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    Calculo Integral Aaa

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    Jenniffer Diaz
    1. Se calcula el volumen interior a un cilindro y exterior a un cono, obteniendo un valor de 81π/2. 2. Se determina el valor de a para que el volumen exterior a un cilindro e interior a un hemisferio sea la mitad del volumen del hemisferio, obteniendo a=√2. 3. Se calcula el volumen acotado por dos superficies, obteniendo un valor de 81π/2.

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    Jenniffer Diaz
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    1. Se calcula el volumen interior a un cilindro y exterior a un cono, obteniendo un valor de 81π/2. 2. Se determina el valor de a para que el volumen exterior a un cilindro e interior a un hemisferio sea la mitad del volumen del hemisferio, obteniendo a=√2. 3. Se calcula el volumen acotado por dos superficies, obteniendo un valor de 81π/2.

    Descripción original:

    Ejercicios resueltos calculo integral Andina

    Título original

    calculo integral aaa

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    1. Se calcula el volumen interior a un cilindro y exterior a un cono, obteniendo un valor de 81π/2. 2. Se determina el valor de a para que el volumen exterior a un cilindro e interior a un hemisferio sea la mitad del volumen del hemisferio, obteniendo a=√2. 3. Se calcula el volumen acotado por dos superficies, obteniendo un valor de 81π/2.

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    Calculo Integral Aaa

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    1. Se calcula el volumen interior a un cilindro y exterior a un cono, obteniendo un valor de 81π/2. 2. Se determina el valor de a para que el volumen exterior a un cilindro e interior a un hemisferio sea la mitad del volumen del hemisferio, obteniendo a=√2. 3. Se calcula el volumen acotado por dos superficies, obteniendo un valor de 81π/2.

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    de 6

    1.

    Calcular el volumen del sólido S interior al cilindro x 2+ y 2=2 ax , que está comprendido entre
    el plano z=0 y la parte superior del cono x 2+ y 2=z 2

    SOLUCIÓN

    La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia ( x−a )2+ y 2=a2 ,de
    centro (a , 0) y radio a

    Para obtener el volumen pedido hacemos un cambio a coordenadas cilíndricas y


    usamos la simetría respecto al plano y = 0

    El volumen pedido está dado por la integral:


    π

    [ ]
    ❑ ❑ ❑ 2 2acos θ r 3 3 π 3
    16 a sen θ 2 32a
    V =∫ ∫ ∫ dx dy dz=2 ∫ d θ ∫ r dr ∫ dz = senθ− =
    ❑ ❑ S 0 0 0 3 3 0 9

    2. Determinar a , de modo que el volumen interior al hemisferio z=√ ❑ y exterior al cilindro


    x + y =a sea la mitad del volumen de hemisferio
    2 2 2

    SOLUCIÓN:
    Para el volumen pedido
    V H =¿Volumen del hemisferio

    V e =¿ Volumen al exterior
    14 128 π
    V H= π 43 =
    23 3

    El volumen pedido está dado por la integral:

    π
    ❑ ❑ ❑ 2 4 √❑

    V e =∫ ∫∫ dx dy dz=4 ∫ ∫ ∫ ❑
    ❑ ❑ Q 0 a 0

    1
    como V e = V H :
    2

    [ ]
    3 3 2
    4 ( 2 2 π 128 π (
    16−a ) ⇒ 16−a ) =32 ⇒16−a = (32 ) 3
    2 2 2
    =
    3 2 6

    2
    ⇒ a2=16−8(2) 3 ⇒ a= √❑

    3. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones:

    z=9−x 2− y 2 , z=0

    SOLUCIÓN:

    Integral en coordenadas Cilíndricas


    2
    ❑ ❑ ❑ 2 π 3 9−r 2π 3
    V ❑=∫ ∫ ∫ dV =∫ ∫ ∫ rdzdrd θ=∫ ∫ ( 9 r −r ) drd θ
    3

    ❑ ❑ Q 0 0 0 0 0
    [ ]
    2π 3 2π
    9 r2 r 4 81 81 π
    ¿∫ − d θ= ∫ d θ=
    0
    2 4 0 4 0 2

    4. Determinar el volumen del sólido encerrado por el cono x2 + y2 = 4z2 y la esfera x2 + y2 +z2 =
    5, con z ≥ 0.

    SOLUCIÓN

    Resolveremos el ejercicio mediante cambios de coordenadas: primero a cilíndricas y


    luego a esféricas.

    Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas


    ● Ecuación del semicono superior: z = r/2
    ● Ecuación de la esfera=es z = √ ❑

    La intersección de ambas superficies se produce en r = 2.


    Las ecuaciones y el jacobiano del cambio y la variación de las nuevas
    variables son:
    x=r cos θ , y=r sen θ , z=z ; ¿ J (r , θ , z)∨¿ r ( r
    2 )
    0 ≤ θ ≤2 π , 0≤ r ≤ 2, ≤ z ≤ √❑ .

    El volumen del sólido :


    ❑ ❑ ❑ 2π 2 √❑
    V =∫ ∫ ∫ dx dy dz=∫ d θ∫ rd r ∫ ❑
    ❑ ❑ M 0 0 r /2

    [ ] −π [ r3 ] = 103π √❑
    3 2 3 2
    2π
    ¿− ( 5 −r ) 2 2
    0
    ( )
    3 0

    En coordenadas esféricas (ρ , θ , φ) , la ecuación del semicono superior es tg φ=2 y la de


    la esfera, ρ=√❑ , el cambio a aplicar es:

    x=ρ cos θ sen φ , y=ρ sen θ sen φ , z= ρcos φ ;

    2
    ¿ J (ρ , θ , φ)∨¿ ρ sen φ(0 ≤ θ≤ 2 π , 0 ≤ φ ≤ arctg 2 , 0≤ ρ ≤ √ 5),

    El volumen del sólido:


    ❑ ❑ ❑ 2π a rctg 2 √❑
    V =∫ ∫ ∫ dx dy dz=∫ d θ ∫ sen φ d φ ∫ ❑
    ❑ ❑ M 0 0 0

    Teniendo en cuenta que :


    1
    cos φ=±
    √❑

    y que 0 ≤ φ ≤ π /2 implica cos φ ≥ 0 , se concluye que:

    V=
    10
    3
    π √ 5 1−
    √(
    1
    ❑ )
    5. Hallar el valor de a> 0para que el volumen encerrado por z=a ( x 2 + y 2 ) y z 2=a 2 ( x 2 + y 2 ), con
    z ≥ 0, sea igual a π .

    SOLUCIÓN
    En coordenadas cilíndricas, las ecuaciones del paraboloide y del cono
    son:
    2
    z=ar
    ❑
    z=ar

    La intersección de ambas superficies se produce en :

    r =0 , z =0 (el origen de coordenadas)

    y en: r =1, z=a(circunferencia de centro 0 y radio 1 , situada en un plano de altura a) .


    Para el cálculo del volumen pedido :

    2π 1 ar 1
    V =∫ d θ ∫ r d r ∫ dz=2 πa∫ r ( r−r ) dr =2 πa
    0 0 ar
    2
    0
    2
    ( 13 − 14 )= π6 a
    Consecuentemente, para que V =π debemos tener a=6 .

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