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    Ex. Parcial. Medida

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    YULIÑO HEYNER LEON FLORES
    Este documento presenta un examen parcial sobre la teoría de la medida con 4 preguntas. La primera pregunta pide demostrar que la función f1/n es medible y encontrar un conjunto E tal que el límite de la integral de f1/n sobre E es igual a μ(E). La segunda pregunta trata sobre la existencia y unicidad de la medida de Lebesgue y pide probar propiedades sobre conjuntos numerables y la integrabilidad de la función de Dirichlet. La tercera pregunta trata sobre la integral de funciones simples. Y la cuarta pregunta trata sobre

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    EX. PARCIAL. MEDIDA

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    Pregunta Nota

    2
    Universidad Nacional Santiago Antunez de Mayolo (UNASAM)
    Matemática 3
    Docente: MSc. Dik D. Lujerio Garcia. Fecha:
    Disciplina: Introducción a la teorı́a de la Medida. 4
    Nombre: Matrı́cula:
    5

    Total

    Examen Parcial Unidad II

    Todas las preguntas deveran contener sus respectivas justificaciones.

    01. (5,0 pts) Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida. Considere una función f : Ω → [0, 1] que es A -medible.
    a) Demuestre que, para todo n ∈ N, f 1/n es A -medible.
    b) Encuentre y describa un conjunto E ∈ A tal que:
    Z
    lim f 1/n dµ = µ(E).
    n→∞

    02. (5,0 pts) Para efectos prácticos en este curso, vamos asumir la existencia y unicidad de una medida
    µ : B → R tal que cuando E ∈ B es de la forma E = (a, b) se tiene que µ(E) = b − a. Esta medida es
    llamda frecuentemente llamada medida de Lebesgue o medidad de Borel.(B denota la Sigma Algebra de
    Borel de R).

    a) Sean X = R, σ(X) = B la sigma álgebra de Borel y µ la medida de Lebesgue. Pruebe que, si el


    conjunto E ∈ B es numerable, entonces µ(E) = 0.
    b) (Función de Dirichlet) Seja f : [0, 1] → R definida por
    
    1, se x ∈ [0, 1] ∩ (R\Q)
    f (x) =
    0, se x ∈ [0, 1] ∩ Q
    Z
    Pruebe que f es integrable a Lebesgue, es decir, existe f dµ donde µ es la medida de Lebesgue.
    Z
    (De hecho f dµ = 1. ) ¿Esta funcion es integráble a Riemann?. Justifique su respuesta!.

    03. (5,0 pts) Si la función simples ϕ ∈ M + (X, A) tiene la (no necesariamente standar) representación
    Xm
    ϕ= bk χFk , donde bk ∈ R y Fk ∈ A. Demuestre que
    k=1
    Z m
    X
    ϕdµ = bk µ(Fk )
    k=1
    .

    04. (5,0 pts) Si (X, A, µ) es un espacio de medida finita y si (fn )n es una sucesión de funciones de valores
    reales en M + (X, A), la cual converge uniformemente a una función f , entonces f ∈ M + (X, A) y además
    Z Z
    f dµ = lim fn dµ.

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