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Problemario Segundo Parcial
Problemario Segundo Parcial
Problemario Segundo Parcial
DE ALGEBRA VECTORIAL. UPIBI‐ IPN.
REALIZO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS
SEGUNDO PARCIAL
1. Encuentre la derivada y la segunda derivada de las funciones vectoriales siguientes
a) 2 ̂ ̂
b) ̂ ̂
c) | |̂ ̂, 0
2. Si es un vector posición de una partícula y el parámetro el tiempo, encuentre la
velocidad y la aceleración en los siguientes casos.
a) 4 ̂ 4 4.9 ̂
b) 2 3 ̂ 2 3 ̂
3. Dibuje la curva generada por los siguientes vectores de posición y calcule el vector
unitario tangente y el vector unitario normal principal en cada caso. No olvide indicar el
sentido de cada curva.
a) 2 ̂ 4 ̂
b) 3 ̂ 3 ̂
c) 2 ̂ 3 ̂
d) 2 ̂ 2 ̂
e) 2 ̂ 2 ̂ 5
f) 1 ̂ 2 ̂ 3 2
4. Para cada una de la curvas del ejercicio 3 encuentre la longitud de arco en el intervalo de
0 2 . Además, escriba cada vector de posición en función del parámetro
(longitud de arco). Y a partir de encuentre el vector unitario tangente y a partir de la
expresión encuentre el vector unitario normal principal, así como la curvatura y el
radio de curvatura.
5. Dadas las funciones siguientes encuentre para cada una las derivadas parciales siguientes ,
, , , y
a) , 2 3
b) ,
MARIO CERVANTES CONTRERAS
6. Encuentre la divergencia y rotacional para las funciones vectoriales siguientes
a) , , 2 1 ̂ 3 ̂ 4 2
b) , ̂ ̂
c) , , 2 ̂ ̂ 2
d) , , ̂ ̂
7. Determine el gradiente de las funciones siguientes
a) , 2
b) , , 2 3
c) ,
8. En los ejercicios siguientes calcule la razón de cambio (la derivada direccional) de la función
dada en el punto dado y en la dirección dada.
a) , 2 3 2 , 1, 2 , hacia el origen.
9. ¿Cuál es la razón de cambio de , , a lo largo de la curva 2 ̂
3 ̂ 3 en el punto correspondiente a ?
10. En los problemas siguientes determinar el vector unitario en la dirección en la que la
función dada aumenta con mayor rapidez (en la que se tiene el valor máximo de la derivada
direccional) en el punto indicado y determinar la razón de cambio de la función en esa
dirección.
a) , 3 2 4 , 1,2
11. Si , y , 4 , determinar la razón de cambio de , en el
punto 2, 1 en la dirección en la que , crece con mayor rapidez.
MARIO CERVANTES CONTRERAS
12. La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es
, 20 4
Donde y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de 2, 3 aumenta más
rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento en esa dirección?
13. Un rastreador térmico se encuentra en el punto 2, 3 sobre una palca metálica cuya
temperatura en , es
, 20 4
Hallar la trayectoria del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección de máximo
incremento de temperatura.
14. Para las funciones siguientes encuentre todos los puntos estacionarios y clasificarlos en
puntos silla, máximos relativos o mínimos relativos.
a) , 2 2 3 4
b) , 2 2 6
15. Determine las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo cuyos
lados son paralelos a los ejes, y que se puede inscribir en el elipsoide
1
16 9 4
16. Una caja rectangular descansa en el plano con uno de sus vértices en el origen. EL
vértice opuesto esta en el plano 6 4 3 24. Hallar el volumen máximo de la caja.
17. Se desea construir una caja rectangular con su tapa abierta que debe tener un volumen de
6 . Si el material del fondo cuesta 1.5 dólares por y el de los lados un dólar por ,
calcule las dimensiones de la caja que hacen mínimo el costo.
18. Una pieza de hojalata de 24 cm de ancho ha de convertirse en una canal doblando hacia
arriba los lados. Halle el ancho y la inclinación de cada lado para que transporte una cantidad
máxima de agua.
19. Calcule las dimensiones exteriores que deberá tener un cajón rectangular abierto del que
se dan el espesor de las paredes y la capacidad interior , para que al hacerlo se gaste la
menor cantidad de material posible.
20. Los cursos de dos ríos representan aproximadamente una parábola y una recta
2 0. Hay que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor
longitud posible. ¿Por qué puntos habrá que trazarlo?
MARIO CERVANTES CONTRERAS