TEOREMA DE GREEN

Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región
simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo
de la frontera de R.

Una curva C dada por donde r ( t )=x ( t ) i+ y (t ) j donde a <- t -> b, es simple si no se
corta a sí misma, es decir, r ( c)≠r ( d ) para todo c y d en el intervalo abierto (a, b) Una
región plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra
sólo puntos que están en R.
El teorema de Green afirma que la integral de línea de F en el límite R es igual a la
integral doble del rotacional de F en R:
❑ ❑

∫∫ rot 2 dF dA=∮ F . dr
R C

Puedes pensar el lado izquierdo como la suma de todos los pedacitos de rotación en
cada punto dentro de una región R, y el lado derecho como la medida de toda la
rotación del fluido alrededor de la frontera C de R.

F ( x , y ) =M ( x , y ) i+ N (x , y ) j
En términos de M y N, aquí está cómo se ve el teorema de Green:

( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA
❑ ❑

∮ M dx+ N dy=∬
C R

Ejemplo 1.
❑

∫ y 3 dx +(x 3 +3 x y 2 ) dy
C

Como M = y 3 y N=x 3 +3 x y 2 , se sigue que

∂N 2 2 ∂M 2
=3 x +3 y Y =3 y
∂x ∂y
Aplicando el Teorema de Green:

( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA
❑ ❑

∫ y 3 dx + ( x 3 +3 x y 2 ) dy=∬
C R

1 x
¿ ∫ ∫ [ ( 3 x 2+ 3 y 2 ) −3 y 2 ] dy dx
0 x3

1 x
¿ ∫ ∫ 3 x2 dy dx
0 x3

1 1
¿ ∫ 3 x ( x−x ) dx=∫ ( 3 x −3 x )dx
2 3 3 5

0 0
 4 6
3 x4 x6 3 (1 ) ( 1 ) 3 1 1
¿ − ( 1−0 )= − = − =
4 2 4 2 4 2 4
Ejemplo 2
Calcular el trabajo usando el teorema de Green, tomando en cuenta que la partícula
recorre una vez un círculo con un radio de 3
3 3 2
F ( x , y ) = y i+( x +3 x y ) j
❑

∫ y 3 dx +(x 3 +3 x y 2 ) dy
C

Como M = y 3 y N=x 3 +3 x y 2 , se sigue que

∂N 2 2 ∂M 2
=3 x +3 y Y =3 y
∂x ∂y

∫ y 3 dx + ( x 3 +3 x y 2 ) dy=∬ ( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA

❑ ❑

C R

2π 3 ❑
¿ ∫ ∫ [ ( 3 x +3 y ) −3 y ] dy dx=∬ 3 x2 dA
2 2 2

0 0 R

En coordenadas polares, usando x=rcosθ y dA=r drdθ , el trabajo realizado es de

❑ 2π 3
W =∬ 3 x dA=∫ ∫ 3 ¿ ¿ ¿ ¿
2

R 0 0

2π 3
¿ 3 ∫ ∫ r co s θ drdθ
3 2

0 0

2π 3 4 2π 4 2π 4
r r (3)
¿ 3 ∫ ∫ co s θ dθ=3 ∫ co s θ dθ ( 3−0 )=3 ∫
2 2 2
co s θ dθ
0 0 4 0 4 0 4
2π 2π 2π
81 243 243 1+ cos ( 2θ )
¿ 3∫ ∫ ∫ 2 dθ
2 2
co s θ dθ= co s θ dθ=
0 4 4 0 4 0

243 243 243

∗1 2 π ∗1 2 π ∗1
4 4 4
¿
2
∫ 1+ cos ( 2θ ) dθ= 2 ∫ θ+0=¿ 2 θ+ 0(2 π −0)¿
0 0

243
∗1
4 243 π
( 2 π )=
2 4
Ejemplo 3

3. C: cuadrado con vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1)

❑

∫ y 2 dx + x 2 dy =∫ R ∫ ( ∂∂Nx ¿ −∂∂ yM ¿ )dA ¿ ¿

C

Primero hay que sacar P, Py, Q y Qx, estos se sacan de la

ecuación:

∂ N −∂ M
{
2 2
¿ ∫ R∫ ( ¿ ) dA P= y ∨Q=x ¿
∂x ∂ y Py=2 y∨Qx=2 x

Colocar los límites de X, colocar los límites de Y, sustituimos valores:

1 1

∫∫ (2 x −2 y ) dy dx
0 0

Vamos a integrar la parte de X quedaría:

1 1 1 1 1

∫∫ (2 x −2 y ) dy dx =∫ 2 x−2 xy ∫ dy=∫ (2−2 y)dy

0 0 0 0 0

Vamos a integrar la parte de Y quedaría:

1 1
¿ ∫ (2−2 y)dy=2 y−2 y ∫ ¿ 2−2=0
0 0

El resultado queda:
¿ 2−2=0
Ejemplo 4

Calcular el valor de la integral de línea utilizando el teorema de Green

❑

∫ 2 xy dx+ ( x + y ) dy
C

Contorno de la región comprendida entre las gráficas de y=0 e y=4−x 2

∮ M dx+ N dy=∬ ( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA

❑ ❑

C R

Como M =2 x y N=(x + y) , se sigue que

∂N ∂M
=1Y =2 x
∂x ∂y
2
2 4 −x

∫ ∫ (1−2 x )dy dx
−2 0
2
2 4 −x 2

∫ ∫ (1−2 x )dy dx=∫ [ y−2 xy ] dx

−2 0 −2

2 2

∫ [ 4−x −2 x ( 4−x 2 ) ] dx=∫ ( 4−x 2−8 x+ 2 x 3 ) dx

2

−2 −2

3 2 4
x x x
¿ 4 x− −8 +2 =¿
3 2 4

( 2 )3 ( 2 )2 ( 2 )4 (−2 )3 (−2 )2 (−2 )4

4 ( 2 )− −8 +2 −4 (−2 )− −8 +2 =…
3 2 4 3 2 4
32
…=
3
Ejemplo 5
Comprobar el teorema de Green calculando ambas integrales
❑

∫ y 2 dx + x 2 dy =∫ R ∫ ( ∂∂Nx ¿ −∂∂ yM ¿ )dA ¿ ¿

C

2 2
c : x + y =1

|dx x=cost
=−sentdt
y =sent
dy =costdt |
2π 2π

∫ [ se n2 t (−sentdt ) +co s2 t ( costdt ) ]=∫ −se n3 t+ co s 3 t dt

0 0

u=cost
∫−se n3 tdt =−∫ sent∗se n2 dt=( 1−co s 2 t ) (−sentdt ) du=−sentdt
3 3
∫ ( 1−u2 ) du=u− u3 + c=cost− cost
3
+c

u=sent
∫ co s 3 tdt =−∫ cost∗co s2 dt= ( 1−se n2 t ) ( costdt ) du=costdt
3 3
u sen t
∫ ( 1−u
2
) du=u− + c=sent
3
− +c
3

cost 3 sen3 t
cost− +sent− =¿
3 3
3 3 3 3
cos ( 2 π ) sen ( 2 π ) cos ( 0 ) sen ( 0 )
cos ( 2 π )− + sen ( 2 π )− −cos ( 0 )− + sen ( 0 )−
3 3 3 3
1 1
( )
¿ 1− − 1− =0
3 3
Con teorema de Green Polares
❑

∫ y 2 dx + x 2 dy =∫ R ∫ ( ∂∂Nx ¿ −∂∂ yM ¿ )dA ¿ ¿ x=rcosθ

C
y=rsenθ
2 2
c : x + y =1 2 2 2
x + y =r
Como M = y 2 y N=x 2 , se sigue que
dA=rdrdθ
∂N ∂M
=2 x Y =2 y
∂x ∂y
❑

∬ ( 2 x−2 y ) dA=2∬ ( x− y) dA
R

(∫ )
2π 1 2π 1
2 ∫ ∫ ( rcosθ−rsenθ ) rdrdθ=2∫ ( cosθ−senθ ) r 2 dr dθ
0 0 0 0

[ ]
2π 3 2π
r 2∗1
2 ∫ ( cosθ−senθ ) dθ= ∫ (cosθ−senθ )dθ
0 3 3 0

2 2 2
[ senθ +cosθ ] = [ sen (2 π )+cos ⁡(2 π )] − [ sen ( 0 ) +cos ( 0 ) ]= ( 1−1 )=0
3 3 3
Ejemplo 6
Utilizar el Teorema de Green para evaluar la integral de línea

∫ (e )
2 2
❑ −x −y
2
− y dx +( e 2
+ x )dy
C

C: frontera de la región comprendida entre las gráficas del circulo x=6 cosθ , y=6 senθ
y la elipse x=3 cosθ , y =2 senθ

∫ (e − y ) dx +( e
2 2
❑ −x −y
2 2
+ x )dy
C

C:
{x=3x=6cosθcosθy=2y =6senθsenθa=3r =6,b=2
∮ M dx+ N dy=∬ ( ∂∂Nx − ∂∂My ) dA
❑ ❑

C R

2 2
−x −y
Como M =(e ¿ ¿ − y)¿ Y N=(e ¿ ¿ + x) ¿, se sigue que
2 2
∂N ∂M
=1Y =−1
∂x ∂y

∫∫ 1−(−1 ) dA=2∬ dA=2 ( area delcirculo −area del elipse )

2 ( π r 2−πab )=2 ¿