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Semana 02 Intervalos Confianza Estad PDF
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INTERVALO DE CONFIANZA
¡La universidad para todos!
ORIENTACIONES
CONTENIDOS TEMÁTICOS
OBJETIVOS
ESTIMACIÓN
Un estimador puntual es un estadístico
calculado a partir de información de la
muestra para estimar el parámetro
poblacional.
El objetivo de la estimación por intervalo es
aportar información de qué tan cerca se
encuentra
la estimación puntual, obtenida de la
muestra, del valor del parámetro poblacional.
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lim P 0
n
10
¡La universidad para todos!
P k k 1
Donde:
θ – Parámetro
– Estimador
1 – α =Nivel de confianza
K – Valor tabulado
– Desviación estándar del estimador
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¡La universidad para todos!
Distribución t-Student
Características
1) Esta distribución, es como la distribución z , una
distribución continua.
2) Es una distribución simétrica y con forma de campana.
3) No existe una sola distribución de t, mas bien una familia
de distribuciones de t. Todas las distribuciones de t tiene
media 0, pero sus desviaciones estándar difieren de
acuerdo al tamaño de la muestra, n.
4) La distribución t se extiende más y es más plana por el
centro que la distribución normal. Conforme se incrementa
el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la
distribución normal estándar, pues los errores que se
cometen al utilizar s para estimar σ disminuyen con
muestras más grandes.
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s
X Z / 2 X t / 2 ,n 1
n n
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S Tabla -t Student
x t / 2 ;( n 1)
n
0,09
0,32 t0 , 025;(101)
10
0,09
0,32 2,262
10
0,32 0,064
I ( m ) 0,256;0,384
Conclusión:
El fabricante puede estar seguro
(95% seguro) de que la
profundidad media de las cuerdas
oscila entre 0,256 y 0,384 28
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Solución:
I.C usando la dist – t (σ es desconocida)
S Conclusión:
x t / 2 ;( n 1)
n Resulta razonable que la
9,01 media poblacional sea de
49,35 t0, 025;( 201) $50.
20
9,01 El valor de $60 no se
49,35 2,093 encuentra en el intervalo de
4,47
confianza. De ahí que se
49,35 4,22
concluya que no es probable
Intervalo de confianza: que la media poblacional sea
I(µ)=[$45,13 ; $53,57] de $60. 30
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Aproximación de la Distribución
Normal a la Binomial
Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es
necesario cumplir con los siguientes supuestos:
p(1 p)
I ( ) p z / 2
n
Siendo, Z la distribución normal y p es la proporción de éxito.
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Ejercicio:
Con frecuencia un aumento en la proporción de ahorro
de los consumidores se relacionan con una falta de
confianza en la economía y se dice que es un indicador
de una tendencia recesiva. Un muestreo aleatorio de n=
200 cuentas de ahorra en una comunidad mostró un
incremento medio en los valores de las cuentas de
ahorro de 7,2% durante los últimos 12 meses, con una
desviación estándar de 5,6%.
• Estime el incremento porcentual medio de los valores
de las cuentas de ahorro durante los últimos 12 meses
de los depositantes en la comunidad.
• Encuentre el margen de error para su estimación.
Rpta: x = 7.2 % SE = 0,776
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N n p(1 p) N n
x p
n N 1 n N 1 36
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N n s N n
X Z X t
n N 1 n N 1
I.C. para la Proporción ()
p(1 p) N n
I ( ) p z
n N 1
38
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s N n
X t
n N 1
$75 250 40 $75 250 40
$450 t0 ,10 ,40 1 $450 1,685
40 250 1 40 250 1
$450 $19,98 0 ,8434 $450 $18,35
$431,65 $468,35
Es probable que la la media poblacional sea de más de $431.65 e inferior a $468.35.
En otras palabras, ¿la media de la población puede ser de $445? Sí, pero no es
probable que sea de $425. ¿Por qué? Por que el valor de $445 se encuentra dentro
del intervalo de confianza y $425 no pertenece al intervalo de confianza.
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tamaño reajustado :
zs
2
n0 n
n0
E 1
n0
N
Donde:
• E = el máximo error permitido.
• Z = el valor de z para el nivel de confianza deseado.
• S = es la desviación estándar de la muestra (para un
estudio piloto)
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Ejemplo
Un estudiante de administración pública desea determinar la
cantidad media que ganan al mes los miembros de los consejos
ciudadanos de las grandes ciudades. El error a calcular la media
debe ser inferior a $100, con un nivel de confianza del 95%. El
estudiante encontró un informe del Departamento del Trabajo en el
que la desviación estándar es de $1000. ¿Cuál es el tamaño de la
muestra que se requiere?
Z S
2
Solución:
n
E, el máximo error admisible, es $100 E
1,96 $1000
El valor de z para un nivel de confianza 2
de 95% es1,96.
El estimador de la desviación estándar es $100
$1000. (19,6) 2 384,16
385
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Ejemplo
Un grupo consumidor desea estimar la media del
cargo de electricidad por familia en Julio con un error
de $5 usando un nivel de confianza de 99%. ¿La
desviación estándar es estimada de estudios similares
la cual es $20? ¿Qué tan grande debe ser la muestra?
Solución:
E $5, S $20, 1 99%
2 2
z* s 2,58* 20
n 107
E 5
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Ejemplo
El Club American Kennel desea estimar la proporción de
niños que tiene como mascota a un perro. Si el club desea
que el margen de error sea del 3% de la proporción de la
población ¿cuantos niños tendrán que contactar?
Se requiere un nivel de confianza del 95% y el club
estimó que el 30% de los niños tiene un perro como
mascota.
Solución:
p 30%; q 70%; Z 0,05 / 2 1,96
2
1,96
n (0,30)(0,70) 897
0,03
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Ejemplo
Un estudiante desea estimar la
proporción de ciudades que
cuentan con recolectores de
basura privados. El estudiante
desea que el margen de error se
encuentre a 0,10 de la
proporción de la población, el
nivel de confianza deseado es
de 90%, y no se encuentra Solución:
disponible ningún estimador para p 0,5; q 0,5; Z 0,10 / 2 1,65
la proporción de la población. 2
1,65
¿Cuál es el tamaño de la n (0,5)(1 0,5) 68,0625
muestra? 0,10
n 69 ciudades.
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V d 1 2
2 2
NORMALES, 12 y 22 n1 n2 d2
CONOCIDAS, n1 y n2 n1 n2
d X1 X 2
CUALQUIER
TAMAÑO D m1 m 2
d D
II) MUESTRAS
TOMADAS DE DOS S1
2
S2
2
d ~ N D, S d
2
Pd Z / 2 Sd m1 m2 d Z / 2 Sd 1
POBLACIONES 12 y V d 2 2
n1 n2 S1 S
22 DESCONOCIDAS, Sd 2
2 2 2
S1 S
n1 y n2 GRANDES d X1 X 2 n1 n2 Sd 2
n1 n2
D m1 m 2
III) MUESTRAS d D d D
TOMADAS DE DOS
n1 1.S12 n2 1.S 2 2
Sd
~ t n1 n2 2 gl
P d t / 2 S p m1 m2 d t / 2 S p 1
POBLACIONES V d n 1.S12 n2 1.S 2 2
n1 n2 2 1
2
NORMALES, 12 y 22 Sd
n1 n2 2 t / 2 n1 n2 2 CON (n1+n2-2)
DESCONOCIDAS, n1 y d X1 X 2 GRADOS DE
n2 PEQUEÑAS 2 1 1
S p S d
2
D m1 m 2 LIBERTAD
12 = 2 2 n1 n2
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Ejemplo :
30 hombres y 50 Mujeres se presentaron a un examen para ocupar un
cargo: las mujeres obtienen una calificación promedio de 76 puntos
con una desviación estándar de 6, mientras que los hombres obtienen
una calificación promedio de 82 puntos con una desviación estándar
de 8. Halle un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de
medias.
Solución:
n1 = 30, n2 = 50, x1 = 82, x2 = 76 y s 1 = 8, s2 = 6
Como n1, n2 > 30 s1 = 1 y s 2 = 2
82 6 2
Sd 2,13 0,72 2,978
Se aplica 30 50
Px1 x2 Z / 2 S d m1 m2 x1 x2 Z / 2 Sd 1
Ejemplo:
Solución:
como : n1 n2
S12 S 2 2 1,14 2 0,66 2
Sd 2
0,08664 0,04356 0,1302
n1 n2 15 10
P 2,29 2,069 0,1302 m1 m2 2,29 2,069 0,1302 95%
P(1,54 m1 - m2 3,03) = 95 %
https://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/fi
cheros/cap02.pdf
¡La universidad para todos!
¡Gracias!