Número π

Luis Fernando Campo - Mónica Yohana Tapia

Licenciatura en Matemáticas
luisfernlugo@unicauca.edu.co
monicaj@unicauca.edu.co

Resumen. En este documento se encuentran algunas singularidades de las propiedades matemáticas

que posee el número π, así como las relevancias de su historia y surgimiento mediante el estudio del
área de la circunferencia , sus utilidades que han contribuido al avance de la humanidad y de ciencias
como la geometría.

1. Introducción número π; más tarde Ptolomeo usando tablas de

cuerdas (tablas que permiten conocer las longitudes
El siguiente documento tiene como objetivo el de las cuerdas de un circulo suspendidas por arcos
estudio del número π, su historia, sus aplicaciones y 1
la demostración de algunas de sus propiedades, esto ,1º y hasta 180º) con esto se logró encontrar que
permite conocer de manera más concreta la
2°
importancia de este número en las matemáticas y en 8 30
π=3+ + .
otras ciencias como la geometría y la astronomía. 60 602
El número π comienza aparece a mediados del siglo “El círculo es mayor en el área que el polígono
XVII cuando los griegos intentaban darle solución al inscrito, pero menor que el mismo polígono
problema de la cuadratura de un circulo, es decir, aumentado con todos los rectángulos circunscritos
construir un cuadrado cuya área sea exactamente construidos sobre cada uno de los lados de éste” (Lie
igual a la de un circulo, esto se llevó a cabo mediante Hui, S.III), es decir, 3.141024 < π <3.142704 lo cual
el uso de regla y compás, sin embargo la falta de un 355
sistema de notación numérica obstaculizo la equivale a π = =3.14159.
búsqueda para una aproximación del área del círculo.
113
Seguidamente el nacimiento del cálculo infinitesimal En el ámbito del análisis Newton y Leibniz al
vuelve a abrir las puertas para la continuación de esta establecer el cálculo diferencial e integral dan pie al
investigación, con la ayuda de funciones surgimiento de métodos analíticos para expresar el
trigonométricas observadas como series convergentes número π; El inglés John Wallis determino
se logró encontrar expresiones que permitían analíticamente el área de un semicírculo
encontrar una aproximación de π, pero esto no era de π 2∗2∗4∗4∗6∗6∗8∗8∗...
gran ayuda ya que solo permitía conocer nuevas =¿ Pero fue
componentes de la constante mas no permitía conocer
2 1∗3∗3∗5∗5∗7∗7∗9∗...
la naturaleza de este número, ni la solución al Leibniz quien encontró en las series infinitas el
problema de la cuadratura del círculo, sin embargo mecanismo para encontrar el número π, este en 1674
daba luz a la hipótesis de que π no pertenencia al π 1 1 1 1
estableció la serie =¿ 1- + - + -...
grupo de los racionales. 4 3 5 7 9
Entre el siglo XVIII Y XIX las investigaciones pasan En probabilidad el problema de las agujas de Buffon
a ser simplemente búsqueda de dígitos para el (1777) que consiste en dibujar en una hoja de papel
numero π y pasan a centrarse en la naturaleza de este una serie de líneas rectas paralelas separadas a una
logrando asegurar a π como un numero irracional, lo distancia d, luego se lanza repetidamente y de manera
cual llevo al nacimiento de nuevos razonamientos aleatoria una aguja de longitud h y se cuentan tanto
para calcular el área del circulo como el de Bryson el número total de lanzamientos n como el de
quien propuso usar el perímetro de polígonos y el ocasiones p en que la aguja al caer toca alguna de las
radio del circulo en lugar de usar las áreas de los líneas dibujadas, en este sentido Buffon logro
mismos, este razonamiento lo extendió hasta el determinar que la probabilidad de que la aguja toque
22 alguna de las líneas depende de π, su fórmula es
polígono de 96 lados llegando a la desigualdad 2hn
7 así entre más grande sea n mejor será la
>π>71 y fue este el método adoptado por casi dos mil πd
años. aproximación de π Lazzarini realizo manualmente
3804 lanzamientos y obtuvo que π =31415929.
En Los Elementos de Euclides se observó algunos
enunciados relacionados con el cálculo de áreas y "Suelo decirles a mis alumnos que si esta fórmula no
volúmenes "círculos son uno al otro como los les maravilla, entonces no tienen alma" (Chris Budd).
cuadrados de sus diámetros" (Euclides) sin embargo
Hoy en día0 el número π juega un papel importante
no se hace aclaración de que esa constante sea el
ya que la tecnología, la ingeniería, la física y hasta la
1
cosmología usan esta constante para sus avances. En triángulos se componen de 3 lados, 3 vértices que
la tecnología el número π es predominante en la son los puntos donde se cortan las rectas y 3 ángulos
fórmula de la transformada de Fourier la cual es internos.
encargada de descomponer una señal en frecuencias
Los triángulos se clasifican según la medida de sus
constitutivas permitiendo que se genere la
lados y ángulos en: equiláteros, en este los 3 lados y
comunicación mediante el celular, además permite el
los 3 ángulos internos tienen igual medida; isósceles,
funcionamiento del GPS tanto en automóviles, en
en el que dos de sus lados y dos de sus ángulos tienen
aviones e incluso la NASA usando 16 dígitos del
igual medida y escaleno en el cual todos sus lados y
número π logra la ubicación precisa del GPS espacial.
todos sus ángulos tienen diferente medida. Además
1.1. Conceptos y fórmulas se clasifica en acutángulo, sus 3 ángulos son agudos;
recto, posee un ángulo interno de 90º y obtusángulo
1.1.1. Funciones trigonométricas respecto al que posee un ángulo interno mayor de 90º.
triangulo rectángulo.
El área del triángulo es el espacio limitado por los
Son funciones obtenidas a partir de la comparación tres lados, esta se calcula mediante la formula
del cociente los tres lados (cateto adyacente, cateto
opuesto e hipotenusa) de un triángulo rectángulo. b∗h
AT =
Cateto Opuesto 2
 sen ( α )=
Hipotenusa Donde b=base , h=altura
La altura de un triángulo es la perpendicular trazada

desde uno de los lados del triángulo hasta el vértice
Cateto Adyacente
cos ( α )= opuesto.
Hipotenusa
1.1.4. Sucesión:
 Es un conjunto ordenado de números que cumple con
CatetoOpuesto la aplicación N → R , es decir va de los números
tan ( α ) =
Cateto Adyacente naturales a los reales. Denotaremos las sucesiones
como {a n} donde a n es el termino n-ésimo de la
sucesión.
1.1.2. Identidades trigonométricas:
Algunas sucesiones conocidas son:
Son igualdades que contienen funciones
trigonométricas que permiten reducir expresiones  {(−1)n}= {-1, 1,-1,...}
matemáticas que pueden ser difíciles para manipular
u operar. Las identidades trigonométricas 1 1 1
fundamentales son:  { }= {1, ., ,...}
n 2 3
sen ( α ) 1.1.4.1. Límite de una sucesión:
 tan ( α ) =
cos ( α ) a es el límite de una sucesión {aₙ} si cumple que para
todo ε > 0, existe un n₀ en los naturales tal que
 sen ( 2 α ) =2 sen ( α ) cos ( α ) para todo n ≥ n₀, |an−a| < ε.

1.1.4.2. Teorema (Propiedades del límite de

1 sucesiones)
2 tan ⁡( α )
 tan ( α ) =
2  lim [ f ( n)+ g(n) ] =lim f (n)+ lim g(n)
1 n→ a n→a n →a
1−tan2 ( α )
2  lim [ f ( n )∗g ( n ) ] =lim f ( x )∗lim g ( n )
n→ a n →a n →a

 sen ( 12 α )=√ 12 sen ( α ) tan ⁡( 12 α) lim f (n)

 lim
[ ]
f (n) n →a
n→ a g (n)
=
lim g(n)

( )
1 sen ( α ) tan ⁡(α ) n →a
 tan α = 1.1.4.3. Limites especiales
2 sen ( α ) +tan ⁡(α )
1
 lim =0
1.1.3. Área de triángulos:
n→∞ n
Un triángulo es una figura plana compuesta por 3
rectas que se intersecan entre ella de dos en dos. Los

2
 sen ( n )
 lim =1
n→ 0 n

1−cos(n)
 lim =0
n→ 0 n
1.1.5. Derivada de una función:
Es la pendiente de la recta tangente a una curva f(x)
en el punto a. Se define como: Fig. 2.1
f (a+ h)−f (a)
lim
h→ 0 h i. Se traza una línea perpendicular a la base
1.1.6. Regla del L’hopital: triangulo, dividiendo el ángulo en dos
ángulos iguales.
Si
lim f (n)=0=lim g( n) Ò
n→ a n→a

lim f (n)=∞=lim g(n)

n→ a n →a

Tal que lim

n→ a [ ]
f (n)
g (n)
genera una forma indeterminada
Fig. 2.2
0 ∞
ò , podemos solucionar esto derivando las dos
0 ∞
funciones y trabajando con la nueva función
ii. Ahora se halla la base (b) y la altura (h)
resultante, es decir,
del Triangulo T 1. Se sabe que la hipotenusa
f (n) f ' (n) π
lim =lim es 1 y el valor del ángulo α es .
n→ a g(n) n→ a g ' (n) 6

1.1.7. Sucesión creciente y decreciente:

Una sucesión es creciente si a n ≤ a n+1. Una sucesión
es decreciente si a n+1 ≤ a n. Además se define una
sucesión monótona a que la sucesión que es creciente
ò decreciente.
Fig. 2.3
2. Resultados y análisis
2.1. Verifique que los triángulos dados en la Figura 1 Se observa que la altura es el cateto adyacente
tienen las áreas mencionadas.
(h=CA) y así mismo la base es el cateto opuesto
(b=C 0).
Tabla 2.1: para hallar la base y la altura del
triangulo T 1

Se halla la base (b) Se halla la altura (h)

CO CA
a) sen ( α )= cos ( α )=
Hip Hip

sen ( π6 )= b1 cos ( π6 )= h1
3
 i. Se traza una línea perpendicular a la base
1∗sen()
π
6
=b 1∗cos()
π
6
=h triangulo, dividiendo el ángulo en dos
ángulos iguales.

b=sen ( ) h=cos ( )
π π
6 6

h= √
1 3
b=
2 2

iii. Se halla el área del triangulo T 1 con la

fórmula del área de un triángulo. Fig. 2.5

ii. Ahora se halla la base (b) y la altura (h)

b∗h del Triangulo T 1. Se sabe que la hipotenusa
AT =
2 π
es 1 y el valor del ángulo α es .
1 12
∗√ 3
2 Se observa que la altura es el cateto adyacente
2 (h=CA) y así mismo la base es el cateto
AT =
1
2 opuesto (b=C 0) .

√3 Tabla 2.2: para hallar la base y la altura del

4 triangulo T 1
AT = 1
2
Se halla la base (b) Se halla la altura (h)
AT =
√3
1
8 CO CA
sen ( α )= cos ( α )=
Hip Hip
iv. Ahora se suma las áreas del triangulo T 1 y
T 2 ( AT = AT ¿ .
1 2

AT = AT + A T
sen( 12π )= b1 cos( 12π )= h1
1 2

1∗sen ( )=b 1∗cos ( )=h

π π
AT = √ + √
3 3
12 12
8 8
b=sen ( ) h=cos ( )
π π
2 √3
AT = 12 12
8
b= √
6−√ 2
h= √
6+ √2
AT = √
3
4 4 4
1 iii. Se halla el área del triangulo T 1 con la
El área total ( AT ) es de √ 3.
4 fórmula del área de un triángulo.

b)
b∗h
AT =
2
√ 6− √2 ∗√ 6+ √2
4
4
AT =
1
2
1
Fig. 2.4 4
AT =
2 1

4
 1
AT = 1
8 tan( π6 )= b1
iv. Ahora se suma las áreas del triangulo T 1 y
1∗tan ( )=b
T 2 ( AT = AT ¿ . π
6
1 2

b=tan ( )
AT = AT + A T 1 2
π
6
1 1
AT = +
8 8
b=
√3
2 3
AT =
8 T 1 con la
ii. Se halla el área del triangulo
1 fórmula del área de un triángulo.
AT =
4
1 b∗h
El área total ( AT ) es de . AT =
4 2
c) √ 3 ∗1
3
AT =
1
2
√3
3
AT = 1
2

AT =
√3
Fig. 2.6 1
6
iii. Ahora se suma las áreas del triangulo T 1 y
i. Ahora se halla la base (b) del Triangulo T 1. T 2 ( AT = AT ¿ .
1 2

Se sabe que la altura (h) es 1 y el valor del

π
ángulo α es . AT = AT + A T
6 1 2

AT =
√3 + √ 3
6 6
2 √3
AT =
6
√ 3 ∗√3
3
Fig. 2.7 AT =
√3
Se observa que la altura es el cateto adyacente 3
AT =
(h=CA) y así mismo la base es el cateto 3 √3
opuesto (b=C 0) . 1
AT =
Tabla 2.3: para hallar la base del triangulo T 1 √3
Se halla la base (b)
1
El área total ( AT ) es de .
tan ( α ) =
CO √3
CA
d)

5
 2−√ 3
AT =
1
2
iii. Ahora se suma las áreas del triangulo T 1 y
T 2 ( AT = AT ¿ .
1 2

AT = AT + A T
1 2

2−√ 3 2−√ 3
Fig. 2.8 AT = +
2 2
4−2 √ 3
i. Ahora se halla la base (b) del Triangulo T 1. AT =
2
Se sabe que la altura (h) es 1 y el valor del
π AT =2 ¿ ¿
ángulo α es .
12 AT =2− √ 3

El área total ( AT ) es de2− √ 3 .

2.2. Muestre que la sucesión a n es creciente
1
a n= s n sen
2 ( )
2π
sn
, donde a n es el área del n-ésimo

polígono inscrito en una circunferencia y sn es el

Fig. 2.9
número de lados del polígono inscrito.

Se observa que la altura es el cateto adyacente

(h=CA) y así mismo la base es el cateto
1
a n= s n sen
2
2π
sn ( )
,n∈N
opuesto (b=C 0) . n
sn=3∗2 , n ∈ N
Tabla 2.4: para hallar la base del triangulo T 1

Se halla la base (b)

1 n
a n= 3∗2 sen
2
2π
3∗2
n ( )
tan ( α ) =
CO
CA
1
a n+1= 3∗2
2
n+1
sen
( 3∗2 )
2π
n+1

tan( 12π )= b1
1∗tan ( )=b
π an
=
1
2
n
3∗2 sen
2π
3∗2n ( )
≤1
12
( )
an +1 1 n+1 2π
3∗2 sen
2 3∗2n +1
b=tan ( )
π
12
b=2− √ 3 an
=
(
sen 2
3∗2 )
π
n
≤1
( 3∗2 )
an +1 π
ii. Se halla el área del triangulo T 1 con la 2 sen n
fórmula del área de un triángulo.
Se utiliza la identidad trigonométrica
b∗h π
AT = sen ( 2 α ) =2 sen ( α ) cos ⁡( α ) donde α = n.
2 3∗2
2−√ 3∗1
AT = 1
2

6
 2 sen
( 3∗2π )∗cos ( 3∗2π ) ≤1
n n
a n+1= √ a n b n

√
an
an +1
=
2 sen
( 3∗2 )
π
n
1
a n+1= ( 3∗2n sen
2
2π
3∗2( )
n
)(3∗2n tan
π
3∗2n( )
)

a n+1
√ 2 ( 3∗2 ) ( 3∗2 )
1
= 3 ∗2 sen 2 2π2n
tan
π
n n

( )
an π
=cos ≤1

√ 2 3∗2 2 3∗2 )
( ) (
n
an +1 3∗2 1n 2π 2 π
a n+1 =3∗2 sen tan n n

Se tiene que cos

( 3∗2 )≤ 1
π
, entonces se

√ 2 ( 3∗2 ) (2 3∗2 )
n
1n 2π 1 2π
comprueba utilizando el límite al infinito. a n+1 =3∗2 sen tan n n

lim cos
( 3∗2π ) ≤ 1 Se utiliza la identidad trigonométrica

( 12 α )=√ 12 sen ( α ) tan ⁡( 12 α )

n
n→∞
sen , donde
lim cos
n→∞ ( 3∗2π )≤ 1 ∞
α=
2π
n.
3∗2
lim cos
n→∞
( ∞π )≤ 1 ( )
a n+1=3∗2 sen
n 1 2π
2 3∗2n
1
Ahora se utiliza el límite lim =0
n→∞ n

cos (0)≤ 1
a =3∗2 sen
n+1
( 3∗22 π )
n
n +1

Entonces,
1 ≤1 2
a = 3∗2 sen
n+1
2 ( 3∗22 π ) n
n +1

an
=1

an
an +1
an
1 n+1
a n+1= 3∗2 sen
2
2π
3∗2
n+1 ( )
Por lo tanto, ≤1 ya que nunca va a ser 1
an +1 an +1 Q.E.D
sino un número cercano a uno. 2 an+ 1 b n
Q. E.D 2.4. Muestre que b n+1=
a n+1 +bn
2.3. Muestre que a n+1= √ a n b n ,n ∈ N Se tiene que,

( )
Se tiene que, 1 n+1 2π
a n+1= 3∗2 sen
( )
1 n 2π 2 3∗2
n+1
a n= 3∗2 sen
2 3∗2
n

b n=3∗2 tan
n
( 3∗2π )
( 3∗2π )
n
n
b =3∗2 tan
n n

b n+1=3∗2
n+ 1
tan
( 3∗2 )
π

( 3∗22 π )
n +1
1 n+1
= 3∗2 sen
a n+1
2 n+1
b n Es el área del n-ésimo polígono circunscrito a una
a n Es el área del n-ésimo polígono inscrito en una circunferencia, a n+1y b n+1 son las ecuaciones
circunferencia, b n es el área del n-ésimo polígono conocidas como Algoritmo Euclidiano.
circunscrito a una circunferencia y a n+1 es una de las 2 an+ 1 b n
ecuaciones conocidas como Algoritmo Euclidiano. b n+1=
a n+1 +bn

7
b =
1 n +1
2 3∗2 sen
2
2π
3∗2
n+1
n
(
3∗2 tan
π
3∗2
n ( ) ) lim
1 ( 3∗2 )
π
sen n

( 3∗2 ) ( 3∗2 ) ( 3∗2 )

n+1
1 n+12π π n n→∞ 1 π
3∗2 sen +3∗2 tan n +1 n
cosn n
2 3∗2

b =
3∗2 sen
( 3∗2 ) ( 3∗2 )
n+12π
3∗2 tan
π
n +1
n
n
lim
1
sen
( 3∗2 )
π
n

( 3∗22 π )+3∗2 tan ( 3∗2π ) ( 3∗2π ) 3∗2

n+1
n n n→∞ 1
3∗2 sen n+1 n
cos n n

b =
3∗2 sen
( n+1

3∗2
π
) 3∗2 tan
( 3∗2 )
π
n
n
n
lim
1
sen
( 3∗2 ) π
π
n

( 3∗2 ) ( 3∗2 )) ( 3∗2 ) 3∗2

n+1
πn π n→∞ π 1 π
3∗2 (sen +tan n n
cos n n

3∗2 sen (
3∗2 ) ( 3∗2 )
sen (
3∗2 )
π
n+1 π π
tan n n n
1
b = π lim
( 3∗2π )+ tan ( 3∗2π ) ( 3∗2π ) 3∗2
n+1
n→ ∞ π
sen n n
cos n n

sen
( π
) tan
( 3∗2 )
π 1
∗lim sen
( 3∗2 )
π

( 3∗2 )
n n n
3∗2
n+ 1 π n→∞
b =3∗2 cos n

( 3∗2 ) ( 3∗2 )
n+1
π π
sen + tan n n
π∗lim
n→ ∞ π
n
Se utiliza la identidad 3∗2

tan ( 12 α )= sensen( α( α) +tan

) tan ⁡(α )
⁡(α )
, donde α =
π
n.
π∗1
∗sen
π
( )
( )
3∗2 π 3∗2
∞
cos ∞

( )
n+ 1 1 π 3∗2
b n+1=3∗2 tan
2 3∗2n π
∞
3∗2
b n+1=3∗2
n+ 1
tan
( 3∗2 )
π
n +1 π∗1
∗sen
π
( )
Q.E.D cos
π
∞( ) ∞

π
2.5. Muestre que lim bn =π ∞
n→∞

Se tiene que, π∗1

∗sen ( 0 )
cos ( 0 )
b n=s n tan
( sπ ), n ∈ N
n
0
π∗1
sn=3∗2 , n ∈ N
n ∗0
1
b n Es el área del n-ésimo polígono regular con 3∗2n 0
lados circunscrito en un disco de radio 1. π∗1∗∞
Se debe llegar a esta igualdad Se aplica la regla de L’hopital

lim 3∗2 tan

n→∞
n
( 3∗2π )=π n

8
 ( )π Es importante resaltar que esto contribuyo para
sen n conocer nuevos decimales que hacen parte de esta
3∗2 constante, ya que este número es irracional y no se
π∗1∗lim
n→∞ π logra conocer un periodo numérico decimal que se
n repita.
3∗2

π∗1∗lim
dy
dx ( ( ))
sen
π
3∗2
n

n→∞
( )dy π
dx 3∗2n

π∗1∗lim
cos
( 3∗2 )
π
∗
( −2 π ln (2)
n
3∗2 ) n
Referencias
n→∞ −2 π ln(2) [1] Acherman, S. R. (2000). El Número PI y su
3∗2n Historia. Ingeniería y Competitividad, 2(2), 47-62.
Recuperado (2022, 06,06).
π∗1∗lim cos
n→∞ ( 3∗2π ) n
https://revistaingenieria.univalle.edu.co/index.php/in
genieria_y_competitividad/article/view/2343/3093.
[2] CARPINTEYRO VIGIL, E. Geometría y
π∗1∗lim cos
n→∞ ( 3∗2π ) ∞
trigonometría: conceptos y aplicaciones. ed. Ciudad
de México: Grupo Editorial Patria, 2018. 261 p.
Disponible en: https://elibro-
π∗1∗lim cos
n→∞
( ∞π ) net.acceso.unicauca.edu.co/es/ereader/unicauca/4052
8?page=1. Consultado en: 10 Jun 2022.
[3] Vázquez-Bautista, O. (2020). Identidades
π∗1∗cos (0) trigonométricas. Con-Ciencia Boletín Científico de
la Escuela Preparatoria No. 3, 7(14), 33-
π∗1∗1
34.Recuperado (2022, 06,10).
π https://repository.uaeh.edu.mx/revistas/index.php/pre
pa3/article/view/6113.
Q.E.D
[4] Di Scala, A. J. (1998). Regla de l’Hôpital
para sucesiones. Revista de Educación
Matemática, 13(1), 15-20.
[5] DUEÑAS RUIZ, H. A.; RUBIO, I.
3. Conclusiones M. Cálculo diferencial en una variable. ed. Bogotá:
El número π es una constante que ha desatado la Universidad Nacional de Colombia, 2015. 302 p.
curiosidad de muchos matemáticos por conocer su Disponible en: https://elibro-
naturaleza y también su valor, sin embargo net.acceso.unicauca.edu.co/es/ereader/unicauca/1278
Arquímedes fue más allá logrando demostrar el 14?page=110. Consultado en: 13 Jun 2022.
número π de manera algorítmica y no solo
geométrica, Arquímedes mostró esta constante con
relación a las sucesiones usando el área de un disco
de radio 1 en el cual se inscriben y se circunscriben
polígonos regulares de diferente número de lados.
A partir de este nuevo mecanismo de visualizar el
número π se logró determinar algunas características
importantes, que sin importar si los polígonos están
inscritos o circunscritos en el disco entre más grande
sea el número de lados de estos, el área se acerca más
al número π o que usando polígonos inscritos entre
más lados tenga el polígono más grande será el área,
es decir esta va creciendo y por el contrario usando
polígonos circunscritos entre más lados tenga el
polígono más pequeña será el área, es decir esta va
decreciendo, lo cual permite observar que existen
valores tanto por encima como por debajo de π.
9