MCCV2 U1 A2 Jugu
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MCCV2 U1 A2 Jugu
Licenciatura en Matemticas
Cuarto Semestre.
Calculo de varias variablesII.
Unidad 1
Actividad 2 Solucin de integrales dobles.
Realiza cada uno de los ejercicios que se indican. Debes incluir el procedimiento
para llegar a la solucin. No se permite el uso de software como solucin. Realiza
los dibujos y esquemas de las regiones de integracin.
f ( x , y ) dxdy .
0 ey
2 x
f ( x , y ) dydx
1 0
2. Evale la integral
2 1
2
e x dxdy
0 y
2
1 2x 1 1
e1
e x dydx= e x y20x dx= 12 e x 2 xdx= 12 e x 10 = 2 =0.859
2 2 2 2
0 0 0 0
x = r cos() sin()
y = r sin() sin()
z = r cos()
Ahora, debemos ver entre que se encuentra acotada cada variable (r, y ). Para esto, lo
primordial es graficar bien la regin y tener claridad de lo que representa cada variable. de las
superficies y el slido encerrado
Recordemos que en coordenadas esfricas la variable r es una recta que va desde el origen hasta
la superficie o frontera del slido. Claramente, en la regin se puede apreciar que el valor mnimo
de r es cero y siempre llega hasta la esfera. Es decir:
0 r Esfera
x + y + z = 1 ---------> r = 1
tenemos que la variable r se mueve entre
0 r esfera
0rr=1
0 r 1 (A)
Como ya sabemos entre que est acotada la variable r, ahora veremos las otras dos.
es un ngulo que comienza creciendo desde el eje X en direccin hacia el eje Y y que barre
solamente por el plano XY. En la regin se puede apreciar que el slido est barrindose en 360.
Entonces, se tiene que:
0 2 (B)
Luego, la variable es un ngulo que crece desde el eje Z positivo y comienza a bajar hasta llegar
a la posicin del eje Z negativo. Este ngulo solo puede moverse entre 0 y . En la regin se puede
apreciar que el ngulo comienza en 0, creciendo desde el eje Z y necesariamente llega hasta el
cono (no sigue bajando porque no hay ms slido abajo). Es decir, tenemos:
0 Cono
como la ecuacin del cono est en coordenadas cartesianas, haremos el cambio a coordenadas
esfricas igual como se hizo con la esfera anteriormente.
z = (x + y) -----------> = /4
0 Cono
0 = /4
0 /4 (C)
r sin
1
0
2
)r dr d d
0
4
Ahora, como todas las variables varan entre constante y constante, podemos usar el teorema de
Fubini y calcular cada integral de manera independiente. Es decir:
r sin
1
0 4 2 1
2
)r dr d d= sin ()d r dr =
0 0 0
0
4
2 r 1
= [-cos() | 4 ] [ | 0 ] [
3 0 ]=
o
2 1
= ( +1)(2 )( )
2 3
(2 2)
V= 3 u
Por lo tanto el volumen del slido que se encuentra sobre el cono y bajo la esfera es:
(2 2)
V= 3 u
1 4x
( 4x 2 y 2) dy dx
0 4 x
5.-Evale la integral:
2 2 x x2
x 2+ y 2 dydx
0 0
2 2 x x2
rdrdx
0 0
2 2
6.-Una lmina R ocupa la parte del disco x + y 1 que est en el primer
2 1 2 1
[ ]
| |
2 1
1 1 1 1 r4 1
k 2 2
( cos 2 ) d r 3
dr k [(
2
2
4
sen 2 2 )( )]=
4 0
0 0
0 0
1 k
=k( 4 4 = 16 ()
[ | ( )| ]
5
2 1 se n3 r 1 k
k sen cosd r dr = k 3
2 =
5 0 15
0 0 0
2 1
2k
k sen d r dr =
0 0 15
16 32
Por lo tanto el centro de masa es ( ,
15 15
8.-Calcule
y x
e y+ x
dA ,
B
Transformaciones:
u=y-x 1
v=y+x 2
para obtener R aplicamos la transformacin a cada recta que limita la regin
R.
Sumamos las ecuaciones 1 y 2 y nos queda:
u+ v
u+v=2y por lo tanto y= 2
uv
x=0 0= 2 por lo tanto v=u
yx u
e y+x dA= e v ( jacobiano ) dudv
R
1
ee
ee1
v () dv= =0.346
2
1
dudv=
2
v u
1
e v 2
v
1
Bibliografia:
UNADM Calculo de varias variablesII, U1 Integrales Mltiples.