L-: -il..
Z¡--o-t'ire (1.ü3)

= {1. t55

L..a matrie rnc:dif icada es:

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t |r,r. t55
--1
(i. ?45
l'latri a =ll: t+s rr.'Jsti
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i,) " I
L... J

Adición de le I inea l---;i ¡

Zr:s = Zz,a * 'ZÍ-ln-- j tl. t5$ + t-rt = j

t-rg = .j t_r. {1. ? 75
 .:i{)4

Lasfi.l.aSVl Éon idÉnticag

I ,..¡
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I ":;::$5 r:), ?45 tl. :;:75 I
L_ !

Adi.ción de 1a I inea .l*t l

Es urna Iínea de cierre de 1a¡o. o la.zo cer-rado¡

Zt-xe-tr:o E ?za, * Zrs=r - llZ2= + Zl¡nra ;s-=

= o.::s$ + {J.?73 - ?, * {r,i:45 + u.{_rf, = {_)"(-)z

Z.r.-t-.o Zts 7 t:d (:¡.355 rt. ?45 = ü. ril

Z¡'--.¡-t Z
=¡.t.
7"'r. rl.;ls5 ().:45 = rJ. {:)1

I=l-t-.o Z=:* 'Iz=. r1.345 ().155 =-i:). r:)L

Zr rgo--=t l'*n 7¡Ez ü.345 r). t55 =-o. ()l

Z:,- r --o Z;¡¡t Z== {l . :¡;¡ 5 r-!.;i45 = (). {):5

Zr ¡ao-;s Z *:o Z:¡;; {1.:t75 {1. i45 = ri , rJ:1,

- tt Ztr Z r - r-r- ( .-..-..---..-. :l-...--....-t 2 ta r o- r. :3

Zt-.--.¡.-re
 :l;(J 5

rJ, 345 fr).ü1i_(.-Qr..rl¿J.- = r:¡. tj46

( (r. o'7 I

7'a*- = 7a* - 7=-t --o( s

-..*.---.I-.---'-lZr-¡ro--2
Zl-to--l--o

{). :55 - f.:!_ri)U__k1=l.Jj.I L= {j.t5.:::;ii'7

({j.ü7 I

tl.:;j45 - f..!,.9.¡_i_{._[1"-!J't. = {-r.:4?ts5

( t). {17 i

C). ?75 - _(1J..._4..1J_.t.ll*gI¿ = rJ. Iá.Jr4r

({t'ct'7¡

0. l;is:i - it*ll,;U_-Íl_r"{.1¿.L = {). 2S{t.?1.4

( {). f:}'7 i
 3()6

L-a ¡natris f inal es ¡

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I {).::3::is ü. i:4é; (i. ?5(l';/14
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Matri.r = r i rr. ?4a {:j . tq3.c7 r).l4etH5 !

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L_- ¡

4.4.6 Probleina

Fara la red de la f icurre encclntrar ¡

4.4. ó, 1 Zb---- = Ztr..-

4.4.á.2 El voltaje en cada barra.

4.4, á.:3 La cc:rriente qLre circurla por Lrn condensador que

trene Lrna reiactancia ce 5.{) trr-r cnnectado en Ia barra .3 al
n€lLtt,ro.

4 .4 ,6 .4 L-a tensi.ón €xn cada barra desFurés de ccns'ctar eI

condengaclr¡r
 .\ü'7

i0.8 il.0

r.281É. l.20Boo

4,4.á"1 F'ara hal lar 7¡---- hal láficlrr prifnelro Yb----

f--
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. 35 (), .5::i r),45 1

L: -.J
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4.4.¿]"2 F:'odemog fiünvertir Ia rerl en una red rle adrni tancias

cc]n futentes de cf]rriente
 :l;(Ji3

T--
rt- L.lg.¿!lj_ = 1._eL/-!,: = 1,é/-gi)" = -jJ_.ó
.j 0.8 o.8¿-?,ü:

Ia = "l'-"ijll#li: L.-!!.L:5r]j- = 1.t{J./_;óOi - ri. dr .i 1 .0:5

j1'cr L .t:-, ig1.t"

üon la Y¡ar-r y La:; furenteg de corriente hal lamos!

V: E=YI

f"-l
ttl [],u ' ==
j2 i5-¡ l--' -i1.ó -1
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| j:
ttl
I E= | -j5.5 .iz,5l l,::,o jr.rl3;f=
ll=l
L-'*-l L-'* .i 3.5 -,*Jt!l L- C} J

r + --1
rt..tl
l-11.14
tt
= i *;l " 4ó5 .j:i.:5 I

li
!r.-,.tzS * .j1"Ei
L- _i

4.4.ó.3 Corr EI condensaclsr conect;rdu " la nl.reva red e5:

O /0.5
 :;()?

Hallárnüs Zr,-r", por- C cle -i-ncrdencia;

rafná
+
I
I t -. I á:c:
I l_ {) (-t

t ü I {-}

; r:r -r. () 1 ;l
::: -1 -1 (-¡ i
$= E'r = r:¡ 1 -t O (:¡ -11 I

4 ü {:, I I

ó {-} {r 1 -t -ti
!3 I {:} .-1 _._J

¿tr a -l -I
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-l | = Z l-.o
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!-j o.:
I I
-jo.4 j4,7.11
I I
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L.. __i

I i,ii.ir.,,.:,:,
l i,¡.'
,.-. -..-.,j;. __..
 :51{i

l'ambién plrede h,¡icerse por simple insipe'cci.d:n .

El--* = Zt--o * Ir-.o

f t-r* -' Z r--o--t Er--.r.

LnvertÍmos 7r-*o (mediante el prsgrafná de inversa)

rtl. --1 -l
[',-1 I
:.54 rl¡
" :t.:i
f-t . rl::
I [-.r . rur--*-"

I al , . r,,r¿=rt-,; j=
I I I
= .j lft. l.j {-). 1 7 (1. 0.J
I
¡
I
I I I
_t
J.
=._J |
(l . ().5 tJ. t-¡2 t:.:r1 t:) |
t_ L- -*J
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,). '73"/ -1
|
+ ._irl.(i7tl
I I
r). ::54.:::; + j
I I
II r_r. It)'il I
I I
t
l,r- 059
I
+ .j ü. t)l11|
L* _J

Con I t-oo err ct:n t ramo:i L del paralelo de La trarra.S:

Io---trlo = Ir + I:a = 1.1 + jtl .i€l

Ic:on.rrn:rcror (divisclr de cnrriernte) = (J.73 +. .jil . L?

I* = I¡, E* = I¡,--^rrr€( _"i."r.¡..t") pl paralerle. c: conden$adnr,

Gip -jrl.3
.f'amtriÉn putercje calcutlare;e pclr
vüItaje cnrrncidcl e* irrvar-i;lnte.
ya encontrado, en el cc¡ndengaclr:r c,
 :l:11

4.4.ó.4 Nlrevarnenter E = YI perc: Y se modifica con la

reactanc:r-a deI *ondensadnr. asi ¡

[::*'==
; ¿1¡
J4 j3 I
I

Yts"---- =
I
*j5.:i jrrsi I

| '= I

| ¡:i j?'s -j7.{¡l

I
t- I
t

r 8..*-1 r'-j 8.25 jÍ ,tlil f-- -j1.ó I

I I I
lft
I E= | | j? -j5.5 -i3.51 it:,4 j1.r:::il=
ll=l
[_'=J [_ " .i;l ' 5 -"':ll!{:}f
L i
í-- *1
l*11".14 + jl.rl
li
= | -.?.4ó3 - j.i.:3 |

tt
ll"(t,S¡:¡ + .iJ..5l
t--.-.. *J

{:i $€a oLrÉ n{l aI ter"* f:,¿ri-¿i narle e.[ valtaje" conicl erra de
eEFleFür6e.

Lclei resl.r I tadús Durede veri. f i. car L os atrroFra(lamente er¡ $Lrs

prc'gráfnas
 :l;1?

4 .4 .'I f- rc:t¡ i erma

Di.señe* la matri:: de irnped.rncra bus pará la red de treg butses

der l.a f i.guira. L-as valores rrurmrir.rcc:s trar-cx las dos imperdancias
acmplada:¡ y los tres elementos des serrrre*ncia posi.tiva nc'

{acüFlados gon dadosi f*r'l la siquiente tabla:

ü I elrnen to I mpednn c ia AcapIe murtlro

I j {-}. ür
d:' _i rl . {lt

'",: j r"r. (j4 (::q-5) jti,OJ

4 -'t r:i. ü4

5 .iü"{)4 (F*3) j0.r)t

ET acople mürtuo entr-e las slemento* T v 5 es positiva para

Ia ori.entación de 1a rama esperc.i. f i. cada .

c
Bus Bus Bt¡s

o o
 :::1'5

t-* rn.rtris de irnFedancia hlrs par{:i¿rl. r-rtr I i.iande sr:lamerrte lnsi

elernento:ilyles¡

[ii.,:,r (] I
Zas¡-rc¡ = ii

i:: o '.,.jj

tJna irnpeclancia falseada nü acoprada Z = (J + _i().f-):5 desde

tierra al bns 3 es eintrlearla F¿{rá al.rrnentar el or"der'¡ de ia
matriz de impecjancj.¿r trurs parcial a.:i x.3:

r" 01 r) (rl '--1

l{,.
i
-i ir: {1 . r}r {-} I
|

i
I I
{:r c) .0:3
t: J
I

EL próxirno elnlrlento. 4" ficrfi aCmÍtancta Y., = -.1 J5" pret$ente

en la si.gr-ri.ente¡ eclración:
Zñ'+'arruÍ = {Y-s.r* + C!.r.y*Cr)--.t

= Z-pr.¡e¡ - Zts.r¡sEeatY-'a- * CrZt-..re¡Col)--¡CrZt'pr..¡e (*)

Esta propieclad acJi'hiva de.Lal: ¿rdrili.tancias rss apravech*da

para. eI aLqoritrrc: Zst.¡a para e*1 casc¡ de eilementos rnúttr-ramente
acclF I ¿rrlc¡s .
 .5t.4

t-a matri: de cone¡:ión rama nod*rl Cr:, Ia cltaL añade Ia

admitaricia -j35 entr-e lns bl.rses L y ii es:
Cr = Ll *1 {Jl

{.jon estas dtrf inicicnes de Er y Y.,r la ecu;rcién para añadir

el elemento 4 es escrrts comn!

Zap¡.¡a = Z*rrus Z*su*,j

['l: j{j'ort
{- r'l
tr -1 t)rZs¡¡ueI
ji'-at

r-
rrl--1
tlll
l- l- -1 0]Z:::e¡sl.r$ = Z=*l.r* ¿seue | -1 tj.{J4 + l_1 -i t}1 *
tllol |

L_ J

[--' o. oil ['l

ll -
-r,r.,-,= z,*stJ6tl-r.
tl
| |

|
L'1 t_._J

Í--,r.,ril
15 .t-t4 {- jr).03:l-''[1 *i t-t ] l;r..r, = Zsst¡e l-r0.üll _,". L ,- *

1.., j .irJ.tJ7
 .515

*i
f-
Lcr"-4 ? * lt)--4 ,i

¡.¡t"¡.t)l jó.üt tll = Zs*lr" _-¡_

tt t? tl()*4 -4 * lO-4 ,ll
I

.i (t. flz |
IL_J ,", {_} |
dJ
i

Eg necssaria r-eierilplaser e,[ ele*rnento falseado pür el e].ernenta

acsnladr:. Coma en eI paso anter.ior, l.a rnatrí¡ de imtreriancra
pri.mrtiva y gt-r inversa son repres$ntaclas para mmstrar el
acclple mlttr-rc¡:

(:r.0{)l t_l (J {_¡ r-¡ -1

|
I
ó (). (lOI C) {) üt t

I Z¡"¡¡ r ¡n..i =j ü rJ O. ()()4 ü ü. CI:i

I
I
{:} () r.) (i. c,4 í)l
I

I
i
{J {) Cr . r)I {' {).04 I
I
.JI
 ::i 1 ór

--1
o () ü ()
[*,,,
{t 5ü {) t-) {)

l..Yr=¡r¡rrl = --i {:r (-,

ulo
'11'
{) :jg
,.jl

Q (t (_t
25 {J

r) (J
:-Eg {)
"+!,.9
.5 5 I
J

Uonsi.dere los element¿:s tres y cinco e Eer insertados

eirnultánearnsrnte pare la nLreva matri: de conexiÉn Er es de
nrden de ? * .3. F-ste es Ltr-ra matri: de incidencia rama--noclai r
clLrÉ+ conecta e., I elernents 5o directarnente de'gcle eI burs I al 3.
,/ el element,a :5. descJe el bns .5 a la ref erencia.

Br-rs L llurs t Ér-rs

_¡f

t-
{) to 5
Et-
I
I
I
t..
r-)

'l
I
e I ernen

Irt 1 1l e I eme*n tcr 5

L_._ _J
 *L7
L.a matri::i rJe admitancÍa Farfr las element$s a Eer aitadidos.
ment:s el el.emento falsea do (desde Ia ref erencia del t¡r-rs 3) u

es como eiqure:
r-
I 10il
--'l
ül ñ --1
-5ü |
I :_j-llJIl t- ?g I
i:5.5i
tl
._1 I :5
Y* =--_i I| -5{) I
I

| = j
1ü{, I
(l c)l Stl
|I ---" -I{)(J
|
l3$l
fl
------ l

i l3 ::i I
t__.. _-..1
--l
t_-. ..-.J

De Yr"nr¡'r e I emen to
f ¿r I ssado

1....a matrj..; cJer impedancia brrs f ina l r¡.*ra Ia red es exprenada

e11 .L a f crrr'¡a de la ecLracr.clrl:

*1
t- r:r
¡ rr
I r- ---t

ser-¡*¡=Z4sue Z.=,.r.|I C) I
ll,iY'-a- + l,r c) _1
I
Z.¡r,r. *
Z
| 1 _rl f
I -1|
I l,)
L-
f-l
L.- --J
-r

t---- '-''l
| ,r ()l
rt:t -r-1
|tlü
{)
l I
1! l'-a I I Zar¡us 3: Zae,¡*r - Za¡,r-¡eEtl'i -.:*
tl
l-1 -11
i.,
L_
r. *1
*-.t
I

L"- -J

t-- --t r.- (r --, f;

(-¡.r)ál
rr.c¡t-r;Jtitil
lo"1: l,) -lil ri.{)14;:e I
rc.aZ**,-r*
I t] Il*jl lr.) 1 *lilllr-, I
l'--
1,i",¡¿
| --j L- J --(:). {l:5 (¡r:):i I
i -{_}.
J
 :l; t" I
r -ir),r)9 j (l . r).5f1{}
I -1
| - !
= Zaeuga Z*a.rsEor. I I
EtZ*-'rt
|L-.--j,r . ü:iiür:i .-'iü . r)44r9 |
J

!-- -1
l?. r)É4 á. l"4r)
= Z*rrrrg *i Z*s,¡sC e" |
CtZo=.r*
I I

lá"14t) -1ü.4.r I
L_. .-j

1 , gr_r4
'/, 53{) -1{1. 5;l
=24_ur.*j*1{J.-.4 7.52Cr .57. É1 -5r. ó4
|
-1r). 5:5 -5';i:. ó4 -"á.;511

(), {)():i1{)5 ,:, .,:,:r,-,sll

[i.,:c,eot, I
€.j (:rütr()S {:}. r-x)1(:)5.:; r) . f){15:¡ár[
l{). i
I

|
,:.,-,c,r*.,:::,r {j " c}rj5:::É}4 r). {j.J:16::i
I
L_. .-I

El ejemplo anteriür dernlrestrá qLlF para la inversión de una

matri;i r cLlyo clrrjEn es iqural. a Ios elementos i'nútutarnenLe
acüpl¿irj(]gr es necFgario c&ngtrlriF ZE'r-¡a pára Ltna red generñ1.
El algor"itmt: de constrLrfición eF simil¿rr ál visto
antericlrmenter y también pLlede ver-if icar los reslll taclog
mátricialeE crjn las prográmas en Fascal,
 ,519

4. 5 Z-lazo
4.5.1. Froblema

Ileterminar la Z-'lerct de la red de la fi.gur-a con las

cnrrientes de la:os de i:c¡utierda a rierecha v todas ünn el
sentids de las agurjas del reLaj. Diblrjar ternbiÉn el esqurerna

m gráf ico árbol-eslahór¡

j0.t

E.=l/30'. E¿:lh'

l-{a1l.amc¡s la matri.¡ cle incidenci.a matrir de

transf orrnación.
rama I t 3 -.!' I a¡o
r ,-;l
t.
3
11
t-l
{l
t ol
C=$ 1,, I {:,
rl I
4
3
|':' -'l(-r 1l
L-','

I -1 c) {) ;i
I
I
CT= ü I
t I -1 tll
I
f-¡ ct oi -rl
J
I
 3?{)

i-r,
ttl
,r-l I t,r. t (]
!zo-ll Z= -i{).Ét
Zpcr¡,r = ! r* z*l|! =! ''!+'?
i! {r |
i
{'
-l {1. I
j(i. 1t
I
L_ J t._._ -J
--'1

l-iu,, I

F-r {) .,;;l
¡

.i rl. u

Zr--o - CI'ZC -:
ltl I I -1 -l
i

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l', rr ri -'J I

tjl '
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I

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L- J

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l1 {)
I

l-r
I

t rJ lr- -"i (). t

'-"-]
ül
i
Itl i -1(r.e !

(-l
I = i-.i,:.a
I I
f,l I i1.1 -jü.11
I
It, -l 1l tt l,l -10.1 ¡t:.;i
I

I
I
Ii t*. -..1
i(l ü -1 |
L- -J

Las operaci.mnes de transpuesta y tipl icaci.óri puede mlrl

hacerlas haciencJo r-rso del progl-aflia, gabiendo qlret Ia

rnurltipli.cación de rnatrices debe tracerse de* derecha á

i rqt-rier-cla .
 ::i21"

¿1 .5.t Froblerna

Hscribir las ecuacLtrne:; de le¡c¡ del problema anterior en

fr:rma rratricir*l \/! re5olverl.as para las csrrientes de 1a¡o

por inversión de rnatrir. Deterriin¿rr la poterncia de s;rlida en

las fltentes E- y E,¡,

[-r'l lr" lr=

'."1 ['rl
l*'=l=1,"
l-u-J l-1*'
'Z=.m

'Z.::e,
'==l|"i
'*ii --i L -t

r' -]
lE*l
I
t{
I .¡.
{$I .j rl.9 -j().E] {)l [,,-l
tl
1,",1 t).8 ll I=
C) --r _i1.1 -jrl.1 I
tt
il
l-*- | -l_ / (ro r.J *jl-r'r j(j";i tl
I Io
|

I
L_J -J L_J

r' .l j;:. ó j'-E f-. -1

, ll'=.o lr I
/;"tj]". I

I=YV¡Y=!"-e -::" r:¡ | = ir=.* j:3.0 rI.sl I

{} l=
r=,
.J
| 1.i1.:1
L_
j r.5 ,,..r1
__i
-l iü"
__i
I
I

--1

i-c'.
a s+ -i l. .l; lI
I !i=
r-1 ..:t7:1 jr-¡.
-t
z
| -r:. +.:+ _i1.:,1
I
=l| I1{, j5.71
I
I
I I
| -r).
|
,-,.:ta _i5.71
I
t- J
L- -J

LA matri.r de potencr*r rsritfllej a Si se hailló ccln el conjurgada

de I , y las rnLlt tipl icaciones cclrl el proerama mLrl tipl icatr:r'io,
 :::i3t

4.é EL I FII NA{:] I ÜI{ OH NUDI]5 FI¡R AL6E.BRA I"IAT'FI I C I AL

l-as particioneis y las; operacirrne$ aquti lrechas también plrede

vsrif icarlas con los prclqrama.s.

4.É. I Frnblemaas

En a f igurra terrerrnos retrresen tacJm I us va I ores der as

I .1.

reactancias, L-or; n(tmerog se han dis;tr j.buido cle {'crrrna qt-le

I og nudos que qLrr*remclsi e L i.minar' . terrgan I os va I ores ¡nás

el tcrs. Determínar el ci.rcuritc¡ eqnivalenter el rininanclo Ic¡s

nlrdog 41 5 y & y cclmpárar eL circlrito final con el de la
f rqlrra.

[-r Ll
Y= tl
lL' Hl
L_J
r'-' o '-'l
| -jrl.91 {-}.r) (-r.{J i j{1.?L {:r.r:) r}.{)
lrl
|

i cr.r-r --il.{)s {r.{) I r).r-r jl".rts o.f)

lri
| {:r.ó {).() -.jl.(r i o.r_r ü.{) jl.tl
I

i,i
t-'---------*------l
I

| -it:,.tr ü.{) (-}.{}: *.jé.9r ().(:r j5.:i:s i

lrl j1.{:i5 r}.{r I j{).66'7 j7.rl¡

Il:l r:,rl j5.:5:;i i
ll
| ü.tl {).rJ .jf .tl i j5.3::i jS.:i::i --j11.661
t_- J

rs$itevenson , hli 1. L iam D, Anál isis cte Sistemas ElÉctricc:s de

Fatencia. Mc, Grai^l-Hi I I . I.979. a. Ió5-167.
 :i:t::i

5e necesita invertir 1e sLrbrnatri.¡ sítltada en la parte

inf e¡rior derecha.

r r1.41? {) .':ft:J j {).:r;J1l

I ._i

I
l¡l- I | ü. ;rr31r j c) . 4rJ6 j ü. 51.:i
I
I

I o.3?1 jrl.31:i j r).37áJi

I

üon esto,

LH"-jtLI

I i (1. 91" c). {) o"{rl [T,r.+rv j{].'r8:;: jr).:5?;l

I
| jt..{)S ii ('-,. 4oá .jjo.::trsi
jj('-,.4oá
| i . t83
= (:).Ü (1. tl ri o ":: *
I
I | I

-j1"{rl l:r:..sr:r jü.::::;ls

I
| (:)'() {1" 0 jr:).:::izei
I
L_ -jL J
r
tirl.9t rJ.{) -, . ;l ::+B j {) . ;i rü {)re;l
t-
i
I o.o j1.fls ri.oi = tti [ir-r .

l:.-r.tz,-r j{1.448 jO::r:51

-r

I
I
| {). () {), {) , t .:j
rti I t 'r . :.Jt/" :
t.). :5.J:1 :,::571
I

l_.-

t...a rnatr- r. r de acj¡iitancial; de¡ J.a red redurci.cl;r es

r-
| - j ().9r (-, . r:)
_. -'t
-!
{-). L} |
I I
I
I
V = K - Ll'|..-aLr' = I r).o -.J l- .011i {1 . (l
I

|I -. Ll'l-"rLT
I
I t
IL_- r]. ri (:J. ü -:1..t)l
-l
-.....J
 ::it4

lr' o ' sé? .i (1. ?7{l j {1. t";l

I
I
= | ¡t-t.¿'/t)
--_i t'. ó(J2 -i,-,. .:=r i
I
I
jrl,3.5t. - j {1. 6:r:5 |
IL-- ¡c'-il?? .-.J

El ci.rcuito final És e! sigt-riente¡r

4.á.? Frc:ble¡na

E I i.min¡¡r I og nlrdog :ii v 4 del cir-curita de 1a fi.gurra pclr

álgebra rnat-ricial. Log ve.lares dades sicln admitancias.

-j4

t -j2; l-r' -,
3

I 0
' (
r- Ll -..l
lK
I I

lL
t.- ' " *...|
t. :ts '-t ¿I

í--' --i
.L
l-j5 {j {) 'l$ (-)
Éi
|
I

l': j8
I
jl -.i fi t-l

I
E
LI lo
I
_i tl -j4-j1-jÉ rJ j4 I

|
i

I js j 5-j ?-.i 5 j5 I
f; {j r) - i
I

4
I
lrl 0 j4 .i5 -i5-j1-i4l
I

L__ J
 :5:ts

I
-j:i fJ (:)
-i5 ütt
I

o -j8 .iB {J {:}

r lK
ü .i8 j1} r) j4 I

l= =l I

j5 cr + --j 1;: -li5l

¡

I L"' r'r I
I t --...
(:) j9 -J
r) j5 -.1 101
I

La matri= siiql,riente se pllede invertir mediante-. el proqrafna

de inver$ión.

T- rt -r -':l r-r). 1r)3 r). rls:i

-'--l
i --i -j s i
l{'- r"
=:! l=-jl
i I

I j5
I
-'j 1r-¡ I o. {:}5? -r). ltló
r*-JL*r | |

La matriz de admitancia de I a recj redlrc ida e¡É; :

r-
Y=l(-Lll- ¡LT =
l-:5
I
I

I'J -.i I
{J

'l it
.'*li
'¿.615

{)
iJ

(-,
¡l
{)
. (i4 -1
I
I
I
I
I
I

lo
L_.
J ¡il
":i Ll
1.(¡4 (.)
JT " c)l
:i
I

í---
l-j ?.:575 {:) -: r . r-r+l
I

I
{_r
-jü js I

t_ .tI.(J4 jü -j
I

1(). es I
*.J
 3?ó

Hste rÉELrl terio circltrtal f rnal coÍncide baet¿rnte con 1e red

def i.nitiva anl icendo transf c:rm*cÍone*s Y*D.

4.ó,:, Pr-oblem"¡

LltrIi¡andn el método de elimi.nación rnatri.cial elirninar lc¡s

nodos 4 * 5 , ó de I ci rcni to sigutien te :

*j ü. cl {) {) jrl,? {j {)

ü - j'.jl ' t-¡ {) () .it.t¡ r)

t-) t-l -.j{1,9 {l () .j r_r. t}

Y=
J().? {) {j -j3't: jI.() J1" t. 1

r:) jI"t: {.} t..)

-j4,,; j1, .J

I
{j (?
I
I
ü .i {), {) J1.t -j.J;. :?
I
 3"7

[-. ot" .l .18(r j .13E

II
l{-- ¡-
!,-r*,, .i ..J]5 j.1871
I

l.j . "l:? j . lÉi7 j.4ájl

L-

*i
f1c, .+ o ,) Itt [,:.r {) r:r I

{r j:. {) l*
I l-L''
I
Yrrcl . {J -.1 t. t) o
* j'j':l
I
I
rJ {J t-l .r t-¡. ? |
J

r: .i ' 1g{) i " ,.rr:;l r,." a cli I

l.t.+lr i.,
I ll I
I
I
j . I'ut: .1Er7l
ll
i) j:r.ü (, 1- r

tl I
I .i .:.J;:55 .i I

iL{,
I
I
I i .3::12 J . r{i7 :,aó::;i r) jri.9l I

L-- -_i J
--]
[:-i ' *t= J .5':-4 j.1 881
!

| :.st+ -ji).óá _i .:5 3,7 i

I

** _j . -j .5 rsl
I
., -?,_-?,ó
[__, ..-J

El circuitE reducido de acuerdo con la matri: resl-lltante es:

j.188
 :ir8
4.'7 ANALISIS DE CÜRTÚ TIRüUIIü

4 "'l ,l Froblerna

Con el circuÍto sigr-riente" lcrs valores de las admitancias y

Lrna f aI la en el nodo ?l hal lar el valor de la fal la' las

ten:iiones despurÉg rje la fall,al la corrj.ente de lcts nados I
'/ 4 y I.a corriente del qerreradr:r A.

-i3.33

E;

r- -1
-1(l, ü f,.:5:3 {-}. o 3,5.:5 1

:5. :5.:i -tf.j,. b7 f,.33 r('. (r I

Yt¡-rr- I
r). u .:1: . f,3 -11.ó7 ;i. f,5 |
I
f,.3:1 1r:). {) 3, :i;-r' -tC). ¿'7
|
t*. J
 :j;;19

Lnver-timos 1a matrir para hal 1,:tr la Zb---- ! Gfnccf,ntramos:

t-'- -t
I
I
(r . l:irl? f). r)8r)7 o. {)4:51. f:!. +'7r):]
I
I I
I
l,-,. oe,J'z ü. L47 L rl, {ló9? {) " {)9S.5 l
I
= j
I
Ztt---- I
I
I
i rl. ü43I. tl . r_rt¡9Il t.) . l. tilér g. r;r5r.)il I
I I
I I

Io. t-rZt:t rJ. {195:J: ü. oó{}: rl , l" 1:is I

t
l*- _...J

L,ag ectiaciclnes {ls r:clrtcl ci rfiLli tc:. dondel (F ) represr*nta el.

va:[c]r- post-faila* v {{-})r prefal 1a son ¡

l-*, r' -l I
-l r*
{ ) [ *, t *.,i lo
tlllE= {F) I

I I"
I
Ill=l | I É*, 6t)) i
I

It-
I

i u* tr=) i I E=¡ 1r)) (-l

ttrl
¡L*H+ (r.-l | |L_.E.* 1t))J |
| I
It

i,) I
I _J
-J

l.-r¡s vaLcresi ;{nteE3 de Ia f aI la se suflclnc?n iqlra I ¡rs a 1a

un icl*d .

Ip --V-r -.-.-. = - jó.Bt)

7*.x Lrl " 1471"

n;vlis i(;1 t., ; ¡.¡;,,

[.'r
t_.
 :3::ü

Y hacr*rnclo l.a.= operecinne:; rnatriri,aies clescrita:; i ( f¡ltecJe

utiliuar- prograrna) ¡ los resllltados f inales gon¡

*;. --]
iF) I |r ().451
-'1

ttl I

Ez: {F) | I r)
{Fi l=ll
i

H;s
Ittl I Q's¿ir:) t

(r:) i i rr.=$illl i
Jt-J

Las corr.rentes en cLralqLrier trar-tp del c:.rcuito se putede

rjs¡durcir de lc¡s voLt.a.-i es e irnpeclancias. Por ej€¡rnplo, 1a

rr:r-rient-e de fal. lül #rl ia Fárná qLlE conecta ios nodrs I y

f luryendr-¡ hacia el nsclo /i e:i:

I"r-. =' H¿-:-.8¡.* = f;1..:-gll-.--.tL:--üüE-.- = tLplg.

.jr).::i .jrl.3 jü.3

= j {j ..:i3(l pclr un idad .

La corriente deEde eI qenerador conectario aI nodo I ersl

I"a = Éii-:l'.-
(i.3
= l--:*l.t"J-f,l*. = {1.-1-t-4-?.
.j -j rl.3 *i {i..::,

= - j 1 .El3 por utnrdad .

Cltras ccrr.ientes trlreden haI Iarse de forrna sernejanten y laE

tensiones y ct:rr"ient-sr; de 'f aI lo sntlre cualqlrielr- barra se
c.nlcr-rIan f,Écilmente a piirtir- de La nrai;r.r.¡ cle inrpe¡dancias,
 .l.Jl"

4.'i'.: Frnhlerna

Determj.na Ia mrrtrr.z de impedancias dei bar-ra para Erl circltitc¡

de Ia f igura. Inclurya las reactanr:i"rs su.rbtransierntes; de lc¡s
generacloi-es. Enclrentre 1a corrierrte suurbtrarrslj-ente en Ltna
f al la trif ásica en l¿r barr-a t y l.a corrien{:e prnveniente de

1a barra ;rf estad.r srthre cacl¿r linela. i*a r.:orriente pre-f aL lc¡

:sgi.rgnor-a y t-c:das las tensíones s,e sllponen L.r-¡ ant*s de c¡ue

lÍl ocLrrr€r. Los qensrradores en las barras I '7 I tiernen
epl f al
valores; nami.nales de 75 'i f ?5 PIVA " re*ipectivarnente. La
reactancia suthtransiente de cada generador t¡asada en st.r

prapio va I or nornina 1 es {l . 15 pclr" '-rn

idad . La base de I

sistema es lt.l{) l'lVA. IqnsrsE todas las resistencias.

Verde
 :i.J3

Sc¡lr-rciún L..as reactancias subtransientes del generador

cnnverti.das ü 1a base de :l.rlrJ l"lVA son

Éenerador en barra l: X"¿ = {).15 X LülL = r:}.:l(-) Für' r_rniclad

;/5

üenerador en barra .5¡ X"., = (l . 15 X lllg = {t. lt P6¡r utn idad

125

Lá r.e d con las admitancias indicadas For ur1 idad se murestra

en Ia f iglrra para 1a clra I 1a rnatriu de noricrs3 de adrnitancia
ef3

-.14, t7 ?.5 U. C} I.¿17 5.(r

t. :5 -1{). f) 5. {l J"¡
drrr
E
ü, {}
Yo---- = j
{}. c} 5. {) -.1É.3;i ü. {l 5, ()

t. .67 t.5 {J. r) -4. L7 0,ü

5.ü f). ü 5.O {i.rl - 1(l . r_r

Hstamatri¡deSXSse invi.erte med iante el proqrarna para

enc:orltrar La matri;: de cclrtoci. rcui ta.
 3J.:5

rI rl, 1?5u {l . rl78{f ().()445 c,, cr?7': ü. rlgs'J

--l
I
I
I
I
| ,r.,rr*,, rl. 1?ii€i fi. ü7:i? {). 14ég r). Ct75dr I
I
t
I
I
Zr"---- = i| ü. c)44b rl . f:¡ 7:i::: t), t)9-a;-C r).06r'7 0. rló8? I
I
I
I

I r:)
"
r)ü7t rl. t4át] {) . C!á 1';} o,:5áót3 ()
"
rJ794
I

I
I I
I I
,-,.,leS.;: 75á ti . t:J7t?4
" L,t7Q
{) , {) {-}, {:}é1.j9
|L--- C,
J I

L-ca vrEuá1iu aci.*r¡ clL" urn circLritc¡ cornc el de la f igurra nos

ár./Lrda a glncüntr"af- Ias corrienteg ,/ terisiones deseadas,

L-a corrlente snbtransiente en lrna f al la trif ásica gobre la

h¡arra 2 els

= _i5.187 pür unidad

Satremcrs qure Ia ecuaciún matriciai es:

(F)l (ü) i-',1

[-E,
I E. (Fl I
f,
I H=, qr)) i tl
I I'
l!=ll
I tiiü (1") t
lltl ,t,_J i E:¡¡ {(¡i
,,r,_l
I

I l''i I

L_** [_u,. 1,, J

 J:.54

Y lc¡s reslrltados finales:

l--*, rFi I [-o,s"s-l

lllr
i*=(F)i
il=il i (r I

i¡llir:= (F) I i o.drt., i

L_*.
(F)_j [*,r.e:s+J

Lo anterior ln hacernas para ios nodc:s en cl.tFst].(:nr (] geái

e I iminando el j es y valores en laE matr:.ces ori.ginales.

Las carrientes hacia la falls erl pclr Lrn idad scln :

[)escls? l¿r b;rrra 1: r-r. 595 { -j2"5) = *j I.4UB

De¡e;de la barra .:i: {J. ót(:) I -.:5.t1) = -.j:;, l{x¡
Degde¡ Ia barra 4: rl.2:59 ( -j:.5 i = -j(1.598
*j 5¡. .[tá pc:r Lrn l.dad

De la rnigma rnatr-i: de corto circurito podemos Éncüntrar

inf orrnaci.ón sirni lar üara las f al las sabr-e curalqniera de Ias
r:trasi h¡ar"ras.
 1;35

4.7.:ii Froblerna

Fara sistema de p:otencia mostrado en la f iglrra, lasi carqas

en lüs bt.rs*rs 3 y 4 san rernavidas y el tap del trar¡sforrneclcr
está a 1..0. "[odos lgs vo]tajeg sif,n 1.rl p.Lr. antes de 1a
f al la, [odas las .rrnpedancias ,/ voltajes están en la base
de ltlü lvlvA y 1üü i,;.V. L-c:s datog son:

Lírreas:
l*'ü:Xa = Xa = {J.1 Xo = ü.S
l-3¡Xr = X:¡ = f).t Xo = (t.{

ransf or-mador 'f

T r. !

XrEX:¿=Ú.3

Transf ormador 'T'a

!

Xr.=X==r-),4

Gieneradclres:
l.: Xr. = X2 = ql ,1 Xo = O.{)4
.3: Xr = Xe = O.1? Xo = (l .i)6

4.7..J.1 Derrve las m¡¡triusrt¡ cje i.mpedancicr t¡us; cl*r $iercLr€inriáfi

{:erE y posi.'hiva,
 ;:i:3á

4.'7.5.;- [i.ncnentrr: la cr:rriente cls f a] 1a rJarr. Lrn cif,r'L:o

circurito trif á:;ico en el burs t. Tambi*'n enclrentre lr:s otrüs

vtr I t-a.i es de* blrs durran te la faIIa .

r\
Bus I g Bus3
.ll r

J-
: Bus4 Aa
^a
T2 Tl

10. l9

4.'/ "'3.L Una grática diriqida páre 1a red de srcilenctas

pnsitrva ,/ negatrva, indrcancJo árhr:1es ,/ e?slaboncts. eg
mostrecJa en la f igr..rra. Hs f áci lmente r*sc;rtable qLte la
inyeccirtn de cuFrisrnf-e del qr:tler-ctdtrr I deberia EeF I'a =

l.r:]/.j{)"1 = jlcr E I':s = I.r:t/.jrl.l.p = j5.:Iói ests par-a

lggrar lc:s L,r:) F.Lr. de vnltaje en la red.
 .5..::'7

Us*rrdo el alc.rcrri.trna F':Rr-a la. cclnstruccitJn cle la matri.:;t cle

r.mpe,danci.a htt** " obtenemt:s ¡

'-'-1
I
Irl.u,: ü. tló*r r:). r):ti;ü r) . ()56 I
I

{J . l:i'J {l, (:i54 (i. rló5

z a2BU5 simetria {). l1¿3 {l . f)ti4

ti---
I
{) .114.:i
I
t*

Una gráfica d i rir¡ icla p3F*a la red cle securencr"ag cero e€;

mclÉtrada en 1a f iqr-rra .

La ;natri;r dsr impedancia bns de gec|-lencra cerÉ

cc:rrespondientE es¡

'--1
l-o.,r=," o. {lt:i, {J. {lrl:5{l i
I
i
i
{). 1?5:i rJ. rl;is5 |
I
I

-i isÍmetría
I
Z'}ÉJUS = I
i ':.---
!
I
I
I
I
rl. r1555 |
L-. *i
 ::i:i8

4.-7 .3.? La corriente der f aI la ern eI buts 3 ers dad* F¡clr:

Ia.5a2(F) = (2,-).).t:¡ + Z 23.) :r a 1 ... rE!¡.r ¡. 1t ( t_l )

r-
r"-
I l,) cr
-1
(rl t..l . 1955 {) rr -'tll*l -1 r-l,)l
= lt!
| lr) {) ,-,1 + -i r:J rl. l3'il tttl
rr ll l*'l
t!l tlt
{) c) (l lllr r {)
ü.r_i5?l i
t_l.: :] J-j l.*
-J
|

r5. r:i
|
t-¡ r) -l ['i,-l
=
I

f,r Z.5|j r) | | H'l

I
I
L_
r:, (_t , =:i [_,,_i

Ht vmltaje ántes de Ia f a.l. la es F-¡¡ = 1,(:t F,Lt.r páFá La

corr'i.ernte de f al la de 7.3t F.Lr. r seclrencia nosÍ tiva. l-.o:;

r¡r:ltajes en el bns i = ir.5r4 son dadcrs por:

E¡.or.a(F ) E*'rr*:¡rrt, Zr:a*ro (Z*'>tn + Zaaoac )-a*

E:;..:'¡.:n ( r') ) E.,::.r.:a- 7 t,¿oLal,.rlr:e ( i: )

EI voltaje en el bus l. ursando luE valnres de lass impedancr¿rE

ds* las matricesi anterinre¡g perá Z¡.¡¡óa= es como siqlre:

--1

[,,E'"I - jl
{)
[-'r.,,r= {J I
I
I
I
t
EroaaiF) = I I (:) r). {lóó {) ll=..)aa(F )

-i
I
I
{:} . r){iá
L:'
I

l-', I
..J
 5.iiry

!-- {:¡ -'l

I
rlril ---1
I
ll

l *'
I

I
!t
Er- I
I
{L.rl - !."1_:.!.É,fii = t-¡.s
I
I ti. t3i tt
tl

I
i ll
I

lo I
r{.il
tl

t-- .J t*- *J

frara el bLts :.:; * eI volta_i Gr es:

f'I r'Ii -.ri i-ir'''":''r f) {}l --1

Er.>¡.la(Fi= {) {i. (J5¡+ "l

{_r !I= .trr.a ( l: l

l_,, _i L_,,
rl. o54
.J
I

*1
f]l {l
I
I
I
I

E'. | I
(1 {1. rill.i = rl.5?r" E ,, I
1
I
r) " 1.:3',J I
I
I
{:} I
I
-J I

E.n e.l. bu:; 4" esi

*l
[r"-i
tt
tt
[-u
tl
ti
I E' !
ll !l
E*.:rrc (F )= (1 (;1., qf.5.i = r-r. 5r-¡t
lE'l
tl tl. 13? ll
ll
lü
il
J [_- J
|

L--

t
tlniv¿rsidcü I utt:f r-,Íli0 C¿ ('tr rCtn'r r
¡
(¿rr;Érr tit. ¡ll{0 t
 .ii4ü

4.'I .4 Froblerna

Con$i.dere l. a f igctra para Lrn generárjor con Ia sigilientlr

rmtredarrcias de r:ectterncia :

+.::q4 {:)
_
{..}
--1
Zct ül
--1
|
I
Zt)lag-- = j {' {).1 ()l= I

I
t-l Zr c)li I
I I

{J () ü"1 I
| ü (] 'r.a. I
.J
I
J
Bus 2

t)
II
?=
b ('
o o
?
I
I
\ Open Open
'n
Z = ¡0.064
I

II??
I

+- ==
L-a rrsactan ci.a de I tra nE{'orffradclr eE Lle (}.{lé p.Lr. Una f a1. la
$irnFIef.ineaatierra clfir-u-r-e en el lacio de atlt0 volta_ie del
tr;rnsi,f nrn¡did$r . L,a I cule las coFrientes, de f al la en slrs
ficJfnpEnFn teg s3imÉt-ri ca F par-a sst- interrnrnpirJa ptrr Lrn breaherr
entre l.a .ia.[ la ,Z e]. t |-ansf clrmad(]r.
Fara r-tna f al lür simplÉ 1ínea a tierra deI tr-ansf mrrnador. la
irnpeda.n c i.a e$,qLlemáti c: á y log cornpclnentes de arJ¡iitencia sclrl

dacjas en la f relrra .in t¡;rit:r. dondn Z es iclural a j tJ,(rá yr

 .541.

Yotrr * ."_t_-_.-
"i
rl'1rl= r'-'l
11. r" r_f
. llj
L" 'j
C) :JZ.

' 'j
-1

L_'
i.-a inversa de la matri;r r:!e admit.*ncia de f al la no existe.
por to clraI ge debe sustÍtr-rir mediant-er la eclración y':ezt{,(¡-'¡
= yor;a"{E,rr;au. (F). I.:,I:EF. eg cern en todas partes excepto en

el burs f al lado, y la slrbmatriz l,; cle Ia ercrtación de f *l la yá

ficln(fcÍda e5:

Lo cual e6 rest¡elto Fiará. eI vül.t.c.le rle falla

E.:,¡.2k.tF: ) = (u + ¿,>r=**y,rr-"*).--r-E.)az:k ({':)) .

Dsnde u es 1a matris identidad o matriz L Fremnltiplicando

por- yola1* y sustitlryendo los valr:reg nr-rmérico:i Én 1a

expresión anteri.or párá la f al Ia rnonf ásica er¡ el

trangfmrrnadnr. t-enemc:s;

r. r I 1--1 í; I --1
{)
i | ll ']
,oror* =
il¡t!
I I I I I ll r_¡ 1 ü I
I

+ I
.i r:). 1a lI I 1 1 |til llñ {) r r
ilrE-*
L_ J lL_. r I

I
 :54';

I
-L
.T --ltt
lü . f;4
I
{j rJ
t
I I r I I ll
t
I
I

lrl
I

I
f).t. tt
til
I r r. I li Et"-.-^ (O)
I
I
l{l I {). rlJ i tilI 1 i
I
L_-
{:).
IL_ .JIll
_i

La inverse t.i.ene una algebré.ica Firnple Írc¡rqne It = i-a

f mrrna

para el generádclr. Usando los simhnlot; 7a / J-r para El

generaclcl|- ,/ '¿ pere la impedancia de fal. la, Ia Elcuacrón
precedentÉ pt-rede rnaniFulárse algebrár.carnente l-i.*s,ta clbtener
el rest-rltado deseado. asir

*-1
r --1
f'--
lr I llir.
I
|
+ Ie. k Zct It
I

roaar.{ =
ttl 1 lll :!,2 3¿ 3li:
ll
-....1-......-
.icr.ie ttl
ll r. r.l
.C".r
:12
Lt
3Z
Lt
sz
Er)l"á(¡rn ( t) t

r-Jl I

I
{t. !-.t. 7t
I
I :3¿ .32 I I
L_ "32. J
--¡
I r 1l I
I

...1_ _ I I r. I
l
I
J;Z !
:52 +2,> +. 2Zr
I 1 1l I
--.J

r :52
l + üZ.r _ I", .- I.,
--t
I
I

5Z + Zr¡ '+' It
I

| -2" -z'- Eóaaqr-- ( {t }

I

IL_-'z'
I
Zt 3¿+'r.>*a"J
 341

[" 'l
+Zo + ?Zl
I'rrl
' 'J
':.:i,Z

l_'
r --1 r' --'l
lll | 1.]:e I
¡l
!l
tl
tltl
= E.t +Er+Er| lll = jEr | 1.:ie F¡.L1.
3Z+Za+'JZ.t iltil tl j..:{e I

L_ _i I
t_ _tI

Ht sistema Éstaba inicialrnente Fn opel-.icion balanceada, áEi

qt-le solamente Eriü) es diferente de cerc.

4.7 .5 F:'rot¡le¡na

Los datos de reactanciaÉ trara eL srsterna de tres fases

rnüstrfldo en la Tt.gura E;(]n!

X(r., = X(2) = t-¡,1

o-l-{}-l
@ @

X(r)) =
X€ = ,{}I
(r,e4
l^
t
t-l

{
 .14¡+

i ransf c¡rrnadr.¡r'

x( r) = X(3) X(o¡ = 0.1.

xe {). ri:i

frarrne I as niatr t ce:; irnpecian ci*ri bus; de¡ Ia gecl{enci.as cerc¡ y

postivas '/ calclrle la corrienl'*: de faI.i.a tntai y ia

rontrrbución desde el. generador y tr"ansfor-niador" par'.lr I*s
xrglirenters f ál las; en r*I br-ts A:

4.7.:i. 1 Tr-if ¿tsica a Tierra

4,7.::.:l |..-inera a. '[rer-r¿r

l-orm.*rnos Z bus Fárá la secureln*i.a positr.val

'Zl-t
= t'.¡.1

l3ara e I 'Lrans'ir:rmscic¡r'
Zr=: = 7t.t r: 'ln'. = (J"i
Zr:¡ = I¡.:- + Z-rrt¡s = ti.l. + {).1 = ti,2

'I
A
-'1
t {1, I {1.1 i
2t,..-(') s I
I

i\ {..}. I ri.:l I
L* ......J
 .543

Far-a ia secuencia cerc: fr'rcernosi erl ciiaclrama cie impxd*rnrrag.

cclrrElgElond ien te :

Xa
3xg
Xt + 3Xg

f-nrrnamns Z br-r:;

'I
t t. = .]XgrE = ;:i * {l,r);: = {1.()6
'Lzz:a
= JXQr::::: * r).ü5 = i_r.lS

*'1
r*-
I {-l . {..}{r {..) I
I
Tt, tt- = I I

i r:¡
I
r). 13 I
|
I
L-- ...-J

'I l'. liil = {l

t.s Z*,t.

Z:Ets
'Z,sz 'lz,a = t-r.15

Z.=.=
'L,:r-¿ +-
f, ( <:r ).r - {1. 1.5 + {),, I. * t).i:15
H

r*- '-'i
I
I
r). (_,á {-) (l! I
I
u-t¡ur
& () r). 15 ri.15 I

|
t
I
I
II {:t {). r5 {:t.:,15 |
I
I J
 :::i4,b

l- iri,almente? cerrando el car¡inc:

Zr¡. = (J.{)á - () = {-1.{:)ó = 7'.".

Za, = {) -- fl.15 = "- {-)..[5 = Zro
Z,sr = + .- {_}.t5 = - r).tS = Zr=
it-tr = Ztt Zrs¡ {- {-).(:}4 = {i.üó .{- {).35 +. {).{J¡+ = t)...1 5

l.-a nra t ri r aurnf;rn tacl a es :

¡ll It
*r).0á --'l
{
¿ rJ t:) o"üe I
I
Z r"-- - li'l ó r:) . 1.5 fi . l:i {:1.:i.5
|
I
A fJ {.}, .'15 fi.;:s -- r:), t5 |
I
I
¡. {}. üd: * {l.Lil - {i.:i15 {1..:55 i
I
I _J

I]ande la rnatrr: rjef initir¡a mediantt! la r-educc.ión de l.;ran:

oFeráción qLrÉ? Llsted f ácj. l.mente encclntrará Fn el rnenür deI
pr-clgrafna i s:3 !

I : A
r--
r I r).05 rl. (-)?5 {r. (i4'J
I
a-tru-
3 :l I I
ri. rjrs (l . rJSli (j. c)4:1: I
I
I
A I rl. ()4t {). {)4:: {).c)71 |
I J
 34'Z

4.7. 5. l. nrara lrna f al la trif ásitrá €?n Al

*-1 r- --1 -]
{l
'Jllr)l I

lrl
I
I
I

__-J_;t____ i = i {É__ I
I
= 5{:J,
a)a,^ * Le
| (1.Í
I
'¿<
I.:,r.aA (F) = I
{)llr)l III
| I
I

-jL_J J
L-as cümponentes de fase p ara Ia corr iente de falla son:
r--
tl
--'l
I
!t
tl
¡-t"eo(F) = TrI.:,ar:A(l:ri = 5 lo-l
tt
ia
t_ I
--.J

ltonde T- es Ia rnatriu qt.r€t re.[aciona las cornpone*ntes

simétriirágr a veces tambi Én conocida como A.
r-1 I I
ir
ti i

T-= ll
11 "1r á
tt
11 a sr
!

I
L__ _J
Y sai:emos qLre a designa al orJeraclc]r qLlP or":.gina una rot¿¡crór'r
cle l;lC)' en sentido contra horari.a, curands ge Lrata de
siste*rn*s tr"i. f ásr{:os.
 :548

4.7.5.t Fara ltna falla línet,a a 'Lierr-a tgn A¡

I.roa{F) =
.f'.J
¿(.:')AA + '}:z<L )ar¡ +JZF,
tli-'-i
I 1 l=
tl
L' _l

I|'i:ggJ3i
I
I ! I 1":
{:1
tttl
I I l= I 1.:i::i{3 J3
,

o.t5+?t{j.:1 tttl
I 1 | |I 1.5.:is "r'3
!

|
L_ -.J *J

La cornoonente de f*.s3e üara J.x corriente toteL son:

I o.*r+l
¡-t'".^{F ) = TGI.)a'jeA{F } =
tt
l,) |
tl
lo
L_ ___i
i
 .149

4.'7 .ü Froblerna

t_
f3¡

i_/¡
t\ \-/
|
-t\
4."7.6.L frara una f alla trifásica en el Bus 3 calcnlar:

4.-1"6.1.1 La rnatriE Ze.^- por transfcrmaci.ones sinqular-es e

inversión.

4.'7.6.1.? Zs*- pclr el algoritmc.

4.7,ó.1.:i La ccrriente tnt.rI de¡ fella.

4"7.á"1.4 Los volta.ieE de tsdcls los buses,

4.';t , á. l. . S Las3 cr:rrien{:es entre burses.

4.7"b,:1. fr¿rr-a L.rn{ñ falia de I inea. a. tierra err el Burs t

repet S. r- l o:i pasosi 4 .-/ . e} . 1 . ::i en adelarrte deI inci:¡a anterÍer.

l--F:-+e¡ -¡;;,;,,;.,
Unrvcrsidcd ,u,,,,un,¡
I J-
Í-L--:_*_+ (er,.'in .^¡
F;lr. _.,..l
 SSti

liatos

Reactancias

iieneradores A '¡ ü 'I'r-ansf . F

Al" X3 = t).1 PLt A1 Ai! - X,¡ = rJ.1{) pr.l

A.) - {) " 04 trLr c). c¡:i pLr

c};l pil
{1.

L-inea de -l'ranErnisión Xr¡ra

t*- --i
I rl.s I
I
I
I I
I
¡
¡

I
rl"? I

i
I
I
(],? I

!
L_..
-j
 ;i51

Redes de Secuencia

Secuencia (0)

Eleu. Nodos
No. Elcnr. Xn - X,, +3 X' p'q
I Gen. I 0.10 0-t
2 Transf. B 0.25 0-2
3 Gen. (.' 0. t0 0-3
4 L. de 1'. 0.50 2-3
Secucncia (+) y (-)
4 E I

0.r t I

Z-i 0.¡ 2 Y=-i 2

0.1 3', 3
0.? 4 4

l'ou, : .4t tYl A

-l 0 I 0 l0 0 0 0 -I 0 0
0 0 -¡ t 0 r0 0 0 0 0 -l
0 -t 0 -l 0 0 l0 0 I -t 0
0 0 0 5 0 t -t

yi,. '
l 20 -t0 0
Sec(+¡ - 2 -t0 ¡5 -5
3 0 -5 r5

Z¡", : YiJ,

0.08 0.06 0.02

Zi", - 0.06 0.12 0.0+ 2l', : Zrt",
0.02 0.0{ 0.08
 5li:i
l"latricer;; de incidericia

e ir) t:) (:i) tt (j[] (:,i] i:5i

t --1
'--'t
I
.l
I -1
-l
I
2 -1 |
.¿ -l I
ft= A=.
:f .t .-.1
I
I
I
r
:::i
-ll
4 I -rl I
4 1 -11J
-J
securencia {+) v (-) Seclrencia 1t) )

Matri ces'Transplrestas

NI 4 n .t:.J 4

i 1)
r I
--'t
(t) rt- t --1
l*r I
I
I
I
I
I
t
I

At$ (r) I
I
-.1 l. lAü = (li
I I
I
I
-'1 1l
!

I
i I I
I I I I
(:::;)
| -1 -1 |
I
(:5 ) I
I -1 -1 |
I
L..- .--.J i_* .J

i5*¡cutencia {+) Y {.-)

E I ernen to I
Nodos
No. Hlemento ! I X(+) p
I
l. Generadc¡r A I {l.l il-l
_3 Gr:neradmr [] I {1. t, {r
.-i.1.

':Í "f
ransf ar-m. B c).,?
"t
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P=1 ül=? P, nc¡ €rE nocro ds refeFencie

No fr*y rrcE[¡ I arnren tc¡ mutlro

7., 7o* |=L'/:*q Z.¡q=Z¡'o+ZF,q,F'"¡

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[¡s? Q=::i F" niJ ng n{}cin tje referencra
nú hay crCOp I,amren td] fnLrtLrcl

Z¡.-r.= 7-.t 7o* ls l-, tn3

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F t:rmaciC,n cfe la matri.: Z')b..- p6r alqpritmo.

Faso 1 se ág Í-eg* el elernentn I ( rama de árbol j

P= {} Q=l F es nodc¡ cie re{'erenci.á

Nt: iral' 6lcoE l,¡rniento rnurtr-ro

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No hay acoplarniento rnlrtr-rm

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Nc¡ hav ecoplamiento mntuo

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No hay ecrrplamientr: rnlttlto

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nc¡ hay acotrlanriento mlrtuo

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 361

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Fal la trifásica en el bLrs 3

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er:pirestas en erlte ejFmplo rnediante el programa cle
mnltiplicacrón eI operaclor- A (* a) ¡ rrLr/ ct:mrln y
trtili:ando
empleado en la Ingenreria ÉlÉctrica cle, val(]r- -C). S + jr).tsó6.
 ;:i 7'J

4 .7 .7 F rob l erra

4.-7."1.7. Constrltya primero las matricers de asjn¡itancia Er

imperdancia de corto circuito consider*rrclo el srstema rler tre*s

burses dsr la fiqlrra. É.rrcltentre las redes de serlrencia
púsitiva, ne-qa'Liva ',/ cr.?rü,
4.7 .7 .2 Encnentre los vol tajes de post*f arl la y 1.as

cfirF.ienteis a traves del siriterma, en Lrne f al 1a sirnple I irrea

á ti.erra en el burg li.

g g
T T
fl i o.oso á¡0.025
t T
 ..:i,73

4.7.7.L La red de $eclrencia Fosrtiva Fs idénti.ca a Ia red

original. l*a matri: de adrnitancia blrE; puiecle ca l. cut I arse por
inspección de la re'd i y obtenemos Iueqo lar matriu de
.tmpedancia. blrs mediant-e Ia inverrt;ión rJe 1a ant-erinr Eln sLr

proc¡ramá d€? inverga en pascal.

| --i?á.ó7 j 1.{i J I,]J

I
I

| -irt: --j ;i.1. :sf, j i.t: I

I

! '¡ r'-' j lt: *j z,lj

I

r -¡,-, .t-t7i j ü,of,rá j rl. (issg

|
I
Z*t-- = I itl,{):5Éá _i {), {)551i j ü. C)47?
I
I
I
| : r). 11558 .i r). {J473 j {). t{)14
L -J
|

Fara 1a r-ed de secttenci.a negativa. Ios úniuos caml¡iog ccln

respecto a 1a red de secnencia positi.va *stán E?n las
t-FFresEntaci.ones de lcls generadores. 5e sabe qLle no ertisten
furerlas electromotritre's generadas en la gecurencie negativa,
l/ qt-re le i.rnpecJancia carnbiar-á de .j X'"¡ Á j X Como en la
mayoria de lss cag;os esf-c¡s valores serán catii siempre
ieut,a I es o se egurmi rán corncl igr-ra l es .

L-a rnatrices de adrnitancia blt:; st impedancia bus fiar.a la

sectrencia negat.iva serán identiras a las coFr€lsp[]ndientes de
la seclrencia pnsitivai v.g, r Y -- r¡q- = Y * auri
 ::3"/ 4

7. - ¡.¡u¡ E Z + trur¿

Fare La secutencia cÉrü los valores serán tra$tante dif erente*s

y se ti.enern las FigLrientes slrposÍciones:

Gener-ador€ls con neutros s&lidarnente aterriracicls v reactanL:ra

de seclresncia cerp en 1t)7;.

-['ransfor-madures csnectados en DY ( lado cleI qeneradc]r- eri

la
delta). Y neutrog sólidamente aterrirado=-

Fara las líneas de trar'¡smisión las impedsncra$ des f reclrencia

cero son de I l"iit-r7, r pará l as trs?s I irreas .

Fare egta red entonces podernos escribir la matrir de

adrnitancia de Ia sect-r¡*nciLr cer-fi tror simpte inspección:

r-i st: js js I
|
I

I j5
I
Y,f, . l¡r.r = -j Stl JÍ, I
I
I I

It_ j5
I

-j5 -r .1{) i
_l
 .J'7 5

Hntnncei:; obtrpnernc:s pür' inver-gión I

r'- j {l . ()r)ó{) j (). {jrzrrl

, o, Q'r;eti
|
Zo. ¡--
I

| ¡,i. r)uó{} j i,. ütI()

I

L,
o . ü'r3{:) j {) . {) 14(.) ,::il:, j

iongtrltirnos frnalmernte 1a rnatriz dr-'irnperJancia btrs cte r:clr-'tcl circlritn:

o.o7!o o o o.oseó o o o-o!3€ o

"l
"l
I
o o.o73(' 0 o o.oSeó o o o.o3!É
o o o.oSao o o o-oo¿o oo o.o"".,'

O. ('¡!Gr.l O o o - ('É!¡6 (' o i o.o47a oo

Z.rbqr É -l o o-o¡¡gá o o 0-0$!t6 olo o-o472 0
oo o.oóo oo o-ot¡20 | o o o - ot¿to

o-o$:r9 () <) o-o47?- o o i o-fol.t oo

o o. o!ts6 (} o o.o472 oto o. 101.1 o
o o o.o2?o o o o.ol.roi o o o- 1rÉo

4.-/ .7 .?- cc:rno la rnatrir Z'- ti.ene valc,res irrf initog; hacemcis
t.r$o de I a mat rr:f Yr - .

Ealcurlernns trrimero eI vr:ltaje ern erl blrs cle La f at La mediante*

las sicl-rientes ecuráciones rnatricialesl

\¡lrucr = (I + Z-.¡qYt-i--aV':'-.c
 :5"/ 6

rr
I
I Ii
--1

I I
I
Yt- = .._Y: I
1. I 1l
5 I
I

I
I I rf I

L__ J

Sr-rsti tu'/e ndo las varias rna'i:r-iceg y el vectc¡r V',-q.

crbternernas

r*
lr {r ')-l l-r*o. {-) ó I
V r-.¡ =
I
l,)
rtl ¡
1 r) l+ Z*.r.r t! l_y-_1. *
¡
t
Irr
I
{) tJllt::i;L z-*.ij
'-l
r| -''[-.u-..1
I
.i.
' 'll
r. ltrl
r lltlll | ,r
I

i1
I

I I
I
I

l1 I 1 lt I f)
L- Ji i_ i I

R*aL i ¡arrdo las operaciontls rnatricr.ales citadas" la ecuración

vsrctmri.a I se tgirnpl if ica asi:
Voo
l¡lr-.e =
I + {Yl',/:5i(Z*q. -t- Jl-.o + Z cr.¡
"r

r +
--1
l1 _Y:.:.
.J
{ Z-o. + Zo.o) |

I I
I
I
I
'7
L--ctct Vr
I _:..._._.......
I
.:
I
I
I I
I I
I
i I
I
I I
L_- .J
 =,7"/
Fara la cor-rierlh-e de cnrto circlritü et.t eI trus de f aI I.a.
tenemos:

Y r,/ 3;
l't-o= Yt-..Vt-o =
l+ l.'( r / |5, i Z*"¡"r + Z--.o + ?-cr.r,¡ r

-*t
I I

I
I I

I
I
!
J

F ina I rnern t-e I og va I ta.t es; cje pnst-f a I i a en cltr-Os t¡r-rges sE!

obtienen de la ecuraci.din;

Vt-r = Ve-¡. Z-¡..eIt rcl

I
ttl
u"l f- Z+r.cr rJ (rl
lc, l*i (_t
Z+. rq r..) I
If¡¡c
ilr I

[_''_i L
f) Z,'r..J
I

fiusti tr-ryendr: de .1. a +;¡r pre:;iÉn párfi I rrr¡ r crtltenEmosi ¡

V') L
-l I

I
Vf-¡. = {J
l-
I
c'
I
__J

T-
I
--1
I
I
Z*.
+'L,CI I
I
I I
I
I
'¿- C¡
I
I
I -t.¡ I
I I
'Lo I
I
I
Ol-¡cl !
I
l-.... .-...J
 .:57t

l.-as tre?s eclraciones rnat-riciales ánterrorsg se simtrlifrcan

corrgicJerablemente si asurrni.mc:s qL.re El carto circutito ee;

sól iclo i ü {ie{a ql.le Yr s ü). [itra simpt if Ícación se consiglte

asnrnienrlú re¡clneb l emen te que todcis l os vo I taj e:i de pref a I 1a "
Vo¡- gon igurales a cero. Las f érmlrlag, siÉ* r-erJncen entonceig
á estasi, si.mples forrnas!
i
I
I
-2.- + Zo.¡q
i
Vf -.r s
!I

I
z-... I
Z+c¡q+Z-a.+Z,r...¡ I
I
zo.*
I
I
t_._ J
1l-1
I f -"¡ = 1l I

Z*..+Z--...+2.¡"r.
Ii t

_J

[-r I
Vt-r =
tt l-
i,)
ll
t.l Z*q.r + Z-o". + Lcr.¡.r
L_" I
r... -1
¡ {+r.er
l"'
i

l-t"..J
 :::/ rj

F:'r¡ciemos ver qLre estas fórrnlrlag gLln rnt-ry generales. efi *l

sentidm rJe qu€r son apI ruables a cortc:s ci.r-curítos srrn¡lIe*
linea a tierra en cLraLqlrier hlts. Usandm slrs proqrama:; et1 Lrn

ccmpurtarlor digi.tal eEtas tres úL timas ecuraciones reEHl tan

rnás drtiles por Ias sigr-tientes ra:ones:

1., No se necesiita i.nve'rtir ningnna matriri lo qure r-educe el

t-iempo cornpntaciona l.

?. tomo la adrnitancia de al Ia Yr seria inf rnite " las

f

ercttaciones no podrian urti I i rarse ya qLr€t e I compntador nt:

mant*ja válores infinitas.

l-*:rrninernss ahmra e1 prablerna sabiendu qi-te 1a 'ial1a ocurre en

el hurs 15r asi.. cl 3.

De Ia Z-.¡"¡-. ten€*mogl

I
I
z*== () (.,l ---l

Z¡qcr = Zr¡:s =
I
I Z--r= C)l=' I

I I
I

{q¡
L
I
=*--J

(1. 1{)14 {J ül
.l
(J {). 1{)L4 {-} |

(J {f {).llro I

-J

UnivorSiCuC ' urr r,Lflli tis {'ttlrj¿""

(¡.1ií¡ F l.'l'r..:l:
 .:5S{)

Fieemplarandc' log valores en las ecuacicnes. tEner¡os:

f- +
--1
ü.11i3r)
| ¡,_,.I.014
Vl'-rs =
tlI -i c) - 1{}14
|

|
.j { rl " l.Cr14 .{- (1. .L(jL4 + (J. I.1A() } ll -j{1.1.18()
|L_ i
-..J

i---*.¡. srir--1
| I

=. i.-.r.,=rt I o,-,
tll*i:) . :::ió'7_
|

Y"

lrre = If-;s =
['-l
lrl= J*
l"¡c,. iltln*; ü. l(114 + r) . 11H{-) }

I' j
r=.'=l
i :c. rt i o.,

L_-.'=j
 :l8i
Frare heI Lar' l.c:s valcres cle los voltajersi pcrst-falIa en Io:i
bnsers I y lir necegi tarnos {:clnc}{::er I as rnatrices; cle impedar¡cr.a
sigr-tientes¡

r_l,* rs
¡ rJ {} I i-,-'.,:rsst
(-) ()l
Zrr:¡ = l,)
I

t
Z -.t.* ü l=rl
tt
''
tl
ü. ()5S8 0l I

I
Zc,r;sJ () (]. ü??r)*JI
LO r_!

L_
t-¡

*l
r Z*:r;s r) [--,:,.,rort () (r -l
I
I
a1

'7---^o (l
rl
tl
(-)
I
I
I
Z ¡:a:¡ = lr)
I ti | = Jl ó ir. t14 712 |

I
I ll I

i,l C) Z.¡e:s | | t-r c) {}. ()14C, I

L.- JL- ..J
I

r ree*rrpleEafrr(fg] en la ecnacion para obtener:

rir -t
I
I

Vt-.t. = 1,, t-
I

I
I
I
.l ({J..11114 ..F ().1{)14 + rj.itE(j}
lc) I

L I
..-J

[.,,r. r)$s* f-'- ,r.ü:i6l

j {). {J55É = tl
| -(¡.1'Í4 ""
j {). (l:.I:iü I
IL_-,).06e i
-J
 [í ,r''.'.,,
-..' ü ()l I
l-rti Ii
t- t'¡ (JT '(:! Í e l= ¡i+:--'T.z
t I
l,:
L_
ft rlt'rlf' I
-_J

Í:: /' T sasl'lq so I :

P.l 3Euflt al.lr' ¡9;.?u F T P I UA ElucrtJJor pI s,JnJaIn:TEJ rolctuara Jo,J

'r¡ I I rP¡-1s,flcl ap E auT T ap sa--l uaTJJol 5H I sEptlJ JP I l1r I Er EJOLIE

sinuapod "e11e¡*lsod i3p 5é rEl I OA 6(] T s(]pol souréqEs e/. ouroS

.oJaf Á enr4ett+ru sprf uanlasr sEI ap souau, A E^T+rsod

Brruar-lrÉ5 EI ap €;pru uauarluo:l srs¡-¡q sol ap safElIoA so-l .¿

" ugr:;odo-,rd ¡enbr ua trT:)uat-rrÉ€

atr $¡rlUilLJfJcltlrfJf :tülJ+ srPI éUATlun:l ET IFJ. ,ütp AIUATJJt]:1 E-l 'T

: a1u;rtnñTg o I * :lo3 TJüurnrJ gE Jm T eA E{l I ap rg:tJaf,E pJo¡{E sorxg:l.oN

Í*.ror,,',rfl
i-oo,r',:,-"_l
nd zt,r',"'-. == czro.,:r
I | i i

l__r;*e',r J l_rz-t',r'o tJ

r
I (:¡
({}BTT'(] + t'T(lT'(l .+ t¡T()].'rl! f' I I

I
I
{,l I
= €t¡A
I
I
I
i._ '_J
tB:i
 lis.t
tl en forma de arJmrtancia.

r--
I -i lrl r:¡ {Jl-'I
Y.r---"¡o =l
I

I
{:r -j 1t: a I I
p,.,
!
I I
I
I
t_¡ {J -.:5 |
t-_ _J

ti valnr de la corrrente de post-'fa. l Ia Ir---.*>¡, (def inida

positiva en la d.irección n--:r¡r ) . f luryendo en la l inea, purede

calclrlarse de¡

f t-r----t r. = Yr----:'r^ ( Vf -- - Vt-r)

Ca I clr I arnc:s en tnnces las corrientes de I inera:

I
I -jtt: ü () --,I llI; -.,
{).8'*.6
lill
I |

I r¡r-:*s
I
=l I

I
I
rl -j l() '-, Itillf -rr.174 | - l
lfl {) --j5 | il -ü.c)6e
I
t-- J lt_ i i

L_

r'- ; r--
| 1..4::-¡
| ').685 | i
lltt
I

l-*.:'z
tti ll =.' Ill r.4:r
tl
I

L:r,.=*u_J l-_''u=_J
J
I
 384

tii se clesegan cc:nocer los valores por fase deben¡os hÉ.cer una
tran gf orrn.*c iün r.nd i rr*cta der cortocircu.itc: rnediante 1a matri¡
T. l"enernme asi. trára los vol.ta-ies, de fase en el buts 3:

lv'
I

I
I
I
.T:
I
I

i
l,)l
rl
l=
I
Vr
',:s = Ilvf tr;S TVt-= = i -,r. $53 - j rl. sóB

I
I
I
lvf GE
I

I
tl| *O. 55::i + j ti. A68 i

I
t- J L-- -J

[] en ve I c¡res htf"lli ;

-"r í--
I ü
-1
lvn -=i Ittl I

lv" *,ol | = i r.,:¡ | o..,

ttl
lv' -*|i
!
I Lt.u,=J

Fara lag corrientes de fase en La faLla,

r I r-:s
--1
v.;ra
I
I
I
I

TI f -:s
i-
tl I
l=
I
I ? I
Irrrs |
rt:n I J
'l fnt'

L {, -]
I
I
I
L f -¡r I
I I
L- I
 .5{J5

'{ pñra lc¡s vol.tajeg de f aser en Icrs br-rses 1 ../ t'.

r V" -.t
-'l
t- r:). hg::i I
ll--..1;?5 - _ir).8ó6
II
I
l_ =
Vttt = Vt ot t- TVf -¡.
t
II V t-t
I
I
I
I + jr).8áóJ|
L* J
I
L-{.1:i?i5

V'aiE
-'1 r {-t - ó6:i
--1
I
I I I
I I I
I I
VÍp¡ = Vtr= = TVf -:e = | _.0.4{r0
I |
It I

I
I
vr*¡a I

I
I

|L- -r:r,4{)(l
i*. _J

üllte¡ Errl valores Rl"l$

-lv"-* ll
i : - l-l
[*iu--, [*,:. si:*-l aael
:I | ,,,er: I o.-,
[*',.
lv'uaj ! = | rl.e55
llv""ll=
ri i i
Y !

!._lu"-' l._o't*=-J --rv',-rj l_"."-= .J

frar"a las cnrrientsrs dgi I inee.

F.,,.-l
f--
¡E, l.---> S - TI-.r--t ¡r = , c).r)t
I I

L-_'',''',*-i
 ¿i8á

F'cldemcrs hacer ahmra las sioutientes cltrservaciones aceFca cle

lc,s va lor-srs nunrÉ..ricos anterriores:

t.. Lar cerr.ie¡rte de f aI.ta -l.,:i6 olr en la f sse cortocircuri.tada

Fs casi igual qne Farfr Lrna f al 1a simétrica :iól ida que
ca. lcurl¿rd¿¡r ser.ia 9.9'7 pt.r.

t. Asi. corno el volta.je e*n la f ase f al lada cae a cgrcl" los

voltajes de I ¿¡s otrag dms faseE sánas saltan á 1{-t37..

:i. Altnrlure corrient*$ cero f Lr-r.¿en Etri las f ases b y c en Ia

f al La, lasr ffij-$rn*ss f aser*i de las line¡a$ dirigidas a I blls de

falla cünducÉrrr Lrna corr-i.erite rnr.ry pequreña.

4 . f3 CON'T'I NEEI{C I AS

4. S, I t-os voltajers inicj.ales scin canocidc:s trára lot; treE

buts3eE s?n e I sisterna rnostraclm en la f i.qlrr.r. L-oE datas scln:

Z- = .j:i:: Hl (') ) = 1. . ü:i l.-_.-ff_.

Zt' = .i4 ÉG,(.:,)= 1,1r) l_....._Et.:_

E!(.:', = l.{lC} f.-....!L:..

 ::iil7

Esigten Iínea:i FáraIeIas entre los bt.rses. Encltentre eI

volta.je resit-rltante srn el buts I ei Lrrla de cada cnnjurnto de
I ineas parálelas abre e¡l circlrita medi¿rnte el rnÉtoda de
ct:ntineencia Z burs dta Frswn.

lfediante el algCIritrnc¡ de cons.trr-rcción y siendo Érl bLrs I la

ref e=rencia.

?tr =7¿, llZro= :

722 = i7¿, ll Zt') + (Z- ll Z-) = J
't-r-'t
LnL .ta LL?, ¿-

T*
t¿
I
tl-1 I
Zt"-- = I
I _fl
I! '.r
J.. .-l I
t_. _
-..I

Fast: I

[-*' ( {t
t
'' r E={{ri-1
l=
I
2b..,-f t"*- = j
i-r
I
rl [-"1
) *t= t l:i =J
LF"-:'r "tt _.._i L l_'" _i
 l:88
Fagg ?,

Selecci.orrafios Lrrra impe.dancia ;rrhÍtrar-i.a de aterrizamieritc:.

corno 7s iriual a -i f {}. Esta adiciona Ltn nLrevc} bt-ts a Ia
m.¡tri: de impedancia y convierte Z bt-rs a Lrná nt-reva
ref erencia. La red v Z' h¡ug ctrn log elementog de

aterri zarnien to scrn mostrados en 1a f igura .

Zan-i I
I

I Zaa
a.
a trr¡- I
| I
II Ze- Zsr', I
L-- -J

Faso 3

Usando el alguri.tmo de construrcción de Z burs y la tierra

corno ref erencia r

I
Zu*- = j 1t1 I Z:aa = j1 + j (7a ll Za') = ji + jil = ¡::5

7al = 'Zrt 'It:e, = jl

 :iEi9

.|. ¡l

Í'-- --l
ltl tt
1l
Z tr*- = itl
'l¡ tlt.It :3 1

L..- -.J

Z r¡:r j1 + j (7-- ll Z-) = .i1 +.-i1 .i?

Z¡¡r. at.r- 1i I:sz 't
L, Li = l¡ Z r.;s Zrr = ll
'Zr.* a-.
.,aL I

--1
r1[-tt 1l I

fZaaTap¡l I
Z' tr*- =.1 I l=.ilr '5
IL- Zr,a Zo¡:,J I I
I t
[._t -J

[-'l r' 1

3
'lr I ["-l
I r= i

L::J LI J.
=J l_'=_l

Faso 4,

$e extrae el t¡r-rs i a ser- probado (en nltestr-u caso el blrg t)

y el bus ref*renci.á l':. ( br-rs 1il ) de l.a matrÍt Za,e, y EF furma la
sLrbmatrir de :1 )r t a tierra l

l--r*' z-,,'' I j I[-z*'* tl f =r [-,:, II

--l
I t*'*l l= t_J I

l---t'* Lt Lt
 .59()

Dmnde t.|,.._
- Í7 i. = 1. La irnpedancia Zr ES dada por Zt. =

Z:¿a - jr 3; j;1.

Fasa SI

$e encurentra Lrna ntleva irnpeclanc.l.a de ater-rirarni,ento Z.er ,/

Ia inyección de csrriente al burs referenciá. Ixx, qLrct

prmdurce Lns vnltajes de brrs oriqi.nales, Er (t)) y Ex(t)) ¡ asi:

7e + Z-.o 'Zx
"l [t"l =[-*"-)l
[-t*,o)l
Zx
"iI-i
Hl resistúr j t fl a tierra es reernpla¡ado por I.. ,v una
in./eccÍÉn de corrj.e*nt-e I'a {*E c:alculada en el bus'J:

1.L(:l l.(-t5 = j tj. ():S

i(:i..ri

7,,q = "*H.' l.{.lj*-..Lid-c = 2.1 1 .f.. (JlJ- = -i 4:1.0

E;e(t)) - Er(r))
-..;-.... -Jjd-H-'
{i.{f:i

En este putnto ütlsdr-vese I'aZ-r¡ = i.t)5 = Er(rji¡ Z

qLrÉt que
F-=(t-¡) - I'a (Z*. + Z== - Zr".) s Ir (j44) = 1.1.

Hl cr-.ial €+s el'¡c¡I'i:aJe orlgrnal En eil br-ts referencia,

 ¿i?L

[-r 111
Z't*- I, :i tl
l,
L-
1 5l
I
I

Fae;o 7

Una nLl€lva rnyección cJe cor-rien'tei eir¡ el. br-rs referencra erg

ca.[ct-rlada:
Bus I
-2,

I':¿ = ..-.....8e fl'1i..-.-..- _.-....¿_J-......__* = ¡ C) . {-'t2"/ t}

Zr + Z*o j (4 + 4::ti

Fasü tl

ÉI vc:ltaje* €*n eI lrnslacausade 1a pÉrdida de las dus

I Íneas Fara I er I as e5: t-r(t-) = Znr¡ 'I'z:: (4:;.1) ( tl . tllJli9 ) =

I . {)C}4f,,

Este cá1cr-r1c: para ta (i- ) e*s mt.ry prróilrrno ;i 1.{)(:)rJi eI c¡-ra} És

obten j.clc¡ de+ r.tr¡ c:áIct-t.l.c¡ exerto Ear-a I* r'srcl f aL la.cl"i r-rs.arrdc¡

F-32 = 1"I'l .1.." s _jf).{-ttli. I= r: jrj.f:)li

 J?:J

,+.t.3 Fr-str.lerna

lie pr*nsú [icir Lrrr tiempo qur¡ era impasi.ble at¡r-ir Lrncr l inea
rnutuamente a*rplada mediant-e el métodm de adiciún de Ia
1ínera cün el negattivr cieL dats de la l inea eriginal , Et
procedÍmiento correcto en erEte cást: 'fure ciescrito por primer-a
ves por Reiitan y l:.ruempel.

E I Frpced irnie'n to conciiste t¡n añ¡¡tl i r Lrna I inea con e I

negati.vr: de la impeclancia de l inea or-igr.nal pÉrro corl los;
acop.[es rnutuosi iguraleg a ]os originales.

I]A'I'üS DE LINEA

l-ínea Fiee ctan c ia

rJ- I rl. 1

{l--I I
{). s
---t----
I

1. --:i I
{). 4
I

--*T--*
I

{1.*;i; I (r.5
I
'---r--*
I

t-4 I ü.:J

¿l-3 {).3
 :t9:5

DATÜS DH II"IF.HDAhICIA DE AÜTII-.LF- I"IU'TUt]

LineaE Irnpedancia rnurtura

----f
I

.t -;i ! t-r. f

l_-: o.;:

Bt".tS re'ferencta = l)
-.-.....-.

For e_iermpLe. remilvámÉ* l;r I inea I - 4" adicir¡nando una lírrea

iI 4)' a la ¡natr:-z rle rcnple.

r.-3 L-4 4'-.:; ( 1-':l i '

--l
1--: (). 4 ü,i rl.i:l c)..1 |

t-4 (l,l ü.t C¡ r_) I

í
I
XAcer¡ t r
I

4*:5 () . :;l {) {J.:5 (:I I

I
I
( 1.-4 ) r (-) rJ -(r.2 |
_rl. -J

|..-os acoples de la iínea

I - 4i' son lc:s mismoi; a ias
(

acor¡les de la Líne,a I - 4. H:l ele¡¡ento di.agonal de il - 4l'

es el. neqat.ivo deL elemento diaganal cle I.a I inea l. - 4
r:r'iri irra I .
 5Y4

r 3. 15 .875
1-? I -1 .875 -.ii. 5 1
I
l. *4 I
*1 .87s 5.9:5'7S I .23 -ü.ef,7s I
I
X-'aa*o¡" ¡. - Ya-optr - I
I
I
4-3 l-?.5 1..?5 5. {){_} l.35
I
{ 1-.4 ) IL- r_.$75 -Ü . 9:5 75 -1 .;i5 4. C,á 15 I
J

De Y6*o¡, 1- I a mátri z L i.neñ

1-t 1-4 4*:5
[.YFñ-fas] = { i 4i' t1.,875 -rj?3'75 -1 . ?:, j

És c¡ht€?nidá, v el elementc¡

{1*4}'
Y¡*cr = (1 - 4) [ *4 . ()ót5 _l

La rernosión de la linea cr*!a entilnceE Lrna Linee de ci.erre de

la:,:o r/ la matri: no redlrcid¿r est* dada corno refer-encia. asi:

.:f
I 2 4 I a:n
I r- {)8á17 (1. ü::i7;12 ü . (J:51? I (_¡, {Jfi59é ü. {)1'J 7;l
1c).
I I
? I r-r. {)37'J!l 1-,,Lü-f 47 rl. 1(¡6.:ig {). {)5:ii:0 ü. ü4154 |
I
I
(). 1f:,ó::;9
It). c¡:itst 0, t34u4 -rl. rriá.se
1?
{:¡ . 1 1'Z{)f; I
I
I
4 t). t:a:sé' ü . {155:l{) {l . I 17(l:j; 0.I{lr35t -ü . r.:j3r.9 i
I
I I
¡

1a=c: iü.r)1:i7á r) . ()4::54 *(1. L{ió39 -(). I5:J.l.S, -t) . C¡41::$5

L j
|
 ::95
La redncciÉn de l,:.rc:n q prugrama) r elirnir:a lus eJes ds*I 1a:o
y ürea I a s igr-ri en te rnatri: :

r'-(t'c,e --t
¡I | rl. C):-i rl (). {)t I

2
I

i ,l-c,: rl. t5 rj I
-.{).
i
I

.J
I

l'l {) t},5 rr.s I

I

I
I I

4 j c,.
'-,t -0. I (1. li ti.'/h i
L- __i

Eri cnalqr-rier sr:;terna el ingenis:ro cie trleneación .! los

operadt:ren coriclc{pn Élfir- exFeriencia los dif erent-es pLrntoE de
prcb I enra de st.l sisterna . Hn Llna q ran rerci rri tercsnercta.da
todas las rrosibles cli.f ict-tl tades det Eie;tem¡. cnrnFleto Éclr.t

recsnruci.clas Hor a I rnenüs Lino de I os inqerr ier(]s" de:

pI aneación . Las I ineas cr-í t.i cas eLln r a L :;sr- abiertas-" .

ti.enrjer'¡ r* caLlgar sobrncarqa Éri otras
" deben ser
L j.neras

cnnocidas . Las I íneas I imi tes qL.re t-ienen Lrna {:.endenci.a a

f:érLrEar- scifirecarga ::i e1 . isterna está operandc an$rma.Lmente

también sclr¡ cunaci.das. Asi, r-est.rIta qt-t€? scllr: Lrna peqlrei:ía
parte cle I sÍstema in teresa a I og *perar'Í.os cl requrier-*
realmente de ltn estLtdio de er¡allración d** coritingencias. H.n

1a fsrinr.rlaciÉn de la rnstria Z del problerna sÉlo es necesaric:

en tc:n ces rsrtsnE?r I as ej e$ cclrt.esF{:}nd ien ters a I as I íneas
cr j.ticas \rt I imiteg. Debidn a la gr-an aclrpacién de espacio
€:nla mernoria de la rnat_ri: Z. todos Loe otro,F e.jes qt-re ncl 6e
necesi{:an ds?b€?n descartarse cJurants la fsrrnación de la
 396
rfiatr-ir. Asi., lrn sisterna rnt-ry grande plrede ser esturdiado co¡r

Ltna cantidad de mernrrri.a qurer dependerá solarnente clel núrrnero

cle esta:; I íneas cr'íticas y I imÍtantes siendo investiqádas.

Se debe tener cuidaclr.¡ de qure la porción de la matriz Z a ge*r

qlrard*da i.rrc.[t-rya tsdos lc:s ejes qlre EF necesitan de verdad
segfrn ].as clive,rsasi continr.lenci.as qLre s$ pureclen eÉperar,/
qLle $e han inve*stigcrdo. E.sto eI i¡nina 1a rrecesrdad de
recongtrurir 1a rnatri= Z innecesariamente.

L..a tÉcn i e:.* rle I cJescarte qLre f lre tan ex i tosa para I os
cál culos der cart-o circtritc¡ i.rrtrodurcei cclrntrl icacianes curandc
ser aplica a Ia matris Z del flr-rjo de carga. La matriz Z

cornpleta de ltn t;isterna plrede sinembargo retenerse en rnerncrrie

al j.glral qure eI vectcr cr.¡rriente requerÍdo par.a l.a

converqencie deI casct qLtfi: ha sido determrnaclo:

Zt, Zrt zr*

Zt, Zt zr^
:: :
Z^, Z*z 7^^

.¿^ i., Zrt

:: :
 .:I9-7

t-n 1a ecrtactón anter"iorr si 1a frla l:. ,/ la cnlnrnr-¡a l';, Éon

qurit;rdas de Ia rnatriz Z, Ir* ctebe quritarse tambiÉn del vectar
corriente para satisfacer eL rerqlrisite dee Ie rnlrltipLicaci.órr
rnatririal rlonde erl ndrrner"o cJe f i. las del vector I debe ser
iqlral al n(rmerc de rolltmnas de la matrr z 7. Er. tamt¡rÉn se
elirnrna del. vector volta.je ya gue I¿r 'iiIa F; tra siclo
el iminada de 1a matri;r Z orirJinal .

Los vcrltajeE en s¡l vector de la ecuración no r-epresenta mág

la:i condi.cinnes de¡l f lr-rjo de carqá cllnveFgiclas Ei cnalqltier
rorrisrnte Ix ha siclo el rrninada. For ejernplt:. ei volt-aje
ohtenido de la ecuacÍÉn para Lrn burs r cle*pltÉs que ei ejn h

ha sido elirnj.nado está dadm Ft:r:

n
E-= t:j' 'l¡t I r
1.1
tal

El tÉrmrnc no inrlr-tido I-r.l* EFI ta gurmatoria oriqina Lrn

errc¡r en E-. srrraciún de Ia mat¡-i: Z para el

tn Ia f

anáIisis cle contingencias Lrn gran nütrnero de e_ies deben

descartar-se y las corrrenteg ccrrespclndientes eliminarse delI
vector- corriente. i-g:; voltajerE de los br-rsers regtantes serán
rnuty rJiferentes a los vc:lta.jes del fl.r-r.ja de carga converqido.
 3?8
Ile allí se sir¡ure qLrer airn si ia rnatri¡ Z del f lr-tjo cle carga
está ispsnible Frare l:.orJo r¡1 sistema, el descartt* de ej es,
ci

qt-te eE necesarj.ci t);ira redurcir el problerna a Lrn tarnai{o más

mane.jahltr, ocasir:na sinernberqo Lrn vectcr voit,rJe que nfi se
pnede ntilr.Ear en el en*rlisis de continqencias. Fara esto
Ee r-eqlli.ere L.rn mÉt*do r.Je evalr-ración de cr:ntÍnqencia de la
matri¡ Z a e)íplicar:

Asuma qLie Lrna sola cnntrnger¡cia gerá r'nvestigacja en la Linea

a hJ abi.er-t-a. Antes de qLr€l la línea sel atrra $e sabe qt-re

É*{:n cüncJuce la corriente norlnáI tJe la hase de il.r-r.ii: de

carq¡€r. Hste requrisi.to se sa*:i:ifará gi la ciiferencia cie

volte.jes entre lcrs das br..rsers es iqual a l¿r cliferencia de

valtajes sbterrido rie los registros del litrro oe los¡ voltajers
ccinver-g idos ,

EEte apremir: plrede sLlperarse inyectando urna corr-iente de Ia

r:anticlacJ apropiada hacia cualc¡urier blrs del sistema, Clomo

rnc¡do cle conveniencia Ee inyectan hacia nno de los h¡urses en

el fin*rl tt. 1a Iínea que presenta 1a
der la linrsa a
aFertrtra sccidental o cnntingenc j.a. Urra pequrefia matrir se
extrae dt* lÁ matrir original y rnurltiplicacla por el vectsr
carrie*nte trradurce:
 .J9?

ab
a i-- 1 ['-l fu-.-l
b |L ' it**t
I | ü i= L.-_i

Hsta ecLr¿tcrcln purecle srrnFil rf icarse surbstrayendo .l.a f i Ia t de

la fila I en la matri: Z'/ el vector vc:ltaje. erlbregando:

ab

ab
fI z Itt['-l
L J L_"-J I

H- - Ep Ersi eI vnltaje de diferencia a travÉE de ln linea

a - b en eI registro de*l fllrjo de car6a. 5e pt.recte hacer urna
simpl if j.c*ción bc¡rranrlo le segunda colr-rmna de la matri z Z '/
la cc:rrespondieirrte a rorri.ente cero del vector carriente:

f*
ld

Fara deterrnin*rr el incrernento de la csrri.ente qure surbe por

Iss líneas r - s y Lr - v ctrando lq línea a b se abrer É€

e¡ltrae lcs *leme¡ntos dr¡ .ta matriz Z para fornrar la rnntria de

la f igt-rr¿r. Usando el alqsritmo de corrstrlrccíén aiiadimos urna

-----
l;nrY:íg¡tJoú -u,' t,i Í:;rj ,t, , ,,
(¡rr,Án P,l'.,'.'...:
',
 4{:}{)

linr¡a entre lms hurseis a y b con irnpedancia negativa a la de

J.a Iínea t:riginal i 1o rlraL en e¡fectc: r€?mueve la 1ínea

origin*1 y se mhtiene 1a m.+trir Z' de Ia f igt-.rra.

a
r
I I
I I
I I
I I
b I
I
I
I

r I

I
I
= I
I

I
I I
Lt I I
I I
I
I I
i I
I
L_ _t

a
r *l
I
I I
I
¡
b I
I

I
r I
I

I
I
= I

I
LI
I
I
t
I
.J

H:*tr-a;rendo los elernentos3 apropiados de la rnatrr;s rje la

primera f iqurra se puede dete¿rrninar 1a di.f eirencia der voltale
a travÉs cJe I as i. ineas y s >t Ll v ceusado pc:r I a
i.n'yeccrón rJe* csrrientei L- h*cia el bus a.
 4'J1

r-l
r tl
II l'*
H--l
ll r-
ll
s I
r
E-l I

I| z llilo l=
I

Lt
I tt
i
I
E,, I
| | t--
iiL-J -....1 I

E-i
_J

Alrora restamns filas en la mat.riz 7 '/ valtajes en ¡rl vector.

l-.o cua l. regll I ta en r

r* --1 r- -'l
r s IlZll I I I' l= I lE-
t-( i
L i l,:,
ILI i
I

I
I
E,,.,

Omi.tierrrlt: la cc¡lurnria v r/ Ia cürFiente cero €'n eL vector

cr: r r i en te , tern emr:g :

r 5
i- li- I
!rlttz' | | r- I =
r-*H-'
I
I
E*l
H_! I
LI
tt!t
L_ J L_. _t lE-
t* j

L-a Ín1"s¡s16'. de cr:rriente ptrerje veri.ficar- solamente el

rc*qni. s.i tc de qLre E- Et" ef; ccirrectn. l.-as dc¡s diferenci.as
cJe vo L ta-i es dadasi en la F:rcutációfi anteriar no son iouraleg a

las drferernci+is qLre Ee obtendri*rr der los voltaJes; errE

 4{)?

entregán el f 1r-rj n de carga,

Cluando la linea a - b EE¡ ahrr* ;rcciiJentalnrente. 1a. carriente

qi-le venia f lilyenrJo trn ésita., toma carninos a. ltetrnativcis. üsts
prndurc.e fiLr*rvas, difer*ncias cle voltaje a travÉs de 1¿ts

l.íns¡a*! cürno s* inci .ic.q en la siqlríernte ect-t¿tción n err 1a cutal

1¡:s r;lernent.rjs corresfirJnclen a la matri: Z msciif icada, o

m.*triÍ 7', cjesr¡urÉs de qus la li.nea a - b se h.r abierta¡

r-H-'
r5 I
I
- E*', I
t-t -v H.-,
[' ] ['-] L_E*' _J
I

La misma inyeicciÉn de rorriente es usada r pero caLlsa un

cainbi"t: en 1a:l clr f erencia:; cJe vol taj e gLle resltl ta de ia
rerjistrit¡t.rcrón de la csrriente en toda la red.

E-- (H'- E'- ) (É'r'* É -)

F-.. - {Ei'- (E'- .- f:

Lns i.r¡cre¡nentos de las csrrient-es l-ransferidas a las 1íneas

e*¡itár¡ dadc.¡*: púr:
 4{J::r;

É-- (E'- - E'-) - (H- *'É.-¡

t-
lr¡ -
Z t 1--- ?t

E-t
1*

Z I t--- *- Z r l"t-- ..-

En las clrales Ias diferencias de vc:LteJe están divididas por

las impedanfiias de I i.riea obtenida:i del r€rgistrc, de f lr_rjo de
cfir-cla.

Las corrierrtes entÉ?s de las cüntingencias pt-led€:n calct-llarse

dsr egtos v0 I ta_i es " asi I

El f Iut.jc: de corri.ente deelpr-rÉs de la csntinqenct-a €*n l€r I ínera

a tl e5:

I'-- = I-- .+ I--

L.a pr:tenci"a cllte f llr..¡e Fclr- lá I inee es obtenida mr-rL tipl icandcr
elL nt-levtr flr-r.lo cje corrient€? tror los vclitajes cje blrs
apro;liadt]s tornados de los rEqiritros de tILl.JCl cJÉ pclt€tncia.
 4{-r4

4.t3..1 F rob l ema

F:'ara el burs de si.stema i I urstre I a apertlrra de LrnE cje I os

trangformadorers 4 - 3 qr-re s€r enct-rentran s}n rJaráleln mediente
eI rnétedo de arrálisis de continqencia a gran velocidad.

Linea I mpedan c ia

+ j r), srÉ
{J , {J?'7

j (). 3'7{l

rl.:jtl'J + jr).ó4c,

+ j f). 1:5*a

L-;i Iinera {) 6 es ltn en.[a.ce de trerra erbi.traria. Iinea

1. 4 ers urna I j.nea, de cierre cle lalo. y las lirreas ó *. 5 y

4 * :5 scln eqnivalentes páráleIos ds* dos transf srmadaresi,

Lar matrir eÉ f armada rnedi.ante el alc¡sritmc¡ rje cc¡rrstrucción.

Ftemrclenacia por- conveniencia (dr:s t,ransfgrmador¿:s 4 - ¡ están
en :;ervici.o ) , eE,ta rnatr-i z es a siguri.ente:
J.
 4{)-,r
I l J 45ó
0.9EJ66tr o.i 57i37 0.83.r700 0.84020ó 0.719217 0.70707
,/ i¿.til / as.ots / qg.o$
/ so.us / ns.tso / ts.o

t.-109157 0.830r 70 0.794355 0.87.{3?l 0.70?07

/ so.att / sz.tn / ag.g¡t / st.ao?. / qs.o

t.0241l9 0.917130 0.731746 0.70707

/ so.ott / st.ttt / e&!t / qs.o

5¡rnctrío 0.93709r 0.727826 0.70707

/ sz.gti / qt.no / as.o

0.945744 0.70707
/ so.sot / ts.o
6l ,.ü:;
Hay qlre afintar t.a*r**ont* que en st-r Frsqi-an¡a en pascdl podrá
trabaj"rr lus corn¡:iejas solamente erl forrna rectanc¡lrlar y que
aqui. presentarnos er¡ forma polar sÉlo por conveniencia.

La contin-qencia a ser evalnada es.La aperturra de rtno cje les

transformadc¡res 4 - .5. cada urno de los transfc¡rrnadores tiene
Ltna impedancia de t) + .j t). t66. Fara glri tar uno de los
transfcrrnadores! Lrna I j.nea cnn irnpedancia de (:r - .j{l ..¿,óó debe
añadÍrse a Ia red, üclrncl ?á vxrnog en gecciones previas_

L-a matriE con est+: transfsrmador afurera es moetrada en le

'f iflurra .

3-1 j
0.98-19ó9 0.7561l0 0.829927 0.804658 0.718976 0.?0707
/:¿.t:o / t¡.na /_trln /:o.t¡t / q.z-n / ¿s.o

l.311 909 0.862]16 0.791{59 0.8?ó849 0.70707

/ st.ozt / s¿.att /_tg.t_r! / saJeg / ts.o
1.108082 0.918?55 0.741400 0.70707
/ se.zsz / st.tgs / qg.qat
/ as.o
5¡rn¿ttia 0.937918 0.i2'7401 0.70707
/ s¡.ooo / qtfit / ts.o
0.946 t l3 0.70707
/s7orr / qs.o

0.70-t07
/$n
 4()ó
[..*' ffor-riEnte es inyectacJa a cua].quier blrE del sistema para
qLre las dif erencias del val taje entre I os br-rse¡s 4 ,l 3 EFa
igutal a ia dif etrerrcia del vol taj e dada E¡n eI libro de1 f lurjn
cl* carqa si.qlrr.ente:

DA üS DE iBUSEIJ
-----*---t-
E1JSJ Vt]L]" I ÜS ANüiUi.-T] T'I PÜ

t .1 . üsrj {1. {)ü :l

:i 1,l{-xl I
-':i P-:e-lii- r)

* {). ?5i
!
I r1.85'? *1.;1. 7t :1
fr {:} t./ll:i (:)
"

El br-rs 4 es e:icr:gi.do pt:r conveniencia. de*sarrol lando las

eclracic:ne-.¡ vigtag anterrorrnent-e. ccln a 4 ,,' b = 3 tenemr:s¡
43
+,l Io .9i7091 0.921230 951

If"r:f' I
/t
I / s2.9s3 / sz.ttt
J
I
.927230 1.02419

JL'jl'
913
lo sz.itt /
L ,/ so.otl / -ti ¿q

Lm cual liF re dt-rcr seq¡ún I a ecnac ión e:

f-
{).951 I -5.93 o.9r3 / -r3.44
¿4

ü. ?::i7ó91 /:._á?J_Sj1 - {). 57."/?:Sü ¿_ñ2,-.t-l".oT.

 4ú'7

En el casn a e*;turdiar, lrn transformador 4 -.5 es probado por

una sobretrarga desplrés cle qlre el sequrndo transformador 4 -
j; sale de la red.

La i.nrTecciórr dE, corriente I.+ eue prodlrcirá la rJif erencia del.

voltaje del fIr-rja de car{a normal. eE deternrinada prJr Ia
eclracirirr ¡

E.e - E:s
I+ =
'Zq+ Zo=

Y haciendo r = 4 '/ gi = .-{r €!ñ las ecuraciclneg" tenemclS:

E+:s (E'+ - H'¡s') '- (8.+ -'Es)

T-
¡ 4:!F -
Z I ¿^-o ¿]:3 Z I l.n-- .[;3

L-a ecuación eg redlrcicja cor'r éi = tF = 4 y t¡ = s = ll" á!

t.Eq -- H:si + [iE'+ -- E':s) - (li=.o - E:¡i]

Zt*^-- 4s
üi'¿ - H'=
J. l. l.nr¡ ¿[:9

H+ tE'a * H';si
l"' ' +:r +. .j [,]' ¿* =
Z ¡ r--- 4:s
 4r){3

f:rFr'rJ

(E+ - E':¡)
fi'..r - H'::r ij I.+ i,Z'q.*-- 7.'+ol '/ I+ *
í'Zoo- Z+:si

De lo cLral.

F'4':s + Gl '+;r x
4l ¿rr¡r ¿[:t

';1 H.{Ho- E;¡ii i7' +o' 7' +s)*

iZa+* Z+sJ üZ*.*^-- ..;¡Í
['ei rc:

E.e ( E+ - t=,c ):l

= Fa.;s4. jül¿,¡¡
á l' lnr¡ ¿lis

Y entoncegt

P' +;s + .-i ül' ^+:! iJ

 4L¡?

[]bteniendo 1c¡s elernentos reqneridos rle Ias matrices qLle

rs*lecicnan Las cJif erenci.as der vt:I tajFE, ya vrgtas, asi comc!

el f lur.jc: c:riqinal fr través del trans'f srrnador de 1."¡ tabla.

tenernos:

{) . e.57eI8¿...Erj:.-.J_LÉ. - {) . ?rü 755¿..*A!.-._At

F' ¿t-¡-l-.j ü' a.;sr: ( -19.4-j 4,4 )
ü ,9.57ü911_..ff....-_9-s .- rl . ??7'.f f,{r/*FÍ.*g:l.
';r .- ¿tó . 9ó -j El. ¿1.

Los valc¡res, p.ará f lr-rjo de fiarqa en el caso de ct:ntinrjeincia.

,/ dr¡ i.1 tab i a , son dacjos FSra cofnFararse r

F' ¿t;s + jc¡' 4E vi

F:. ' ;:¡4 + -i Gl' ;3 r]

4.9 FAüTORIZAÜIÜN LU

4.?.1 lsri:bIema

ürdens óptimamerrte Lr:iarrcjo el esquema 1 del 'T'inney, lc:s bl.rssg

de sistema de potencia rnostrsdos en Ia figura, y luego
c¿rl cr-rIe, la tabla de f actnre*si ar/urdándc¡e;e cdln la
tr-ansformación LU dt-' ,sLr prclclrarná en p"*scal " Las admitaricias
de L írrea v la reactancia transiente del qene'rador sün las
siquientes I

I
I
;
 4L{l

Y r.:,1 =t --i I
c
Bus Bus Bus

Yr.1 = -jt @ o
Yr¡:r = -.j .J
"fo. = -j4
'fn:¡ = -.i5

Y+:r = -.i ó
YX'¡1 = .jfi"li

[-e red et;tá ini.cialmente a l our de vmltaje. üaLcule e*l

ccjrto ci rcuri to tri f ási rro át tier-r,.: f?n el brrs ..5 de la red"

L-a f crrna adnrit¿rnci.a br¡*: ds las ecrraci.ones cle inyección tj.elner

Ltns rnatrir Y burs sim*trica.

3 -r 0 0 -2 Et-
-l 13 -5 -4 -3 E2

Inus:Y¡usEsus:-j 0-5 5 0 0 E3

0-4 010 -6 E4

-2 -3 0 -6 13 E5-

Fara apl icar #l esql.rerna de TÍnne¡i parfi ordenarnien t{f rnág

Éptimo. inspeccionando la matr r; Y Etus

" tenernog :

tJn t*rrn.inm no diagonal " fila 3.

Dos tÉrminr:s no rJiagonales, f i las I y 4,

 411
"['res tÉrmi.no:; na diaeorraLes, fila 5

[lratr-o términas no diagonales, f i la t.

De aLli'. de act.rerdo aL e:;qt-lerná! para Lrna slrstiturción páre

eIi.minar s€*clrencialmente Eglr Er:, Éon Ha y Ear el sigr-riente
carnbim cle variat¡les es intr*:dr-tcicic¡-

l{r = E:3

FÍa = Hr

)i;s = E+
i{^q = E5

xa = E:¡:

H I sisterna ret:rdenádo en f ornre rratrx cie.l. eE i

5 0 0 0-5 X¡ al---ats'
0 3 0 -2 -l X2

b: Iáus: -/ 0 0 r0-6 -4 X3 :-J

0-2-6 13-3 x4

-5 -l -4 -3 t3 ,r5 ast .. - als-

übserve gt-re e i rpordenarnien to I oca l. i re lC]5 ceros PorqLte

el los son log primerog tÉrminos involr-rc¡-adm:; r?n 1a
ei irninación .
 41;:

tJsted podrá Lrs;flr e¡l proces{f, de elimrnación de fijanss en la

forrna qile descrj.be est* r;istema o la factori¡ación |..-LJ

a;rlrdándosie del ¡rrngrernfl en pascal.

tj¿:n 1a aynda de I prclqJ FaÍna oi¡tenernas, l'ina I rnerr ter L as

*igt-tien t-ees matrices ¡

r r* --l
Ir
I' {) i) (-l ü
l5
I
{-} -t" I

:g
I

l(, I
I
{l :!.
1., {J
.3 :5f, I

I
I
I
l= {_) r_t u- lfl r) I :.I. i:
s5
.._

1()

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I
I
-? I l,l c,
"+l
I:iL
- :?l
llt
I
I
I I

l-5 :_9-.L 1,, r:¡ 1:':1 I

I
t5 I
t8t I
L- L._ J

Lcs valsree. anttrri.c¡r'És logradas meldrante }as ecnaci.trnes

si{f,n

de la reducciún de Gfinss" y cclmo podr¿l ver usteci misrnn scn

fin-ry áprc:xirnados ¿r lns v;¡loreg reeles que ie entr-eqa erl.

prc]grama.

Corncl el burs :; ccrresponde e la prirnera f i la cleI glstern¿r

reordenado. Ias irnpedancias Zr* pltederr calci-riarse lts¿rntjo erl

vectcr de inyección de csrr-iente median'L,e la factnri;aciór'r

matrieial r 7a vistar áFlrcada aqui a la descomposición L_U
 41:5

erf*ctuada pür conrpurtador- (en el proqrar¡¡a respectivo) :

! = f:l r) ü rl r:}lü

Z' = lJr. Ur¿ U= U+ D Ut,r Ut;s Uü::¡ Uet

rtl --1 i-- *'1 r --l

I ll I 11 I
tltt I
I
ll
I
I

Irt
rl
I

I t l il r
I
I

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tll
tl
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i'J1 I tt 21
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I I I I
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c'.5r4ry |
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I I
I I

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{).:i{iüü ¿. :!!5
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I ¡ !
I I I

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I
I
(¡. óó48 I
|
f
7's* i
L_. .-J --J __J

É1 coFtr.¡ {:i.rcLtitci en t:l burs..1i es:

H'-(()) ñ E';¡(tl)
::: .'i l .t ti& E' s {{) } p. r_r

Z's:s j {). aó4ü

Y las c{frriEntes de fase s,ori:

lI'=l ': lI-=l = lI'=l = 1 .1:iá I¡r---./.l J A

Lns vo I t-a j es de bris , $efiLln tab I a *:rt.t ane)ícrs i gon :

Ir;¡E'=(t-ri Zr';*E's
E'r = E'r{t}i Er(r_))
7'ss + Z'e Z'o'o
 415

5i todos los voltaje*s sc:n :l- pt.r antes cle la fa1 la. entonces
€!n el burs Jl r por- ejemplo;

E:¡tF) = .[.{:)

4.'7.t l-'roblerrna

Ualcurler la corriente de f al Ia de corto circuriti:: trifás3iÉo a

t.ierrra en el blrs ;:Í en la retj mostrada en la f iaura nsanclo

descompossicirir¡ t-U. [-a rerj es3tá j.nicialrnente a vr:ltaje I f]Lr.
l-a.s i.mpedancias cle sert-renci¿r positiva Fon tamh.¡i.Én
especificarles:

Yrl;¡ = .if
Yr.:l = .j:1

Y:r¡r = .i.j
Y:e,+ * .i 4

Y:¡;3 * j5

Y+s = .iá
.iX':r =.i{-¡.5
 41ó

h:t si*tern* {i(* rgor-clena en 1r¡E hr-rges .5. I.r 4. 5, de .1. a

m¿rt:ri.E Y¡--i y I as cc:irFesipcrnd i.en tss; rnatr i. ces LLJ gcln !

r- *l
ü 0 ,r-l t1
t--
{l -.1
t5
I
I
I
o u (J |
I
{:.¡
+ tJ :E,T :1,
I ..jl ..jl .5
I
I
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L= {:} {J {l lfu Ir) t) ,l-.-- :;=L :ie
lil s s
C) -.I -¿r I {) ¿!__ ::.-1.
I
I I
t"t1 t.?t
I

1l
I

l-5
I

I
r -4 :3L (-) {) cr l-al_
I
,
15 I I
tü'J I
I
L- _.t L_ J

{-amc, el blrs 3 corresponde r Ia Frimer'¿r fila cle'l siistema

recrrdenacln "
las impedancias prc]pr-af;; Y mut tura plrerjen s€Pr

caIcr-rLadas usands el vector lrni taric: de inyección de

corriente,

! = tL r-) r-) {) {jlü

l- ct g, irnpedancias Eimn ca I ci-r l adas cürrio

I r..- -'t --1

I
f
z t rr;g I I
I
rl.8á48 |
I I
I I I
I
I
t
7.
.t
;:i t- I
I
C', 554i.i I
II
z 'rto = UrUeU:sUe.DU b+U t=rlJ* r. I r) ¡-
l* rJ
¡
{}. 56517
I

I |
I
I i
I
z a=*
I

I
ü I
I
ü. 3ó{)() |
I
I I I
z " ¡o- I
¡
{:) I
I
rl. óá4ts |

L_. J !
-.-J
 4I-7

{.ialcnlarnús la corrien{:e dr* cort-o circnito en el br-rs 3r

Eas(t)) Ea={(l)
Ia* = =j1.5áEa¡,(0) p.Lr
Z "o* .i t].8648

Las corrie?nteE cle f ase sr:n:

lI';s¡ = lIb*l = lI-oi * 1.156 In---,/f:i A

Y Issl vtr ltaja:s de fase*:

Z r..xll- r:r ( t-¡ ) ZrsHa:*

Z ats;,s + ZL= Zarr*

5ii todt¡s los vsltajes sr:n l. tr.r-r. antes de l"r falla er¡tonces.

pára Fl bus I tenemos;

É2(F) = 1..ü I * fJ_-éá.119 = t-r.?:IL. p,Lr.

{1.8ó49

4.9.3 Froblerna

En la reirj rnostradá en la ficturra L.rna corriente lrnitaria es;

rnyectad*c Fn hurs'J pf,rñ est¿rblecer la ctistribr¡ción del

vol ta jer irr j.cial . Éalcurle el ef ecto de un circuitcl abier-tc:
de la linea rjescle el bne I al br-rs I.
 41ü

h=l

Las eclraciones de adrnitancis br-rs ]:ara Ia red son:

T- -.1 r- --1
|lilt ::5 -r -1. llEr [,r-l
Yn--Eg..-
I
f,
-1 llbra
it
I

t tl
tl

= l-1 -T
-lEur lll
ltll
|L- *1 -1 ;r*JllE.=
I

tt
L--. -.J
!
L-l

La tabl¿r de fartoreg rje c:treracionesi hacra adelante y hacra

drtrás Én e1 vector de la mano derecha es¡

r
II * -1
-1
|
t-' ,1._
I
l:3
I
-i'
:il I
I
I
IDU-! = -4
!:i. -1 |
I
I .¿l

I
rl
::l
I J
{.la I clt 1e I os vc¡ I ta._i es cje I os blrges LrsancJo eI vEctor carriente
de i.nl¡ección.
 4r_9

tquivoleat¡
-l'ht3ven
in

5e uti li:a Ia trans;pne"sta pclrqLre la matri.z es simétrica,

--'l
I
I [-*l
H.r I l4f
I
tl
l-+l
I
I
I
H:¿ = UrUaDUtaUürIp-- = lrl
tltl
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.'-_'I

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It) t- 1l I
I {J tl I

? ¡ I
I
t-- J J

'-n¡YSr\ l.r(:
I
I
 4:l{)

Entre .i.ss3 blrseg I ,¡ ? er,iste lrn circr"rÍto equrivalente lrneal

o thÉvenin para toclo eI circni.to.

El vc¡ltaje de circrri.to abiertc: ( blrs I r:gs i t i va ) en t rs* és tos;

E!5:

[fr = Er(t)) - F":¡(t-¡) = .t.-r-= I -'.L

4i

l--a irnpeoancia fhévenin entre estt:g dog L¡r-rseis debe¡rr

einfinntr¿rr-ge inyectando Lrfia cilrrrElrit-ss lrr¡it-ar-i,a aL br-rs I v

extrayendo Ésta deL br.rt; t para c:bte¡ner e*I verctor impedancia"

--1 --1-'l
T.' rl [-r'l
t--l
I
l4l
l- ¿' al I
UrU=DUü=UGr -1 |
I

I
=
tll-{- |
I
t4l
z'
'_J
I
I
o_J
I

I rl
ti

l,rl
_ t.* ..J

Y complrtanda .ta i.inFedancia 'T'hÉvenin comsli

t- (:.!)
4 4
= .1
:l
ü¡
 4',J1

4. 1$ ANAL I5I S DÉ FI-UJü I]H t"-AR[iÉ\

"it. .1{-i. I l-'roblema

l{aga Llna apl.i.cación cJeL aJ.rJoritrrn cJer hiewtorr-[tapirson para

encüntrar Vzr /-_S-...., el voitaje y ánqLrln dt: f ase en El br-rs ?
der cargao si. *lrs pntencias r-eal y ra+;rctiv;r siün especif icadas
corno se murestt-ü en .l.a f igurra. ]'odc:r: los valores Éstán nadus
pclr urnidad en la base de¡l qeneraclcr'. La rt:d tient* f 1r-rjci
t-rif*sicm bai.anceaclo. Sie purede iterar hasta una rJiferencia
fn€'nor a rl . tJ(:!rll .

É'r = l.0O + ¡g= l', /9'

Ce¡re rc¡or
Pi+iQz=-0.s-i0.3

Bul de corga

Hn e I hurs de cflrqa i el f lr-t j c¡ de potencia en caardr¡nacjas

polares con el' burs I coíno I a ref er*rn cia e¡g eEcrittr cl3r'no !

F;¡ + j{Je = EaI¿t = V:¿(caE:É + J sin S) I=* = V2aJ*I*=

 4::?

E.:E '- Er *
V2er S
.j C). rJ3

V''p--J T- V*
V2er $
-.1 r). rl3

Vrv:e€3rS .-i (v=¡r:

= -i +
{l . r):5 fJ. ü:5

l VaVzsEñ *
(VrVz c(f,s $ - Ya=¡ -r
{) . ü:3 ü. {)3,

l-a potsrncia en Él bt-rs I Es conc:)cidar asi qLlÉ? lág Fart€rg re¿{ I

-v re¡rct-ivA pt-rÉden Eietrararse en d(]s ecuaciones no lineales y

q*scri.tát3 cc]rno eJ. vect$r':

r--+vrv:: sen s --r

i -F';E
i

I - ---- i*'
I {).r):i
I

r) =l----- t* l:111-:-3:-
I
tf(x)-bl ---*-*--l I

i v=,o-v.'v= cos # *
f:E(X) bz
t---.-lr). {ir, i I
t_
--n=_.J
L
t--faix) .. --1
I - F:E
r----*--*----*l
t=rxl .- üia
I

iL- _li

Los va I or- Fg cleiscnnecrdos

EN son Xr = t y X:¿ = V:¿. Como F¿ ,¡ Etz

SE'T'I valc:r É? g3 cnnstántes, las tlerivada 5 r¡arcia. le*; ern el

j aco brano € on I as siqurier¡ tes :
 42:;

f I
i*-r, )f r.
I
VrVa L;os'& Vr $en$ I

I
'I
á::-*
dj|L )t':2. . r)3 . #.1;
I

;;;-;;;s --;;_il;;s
I
J(x) = -l I
=
7to Dt* I
I
| ----
|t__. )xr il;; __J
I
I
, r):j . {)3
*l
I
I

Hl esqi-rema interactivm de Newtnn-Raphsen Ee rFpr-Fsenta en la

sigutiente eclración. Y inqni se cJebe nr-it:tar gL.re er'ts mÉtncln

n algmritnrtr nrl hace parte ni práctica ni eilplicati.va de este

proyect*, yr-¡. gLr{J e:;tán Frasádos simp.lernent-e en las
nperr;rciones matri.cialeg básicas; y cclrresÍlünde al interresada
cmnn{:er i*ste rné{:edm r.¡ tener- el pro-qr'áma cnt-t-Esponrlisnte.

Xr".'*¡.= [***'
i
Il=l [-** -l| +0.(J3; t
L_u="*'_J L_u"'.j

Ua Sen -l -t.
[*o*u*',o {ls:; *|., *t"
[b - f{xk)
I

It.--. v't u*'u $en &, íjvh.:a.-, V.r. üus trtJ I

5i el vc:l tale in j.ciaL para el br.rs; 2 se hace iqual al ciel

qeneracJor referenciar es Lln plrnto de arranque. üon ür, = r-r.rJ

y V')a = 1.{lóo la ecuración anteriar se conviert€ €Fr!

 T ii.l

i-*" -1 f-o.,, I| t-- i1,{)á},4

---r*r--1
t) -t
| lF,
I l= I + ü. #:i I ttl | l

L-u""i [*r ' ''* -i L

I r:¡ t,fJá |
J L*_j
i] |

llrI rl.r) -] f-' _l

I
I
1
.--.----::.--...-.--...
rlf I r rr.s*'1 r'- --1

ll+ |
il"óf¡)5 ¡ l-r).rii.535ril
tt
IL* 1.(rá-*J
(). ().J I
I fl=
rl.:ji
I
lt
ii
|
rt
t.()ó IL.- I
J
I |L...1,r)51"5J |

t_ -_l
|

l.-a sequnda ir tercera iteraciones (ya se saflÉ qlre cJebe Lrsttrd

r-.t'l:ili¡ar nrr Fr()g Fellllá imr¡Iernentanda es{:e rnÉt"odc¡ Íterativni .

en trerq¡a I c:s va I c¡resi :

--1 -i
i'-g" *,.,
",rr,r+r,.:,*l [-*" []*,.,,,r,-,o¿,:, I
i | ¡sr¡ | i v i = i
l=
|

!r.,:
i

L.u==j j L',,=*j [_r"us':' _l

Llec¡amr¡s a la rl 1t-i.m*r rterac.Íñn pare un eFr-or cle tcrleranci*¡
r-1
I ó. ótlül
llx* - x=l!
I
r,
I l=E
IL- (1. r)r)r)1_i I

'/ Ia snlurciÉ,n ha cmnvergirlo clentro de esta tolerancia en raE

tres iter-acj.onesi, l-.a st:lución es: E= = !. rj$lJ / -Lr.'7-/L".
 4",1:,

4.10.1 Froblema

Uti.I ice anál isit; de gensi tividad F'ara determinar los efectc:s
de Feqlreños carnbias para e I sist-ema rle dos buses de la
f iqlrra .

36.= Pct+ jocl 562=Po2+jQ-

vr v2

Lí^?A d ¿ a.'ansÁla¡

Sü= Por+ ¡ODr

So2= pD2r¡OD2

v2
Jr= 161- lo,
Jr= 162- lp,

s,=sc,-so,
f
¡.52 =562-Se2
I

1ímbcl¡ )c ¡vcnl' )t Polt

Fara simpl rficar 5e asufn€? qt-le Rl grgterna nc: tiene pÉrcl idas;
y tembién que ta generacir5n c*pacitiva sre puecle dtes¡rr-eciar ¡

v.q. ! tenefno$:
 4?6
fi=0

f,=.D

La reáctanci.a rje la línea. Xu sEt asLrmEl i.gual a {,,1 pr.r. Hsto

cmrre. pclncl€? ;.r cafjactd;tcl ds transrnrgión estátir:a de 1{_, tru a
Lrn n ive I de vc¡ I taj e nornina I cje I trur .

Fara e-+stms3 valsres €.,introdr_tciendo lme vectsres

repr-esentati.vcls xr tt! p sin lc15 sigurentes ecuracisnes:

l*/t l- -
bi€ln ü +
lv, l lv*l Sen [¿ -(l:. 1'-t::=¡1 = r:¡
XL Xu

F.¡:¡- F o* -'
lv.l= $e'n ü +
lv. I lv,i Sen Ia +(ür.-¿ii¡)] = C)
Xu. XL

üler* L.lor
lv^ l* ivallv..l i';o:¡ I r:- i J:; r'- ti;a ] j .=t)
+
--l:" Xr- Xu

Ll.¡a- ñip:¡ +
lv= l* lv'l- Uos,] +
lv.'llv=f üos [.;t+( fj¡.-6:¡) ]'=ti
x- Xr- XL

Hr
-'1
I
I
;, 1 i-",1 [-*.,1
l*=lii"rerl
I
I
!i:e i
lv'l I

l= ll=l_l
I
I u=
li;c ria I

|'tsI IPc¡''I
I
I
I I
I
ri+ lu=ll
J
I
J L--""-l Lr'-=_i
 4i::7

Xa]{a.
fr.(...! = il¡..- Fr + Sien (x*- xr.) = (-¡

fl. L

X=:l{+
fa('".) = Ll¡:- F ;¡ + Sjen ( rrr- x:s) = l)
{1.1.

)l:¡E Xal{ +
f=(.."') = ila-Fa + *_.___...__ üo:; (:r,¡ lir) = 0
ü.1 (). I

li¿a X:¡)i4
f+(...) = Lt+- ts¡
{).L {),1

ü;ons;irjsrernc:s Lln caso r.¡peratrional. caracteriracJo pclr Las

configuracÍones de carga|; r'¡ominsiE¡r.i.

1'- I Pr¡ro
-'1 -io-l pLr
I

1"i
I I

F=c' i
fl*r') i
pLt

F*o l= l=
Pt5 =
I
Ft¡:¡t) I
rül I

I
pr.r
I

r5+,) | [iie=ao I IilI I

pLl
-J _i _i

Y u.n per-f tI de vcllta_leE .r.n j.ciai:

lv** | = xn') I pt-r

!
vo"' I = lí '+':) I. pt-r

Ir.*ra $impL j.f icar- sE plrede ag3Lrrnrr qLre lns d{]s qenpradol-es
cofnpert€*n i.ctuaiment* lá cárqá r'egal i 1o clral signif ica que la
cá-Foa de la line,r FÉ cer'c:, '{ en vista a lss Ferfiles oe
voL ta"ie la I ínea tarnpncn transporta cárga reactivá "
 4'JB

lrir-restrfis velcttrrerg x \,r u scln s.rntoncss:

i--r,,.,--j
rril
i,.,-l r¡rd irttl*.'.' j [-=,r--l o,-,

irv.,.rl ir | ü..,"o I it t{r

= i' 'i = i
I F'LI
1o..,
X.:, I Llt:t= I l:::
lto,, ¡ i ir i rad
| ",'='' i
I

i :lr:j in"
trll
¡lrl
liU=oll | 1' pil iL noo'' | |L-_j
t(r lo*
L: :J L-J
I

-J

[-omo er I ee,'[arjc¡ nc¡mina I y sr.rs ecnacic]nes sic]n cr¡nocicjasi

det¡emos ct:nsiclerar- alqn par-a calclrl.ar las rnatrrc€lg
j acabianaE: lasr derivadas trarciaLes t t/ )i-r tr.t=ne tÉrm¡.nos
del tipo Ft/ )i.¡. Estos t*r'rni.r¡os retrr€?senta l'isicámente la
varlacrÉri d* .l xE demandas der carqa corr r-espectu .r 1as
.¡ar-l.ab I es cJer e$tadn. L..a c*rga Fpr, + jtiior d**pender-á
entonces rje !V*ln ,i 1¿r r:ar"g¡a F¡¡:¡ + jülo= de¡:enclerá de lV=i

üe asume ahmra qt.re tadaE Ias carqas scln clel tipo iinpedancia.
dc¡nde Ias variacic¡rres de volta-ie sc:n ct-tcrclráti.cfrEi errtreq"rnc]o
I as sigr-riein tes ecnacinnes :

Fa = tt:t){:et!: P= l0y;aa F :5 = ?{)x42? F¡4 = .ltJX.*a

 41tt

Demclstramüs ahürr córno Rncontrar las .j acsbianos c*r I cr-rl aridn

lag derivadas parciales de.l.a matrii j acotriána. TenemoE

en tc]n ces :

Df ¡¡ H:¡2 X:¡ ií .c
.il;- -2- t Lta - F'a Co:i ( iils - ,-rl
)','o L 0. l_ o.t

Dt-i:a )F= I;{:¡ l'{+

Cos ( x;l¡* ).{ r }
t;;; 2;'t. {). I (:). 1

Slgltiendo estet pr-r.rf::edimr.ento cal curlamc,s entonces 1r:s nure.ve

eleinentns de la rnatrix J,, !

i
fJ -10 -4{) i
lC¡ II
I
t-
t- 30 D
I I
I
I
l{) {:) -:::i()j
t-.__

L*rs matri ces jacc:bianas JG, :.r JF tienen los sigr-rientes

va IGFes !

l--
l,l
- {} I {il--t
.

J- =. -Je =
tii,i t. () r.)i
tl
l,: {_} r_r Ii
L.-- __i

t;;;;
t 'r ¡ ':'
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^ ".j
i. .

¡
f ;.,- .--.,..:--.J.-¡...,-.- *.. -.,. &,.
 4f,{}
Y luteqo urti. I j.:¿inda el prslqrama F$r compurtaci.ón digital
Ohtenemns I,e tnversai

r- *l
l,) --{l . {).1; ./ 5 --{¡
"
{)LJ5 ¡
I
I
I
i,.-'a =
I

I ct'r (). {)s{) r) . I.5ü i

I
t
I ¡
I
l,)
1

-{:) . {i 1? 5 -rl. r_!s75 |

I
L- -J

F ¡.nalinente fibternemos Ias rnatri.ces de sent;i tÍviclad an.t icar¡do

I asi; t;i.clt-.tieintesi erLlacioneg :

Ei-=-J- -.r" J-
So" = -' Jn, -l JG"

I ,_, C) . (j:37 5 ü fi, {)r:i5 I

I I
St=Sc,= l,) "-r). ()Srj {:¡. l. -ft. t 5(l I

lü (i. (:ll'J5
I I
{:r. {i¿:;75 |
l_
-J

Ug*rrns:s-" el re$Ltltesjo trara estudiar lt:s camt¡ic:s en x c{f,mü Lul

rÉ]ELr 1 tado de pFt-tL(rE aciones E*n u . sje aÉHrn€l I as
perturrba.ci.clne|; F,rimsrifrg [] rgurales a ce|.cl ,

= J,."-'1'J- u - J,.'"J¡t F=5- Lt a' Srt

 4:.'j;1

J'enemos seqürn lasi anterir¡res ecuaciones¡

*'1
fsre r
f) {:) . {l:I7:r r) (i. ürr$ |
I
I
I
i-'"'Tl
u' rl -r).{15{) -() . 1$fJ
I
Elor. I
I

I l=
ü {). {)1"?$
O.J.

(j {i , r)*a 75
II
I

I
F o:¡
I

I
I
Lru=lJ -J ü¡aa I

J
[J en 'f r:rma cnm¡:clnerl tel .

lVrl = r).{1f,7-"'i Go¡. + (:).{illli üo:.

l-t;¡ s -{). i):¡0 [ilr¡r + ri . i. Fc¡a - ü . 15{) üi¡aa

Iv*| = r-)'{.Jlts clcar + (:).{).J7fr i..l¡¡:r

4. 11 T}E:$f:'Ai:HO EüüI.ITJI'II {::]Ü Y L.É\ ET]UAC I ÜI,I DF. PTRD I DA

4.1i.1 larnblema

U$e e1 rnÉtodo cláeticc] Fara cletE¡r"mi.nar- Lcrs coei'icierrteg de

pÉrtJida Flara Ia r-ed cie clraf-rt: bnses mostrada en la f isurra.
Un cálcurlo de flr-r_is rle carqa fute realizado cün Él bng 4 comc¡

barra msci lante n de ref er-enci.a cl notlo cmrnpensaclcr Ffir-a

obtener el plrnto cje *pera*ióri de estado estable cle la red
espe*i'i'ic*ijc¡ €rn l.as s:..cJr-ri.entes tabl"qs. Lns3 p*r.*.rnetros de
Líner* en FLr V ccln bage de l(t{¡ t'lvAr Ecn:
 43i!

L INEA I I"IFEDANT] I A üARGA DE

LINtiÉi wC/:
1..:.. H (). {Ji + j {j. ()ó fj . r:¡jl
:i ü.{l.t + _ir)"r},!; {:}. {J:3

i_-f, ! {J. {l?9F-,? + j r). {)71{:t1 {). {)4

:t-4 r-). (i{:)5TJ8 j rl , r-r?:.5Ii.5 {:,. {r';
.54 .j r:r. {)5 ,;t = {J.?

vut.-1"AJü INYEüÜI{.JN DE
Fi]TENü I A
I . {)t7á--r, - J{-¡. {)rjg:j9 -o. 4 - J{1.;¡
I . {iü746 - J{,. {)1 17á 5
--rl . +. J{). t
o,99fiO41 + J{). (){ltu8 {).4 + J{).4
+ j {1. r:ts tl . 515S2 - Jrl . 40 Z7

t
fJbs*rrve qlre las pÉrelidas r-&nf y r*"*t rva se Én ct.ren tran
:iurmando tc:rJa:; las inyecciones:

4
5u. = Fr-+jn.- = )i 5r = ().{115Él - jir. LCr'77 p. Lr. ( lrXr-PIVA base )
 4:33

0.9 : 1.0

cnefici.entes cie pÉrclida cnlncidern err las pÉrdidas

L-c:s de
potencia .rctiv¿ cle la red de transimisión en el conjunto de
speracj-Én,

La pÉrdisla de tran:irnisiÉn tot*1 pr"reicte tr-aneiformarse en ilne

forrna cnadrática cle Las trcltenciag de las generadores:

F¡-.= L
\-r
IaxR¡, \'
"iJ
\" L,J F.,fJ--ff-
ilt mn

Dsnde Fu. es la. pÉrrlida tstel de transmisiÉn "

I*. es la carriente Én la li.nea de transrnigión l,;.

Rx es la rersistencia dtr Ia l inea l:..

F- sc:n los I'lhl qenerados del qenera.dcr- fll ,

F^ gon los l"lW qenerradoer dc¡1 g*neradrlr nr ,/

E{-- e5 el coef iciente, rje transmi.$iór¡ cJe pérdid,¿r.

 4}4
LJna e¡cuacif.:n de pÉrclida qure entreqa una rnáyclr exactitr-rd es:

t'l+l'; f'l+l:: lvl+h::

I-¡
,
't"1
f't. = 5" F^F--F-+
J-J
li.r laRr= l¿ lJ ¿ H¡.6Pa+fta,,5
¡.1 ñ-l a.l l.l

DoniJe j"¡ eE la coi-riente qlre fllrye en ia linea L qlre ll*va

.ia Eeclrencia Fcl:;iti.va de 1a. reslst-encía F.r, iluancio lcrs
valores nurrÉricos gcln canr:cidos pára laE cc¡s,rf rctentes F-., d€,
la eclración anterror" Ias derj.vadas f¡¿rrciales de 1a nércJida
rncremental sc:)n fáciJmente' cálct-rladas cornü:

7t''- lYl+¡:.
r1
il¿ B,^rf-'- + Ht.o tÍ ñ 1.2"::i"....1,1)
)F''- a-¡

Aqlrí Ies factore:; de pÉr'dj.da san deter-mrnacJos; pará cada Lrno

cJe lo:: l'l qenearadt:re' . La snlr-rcitSn Frmlrltánea de l.as l'l + I

ecueciclnes pará obtengr lt3g válorFg Frr Far..,,F-r páFá
cje*sr¡arhc¡ ecúr¡órni.ccf, es f aci I itacla si Ios coef icientes H s;Ér¡

cnnor:idr:s.

Hn el presente t eI mÉtodo rnás r_rti I i:ado para cal clrLar Los

factores de pÉrrliila y Ias pérdidas de tr-an$misirin {:otale= es
e*l I lamacla " coerf icie3nte de. FÉrdida" o " co€?f ici.ente 8,, . E.set
anális,is fr.re iniciado por l,;.r-or"r, siendn pcpr-rlarirado trcrr
 4::is

["irnl-ima1r+*r, ha tenido nL.lrnÉ?rc]Eas *:r:tensi.ones de Happ. v

rs?{:: i.ent*mente fnr-nit.tla¡lo lrsa.ncjo tÉcnic¿is coripr-ttacionalr,l* rnlry

efic:lenteie de m*trices dispersas.

tln 1.a aprciirimac.iún cLási.ca los ctref icielntes; [.r--. Hi¡.,:, y IJr¡,>

scln directarnente cslcr-rlados t-isando l.or; cirrrn pasc¡E de.L

rnéf-c¡dn.

L-os cinco pas,os del mÉtodo clásii:s Éün ápl. icjadüsi a la red
i.f,ar,.¡. detncstrar log elernentns de* I¿rs tr*r¡sforrnacionFs y

equrivaler¡ciar;. f-'ara ohtener la rnatri¡ de inipedanci.a Burs" r..rn

eqltivalerite n eF cfef inÍclo para el transffirrnador desde el hurs

3 al bus 4 (ves la f iqlrra cürrespcrndierrte) . Eie sabe qLrE en

r*l primer pást: sie seleccir-¡n.a eI generarlnr slacl'; r *:I de Ia
f¡arra as;ciLante c{]flio Ia ref ¡rrericia y EE con=j.dera.n todr-:g lcs
srl.einerrtr.¡s shnnt o paral.elns al irurs L ¿r ser parte de Ia red.

La n¡atriu Z :;e prred* nbterrer rnedi.ante el alqaritma d*

rmristr-trcridn y,.r ccjnncicJo . En srgta no háy eolriva I en tes
Fasivc:s de Lrn trarrsfgrmadsr snfasacJnr. i...a incli.rsi.ón de:

cles;fasadfirÉ¡s3 reslrlta en Lrn.r rnatrir Y no s,irrétr-i.ca. E::te

r*rn¡:imientt: cJe la sime¡,tria r'¡r: es sbfitácr-rlo páFa el rnÉtodr: de
l"leirer' '," Érl bs*r'tscln r eLt€r csnrier¡=a t*nsan¡t¡lando le matrir Y e

invir-tiÉndoIa. El alqmritrno rJe cc¡n:;trurcciÉn no Flrede

i.ncllti.r r-.tn rJesfarsador. debida á que no exisiteri equrivalentes
 4.J6

pasi.vos der estos elerrentos. Fero {:lener-álmente Ins sis3ternág

clrentan tan sti1o {:on L.lncl{i poccls desfasadoreg .:/ F}or
cansigt-tiEnte al iqnurarlos ric re*drrcir'á siqnif icativarnente 1a
exacti.{:r-rd de Ia ecnación cie pÉrdidas.

La terrnin;tI l- para e1 transform¡tdor es tainbrd*n Lrn purnta

corncrn para tnd,*s laE cár'qáE de 1e. linea y elernentos cle Ia

red corre*ctarJt:s L nerlrtro. El algoritrno

¿1 censtrr-rcci*n cJe clq*

l. ¿¡. Ím¡:eir1anc"-ia bt.rs puecle ser aFI i.cadc: ccln et bus ¿| r{lrnü
re'fer-enciar y eL terrni.nal L ccimo gi fl.rerar atro hlrs. Aqlrí rrn":r
m;:¡trir des ¡¡dmitanri-a hi.rs nn s.l.nr:lt-rl*.¡- +.¡s i.nvt*r-1::ida Far-a
c¡l¡teirr.ir- L¿i E¡iquiente rratri.r inicial. :

f n.ssa - j66.8s4 -5 +/ls -5 + jrt.999 -70.08 -'

I
_p05 I
z:¡v¡-':f rs--i44'es -10 +/30
|
l¿ ts - j66.620 +t23eer
L symmetry -to.0269 J
I

[o.oo+o+ +/0.0t161 0.00t88 +70.004t0 0.00044 - j.00t43 o.o220t -/'0.17e00-l

:t| I
0.00772 +

/
p.0l9l3 0.00044 -7.00399

0.00021 -
0.0re67
- i0.40401
j00607 0.01630 - t0..s2e77
l
I

L symnretry l.3sl90 -78.7895 J

|

l.-.a ni.*tr j,; 7., e*. f orrnada añacl j.enclm LrnR clrarta I j.ne¡a v una
clra.rta colutmna de c*rctg cr la rnatri t Z anterior.
cclt-t-r:asPC:ndiendo aI bt.rs rerferencraI pará obtener la sisr-t.iente
 4r,'/

il! + l':. + l"l + 1) x (N + h:: eF H + 1) = l_ x L cier la rnatri: Z

bus:

r ,, r,
f l.
Eo: I

L
e¡t*xjy - e,

l
,fj]
Dende Io e5 Ltn vectrr cJt¡ corrientesi des cárqá generaciÉn ,/

enlace. Lag i.mF,edanci¿ts en las rirl.tima¡¡ fila v colnmn*

representa el. sisterna ne¡urtral. ( br-.rrs t- ) para ref erenciar
eLernentog de entrada y rnlrturcJE,, 7,> es Ltna f orrna t3imilar de
Z bt-ts porqLl€l la file y cc¡lr-rmna del generador referencia son
cel-os "

De todos mc:dc¡:; Ia cmrr.ients ptrecle terminarse porqLle eE .|.a

t;|-rrna de corrientes f 1r-ryenclc¡ a tis:r-ra €)n conelr.isr¡e= al

ngrlrtro.

En la ecut¿rción rnstri.cj.al anter-j.nr nbteneirrosr I- corng:

7 ¡s E-
\'1
I-=-'tu
Z-- Zo-
 4:iEl

rf pl icando la ecutacrún anteric¡r oüdemcls; escribi"r er"l f orm¿r

n¡atri.cial:

Il l0 0 Il
I2 01 0 I2
I3 00 0 I3

:
Io -I2 -ll I"

Y aplicando Ia transformación invariante de l.rmn para E romo

vector voltaje i E-..-*- -: E*Evrr¡ a i :

l0 0 -^t El _8,
01 0 -Ii E, _8,
[trn..*.] :
F
óó i -Ii EN

00 0-f,

Ugando el cnmE¡urto pára 1a rnatri:i Z transfmrmarja, el cálcr-rIo

de f E*'EZ-r-..r-J [tr-l t $e l{fc¡r-.r p{f,r pasclÉi rnnl tipl icatari.as de
rnatrices h*sta consec.¡r-ri.r:

zn - zp - \*t2o,
^lz,,l : ^12,o
Zut Znz

zr,,
:It,,,
t
 4.t9
IJe Ia definición de u = Zn¿lLt¡ celct-tlamos los radicrs de la
¡natri: . agi ,'

= [. rt ai ;r:. +]

La relación de transforrnaciún equrj"valente¡ desrle cada blrs al

br-rs referencra 4, t¡" eE caIcLilada y aIrnacenada pé.ra seF
usarJa Iutego. Y también el valor nlrrnérico de.l.a corriente
del ner'ttro es cal cltlada ,/ tarnh¡i*r¡ alrnacenacia con el ¡¡ismo
propósi to.

bF -(1.ü5 + jt))
'f aa
t- = {-). t)1. /95 - -i
()1 Lá-lCt
Zr...r.- 1.3519t1 - j€l.7i3t159

En el páEo LtnÉ dc?l métod*r ¡* eE lrsada e:r¡ la rnatriz E iqtre

ot-ro= antc¡reE, l larnan T) n par-a transf ormar eL sistecrra ¿rl

merco rJr* ref er-encia 1, corno asi Is l.l.arna l..ran:

t+p 0 0 0 0 it
0 l+70 0 0 0 ,t

E¡ = (Ti)'Eo = 0 0 l+_P 0 0 Es: (Ti)'ZsT¡ ¡l : Ztlt

0 0 0 l+p 0 i4

-trr -¡,.. -tr-l -trÁ I I'

, i1,v,..t,'
:
,....¡,",...-.-.,.. _ .
 440

Io.oo¿¡t+¡o.otlzs 0.00173 + j0.01231 0.00044 + 70.00931 0 +/O -o.olo7e -p.oor66ll

0.00r73 +p.0r231 0.00874 + 7'0.03750 0.00221 + 70.02005 +¡o -0.082e8
Q - ¡o.0t?.76
li
0.00044 + /0.00931 0.0022t + ¡.02005 0.00308 + I.02539 0+p -0.r2735 -/0.0re5e
0 +,p 0 +70 0 +-70 0+p o +,p fl
ll
0 +,p 0 +/'0 0 +/0 0+,p l.35leo -/3.7se5eJl

Übserve quter 7t €rs; Llr¡€{ n¡.rtrir ndf, :iimÉtrica debr.dc'¡ a qLle los
t-Érminss Er son dif et-entes de cert: elri La si.quriente eclr¿ición
qLte t.eeLllta de la primera transforrnación:

€¡ l¡

E2 ¡tt

a¡k
€¡
-:
éu-l lM+K+;l

00.....f zLL

Posteriarmente la corriente de cáFqa tatal eg determrnada,

cf¡rno la slrma de cclFr'ieri tes que se inyectan en e. I fJu'rB, menclE

l;rs cürrien te:s de l as e I ernen tos =hurn

t de La red de
transmisit-ln en lc:sbusesSy4¡
 441

frr + j ülr F,':a .{- j fJ:¡ t

i *-r-cr- * ia'l-i= = = --ü. B€l5rl4 +j +. .tfl4.jió
E.r Ep

üorno scllámentÉ g;e egtrecif ica una cnndir::iÉn de f tu.io de

Fot.Éncia cofr¡cl Frlretlan Ia cnrriente rle carqa en los br-rse*s l.

y ? $on agltmidas üclrrm cünf ülrr'Ilitnte*;r ü err t:t-rag p;r.labr-as cclfno

Lrna proporciún f ij¿r de la csrri.ente total de carrtá..

'-rl.:J,t'7á5 {- jtl. 1t7;r5

;-.ti
¿a ¡t.¿G-rgr 1*rr(¡¡
-(1. U85r)¿i. + j r). 1{)4:iC}
= i 0.457ry7 j r). I.á94'Z ) i---.¡-
i¡¡ = l:¡i=--eo = (t).S4?{1f, + j().1"dr94'7)i---.¡-

L-os radiog lr y l:r Bnn Lrsádos la tr*rrs{srmacj.ón T:¡, para

€pn

transf orrnar' €l sistemá ¿iI rnarcü rle r-eferencia li: r y def inÍde
f;ln l a rá,irlLri€¡-ntei eclración :

(l ¡C11Á64

/2 i,t* t

I¡ : ftlt : !_: :
0 t0
0 I.
i "l 0 i¡r*,* *rr
0 0 0r I"
 44:J

Hrr el paso "'J dei nÉtodú La rnatrir T:¡ transf clrma el sistErna
sl infrrccl dgr ref erencr.a ,'l:

Ir r.) rl c,-'t l
I
*Pr-tr --1
..t I I €a. I
l¡ {J {) fI
I
€::r-ts €+l I

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r) lrl ()l I
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(:¡
I
{) ól (-) I |
I

I I
-'-E+
rl*J I I
I
I
{J {J r)
I
-J
L-

0.00461 +t.02185 0.00322 +.p -0.05180 +/o.0of56l

+p.01483 0

-0.00042 +y').o1543 0.00308 +P.02539 0 +.p -o.t2735 -/0.01959

lr,
0+p 0+.p 0+.p 0+p
I
0+p 0 +/0 0 +p 1.35190 - ¡a.78959 )

La relacLón de transf ormacióri eqLlivalente es:

:J
(a
'T
r = /: I *-t- = rl .9ÉJF5f-} + -i {r " ¡¡1;i"
..1

En eL pascl :i, las relacrones de transf ormacicln se r.rtili¡an

para definir 1a matri¡ Trr de trangfnrmaciún BeFa eLiaiinar le
carqa:
 +4:l;

r--t*
| ct
!__.1
t'
r:)

i
Es = (T*sioE,
I
= -to
Ii{-,Lc¡ Ez * (T*;s) tZ:ET:eI:lr=Z:¡I¡r

I t'
il(:l{)l-r
I

IL* t' I
t
-.J

fI 0.00zt74 +J0.01668 0.0052E +F.00603 -0.07163 -p.ol8a5lttf r¡ II

= I 0.00113 + J0.@673 0.00494 + Jo.02344 0.0580t9 +¡.01864 | | ¡1 |
tttl
L0.00113 +p.00673 0.00494 +J0.02344 1.41049 -78.770951 LI' l

lin eI pasc: 4 de el. rnÉtoclcl , sólo uri valfiF de et f lr-r:n rJe

potenciá es €lspercif icador áEi qt.re Ias, inyecciones dF

potenciá reactiva en los br-rge:; 3 y 4 se eslrmen lirreelmsnte
prnporcionales a la potencia real, LaF cc:rrienterEi se
calclrlan corno flrnciones implici{:as de 1a potencia real.:

S*;s F¡¡ -i ülE F:s(I. - i )

l;s = --.-*-,--. =
Er;¡ E,¡;s 0.9+EJ{)41 jt).t)t)tülÉ

= {1,t1t1493 - .j{1 .995't)ó}F* ='r¡.F;s

$i'.+ Fq .iüi. F.*i I + jt-,.4(17'7/ tl.5t5t¡t)

iÉ
*4
Éüa El*¿ 1.{r5 + -il-}

= ({_).93?.59 + jr.).73274)F+ = ¿:¡F4

 444

En pl pas;o f inal 5. Ios valtrres nrrméri.cr{rÉ Fát-á r7r q ,3.n. e I"

se uttilizan trare cslcr-rlar lari pérdidae de la lLnea de
tr¿insmisión. l...fisi cc¡*f icienteg H son obtelnidÉs pür los
tér'mino* de l.a ecuraciún:

i* --l
lr- --L -- ürP;r: -'rrltl I

ll,r*r.Flr I f
Fr- = fte iltl
ll ü*:rFa i Zo l o=F*
tl
il
ilti
ltll
ll (Ir'¡* I IL._ I"'
ti

I r_ __r Jltl
!
t.-- -..J

7:
Tt ra
l¿ l..t F'-F--P- + t- F,o,,1 Pr, + fjo,t
..1 ñ-¡ k.¡

4. ].2 HATRTCE$ Dl.Sf3HI{SAS Y tsI"IPATIUH-TAH]ENT'T.I ( ÜTRAS F'ÜR]"IAS DH:

EI"IfIAT:IUE'T'AR i

4. 1.::. I AL.HAT.;ENÉiI',IIEN"TÜ ilF. I"IA'T'RIüES SI[.ITJ'rRICAg;

Los elernentnE distintos ciel cerg" se álmacenan en eI ar-r-eulr:

tEn los inclices de lr:s e*lemeintos trn üÉ, sÉ almacen*rn +arl
paralelo r:on la tat¡la ITA. La tabl,* Ll\iX. contiene la
lt:cali:ación del elernent-o sigr-riente, rlistinto de ct:rnr eue
se en clrentra en i:H Ern orde'n ascende¡n te . E 1 va I or O ( cero )

en L-NX
" inciica el Érltimo t.érmino de urna colurmna.
 445

l-as posiciünes ir¡ j.crales de J.as, cfilunrnas i.ndividutales; en Cti

"

Frr* dlmacenan En la tabla LUfJL. L-a tabla NüllEi contiene eI

nCrmerc: ds.* elemerntss ci istintgsi de cero en cada colurrnna.

El r:rcJen tle 1a rnatri;r ( rrdrmern de fi Ias y colurmnas ) , se

almacena ern Nr y la primera posiciún vacante err las tablas
tk- , I T'A y LNX . sF áI macena en LF .

4.I?.1..1 []r'ablema

E I abcrar e I elsqLt€rrna de a l rnacenarrie*rr to Llare Ltna matr- i. i cje

6*á, s.imétrica cfin l,-"¡. siqr-rrs*nt-e distr.ihr-rción di=" elementc:g:

1::545ó
I xx x I
t XXXXI I

$\= 3 xx - |

4 xxxl I

5 x x x xl I

dl xx-J I
 44é:

SoIr-rciC¡n:

l.-* matri: de pnsrcinnes de lc:s elerrentos;, €lri la si.cir-rÍerntel:

r'*
| Ia. 4a. ll"a.
I
I
| ?e.
!
l,a. ü4. l.¡le.
I

I
I
a*. ?a. 1Sa.
I
I
| ;ia.
I
ll.ta. 15a.
I
I
|
I
74. l::ia. láa. lea. I
I
I I
It. - ' 17a ' ?t.)a. I
'('ta J

LüOL" Lr.rgar c¡pfisÍción. donde rnic,ien Las cc:lr-rmnas ( terrninos

Íro cr*r-o ) .

NOUE. Elernentos distintc¡s de cero trclr cnLnrrna.

-- r- cü1.. NtiuF-
--1
I
I
:L 1. ;5
I
I

:J 44 I
I
I
I
I
{-
I ::1
!

4 Ll :5

g.
L44
b lti .-\

I
J
 ?

44-|

L.os elernentcs se almacenarr c{:fircr siqLre:

ITÉ¡ LNX

L 3 arl
¿- :5 c{¡i I

4 r) arl I
É
1 Ll alil
? h a32
:5 '/ a.5li
ll
tl
Ii {:l a5t ll
ll
ll
É. 5¡ a"'J:5 ti
tl
tl
¿i fo a::i:.i; il
il
ll
6 C) Air::i tl
tl
tl
I l":l a14 tl
II
ti
4 1:I a44 tl
tl

5 ü a54 tl
il
il
2 15 a25 il
il
il
4 1ó e45 tl
tl
tl
5 t';,. a55 tl
il
tl
6 {) aÉr 5 ll
tl
il
:i 19 aliá
5 t{) a5a
h {-) a66
 ) 44€
4. 1;1 .;': Alrnacenarniernto de rnatrii:erri asin¡étricas

1..-a fsrrne de almecenarn.rerrto de r-tna rnatriz agimÉtrica, ccln Lrna

'Jistributción si.métrica cle elemente:s dis;tirrtc¡s de¡ cermt
c1ifiere des.l. ca.scl de distrit:urr::.itJn E.imrátr"rc.a, €sn dut; pnntos
bási canre*n te,

flri.rnr*r'c¡; Log, tÉrminsg de¡ la rliagc:naL prr.r¡ciFaI ¡

se al macen,¡n rrn l..lnü tabl a sr*par-ada

DIATi.

Selnurnclo r Las tÉrminos cJe flrera de 1a ¿Ji*gonal

prirrcipal, t;e almacenari crn ambas

dir-eccicrnes.

E;; dErcir-, 1a$ colurmnas €*n [.:E. )/ les fj.la:; eln ].a L,¿rbl;.i

paralela ftE. debido a qLle se sLlpclne Ltna simetría rsrl la

estrttctltr-e¡ la tarbla I1'Aüi cclntienet 1c¡g i.ricjices de las fitas
de loe elernentos alrnacenados ctr-r {]Et así cc]rno lc¡e r:e las
collrmna:; de Los elementcs almacenaclos. En RE.

El almacen.rmiento cJlraI de lo* térmi.nc¡s tle furera de la

di.*gnn,iil ¡:r'i.rrcipal o $e podria irrterpretar- corno un
cles¡rerrlicia de mpmc-rria; dersplrés de haber proces.rdo le
gubrurtina cle si.rnurlación,/ c¡rcjenamiento. cádñ elermento de
 445

f urer-a deil la cJi.ac¡onaL n :;e álrnace*ria una sola v€r?.

4 " 1t. ;i . 1 Frnbl erna

EI aherar e I esqLl€lrná de
" cle Llna rnat ri s al macenarnien to

agimétrica de ó * ár con 1¿r clrstr-iburciC¡n de elernentos qlre ser

mutegtra a continuaciór¡:

r* DrAr{
lL cclL NÜC]H
I
t.
I
I
I t5 all I

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I
I
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I
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14 4 a55 i
I

I I
6 I
I
rÉ] ::i aáa I
I
I I
L* *.i

.1 :1 :54156
L XX X

t XX x

ft= f, X X

4 X XX
tl
XXX
b xxx

Fñ-ffiilil,;;.1;;;;:;j
f- *,.:::::-l:::.- |
 ¡+ 5r)

I rr*u L-NX ilE Rt

I

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a41 a 1.4

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ó aa:.i..; a::iá

IJ I a14 a4L
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LI (j a:-i4 a45
1+ ? 11 a?fi a5l
tl 4 t.? a45 a54
1= 6 (J a65 a36
 45r.

4. 1::. il. ? Frab l ¡rnra

Forn¡ar y ernpaqt-retar con el e*qurema I, le matrir y t¡Lrs de urna

red I ct-rycls datog Ecln loe siguinntes:

N.lLp 0 -_.9-H. .-fi dl=.Ip f\_ Nü.pll_ JE ..rtErjÉp_ft sgflün!:LE.i.a* F1.,._i,i,.

I ;! {J . {15

.1. ::1 tJ
' i{:}
I 4 {1. Q5

1 ii {J, {)5

I 6 r:). rl5

:¡ :3 r.) . r_r5

i) 4 ü. tü
4 5 (:r, r)5

St:lurción:

F armancJo Yr"".- por rn!5treccrc,n de Ia red.

?{) i{) (-) Ü

[=*''
r': -:50 {_r {) ()

Ynue
I tt;i r) --5{l ;:{)
I r:i

l-
==

{J ?{l --4(l {)

r_r r) 0 -t{-)
1,,
 _t
-l ¿'-

Fleic¡r'denando esta rnatriz, aan {'urnción d*l núrn*sr-o der elementt:s

csnectacios á cada nodo.

r-:(l
I () {) {-t {)
I

I
t:' *--it:¡ {) 7t:':' t-t
i
I

Ynr"rs = |
I
.J {:} -4{j r) trr_}
I

i
I

I
{¡ trl r) -li(¡ 1ü
I
I
I
I
tr iJ :lr::¡ l"{l -:irj
L_-

Erntraqltetando lá Ye,¡..¡e¡ anteriur. cle acurerrjcr aI egqurema n{tmerrc:

1 de ernpaquretarniento, se ti.ener

EL.Ef"iENl-{]S iOE LA DIAi5üIUAL

LÜCALIDADl:345
D I AüüNí¡L -;i{) -:50 *4ü -5{) -5{)

ELE.I"IHNTT]TJ F'UERA DE LA D I AGTJNAL

LOüALInAD I :_ .5 4 5 ó

VAL.üR :(-i :lr) ;l{l l(J l(t t{j

I-ILA :;t :: 4 4 5 5

üüLUt'll{A45::5;a.4

EI prclflr-&rncl diaital anexaclor Srer-re la g;eclrenci.a anter.ic:r-

pará obtener'" clrclenar r/ ernpaqLte'tar Yeu¡e,
 1i l- l-¡i;il'il_ll.-ri:l$ l"r-i'l h: I t.i I r{i_Él;i t"iFil.i iiii:i.JH itf+i.. .t ,i f.ll.iÉ¡"¡

t::tl t_ti I r.tflü::.i'|.r. b.r-l l. Í{ üi.-li.rl-fi": .i: i.;':-i

5.l- üÜPiF{lfi[:.hlfb-:i h;iI'lH.ifi:i:f:ifrf;i" [:-Fi:::i.i'li-, iit..l[iliit;. L_A .ii'iFH.i]Éli"l{_;.ii+

f riiiiiis I [ii::f:iÉlli:[ Lil'JHisj i)i:: r::'i i f i-::t!{:, .i É\

5. i-,, i Vatr* :s IT..i V.:,r=

i--- --t -'-r i-- - j

v* ii'r
j.! l V.,
I
V.= =lfAitfr
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i¡.1.jl V,:¿=: = [T.i *r V-t".,

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ll.¿¡3¿r
I iV*l
L..- ---J r* -J
I
L..-.. -J

5.1.¿i I-::." =i ITJ lc,aa

5,1.r+ I¡:¡r.:¡ = [.T1-t I-b=

 45rl

t.i..$ V,r.r:r,* LT_!

*a [: Z^r",=][T]forr*

5.L.é [2,'r.a.] = [T1*" IZ-o-][TJ

5,1.7 V.¡r.=: = [.Zo'oJI.>ra

5.1.É S=s* = V-o., t I-rr.'*

15. I .9 5:¡$ .. .3V,:,r;¡ * ( Irr.r::r iI

5.1,,.1{l h:n p.Ll!

5.1..1+,1 Vr>rr: p.Lr = [: T-l -'t V-o- F,.u

5.1.l{j'I I¡>r= c,¡r¡ = tT]-r I-tr.,, ¡:,¡u

5.1".1.ü,:l; 5.-* = V,:ra r,¡!¡ {I,rr,=, r'..^)*

5.i: INDUC'T'ANüIA TJE LINh.ATS

Ite 1a tenria clel cf,rnFcl electrornaqnÉ*tit:o r recürcJemos qLre Lrn

cclndLrctor infinj.temente largn tj.ene Lrn rjenrpc: eléctrico E

radr.RI y Lrn campcl rnafinÉt j.cif, l-i cclncÉntrico.

asGrclss" Charles A. An*1.i.sis de sr.s3terfifrs dEr pcltencia, Nureva

editorial Interarns.'ricánü. l'l*¡llcc¡'. D.F.. r?tst. p. B:l-ilB.
 455

Q>O)

./
...i
Anal i"cernos err Frr.rner Iurqar loe I Larnados ef elctos maqnét i r:osi .

l.-a leir de Ampere rel¿rciona H t{ con il

= j,--*----o-
._:.
rrnr¡'dl

A una distancia X ei:terna al r:ondutctc:r, esta ecr.racrÓn se

recitrce a ¡

¡{ = ........-¿....-....
rcX

Cnanda H exigt-e t*n Lrn merdi.o cJe permeabi i idad constar¡te I

lJ := ltl{

En el aire B 3 Ho = 4n t 1t)-7 H/m

 4:ré
l-or lo tanto: Lr = _..1-r..1. __
TnX

tsl f lur jc: externo liqado al seqmento l. a Lrna distancr.a

e:.lterior | = D" se ohtrener prJr integr.*ciün, rlescle ta
sutperf ic j.e deL cr:ndl.rct$r ( X = r i ha:;te 1a FLlg;r.ción erxterr-ior
(X = IJ):

D
X= EII dX
r,i i

= ......!!_L1..."._t n......p......
tnr

lJn cundutctclr- cle $ar"edes rJerIc¡adas rio tendr-t enlaflesi dÉ .i lur.lg

int-ernar yá qLrs eI carnFo maenÉtrccr en t'¡I i.nter-r*r es cer-cl ,
E* posibie calcurlar el r*rdis (r'' ) de urn cnnductsr- de Faredesj
clelqadal; eqlr j"vaIe*nters r para tpdu contlnctor- geornét_rrccr " F_s
"Et¡Llívelente" en el gentrdo de qlte ti.e*ne+ lo:; mlgrnct5 gtnlacesl
de f lurjo tota.i, cclm$ {pn F:l ccrrdr-rctc¡r- c]rrgrnal. Este valnr
de r' e:; ref erirjs cnmo tel radÍn geornétrrco rnedio {RGt"l i.

t = -JijJ_ln*D_.-wet¡ers
}nr-

Def iri imos e I srn I ;tce de 1' I j o nor

ur un idad de lnnqitr-rd
f= _...a_.._.
'i
webers,/m
 45Z

= -*Lt,i.-..rnlp*
?n r'

Ahora r ct:ns;i.clerf*rrot3 er I arreq I o des f'l conrjurctorsg r de Ia

f iqura . dclndei cad.¡ Lrncl Ctrncluce Lrft¿1 cur"r-ierr te t i r r iz r etc )

hacia aflrera de 1a pácJlna. cladn qt..re:

Fara e*l tronflLrctor i-Ésims lc:s errlaces rje'f Lu_lcr por urr¡idarl de
long.i.tt-rd :;erian r For superposición l

donde' el sr-tbínd j.ce X.r¡ r.ncJica eI en Iace des f 1r-rjo por Llnictad
de Iongrtlrd alrededor deI i-Ési.mt: cpndurctc:r ctebido a La

cc¡rrier¡te qus+ f luye en eI j-Ésinro condltctor,

.^0"

5i sE calcrtle el eniace de fllrjo en iln plrnttr P E¡rt eI

extericrr, y separarjo del arreq lcr
" siÉ? fihti.ene de la eclr¿rcid¡n
.: f lurjc¡ f inal .
 458

Xtt = -,...t1.1.r..... I n i?-ro...

tn Or. r

fu-^ -l!*.:¿--- .[ n D.;=o.....

":-n
iT r:¡

L ....t\.lr -..-
l rr ll.l'*_
^r-
?n rI

'lr^ = .-.!.Ll-.-...... ln pnr-..-

2n f)t^

dsnde* Dr¡ = D¡ t distancia de csntrs a cen'l:ro entre los¡

cfincjl.rct{]r-e$ L V J (Dr¡ 5 r-'r).

5r-rt¡s'L.itr..ryendm para I t:t; en I ar:es, de* f Lt-rj o clel cc¡ndurctar- i-

eEIfl¡C' !

1 = ...._tt*.[ i1 lnp.re....- i= I nb3¡*-.. i., l nprr:......J

2n ül r ür= D.* r"

...-e.-.1- í a 1 n -..-i.-...- .r:¡ t f'r *.1-* .t-

r^lr'¡.... I + irln ürF.
fr¡ ü.t ür= I)r. -

+ i:¿11 Dr¿r,+ + i.rit-l D-¡*l

 ¿i.3t

F"¡ra srI c&lculo del enlace cte fllrjo tc:tal por lrnidacl cle

lclnqr.tncJ, el purntc F ser cJebe ápÍ-o)íimar a o. $ii. asi se h.rce.

Ür¡' 3 D=¡.. E ;i [)np # Lt,

Entonces;

Y 1;r ercu¿rcrón rjistarici.a de c€ntro a centrr: :;er simol if r.ca a:

5e pLreclet-i otite'ner Ect..raciclne:; simi. Iares pár'a tt:dc:s; Ios

" Lrs resLrl tadms se pueden sÍntetrz¿rr €rn Lrna
condurct-rf,res

fór-murle rnatricial:

tLli
^=
d ür¡dül

1 es lrn vect-cr n X 1 cc¡ntenrendo ar ¡¿. r . n

[ **g ,-.,n vsctr:r n * 1 ¡::orrterr¡.e,ndo i.r, ir¿. . . i-

i.¡.1r¡r'"t,i¡¡¡ *' ,. .. ',

fl
rl tl,i t '...:iji: ¡
I (pr. :,.
, i"i' -!. 1
t
I
"
 4dlü

i: L.1 es una ffá'[r-i: n t n

culra nc:tacidrn qenüPr-iirl ert;:

I r¡ s .._.¡r __ln "I...-. he-rirr-c¡t;/m

lln ür:

I -.-l = 1. .2:,

D¡.r i::: r'i.

Fara c$flrFren{Jei,- c:om$ Hsttü} Ei€: rel*c j..cn;r ct:n Lrna I inea
tr-if á*,ica. apl icáínc]$ Ia rpcr-racién de Ia f Érrnurla inatrj-cral a

Ltn arr€*qlcl de-' 4 ssnciuct$rE?s (.j fases ll Lrn nelrtra). Fensefi$s;

€?n cümü i4 * .tlr cle i cc'mo (4 * l.) y rJe tL"l c{:irrc:} (4 * 4)r
y de lns intlices cle Ios p;*rámetr-i:s i. .J corn$ c¡lre sni:repásan
1o:; valoreg a. b" c v n. [i.rr E+st.e putntcic trfirér degarrr:l.l.ar un

ci.r-fiLtrtn mndelc¡ Far"a utna cür'ta strcfli.C¡n der lins+a cle l.ongi.tr-rd
i, es preferibLe pensár Ejin términcrsi de vc:ltaje en lltg*r'de'l
eniace de fllrjo. De la ley cie Fa.raday:

v= ---d--1-.
dt

É t- cl i
ctt
 461

Y para esitecJn estacrr.¡narit: sernuirla i

9 = jwLI

l-a sección de Ia I inea plrede ser rnodelada pc:r el crrcltitc:

eqlrivai.errte¡, qile 5e rnuegtr*l en la f i.c¡r.rra sigr-rien te I

I'¡

\n.
7
I t,,

\, ,., /

I
t,,

\ ,,,,,

Aplicando La ley de vol. ta.j es de l.:.i rclihaf f , se otrt rene:

r-
i v--'
I
I
l' V,r¡.
-l I

I
nl
I
1i lRl + jw tLli lro
I i=' I
I
i
V*=' I
I l¡-
I

I v--'
I I

lr-
I
I
L...- J t_._
 4tr::

donde Ia notación cie doble snl¡irrdrce Vr.-r rndicá qllÉ 1s€i

FuFone positivc¡ respectu a .l " 'Tambrén:

--1
R- t-) {) {)

r:l Rt {) r_t ohrn / nr

iR-l =
r) t:, R= {)

ó{Jt:}R-I
.-J

Hn forn¡¿¡ más, r:om¡:actrr n Ee ¡:uede egcritrir- Lrná er>lprersiórr

equtivalente pará l"f ley de voltajesi de l::i,'-chochof f :

V¿r' s fIZ]I

rjonde tzl es 4 * 4, cÉn anotaciones¡

Ztr. = Rr + .jwlra $hrn/m

Zts = .lwlrrtrl+i) ohm/nr

I r.r = -...tl...-ln__.1..__. l'renry/nt

'fn Dr.r

inj = áq b, ci n

o biein, escrihi.etndo ell arreq lo de n *olrdlrctores s}n 't'orm;r

ma'tricial;
...-.L.."..{V¡be - V'-.-} = l-Zou-lI-o-
I
 4¿1f,

dgnde el arreqlo rje n cgndltctc¡reg rJs'f ina" i.á$ clncltecic¡nes er-r

IZ^a-]. '['ransformandn la ecuaci.ón anterirr a secuencias
rrLrfiÉl. i cág r ge c)lf t r ene' :

-..1'.....{Vc¡ra - V'c,ra) = fZc'r:a-l lo"=

I

dfinde

|..2,:ra-l = [T]--tIZ-¡-][T] c:trm,¿nt

lJn cál.culo qerrera.l. de LZorz] I levaria rnncfro tiempcr FClt- 1o

flLre se deber* lrt-i L i.rar Lrn.R cornpurtac'lsra pÉrra el lo, Csn 'f rne:;
edurcativos, e)írrrninaFemot; Ltn arreqlc¡ simÉtrrra rJe

cor¡rlutctmreg I conFidaaraclci cclmo Ltrra I ing.i ec¡lri I *tera i rlt.rri €r:;

lr: sutf icientem*nte sencil lo para des*rrrcl lar lc¡s c¿lIcr-rlns a

fnanfi !

V-r- - V'¡¡ci V-- - V---. i Vo- - V¡rr,^. i Vr- * V¡.,... i

--1
z- Z^ Z^ I
!

IZ-¡=] = z- Z- Z^
7-^ Z^ Z.
 4ó4

'¿-

b *l***l r----1l****"Fr='
T L__.*_r
.,
¿- att
it
i, z'
I

I
n l-*-*--l t
*.r ..i L-_.-L-r'
t___ J

E t cA I cr..t 1r: cte? | Zc,r;¡ "i I I ev* rrrutctro tiernpo r s;E rrecegi tx Lrná

complrtadclr'ü.

Z- = R- + jX-

7m = R- + jX_

Rr. = fil

X- = __.t!$...._1r¡ i.D./J .5...I? fllnr

ll::rr r'i1

X- * _-$.!9t.._..1n({.).¡*..l.,!.¡t fl,1m
lin ür-'
 465

l-ara ulna I. inera f ormancjo tri.*nquln eülri latera;

r c'0{) -1
lz
I
I Zo.r":¡ J = l{l 7r. Cl

to
I
(Jz
'.J

Z.: = Rc, + jX,>

7t=Rr+jX.r

Zn = Ra + .jX=

R.r=R¿+2R-=4R

Rr=R.a=R-*R-=R

Xc, = X- +' tX- = .....111{-..1n__._lil*...

In 7)'r'á'-

Fara la Iinea transnuresta: Xr = Fl_{l-In.Jl__

tn r"

[ = J-l)-¡lJt -f)..-
 4Érá

:i.¿i I-AT.¡AüI.T.ANÜIA DE LINE/i¡.¿,

Itef iÉrase a la f i.gutra en el :;ección antÉricr y r€lct.lel.fJe l,¡.

sstrLrctllra deI campo elÉctrico qLre circnnda a Lrn condLrctor

cargcr.dcl r eLrE tiene lonqitucl inf inrta y Llna densrdad I rne+al
de la carga.

{Jt:nsi.derando I a l ey de liaursis :

!'
!
ü . ds t= Cl-^errr-d-
J Ssrr¡rrfLct-

Se sr.mpf ificá ai

H= f
SrEX

donde
És ,É,:,r = ..._.L.._. * l.tt-.e faracj,/rn
..:ián

L.,:ts st-.t¡rerficrc+s equiplo'i-erncialex s{Jn ciliriciro:; concÉntricr:s

que rodtrfrn al ci:ntJurctnr. i-a drfersrnci¿q de Fo'Lr*ncial entre
cilindros, de la trcisiciún X^ a Xr" €is :

!{ e,
V-*" = l. EdX
i'
L. .1-

a6I bicl . p. 9L.-94 .

 4b'I
li ¡¡
V*¡= l'| ?
--'---" ---"-- E:dX
J .ilne X
';.í-
= -f-_tn.f'....
?r¡: - X

No está por dsmás hacer Lrna explÍcaciÉn sobre eI sentido

posi.trvo cJe las variables. L.a n*¡tación V-r, irnplica ia cai.da
de voltaje de rr'1 r' con respecto a "b" n (egto eg" gue rrar' se
debe censiderer pr:eii.t.iva con respecto a "hJ" ). La denEidad
cle carüa f rncluye t;Lr propio signo i cargas pasitivas
prorJurcen posi tiva / vi" ceverga i . liiempre c¡ute X ¡" ,:. X- , ln
(Xb/Xr ) .:r {), y V-¡, es positÍvo r páFá Llna I positiva " 1o cural
es fisicarnente correcte. Le ecuracr.ón der la dii'€it-encia der
potencial entre* c--il.indr-os eH v*lida L.rar-a X elíterrne al
condurctsr y fiiánti.ene sli v,aI idez pará ineqnitndes
ingtairtárreag. A¡:1ir¿inrJcl la eruación rnencionada pará
calclrlar eI voltaje €ntre clc¡s conductores; ( i, j , debj.da al
vc¡ i ta j +* en Lln tercers ( l:: ).

v"¡ I f* * v"".1 l* + v*¡ lf*'

= -l-. *-tln-g-r. +In-D-r r._J

ilne D¡.x Fr

= -J-" --.--il-,.-..P-r,.-
!in*: IJ"*.
 4át
Donde Fx. És El r-ad j-o rlel condlrctcar H ! y Dr¡ {3s la clistanc:ra
centro entr-e Ios condLlctclres i-Ésimo '¡ j --Érirmc¡ I Ésta es ra
mis,ma nst¿rción que Eip empleó en 1a siección S.;i.

f.thur¿rr $e necesit-a det;arrnllar" Lrna eclracit5n par-a eL vsli:a-ie

r*rrtre clnrs corrdlrctc¡r'erg; con 1a presencia cler v¿1r'ros

cclndtrcl:tJres car-gaclo*;. {lc¡nr;idÉr-ese el "rrreq 1o cie rl

cancluctoresr cc:rnc: se ilustra Grn l;r confiaur'*ción rje¡ n

conrJltctc¡rers pnrtadores ds* car-r-iente " Fmr sr-rperposiciórr:

Vr¡sVrrlfr.+Vr., ll=* +Vi-tlf + +V"¡lf-

= f" t"$li* P='"$;i* .

=*;t

= f, t";"1, /D"'
I n!).^ r -.. J
I)^..

'nág abrev¡.ado:

Vr¡ = ......-..1-.....- H P". I n..".0-*. -r Dnx = F*r

3n*; F;= 1' f)¡' r

Est* trabaJo sc¡, ar:lica so I arnen ter á r;i turacione:: clonde se

{:{f ngerv<i i a {:er-ga !
 469

i-as dos ecuaciones anteriores cunstitl.ryen las b"¡ges pár-a

rnáneJar clralqutier cc:nfiqurraci.Crn del un canductor para Lrna

I inea trif ásica arbitraria. Nffs vt:r'nc¡s ahgra f orrados a

eleqir e'ntre 1á qensral id*.irj ccrn sLrs c6rnplsrj idades aEcciatjag

y Lrn crrso epatrecif ico sencil lÉ, cfin g;l.rg venta.l"rg cie

cornprensión. E. I proti I erna se resne I ve con c j-a"rta

¡ €t-l el apÉnrlicer. Nos;otFns invest-iear-Fm{fs Lrn

gG?nerelidacl
arreglo de cr.ratro canductores (tres f a:;eg y el. nelrtro). En
nlrestra nntaci.dnr BmFle.r¡nc¡s ár b, c y n pár'ír designar 1,:e

condnctorers de f age y el neurtro r relspectiv;tmente. 5i

c"rmbiarrnos rrj'i flclr 'nrr (el neurtro) la ercuracidn de¡I vultaje

entre do:i conductors?s con 1a trr'Ésencia de varius condlrctsres

car{f.ictrtfiii, r f3€ convr.#*rte en !

f1
Ur- :€ _..t_ E
l" .[n_pn-
I'in* l':'=¿r []k a

dorrde

i = e. fl , cr n

|e. = ár b" flr n

Dr* = Fa = radro del i-egims cundurctor

 470

Las tres ecuaciones reetantee anteriores no son tan

sencillae. Sin embargo, aún se tienen cuatro variables len
el segundo mlembro (?^, ?u, fo v f^) - Se elimina de la
)t /n
ecuación:

ln=-(f^+ lo* f.\

Usando Ia eeuaclón de fase "a":

V.n = Va. = 1 t ¡,lnDa,'r- * r¡lnDur¡-- + - (fa, + )fv

a,lnDen
Zr"e !a, Du. Dca )

+ /?. ) In-r'o-l
Daa.

Simplificando:

Va = I tflalnE_an_ + hlnDbnDna_ * polnDcnDna]

2r'e'rarn/Dbafn'Dca,fn

Slmllarmente:

V¡ = 1 lfalnD¡nDnb_ -t- frrheD3_r"rr_ + /elnDcnDnrcJ

2lf-e'Dr.bfn'Pbfa'Debpn

Vu = 1 t/.InD*nDnc_ * hlnDbnDnc * f.lnDl_.:,"]

2r.e Da,=Pn ' Dcefn ' rcrn
 4'/ L

üunvirtie¡ndo a nctacion matricial ¡

V¡t¡e = fF-t,=f -¡r.

dc:ndE' [.F-b-] es, :5 * :Ji y tierre i.aE; anc]tacione:; qenerales:

f r.¡ = .-."+...._ In-..Jir-D-r.-.

?ns I)r.¡ r"^

i. J = {ai b. c

flara eI ariál lsis rJ¡* e:itaclo estac j.finario genoida I . tanta el

voltajp cclrncl Ia densidad rJe {:argr sfr t.}Lreden repF€?EentáF pcJr

fast¡res. Far tanta. sE tiene:

Vrtrc = l-Forr-lP-u-

5e riiqLrÉr qLrril:

P¡¡¡c = [.F-b- -l
-"rV-¡-

s fÉ-u--lV-u*

dr:nde

IE-o=] = [F-o-]"'a

Aqutí las rrnrdaders tle IC-t"*] son'iards,/m.

 47';
üanvrrtiendo l.a adrnitanria de¡rivada:

l-Y-o-l = jwIC-u*J

Ar.rnque sÉ pure*cien escri.blr' cJirectarnents¡ la*; anotaciones

gerrerales para [F-¡-]r esi paso de rrrversión der La maLrir
impide abtener exFr€?sr(rneg; simples para IE-t'=-l E [.Y-r-1.

'T
ransf clrmando [: Y-b-] a secutÉncra de va]oresr

[.Y,¡rc] = [T]-rIY-ur] [T-]

üomparranclo la ecuaci.Én anteric¡r ricln ést*¡ " pcldríáriror3

ráFidamente¡ erscrl.brr r

[C,¡ra] = [.T]-'rIC-r*] [T] f arads/m

ei sÉ? def rne

I,C¡)¡':¡r-l = i/-i wIY<'rra1

[iimilarrnenter

IF,>raf = [T]-rIF-,"-] [T.l

 4'l.:.!'

lsara linea equrilatera donde D = di$tancia entre f.ineas. y Fr

radit: de el concllrctc¡r.

F- r- f'l
--1

|..F-t'* ] =
I

lf'' f- f ñl :
I I

lt- f- ¡!
I
I
I
L-- ._J

f - = ...-L._...1n....._Dj..
lln* Jrl

frn = _ L_In.._p*.
iJne .5r

IF,rra] = [:T]*rIF-t"--l IT]

;. (J C'i
I

{.r fr {l I

i
I
t
t_! f_) 1= |
J

f*r=f-+ ?f- = _1 .ln

3ne

fr=f-f-= -..1-In--J).-
:iine r

_.tL
r
 474

r;
I /
.¡.
.i,:, () .*1
{-r I

l Eora l = [F.'r= l'-^ = {..) L/1'L (rl I

I
r:¡ {) Lltz i
I
J
uCt - 3nE
ln{Da/?}"ra)

r.
ka

f,¡" "= .,-"_-..,.é.n_e-. ._

lniD/i-i

iA, c¡ o-l
IY,:re ] =.j io E,r {) |

L)-=i
Bc, = Wüc, fJr = wgr Et:¿ = wüa 5ic?mens/rnstro
 4'13

5,4 TRANsFIÜRMIII]ION FIÜDAL

V-t¡e = tL] Vc,-B i-!É([] identifi.can c.;rn tirJa(les, moda I €]s .

IL:l-'.a = [L] + pctrqLre iL-l es Lrnitaria

irr¡e = [: L] i¡:¡ar¡

La transforrnación es Fotencra I.nvar-iár'ttF :

V¡ucirt¡e = Vcraf¡ir>,¡fr

I'ornando la l"rans'f clr-márla:

V¡t,e = tLl Vcror¡ L¡r"c = tLl Ic¡ar¡

dc:nde ¡

r --]
lv' (s) I
I
I
I i
V-a* = lVu isii
I !
I I

lv- (sii
I

I
I
I
L- _.1

r-
lVc' tE)
".-"t

I
I
I
I
Vr:¡sf¡ = lVo isl
I
(e;)
iv"
L- J
 47c,

V-t'* s fZ-r",']Ia¡q tLl Vc,,.r¡ * i..2-t"*i tL]Ioor¡

Vc¡,sr¡ = t.L:l-r fZ-r'*]t.Ll Ir¡aG¡ Vo,-o = LZc,oBJIo,*r¡

r- Z-
--1
Z^l
l7-
I
I
I

IZ-t*] = iZ- I

I
z- Z-l
I

t
I

iZ- z^ 7-l t

t* .-_J

dr:nde

Z-=R-+5L-

Z- = R- -¡ liL-

R- = 2h:

R- = l'l

L- = Jt._.In.^jDl_{il."1-*-_
tn v'?

L- = .11.._1 n .._{..p_.1._J_....5j.-1_.......
?n Lrr'
 47'7

[2c,,'nf = l-L] + [Z-r.=] tLl

r I/.t3
I
I
1,/.f3 I /{:l [--t' tm t* -l
I
I
I
L/,tb -.'¿/J'c. r/{¿, | | zm zs zm I

--rl{"| | zm zm zs
I
I

I
1./ {7. ü i
L- --.J L- -.i

I
I l1d.ii 1l{'É r/r;l i-to ir ,)l
I
I
!
1/^f.3 *2/i'g.
ttl
{:}|=|(lLür..i|
iii r)
I
I
I
r-]
-.ii L_.
I
I -1./J.:.:i :Ll {b -L / r-r I r,tr
I
.Ji

7*=Z-+27- Z,r=Z¡z=Z-.7^

tiin párd.iclas ir =: (J i l. rFrr*r erJuri I atera, 5 F i:J r.l f? di er-i

deter-rni.nar- d i. r*ct.arnen te !

Za = ."S.... Z,: Z,' = -...-$...- ,1 ¡. Y r;r *: .. .$-... V,:, Yo r:i .....-$.-. Y r

lw -l l¡'' I t^J Jw

t.lrani:u .1. si;; va I nr-e:; cle gg:cr-ienf:ia F{:!'sttiva ,/ tlHfJAt].VA F{f,I'i

r.glralsg. ic¡g valar*s. h*t¿i { i:] i son i.gnaIp.:s a L us, va I cre*; ¿r .l f ,:r

(,Íi.
 478

5. 5 f:iühlli.x. 1ü:iiuH:Ei t"ft I i: A5 t i:iÉ)Ij E:N l' ft r.:rhl $i Fr üiirl"lA IlrlF: E 5

z *- * *r{$;--ii$
.-8.*[.i":i,*i.- ,/ Z+1, = I$ .+ f:, + i Xr !.t = Rr + jXr

En el. devanado en Y--.--

__-¿_
I z^,
:
r* --1 t-: + Z-r) -1I
iv-
tl i
t{ /-zl,
¡'
I
?a Z^r Znr I

tl
lv' I lnt { Z*r + Z-r. ) jl-- r
ir
lv*
I I

I
Zn 'In
t. (Z+' + Z-r )
L r.
I
t
L*J .-J

i-: --1
lr' ¡
I

. lr,I I

I
I
I I

lIr
t.-- j
I

I- -¡
+I
Val a I
I
r.J_..._
¡
--r-' I -¡.
Ál|'
Ib -r __.._.Ji
*-*.-..*--..L-..-
tl
ll
| -¡.1
iI' r*_l
l.', ¡
i.+r
il
till
I

¿!r
? ,1,

Znr
 479

IZ,pr.a.] = [T]-r IZ-b-] [:T]

Y srfnplifrcandcl:

[-t+' + 3Z-r ) {:¡ {:)

"r'l
l-ZoraJ dovanrc¡o a = r:t ¿?a r)

r.! ll 'r.f
É. I
fH. t
..._J

;:iI tI t\ t

i,-t*"-r- ^a i I
I
t
I I
I Zot.= -l d----*ct€ a i'l r.L
¿ ilEr (J i
I

I
I I

| *-t {J z*e I
I
t-
-J

*1
{ z{o + .jiZ^:¡ i f) rJ

l"Z,:rra] d---^-cta F {-! Zfo {)

-r .l
t_, r:j ¿ i|n¡
I

Fara cada securencia ü. L ,/ ?, en cade devanado dondei:

Zh=R=+ .jX= + Z+

Z {." = F,:s + jX* -r' z+

I .'r*rtdrffi,, ,'t?-*;l
l- l::::'. ¿
 4Éu

5.ó {:ALTULOIi I,ARA I.JNA L]NEA TRIFÉ{üiICA

i zr' + rz'r,
t
I
!
I

z.>L:j;t = 'I_i* Ln,

I
t

I
I
'yfr -76 |
LLI

I
I I
¡-- .J

Z,t = Z.F + llo; le = ¿Fr Z.,i 'L.

= ZF3 Im

Zo = Zf:'+ ¿-a + Z^ai ZL ='¿t* - ¿lfnrr + AZrn=

'L.ft
= ?-s" + áZ-a + Ai: Z.na

Ejesrnplfir

r:' _ {). I tr.

--]
l')..:;
ilIt
r.
I

[rtrc; l,_,.f {j.J t).1f

ll rt.t r-r,:rf
icr.r
tJ

X,) = XF, * 2X- = {).3 + l? * f).1 = (l .5

X.r. = XF¡ - Xm = C¡..j _ {).;: = {-},?

Xa = Xr3 - X- = 0,3 - (-,.;i = {-).:l

 4ü1

r-' r:ll
lfr. s {)
i
I
{}.2 ..
(-) I
X.:,.r.2 = l,l |
I
I
I
r) r) "';
l,i
¡
í
I
-.J

5. 'Z L-A I'IAüiiJ I NA S I IUTJRüN i I]A

5.7"1. Log parArnetrns básicc¡s de la máqurina

L.a inác¡r-ri.na de Ia 'f igtrra contÍener custr-o devanadog, hás;i.cclsi

f....trtl' trs** rd*rrtict:s v s,imé'kricarnente* dj.g'trrbr-ridoE cctrrcj

devanadr:s rJ€?I extract:or' { iden'Lif icadosi por- lns st.tbindr.ces, a,

b, ,!) y eL rütcr " c: c{arnpcl , devanadc con el
c s¡r..ibi.rrci icer r,
Una máqt-ti.na rnocler-na pltede estar- *qr-ri pada , ,ldelm*s , ccln

dsvan,ados amertigrtadares. con:iistentes;, en derv"rnarios e'n jairla

11*: ard.i I I¿r cortacircltit"ada colocad;¡ en ranLrrag en ia
slrperf icie cJel rotur. Fara e!ítronÉr las caracter-i.etÍc,ilg;
básicas cJe 1a rnác¡t-tina. h,aré ¡¡lqun,a"; pr"imeras st-tposicit:nes¡

Sr..rposi.cirin I se de$Frrr=.cia 1e inf luelncia de los devarradog

amartigr-radores.

tlada Lrn{f de' 1o:; cnatrrl cJevana.dtrr; pc:see r"es,i15,tenci.a "

"*uttoir¡dutctancia. e indlrctancia mutr-.ra, revelativa a I.t:g; otrng

 4Ar
tres devanados. F'ara eI i-ésirno devarrado estos parámetros
ge gir¡bolizan rctrno I-r r Lr. I ¡ Ir.¡ n r-espectivan¡ente. Hacemos¡

así 1a si.guriente surpogi ción .

ISupasicirtn t. [.-s máqlrina se asLrrne cc:Jno rnaqnÉtrcarnente

l ineaI . El concento de incjurctancia toma sentido solarnente
si asnmirnos profimrciclnal icJacJ direrc{:.a entre cmrrient-ee y

fllrjas.

En erste purnto se tienen qLre hacer las siqurientes

nbservaciones en relación a lc:s parámetro=r

1. L.a resisterrcra del estatür r-,t ?a y Fc son todas iqt.raLeg

a uná rnagni.tr-rd relativamente pequteña For di.seño. De,ac¡ui
que podemos egtablecer qlte F- = f-b = r-s = t"-r,

3. l odos lc¡s d¡.ecisÉis5, eiernent,¡s indurctrvms a tener en

cuenta ctrn la excerpcién de L--n depencle de la F¡os,ición de*l
rotor ,/ pr¡r conEiquri.ente scn ft.rnciones de¡l ánqtrl.o del tiernpo
variante ¿.

::i. Se consiidera al rotor no saliente" ccrmc: es eI caso

atrroximado de Lln tltrl¡ogener-adorn 1m cural cnnl ieva á qt.le

todos los elementosi indurctivos sean constanteri excepto

aqllel los qlre cont-íenen r en sLrE sr-rbíndlces.
 4É.5

4. La alttoindurctancia 1-- cjel *pvanarjo deI estatc:r a varia

per.i.étJicamente csn Ia pc:*icrün dt*l ánqurlo .: cr:rnn se mu+*s Era

en l as f igurras, correspcnd ien tes . a I can rando Lrn pr co curando

el erje del rctor coincicie con el ejr del devanads. o siea

cLtandca,: = {:) y c{ = Tlr Ic: cual oclrrre e,ntonces dc:s veces €rn
cada r-t¡vgLurción ccrrnpleta deI rotor.

--T
,.t
,a ya

t,,

t,, ltt

ti
lo,

I lñ
t,,

vc
I I
I I
Hacemc¡s ahora la sieuiente:

Sr-rposÍcirin .5. La vari,nción de la Índnctancra cJescrrta Bn la

f igurra es considerada armcrnical v.q. . podemc:s escribir l--
asi: l-- = Lt + L;¡ üos?,:"
donde lag par-árnetrrrs de indurctarrcia positj.va [-r y L-a :;c:n
rlefinj.dos E+n la fiqura. Notése que L3¡ FE cero ner* f31. r'cl'tnr-
 4U4

cil.ct-rl.ár',
{tista surposiciún es muy huena. DeEe¡arnost de hecfro. elrn¡inar
los armónicr:si Fuperiores r y Efitmnces las super-'f icies cle* 1r:s
polas $Én confsrm*das asi para oht-E:nerr erl lu posible Lrná

rellrctancie sinusoidal . l

7f

(a)
 485
5' L-as alrtnii-irJl.rctanci.as lt ¡, y l-* Flarecer'án rdéntrc.*:i a

Irn r FÉ.?rü cüficl lmgi d*sr¡anados, cjel €?stator. b \f i: es,tári

espaciadüs :¡n,'3 y 4n/3 raci ianes con respectr: I rJevanado a, er.

debe*mos reernplasar pn nrrestras fórmltla:¡ la caor-denarj¿.r

ánqLrlar- .r ccn t.: '- l]n,/;il y (,r 4nlf,), r-espectivarnerrte.
Hacienda ursc: de la suposiciún, J tenemns er¡tonces

lt'u = l--r + La {]c¡gÉi,r _..¿nl

f,

l-- = L.r + La üast (,r - _.$-U ¡

::,

¿¡. Las indltctanciae muituras la.¡ satisface Ias eclracianes l¡...t

I
¡-Jl.

Y lag incjurctancj.a,E; dgl estatar lar¡r l-.,,r lt"* Eon tudas

negat ivas.

La Crlti.ma ecuación ers Ltna cc:nsecl.r€rnciar cjel hecho des que nna
cnrriente en eI devanaclc: i errtr-e+gará Lln fl.u_ie Iiqado en eI
rjevanado -i de Llna magrritnd v di.recciórr idÉntir:as cgn el.
f iurja qt-re Lrna corriente igual esrr _i errrtreqaría al dervanacio i.
$es nnta tamtriÉn que Ltna corri.ente posi.tiva en erL clevanarJo
cjel estator i erntr-eqará nn componerrte cje f lr-rJt: neqativo en
I os rjos clevanadn:; r€rjstan tc*s de I estatclr . E.sto sigrr j..l,i c*
 4H6

qt.re La:; tres inrlurctancias murtuaei de*l e$t,ator sün neqatj"vas,

'l . [:1 f'It-tJ u l igadn aI dev.rnacio b cJ*:I et;tatc¡r- cJadc¡ pL]F r-lt'lá

corriente en el devanadc¡ a tencJr'á sLl mayür rnagnitr-rd cuancJo

el ángul.o clel rotc¡r ü es -.:iQ" ó +15rJ", ya qLre el rotor en

estas dos posicimnes of rece la rnenor relnctancia rragnÉt-.i.ca..

Similarmente: e.L f Lujo Eerá minirnc¡ par-a *. = á{-rü o :i4{j". L-a

rndltct¿inci.a rnurtlra 1r¡ descri.birá entc¡ncÉ':s I¿r clrrva de l;rr

l'ictlrra i ti ) . Nste qLre el componente de¡ f req:urencia cjabl*

tencf r-á 1a misma arnpliturd gr-rE+ en el caso de alrtoindlrctanc:ia.
-lenemcr:; asi:

l-r" = - l-.=, -- l-..a üo:;?(¿r * _

+._
)
fl

IJcrnde L;:¡ eg;tá rjefini.clo eri la fi.gura (b). Nnte qu€r 1..¡, r3r5
nos; i t i. vo "

';i' Llr¡ r'a:c:rraniienta similarr- revela qLre lt* tenrJrá un v*rlt:r

nltméricg máxj-mc $árá ü = 9rJ" '/ :!.'7rL" V I-* para ü s ¿Í()" y

:;:-1r)". 'Tenernc:s entonces3 :

Cms2{a + ...._.r.L..

:.J

Cos2(.dt + .....L.)
ó
 4A'I
?, En relación a los elemr:ntns dm la i.ndnct-ancia clel rotor-
5e nota oLtÉ:

*. l-a autoinductencia del rotor I-- es constante (cr¡ms ya

EÉ rnenci.onó antes), Y eel Eimhc]lira con L.4 en La f iqurr;¡ (tr),

h. Ln indnctanc.ia rnutna entre lr:s rjevanados del rotor v el

estator v¿rrian entre rnáximo pfisJ..ti'/o y Lrn mátrrrno negatrvo.
.lenemos ahora si ast-rrrtrrros de nurevo la sutposiciórr 3. qLte:

l -- = L¡ C13s,;r

1'-u = L-s üoE{'¡ '+ '-n-..i

1r.- = L-s COS (,: + ...4-tr-..._i = Lrr [ios ( ¡,t tn)

;1,

donde La está cief in icls en }a f iqtrra ( rI i

l.{:t. En todas las fórrnurlas ante*riores e, I ánqulo ct representa

ángulo eIéctri.co. S¡e sabe qLle lms ánglrlc:s eléctr-icas ,/

mecánicos t;mn i.cJÉnticas para lrna máqui.na de do:; polos pero

ct-tando p .:. 31 5e tiene la relaciÓn.

'*- r = -..p*.-C(fneC
¡.t
 488

f l. En resLrrneri Ée cÉncluye qLiE los diecrséis elementos de

r.nclurctancia pueden elípresarse en tér¡ii.ncrs de un canjurn'b.o de
parárnetrox tJe cinccr indltctencias positivas
t i.-:r l-r ¡ ¡rr

{ tc¡dag def inidasi en .La f igurra) y el ánqulo de posición deI

rotor a. En el análisis sigr-riente se asLrme qne todos estosi

trarárnetrcf;'r5cln conmcÍd(]g biesn se¿r rnecliante prneb¿r de la
rnáquri.r¡a c: cli.rectamente de 1c¡s datas de f abricacrón. Ncte
tambiÉn gLre Érn el ca*o de Lrn rc-r'tor- circuriar- el conjlrn'i:.n cJe

parárnetros de irrductancia se redurc¡r a cl.iat.ro ([-rr L:sr L.+r

L-¡l).

5.7.? L.as e*curaci.onÉE qeneraLe*s de le má.qlrina

$i escribi.rnc¡s 1"rs ect-rac.ir:nes cie vc¡1{:aj e de h:.ir-ctlhof f para

lng crratro circur.tos separados de la f igur-a. tenemos
d i. re* t"rrnen t-er

V- = *i-F- _d*_( l--i-i

dt
+ _d..._t l-_i_)
d.h

Vt' = -i¡F- _-d-.-ttu-i-) --ü- tL¡r"i.¡) - --d--tto=i-)

rJt dt dt
+ .-d.- iIt¡-i-)
ctt
 48?

*d- (1=-r-) - _-"t1_-(l-t'ir"i - d._.(l-=i*)

dt dt dt

_..9*.ilr,-i-)
cit

V- = -trr-r _-C"_-tL--i-j - ...--C-.--t t-¡irr ) - ..-d*...-( I --ir)

d't dt dr
+ *d__t i_-i- i
dt

ürr 1a fi.guira deI cLrcLri'[c¡ las; corrientes dr*L €*statür s{f,n

rJefinid¿rs cclmo Fclsitivas en Ia direcr:lf¡n del potencial

pos;i.tj.vor v.g. r en el sentidü deI ge+neradclr" Le cclrriente
clel r'{f tfir es: de'f inrda f}$s.itiva en erl. serntidc¡ r:pt.rc?sto. Estas
definicione*s; rner:cl¿rdas están de *cLrerdo cün el mnclo nprmaL
rle operación cJe los de¡vanados resf:e*ctivos. liie tcrdes modc¡s;

sIIas clcasi.onan Lrná gi.ti.raciórr cJ+* vari.ación de sictnc:$ en Ia

delfiniciór't rJe le inatr.l.E rlss L;r indlrctancía, y qLl{s e{5t{Rmcls

fc:ru adús, a aceptar.

Dt*f.Írii.mt:s par-* el hecho I+¡s r;r.gt-rierltes matricer;

n-l
Vt" I it'-i
¡.
lyl = v-l
I
I
i-'
¿ l"í
li-
..-.1 I lttlr..,1 |

u'IJ I ll
L:':J

I
I
$
 49{:1

--1
F. () r..r . {:i
I
I
i I
t'-r i) . ()
ft= l'l
i
I
|

l,l {) r}. t)
I

t." {) r) .F¡
I

I'r
L- J
I

Lr t-L2cos2e -r4 -rr""rz(' + i) -h -rr."rr(' - á) 15 cos cr

Ial ,*i,",1
tr,
-h -r,"osz(' +
i) L, + Lz*'r(" -+) -Ls -.,."rr(" - i) tr*'("-?)
¡A
l¡v
it*l
t," il,,l
:
lc¿

Ir¿
.....;....1
I,"i I,,J
-Ls -r, ""'
,(' - á) -Ls - t,rrrr(" - í) Lt + L2""r r(" - +) ,r*'('-?)
4o\
Ttí) L'
-l
I2a +T
l2d,
2o
Z5
\ í) COS c:

-Lt | 2n',
iLt .or
\" - Tj
cos 2a

-L3 2a ir
il
?) iL5
;1(; i+)
/-5 cos e .r."t (' - ?) .,."' (' * f) Lr
Es impar-tan te ahclr'"r anotár- qLre tgt'l el caso de Lrn rotor"
cir-cular- tocltrs Inr; eleme*ntt:s inductivosl propios y mnturos del
egtator son independientes del ánc¡uLo del rotor',t, lu cnal
eÉ eqlrivalente a decir- ctup eI coeficierrte j.ndltctivr: L..z er;
c€rrr¡. En este cáso 1a rnatri¡ dr¡ indlrctancia asLrme el
siguiente valor simpl if icaclo
 4?1

Fodemos e:icribir matricialrnente Ia sigr-riente ecnacrón :

v=-Ri ú_iLi)
clt

DebemnE anotar respecto a 1a ecnación anterior qLle:

I. !, de¡hidn á que los elementos de 1a n¡atr.r.: L

l\lote qt.re

dependen de ,; l.y por consigr-riente de t), no podemos escr-ibir-

el segurndo tÉrmino

.....-d--... (Li) = L-.-d-.i.-

trit dt

Las ecuraci.c¡nes diferenciales entonces nc¡ tion deI tipo rler

parámeitros constenteg * y por egt.r ra¡ón no egtamc]s Fn

di=posición de Ltsar transformadas de l-aplace directarnente

pára sLr sallrción "

?. Cnnsider* Lrn tÉrmino tí¡:i.cn Én la ecuración, pc:r e¡jemplo.

...l1.._. ( 1--i- )
dr-

Derivarrdo obtenerncls :

Í-_gl¡¡__fierr?,: y -Ci_-_.Cos t.:

dt dt
 49.J

Si. la ve.'1ucid,*tl annnl.a.r del roi:.:ur' i,.;r/cJt es conE;t*nte ( t.o

cural es rnág HsLrc{l debrds ¿r la grarr i.nerc¡.a de Ia rn*qniria) r

nsdeinos escribir:

_....d-{*. * w = constante
dt

ü=Wt+':{.}

:/ loE cfnteriore*; térmi.nos e;e redurci.r'*r¡ a:

w5enI(wt + rr.:li- y tfisril{wi:: I rÁ<,}rJi-

dr

L.lgncl.Lri.mo:; que nuestra:; ecuaci.c¡rres clif ererrciales, sfin de¡ tipc:

l ineal cnn coef icientes de tiem¡:o v.rr.iet¡1e. F-rr ct-ryct ccre;cl

estamosr en clispc¡gición de c:btener lag :;olr-tcioneg deI

sisterna. De otrc¡ 1ado, b.*jm la inflLrG¡ncrcl derl inrqlre:
electrndinárnico. hari.a cambrar Ia velacicJacl r y eñtc¡nces Ias
eclraciones di.ferencrales c:bvi.amente no serian lineales. las
solr-rciorres anal íticas genereltrs no tendri.an solnción i a no
ser qLle se nti I rcen .rnáI r.sis nurmÉricos cornplrtacimna ies.
 49:5

5 . 7 . f, L.a eclrarión genere l. cle potenuia

L-a e¡roresión pará La pntencia tmtal generacJa entregada pc:r

las devanados dei estator seqún fórmul.a será:

p = i-V- + it"Vr" + i=V- IAJ

Se enfati¡a qr-re p eE rlefinicla pc:sitiva en el sentidn dsl

generacl(]r.

L.as rn*trice s anteri 0r€e5 ser han particionado para f¡,acer Llrirr

d entre elir- rotror '/ estator ¡ 1.o cura I nos perrni te

i st in cirSn
defi.nir las siguien tes
e55n rLrevagi surbmatricÉiE,

r-1 r' ,l--1

r"
lv-I
LI L l'li-
I i

V-=lv-l i
i-= I
llu 'l
I'
I
t

ti I
I

lv-I
L-.- _i
it*
L: _l
:t
I
I
I

'--1
i'*'
lr-
I
o rJl I
I
I I

^ lt,
f- -{)l I
R-= |
I

irj I
r] rf,l I'
L_ -j

t'- *t r I-,-
1-- I ¡r¡ I-r I I i
.a I
I
¡. I
I
L-= l¡- It tt lo-
I
I-- = i Iu-
I

I
I
t
L-
L-- 1-¡, I--
I

i
I

I
L--
I *- I

I
-J -J
 494

L-a$ matriceg totales estárr corrr:uesta'¿ de grrbmatri ce= :

i* '--1
i- --i
rvr= lv-I i=l
til
l'*i
| I II I

lV-l
t.._- -J
|
i--.-
*-
| -...i i
i
--J

*'1 --!
T-
iR' ol
f-
lL- l-- |
ft= I
i t=
io rr I

I I I-.T
|
I --
I

|
I I t-- -J

Escri bi.endo 1a ecurac i.ón de potencia etn I'clrma. r'riatricial

tenemos3 I

p s Ii-,
["-l
irrr i.*-l lv'l= i-'f v* hl

L_"-_i

HscrÍ bierrdo I a ecuaciún e*n *.:érrninos tle surbmat-rices tenemos :

r-*
f) -'-1ili-
t-- ---¡
r- 1--
"-1
iv- f;il
ln' llt! iL* i
I -___9. _

I v,-
I I
rr. | | -r, cl t i I.-t J. r- t-
L....- __J L: ..--l i.-.... i-.-

__'1 !
I tt
I
I
i- iltl
.l ! titl
I L7
I
L_ JItl I

--.1
 49:'
o en fclrrne cf,lmrjonente!

Fjeali.:anda Ias operacitrnes mért.ricial¡¡s ántcrriores Lrsted

rnrsmG podrá ver qLrr scln.idéntica.s a Ia ecLración rnatrifiiáI

originálGrs.
 49,5

:i. ü üoRTüs üIRüUI1-ü5

5.FJ.1 V¿,i J. sres matri cla I esi qÉ¡net-a I i. radrs cler cnrto circuritr:
Flar-a estt-rrj ias de 'f a I I as s i.mé tr- i. cas

lt .,r'l Zrr Zt=

',*.1 [r"-l
¡l zzsllral
ir.ü Zal 2==
tli1.o |

Zgr 'Zsz z**J

L.-
I

-J L'"j
1.t) = ZrrIr r- ltz,'Ia + Zr:sIs
1.t-l = Z;er.Ir + l:l-'a'[a + Za:¡¡I:¡
i.rj = Z*.rIr + ZrsnIn {- Z:¡:sI,s

Estas ecuácimrres esitán basadaE r*n pl cierre de lor; trsrs

interrurptc:res de f a114.

zzz ¿33

Iz=ol ¡¡ =ol +
I \ I \
VnZ t/nl

)
_/_
Sinernbargo poclemos a ,[ terar nlrestro circlrita abriendo y
cerrancio Égtos. cc:mc) se verá. For ejemplo. siLrpcJniende qure
solamente Eliiste faI la en el burs I r como e¡-l I a f iglrra .

entoncesi I:a = I;:f = ü \,r I a ecuración se convterte en:

 49'7

{) {:)
TT
1."r-l = ZrrIr.r Zr;rIa + Zr¡¡.1.;:r

I.r. := L.1:_r/¿Lr (falla en el burs r.)

{:r rj
TT
',L'Íz'In
I.r_¡ = ?_a.rIr * + un¡l.s

Ia = L.t7/¿'._a {f¿lLa en el bus ?,i

Lle 1* n¡isaia 'f nrma ccln Lrna faI 1. á ft?r"l r.? i [:Lrs -a; :

Irs = I.tJlZ;Jif

Ile .la:; ecLracicln€rs,,anterl.t:re:i se flLrrcJe cür'tcjlutir qlre las

corrie¡'ltes f luryenrjo f lrer.¡ de la 'f al Ia ( siendo eI t¡us F; eI
bt.rs de f¿rll¿r) €,ss irrvert¡.rlnente proporcionel a 1a

i.rnperdancia ¡::ropia de diclro brrs;, t:

Ir. = L.t)/?xv. ifalla en el blts hi

eI blrs I como el bltg falladc! '/ }a

Oe nlrevo asLrrnlrnos
ecufrción coFrespondie*nte plrecie r-eescribirse cclrnc,t

{) {:)

il",tl - V-zr = Zra.tIr. +

rT
Zar¡I='t Z;E'rs1;s
 4'79

Y e¡l val(]|. del voltaje a tierra Éerál

V"r;ü = 1"ó - ZurIr. = i.() Z:ar(1.t-1./Zrr)

cl

(l-:¡ = i.ü 'Zzt/'Ztt

Yde iqura I modo :

Vn* ;: l_.{) Zt,t/7.tt (f a1.l.a Fn el brte 1)

[-a eclración n¡at-ricial clel volta:e f]rrra una falla en srl

blrs I pr-recle-. escribirse erntonce,¡ corncJ ¡

f--
11.Ü
tl
*-'1

I
r--
I tr¡'
t', 7r^ z,*l f-t,l
ltrli o
i
!l I 'Zae
I - vn:a
t '':' I
= | 7-o' z=,, I
lltl I

ir.fl - v^o l'1

I tsr
'Z;sa
t* -.-i
i
L- '**--i t-: -J
Similarmernte t para Lrná f eI lar eln el but; 11 . las vo 1 taj es ern

I c'r*¡ burstrs I y .5 eerán:

V-r. = 1.rl - 7 r.=/ t=a
V-r¡ 3' L.(l - 'Zrsz/ Zza

L.a expresiÉrr gefierál para el burs; n ccln r-espelcte a tier-ra

ger-á:

V^- = 1.0 Zx.n,/7x.*. (fal. Ia en el irug l,lj

La matri¡ de csrto ci.rcnits eg simÉtric.r con r-esuectt: a

sr-r dieqonal prrncipal'' o

Zm¡' = Z*,-
 499

Las drltimes curatro ecnacic:nes son Lrns herrarnien ta

imnsrtarrte en Ia gslución de redes.

@
Zbronch

Vnb

[]urarrdo se regLliere Lrnr=cnrriente de rflJna en pa.r{:i.cuIar

dentrc: de 1a recl oriqi.nal necesitamos apl icar 1a ley cJe

ühm a la r-arna, de la figurra anterior':

I-¡' s .-9r,- **_Y-b.* = ..--LlJl._._.L."./_2.r".j.....::-.._.J._J.n..t-...:.._.ár*./.!..",*.)

Z---- Z----

I¡t' = -...?-nr...it...-?--x if*l.la en eI bug k)

Z*.r.Zr-ñ-

L-a ecnaciór¡ antertnr- nc) trene ilpl icaciÉn cLlandct la r-arrra

en clres,tión tiene aig{rn act:ple mutt-ro cnn ptra rarna d*: Ia

red.

'i.8.2 Val.ores rnatrici.alet; qerrer*lisadtrs de corto circLr:.tü

para fal.Las linea a tie*rra

F ara una faI 1a asimÉtri. ca I ae rpdes eqt-rtvá I entes de cacla

sect-tencia pot; itive" negativ{a y cero derberr conectarse: juint-aE*

'¡ también He dettnn terrer en cltenta los valore*s equi"vaJ.e'nts:r;

[: ';' ..
f
t_-... ...
 Iirjrl

en la matriz de rmpedancia.

Asurrna trar-a I. a red equ i. va I en te rle sercLtencias polf'at;rir

Eiouriente lrna f al la lineia e tier-ra en La faEe a del bns 1.

Z?e ¿e sar
rfa pDgt+iva\

1'ft.C l. src
ce'o
-lcta

L¿rg rerdps cje gecuternci*rs Fosi tiva , rirlqativa Y cero Fara ia

far:e a gon coLc¡carJag, en seri.e páFca calcrrlar ,1. a ct}rri,€nte de*

f al la de seclr$ncia cero:

I -+ct = 1 f'¡
7rl'+Ztt.'+ztl-"
 5(Jl

fier¿:

I-.t = I-r't 1: I-t--

I rr = .llI -ro

(f

I-" * :3 , (.J

7t{'' + 7t"t--"' + Zrr{'

lrar-a una f al la en $tr{f, h}Ltsr frúr €:.j€!'ntrIo el bt-rs h;

I- r = .....-.......-..........;l...El
Z*,.,-' + 7v.t'.""' + 7**t'

De iqnal forma trcldElrnrJÉ LrtiLirer- 1a figmra si qt-rerern$g

Eab€rr Lc:s ctrrnpr:nentes de vúltaje pfrra Étl br-rg 4t en la
fage ar ¿lgi:

V*-+ = I.{J -. I*-rZ-,o

V-"n+ = -I--tZ-r.o
Vt)-4 = *Io-tZttt.

Ahor":

V^+ = V*".+ {- V -¡ra * VO..r.r

 5{):i

Y c{rmo:

I*-+=I''"-r=Io-t

entonces

V-o = I . t) *. I.r-, ( Z"'-ra + 7-" r. + Z*r¡ )

St-tgti. {:r-tynncio It'-.. !

Vn+ = 1.(l ..._2._*-r+....1...__7._-r+._+_._11!.r. ttaLla Err É1 t¡urs 1)

Z "'r. r + 7"'' t- t + Z':' t. r

l..lria forn¡a rnás-, cJeneral de eI vfiltaje erl la 'fase á en el

bLrs m cün un& f al la I í.nea ¿R t-i.err-a ( f ase ¿r i É?n {r1 buts h

eg!

V,"-- = I . {) - __Z__1.¡-..._:t..1.;.u,-*'L_'7_3*-
7*n*. + Z-r..¡, + Zt'*r

Y F:ara übl:ener- l os vcl I ta j es correspond.ien tes de l as

'fases b y c sanas pára el rnisrno burs lni debemos r-otar Iss
volta.jes de Eecuencia cte Ia f ase a con el ánglrlo de f as,e

apropi;rcJo.'

V^-¡ = V*nmtr * V'-nmtr * V')-mp

(f,

V--¡ = V*^-- /-:1..J-1"1-1- * V'n-r /-1.t3,J. -F Vo^m¡

 5rj,J:

Iler ictua I f orma l

V^-* = V*--- /-.1 1..;i-1;1..:. 'F V--m- /-.:..$:1.fJ..1. -F VO,',.-

EEto. si It:s volta.jes dt* gecure*nci"a g3on csnocj.dt]s. Pern

tambiÉn se purrrcle escribrr- en furrrción cj*¡ 1a*; in¡Fedancias
de secnenciaI

V^ma = V*--- *..L.C!l_l. * V"-nm¡ *.f_t"t.{;l:- {" V')nmr

= (i.tl - I'-rZ'*-¡.)k..t-4-(j + {-I*-rZ'--¡,)/"1_1;# +

( -IÉ-rZo-x i
Fero

I*-t = I-rr = Is^r

Vnou = 1.t-t/-.:.-{.Agf- -' I*'-r(Z*-*./-:.-L-t1.,1: + Z'--* /--t-JiUi. + Z't^xl

tiurstituyencjcl par-a I lr+ r

vnnb = 1,{)¿.-lIpo - Z''-rá:_l_-il_q.: + Z.-or< .#._+¿i-j..:. + Z,),,x}

Z**.r,+7-*;r.+/$xx

Simrlarmernte.

V--- = 1.t.l/-+1-;l:0-"- - Z*-"./l_1-i.i.!il:_ -t Z"--*, /*-_-.Ul!.t__"" + 7.a-x,

Z*¡.¡'+Z'-'¡.*+Zu*n

Nlrevarnpnte con la f aL la en el bus lr. ,/ el '/oltaje {pn et

burs rn. illranda J.á máqni.tr-tcj de E*- e$ di.fe¡rs¡ntt=r a 1.{)" Ic:s
 5{14

vsita.leE y col.rientÉs Frec:eclenteg; rleben corregrFs;e segfrn

el radie H*-/1.r).

5.8"::i Valcrreg matrir:ial.eg qensrrel i:¡rdc¡s de' cr:rto circt.ri.to

n¿rra 'ia I I ae; I ínea <r I inea

La red de secuencia cle I a f ase e ds:l la {'irlnra aCrri Fg

*rpl.íc*ble p"rr-á le f al la l inc?a a I inea, rJonde 7-* y ¿.- sclrl
rFÉm[]1.*;r'*clat; tlclr ]ü$ valc:res cl*r secLt*ncias posi tiva '/
n eql a t i. va ec¡ u i. va I e*r¡ te*s ,

T,
(,0
t

La giqlr j.en te f iqlrra rje lrna r llrstración de cuatro bu:;trg y Llri¿r

f al Ia i. ines a linsa en el. hr-r* I ./ entre Ier;faseshvc.

 505

I*o.f = - I-,rf, = - 1-O (falLa en el bus 1)

Z*tt + Z-tt

Con Ia fall"a en el bue k, Gte cambiarán los valorea de

Z*tt y Z-tt por Z+rtr y Z-** regpectLvamente. Deede luego
Ia corrlente de falla en Ia fase 6ana ea c€ro, y las
corrientes de falla reales:

Ir:¡ = Icf = l3l+¡rl-90-1

Los voltaJes de eecuencia aI neutro para eI bue 4 y fase

6ana (faee a) Bon:

V+n4=1.0-I*^rZ*t+
V-n4 = T-¿,¡Z-t+

Vn4 = V+n4 + V-n¿ = (1.O - I+a.xZ+t+) i (- I-a,xZ-t+)

= 1.O - I+a,r(Z*t¿ Z-t+)

Suetltuyendo I*-s de la primera ecuación:

Vn4 = 1,0 - (Z+t+ - Z-t¡J (fa]la en eI bus 1)

(Z+tt + Z-t:.>
 5{ib

En general r para Llne f al la Ii.riea a 1i¡rea en el bus l,:.. eI

valtaje en Ia fase a rJe eI i:r-rs m es:

V^-- = I . {J -- ..--2..*'*-...-:....-!.1-r.,-..-.
Z'*¡.*. + Z-**

Fara obtener los vnttajes de Ins f ssesi b v c en el bl.rs ro

(cori falla en el l,:.). r't:támo$ lss vnltajes des s{rcLrencia de

la fase "a mardj.a,nter lfis é.nor.rl#g3 aprnpiadcs. {1

Vn¡rt" = V*'nmt 'l V--nm!¡

= V'+nma /-.:."il1-f-:1.-1. * V'-^-- ¿.j.L#-Q:-

V^-- = V*^-- /-t..1,3[1.:.. * V*".-* /*..]"!jÉ1.1.

donde

V*-..-=1.C)-I*-rZ*r-

V*--- = - I--tZ**^ ='t-I*-rZ kñ

St-r$titr-ryendo en Ia ectlaüión clrioinal:

V".r¡+¡ = (l-rl I*-,Z-'r.^)/_:.. 1.t$. + (f*-rZ"-*^)/__t_L.i¿l;l

= 1. ü /_:J..3i,1 - ( I*'-" { Z'-¡.,,,/-t.!,:*!:l - Z--u,-/-.l:l.1il-{j}
 5rJ7

Y sustitt-tyenda pará I+at r

Vnmr¡ = 1,tll--j'-1i:{"te. - Z'" u,^/-::-1.2-1;l-:.. -F Z -u- ¿"tl;:*.:.

Z **, u, + Z-'wx

De iqi-ral tar-ma parr 1a EiegLrnda ei:Lraüiúr"t cjtr nr-iclet-t:

V--*, = I.tl./-.t"L;_tI. - Z*u,-./*.t-1"-g;¡_:,. - Z-'¡,- i.._:.L3.fll"

Z't**'+ Z-r.,*. +

Las er-cl,racifines anteriores st+ pLred€*n sirnpL if ic*r si lss

vüldlr€:s rJe s,ercur*'n{:.ia Fcisi.tivc:./ neqativo gt:n iqualeg.

Nltevarnpn te . $i I e rnrrgn i. tr-rd cl* H+- no eÉ .l . {-} :, I trs vfi I t{*.j es

y corrl-entes de la rect deben corregirse rnerji+rnte el radio
de H*-/1.{:J.

5.Fi.4 VaI.ores rnatriciales oerlsFcaJ.isados de ccrrtn circr-rrta

[]ar'fr 'faI1¿rs rJobiÉ? Ii.nea a tierr.e

L-a red de secLrencia de I a f ase ;( de L.r i' j.qurr"r r"eg¡rnp I ara l''" ,
'Z-1 7':' pür log valores equrivalentels cJ*r securencia posrtiva,
negativa'/ cero r-espectivamente.
 5{}{3

La f igura srgni.en'te* mlrestra eEita eqt.rivalencia ct:n Llns f aI ia

en el burs 1.

tl'af

En geriera I para Llna f a I 1a erl er I btrs k, ci.rcuritalmentep es

otrvio qt-re:

i -{1
¡:k + 17-xuZo*-¡j/ { Z"'-r.rr". + Z'rx¡* i

z-
Z t' ¡.. ¡., 7 '' t'. *. + 2*
 5r)9
-I'ambi*n

I-*t = -V*rr¡.r/7"-u.v.t t/ I')-r = --V*-¡^iZ't*.¡'.

rlonder

V*-+- = t..Ct I'*-tZ-'*..*

En térm.inoE de rmpeclancias \f sltsti.tr-ryelnrjo I *-r, resLrlt;t:

V'*-t- =: .--7-:.." l'?-" h:

"
Z"*¡.¡.2-"¡¡. * Z''e.¿7'>¡.¡. -....---
+ 7- uxZ'"*.¡,

l'1 ientras 1¿r ror'¡-iente de 'ial. 1.a en .l ,a 'f as,e srancl es r:Frc.
las {:$rrtentÉs en las fases Lr -v c se trLretden encc:ntr-ar en
t*rnrrnng de I os cornponen tes cle I a ?ass á , agi :

Irr = I'''-r l-...L3"J:[. + I "-r /--:.J.31'1.' + Ic'o+

Icr = I.-r l_.:-l#_t).1* + I-"ar /_-:_L?"._8 1.. + I'r'-r

Lúei volta.ips dEr securenci.e en la fase á del br.rs mr pára

LtIr ¿1 'f ¿t I L a en e+ I hr..ts [.:. sen :

v'*^-- = 1.tJ - r*'-"2'.*- I

i
V-"^-- = I-otZ.-*., i-*
I

Vt)"r-- = --Ia¡r 7'>x.^ i

-.J
 -*,1t-¡

Finalrnent-e" loE valta.jes al neuttru en eI buts m r;cltl¡

--i
V^-- = Vt'nma * V"--- * Vct-mr I
I
V-ot¡ = V*nmr /*:.1.-J-8.-l- *' V-''--- l.l$+-1,).l. * Vonmr l-*
i
v".-* = V*..-- #"1--:i1,l.j- * v"-n-- l_1...$l{l_: * vo^-- |
-J

5 . ti . 5 l'ransf ormáfiir3n a cclrnp'.rnen t€¡E Éiimett'r cas

La rn"rtri¡ de impedancia primi'L:iva para un €sl.emrrntct trif ási.ccl

balanceado e$tacionfrr-ilt: es:

--'l
'7l*¡ :¡,n
& F¡rt ¡- Irre et,n Í¡c¡ i
I
I
-rG¡
Z-t¡"*trq = 7rr
G FJct ¡- ¡¡ct r-'lñ F¡ct |
I
I
7.¡
¡- fr.¡ I7rnr¡ct 76 F¡c¡ i
&
i
_l

Esta matrir puede diagonal i=arse* fllediantE tran:;f orrnac:i.ón

{T*-}Ztb*,".'T* á!

'7
¡- <., , Itcl
I
I
i
7órtrán'". = y<Lr--
- trct i
I
I
z(¡¡)
LFCII ¡

-J
 tit I
dar¡de Z(*'r,'qr 7-(t),".¡n y Z(3)¡r.¡ gcln lag impedanf:i.ag de
*,ecLrencia cerc)" posi.tiva y neigátivai resperitivamente, Las
impedancr*s rie s€+cLrencj.iA positi.va y negativa par-a L.tn

Él.effis*ntü tr-ifásico balancearJo t:stacionari.o srlri iguraleri.

AtJerrnás, qelne*r*r.[men{:e se act.+pf.a {:lLrrs Ias irnperlancras ctsr

serclrsncia pcisi.t-j.va y negativ,.{ para eLementog rt:t-etivos pureder

á$Lrm.rr'se iqut;¡1es Fára cáIcr-rlos cie corto circt-rito.

f)et manr.r"a r;irni lar-, c*rja elemento Y'b'rJ ,x r r?n Ia rna'tri¡ de

adrrit¿rncj"a pri.mi.tiva y cada Z-bGrJ en Ie r¡atrir de
impedancia t¡lrs pureder rliaqonal irarse mediante la matri.= de
transforrnaciün T- para obteneri respÉ?ctlvamente,

--1
Y('))¡.J.kl I

Y.)".rEaJ.kl = Z(a) r¡ , rr lv
I

I
I

Z(a) r¡ ¡kr i

J
I

t--- --1

iJrlr:l |I Z(cr)..-' I
I I

7 t.t =l !

I
'Z<L'l-t I
I
I
I
I
'z<E>
rr I

I
I i
L_. *J
 31:1

Es cogtr-rmL¡re asurmi.r qLie tcrdus Lus vc¡itajes antes der la faLla

scrn iqr-ra.[es en rnáqnrti-td,/ árrqr-rIo de fase. Asr-rmisnrlo qure ia
meqniturd rleL volta j¡s li.nea a tierra É.r <o¡ es i.gual á LlnrJ por
utrridad. e1 vol ta je €.n el buts i-'Éginia ar¡te*sr cje¡ 1a f al le es:

['l
tl
e.b"c: = l*tl
E.<.'> tt
tl
lal
L__ -j

llediante Ia trans'forrnaci.órr á comtronentes simétrica$,:

E{r¡a,2t(cr) = (Tr-)€E-,b.*.t (,),

I uegn

*_ -1
{-¡ |
I
f
{J. I ,: ^f:::i I
I
Er (,;, ¡ I
I
()l
I
I
I
.* .J

La matrir de imoeder¡cra de falla Z-¡t€r pltecle ger

trangf r:rmarJa pclr T- eln 1a rnatriz Z<,.r'tF" La matrrz
resLrl tant-e Fs cJiagorral sr la falla es balanceacJa. L.as
 i13
r¡latrices de impeciancia y adnrit¿rncia de falia. en tÉrrnrnos cJe
1a= cc¡m¡:on€rntes tri'f ásj.c;is y :;imétricas para varj.os ti.pos de
f al lás fson cjadas sn La tahla clsl rrisrnc¡ ncrnbrer en lc:s an{*xc¡s.

siin¡i lar-rnente, Lag ecuacic:nes para cál cr-rlas rJe corrient*:s v

vo I ta.j er; rle¡ f a I I a pl.leden escri bi. rs;e en tÉrm j-nos de

cürnpünentes simetricasi" l.-a cmrr-iente en nn bus fallarjo tr esi

Ict¡L'2rr(F) = (Zorr''a- + Zp, t''zrrgrl-"r'Ect,l,arr(.rt

I').1'=f'(r,r = Yo'a,tF ([J + Z€,,r'=o.YorarzF.]--aEo,a,aro(.),

ÉI vc:ltaje en É1. hr¡s de f.clla n eE

E')tr''2rr(r) = Zt" L,2t (Z'i.L.a= + 7a,t'?.'',)--aEc,,a,zrr(cr)

E')¡t"'G¡"(F) == iU + 2.:r. L.aprrY,),4'a¡.i.-t"Eo.t,=r(.',

 5r.4
Et vclltaje en útr$s br-rges rJif e¡rentrEs sl f al lado:

Z.J, L r zfrF, ) --aE.i,' a r 2¡, (.),

E(:,ir.-r(a¡ = Eo,tr2r(,r) Z.i'.L,arFyr)r.t,2F (U +

Za, l-, i¡|'G'y,r, a, EF ) '--aEcr, a, zf, (,),

La corriente rle f at l¿r en pl el.ernento trrf ¿isi.co i*.i e. !

I.:¡,¡.,=*J (=, * f.:,,a,2¡.,r, o 1ttr"r,e (F, - É*r,a"ro(r,r )

li.8.á [ial la trif ásica a ti¡rrra pcjr corntronente y pc]r- fase.

L-as corr-ierrtes cje f al la r/ lcls voltajes prFfr Lrna f al Ia

trifásica a tierra se purecJen obtener slrstitr-ryendo Ia
cc,rr€'Epclndiente rnatri: de i.mpercjancia de f *L La en tÉrminog oe
las componentes Eim*tricas crl.tiaras vistas en el inciscr
antet-ior. Anibos Lados de ].as ecuaci.r¡nes re$Ll 1t;*ntes putecJerr
tipI icarrie pc¡r T- pára obtener las; f órrnurlas
prernt-ll

{:ort.eE;pondientes en tÉrrni.nos de cornponentes de tase.

 51S
La rnatri= de impedancia de falla para una falla trifásina g

tierra e$" de la tabla cclrt-espcnd iente en 1a I ista de

anü!x{]5:

--t
Ir" a 3:o I
r]
"
I ,:;l
I
I
I
7'.H :gri I
I
trr I
I
t
i

L- J
I

La corrient:É? cle f al la trriáErca y .[t:s volta.-re*s de .i.r::s trurss=

t;e* mbtiene*n st-ts'tituyetricic: l.a m.itrj.:l ár¡tE*r-j.fir- E¡.n las,

Elct-ractc:neE cclrregFondientr'*e i {r.sí I

--1 - .1.

:F+.SI.+Z.o)r,
i*t''',",.,1
tt")r'<-r = le+Ztt)r,¡r
I
I
I

I i I

t'-','(o) Ir**Z(")n',,
i

i
L* .J
i
¡_ -..J

-',-l
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l.¡3 |
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tl
l'ri
tl
i.._ .J
 51á
Lm cura.l !361 redLr{:e a:

r' l tt')t..t
I
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I 0
-*t
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I i
I
I
I(a)rr(¡=¡ ñl I

I
J:5 I

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I re + Z(t)r"-
I
I
[(c)r-r<r¡ I
I
I C!
I I
L- L- -J
¡

Los cornpnnFntÉF de f aee de ia i:iorrientfp dsr f al la en el bus

pLleden obtene¡rse ptrernLll tipl icando ámhrJs .txdLrs rje l¿r ecuación
anf.er-i.C]r ptrr T¡. E.r;tas trc:rri.entes scln:

i*
tltl
t.'.t,-l l-'
tl I
t"',.'' =
tl
l"i
II It",.tt I ?r.+. z(at¡rp ll!a I
!lL__ __i
I
i!
¡_._ ."1

Hl voltejÉ? cl{¡ 'f ai.la en r:I. bt-ts p e:: r

r'- r- *'1 t'--

E:(.::¡)r¡(F) ii*'+ il í:r ---l

F(l)rr(rgr) =l
I
I
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l:Ip
ttl
| |
trl
J:3
I

I ! 7'-+zt"o'l
!
I

re. trl
I

ll L._ (:¡
I
I

I E.ot)¡.,<e>
I
I I
L_ L_ *i J
 512

{ilr-te ge re'dlrce a:

r r-, I
i
i
I
l: (.:t, F(F)
i-
tl
I E<"r fr(F) = |I J-.5sr
t'"'rr
I
--"--.---- --' ¡
I
I zr-t'Z
tl
I I I
I I
t I
i E(2)
L Fr(F )
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I

L-{J J

|..-os componentes dEr f ¿rse de eI vnlt-a._ie de falLa snnt

I
i-
E:' r¡(F)
--1
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I I I
I ¡

I
I F-b' rr(F) I
I !
a
I
I
I
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F-* fr(F) ct
I
I I
I I
I t_ J
¡

L-os va 1 ta.j eE en otroS ttt-rSeS drferentes al p sün:

r- --1
r)l-1 r- -1 -i
lEt""*,=t lrt*""'' rJ

t.,..iztt'.',
I

ll I I
I
I I

=l :rl-
I

lt't''r..r, I
4
I _-"{J. _.
I
I

lltl
I I I
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I I IF+Z(r) F'ft
¡

tllE<-rr1(F) I
I
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I
I
I

iL-- r''*"'l rJ
l
I
I
I
I
L_J t*
I
J
I

-l --J

üllre se recJu cen 6

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I H: t'')r(r) -t
I
r
I
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(:}
I

I
I
I I !

| tstt)rrr'>
t-

I
t-
I
J":; l1 r(a)
..-.......:.-............-..

Z=-+Z (
a8
t )c,¡,
.....

I I I
I
I

It.._Et=)r(.)
I I
I I ()
I
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t__
 f,14

fl , en cornpoilerr tes de f aser;

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[*r-, .'. , I tl
ll
--'l
I

! *,.or.o, i= l**
tl
|
tl
tl
tt <r> i*l
il
l*l:-'"r I l__.i

Las corr-ientes en Lc:g elenrentos de la reci durante La f aL La

truerlen dedurcr.rse de la úItima ecuraclón del inci.sc¡ n secciCrn
ar¡terir:r. Llomm lr.¡s vrlta.je:; cie 1r:s b¡-.tsies rJe seclrencia
neqativa -y #ern t;on cero Fara lrna fall.a tri.f,tsrca y corno nt:
ha'/ acclple mfrtlra eir Ia red de secnencia positi.va, é-qtc¡ es.
y ( t') r-r . a= {l) exceptn clr¿rncjo c¡ = i.j , egta eclración ge

reldurce a:

"-t
[-tt*t.t,.., I (:)
I
I

I
tt')r'r<r> | = rz(a ) r.J , r.J (
{H a) r <p > E:
( ¡' )
J (F) I

I I

l_.t'''
"'' ''' _i {)
J
I
!
I
I
I

Y efi {:c:nrfrnnen te* rje fase:

i.t*,t -l --1
( - >
I ['
I

v(a )rJ .r.¡ (E(t)¿(r)

I

l*'
I
io¡"¡ <'=¡ t- ....1-....... - E("'J,o¡
i J-:5 I
I I I
I

I r-..r..t
I
I
I fa I
l
I I
L- I t- -J
I
 519

li.ft.'7 Falla l, inea a t, Ierra Für {:üfr¡pÉrf]{¡fiter y pür fas,€?

[.-a metrr;¡ de edmr tan i:ia (Je falis para una falIa inea a

tietrra En Ica fasiie a É,sr de tablas:

í-- --t
1 r.l
Yo¡t¡:¿:!F =
lr-
tltl
._J.-e.__
:j
11 r. rl
tl
tt
lr I il
L-. .J

La corriente cle f al la y lss voL taj e:: cls* f al la $e ot¡ti.ens*

sLrstr tuyendo 1a matri r an t-error en l as eclractones üe
ct:m¡rcnentes cÉrFeEponcl i*ntes. Lá corrisrrte Én el Llutg de":

f¿rl.la tr 6?E;

r-' --1 r-
tt I
--l
1l
lIt'')',<.rl
tltl I I

I
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iltt',',.rl = _l-e -.- t1 1i
ilrl '11'

ilIL<;arr'<-)| I 1f
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I
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L- _.-J J
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...-1 -1 r- -l
ll. + 7(c'¡ rrrr.Y..r 7< Cr) prrY.F
-t'
Z(o)srelF I lL, I

7<L'ee'Le 1. + Z(r)¡rrrle 'Z<

" -cL'. l.r .1,
I
f :: .J I
I
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I
Z<L> eeyf 7<Lr,"c,[.f 1+ Z(t,r,'l/_* I
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 53i{)

Lo cr..ra I se r-erJuce á i

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& ¡rt, + lZ(r)oo * ;i:rr
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I(2) r¡(F ) I
_-J L_

L..as cnmponentes de fase rle las corrientes del falla en el blrs

p pnerJeri nh¡tenerse trreinLrl tipl. i.cando an¡bo$ 1,adüs rJe l¿r
ecuacrón anterior por T-. Hst¿rs corrj.e'ntes' gon¡

r-- *-1 r-
I I' rr(F) tl! _-l
+ ilZ(a)Ff,- + .3:e
t--" -..--..:5-...-
(.r)",r
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L*. JL- J

Hl volta.je Ft'l el t-rurs rje falia F elr;!

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rr{r') i
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rr(F) Z(")r,e}._. Z(a)peY-..r l+ 7<L'
- F;t :L el
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I J :i a:
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t_ I
_...J
 5?:1

lfne qFl rÉdu i:e á:

r- ()) p (F) '-1

[--z t'"',,
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l"t)r'¡"*Z( "'o*'*-T t'l

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z(rrre," + ?z<L )on" * 3:=. I I
I I
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Ir (3, f¡ (F) -2'<")'''
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L -J
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L-as cornElcln{?n t-es der 'f age de e I vo I ta.j e der 'f al ia scln ¡

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lE-'.', I t:t'o' ,'o *
'5re
J''2 1^' ),". * 5zr=
I
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Eb¡"<p> ; I

lac *...--. z
::*:.... .'.-..:-- Z.llf-.,' .--
I I
7(<')¡rp + ?'Z<L),',' *''..-.....5=r,
I
I I
Hb F(F) | la -.-.-......{.:-1-'-.,'.....:-..-..¡-Í...*-l- o r..-..-..-*...
I I
I
Z(c,)3¡r, + il 7-(¡.)er¡" + J;;re I
I
t.._ J L- _l

Las voltajes en otrss br-rses di.f erentes, al n. scrn :

í--- (cr)
iEt't)¡-(*) tp
i-'i
tl
i
I
I
I
I
I
'7(r.)
lEt^'.,., & rF

l'=!
I
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lÉt=)*.t) l(a)re
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L]
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t'- *1
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Z(or.o,rIZ(a),",,*Jrr tll
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|!*l __..1

üiure ss reducen á:

i::.-.
lÉ(.})¡.(F)
-1 r:t{,i
| |
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lFi."*,*, I = iJ":51 7<L' l" F'I
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tlll I
I
lH(1e)r(F) t-¡l '¿<L' I

| I t ,"l
llli
t._ --J L_-_.J
I
I
__t

Y en cr:rnEicfiente*r; de f ase:

T-
lE'
I
"';l n iZt'"., +'JZ("rr]l
lt!
I
I
I
I

iÉ:
- ,.,rr l=laz
ttt l- LI

Z(rut ¡re + .'.jZ(a)rre + .5;rp

I
lZ({,)rn' -z (.1) r' I
trl
I
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tit
I
I
I I
I
I
i -7 <.2t ¡'rt *-7! ( r
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It:
I
t.*..
''*'_l r_i i
t.-
) rlr
 á r¡ I $Hi:i{l {_;uf"l¡..'tJl-Fti- f. i.iNt-i:

Lcls Éroqrama:; drseiiacJns E? impl,effieñtartos. Fár"fi elfel*t:rrar" .l.as;

rJif erent-e:; otreraci-clr'r*is cie rral:rl.c:rils.'; tan tcr Fár-a reaie*.

enteros; fr.lfno Far-a fiom[:iLt*.] üs,, 'f lte ru'.tl i¡ado en ei1 lr-.rrqlt"i¡ e
'!-urrhc Fasral. vmrs:ij..fin 5.5, y crl de InvE*r'sr clr.? üciffiFlElJas, {*n
'l
urrbo l-'asce L ::i . {) .

HxistE?n cr-rá*:r'fi prüqrfrmat3 qLre r-eaI i.¿ari lclrs, iii.'!'EirE:i-ites

c:FerariclnF5 r c,tichog; Frfior¿rm¿.rs r:;{ff.l ;

.["'- f]nera.ci{:rrrEgi flie m;¡tr-it:els, cüri n{rrr€*rr:s:i errtt*r'{:ts: '/ rsaLeli.

{*r-tyo eljeclrtahl.{r sii{p llairia l i"lAl'RlZ R"

ü*t-e Hr-oqrarna E¡s.tá qlj.vrclr.rJÉ ern clüe subprcieraffiüE asii

l"lA-!-Fj l. Z . ft : ahar-ca tc,Llaii i as t]p€tr-ác.?..oneE de rnatri ces cffin

eli-tiE+rns .¡ realet; eLte serán rjescri.tes breveniernter n¡ág

ade I.rn te,

f'lATItI1.: cmntierre lms proce¡di.rnrent:ng rJt* r.lresentación

Z
- pclr
pantal la. c,rptrrr'=r y mnrj:if Íc¡rci.ón de .[mg3 da'i:os.
E:¡t:a s,lrbci i.vi=ión es transr¡arente para eI lrsr.rario (nn *e dn
cr-renta) y *hedece niás tit-iGis fr.rncimnal*:s y tJe Frcrgramaciol"¡.
 :,t4
il . - üper-aciones cie matri ceg cclr-¡ n{tmerüs cornp l ej ns -

El proqrama a correr $e I lanra f{A'fftI¿ ü.

Frie drvicli-rls en dos corno el anterinr asi: FIATRIZ ü v

l"tAT'RIZ-..?.

.5.- tJoeraci.clnes cc:n matricess di.spersas,.

E.f erct-uaclo por e L praqramá f'lA'f R I Z _ü .

4.- Inversa cje una matri.e,

üonsta rle este ürnica operaci6n r y ciado ei es,pác¡c¡ qt-re se
necesita par*t almace+nar lt::; dartms v Ios cái curlos " se cje_i c:
sola. En realidad scrn cios pFCreFñfiiáEr l larnadog PIATÉIZ_.. I. arn
versión 5.5n e INVER$É:I . en 3.ün Fara rea.ii:ar IaE inversxs
de rnatrrces reeles \! cornplsrjas resp*ctivarnente.

€ie cleben de tener É?n cnenta dog puntcs cu¿rndo se dssee

i:c¡rret- al.gurnm rJe estns prrJqr-arnas:

" eE decir los

1. - Lc'e3 prc¡qi-arnas c, el prc]qrarna ejecntables
qLtÉ? tienen extensión .h.XE {l"lA'TRIZ..-.R. l'fAT'RI7-_ü. HAI'RIZ ..._.D "
l"lA f RI2..-I I " deben h*ib¡Er s:r.da cmp:.adog en el di.El,ic?tte ci en
drsco rlurr* dr:nde sF Vclr't a cor-r-Fr,

,i.- LJna vez se este:;equrrs cle.l. anterrimr trurntor páFá eJerlrEar

E:1 prclürarna {5e d,a el. ñclfllh.rr-e cc]rnpLeto de,t proqrarná ,./
 5?5

apaFFCr.*rÁ el rE?$pefiti.vu rnerl{t" rlt:rrcie eI Ltst-tario pLtede

:ie I eccionar l c qute clesee .

ó.1 ül-"t'-ftA{:lIüNH$ IIH l"lAl-l(IüE:S i:üN NUI'lh-FtüS ENTF-ltU$ Y FiEAL.[:$

É1 rnenil principal p;tra e'fectlrar nperaciones cle rnatri.ces cc¡n

númerns enterns y reales censta de lt) otrciontst lag cltales

se mbse¡r'van a continutacitln:

1. Hr..rltipl..icac.ii5ri de rnatrices,
?.. Sumatsria cje matrices.
:i . Rr*sta de matr:i ces .
4, l"latr-ir trangnuresta.
li, l"k-tltipli.c"rciórr de lrna mátri.r pfir Lrn esicai.fi¡-.

6. i"iatri z aurrnerrtada

7. üperacrones cfin rnatri.ces de tr*nr;fc¡rmaciór'r,

B. Fartición cle rratrices.
? " l"la {: r'i ¡ LtJ ,

1C, . I rrversión rJe h"rc¡n .

Al f inal del menú'. EI r-rslrari.o ptrede drgrtar- el nrimer-o

corrÉ?spondiente a lc? opciÉn qlre cJersee efectlrar.

 .'i:]ó

á. i. . L H$tr-uc{:ura del srstema

De maner'á rnLry general, la estrlrctLlra de datos r-rtr. li.zada pc:r

el sÍstema Rs la sieu.Íen'te:

mA"fHIZI..MATRIZ';l.l"lA'fltIZ'J : matrices cle 4r:) f ilas pclr 4t)

ct:lurrnnag para ai.macen¿:rr- Icrs ciato$ t:a¡:turradüs, pü¡r e+i nslrarro

y efectlrar la:; respecti.vas operacic:nes,

I.J"FiLA,{:UL-Ui"lltlA: rnrJican eI ni-rmer-o cie frl*s y de culumn¿¡si

respect i varnen te .

NUl"l: indice el nütrnero de ciecirrales á uti.l i:ar en l;*s

diferentes operaciones. cste númer-n es definicjo []üF eL

r-rslraric¡.

üt-'l-IüN: alrnacena la opcion seleccic¡Flc-1clá por eI lrslrario.

EI prclqrarn{a se enclrentra cJivirJidc¡ Fn Lrn pr-ocedÍmiento
trrincipaI dc¡ncle se inveca eI rnen(r con las ciferentes
cpciones ,l t prr:cetli.mÍentr¡s serclrnciarios¡ cad.r Lrn{f con una cl

var:"ari surbrutinas para reali.:ar c*da operaci.ón.

 l:i2l
&. 1 .3 ürrcimnes deL rne¡nú principal

H. I. rnerrür f:r'incipal permite s+:Iet-:cionar I.a citrcic¡n que desee

*¡ferctlrer cier Ias oF¡eraciories clt* matriEeei con nlrmerog, Érnterog
y reales.

üada otrci.ón tiene Lrr'r s;t-rbrnenú dgnde eI lrsurario puede

rielecclonar Llna ayltda breve de log p<rsos oLrE se rls:ben tensrr

en clrenta para o|:terrer el. re$rr j. tado f irral ó entrar a

realrÍár' el procp$cl directamente,

Fare f aci l itar la captura de* datns, rnodif icaci*n ''/

FrreFentacrón pclr pantat 1a rje 1(3s mism(]s, €rlii.steEn men*ajes

qt.rÉ i.ndican al ursuraric 1.o que ciebe h¿rce.r.

ó,1.t, 1 f'ft..r1tj.pIi.cacr.Ón rJer rnatrices

A t-r-evés ctt? r*sta sfición er.t nsuraris Fnecje rnlrl tipl icar- dos
matri.ceis. A y E{. cuycls ciatr:g son capturados pgr'€*I r.rsiuiarim"
teniendc] €?n clren{:a et-is* *1 número dt* colr-rmnas cie la primera
rnatri¡ derhe se+r iql.ral al núrmerc de filas cte la segnncia. Lt:s
trasdlE qLre ÉI rtsurerl.o si,clus? p{flra ef +*ctnar la rnuil t.ipl icación
de matrÍces son lcis siguientes :

DIGJ, E EL NUIIEITI] I-'E DEI]IPIAI_Es I.IUH DF-sEA i i-i3]

VALIIIA NL,PlERll DH DÉ:{-lIflAl-ES I'lAYOttE:¡ A A r) Y
 5:;:S

rIENÜF:E$ O IiiUAi.HS A B

TNÍSRHSA NUP|EHI] Db- I,. ILAS Y {:T]L.UI"INAS Hf¡'T'RIZ É{

IhIEiR!..SA NUMERÜ DH CüLIJI',INAS I"|AI.FTIZ B

1'1UE$'l-ltÉ\ DA fü$ ilAl-1-URADüEi

MüüIF ICA I]41-ÜS ÜAF.T.URAIJüs :iI ijF- ÜHsE.A

HUESTRA I"IAT'ftIT HESULTANT'H = I',II.JL-T IFI...Ii]Ai:It]h¡ AXH

ilEEiEÉ\ t.iA{_:ER ü-f ttA ML-it_"¡- I itr'i-. t:i.:;Ai_l:i:t.]N ':}

f} i vA fil-_ I ht 1. r.:I ü .

NU VÉl írrl.. |'IHNU l-'tt I Nü:t F AL... "

á" .t.I.:t fJurnaturi.a c1e matrrrps;

frerrnite sLrrnár- dc¡s rnatrice¡s Éi l/ H de tg'..lal dimensi.i¡n,

inicialrnente el usnaric¡ capturra las datns de cad¿r matrir y

Fcsteriorrnente se mlrsstra la s3Lrma cJe las m¡.smaE3. L(]s pásclg

qLte iJebe ser.¡ltii- e¡l lrElrar-in fJ{Rra rnrFár eI resLli tado sls¡ la
gLrmcatcJrie de matricers;, $cln:

D I ii I H. r:1.. NL,ML
-1.
ll0 Di:: iüE:ü I I'IALE$ IILJE- DESEA i_ f -tJ l
vAt._IDt\ t\¡LJt"tF_Rfl Db. Ilt-_f:It'tAL-Hs rtAYüRE:Hi A A ri y

HEiNÜRHSOIIiUAL.HSAB
INüh:E$A Nllf'ltRrl llb: t-It-AÉi y üüiLUi"tNt\S;

TAF'T'T.'RÉ} I]41-1.¡Ti F'AITA I.-A I"IftTF: I ZAY B

f"tuE51-ÉA lDA"fü5 iiAF,t-URAtlüts

 5t?
PI{]DIFI[;A IJA Ü$ üAFTL'f{AlÜCI:i SI $H DHISK.A

}{UESTRA MATRIZ ltHStJLl"ÉiN]-E = StJ¡'lA É\+F

DHEiHÉ\ l-tAUER [l f RA StJPir:l ?

SI VA AL' 1.NItrII],.
r..¡Li vA t\i_. l"tF_NLt t-'fr I Nil I F'At_ .

C)"1,?":3 Rt*sta cie rna'Lr-ice*

F errni te re:;tar dt:s rnatri.ces. A l/ H" frr-es,errta las migmas

carat:tt*ri-riti. cas clL.rE I a sutrnatcrr'ia de rnatri. ce$ .

ó.1,:: .4 l"latri¡ transpnest¿r

É\ trevÉs de esta opci.ón, Ee capturran los datus de lrna matr"i:

A v s;e interc"*rnhi.an lasi fi.lag] Für 1¿rs collrrnn;r:i. A

ccntinlt"rción Ios pasios e sec¡uir pc:r el r-rsr-.rarir¡l

DIüJ1.-TE EL NLJHF.RI] DE NE:{:II"IAI...ES üiIJH DESHA Ti*fJ]

VAT..IDA NUI"IEI.IO DE NE{:II'IALE.s I'IÉIYORES A A {) Y

t't'cNuRF-ei ü ItiuAL_Es AI
I i!6[1U"$iÉl NUt"tF"ftti I]t. F I LAS

i:AF.'-ruHA IIA-rU5 FÉ\ftA t._A t'tA-fRIZ A

1'IUE-5 RA DATT]S üAI.]T IJHAilClS

I"IT]DTF]CA DATÜs TAFTURADT]S SI SH I}EÍJE.A

 5:5r)

r"lUH{JTftA l"lA-fF:IZ RH:SUL"lAMÉ. = llAl"lBIFlR FIt-ÉrS FüR tiüL.Ul,lNAS;

uÉ-5H.A Er-.h--i:;T'r..,AR O-rRA HArÉIZ T'Hf{NSt-'UESTA'?

5I VT{ AL. INIüIÚ.

NÜ VA AL NENL.J FF{IhIüIF'AI.-.

6.L,:.5 Pit-tLt:Lplicación de nna matrir pdlr- Lrn escai.ar-

üon ssta mpci.ón :;É priede erfer:turar e*L prcdlrctn de ur¡ escalar-
8../ Lrna rna{:ri: A'' rnurltiplicancio cada elemento de A pcl- ei
escalar l,:.. E. I cici.n parr* e'f ectlra.r esta operacion €::;:

DI i..J I ]'H HI- FJUT,IEfIÜ DE DE{: I PIALES ilLITl DE$EA I. 1-T ]

VALIDÉ\ hIUI"IERO DÉ DEÜIf,II¡L.E$ I"IAYi:iRF-S A A (J Y
I-ITNT]RF-S Ü IGUÉTLHIJ A T

IN{:iRESA EL.. E:S[-:ÉILAR iNUl'lERü)

IhlÉ[iHsA hiul'lHR{-, DE FILTiS Y UOLLii'tNÉrS

üAFT't.ff{A IJAI"ü5 I}AFIA i_É\ t"lAT'RIZ A

MIJE:5I'RÉI DA'I-OS {-;AF' URAi]TJS

t'lrnIFICA Dl{l'ti$ CÉrF]-URIIDUS $I: 5t-_ [iE5t.É1

l"lLJH$ f F:r-l PlAl"ft L I ftH$U1..- IAN"l-E = l"lUl--T'i. Pt- i üAt: I {:it{ tJHL F-5üinLÉtii

FüR -fllDtiS Lü5 ELEt'lHf.l'T'ü$ IrEi L..A i"Ut'tntIZ

rJF.Sf:A EF-Eü"IUAR Ü'T'FIA i"ILJI_I'ii:¡LIüAüICIN F.'T]R lJi! H5ü;AI-AFT ?

5I VA AL :iNITjITJ.
i\iti UA /.\l- !"lEhiu f:)R i:hi{_: I []r¡1' ,
 5:51

á.f .il.á I'istrir aLtrnent¡rd¡t

ljna vü: eI n:iuarj.c¡ ha r:aptlrradu Los d.rtos clÉ* la niatri:. :;€r

presenta Ffir- pantal La, ia m¿r'Lr-i:,: nriqinal. ac-¡regandct a i€r.

derecha otra matr j. ¡ . cLryosi clatclg tsrmbi*n captur"a e L

lrsLrarit:.

DIGt i-É: h.L NlJr'tb_[rü] Dti DEUII'lAL.Es tluÉ DESHA LL-81

vfil_InA NUI'IF-RÜ DE iiH{:lIi"l*L-F:S l"lAYC}t{ESi A A {l Y

f{EN{lRE5 U I$UALEI] A g

I NTJRESA DAl"T]$ I'IA'TR I Z |.-ADN I ZTIU I EftDü

Í'IUEST.RA bAT.Ü$ MA'THI Z L-ADÚ I ZüIUIHR.ÜIJ

I'|ODIFICA 5i liÉ DH$F-A Lilgi DAl-Oii DE l-.Ér MÉ\]-ltIZ DEL L.ADfl

I Züt.t i EitDt.l

.INffiHH$A DÉI.T.ÜS |ITIT.ITiZ DEI- I...ADIJ DH}tEüHÜ

FiuHS'Ih:É\ IrÉrTfis tiÉtF-TURADü}S l"tri']-Ri:Z L_$\D[J DE.F:[itHü

I-.{T]iiIFICA $I SH I]E:SEÉ\ NATü$ DE LA I'IAT'RJ.Z DEL. LÉü{]

Di:.REül-{O

I"IUE5'TRA I"IA-TRIZ RE:iUL ANTE = I"IA"I'RIZ AUI"IHN'TÉrDA

IIESHA EFü:C"| UAft O]-RA ]"iA] R I Z AtJÍ'iE::N f ADA;r

SI VA AL- INI{jITJ.
NT] VA É¡L. I"IENU F.E I Nü T F'AL .
 l1i.::iI

6. L . i:: . 7 üperacir:nes ccn rnatri r:es cje trarrs'f ormación

Cnendr: e.i. l.rslrario serlecciona egta apcirSn, se piden lns; datas;

necesaric:g rler la matri.r sobre la cual se eifarctuarán 1as.

cl i'f eren teE nperacirf nss r conacidas cfJmn operacicnes

elerne-'ntaLeg de file ü cnlltnrna, l"*E curelei'g aFJarecEr-n en Ltn

glrbrnen* ccrn las c¡pctones qLtp $e rnurestran en eI ane¡xc¡. A

cnntirrnación sr* e'ípl ica trreve'mente¡ cada una de erl ias,

&.1".t"7.1. tncJresar ciat-ot; cle nureva. rnatri¡

5i. $e de*ea rapl¡,1¡¿¡¡ nL.revos datnsi p;rr-a t* rnatr"iE sobre 1*

cr-ta.[ se erstárr e'fectuancJo l¿rs dr.'fsrr-enters cÉre+raciunes" eI
i.r$urari.o puscle e;eLecc.r.r:r'i¿rr.- esst* opcrón.

É" 1.7..7.?. Intercarnbin cl+: 'f r1¿:qs

Perrnr.te i.ntercarnbiar Llna f i Ia F Fcrr c¡tra f i Ia q d*r la

rnatri¡. EI nltmero de f i. lasi For la.t: clraleg g€? dt:s.ma

íntercambiarr' €E captlrrado pür sl. r,rsurarrcl .

6.1..2.7.','t Multiplicaciún cJe una fil.a Íl$r Lrna cnnst*nter

Él r..tgtiario ingreis,r r.,ina consit-ante y iln núrmt*r'c, rJe I'iIa, Ia

cr-r¡*l e:i nrr.rlti.f¡l.rr:atJa Fclr 1a cnnstarlte,
 5--:':j:i

6.1,::.7,r+ Íiir-.rmar l'; veces Lrnfl f i. la a otre fila

A través de esta cpción, sF permite caFltlrraF Lrn escalar h.

irna fila por La crral se rnr-rltiplr.ca y 1a fila f inaL a. 1.a qne
$F cles,ea st-rrr¡ar' 1a rnult-rplicaci*n anter.ior-. AcJerná$ de
c.'r¡:'tlir*r e*ta inf ormacrón, permrte verr e-"L r-E?r.i.LtLtacjo rje la
o¡:erac.irln trr:r pan ta l. I a .

á.1,t.7.:r Intsrcalnbio de culutrnn;cr;

l"lecl iar¡ te este i te*m . e I lrsnar-it: pLrFLl€l rn tercamE¡iar cios

ccrlurinnas inc¡res;tdas pt:r el rnismcl .

4r.1.7..7.b Mr-rl.'l-r Frl Í cación cle un a. cr: I lrmn e. FClr- Llrla cEr¡.|;tfin tE?

C.orno sur nornbrs Io incli.ca p*.rrmi.'Lel murl tiÉL i.car- Lrna constante
l.;. por Lrná r:c: I r..trnna . ambo,s cla tr-,s captl.rr-acjns tror eI

urstrario,

á,1.!."/.'7 liiurrn¿ir l,; v€+cr"g Lrn.1 cc¡Lurrnn,r a c:tra cr:lurmna

EI r-rsLrar-ict innresa t:l. esc:alar h qlre indica rui;rn'[.ag vecsg

desee st-tm¡ar- Ltna colurmna a atra colurnna, Anrtrag colr-r¡nna:;, la
colltm¡ra qLr{+ se va a Eurnar- k veces y ¿1 1a rlrai se Ie sLrnrará
 s:54

L e ,anteri.or r¡trsrraciúfi . sün caFtrrradag Fc-it- Er l usllar.io .

Cr.1.?..'7.'d Sialir aI merntlt anterimr

ünandn :;tp cJese€*. se pi-rr*de rei.rresár' al rnenn prr.ncitral

seleccj.nnandc la c¡E¡cion f;l de I slrh¡rren{r , [i-n este momÉn to . Ia

matri: gc:bre I a cua l, Er; ven ia traha j anrjcr r rie prerr-de ,

á,1..:::.t Farti.r:iún de rnatrice:;

Eta.ic esta o¡lción " ini.cralment-e eI lrsrurari-o cantllra Lrna. nratrir

ccln s,L.rE res3tr+3c'tivrs datns r¡ f.i.nalm€.¡nt€? apárec€r Lln slrbmenürr
*rl cr..r.r I ¡:errni-te t;eleccic¡nar el. tipo de par-ticir:r'¡ qLre sci

'-lssea elfer'::tr..rar"r lrá r;el* llmrirc:¡-rt,x1 o verti.cal., adeniás pernri.tr*

.i-ngresar lns rJatns parfl Lrnfi nL.rFVa rnatr-i.;r , L;.is particic¡np:;
hori¡c¡ntalns" {:J vertic*Lp:i:, sÉ €*fectüan si.enipre sobre'la
rnigrni* m*l:rr.r qLr€? str r¡ster traba.Jar¡clo en el. rnumeinttr. {4

cuntinuración se e)ípl ica hrervernente cada opcióri.

á.I.3.S.1 Inqresár nl.revos d¿rtr¡s

l-'ermj.te capturrar- nLrevos d;rtc¡g par'€( 1a m¿rtri.: s,crbrc? 1a c¡-.r¿rL

se ef ecturar-tn l*s tr,rrtÍcrc:nes.

 5:i5
á.i--I"8.I Fart¡.t::ior-l lrc¡r-irontal

!¡aj a est¿r *pcion n Ia rn*tr"j.r t:s gltgdrvi.did;r en Lrn hlaqne

trt:r-i rcrn t--¿r I rpct:snur-r1"rr rje plen¡entcls G elrtrmatrices, For
ejen¡trlr:¡¡
l"latrÍ:: i.r-ri cial l"latriE con par-ticiCrn
Lt34 5 1:i:545
&'78c? {) á7ü9fl
It34 -!

1:3di:i

La Éubmatrr! rG?ELrl tant{;1 trr-rede .[ legar a ser ha$ta de Lrriá

f ila. []uta.ndo Ia F¡artición horr:untal I lr.rga a es,te pt-tntüi

i lrn* sn 1ár 'f i 1a ) " aparec* Lrn rnensa j e ind i c"rndn qLte no se
pLrecien efectuar más par'licic:nes hori:ontale:;.

á. t.:;1.U":3 Farti.*ión ver'l:ical

tta j o est*i opciún , I a m;rtri: Es sintrd ivi.d icla €:'n Lrn b Ic¡rlure

vert-ical rectangLrl.ar rJ* *l.i:irrelrtns o si-rbm*tr-ii:es. [.-a

slrhrn;rtri; resrrl tant* nt.recJe I l.eqar á s;er he,sta de Ltne

rcllrmna, {)..t+:ntlo 1a ¡:erticitin vertical I Ieg;r a este pnnto"

(utna s$La colutmna). aparece Lln mensaje indicarrdc qt-rÉ Í'lc, 6€t

pneclen ef'ectuar iná:; ¡:artrciorres vertrceleg.

 1:iá
á.1.ii.$.ll Salrr al. rnerndr pr-inc;i.pa.i

Fttrmite' reqre$*,r ¡¡l menúr principal.

6. l- . :¡ " I l'l*tri:;r l.-t-l

Fesrrniter erf ectlrar la f actoriración LU de* Lrna matri.z. Et

ciclo r-ealrsedo c:ara i levar á caho diclra f actar.r:ación es:

IFIGRE:SJA EI- I.'IUNE:Rü I}H F'ILi+S DEI- VEÜTüFI 13 Y LA I"IATF:IZ A

._ üAFTURA I-L]S VALüREs PAFIA EL VEüTÜR F

- ÜAP"TLJRA NE L.CIS I]A'TüE} I-,AITA LA I"IAIRIZ A

* t"tuEsl"Rt\ H:L vE{jTüH ht y L-A ptAl-R I Z

EFEI-:l'Lf É1 t"lillJ I F I tiAü I trNF-S 5I 5F: Dh.5k A

- l"lUEfSTltA RFi5tJl--ff.lDil5 = I'lA"l'R.tZ L. I'|ATitIZ U:¡ \IEI]'T'URES X,f

- SI $E DEiliHÉ} EI.:.L-f:lUAFI [iTIIA I.'Aü.I.[iRIZI\L;T[lN INIüIA NTJE:VAI"IF.I}i1.E:

NÉ- 1..Ü CÜI!'l'RÉiIt I I] REüIIHSA AL T'IENU F,R I NT.J I F'AL .

ó.I.:¡.I{l Inversi.ón dsl l:.r-orr

Ferrnite efec{:r-rar La rnversiÉrr tle Lrna rnatri¡ urti.[r:andt: e]

rnÉtodo de l...ron, y el im j.n.ancJo la i'.r. L¡-r v r:c¡ll.rrrnas f i.nales.
asi :

Z.i.j = ¿ij Zit:. ZV.jll.E.V..

 5:::i;7

&.? üFEHAtiIIINES tlE l"lA-l'l-t:tC;Egi tt}hl NUt.lEttüS tlüt'tFt.-üiJü$

Hl rnerrdr princiFal para efectlrar uperauimnes de matricer cün

núrneros cclmple.ios ccnsta de L¿*s siclt.rieLrtes of:c j.ones:

1, |"fi-rl.tinlicaci.ón de rn+it-r'rcels.
:: . fSr..rmatori;r cir:.r ft"itrice$.
;:i , l:lf;* r; t "a d r,i¡ m a. {:: r- i. c É? E.

4, l"la'trii'LrarrsÉutegta.
li. f'lr-.rltrp.l.ir;rri.c¡n cle r.rna mat-r-i.: pt:i.' Llt-t escalar.
á . l'la t r i. i: aLrrírri-¡n t*d á

" l)perxci.nne*s cc]n mat:ri. ces de 'Lrang f orrn;:crrin .

"¡

lJ. Farticiórr de matrr.ce$.

Al f inal del mern¡-:i'. €l LrsLrar-to prrede digitar el núrnerc:

cc,rrespclndi.ente a la opción qne desee e'fectlrar.

6. t. 1 Éstrurcturra del sistem*

De manera rnLry qeneral, la es,trt.rctnra de datos urtilÍzade pcr

*rl sis'he¡ma ¡ €s 1a sigr-riente:

l,ldiT'FtIZ_.1c.l"lATl-tI7_.?c.lfA'Il{IZ_.3r : rnatrices de 4{l fi.las por 4rJ

co.[umnas Fará alrnacenar la parte entera del rrdrmero rj:nn¡pl*.jr:

de los datc¡s capturracJos por el lrslrari.s l¿ efecturar- l.¡.rs
 :i¡;ti

restrectivaf3 otrer'ári$nes. .

l"lA'T'RI Z 1i:rl"lAT'F{I Z .._:jÜ r l"lA l-F{ 1 2.._:.:iÜ : rnat-ri ceg E}ar-a álmacenar 1a

F;rrti.€l imag i.naria derl númr*rc) cr:intrIe*Jo.

I . J, F IL_4, i:f.iL-ui"lhlf+ : inorc¿rn eI nnine¡-o de f r las r¡ cle cc:lLrrnÍlas

regc¡ecti. vamen te ,

NUt"l: indica e+I nCrmqrrn cie ciecimaIes a urtiIisar eri l. as

rJ j.f erÉntes t:perat::ion€:$, EEte ndrmer-o Fg d*,:t irr ido pfir e¡I

Ltgl-rar1"0,

UFüIüN: almacena la opci.órr se-'Iecci.onada For eI usuar-ia.

Et prüflFrRm¿r t;É3 sncLlc*ntrü div.r.dicio en Lrn pr-c¡cedi.rniento

ori.ncipal dsnder se invoca el rnenúr ccln las cJiferentet;
ü[]ct(ffl*Fr Y . nlri-¡cedrmr.entc?s seclrfidarioÉ " cada l-rrlcl cüf'r Lilra c!

var j.ag slrbrurtina;; pcrra rE¡al iu ar- cada o¡:erracrón.

L-a$, m¡:eraciones y la r'nárr€rr-a cofncr rse c"tptlrran, mscli iican :/

muestr-,an .[r¡s cJatos €i':; rnLry similar- ;rl sferctlradc¡ con lasi
t:¡rer-;rc.1crnt*l; cle mai:r-ice:; con núrner-us r-erales y ü*nt-ercls, La
variacr.ón ciln$icite en i.nqr-esar la pa.r'ter entera y La par-te
r.rnfiqin¿rr-ia ,! s¡I proces{3 inter-rrs par-a I levar a c"tbm i.as
diferentes operaci.ones.
 53?

ó.:.:? flpcic:nes del ffiertúl pt-.tncr¡rai.

EI rnenn rir-incipal perinitt* t¡,eIet:cronar- 1a arrciún qt-te deÉc?e

ef ectlrar de I ag rJ istin táe c¡treracic¡rir:g cie rnatri ces cfin
nCrme¡rc.lli cnfitl I ep.j os .

ó. f, tiFF-RA{:ItlNHS üi: MÉ}T'RIfiÉ.5 DISt-'Éf{sAE;

El rnenlr prJ"nciÍ:al par;r e'fectuer mperfrci,nnes de nlai::ri.ces

cJigperEas" cnnsta cie i opcroneg:

1 . E:-cltacinrres I inea 1e*s li:.1 = H,

:l . Empaqlretarnierito cJe r¡atrrces.

ücmc en 1¡Js¡ áFrterrfirs?s rnen[rs" a1 final de*1 n¡errú. el Lrslrar-ir

plrede dig¡ itar el nCrnrercl cclrresÉclndÍente a 1a oscrón qlrc*

deEee efe'ctuar l¡ cari a npción clrenta cnrl Lrn sr-rbmenú donde

uurede gerleccionar Llria aylrd;r cl entr¿rr ai pr-r:r:Elso

d i rectam*rn ter .

á . :5. 1. E:ltrncturr-a de 1 sit¡tema

De rraner";{ ff¡r..ry fleneraI" la esl::ruict:Lrrá de d¿rt(f,s r..rtil.r.;racl.t ¡:ür'

r*L slstE'rna es la sr.quriente:
 54tl
ptATRL z:L,f1Af itI.¿?, f,iAT'RI z3 : matr i. rers ds Srl f i. i a:i pül r- 5{i
cnllrmnas para al.rnacenat- lns datos captlrr*.t1mx por" €?i. r-¡gt-r.¡r'it::l
y e*fsctr-rsr las respectivas üPef eCf C'fiEE3,

.1.
".J "F IL-A,üüLIJPINA: .incJi.i::en ei. i-r{.:rmErcl dp f i. l.as i./ de col.umna.s

respectivanien t*,

NtJl"l; i.rrcj i. c;r ¡* l rtútrne*rc: de* decima I es; s. ui:.ilizer en l as¡

tj i. f e r-en te;: rJ perci c r" c:n eE . Hste núinerr-c: t3 15 tj erf i r-r i cio pcr r- r.r I
i..igu;rr].c¡,

tlFt.;IüN:'*lrracena La or:ción seleccionada F:or erL usttarir¡,

*¡. .:1 . 2 {1¡:cit:nes de I menrh ¡:rÍnr:i p;r I

Et trr.incrtrsL trerrnite geleccionar la oFcrúrr qure degee

mendr

efertlrar de l.as otrFreciclneg de* rnat-r.i-cers cc¡Ír núrnelros

rjornple-ios" I;rs ct.tale':s lle e'xpLican a cc¡nti.nu*ción.

6.S.;1 .1 Ecuracinnps lineales ÉrX = B

[]ama st-r nombre ln ind1c¿r, permite sr:lurci(]nsrg cle ecLracisnes

1 deI. tipn AX = b. ccrn n iricóqnitar;. [-oE páEc]s ctrl..te
inea I egi

aigue el ursutar-i.o para caÉturrar lns datog neces'arics gon ¡

 541

INü|tE.fiAR fiiL- Nt"tl"lü'iRü DE L'ECiIl'lAt-HSi

'- TÉTF.I-LJRA E:I- |IIJI'IERIJ DE INÜTJ{:iNII.AS A FIES{]LVÉ:FI

.t NLih:ESA LA MAT'F| I Z DE: TJÜEF I ü I ENI"H:EJ

INGRHSA EL VEI.]'Tü]R SJÜLUÜIüN

- PIUHS'T'RA LgS DATüs ÜAFTURADü'J

- SI riE DtsSEA 5E l"lüDI[:I{iÉ¡N Lü$ üAT05 CAF'TtiRADt..lS

D I G I TAR EL hlUl'1ERn üt1 I I tsRAC I üNES t'lllb- SH DÉEiEA t-'ARri

RESOLVER HT- 5.IS'T'EPIA.

FRHgiHNTAüItihl I"rHftAüIül\.1 Fllit I-ff:f{Aü;ION" DE LÉ\S Il'.¡tiüffiNI1l.¡Ei

xr_.x:.1...xN.

tr,3.:l .2 Émpaquretamiento de matricer;

üorr el nb.jetivo de nntimi.r¿rr eI ursr: del esFacin en cjiscun t;e

ef ectúa estdr apci.órr. Una veE el ursurario ha captlrracio lr¡sr

d¿rtr¡s cje 1a rna'tr-i¡. se crean Latrlas o s3lrbmat-rrces ccln Ias

dif ererntsg datt¡g " distrib¡r-iidsg de Lrna rri¿rnera es,ssci.a] pcrr¿{

poster.tr:r-rnr:nte r-econstrltir- l.a rnatri: .

,5"4 INVF-RSA DL. LJNA I,IÉIIRiZ

Hl mÉtsdm i.rtÍir.;¡ado para rnver-tir I¿r matri:r es eI cle üal.rss

Jr:rd¿rn. l-a matri= a inverti.r puede tener hasta -5tl f iias por
5{) t:rIlrmna.s, AI final ei lrsr.r.rrio pt-rede detall,*r fiI,* pfir
f i ia lae variables de 1a m¿rtri¡ i.nvertrda. Internarier¡te s=e
 :14t

realiEa Lrn trr-oceso de .¡erif icaciún. Fl. cutal ct:nsiste en

mr-t1[iFrIicar Ia matri: inverr$a pc]r l.a matr-ir Ltnit*tr-i;"t y

ahtenerr Ia rnatri: ori.ginal. üsrra ge drjo aL ¡rri.nci.pi.o de¡ *.[
capit-r".r1or scln clot3 Frcrf.Jrarna$ r{Lte f,rcil.itcrn 1a irrversa rJe

matricet; cün núrmer-og r-eales, n¡atricers ct:n n{rrner-cls;

crjmfi]lej c]s r sGlparaclan¡en t-e "

 CONCLUSIONES

1. Las matrices tlenen utilldad en lae ingenieríaa y

eiencLas, V €D particular en la Ingenierfa Eléctrlca.

2. La slntetizael-ón de fórmulas matrieiales para toda la

profeslón reafirma su necesidad y utilidad' y la de crear
una cátedra en la Universldad Autónoma de Occldente. En la
Univereidad Autónoma no es mucho Io que Éte enseña de
matrices, máa que todo a nivel de AnáIisie de Sietemae de
Potenclan y habiendo demostrado eu real utilidad se plantea
a la misma la necesidad de crear una cátedra para el futuro
ingeniero para que tenEla una vieión máe amplia y comPleta
del uso de las matrlces en au ingenieria.

3- La vlsión sintética está en eI capítulo V, Ilamado:

Fórmulas MatrLcialee máa generalizadas en Ia Ingenierfa
Eléctrica- Aeuí eI ingeniero cuenta con dichae fórmulas,
escritae en forma matricial, 1o que ete conoce como notación
matricial, con 1o cual podrá resolver cualquier tipo de
problena a nivel matriclaL aeudiendo aI caudal de fórmulas
cuando las necesite-
 E:t ilL... I üiiRAF I A

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flav*r lsni:lrc*itir¡ris" Iriü" Nerw Yorl';, :J5{:.t F!
t-L-URH.Y, Fr;.rnr:: is i-:i, Fl¡ricl+in¡en't.c:r¿. cie* aige'er.n [.-irrea]. _v

an l. r cfii. ü:ifins¡s, f:'ren ti ce t'ie:i. :i. In tern,¡ci.¿rnai "

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 i44r

Y"
NÉ\l-..1..4{:l{" ül.alr:ltlatrc¡n.|i; ürt{:i proc¡¡-i'¡rns fnr trclw*r s3ystf;rm
rrÉtwor-ks. F rentice--Fla11 , Ir¡c. Er¡q l.ewmmd trl itf s. New
Je*r-sey, l?uá" :5'75 F"
ANEXCI 1. TAELAS
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ooooo agaac qqqcq
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5 ErsE rSrrr rSEsA

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3- sII',IBOLOEIA DE ESTE PROYEtrTO
 #i.nihc¡.1.c¡qi.a de gr€{::t* rrrnl¡*rc.tc:

Valmr*s y LtnicjarJ{*s e1*ctr'icc:*:

H: llampa niaqnáti. co ('l'e'* 1*re )

H.: i.larnpo eIÉctricc: ( Newtonl{.; }

Er: DerrsiclarJ dt: i'1r-rjo mcrqnÉticc: {l5alt*is}

: En l acer cJ*= f 1r-r.j n { l¡Jei:ers..i m}

g ! üarqa ele,ctric"r tüclr-t1ümbir.r$ )

: Derisidad ot* r:arclc*, t3 r en ':il: rJef e:ctt:, resieitivicjad

S; [-ote*nci.a cofltÉle¡-] a ( lt::Vl-\)

F:': laq:l:enri.*it arti.v;r { l::W )

iil : F r¡ tE*n c i.* r-en c i:: i. v;r ( l'::\,' )

Vr Vol{::¿r.-ie ( voli:.i.*s)
I : []r:¡rrieln te ( ¿rriF*r-e,'r¿ ]

t : Impe.rdan*i.a (c¡trnij-c:tii
Y : Aclmita.nri.¿t (mhms, sieinens )

ft : "* ( t:hm i o:i )

F{r*s i. s {:en c i.

t-.; lnclnctarrcia i frenr:.ns )

tl: Capaci.t:ancia i f'ar"acli$s-')
F:r {Nn tis*ne nc:lrnbr* clell' j.nir:io) (rnl f ar;rdi.mi;)
}¡": .l.m¡:edanci"¡ de fall¿
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l-ret Fernreahj.li.d;rc1 mac;tnÉti.rtr cJ*:J. v",tcj.cl t4TI r'l i{-¡*7 Nb/A.m)

Eé: Ferm¡.sividacl e¡1éctri.ca riel v;rci'r: (8.i:i54 x l,()-"¡i¡ clll /lrhn$)

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H: I't¡:rtri.r etl.*m*ntal cle J'i. la

K: l"latr-i¡ srlemerrtal cJe co.[r.tntri¿¡

C: l.iatri:s da+ inci.rie*nci-a rama*nr:dc¡

A: l"latrir de i.ncislencÍa Í-¿ltná-'cárninül

D: t4atris de* incidencia rárna-'ináL Lcx

L: Matr-i: trianclu.la.r' i.n'Í'eriur'

H: l'latri u tri.anqut l ar sutE¡eiri.c¡r'

D: Vector diauonal
b: Vectnr coerfici*nte
X : Vectmr i.ncóqn r. ta
Y: Verctmr- irrcógn r. ta
7z 1l*tri.;r coe*f ici.ente in¡tredanci¿r

Y: M;;rtrir coefi"cierite aclini.tanci.a

l5iünn*

S*: tiignifir:n tri.fási.cn

[t + ó Ü 1. ;l : fier:utelnciaf] " pü5i. tÍva ',/ rieqativ;rcerci

ahc I fte*f iÉrase a .ias 'f ¿rs3ErEi ,a, L¡ " c rjs ltn si*i:eirn¿r tr':i.f es.ico
11 ; Ref iÉ*r'ase, a L cc¡nrluctc¡r- neuttrc:
E: De self , u FrfiPl¿l
rn: De rnrltt".taL' n mú'[lt¿r

D¡ l.ina di*tanri.r cietermin¿¡rja

X: t.Jna di.s L¿rncia nü rj*-'ternii.nadx
r- ! ¡tad i$ de ltn c(3ndtts lcr"

rl h rev i. * t il r"fi Ei t [¡;r r-a e*m p;t q lte* tárn ;t. írr¡ t]cl )

Vfll..-{:lH: Valclr rrutméricct d*rl,t*t,'*tsnt:o

IF:[t-.4: Indi.cEl cJe 1'.:. I¿r
I CüL : I t-rd i r::t'..r cle+ *:n I ltmna

OIAG; El.e*merl l.$:i de* Ia d j.aficrrr;*l pr-i.nc j.naI

IüID; Indice de coluinna i.rrclicadnr dt.* *lr.r-e'¡cciÉn

Nüit.lF-i N*rne,rors ds¡ Elsrnent-ci:¡ ilc1 rliagnrr*lr-*s '¡ rji.'feir*lnte+e; r:1tl'

c*?r-cl .

NURD: Sect.reincia nurn*ri. ca de ords*namit*ntn

iltr-as t;i.mbo 1c:s

Étil"l: R¿idi.m Gier:mÉtri.cc' Mercli.c:

ilr.r: lf,or LtniiJatj

1: r-ef i*rag;e a L.rn valur j.maqinarra $ vaLr:res reactivos;

U,rfl r {lan tidarJes; macla i es

S:'Tr'¡irnsfor-matl¿¡ tJt* L-aplace

r:.d. ¡ Cmef icir*nt-e de d.rsFergi.cin
ANEXO 4, PANTALLAS DEL SOFTT{ARE (ARCHIVOS E.IEÉUTABLES}
 CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE

OPERACIONES DE MATRICES CON ENTEROS Y REALES

1. MULTIPLICACION DE MATRICES
2. SU]-4ATORIA DE MATRICES
3. RESTA DE NATRICES
4. IÍATRIZ TRANSPUESTA
5. MULTIPLICACION DE I1ATRICES POR UhI ESCALAR
6. MATRIZ AUMENTADA
7. OPERACIONES CON IÍATRICES DE TRANSFORIÍACiON
A. PARTICION DE T'IATRICES
9. I'IATRIZ LU
10. INVERSION DE KRON

L4. SALIR

================================ === ================ === == ============= =======

Digite la opción deseada :
CORPORACION UNIVERSITARIA AUTOIIOIÍA DE OCCIDEhITE

OPERACIONES DE I'IATRICES CON NUMEROS COIÍPLEJOS

1 . IIULT I PL i CAC I ON DE I'IATR I CES

2. SU]ÍATORIA DE IÍATRICES
3. RESTA DE MATRICES
4. I'IATRI Z TRANSPUESTA
5 . IIULT I PL I CAC I ON DE UNA lf ATR I Z POR UI{ ESCALAR
6. I'IATRIZ AUIIEhITADA
7. OPERACIONES CON I,IATRICES DE TRANSFORT4ACiON
8. PARTICION DE MATRICES
9. INVERSION DE KRON
1O. MATRIZ LU
L2. SALIR AL NENU PRINCIPAL

Diqite la opción deseada:

 CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONO¡'IA DE OCCIDENTE

OPERACIONES CON I"IATRICES DISPERSAS

1. SOLUCIOI{ A UN SiSTEMA DE ECUACIONES AX = B

2. EIÍPAGUETAI'IIENTO DE ffATRICES

3. SALIR

========================= ================= ==== ==== ========== ============= ===

Digite la opción deseada :
Ejemplo de una for¡na general de las opciones
( opción multiplicación )

==== === = == ===---

I,IULTiPLICACION DE NATRiCES

1 Ver ayuda
2. Realizar 1a otrción

DÍgite opción:

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ANEXB 5. AYUDAS
 INVERSION DE KRON

Mediante esta opción el usuario invierte una rnatriz por el rnetodo

de Kron.
Dada la matriZ 7, cuyos datos captura el usuario, Se presenta
una rnatriz resultado despues de haber efectuado la opereción:
Zí5 = Zij Zik Zkj / Zkk
donde Zkk esta incluida en los datos capturados por el usuario.
Presione enter Dara continuar

INVERSION DE K.RON

Los Desos que 5e deben efectuar son:

1. - Caoturar e1 número de decirnales a uti l izar.
2.- Ingresar el número de f ilas de 1a rnatriz.
3.- I ng resar e I número de co I urnnas .

4.- Caoturar Ios d¿tos de Ia rnatriz.

5.- Si se desear sp oueden modificar Ios datos capturados ingresando
eI núrnero de fila v de colurnna.
ó.- Finalrnente. se muestra Ia matriz resultado.
Presione enter Dara continuar
 MATRIZ LU
A traves de esta opciónr se efectua Ia factorización LU de una rnatriz
Los pasos que se deben realizar son:
1. - Capturar eI núrnero de decirnales a uti I izar.
2.- Ingresar el núrnero de filas y colurnnas del vector B y de la
rnatriz A.
3.- Caoturar los datos del vector B y de ia matriz A.
5.- Si se desear sp plreden rnodificar los datos capturados ingresando
el núrnero de fila y de columna.
6.- Finalrnente, se rnuestra la matriz resultado en las matrices L. U
y los vetores XrZ
Presione enter Dara continuar
 ECUACIONES LINEALES AX = B

Corno su nombre Io indica, oermite solucionar en sistema de

ecuaciones Iineales Ax = b. con n Íncoqnitas.
Los pascts a seguir para realizar esta opcÍón son:
1.- Ingresar eI número de decimales para los datos a visualizar
2. - Capturar e I núrnero de incogn i tas a reso lver.
3.- Ingresar cada uno de Ios coeficientes
4.- Capturar eI vector solución
5.- Se rnuestran los datos caoturados y si se desear 5€ pueden
modificar los datos capturados, digitando el núrnero de fila
y colurnna a cambiar.
6.- Digitar eI núrnero de iteraciones deseadas Dara calcular las incognita
7.- Finalrnente, se presenta, pára cada iteración. cada una de Ias incogni
Presione enter oara continuar
 EMPAOUETAIIIENTO DE IIATRICES

A traves de esta opción se optimiza, eI espacio para rnanejar eI

alrnacenamiento de datos a traves del ernpaquetamiento de una rnatrix
Los pesos a se_ouir para realízar esta opción son:
1.- Ingresar el numero de decimales para los datos a visualizar
2.- Ingresar el número de f i las y colurnnas para Ia matriz A.
Para continuar se debe presionar Ia tecla enter.
Ei numero de filas y de columnas valido es hasta SO.

5.- Si se desea: sE pueden rnodificar Ios datos capturados, Oieitando

eI nrlrnero de f i Ia y columna a cambiar.
A traves de esta opción eI usuario puede invertir una matriz.
la cual puede tener hasta 50 filas por 50 columnas.
El rnetodo uti I izado para invertir la rnatriz es el de Gauss Jordan
Los pasos que e seguir para realÍzar esta opción son:
1.- Ingresar eI nuirnero de decirnales para Ios datos a visual izar
2.- Ingresar el nurnero de f i ias de Ia matriz.
3.- Inqresar el nrimero de columnas.
Para continuar se debe Dresionar Ia tecla enter.
4.- Capturar Ios datos de Ia matriz.
5.- Digitar S ó N, si Ee desea o no. restrectivamente. modificar
los datos,
6.- Finalrnente. se rnuestra la matriz INVERSA fila por fila
Presione enter oara continuar
 MULTIPLTCACION DE MATRICES

A traves de esta opción se rnultÍplican dos matrices A y B. donde el número

de f i las de Ia matriz B es ioual aI número de colurnnas de la matriz A
Los pasos a seguir para realizar esta opción son:
1.- Ingresar eI nurnero de decirnales para los datos a visualizar
2.- Ingresar eI núrnero de filas y colurnnas E,ara la rnatriz A.
Para contÍnuar se debe Dresionar Ia tecla enter,
EI núrnero de f i las y de columnas val ido es hasta 40.
3.- Ingresar eI ndrmero de columnas para Ia matriz B.

4.- Capturar los datos para Ias matrices A y B.

5.- Si se deEear s€ pueden rnodificar Ios datos capturados. digitando

el número de f i Ia v columna a carnbiar.
6.- Finalmente. se rnuestra Ia matriz resultante A x B

Presione enter Dara continuar

 SUMATORIA DE MATRICES

A traves de esta opción se suman dos matrices A y B de igual

dimensión
Los pasos a seguir para realizar esta opción son3
1.- Ingresar el núrnero de decirnales para los datos e visualizar
2.- Ingresar el nulmero de filas y columnas
Este número es el rnisrno para la rnatriz A y la rnatriz B.
Para continuar se debe presionar la tecla enter.
El núrnero de -f i las y de colurnnas val ido es hasta 40.
3.- Capturar los datos para las matrices A y B.

4.- Si se desear s€ Fueden modÍficar los datos capturados, digÍtando

el núrnero de fila y colurnna a cambiar.
- Finalrnente. se rnuestra la rnatriz resul tante A +
5. B

Presione enter Dara continuar

 RESTA DE MATRICES

A traves de esta opción se restan dos rnatrices A y B de iguai

dimensión
Los pasos a seguir para realizar esta opción son:
1.- Ingresar el núrnero de decimales para los datos a visualizar
2.- Ingresar el núrnero de filas Y colurnnas
Este núrnero es el rnisrno Dara la matriz A y la rnatriz B.
Para continuar se debe Elresionar ia tecla enter.
Ei núrnero de filas'z de colurnnas valido es hasta 40.
S. - Capturar l os datos pare I as rnatri ces A y B.

4.- Si se desea, sp pueden modificar los datos capturados, digitando

el número de fila y colurnna a cambiar.
5.- Finalrnente. se rnuestra ia matriz resultante A B

Presione enter Dara continuar

 MATR I Z TRAhISPUESTA

A traves de esta opción se intercambian los datos de IaE filas por

las columnas de una matriz capturada por eI usuario.
El nrlrnero de filas y de columnas para realizar esta operación es
el rnisrno
Los pasos a seguir para realizar esta opción son:
1.- Ingresar el núrnero de decimales para los datos a visual izar
2.- Ingresar el número de filas
Para continuar se debe Dresionar la tecla enter.
El núrnero de filas v de columnas valido es hasta 40.
3 .- Caoturar los datos Dara Ia matriz A.

4 Si se desear sp pueden rnodificar los datos capturados, digitando

eI número de f i la y columna a carnbiar.
5.- Finalmente. se nruestra la matriz resultante
Presione enter Dara continuar
 IIULTIPLICACION DE UhIA I'IATRiZ POR UN ESCALAR
A traves de esta opción se efectua el producto de un escalar k
Dor todos los elementos de una rnatriz
Los pesos a seguir para realizar esta opción son:
1.- Ingresar eI nurnero de decirnales para los datos a visual izar
2.- Ingresar eI nurnero de filas y colurnnas
Para continuar Ee debe oresionar Ia tecla enter.
EI núrnero de f i Ias v de columnas val ido es hasta 40.
3.- Capturar los datos Dera Ia matriz A.
4.- Si se desear s€ pueden modificar Ios datos c,¡pturados. digitando
eI núrnero de fila y columna a cambiar.
5. - Finalmente. se muestra Ia matriz resul tante.
PreEione enter trara continuar
 I'lATR I Z AUMENTADA

Presenta la rnatriz original. cuyos datos han sido capturados por

eI usuario, agregando al lado derecho otra matriz.
Los pasos a seguir para realizar esta opción son:
1.- Ingresar el nurnero de decimales para los datos a visualizar
2.- Ingresar f i las y colurnnas de Ia matriz del lado izquierdo
Para continuar se debe oresionar 1a tecla enter.
Ei núrnero de filas y de colurnnas valido es hasta 40.
3.- Capturar los datos para Ia matriz del Iado izquierdo.
4.- Si se desear s€ pueden modificar los datos capturados, digitando
el número de fila y colurnna a carnbiar.
Presione enter Dara continuar
 MATR I Z AUT'IENTADA

5.- Ingresar filas y colurnnas de Ia matriz del lado derecho

Para continuar se debe Dresionar la tecla enter.
El numero de fiias y de columnas valido es hasta 40.
6.- Capturar los datos Dara Ia matriz del lado derecho.
7.- Si se desear sB pueden rnodificar los datos capturados, digitando
el número de f i la y colurnna a cambiar.
8.- Finalmente. se rnuestra 1a rnatriz aurnentada.
Presione enter Dara continuar
OPERACIONES CON I'IATRICES DE TRANSFORIIACION

Mediante esta opción se perrniten real izar operaciones elernentales de

fÍla o colurnna. las cuales se pueden selecionar de1 subrnenu de
Operaciones con matrices de transformación.
Inicialrnente se debe capturar los datos de Ia matriz sobre Ia
cual se realizaran las diferentes operaciones y Iueqo seleccionar Ia
operación deseada.

Presione enter trara continuar

MANUAL EXPLICATORIO DEL SOFTWARE DE OPERACIONES MATRICIALES

RAFAEL RUEDA RIVERA

SANTIAGO DE CALI

CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOT,IA DE OCCIDENTE

DIVISION DE INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICA
 TUTORIAL DE OPERACIONES MATRICIALES

RAFAEL RUEDA RIVERA

Trabajo de grado presentado cono requieito parcial,

para optar al Tltulo de Ingeniero Electricista.
Director: J- KENJI I,IATANABE H.
i -¡¡,.".5., '..¡ ., ,'I:,J ,:,t i,f¡..,.r,,.,-.
f, Serc;óii ü,b. si ¡rc r
L._.---L;:J
c__

Ig+l
É-,' i ",3i,"#,$o 01651r0
llil¡¡lu¡n1¡iltrtEilü[il¡¡lil

SANTIAGO DE CALI

CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DE OCCIDENTE

DIVISION DE INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICA
1994
 -r
,4¡ 2 ,¿¡;'3'

EV/sí- /
¡ /;r.7 p4 4 t'
'/L, L

PRESENTACION

El preEente documento contiene el Manual Explfcatorio del

Software de OPeraciones Matricialee, complemento del
proyecto de tesLs: "Tutorial de Operaciones Matrieialeg" '
que como Bu nombre 1o indica exPllca o enaeña cómo ae maneia
el Eoftvtare de eeta teeia.

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-J
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J
1-

:
Y

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'l
 EIPLICACIO}I DEL SOFTTANB

ueted puede obtener eI software de este proyecto en Ia

biblioteca de Ia Univereidad Autónoma o en el Programa de
Ingeniería Eléetrica,

Conelete en 1 dlekette 3 L/2 con los ProgramaÉ fuente o

exteneión .PAS, y loe progra.r¡aa ejecutablee o eeteneión

.E)G. Si tiene la facilidad Puede coPLarloa en el disco duro
de Eu computador para que Ioe reeultadog y operacionea ae
logren con mayor raPidez.

Son 5 programae loa que realizan laE oPeracloneet matricialee

que ueted neceEita. Eatos Eon: Matriz-R, 9ü€ realiza las
operacionea con núneroe realee y enteroe; t{atriz-c, que
realiza lae operacionee con comPleJae; Matriz-D, que rea'Iiza
Iae operacLonee con diepereae; Matriz-I, 9ü€ realiza la
inverea de matrices realee, e INVERSAIT 9ü€ realiza Ia
invereión de compleiaE.

Loe prlmeroa 4 fueron implementados en Paecal 5.6, y el

últlmo en Turbo Pascal 3.O. Se tuvieron que sacar las
openacloneg de inversa por Beparado debido a gue no exlstía
et euficiente eepacio en memoria para inclufrlas en loe
menúe de las oPeracionee con realeg y comPleJas.
rnenús de las operaciones con resler y c$rnplejas'

SelratratadodeqLleegtosprügrafnáscontengarrlamejor
asequribi I idad posible c[]Il lo cual Ee orcjena al usuariü
qlte

coFre cada programa los pesos; gucesivos que puede '/ debe
ej ecuttar '

l.ambiÉnpogeegutiasexplicatcrriasdecadaoperaciÓrt
escogie¡do urEtec! Ia opción 1. ver ayltda, (ver anexos) o que
le facilitará viglraLi¡ar más claramente cÉmo Eon les
diferentes aperacion€sr en qué consisten Y corncl es el
procesodelasrüigiffiegderrtrodelprograinaejeclttab}e.

Hay qute sefíalar- el grden má>timo de las di'ferenteg rnatrices

Én cada prograrnai com(] sc]n.'

4CIx4t) en operacl.Bnes de cornp I ej as Y rea I es -

5ü x 5Cr par¿( matriceF dispersas Y 1a inversa.

La ra¡ón de esta diferrenci,a vutelve a obedecer a tér'minog cle

capacidad de almacenamiento o memr¡ria'

Ingrese digkette en el drive cc¡r'¡.€tpolrdiente' Lltego cclrra

sr-r

el Frclgrarne si.mple¡mente escr-ibiendcl uno de los nombres.

segdrn e1 qLrEl ristefl necesiter, (ejemplo: rratril-c¡ si rjessrc
operar con complej ag ) n y de ENI'ER. Inmediatanrente habr'á
 s

entrado a ejecutar cualqLrier oper,aciCln deseada, la cual

tiene ursted qLle escoger segúrn el nútrneror Eñ el menú'

Tanto en el progr-arna de enterc]g cofno r-eaLes estag 5on:

I . Hr-rl tipl icaciórr de matrices.
?. Sumatori.r de mstricesi.
3, Res,ta de matri.ces-
4. Matri.:u transPltesta.
5. Mr-rltiplicacirSn de matrÍces pcrr Ltn escalar'
6. Matri¡ aumentada'
7. üperaciones ccln matrices de trensformaciún '
EL Particiórr de matrices-
9. l'latriz LU,

lil . I nversión de h:.rsn .

14.5alir,

Nlrevamente. sergrln Ia opción que usted degee " digite el

número cfirrÉspondiente' Siernpre qLle deeee salir, unda 14' y
ya pltede utsted apagar e1 complrtador.

Estas operaciOneÉr como es de suFclnerser están explicadas a

lo largo del docurmento, sinembargo darÉ aqirí otra
explicaciún más sencí1ta deI procescr operatorio:
 4

FIULTIPLICACION DE I'IATRICES! COMC] EE d¡T gLIPONÉl.É€I I-IgtEd

ÉscoqÉr murl tipl icar ?, matrices, Par-a e11o debe cutidarse de
qure el ndrmero de columná5, de Ia fnatrir qLte prefnLtltiplica (en

el prografna, Ia qlte usted ingresa como primera rnatri¡) t 5ea

iguurl al ndtmero de filas de la matril qr-te postrnuLtiplica (a
sea Ia rnatriz que ingresa última).
Si clesea o necesita real i¡ar operaciones con :i cl máE
rnatrices deber ir mltttiplicando cle atr*s para adelanter y sLt
resLrltaclo postrnutltipticarlo a 1a matril qLle 1e precede.

Ejernplot At(B*C¡tD.

I'tr-rl tipl iqure Prirnero C * D

Sur rErst-rltado lo postrnuLtiplica pc:r Br a€i ¡

B E ; si E fute eI resutltado de La mul tipl icación anterior -

Xr

Si esta rirltima rnr-rltiplicación da F" légicamente se eabe que

el resLtltado final es; A * F.

EI producto AB" en este ordenn la rnatri¡ de orden rn x Pr

de

A = [ (!r-r ] por otra de orden p ¡í n! B = [ h..r] es stra

matrig de orden rn x ñr f, = [cr¡]n tal qile

trr¡ E (t¡-.r" ¡ r.J + =! Q.*. b*r, (i =

l" ?, rni .i
 5

Teniendo en cuenta que A ccrnstá de m filas y B de n

columnasr páFá abtener eI producto C = AB se mutltiplica cada
fila de A p6r todas,/ cada Ltna de las ccllufnnes de B. El
element-cl crr de c es. pures, el produtcto escalar de la fila
de A por la colunna j de B.

EJ emplo,
--1
dr t. t''=
AB lz,t t'=
I ,"
[-t h..=l
=
i
t==_j
o*r o=r
J
I
I

l
Lr="
{tr ¡. ]t,, + tl*= b=t o"t br.. + or= o==-l
')at b" t + O:aa b=, üar b". + cb,z b"i
ú=r br, + 'Jt¡a b=t otrt br= + (!== b-= i
_t

HI producto AB eE,tá def inido. o sea' A Ets conforme c¡1n B

respecto de 1a fnultiplÍcaciÓn" cuando eI nütmero de columnes
de A esi igr:al a1 de filas de B. SÍ e1 producto AB egtá
definido (A confarme con E) no significa qLte B gea
necegeriarnente conforme con A respecto de la mr-rltiplicaciún
{BA puede no estar definido} '

SuponÍendo que A, B,, C son matri.ces cünforrnes respecto de Ia

sr.rma y la muL tipl icación Fe tiene

¡19+C)=AB+AC ( prirnera propiedad distributiva )

 ó

IA+B)C=AC+BC ( segr-rnda propiedad digtributtiva )

A{BC} = (AB)C (propiedad asociativa)

SUI'IATORIA DE FIATRICES: $iean5: I or.¡] y B = [b*.r] d$s

A

matrices de o¡-rlen m x ni Ia sLlma o rJiferencia de arnbaso A +

B, eg otra rnatril C = [c.-r]r de orden m x n en Ia que cada
elernento cJe C es igural e la sLima o diferencia de 1os
elemerrtos ccrrespondierrtes de A vB"Asípues.A+B=[lr¡
+ tr, l,

3 ;l [= 3;l
tjemplo: Sifl=
I
iJ
lv B=
[:'
3!
+? 2+3 3+;l 3 51
A+B= ['
t:
+(-1) L+t 4-:J l =i-
t: t
3:i
-?. 2-3 .-1 IL L -r ;l
A-B= r' -(-r) t_-'J 4-:J I -1 -:J
I

t:

Dos matrices dell rnismo orden se l larnán nenformes respecto rJe

la
sLlma algebráica. Dos matrices de distinto orden ntr Eie puecJert
sumar ni restar.

I{ATRIZ TRANSPUESTAT Una rratrie transpuesita A'r es simplemente

el intercambim de filas y colt-tmnas de 1a matr-iz original A'
Así:

5ift=
i;41
1"5',1
Aa' =
r?i
l- 3 -'l
[ -1 ]-l L:Ó:
Fara lograr la transposición en sLt prcgrarna sólo debe
digitar los valcrres de 1a matri.:s oriqÍnal'/ obtendrá st-t

transpuesta inmediatamente.

FIULTIPLItrACION DE I'IATRItrES PtrR UN ESCALAR¡ Esta operación

con5i5te Én multiplicar todoE y cacla Ltno cle Ims elernÉlr¡tos de
una matrir p¡3r Lln eggalar q¡-le golarnente pLtede 5er peal.

l.lATRlz AUI.IENTADA: Éorno sLr nombre 1o indi.ca. consigte en

aumentar Ltria rnátriI €?n 5Lt Iado derechmr EF clecirn el

plFúgrafne 1e visural ira a usted e$te pr(]cegjn i paf'& l[] cutal
derbe primero ingresar Ia matrir del lado irqutierda y lutego

1a de I l edo derechc: r qLt6l g€?nera l men te sÓ l o es Llrl vector

coILlmna.

fIPERAtrItrNES CON I'IATRICEEi DE TRANSFORFIAGIONT Consiste erl

operaciCrnes elementales de fila g] colLtmna, las cLt¿rIes se

pueden hacer c6n rnatrices de transforrn;tción igiralmente

elernentales. Estas Pueden serI
 a

1. Intercambio de doe filas o dos colt-tmnag.

i. f'lurl tipl icacién de uin escalar Por r-trra f ila o una columna.

:1 , Sr-rmar'á Llna fila o una colurnna otr-a'fila o columna

restrectivarnente rnultipli.cada pclr Ltll esical*r'

Este procero se considertS de interÉg cono parte del sof twar-e

pclrqLie en ocat;iones usterl necesitará transforfnar Ltne matriz
en otra erqlrivalente y purede también E3er una ayurda pedagógica
en el proceso de encontrar valores con la matrie aumentadat
en otras palabras, si utsted altmenta }a matrie ori-ginal en el
vector resul tadc¡ mediante e$tos prclcesog sutcesivos' de:
tranEf ormación, podrá ohrten+:r los resLtl tacjos de las
incógnitas involutcradas.

Fara rnáyr:r in f ormación de 1o qLte es trans'f orm"rcicln y

matrices de transformación remi.taee al capítulo 1. numeral
L.7 Ilamadg: TRANSFÜRI'IA{: I ONES ÉLEI'IENTALE5 .

PARTItrION DE I'IATRICES: Congíste" cofnc: su nombre lo indican

en particionar matrices, en rnatrices separadas o gt-tbmatriceg.
se Ínclutye en el software cofilo ayutda pedagÓgica en la
visural ización de las ¡rarticioneg verticales u horizontales -
 t?

IIATRIZ LU: Coneiste en "factorilar" la matrir original Ern

dos rnatr-lces llamadas L y U respect'ivamente ref i'riÉndose a

Iower ( inf erior ) '/ Ltpper ( sr-tperior ) corno matriceE
triarrgulares i.nferior y st-tperier. Con estag matricsrs ltsted
pnecle inducir $ formar divergas matrices de transforrnaciÓn
u (ver ejemplas 4.9.1, 4.9.3,/ 4.?.3 en el capitr-rlo 4)r pará
mill tiFl ic¿rp de fnanera sl.tcesiva premLll tipl ica¡do '/
postmurltiplicando 1a matriz de origen pare hal lar e*l vectclr
goluciónidemaneráqLteeEL{l.lr.ecLtrsomt-(yprácticoaLtnqLleLtn
troco más lento para la $olr-rciÓn de ecutaciones'

INVERSION DE HRON: Es el Otc:***o mediante e1 cutal nsted

invierte Ltna matr-iu i.nicial cuando mcLlrre iln cierre de Ltrl
circltito f orrnandr¡ Lln " laro" q €tn Elt arlgori'tmo de corlstrucciÓn
de Ia matri = Z. És de anotar aquti qr.te 1Ógicarnerrte dictro
algoritmo rrr¡ hace parte del sof twar-e de esta investÍgaciÓnt
pero sí contiene el recurso de la inverrsión de l:.r'on si r-rsted
clesea indef:enctient-emente cc¡nstrutir pclr- tanteo utna mxtri¡ Z
basándcrse sn Lrna congtrlrcción st-tcesive cl i.rnpedancia por'
impedancia (a 1ínea por linsla) de urn g;igterna de potencia'

Esta clperatriún se elrFl ica sencil lamente For I.a el irninación

de los ejes llamados l (o de lmop o laro) y la conversión d*
Los valores r.¡r-iqinales por la ecutaciÓn ¡

Zt-t'= 7tt 7t* Zr.t/Zur.

 1. rl

Ilonde k. siernpre coFre6pclncje a I.. Pera máyor comprensiÚn de

égto pLtede refnitirse a lss nr.tmerales 1.lti REDUCTIÜN DE ld;RON

v 4.4 ALGORITI"|O DE CÍINSTRUCIjION DE LA t'lATRrZ DE ]I'IPEDANüIA

Zs,¡- Y I'IATRIZ ADI'IITANCIA Ys.¡e.

Far-a reali¡ar 1as operaciones anteric:res sirnplernente elija

la apción en el menú principal de cada prografna (rnatrie*r o
matriz*c) y dÉjese llevar en cada instrutcción sucesiva.
TambiÉn puede basarge en el capítt-tlo é" donde sE! explican
estos pasos de manera ordenada.

Fara matrices disperses he creado para Ltsterles el prografna

rnatriz--d donde maniputla este tipo de rnatric€r5. $e sabe qlte
Én la íngenieria eléctrica es,te tipc: de matricee' scln fnLty
cornLrn{i?s debido a qLte en I os sÍsternas de poten cia es

imposible qLle toclos lc:s nodog sÉt Ltnan entre 5ín en otras
palabras! eg3ta caracterist-ica de les matricee de impedancia
o admj.tanci.a es debido a }a independenci.a entre los nt:dos.
tr sea r qLt€ ncl haye ltn ion en trer e I l os .

El libro de Erameller y el capi.tr-tlo ?" se basa en este hecho

de 1a dispersió¡1 matpicial (en inglás se cclnocp cofno
sparsity ) , qge con5iftte en aqutel las matrices qLte tienen
rnuchog el.ementos iguales e C,. Y eL software utiliza les
tablas de Erramel ler cofno ernpaquret*mient{] de las matrices
dispersas, eI cr-tal 1e facilÍta el resgutardm en memoria cle
 11

log elernentog diferentes de cerc¡ para recongtruír su matr-i¡

cLlando lt: necesite y páre gutardar los datog pera operar.

Contierre dos oPcionesi

I¡ Ecuaciones lineales AX = B.
Hmpaqr-retarniento de matrices.

La prirnera pare solución de la ecltación y le setg1-tnda para

ernpaguetar o gurardar en memoria la rnatril A e operar.

Los dos drltimcrs proqrarnas qr-te qltedan por explicar- scrn 1c¡s de
inversa de reales y de complejas en los proqFamas matris.-i
e inversa?. EEtos prograrnes tocó sacarlos de loe Frogramas
de reales y cornplejasi como ya se explicÓr debido e la falta
de rnemoria peFa qLte f uncionaran en con j untg3. Como 5e
inf ierer real i¡an 1a inversiÓn de rnatrices para reale:¡ cl
comFlejas, segrltn necesite. Los métodos urtilÍ¡ados gon Icrg de
Gaurss Jsrdan por rnedio cJe i teraciones sttcesivas " en e1
primer caliior y de manera di.r'ecta en erl séqundc:.

La r-rtilidad de la inversién eÉ que cuando ugted tiene Ltn

sistema cle ecutaciones AX 5 B, sofno en el caso de Zl = Er

invierte la rnatrir Z pal-a hal lar les valores incógnitas I n

ssi¡ t = Z-.rE = YE, donde Y = Z-L. Ü tambiÉn el cascl

contrario. donrje invierte Y necesÍtando Z.
 t':
A continLteción t v como parte de este pequefio manutal t 5e
ÍmFrirnieron loe; dif erentes proqrarnag ltti I i¡adss.
 ff rttilf ltttlttttltllli¡ltttttttttttlltltltllllf lttlttf lltlltlli )

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) illlIELll¡|f, lltLIi
' +tl$6
INIIETT{'
IRIITLII{' l, ler ryudr 'l;ltllElll;
rRiltLltl' 2. h¡li¡¡r lr opción')i ltlTtLt;lRlIELll;
TRITE{' 'l; t0R tl:=l I0 I E0 rtlTE{'='); IRITELII;tfilTtLll¡llllELll;
IRIIE(' Diqite ogritu:')¡[E*Etll{ltÜDt}; Ctt$tRi

$t!;

(rtüttfllltüüfflfltttttttltltlttlftlltlütltttttllllttfftlllftllltflltltll
Pt0tElllRE ül|ll tlllEt0S-RtñttS;
l|At
12'l? ; lHfE0El¡
tE$l|tf*00'S|lllt:RttL;

[tBlil (f lHcl0 Pt0ttDtlllEllo lll|LrlPtlctn iltrnlcEs {tl¡IER0$ t nEtLtsl l)

DEt
{l sE LEt EL lt|ilm0 DE FIL¡S I t0tl|lllll$ 9uE coilrEilDll Lt lltlRlt l)
(l IEIItllD0 ttl [l|t$t EL tlilrE (= l0 l]

ü TJECUIE illEllnl$ EESTE ltUtllPtl0*l;ts iñillct$ tli

i
Af t|IA ! :? lt$0 : =
(' iülf IPLIC¡CI0]I DE lltlll0E$' I ; llttSAJt ¡

IFttUtt=lllltll
atill
ttR$C[; fRllEl,llt' iüLrlntm0l0ll Dt itlnl0t$'l;l*lIELll¡
ntftLflt'l lr¡yes de cstr otción se ¡ultillit¡r do¡ ¡¿trices e I $r donde el nürero');
$lrtu{,de files de l¡ ¡rtrir I es igual ¡l nú[ro de columrs ds l¿ r¡tri¡ l']itlllttx;
ffilfELll{'Lot ¡asos r sequir para rerlilrr ¡gta opciór son: '); tRII€l-ll;
ffitlELtt(' l.- In¡resrr el ¡trero üe üeci¡¡les parr los d¡to¡ ¡ visu¡li¡¡r '); lfllltlll;
mlfEtil{' l.- Ingrenr el ¡trsro de fil¡s ¡ colnrnrs ¡rrr h ntrit l.'};
IftlTELt{{' P¡r¡ tonlinu¡r re üeüe prrsion¡r h tetl¡ eolrr.'}i tlllttt;
il
ffilfELil{' n0¡ero de lil¡s ¡ de colurnas v¡lido es h¡st¡ 10.' l; t[lTEt]l;
t*lTtLtl{' 3,- Ingresrt el nürero üe tol¡mu prn h ntril l.')¡ltllElll;
ffilfELU' l.- Crpturrr los d¡tos prrr lrs r¡trices I I l.');filfEtl¡
lnlltlll('1,- $i se derer, se pleüen roÚifinr los d¡ios npturrlos, digitrndo')¡
fntl&I{' el nürero dt lila ¡ tolum¡ ¡ car}i¡r.'};$l[[ll;
$lTELtl(' ó.- Finrhelte, re ¡ue¡tr¡ h r¡lrit re¡ult¡nte t I D');$lf[1il;
lillEtll{' Presione enter parr coltinuar'l; rerdln; clrscr;
Hr!;
0P0l0ll :. 'S';
lllltE t0PCI0ll = 'S'l 0l {0PCI0ll = 's'} D0 lE$lt
CLR$C[; Hllll:=llllll-DEtllltl;l:= 0; I:= 0¡ J2¡= 0; ltflllllü:= lfiut; lEÍDtD:= IlllE;

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ItSlll
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tRIItLll{'Los prsos r seqtir ¡rrr rmlirrr estr optión s¡n: '}; IRIIELI;
IRITELII{' l.- Inqresrr el nürero de derir¡lec prra los l¡tos ¡ Yisu¡li¡¡r '}; llllELtli
$llttll(' ?.- Ilgrerer el nürero de lil¡¡ y roluro* 'l;
ffltlELll(' Este Rúrero es h lrlrit á ¡ h lltrit D.'li
el risro prn
mlfftilt' ¡relion¡r l¡ tecl¡ rntrr.']¡ ftlltLt;
P¡r¡ tonti¡u¡r se debe
tRIItUl(' El n0mro de fihs y de rolumrs v¿liúo es h¡¡l¡ 10.' l¡ lRIItLtl;
mlfttil('3.- Crptrrrr lor t¡tos prn lrs r¡trires t I B.'l;fRllttli
mlItLN{'1,- $i se úeiel, le pueden rodificrr los d¡tos npturrdosr di¡itado'}l
l*llEtll(' el núuro de lih I rol¡rn¡ ¡ c¡rüi¡r.'!¡lfillELlli
üllEtll{'1.- tinrhente, se lle¡trr h l¡tti¡ resultelte I + ['];tftlTEtl;
mlltll¡t' Pre¡ione enter prre tortinmr'!; rerüln; clrsrr;
E}ID;

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RE$Ii Et
mlftH{'ñ tr¡yes de estr o¡ciún se re¡t¡n dos r¡trics C ¡ E le igull'}i
IIIIEIII{' dirensión' } ; lRIlELll¡
Itlltl[('Los ¡rsos r reguir prrr rerlilrr ertr opciün ron: ']¡ ltlltLfl;
mllttfl{' l.- Ioqr*rr el rürero de derir¡les ¡rrr lor d¡tos ¡ visu¡li¡¡r '}; |RIIELI;
ffitftLü' ?.- Inqr*rr rl rürero de fil¡s y colurnrs 'l¡
lRllttll{' [¡te lr mtrir A 7 h mtrit l.'l;
nürero es el risro prn
Inllttll(' Prrr tonti¡u¡r se deüe ¡rrsion¡r l¡ tecl¡ ent¡r.'l; HlItLh
lfttlEttl{' El núrero dt fil¡s I de colurnrs Y¡lito r¡ h¡st¡ {0.' }¡ fRIIEtll;
tÍlltLll('3,- Cr¡turrr los d¡tos prn lu mtrite¡ t y B.'l;lRlltLll;
ülfELil('{.- Si se deser, st pueden rodilitrr los d¡to¡ crptunder, di¡itando'l;
IilIELl|(' el türero de lile I coluln¡ ¡ c¡lüi¡r.')illlltlll;
ll¡lEtll('i.- Fiorlrente, se rue¡tr¿ l¡ r¡triz result¡rte i - l'];lftllEtI;
ffilItLH(' Presione enter ¡rn contirrrr'!; terÚh¡ clrstt;
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lEtllt tt ll{lcl0 DEt Pt0ctDllltEfi0 DE 6Ellt[At Lt IRICI$ {EllTEt0s r ffiffitsl l]

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{t rElltllD0 tll CWilrl tt tllllff (= l0 ll

(t EJICüIE lllttlllA$ m Etstt iütrlRl0fi ltiS lltltl0t$ ll¡

tYlllá¡=t; tl$t:=(' lltTllZ IRáll$PU$ffi 'l¡lttffirJE;

ItlYüll=llllEl
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üLR$C[: IRIIELI{' ilÍfflI rltil$Püt$rfr '};lRllEtll;
lflIEtlll't tr¡yes de estr o¡ciúo se intert¡rüir¡ los d¡to¡ de l¡s fll¿s por'l;
lRIlEtI('l¡s colutt¡s de nn¡ t¡tri¡ cr¡turrft por el ulnrrio. 'l;
lRllttll{'fl núrero de fil¡s y de colurars prre reeliler ertr oprrrrión rs'};
lRllElll('rl risro' li fRlIELll;
IRIIELI{'Los prso: r sequir ¡arr rulitrr estl o¡tión ron: '}; lRIIEtll;
mlr[Lu' l.- Ingresrr el nümro de decir¡le¡ 916 lor d¡tos ¡ viru¡lit¡r 'l; ltllE$li
WIftU(' 2.- lnqresar el rürero de fil¡¡ 'l¡
nlftH{' P¡r¡ contitu¡r re debe grrsion¡r h tecl¡ enter.'}; filIELf{;
ntfELU' il núreto de lil¡s y de rolurnrs r¡lido es hest¡ {0.' }; tRlltllli
$lf$fl{' 3.- Crgturar lo¡ d¿tos ¡rrr lr ntrit á.')¡lfllltt}l;
lRlTtLI('{.- $i drsel, se pceden roÚificrr los d¡tos cr¡turtdos, liqitlndo'l;
se
IRIIELII{' rl núrero de fih y colurnr I cuüilr.'}:lllIELl;
l*llEtll(' l.- firrhenle, se mestr¡ l¡ mtrir resrlt¡ntr 'l;f*llEtfl;
lR¡ftlll{' Presione etter prra tontiruar'}; rerdln; clrscr;
tll!i

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lllltt t0PCI0ll = '$'! 0l (0Pil0t{ = '¡'} D0 lE6lll

[LR$CR; lgll:=l{fll_Etctltlt¡ t:= 0; J:= 0; J2:= 0; ttfllllt{l¡'T[üE; 9ttDiD := lRlftf FLt6-I[t := li

lt{lrt {l } {0) 0R {l ( l) Dll tE$lll
mlrE {'tl$Rtst tL n0 tt tltl$ tt tA lllTllt A : 'l; RE*Dtn{l};
IF (l ) l0l riltil
mllEtil('EL lll,lltR0 DE Fltts EE$t $Ef, ( 40')i
illi1tE (i ) 40) 0R i¡ ( I ) t0 ¡tülll
f*tlt t'lile*E$t EL H[0 !E C'[.,tlll*S DE Lt ñAInl¿ A: '); RE[DLlliJli
If (J ) {0) llltll
lRtitlll t'tl 1il0 ¡t clltulttlfrs DEüE $t[ ( 40'l;
Ellli

lRllttll¡tRIIttll¡rIlTEtll;

(r sE tilERt$tll t0$ Dll0s !E tl lttiRll I fl;

mlfitll {'lt6*Est L0$ DAI0S Dt Ll llAIRll ñ '}i lRllttll;

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rRlrt {'llltRE$E tltA .'tllll,' G0tlllllll : ']¡
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$lD;
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mlftlil('Dor lodo¡ los ele¡entos üe n¡¡ r¡tri¡'); filfill;
filltLll('Lo¡ prsos r reguir parr rerlitrr estr opciún son: ')¡ IRIIELII;
ffitltll¡{' l.- tngresrr el rú¡ero de decir¡les ¡rrr los d¡io¡ ¡ visu¡lil¡r ')i IIIIELH;
mtIELll{' ?.- Ingrrsar el n0rero de fil¡s y tolurnu'}l
IRIIELI{{' Prr¡ cottiru¡r se dete prerion¡r l¡ lerl¡ entrr.'}; ffilTtll¡
tnlftlil(' El núrero de filas y de rolurn¡¡ v¡lido es h¡st¡ f0" ]; $lltltl¡
fRIfEL[{' l.- [rptlrrr los úrto¡ prrr h ratrit t.']iltllElNl
lRtIELtl{'1,: $i se deser, se gueden rodificlr lo¡ d¡tos crptrralosr digitendo'};
ItlIELi¡{' el ¡úr:ro de lih y tolurn¡ ¡ r¡rbi¡r.'};HIIt[ll;
lRlTtlll{' f.- tirrrlrenie, te ruestr¿ l¡ r¡tril resllt¡tttc.'l¡fRIIEII;
nlfttllt' Presione enter prrr coatinu¡r'l; rerdln; rlrscr;
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[tR$C[;lRITEtll(' llñlRIZil|llttülDñ'];r*lltLll;
ntlttll{'Present¡ l¡ r¡tri¡ originrl, clyos drtos hrn sido c¡lt¡r¡do¡ tor')¡
lilIELll('el usulrio, agteqrndo ¡l ledo deretho ottr mtrit.'l¡ ttllELll;
lilltlt{('Los prms r reguir prra rerlilrr estr opciór son: 'l¡ ltllELll¡
fRtIELllt' l.- Ingre¡r el ntrero de de¡imles prrr los d¡tos ¡ vi¡u¡lil¡r 'li t[llEl']l;
mlltlll{'?.- Ingresrr fihs y colnrnrs de l¿ ratri¡ del l¡do iI¡uierdo'};
ffitftL*{' P¡r¡ contitrrr s* üebe presion¡r l¡ trcl¡ enter.'}i lRlIttH;
lfiIltttl(' fl ¡úrero de fil¡s y de columrs v¡lido es h¡st¡ {0.' }¡ lfilltll{;
tRIItLlt{'3.- Crplurrr lo¡ detos ¡rrr lr ütrir del l¡do irqlierdo,'lilRlTtlll;
tRlltlll('1.- $i se deser, se gueden mdifitrr lo¡ ú¡tos crptunúosr digitlndo');
lfillttllt' el nürsro de file ¡ tol¡me r tuiirr.'l¡ rritelr¡
lRIIttH(' Pre:ione enter prra coatinurr'l¡ readln¡ clrscr¡
Ctft$CR;lRIIt[tl{' lltltlZlUllE}lltDl'}¡lRIIEttl;
lRlTttll{' !.- Ingresrr lilu
y columrs de h ¡¡lri¡ del l¿do deretho'};
nlftlH(' l¡rr conti¡u¡r se drbe prerion¡r l¡ tecl¡ enter"!i IRIIELII;
l*ITttll(' El nürero de fil¡s ¡ de rolurnar v¡lido as h¡st¡ 10.' l; HIIELI{;
mllttl{('ó.- [apluru los d¡tos prn le mtrit del hdo deretlo.']¡Illltlfl¡
nlfEH('7.- $i se d83u, se pueden mdificrr los d¿tos cr¡turrdorr diqitrúo');
mllEtll{' el rúrero üe fih y tohr¡¡ ¡ culi¡r"]¡fllltlll;
tRIlEtllt' 8.- Fi¡¡lmntt, re ruestre l¡ r¡trit ¿u¡e¡t¡d¡.'l;llllftl;
mllttll{' Pr$ione elier 0rr¡ continurr'}; rerdlr; cltrrr;
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(tftttttilttüfltfillill$lltiltfltlfttlttlltfttllllllfülllülllttlttlllttltll
PRüütDlfRt 0PtMH0l[31
tt P[0cEDrillE$0 Ptt[ EFEcIl|tf, 0Ptlffil0llts cil ilrtl0ts DE rRlffif0[llAcl0H t]

PR0CEDUII llllilt 0Rl0llltti

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CtftStfi; llllEttl{' IrftR0lltD¡0 Dt fltt$ Et lflt iáIRII 'l;lf,lltlili
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tnves de estr opción el usu¡rio porür tnbirr
ItllELt('lil¡.' ); ltllEtll;
tttIELI{'l.os ¡rsos r regnir prrr rerlilrr ertr o¡riÓn sor: '}; l*llEtll¡
f*lIELX{' l.- Crgturrr el nlrero de fil¡ inicirl que re deser i¡tert¡rüirr.'};l[llEtll;
ffilfEtH(' ?.- Crplurar el nürero üe fih por l¡ tuel se üese¡ inlrrr¡rli¡r l¡')i
mlftlü{' ¡nterior fil¡. '}¡ tf,lltlll;
l*lltLl(' $i el nürero úe file ¡ intrrcubirr. es r¡Jor ¡l rürero l¿' li
fnllilll{' fil¡s de lr mtrir, rparecerl un rens¡je qte lsi lo indic¡rl'l;
n¡ftlfi(' P¡r¡ conlinu¡r presiole rntrr y nueYmelte reptrrc el rümro'l;
ilIIEU{' de l¡ lil¡
'}; ffilrEt}l;
IRIIELII{'3.- I co¡tinu¡ci0n ¡e rue¡tr¡ l¡ ¡¡tri¡ origiorl ¡ luego la r¡triI'}¡
mlfEtil(' res¡lt¡nt¡.'l; lHfttfli
mlI[LI{' Prssione enter prn tontinurr'}¡ rerdln; cltscr¡
E}ID;

ü sE Pl$fi Los mr0s DE [t llñIuz I {0nl8lst} t tt itrllt 3l}

llSG;= '0PEttCl0H r lffiEf0lllüI0 Dt t¡tl$ DE lllll lttlill'; iEl$t'ltl{l};
fOft tltt:=l I0 I l0
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It[IRIt3[f ILt, C0Llflll$l ¡=lltlllll It lLt'ü0tlllllll] ¡

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lilTELll¡lf,llttl¡ TRITE {'lilIEtillt¡ltR FItt tff0 : '}; RtfrDl.lltFItAll¡

It {flttl}01 f,l{D {tltf,l(=l} fffiil TE*illll:=Fñ[$E
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 *illEil'l; H[¡TEt]¡{'}lUlEftü !E FItt A IHItÍCAlllli[ Ill00[[EtT0'lr
mlftt'PRESI0I{E EilTEn PA*t C0flflil||AR 'f; fEADtl{l
$0;
Ell0¡
ffi IfEt[; Itfllllllt::Itllt;
fliltt rtfifl¡M E0

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It {tllát}0) ill (tlLl2(=l} IllEll lttlllllt:=tt[$t
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BTEI}I
llSG:='lilfllER0 DE FlLA I lllf tl0tllBltt Illü0R*tCI0' ; ttEll$tJEl l2] ;
rftlrEtill' 0Pt*ttl0ll : IlllEt0tllSl0 Dt tltA$ DE llllA illtll ');
lRllELll;illftL[; t*llEtll ('lnEn[tiltltt fltl l{t0 :',tlLtl}; IRIIEtH;
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lRIIEtll; nlrilil{'Plt$10[ EIIEI Pffit [Olllltlfffi ')i
ItADLII:
Ell0¡
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EII; {l tlll EEt Pn00tlllllEtr0 Plil ll¡lEt0tlllllt rlü$ f)

(ü||||ililülililtf f ltf tüüf tf f rf türf f türf ltuf Hnilf ttf ilütf f f tttf ür )

Pn0cEil,Rt rü[I_fIü$;
BEBIII

{f iüLilPucfrct0}¡ DE lfilt ilLt EtItRüntDñ PoR u üslftnl0 Pol uitEs0rttft r}

lllfDA:rl¡ llS0:={'lllfllIPtlClCI0ll DE llllfr fltt P0[ |Jll tS0tLAR']¡

ItAYlfDi=lllltll
8E$IH
üLRSCI¡ ltlltLll{'lllllllPtl0t0l0l !t t|H tltl
P0R üll i$CtLt[']¡f$ltLll¡

tllf[L[t't treves de estr opción el usu¡rio puede rultiglicar lnr '];

fRIltllf{'detet¡i¡¡d¡ lil¡
por un escrlar.' tRIIEtl{; !;
llllEll{{'Los paros r seguir perr rerlirar estr opción son¡ illlEllli 'lt
lRIIEtl{l'1.- taplunr el nürero de lil¡
¡ rultiglinr por rl escrhr.'l;ltllElt{r
fftlfilil(' 5i el núrero le fil¡ es myor rl núrero ds fil¡s úe l¡ r¿tri¡' );
mlfElil(' rprrererl un ¡ens¿je que rsí lo inúic¡rá. 'l;
lRllttll{' P¿r¡ coltiru¡r gresione eoter y nreymenle crphre el númro'};
lRIIEtl{(' de l¡ fil¡ '}; lRlIELT;
ffillttll{' 2.- Ingresrr el escel¡r.'}¡ lBITEtll;
mlltttl{'3.- I rontinu¡ciór se nestr¡ l¡ mtril oriqioal y lueqo h mtril'}¡
IRITELII(' resultute.'l; ffilTtH;

IRlfElilt' Presione etter parr conlinurr'); rerdh; rlrscr;

$ü;

It$llllt:=IHft¡
riltE Iilililtá
 llSff:" 0Pttttl0ll: lllftllPll[tilüll ]E lJtt iltf, ?ü[ |Jll EStñt*R '¡itEllSAJEl{i}i
tRIIELII;ltlHll; lrllE {'liltnt5t l{R0 DE t* FILi t llütllPtl0*R : 'i;
Rttltll{tltAlli Ir {fltñl}01 frllD tFI[ál(=l] II|E]I ltfilll$l:=tñL$t
ELSI
tt0lfl ll$8r='llfllm0 lt tltl Ill[0Rtt[I0' ;lltll$utl {2} ; t}10;
$lD;

Itllttll¡ fillt ('lllttE$t tt E$[il.ffi {llUlEl0l : '); lttDtll {t$tlLt};llñlftlZ 0Rl0llltt¡

(f EFtcr|Jt [t itftl¡Pltmc¡0il fl
f0n ruUillt := I I0 I tr0
llAltltlttlLtl,C0tUlllül ::llArftlllIFIIAl,C0t|lllllt]ltS0ltt;
it|Eslnñ_ttrlRlt{t,' t' ) ;

EtlD; lf t¡Mt PR0[tDllllEllI0 PtRá llütllrulttft üm fltl P0R tf]l t$tátñl l]

{ ll$f llfi lülnil$|ilü$tf $tf tf üüiltf f tf rf üüilf ütf tttilf tf üilttf tf I

PR0CEDI|IE Süil_flH$;
ff0il{
{t süilt Í uEcE$ Lt flrñ 0 fr Lt fltr P DADts p0t tt ü$ü*il0 t)

AY||Dn:=?i ll$S¡='$lfllA[ t tt0t$ LÍ FILñ q t Ll fltt p';lltllSAltl(l);

Ifllt|Eá=llllEll
rEilt{
Ct[S[t¡ lllltll('S|llllR t Uttt$ Lt tltt q t Lá tltA I '];lRllEtil;
t*lfELll('t lr¿ves de erta opción el ¡su¡rio purde rultiplicrr us¡'li
lfilltlI('deterriord¡ fil¡ ¡or tn esnlrr ¡ lueqo sumrsele ¡ lr lil¡ leseal¡.' li ltlltU;
tlllttll{'[ol prsos r se¡rir prn realirrr ertr opcidn son: ']; ltlltlll;
fnlTEtll{' l.- Ilqrenr el esr¡l¡r ¡or el rurl se rultiglicrrl.'}; illfElil;
mlIELt{' 2.- Crptunr el ohero de fil¡ ¡ rulti¡liclr por el rsolrr.'};lilIEttl;
l*llEtlf('3.- 0rptnrrr el nümro de filr ¡ l¡ ru¿l se le ¡¡r¡rl el rnterior'!;
nlfil||(' produclo.');$llttll;
ItllEttl(' $i el r0¡ero ds fil¡ e¡ nyor rl núrero de lil¡s de l¡ nlril' li
lilIEtll{' rprrecerl u¡ rers¡je qre ¿¡i lo inlic¡rl. '};
lillttH{' P¡r¡ co¡tinu¡r presione etler y luelmente ceptlrr el Elnro'}¡
mllfl.ll(' de le fil¡ 'l; lHütl¡
illTtLll{'I.- I rorti¡r¡ciúo se rnerlr¡ l¡ ratri¡ oriqiml y lneqc h r¡tril'};
nlfttHl' rrsultrnte.'l¡ illfEH;

flllttH{' Presione entrr prra roltinuar'l; rerdln¡ clrscr;

$fE;

llSE¡='0PE*tCI0ll: $UlltÍ i IECE$ tt tllá q t LA fllr p '¡l[lt$tJtt(t);

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IRIII{'llffiRE$E tL t$Cilfrn mR tt CUiL DEStt ll0tllPtl0ffi : '); tEáDtlllE$[ALr!;
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t010n{0,óli ttllttll('üPtt[CI0ll: SUlltt I vEtt$ tt tltl q t Lñ rttt I ');
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tLR$üR: ltllttll{' I$flCtllll0lt t0Lüüllil$ Dt ||lü ltfll*lZ '};lRlltl.il¡
Itllttll('l tr¿ves üe estr opción rl u¡uario pude nrbiar un¿ colurn¡ gor otr¡'li
lRIlttll{'rolurn¡.' ); tRlltLll;
llllEtl{'Los prsor r seguir prrr rerlinr estr ogción sonl '}; ffilfiL[;
nlItLl{' t.- Crgtrrrr el nürero de l¡ tolurn¡ inirill que ¡e de¡er i¡isr¡¡¡birr.'};lf,llttt{;
ItlTtLt('?,- [r¡torrr el núrero de colurn¡ por h rul s¡ úesr¿ intercrüirr h'l;
HIftLI(' aEterior {ilü. '}i illftlfl;
IRIIELII{' $i el nürero de colum¡ a interc¿rbi¡r, ?s r¿l0r ¡l ¡ümro de' l:
lRllttlll' fil¡s de l¡ colum¡s de lr rairir, rgrrer*rá rn r¡ns¡je que rsi Io indic¡rl')¡
lllfttil(' P¡re co¡ti¡s¿r presionr enler y nurvuente rapture rl núrero'f;
ffillttil{' de l¡ c¡lu¡n¡'}i lRllttll¡
tnlIEtX(' 3.- f, continr¿rión se rue¡tr¡ l¡ r¡trit originrl ¡ luego h r¿tril'l;
t*llEtllt' resultuh.')¡ tFIltUl;
tilIELll(' Presione rnter prra continuar'!; rmdlni clrscr;
Eilt;

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PI0CEDüRI llULl C0[üllllt¡

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{r ül|rr¡Pllcrcl0ll Et |llü ü0tüllill DtltnilillEt PoR tt tl$ünl0 fl
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Cl.ffi[h rrlltLlll'lltltllPtl0t0l0ll Et |Jl$ C0tüllm Pm üil t$Cttlfl']itftllttfl;
fnlftlfl{'t ir¡ves de estr opciót rl usuerio eteae rultitlicrr tnr '};
nlltUl{'deteni¡rd¡ colu¡r por rn tsttlrr.' ltlltlll; };
l*lltltl('Los ¡rsos r se¡uir ¡rra rorlitrr ertr ogtión son: 'l; illltLll;
IlllELllt'1,'Cr¡turar el rürero de tolu¡¡¡ r rultiplicrr por el ercelrr.')¡ffilfttlli
ffilfEH{' Si el núrero úe rolu¡r¡ es r¿loi ¡l atrero de colml¡s de l¡ ¡atri¡' ll
tRllttll{' rprrertrl ¡n re¡s¡je que asi lo isdic¡tl. 'l;
nlfEtfl{' P¡ra ¡ortisu¿r presionr etter y nu*areete trpture el nürero'l;
tlllttll{' üp l¡ rolrm¡ 'l; tRIIEl.l{i
ffiITEtll{' l.- lngresrr el esnlrr,'}; lillELll¡
mllttllt'3.- I conti¡ueciól se mestr¿ l¡ r¡tri¡ ori¡inrl y luego lr r¡tri¡')i
mllttil(' res¡lt¡nte.'l; tRIÍELl;

lRIlttll{' Prrsione enter prrr rorii¡u¡r'}! readlni clrrtr;

EIDi

Itflllllh=Ilüt;
ililtt rElfililt D0

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ll$t:.'0Pt[ñClffi ¡ llUtIIPLICl0l0ll DE üllt mtüilü POn UH ESCfrtñt '¡llEltAlEl(l]¡
lRIltLtl;lRlTtLI;
IRIIE{'l}l0tt$t It0 Et tl ml|Jilli lll,[IIPLI[tR ']ilEtlLll{ffitt|il$ll;
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It tC0Llllllül)01 lt{D (C0tUtllAl('J) fil$l
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lt$lll ll5Er''lüflltt0 DE [0lülll$ Itl00ffitelü' ; itilSá¡tl {¿l ;tA;
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(t tFEcItt u ill|tilPuilctil r)
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lltlRII I It lLt,C0lüütltl J ¡:ffif ¡¡¡l [t ILt,C0tllllltl]lES[tLl ¡
ilutsl*t_iltrRlztt,' t' l¡
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üfi$üüt|$ffiilfrülilfr$rütf tfü$$tl|tfilillllf lf tf ff lülillillfiill

PR00EDlttE $ültt c0ilffiltt;
lESllf
f,Y|JDñ:=l¡ ñ$G:='$|JilAF [ {tCtS Li CüLlttlllA q A LA C0tüllill p '¡lttll$lüflltil
ItAflJlA=llllEtl
BE$lll
ttflSt*¡ illltLil('sltllAn I YtCEs Lf, C0t||llHl q t Ll ü0tllllll¡ I '];lRIlELlli
lftlftlil{'l tr¡ues de estr o¡ción el u¡¡¡rio ¡uede rultiplicrr mr '};
tf,lI[LI{'üsterrin¡d¡ ¡olurn¡ por ur estrlrr y heqo sunrsel¡ ¡ l¡'}; lllTtlll;
tRIIELII(' rolurn¡ dgsr¿.' I ¡lRIl[Ul;

lillELI{'Los r sequir prrr rulitrr estr opci0n son: 'li illlEtll¡

prsos
nlfELil{' l.'tn¡resrr el r¡c¡l¡r por el curl se rultiglicrrl.'}t lftllEt]l¡
mllEtll{'2.- tr¡lurrr el núrero de rolurn¡ r rnlliplicrr ¡or el escrlrr.'}itRlltLll¡
IRIltLll{'3.- Crgiurrr el nümro de tolurne ¿ fu cu¡l se le srr¡rl el rnterior 'l;
lf,lTttlll' prodrtlo.')¡filIttll¡
Itllttll(' Si el t0mro de col¡rn¡ es r¡tor ¿l ¡ümro de lil¡s dr lr mtrit' )¡
lRllttll{' rpareterá un re¡:¡je que rsí lo i¡dic¡rl. 'li
lfillEtll{' P¡r¡ coltinu¡r ¡resionr eRter y nurYmen{e crptrre el ltrero'l;
IRIIEII{' de l¡ fil¡ 'l; ffilft$;
ffitftlf('3.- I tontitu¡ción ¡p ruestr¡ l¡ r¡tri¡ originrl y luego lr r¡lri¡')i
fRITttll{' resrltrnte.')¡ lRlI[LI;

mlftH(' Presiote enter grrr contirurr'l; ruüln; rlrstr;

tllD¡

tlSt¡='0PfttCIN : $ülltR I UtttS tl C0tülllt ¡ t tt C0Lülllü ¡ ';lltlfiñttl(l);

tRIltl.l{;t*lTtU{;
ItRlllM:=IRUti l*lTE('tlltfit$t Et tSCALtf; P0[ tt Ct|iL ]EStl llULIIPtlCt[ : '];
lEmLiltsmrr];

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lilttt lEnitm E0
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t*llt('IffiÍt$E Lt ü0Llfllm {q) t Itt|tUPLI[rn POn tL tt0tttR ¡ 'l;
RilDLil{C0tUil}tilI;
It (C0ttflllltt)0) tllE {C0tlfllttl(=I} lflttl
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rRIIttll;lRIftLil;
IR¡ltLll('ltttE$t Et ESCñ1ffi ?|lft tt Cütt EESET ilütrlnl0*f, :
$tD; "E$ttLt:l:0];
EllEi
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tnlrEtil(' 0Ptnff¡0ll ¡ SUttlR Í YtCt$ Lt ü01üllü q á tA tütülll p '!;
tRlIEtll;tRlIttll;
mlfEtilf'lll$m$ ft t$Ctttf, fOn Et Cl|tt Dt$tA ltulllPtl0tl :
rRIIELll('lll$ffSt Lt C0tüll¡ll (ql t llütllPtl0lR P0t EL EStttl: ',C0[üiilcl];
"t$Cf,Ll:{:0};
filrE[il;
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IFIII|Dñ=lllltl
m0til
tLffi[h ffi tltlll('0PEnffi I0llES C0ll lltllt0t$ DE Inffi$t0filláCl0ll' ) ;lfllTEttl;
lRITEttlt'ltedi¡nte rstr opciún se perriten re¿lil¡r cperrtiones elereltrhs de'l¡
ttlltll('lil¡ o tolurnl, les cu¡les se pueden srletion¡r del ¡rheru de'];
nlfEtl('0¡enciones ton utrites de tr¡nslorl¡tión' ' l; lflIlttll;
lRIItLtl('l¡ici¡lmnte se dele cr¡trrrr los d¡to¡ de l¡ mtri¡ solre l¡ ')¡
tttTELlll'n¡l se re¡lit¡r¡n l¡s diferenter opencioner ¡ loego selettionrr lr'!;
IIIIELII('operarión dese¡d¡.'); ltllElll;$lf$I¡
lilTEtt{{' Presione rnter prrr rotttinu¡r'}¡ rerdln; clrscr;
EllDi

l{llt:=Ilfll Dtilllll¡ DtI0S_llURltl'I']; IIJIltlt ¡= 0;

iltLE ruIlilr t) I D0 8tilll
üIRSCI; 80l0il{0,{};
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(t poceditirato tesgerlivo l!¡
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rntrEtl{' c0fiP0[ácl0il ülllutR$llmlA ilI0llllls Dt 0cclDtHt '};
t*llttll¡
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IRIIEI.I;lRlTttll¡
IntTtLr¡{' l. ¡ffinE$ffi lffq0S mI05 'i; ffillttll;
ntrtrlt' ?. PAnIICl0t llmlt0HlL 'l; lRIrtLI;
WTBil(' 3. PAlltH0ll WRrl[tL ']; lRIItUl;
ntrillr{' {. SITIT AL üEIIIJ PRTI$IPTL '};
lRIIttll;t*llttll; lf IIELI¡|f, I IELII;

lft Il[$(' ==:===::33:::==::3:3=E::33:33:::::::=3:33::=::3s3:: 'li

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BEOIII

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It (tt|llilr(ll tl¡D (RüflilÍ)l) IllEll $rlM := 0i
tllD;(t fi¡ de l¡ rutin¡ p¡r¡ rolp¡r¡r si lr opción es tottectr l)¡
(l Ee ¡tuerdo r h ogcion totrdr, rl lrql¡m eovi¡ el coatrol ¡ ü!;
(l Drocsdirietio terpettiYo l);
It Plr AllD Pu lll$¡
Bt0ll{
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PR0CIEüRE tft0ll; (f lruil$l0ll Dt f[0I'S Dt ll]l D[ EIl0Rt ll
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Inlfilil{'ñedirnte otciür el usu¡rio invierte unr ntril gor el retodo'};
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I¡IIELII{'üe fror,' }i fflrELfli
IIIIELI('l¡d¡ l¡ r¡tri¡ l, cuyor drtor crpturr el l:ulrio, se prerertr'|;
tRIIELII('u¡¿ r¡tri¡ result¡üo despres de h¡Der efectu¡do l¡ o0ereciÓ¡:'l:lRlTE[ll¡
tRIIttl(' lii = zii - tit - zti / zkk 'l;
rfllltUl('donde tkk e¡t¡ iotluid¡ en lor drtos cr¡trrrdol ¡or el usmrio.'l¡fftllElll;
ItlltLI{' Presiote eller prn continu¡r'}i re¡dll¡¡ clr¡rri
CtflSCR¡lRIIEtll(' IIIUER$l0ll DE tR0l| ');lRllttll;
Ittltill{'tos pmot qüe se deben elettu¡r 500: '}i IRIIELII;
rBITEill('t.- Crptrrar el ¡úmro de detir¡les e utili¡¡r,'l;lRIIELll;
lRIIELt{'2.- lrgrenr pl nünro de fil¡s de l¡ illfELil; r¡tri¡.'};
rllTEtI{'3.- Iogresrr el rúrero de col¡m¡s.'littliltll¡
lRllttlt('1.- Crptutar los d¡iosde l¡ IRIIILI; r¡tri¡.');
TRIIELII{'1.'Si ss de:et, se ¡uedrn rodificrr lcs d¡to¡ capturrdos inqrenndo'}¡
tRlTttll(' el nürero üe lilr ¡ de tolumr.'); illftt|l¡
rilftLl('ú.- [in¡he¡tpr se ilestÍt la r¡tri¡ re¡llt¿do. 'l;rriteln;
nlltlll{' Prr¡ione elter prrr contiourr'}; rerdln; cltscr;
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lRIItl,H('Los prsos qüe se dslen re¡lir¡r son: lRlltLll; 'l;
r[tIELil{'t.- Cr¡turar el núrero de decir¿les ¡ utili¡er.'}¡ffilfElili
IRIIEII{'2.- lnqreser el nürero de filrs y colornrs dcl Yector I y de h'li
ffilfglil(' r¡tri¡ á. ');tHril;
mlltl]l('3.'Drpturrr lo¡ d¡to¡ del vrttor I ¡ de h r¡tri¡ l.'l¡ lSlIELll;
r[tIELIl'3.- $i se drsar,:e gleden rodifir¡r lss l¡to¡ crpturrdos i¡gres¡ndo');
I*ltEtll(' el ntmro te fih y de tolurer.'l; lRIItLtl;
rftlltlll{'ó.- filrlmnte, ¡e r¡sgtr¡ l¡s r¡trite¡ Lr ll '}f
l¡ r¡tri¡ result¡do e¡
lRtlttllt' los vetores I,l'l;
y rrileh;
tllfElil{' Presions enter prrr continr¡r'}¡ rerdln; clrscr;
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lilIElil('A tr¡ves de estr optióo t8 5ur¡0 do¡ r¿trice¡ t y I de igttl'!i
fillEltl(' úimnsión' I ; fi lftlll;
ItlIEtI('Los prsos r segnir prrr rerlilrr estr optiün ¡o¡: 'l¡ tllfEtH;
fnlltLlll' l.- Inqre¡r el núrero de decilles ¡rrr los d¡toc ¡ Yisurlitar '); l[lIELt;
IRIIELII{' ?.' Ingresrr el nú¡ero de fil¡s 7 coluurs '}¡
tflTELll(' [cte nümro es el risro prrr h mtrit I7lr ntrir E.'l;
l*Iltttl(' P¡¡¡ coEtinu¡r se debe prerioorr l¡ tecl¡ mler.'); lRllttll¡
IIIIELI|{' El nt¡ero de fil¿s y de tolumrs v¡lido e¡ hest¡ {0.' l¡ lflllEltl¡
IRtlttll{'3,- Capturrr los d¡to¡ prtr lrs utrice¡ t I t.'lilRllEtll¡
ItlIELll{'{.- Si se deser, se guedel rodifitrr lo¡ d¡tos ca¡turrdosr digitrndo'}¡
lf,llttll{' el türero de fil¡ y coln¡s¡ ¡ c¡rbi¡r.'}ilRlTt[ll;
tnllftl{'1.- Fiorlrente, ¡e ruestr¡ l¡ r¡triI result¡nte t | }'litf,llttlli
nlftLfl{' Presione enter prrr tonlinu¡r')¡ ruadln; clrstr;
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ItllE[il('üi¡e¡sióa']¡ fiIftLI;
ffillttlll'[os prsor r srqnir ¡rrr rerlirrr estr o¡tiún ¡or¡ 'l¡ tfillElll;
nllElll{' l.- Ingrenr el n0rero de decir¡l¡s ¡rrr lor d¡tos ¡ visurlitrt '}i lRIIttl{;
iltfEtilt' 2.- In¡rrsrr el ¡ürero üe fil¡s ¡ colrrnas 'li
lftllEtil{' [ste nürero es el risro grre lr mtrit t ¡ h rltrit [.'l;
nlfttlt' P¡r¡ to¡tilurr :e debe gresion¡r l¡ tecl¡ entet.'); tftllElll;
lRIIEtll(' El ntrero de fihs y de colrrnas v¿lido ss l¡st¡ f0.' ]; ffilltLt;
fRtltLll('3.- [rptrrrr lo¡ d¡las prrr lm uttire¡ I I 8.']¡ltllttl¡
nllEtllt'{.- $i se d¡lel, se pueden rodificar lo¡ d¡to¡ crpturrdorr di¡iteldo'};
IRIIELI{' el nü¡rro de fil¡ I colutn¡ ¡ c¡rDi¡r.'};lRIItLli
mlfELI{' l.- finalnnte, se me¡tr¿ l¡ r¿tri¡ result¡nle | - f'}¡l[llEL]l:
lilIttl(' Presio¡p elter prn coolinuar'!; rerdln; clrltr;
EI{D;

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tllttt (0PCI0| = 'S'l 0n (0PCI0ll = 's') E0 lE0lI
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t|ln mtüilml := I I0 J E0 8[$lll
tllltl := liltlnlZ tC[tlttl'C0Lülllltl] - illfilt ¡C[flllt't0tUltffill);
Illl$ :' (lllltlt t[Ulttl,C0illülül] - itrtll-{t[tlltl'C0ttjiiltllli
mfnlt l0ftlLll'C0tUillll] := tllIERi
llAltlt 20ltlLtl'C0tl|lllüll r= lü[$;
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$RIIttf{'tl ntrero dr fihs y úe colurnrs prrr rerlitrr esl¿ oper¡ció¡ es'};
ttllttl¡{'rl risro' )i illftLI;
IRIIELII{'tos puos r segrir prrr rerlitrr estr optión sm: '}; lf;lltth
ntfELil('1.- In¡resrr el nürero de Úrcir¡les prn lor d¿tos ¿ visr¿li¡¡r'!i t*lltLl{:
mlIEtI(' ?.- Irqrenr sl lúmro de fil¡: ')i
fRITEtll(' P¿r¡ continurr se debr gresior¡¡ h tetl¿ erter.'li lftllttll;
mlfEtH{' fl rúrero de fil¡s t de tol¡r¡¡¡ v¡lido es l¡¡rt¡ {0.' }; tRllElll;
InlTEtll{' 3.- C¡¡tur¿r lo¡ d¡tos prrr ll utrit á.'};l*llttl{;
lftlltttl{' l.- $i ¡e denr, :e ptelen roiificu lo¡ drtos crpturldos. diqitlndo'li
mlfttil(' el núrero de fil¡ I tolurn¡ ¡ c¡rbi¡r.'l;llllEtll;
l*llEtHt' 3,' Fiorlmte, se ru¡stn l¡ ntril resnlt¡nte 'lllftlIELN;
ffilfEH(' P¡e¡iooe erter grrr continurr')¡ rerdln; rlrscr;
$lD;

{r t¡ttl|lE illilrnts m DtsEt 6tfltRtR llts iltInlES l*lsPl,t$Il fl

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Pt0ffi0tlRt fiülI_PflP E$tñ[áe¡
94f, 8lEll0áf 0$ : [00LtAll;

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ItfrYlJ0t=llllEt
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Ct[$tRt lllltt]l{' lltJtIIPtlCtCIil Et ||llt lllltlZ POR t|ll E$[iltft'l¡l*lTE[]l;
fRIft[T{'t treves de ertr opción se efecto¡ el ¡toducto de un escrhr k'};
ntltlll{'Fr toúos los eluentos de nn¡ mtri¡'}¡ llllEtll¡
IRIIELII{'tos ¡rsos t reguir prrr rerlitrr estr o¡ciüo son: '}i t[lIELll¡
ffillnil(' l,- ln¡tesrr el nür¡ro de deti¡¡les grra los d¡tos ¡ visu¡li¡¡r 'li lllltLlli
ffilltLll{'?.'Ingresrr el nürero le files ¡ colurnrs'}¡
IRIfELil(' Per¡ continurr se dete prerioner l¡ tetl¡ enter.'li lRIItLll;
l[IfEtll{' El núrero dr fil¡s y de colure¡s v¡lido es h¡st¿ f0" }¡ tRlTtt}l;
f*lItLI(' I.-Crpturrr los d¡tos ¡rn la mtril t.'l¡l[lIEtH;
nllELll{'1.- $i se desel, re puedan rodifinr los d¡to¡ crpturrdosr digitlndo'ii
f*lEtll{' el n0rero de lih y colurn¿ ¿ rlr[ilr.'];lllltUl;
mlfttilt' l.- tinrhente, se ru¡str¡ l¡ ¡¡tri¡ result¡nte.')ilRIlElll;
mlltLll{' Presione enler prra roniituar'}¡ rudln; clrrcr¡
EIID ¡

{t EJtcl|rE ilttlTnils EtsEE llt|LIIPLlcñR llt$ lláfiIlts l];

|lPCIoil != '$'i
r[ItE (0P0l0ll = '$'] ffi (0PCI0H = '¡'l E0

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t0R t0tüllllt := I l0 J E0
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llllilt zCtt ILA, [0LUlllll] : =llñl*ll ZC[f ltt, C0LüllllA]tE$CñLá ;
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flt8_ill|L != l;
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If {0m10}l = '$'} ffi lOffil0t = 'll'} 0l t0PCIil = 's'l 0R (0Ptl0ll = 'n')
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EllD; DEt ClCt0 llltlfiti$ DtStE llUtIIPtlCAn itfRICtS l)
Ell0i (l tlll DtL ClCt0 plRt üUtrlnl[m iAIRICIS POt t$Cttil ll

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Dtfi$C*i l*llEtll{' iltrllt tl,ililrtDt'}; $llEtl|;
tfilTEtll('Present¡ l¡ r¡tri¡ oriqinll, n¡or drtos h¡n sido trptundos por'l;
fRIlELH{'el u¡u¡rio, rgregrndo ¡l l¡do dererho otr¡ retrir.'li tRIlELlli
Hflftt[(' 1.- Ingres¡r el nü¡ero de deci¡¡les prrr im d¡ls¡ ¿ visr¡li¡¡r ']¡ lÍlltllli
t*iltlil{'1.- Irgrrsrr filrs y tolurnrs de le rrtri¡ del hdo ilquieroo'};
lfitlEttl{' P¡re tontinu¡r se debe presion¡r l¡ totl¡ enter.'}; lf,lltlH;
ItlfEU(' El rürero de til¡s y de colurnrs Y¡lids e¡ l¡ast¡ {0.' }i lRlfilfl;
los drtos prrr h utril del l¡do itquirrdo.']¡ltlltLll;
ffilltttl('3.- [r¡turar
fRIfEtH{'1.- Si se de¡er, se pueden mdilinr los dato¡ trgturrios, üiqitmdo'};
l*tlEtll(' el n0rero de fih y colurn¡ ¡ nriirr.'); rriteh;
t*llttll{' Presione entrr prrr continu¿r')¡ rerdln; clrrcr¡
[tB$C[¡ lRIIEtll(' ilnltt|JlltllltEt');ttllEtll;
nlTELll{'1.- Ingrenr lihs ¡ colrmrs dr l¡ r¡tril del l¡do derecho'};
mlftlilt' P¡r¡ cmtinurr re deüe presior¡r l¡ lecl¡ entrr.'li filftlil;
lHfttilt' El núrero dc fihs y de colrrlas p¡lido es l¡sl¡ {0" }; ltlIELl{;
filtEtll(' ó.- üe¡turrr lo¡ d¡tos prrr lr mtrir del l¡do derecho.'lilftlltllli
ffilfRil('7.- $i ¡e lptet, ¡e ¡reden roúificrr los d¡to¡ crgtnndos, digitmd'o'!;
nlftü{(' el núrero de fil¡ I colurn¡ ¡ c¡rüi¡r.');l*lltlll;
fRIfttilt' 8.- Finrlmrte, s¡ ruestr¡ l¡ r¡tri¡ ¡urent¡d¡.'!;lRITtLl{;
fRllttt{' Pre¡ione anter parr continurr'}; re¡dl¡; tlrscri
tllD ¡

0Ptl0ll := '$';
II|ILI {0?0l0ll = '$') 0l {0Pü10il = 's'} E0

Et0ill
tLt$tl; llllü:=lllfll_DEtllttt;
0010fi(0'ó); Wrttil('ttrunill0ll üm ütln¡I ilüEilItDt 'l;
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Cl.t$Ct; 00I0IY(0,ó}; t*lltLll t'tt ilnlnlZ RESULIiD0 ts Lt $l8l|IilfE 'li ttlltLt;

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{ftilttüftiltilfüllllftütttülllfllftttlltftfftlllttlllttltltttltttltlllt}
PROCEDI|TT OPEf,frCIOIITS;

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PR0CED||R[ iililt 0*l$llllt;

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IrtIl{
Gl-f,$Ct; üllELll('LA lllltlZ ffil$Iltt E$ ¡')¡
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EllD; (t tlll Dtt ttüttDllllttll0 Pffit lt0$Iltft ilrltZ fl

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PR0CtDtl[E CiltBIt_fI$$;
{f Pn0etDtiltEfl0 Prtt cil¡nr ÍILts DE üllt mrÍ¡I DlDts PoR tt |Jsütftlo f)

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IFtYüDt:lTllEll
lt8il{
Ct[$C[¡ ttllELI{' llllER0tlltl0 DE TILAS lE üm ffiilIU'}¡tRlTttlll
ülTEtll('t tr¡yes de estr opción rl usu¡rio gnede crbiar un¡ fil¡ ¡or otrr'l¡
ffilrt[]l('til¡.' l; ltllEtll;
lRlltl.ll('tos puor r reguir prrr rerlinr ertr o¡ciün son: '!i ltllttll;
ffilf&il('1.- Caplnrrr ¿l nüroro de fil¡ inici¡l que re deser itterc¡rbi¡r.'l¡illfElfl;
|[Ilttll('2.- C¡ttur¡r el núre¡o de file por l¡ cu¡l se de¡r¡ interr¿rli¡r l¡')i
lRlfttll(' ¿nterior fil¡. '¡¡ lllEtll;
mlfElil{' 3i el nümro úe fil¡ ¡ iliercmbiart ?s r¡l0r rl lúrero de' }¡
tRITttT{' lil¡s de lr mtrit,
rprrecerá u¡ ree¡¿ie que lo indit¡rl'}; r:i
lRllttt(' P¡r¡ cooti¡u¡r presiole enter y nuevnente crptun el númro');
nlfEtl{' de l¡ fil¡ '}¡ ülftU{;
tRllEtll{'3,- A continr¡ciün re rurstr¡ l¡ r¡tri¡ ori¡inal y luego h r¡tri¡'li
lRIIttI(' re¡ult¡ote.'l; fRllEtil;
nlfttil(' Presio¡e elter prrr tontinurr'l¡ rerdh; tlrrrt;
Ell! ¡

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tLt$tt¡ 80l0ilt0,ó); ltlltltl('0PtltCI0r: l]lltl0tllBl0 DE tltñ DE ülü ltllfll '];
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ill,lEslnA_itTnt z (I , ' I ' );

tllD; {t Ílll EtL Pn0HDlllttHl0 Ptftt ll¡TERttlllltB tltA$ l}

{üntftttttttttffftfüillllfttüünlltflttillftütftttlltltllfllfltlttlltttI
PIOCEDURT IIüLI-FItT5;
[t6lll
(I III|LIIPLICTCIOI¡ EI I|IIT FILT DTIERIIIIIIEfr POR Et I|SI|TRIO I}
(r P0[ üil t$cilm t)

III|DI¡=?I lt$0:={'llllllIPLI[tC¡0ll Dt l|ll ttLfr P0[ l|r t$CtLtR'l;

IFtfüDá=lllltll
tE$nl
CL[$C[¡ ltllELl{'ltütrlPLlC*CI0I EE u}¡A tltfr P0[ llll t$CttAf,');tRIIELH;
lRtlEtll('t tr¡ve¡ el usu¡rio ¡rede rultiplic¡r unr 'li
de erta o¡tión
IRIIELH{'deierrinedr lil¡ ¡or tn escrlar.' f; IRIIELH;
ItlTELlt{'tos ¡uos r reqrir prrr rerlitar esir o¡ciún s00: 'l; tftlTELll¡
tlllttll{' l.- Cr¡lurar el nú¡ero de fil¡ ¡ rultiplit¡r por el r¡r¡l¡r.'}¡lflllEtlli
mllEtl¡{' $i el ntrero de fil¿ es rayor rl ¡ürero de fil¡s d¡ l¡ r¡trit' l;
lRITEtll{' rprreterl uR reils¡je que rsi lo indit¿rá. '}i
tRlltLll{' P¡r¡ conlinu¿r presionp enter y nnermente trpturr el núrero'};
tfillEtll{' de l¡ lil¡ 'l; lRIItLll¡
t*lTELI¡{' 2.- Ingresrr el esc¿l¿r.'}¡ IRITELII;
lRIItLll{'3.- I tontinr¡ción se rüestr¡ l¡ r¡tril originrl ¡ luego h miri¡'};
lRlIttH{' result¡nta.'}; lRIlEtfl;

lRllttl(' Pre¡ione enter prrr tsntiru¡r'l; rerdln; tlrrtr;

EllD ¡

IERllllll::IRUt;

TIIITE TENüIM DO

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t0I0II{0ró}; tflllEll{(' 0Pt*t0l0ll
üLRSCf,¡ : flUlllPtl0tül0ll Dt lftA tllt PüR Uil ESC$t[f ']i
lRlltlll;tllELll¡ rRITt ('lffinESE ilt0 DE tfr tltl I ll||tflPLICA[ ! ']i
Rtl0Lll(FlLtl I¡
It (tlttl)01 tllE (tlttl(=ll llltll Ttf,llltll:=Ft[$E
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EllD; tt ÍlI Dtt Pt0CED¡llltIl0 Pl[ñ lllltltPtl0tfi t|]lt tltl P0f( lffl tSCátfrR t]

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ütR$cR¡ t vt0t$ ti FI[t q t Lt tltt p '];lRIltL]l;

lilIELll('$Ullf,ft
f$lÍELllt't tr¡yes estr opción el us¡¡rio ¡urde rultiglitrr nta 'l;
de
lRIItLil('deterrinede fil¡ ¡or uo esnler y lne¡o sumrsel¡ ¡ l¡ fil¡ des¡¡d¡.' )l l*llEül¡
ff,llElil('Los prsos r seguir parr rerlilrr estr opciün son: 'li ltllELll;
l[IlEtll{'1.- Inqresrr el esrel¡r ¡or el tual se rultiplicar{.'}i lillttt'l;
mllEtll{'?.- Crpturrr el nürero de fil¡ ¡ rulti¡liclr por el escrler.')¡fRITEtll¡
tRllEtll{'3.- Crpturrr el núrero de lil¡ r l¡ cr¡l ¡r le su¡¡rl cl ¡nterior '};
tillEtl{{' groducto.'}lliltEl.ll;
lilfELll{' Si el nür¡ro de fil¡ e¡ rayor rl ¡úrero de lil¿s de le mttit' l¡
t*lIEtI{' rprrecerl nn reRs¡j¡ que rsi lo indic¿rl. ');
l*llttl{{' P¡r¡ continu¡r presione enter y ¡reyueole cr¡ture el rúrero'};
ffilrEtfl{' de l¡ fil¡ '}i lf;llttll;
fRIItLtll'J.- i contier¡ciün ¡e russtr¡ l¡ r¿lri¡ originel y lueqo la r¡tri¡'li
IRITELII{' resultrnte,'l; ltlIELll;

lftlltttf(' Presione rnler prre ronlinurr'!; rerdln¡ clrrtr¡

$fD;

ütt5tf,;0010il{0,ó}; ffilrEtl{' 0Ptlt0l0ll ¡ $flltft t Uttt$ tt tltl q t tñ tltá p ']¡

filItUl¡tillttll;

lERllllll¡=ltUt¡ illIEl'Iffifit$E tL E$ttLffi P0R tL CUil DISEñ llütllPtl[tft: '];

f,ElDtllttSCALl) ¡

ItRllffi:=fRffi;

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If (ttLl?)0) llt0 tFltA2t:ll lllEll lEflllt{t¡=fát$t
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CtR$Ct; filltltt(' IlllER0lllll0 DE C0LlJlllüS DE Ullt llAIflZ '];fi!rE[t;
In¡Ittll('á tr¡ves de esh opción el u¡u¡rio puede cerbirr un¡ coluln¡ ¡or otrr');
IRIIILI{l'tolurn¡" }; ffilltl}li
lRIIELlll'tos ¡rsos seguir prrr realiler estr opción son: ')¡ tRllttll;
r
tRtltttl('1.- Clpturrr el n[rero de la colum¡ inicirl qm ¡e dese¿ intercu[i¡r.'];lRlIELll;
l.- Crpturar el nü¡ero de tolurn¡ por h
|RITELII(' curl se lese¿ int¡rtmbi¡r l¡')i
filTELll{' ¿nterior til¡. 'l; ltlfttl{;
mlftt[(' $i el a0rero de col$n¡ r itlercmüirr' es üI0r ¿l nürero de' ];
tRIlELll(' lihs de l¡
columes de h mtrit, rparecerl un r¿ns¡ie que rsi lo indicarl')¡
l8lltlll(' P¡r¡ co¡tinu¡r presione tnter 7 nnevnente crpture el núrero'!;
lllltLll{' de l¡ rclu¡n¡'l¡ lf,llEtflr
lRITtLl{('tr.- C contiru¿ció¡ se ¡uestr¿ l¡ r¡tri¡ ori¡inrl y luego lr ratri¡'}i
tRlIEttl(' ¡erlll¡nte.')¡ illlEtll¡
lfillEtll{' Pregione entrr prra continu¡r'l; rerdlo; clrscri
r$;

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Inllttllt'f, tr¡ve¡ de estr o¡ción el ururrio puede rultiplitar unr '!¡
lnllEll{{'deterrirrd¡ rolurnr por un esc¡l¡r.' l[IIEt]l; };
lRIftL[{'tos prsos a seguir prn realitrr ertr optiún son: '}i tRIlELll;
lRITELllt'1.- [¡ttur¡r el sürero de colrro¡ a rultiplic¡r por el escrlrr.'lillll[t]l¡
lRt[Etll(' $i ¡l nürero ds üI0r ¡l nt¡ero de colu¡n¡s de l¡ ¡¡tri¡' li
tol¡ro¡ es
lftlltLll(' rparecrf rn renseis qre ari lo itdic¡rá. 'l;
mlfEil{' P¡r¡ rontinu¿r presionr enter y Ruev¿lelte crplurr el nürero'}¡
IRITELH{' de l¡ cohm¡ '}i lftlfElH;
nlTRll{' ?.- lngrenr el esr¿l¿r.'l¡ tRlltlll;
ItlIELlll'3.- I continu¿ción se ¡restr¡ l¿ r¡triz oriqirrl y luego lr utri¡'l¡
tnlIELN(' result¡nte.'!¡ IRIIELII;

ffillEtll(' Preeiore enter prn cuntinuar')¡ readln; clrscr;

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lilIEtt{¡ltllEl|{; tRITt{'l}l0lt$t N[0 DE tfr [ül|JltliA | ilt|tIIPLItA[ ']¡REá0Llf(C0Lt|lllill];
IF {tüLüllllÍl}01 tllD f C0tlllll{f, l(=l I llltll lElltlt{l¡ =ttL$t
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tt¡IllI z[[tl[A,C0Ll|t$ltl]:=llllfilZ ?Ctf ILI,C0il1üffi1]fi$ClLt;
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ill|E$Illl!áIRIU {1,'l' }¡
Elll¡

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(r $rjir r ftcts $ [0lüiilt 0 I Ll c0tullllt P DtDAs Pot Et l|slliRl0 ll
III,|EA:=?; ll$$:='Slltll[ I ttttS Ll [01üllllt q t Ll C0tljlll{t p ':llEtlStJEl{l};
Itfrf|Jlt=llllttl
Bt$il|
ütR$[*¡llllt$l('St|ilm MüES LA Cütül|ilt q I tt t0Lülllt p '];tRllEtll;
mtfElil{'l tr¡ves de estr opción el usu¡rio puede mltiplicrr une '};
IRIIELI('deterrin¡d¡ colu¡n¡ por un escrlrr y lueqo sumrseh I h'l; IRITELH;
lllIEUl{' coluro¿ decee.' I ;l*iTEUI;

llllELil{'Los prsos r seguir prrr rerlitar estr o¡ción son: lRlitlll; 'l;
nlft${' t.- Ingresar el est¡l¡r por el rurl se rulti0lit¡rÁ.'}; IRIIEI}|;
mlftLil('?.- Cr¡turar el ntrero de rolmn¡ r mltiplicrr por el estrhr.')ilf,llEtll¡
tttlElll('3.- trpturrr pl nú¡ero de colum¡ ¡ l¡ cu¡l se le ¡ur¡rf el rnterior')¡
nlftlil(' grodurto.'l;fRlIELll¡
ttllELll{' $i el ¡ürero de colum¡ e5 ritor ¡l nürero de filrs de h r¡tri¡' );
tf,lTELll{' rgarrcerá un rens¡je que rsi lo indicrá. '}¡
ItlTEtI(' P¡re coltiru¡r presione etler y rurrmrnte crpturc el ¡úrero'l¡
illltLll{' de l¡ fil¡ '}; t*llttlli
l*Ilttll{' 3.- I ronli¡u¡ció¡ ce ruestre l¡ r¡tri¡ oriqinrl y he¡o la r¡tri¡'}i
Iftfftt$' rrsultrnle.'l; lRlftLll¡

mlfEtil{' Presione enler prrr tonlinnrr'f; rerdln; clrstr;

$lD:

CLR$ü[; 60f0il{0,ól; ülrE[I{' 0Ptnml0}l : $lllllfl t VEttS Ll C0LütllA q i tA C0tUitá p 'l;

ItlIELll;lilIELll; ItHllllt:=Ilü[i
lRllt{'lffiRESt tt ES[[tñl P0n Et tt|il DÉ$tñ llljtltPl"l0lR : 'l; RilDttl{ESG$ttl¡
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filftLll;illltlll; $lrtLil('lffint$E Et tSCAtlÍ POR Et ül|lt DE$EA II|ILIIPLICII: ',E$ütil:fr0);
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lllIftl¡ ?CIf Itl,C0Lülllü2]:=lltfil¡ 2C[f Itñ,C0[Ulllllt]tlltltlt ?0[tl$,COLlÍlllAl]ttSCñtA;
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ttft$CR¡ lllltLll{'0PtllCI0}ltS C0}l illrRICE$ 0t Intil$f0*llttl0l'lilRllttll;
lRIltLll('üedi¡¡te rstr opción :r perriten re¿lirer ogerrriores ele¡e¡t¡les de'l;
I*IIEH('iile o colurRl, l¡s cu¡les se gurden sel¡cion¡r del ¡u[renu de' l;
lSlltLll('0per¡cione¡ con ütrices de tr¡nsforr¿tión. ' lRlItU{: );
ffilfElH('lniri¡lrente se deür n¡lurrr los d¡tos dp I¡ r¡trir so[re l¡']i
IRITELII{'cu¡l se rerli¡¿r¡n l¡¡ difereote¡ ogerrcioles ¡ lue¡o sekctiomr k'};
IRIIE[I{'ogenritu dese¡d¡,'}; tlllEtül¡l*lftLll
ttlltLl¡{' Prpsione erter prrr continu¡r'}; re¿dln¡ clrs¡ri
EllD¡

ILR$CR ; lülll: =tlUll_DtCIlllt ¡

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tltIEUr{' r. tnREsrR !frr0s Dt rü,t$t itrnlu 'ti
MIIEII{' 2. ITTIICTIIEIO ÍITIS
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tilItilfl' 4. 9ütffi | YEcEs l|lü ilLt A Oril FItá ')i

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IilItH(', l. ilfltftcilü¡I0 Dt $0ll|ürs5 ')i
mtrtil{' ú. il||tilPil[rct0il Dt |lilr c0ltlüM P0* ü1fi cOlr$rilrt'l:
$Irtlt(' 7. $üilt* I Yttts ulil [0il,il]rA t 0rRt t0lt|ililá 'ii
lRIIttll¡
TRITELH{' t. $ttt[ rL ifl{r Pfl}ütPrl '];
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------------------ ' l.
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lllltE { RI|IIT{Í : ü I 00 Ítt¡}l
60I0IY{?,01; tfllt{' 0igite la opción deseedr I 'l¡ fitf,D (FijIIllA]¡
It {R|Jfll{Aill }llD (Rürl$i0l Tlltll
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Ellh{t Fin rutin¡ P¡r¡ (0¡I¡r¡r ri la opciún es torrect¡ l};
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{l De ¡cuerdo r lr ogrion toudr, el erogr¡ri envi¿ el rontr¡l ¡ l}¡
(l procediriento respertivo l);

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3: lll|ll_fltA$¡
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5 : CfrlltlA C0Lllllffi¡
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I : [|JIIlfi := 8;
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PIOCED||RT PIftTICIOII:

{l PR0[tDIlllEtlI0 PtRt PARIItl0lltR lflü ilfrrRlZ : [$llñ L0S P[00EDlllltlll0s : t]

{r r.- P[Rilct0lr_||0nt¿0ilmt r]
(r t.- PilRll0l0il_ftRiltft f!
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nlIELll{'Et llüütRü DE fltl$ t$ I '}; fittDtll;
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Ell[¡ (t FI]l DE tt Ptf,Il0l0ll ilüAl¡0llltt l]

{ t|f tf tffi ü$f ünililtüililüüüt|tiltf rttf trilrüf ütrtf f tilf rfrrüu$ ]

PROIE'üRE PARTIOI|III-UEII ITAT ;
tfrt ltllP:lllIE$E[;
[Eill
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IF IJ}I IIITII
ItEIll
Pt$l_DtI0$¡ ll:=Il-li
lilIEtll('PlftTICl0t{ YERIl[il' ];lRIlELll;
ItllP:=l;
t0[ FI[A:=I I0 I E0
It6ill
fnllEtll{'tltñ | : ',FILi};
tOR C0Ll|llllt :=l I0 J E0
$0lll
lltlilt_I3[FItl,C0tülllhl:=llAItIl 3eIFItt,C0tlflll$l ;
lltl*ll_Illf ILi, C0lllltlül : =llllilZ_{CIt ILl,t{ltüüllál ;
tRlIt( ",lltTÍll_I3[tltt,C0U,llil*] r4 :tllfll] ¡
If fil¡Tnll-IltFllt,mLl|illltl ) 0l rffiil ffillt{'+'}i
tll lt (llllil Z-I{ltltfr , [0Lüll]tl : { ¡lillt } ¡ lf, llt {' J' } ;
lf Il ' [üLllll]lt TiltH tlllE(' i 'l;
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Elll; (t Fll{ DEL PR0C[DllllEllT0 PffiflCI0l{ IEftIICñt tl
$E6tll (t n${J Pr*r stltüil0mR tt IIP0 Dt pffiilcl0il - tt[II[tL il0Rtt0lutL il
[üllllñ := 0i CLRStft; tlüll:=llull_0ttllltt; Etl0$_lltlilI{'l'li TI:=l; lJ:=Ii
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DTTIH
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lR IIEItl( '=======::==:3===::::=:3:=::=:333:=:s::::=::::3==:::::=:::3:::::::3s::::r::=::::' ) ;
f[lf[[fl{ '::::::3::::::=:==::::::3::::3:::t:::::¡:::3::::::::!::::::::3::3:::::::::::=::=' } ;
miltUr(' [0*p0tt0¡0il lfilvtfi$tlfintt ilrüil0ilt Dt 0[t¡tflilE ,l¡
tllltUl¡
lf,llEtl{{' PAftTIH0ll Et ll*IRIeES '!i
ffilr$illlRIltlll¡
 HRI?tt!¡{', '}.. PlPIICl0ll t|0ftIiüt'fiát '';
HffItttlt' 3. PARllil0l{ utxliffit '!¡
lRIItLlf¡
TRITEU{{' {. sñLtR il. ttf¡ü P*IffitPti_ 'li
t*lrEtH;fRIlElll;
H*lfEtil;lilIttlli
lIlf[[fl{ '=::=::=::::::::::::=::=::::t::::::3:::3::=:=::::::=::::::33===3::=:::::=:::::= ' };
l[ l IELll{ ' =:====:::!::::::::3:::::3:::::::!:=:::=::::::;:::=:::::::::=::::::::::::::=::: 'l¡

HfIIlll := 0i
lllll.t ( [||Tlllt =0 ] !0 IEBIil
60f0H{?,0}i llllt{' ligite h op(ión d$e¡d¡ : 'li [EtE {tlflll$};
IF {llfllffifll il0 {nlfTliln}{} IllEll
l||IllA ¡= 0;
El{D;(l fin de l¡ rutil¡ g¡ri tül¡r¡r ri h opriún es corrert¡ l}i
(l le ¡crerdo r k opcion tomdr, el progt¡r¡ enyi¡ el control ¡ lli
(t lracpdiriento tespectivo l);
cl$ ntlTllil 0Í
I : Bt0lt
[Ll$Cf, ; lllfll:=l$ü_Et0llltt¡ 0U0$_itf Rltt' I' ] ; ll :=l i II:=l¡
$tD;
? : Pilrltl0l_l|0ftlZ0lllñt;
3 : Pl[Il0l0ll_UtllltAt;
{: R|lllili:= {;
tll0 ¡
EllD; {l FIll Dtt llttlll llltlllli9 l{ll SE SAL0A tt l}
PfttlltlPfrt
EllD: {t fll{ DEt rft0CtDIlllEII0 Íffi* Pttlltl0llAn Uilá iirnlt l}

PROCTDüRt TTOII;

fA[ t:lIIt6E[;
[E0ttl
tltlDt:=t; ü$0:={, IilUtffit0H EE tR0il 'l¡iE}l$tjt;
Ifnrüll=lII|EI{
}EGIH

Ct8$Cf,; lRllttll(' lllfE[SI0I Dt ll0ll ');fRllttll;

ffilftlil{'lledi¡nte esta opción el usu¡¡io i¡yierte un¡ ¡¡tri¡ Fr el retodo'li
fRllttl{('de lron.' li tHltlll¡
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IRIIELI{'{.- Crpturrr los d¡tos de l¿ r¡tri¡.'li filtEtll;
rf,llEtl{{'5.- Si se deser, se pueder mdific¿r lo¡ d¡to¡ n¡tnrrdos ingrrsando'}¡
fRlftt[(' el nürero de fil¡ I de rohr¡¡.']; t*llt[]l;
TRIIEUI('ó.- Finrhrnte, re rn¿str¡ result¡do. ')ilriteln;
l¡ r¡trir
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$lltlll('¡lrecen¡riento le drtos r h¡ves drl erprquelniento de un¡ lrttil')¡
lllltlll{'Lo¡ grsosprn rerlilrr estr optióo son: '}; tRtIE[ll;
r seqnir
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nlltLl{' P¡re ro¡linu¡r se drbe presion¡r l¡ tecl¡ enter"}i ltllELll¡
nlfELU' fl nürero de fil¿s ¡ úe colurnas v¡lido ps h¡Et¿ 10.' l¡ lRllEtll¡
$llttll(' 5.- $i se delel, ee puedm rodifitar los ü¡tos trpturrlos' liqitmdo'l¡
IRIIELII{' el nürero de fih y colu¡¡¡ ¡ c¿rbi¡r.'};lHlEUli
tRIIttH{'ó.- Uisu¡li¡¡r l¡¡ t¡bl¡s con l¡s curles úr gucder recotstruir l¡ ntril. 'li
IRIIEI-ll{' Prcsione enter grrr continurr'}¡ readln¡ clrstr¡
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TRIIEU{(',füt flt{ EH. P*0CtDIiltHü0 t$f'I;

tllD¡ (t Flll Dtl. PR0CEDIlllilr0 m EilPm||tltll¡tlll0 Dt lltTilCE$ tl

t ttf iltf üüilüfi tf illütf ||f f $lilf f üf tf r$rillf llll$lürtf f llllf lllüf lf ]

PROCEIUTE ECIITCI||$$-IT;

(r PR0ttDIrttHt0 Pñnr nE$0tuER $tsrtm Dt tcl|rclotEs rI = I l]

{r Pot tt rtloEo ¡rcouürü ll
utR
I,l,Ill:tf,ffir[tlLtll] 0t tE*t¡
lltRl,ll, I rlilft0tR;
9tREiD, ¡lEilEUOS,SI$E : l00lttl¡

m0tn
C[[$ül¡
ill|Dt:=2; lt$0¡={, tCU$totüS LIIIILES tI = ¡ '}; ilEil$áJt¡
IFllüDt:lllltl
It0ill
C|RSCI¡ IHTELI{' E[UtCI0l|tS Lllltltt3 ¡l =D '); t*lTtlll;
l*ITELll'Coro sr lorble lo ioditr, penite soluciomr rn sister¡ dr'];
flll[ltl'etu¡riooes line¡les fu ron n inrognitrs. ']¡
'h
rHfttt;

nlftlil{'Los prsor r seguir ¡rn rerlirrr este opriór ron: '}; lRlTtLil¡
ffiIftlfl{' l.- Ingresrr el nürero de dprir¡les prra los l¡tos ¡ uisu¡lirlr '}; lllltLll¡
ItllEtll('2.- trplurrr el núrero de incognitrs ¡ resolver. 'l¡ l*llEtt{;
lllfEtll(' 3.- Ingresrr c¡d¿ uno de los coefirientes ')¡t*lTEitli
tRlfEtil{' l.- 5e rüeslr¿n los d¿tos re desear se pueden 'l¡
n¡turrdos y ri
tilTEti{{' lodific¿r los d¡tss cepturrdos, digitlndo el nürero de fil¡'i;
nllEUl(' ¡ columr ¡ c¡rbi¡r.')illllEttli
tRllttllt'ó,- Diqitlr el otrsro ds iter¡rione¡ dese¡d¡¡ parr crltulrr l¡s lncolnit¡s'i¡
TRIIETII;
nlftlil{'7.- tinrhente, se presertr, plrr crdr itenciün, tad¡ un¡ de hs inrognitls");tlIItL}l;

tRlIELll{' Presione enter ¡rn continurr'}¡ rerdlr; tlrscr;

EIID;

Ct[$CtiltlIELHl' t[ülH0lt$ L¡lEtLts lll = [ '); IRIIILI;

lllf lt ¡=ll|Jll_DtC Iflil ;
lnlltt'lllsRE$E tt ll||lltl0 Et tcütCl0IE$ I lEsOLlEn 'f;REtDtll{r);
It []r llt$l
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InlrElil('IffinE$ tt lltlt¡l DE C0ttliltlllE9 'l; lRlTEttf¡
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