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    Documento 19 - Ley de Cosenos (1) - Unlocked

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    La ley de cosenos se puede utilizar para determinar un tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Se expresa como el cuadrado de un lado igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar la ley de cosenos para resolver problemas geométricos.

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    La ley de cosenos se puede utilizar para determinar un tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Se expresa como el cuadrado de un lado igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar la ley de cosenos para resolver problemas geométricos.

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    Ley de Cosenos 1

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    Documento 19- Ley de Cosenos (1)_unlocked

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    La ley de cosenos se puede utilizar para determinar un tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Se expresa como el cuadrado de un lado igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar la ley de cosenos para resolver problemas geométricos.

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    La ley de cosenos se puede utilizar para determinar un tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Se expresa como el cuadrado de un lado igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar la ley de cosenos para resolver problemas geométricos.

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    La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de Pitágoras

    aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo
    es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de
    estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este
    teorema al triángulo de la figura, obtenemos tres ecuaciones:

    Ley de los Cosenos

    Si ABC es un triángulo marcado en la forma


    acostumbrada, entones:
    2 2 2
    1. a = b + c – 2bccos
    2 2 2
    2. b = a + c – 2accos
    2 2 2
    3. c = a + b – 2abcos

    En forma resumida, podemos decir que la ley de cosenos se utiliza para determinar un
    tercer lado del triángulo, para utilizarla debemos contar con dos lados conocidos y el
    ángulo que se forma entre estos dos lados, ejemplos:

    Para el siguiente triangulo, determina cuál es el valor del otro lado dado que:

    Si te das cuenta, contamos con dos lados conocidos y el ángulo que se forma entre ellos.

    Despejando la fórmula para el lado C, tendríamos:

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    1
    La raíz cuadrada, se obtuvo despejando C2, recuerda que si está como potencia, pasa al
    otro lado como raíz.

    En el siguiente triángulo = 60°, b = 3m y c = 4m.

    Dados los dos lados y el ángulo incluido de un triángulo, podemos usar la ley de los
    cosenos para hallar el tercer lado, a continuación recurriremos a la ley de los senos y
    encontramos otro ángulo del triángulo. Siempre que se siga este procedimiento, es mejor
    determinar el ángulo opuesto al lado más corto, ya que siempre es agudo. De este modo
    evitamos la posibilidad de obtener dos soluciones cuando se despeja una ecuación
    trigonométrica que comprende ese ángulo, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Por
    supuesto que también se puede usar la ley de los cósenos para hallar otro ángulo.

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    Calcula las partes restantes del triángulo ABC si a = 5.0, c = 8.0, y  = 77°

    Solución: El triángulo aparece en la figura siguiente. Como  es el ángulo


    entre los lados a y c, comenzamos por calcular b (lado opuesto a ):

    b2 = a2 + c2 – 2ac cos Ley de los


    Cósenos

    = (5.0)2 + (8.0)2 – 2 (5.0) (8.0) cos 77° Sustituir con a, c y


    = 89 – 80 cos 77°  71.0 Simplificar y Calcular

    b  7.10  8.4 Tomar la Raíz Cuadrada

    Encontremos otro ángulo del triángulo mediante la ley de los senos. De acuerdo con las
    observaciones que preceden este ejemplo, aplicaremos la ley de los senos y hallaremos 
    puesto que es el ángulo opuesto al lado más corto, el cual es a.

    sen sen

    a b Ley de los Senos

    asen
    sen 
    b Despejar sen 

    5.0sen77
      0.5782
    71.0 Sustituir y Calcular

    Como  es agudo,

     = sen-1 (0.5782)  35.3°  35°.

    Finalmente, como

     +  +  = 180°, tenemos

     = 180° -  -  180° - 35° - 77° = 68°.

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    Dados los tres lados de un triángulo, se pueden utilizar la ley de los cósenos para hallar
    cualquiera de los tres ángulos. Siempre encontraremos primero el ángulo más grande; es
    decir, el ángulo opuesto al lado más largo, ya que esta práctica garantizará que los
    ángulos restantes sean agudos. Luego se puede encontrar otro ángulo del triángulo
    aplicando la ley de los senos o la de los cosenos. Observemos que cuando se
    determinan un ángulo por medio de la ley de los cósenos no hay caso ambiguo, ya que
    siempre se obtiene un ángulo único entre 0° y 180°.

    Si el triángulo ABC tiene lados a = 90, b = 70 y c = 40, calcula los ángulos ,  y .

    Solución: De acuerdo con la observación previa, primero se encuentra el ángulo opuesto


    al lado más largo a; por lo tanto, se escoge la forma de la ley de los cósenos donde
    aparece  y se procede como sigue:

    a2 = b2 + c2 – 2bccos Ley de los Cósenos

    b2  c2  a2
    cos  
    2bc Despejar cos

    70 2  40 2  90 2 2
     
    27040 7 Sustituir y Simplificar

     2
      cos 1     106.6  107
     7 Calcular 

    En estas condiciones se puede utilizar la ley de los senos o la de los cósenos para hallar
    . Usemos la ley de los cósenos:

    b2 = a2 + c2 – 2accos Ley de los Cósenos

    a2  c2  b2
    cos  
    2ac Despejar cos

    90 2  40 2  70 2 2
     
    29040 3 Sustituir y Simplificar

    2
      cos 1    48.2  48
     3 Calcular 

    Por último, como  +  +  = 180°, tenemos

     = 180° -  -  180° - 107° - 48° = 25°

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    Un paralelogramo tiene lados de longitud 30cm y 70cm y uno de
    los ángulos mide 65°. Calcula la longitud de cada diagonal.

    Solución: En la figura siguiente se ilustra el paralelogramo ABCD


    con sus diagonales AC y BD. Al usar el triángulo ABC con ABC
    = 65°, se puede calcular AC como sigue:

    (AC)2 = (30)2 + (70)2 – 2 (30) (70) cos 65°


    Ley de los Cósenos

     900 + 4900 – 4200 (0.4226)  4025.1 Calcular

    AC  4025.1  63cm Tomar Raíz Cuadrada

    Análogamente, sí se usa el triángulo BAD y BAD = 180° - 65° = 115°, se puede calcular
    BD como sigue:

    (BD)2 = (30)2 + (70)2 – 2 (30) (70) cos 115°  7575.0 Ley de los Cósenos

    BD  7575.0  87cm Tomar Raíz Cuadrada

    Un poste vertical de 40 pies de altura


    está en una cuesta que forma un ángulo
    de 17° con la horizontal. Calcula la
    longitud mínima del cable que llegará a
    la parte superior del poste a un punto a
    72 pies cuesta abajo (medido desde la
    base del poste).

    Solución: La figura siguiente ilustra los


    datos dados. Se desea encontrar AC. Al
    consultar la figura se ve que

    ABD = 90° - 17° = 73° y ABC = 180° - 73° = 107°.

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    Si el triángulo ABC, se puede calcular AC como sigue:

    (AC)2 = (72)2 + (40)2 – 2 (72) (40) cos 107°  8468 Ley de los Cósenos

    AC  8468  92 pies Tomar Raíz Cuadrada

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