Libro Matemática I - Stanecka - 2022

Matemática I Nancy Stanecka
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA
UNIDAD 7
353
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
Mgter. Nancy Stanecka
UNIDAD 7
REVISIÓN DE CONTENIDOS
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
Diego Ruiz (Edición)
María Helena Saddi (Estilo)
Florencia Scida (Estilo)
354
Comenzamos esta unidad generalizando el concepto de operación entre conjuntos, definiendo las
llamadas leyes de composición interna y externa.
Las leyes de composición se utilizarán como un puente que nos permitirá el acceso a la captación
de la operatoria con nuevas herramientas algebraicas a estudiarse en esta asignatura. Trabajaremos
insistiendo particularmente en el cumplimiento o no de propiedades de las leyes de composición.
A continuación se incorporará el concepto de vector, rescatando su simbología, notación, las
operaciones con vectores y sus propiedades. Si bien hasta aquí trabajar con vectores no será difícil, los
temas siguientes: combinación lineal, independencia y dependencia lineal, espacio vectorial y base
de un espacio vectorial, requerirán de atención especial, para lograr la integración entre: las técnicas
algebraicas que se utilizan, la precisión en el uso de la simbología y el correcto razonamiento en las
deducciones.
Para poder aplicar, en situaciones prácticas, los conceptos incorporados en esta unidad
necesitaremos más elementos; los cuales serán completados en las unidades siguientes. No obstante, se
presentan aplicaciones muy sencillas que amenizarán el difícil, pero indispensable camino de la
formalización y la precisión que requiere la ciencia matemática.
En esta etapa esperamos que usted logre superar las dificultades de la simbología, así como
incorporar y afianzar los conceptos presentados en esta unidad, pues ellos se constituirán en la base del
resto de la materia.
Iniciemos, entonces, este caminos juntos; lo invito a recorrer la primera unidad.
 Identificar las características propias de leyes de composición interna y externa, a fin de

establecer sus diferencias.
 Comprobar el cumplimiento o no de las propiedades de las leyes de composición interna para

lograr ductilidad en el manejo algebraico.
 Incorporar el concepto de vector, a fin de operar con ellos en forma simbólica y numérica.
 Aplicar la definición formal en la deducción de la dependencia o independencia lineal de

vectores.
 Analizar en base a propiedades la dependencia o independencia lineal de vectores.
 Verificar si un conjunto de vectores constituye una base de un espacio vectorial y determinar

la dimensión del mismo.
Le presentamos en el siguiente esquema la relación y el orden lógico de los principales temas a
estudiar en esta unidad. A través del mismo, usted podrá comprender de manera integral los distintos
ejes organizadores y su interacción; constituyéndose, de esta manera, en una herramienta de consulta
permanente.
LEYES DE COMPOSICIÓN
Se clasifican Externas
en
Internas
Por ejemplo Por ejemplo
Suma Vectorial
cuyas
operaciones Producto por un escalar
son
Producto Interno
VECTORES
involucra Módulo
los
conceptos
de
Independencia y
Dependencia Lineal
Definición
ESPACIOS VECTORIALES
Base y
Dimensión
En nuestro recorrido por el camino de la matemática, hemos incorporado a las llamadas
“operaciones” como reglas que asignan a elementos de uno o más conjuntos, elementos de otro
conjunto (que puede ser el mismo o no).
La suma de Números Naturales, la resta de Números Enteros, el producto de
números Racionales, etc. son sólo una muestra de las posibles operaciones que
podemos definir.
En este apartado pretendemos extender, caracterizar y analizar, de manera
general, el concepto de operaciones, a través de lo que denominamos leyes de
composición.
Decimos que:
Las leyes de composición son relaciones que se definen a partir de dos

elementos de un mismo conjunto o de dos elementos de dos conjuntos
diferentes.
Esquemáticamente
Ax A  A x A  A
( a, b)  c ( , a )  d
Debido a que en esta asignatura incorporaremos nuevos conceptos matemáticos, tales como
ciertos conjuntos ordenados de elementos –denominados vectores- o arreglos de números dispuestos
en filas y columnas -llamadas matrices-, será necesario que definamos operaciones entre éstos, y
también entre ellos y los números Reales. Esta posibilidad de operar, sobre el mismo conjunto o sobre
distintos conjuntos, nos permite una clasificación de las leyes de composición en internas y externas.
Para interpretar esta clasificación será necesario que recordemos la noción de producto cartesiano
entre conjuntos (AxA) y el concepto de relación entre conjuntos que se encuentra en el material escrito
de Introducción a la Matemática.
Previo a que definamos ley de composición interna, analicemos, por ejemplo, la suma habitual1
de números Naturales (N).
La suma de números Naturales puede pensarse como una NxN  N

relación que asigna a cada par de elementos del producto cartesiano
 x  un único elemento en el conjunto de los números Naturales
(efectivamente, sabemos que la suma de dos números Naturales da (a, b)  a  b  c
por resultado otro número natural).
Así, la característica de relacionar dos elementos de un conjunto y que la imagen vuelva a

pertenecer al mismo conjunto, es lo que nos permite introducir el concepto de ley de composición
interna.
Dado un conjunto no vacío A = {a,b,c,....} de elementos cualesquiera, una

ley de composición interna (L.C.I) definida en A, es una “relación” que
asigna a cada par ordenado (a, b) de AxA un único elemento del conjunto
A.
Si denotamos la ley por * podemos expresar en símbolos esta definición como se presenta a
continuación:
* es una ley de composición interna en A   a  A ,  b  A,  c A / a * b = c
También podemos visualizar la situación usando nuestros conocimientos de relación:
a * b = c, se lee “a
operado con b es
igual a c”
AxA * A
a* b = c
r*s=t
1
Cuando aludimos a operaciones habituales o habituales, nos referimos a aquellas que aprendimos en el nivel
primario, tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división etc.
Veamos algunos casos:
a) En el conjunto de los Números Racionales (Q), el producto definido de la manera habitual es una
L.C.I, (pues el producto de dos números Racionales es otro número racional).
b) En el conjunto de los Números Naturales (N), la resta definida de la manera habitual no es una
L.C.I, (pues la diferencia entre dos Números Naturales no es necesariamente un número natural).
Probablemente nos preguntemos ¿Cómo hacer para diferenciar una ley de composición interna de una
ley habitual?
Como uno de nuestros objetivos es aprender a trabajar con cualquier ley de composición interna, para
diferenciarlas de las leyes habituales, usaremos distintos símbolos.
Los símbolos a usar pueden ser:  ; x ;  ;  ;  ; T ;  ;

 ;  ;  ;  ; etc
Comencemos analizando algunos ejemplos de leyes de composición interna, diferentes de las

habituales.
Ejemplo 1:
En el conjunto de los Números Enteros (E), definamos la siguiente relación,
a  E , b  E, a* b = a + b – 5 ,
donde * indica una nueva ley, mientras que “+” y “–“ son las leyes de composición suma y resta
habituales.
¿Qué significa esto para algunos valores particulares de a y b?
Valores particulares de a y b Resultado de aplicar la ley
Si a= 3 y b= 4 3*4 = 3 + 4 –5  3*4 =2
Si a= 1 y b= -7 1*(-7) = 1 + (-7) –5  1*(-7) =-11

Podríamos seguir haciendo cálculos. No obstante, para establecer si ésta es una ley de composición
interna o no, es necesario que realicemos un análisis general, es decir, el análisis de la situación para
cualquier par de elementos del conjunto.
¿Cómo se debe pensar esta ley en forma general?
Consideremos dos
elementos cualquiera de aE ^ bE
los enteros
los sumemos de la
manera habitual a + b  E,
La suma de dos enteros es un
número entero
y a esa suma le restemos

5 a+b–5E
La resta de dos enteros es un
número entero
Como podemos observar, pensando genéricamente, el resultado final será otro Número Entero, motivo
por el cual, la ley * resulta ser, efectivamente, una ley de composición interna en el conjunto de los
Números Enteros.
Ejemplo 2:
Definamos la relación simbolizada por , en el conjunto de los Números Enteros (E):
a  E , b  E, ab=a +b:2
donde + y : representan suma y división habituales, respectivamente.
Ésta no es una ley de composición interna sobre E, pues si tomamos un número b impar (podríamos
elegir uno particular), b:2 no es un número entero y por lo tanto la suma no será un número entero.
En síntesis, hemos verificado que la ley propuesta en el Ejemplo 1, es una ley de composición interna,
mientras que advertimos que el segundo ejemplo no constituyó una ley de composición interna.
Para evaluar lo comprendido del concepto de ley de composición interna hasta el momento,
realicemos las siguientes actividades.
Actividad 1: En el conjunto de los Números Racionales (Q) se define la siguiente relación:

ab
ab
2
a) Obtenga 3  9 ; 0  4 ; 4  7 ;  2  2
b) Decida y justifique si ésta representa una L.C.I. en Q.
Actividad 2: En el conjunto de los Números Racionales (Q) se define la siguiente relación:
x  y  x. y
a) Obtenga 3  12 ; 0  3 ; 4  1;  2  2
b) Decida y justifique si ésta representa una L.C.I. en Q.
Al igual que algunas de las operaciones habituales, una L.C.I. definida sobre el conjunto
A  { a, b, c, .... } , puede o no gozar de ciertas propiedades. Detallemos a continuación, el
nombre y la expresión simbólica correspondiente a algunas de ellas:
a) Propiedad Asociativa: Diremos que una ley de composición interna es asociativa cuando, al operar
tres o más elementos del conjunto A, el resultado siempre es el mismo independientemente de su
agrupamiento.
En símbolos:
( a  b )  c = a  ( b  c ) ,  a  A, b  A, c  A.
b) Propiedad Conmutativa: Diremos que una ley de composición interna es conmutativa, cuando el
orden en que se operan los elementos del conjunto A no altera el resultado.
En símbolos:
a  b = b  a ,  a  A, b  A.
c) Existencia de Elemento Neutro “e”: Diremos que una ley de composición interna goza de la
propiedad del elemento neutro, cuando existe un único elemento “e” en el conjunto A tal que, para
cualquier elemento “a” del conjunto, operado a izquierda y a derecha, da por resultado el mismo “a”.
En símbolos:
aA, eA / a  e=a  e  a = a.

d) Existencia de Elemento Simétrico: Diremos que una ley de composición interna goza del la
propiedad del elemento simétrico cuando, para cada elemento “a” del conjunto A existe un elemento
“a´ “ en A, tal que operado a izquierda y a derecha por “a” , da por resultado el elemento neutro.
Para cada a  A ,  a´  A / a  a´ = e  a´  a = e
Ejemplo 3:
Volviendo al ejemplo 1, donde vimos que en el conjunto de los Números Enteros (E) la relación:
a  E , b  E, a* b = a + b – 5
es una ley de composición interna, indaguemos si esta ley posee alguna de las propiedades enunciadas.
a) Propiedad Asociativa
Se quiere demostrar que:
( a  b )  c = a  ( b  c ) , a  E , b  E, c  E
Para ello desarrollemos ambos miembros de la igualdad, por separado como sigue:
(a  b)  c a ( b  c )
Independientemente de los
valores que asuman a y b, a
(a + b – 5)  c a  ( b + c –5 )
esta ley la podemos pensar
como:
Primer elemento Segundo elemento
“el primer elemento más el
Segundo elemento Primer elemento
segundo elemento de la
relación menos 5”.
(a + b – 5) + c – 5 a +( b + c –5 ) – 5
a + b + c – 10 = a + b + c – 10
Dado que ambos miembros son iguales podemos afirmar que esta ley es asociativa.
Otra alternativa es, partir del primer miembro y, a través de operaciones válidas, arribar al segundo
miembro.
b) Propiedad conmutativa:
Necesitamos demostrar que:
a  b = b  a , a  E , b  E
Desarrollemos ambos miembros:
a  b=a+b–5 ; b  a=b+a–5
Por propiedad conmutativa de la suma de Números Enteros sabemos que, a + b = b + a Por lo tanto
podemos afirmar que, en este caso, ambos miembros son iguales, es decir, la ley -así definida -es
conmutativa.
c) Existencia de Elemento Neutro “e”
aA, eA / a  e=a  e  a=a
Debemos encontrar un elemento e único tal que operado a izquierda y a derecha de un elemento a
cualquiera nos reproduzca el elemento a.
Partamos de
a  e=a
Aplicamos la ley
a+e–5=a
En esta última expresión estamos en presencia de las operaciones habituales, por lo cual para encontrar
la incógnita e, bastará con resolver esta ecuación. Despejemos adecuadamente:
e=a–a +5
Observemos que el único elemento que cumple con la igualdad es e = 5.
Este primer paso nos sirve para encontrar el posible elemento neutro. Para completar la búsqueda
del mismo, deberemos realizar un procedimiento similar con la igualdad e  a = a.
En este caso no es necesaria esa verificación, esto se debe a que previamente habíamos
demostrado que la ley, así definida, es conmutativa, y por lo tanto el elemento neutro resulta ser único
para todos los elementos del conjunto.
d) Existencia de Elemento Simétrico
Para cada a  A ,  a´  A / a  a´ = e  a´  a = e
En este caso para cada a debemos encontrar un elemento a´ tal que, operado a izquierda y a derecha de
dicho a, nos de por resultado el elemento neutro, es decir e = 5.
Partimos de
a  a’ = e
Apliquemos la ley recordando que el elemento neutro es 5.
a + a’– 5 = 5
Ahora estamos en presencia de las operaciones habituales, por lo cual sólo necesitamos resolver esta
ecuación donde la incógnita es a’.
a’ = 5 + 5 – a
A partir de esta última igualdad, podemos afirmar que, para cada elemento a su elemento simétrico es
de la forma a’ =10 – a
Para verificarlo, deberemos realizar un procedimiento similar con la igualdad a’  a = e.
En este caso no es necesario esa verificación, ¿Por qué?

Para responder a este interrogante, revisemos lo analizado en el item c)
A continuación, definiremos una nueva ley de composición interna, a los efectos de analizar otras
conclusiones sobre el cumplimiento, o no, de las propiedades.
Ejemplo 4:
En el conjunto de los Números Reales (R) definimos la siguiente L.C.I:
a  b  2a  b
Investiguemos si esta ley posee alguna de las propiedades enunciadas.
a) Propiedad Asociativa:
Necesitamos demostrar que:
( a  b )  c = a  ( b  c ) a  R , b  R, c  R
Trabajemos en ambos miembros de la igualdad:
 a  b   c   2a  b   c a   b  c   a   2b  c 
 2  2a  b   c  2a   2b  c 
 4a  2b  c  2a  2b  c
Dado que las expresiones encontradas son diferentes, podemos establecer que la L.C.I, así definida, no
es asociativa.
b) Propiedad conmutativa:
Se quiere demostrar que :

a  b = b  a a  R , b  R
Desarrollemos ambos miembros:
a  b  2a  b ; b  a  2b  a
Nuevamente no se cumple la igualdad, por lo tanto la LCI no goza de la propiedad conmutativa.
c) Existencia de Elemento Neutro “e”
aR, eR / aea  eaa
Consideremos la primera igualdad:

aea  2a  e  a
Resolvamos esta ecuación
2a  e  a  0
ae  0
ae
Como el elemento e que hemos encontrado depende del valor de a, para cada valor de a que elijamos,
el neutro debería ser diferente. Por lo tanto no se cumpliría el requisito de que el neutro es único.
Concluimos de este modo, afirmando que esta ley no goza de la propiedad del elemento neutro.
d) Existencia de Elemento Simétrico

Dado que no existe elemento neutro, no tiene sentido hablar de elemento simétrico.
A partir del ejemplo 4, podemos reafirmar que las leyes de composición interna pueden o no verificar
estas propiedades.
Observemos que:
1- El elemento neutro en una L.C.I., es aquel que al operarlo a la derecha o a la izquierda de un

elemento cualquiera del conjunto A, nos da por resultado el mismo elemento de A.
El elemento neutro debe ser único para todos los elementos del conjunto A (es decir, debe haber uno
solo).
Por ejemplo, en la suma de Números Reales, definida de la manera habitual, el elemento neutro es el
cero: e = 0 . Pues a + 0 = a = 0 + a
En el producto de Números Reales definido de la manera habitual ¿Cuál es el elemento

neutro?¿Porqué?
2- Para hallar un elemento simétrico, necesariamente debemos conocer el elemento neutro de la

operación. El elemento simétrico de una operación es aquel que al operarlo a la derecha o a la
izquierda de un elemento cualquiera del conjunto A, da como resultado el neutro correspondiente a la
operación.
El elemento simétrico debe ser único para cada elemento del conjunto (debe haber uno solo para
cada uno de los elementos del conjunto A).
Por ejemplo, en la suma de Números Reales definida de la manera habitual, el elemento simétrico de
un elemento es su opuesto: a´ = - a pues a + (-a) = 0 = (-a) + a.
En el producto de Números Reales definido de la manera habitual ¿Todos los elementos poseen
simétrico?
Desarrollemos las siguientes actividades, para evaluar cuánto hemos comprendido hasta aquí.
Actividad 3:
Si en Q definimos la siguiente ley :
a.b
a  b
4
Responda, justificando en forma adecuada:
a) ¿Es ésta una L.C.I.?
b) ¿Posee la propiedad Asociativa?
c) ¿Posee la propiedad de elemento neutro?
d) ¿Goza de la propiedad de existencia de elemento simétrico?
Actividad 4:
En el conjunto de los Números Enteros, definimos la siguiente L.C.I:
a  b  a  2b
Responda, justificando en forma adecuada:

a) ¿Esta ley posee la propiedad asociativa?
b) ¿Esta ley posee la propiedad conmutativa?
c) ¿Esta ley posee la propiedad de elemento neutro?
d) ¿Podemos hablar en este caso de elemento simétrico?
Hemos completado el análisis de las leyes de composición interna. Ahora continuaremos con el
estudio de las leyes de composición externa.
A diferencia de las leyes de composición interna- que relacionan dos elementos del mismo conjunto-
podemos tener el caso en que se relacionen dos elementos de distintos conjuntos y obtener así un
elemento dentro de uno, de los conjuntos relacionados. En estos casos estamos en presencia de una ley
de composición externa.
Formalmente:
Dado un conjunto  ={,....} y un conjunto no vacío A = {a,b,c,....} de
elementos cualesquiera, una ley de composición externa en A sobre el
dominio de operadores  (L.C.E.) es una relación que asigna a cada par
ordenado ( , a) de  xA un único elemento en el conjunto A”
En símbolos, si denotamos la ley por ,
 es una L.C.E en A sobre      , a  A ,  c A /   a = c
 xA  A
( , a) c
Por ejemplo:
1) Sean = {2, 3, 5} y A= Naturales, definimos de  x A en A el producto habitual; entonces el

resultado es otro elemento de A, por lo tanto es ley de composición externa.
2) Sean = {-2, 3, 5} y A= Naturales, definimos de  x A en A el producto habitual, entonces el

resultado no siempre es otro elemento de A, por lo tanto no es ley de composición externa.
3) Considerando el conjunto formado por todos los ángulos y

el conjunto de los Números Naturales, claramente podemos
multiplicar un número natural por cualquier ángulo, o
podemos dividir cualquier ángulo por un número natural y en
ambos casos el resultado será otro ángulo. Así, a partir de dos
elementos de distintos conjuntos, podemos obtener un
elemento de uno de los conjuntos relacionados. En
consecuencia, ambas resultan ser leyes de composición
externa.
4) Sea =  y A= {pares ordenados de Números Reales},

definimos en  x A la relación:
a (x,y) = (ax, ay)
ésta resulta L.C.E, pues el resultado es un par de Números Reales, es decir, es un elemento de A.
Actividad 5:
Sea =  y A= {pares de ordenados de Números Reales}, definimos en  x A la relación:
a (x,y) = (ax, ay -1) .
¿Será ésta una L.C.E, en  x A sobre el dominio de operadores  ? ¿Por qué?
Ahora, para perfeccionar el estudio de las leyes de composición, realicemos los ejercicios 1) a 8)
enunciados al final de esta unidad. De esta manera finalizamos el estudio de las leyes de composición.
Debemos tener presente que cuando hablamos de escalares

estamos haciendo alusión a números reales.
Previo a avanzar en el resto de los temas de esta unidad, necesitaremos repasar y recordar ciertos
conocimientos que poseemos sobre los Números Reales y de conjuntos que surgen a partir de ellos;
esto se debe a que en esta asignatura, todas las definiciones tienen su basamento en un conjunto
considerado fundamental en la matemática, y en sus operaciones: “Cuerpo de los Números Reales”.
1)
En el conjunto de los Números Enteros (E), definimos la siguiente relación:
a T b  4. a  b
¿Es una ley de composición interna sobre E?
2)
Dado el conjunto 2 , con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w )
a) Obtenga (3 , 5)  (2 , 4) y (1 , 5)  (1 , 4) .
b) Determine y justifique si ésta representa una L.C.I. en 2.
3)
Dado el conjunto formado 2 con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 )
a) Obtenga (3 , 5)  (2 , 4) y (1 , 5)  (1 ,  4) .
b) Determine y justifique si ésta representa una L.C.I. en 2.
4)
Dado el conjunto 2 con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(m , n) + (f , t) = ( 2 , n + t )
Verifique si el conjunto anterior, con la operación así definida, cumple con la propiedad asociativa y
conmutativa. ¿Posee elemento neutro?
5)
Se define en 2 la siguiente L.C.I.:
(x , y) * (z , w) = ( x + z +3 , y + w )
Responda justificando adecuadamente:
a) ¿Posee elemento neutro?

b) ¿Cumple la propiedad del elemento simétrico?
c) ¿Es esta ley asociativa?
6)
Establezca, justificando en cada caso, las propiedades que poseen las leyes de composición interna
que se presentan a continuación:
I) a  b  2.( a  b) definida en el conjunto de los Números Reales.
II) a  b  3 . a  2 . b definida en el conjunto de los Números Reales.
( a  b)
III) a  b  definida en el conjunto de los Números Racionales.
2
IV) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números

Reales.
V) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w 8 ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números

Reales.
VI) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números Reales.

7)
Sean = {2, 3, 5} y A= Números Enteros pares. Definimos de  x A en A el producto habitual.
¿Podemos afirmar que estamos en presencia de una ley de composición externa?
8)
Sean = {-2, 3, 5} y A= Números Enteros impares. Definimos de  x A en A la suma habitual.
Actividad 1:
39 04 4  7 3 2  2
a) 3  9   6; 0  4   2;  4  7   ; 2  2  0
2 2 2 2 2
b) Ésta representa una L.C.I. en Q, pues si sumamos dos Números Racionales obtenemos un Número
Racional, y al dividir por dos el resultado es un Número Racional
Actividad 2:
a) 3  12  3 .12  6; 0  3  0.3  0;  4  1  4 .1  Q;  2  2  2 . 2  Q
b) Ésta no representa una L.C.I. en Q, pues por ejemplo 4  1  4 .1  Q
Actividad 3:
a) Sí, es L.C.I. en Q pues si multiplicamos dos Números Racionales y dividimos por cuatro resulta un
Número Racional.
b) ¿Es Asociativa? Sí, pues desarrollando ambos miembros llegamos a una identidad.
?
a  b  c  a  b  c 
?
a.b b.c
 c a 
4 4
a.b b.c
. c ? a.
4  4
4 4
a .b.c a .b.c

16 16
a) ¿Posee elemento neutro? Sí.
 si a  0  e  4
a.e 
a  ea   a  a .e  4a  
4  si a  0  0.4  0

Por lo tanto e = 4 es neutro a derecha.

De forma similar observamos que e = 4 es neutro a izquierda, por lo que concluimos que:
e = 4 es el elemento neutro de esta ley.
a) ¿Goza de la propiedad de existencia de elemento simétrico? NO.

a . a
a  a  4   4  a . a  16 , en particular si a=0, no existe número racional tal que,
4
multiplicado por 0 nos de 16. Por lo tanto, esta ley no goza de la propiedad del elemento simétrico.
Actividad 4:
a) ¿Esta ley es asociativa?:

?
 a  b   c  a  (b  c )
?
 a  2b   c  a   b  2c 
?
 a  2b   2c  a  2  b  2c 
a  2b  2c  a  2b  4c
Vemos que no se cumple la propiedad asociativa.
b) ¿Es conmutativa?:
?
a  b b  a
a  2b  b  2a
Esta ley no goza de la propiedad conmutativa.
c) ¿  e  E / a  e  e  a  a a  E ?
a  e  a  a  2e  a  e  0
e  a  a  e  2a  a  e   a
Para que se cumplan ambas condiciones a debería ser igual a cero, pero partimos del supuesto que a
era cualquier número entero. Concluimos que no existe elemento neutro.
d) Como no existe elemento neutro, no tiene sentido hablar de elemento simétrico.
Actividad 5:
Sea =  y A= {pares de ordenados de Números Reales}, definimos en  x A la relación:
a (x,y) = (ax, ay -1) .

Ésta es L.C.E, de  x A sobre el dominio de operadores  , pues analizando componente a
componente, cualquiera sea el valor de a resulta ax un valor real, al igual que ay -1. Siendo el
resultado de esta ley un nuevo par ordenado de Números Reales.
Respuestas a los ejercicios
1) a T b  4. a  b , es una ley de composición interna sobre E.
2) a) (3 , 5)  (2 , 4)  (5 , 9) y (1 , 5)  (1 , 4)  (0 , 9) .
b) Si, (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w ) representa una L.C.I. en 2.
3) Dado el conjunto formado 2, con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 )
a) (3 , 5)  (2 , 4)  (5 , 7) y (1 , 5)  (1 ,  4)  (0 , 5  2i) .
b) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 ) no representa una L.C.I. en 2, pues para algunos valores de w,
la segunda componente resulta un valor complejo.
1) La operación: (m , n) + (f , t) = ( 2 , n + t )
Es asociativa, no es conmutativa y no posee elemento neutro.
5) La L.C.I, definida en 2:

(x , y) * (z , w) = ( x + z +3 , y + w )
a) Posee elemento neutro: e = (-3, 0)

b) Cumple la propiedad del elemento simétrico.
c) Es asociativa.
6)
I) a  b  2.( a  b) definida en el conjunto de los Números Reales.
No es asociativa.
Es conmutativa.
No posee neutro.
No tiene sentido plantear la propiedad del elemento simétrico.
II) a  b  3 . a  2 . b definida en el conjunto de los Números Reales.

No es asociativa.
No es conmutativa.
No posee neutro.
( a  b)
III) a  b  definida en el conjunto de los Números Racionales.
2
No es asociativa.
No es conmutativa.
No posee neutro.

Reales.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Posee neutro.
Goza de la propiedad del elemento simétrico.
V) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w 8 ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números

Reales.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Posee neutro.

Es asociativa.
No es conmutativa.
No posee neutro.
7) Sean = {2, 3, 5} y A= Números Enteros pares. Definimos de  x A en A el producto usual. Es

una ley de composición externa.
8) Sean = {-2, 3, 5} y A= Números Enteros impares. Definimos de  x A en A la suma usual. No es

Matemática I. CBD. Nancy Stanecka
UNIDAD I: Segunda parte

ÁLGEBRA VECTORIAL
Introducción
A continuación se incorporará el concepto de vector, rescatando su simbología, notación, las
operaciones con vectores y sus propiedades. Si bien hasta aquí trabajar con vectores no será difícil, los
temas siguientes: combinación lineal, independencia y dependencia lineal, espacio vectorial y base
de un espacio vectorial, requerirán de atención especial, para lograr la integración entre: las técnicas
algebraicas que se utilizan, la precisión en el uso de la simbología y el correcto razonamiento en las
deducciones.
Para poder aplicar, en situaciones prácticas, los conceptos incorporados en esta unidad
necesitaremos más elementos; los cuales serán completados en las unidades siguientes. No obstante, se
presentan aplicaciones muy sencillas que amenizarán el difícil, pero indispensable camino de la
formalización y la precisión que requiere la ciencia matemática.
2. VECTORES
2.1 Concepto de vector
El término vector tiene distintas acepciones de acuerdo a su contexto. Geométricamente, lo

consideramos como un segmento con longitud, dirección y sentido. De manera similar, en física lo
entendemos como representativo de una magnitud física; en biología como un agente que sirve como
medio de transmisión; etc.
Nuestra definición se restringe a un punto de vista algebraico, en tal sentido, consideramos un
vector como un conjunto ordenado de Números Reales.
Formalmente:
Un vector de orden “n”definido sobre el cuerpo de escalares ℜ, es un

conjunto ordenado de n elementos de ℜ. Se los denota por letras
mayúsculas, generalmente las últimas, o con minúsculas en negrita y sus
elementos se encierran entre paréntesis o corchetes.
Por ejemplo:
3
V= ( -5, 1, 0) es un vector de orden tres. W =   es un vector de orden dos.
5
11
Como vemos, los vectores se pueden expresar en forma horizontal (vector fila) o en forma vertical
(vector columna).
Adoptaremos como convención que, si un vector W está en columna, el vector fila asociado se denota
como W ’, se lee “W traspuesto” y recíprocamente.
3
W=   W’=[3 5]
5
Gráficamente un vector V=(x,y) se puede

visualizar como
un segmento dirigido desde el origen del y
sistema P(x , y)
de coordenadas hasta el punto P(x,y) del V
plano.
x
A cada elemento del vector lo denominamos componente, y debido a que se trata de un conjunto
ordenado de elementos, podemos referirnos a ellas de la siguiente manera:
V= ( -1, 3, 0)
Primera componente Tercera componente
Segunda componente
En el transcurso de la unidad:
• Usaremos indistintamente paréntesis o corchetes.
• Trabajaremos con vectores filas o columnas, de acuerdo a cómo se presenten los vectores.
• Recurriremos a los subíndices cuando se trabaje con una cantidad arbitraria de vectores. Así,
si queremos indicar cierta cantidad k de vectores utilizaremos la notación V1 , V2 ,… , Vk
Actividad 6:
a) Complete el siguiente cuadro:
12
Vector Orden Segunda componente. Traspuesto
V1= (-1, 0)
V2= (-1, 8, -4)
V3= (1, 7)
V4= ( 1, 6, 2, -1)
b) Grafique en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes vectores:
V1= (-1, 3) ; V2= (-1, -4) ; V3= (1, 2) ; V4= ( 2, -1)
c) ¿Cuál es el orden de cada uno de estos vectores? ¿Es posible graficar vectores de orden 3, en un
sistema de coordenadas con sólo dos ejes?
¡La posición de los componentes de un vector no puede alterarse!
Como muestra de ello, imaginemos un archivo, donde los datos de postulantes a un concurso de
belleza se registran de la forma:
(Peso, edad, contorno de cadera) = (52, 25, 90)
Si alteramos el orden de las componentes de este vector, por ejemplo:
(25, 90, 52)

podremos concluir erróneamente que se está en presencia de una señora con 25 kg., de 90 años y 52
cm. de contorno de cadera.
A partir de aquí, nos será más sencillo simbolizar en forma general un vector de cualquier orden.
¡Avancemos en la generalización!
La notación adecuada para un vector de n componentes Reales es la siguiente:
13
 x1 
x 
X= [x1, x2, , xn] ó X = 2
⋮ 
 
 xn 
y nos referiremos a sus componentes como:
 x1  primera componente
x 
 2 segunda componente
⋮ 
X = 
 xi  i − ésima componente
⋮ 
 
 xn  n − ésima componente
Observemos que, para indicar una componente cualquiera, se hace referencia a la i-ésima
componente.
Algunas definiciones de importancia para tener en cuenta
Igualdad de vectores: Dos vectores serán iguales cuando sus respectivas componentes sean iguales.
En símbolos:
 x1   y1 
x  y 
Sean X =  2  ; Y =  2  diremos que X = Y xi = yi ∀ i = 1, 2, . . . , n
⋮  ⋮ 
   
 xn   yn 
Algunos vectores reciben nombres particulares debido a los valores que asumen sus componentes.
Entre ellos podemos citar el vector nulo y los vectores unitarios.
Vector nulo
El vector que tiene todas sus componentes iguales a cero se denomina vector nulo y se simboliza ∅.
Por ejemplo: ∅= (0, 0, 0, 0) Vector nulo de orden 4.
Vector unitario
El vector i-ésima unidad es aquel que tiene el valor 1 en la i-ésima componente y el resto de ellas son
iguales a cero. Se los suele denotar Ei.
Ejemplo: Los vectores i-ésima unidad de orden 3 son:
14
1  0  0 
E1 = 0  ; E2 = 1  ; E3 = 0 
   
0  0  1 
¿Cuáles serán los vectores i-ésima unidad de orden 4?
Al igual que cuando estamos en presencia de conjuntos de Números se definen operaciones entre
ellos; algebraicamente se pueden definir leyes de composición con vectores. Entre ellas, las más
importantes, son la suma vectorial y el producto por un escalar.
2.2 Suma de vectores
La suma de dos vectores del mismo orden, es otro vector del mismo orden
cuyas componentes se obtienen sumando las respectivas componentes de los
vectores dados.
.
En símbolos:
 x1   y1   x1 + y1 
x   y  x + y 
X + Y =  2 +  2 =  2 2
⋮  ⋮   ⋮ 
     
 xn   y n   xn + y n 
Por ejemplo:
 2  3  2 + 3  5
 −1  0   −1 + 0   −1 
X+Y=   +   =  = 
 4  1   4 +1   5
       
5  −1   5 + ( −1)   4 
Observamos, por definición, que la suma vectorial es una ley de composición interna.
Usemos la suma vectorial para un problema económico simple, realizando la siguiente actividad.
15
Actividad 7:
Tenemos la información ordenada de las ventas de tres productos en dos meses consecutivos. Para
cada mes, a esa información la registramos usando vectores de la siguiente manera:
120  103
V1 =  45  ; V2 =  88 
 
102   91 
Donde V1 representa las ventas del mes 1 y V2 las ventas del mes 2 de los productos A, B y C
respectivamente.
Si queremos conocer la venta total de los dos meses discriminada por producto, entonces:
a) ¿Cómo podemos obtener esta información usando vectores?

b) ¿Qué forma matemática tendrá el resultado?
c) ¿Sería posible un cálculo similar si los vectores dados estuvieran en distinto orden?
Pensemos, seguramente ya tenemos la respuesta a estos interrogantes.
Propiedades de la suma de vectores:
En este apartado especificaremos las propiedades y presentaremos sus correspondientes

demostraciones.
¡No hay que espantarse con las demostraciones! En ellas, a partir de ciertos
supuestos y aplicando una sucesión lógica y/o algebraica de conocimientos
pre-adquiridos, se logra arribar a una conclusión general.
1) Propiedad Asociativa:
Queremos demostrar que ( X + Y ) + Z = X + (Y + Z ) para todo X , Y, Z vectores del mismo orden.
Demostración:
Consideremos tres vectores cualquiera de orden n, digamos X ,Y, Z.
Partiremos del primer miembro y luego, a través de una sucesión de pasos algebraicos, llegaremos al
segundo miembro.
  x1   y1    z1 
     
x y z
( X + Y ) + Z =   2  +  2   +  2  , respetamos la jerarquía de los paréntesis y operamos
⋮ ⋮ ⋮
     
 x   y   z 
 n  n  n
16
 x1 + y1   z1 
x + y  z 
=  2 2
+  2  , aplicamos la definición de suma vectorial
 ⋮  ⋮ 
   
 xn + y n   z n 
( x1 + y1 ) + z1 
 
( x2 + y2 ) + z2 
=  , por propiedad asociativa de los Números Reales
 ⋮ 
( xn + yn ) + zn 
 x1 + ( y1 + z1 ) 
 
 x2 + ( y2 + z2 ) 
=  , por definición de suma vectorial
 ⋮ 
 xn + ( yn + zn ) 
 x1   y1 + z1 
x   y + z 
= 2+  2 2
, que puede expresarse como
⋮   ⋮ 
   
 xn   y n + z n 
= X + (Y + Z )
De esta manera demostramos que, efectivamente, la suma vectorial es asociativa.
2) Propiedad Conmutativa:
Queremos demostrar que X + Y = Y + X para todo X , Y, son vectores del mismo orden.
Demostración:
Esta resolución es aún más sencilla que el caso anterior.
Consideremos dos vectores cualquiera X ,Y de orden n.
 x1   y1   x1 + y1   y1 + x1   y1   x1 
    x + y   y + x   y  x 
 x2   y 2 
X +Y = + =  2 2
=  2 2
=  2+  2 =Y + X
⋮  ⋮   ⋮   ⋮  ⋮  ⋮ 
           
 xn   yn   xn + y n   yn + xn   yn   xn 
Por propiedad conmutativa de la suma

de Números Reales
17
De esta manera demostramos que efectivamente la suma vectorial es conmutativa.
3) Existencia de elemento neutro:

Queremos encontrar si existe un vector H de orden n tal que cumpla:
X +H = X =H +X , ∀ X vector de orden n
Demostración:
Planteamos la condición que debe cumplir H cualquiera sea X y operamos.
 x1   h1   x1   x1 + h1   x1 
      x + h  x 
X +H = X ⇒  x2  +  h2  =  x2  ⇒  2 2
=  2
⋮  ⋮  ⋮   ⋮  ⋮ 
         
 xn   hn   xn   xn + hn   xn 
Luego, por definición de igualdad de vectores, surge el siguiente sistema de ecuaciones, cuya
resolución nos indica que todas las componentes de H son ceros.
 x1 + h1 = x1 ⇒ h1 = 0
x + h = x ⇒ h = 0
 2 2 2 2

 ⋮
 xn + hn = xn ⇒ hn = 0
Encontramos así, que el elemento neutro de la suma de vectores es el vector nulo.

No es necesario en este caso probar que es neutro a izquierda, pues ya hemos probado que la ley es
conmutativa.
4) Existencia de elemento simétrico:

Queremos encontrar para cada vector X de orden n su elemento simétrico, es decir un vector X* de
orden n tal que cumpla que:
X + X* = ∅ = X *+X
Demostración:
Planteamos la condición que debe cumplir X* para cada X y operamos.
 x1   x *1   0   x1 + x *1   0 
         
X + X* = ∅ ⇒  x2  +  x * 2  =  0  ⇒  x2 + x *2  =  0 
 ⋮   ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
         
 xn   x *n   0   xn + x *n   0 
18
Surge el siguiente sistema de ecuaciones, cuya resolución nos indica que las componentes X* son los
correspondientes opuestos de las componentes de X.
 x1 + x *1 = 0 ⇒ x *1 = − x1

 x2 + x *2 = 0 ⇒ x *2 = − x2

 ⋮
 xn + x *n = 0 ⇒ x *n = − xn
Nuevamente, en este caso, no es necesario probar que también es simétrico a izquierda.
Las propiedades de la suma vectorial se pueden sintetizar de la siguiente manera:
Propiedad En símbolos
Asociativa ∀ X , Y, Z vectores de orden n : ( X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
Conmutativa ∀ X , Y vectores de orden n : X + Y = Y + X ,
Elemento neutro ∀ X vector de orden n : X + ∅ = X = ∅ + X
Elemento simétrico Para cada X vector de orden n : X + ( − X ) = ∅ = ( − X ) + X
Actividad 8
Dados los vectores:
V1 = [1 , − 2] ; V2 = [ −1 , 4] ; V3 = [ 0 , 0]
Aplique propiedades de la suma vectorial para obtener V1 + ( ( −V1 ) + V2 ) + ( −V2 ) + (V3 + V2 )
2.3 Producto de un vector por escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector del mismo orden,

cuyas componentes se obtienen multiplicando el escalar por las
correspondientes componentes del vector dado.
En símbolos:
19
 x1  α x1 
x  α x 
α X= α  2=  2
⋮   ⋮ 
   
 xn  α xn 
Por ejemplo:
 2
 −1
Siendo X =   cuál es el vector −3 X
 4
 
5
 2  ( −3).2   − 6 
 −1  ( −3).( −1)   3 
−3 X = −3   =  = 
 4  ( −3).4   −12 
     
5  ( −3).5   −15 
Observamos que, el producto por un escalar es una ley de composición externa. Identifique claramente
los conjuntos intervinientes.
Usemos el producto por un escalar en una aplicación sencilla, realizando la siguiente actividad.
Actividad 9:
Tenemos la información ordenada del costo de tres productos, la cual se ha registrado en forma
vectorial de la siguiente manera:
10 
C =  40 ,
 20
donde las componentes de C constituyen el costo de los productos A, B y C respectivamente.

Si queremos conocer el precio de venta de cada producto, sabiendo que al precio de costo se le debe
cargar un 30%, entonces:
a) ¿Cómo podemos obtener esta información usando vectores?

b) ¿Qué forma matemática tendrá el resultado?
Recuerde: Para obtener el costo luego de un aumento porcentual “p”, se plantea x = c(1 + p/100)
Propiedades del producto de un escalar por un vector:
El siguiente cuadro resume las propiedades del producto de un escalar por un vector
20
Asociativa con respecto al ( α . β) X = α (β X)
producto de escalares.
Distributiva con respecto a ( α + β) X = α X + β X
la suma de escalares.
Distributiva con respecto a α (X + Y) = α X + α Y
la suma de vectores.
Elemento unidad
α X=X α =1
0X=∅
Cero escalar
Cero vector
α ∅=∅
Conmutativa
α X=Xα
Actividad 10:
De manera similar a las demostraciones realizadas para el caso de la suma de vectores, realice la
demostración de las tres primeras propiedades del producto de un escalar por un vector.
Nota: Las cuatro últimas propiedades enunciadas, resultan del planteo de la condición de igualdad de
vectores y son de conclusión inmediata.
Definidas la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, obtenemos, implícitamente, la

definición de la resta X − Y , entre dos vectores del mismo orden.
Denotamos: (−1)Y = −Y , por lo tanto X − Y = X + (−1)Y .
En la práctica, la resta no se
transforma en suma, sino
que se resta componente a
componente.
Ejemplo:
 3   4   3 − 4   −1 
X − Y =  −1 −  3  =  −1 − 3  =  − 4 
 2   −2   2 − ( −2)   4 
21
Veamos la utilidad de estas propiedades, a través de la siguiente actividad.
Actividad 11
Dados los vectores:
V1 = [1 , − 2] ; V2 = [ −1 , 4] ; ∅ = [ 0 , 0]
Aplicando las propiedades, obtenga X tal que 2 V1 + 3 ( ( −V1 ) + V2 ) + X − 2 V2 = ∅
2.4 Producto interno de vectores
El producto interno entre dos vectores del mismo orden es el Número Real, que
surge de la suma de los productos de las respectivas componentes de los vectores
dados.
Por ejemplo:
 5
 
X’ = [ 2 -4 1 ] Y =  6
 1 
X’. Y = 2.5 + (-4) .6 + 1.1
= -13
En símbolos:
 y1 
 y 2  su producto interno es
Sean X’ = [ x1 , x2 , ...., xn ] y Y = 
 ⋮ 
 
 yn 
X’ .Y = x1. y1 + x2 .y2 ....+ xn.yn
22
O en forma abreviada:
n
X '.Y = ∑ xi yi
i =1
Observe: El producto interno de un vector por sí mismo, es igual a la suma de los cuadrados de sus
componentes.
n
X’ . X = x1. x1 + x2 .x2 ....+ xn.xn = ∑x
i =1
i
2
El siguiente es un concepto que se deriva del producto interno:
Dos vectores X e Y, del mismo orden, se dicen ortogonales, cuando

suproducto interno es igual a cero.
 −1 1
Ej: Sean X=   y Y =  el producto interno entre ellos está dado por:
1  1
X’. Y = -1.1 + 1.1 = 0
Concluimos que X y Y son ortogonales.
Actividad 12: Calcule los siguientes productos internos y determine en cada caso, si los vectores son
ortogonales o no. Grafique en un sistema de coordenadas cartesianas los vectores de los casos a) y b) y
analice el ángulo que ellos forman.
4
 −1  
a) [ 2, 2].  1  c) [1, 2, −1] . −1
 
   0 
 1 
 3  
b) [ 0, − 5] .   d) 1, 2, − 3  .  2 

 0  3
 
Propiedades del producto interno
El producto interno goza de las siguientes propiedades:
23
1) Asociativa mixta:
∀ X , Y vectores de orden n, α ∈ℜ α (X’.Y) = (α X’) .Y
Demostración:
n A partir del primer miembro, empleamos la definición de producto

α ( X '.Y ) = α ∑ xi yi interno.
i =1
n
Aplicamos la propiedad distributiva del producto de Números
= ∑ α xi yi
i =1
Reales con respecto a la suma.
n
= ∑ (α xi ) yi Asociamos el escalar con las componentes del primer vector.
i =1
La suma anterior representa el producto interno entre los vectores

= (α X ' ) Y
(α X’) e Y, por lo tanto, se demuestra la propiedad.
2) Conmutativa:
∀ X , Y vectores de orden n X’.Y = Y’ X
3) Distributiva:
∀ X , Y , Z vectores de orden n X’ (Y +Z) = X’ .Y+ X’. Z
La siguiente actividad será un desafío para nuestro dominio algebraico y nuestra capacidad de
deducción. ¡Intentémoslo!
Actividad 13: Demuestre las propiedades 2) y 3).
2.5 Módulo o valor absoluto de un vector
Consideremos un vector de orden 2, X = [ x1 , x2 ] y grafiquemos el mismo en un sistema de

coordenadas cartesianas.
Y
x2
Si deseamos encontrar la longitud de este vector, podríamos
recurrir a la geometría, pensando al vector como la hipotenusa de
un triángulo rectángulo, cuya base mide x1 y cuya altura mide x2.
En tal caso, el teorema de Pitágoras nos especifica que dicha
longitud se obtiene como la raíz cuadrada de la suma de los
O x1 X
24
cuadrados de los catetos. Es decir, que la longitud de X = x12 + x22
Así, a partir de esta idea, podemos extender el concepto de longitud de un vector (módulo o valor
absoluto) a un vector de cualquier orden, como sigue:
El módulo o valor absoluto de un vector X = [ x1 , x2 , ...., xn ]’ es igual a la

raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Se simboliza
como X .
En símbolos:
X  = x12 + x 22 + ... + x n2
Por ej: = [ 4 , 3 , 0 ]’ entonces X  = 4 2 + 32 + 0 2 = 5
Propiedades del módulo de un vector
Si X = [ x1 , x2 , ...., xn ]’
1) El módulo de un vector es no negativo.  X ≥ 0.
2) Desigualdad de Schwartz : El módulo del producto interno entre dos vectores es menor ó igual, al
producto de los módulos de los vectores dados.
En símbolos:  X’ .Y≤  X’ . Y .
3) Desigualdad de Minkomski ó triangular. El módulo de la suma de dos vectores es menor ó igual, a

la suma de los módulos de los vectores intervinientes.
En símbolos:  X + Y ≤  X + Y .
Vector normal: Un vector se dice normal cuando posee módulo igual a 1.
Las siguientes actividades le servirán para afianzar el cálculo del módulo de un vector.
Actividad 14:
Verifique el cumplimiento de las propiedades de módulo de un vector, para el caso en que
X ′ = [ 0, −3, 4] ; Y ′ = [ −1, 3, 5]
25
Actividad 15:
Indique, justificando su elección, cuál o cuáles de los siguientes vectores es normal.
a) V1 = 1, 2, − 3 

b) V2 = [1, 1, −1]
c) V3 = 1/ 3, 1/ 3, −1/ 3, 0 

d) V4 = [ 4 / 5, 3 / 5]
Revisaremos el siguiente video, para complementar lo estudiado hasta aquí respecto al

tema vectores.
Para acceder al material en la web dirigirse a la sección sitios del aula virtual
correspondiente a esta asignatura.
2.6 Combinación lineal de vectores
La suma vectorial y producto por un escalar, las podemos combinar generando nuevos vectores del
mismo orden, como se especifica a continuación:
Un vector V se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

del mismo orden {V1 , V2 ,… , Vk } , si existen escalares α1 , α 2 ,… , α k de
forma que:
V = α1 V1 + α 2 V2 + … + α k Vk
Ejemplo:
1) Al vector V = [3 , − 5] lo podemos expresar, como combinación linealque

Es decir, deuna vectores V1 = [1 , 0]
los combinación
y V2 = [ 0 , − 1] de la siguiente manera:
lineal es una suma de productos de
escalares por vectores
[3 , − 5] = 3 [1 , 0] + 5 [0 , − 1]
26
Quizás en este caso nos resultó simple calcular el valor de los escalares. En general, esto no es tan
sencillo, y encontrar los correspondientes escalares requerirá de un adecuado planteo y algo de trabajo
algebraico. Veamos un ejemplo:
  2  1  
Consideremos el siguiente conjunto de vectores:    ;  
  −4   2  
 0
¿Podremos expresar al vector   como combinación lineal de los vectores dados?
 −8 
¿Cuál es el planteo y el desarrollo que debemos realizar?
El planteo debe ser acorde a lo que deseamos obtener. Necesitamos determinar si existen escalares α1
y α2 tales que:
 2  1   0
α1   + α2   =  
 −4   2   −8 
Para ello debemos operar vectorialmente. Multipliquemos los vectores por los escalares. Así
obtenemos:
 2α1  1α 2   0 
 −4α  +  2α  =  −8
 1  2  
Sumemos los vectores. Resulta entonces la siguiente igualdad vectorial:
 2α1 + α 2   0 
 −4α + 2α  =  −8
 1 2  
Para que estos vectores sean iguales, deben serlo componente a componente de donde surge el
siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2α1 + α 2 = 0

−4α1 + 2α 2 = −8
Resolviendo el sistema se obtiene:
27
α1 = 1 α2 = −2
Hemos encontrado los únicos escalares que son solución del sistema. Concluimos que la única forma
 0
de expresar al vector   , como combinación lineal de los vectores dados es:
 −8 
 2  1   0
1.   + (−2)   =  
 −4   2   −8 
Veamos si estamos en condiciones de reproducir el planteo anterior y encontrar los escalares en las
siguientes actividades.
Actividad 16:
A) Mediante un planteo adecuado, encuentre el valor de los escalares que le permitan expresar al
vector V = [3 , − 5] como combinación lineal de los vectores V1 = [1 , 3] y V2 = [1 , 5] .
B) Dados los vectores: V1 = [1 , 2 , 0 ] ; V2 = [1 , − 1 , 3] ; V3 = [ −2 , 1 , 1]
a) ¿Es posible expresar el vector X = [1 , 1 , 1 ] como combinación lineal de V1 , V2 y V3? En caso

afirmativo, encuentre dicha combinación lineal.
Habrá ocasiones en las que no es posible expresar un vector como combinación lineal de otros, para
ejemplificar esta situación le proponemos la siguiente actividad
Actividad 17:
Dados los vectores: V1 = [1 , 2 , 0 ] ; V2 = [1 , − 1 , − 3] ; V3 = [ −2 , − 1 , 3]
Operando adecuadamente, verifique que no es posible expresar el vector X = [1 , 1 , 1 ] como

combinación lineal de V1 , V2 y V3.
Revisemos lo estudiado hasta aquí sobre vectores desarrollando los ejercicios 9) a 20), enunciados al
final de esta unidad.
28
2.7 Independencia y dependencia lineal de vectores
En la sección anterior hemos visto el concepto de vector; algunos vectores especiales como el
vector nulo y los vectores unitarios; las operaciones de suma vectorial y producto por un escalar.
Como así también introdujimos la definición de combinación lineal de vectores.
A continuación, incorporaremos dos conceptos sumamente importantes, ellos son independencia y
dependencia lineal de vectores. Éstos contribuirán al tratamiento teórico y práctico de otros temas
que desarrrollaremos más adelante, tales como base de un espacio vectorial y rango.
Intuitivamente, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se

puede expresar como combinación lineal del resto.
Por ejemplo:
El conjunto de vectores {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0) ; (0, 0, 3) } es linealmente independiente, esto se deba a

que ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal del resto.
En oposición al concepto anterior, diremos que un conjunto de dos o más vectores es linealmente
dependiente cuando, al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto.
Por ejemplo:
El conjunto de vectores {(1, 0, 0) ; (2, 0, 0) ; (0, 0, 3) } es linealmente dependiente, pues:
(2, 0, 0) = 2. (1, 0, 0) + 0. (0, 0, 3)
Es decir, que uno de los vectores del conjunto puede expresarse como combinación lineal del resto.
Con ello, la existencia o no de dichas combinaciones lineales es lo que caracterizará a la

independencia o dependencia lineal. Sin embargo, este concepto no tendría sentido si se tratase de un
único vector, siendo necesaria en consecuencia, una definición formal que incluya a la anterior y a la
vez sea exhaustiva.
Diremos entonces que:
Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } es linealmente independiente

(L.I.) si
la igualdad:
α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅,
se verifica únicamente para α1 = 0 ; α2= 0 ; . . . ; αk = 0
29
En oposición a este concepto, podemos establecer que:
Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } es linealmente dependiente

(L.D.) si la igualdad:
α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅, se verifica para al
menos un αi ≠ 0
En el punto 2.8 Propiedad 1 veremos que, para dos o más vectores la definición intuitiva y la formal
son equivalentes.
Ejemplos:
1) Necesitamos determinar la independencia o dependencia lineal del siguiente conjunto de

vectores:
  2   −1 
  ;   
 3   2  
Para ello planteamos la combinación lineal:
 2  −1 0 
α1   + α 2   =  
3   2  0 
y operamos:
 2α1   −1α 2  0

3α  +  2α  = 0
 1  2   
 2α1 − α 2  0 
3α + 2α  = 0 
 1 2  
Por igualdad de vectores resulta:
2α1 − α 2 = 0

3α1 + 2α 2 = 0
30
Si resolvemos este sistema observamos que, α1 = 0 ; α2= 0 ,por lo tanto, el conjunto de los vectores
dados es linealmente independiente.
2) Necesitamos determinar la independencia o dependencia lineal del siguiente conjunto de vectores:
  2  −1 
  ;   
  −4   2  
Planteamos la combinación lineal:
 2  −1 0 
α1   + α 2   =  
 −4   2  0
 2α1   −1α 2   0
 −4α  +  2α  =  0
 1  2   
 2α1 − α 2  0 
 −4α + 2α  = 0 
 1 2  
2α1 − α 2 = 0 ⇒ 2α1 = α 2

−4α1 + 2α 2 = 0 ⇒ −4α1 + 2 ( 2α1 ) = 0 ⇒ 0α1 = 0 ⇒ α1 ∈ℜ
¡Es decir que, α1 puede

Resolviendo, observamos que el sistema tiene infinitas soluciones. asumir cualquier valor real!
Entonces, podemos encontrar
uno distinto de cero.
Concluimos que, para expresar al vector nulo, como combinación lineal de los vectores dados, existe
al menos un escalar distinto de cero y, por lo tanto, el conjunto de vectores dados es linealmente
dependiente.
Ahora analicemos qué ocurre si tenemos más vectores.
3) Se desea verificar si el conjunto de vectores {(1, 2, -1)’; (0, 4, 1)’ ; (1, -2, 1 )’} constituye un
conjunto de vectores linealmente independiente o linealmente dependiente.
El planteo y el procedimiento son respectivamente idénticos a los anteriores, sólo que incorporaremos
en la combinación lineal tantos escalares, como vectores constituyen el conjunto:
 1 0   1  0
α  2  + β  4 + δ
 
 −2  =  0 
   
 −1  1   1   0
31
 α  0   δ  0 
 2α  +  4β  +  −2δ  = 0 
       
 −α   β   δ  0 
 α +δ  0 
 2α + 4β − 2δ  = 0 
   
 −α + β + δ  0 
Igualando componente a componente:
α + δ = 0 ⇒ α = −δ ⇒α = 0
2α + 4 β − 2δ = 0 ⇒ −2δ + 4 ( −2δ ) − 2δ = 0 ⇒ −12δ = 0 ⇒δ =0
−α + β + δ = 0 ⇒ δ + β + δ = 0 ⇒ 2δ +β =0 ⇒ β = -2δ ⇒β =0
Concluimos que el conjunto de vectores {(1, 2, -1)’; (0, 4, 1)’ ; (1, -2, 1 )’}, es linealmente
independiente.
Revisemos estos dos nuevos conceptos resolviendo las siguientes actividades.
Actividad 18:
Determine formalmente la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

{
a) [1, 3] ; [ 2, 5] }
b) {[1, 3] ; [3, 9]}
c) {[1, 0] ; [3, 0] , [0, 1]}
d) {[1 , 2 , 1 ]; [1 , − 1 , 3]}
e) {[3 , 0 , 1 ] ; [0 , 0 , 4 ] ; [1 , 0 , 0]}
f) {[1, 3]}
g) {[0, 0, 0]}
h) {[ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [6, 0, 2] }
i) {[ 3, 0, 1] ; [ 1, 3, 4] ; [ 1, 0, 2]}
32
j) {[ -3, 0, 1] ; [ 1, 0, 4] ; [ 1, 1, 2] ; [ 1, 0, 0] }
Actividad 19:
A la definición formal de independencia lineal, la podemos expresar en forma abreviada como:

Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } es linealmente independiente (L.I.) si:
k
∑α V
i =1
i i =φ αi = 0 ∀ i = 1,…,k.
Exprese en forma abreviada la definición de dependencia lineal (L.D.).
2.8 Propiedades sobre independencia y dependencia lineal de vectores.
En cada caso enunciamos la propiedad, demostramos la misma y finalmente presentamos uno o más
ejemplos en donde es factible su aplicación.
Propiedad 1:
Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente sí y sólo sí, al menos uno de ellos, se
puede expresar como combinación lineal de los demás.
Demostración:
Vamos a demostrar esta propiedad en dos partes, ya que se trata de una doble implicación.
1
( ⇒ ) Veamos primero que, “si un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente,
entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes”.
Supongamos que tenemos {V1, V2, . . . , Vk}, un conjunto de vectores linealmente dependiente.
Por definición de dependencia lineal, existe al menos un escalar distinto de cero, tal que verifica la
combinación lineal:
α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅
Sin pérdida de generalidad, supongamos que α1 es distinto de cero (esto significa que, podríamos
haber supuesto cualquiera de los escalares distinto de cero y el razonamiento siguiente seguiría siendo
válido).
Sumemos ambos miembros (−α2 V2 − . . . − αk Vk) y por propiedad del opuesto resulta:
α1 V1 = (−α2 V2− . . . − αk Vk)
Como α1 es distinto de cero, es posible multiplicar ambos miembros por 1/α1 de donde surge que
33
 α   α 
V1 =  − 2  V2 + ⋯ +  − k  Vk
 α1   α1 
Por lo tanto, hemos podido expresar a uno de los vectores del conjunto como combinación lineal del
resto.
2
( ⇐ ) Corresponde demostrar que, “si uno de los vectores del conjunto es combinación lineal del resto,
entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente”.
Asumamos, sin pérdida de generalidad, que V1 es combinación lineal de {V2, . . . , Vk }
Entonces existen escalares α2 ; . . . ; αk tales que:
V1 = α2 V2+ . . . + αk Vk
si sumamos a ambos miembros el opuesto de V1 , obtenemos la siguiente igualdad vectorial
∅ = -V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk
Con lo cual α1 = -1 ≠ 0
Concluimos que es posible expresar α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅ con, al menos uno de los

escalares distintos de cero, por lo tanto el conjunto {V1, V2, . . . , Vk} es linealmente dependiente.
1 2
Habiendo demostrado ( ⇒ ) y ( ⇐ ) demostramos la propiedad 1.
Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad:
a) Si observamos detenidamente el conjunto de vectores {[1, 3, 2] ; [3, 9, 6]} , podremos deducir

que uno es múltiplo del otro.
En particular, podemos expresar 3. [1, 3, 2] = [3, 9, 6] , entonces se cumple que uno de ellos se
puede expresar como una combinación lineal del otro y, por lo tanto, los vectores dados son
linealmente dependientes.
b) Otro caso, donde quizás se requiere mayor agudeza en la observación, se presenta en el siguiente
  3   −1  2  
 
conjunto de vectores   −1  ;  0  ;  − 1  .
     
  4  0   4  
      
Resulta que, el tercer vector es la suma de los dos primeros, como sigue:
34
 3  −1  2 
1.  −1  + 1.  0  =  − 1
 
 4   0   4 
En base a la propiedad 1, concluimos que el conjunto de vectores dados, es linealmente dependiente.

Propiedad 2:
Todo conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente, será también linealmente
dependiente.
Demostración:
Sea {V1, V2, . . . , Vk , Vk+1, . . . , Vr } un conjunto de vectores que posee un subconjunto linealmente
dependiente.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que { V1, V2, . . . , Vk} es el subconjunto linealmente
dependiente.
Entonces, existe al menos un escalar distinto de cero, tal que:
α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk = ∅
pero por propiedad del cero escalar, podemos completar la suma del primer miembro de la siguiente
manera:
α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk + 0 Vk+1 + 0 Vk+2+ . . . + 0 Vr = ∅
Hemos encontrado una forma de expresar al vector nulo como combinación lineal de {V1, V2, . . . , Vk ,
Vk+1, . . . , Vr } ,con al menos un escalar distinto de cero
Por lo tanto, el conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk , Vk+1, . . . , Vr } es L.D.
Ejemplo de aplicación de esta propiedad:
Consideremos el conjunto de vectores {[1, 3, 2] ; [1, 2, 7] ; [3, 9, 6] } , y observemos que el

subconjunto dado por {[1, 3, 2 ] ; [3, 9, 6]} , es linealmente dependiente.
Aplicando la propiedad 2 podemos afirmar que, el conjunto formado por los tres vectores dados es
linealmente dependiente.
Propiedad 3:
El conjunto formado por un único vector es linealmente independiente, sí y sólo sí el vector es distinto
del nulo.
Demostración:
{ V1} es L.I α V1 = ∅ únicamente para α=0 y por lo tanto V1 ≠ ∅
35
Deducimos inmediatamente de la propiedad 3, que el conjunto formado por el vector nulo es

linealmente dependiente.
Ejemplos de aplicación de esta propiedad:
a) {[1, 3, 2] } es linealmente independiente, por ser un conjunto formado por un único vector
distinto del vector nulo.
b) {[0, 0, 0, 0]} es linealmente dependiente, por ser un conjunto formado únicamente por el vector
nulo.
Propiedad 4:
Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo, entonces es linealmente dependiente.
Demostración:
Surge de la propiedad 2 y la propiedad 3.
Ejemplo de aplicación de esta propiedad:
 3   0  2  
 
El conjunto   −1  ;  0  ;  − 1  es linealmente dependiente porque contiene al vector nulo.
  
  4  0   4  
  
Propiedad 5:
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto de él también

es linealmente independiente.
Demostración:
Partimos de la hipótesis de que {V1 , V2 ,… , Vn } es un conjunto de vectores linealmente independiente

y, sin pérdida de generalidad, consideremos el subconjunto formado por los primeros r vectores de
este conjunto de vectores, como se ve a continuación:
{V1 ,V2 ,… ,Vr } ⊂ {V1 ,V2 ,… ,Vr ,Vr +1 … ,Vn }

Vamos a desarrollar una demostración desde el absurdo, es decir, negando lo que se quiere probar -
negando la tesis-.
Si suponemos que {V1 , V2 ,… , Vr } es linealmente dependiente, entonces:
36
α1V1 + α 2V2 + … + α rVr = ∅, para algún α i ≠ 0 (*)
Ahora, sumemos miembro a miembro en esta última expresión, la siguiente identidad:
0 Vr +1 + 0 Vr + 2 + … + 0 Vn = ∅
α1V1 + α 2V2 + … + α rVr + 0 Vr +1 + 0 Vr + 2 + … + 0 Vn = ∅
Por (*), esta igualdad se cumple para algún α i ≠ 0 , en consecuencia ,el conjunto de vectores
{V1 ,V2 ,… ,Vr ,Vr +1 … ,Vn } es linealmente dependiente, lo cual contradice nuestra hipótesis.
Por lo tanto, queda demostrado que el conjunto de vectores {V1 , V2 ,… , Vr } es L.I.
Ejemplos de aplicación de esta propiedad:
  2   −1  1 
 
Sabiendo que   −4  ;  2  ;  0   es linealmente independiente, podemos afirmar que, cualquier
    
 1   0   0  
    
subconjunto de éste es linealmente independiente.
A continuación, detallamos los subconjuntos que resultan de este conjunto de vectores y rescatamos su
condición de linealmente independientes:
  2   −1    2  1    −1  1 
          
  −4  ;  2   es L.I. ;   −4  ;  0   es L.I. ; 
 2 ; 
   0   es L.I.
 1   0    1   0     0   0  
        
  2    −1    1 
        
  −4   es L.I. ;   2   es L.I. ;   0   es L.I.
 1     0    0 
        
Propiedad 6:
Si un vector puede expresarse como combinación lineal de k vectores linealmente independientes,

entonces, esa combinación lineal es única.
Demostración:
Consideremos: V un vector, {V1 , V2 ,… , Vk } un conjunto de vectores linealmente independiente y

{α1, α 2 ,…, α k } un conjunto de escalares, tales que podemos expresar a V como combinación lineal
de esos k vectores, de la siguiente manera:
V = α1V1 + α 2V2 + … + α kVk (1)
37
Supongamos que existe otro conjunto de escalares {β1 , β 2 ,… , β k } ,que también nos permita expresar
al vector V como combinación lineal de V1 , V2 ,… , Vk . Entonces:
V = β1V1 + β 2V2 + … + β kVk (2)
Considerando las igualdades (1) y (2), deducimos que:
α1V1 + α 2V2 + … + α kVk = β1V1 + β 2V2 + … + β kVk
⇒ α1V1 + α 2V2 + … + α kVk − β1V1 − β 2V2 − … − β kVk = ∅
Agrupando convenientemente:
(α1 − β1 )V1 + (α 2 − β 2 )V2 + … + (α k − β k )Vk = ∅
Resulta una combinación lineal del conjunto de vectores {V1 , V2 ,… , Vk } y, a modo de hipótesis, este
conjunto es linealmente independiente, entonces:
(α1 − β1 ) = 0 ; (α 2 − β 2 ) = 0 ; … ; (α k − β k ) = 0
Por lo tanto:
α1 = β1 ; α 2 = β 2 ; … ; α k = β k
Demostramos entonces que, los escalares de los dos conjuntos considerados son iguales, en
consecuencia la combinación lineal es única, lo que comprueba nuestra hipótesis.
Actividad 20:
Utilice los teoremas anteriores para determinar si, los siguientes conjuntos de vectores son linealmente
independientes ó linealmente dependientes (tenga presente que, en un caso hay información adicional
a manera de Dato)
  2    2   −1  1     2  0  1     0 
       
a)   −4   b)   −4  ;  2  ;  − 2   c)   −4  ;  0  ;  − 2   d)   0  
          
 1    1   0   1    1   0   1     0 
               
  1   −1  1    1   −1  1  0 
           
 −2 2 0    −2 2 0   0  
e)    ;   ;   Dato: El conjunto    ;   ;  ;  es L. I.
 1   0   0   1   0   0  0 
  3   1   
2     3   1    
2 

2  
38
3. ESPACIOS VECTORIALES DEFINIDOS EN R
3.1 Definición de espacio vectorial
La matemática formal se basa en lo que denominamos estructuras algebraicas, de éstas, una de

las más importantes es la estructura de espacio vectorial.
Consideraremos al concepto de espacio vectorial desde una visión puramente abstracta, como un
ente en el que podemos probar teoremas, realizar análisis y obtener conclusiones, respetando ciertas
premisas. Su formalización, nos permitirá resumir y manipular información eficientemente, dando
respuesta a interrogantes que surgen de ciertos problemas en áreas como economía, administración,
estadística, entre otras.
Para comprender e incorporar este concepto de manera óptima, revisemos el siguiente

video
Teniendo en cuenta el material multimedial expuesto, rescatamos como concepto de espacio vectorial
el siguiente:
Sea V un conjunto de vectores y ℜ el cuerpo de los Reales, decimos que V tiene estructura
de espacio vectorial sobre el cuerpo ℜ , si están definidas una ley de composición interna en
V (suma de vectores) y una ley de composición externa sobre el dominio ℜ (multiplicación
de un vector por un escalar), tales que:
La LCI sobre V cumple con las siguientes La LCE en V sobre el dominio ℜ cumple las
propiedades: siguientes propiedades:
a) Asociativa con respecto al producto de

a) Asociativa
escalares. (α.β) V = α . (β V)
b) Distributiva con respecto a la suma de

b) Conmutativa.
vectores. α (V + W) = α V +α W
c) Distributiva con respecto a la suma de

c) Existencia de elemento neutro único
escalares. (α+β) V = α V + β V
d) Existencia de simétrico d) De la unidad. α V= V α =1
39
Actividad 21
Exprese en símbolos las propiedades a), b), c) y d) de la LCI
Veamos algunos ejemplos.
1) El espacio vectorial más conocido, es el conjunto de los vectores de dos componentes reales, con
las operaciones de suma de vectores y de producto de un vector por un escalar (real) definidas como
antes (las cuales cumplen con las 8 propiedades involucradas en la definición de espacio vectorial).
Es decir, que podríamos pensarlo como ( ℜ2 , ℜ , +, .). En lugar de esta última notación, preferimos
simbolizar a dicho espacio vectorial como V2( ℜ ).
2) Al igual que V2( ℜ ), el conjunto de los vectores de tres componentes reales, con las operaciones de
suma de vectores y de producto de un vector por un escalar definidas como antes, constituye un
espacio vectorial, el cual se simboliza como V3( ℜ ).
3) Si en lugar de considerar el conjunto de vectores de dos o tres componentes reales, nos

concentramos en “el conjunto de los vectores de n componentes reales, con la suma de vectores y el
producto de un escalar por un vector ya definidas”, podemos afirmar que la suma de vectores de orden
“n” es una L.C.I y que el producto de un escalar por un vector es una L.C.E. Ambas leyes confieren al
conjunto de los vectores de n componentes reales estructura de espacio vectorial, pues las mismas
gozan de las correspondientes propiedades requeridas para serlo. Simbolizaremos a este espacio como,
Vn( ℜ ).
Vn( ℜ ) se denomina espacio vectorial euclidiano de orden o dimensión n, nombre que se deriva por
ser ellos una generalización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiados por Euclides 1.
4) En este último ejemplo, analicemos si el conjunto formado por todos vectores de tres componentes
reales constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales, definiendo las siguientes leyes de
composición:
( x, y, z ) ⊕ ( p, q, r ) = ( x + p, y + 2, z + r ) ( LCI )

αi( x, y, z ) = ( αx, αy, αz ) ( LCE )
1) Ley de composición interna: ( x, y, z ) ⊕ ( p, q, r ) = ( x + p, y + 2, z + r )
a) ¿Se cumple la propiedad asociativa?:
1
Euclides (300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extenso tratado de
matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones en general, propiedades de los
números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio.
40
?
( ( x , y , z ) ⊕ ( p , q , r ) ) ⊕ ( a , b, c ) = ( x , y , z ) ⊕ ( ( p , q , r ) ⊕ ( a , b, c ) )
?
( x + p, y + 2, z + r ) ⊕ ( a, b, c ) = ( x, y, z ) ⊕ ( p + a, q + 2, r + c )
( x + p + a, y + 2 + 2, z + r + c ) ≠ ( x + p + a, y + 2, z + r + c )
Dado que no se cumple la propiedad asociativa, podemos afirmar que las leyes de composición así
definidas, no confieren al conjunto estructura de espacio vectorial.
Realizando la siguiente actividad, podremos verificar el cumplimiento de todas las propiedades

correspondientes a LCI. Sin embargo, veremos que la segunda ley no cumplirá con al menos una
propiedad.
Actividad 22:
Establezca si el conjunto formado por todos vectores de dos componentes reales con las siguientes
operaciones, constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales:
( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )

α ( x, y ) = ( αx, 0 )
3.2 Conjunto generador de un espacio vectorial
Si bien un espacio vectorial euclidiano posee infinitos vectores, podemos ver que para
“generarlo”, es decir describir ese espacio vectorial completamente, bastará con una cantidad finita de
vectores.
Este hecho motivó a la definición de tres conceptos muy importantes vinculados a los espacios
vectoriales: Conjunto generador, base y dimensión de un espacio vectorial.
La siguiente definición nos permitirá comprender el concepto de conjunto generador de un espacio

vectorial:
Diremos que el conjunto de vectores G = {V1, V2, . . . ,Vr} genera un

espacio vectorial V, si todo elemento de V se puede expresar como
combinación lineal de los vectores del conjunto G (se dice que G es un
conjunto generador de V).
Analicemos estos ejemplos:
1) Sean V1 = (3 , 2) V2 = (-1, 1) ¿G = { V1, V2} genera V2( ℜ )?
41
Para poder dar respuesta a este interrogante, deberemos plantear, en forma general, que para cualquier
( a, b ) ∈ V2 (ℜ) dado, deben existir escalares, digamos, α y β tales que:
α (3 , 2) + β (-1, 1) = (a, b)
Para ello trabajamos en el primer miembro, hasta poder encontrar un sistema de ecuaciones que nos
permita decidir la existencia o no de las incógnitas (que en este caso son los escalares α y β ):
(3α , 2α) + (-β, β) = (a, b)

(3α - β, 2α + β) = ( a , b)
De dónde surge el sistema:
3α - β = a

 2α + β = b
Resolvemos considerando que ( a, b ) puede ser cualquier vector de V2( ℜ ):
3α - β = a

 2α + β = b ⇒ β = b − 2α
a+b
⇒ 3α − ( b − 2α ) = a ⇔ 5α − b = a ⇔ α =
5
a + b −2a + 3b
Luego, reemplazando, obtenemos β = b − 2 = .
5 5
Finalmente, observamos que tanto α como β existen y por lo tanto que si a y b son cualesquiera,
siempre podremos expresar al vector (a, b) como combinación lineal de los vectores dados.
2) Sean V1 = (3 , 2, 1 ) V2 = (-1, 0, 1) ¿G = { V1, V2} genera V3( ℜ )?
Queremos ver si para cualquier ( a, b, c ) ∈ V3 (ℜ) , existen escalares, digamos, α y β tales que:
α (3 , 2, 1) + β (-1, 0 , 1) = (a, b, c)
Operamos algebraicamente:
( 3α, 2α, α ) + (-β, 0 , β) = (a, b, c)

( 3α - β, 2α, α + β ) = (a, b, c)
De donde surge el sistema:
3α - β = a

2α = b
α + β = c

Resolvemos considerando que ( a, b, c ) es un cualquier vector de V3( ℜ ):
42
3α - β = a  b b
 3 - β = a ⇒ β = 3 −a
 b  2 2 b b
 2α = b ⇒ α = ⇒  ⇒ 3 − a = c − ⇔ 2b − a = c
 2 b b 2 2
+β = c ⇒ β = c −
α + β = c  2 2
Despejando la segunda ecuación, reemplazamos α en las restantes, despejando β de ambas

ecuaciones e igualando, obtenemos que para que este sistema tenga solución c, debe depender de los
valores que asignemos a “a” y a “b. ”Sin embargo, habíamos supuesto que ( a, b, c ) era cualquier
vector de V3( ℜ ), por lo cual no podemos admitir una condición sobre el valor de ninguno de ellos.
Concluimos que el sistema propuesto, en general, no tiene solución, y por lo tanto el conjunto de
vectores no genera el espacio vectorial.
Como podemos apreciar a través de los dos ejemplos anteriores, habrá casos en que un conjunto de
vectores genera un determinado espacio vectorial y otros en los que no.
A continuación utilizaremos este concepto para describir lo que se conoce como base de un espacio
vectorial.
3.3 Base y dimensión de un espacio vectorial
Se denomina base de un espacio vectorial V a cualquier conjunto de

vectores del espacio vectorial V que sea linealmente independiente, y que
genere el espacio vectorial.
Otra forma de expresar esta definición es la siguiente:
B = { V1, V2, . . . , Vr } es base de V sí y sólo sí:

a) B es Linealmente Independiente.
b) B genera el espacio V
Analicemos detenidamente el desarrollo de los siguientes ejemplos:
 8  1  
1) El conjunto B =    ;    , ¿Constituye una base de V2( ℜ )?
  4 2  
Las condiciones para que un conjunto de vectores sea base de un espacio vectorial son:
a) Que el conjunto de vectores sea LI:
43
8  1  0  β = −8α ⇒β=0
=
α  +β   =  ⇔
4
  2 0
    4α − 16α = 0 ⇒ −8α = 0 ⇒ α 0
Por lo que este conjunto de vectores es LI.
b) Que cualquier vector del espacio pueda ser generado por combinación lineal de los vectores
que constituyen la base:
8  1  a  8α + β = a ⇒ β = a - 8α ⇒ β =a - 8(b - 2a)
α  +β   =  ⇔
4 2 b  4α + 2 ( a - 8α ) = b ⇒ 2a - 8α = b ⇒ α = b - 2a
⇒ β = -15a - 8b
⇒ α = b - 2a
Como podemos observar, cualesquiera sean a y b existen los escalares α y β . Concluimos que el
conjunto de vectores genera el espacio V2( ℜ ).
Finalmente, dado que se cumplen a) y b) el conjunto de vectores constituye una base de V2 ( ℜ ).
2) Establezcamos si el conjunto de vectores B = {(1, 2, -1); (0, 4, 1) ; (1, -2, 1 )} constituye una
base de V3 ( ℜ ).
a) Verifiquemos si los vectores dados son L.I:
 1 0   1  0
α  2  + β  4 + δ
 
 −2  =  0
   
 −1  1   1   0
Realizando la operatoria vectorial, obtenemos el correspondiente sistema de ecuaciones y resolvemos:
α + δ = 0 ⇒ α = −δ ⇒α = 0

2α + 4 β − 2δ = 0 ⇒ −8α = 0 ⇒ −2δ + 4 ( −2δ ) − 2δ = 0 ⇒ −12δ = 0 ⇒δ =0
 ⇒β =0
−α + β + δ = 0 ⇒ δ + β + δ = 0 ⇒ 2δ +β =0 ⇒ β = -2δ
Concluimos que este conjunto de vectores es L.I.
b) Veamos si cualquier vector del espacio puede ser generado por combinación lineal de los vectores
que constituyen el conjunto:
 1 0   1  a 
α  2  + β 4 + δ
 
 −2 =  b 
   
 −1  1   1  c 
Nuevamente operamos y resolvemos:

α + δ = a ⇒ α = a − δ

2α + 4β − 2δ = b ⇒ 2(a − δ ) + 4 β − 2δ = b ⇒ 4β = b - 2a + 4δ ⇒ β = 1 4 b - 1 2 a + δ

 -α + β + δ = c ⇒ a + δ + 1 4 b - 1 2 a + δ + δ = c ⇒ 3δ = c - 1 2 a - 1 4 b ⇒ δ = 1 3 c + 1 2 a - 112 b
44
⇒α = 1 a+ 1 b- 1 c
2 12 3
⇒ β = 1 b+ 1 c
6 3
⇒δ = 1 a- 1 b+ 1 c
2 12 3
Para cualquier vector perteneciente al espacio V3 (ℜ) existen los escalares α , β y δ tales que, nos
permiten expresar a dicho vector como combinación lineal de los vectores dados, por lo que tal
conjunto de vectores constituye un conjunto generador de V3 (ℜ)
Finalmente, dado que se cumplen a) y b) el conjunto de vectores constituye una base del espacio
V3 (ℜ) .
Observe: Si alguna de las dos condiciones no se cumple, entonces el conjunto propuesto no constituirá
una base del espacio considerado.
Actividad 23
Deduzca en cada caso, si los siguientes conjuntos de vectores constituyen o no base para V3(R)
  2  1   1     2   − 1  1    2  1  
             
A =   −4  ;  0  ;  1   ; B =   −4  ;  5  ;  1  ; C =   −4  ;  0  
     
  1   1   0    0   − 1  1   1   1  
                  
Ahora, definamos dimensión de un espacio vectorial.
La dimensión de un espacio vectorial V está dada por el número de

vectores que constituyen una base cualquiera. Se simboliza dim(V).
Este concepto es muy sencillo de aplicar cuando se conoce, al menos, una base del espacio, como lo
vemos en los siguientes casos:
 8  1  
1) Probamos que el conjunto B =    ;    constituye una base de V2( ℜ ), entonces como este
  4 2  
conjunto posee dos vectores, podemos afirmar que la dimensión de V2( ℜ ) es 2
45
2) También demostramos que B = {(1, 2, -1); (0, 4, 1) ; (1, -2, 1 )} constituye una base de V3( ℜ ),
entonces dim(V3( ℜ )) = 3.
3) Si un espacio vectorial V cualquiera, admite una base que tiene 5 vectores entonces se puede decir
que dim(V) = 5
Retomando el concepto de base, en los espacios vectoriales euclidianos encontraremos una base muy
particular, la cual se describe a continuación:
3.4 Base canónica o natural
Podemos identificar que:
 1  0  
El conjunto de vectores B =    ;    es una base para V2( ℜ ).
 0  1  
 1  0  0  
 
El conjunto de vectores C =  0  ; 1  ; 0   es una base de V3( ℜ )
     
 0  0  1  
      
 1  0  0 
    0 
 0  1  
Los n vectores unitarios de n componentes reales H =  ; ;… ;    constituyen una base de
 ⋮  ⋮  ⋮  
  
 0  0   
1  
Vn( ℜ ).
En general, el conjunto formado por los n vectores i-ésima unidad en el espacio vectorial Vn( ℜ ),
constituirá una base del espacio correspondiente, y de allí que cualquiera sea el n; diremos en estos
casos que se está en presencia de la correspondiente base canónica.
A partir de los ejemplos y dada la existencia de las bases canónicas de los espacios vectoriales,
¿Podemos decir que la base de un espacio vectorial es única? La respuesta es no.
El hecho de que no exista una única base trae aparejado la posibilidad de expresar cada vector a
través de distintas combinaciones lineales (dependiendo de cuál sea la base elegida) y nos permite
definir lo que se conoce como componentes de un vector en una base, concepto que desarrollamos a
continuación:
Las componentes de un vector W en una base B ={ V1, V2, . . . , Vk }, son los

escalares que permiten expresar al vector W, como combinación lineal de los
vectores de dicha base.
Esto es, si W = α1 V1 + α2 V2+ . . . + αk Vk entonces α1, α2, . . . , αk son las componentes del vector
W con respecto a la base B.
46
3.5 Teoremas sobre bases de espacios vectoriales
A continuación, presentamos algunos resultados importantes sobre base y dimensión de espacios

vectoriales, expuestos como teoremas o corolarios, los cuales se enuncian y eventualmente se
ejemplifican pero no se demuestran.
Para ampliar su conocimiento respecto a este tema, usted puede recurrir a los textos de la bibliografía
ampliatoria.
Teorema 1: El sistema de componentes de un vector con respecto a una base, es único.
Veamos lo que esto significa en un caso particular:
 8  1  
Como sabemos que B =    ;    es una base de V2( ℜ ), entonces podemos afirmar que
  4 2  
cualquier vector de V2( ℜ ) se podrá expresar de una única forma como combinación lineal de los
vectores de esta base.
Teorema 2: Sean B = { V1, V2, . . . , Vn } una base de un espacio vectorial V y {Z1, Z2, ...,Zr} un
conjunto de vectores L.I. , existen en la base dada r vectores (con r ≤ n) que pueden canjearse por los
vectores {Z1, Z2, ...,Zr}, de tal manera que el conjunto resultante siga siendo base de V.
Este teorema, en su demostración (que no presentamos, ni es exigible), nos muestra algunas

posibilidades para que, a partir de una base se encuentre otra base.
Ejemplo:
 1  0  0  
      
 0  ; 1  ; 0   es una base de V3( ℜ )
 0  0  1  
      
¿Será posible que encontremos otra base?
Una primera alternativa para obtener una nueva base es que multipliquemos uno, o más vectores de la
base por una constante. Así, por ejemplo:
  2   0  0 
      
 0  ;  −3 ; 0   es una base de V3( ℜ )
 0   0  1  
      
Otra posibilidad es que reemplacemos uno de los vectores de la base dada, por una combinación lineal
de él mismo con otro vector de la base:
47
0  0  0  0 
       
Por ejemplo, reemplacemos al 1 por 2 1 + 3 0 = 2
       
0  0  1  3 
 1  0   0  
      
Entonces, el conjunto formado por  0 ; 2 ; 0  es una base de V3( ℜ )
     
 0  3  1  
      
Los siguientes corolarios, constituyen resultados muy importantes, que surgen como consecuencia del
teorema anterior.
Corolario 1: El número de vectores linealmente independientes que puede admitir un espacio, no

puede superar el número de vectores de una base.
Ejemplo:
Como ya sabemos, V2( ℜ ) tiene dimensión 2. Por lo tanto si nos preguntan si el conjunto de vectores
 8  1  1  
formado por    ;   ;    es linealmente independiente, podemos asegurar que no, pues el
  4   2  5 
número máximo de vectores L. I. en V2( ℜ ) es 2.
Corolario 2: Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores.
Observe: Este último corolario nos permite definir sin ambigüedad lo que hemos denominado
“Dimensión de un espacio vectorial”.
Corolario 3: En un espacio vectorial de dimensión n, n vectores linealmente independiente

constituyen una base.
Este último resultado evita, en algunos casos, demostrar que un conjunto de vectores genera el
correspondiente espacio vectorial.
Por ejemplo, si se nos pregunta:

El conjunto de vectores B = {(1, 2, -1); (0, 4, 1) ; (1, -2, 1 )}¿Constituye una base de V3( ℜ )?
Para responder, basta con verificar que se trata de un conjunto de vectores linealmente independientes.
Pues, dado que son tres vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión 3,
usando el corolario 3, estamos en condiciones de asegurar que el conjunto B constituye una base de
V3( ℜ ).
De esta manera hemos concluido la Unidad I. A continuación le proponemos que realice los ejercicios
sugeridos que le permitirán evaluar su comprensión y reforzar los conocimientos de los temas
presentados hasta aquí.
48
EJERCICIOS
1)
En el conjunto de los Números Enteros (E), definimos la siguiente relación:
a T b = 4. a + b
¿Es una ley de composición interna sobre E?
2)
Dado el conjunto ℜ2 , con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w )
a) Obtenga (3 , 5) + (2 , 4) y (−1 , 5) + (1 , 4) .
b) Determine y justifique si ésta representa una L.C.I. en ℜ2.
3)
Dado el conjunto formado ℜ2 con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 )
a) Obtenga (3 , 5) + (2 , 4) y (−1 , 5) + (1 , − 4) .
b) Determine y justifique si ésta representa una L.C.I. en ℜ2.
4)
Dado el conjunto ℜ2 con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(m , n) + (f , t) = ( 2 , n + t )
Verifique si el conjunto anterior, con la operación así definida, cumple con la propiedad asociativa y
conmutativa. ¿Posee elemento neutro?
5)
Se define en ℜ2 la siguiente L.C.I.:
(x , y) * (z , w) = ( x + z +3 , y + w )
Responda justificando adecuadamente:
a) ¿Posee elemento neutro?

b) ¿Cumple la propiedad del elemento simétrico?
c) ¿Es esta ley asociativa?
6)
Establezca, justificando en cada caso, las propiedades que poseen las leyes de composición interna
que se presentan a continuación:
I) a ⊗ b = 2.( a + b ) definida en el conjunto de los Números Reales.
49
II) a ↓ b = 3 . a + 2 . b definida en el conjunto de los Números Reales.
( a − b)
III) a ∗ b = definida en el conjunto de los Números Racionales.
2

Reales.
V) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w− 8 ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números

Reales.
7)
Sean Ω= {2, 3, 5} y A= Números Enteros pares. Definimos de Ω x A en A el producto habitual.
8)
Sean Ω= {-2, 3, 5} y A= Números Enteros impares. Definimos de Ω x A en A la suma habitual.
9)
Dados los vectores:
V1 = [ 2 , − 3] ; V2 = [1 , 5] ; V3 = [ 0 , 1]
Obtenga:
a) V1 + V2 e) V1 + V2 + V3
b) V3 − V2 f) 2 V1 − (V2 + 3 V3 )
c) −2V1 g) 2 V1 − V2 + 3 V3
d) V3 − 2V1 h) V3 − 3 (V1 + V2 )
10)
1 
 
Dados los vectores: X = 3 ; Y = [ 3 , 0 , 3] ; Z = [1 , 2 , − 3]
 
 2 
Obtenga:
a) Z + Y e) 3 Z − Y + X ′
b) Y − X ′ f) 3 Z − (Y + X ′)
c) −2 X ′ g) 2 X ′ − Y + 3 Z
11)
Encuentre el o los valores de k (si existen) que verifique cada una de las siguientes condiciones
(Recuerde el concepto de igualdad de vectores):
50
Condición Justificación Valor de k
−3[1 , 3 , − 1 ] + [ −1 , k , 2] = [ −4 , − 5 , 5]
k [ 0 , 3 , − 1 ] + [ −1 , − k , 2] = [ −1 , 6 , − 1]
k [3 , − 1 ] + k [ −1 , 2] = [ −4 , 2]
−3[1 , 3 , − 1 ] + [ −1 , k , 2] = [ −4 , − 5 , 2]
[3 , − 1 ] + 2 [ −1 , 2] + k [ 0 , 0] = [1 , 3]
12) Siendo V’1 = [1/2, 2, 0] ; V’2 = [1, -1/2, 3] ; V’3 = [-2, 1, 1/2]
a) Obtenga el producto interno V’1 . V2

b) Obtenga el producto interno V’1 . V3
13) Trabajemos con el concepto de vectores ortogonales
a) Establezca si los siguientes son vectores ortogonales:
i) [-1, 3] ; [ 3, 1] ii) [1, 0, 2]; [0; -1 ; 0]
iii) [3, 1, 2, -1] ; [0, 0, 0, 1] iv) [1, -2, 4] ;[2, 5, 2]
b) ¿Cuál debe ser el valor de "x" para que los siguientes vectores sean ortogonales?
i) [ 1, x] ; [-1, x] ii) [2, 1, 5]; [-2, 3, x]
14) Situación problemática:
Cierto individuo comercializa tres productos (A,B,C). Su analista de sistemas le informa que el
programa que le ha instalado, registra y opera en forma vectorial el número de ventas diarias de los
tres artículos y los correspondientes precios. Especifique qué significa esto a los efectos de
determinar:
a) El total de unidades vendidas de cada artículo en una semana laborable de 6 días.

b) El promedio de unidades vendidas de cada artículo en un mes de 27 días.
c) El ingreso total diario.
15) Calcule el módulo de cada uno de los siguientes vectores:
V1 = [-1, 3] V2 = [1, 0, 2] V3 = [0; -1 ; 0] V4 =[3, 1, 2, -1, -1]
16) Siendo X = (x1, x2, . . . , xn ) ; Y = (y1, y2, . . . , yn ) y k un escalar. Complete las siguientes
identidades en forma simbólica de acuerdo al contexto:
51
a) k (X + Y) = k (x1, x2, . . . , xn ) + ...................................
b) X. Y’ =
c) k X. Y’ =
d) …… = (x1 - y1 , x2 - y2, . . . , xn - yn)
e) Y. Y’ = y12..............................................
17) Siendo V1 = [1 , 3 , − 1 ] ; V2 = [ −1 , 1 , 2] ; V3 = [3 , 0 , 3] , k1 = 2 ; k2 = -1 y k3 = -2/3.

Obtenga la combinación lineal: k1 V1 + k2 V2 + k3 V3
18) Encuentre el valor de los escalares que le permitan expresar al vector W = [ −1 , 4] como
combinación lineal de los vectores V1 = [ 2 , 1] y V2 = [ 2 , − 1] .
19) Dados los vectores: V1 = [ −1 , 2 , 1 ] ; V2 = [ 0 , − 1 , 2] ; V3 = [ 2 , − 1 , 3]

¿Es posible expresar el vector X = [3 , − 1 , 9 ] como combinación lineal de V1 , V2 y V3? En caso
afirmativo encuentre dicha combinación lineal.
20) Situación problemática:
Debemos mezclar dos alimentos A y B cuyos aportes en vitaminas y proteínas se expresan en forma
vectorial como: (3, 5) para el alimento A (por kg.) y (1, 4) para el alimento B (por kg.) Encuentre
cuantos Kg de cada alimento serán necesarios para obtener una mezcla que contenga un aporte de 22
unidades de vitamina y 53 unidades de proteínas.
21) Determine formalmente la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de

vectores. Especifique si en alguno de estos casos es posible aplicar alguna de las propiedades:
a) {[1, - 2] ; [ −2, 4]}

b) {[1, 3, 4] ; [3, 9, 5]}
c) {[1, 0, 2] ; [ 3, 0, 1] , [ 2, 0, 1]}
d) {[1 , 2 , 1 ] ; [1 , − 1 , 3] ; [ 2 , 1 , 4]}
e) {[3 , 0 , 1, 2 ] ; [1 , 1 , 4, 2 ] ; [ 2 , − 1 , 3, 0 ]}
f) {[1, 3, 5, 1, 4]}
g) {[ 0, 0 ]}
h) {[ 2 , 1 ] ; [ −1 , 3] ; [ 2 , 4]}
i) {[-1, 2, 0 ,3] ; [-1,-2, 0, 0], ; [0, 0, 1, 0]; [0, 0, 0, 1]}
j) { [-1, 2, 0 ,3] ; [-1,-2, 0, 0] }
52
22) Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si dos o más vectores son linealmente dependientes entonces..................................... de ellos se

expresa como combinación lineal del resto.
b) Si dos o más vectores son linealmente independientes entonces.................................. de ellos se

expresa como combinación lineal del resto.
c) Dos o más vectores son linealmente ...................................... sí y sólo sí, el vector nulo se expresa
como combinación de ellos con todos los escalares iguales a cero.
d) Dos o más vectores son linealmente ...................................... sí y sólo sí, el vector nulo se expresa
como combinación de ellos con al menos uno de los escalares distinto de cero.
23)
a) Determine si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente:
 0  3   3 
{V1;V2 ;V3 } =   2 ; 2  ;  4 
 1   4   5  
      
0
 
b) ¿Podemos expresar al vector V = −2 , como combinación lineal de los vectores dados?
 
 −1
24) Sabiendo V1= (-1,0,0) , V2 = (2 ,3, 0) y V3= (1, 2, 3) son vectores linealmente independientes
¿Puede decir, sin hacer cálculos, cómo deben ser los escalares (iguales a cero, ambos distintos de cero,
al menos uno igual a cero) para expresar al vector nulo como combinación lineal de V1 , V2 y V3 ?
25) Sin hacer cálculos ¿Puede decir cuántas formas existen para expresar al vector (0, 0) como
combinación lineal de V1= (-1,-2) y V2= (2 ,4) ?
26) Establezca si el conjunto formado por todos vectores de tres componentes reales con las siguientes
operaciones, constituyen espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales:
( x, y, z ) + ( p, q, r ) = ( x + p, y + q, z + r )
a) 
α ( x, y, z ) = ( αx,1 , αz )
( x, y, z ) + ( p, q, r ) = ( x + p, y + q, 3)
b) 
α ( x, y, z ) = ( αx, αy , αz )
( x, y, z ) + ( p, q, r ) = ( x + p − 4, y + q, z + r )
c) 
α ( x, y, z ) = ( αx, αy , αz )
53
27)
a) Determine si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:
  −1  3   −4  
{V1;V2 ;V3 } =  −2 ;  2 ;  −4 
 1   4  0  
      
b) Establezca si los mismos constituyen una base de V3(R).
0
 
c) Exprese al vector V = 0 , como combinación lineal de los vectores dados.
 
1 
28) Indique si alguno/s de los conjuntos de vectores del ejercicio 21) constituye/n base del espacio
vectorial al que pertenecen, y en tal caso especifique de qué espacio vectorial se trata.
29) Complete las siguientes afirmaciones:
a) Diremos que un conjunto de vectores genera un espacio vectorial si

cualquier………………………………………………………………………………
b) Una base de un espacio vectorial, es un conjunto de vectores del espacio que cumple con dos
condiciones 1)……………………………………
2)…………………………………….
30) Analice y responda:
a) ¿Cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes, que puede contener un espacio
vectorial de dimensión n?
b) ¿Cuál es el número mínimo de vectores linealmente independientes, que puede contener un espacio
vectorial de dimensión n?
c) ¿Cuál es el número máximo de vectores generadores, que puede contener un espacio vectorial de
dimensión n?
d) ¿Cuál es el número mínimo de vectores generadores, que puede contener un espacio vectorial de
dimensión n?
54
Respuestas a las actividades
Actividad 1:
3+9 0+4 −4 + 7 3 −2 + 2
a) 3 ∆ 9 = = 6; 0 ∆ 4 = = 2; − 4 ∆ 7 = = ; −2∆ 2= =0
2 2 2 2 2
b) Ésta representa una L.C.I. en Q, pues si sumamos dos Números Racionales obtenemos un Número
Racional, y al dividir por dos el resultado es un Número Racional
Actividad 2:
a) 3 Θ 12 = 3 .12 = 6; 0 Θ 3 = 0.3 = 0; − 4 Θ 1 = −4 .1 ∉ Q; − 2 Θ 2 = −2 . 2 ∉ Q
b) Ésta no representa una L.C.I. en Q, pues por ejemplo −4 Θ 1 = −4 .1 ∉ Q
Actividad 3:
a) Sí, es L.C.I. en Q pues si multiplicamos dos Números Racionales y dividimos por cuatro resulta un
Número Racional.
b) ¿Es Asociativa? Sí, pues desarrollando ambos miembros llegamos a una identidad.
?
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
?
a.b b.c
∗ c =a ∗
4 4
a.b b.c
. c ? a.
4 = 4
4 4
a .b.c a .b.c
=
16 16
a) ¿Posee elemento neutro? Sí.
 si a ≠ 0 ⇒ e = 4
a.e 
a ∗ e=a ⇒ = a ⇒ a .e = 4a ⇒ 
4 
 si a = 0 ⇒ 0.4 = 0
Por lo tanto e = 4 es neutro a derecha.

De forma similar observamos que e = 4 es neutro a izquierda, por lo que concluimos que:
e = 4 es el elemento neutro de esta ley.
a) ¿Goza de la propiedad de existencia de elemento simétrico? NO.
55
a . a′
a ∗ a′ = 4 ⇒ = 4 ⇒ a . a′ = 16 , en particular si a=0, no existe número racional tal que,
4
multiplicado por 0 nos de 16. Por lo tanto, esta ley no goza de la propiedad del elemento simétrico.
Actividad 4:
a) ¿Esta ley es asociativa?:

?
( a ⊥ b ) ⊥ c = a ⊥ (b ⊥ c )
?
( a + 2b ) ⊥ c = a ⊥ ( b + 2c )
?
( a + 2b ) + 2c = a + 2 ( b + 2c )
a + 2b + 2c ≠ a + 2b + 4c
Vemos que no se cumple la propiedad asociativa.
b) ¿Es conmutativa?:
?
a ⊥ b=b ⊥ a
a + 2b ≠ b + 2a
Esta ley no goza de la propiedad conmutativa.
c) ¿ ∃ e ∈ E / a ⊥ e = e ⊥ a = a ∀a ∈ E ?
a ⊥ e = a ⇔ a + 2e = a ⇔ e = 0
e ⊥ a = a ⇔ e + 2a = a ⇔ e = − a
Para que se cumplan ambas condiciones a debería ser igual a cero, pero partimos del supuesto que a
era cualquier número entero. Concluimos que no existe elemento neutro.
d) Como no existe elemento neutro, no tiene sentido hablar de elemento simétrico.
Actividad 5:
Sea Ω= ℜ y A= {pares de ordenados de Números Reales}, definimos en Ω x A la relación:
a (x,y) = (ax, ay -1) .

Ésta es L.C.E, de Ω x A sobre el dominio de operadores Ω , pues analizando componente a
componente, cualquiera sea el valor de a resulta ax un valor real, al igual que ay -1. Siendo el
resultado de esta ley un nuevo par ordenado de Números Reales.
Actividad 6:
a)
Segunda
Vector Orden Traspuesto
componente.
V1= (-1, 0)  −1
2 0 V1′ =  
0
56
V2= (-1, 8, -4)  −1

3 8 V2′ =  8 
 −4 
V3= (1, 7) 1 
2 7 V3′ =  
7 
1
V4= ( 1, 6, 2, -1) 6
4 6 V4′ =  
2
 
 −1
b) Grafique en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes vectores:
3
V1
2
V3
1
0
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
V4
-2
-3
V2
-4
-5
x
c) Estos vectores son de orden 2. En un sistema de coordenadas con sólo dos ejes no es posible
graficar vectores con tres componentes.
Actividad 7:
a) La venta total de los dos meses, discriminada por producto, la podemos obtener en la suma
entre V1 y V2.
b) Matemáticamente, el resultado es otro vector del mismo orden que los dados:
57
120 103  223

V1 + V2 =  45  +  88  = 133 
102  91  193 
c) Sería imposible un cálculo similar si los vectores dados tuviesen distinto orden.
Actividad 8
Aplicando propiedades de la suma de vectores arribamos a la solución sin efectuar cálculos:

V1 + ( ( −V1 ) + V2 ) + ( −V2 ) + (V3 + V2 ) = V1 + ( −V1 ) + V2 + ( −V2 ) + V3 + V2
= V3 + V2
= φ + V2
= V2
Actividad 9:
a) Para obtener el precio de venta de cada producto, sabiendo que al precio de costo se le debe cargar
un 30%, deberíamos multiplicar cada precio por 1,30. Si queremos pensar en forma vectorial, basta
con multiplicar el escalar 1,30 por el vector de la siguiente manera:
10  13 
1, 30C = 1, 30  40  =  52 
 20   26 
b) El resultado será otro vector del mismo orden que el dado.
Actividad 10:
a)Asociativa con respecto al producto de escalares.
Queremos comprobar que ∀α ∈ ℜ, β ∈ℜ, X vector de orden n se cumple que:

( α . β) X = α (β X).
Partimos del primer miembro, usamos la definición de producto de un vector por un escalar, aplicamos
la propiedad asociativa del producto de Números Reales y llegamos al segundo miembro de la
igualdad:
(αβ ) X = (αβ ) ( x1 , x2 ,… , xn )
= ( (αβ ) x1 , (αβ ) x2 ,… , (αβ ) xn )
( ( ) ( )
= α β x1 , α β x2 ,… , α β xn ( ))
(
= α β x1 , β x2 ,… , β xn )
= α (β X )
Hemos comprobado la propiedad asociativa del producto de un escalar por un vector con respecto al
producto de escalares.
58
b) Distributiva con respecto a la suma de escalares.
Queremos comprobar que ∀α ∈ ℜ, β ∈ℜ, X vector de orden n se cumple que:

( α + β) X = α X + β X
Partimos del primer miembro, usamos la definición de producto de un vector por un escalar; aplicamos
la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de Números Reales, descomponemos el
vector suma como suma de dos vectores, y a cada uno de ellos lo expresamos como un escalar por un
vector. Llegamos así, al segundo miembro de la igualdad:
(α + β ) X = (α + β ) ( x1 , x2 ,… , xn )
= ( (α + β ) x1 , (α + β ) x2 ,… , (α + β ) xn )
(
= α x1 + β x1 , α x2 + β x2 ,… , α xn + β xn )
= (α x , α x , … , α x ) + ( β x , β x ,… , β x )
1 2 n 1 2 n
= α ( x , x ,… , x ) + β ( x , x , … , x )
1 2 n 1 2 n
=αX +βX
c) Distributiva con respecto a la suma de vectores.
Queremos probar que ∀α ∈ℜ, X e Y vectores de orden n se cumple que:

α (X + Y) = α X + α Y
Ahora, partimos del segundo miembro, multiplicamos al escalar por el vector en cada término,
sumamos los vectores, en cada componente sacamos factor común α , luego expresamos ese vector
como el producto del escalar por el vector suma, arribando al primer miembro:
α X + α Y = α ( x1 , x2 ,… , xn ) + α ( y1 , y2 ,… , yn )
( ) (
= α x1 , α x2 ,… , α xn + α y1 , α y2 ,… , α yn )
= (α x + α y , α x + α y ,… , α x + α y )
1 1 2 2 n n
= (α ( x + y ) , α ( x + y ) , … , α ( x + y ) )
1 1 2 2 n n
= α ( x + y , x + y ,… , x + y )
1 1 2 2 n n
= α ( X +Y )
Actividad 11
2 V1 + 3 ( ( −V1 ) + V2 ) + X − 2 V2 = ∅
2 V1 + ( −3V1 ) + 3V2 + X − 2 V2 = ∅
− V1 + V2 + X = ∅
X = V1 − V2
X = [1 , − 2] − [ −1 , 4] ⇒ X = [ 2 , − 6]
59
Actividad 12:
 −1
a) [ 2,2 ] .   = −2 + 2 = 0 ⇒ son ortogonales.
1 
 3
b) [0, − 5].  0 = 0 + 0 ⇒ son ortogonales.
 
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
y
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
x x
Nota: Observamos gráficamente que los vectores ortogonales forman entre sí un ángulo de 90º:
4
 
c) [1, 2, −1] . −1 = 4 − 2 + 0 = 2 ⇒ no son ortogonales
 
 0 
 1 
d) 1,

 
2, − 3  .  2  = 1 + 2 2 + − 3 ( ) 3 = 1 + 2 − 3 = 0 ⇒ son ortogonales
 3
 
Actividad 13: Demuestre las propiedades 2) y 3).
Conmutativa:
∀ X , Y vectores de orden n X’.Y = Y’ X
Partimos del primer miembro de la igualdad, aplicamos propiedad conmutativa del producto de
Números Reales y luego, por definición de producto interno, obtenemos el segundo miembro.
60
n
X '.Y = ∑ xi yi
i =1
n
= ∑ yi xi
i =1
= Y '. X
Con ello, probamos que el producto interno es conmutativo.
Distributiva:
∀ X , Y , Z vectores de orden n X’ (Y +Z) = X’ .Y+ X’. Z
Partimos del primer miembro de la igualdad, realizamos la suma vectorial, luego aplicamos la
definición de producto interno. Seguidamente aplicamos la propiedad distributiva del producto de
Números Reales con respecto a la suma, reescribimos la suma abreviada como dos sumas y luego, por
definición de producto interno, obtenemos el segundo miembro:
 y1 + z1 
y + z 
X ′. (Y + Z ) =  x1 , x2 ,… , xn   2 2 
 ⋮ 
 
 yn + z n 
n
= ∑ xi ( yi + zi )
i =1
n
= ∑ ( xi yi + xi zi )
i =1
n n
= ∑ xi yi + ∑ xi zi
i =1 i =1
= X ′.Y + X ′.Z
En consecuencia, el producto interno es distributivo con respecto a la suma de vectores.
Actividad 14:
Verifiquemos el cumplimiento de las propiedades de módulo de un vector para el caso en que
X ′ = [ 0, −3, 4] ; Y ′ = [ −1, 3, 5]
1) El módulo de un vector es no negativo:
X = [ 0, −3, 4] = (−3) 2 + 42 = 5 ⇒  X ≥ 0.
2) Desigualdad de Schwartz :
61
 −1
X ′.Y = [ 0, −3, 4] .  3  = −9 + 20 = 11
 5 
X ′ Y = 5. 35 ≅ 29, 58
Por lo tanto, verificamos que: 11 = X ′.Y ≤ X ′ Y ≅ 29, 58
3) Desigualdad de Minkomski ó triangular:
X + Y = [ −1, 0, 9] = 82 ≈ 9, 055
X + Y = 5 + 5, 916 ≈ 10, 916
Por lo tanto, verificamos que X +Y ≤ X + Y .
Actividad 15:
Indique, justificando su elección, cuál o cuáles de los siguientes vectores es normal:
( 2 ) + (− 3)
2 2
a) V1 = 1, 2, − 3  ⇒ V1 = 12 + = 6 ⇒ No es normal.

b) V2 = [1, 1, −1] ⇒ V2 = 12 + 12 + (−1)2 = 3 ⇒ No es normal.
(1/ 3 ) + (1/ 3 ) + ( −1/ 3 )

2 2 2
c) V3 = 1/ 3, 1/ 3, −1/ 3, 0  ⇒ V3 =

1 1 1
= + + = 1 ⇒ Es Normal
3 3 3
d) V4 = [ 4 / 5, 3 / 5] ⇒ V4 = ( 4 / 5) + ( 3 / 5) (16 / 25) + ( 9 / 25) = 1 ⇒
2 2
= Es Normal
Actividad 16:
A)
α [1 , 3] + β [1 , 5] = [3 , − 5]
[α , 3α ] + [ β , 5β ] = [3 , − 5]
[α + β , 3α + 5β ] = [3 , − 5]
α + β = 3 ⇒ α = 3 − β
⇒
3α + 5β = −5
3(3 − β ) + 5β = −5 ⇒ 9 + 2 β = −5 ⇒ β = −7 y por lo tanto α =10
Concluimos que podemos expresar al vector [3 , − 5] como combinación lineal de los vectores, dados
de la siguiente forma:
62
10 [1 , 3] + ( −7) [1 , 5] = [3 , − 5]
B)
α [1 , 2 , 0 ] + β [1 , − 1 , 3] + γ [ −2 , 1 , 1] = [1 , 1 , 1]
[α , 2α , 0 ] + [ β , − β , 3β ] + [ −2γ , γ , γ ] = [1 , 1 , 1]
[α + β − 2γ , 2α − β + γ , 3β + γ ] = [1 , 1 , 1]
Igualamos componente a componente y despejamos de la tercera ecuación:
α + β − 2γ = 1

2α − β + γ = 1
3β + γ = 1 ⇒ γ = 1 − 3β

Reemplazando esta expresión en las dos ecuaciones restantes y operando:
α + β − 2 (1 − 3β ) = 1 α + 7 β = 3
⇒ ⇒
2α − β + 1 − 3β = 1 2α − 4 β = 0 ⇒ α = 2β
Sustituyendo en la primera ecuación:
2β + 7 β = 3 ⇒ β = 1 3
Finalmente, obtenemos el valor de los escalares α = 2 3 ; β = 1 3 ; γ = 0 . La combinación lineal es:

2 1
3
[1 , 2 , 0 ] + [1 , − 1 , 3] + 0 [ −2 , 1 , 1] = [1 , 1 , 1]
3
Actividad 17:
α [1 , 2 , 0 ] + β [1 , − 1 , − 3] + γ [ −2 , − 1 , 3] = [1 , 1 , 1 ]
Operando adecuadamente, se tiene que para que la combinación lineal exista se debe cumplir:
α + β − 2γ = 1

2α − β − γ = 1
−3β + 3γ = 1 1 + 3β
 ⇒γ =
3
 1 + 3β  5 5
α + β − 2 3 = 1 α − β = 3 ⇒α = +β
3
 ⇒
2α − β − 1 + 3β = 1 2α − 2 β = 4
 3  3
Sustituyendo en la segunda ecuación, del último sistema, resulta:
5  4 10 4
2  + β  − 2β = ⇒ = , lo cual es una contradicción.
3  3 3 3
63
Por lo tanto, el sistema no admite solución y en consecuencia no es posible expresar al vector X como
combinación lineal de los vectores dados.
Actividad 18:
Determine formalmente la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores.
a) Planteamos:
α [1, 3] + β [ 2, 5] = [ 0, 0 ]
α + 2 β = 0 ⇒ α = −2 β (*)
⇒
3α + 5β = 0
Sustituyendo en la segunda ecuación:
⇒ 3 ( −2β ) + 5β = 0 ⇒ − β = 0 ⇒ β = 0
Reemplazando en (*), obtenemos que también α =0

Concluimos que el conjunto de vectores es L.I.
b) Planteamos:
α [1, 3] + β [3, 9] = [0, 0]

α + 3β = 0 ⇒ α = −3β
⇒
3α + 9 β = 0
Sustituyendo en la segunda ecuación

⇒ 3 ( −3β ) + 9β = 0 ⇒ 0β = 0 ⇒ β puede asumir cualquier valor real, en particular un valor
distinto de cero.
Concluimos que el conjunto de vectores es L.D.
c) Planteamos:
α [1, 0] + β [3, 0] + γ [0, 1] = [0, 0]

[α , 0] + [ 3β , 0 ] + [ 0, γ ] = [ 0, 0 ]
[α + 3β , γ ] = [0, 0]
α + 3β = 0 ⇒ α = −3β

γ = 0
Observamos que, si bien γ = 0 , el valor de α depende del valor que demos a β , pudiendo este
último asumir cualquier valor real. En particular, β puede asumir un valor distinto de cero, motivo
por el cual el conjunto de vectores es linealmente dependiente.
d) Planteamos:
64
α [1 , 2 , 1 ] + β [1 , − 1 , 3] = [ 0 , 0 , 0]
Operando, resulta el siguiente sistema de ecuaciones:
α + β = 0 ⇒ α = − β (*)

2α − β = 0
α + 3β = 0

Sustituimos en la segunda ecuación:
2( − β ) − β = 0 ⇒ −3β = 0 ⇒ β =0
Luego por (*) resulta que α =0

Como los valores obtenidos de α y β verifican la tercera ecuación, concluimos que el conjunto de
vectores es linealmente independiente.
e) Planteamos:
α [3 , 0 , 1 ] + β [ 0 , 0 , 4 ] + γ [1 , 0 , 0] = [ 0 , 0 , 0]
De donde, luego de operar adecuadamente, resulta el siguiente sistema:

3α + γ = 0 ⇒ γ = −3α

α + 4 β = 0 ⇒ β = − α 4
Hemos encontrado una condición para γ y una condición para β , pero el valor de α no está
condicionado, por lo cual este último puede asumir cualquier valor distinto de cero. Concluimos que el
conjunto de vectores es linealmente dependiente.
f) Este conjunto es L.I. Planteamos:
α [1, 3] = [ 0, 0] ⇔ α = 0
g) Este conjunto es L.D. Planteamos:
α [ 0, 0, 0] = [ 0, 0, 0] ⇒ α 0 = 0
Esta última ecuación, se cumple cualesquiera sea el valor de α , por lo tanto podemos encontrar un
escalar distinto de cero, cumpliendo así con la condición de dependencia lineal.
h) Planteamos
α [ 3, 0, 1] + β [ 1, 3, 4] + γ [6, 0, 2] = [0, 0, 0]
luego de operar adecuadamente, arribamos al siguiente sistema:
3α + β + 6γ = 0

3β = 0
α + 4β + 2γ = 0

65
De la segunda ecuación deducimos que β = 0 , reemplazando en las restantes
3α + 6γ = 0

α + 2γ = 0 ⇒ α = −2γ
y por ende −6γ + 6γ = 0 ⇒ γ es cualquier número real, cumpliendo así con la condición de
dependencia lineal.
i) Planteamos
α [ 3, 0, 1] +β [ 1, 3, 4] +γ [ 1, 0, 2]=[ 0, 0, 0]
3α + β + γ = 0

3β = 0
α + 4β + 2γ = 0

De la segunda ecuación deducimos que β = 0 , reemplazando en las restantes:

3α + γ = 0

α + 2γ = 0 ⇒ α = −2γ
Sustituyendo en la primera ecuación de este último sistema, obtenemos:
α = 0

−6γ + γ = 0 ⇒ − 5γ = 0 ⇒ γ = 0 , y como α = −2γ resulta que  β = 0
γ = 0

Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente.
j) Planteamos
α [ -3, 0, 1] + β [ 1, 0, 4] + γ [ 1, 1, 2] + δ [ 1, 0, 0] = [ 0, 0, 0]
−3α + β + γ + δ = 0

γ = 0
α + 4 β + 2γ = 0

Reemplazando en las ecuaciones restantes:
−3α + β + δ = 0

α + 4 β = 0 ⇒ α = −4 β
Sustituyendo en la otra ecuación del último sistema:

12 β + β + δ = 0 ⇒ δ = −13β
Con ello las soluciones de este sistema son de la forma:
66
α = −4β , γ = 0 , δ = −13β con β cualquier número real.
En consecuencia, el conjunto de vectores dados es linealmente dependiente.
Actividad 19:
La definición formal de dependencia lineal se puede expresar en forma abreviada como:
Un conjunto de vectores { V1, V2, . . . , Vk } es linealmente dependiente (L.D.) si

k
∃ αi ≠ 0 / ∑α V
i =1
i i =φ
Actividad 20:
  2 
 
a)   −4   es linealmente independiente por ser un conjunto formado por un único vector distinto del
 
 1  
  
nulo.
  2   −1  1  
 
b)   −4  ;  2  ;  − 2   es linealmente dependiente pues observamos que el tercer vector es
     
 1   0   1  
      
combinación lineal de los dos primeros.
  2  0  1  
 
c)   −4  ;  0  ;  − 2   es linealmente dependiente dado que el conjunto contiene al vector nulo.
  
 1   0   1  
  
  0 
  
d) 
 0   es linealmente dependiente por ser un conjunto formado únicamente por el vector nulo.
  0  

  1   −1  1 
     
 −2 2 0  
e)    ;   ;   es linealmente independiente por ser un subconjunto de un conjunto de
 1   0   0 
  3   1   
2  
vectores linealmente independientes.
Actividad 21
Asociativa ∀ X , Y, Z ∈ V : ( X + Y ) + Z = X + (Y + Z )
Conmutativa ∀ X , Y ∈ V: X + Y = Y + X ,
Elemento neutro ∀ X ∈ V ∃∅∈ V : X +∅ = X = ∅ + X
Elemento simétrico Para cada X ∈ V : X + ( − X ) = ∅ = ( − X ) + X
67
Actividad 22:
Analicemos si el conjunto formado por todos vectores de dos componentes reales con las siguientes
operaciones:
( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )
 , constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales.
 α ( x , y ) = ( α x , 0 )
Consideremos ( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w ) y veamos si cumplen las propiedades correspondientes

a la LCI.
a) Propiedad asociativa
( x, y ) + ( z , w )  + (a, b) = ( x + z , y + w ) + (a, b)
= ( x + z + a, y + w + b )
aplicando propiedad asociativa de la suma de Números Reales, en cada componente se obtiene:
( x, y ) + ( z , w )  + (a, b) = ( x + ( z + a ) , y + ( w + b ) )
= ( x, y ) + ( z + a , w + b )
= ( x, y ) + ( z , w ) + (a, b) 
Concluimos que la LCI, así definida, cumple la propiedad asociativa.
b) Propiedad conmutativa
( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )
= ( z + x, w + y )
= ( z , w ) + ( x, y )
Por lo tanto, la LCI, así definida, cumple la propiedad conmutativa
c) Elemento neutro
Queremos encontrar si existe un vector ( e1 , e2 ) tal que cumpla que:
( x, y ) + ( e1 , e2 ) = ( x, y ) = ( e1 , e2 ) + ( x, y ) ∀ ( x, y )
Partimos de la definición de la LCI y aplicamos la condición:

( x, y ) + ( e1 , e2 ) =
 x + e1 = x ⇒ e1 = 0
( x + e1 , y + e2 ) = ( x, y ) ⇒ 
 y + e2 = y ⇒ e2 = 0
Y por conmutatividad deducimos que ( e1 , e2 ) = ( 0, 0 ) , es el elemento neutro de esta ley.
d) Elemento simétrico
Para cada ( x, y ) , queremos encontrar un ( xˆ, yˆ ) tal que:
( x, y ) + ( xˆ, yˆ ) = (0, 0) = ( xˆ, yˆ ) + ( x, y )
Partimos del primer miembro y planteamos la condición:
( x, y ) + ( xˆ, yˆ ) =
68
 x + xˆ = 0 ⇒ xˆ = − x
( x + xˆ, y + yˆ ) = ( 0, 0 ) ⇒ 
 y + yˆ = 0 ⇒ yˆ = − y
Por conmutatividad deducimos que para cada ( x, y ) , existe su correspondiente elemento simétrico
( xˆ, yˆ ) = (− x, − y) .
Ahora, consideremos α ( x, y ) = ( αx, 0 ) y veamos si cumplen las propiedades correspondientes a la

LCE.
a) Asociativa para los escalares
Queremos comprobar si (αβ )( x, y ) = α  β ( x, y ) 

Desarrollando ambos miembros llegamos a la misma expresión:
( )
Primer miembro: (αβ )( x, y ) = (αβ ) x, 0 = α ( β x, 0 )
Segundo miembro: α  β ( x, y )  = α ( β x, 0 )
Por lo tanto la LCE es asociativa para el producto de escalares.
b) Distributiva para la suma de escalares
Queremos ver si (α + β )( x, y ) = α ( x, y ) + β ( x, y )
Desarrollemos ambos miembros de la igualdad:
Primer miembro: (α + β )( x, y ) = ( ( α + β ) x, 0 ) = ( α x + β x, 0 )
Segundo miembro: α ( x, y ) + β ( x, y ) = (α x, 0 ) + ( β x, 0 ) = (α x + β x,0 )
Dado que arribamos a la misma expresión, la LCE es distributiva para la suma de escalares.
c) Distributiva para la suma de vectores
Queremos ver si α ( x, y ) + ( z , w)  = α ( x, y ) + α ( z , w )
Desarrollemos ambos miembros de la igualdad:
Primer miembro: α ( x, y ) + ( z , w)  = α ( x + z , y + w ) = (α x + α z , 0 )

Segundo miembro: α ( x, y ) + α ( z , w ) = (α x, 0 ) + (α z , 0 ) = (α x + α z , 0 )
Nuevamente, arribamos a la misma expresión, entonces la LCE es distributiva para la suma de
vectores.
d) Elemento unidad
Queremos ver si existe un escalar tal que α ( x, y ) = ( x, y ) .
Pero por definición de la LCE α ( x, y ) = ( αx, 0 ) , entonces si y ≠ 0, ∃/ α que cumpla la condición de
elemento unidad.
69
Finalmente, dado que la LCE no cumple con la condición del elemento unidad, concluimos que el
conjunto formado por los vectores de dos componentes reales, dotado de estas leyes de composición,
no es un espacio vectorial.
Actividad 23
Para establecer si un conjunto de vectores constituye una base del espacio vectorial, debemos
comprobar dos condiciones:
a) Que el conjunto de vectores sea linealmente independiente.

b) Que el conjunto de vectores genere el espacio vectorial correspondiente.
Revisemos si se cumplen estas condiciones en este caso para el conjunto de vectores
  2  1   1  
 
A =   −4  ;  0  ;  1  
     
  1   1   0 
      
a) Vemos claramente que el conjunto de vectores es linealmente independiente, pues:
 2  1  1  0  α = 0

α  −4  + β  
 0 + γ
  
 1 =  0  ⇒  β = 0
 1   1   0  0  γ = 0
b) Que el conjunto de vectores genere el espacio vectorial, significa que cualquier vector del espacio
V3(R) se puede expresar como combinación lineal de los vectores del conjunto dado.
a 
 
Por lo tanto, sea W = b un vector cualquiera de V3(R), debemos verificar que existen los escalares
 
 c 
α , β , γ tales que:
 2  1  1   a
α  −4  + β  0 + γ
 
 1 =  b
   
 1   1   0   c 
A partir de este planteo surge, si operamos adecuadamente, el siguiente sistema de ecuaciones:
2α + β + γ = a

−4α + γ = b
α + β = c ⇒ α =c−β

Reemplazando α en las otras ecuaciones y despejando γ de la primera ecuación:
2 ( c − β ) + β + γ = a ⇒ γ = a + β − 2c

−4 ( c − β ) + γ = b
70
sustituyendo en la segunda ecuación, podemos obtener β :
b − a + 6c
−4 ( c − β ) + a + β − 2c = b ⇒ β=
5
Busquemos la expresión de α y γ :
b − a + 6c −b − a − c
α =c− ⇒ α=
5 5
b − a + 6c b + 4 a − 4c
γ =a+ − 2c ⇒ γ =
5 5
Hemos demostrado que, para cualquier vector de V3(R), existen escalares que permiten expresar a
dicho vector como combinación lineal de los vectores dados. Por lo tanto, el conjunto de vectores
dados generan el espacio vectorial V3(R).
Conclusión: El conjunto A constituye una base de V3(R)
De forma análoga, vemos que el conjunto B constituye una base de V3(R)
Importante: Cuando en un espacio vectorial de dimensión n, tenemos n vectores linealmente

independientes, podemos omitir la demostración que estos vectores generan, simplemente enunciando
la correspondiente conclusión.
  2  1  
    
Analicemos qué ocurre, en el caso en que C =  −4 ; 0 
   
 1   1  
    
a) Los vectores constituyen un conjunto linealmente independiente, pues observamos fácilmente que:
 2  1  0
α  −4  + β  0  = 0 ⇔ α = 0 ∧ β = 0
   
 1   1  0
a 
 
b) Para ver si estos vectores generan planteamos: Sea W = b un vector cualquiera de V3(R),
 
 c 
debemos establecer si existen los escalares α , β tales que:
 2  1   a
α  −4  + β  0 =  b 
   
 1   1   c 
A partir de este planteo surge, si operamos adecuadamente, el siguiente sistema de ecuaciones:
71
2α + β = a
 b
−4α = b ⇒ α =−
α + β = c 4

Reemplazando α en las otras ecuaciones y operando:
 b b
− 2 + β = a ⇒ β = a + 2

− b + β = c
 4
b b 3b
+a+ =c ⇔ +a =c
4 2 4
Es decir, que para que el sistema tenga solución, debería cumplirse una relación entre las componentes
del vector W. Lo cual es absurdo, pues el vector W era arbitrario.
Conclusión: El conjunto C no constituye una base de V3(R)
72
1) a T b = 4. a + b , es una ley de composición interna sobre E.
2) a) (3 , 5) + (2 , 4) = (5 , 9) y (−1 , 5) + (1 , 4) = (0 , 9) .
b) Si, (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w ) representa una L.C.I. en ℜ2.
3) Dado el conjunto formado ℜ2, con la operación de suma de pares definidas de la siguiente manera:
(x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 )
a) (3 , 5) + (2 , 4) = (5 , 7) y (−1 , 5) + (1 , − 4) = (0 , 5 + 2i ) .
b) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w1/ 2 ) no representa una L.C.I. en ℜ2, pues para algunos valores de w,
la segunda componente resulta un valor complejo.
4) La operación: (m , n) + (f , t) = ( 2 , n + t )
Es asociativa, es conmutativa y no posee elemento neutro.
5) La L.C.I, definida en ℜ2:

(x , y) * (z , w) = ( x + z +3 , y + w )
a) Posee elemento neutro: e = (-3, 0)

b) Cumple la propiedad del elemento simétrico.
c) Es asociativa.
6)
I) a ⊗ b = 2.( a + b ) definida en el conjunto de los Números Reales.
No es asociativa.
Es conmutativa.
No posee neutro.
II) a ↓ b = 3 . a + 2 . b definida en el conjunto de los Números Reales.

No es asociativa.
No es conmutativa.
No posee neutro.
( a − b)
III) a ∗ b = definida en el conjunto de los Números Racionales.
2
No es asociativa.
No es conmutativa.
73
No posee neutro.

Reales.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Posee neutro.
V) (x , y) + (z , w) = ( x + z , y + w− 8 ) definida sobre el conjunto de los pares ordenados de Números

Reales.
Es asociativa.
Es conmutativa.
Posee neutro.

Es asociativa.
No es conmutativa.
No posee neutro.
7) Sean Ω= {2, 3, 5} y A= Números Enteros pares. Definimos de Ω x A en A el producto usual. Es

8) Sean Ω= {-2, 3, 5} y A= Números Enteros impares. Definimos de Ω x A en A la suma usual. No es

9)
a) V1 + V2 = [3 , 2]
b) V3 − V2 = [ −1, −4]
c) −2 V1 = [ −4, 6]
d) V3 − 2V1 = [ 4, −5]
e) V1 + V2 + V3 = [3, 3]
f) 2 V1 − (V2 + 3 V3 ) = [3, −14]
g) 2 V1 − V2 + 3 V3 = [3, −8]
h) V3 − 3 (V1 + V2 ) = [ −9, −5]
10)
a) Z + Y = [ 4, 2, 0] e) 3 Z − Y + X ′ = [1, 9, − 10]
b) Y − X ′ = [ 2, − 3, 1] f) 3 Z − (Y + X ′) = [ −1, 3, − 14]
c) −2 X ′ = [ −2, − 6, − 4 ] g) 2 X ′ − Y + 3 Z = [ 2, 12, − 8]
74
11) Para encontrar el o los valores de k, que verifican cada una de las siguientes condiciones,
operamos vectorialmente e igualamos los vectores, componente a componente.
Condición Justificación Valor de k

−3[1 , 3 , − 1 ] + [ −1 , k , 2] = [ −4 , − 5 , 5] −9 + k = −5 ⇒ k = 4
k =4
k [ 0 , 3 , − 1 ] + [ −1 , − k , 2] = [ −1 , 6 , − 1] 3k − k = 6 ⇒ 2k = 6 ⇒ k = 3
k =3
− k + 2 = −1 ⇒ k = 3
k [3 , − 1 ] + k [ −1 , 2] = [ −4 , 2] 3k − k = −4 ⇒ 2k = −4 ⇒ k = −2
k = −2
− k + 2k = 2 ⇒ k = −2
Observemos: La suma de las
−3[1 , 3 , − 1 ] + [ −1 , k , 2] = [ −4 , − 5 , 2]
terceras componentes 3 + 2 ≠ 2 .
Por lo tanto esta igualdad no se No existe
verifica independientemente del
valor de k
[3 , − 1 ] + 2 [ −1 , 2] + k [ 0 , 0] = [1 , 3] 3 − 2 + 0k = 1 ⇒ 1 = 1, ∀k
−1 + 4 + 0k = 3 ⇒ 3 = 3, ∀k ∀k
Esta igualdad se verifica siempre
12) a) V’1 . V2 = -1/2 b) V’1 . V3 = 1
13)
a) i) Los vectores [-1, 3] ; [ 3, 1] son ortogonales.
ii) Los vectores [1, 0, 2]; [0; -1 ; 0] son ortogonales.
iii) Los vectores [3, 1, 2, -1] ; [0, 0, 0, 1] no son ortogonales.
iv) Los vectores [1, -2, 4] ;[2, 5, 2] son ortogonales.
b) i) x = ±1 ii) x = 1 5
14) Podemos llamar Qi = [ q Ai , qBi , qCi ] al vector que contiene las cantidades vendidas de A, B y C
respectivamente el día i .
Mientras que el vector P = [ p A , pB , pC ] está formado por los correspondientes precios de venta.
Entonces:
a) El total de unidades vendidas de cada artículo en una semana laborable.(6 días) resultará de la suma:
Q1 + Q2 + … + Q6
b) El promedio de unidades vendidas de cada artículo, en un mes de 27 días, surgirá como:
1
( Q1 + Q2 + … + Q27 )
27
.
c) El ingreso total diario se obtendrá como el producto interno:
P.Qi′ = p A q Ai + pB qBi + pC qCi
75
15)
V1 = 10 V2 = 5 V3 = 1 V4 = 4
16)
a) k (X + Y) = k (x1, x2, . . . , xn ) + k (y1, y2, . . . , yn )
n
b) X .Y ' = ∑ xi yi
i =1
n
c) k . X .Y ' = ∑ k xi yi
i =1
d) X - Y = (x1 - y1 , x2 - y2, . . . , xn - yn)
e) Y. Y’ = y12 + y22+ y32+......... + yn2
2
17) 2 [1 , 3 , − 1 ] − [ −1 , 1 , 2] − [3 , 0 , 3] = [ 2 , 6 , − 2 ] − [ −1 , 1 , 2] − [ 2 , 0 , 2]
3
= [1 , 5 , − 6]
18) k1 = 7 4 ; k 2 = −9 4
19) Es posible expresar el vector X = [3 , − 1 , 9 ] como combinación lineal de V1 , V2 y V3.

Planteando y resolviendo obtenemos que los escalares son: 1, 1 y 2 respectivamente como mostramos
a continuación:
[ −1 , 2 , 1 ] + [0 , − 1 , 2] + 2 [ 2 , − 1 , 3] = [3 , − 1 , 9 ]
20)
Planteo: x (3, 5) + y (1, 4) = (22, 53). Solución: x = 5; y = 7
21)
a) LD b) L.I. c) L.D d) LD e) L.I.
f) L.I g) L.D. h) L.D. i) L.I. j) L.I.
22)
a) Si dos o más vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se expresa
como combinación lineal del resto.
b) Si dos o más vectores son linealmente independientes, entonces ninguno de ellos se expresa
como combinación lineal del resto.
c) Dos o más vectores son linealmente independientes sí y sólo sí, el vector nulo se expresa como
combinación de ellos con todos los escalares iguales a cero.
76
d) Dos o más vectores son linealmente dependientes, sí y sólo sí el vector nulo se expresa como
combinación de ellos con, al menos, uno de los escalares distinto de cero.
23)
 0  3   3 
      
a) El conjunto de vectores  2 ; 2 ; 4  es linealmente dependiente.
     
 1   4   5  
      
b) Es posible expresar al vector V como combinación lineal de los vectores dados, a pesar de que el
conjunto de vectores es linealmente dependiente.
24)
Como sabemos que los vectores dados son linealmente independientes, la única forma de expresar al
vector nulo como combinación lineal de ellos, es con todos los escalares iguales a cero.
25) Como observamos que los vectores dados son linealmente dependientes, existirán infinitas formas
de expresar al vector nulo como combinación lineal de ellos.
26) Establecer si el conjunto formado por todos vectores de 3 componentes reales con las siguientes
operaciones, constituyen espacios vectoriales sobre el cuerpo de los reales:
a) No es espacio vectorial, pues por ejemplo, la LCE no goza de la propiedad distributiva con respecto
a la suma de escalares.
b) No es espacio vectorial, pues la LCI no goza de la propiedad de existencia de elementos neutro.
c) Con estas leyes de composición, el conjunto formado por todos vectores de 3 componentes reales,
constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales.
27)
a) El conjunto de vectores es linealmente independiente.
b) Constituyen una base de V3(R).
 −1 3  −4  0  α1 = −1 3

 
c) α1V1 + α 2V2 + α 3V3 = V ⇒ α1 −2 + α 2
      
   2  + α 3  −4  = 0  ⇒ α 2 = 1 3
 1   4   0  1  α 3 = 1 3
28)
Sólo el conjunto de vectores del ítem i) constituyen una base de un espacio vectorial, en este caso de
V4(R).
{[-1, 2, 0 ,3] ; [-1,-2, 0, 0], ; [0, 0, 1, 0]; [0, 0, 0, 1]}
Ellos son 4 vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial de dimensión 4.
77
29)
a) Diremos que un conjunto de vectores genera un espacio vectorial, si cualquier vector del espacio se
puede expresar como combinación lineal del conjunto de vectores dados.
b) Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio que cumple con dos
condiciones:
1) El conjunto de vectores es linealmente independiente.
2) El conjunto de vectores genera el espacio vectorial.
30)
a) El número máximo de vectores linealmente independientes que puede contener un espacio vectorial
de dimensión n, es n.
b) El número mínimo de vectores linealmente independientes que puede contener un espacio vectorial
de dimensión n, es cero.
c) No existe un número máximo de vectores generadores en un espacio vectorial de dimensión n.
d) El número mínimo de vectores generadores que puede contener un espacio vectorial de dimensión n
es n.
78
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 2
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
UNIDAD 2
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
94
UNIDAD 2
MATRICES
Introducción
Iniciamos esta unidad, con la introducción una nueva herramienta matemática, conocida con el
nombre de matriz.
El primer paso en el estudio de este tema será apropiarnos de la simbología matricial, para luego
incorporar ciertas matrices con características especiales. Para tal fin es necesario familiarizarnos con
la notación respetando formatos, tipo de letras, subíndices, etc. ya que ellos hacen al lenguaje
matemático universalmente aceptado y porque además constituyen el punto de partida para los temas
que serán tratados en unidades posteriores.
A continuación, definiremos las operaciones matriciales y sus propiedades, las cuales no
ofrecerán dificultad, si hemos desarrollado un buen estudio del tema vectores. A través de ellas,
podremos plantear algunas aplicaciones sencillas relacionadas con las Ciencias Económicas.
Incorporaremos luego, los conceptos de matriz transpuesta- sus propiedades- y matriz
particionada en submatrices. Además, presentaremos otras matrices especiales, completando así, los
conocimientos básicos asociados a la temática.
Por otra parte, presentaremos las llamadas operaciones elementales, las cuales, siendo operaciones
sobre las líneas paralelas de una matriz, constituyen la operatoria fundamental que nos acompañará en
las próximas tres unidades y cuyos conceptos asociados (matrices elementales, matrices equivalentes y
matrices escalonadas), deberán recibir especial atención de nuestra parte.
El estudio de esta unidad requerirá de la realización de algunos cálculos, los cuales no deberán
opacar la importancia de lo conceptual y lo simbólico. Los conocimientos que aquí se adquieran, al
igual que la habilidad que se logre en la operatoria matricial y el manejo de las operaciones
elementales serán decisivos para la comprensión y el normal desarrollo de las unidades siguientes.
Objetivos específicos:
• Incorporar la simbología matricial para poder aprovechar todo su potencial generalizador.
• Reconocer distintos tipos de matrices con características especiales.
• Dominar la operatoria matricial y sus propiedades, utilizándolas en aplicaciones sencillas.
• Familiarizarnos con las operaciones elementales como punto de partida para los temas a
desarrollar en las unidades posteriores.
• Realizar operaciones elementales sobre una matriz con objetivos determinados (obtener una
matriz equivalente y/o escalonada).
95
Esquema de Contenidos de la unidad
El siguiente esquema, nos muestra la relación y orden lógico, del tratamiento de los temas
principales a estudiar en esta unidad. Usted podrá consultar al mismo, cuantas veces crea necesario
hacerlo, para poder comprender, de manera integral, los distintos temas de esta unidad:
MATRICES
Incluye Se incorporan
Definición Notación Matrices

especiales Submatrices
Se definen operaciones Operaciones

Elementales
Suma Producto por Producto Surgen

Matricial un escalar Matricial matrices
Elementales
Equivalentes
Admiten Matriz Escalonadas
Transpuesta
Propiedades
96
1. MATRICES
1.1 Definición y notación
Hace más de dos mil años, los matemáticos chinos empleaban tablas con números, así lo muestra
la obra "Los nueve capítulos", que data del año 300 AC, donde se proponen y resuelven sistemas de
ecuaciones lineales.
Sin embargo, es recién en el siglo XIX, cuando se desarrolla una de las
herramientas más importantes de la matemática: el álgebra de matrices.
La contribución más notable a este desarrollo, fue la obra del matemático
inglés, Arthur Cayley. Este autor, publicó en 1858, “Memorias sobre la teoría
de matrices”, en la que exponía su definición de matriz, y las operaciones suma
de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de
matrices y de inversa de una matriz.
Actualmente, el álgebra matricial nos provee de la simbología y las

Arthur Cayley
herramientas adecuadas, para la formulación de distintos problemas y métodos
de resolución, que serían difíciles de desarrollar de otra manera, pues incorpora formas simples de
describir situaciones matemáticas, económicas, físicas, administrativas, etc., que posibilitan estructurar
procesos de cálculo y a su vez, hacerlos viables computacionalmente.
A modo de ejemplo, podemos afirmar que el uso de matrices nos permite, entre otras aplicaciones:
mostrar, guardar y organizar información, manejar gran cantidad de datos estadísticos y exponer
resultados, resolver sistemas de ecuaciones lineales y participar de técnicas cuantitativas para
solucionar problemas de administración.
Formalmente, ¿qué es una matriz?
Una matriz de orden “mxn”, es un conjunto de números (usualmente números

reales), dispuestos en m filas y n columnas, los cuales se encierran entre corchetes.
En general, se denotan con letras mayúsculas.
Por ejemplo:
3 7 4 
A= 
1 5 1 
La anterior, es una matriz que posee dos filas y tres columnas, por lo cual afirmamos que A es una
matriz de orden 2x3.
97
Cada elemento de la matriz, se denota en forma genérica aij (donde, “i” indica la fila y “j”, indica la
columna donde está el elemento).
3 7 4 
Así, por ejemplo en la matriz A =   , podemos simbolizar sus elementos, de acuerdo a la
1 5 1 
ubicación, como: a11= 3, a12= 7, a13= 4, a21= −1, etc.
En concordancia con la notación anterior, presentamos la estructura general de una matriz A de

orden mxn, como:
 a11 a12 … a1n 

a a22 … a2 n 
A =  21
 ⋮ ⋮ … ⋮ 
 
 am1 am 2 … amn 
Alternativamente y por practicidad, podemos expresar una matriz, utilizando una forma abreviada o
notación de Cayley, la cual es la siguiente:
A mxn = [ aij ] , i=1,…,m ; j=1,…, n
Revisemos el concepto de orden de una matriz y la simbología matricial, resolviendo la siguiente

actividad:
Actividad 1:
a) Complete el siguiente cuadro:

 −1 4   2 5 −1
Matriz A =  3 1  B = 1 4 6   1
C = −
3 
2 5
 −2 0  8 3 7   3 5 
Orden de la matriz
Indique el valor de los a21 = b23 = c14 =

siguientes elementos, de
acuerdo a su ubicación
a32 = b33 = c11 =
98
a) Construya la matriz A de orden 3x4, donde los elementos aij, cumplen las siguientes
ai1 = 1 ∀i
condiciones: 
aij = 3 ∀i ∧ ∀j ≠ 1
b)
Ayuda: ∀i significa para todas las filas, ∀j ≠ 1 significa para todas las columnas salvo para la
columna 1.
c) Construya la matriz A de orden 2x3 cuyos elementos cumplan con la siguiente condición:
aij = ( −1)i + j , ∀ i = 1, 2 ∧ ∀ j = 1, 2, 3
Ayuda: el elemento a13 = ( −1)4 = 1 )
Matrices Cuadradas y Matrices No cuadradas
Además del concepto de matriz, de sus elementos y su simbología, debemos diferenciar entre
matrices cuadradas y no cuadradas.
Una matriz se denomina cuadrada, cuando el número de filas que ella posee es igual a su número de
columnas.
Otra manera de referirnos a una matriz cuadrada n x n, es denominándola como de orden n.
 2 5 −1
 
Por ejemplo: C = 1 4 6 es una matriz cuadrada de orden 3.
 
8 3 7 
En el caso de las matrices cuadradas, los elementos a11, a22, ....., ann constituyen lo que denominamos,
diagonal principal de la matriz - es decir, aquellos aij donde i=j -.
Por ejemplo:
 2 −1 3 
C =  5 1 0 
DIAGONAL PRINCIPAL
 4 −1 7 
¿A qué denominamos diagonal secundaria?
La respuesta a esta pregunta la construiremos entre todos, a partir de la participación en los foros de
debate publicados para tal fin, en la plataforma.
99
Por otra parte, cuando el número de filas de una matriz es distinto del número de columnas que la
misma posee, diremos que la matriz no es cuadrada, simplemente que es rectangular.
Igualdad matricial
En forma análoga que en el caso de vectores, formalizaremos el concepto de igualdad matricial:
Diremos que dos matrices del mismo orden son iguales, sí y sólo sí, sus
correspondientes elementos son iguales.
En símbolos:
Amxn =  aij  ∧ Bmxn = bij  , A = B ⇔ aij = bij , ∀i ∀j
En ocasiones, deberemos indagar un poco, para verificar la igualdad entre dos matrices; para ello le
proponemos la siguiente actividad:
Actividad 2:
3 4 5 
Siendo A2 x 3 =  aij  / aij = 2 i + j , ∀ i = 1, 2 ∀ j = 1, 2, 3 y B=  , verifique que
5 6 7 
ambas matrices son iguales.
Ayuda: Construya la matriz A para poder comparar, por ejemplo, el elemento a31 = 2.3 + 1 = 7 .
1.2 Matrices especiales
De acuerdo a su estructura numérica algunas matrices reciben nombres particulares, presentamos a

continuación estas matrices especiales. Damos, en primer lugar su definición, luego, algunos ejemplos
y, finalmente, su expresión en símbolos.
Matriz nula: es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero. Se suele denotar φ, O ó θ.
Por ejemplo:
0 0 0 0 0
φ3 x 3 = 0 0 0 φ3 x 2 = 0 0
0 0 0 0 0
En símbolos:
100
φmxn =  aij  mxn / aij = 0 ∀ i = 1,..., m ∧ ∀j = 1,..., n
Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada donde, los elementos que están por debajo de
la diagonal principal, son ceros:
Por ejemplo:
 4 −1 2 
T3 x 3 =  0 1 5 
 0 0 −8
Para expresar en símbolos, analizaremos la condición, previamente establecida, en una matriz

expresada en forma general.
 a11 a12 … a1n −1 a1n 

a a22 … a2 n −1 a2 n 
 21
Siendo Amxn =  a31 a32 … a3n −1 a3n  ,
 
 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ 
 am1 am 2 … amn −1 amn 
para que esta matriz sea triangular superior se debe cumplir que los elementos que están por debajo
de la diagonal principal, sean ceros.
Detengamos nuestra atención en los elementos que deben ser cero, analizando la relación entre la fila
y la columna donde están ubicados:
 * * … * *
Podemos observar que,
a * … * *
 21 los ceros corresponden a
Amxn =  a31 a32 … * * elementos donde, el
  subíndice i es mayor que
 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ el subíndice j.
 am1 am 2 … amn −1 *
En símbolos:
T es una matriz triangular superior ⇔ Tnxn = tij  / tij = 0 , ∀ i > j , i = 1,..., n ∧ j = 1,..., n
nxn
De manera análoga a la anterior, ¿cómo definiríamos, adecuadamente, el concepto de matriz

triangular inferior?
Matriz diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal
principal, son ceros.
101
 −2 0 0
 1 
D3 x 3 =0 0
 3 
0 0 −1

En símbolos:
D es una matriz diagonal ⇔ Dnxn =  dij  / dij = 0 , ∀ i ≠ j , i = 1,..., n ∧ j = 1,..., n

nxn
Matriz Escalar: Es aquella matriz diagonal donde los elementos que están en la diagonal principal,
son iguales entre sí.
Por ejemplo:
2 0 0 0
0 2 0 0 
F4 x 4 =
0 0 2 0
 
0 0 0 2
F es una matriz escalar ⇔ Fnxn =  f ij  / f ij = 0 ∀ i ≠ j ∧ f ii = k , con k constante, i = 1,..., n ∧ j = 1,..., n

nxn
Matriz Identidad: Es aquella matriz diagonal donde los elementos que están en la diagonal principal,
son todos iguales a 1. La denotamos con la letra I.
1 0 0 0
1 0 0  0 1 0 0 
Por ejemplo: I3x3 =  0 1 0  I4 x4 =
0 0 1 0
 0 0 1   
0 0 0 1
I n es la matriz identidad de orden n ⇔ I nxn = δij  / δij = 0 ∀ i ≠ j ∧ δii = 1, i = 1,..., n ∧ j = 1,..., n

nxn
Ahora veamos si podemos reconocer estas matrices especiales, a través de la siguiente actividad:
Actividad 3:
Dé la denominación, más adecuada, a cada una de las siguientes matrices:
102
2 0 0 0 2 5 7 2  −1 0 0 0 
0 1 0 0  0 2 9 0   0 −1 0 0 
a) A =  b) B =  c) C =  
0 0 −2 0  0 0 2 1  0 0 −1 0 
     
0 0 0 3 0 0 0 2  0 0 0 −1
1 0  0 0 0 0  1 0
d) D =   e) E =   f) G =  
0 1  0 0 0 0  4 1
2. OPERACIONES CON MATRICES
Las matrices, al igual que los números y los vectores, pueden relacionarse algebraicamente. En
particular, vamos a definir las operaciones de suma matricial, producto por un escalar y producto
matricial.
2.1 Suma matricial
Sean A y B dos matrices del mismo orden, la suma matricial A+B será otra matriz
C del mismo orden que las dadas, cuyos elementos cij ,surgen de la suma de los
correspondientes elementos de las matrices dadas.
En símbolos:
A =  aij  i =1,…, m ∧ B = bij  i =1,…,m ⇒ A + B = Cmxn / cij = aij + bij , i = 1,… , m ∧ j = 1,… , n
j =1,…, n j =1,…, n
Por ejemplo:
 1 −3  4 −2 
Dadas las matrices A3 x 2 =  4 1  y B3 x 2 =  −1 2  , ¿cuál es la matriz suma?
 −2 0   −1 5 
 1 −3   4 −2 
A + B =  4 1  +  −1 2 
 −2 0   −1 5 
103
 1+ 4 −3 + (−2)  Sumamos

=  4 + (−1) 1 + 2  algebraicamente, los
elementos que están en la
 −2 + (−1) 0 + 5  misma posición.
 5 −5 
=  3 3 
 −3 5 
Revisemos la suma matricial, realizando las siguientes actividades:
Actividad 4:
Las siguientes tablas, nos muestran la información sobre las cantidades vendidas de carteras y pares de
zapatos, en tres sucursales de una importante zapatería, de la ciudad de Córdoba en los meses de
marzo y abril del corriente año.
Ventas Ventas Sucursal Sucursal Sucursal

Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Abril 1 2 3
Marzo
Carteras 80 100 48
Carteras 70 120 86
Zapatos 320 155 198
Zapatos 250 378 243
En base a estos datos y trabajando en forma matricial, encuentre el total de ventas, discriminado por
producto y por sucursal.
Actividad 5:
Complete con los valores correspondientes, de manera tal que se verifique la siguiente suma matricial:
 1 3 a13   6 −3 5   c11 c12 4

 3 5 5  + 3 b 2  = c21 5
 c23 
   22
 −1 4 2  1 b32 −3  c31 3 c33 
2.2 Propiedades de la suma matricial
La suma matricial goza de las mismas propiedades que la suma vectorial, las que especificamos a
continuación:
∀ A , B, C matrices del mismo orden ( A + B ) + C = A + ( B + C )
Asociativa
104
Conmutativa ∀ A , B matrices del mismo orden : A + B = B + A ,
Elemento neutro ∀ A matriz de orden mxn : A + ∅ mxn = A = ∅ mxn + A
Para cada A matriz de orden mxn , ∃ ( − A) de orden mxn /

Elemento simétrico A + ( − A ) = ∅ = ( − A) + A
Nota: las demostraciones de estas propiedades no son exigibles, pero podemos encontrarlas en el texto
de la bibliografía ampliatoria.
A través de las siguientes actividades, revisemos la suma matricial y sus propiedades:
Actividad 6:
Considere las siguientes matrices:
 2 −1  3 −4   −1 0 
A =  0 1  ; B = 1 0  ; C =  1 2
   
 2 −3 1 2   −3 5 
Obtenga:
a) A + B b) C − A c) A + C d) C - A + B
Actividad 7:
Dadas las matrices:
 −1 0  − 4 1
A= B=
 −3 2  
 − 2 − 1
Obtenga, usando propiedades de la suma matricial, el resultado de:
a) A− (B + ∅) + B , siendo ∅ la matriz nula de orden 2

b) (B + A) − A − B.
Ahora pasemos a otra operación con matrices.
2.3 Producto de un escalar por una matriz
105
El producto de un escalar por una matriz, es otra matriz del mismo orden que la
dada, cuyos elementos surgen del producto del escalar por los respectivos
elementos de la matriz.
En símbolos:
Sean α ∈ℜ, A =  aij  i =1,…,m ⇒ α Amxn = Bmxn / bij = α aij , ∀i = 1,… , m ∧ ∀j = 1,… , n
j =1,…, n
 1 −3  1 −3  3 −9

     
Si A3 x 2 =  4 1  entonces 3 A3 x 2 = 3  4 1  =  12 3 
     
−2 0  −2 0  −6 0 
     
Si comprendemos lo anterior, no nos resultará difícil realizar la siguiente actividad:
Actividad 8:
 1 −3 4 
Siendo B =   , obtenga las matrices que resultan en cada caso:
 2 −1 1 
a) 2B b) 0B c) -B c) (-1/2)B
2.4 Propiedades del producto de un escalar por una matriz
Las propiedades del producto de un escalar por una matriz, son idénticas a las que posee el producto
de un escalar por un vector. Revisémoslas:
Asociativa para el
producto de
escalares. ∀α ∈ℜ ∀β ∈ℜ ∀A matriz, (α β )Α = α (β Α)
Distributiva con
respecto a la suma de ∀α ∈ℜ ∀ A , B matrices del mismo orden, α (Α+ B) = αΑ + αB
matrices.
Distributiva con
respecto a la suma de
escalares. ∀α ∈ℜ ∀β ∈ℜ ∀A matriz, (α+β) Α = α Α + β A
Propiedad de la
∀A matriz, α. A = A α=1
unidad
106
A partir de las propiedades que gozan la suma de matrices y el producto de una matriz por un escalar,
podemos deducir que el conjunto de las matrices de orden mxn, sobre el cuerpo de los números reales,
con las leyes de composición interna (suma) y externa (producto por un escalar) -como han sido
definidas anteriormente-, constituye un espacio vectorial.
Una notación que se utiliza para describir este espacio vectorial, es: {M mxn , ℜ, +, . }
Actividad 9:
Sean las matrices:
 −2 1  − 2 3
A= B=
 −4 4  
 − 8 − 1
Obtenga, usando propiedades, el resultado de las siguientes operaciones matriciales:

a) A + 2 B − 3 ( B + A)
b) (3-2) A + 4 A + 4 B− 2 (2 B + 2 A)
Actividad 10:
La siguiente tabla refleja los costos unitarios de envío de un producto, desde tres fábricas a dos puntos
de venta de una empresa automotriz:
Costos de
Punto de venta 1 Punto de venta 2
envío
Fábrica 1 150 40
Fábrica 2 100 120
Fábrica 3 80 160
Si se nos informa que el incremento en los combustibles traerá aparejado un incremento del 20% en
los costos de envío, ¿cuál será la nueva matriz de costos de envío? Trabaje en forma matricial.
2.5 Producto matricial
Si bien las operaciones matriciales antes definidas nos pueden resultar sencillas y hasta intuitivas,
el producto matricial nos exige más cálculo; por ello antes de dar la definición formal de producto, es
conveniente que fijemos algunas ideas:
107
En primer lugar, para que dos matrices sean conformables para el

producto (es decir, se puedan multiplicar), el número de columnas de la Am x p x Bp x n
primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
=
En segundo lugar, la matriz resultante será una matriz con tantas

Am x p x Bp x n = Cm x n filas como la primera y con tantas columnas como la segunda.
Finalmente, cada elemento cij de la matriz C, se obtendrá como el
producto interno entre la fila i de A y la columna j de B.
Veamos un ejemplo:
 4 3
 −1 3 2 
Sean A y B, definidas de la siguiente forma A=  B =  1 1 
 0 1 −2   −1 0 
Analizando los órdenes de las matrices involucradas, podemos

concluir que son conformables para el producto y que además la matriz A2x3 x B3x2 = C2x2
resultante será de orden 2x2.
Recordemos que, cada cij se obtiene como el producto interno entre la fila i de A con la columna j
de B (esto significa, la suma de los productos de los elementos de la fila i de A, con los
correspondientes elementos de la columna j de B).
Para obtener el elemento c11, debemos operar la fila 1 de A con la columna 1 de B:
 4 3
 −1 3 2     c11 c12 
 0 1 −2  .  1 1  = c 
   −1 0   21 c22 
 
 4 3
 −1 3 2    (−1).4 + 3.1 + 2.(−1) c12 
 0 1 −2  .  1 1  =  c21 c22 
   −1 0 
 
Luego, para obtener el elemento c12 , debemos operar la fila 1 de A con la columna 2 de B :
 4 3
 −1 3 2     c11 c12 
 0 1 −2  .  1 1  = c 
   −1 0   21 c22 
 
 4 3
 −1 3 2     −3 (−1).3 + 3.1 + 2.0 
 0 1 −2  .  1 1  =  c c22 
   −1 0  21 
 
Para obtener el elemento c21 , debemos operar la fila 2 de A con la columna 1 de B.
108
 4 3
 −1 3 2     c11 c12 
 0 1 −2  .  1 1  = c 
   −1 0   21 c22 
 
 4 3
 −1 3 2     −3 0
 0 1 −2  .  1 1  = 0.4 + 1.1 + (−2).(−1) c 
   −1 0  22 
 
Finalmente, para obtener el elemento c22 , debemos operar la fila 2 de A con la columna 2 de B:
Obtenemos así, la matriz producto:

Efectuamos los producto
internos de cada fila, con
 −3 0  cada una de las columnas,
AxB = 
 3 1
hasta agotar columnas. y
luego pasamos
Ahora definamos formalmente el producto matricial:
Dadas dos matrices, Amxp y Bpxn , el producto matricial A x B , será una matriz Cmxn
,tal que cada elemento cij de C se obtiene como la suma de los productos de los
elementos de la fila i de A por los respectivos elementos de la columna j de B.
En símbolos:
p
Amxp x B pxn = Cmxn / cij = ∑ aik .bkj , para i=1, . . ., m j= 1, . . . , n
k =1
Notaciones alternativas del producto:
Las siguientes expresiones son equivalentes: A x B = A . B = AB
Actividad 11:
 −1 3 2   1 −2  2
     
Dadas las matrices: A = 0 1 −1 ; B = 0 6 ; C = −1 ; D = [ −2 1 1]
     
 4 2 1  1 −1  0 
Obtenga los siguientes productos, cuando sea posible:
a) AxB b) AxC c) BxC d) CxA e) DxB f) DxC
109
Actividad 12:
Un docente registró los puntajes de cinco estudiantes en tres evaluaciones, en forma matricial, como se
muestra a continuación:
 60 51 100 
 50 90 45 

N = 100 90 90 
 
 80 75 60 
 96 50 100 
Para obtener una nota final, ha decidido dar distinto “peso” a estas evaluaciones, asignando un 25% de
“ peso” a la primera, un 30% a la segunda y un 45% a la tercera.
Empleando la matriz de ponderación P = [ 0, 25 0,30 0, 45] y mediante el producto matricial,
calcule las puntuaciones finales, correspondientes a los cinco estudiantes.
2.6 Propiedades de producto matricial
Ahora revisemos las propiedades del producto matricial:
∀ A , B, C matrices conformables para el producto,

Asociativa
(A x B) x C = A x (B x C)
Distributiva con
∀ A , B, C matrices, A x (B + C) = A x B + A x C
respecto a la suma de
matrices
Multiplicar una matriz A, por una matriz nula, conformable, da por
resultado, otra matriz nula.
Elemento absorbente Amxn .∅ nxp = ∅ mxp ∅ pxm . Amxn = ∅ pxn
Multiplicar una matriz A, por la matriz identidad, conformable, a

Propiedad de la izquierda ó a derecha, da por resultado la matriz A.
matriz identidad Amxn .I nxn = Amxn ∧ I mxm . Amxn = Amxn
En las últimas dos propiedades debemos prestar atención a los órdenes de las matrices involucradas.
110
No es correcto decir que, “en general, la matriz identidad es el elemento neutro del producto
matricial”. ¿Por qué? ¿En qué casos esta afirmación es correcta?
La siguiente actividad, nos permitirá rescatar conclusiones muy importantes sobre el producto
matricial:
Actividad 13:
1 −1  0 −2   4 −8   1 0
Sean A =  2  ; B=  ; C=  ; D = 1 
 −1 2   −2 1   0 −2   2 0 
a) Obtenga los productos matriciales A x B y B x A. ¿Es posible que afirmemos que el producto
matricial goza de la propiedad conmutativa?
b) Calcule el producto matricial A x C. Compare el resultado de efectuar A x B obtenido en el ítem a).

¿Sería correcto afirmar que, en el caso del producto matricial,
A x B = A x C ⇒ B = C?
c) ¿Qué matriz obtenemos multiplicando A x D? ¿Alguna de las matrices factores, es nula?
A partir del análisis y desarrollo de la actividad anterior, debe quedarnos en claro las
siguientes conclusiones:
1) El producto matricial no goza de la propiedad conmutativa
2) A x B = A x C ⇒ B = C
3) A x B = φ ⇒ A = φ ó B = φ
Con el objetivo de recordar las condiciones para poder operar matricialmente, le sugerimos que realice
la siguiente actividad:
Actividad 14:
a) ¿Qué condiciones son necesarias, para efectuar la suma y el producto matricial respectivamente?
b) Determine los órdenes de las correspondientes matrices, para que la siguiente expresión matricial
tenga sentido:
A5xi B3xj – 5 Ckxm D4xp + 2 Ftx2 = Hqxr
111
Observe: los valores de los subíndices i, j, k, m, p, q, t, r, indican la cantidad de filas o de columnas,

de la correspondiente matriz.
Completemos el estudio de las operaciones matriciales, analizando una aplicación económica:
Una empresa construye tres tipos de viviendas: económica, estándar y mejorada. Se conoce que los
requerimientos de mano de obra y materiales son los siguientes:
Insumo
Acero Madera Vidrio Pintura Mano de obra
Tipo de vivienda
Económica 4 20 14 9 20
Estándar 5 18 16 10 22
Mejorada 6 24 18 12 24
Mediante un planteo en forma general usando matrices, responda a los siguientes ítems:
a) ¿Cómo obtendría el total necesario de cada insumo para una demanda expresada de forma genérica,
de las viviendas de cada tipo?
b) Para cada lista de precios de insumos que recepte la empresa constructora, ¿cuáles serán los precios
de costo de cada tipo de casa?
c) ¿Cuál será el precio venta de cada tipo de casa si deseamos obtener un beneficio del 15% sobre el
precio de costo y, además a ese monto, debemos agregarle el IVA del 21%?
Resolución:
En todos los casos, vamos a considerar los datos de requerimientos de mano de obra y materiales,
como los elementos de una matriz Y que podemos denominar de “insumos”:
 4 20 14 9 20

Así, Y = 5 18 16 10 22

 
 6 24 18 12 24
Ahora veamos cómo responder a cada ítem:
a) Suponiendo que contamos con las cantidades demandadas de cada tipo de vivienda: q1, q2, q3
(podríamos dar cantidades específicas, no obstante, trabajaremos en forma genérica) Éstas se deben
pensar como un arreglo matricial que denominaremos matriz de demanda y denotaremos por Q:
Q = [ q1 q2 q3 ]
112
Para determinar las cantidades de materiales (incluida mano de obra) que se necesitarán, efectuamos el
producto matricial entre la matriz de “insumos” (Y) y la matriz de “demanda” (Q), de la siguiente
manera:
 4 20 14 9 20 
Q.Y = [ q1 q2 q3 ]  5 18 16 10 22  .
 6 24 18 12 24 
Efectuando este producto matricial obtendremos una matriz cuyos elementos representan los totales de
insumos que requeriremos para ese pedido de viviendas, matriz a la que podemos denominar T.
T = Q.Y = Tacero Tmadera Tvidrio Tpintura Tmano de obra 
donde:
Tacero = 4q1 + 5q2 + 6q3
Tmadera = 20q1 + 18q2 + 24q3
Tvidrio = 14q1 + 16q2 + 18q3
Tpintura = 9q1 + 10q2 + 12q3
Tmano de obra = 20q1 + 22q2 + 24q3
b) Ahora pensemos que contamos con los costos unitarios de los insumos: el acero, la madera, el
vidrio, etc. Digamos p1, p2, p3 , p4, p5. A esta información la expresamos en un arreglo matricial P. Por
ejemplo:
 p1 
p 
 2
P =  p3 
 
 p4 
 p5 
Para calcular el costo unitario de cada tipo de vivienda, podemos multiplicar la matriz de insumos por
la matriz de costos de los insumos, obteniendo una matriz de costos ( C ) de las viviendas:
 p1 
 
 4 20 14 9 20   p2  cA 
 
C = Y .P = 5 18 16 10 22 .  p3  = cB
 
     
 6 24 18 12 24   p4  cC 
 p5 
c) El siguiente paso, será determinar el precio de venta de las viviendas, considerando el costo de cada
una de ellas, bajo las condiciones establecidas (Beneficio e IVA ).
113
Al precio de las viviendas (sin el IVA) lo podemos obtener como la suma del costo más el beneficio
(este último, es el producto de un escalar por una matriz), como mostramos a continuación:
cA  cA  cA 


Precio sin IVA = cB
 + 0,15 c  = 1,15 c 
   B   B 
cC  cC  cC 
Luego al IVA lo calculamos sobre el costo más la ganancia, es decir que, a los valores obtenidos
anteriormente, debemos agregarles el 21% de IVA.
cA   cA  
  + 0, 21  c  
Precio con IVA = 1,15 cB
  1,15  B  
cC   cC  
 
O bien, reescribiendo resulta que, el precio de venta de las viviendas, lo obtenemos como:
cA 

Precio de venta= (1,15 + 0,21.1,15) cB

 
cC 
Así, basados en el costo de cada vivienda, podemos obtener la matriz del precio de venta (V), como:
cA 

V = 1,3915 cB

 
cC 
Ahora si necesitáramos obtener respuesta a cada interrogante en forma particular, para determinadas
demandas o costos, bastará con reemplazar en cada una de las expresiones matriciales encontradas, los
valores específicos de los mismos.
2.7 Submatrices
Con fines teóricos o prácticos, a veces puede ser conveniente dividir la matriz en submatrices -
matrices de menor orden, que se obtienen a partir de la matriz dada-. De esta forma, simplificamos la
estructura de la matriz dada y también las operaciones que realicemos con ella.
Por ejemplo:
2 1 0 0
 
Dada la matriz A = 1 0 1 0 particionemos la misma en submatrices, por ahora sin ningún
 
 5 0 0 1 
motivo particular, indicando dicha partición con una línea de puntos discontinua:
114
2 ⋮ 1 0 0
A = 1 ⋮ 0 1 0 
 5 ⋮ 0 0 1 
Así la matriz A ha sido particionada en dos submatrices A1 y A2, donde:
 2 1 0 0 
A1 = 1  
y A2 = 0 1 0



 5  0 0 1 
Podemos expresar en símbolos la matriz A en forma particionada como: A = [ A1 ⋮ A2 ]
Ahora consideremos la misma matriz pero particionada de otra manera.

2 ⋮ 1 0 0
1 ⋮ 0 1 0
A= 
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
 
5 ⋮ 0 0 1
 A11 A12 
Siguiendo la notación matricial, podemos simbolizar A =  donde las submatrices
 A21 A22 
involucradas son:
 2 1 0 0 
A11 =   ; A12 =   ; A21 = [ 5 ] ; A22 = [ 0 0 1]
1  0 1 0 
Un caso particular donde vemos reflejadas las implicaciones de trabajar con matrices particionadas, es
al multiplicar.
Sin pretender ser exhaustivos, consideremos las matrices A y B particionadas de la siguiente manera:
A A12   B11 B12 

AB =  11
 A21 A22   B21 B22 
El producto, se realiza operando las submatrices como si fuesen elementos, esto es:
A A12   B11 B12   A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22 
AB =  11 =
 A21 A22   B21 B22   A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22 
Como vemos, la forma de multiplicar no ha cambiado. Pero, para poder multiplicar matrices por
partición, es necesario que la partición en columnas de la primera matriz coincida con la partición en
filas de la segunda matriz.
Esta condición, se deriva de la condición de producto no particionado. En la práctica, solemos utilizar
la siguiente metodología de análisis y desarrollo para poder multiplicar en forma particionada:
115
a) Si la primera matriz está particionada en columnas, debemos particionar la segunda matriz en filas,
dejando tantas filas hacia arriba como columnas a la izquierda presentaba la partición de la primera
matriz.
b) Si la segunda matriz está particionada en filas, debemos particionar a la primera matriz en

columnas, dejando tantas columnas hacia la izquierda como filas hacia arriba presentaba la partición
de la segunda matriz.
Veamos un ejemplo:
Sean A y B las matrices:
2 1 3
 −1  3 −2 4 
2 1 
A= B = 1 0 1 
1 1 0
  0 1 5 
4 0 1
Obtenga, en forma particionada A.B.
Dado que, la primera matriz no está particionada en columnas, no es obligatorio particionar en filas a
la segunda matriz, pero, como la segunda matriz está particionada en filas, es indispensable que
particionemos en columnas a la primera matriz.
En este caso, realizaremos una partición en columnas de la primera matriz, dejando una columna hacia
la izquierda (la cual, está representada por una línea continua).
2 1 3
 −1  3 −2 4 
2 1 
A= B = 1 0 1 
1 1 0
  0 1 5 
4 0 1
En estas condiciones, podemos asegurar que es factible el producto en forma particionada. Luego,
pensamos en la forma general del producto, considerando las matrices formadas por submatrices,
como sigue:
A A12   B11 B12 

AB =  11
 A21 A22   B21 B22 
A B + A B A11 B12 + A12 B22 

=  11 11 12 21
 A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22 
Reemplazando por las correspondiente submatrices, resulta:
 2  1 3  1 0 2 1 3  1  
   [ 3 −2 ] +   −1 [ 4] +  2 
 −1 2 1 0 1     1 5 
AB = 
 1  1 0  1 0 1  1 0  1  
   [3 −2] +   4  [ 4] + 0 
  4  0 1  0 1     1  5 
116
De donde operando matricialmente, obtenemos:
 6 −4  1 3  8  16  
 +  −4  +  7  
 −3 −2   2 1    
AB = 
 3 −2   1 0  4  1  
 + 16  + 5 
 12 −8  0 1      
Luego:
 7 −1  24  
 
 −1 −1 3
 
AB =  
 4 −2  5 
 
 12 −7   21
  
Podemos observar que la matriz producto, está particionada en tantas filas como la primera matriz y en
tantas columnas como la segunda matriz.
Distintas posibilidades de partición están presentes en la siguiente actividad. Intentemos realizar las
particiones necesarias para poder efectuar los productos:
Actividad 15:
Realice el producto AB, en forma particionada, en cada una de las siguientes situaciones:
1 2 −1 0  2 −1
0 3 −1 2  1 3 
a) A =  B= 
2 1 2 1 1 −1
   
 −1 0 1 −1 0 1 
2 1 3
 −1  3 −2 4 
2 1 
b) A= B = 1 0 1 
1 1 0
  0 1 5 
4 0 1
1 4 −1
2 0 1  1 0 −1
c) A=  B = 3 3 1 
 3 −1 0 
  3 1 −2 
1 2 1 
117
2.8 Matriz transpuesta
Asociada a cada matriz A, de orden mxn, existe una matriz A’ orden nxm, a la que
denominaremos transpuesta de A; cuyos elementos aij′ de A, serán los correspondientes aji
de A.
En símbolos:
Amxn =  aij  ′ =  a ji 
⇒ Anxm
i =1,…,m j =1,…,n
j =1,…,n i =1,…,m
Por ejemplo:
 1 0 Las filas de A, son las
1 2 − 3  
A=  ⇒ A′ =  2 5 
correspondientes
 0 5 10  columnas de A’ y
 −3 10  recíprocamente.
Observe:
a) Si A es de orden m x n entonces A’ es de orden n x m.
b) ¿Cuándo es posible que efectuemos el producto AA’? En tal caso, ¿cuál es el orden de la matriz
resultante?
2.9 Propiedades de la matriz transpuesta
Al trabajar con la matriz transpuesta, habrá ocasiones en las que para facilitar los cálculos, podremos
aplicar algunas de las siguientes propiedades:
1) La transpuesta de la transpuesta de una matriz, es igual a la matriz original.
En símbolos: (A’)’ = A
2) La transpuesta de la suma de matrices, es igual a la suma de las transpuestas de cada una de ellas.
118
En símbolos: (A + B)’ = A’ + B’
3) La transpuesta del producto de un escalar por una matriz, es igual al producto del escalar por la
transpuesta de la matriz.
En símbolos: ( α A )’ = α. A’
4) La transpuesta del producto de matrices, es igual al producto de las transpuestas en orden invertido.
En símbolos: (A x B)’ = B’ x A’
Revisemos el uso de propiedades, realizando la siguiente actividad:
Actividad 15:
2 1 3  −1 0 1
 −1 2 1  1 0 2 
Siendo A =  y B= obtenga las matrices resultantes de las siguientes
1 1 0  −1 0 3
   
4 0 1 1 2 −1
operaciones, aplicando propiedades cuando sea posible.
′
a) A′ + B′ b) ( −2A )′ c) ( A′ )′ − A d) A.B′
 
2.10 Otras matrices especiales
Estamos en condiciones de incorporar a continuación más información con respecto a matrices.

Éstas últimas son especiales o admiten denominaciones particulares, debido a su comportamiento
vinculado con la definición de producto matricial, y/o con el concepto de matriz transpuesta. Si bien
no analizaremos en profundidad sus atributos y/o propiedades, conocerlas, es importante para la
comprensión de temas más complejos presentes en otras asignaturas.
.
Matriz Simétrica:
Una matriz cuadrada se dice simétrica si A = A’, es decir, si aij = aji ∀ i, j.
 2 5 −1

Por ejemplo: A = 5 7 4

 
 −1 4 2 
119
Matriz Antisimétrica:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = – A’, es decir, si aij = –aji ∀ i, j.
 0 5 −1

Ejemplo: A = −5 0 4
 
 1 −4 0 
Matriz Ortogonal:
Una matriz cuadrada es ortogonal cuando al pre-multiplicarla o post-multiplicarla por su transpuesta,
da como matriz producto la matriz identidad, es decir A x A’ = A’ x A= I.
Actividad 17:
 1 1 
 2 2
Verifique que la siguiente matriz es ortogonal, A =  
 1 1 
− 2 2 

Matriz Idempotente:
Una matriz cuadrada se dice idempotente cuando multiplicada por sí misma, da por resultado la misma
matriz.
Por ejemplo: La matriz identidad.
Matriz Nilpotente:
Una matriz cuadrada se dice nilpotente de orden p, cuando existe un número natural p tal que Ap da
por resultado la matriz nula, es decir Ap = φ
Actividad 18:
0 1 0 
 
Verifique que A = 0 0 1 es nilpotente de orden 3.
 
0 0 0 
120
2.11 Operaciones elementales
Además de las operaciones entre matrices ya enunciadas, es posible que realicemos operaciones sobre
las líneas paralelas de una matriz. La importancia de estas operaciones, radica en que las mismas
preservan ciertas características de la matriz y que, además, nos permiten obtener información útil a la
hora de resolver ecuaciones, como veremos más adelante.
A estas operaciones que se realizan sobre las filas o columnas de una matriz, las denominamos
operaciones elementales y las podemos resumir de la siguiente manera:
Las operaciones elementales son:

1) Intercambio de dos líneas paralelas entre sí.
2) Multiplicación de una línea por una constante no nula.
3) Adición a una línea de una combinación lineal, de otras líneas paralelas.
Veamos algunos ejemplos de la aplicación de operaciones elementales:
 1 3

Sea A = − 1 0

 
− 2 4
− 2 4

1) Si en A intercambiamos la 1ª fila con la 3ª fila, obtenemos B= − 1 0

 
 1 3 
 1 3

2) Si en A multiplicamos la 2ª fila por 3, obtenemos C= − 3 0

 
− 2 4
 1 3

3) Si multiplicamos la 1ª fila de A por 2 y la sumamos a la 3ª fila, obtenemos D= − 1 0

 
 0 10
También, podríamos haber efectuado operaciones elementales sobre las columnas de la matriz A,
como podrá verificar realizando la próxima actividad:
121
Actividad 19:
2 1 3
 −1 2 1 
Encuentre en cada caso, la matriz que resulte de aplicar a la matriz A =  las siguientes
1 1 0
 
4 0 1
operaciones elementales por columna.
a) Sume a la primera columna, la segunda columna de A, multiplicada por (-4).

b) Multiplique la segunda columna de A por (-1/2).
c) Intercambie la tercera y la segunda columna de A.
2.12 Matrices elementales
Si a las operaciones elementales las efectuamos sobre una matriz identidad, la matriz resultante recibe
el nombre de matriz elemental. Diremos entonces, que:
Una matriz elemental, es aquella que surge de la matriz identidad a partir de

una operación elemental
Aquí presentamos algunos ejemplos:
1 0 0

Partiendo de la identidad de orden 3, I3 = 0 1 0

 
0 0 1
1 0 0

1) Intercambiando 2ª con 3ª, obtenemos la matriz elemental E1= 0 0 1

 
0 1 0
1 0 0 

2) Multiplicando la 2ª fila por (–2 ), obtenemos la matriz elemental E2= 0 − 2 0

 
0 0 1 
3) Sumando a la 1ª fila de I, la 2ª fila- previamente multiplicada por (–2)-, obtenemos la matriz

1 − 2 0

elemental E3= 0 1 0 .

 
0 0 1 
122
Propiedad fundamental de las matrices elementales
Podemos demostrar, que:
1) Premultiplicar una matriz A por una matriz elemental, obtenida a través de una operación elemental
por filas, equivale a someter a dicha matriz a la misma operación elemental.
2) Postmultiplicar una matriz A por una matriz elemental, obtenida a través de una operación
elemental por columnas, equivale a someter a dicha matriz a la misma operación elemental.
Esto significa que si realizamos una operación elemental:
• por filas, sobre una matriz Amxn, obteniendo una matriz Cmxn y realizando la misma operación
elemental sobre la matriz identidad de orden m, obteniendo una matriz E de orden m, entonces
E . A = C.
• por columnas, sobre una matriz Amxn, obteniendo una matriz Dmxn y realizando la misma
operación elemental sobre la matriz identidad de orden n,obteniendo una matriz E de orden n
entonces, A . E =D.
Esta propiedad, nos servirá para justificar uno de los métodos que utilizamos en la obtención de lo que
se conoce con el nombre de matriz inversa, el cual será el próximo tema a estudiar. Previo a ello,
trabajemos con matrices elementales, a través de algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Encuentre una matriz elemental tal que, operada convenientemente con
 −1 3 1 
A =  2 4 1  reproduzca una matriz D, donde la segunda columna de D se obtenga de la suma
 2 1 −1
de la segunda columna de A y, el triple de la primera columna de A.
Como queremos encontrar una matriz que reproduzca una operación elemental sobre las columnas de
A, debemos pensar en una elemental que post-multiplique a la matriz dada. Por ello, partiremos de la
matriz identidad de orden 3 y luego aplicaremos dicha operación elemental a la matriz identidad.
Aplicamos la siguiente operación: a la segunda columna de E, la obtendremos como la suma de la

segunda columna de I, y el triple de la primera columna de I.
1 0 0 1 3 0
I = 0 1 0  → E =  0 1 0 
0 0 1   0 0 1 
Multipliquemos:
 −1 3 1  1 3 0  −1 0 1 
A.E =  2 4 1  0 1
 0  =  2 10 1 
 
 2 1 −1 0 0 1   2 7 −1
123
Verifiquemos que, efectivamente, este producto ha reproducido el efecto de realizar en forma directa
la aplicación de la operación elemental a la matriz A.
 −1 3 1   −1 0 1 
A =  2 4 1  → D =  2 10 1 
 2 1 −1  2 7 −1
Ejemplo 2: Encuentre una matriz E, que surja del producto de elementales tal que, operada
 −1 3 1 
 
convenientemente con A = 2 4 1 reproduzca una matriz B tal que cumpla:
 
 2 1 −1
Primera fila de B = Tercera fila de A.

Segunda fila de B = Segunda fila de más el doble de la primera fila de A.
Tercera fila de B = Primera fila de A.
Sabemos que para reproducir el efecto de operaciones elementales por filas sobre una matriz A,
debemos pensar en una matriz que premultiplique a la matriz dada A.
En este caso, existen dos operaciones elementales que debemos tener en cuenta para obtener la matriz
B y con ello dos matrices elementales.
Una primera matriz elemental (E1) que reproduzca el efecto: Segunda fila de B = Segunda fila de A,
más el doble de la primera fila de A.
Una segunda matriz elemental (E2) que reproduzca el efecto: Intercambio de la primera fila con la
tercera.
Calculemos cada una de ellas:
1 0 0 1 0 0  1 0 0 0 0 1 
I = 0 1 0 → E1 =  2 1 0 
 I = 0 1 0 → E2 = 0 1 0 

0 0 1   0 0 1  0 0 1  1 0 0 
Así, si premultiplicamos la matriz A por E1, lograremos que la “Segunda fila de B = Segunda fila de A
más el doble de la primera fila de A”. Luego, si a ese producto lo premultiplicamos por la matriz E2
lograremos que se haga efectivo el intercambio de filas.
Es decir, podemos asegurar que E2. E1. A = B. Con ello, la matriz que se busca es E2. E1:
0 0 1  1 0 0   0 0 1 
E = E2 .E1 = 0 1 0   2 1 0  =  2 1 0
1 0 0   0 0 1  1 0 0
En la práctica, cuando no hay motivo de confusión, solemos abreviar la obtención del producto de
matrices elementales, partiendo de la matriz identidad, y efectuando las operaciones elementales en
forma independiente, hasta obtener una matriz que reproduzca todos los cambios simultáneamente.
124
En nuestro caso, las operaciones a aplicar “en forma independiente” sobre la matriz identidad son:
Primera fila de E = Tercera fila de I.
Segunda fila de E = Segunda fila de I más el doble de la primera fila de I.
Tercera fila de E = Primera fila de I.
1 0 0 0 0 1
I = 0 1 0  → E =  2 1
 0
0 0 1   1 0 0 
Como vemos, la matriz E resultante, ha sido la misma que la obtenida como el producto E2. E1.
Ejemplo 3: Encuentre una matriz E, que surja del producto de elementales, tal que operada
 −1 3 1 
 
convenientemente con A = 2 4 1 reproduzca una matriz B, cuya tercera columna sea el
 
 2 1 −1
2
 
vector 0 .
 
1 
Resolvamos:
* * 2

Para obtener una matriz B con dicha condición, es decir B = * * 0  , analicemos qué es lo que

* * 1 
deberíamos hacerle a la matriz A para lograr dicha transformación (esto es ¿qué operaciones
elementales?).
Si bien existen infinitas posibilidades, consideraremos una de ellas:
• La primera fila de B debería surgir de la primera fila de A multiplicada por 2.

• La segunda fila de B debería surgir de la primera fila de A multiplicada por (-1) más la
segunda fila de A.
• La tercera fila de B debería surgir de la tercera fila de A multiplicad por (-1).
Ahora, con esta información podemos encontrar la matriz elemental que permite tales modificaciones.
Al tratarse de operaciones sobre las filas de A, lo correcto es premultiplicar por la elemental y, para
obtener esa elemental, partimos de la identidad, operando de la siguiente forma:
• La primera fila de E debería surgir de la primera fila de I multiplicada por 2.
• La segunda fila de E debería surgir de la primera fila de I multiplicada por (-1) , más la
segunda fila de I.
• La tercera fila de E debería surgir de la tercera fila de I multiplicad por (-1).
125
1 0 0  2 0 0
I = 0 1 0 → E =  −1 1 0 

0 0 1   0 0 −1
Actividad 20:
Verifique que las matrices obtenidas en los ejemplos 2 y 3 reproduzcan los efectos deseados.
Actividad 21:
Encuentre una matriz, que sea producto de elementales tal que, operada convenientemente con la matriz D, nos
dé como resultado una matriz H, cuyas filas son:
a) primera fila de F = primera fila de D

b) segunda fila de F = cuarta fila de D
c) tercera fila de F = tercera fila de D + primera fila * (-3)
d) cuarta fila de F = segunda fila de D * (1/2)
1 2 5
0 -1 3 
D= 
2 4 -2 
 
1 2 0
2.13. Matrices equivalentes y matrices escalonadas
La aplicación de operaciones elementales sobre matrices trae aparejado dos conceptos que serán de
suma importancia en los temas que siguen. Ellos son, matrices equivalentes y matrices escalonadas,
cuyas definiciones y ejemplificación presentamos a continuación, pero cuya utilidad la veremos
reflejada al estudiar rango y sistemas de ecuaciones lineales.
Dos matrices A y B del mismo orden se dicen equivalentes, cuando una se

deduce a partir de la otra, mediante la pre o postmultiplicación por matrices
elementales.
Se simboliza: A ∼ B
Matrices Equivalentes
126
En el ejemplo anterior A ∼ B ; A∼ C ; A ∼ D
Podemos demostrar que esta relación de equivalencia es transitiva. Es decir, si A es equivalente a B y

B es equivalente a C, entonces A es equivalente a C
A∼ B ∧ B∼C ⇒ A∼C
Observe:
Cualquier matriz que obtengamos a partir de una matriz A, a través de una cantidad finita de
operaciones elementales es equivalente a A.
 −1 3 0 4 
 
Por ejemplo: Sea A = 2 −6 1 1 . Sólo a los efectos de ilustrar cómo obtener matrices
 
 0 1 3 2 
equivalentes, supongamos que sobre A realizamos las siguientes operaciones elementales:
Multiplicamos la primera fila de A por 2 y la sumamos a la segunda fila, obteniendo así, una matriz B:
 −1 3 0 4   −1 3 0 4 
A =  2 −6 1 1  ∼  0 0 1 9  = B
 
 0 1 3 2   0 1 3 2 
Luego intercambiemos la segunda y la tercera fila de B, obteniendo una matriz C:
 −1 3 0 4  −1 3 0 4   −1 3 0 4 
A =  2 −6 1 1  ∼  0 0 1 9  ∼  0 1 3 2  = C
   
 0 1 3 2  0 1 3 2   0 0 1 9 
Ahora multipliquemos la primera fila por (-1), obteniendo una matriz D:
 −1 3 0 4   −1 3 0 4  −1 3 0 4 1 −3 0 −4 
A =  2 −6 1 1  ∼  0 0 1 9  ∼  0 1 3 2 ∼ 0 1 3 2  = D
     
 0 1 3 2   0 1 3 2  0 0 1 9  0 0 1 9 
Observamos que: A ∼ B ∼ C ∼ D
Podríamos seguir realizando operaciones elementales y en cada paso obtendríamos matrices

equivalentes a la matriz A.
127
Actividad 22:
 4 −1 3 0 −1
 
Dada G = 2 0 1 2 5 realice al menos tres operaciones elementales, para obtener una
 
1 1 0 3 1 
matriz equivalente a G.
Matrices Escalonadas
Una matriz se dice escalonada por filas cuando el primer elemento no nulo
de cada fila es igual a “1” y cada fila posee más ceros a izquierda de la
unidad que la fila anterior, salvo las filas nulas que, en caso de que existan,
serán las últimas.
Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas por filas:
1 2  1 2 6  1 3 0  1 −1 3 0 −1
A = 0 1  ; B = 0 0 0  ; C = 0 1 4  ; D = 0 0 1 2 5 
   
0 0  0 0 0  0 0 1  0 0 0 0 1 
Una matriz se dice escalonada por columnas cuando el primer elemento no

nulo de cada columna es igual a “1” y cada columna posee más ceros por
encima de la unidad que la columna anterior, salvo las columnas nulas que,
en caso de que existan serán las últimas.
128
Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas por columnas:
1 0 1 0 0   1 0 0 1 0 0 0 0 
A =  2 1  ; B =  2 0 0  ; C =  −1 1 0  ; D = 1 1 0 0 0 
   
 4 3 1 1 0   1 3 1  3 4 1 0 0 
Dada una matriz de cualquier orden, siempre es posible que encontremos su forma escalonada.
Podemos escalonar a una matriz por filas o por columnas mediante operaciones elementales. Veamos
cómo hacerlo a través de dos ejemplos:
Por ejemplo:
 4 −1 3 0 −1
 
Dada G = 2 0 1 2 5 , obtengamos una matriz equivalente pero escalonada por filas.
 
1 1 0 3 1 
Para ello, realizaremos operaciones elementales por filas. Tengamos presente que existen distintas
formas de encontrar una matriz escalonada. Aquí presentamos un camino posible:
Dado que el primer elemento no nulo de la primera fila debe ser 1, para lograr este objetivo podemos
intercambiar la primera y la tercera fila de G:
 −4 −1 3 0 −1  1 1 0 3 1
G =  2 1 1 2 5  ∼  2 1 1 2 5
 
 1 1 0 3 1   −4 −1 3 0 1
Luego utilizaremos la fila donde está este elemento “1” de referencia, para transformar en cero, los
elementos que están por debajo de dicho “1”. Se denomina fila pivote a la fila de referencia y
elemento pivote al correspondiente “1”).
Así, para transformar el 2 en cero podemos multiplicar la primera fila (fila pivote) por (−2) y sumarla a
la segunda fila. Asimismo, para transformar el (−4) en cero, podemos multiplicar la primera fila por 4,
y sumarla a la tercera fila:
 1 1 0 3 1  −2 F + F  1 1 0 3 1 4 F + F 1 1 0 3 1 
G ∼  2 1 1 2 5 ∼  0 −1 1 −4 3 ∼ 0 −1 1 −4 3
1 2 1 3
     
 −4 −1 3 0 1   −4 −1 3 0 1 0 3 3 12 5
A partir de la última matriz, observemos que el primer elemento no nulo de la segunda fila es (-1);
para transformarlo en 1 podemos multiplicar la segunda fila por (-1) y entonces, usaremos dicha fila,
como fila pivote.
129
1 1 0 3 1  −1 F2
1 1 0 3 1 
0 −1 1 −4 3 ∼ 0 1 −1 4 −3
   
0 3 3 12 5 0 3 3 12 5 
Usando esta nueva fila pivote para transformar el “3”-que está por debajo del nuevo pivote- en cero,
podemos multiplicar la fila 2 por (-3) y sumarla a la fila 3.
1 1 0 3 1  −3 F2 + F3
1 1 0 3 1 
0 1 −1 4 −3 ∼ 0 1 −1 4 −3
   
0 3 3 12 5  0 0 6 0 14 
1
Finalmente, multiplicando la tercera fila por logramos escalonar por filas la matriz G:
6
 
1 1 0 3 1  1
F3
1 1 0 3 1 
0 1 −1 4 −3 6  
 
∼ 0 1 −1 4 −3
0 0 6 0 14   7
 0 0 1 0 
 3
Observe: Si en el proceso de transformación por filas alguna de ellas se anula, podría ser necesario
intercambiar las filas para lograr que éstas se ubiquen al final.
De forma similar, a partir de una matriz es posible encontrar una matriz escalonada por columnas. Le
proponemos que realice la siguiente actividad aplicando operaciones elementales por columnas:
Actividad 23:
Escalone por columnas la siguiente matriz:
 3 −3 1 0 −1
H =  2 0 1 2 5 
1 1 0 3 1 
A continuación, le proponemos que realice los siguientes ejercicios, los cuales le permitirán evaluar la
comprensión y reforzar los conocimientos de los temas presentados en esta unidad.
130
EJERCICIOS
1) a) Construya las matrices A, B y C que cumplan, respectivamente, las condiciones expresadas en

símbolos:
A2 x 3 =  aij  / aij = 2 ∀ i = j ∧ aij = 0 ∀ i ≠ j
B2 x 3 = bij  / bij = 0 ∀ i = j ∧ bij = 1 ∀ i ≠ j
C2 x 3 = cij  / cij = c ji = −1 ∀ i ≠ j ∧ cij = 1 ∀ i = j
b) Obtenga la matriz A+ B + C
2) Considere las siguientes matrices:
 2 −1  −1 0  2 0
A=  ; B=  ; C= 
0 1   3 2  − 1 − 3
Obtenga:
a) A + B b) B − C c) B + 3 A d) B - C + A
e) −3A f) −3A (B − C) g) A B + B B h) A (B − C) B
 2 −1 1 −1 0  2

3) Dadas las matrices: A = 0 1
    
  ; B = 3 2 2  ; C =  −1
 4 −3 1 −1 4   0 
Obtenga:
a) A' x B b) B x A c) C' x B d) C' x 2B e) A' x B x C f) (B + B') x A
4) Si A es de orden 4x5 y B es de orden 3x4, efectuando el producto entre ellas en el único orden
posible, obtenemos una matriz C de orden:
a) 3x3 b) 3x5 c) 4x3 d) 4x5 e) 5x4
131
5) Complete:
a) Para que dos matrices se puedan sumar, es necesario que tengan

..............................................................................................................................................................
..................
b) Para que dos matrices se puedan multiplicar, es necesario que

..........................................……............................................................................................................
...............................
c) El producto matricial no goza de la propiedad ......................................... .........................
d) Si A, B y C, son matrices conformables para el producto, la propiedad asociativa afirma que, (A .

B).C = ...................................................................................................................
e) Si I es la matriz identidad A.I = ........................................................................................
f) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz .....................................................
6) ¿Cuál debe ser el valor de k para que se cumpla la siguiente igualdad matricial?
 1 −2   3 2  −2 −4 
 −4 3  − k 2 =  3k 1 
     
7) Si C es la matriz que resulta de efectuar el producto de las siguientes matrices:
2 2 8 9  1 3 −2 
1 −1 0 1   −1 3 4 
 ⋅ =C
 5 −3 1 2   −1 5 3
   
4 1 6 8  0 1 − 1
Entonces, el elemento c21 es:
a) 2 b) –2 c) –3 d) 3 e) 0
8) Dadas las matrices:
 1 2 −1 0  2 − 1 
 0 3 −1 2  1 3 
A= B= 
 2 1 2 1 1 − 1 
   
 −1 0 1 −1  0 1 
Obtenga: A’ x B en forma particionada.
132
9) Considerando las siguientes matrices:
1 0 0 0
0 3 -1 0 1 0 1 0 2
C= 2 1 2 1 0 D= 0 0 1 1
2 2 -1 1 0 0 0 0 3
0 1 1 0
Obtenga en forma particionada (C.D)’
10) Encuentre una matriz, que sea producto de elementales tal que, operada convenientemente con la matriz D,
nos dé como resultado una matriz F, cuyas columnas cumplen:
Primera columna de F = Primera columna de D

Segunda columna de F = Cuarta columna de D
Tercera columna de = Tercera columna de D + primera columna * (-3)
Cuarta columna de F = Segunda columna de D * (1/2)
1 2 5 -4

D = 0 -1 3 2

 
 2 4 -2 1 
11) Dada la matriz:
 −1 1 0 2
 2 1 0 −1
A =
 3 0 1 0
 
 2 −2 1 0
Encuentre una matriz elemental tal que, operada convenientemente con A, nos dé como resultado una
matriz B, cuya segunda columna sea el primer vector unitario.
 −1 1 0 2
 2 1 0 −1
12) Escalone por filas la matriz A =  .
 3 0 1 0
 
 2 −2 1 0
2 3 1
0 1 2 
13) Escalone por columnas la matriz B =  .
2 4 3
 
1 1 −1
133
14) Las tablas I y II, representan las ventas anuales (expresadas en millones de pesos) de tres
productos de una empresa, en 4 sucursales del interior del país. La tabla I , nos muestra los valores
para el primer año y la tabla II los del segundo año.
Tabla I
Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4
Producto 1 10 4 3 9
Producto 2 8 5 4 8
Producto 3 6 9 6 4
Tabla II
Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3 Sucursal 4
Producto 1 12 5 5 8
Producto 2 5 5 6 10
Producto 3 8 10 5 7
Si llamamos A a la matriz que contiene la información de la tabla I y B a la matriz que contiene la

información correspondiente a la tabla II, le proponemos:
a) Calcule la matriz B − A e interprete su significado económico.

b) Calcule la matriz B + A e interprete su significado económico.
c) Si para el tercer año se estima que habrá un incremento del 10% con respecto al segundo año,
en el monto de las ventas de los tres productos en todas las sucursales, encuentre la matriz de
ventas anuales que se proyecta para el tercer año.
134
Actividad 1:
a)
 −1 4   2 5 −1
Matriz A =  3 1  B = 1 4 6   1
C = −
3 
2 5
 −2 0  8 3 7   3 5 
Orden de la matriz 3x2 3x3 1x4
Indique el valor de los a21 = 3 b23 = 6 c14 = 5
siguientes elementos de
acuerdo a su ubicación a32 = 0 b33 = 7 1
c11 = −
3
1 3 3 3

b) A = 1 3 3 3

 
1 3 3 3
 1 −1 1 
c) A =   cambiar la actividad 1 c)
 −1 1 −1
Actividad 2:
Se nos pide comparar, A2 x 3 =  aij  / aij = 2 i + j , ∀ i = 1, 2 ∀ j = 1, 2, 3 con B y decidir si son
matrices iguales.
Construyamos la matriz A, de acuerdo a la condición establecida para los elementos que la forman:
a11 = 2.1 + 1 = 3 ; a12 = 2.1 + 2 = 4 ; a13 = 2.1 + 3 = 5

a21 = 2.2 + 1 = 5 ; a22 = 2.2 + 2 = 6 ; a23 = 2.2 + 3 = 7
3 4 5 
Obtenemos entonces A =   la cual coincide elemento a elemento con la matriz B,
5 6 7 
verificando así que ambas matrices son iguales.
Actividad 3:
2 0 00 2 5 7 2
0 1 0 0  0 2 9 0 
a) A =  , es una matriz diagonal b) B =  , es una matriz triangular
0 0 −2 0  0 0 2 1
   
0 0 0 3 0 0 0 2
superior
135
 −1 0 0 0 
 0 −1 0 0 
c) C =   , es una matriz escalar
 0 0 −1 0 
 
 0 0 0 −1
1 0  0 0 0 0 
d) D =   , es la matriz identidad de orden 2 e) E =   , es una matriz nula
0 1  0 0 0 0 
1 0
f) G =   , es una matriz triangular inferior.
4 1
Actividad 4:
Definamos las dos matrices involucradas en este problema:

Sea A, la matriz cuyos elementos corresponden a las cantidades vendidas de carteras y pares de
zapatos, en las tres sucursales de la zapatería en el mes de marzo, decimos:
 70 120 86 
A= 
 250 378 243
Análogamente, los elementos de B, corresponden a las cantidades vendidas de carteras y pares de

zapatos, en tres sucursales de la zapatería, en el mes de abril del corriente año.
 80 100 48 
B= 
320 155 198
Si sumamos ambas matrices podremos encontrar el total de ventas discriminado por producto y por
sucursal, como a continuación detallamos:
 70 120 86   80 100 48  150 220 134 

A+ B =  + = 
 250 378 243 320 155 198 570 533 441
Actividad 5:
 1 3 −1  6 −3 5  7 0 4 
 3 5 5  + 3 0 2  = 6 5 7 
     
 −1 4 2  1 −1 −3 0 3 −1
Actividad 6:
 2 −1 3 −4 5 −5  −1 0   2 −1  −3 1

  
a) A + B = 0 1 + 1 0 = 1 1
     
b) C − A = 1 2 − 0 1 = 1 1
  
           
 2 −3 1 2  3 −1  −3 5   2 −3  −5 8
136
 2 −1  −1 0   1 −1
  
c) A + C = 0 1 + 1 2 = 1
  3 
    
 2 −3  −3 5   −1 2 
 −3 1 3 −4   0 −3
  
d) ( C − A ) + B = 1 1 + 1 0 = 2
  1 
    
 −5 8 1 2   −4 10 
Actividad 7:
 −1 0
a) A− (B + ∅) + B = A − B + B = A = 
 −3 2 
b) (B + A) − A − B = B + (A − A) − B = B + ∅ − B = B − B + ∅ = ∅
Observe la importancia de las propiedades de la suma matricial, a partir de las cuales evitamos ciertos
cálculos.
Actividad 8
 1 −3 4 
Siendo B =   , obtenga las matrices que resultan en cada caso:
 2 −1 1 
 2 −6 8  0 0 0 
a) 2 B =   b) 0 B =  
 4 −2 2  0 0 0 
 1 3 
 −1 3 −4   1 − 2 2
−2 
c) − B =   d)  −  B =  
 −2 1 −1  2  −1 1
−
1
 2 2 
Actividad 9:
a) A + 2 B − 3 ( B + A)= A + 2 B − 3 B − 3 A
= − 2A − B
 4 − 2   − 2 3
= − 
8 − 8   − 8 − 1
6 − 5
= 
 16 − 7 
b) (3-2) A + 4 A + 4 B− 2 (2 B + 2 A)= A + 4 A + 4 B− 4 B − 4 A = A
Actividad 10:
150 40 

La matriz de costos unitarios de envíos actuales está dada por C = 100 120 .

 
 80 160 
137
Para encontrar los nuevos costos de envío, luego de un incremento del 20%, deberemos multiplicar la
matriz C por 1,20:
150 40  180 48 
1, 20.C = 1, 20 100 120 = 120 144
 80 160  96 192
Actividad 11:
 −1 3 2  1 −2   1 18  −1 3 2   2   −5
 
a) AxB = 0 1 −1 0 6 = −1 7
        
b) AxC = 0 1 −1 −1 = −1
          
 4 2 1  1 −1  5 3   4 2 1   0   6 
c) BxC Este producto no se puede realizar. Las matrices involucradas no son conformables para el
producto.
d) CxA Este producto no se puede realizar. Las matrices involucradas no son conformables para el
producto.
 1 −2  2
 
e) D x B = [ −2 1 1] 0 6 = [ −1 9]
 
f) D x C = [ −2 1 1] −1 = [ −5]
   
1 −1  0 
Actividad 12:
A las puntuaciones finales correspondientes a los cinco estudiantes, las podemos obtener como el
producto entre la matriz de notas parciales y la matriz de ponderación:
 60 51 100   75, 3 
 50 90 45  0, 25 59, 75


F = 100 90 90  ⋅  0,30  =  92, 5 
   
 80 75 60  0, 45  69, 5 
 96 50 100   84 
Actividad 13:
1 −1  0 −2   4 −8   1 0
Sean A =  2  ; B=  ; C=  ; D = 1 
 −1 2   −2 1   0 −2   2 0 
1 −1  0 −2  2 −2  0 −2  1 2 −1  2 −4

a) AxB =  2  =  ; BxA =   = 
 −1 2   −2 1   −4 4   −2 1   −1 2   −2 4 
Dado que hemos encontrado dos matrices tales que AxB, no es igual a BxA, podemos afirmar que, el
producto matricial no goza de la propiedad conmutativa.
138
1 −1  4 −8  2 −2 
b) AxC =  2  = 
 −1 2   0 −2  −4 4 
Observamos que en el caso de las matrices propuestas AxB=AxC , sin embargo B es distinta de C. Por
lo tanto:
AxB=AxC ⇒ B=C
1 −1  1 0  0 0 
c) AxD =  2 . = 
 −1 2   1 2 0  0 0 
Observamos que, multiplicando A x D obtenemos la matriz nula y sin embargo, ninguna de las
matrices factores es la matriz nula. Por lo tanto:
AxB=φ ⇒ A=φ óB=φ
Actividad 14:
a) Para efectuar la suma, es condición necesaria que las matrices involucradas sean del mismo orden.
Para efectuar el producto entre dos matrices, es condición necesaria que el número de columnas de
la primera matriz, sea igual al número de filas de la segunda matriz.
b) Determine los órdenes de las siguientes matrices (valores de los subíndices i, j, k, m, p, q, t, r),
para darle sentido a la siguiente expresión matricial:
A5xi B3x j – 5 Ckxm D4xp + 2 Ftx2 = Hqxr
En primer lugar, para que podamos efectuar los productos involucrados en esta expresión:
• El número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B, por lo tanto i=3.
• El número de columnas de C debe ser igual al número de filas de D, por lo tanto m=4.
En segundo lugar, luego de multiplicar obtendremos:
(A B)5x j – 5 (C D)k x p + 2 Ftx2 = Hqxr

Para poder sumar las matrices, éstas tienen que tener el mismo orden. Por lo tanto, el número de filas
de todas ellas deberá ser 5 y el número de columnas deberá ser 2. Esto significa que:
k=t=q=5 y j=p=r =2
Actividad 15:
1 2 −1 0  2 −1
0 3 −1 2  1 3 
a) A =  B= 
2 1 2 1 1 −1
   
 −1 0 1 −1 0 1 
139
Dado que la primera matriz está particionada en columnas y la segunda en filas, debemos particionar
en filas a la segunda matriz y en columnas a la primera matriz. Así, en la primera matriz, realizaremos
una partición en columnas, dejando dos columnas a la izquierda de dicha partición.Luego, en la
segunda matriz, realizaremos una partición en fila dejando 3 filas hacia arriba de la misma.
1 2 −1 0  2 −1
0 3 −1 2  1 3 
A= B= 
2 1 2 1 1 −1
   
 −1 0 1 −1 0 1 
Luego, el esquema de cálculo con submatrices será, en símbolos, el siguiente:
B 
A A12 A13   11   A11 B11 + A12 B21 + A13 B31 
A.B =  11 ⋅ B =
 A21 A22 A23   21   A21 B11 + A22 B21 + A23 B31 
 B31 
Reemplazando por las correspondientes submatrices, resulta:
 1 2   −1 0 
   2 −1       3 6 
  0 3  1 3  +  −1 [1 −1] +  2  [ 0 1]   2 
12  
     = 
A.B =   2 1  2 1 
   7 0  
  2 −1   
 [ −1 0 ] 1 3  + [1][1 −1] + [ −1][ 0 1]  [ −1 −1]
   
Observemos que, la matriz resultante quedó particionada en filas igual que la primera matriz y no hay
partición en columnas, como ocurre con la segunda matriz.
b) En este caso, no resulta necesario realizar particiones adicionales a las preexistentes, por lo cual,
multiplicamos en forma particionada como sigue:
2 1 3
 −1  3 −2 4 
2 1   A  A B A11 B12 
A.B =  ⋅ 1 0 1  ⇒ AB =  11  [ B11 B12 ] =  11 11
1 1 0  A21   A21 B11 A21 B12 
   0 1 5 
4 0 1
 2 1 3  3  2 1 3   −2 4 
 
  −1 2 1   
1 
 
 −1 2 1   0 1     7   −1 24  
   
  1 1 0  0   1 1 0   1 5     −1  3 3  
AB =   ⇒ A.B =
 3  −2 4    4   −2 5  
 
 4 0 1] 1  [ 4 0 1]  0 1  
 [  [ 12][ −7 21] 
 0   1 5  
140
1 4 −1
2 0 1  1 0 −1
c) A=  B = 3 3 1  , entonces, para poder multiplicar en forma
 3 −1 0 
  3 1 −2 
1 2 1 
particionada, debemos particionar la matriz A en columnas y la matriz B en filas, como sigue:
1 4 −1
2 0 1  1 0 −1
A=  B = 3 3 1 
 3 −1 0 
  3 1 −2 
1 2 1 
 B11 
⇒ A.B = [ A11 A12 A13 ] ⋅  B21  = [ A11 B11 + A12 B21 + A13 B31 ]
 B31 
 1  4  −1  10 11 5 

        5 1 −4 
2 0 1
AB =    [1 0 −1] +   [3 3 1] +   [3 1 −2] ⇒ AB =  
 3  −1 0   0 −3 −4 
        
 1  2 1  10 7 −1
Resultando, en este caso, una matriz sin partición alguna.
Actividad 16:
2 1 3  −1 0 1
 −1 2 1  1 0 2 
Siendo A =  y B= , obtenga las matrices resultantes de las
1 1 0  −1 0 3
   
4 0 1 1 2 −1
siguientes operaciones, aplicando propiedades cuando ellas sean posibles.
a) A′ + B′ = ( A + B )′ Calculamos la suma matricial y luego transponemos:
1 1 4
0 1 0 0 5 
2 3 
A+ B = 
0
⇒ ( A + B )′ = 1 2 1 2 
1 3
   4 3 3 0 
5 2 0
b) ( −2 A )′ = −2 A′ Transponemos la matriz y luego la multiplicamos por (-2):
 2 −1 1 4   −4 2 −2 −8 
A′ = 1 2 1 0  ⇒ − 2 A′ =  −2 −4 −2 0 
 
 3 1 0 1   −6 −2 0 −2 
141
′
c) ( A′ )′ − A = [ A − A]′ = ( ∅ 4 x 3 )′ = ∅3 x 4
 
2 1 3 1 8 71
 −1  −1 1 −1 1  
2 1  0 0 0 2=2 1 4 2 
d) AB′ = 
1 1 0    −1 1 −1 3 
   1 2 3 −1  
4 0 1  −3 6 −1 3 
Actividad 17:
 1 1  1 1  
 2 − 
2  2 2  1 0  
A. A′ =   =
 1 1  1 1  0 1  
− 2 2   2 2 

 
 ⇒ A es ortogonal
1 1  1 1  
 
 −
2 2  2 2  1 0  
A′. A =   =
 1 1  1 1  0 1  
− 
 2   2 2 
 2 
Actividad 18:
 0 1 0 0 1 0   0 1 0 
 
Calculemos A como ( A. A ) . A =  0
3
 0 1  ⋅ 0 0 1   ⋅ 0 0 1 
 0 0 0  0 0 0   0 0 0 

0 0 1  0 1 0
= 0 0 0  ⋅ 0 0 1 
0 0 0  0 0 0 
0 0 0
= 0 0 0 
0 0 0 
Por lo tanto, verificamos que A es nilpotente de orden 3.
Actividad 19:
a) Si sumamos a la primera columna de A la segunda columna de A multiplicada por (-4), obtenemos
142
 −2 1 3
 −9 2 1 
la matriz B = 
 −3 1 0
 
4 0 1
 1 
 2 − 2 3
 
 −1 −1 1 
b) Si multiplicamos la 2ª columna de A por (-1/2) obtenemos la matriz C = .
 1 
1 − 0
 2 
 4 0 1 
2 3 1
 −1 1 2 
c) Si intercambiamos la 3ª y la 2ª columnas de A obtenemos la matriz D = 
1 0 1
 
4 1 0
Actividad 20:
Verificación del ejemplo 2:
 0 0 1   −1 3 1   2 1 − 1
EA =  2 1 0   2 4 1  =  0 10 3  da la misma matriz que si hubiésemos realizado
1 0 0   2 1 −1  −1 3 1 
las operaciones elementales sobre la matriz A.
Verificación del ejemplo 3:
 2 0 0   −1 3 1   −2 6 2 
EA =  −1 1 0   2 4 1  =  3 1 0  la matriz elemental reproduce el efecto deseado.
 0 0 −1  2 1 −1  −2 −1 1 
Actividad 21:
La matriz E surge de aplicar las siguientes operaciones elementales a la identidad:
a) primera fila de E = primera fila de I

b) segunda fila de E = cuarta fila de I
c) tercera fila de E = tercera fila de I + primera fila de I * (-3)
d) cuarta fila de E = segunda fila de I * (1/2) .
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0  0 0 0 1 
I = →E=
0 0 1 0  −3 0 1 0
   
0 0 0 1 0 12 0 0
Se debe verificar que E.D=F
143
Actividad 22:
Por ejemplo, podemos obtener una de las infinitas matrices equivalentes a G trabajando por filas,
como sigue:
 4 −1 3 0 −1 −4 F + F 0 −5 3 −12 −5 F ↔ F 1 1 0 3 1

G =  2 0 1 2 5  ∼ 0 −1 1 −4 3  ∼ 0 −1 1 −4 3  = C
3 1 3 1
  −2 F3 + F2    
1 1 0 3 1  1 1 0 3 1 0 −5 3 −12 −5

Actividad 23:
 3 −3 1 0 −1
 
A partir de H = 2 0 1 2 5 , intercambiemos las columnas 1 y 3 para lograr que el primer
 
1 1 0 3 1 
elemento no nulo de la primera columna sea 1. Luego , utilizando la primera columna como columna
pivote, transformemos en cero los elementos que están a la derecha del 1 pivote.
1 −3 3 0 −1 1 0 0 0 0 
 1 0 2 2 5  ∼  1 3 −1 2 6 
   
0 1 1 3 1  0 1 1 3 1 
Sumemos a la segunda columna, la tercera multiplicada por 2 y obtendremos un “1” como primer
elemento no nulo de la segunda columna, la cual será nuestra próxima columna pivote.
1 0 0 0 0  1 0 0 0 0  1 0 0 0 0 
 1 3 −1 2 6  ∼  1 1 −1 2 6  ∼  1 1 0 0 0 
    
0 1 1 3 1  0 3 1 3 1  0 3 4 −3 −17 
Finalmente, multipliquemos por ¼ ,a la tercera columna para lograr el “1” pivote y con la tercera
columna realizamos los cambios para lograr escalonar por columnas la matriz H.
1 0 0 0 0  1 0 0 0 0  1 0 0 0 0 
 
1 1 0 0 0  ∼ 1 1 0 0 0  ∼ 1 1 0 0 0 
     
0 3 4 −3 −17  0 3 1 −3 −17  0 3 1 0 0 
 4 4
144
1)
2 0 0 0 1 1   1 −1 −1
    
a) A = 0 2 0 ; B = 1 0 1 ; C = −1 1 −1

     
 0 0 2  1 1 0  −1 −1 1 
3 0 0

b) A + B + C = 0 3 0

 
0 0 3
2)
1 −1  −3 0   5 − 3
a) A + B =   b) B − C =   c) B + 3 A =  
3 3   4 5 3 5 
 −1 −1  −6 3   30 15 
d) B − C + A =   e) −3 A =   f) −3 A ( B − C ) =  
4 6  0 −3   −12 −15
 −4 −2   −5 −10 
g) AB + BB = ( A + B ) B =   h) A ( B − C ) B =  
6 6  11 10 
3)
1 −1 0 
 2 0 4   6 −6 16 
a) A′xB =    3 2 2 =  
 −1 1 −3 1 −1 4  −1 6 −10 
 
1 −1 0   2 −1  2 −2 

b) BxA = 3 2 2
  0 1  = 14 −7 
     
1 −1 4  4 −3 18 −14 
1 −1 0 
 
c) C ′xB = [ 2 −1 0] 3 2 2 = [ −1 −4 −2]
 
1 −1 4 
d) C ′x 2 B = 2C ′xB = 2 [ −1 −4 −2] = [ −2 −8 −4]
2
 6 −6 16    18 
e) A′xBxC = ( A′xB ) xC =    −1 =  
 −1 6 −10  0   −8
 
145
 1 −1 0   1 3 1    2 −1  2 2 1  2 −1  8 −3 
        
f) ( B + B′ ) xA =  3 2 2 + −1 2 −1  0 1 = 2 4 1 0 1 = 8
          −1 
 1 −1 4   0 2 4    4 −3 1 1 8  4 −3 34 −24 
         
4)
Opción b). Si A es de orden 4x5 y B es de orden 3x4, el único orden posible en el que podemos
multiplicar A y B, es a través del producto B.A y obtenemos una matriz C de orden: 3x5.
5)
a) Para que dos matrices se puedan sumar es necesario que tengan el mismo orden.
b) Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la
primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
c) El producto matricial no goza de la propiedad conmutativa.
d) Si A, B y C, son matrices conformables para el producto, la propiedad asociativa afirma que: (A .

B).C = A . (B. C)
e) Si I es la matriz identidad A.I = A.
f) El elemento neutro de la suma de matrices es la matriz nula.
6)
k = −1
7)
Opción a) c21= 2
Para evitar diversos cálculos y utilizando la definición de producto al elemento c21 lo podemos obtener,
como el producto interno entre la segunda fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda
matriz.
8)
 4 −4 
8 6 
A′B = 
 −1 − 5 
 
 3 4
9)
 0 2  2  
 0 4 0  5   
  4 1   2  
C .D =   2 1 2  7   ⇒ ( C.D ) =  0
′
 2   −1 
[ 2 2 −1][ 6] 
  
[ 5 7 ][ 6 ] 
10)
Si realizamos sobre la matriz identidad de orden 4 las operaciones en columna que deseamos reproducir sobre la
matriz D, obtendremos una matriz E que, post-multiplicada por D, nos da la matriz F:
146
1 0 −3 0 
1 0 0 0 
0 1 
1 0 0   0 0 0
I4 =  ∼ 2 = E
0 0 1 0 
  0 0 1 0
0 0 0 1  
 0 1 0 0 
Verificación:
1 0 −3 0 
 1 -4 2 1
1 2 5 -4  1  
0 0 0 1 
F= D.E = 0 -1 3 2   2  = 0 2 3 -
   2
 2 4 -2 1  0 0 1 0 
  2 1 -8 2 
0 1 0 0  
Observamos que:
Primera columna de F = Primera columna de D
Segunda columna de F = Cuarta columna de D
Tercera columna de F = Tercera columna de D + primera columna * (-3)
Cuarta columna de F= Segunda columna de D * (1/2)
11)
Para lograr que la segunda columna de A se transforme en el primer vector unitario, una posibilidad es mantener
el elemento a12=1 y hacer cero los restantes elementos de la segunda columna operando con las filas de A. Por lo
tanto, para encontrar una matriz E que reproduzca esos cambios a través de su pre-multiplicación con A,
realicemos las mismas operaciones sobre la matriz identidad, en este caso de orden 4.
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0  1 2  −1
 − F + F 1 0 0 
I4 =  ∼ =E
0 0 1 0  2 F1 + F4  0 0 1 0
   
0 0 0 1 2 0 0 1
Verifiquemos:
1 0 0 0   −1 1 0 2   −1 1 0 2
 −1 1 0 0   2 1 0 −1  3 0 0 −2 
B = E. A =  =
0 0 1 0  3 0 1 0  3 0 1 0
    
2 0 0 1   2 −2 1 0  0 0 1 4
Hemos encontrado una matriz E, tal que operada convenientemente con A nos da como resultado una
matriz B, cuya segunda columna es el primer vector unitario.
12)
 −1 1 0 2  1 −1 0 − 2  −2 F1 + F2  1 2 0 1
−3 F1 + F3
 2 1 0 −1 − F1  2 1 0 − 1  −2 F1 + F4  0 3 0 3
A= ∼  ∼  
 3 0 1 0  3 0 1 0  0 3 1 6
     
 2 −2 1 0  2 −2 1 0  0 0 1 4
147
 1 2 0 1  1 2 0 1  1 2 0 1
1
3
F2
0 1 0 1 −3 F2 + F3 
 0 1 0 1 − F3 + F4 
 0 1 0 1
∼  ∼   ∼  .
 0 3 1 6  0 0 1 3  0 0 1 3
     
 0 0 1 4  0 0 1 4  0 0 0 1
13)
2 3 1 1 3 2 1 0 0 1 0 0
1
0 1 2 C1 ↔C3  2
  
1 0 −3C1 +C2 2 −5 −4 5 2  − C2 
1 −4 
B=  ∼   ∼   ∼  
2 4 3 3 4 2  −2C1 +C3  3 −5 −4  3 1 −4 
       
1 1 −1  −1 1 1  −1 4 3   −1 − 4 5 3 
1 0 0  1 0 0

4 C2 +C3 2 1  
0 −5C3 2 1 0
∼   ∼  .
3 1 0  3 1 0
   
 −1 − 4 5 −1 5  −1 − 4 5 1
14)
12 5 5 8  10 4 3 9   2 1 2 −1
    
a) B − A = 5 5 6 10 − 8 5 4 8 = −3 0 2 2 
    
 8 10 5 7   6 9 6 4   2 1 −1 3 
B − A representa la variación de un año a otro, en el valor de las ventas (expresadas en millones de

pesos) de tres productos en cada una de las 4 sucursales (valores positivos indican incremento, valores
negativos indican disminución).
10 4 3 9  12 5 5 8   22 9 8 17 
    
b) A + B = 8 5 4 8 + 5 5 6 10 = 13 10 10 18

     
 6 9 6 4   8 10 5 7  14 19 11 11
B + A representa el total de ventas acumuladas en los dos años (expresadas en millones de pesos),
especificadas por producto y sucursal.
12 5 5 8  13, 2 5,5 5,5 8,8 

  
c) C = 1,10 5 5 6 10 = 5,5 5,5 6,6 11

   
 8 10 5 7   8,8 11 5,5 7, 7 
C representa las ventas anuales que se proyectan para el tercer año, discriminado por producto y
sucursal.
148
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 3
157
UNIDAD 3
DETERMINANTES
Introducción
Una de las características más interesantes de las matrices que tienen igual número de filas que de
columnas es lo que se conoce con el nombre de determinante, el cual es un número que se obtiene a
partir de los elementos de la matriz cuadrada. Su estudio se justifica ampliamente, ya que permite el
cálculo de la matriz inversa y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, entre otras
aplicaciones.
En esta unidad comenzaremos introduciendo ciertos preliminares matemáticos, tales como
permutaciones, inversiones y signo de una permutación, los cuales son necesarios para comprender
la definición formal de determinante. Para ello, nos valdremos de los determinantes de matrices de
orden 2 y de orden 3 que nos ayudarán a entender, de manera acabada, dicha definición.
Luego incorporaremos, por un lado, las propiedades de determinantes, para facilitar, en algunas
ocasiones, los cálculos y, por el otro lado, el concepto de adjunto de un elemento, los cuales servirán
para reducir la obtención de determinantes de cualquier orden al cálculo de sumas y restas de varios
determinantes de orden inferior o, también, de un solo determinante de menor orden.
Nos enfocaremos en la aplicación de las técnicas de cálculo y su fundamentación en los resultados
teóricos, sin detenernos en las correspondientes demostraciones, pues estas últimas van más allá de
nuestros objetivos.
Finalmente, definiremos la denominada matriz adjunta, la cual será de utilidad en la siguiente
unidad.
Objetivos específicos:
• Calcular determinantes de matrices de orden 2 y de orden 3 y, a través de ellos,

comprender la definición general de determinante.
• Aplicar propiedades que permitan facilitar los cálculos u obtener el determinante de

matrices de mayor orden.
• Introducir el concepto de adjunto de un elemento de una matriz y mostrar su uso para el

cálculo de determinantes.
• Reconocer las características de la matriz adjunta, a fin de identificar su relevancia en el

tratamiento de las unidades subsiguientes.
158
Esquema de Contenidos de la unidad
El siguiente esquema muestra la relación y orden lógico del tratamiento de los temas principales a
estudiar en esta unidad. Se puede volver al mismo las veces que sea necesario, para comprender, de
manera integral, los distintos temas de la unidad.
MATRICES Sus elementos

CUADRADAS
Admiten Tienen asociados
DETERMINANTE
ADJUNTOS
Se destacan Junto con

De donde surge
DEFINICIÓN CÁLCULO PROPIEDADES
ORDEN 2 ORDEN MATRIZ

ORDEN 3 superior a 3 ADJUNTA
159
1. DETERMINANTES
Al igual que la noción de matriz, el uso de los determinantes en matemática tiene su origen en
Oriente y fue introducido a Occidente en el siglo XVI. En su obra Ars Magna (del latín “Gran Obra”-
1545), el matemático italiano Gerolamo Cardano, presenta el uso de determinantes como parte de una
regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Dos siglos después, el matemático escocés Colin MacLaurin, en su
"Treatise of Algebra", publicado en 1748, daba una regla para resolver
sistemas de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas por determinantes.
Posteriormente, en 1812, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy
publicó un documento donde utilizó determinantes con el propósito de
encontrar fórmulas para los volúmenes de ciertos poliedros sólidos.
Asimismo, estableció una conexión entre dichas fórmulas y los trabajos
previos sobre determinantes.
Colin MacLaurin Estos avances desempeñaron un papel importante en el desarrollo de la
geometría analítica y en otras áreas de la matemática, en tiempos en los cuales
los problemas a resolver eran de pequeñas dimensiones.
Si bien en la actualidad los determinantes resultan poco adecuados en los cálculos a gran escala,
aún proporcionan información importante y son requeridos en ciertas aplicaciones del álgebra lineal.
1.1 Definición y notación
De manera muy sencilla digamos que, asociado a cada matriz cuadrada A, existe un número real, el
cual se denomina determinante de A y que se simboliza  A o det (A).
La definición formal de determinante, es algo más complicada y requiere de ciertos conocimientos
previos, tales como permutación, número de inversiones y signo de una permutación, los cuales se
expondrán a continuación.
Una permutación de n elementos es cualquier ordenamiento de esos n elementos. Así, dos

permutaciones difieren por el orden en que están ubicados los elementos.
Por ejemplo, dados los números 1, 2 y 3 es posible obtener las siguientes permutaciones:
1 2 3 ; 1 3 2 ; 2 1 3 ; 2 3 1 ; 3 1 2 ; 3 2 1
Se puede demostrar que el número total de permutaciones de n elementos se obtiene como el

producto de los n primeros números naturales y se simboliza n!
n! = 1. 2 . . . . (n – 2). (n –1). n
160
n factorial
En el caso del ejemplo anterior, el total de permutaciones estaría dado por:
3! = 1. 2. 3 = 6,
cantidad que, efectivamente, coincide con el total de permutaciones encontradas.
Se dice que, entre dos números cualesquiera de una permutación, por ejemplo k y m, hay una
inversión si, siendo k < m, m se ubica antes que k.
Por ejemplo:
La permutación “1 2 3” no presenta inversiones (ordenamiento natural).

La permutación “1 3 2” presenta una inversión, pues 2<3 y 3 se ubica antes que 2.
La permutación “2 1 3” presenta una inversión, pues 1<2 y 2 se ubica antes que 1.
La permutación “2 3 1” presenta dos inversiones, pues 1<2 y 2 se ubica antes que 1 y 1<3 y 3 se
ubica antes que 1.
La permutación “3 1 2” presenta dos inversiones, pues 1<3 y 3 se ubica antes que 1 y 2<3 y 3 se
ubica antes que 2.
La permutación “3 2 1” presenta tres inversiones, 3 antes que 2, 3 antes que 1 y 2 antes que 1.
Finalmente, asociado a este último concepto, decimos que el signo de la permutación es menos (-)
cuando el número de inversiones es impar y es mas (+) cuando el número de inversiones es par, o
cuando no tiene inversiones.
Si simbolizamos con (+) las permutaciones de clase par y con (-) las permutaciones de clase impar,
tenemos lo siguiente:
1 2 3 no tiene inversiones (+)
1 3 2 tiene una inversión (-)
2 1 3 tiene una inversión (-)
2 3 1 tiene dos inversiones (+)
3 1 2 tiene dos inversiones (+)
3 2 1 tiene tres inversiones (-)
A modo de revisión de los conceptos anteriores, realicemos la siguiente actividad:
Actividad 1
Encuentre algunas de las permutaciones de 4 elementos y su correspondiente signo.
Una vez comprendidas las definiciones anteriores, estamos en condiciones de presentar la definición
formal o general de determinante.
161
“El determinante de una matriz A cuadrada de orden n es el número real

que surge de la suma de n! Términos. Cada término se obtiene como el
producto de n factores que son elementos de A de cierto signo por n factores,
elegidos de manera tal que pertenezcan a cada fila y a cada columna y el
signo será más (+) o menos (-) según que las permutaciones de los segundos
subíndices de los elementos sean de clase par o clase impar.”
En símbolos:
A= ∑
p = j1 , j2 , j3 ,…, jn
sig ( p ) a1 j1 a1 j2 a1 j3 … a1 jn
Posiblemente, aún no interpretemos del todo esta definición, por ello, a continuación veremos cómo se
aplica al caso de matrices de bajo orden. Luego podremos regresar a analizar nuevamente esta
definición hasta comprenderla totalmente.
1.2 Cálculo de determinantes de segundo y tercer orden
1.2.1 Determinante de una matriz 2x2
Revisando la definición formal de determinante, podemos deducir lo siguiente del determinante de una
matriz de orden 2:
• que surgirá de la suma de 2 términos (2! =1. 2 = 2).
• que cada término se obtiene como el producto de cierto signo por 2 factores.
• que los factores, en cada término, son elementos de A de manera tal a11 con a22
que ellos pertenecen a filas distintas y columnas distintas. y a12 con a21.
• que de acuerdo al signo de la permutación de los segundos subíndices, corresponderá signo
más (+) para el producto a11.a22 y signo menos (-) para el producto a12 .a21.
 a11 a12 
Así, si A =  , para obtener su determinante al producto de los elementos de la diagonal
 a21 a22 
principal le restamos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, de donde se obtiene:
A = a11a22 − a12 a21
Con ello, el cálculo del determinante de orden 2 resulta ser muy sencillo. Por ejemplo:
162
2 5
Si A =   ⇒ A = 2.4 − 3.5 ⇒ A = 8 − 15 , de donde concluimos que A = −7 .
3 4
Revisemos la forma de calcular determinantes de orden 2 a través de la siguiente actividad:
Actividad 2
Calcule el determinante de las siguientes matrices:
 −1 3
A=
2 1
3 −2 
B=
5 1 
 −1 3 
C= 
 2 −6 
1.2.2 Determinante de una matriz 3x3
Nuevamente podemos revisar la definición formal de determinante:
• surgirá de la suma de 6 términos (3! = 1. 2 . 3 = 6).
• cada término se obtiene como el producto de cierto signo por 3 factores.
• se selecciona un elemento de cada fila y de cada columna, de manera tal que ellos
pertenezcan a filas distintas y a columnas distintas.
• el signo de cada producto corresponderá al signo de la permutación de los segundos

subíndices.
 a11 a12 a13 


Sea la matriz A = a21 a22 a23  , entonces:

 a31 a32 a33 
A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
163
1.2.3 Regla de Sarrus
Una forma sencilla de cálculo, para el caso del determinante de una matriz de orden 3, es lo que se
conoce como Regla de Sarrus, la cual recibe su nombre por el matemático francés Pierre Fréderic
Sarrus. Su aplicación es muy común y de fácil memorización.
 a11 a12 a13 

Considérese la matriz A de orden 3, esto es A = a21 a22 a23 

 a31 a32 a33 
Utilizaremos, de manera auxiliar, un arreglo

rectangular. El mismo, surge de la matriz dada, a la  a11 a12 a13 a11 a12 
cual se le agregan las dos primeras columnas de la aux =  a21 a22 a23 a21 a22 
matriz a derecha, de manera que queden cinco  
columnas y tres filas.  a31 a32 a33 a31 a32 
Las dos primeras

columnas de A
Luego sumamos los productos de las diagonales

descendentes (en línea continua) y restamos los
productos de las diagonales ascendentes (en trazos).
Obtenemos, de esta manera, la misma fórmula que anteriormente obtuvimos para el caso del
determinante de una matriz de orden 3:
A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33
Ejemplo:
 2 −3 1   2 −3 1 2 −3

Si A = 1 0 2
 aux = 1 0 2 1 0 
 
 5 8 1   5 8 1 5 8 
 A = 2 .0.1 + (– 3) .2 .5 + 1.1.8 – 1.0.5 – 2.2.8 – (– 3) .1.1  A = – 51
Puede ser conveniente practicar el cálculo de determinantes de orden 3. Para ello, desarrollemos la
siguiente actividad:
164
Actividad 3
 2 2 −1
 
a) Verifique que 0 −2 −2 es 6.
 
 3 5 −1
b) Calcule el determinante de las siguientes matrices:
 −1 2 1 
D =  3 −2 1 
 2 0 2 
4 7 9
E =  0 0 1 
 0 −1 1 
1.3 Propiedades de los determinantes
A partir de la definición formal de determinante, desarrollada en páginas Imaginemos una matriz de

anteriores, hemos obtenido una fórmula de cálculo del determinante, para orden 5. La obtención del
los casos en que la matriz es de orden 2 y de orden 3. determinante involucraría el
No obstante, cuando la matriz es de mayor orden, la aplicación de la cálculo de 5! términos, con
definición puede ser compleja. lo que deberíamos efectuar
120 productos de 5 factores
cada uno.
Por este motivo, se han buscado formas alternativas de cálculo, una de ellas basada en propiedades de
determinantes. Las mismas se presentan a continuación. Ilustraremos su aplicación a través de
ejemplos sencillos, aunque son válidos para matrices de cualquier orden.
Propiedad 1. Si en una matriz se intercambian dos líneas paralelas, el determinante que se obtiene
cambia de signo pero no de valor absoluto.
Ejemplo:
 2 −3
Sea A =   , calculando su determinante, se observa que  A = 2 (−4) −(−3) 1 = −5
 1 −4 
165
 −3 2 
Si intercambiamos las dos columnas de A, obteniendo una matriz B =   , podemos asegurar,
 −4 1 
en base a la propiedad 1, que  B = 5.
Propiedad 2. Si se multiplica una línea de una matriz por una constante, el determinante queda
multiplicado por dicha constante.
Ejemplo:
Multipliquemos por 2 la segunda fila de la matriz A del ejemplo anterior, obteniendo una matriz C.
 2 −3  2 −3 
A=  C= 
 1 −4   2 −8 
Podemos asegurar, en base a la propiedad 2, que el  C resulta ser igual a la constante por el
determinante de la matriz A, es decir  C= 2.(–5) = –10.
Propiedad 3. Si se adiciona a una línea de una matriz, otra paralela a ella multiplicada por una
constante, el determinante que se obtiene no se modifica.
Ejemplo:
A partir de la matriz A (considerada al inicio), obtengamos una matriz D realizando la siguiente
operación elemental: adicionemos, a la primera fila, la segunda fila multiplicada por (–2).
 2 −3 0 5 
A=  D= 
 1 −4  1 −4 
Sin efectuar cálculos y basados en la propiedad 3, podemos establecer que el determinante no se ha

modificado, es decir  D = – 5.
Propiedad 4. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta.
En símbolos:  A  =  A' 
Ejemplo:
2 1
Dada A, consideramos su matriz transpuesta A′ =   . Entonces, aplicando la propiedad 4,
 −3 −4 
deducimos que  A' = – 5.
166
Propiedad 5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de
los determinantes de las respectivas matrices factores.
En símbolos:  A . B  =  A  .  B 
Ejemplo:
 2 −3 3 −1
Sean A =   yB =   , dado que  A = –5 y  B = –2 , aplicando la propiedad 5,
 1 −4  1 −1
obtenemos el determinante de la matriz producto sin necesidad de multiplicar las matrices.
 A . B  =  A  .  B  = (–5) (–2) = 10
Propiedad 6. El determinante de una constante por una matriz es igual a la constante elevada al orden
de la matriz por el determinante de la matriz.
En símbolos: k A = k n A , k : cte , n = orden de A
Ejemplo:
 2 −3
Sea A =   , si queremos obtener el determinante de la matriz 3A podemos recurrir a la
 1 −4 
propiedad 6. Teniendo presente que A es de orden 2, resulta 3 A = 32 A = 9(−5) = −45 .
Propiedad 7. El determinante de una matriz triangular o de una matriz diagonal es igual al producto de
los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
 2 1 4
 
Sea T = 0 −1 3 , su determinante surge del producto de los elementos de la diagonal principal,
 
 0 0 3
es decir T = 2.(−1).3 ⇒ T = −6 .
167
 −2 0 0
0
0 4 0 0 
Lo mismo ocurre con la matriz D = 
En particular el
,
0 0 −1 0  determinante de la matriz
  identidad es igual a 1.
0 0 0 − 3
ya que al ser diagonal su determinante, se calcula como D = (−2).4.(−1).(−3) , de donde se obtiene

D = −24 .
Propiedad 8. El determinante de una matriz ortogonal es 1 ó –1.
Ejemplo:
 1 1 
 2 2
Se estableció, en la unidad anterior, que la matriz A =   es ortogonal, por lo tanto, su
 1 1 
− 2 2 

determinante es 1 ó −1.
Si queremos especificar el valor de A , deberemos calcularlo en forma directa, como se muestra para
el ejemplo anterior:
1 1 1  1  1 1
A= − −  = + =1
2 2 2 2 2 2
Ahora, demostremos esta propiedad1.
Recordemos, en primer lugar, que una matriz es ortogonal cuando, pre o post multiplicada por su
transpuesta, da por resultado la matriz identidad. En particular, consideremos:
A. A′ = I
Luego, calculemos el determinante en ambos miembros:
A. A′ = I
Aplicando, paso a paso, algunas propiedades del determinante, resulta:
2
A . A′ = 1 ⇒ A . A =1⇒ A =1⇒ A = ±1
Se concluye que, dada una matriz ortogonal, su determinante es 1 ó −1.
1
Hemos omitido la demostración de las propiedades 1 a 7, por ser algunas de ellas demasiado complicadas, sin
embargo, la propiedad 8 es muy fácil de demostrar y, además, puede aportar a la interrelación de contenidos.
168
Propiedad 9. Si una matriz se puede particionar de modo tal que uno de los bloques sea nulo y los
bloques sobre la diagonal principal sean cuadrados, el determinante se puede calcular como el
producto de los determinantes de las sub-matrices no nulas que están sobre la diagonal principal
En símbolos:
A A12  A φ 
A =  11 ∨ A =  11 ⇒ A = A11 A22
φ A22   A21 A22 
Ejemplo:
1 3 5 −1 0 
2 3 −1 2 6 

Dada A =  0 1 0 1 4  , se observa la presencia de una submatriz nula. Se observa, además,
 
0 0 0 2 1
 0 0 0 5 1 
que la matriz A responde a una de las estructuras de partición establecidas para poder aplicar la
propiedad 9.
Efectivamente:
1 3 5 
A A12   2 1
A =  11 donde A11 =  2 3 −1  ; A22 = 
φ A22  
 5 1
 0 1 0 
Por lo tanto, el cálculo del determinante surgirá como:
1 3 5
2 1
A = 2 3 −1 . = 11( −3) = −33
5 1
0 1 0
Propiedad 10. El determinante de una matriz es cero si y sólo si sus líneas paralelas (filas o columnas)
constituyen un conjunto de vectores linealmente dependientes.
De esta propiedad se desprende la siguiente especificación: el determinante de una matriz será cero
cuando:
a) la matriz tiene una línea nula.
b) la matriz tiene dos líneas proporcionales.
c) una línea de una matriz resulta de la combinación lineal de líneas paralelas.
169
Ejemplos:
 1 −1 0

a) A = 2 3 0 .

 −1 4 0
Como A posee una línea nula, A = 0 .
2 5 3 −1
 −1 3 2 5 
b) B =  .
 −4 −10 −6 2 
 
1 5 0 1
Observemos que la tercera fila de B resulta de multiplicar la primera fila de B por (-2), entonces
B = 0.
2 1 4

c) C = 1 −1 3

 
 3 0 7 
Analicemos detenidamente la tercera fila de C. Podemos observar que es igual a la suma de la primera
y la segunda fila de C. Por lo tanto, una de las líneas es combinación lineal de las otras y, con ello,
C = 0.
A modo de observación sobre las propiedades de los determinantes, podemos establecer que:
• las tres primeras propiedades se refieren a cómo afectan las operaciones elementales al cálculo
del determinante.
• las propiedades 4, 5 y 6 relacionan el determinante asociado a operaciones matriciales.

Debemos tener presente que, en general, el determinante de la suma de matrices no es igual a
la suma de los determinantes.
• las propiedades 7, 8 y 9 se vinculan a matrices con características especiales.
• la propiedad 10 muestra la relación entre el determinante y dependencia lineal de las líneas

paralelas de la matriz (pensadas como vectores).
170
Para reafirmar algunas de las propiedades y el cálculo de determinantes, realicemos las siguientes
actividades:
Actividad 4
Dadas:
 −1 3
A=
2 1
3 −2 
B=
5 1 
 −1 3
C=
2 −6 
4.1 Calcule los siguientes determinantes:
a) A − B b) A − B c) A + C d) A + C
4.2 ¿Qué conclusión puede extraer con respecto al determinante de la suma o el determinante de la
resta de matrices?
Actividad 5
Conociendo que el determinante de cierta matriz A de orden 4 es (−3), establezca cuál será el
determinante de la matriz que se obtiene a partir de A realizando, en forma independiente, las
siguientes operaciones elementales:
a) B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas de A.

b) C se obtiene multiplicando una columna de A por (−2).
c) D se obtiene restando a la primera fila de A, la segunda fila multiplicada por (−2).
Actividad 6
 −2 1 4  1 3 5 2 3 5
    
Dadas A = 1 3 4 ; B = −1 0 1 ; C = −1 2 1

     
 −2 1 0   2 1 1  2 1 −1
6.1 Obtenga los determinantes de A, B y C.
171
6.2 Aplique propiedades, cuando sea posible, para obtener los siguientes determinantes:
1
a) A b) −C c) B. A d) B′ e) 80.( A + C ) f) 3 ( B − C )
2
Actividad 7
Utilice propiedades para obtener el determinante de cada una de las siguientes matrices:
1 −3 5 6  3 −1 5 6  2 −1 0 0
0 −8 2 4   0 −8 2 4   0 −1 0 0 
D= ; F = ; G=
0 0 −1 3  4 0 −6 2 9 1 1 2
     
0 0 0 1  2 0 −3 1  7 5 −3 1
 −1 3 0 1  0 0 0 −3  0 0 6
0
2 4 0 −1 0 0 −1 0  0 0 −1 4 
H = ; J =  ; K =
 5 −1 0 −2   0 −2 0 0  1 2 0 3
     
4 1 0 3 1 0 0 0  0 1 1 2
1.4 Menores complementarios y adjuntos
Existen dos conceptos asociados entre sí y vinculados a la definición de determinante, los cuales
servirán para encontrar determinantes de mayor orden y calcular la llamada matriz inversa. Estos
conceptos son: menor complementario y adjunto del elemento aij, los cuales definimos y
ejemplificamos a continuación:
Sea A de orden n, el menor complementario del elemento aij es el

determinante de la matriz de orden (n −1), que surge a partir de A luego de
eliminar la fila i y la columna j de A.
El menor complementario de un elemento aij se denota α ij .
172
Ejemplo:
 −1 3 1 
 
Sea A = 2 4 1 , calculemos el menor complementario del elemento a21.
 
 2 1 −1
Por definición, el menor complementario del elemento a21 surge de calcular el determinante de la
submatriz obtenida a partir de A, eliminando la fila 2 y la columna 1.
En este caso:
3 1
α 21 =   = −4
1 −1
Ahora, pasemos a definir el segundo concepto de interés:
Sea A de orden n, el adjunto del elemento aij, es el resultado de multiplicar

(−1)i+j por el menor complementario de aij . Se denota Aij.
En símbolos:
Aij = (−1)i+j. α ij
Ejemplo:
 −1 3 1 
 
Sea A = 2 4 1 , calculemos el adjunto del elemento a21.
 
 2 1 −1
Apliquemos la forma de cálculo para obtener el adjunto del elemento a21:
3 1
A21 = (−1)2+1α 21 = (−1)   = (−1)(−4) = 4
1 −1
Como podemos observar, el adjunto de un elemento

será igual al menor complementario o igual al  α ij si ( i + j ) es par
opuesto del menor complementario de dicho Aij = (−1)i + j α ij 
elemento, dependiendo de la paridad o no de la suma −α ij si ( i + j ) es impar
de los subíndices del elemento en cuestión.
173
En la tabla nº 1, se muestra el cálculo de los menores complementarios y de los adjuntos

correspondientes a cada uno de los elementos de A:
Elemento Menor complementario Adjunto del correspondiente elemento

4 1
a11 α11 =   = −5
1 −1 A11 = (−1)1+1α11 = (−1) 2 (−5) = −5
2 1
a12 α12 =   = −4
 2 −1 A12 = (−1)1+ 2 α12 = (−1)(−4) = 4
2 4
a13 α13 =   = −6
2 1 A13 = (−1)1+3 α13 = (−1)4 (−6) = −6
3 1
a21 α 21 =   = −4
1 −1 A21 = (−1) 2+1α 21 = (−1)(−4) = 4
 −1 1
α 22 =  = −1
−1
a22
2 A22 = (−1) 2+ 2 α 22 = (−1)4 (−1) = −1
 −1 3
a23 α 23 =   = −7
 2 1 A23 = (−1) 2+3α 23 = (−1).(−7) = 7
3 1
α 31 =  = −1
1
a31
4 A31 = (−1)3+1α 31 = (−1)4 (−1) = −1
 −1 1
α 32 =  = −3
1 
a32
 2 A21 = (−1)3+ 2 α 32 = (−1)(−3) = 3
 −1 3 
α 33 =  = −10
4
a33
2 A33 = (−1)3+3 α 33 = (−1)6 (−10) = −10
A fin de reafirmar estos conceptos, resolvamos la siguiente actividad:
Actividad 8
Calcule los menores complementarios y adjuntos de cada uno de los elementos de las siguientes
matrices:
2 3 5
C =  −1 2 1 
 2 1 −1
3 1
D= 
 4 2
174
1.5 Propiedad particular de los determinantes
Un resultado teórico muy importante, vinculado a los adjuntos de los elementos de una matriz, es el
siguiente:
Dada una matriz cuadrada de orden n, la suma de los productos de los

elementos de una línea cualquiera por los correspondientes adjuntos de
otra línea paralela, es igual a cero.
Por ejemplo, la suma de los productos de los elementos de la columna k por los adjuntos de los
elementos de la columna j se expresa en símbolos como:
n
a1k A1 j + a2 k A2 j + … + ank Anj = ∑ aik Aij = 0
i =1
 −1 3 1 
 
Volviendo a la matriz A = 2 4 1 , podemos verificar esta propiedad para algún caso
 
 2 1 −1
particular. La suma de los productos de los elementos de la columna 2 por los adjuntos de los
elementos de la columna 3...¿será igual a cero?
2 4 −1 3 −1 3
a12 A13 + a22 A23 + a32 A33 = 3.(−1)1+3 + 4.(−1) 2+3 + 1.(−1)3+3
2 1 2 1 2 4
= 3.(−6) + 4.(−1)(−7) + (−10)
= −18 + 28 − 10
=0
Efectivamente, podemos observar que el resultado de las operaciones es cero.
Podemos seguir verificando casos particulares del cumplimiento de esta última propiedad a través de
la siguiente actividad.
175
Actividad 9
 −1 3 1 
 
Para la matriz A = 2 4 1 , verifique que la suma de los productos de los elementos de la
 
 2 1 −1
primera fila por los adjuntos de los elementos de la fila 2, es igual a cero.
1.6 Desarrollo del determinante por los elementos de una línea
Como ya anticipamos, dada la complejidad de la aplicación de la definición formal de

determinante a matrices de orden superior a 3, se buscaron formas alternativas del cálculo del
determinante para dichas matrices. Un método que simplifica el cálculo, aunque no soluciona del todo
el problema, como veremos más adelante, es el que se conoce como desarrollo del determinante por
los elementos de una línea. El mismo, se basa en el siguiente resultado teórico:
El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de

los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus respectivos
adjuntos.
En símbolos, el cálculo del determinante de una matriz A cuadrada de orden n, desarrollándolo por los
elementos de la fila k, resulta:
n
A = ak1 Ak1 + ak 2 Ak 2 + … + akn Akn = ∑ akj Akj (1)
j =1
De forma análoga:
En símbolos, el cálculo del determinante de una matriz A cuadrada de orden n, desarrollándolo por los
elementos de la columna k, resulta:
n
A = a1k A1k + a2 k A2 k + … + ank Ank = ∑ aik Aik (2)
i =1
Si comparamos las expresiones abreviadas de (1) y (2), observamos que son muy similares. En (1)
fijamos la fila k y sumamos sobre la columna j, mientras que en (2) fijamos la columna k y sumamos
sobre la fila i.
176
Ejemplos:
 −1 3 1 
 
1) Calculemos el determinante de la matriz A = 2 4 1 , desarrollándolo por los elementos de
 
 2 1 −1
la segunda fila.
Para ello, calculamos la suma de los productos de cada uno de los elementos de la segunda fila y
multiplicamos por el adjunto correspondiente.
En símbolos: A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
3 1 −1 1 −1 3
A = 2(−1) 2+1 + 4(−1) 2+ 2 + 1(−1)2+3
1 −1 2 −1 2 1
= −2.(−4) + 4.(−1) + (−1)(−7)
= 11
Así, el cálculo del determinante de A, desarrollándolo por los elementos de la fila 2, resulta ser igual a
11.
2) Ahora calculemos el determinante de la misma matriz, desarrollándolo por los elementos de la

tercera columna:
Para ello, consideramos la suma de los productos de cada uno de los elementos de la tercera columna y
multiplicamos por el adjunto correspondiente.
En símbolos: A = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33
2 4 −1 3 −1 3
A = 1.(−1)1+3 + 1.(−1)2+3 + (−1)(−1)3+3
2 1 2 1 2 4
A = −6 + (−1)(−7) + (−1)(−10)
A = 11
Como era de esperarse, el valor obtenido es igual al anterior. No podría ser de otro modo, pues el
determinante es único para cada matriz.
Para revisar esta metodología, puede dirigirse al video Determinante 3x3.

177
Actividad 10
 −1 2 1 
 
a) Siendo D = 3 −2 1 , obtenga el D , desarrollándolo por los elementos de la tercera fila y
 
 2 0 2 
por los elementos de la primera columna. ¿Cuál de estos dos desarrollos requirió de menor cantidad de
cálculos? ¿Por qué?
1 3 0 2
9 5 3 8 
b) Dada F =  , obtenga el determinante de F a través del desarrollo de los elementos
 1 −1 0 1
 
2 1 0 −1
de la línea que usted crea más conveniente.
Observemos que:
- en todos los casos, el desarrollo del determinante por los elementos de una línea reduce el
problema de calcular el determinante de una matriz de orden n al cálculo de n determinantes de
matrices de orden (n−1).
- cuando el orden de la matriz es elevado, se puede aplicar el desarrollo anterior, pasando del
cálculo de determinantes de orden n a orden (n−1), a orden (n−2) y así sucesivamente hasta llegar
a determinantes de matrices, por ejemplo, de orden 3. Esto, si bien es factible de plantear, no
resulta muy eficiente en cuanto a la cantidad de cálculos que se requieren. No obstante, este
desarrollo reviste gran importancia teórica.
1.7 Calculo del determinante por reducción al cálculo de un determinante de

orden inferior
A continuación, abordaremos una técnica basada en el desarrollo del determinante por los elementos
de una línea y en lo que hemos señalado como Propiedad 3 de los determinantes.
2 3 0 1
5 6 1 8 
Comencemos observando la matriz A = 
 1 −1 0 2
 
 0 −1 0 1
Si tuviéramos que elegir una línea para obtener el determinante mediante el desarrollo de los
elementos de una línea, con el menor número de cálculos posibles…¿cuál elegiríamos?
178
Para responder a este interrogante, tengamos presente que cada elemento nulo de la matriz evita el
cálculo de un determinante, por lo tanto, la elección más eficiente será seleccionar aquella fila o
columna que contenga la mayor cantidad de ceros. En nuestro caso, la tercera columna de la matriz A.
Así, desarrollando el determinante por los elementos de la tercera columna, el determinante de A
resulta:
2 3 1
A = (−1) 2+3 1 −1 2 = (−1)(−2) = 2
0 −1 1
A partir de este último razonamiento y, recordemos que si en una matriz a una línea se le agrega una
constante por otra línea, el determinante no se modifica (Propiedad 3). De allí es que surge la idea de
una técnica para obtener el determinante, reduciendo el cálculo a uno de orden inferior.
Efectivamente, dada una matriz, usando la Propiedad 3 se la puede transformar en otra que tenga el
mismo determinante y que, a la vez, tenga una línea con suficiente cantidad de ceros para que sólo
debamos calcular un determinante de menor orden.
Para ello, podemos seguir los siguientes pasos:
1) Seleccionar una línea de la matriz A y, dentro de ella, un elemento (preferentemente un uno).

2) A través de la tercera operación elemental, transformar en cero los restantes elementos de esa línea.
3) Desarrollar el determinante por los elementos de esa línea.
4) En caso de aún no poder obtener el determinante, repetir la técnica.
Ejemplo:
 2 0 2 −1 
 −3 3 1 − 8
Calculemos el determinante de la siguiente matriz A = 
 −1 1 1 −2 
 
 4 −1 4 1
Paso 1: Elijamos como línea de referencia la segunda columna y como elemento el a32 = 1.
Paso 2: Transformemos esa columna en el tercer vector unitario a través de la tercera operación
elemental.
 2 0 2 −1   2 0 2 −1 
 −3 3 1 − 8  0 0 −2 −2 
A=  ∼  =B
 −1 1 1 −2   −1 1 1 −2 
   
 4 −1 4 1  3 0 5 − 1
−3F3 + F2
F3 + F4
179
Paso 3: Desarrollemos el determinante por los elementos de la segunda columna.
 2 2 − 1
A= B ⇒ A = ( −1)
3+ 2  0 −2 −2  ⇒ A = ( −1) (−6) = 6
 
 3 5 −1
Observemos que, mediante este procedimiento, hemos obtenido una matriz B, la cual posee el mismo
determinante que A, pero cuyo cálculo es mucho más sencillo.
En este caso no es necesario aplicar el paso 4, pues se requirió el cálculo del determinante de una
matriz de orden 3.
Veamos, a través del siguiente ejemplo, cómo trabajar cuando esto no ocurre.
Ejemplo:
 2 −1 3 0 1
 1 2 −1 3 −2 

Se quiere encontrar el determinante de la matriz B =  0 1 3 5 0
 
 −2 1 −2 1 0
 0 2 3 0 4 
Paso 1: Consideremos la quinta columna, tomando como elemento de referencia el b15=1.
Paso 2: Realicemos operaciones elementales por filas, a fin de obtener la mayor cantidad de ceros
posibles sobre la quinta columna. Usamos la primera fila como fila pivote y eliminamos el -2 de la
segunda fila y el 4 de la quinta fila.
 2 −1 3 0 1  2 −1 3 0 1
 1 2 −1 3 −2  4 0 5 3 0
   
B= 0 1 3 5 0 ∼ 0 1 3 5 0
   
 −2 1 −2 1 0  −2 1 −2 1 0
 0 2 3 0 4   −8 6 −9 0 0 
2 F1 + F2
−4 F1 + F5
Paso 3: Desarrollemos el determinante por los elementos de la quinta columna.
180
4 0 5 3
0 1 3 5
B = (−1)1+5 B15 = 1.
−2 1 −2 1
−8 6 −9 0
Paso 4: Hemos arribado a la necesidad de calcular el determinante de una matriz de orden 4. Podemos,
entonces, repetir el proceso de reducción (en este caso sobre la última matriz expuesta) para pasar al
cálculo del determinante de una matriz de orden 3.
Elegimos una línea cualquiera, por ejemplo, la columna 2. Allí adoptamos como pivote al elemento
que está en la segunda fila y operamos por filas:
4 0 5
3 4 0 5
3 
0 1 3 5 0 1 3 5 
  ∼  =C
 −2 1 −2 1   −2 0 −5 −4 
   
 −8 6 −9 0   −8 0 −27 −30 
F2 + F3
−6 F2 + F4
Entonces, el determinante de B resultará ser el adjunto del elemento c22 de la matriz C.
4 5 3
2+2
B = C = (−1) −2 −5 −4
−8 −27 −30
Luego, calculando este último determinante, resulta B = −20 .
Actividad 11
Calcule, por el método de reducción, el determinante de cada una de las siguientes matrices:
 4 −1 3 −2 
2 5  2 −1 0 
1 3  
A= ;C= 3
 4 −2 
 6 −2 3 5
   −3 0 1 
2 0 1 4
181
1.8 Matriz de los adjuntos y matriz adjunta
Los adjuntos de los elementos de una matriz no sólo se han definido para poder obtener
determinantes, sino que también se usarán para calcular, como veremos en la próxima unidad, lo que
se conoce como matriz inversa. Así, anticipándonos a ese cálculo, definiremos la matriz adjunta, a
partir de otro nuevo concepto, la matriz de cofactores.
Matriz de los adjuntos o de cofactores
 a11 a12 … a1n 

a a22 … a2 n 
Dada una matriz A = 
21
de orden n, se denomina matriz de
 ⋮ ⋮ … ⋮ 
 
 am1 am 2 … amn 
cofactores de A a la matriz formada por los correspondientes adjuntos de los
elementos aij de A.
 A11 A12 … A1n 

A A22 … A2 n 
En símbolos Ac = 
21
donde Aij es el adjunto del elemento aij
 ⋮ ⋮ … ⋮ 
 
 An1 An 2 … Ann 
Matriz adjunta de A.
La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es igual a la transpuesta de la matriz

de cofactores.
182
En símbolos:
 A11 A21 … An1 
A A22 … An 2 
Adj ( A) = Ac =  12
′
 ⋮ ⋮ … ⋮ 
 
 A1n A2 n … Ann 
A continuación, veamos un ejemplo del cálculo de la matriz adjunta:
 −1 3 1 
 
Consideremos la matriz A = 2 4 1 (que definimos al comienzo de esta unidad) y calculemos
 
 2 1 −1
su matriz adjunta.
Para ello, en primer lugar, obtenemos la matriz de cofactores:
 4 1 2 1 2 4
 − 
 1 −1 2 −1 2 1 
 3  −5 4 −6 
1 −1 1 −1 3 
Ac =  − −  ⇒ Ac =  4 −1 7 
 1 −1 2 −1 2 1
   −1 1 −10 
 3 1 −1 1 −1 3 
−
 4 1 2 −1 2 4 

Luego, si transponemos la matriz de cofactores, resulta la matriz adjunta de A.
 −5 4 −1 
Adj ( A) = Ac′ ⇒ Adj ( A) =  4 −1 1 
 −6 7 −10 
Reafirmemos estos conceptos a partir de la siguiente actividad:
Actividad 12
 2 −1 0 

Obtenga la matriz adjunta de C = 3 4 −2  .

 −3 0 1 
183
EJERCICIOS
A continuación, se presentan ejercicios que servirán para reafirmar los conceptos y técnicas
relacionadas con el cálculo del determinante. Con estos elementos estamos en condiciones de
comenzar la próxima unidad.
1) Obtenga el determinante de las siguientes matrices:
 3 −1 0  3 2 1
4 7 
A=  ; B =  1 1 −2 ; C =  2 −1 2 
 
 1 −2   −3 0 1  1 0 4 
 2 −1 0 

2) Sea C = k 4 −2  , obtenga el valor de k para que la matriz C tenga determinante igual a

 −5 −5 2 
cero.
1 1 -1 
 3 0 0  3 6 2
   
3) Dadas las matrices: N= 0 -4 0 , P=  1 -2 0 
  3 6
-5 1 2   
1 1 1 
 3 6 2 
Sabiendo que P es ortogonal, calcule N '.P.N .P ' aplicando propiedades.
4) Si A y B son matrices de orden 3, tales que A= 1/4 , B= −2 , determine el valor de las
siguientes expresiones
a) 2 B.A b) 2 B .A c) B’ 
5) Dadas
3 1 −1 0  1 0 0 0
0 
3 −1 2  0 0 0 2 
H = ; J =
1 1 2 1 1 1 1 2
   
0 0 0 1 0 0 1 2
obtenga ( H − J )′ , aplicando todas las propiedades posibles.
184
 −1 3 

6) Obtenga Q.Q′ , siendo Q = 2 1

 
 −1 0 
7) Aplique propiedades a fin de obtener el determinante de cada una de las siguientes matrices:
1 0 5 −1 0  1 3 5 −1 0  1 3 5 −1 0 
0 3 −1 2 6  2 3 −1 2 6  2 3 −1 2 6 
  
A = 0 0 1 1 4 ; B = 0 1 0 1 4 ; C = 0 0 1 0 4
     
0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 1 −1 1 
0 0 0 0 1   0 0 0 4 2   0 0 1 0 1 
0 0 0 0 1 0 9 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 2 6  0 8 0 2 6  0 0 0 2 6 
  
D = 0 0 3 1 4 ; E = 0 6 3 1 4 ; F = 0 0 3 1 4
     
0 1 0 2 1 0 1 2 2 1 4 0 0 2 1
 4 0 0 5 1  0 4 7 5 1   0 1 0 5 1 
 −1 1 2 

8) Dada A = 0 2 3  , desarrolle su determinante:

 1 −1 1 
a) por los elementos de la tercera columna.

b) por los elementos de la segunda fila.
 −2 −1 1 0 
 1 0 −1 2 
9) Siendo A=   desarrolle su determinante:
 0 0 0 −1
 
 2 1 0 −1
a) Por los elementos de la primera columna.

b) Por los elementos de la tercera fila.
185
10) Considere las siguientes matrices y obtenga, por el método de reducción, sus determinantes:
1 3 5−1 0 
 1 −2 0 −1  −3 −1 1 −1 2
 2 −1 1   −5 2     3 −1 2 6 
  1 3 2 2 1 3
L =  2 −1 2  ; M =  ; N = ; P = 1 1 −1 1 4 
 6 −2 1 1  −1 −1 2 2   
1 4 5      2 3 5 0 2
5 0 1 2  1 0 −1 1   0 1 1 4 2 
 3 0 0 3 2 1
   
11) Dadas A= 0 -4 0 y C = 2 −1 2 , obtenga sus correspondientes matrices adjuntas.
   
-5 1 2  1 0 4 
186
Actividad 1
Existen 4!= 24 permutaciones de 4 elementos distintos, las cuales están presentes en el siguiente
cuadro con su correspondiente signo. Controle aquellas por usted seleccionadas.
Permutación Inversiones Signo Permutación Inversiones Signo

1 2 3 4 No posee + 3 1 2 4 2 +
1 2 4 3 1 − 3 1 4 2 3 −
1 3 2 4 1 − 3 2 1 4 3 −
1 3 4 2 2 + 3 2 4 1 4 +
1 4 2 3 2 + 3 4 1 2 4 +
1 4 3 2 3 − 3 4 2 1 5 −
2 1 3 4 1 − 4 1 2 3 3 −
2 1 4 3 2 + 4 1 3 2 4 +
2 3 4 1 3 − 4 2 1 3 4 +
2 3 1 4 2 + 4 2 3 1 5 −
2 4 1 3 3 − 4 3 1 2 5 −
2 4 3 1 4 + 4 3 2 1 6 +
Actividad 2:
 −1 3
A= ⇒ A = (−1).1 − 3.2 = −7
2 1 
3 −2 
B= ⇒ B = 3.1 − (−2).5 = 13
5 1 
 −1 3
C= ⇒ C = (−1)(−6) − 3.2 = 0
2 −6 
Actividad 3:
 2 2 −1
a)  0 −2 −2  = 2.(−2).(−1) + 2.(−2).3 + (−1).0.5 − (−1).(−2)3 − 2.5.(−2) − 2.0.(−1)
 
 3 5 −1
= 4 − 12 − 6 + 20
=6
187
 −1 2 1 

b) D = 3 −2 1 ⇒
 D = 4 + 4 + 0 − (−4) − 0 − 12 = 0
 
 2 0 2 
4 7 9
E =  0 0 1  ⇒ E = 0 + 0 + 0 − 0 − (−4) − 0 = 4
 0 −1 1 
Actividad 4
−4 5
a) A − B = −7 − 13 = −20 b) A − B = = 15
−3 0
−2 6
c) A + C = −7 + 0 = −7 d) A + C = = −14
4 −5
Concluimos que, en general:

- el determinante de la resta no es igual a la resta de los determinantes,
- el determinante de la suma no es igual a la suma de los determinantes.
Actividad 5
a) Dado que al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo pero no de valor absoluto,
resulta que B = 3 .
b) Cuando se multiplica una línea de una matriz por una constante, el determinante de queda
multiplicado por dicha constante. Por lo tanto C = −2. A = (−2)(−3) = 6 .
c) Si a una línea se adiciona una constante por otra línea, el determinante no se modifica,
entonces D = −3 .
Actividad 6
 −2 1 4  1 3 5 2 3 5
    
Dadas A = 1 3 4 ; B = −1 0 1 ; C = −1 2 1

     
 −2 1 0   2 1 1  2 1 −1
6.1 A = 28 ; B = 3 ; C = −28
6.2
3
1 1 1 7
a) A =   A = ⋅ 28 =
2 2 8 2
b) −C = ( −1) C = ( −1) . ( −28 ) = 28

3
188
c) B. A = B ⋅ A = 3.28 = 84
d) B′ = B = 3
0 4 9
e) 80.( A + C ) = 80 3
( A + C ) = 80 0 5 5 = 0
3
0 2 −1
Observar: dado que la matriz (A+C) tiene una línea nula podemos afirmar que su determinante es cero.
−1 0 0
f) 3 ( B − C ) = 3
3
( B − C ) = 27 0 −2 0 = 27.4 = 108
0 0 2
Observe que, dado que la matriz (B− C) es una matriz diagonal, su determinante se calcula como el
producto de los elementos de la diagonal principal.
Nota: Es muy importante tener en cuenta las propiedades que se aplicaron.
Actividad 7
Utilice propiedades para obtener el determinante de cada una de las siguientes matrices:
1 −3 5 6
0 −8 2 4 
D= D = 1.(−8).(−1).1 = 8 por ser una matriz triangular;
0 0 −1 3
 
0 0 0 1
3 −1 5 6
0 −8 2 4 
F = F = 0 , pues las dos últimas filas de F son proporcionales;
4 0 −6 2
 
2 0 −3 1
2 −1 0 0
0 −1 0 0  2 −1 1 2
G= G = . = (−2).7 = −14 , pues G puede pensarse en forma
9 1 1 2 0 −1 −3 1
 
7 5 −3 1
particionada con uno de las submatrices nulas.
 −1 3 1
0 0 0 −3 
0
2 4 0 − 1 0 0 −1 0 
H = H = 0 , pues la tercer columna de H es nula J =
 5 −1 0 −2  0 −2 0 0 
   
4 1 0 3 1 0 0 0
J = (−3).(−1).(−2).1 = −6 , ya que si efectuamos dos intercambios, la primera y la cuarta fila y la
segunda fila por la tercera, se obtiene una matriz triangular , cuyo determinante es igual al de la matriz
dada.
189
0 0 6
0
0 0 −1 4 
K = Observe que, si efectuamos 3 intercambios podemos obtener una matriz
1 2 0 3
 
0 1 1 2
1 2 0 3
0 1 1 2
triangular, K = (−1) = − [1.1.(−1).6] = 6 .
0 0 −1 4
0 0 0 6
Actividad 8
2 3 5
C =  −1 2 1 
 2 1 −1
Elemento Menor complementario Adjunto del correspondiente elemento

2 1
a11= 2 α11 =   = −3 A11 = (−1)1+1α11 = (−1) 2 (−3) = −3
1 −1
 −1 1
a12= 3 α12 =  = −1 A12 = (−1)1+ 2 α12 = (−1)(−1) = 1
2 −1
 −1 2 
a13 = 5 α13 =  = −5 A13 = (−1)1+3α13 = (−1)4 (−5) = −5
2 1 
3 5
a21= -1 α 21 =   = −8 A21 = (−1) 2+1α 21 = (−1)(−8) = 8
1 −1
2 5
a22 = 2 α 22 =   = −12 A22 = (−1)2+ 2 α 22 = (−1) 4 (−12) = −12
 2 −1
2 3
a23 = 1 α 23 =   = −4 A23 = (−1) 2+3α 23 = (−1).(−4) = 4
 2 1
3 5
a31 = 2 α 31 =  = −7 A31 = (−1)3+1α 31 = (−1)4 (−7) = −7
2 1
 2 5
a32 = 1 α 32 =  =7 A21 = (−1)3+ 2 α 32 = (−1).7 = −7
 −1 1 
2 3
a33 = -1 α 33 =   =7 A33 = (−1)3+3 α 33 = (−1)6 .7 = 7
 −1 2 
190
3 1
D= 
 4 2
Observemos que, en este caso, el menor complementario será el determinante una matriz de orden 1,
es decir, será el mismo número.
Elemento Menor Adjunto del correspondiente elemento

complementario
a11= 3 α11 = [ 2] = 2 A11 = (−1)1+1α11 = (−1) 2 .2 = 2
a12= 1 α12 = [ 4] = 4 A12 = (−1)1+ 2 α12 = (−1).4 = −4
a21 = 4 α13 = [1] = 1 A13 = (−1)1+ 2 α13 = (−1)3 .1 = −1
a22= 2 α 21 = [3] = 3 A21 = (−1) 2+ 2 α 21 = 1.3 = 3
Actividad 9
 −1 3 1 
 
Siendo A = 2 4 1 , calculemos la suma de los productos de los elementos de la primera fila
 
 2 1 −1
por los adjuntos de los elementos de la segunda fila.
3 1 −1 1 −1 3
a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = −1.(−1)1+ 2 + 3.(−1)2+ 2 + 1.(−1)2+3
1 −1 2 −1 2 1
= −4 + 3.(−1) + (−1). − 7
= −4 − 3 + 7
=0
Se cumple que el resultado es cero.
Actividad 10
a) D desarrollándolo por los elementos de la tercera fila:

2 1 −1 2
D =2 +0+2 ⇒ D = 8−8 = 0
−2 1 3 −2
D desarrollándolo por los elementos de la primera columna:
191
−2 1  2 1  2 1
D = −1 + 3 − +2 ⇒ D = −1.(−4) + 3(−4) + 2.4 = 0
0 2  0 2  −2 1
Como se puede apreciar, cuanto más ceros tenga una línea, menor será la cantidad de cálculos a
realizar.
b) F desarrollándolo por los elementos de la tercera columna:

1 3 2
F = 3(−1) 2+3
9 5 8 = 3.(−1).[ −5 + 24 − 18 − 10 + 8 + 27 ] = −3.26 = −78
1 −1 −1
Actividad 11
 4 −1 3 −2 
2 5 1 3 
A= . Tomemos como elemento de referencia el a43=1.
 6 −2 3 5
 
2 0 1 4
Realicemos operaciones elementales por columnas que mantengan el valor del determinante, para
obtener la mayor cantidad de ceros posibles sobre la cuarta fila y luego obtengamos el adjunto
correspondiente al elemento considerado.
 4 −1 3 −2   −2 −1 3 −14 
2 5 −2 −1 −14
1 3  0 5 1 −1 
A= ∼  ⇒ A = (−1) 4 +3
0 5 −1 = (−1).74 = −74
 6 −2 3 5  0 −2 3 −7 
    0 −2 −7
2 0 1 4 0 0 1 0 
−2C3 + C1
−4C3 + C4
 2 −1 1 3 4
0 2 1 3 0 

B = 3 3 1 4 1  Tomemos como elemento de referencia el b23=1.
 
 4 −1 2 6 1
 2 1 1 3 −1
Realicemos operaciones elementales por columnas que mantengan el valor del determinante, para
obtener la mayor cantidad de ceros posibles sobre la segunda fila y luego obtengamos el adjunto
correspondiente al elemento considerado.
192
 2 −1 1 3 4  2 −3 1 0 4
0 2 1  0 0 2 −3 0 4
 3 0  1 0 0 
3 1 1 1
B = 3 3 1 4 1  ∼ 3 1 1 1 1  ⇒ B = (−1) 2 +3
    4 −5 0 1
 4 −1 2 6 1  4 −5 2 0 1
2 −1 0 −1
 2 1 1 3 −1  2 −1 1 0 −1
−2C3 + C2
−3C3 + C4
Elegimos, ahora, la tercera (de la última matriz) para el desarrollo del determinante:
2 −3 4
2+3 2 +3
B = (−1) (−1) 4 −5 1 = 18
2 −1 −1
Tomemos como elemento de referencia el c33=1 y hagamos cero el elemento c32= -2, multiplicando la
tercera fila por 2 y sumándola a la segunda fila.
 2 −1 0 
C =  3 4 −2 
 −3 0 1 
2 −1 0 2 −1 0
2 −1
C = 3 4 −2 = −3 4 0 = (−1)3+3 =5
−3 4
−3 0 1 −3 0 1
Actividad 12
 2 −1 0 

Obtenga la matriz adjunta de C = 3 4 −2 

 −3 0 1 
Para ello, en primer lugar, obtenemos la matriz de cofactores.
 4 −2 3 −2 3 4 
 − 
 0 1 −3 1 −3 0 
 −1 0  4 3 12 
2 0 2 −1 
Cc =  − −  ⇒ Cc = 1 2 3 
 0 1 −3 1 −3 0   
  
 2 4 11 
 −1 0 −
2 0 2 −1 
 4 −2 3 −2 3 4 

Luego, si transponemos la matriz de cofactores, resulta la matriz adjunta de A.
193
4 1 2
Adj (C ) = Cc′ ⇒ Adj (C ) =  3 2 4 
12 3 11
.
Respuestas a los ejercicios:
1) A = −15; B = −2; C = −23
2) k = 7
2
3) N '.P.N .P ' = N ' . P . N . P ' = N 2. P 2 = N .1 = (−24) 2 = 576
4) Si A y B son matrices de orden 3, tales que A= 1/4 , B= −2 , determine el valor de las
siguientes expresiones
a)2 B.A = 23B.A= 8. (−2). (1/4) = −4

b) 2 B .A= 2.B.A= 2. (−2). (1/4) = −1
c) B’ =B= −2
2 1 −1 0
0 3 −1 0 2 1 1 −1
5) ( H − J )′ = (H − J ) = = . = 6.(−2) = −12
0 0 1 −1 0 3 −1 −1
0 0 −1 −1
6) Las matrices no son cuadradas, por lo cual hay que obtener el producto matricial y luego el
determinante.
10 1 1
Q.Q′ = 1 5 −2 = 0 ,
1 −2 1
7) A = 6 ; B = 0; C = −9 ; D = 24 ; E = 0; F = −24
 −1 1 2 

8) Dada A = 0 2 3  , desarrolle su determinante:

 1 −1 1 
a) Desarrollo por los elementos de la tercera columna.
194
0 2 −1 1 −1 1
a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 = 2.(−1)1+3 + 3.(−1) 2+3 + 1.(−1)3+3
1 −1 1 −1 0 2
= 2.(−2) + 3.(−1).0 + (−2)
= −4 − 2
= −6
b) Desarrollo por los elementos de la segunda fila.

−1 2 −1 1
a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = 2.(−1)2+ 2 + 3.(−1) 2+3 = −6
1 1 1 −1
9)
a) Desarrollo por los elementos de la primera columna.
0 −1 2 −1 1 0 −1 1 0
A = −2. 0 0 −1 + (−1) 0 0 −1 + 2.(−1) 0 −1 2 = −2 + 1 + 2 = 1
1 0 −1 1 0 −1 0 0 −1
b) Desarrollo por los elementos de la tercera fila.
−2 −1 1
A = ( −1) . ( −1) 1 0 −1 = 1
2 1 0
10) L = −9 ; M = 0; N = 4; P = −80
 -8 0 0   −4 −8 5 
11) Adj ( A) =  0 6 0  y Adj ( C ) =  −6 11 −4 
 
 -20 - 3 -12   1 2 −7 
195
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 4
193
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
UNIDAD 4
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
194
UNIDAD 4:
Inversa y rango de una matriz
Introducción
En la presente unidad estudiaremos otros dos conceptos asociados a matrices, ellos son: matriz
inversa y rango de una matriz. Éstos poseen tanta trascendencia en el desarrollo de la matemática,
como el concepto de determinante. En ambos casos partiremos de sus definiciones, detallaremos sus
propiedades y presentaremos sus formas de cálculo.
El estudio de la matriz inversa, como herramienta matricial, nos otorga la posibilidad de aplicarla
a la economía, la estadística, la física etc., además de poseer relevancia teórica. En este contexto,
pondremos énfasis en la demostración de sus propiedades, con el objetivo de demostrar cómo funciona
el método deductivo en conjunción con el álgebra matricial. En tal sentido, deberemos prestar mucha
atención a esta sucesión lógico-algebraica de pasos, que justifican cada una de las proposiciones. A
continuación, presentaremos dos formas de obtener la matriz inversa, utilizando conceptos ya
incorporados en unidades anteriores, estos son: matriz adjunta y las operaciones elementales por filas.
Específicamente, el uso de las operaciones elementales por filas, nos permitirá lograr cierta habilidad
de cálculo, que será necesaria para abordar los temas que estudiaremos en próximas unidades.
En cuanto al concepto de rango de una matriz, el mismo se vincula con temas que hemos
estudiado anteriormente, tales como independencia lineal, matrices equivalentes y matrices
escalonadas. Su comprensión y aplicación nos permitirá clasificar los sistemas de ecuaciones lineales,
que serán analizados en la unidad 5.
Objetivos específicos
 Disponer de los conceptos de matriz inversa y rango de una matriz, para utilizarlos de
manera teórica y práctica.
 Fortalecer la capacidad de deducción matemática, a través de la presentación de algunas

demostraciones.
 Implementar e incorporar las técnicas de cálculo de la matriz inversa y rango de matriz,

para optimizar la aplicación de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
lineales y su clasificación.
195
Esquema de contenidos de la unidad
El siguiente esquema nos muestra la relación y orden lógico del tratamiento de los
principales temas a estudiar en la presente unidad. Podemos consultar el mismo las veces que lo
entendamos necesario para poder comprender, de manera integral, los distintos temas:
OTROS CONCEPTOS MATRICIALES
MATRICES MATRICES
CUADRADAS RECTANGULARES
admiten
Pueden
tener
INVERSA FORMA CANÓNICA RANGO
Definición Propiedades Cálculo Definición Propiedades Cálculo
Métodos
 De la Matriz adjunta
 De Gauss-Jordan
196
1. MATRIZ INVERSA
Hasta aquí, hemos trabajado minuciosamente con matrices y, en particular, hemos estudiado la
operación de producto matricial.
A partir de esta última operación y haciendo analogía con las operaciones entre números, podemos
enunciar la definición de matriz inversa:
Sea A una matriz cuadrada de orden n, diremos que A posee inversa, sí y

sólo sí, existe una matriz B del mismo orden tal que, pre y post multiplicada
por la matriz A, da por resultado la matriz identidad.
En símbolos:
B es la inversa de A  A.B = B.A = I.
Notación: B se denomina matriz inversa de A y la simbolizamos A-1.
Por el momento no estudiaremos cómo calcular la inversa de A, esto se debe a que para ello
necesitamos dominar algunas propiedades y conceptos que veremos muy pronto. No obstante, es
posible verificar que una matriz, A1 , es realmente la inversa de otra matriz A.
  2 3
Por ejemplo: dada la matriz A =   , podemos verificar que su matriz inversa es
 1 1 
1  3 
A-1 =  .
1  2 
Para ello, bastará con que utilicemos la definición de matriz inversa.
Realicemos el producto matricial entre ellas en los dos órdenes posibles:
  2 3 1  3  1 0 1  3    2 3 1 0
A. A1     y A1. A   
  1 1  1  2   0 1 
1  2    1 1   0 1
Vemos que, si pre o post multiplicamos A por A-1 , obtenemos la matriz identidad, por lo tanto, A1 es
la matriz inversa de A.
Si aplicamos la definición de matriz inversa, podremos realizar la siguiente actividad:
197
Actividad 1:
1 3 3   7 3 3
1  
a) Verifique que C  1 4 3 , es la matriz inversa de C  1 1
 0 
  
1 3 4   1 0 1 
 1 k  12 3 2
b) ¿Cuál debe ser el valor de k para que B 1    ,sea la matriz inversa de B   
 1 1   1 2 1 2 
Observemos que:
 Si A es la inversa de B, entonces B es la inversa de A.

Esto se debe a que cualquiera de ellas, pre y post multiplicada por la otra, dan por resultado la
matriz identidad.
 No todas las matrices cuadradas poseen inversa.
 1 1 x y 
Por ejemplo: si A    , vemos que no existe una matriz B=   (del mismo orden que A),
 0 0  z w
que cumpla con la definición de inversa.
Si multiplicamos e igualamos a la matriz identidad:
 1 1  x y  1 0
A.B    
 0 0   z w 0 1
x  z  1
y  w  0

resulta el siguiente sistema 
0 x  0 z  0
0 y  0w  1  contradicción !
Como podemos apreciar, este planteo no tiene solución.

En consecuencia, A no posee inversa.
En este contexto, rescatamos la siguiente definición:
198
Cuando una matriz cuadrada admite inversa, se denomina no singular o

regular, mientras que si no posee inversa, se dice que es singular o no
inversible.
Más adelante, veremos cuál es la condición o requisito para la existencia de la matriz inversa.
1.2. Propiedades de la matriz inversa
Basándonos en la definición de matriz inversa, y previo a introducirnos en el cálculo de la misma,

podemos deducir algunas de sus propiedades. A continuación, enunciamos, simbolizamos y
demostramos la mayoría de éstas, ejemplificando aquellos casos donde sea pertinente.
Propiedad 1: Dada A una matriz cuadrada, su inversa, si existe, es única.
Demostración:
Supongamos que, B y C son matrices inversas de A. Entonces, ambas cumplen con la condición de que
pre y post multiplicadas por A, dan por resultado la matriz identidad.
Esto es:
A.B = B.A = I y A.C = C.A= I.
Si partimos de la igualdad:
B.A = I
y post multiplicamos ambos miembros por C, nos resulta:
B.A.C = I .C
Asociemos las matrices A y C y apliquemos la propiedad que expresa I .C = C
B.(A.C) = C
Luego, como C es la inversa de A, se cumple que A.C =I, entonces:
B. I = C
De lo que resulta:
B=C
Concluimos que si dos matrices son inversas de A, ellas deben ser iguales y por lo tanto la inversa, es
única.
199
Propiedad 2 : Si el producto de una matriz regular por otra matriz es la matriz nula, entonces, la otra
matriz debe ser la matriz nula.
En símbolos: A.C   con A regular, entonces: C  

Demostración:
Partamos de la igualdad propuesta:
A.C  
Como A es regular, entonces existe la matriz inversa de A. Multipliquemos ambos miembros por A1 :
A1. A.C  
Obtenemos:
I .C    C  
De esta manera, hemos demostrado la propiedad.
Propiedad 3 : Si A es una matriz regular y B es una matriz cuadrada del mismo orden, tal que AB=I,
entonces también se cumple que BA=I.
Demostración:
Supongamos que A es una matriz regular y B es una matriz cuadrada del mismo orden, tal que:
AB = I
Restemos, en ambos miembros de la igualdad, la matriz identidad I:
A.B  I  I  I
A.B  I  
Post multipliquemos ambos miembros de la igualdad por A:
A.B. A  I . A  
Apliquemos la propiedad inversa de la distributiva:
A( B. A  I )  
Pero, como A es regular por la Propiedad 2, podemos afirmar que:
B. A  I    B. A  I
Demostramos que: “si una de las igualdades de la definición de inversa se cumple, entonces también
se cumple la otra igualdad”. Por lo tanto, el producto entre una matriz y su inversa es conmutativo.
Propiedad 4: La matriz inversa de la inversa de una matriz, es igual a la matriz original.
 
1
En símbolos: A1 A
Demostración:
Por definición, si multiplicamos A1 por su inversa, obtenemos la matriz identidad:
A1.  A1   I
1
200
Si ahora pre multiplicamos ambos miembros por A, nos resulta:
A. A1.  A1   A.I

1
I .  A 1   A
1
A 
1
1
A
Propiedad 5: La inversa de un producto de matrices regulares, es igual al producto de las inversas de

dichas matrices, en orden invertido:
En símbolos:  A.B   B 1 A1 .

1
Demostración:
Llamemos C a la inversa de A.B , es decir C   A.B  . De esta manera, por definición, se cumple
1
que:
 A.B  .C  I
Ahora, pre multipliquemos ambos miembros por la inversa de A y asociemos adecuadamente:
 A A B.C  A
1 1
I
I B C  A1
Pre multipliquemos ambos miembros por la inversa de la matriz B:
 B 1I B  C  B 1 A1
Aplicando la propiedad del producto nos resulta:
 B 1 B  C  B 1 A1
I C  B 1 A1
De lo que surge:
C= B 1 A1
Por lo tanto, hemos demostrado que  A.B   B 1 A1 .

1
Propiedad 6: La inversa de la transpuesta, es igual a la transpuesta de la inversa.
En símbolos:  A    A1 
1
Demostración:
Sabemos que:
A. A1  I
201
Por lo tanto, si transponemos en cada miembro y aplicamos propiedades de la transpuesta de un
producto matricial, nos resulta:
 A. A   I 
1
 A  . A  I
1
Post multipliquemos ambos miembros de esta igualdad por la inversa de A , asociemos

convenientemente y apliquemos la definición de inversa:
 A  . A.  A
1 1
 I .  A
1
 A  .  A. A
1 1
   A 1

 A  .I   A
1 1
Nos resulta entonces:
 A    A
1 1
Propiedad 7: La inversa de un escalar distinto de cero por una matriz, es igual al recíproco del escalar
por la inversa de la matriz:
1 1
En símbolos:  k A 
1
  A ,k  0
k
Demostración:
Por definición de inversa:
 k A . k A
1
I
Pre multipliquemos ambos miembros por A1 , asociemos y operemos:
A1  k . A  .  k A   A1.I
1
k A1. A.  k A   A1.I
1
k I .  k A   A 1
1
k  k A   A1
1
1
Dado que k es distinto de cero, es posible que multipliquemos ambos miembros por , lo que nos
k
resulta:
1 1
 k A
1
 A
k
Propiedad 8: La inversa de una matriz diagonal regular, es otra matriz diagonal cuyos elementos son
los correspondientes recíprocos, de los elementos de la diagonal principal, de la matriz dada.
202
 d11 0  0  1 d11 0  0 
0 d 22  0    0 1 d 22  0 
D  d ii  0  D 1  
           
   
0 0  d nn   0 0  1 d nn 
Por ejemplo:
 1 0 0 0   1 0 0 0 
0 3 0 0  0 13 0 0 
D  D 
1
0 0 1 0  0 0 1 0 
   
0 0 0 3 5 0 0 0 5 3
Si aplicamos la propiedad 8, podemos responder a la siguiente pregunta: ¿Cuál es la matriz inversa de

la matriz identidad?
Propiedad 9: Si a una matriz la podemos particionar de la siguiente manera:
A 12 
A   11  con A11 y A22 matrices regulares,

 21 A22 
entonces su inversa será:
 A111 12 
1
A  1 
 21 A22 
Por ejemplo:
 2 3 0 0 
 1 1 0 0    2 3
Dada A   , y conociendo que la matriz A11 =   tiene por
 0 0 3 0   1 1 
 
 0 0 0 1 2 
1  3 
inversa A1    , obtengamos la inversa de A.
11
1  2 
203
Observemos que A, puede pensarse particionada como:
A 12    2 3 3 0 
A   11  con A11    y A22   .
 21 A22   1 1  0 1 2 
Conocemos la inversa de A y dado que A es una matriz diagonal, nos será muy sencillo calcular
11 22
su inversa.
Basándonos en la propiedad y disponiendo adecuadamente las inversas de las submatrices anteriores,
podemos afirmar que:
 1 3 0 0
 1 2 0 0 
1 
A 
0 0 13 0
 
0 0 0 2 
Propiedad 10: Si a una matriz la podemos particionar de la siguiente manera:
 B12 
B   11  con B12 y B21 matrices regulares,
B
 21  22 
entonces su inversa será:
1 B211 
B   221 
 B12 11 
Por ejemplo:
 0 0 1 0 0
 0 0 0 35 0 
   2 3
Dada B   0 0 0 0 2  , y conociendo que la matriz B21 =   tiene por
   1 1 
 2 3 0 0 0
 1 1 0 0 0 
1  3 
inversa B 1    , obtengamos la inversa de B:.
11
1  2 
B puede pensarse particionada como:
204
 1 0 0
 B12     2 3
B   11  con B12  0 3 5 0  y B21   .
 B21  22 

  1 1 
 0 0 2 
Basándonos en la propiedad, disponiendo adecuadamente las inversas de las submatrices anteriores y
los bloques nulos, podemos afirmar que:
 0 0 0 1 3 
 0 0 0 1 2 

B 1   1 0 0 0 0
 
 0 53 0 0 0
 0 0 12 0 0 
La resolución de las siguientes actividades, nos permitirá aplicar las propiedades antes enunciadas.
Actividad 2:
Responda en cada caso, aplicando todas las propiedades posibles:
  2 3 1  3 
I) Conociendo que A =   y su matriz inversa es A-1 =   , encuentre la matriz
 1 1  1  2 
resultante en cada uno de los siguientes casos:
1 1  1

 
a)  A1 

b)  A 
1
c)  3A 
1
 
d) A1 .  A  

1
 1 3
II) Siendo B 1    y A la matriz del ítem I), obtenga:
1 1
 A   A 
a)  A.B 
1
b) C 1 siendo C    c) F 1 siendo F   
 B   B 
Actividad 3:
 5 0 0 

a) ¿Cuál es la inversa de la matriz D  0 2 5 0  ?

 0 0 7 2 
1 0 0 

b) Obtenga la matriz inversa de F  0 3 0

 
0 0 1
205
c) Calcule D 1  F 1 y  D  F  . Compare los resultados obtenidos y enuncie la conclusión a

1
la que arriba.
1.3. Métodos para obtener la matriz inversa
Hasta aquí, hemos analizado el concepto de matriz inversa y sus propiedades. Nuestro próximo
objetivo es presentar su forma de cálculo. Este punto requiere de solvencia y claridad en distintos
conceptos- introducidos en unidades anteriores-, tales como matriz adjunta y operaciones elementales.
A continuación, presentaremos en forma exhaustiva, dos métodos para la obtención de la matriz
inversa:
 Método de la Matriz Adjunta, el cual se apoya en el conocimiento de determinante de

matrices, siendo por ello, de aplicación restringida a matrices de bajo orden.
 Método de Gauss-Jordan (o Jordan), que surge a partir de la propiedad fundamental de las
operaciones elementales por filas, cuya implementación puede ser más laboriosa que el
anterior, pero factible de aplicar a matrices de orden superior.
1.3.1. Método de la Matriz Adjunta
Este método se deriva de utilizar para el cálculo de la inversa, el siguiente resultado:
Si una matriz cuadrada A es tal que su determinante es distinto de cero,

entonces su matriz inversa existe y la misma se puede obtener
1
como A1  Adj ( A) .
A
Justificación:
Si planteamos el producto de una matriz por su A, por su adjunta:
 a11 a12  a1n   A11 A21  An1  Al multiplicar, debemos

a a22  a2 n   A12 A22  An 2  ser muy prudentes con
A. Adj ( A)   21 . los subíndices
        
   
 an1 an 2  ann   A1n A2 n  Ann 
Obtenemos:
206
 a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n a11 A21  a12 A22  ...  a1n A2 n  a11 An1  a12 An 2  ...  a1n Ann 
 a A  a A  ...  a A a21 A21  a22 A22  ...  a2 n A2 n  a21 An1  a22 An 2  ...  a2 n Ann 
  21 11 22 12 2 n 1n
     
 
 an1 A11  an 2 A12  ...  ann A1n an1 A21  an 2 A22  ...  ann A2 n  an1 An1  an 2 An 2  ...  ann Ann 
Si revisamos en detalle cada uno de los elementos de la matriz producto, veremos que podemos
expresar esas sumas en forma abreviada, tal como lo demostramos a continuación:
 n n n

  a1 j A1 j a 1j A2 j  a Anj 
1j
 j 1 j 1 j 1

 n n n 
  a2 j A1 j a 2j A2 j   a2 j Anj 
A. Adj ( A)   j 1 j 1 j 1 
     
 
 n n n

  anj A1 j a nj A2 j   anj Anj 
 j 1 j 1 j 1 
Ahora, realicemos dos importantes observaciones:
1) Los elementos que están en la diagonal principal, consisten en sumas de elementos de cada
una de las filas por sus correspondientes adjuntos; por lo tanto, cada una de estas sumas de
productos, nos da exactamente el valor del determinante de A.
2) Los elementos que no están en la diagonal principal, consisten en sumas de elementos de
cada una de las filas por los correspondientes adjuntos de una fila paralela; por lo tanto, cada
una de estas sumas de productos, da exactamente el valor cero.
A partir de estas observaciones, podemos afirmar que:
A 0  0
 
 0 A  0
A. Adj ( A) 
    
 
 0 0  A 
La matriz obtenida en el segundo miembro de esta igualdad es una matriz escalar y podemos
expresarla como el producto de un escalar ( A ) por la matriz identidad:
1 0  0
0 1  0
A. Adj ( A)  A .  
   
 
0 0  1
Entonces, si A es distinto de cero, podemos multiplicar ambos miembros por 1/ A , en cuyo caso
obtenemos:
207
1 0  0
0 1  0
1
A. Adj ( A)   
A    
 
0 0  1
 1 
A.  Adj ( A)   I
 A 
 
Así, bajo la condición de que A  0 , encontramos una matriz tal que, post multiplicada por A, nos da
por resultado la matriz identidad, y podemos asegurar, basados en la Propiedad 2, que dicha matriz es
su inversa.
Hemos arribado a una expresión, que nos permite el cálculo de la matriz inversa:
1 A esta expresión, la
1
A  Adj ( A) denominamos Fórmula
A de la Inversa.
Es preciso que destaquemos que a esta conclusión la obtuvimos bajo la condición de que el
determinante de A, fuese distinto de cero.
Por lo tanto, podemos afirmar que:
Si A  0 , entonces existe la matriz inversa de A. (1)
Recíprocamente, si existe A1 , entonces por definición A. A1  I .

En consecuencia:
A. A1  I
Luego, aplicando propiedades de determinante, nos resulta la siguiente igualdad:
A . A 1  1
Dicha igualdad se cumple sí y sólo sí, tanto el determinante de la matriz y el de su inversa, son
distintos de cero.
Esto significa que:

Si existe la matriz inversa de A, entonces A  0 . (2)
A partir de (1) y (2), deducimos la condición necesaria y suficiente para que una matriz posea inversa, la
misma, la cual enunciamos a continuación:
208
La inversa de una matriz cuadrada A existe sí y sólo sí A  0 .
 1 3 1 

Por ejemplo: Consideremos la matriz A  2 4 1 .

 
 2 1 1
Analicemos, en primer lugar, si existe su matriz inversa. ¿Cómo?, calculando el A .
Observamos en la unidad anterior que A  11 , entonces, dado que su determinante es distinto de

cero, podemos concluir que existe A1 .
A continuación, desarrollemos la matriz de cofactores:
 4 1 2 1 2 4
  
 1 1 2 1 2 1
 3 1 1 1 1 3
Ac     
 1 1 2 1 2 1
 
 3 1 
1 1 1 3
 4 1 2 1 2 4 
 5 4 6 
Ac   4 1 7 
 1 3 10 
Si transponemos la matriz de cofactores, obtendremos la matriz Adjunta de A:
 5 4 1 
Adj ( A)  Ac   4 1 3 
 6 7 10 
Luego, si aplicamos la fórmula de la matriz inversa y operamos, resulta:
 5 4 1 
1 1
A1  Adj ( A)   4 1 3 
A 11
 6 7 10 
209
Por lo tanto, la inversa de la matriz A es:
 5 11 4 11 1 11 
A   4 11 1 11 3 11 
1
 6 11 7 11 10 11
Verifiquemos el resultado obtenido, realizando el correspondiente producto:
 1 3 1   5 11 4 11 1 11  1 0 0
A .A 1
  2 4 1    4 11 1 11 3 11   0 1 0
 2 1 1  6 11 7 11 10 11 0 0 1 
Observamos que, efectivamente, la matriz encontrada es la inversa de A.
Ahora, revisemos paso a paso otro ejemplo:

3 1 
¿Será posible que encontremos la inversa de la matriz B    ? ¿Lo intentamos?
4 2
En primer lugar, calculemos su determinante.
Como B  2 la matriz es regular, es decir, B admite inversa.
En segundo lugar, calculemos la matriz de los cofactores y transpongamos para obtener la matriz
adjunta de B:
 2 4   2 1
Bc     Adj ( B)   
 1 3   4 3 
En tercer lugar, apliquemos la fórmula de la matriz inversa:
1 1  2 1  1 1 2 
B 1  Adj ( B )     B 1   
B 2  4 3   2 3 2 
Finalmente, verifiquemos el resultado obtenido:
 3 1   1 1 2   1 0 
B  B 1     
 4 2   2 3 2   0 1 
Efectivamente, la matriz que obtuvimos, es la inversa de B.
Realicemos las siguientes actividades, que nos permitirán poner a prueba nuestro estudio y
comprensión, respecto al desarrollo práctico y teórico correspondiente al método de la matriz adjunta.
210
Actividad 4:
Consideremos las siguientes matrices:

3 2 1 
 1 1  2 3 
A =  B   2 1 2  C 
 1 1 1 0 4  5 6
 1 2 0   1 0 
 1 4 
D  E   3 2 1  F   1 1 
 2 8   2 4 1  1 1 
a) Determine si existen o no sus correspondientes matrices inversas, justificando adecuadamente su

elección.
b) En caso de que exista la matriz inversa, obtenga la misma a través del método de matriz adjunta.
Actividad 5:
Demuestre que el determinante de la matriz inversa de una matriz regular A, es igual al recíproco del
determinante de A.
1
En símbolos: A1 
A
1.3.2 Método de Gauss-Jordan
Como observamos al estudiar matrices elementales, para cada operación elemental por filas que se
realice sobre una matriz A, existe una matriz elemental E tal que, pre-multiplicada por A, reproduce
ese mismo efecto sobre A.
Esquemáticamente:
A I
Operación por La misma
. filas sobre A Operación sobre I  E. A  C
C E
Por lo tanto, si realizamos “k” operaciones elementales sobre A, para transformarla en la matriz
identidad, existirán k matrices elementales, E1, E2, …, Ek , tales que:
Ek . …. E2. E1. A = I
211
Si llamamos B a la matriz producto de dichas elementales, B cumple con la definición de matriz
inversa, como mostramos a continuación:
Ek . …. E2. E1. A = I
B
Así surge el método de Jordan, el cual se basa en utilizar reiteradamente, la propiedad fundamental de
las matrices elementales.
A este método, lo aplicamos mediante operaciones elementales por filas sobre un arreglo rectangular,
que resulta de agregar a la matriz A, la matriz identidad del mismo orden. De esta manera,
transformaremos la matriz dada en la matriz identidad. La matriz inversa de A, será la que obtengamos
en el lado derecho, luego de efectuar las mismas operaciones elementales a la matriz identidad.
Esquemáticamente:
A I
Operaciones Las mismas operaciones
por filas sobre sobre I, hasta obtener  B. A  I  B  A1
A, hasta llegar B= Ek . …. E2. E1
a la matriz I
I B
Veamos un ejemplo:
 2 4
Para obtener la matriz inversa de A =  , a través del método de Jordan, partimos de la
 1 2
matriz A, a la que le agregamos a la derecha, la matriz identidad:
A I
2 4 1 0
1 2 0 1
Como ya anticipamos, a través del uso de operaciones elementales por filas aplicadas a todo este
arreglo rectangular, pretendemos transformar la matriz A en la matriz identidad. Si bien existen
infinitas formas de realizar estas operaciones, todas ellas deberán arribar a la misma matriz inversa.
Detallemos en cada paso las operaciones realizadas:
A I
2 4 1 0
1 2 0 1
Para conseguir el elemento pivotal a11 = 1, sumamos la segunda fila a la primera fila:
1 6 1 1
1 2 0 1
212
Para anular el elemento a21  1 , sumamos la primera fila a la segunda fila:
1 6 1 1
0 8 1 2
Para obtener el nuevo elemento pivotal a22 = 1, multiplicamos la segunda fila por 1 8 :
1 6 1 1
0 1 18 14
Finalmente, para hacer cero el elemento a22 = 6, sumamos a la primera fila la segunda fila
multiplicada por (-6):
1 0 1 4 1 2
Hemos transformado la matriz A en la
0 1 18 1 4 identidad, por lo cual la matriz obtenida en el
segundo cuadro es la matriz inversa de A
I A-1
1 4 1 2 
Concluimos de esta manera que: A1   
 1 8 1 4
Como podemos observar, si una matriz posee inversa, es equivalente a la matriz identidad del
correspondiente orden ¿Qué ocurriría en el procedimiento anterior si la matriz A, fuese singular?
Analicemos otro ejemplo. En este caso aplicaremos el procedimiento anterior, para obtener la inversa
de una matriz de orden 3:
3 1 4

Calculemos la inversa de la matriz B  2 2 2

 
1 1 0 
Al igual que en el caso de una matriz de orden 2, partimos de la matriz A ampliándola con la matriz
identidad del mismo orden y realizamos operaciones elementales sobre ese arreglo rectangular, hasta
obtener la matriz identidad como equivalente a la matriz A:
213
B I
3 1 4 1 0 0
 
2 2 2 0 1 0
1 1 0 0 0 1 
Si deseamos transformar B en la matriz identidad, el primer paso será transformar en 1 el elemento

b11= 3.
Para ello, podemos intercambiar la primera fila con la tercera fila:
 1 1 0 0 0 1
 
2 2 2 0 1 0
 3 1 4 1 0 0
A continuación, por debajo de este pivote, deberá haber ceros.

Para transformar en cero los elementos que están por debajo del pivote, podemos multiplicar la
primera fila por (–2) y sumarla a la segunda fila. Y, de manera similar, multiplicar la primera fila por
(–3) y sumarla a la tercera fila:
 1 1 0 0 0 1
 
0 4 2 0 1 2 
0 4 4 1 0 3
Multiplicamos por 1 4  a la segunda fila, y obtenemos el elemento pivotal b22 = 1:
1 1 0 0 0
1 
 
0 1 1 2 0 1 4  2 4
0 4 4 1 0 3 
Transformamos en cero los elementos que están por debajo del pivote. Multiplicamos la segunda fila
por (–1) y la sumamos a la primera fila. De manera similar, multiplicamos la segunda fila por (–4) y la
sumamos a la tercera fila:
1 0 1 2 0 14 24
 
0 1 1 2 0 1 4  2 4
0 0 2 1 1 1 
Transformamos en 1 el elemento b33= 2, multiplicando la tercera fila por 1 2  :
1 0 1 2 0 14
24
 
0 1 1 2 0 1 4  2 4
0 0 1 1 2  1 2  1 2 
214
Finalmente, transformamos en cero los elementos que están por encima del pivote. Multiplicamos la
tercera fila por (–1/2) y la sumamos a la primera fila. De manera similar, multiplicamos la tercera fila
por (–1/2) y la sumamos a la segunda fila:
1 0 0 1 4 24
34
 
0 1 0  1 4 2 4 1 4 
0 0 1 1 2  1 2  1 2 
I B-1
 1 4 2 4 3 4 
 1
Concluimos que, B   1 4 2 4 1 4

 
 1 2 1 2  1 2 
Uso de la columna control
El método de Gauss-Jordan involucra numerosos cálculos, por tal motivo, un error en el procedimiento
nos será difícil de rastrear. No obstante, es factible que revisemos la precisión del cómputo, paso a
paso, a través de la incorporación de una columna adicional.
Para verificar la exactitud de los cálculos en el proceso de Gauss-Jordan,

podemos agregar una columna denominada columna contro,l que surge de
la suma de los elementos de cada fila.
Si aplicamos operaciones elementales por filas en todo el arreglo rectangular, incluyendo la columna
control, en cada paso podremos revisar si se ha cometido algún error de cálculo en la implementación
de la correspondiente operación elemental. Simplemente, lo haremos sumando los elementos de la fila
y comparando con el valor obtenido en la columna control.
Esquemáticamente:
A I C En cada paso, la suma de los

. Operaciones Las mismas elementos de la fila de A/I debe
por filas sobre
operaciones sobre ser igual al elemento
A hasta llegar correspondiente en la columna
I y sobre C.
a la matriz I control.
Si en algún paso, la suma de los elementos de A/I no coincide con el valor encontrado en la columna
control, ¡deberemos revisar nuestros cálculos!
215
Ahora, para practicar esta técnica desarrollemos las siguientes actividades:
Actividad 6:
3 2 1 
 1 1  
Siendo A = 
 1 1 y B   2 1 2 
  1 0 4 
Obtenga las correspondientes matrices inversas de A y B, utilizando el método de Gauss-Jordan.
Compare con los resultados obtenidos en la actividad 4.
Actividad 7:
2 0 0 0
 1 1 1 1 
Calcule la matriz inversa de C   , utilizando el método de Gauss-Jordan
0 1 0 0
 
0 1 2 1
2. RANGO DE UNA MATRIZ
El álgebra lineal, incluye conceptos que pueden ser introducidos desde distintas perspectivas
teóricas, siendo todas ellas concurrentes. Uno de los conceptos que la integra, es el de rango de una
matriz, cuya definición original está basada en la teoría de Sub- espacios Vectoriales (teoría que no
desarrollaremos en este programa). No obstante, dada la importancia tanto teórica como aplicada del
tema, rescatamos una definición simple de comprender y expresada en base a los conocimientos
efectivamente adquiridos por usted:
El rango de una matriz A, es el número máximo de líneas paralelas

linealmente independientes que posee la matriz. Se simboliza r(A).
Como vemos, la definición de rango hace referencia a líneas paralelas linealmente independientes. Por
lo tanto, podemos considerar el rango fila (cuando contamos el número máximo de filas linealmente
independientes) o el rango columna (cuando contamos el número máximo de columnas linealmente
independientes).
Demostramos de esta manera que, dada una matriz cualquiera A, el rango fila de A es igual al rango
columna de A, motivo por el cual no hay ambigüedad en la definición y simplemente podemos aludir
al rango de la matriz.
Como consecuencia de su definición, debemos tener claro que, el rango será un número entero no
negativo.
216
Por ejemplo:
1 0 0 0

Sea A = 0 1 0 0 

0 0 0 0 
Para determinar el rango, debemos ver cuántas líneas paralelas linealmente independientes admite la
matriz:
Observando las filas de A podemos establecer que, la primera y la segunda fila constituyen un
conjunto de vectores linealmente independiente (por ser dos de vectores de la base canónica de V4(R)),
mientras que la tercera fila es nula, por lo tanto el rango fila es 2.
Alternativamente, podríamos haber analizado también las columnas.
Como podemos apreciar, la primera columna y la segunda son linealmente independientes, pero la
tercera y la cuarta son nulas, así el rango columna es 2.
Cualquiera de las dos alternativas de análisis es válida y nos permite concluir que el rango de A es 2.
Esta forma de obtener el rango puede resultarnos complicada, por ello, luego de introducir las
propiedades y afianzar el concepto de rango, estudiaremos una manera sencilla de calcularlo.
2.1. Propiedades del rango
En este apartado estudiaremos las propiedades más importantes del rango de una matriz.
Propiedad 1: El rango de una matriz es menor o igual que el mínimo entre el número de filas y el
número de columnas, que la misma posee.
En símbolos: r( Amxn )  min m, n
Justificación:
Dado que al rango lo definimos como “el número máximo de líneas paralelas, linealmente
independientes, que posee la matriz”, esta cantidad no podrá ser mayor que el número de líneas
paralelas que la misma posea, es decir: r( Amxn )  m y r( Amxn )  n . Lo que nos lleva a deducir que
éste deberá ser menor o igual que ambos.
Ejemplos:
a) Sea A de orden 6x3 ¿Qué valores puede asumir su rango? Respuesta: r(A)  3
b) Sea B de orden 2x 8 ¿Qué valores puede asumir su rango? Respuesta: r(B)  2
217
Propiedad 2: El rango de una constante distinta de cero por una matriz, es igual al rango de la matriz.
En símbolos: r (kA)  r ( A) k 0
Justificación:
Al multiplicar una matriz por una constante distinta de cero, el número de líneas paralelas linealmente
independientes que posee la matriz, no se modifica, por lo tanto, el rango se mantiene.
Por ejemplo:
Sea A una matriz tal que, r(A) = 4 ¿Cuál será r(5 A)? Respuesta: r(5 A) = r(A) = 4
Propiedad 3: El rango de una matriz A, es igual al de su transpuesta.
En símbolos:
r  A   r  A 
Justificación:
Al transponer una matriz, el número máximo de líneas paralelas linealmente independientes que posee
la matriz no se modifica, por lo tanto, el rango se mantiene.
Por ejemplo:
1 1 
0 1 
Sea A    ¿Cuál es el rango de su transpuesta?
0 0 
 
0 0 
Respuesta: r(A) = 2. Podemos comprobar que las dos primeras filas de A constituyen un conjunto
linealmente independiente, por lo tanto el r(A’)= 2
Propiedad 4: El rango de una matriz regular es igual a su orden.
En símbolos: Anxn / A  0  r ( A)  n
Justificación:
Una matriz regular de orden n, es equivalente a la matriz identidad del mismo orden, la cual está
formada por vectores fila (o vectores columna) que constituyen un conjunto de n vectores linealmente
independientes, por lo tanto, el rango será igual a n.
218
Por ejemplo:
Sea A una matriz de orden 5 tal que, A  = 4 ¿Cuál es el valor de r(A)?

Respuesta: Como A es regular, su rango es igual al orden de la matriz r(A) = 5
Observe:
 Como la matriz identidad es regular, el rango de la matriz identidad de orden "n" es "n".
 Como en una matriz regular el rango es igual a su orden, se dice que una matriz regular es de
rango máximo.
Propiedad 5:
El rango de la matriz nula es cero.
En símbolos: r ()  0
Justificación:
La matriz nula está formada por vectores nulos, los cuales son un conjunto linealmente dependiente.
Propiedad 6:
El rango del producto entre dos matrices, es menor o igual al menor de los rangos de las matrices
factores.
En símbolos: r( A.B )  min r ( A), r ( B )
Justificación:
La demostración de esta propiedad no es exigible en este programa, sin embargo plantearemos lo que
fundamenta la misma.
Si pensáramos el producto en forma particionada, deduciríamos los siguientes resultados:
(1) Las columnas de A.B podemos pensarlas como combinaciones lineales de las columnas de A, por
lo tanto, el r(A.B) es menor o igual que el rango de A.
(2) Las filas de A.B podemos pensarlas como combinaciones lineales de las filas de B, por lo tanto, el
r(A.B) es menor o igual que el rango de B.
A partir de (1) y (2) y usando la propiedad 1 verificamos la propiedad.
Por ejemplo:
Sean A y B matrices tales que, r(A) = 4 y r(B) = 3 ¿Qué valores puede asumir el r(A.B)?
Respuesta: r ( A.B )  min 4,3  r ( A.B)  3
219
Propiedad 7: El rango del producto de dos matrices, una de las cuales es regular, es igual al rango de
la otra matriz.
En símbolos
A  0  r ( A.B)  r ( B )  B  0  r ( A.B)  r ( A)
Demostración:
En este caso, suponer que la matriz regular es A o suponer que la matriz regular es B, nos requerirá
demostraciones casi idénticas. Por ello, consideremos A una matriz regular de orden mxm y B de orden
mx q.
Como A es regular, es de rango máximo y r(A) = m.
Aplicando la propiedad 6, se cumple que:
r( A.B)  min r ( A), r ( B )  r( A.B )  min m, r ( B)
Por lo tanto, el rango del producto es menor o igual, que ambos rangos. En tal sentido rescatemos que:
r( A.B )  r ( B) (1)
Por otro lado, podemos expresar a B de la siguiente manera:
B  A1. A.B
Como las matrices son iguales, los rangos de las mismas también serán iguales:
r  B   r  A1. A.B 
Por propiedad:
r  B   r  A1. A.B   r  A1.  A.B    min r ( A1 ); r ( AB)  min  m, r ( AB ) 
Por lo tanto, el rango de B es menor o igual que ambos rangos:
r ( B )  r ( AB) (2)
Entonces, dado que se cumple (1) y (2) , podemos concluir que:
r ( B )  r ( AB)  r ( B)
Finalmente, nos resulta:
r ( A.B )  r ( B )
Revisemos la aplicación de algunas de estas propiedades, a través de la siguiente actividad:
220
Actividad 8:
Complete el siguiente cuadro:
r ( A)  3  r ( A)  ........... r ( A)  .......... r (4 A)  ..........
A4 x 4 / A regular, r ( B )  2  r ( A)  ........... r ( A1 )  .......... r ( A.B)  ..........
A5 x 3  B3 x 2  r ( A)  ........... r ( B )  .......... r ( AB)  ..........
r (C )  2 , r ( D)  3, H regular  r (C.D)  r ( D.H )  r (C.D.H )
2.3 Forma canónica de una matriz
Toda matriz A de orden mxn de rango igual a r, es equivalente a una matriz

del mismo orden, donde a11  1, a22  1, , arr  1 y los restantes elementos
son iguales a cero. A dicha matriz la denominamos forma canónica de A o
matriz canónica de A y la denotamos A * .
En general, podemos pensar la forma canónica de una matriz A de rango r, como una matriz
particionada:
 Ir xr  r x ( n r ) 
A *mxn   ,
  ( mr ) x r  ( mr ) x ( nr ) 
donde Ir x r ,es la matriz identidad de orden r y el resto de las submatrices son nulas.
En particular, de acuerdo al orden y al rango de la matriz A, la forma canónica puede adoptar alguna
de las siguientes estructuras:
 Ir  Ir 
Ir ; [Ir; ] ;   ; 
    
221
Debemos tener en cuenta que, haciendo operaciones elementales sobre A, mediante los procesos
descriptos para escalonar por filas y por columnas, siempre llegamos a una de las matrices anteriores.
Observemos que:
1) El concepto de matriz canónica implica que, para cada matriz A existen matrices Ef y Ec , que
resultan del producto de matrices elementales por filas y por columnas, respectivamente, tales que:
E f A Ec  A * .
2) Las matrices Ef y Ec definidas anteriormente, son regulares, pues ellas resultan del producto de
matrices elementales, las cuales son inversibles.
Por ejemplo:
1 0  1 0 0 0 
1) Si A2 x 2 y r(A) = 2  A*    ; Si A2 x 4 y r(A) = 2  A*   
 0 1  0 1 0 0 
1 0 1 0 0 0 0
0 1  0 1 0 0 0 
2) Si A4 x 2 y r(A) = 2  A*   ; Si A4 x 5 y r(A) = 2  A*  
0 0 0 0 0 0 0
   
0 0 0 0 0 0 0
1 4 
 
3) Sea A  2 8 Por más que no conozcamos el rango de la matriz, podemos realizar operaciones
 
1 5 
elementales para encontrar su forma canónica, escalonando primero por filas y luego por columnas:
 1 4   1 4  1 4  1 0 
A   2 8   0 0   0 1   0 1 
1 5  0 1  0 0  0 0 
1 0 

Con ello, deducimos que la forma canónica de A es 0 1

 
0 0 
 2 4 6 10 
 1 0 4 2 
4) Dada B   , veamos cómo obtener su matriz canónica.
 2 4 6 10 
 
1 4 10 12 
222
 2 4 6 10   1 4 10 12  1 4 10 12 
 1 0 4  
2   1 0 4 2  0 4 14 14 
B   
 2 4 6 10   2 4 6 10  0 4 14 14 
     
1 4 10 12   2 4 6 10  0 4 14 14 
1 4 10 12  1 4 10
12  1 0 0 0  1 0 0 0
0 4 14 14   0 1 7 2 7 2  0 1 7 2 7 2   0 1 0 0 
   
0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0
       
0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 
La forma canónica de B es 
0 0 0 0
 
0 0 0 0
2.4 Condición necesaria y suficiente de equivalencia de matrices
Dos matrices, del mismo orden, son equivalentes sí y sólo sí, tienen el
mismo rango.
Demostración:

Si A es equivalente a B, por definición de matrices equivalentes, existen matrices regulares M y N ,
tales que:
B = M.A.N
Consideremos ahora el rango de estas matrices y apliquemos en dos oportunidades la propiedad 7 de

rango, así obtenemos:
r(B)= r(M.A.N) = r(M. A)= r(A)
Concluimos que si dos matrices son equivalentes, entonces tienen el mismo rango.
 
Sabemos que cada matriz es equivalente a su matriz canónica, es decir A  A* y B  B *
Entonces observamos que existen matrices regulares, digamos M, N, P y Q, tales que:
M . A.N  A * y P.B.Q  B *
223
Pero si A y B son del mismo orden y tienen el mismo rango, entonces tienen la misma forma canónica:
A*  B *
Por lo tanto:
M . A.N  P.B.Q
Como P y Q son regulares, existen sus respectivas inversas. Pre-multipliquemos ambos miembros por
P 1 y post-multipliquemos por Q 1 :
P 1.M . A.N .Q 1  B
En base a esta última igualdad, podemos afirmar que A es equivalente a B.
Por lo tanto, demostramos que si dos matrices del mismo orden tienen el mismo rango, son
equivalentes.
2.5 Cálculo del rango de una matriz
En función de los resultados anteriores, partimos de la matriz a la cual queremos calcularle el rango. A
través de operaciones elementales, encontramos una matriz equivalente en donde el cálculo del rango
sea simple. Esto será posible, cuando la matriz esté en su forma canónica. No obstante, para obtener el
rango de la matriz, bastará con:
 Encontrar una matriz equivalente escalonada por filas y contar sus filas no nulas.
o, alternativamente,
 Encontrar una matriz equivalente escalonada por columnas y contar sus columnas no nulas.
Veamos un ejemplo:
1  2  8 3 

Dada A = 2 1 4 0 

3  1  4 0 
Realicemos operaciones elementales por filas, hasta escalonar por filas la matriz, así obtendremos la
matriz B:
1  2  8 3 1  2  8 3  1  2  8 3  1  2  8 3 
 2 1 4 0   0 5 20  6   0 1 5 6 5  0 1 4 6 5  =B
       
3  1  4 3  0 5 20  6  0 5 20  6  0 0 0 0 
El número de filas no nulas de la matriz escalonada por filas “B”, es 2 y como B es equivalente a A,
concluimos que el r(A) = r(B)= 2.
224
Alternativamente, podríamos haber realizado el escalonamiento por columnas. En relación a ello,
realice la siguiente actividad para afianzar dicha metodología:
Actividad 9:
1  2  8 3 

Sea A = 2 1 4 0  , la matriz del ejemplo anterior, verifique que el rango sea 2 escalonando

3  1  4 3 
por columnas.
Observe:
El siguiente esquema, nos permite interrelacionar algunos de los temas vistos hasta aquí, referidos a
una matriz cuadrada A. En el mismo, la doble implicación significa que cada una de las condiciones
se da, sí y sólo sí se presentan las demás involucradas; de manera tal que si una de ellas no se cumple,
tampoco se cumplirán las condiciones restantes.
|A|  0 Las líneas paralelas de A

constituyen un conjunto de
vectores L. independientes
La matriz canónica
-1 de A es la identidad
r(A) = orden de A
Existe A
A continuación, le proponemos que realice los siguientes ejercicios que le permitirán evaluar su
225
EJERCICIOS
1) En los siguientes ítems seleccione la opción correcta. Justifique su elección.
1 5
I) La inversa de la matriz F    es:
2 8
4 5 2  4 5 2   4 5 2   4 5 2 
a) F 1    b) F 1    c) F 1    d) F 1  
 1 1 2   1 1 2   1 1 2  1 1 2 
II) Si A es la matriz inversa de B y B es la matriz inversa de C, entonces:
a) A = C b) A = B c) A.C = B.C d) A = C -1 e) B.C.A = B
III) Siendo A y B regulares, e I la matriz identidad, indique cual de las siguientes igualdades es
siempre verdadera:
a) A + A-1 = I
b) (A +A). A-1 = (A + I)
c) B-1 . A. B = A
d) (A – B) .B-1 = A . B-1 – I
e) (B + B) .B-1 = I
 2 1
IV) Siendo G    . Podemos afirmar que G 1 es:
 1 4 
a) 1/9 b) 1/7 c) 9 d) 1/7 e) 9
 1 0 2   0 1 3

2) Dadas las matrices A  1 1 1
   1 1
  ; B   1 1 2  , obtenga A y B aplicando el
 1 0 1  1 1 2 
método de la matriz adjunta y el método de Gauss-Jordan.
 1 0 2   0 1 3

  
  ; B   1 1 2  , calcule aplicando propiedades.
 1 0 1  1 1 2 
1
1 
1
  1   1 
  e)   B   
1
c)  A   A.B 
1 1 1
a) A b)  B  d)
2     
226
.
 1 0 2   0 0 2
   
 ; C   1 3 1  , calcule  A  C  .
1

 1 0 1  1 0 2 
1 0 0 0
0 2 0 0 
5) Obtenga la matriz inversa de B   , por el método de la matriz adjunta y por el
0 0 3 0
 
2 1 1 1
método de Gauss Jordan. Verifique el resultado obtenido.
6) Aplique propiedades para obtener la matriz correspondiente inversa, de cada una de las siguientes
matrices:
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 2 0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 
 
0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0
C  D 
2 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0 0
   
0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 0 0
7) En los siguientes ítems seleccione la opción correcta. Justifique su elección.
I) El rango de una matriz se puede obtener como:
a) el número de filas no nulas de la matriz.

b) el número de filas nulas de la matriz.
c) el número de filas no nulas de la matriz escalonada.
d) el número de filas nulas de la matriz escalonada.
e) el número de filas linealmente dependientes de la matriz.
II) El rango de una matriz es:
a) el número de líneas paralelas no nulas de la matriz.

b) el número de líneas paralelas nulas de la matriz.
c) el número máximo de líneas paralelas linealmente dependientes de la matriz.
d) el número de líneas paralelas nulas de la matriz escalonada.
e) el número máximo de líneas paralelas linealmente independientes de la matriz.
III) Si dos matrices cuadradas tienen el mismo rango podemos asegurar que:
a) tienen el mismo determinante.

b) tienen la misma matriz inversa.
c) tienen la misma cantidad de filas, linealmente independientes.
d) tienen la misma cantidad de líneas paralelas, linealmente dependientes..
e) tienen la misma cantidad de filas no nulas.
227
IV) Siendo A una matriz de orden n, sólo una de las siguientes afirmaciones no es equivalente a las
otras, indique cuál es:
a) A tiene determinante distinto de cero.

b) A tiene rango menor que n.
c) A tiene inversa.
d) A es regular.
e) La forma canónica de A es la matriz identidad.
8) Calcule el rango de cada una de las siguientes matrices:
1 0 3  1 0 1 1 0 1   1 2 2 2 0 
A  0 1 2  ; B  0 0 1 ; C  0 0 1  ; D  0 0 1 2 0 
 
0 0 0  0 0 1 0 1 0  0 0 0 0 1 
1 2 3 4
 1 1 1  1 2 2 2 0  1 1 1
0 3 2 
E ; F  1 1  ; G  0 0 1 2 0  ; H  1 0 1
   
1 0 0 0
   2 2  1 2 3 0 1  0 0 1
 2 0 1 0
9) Sean A y B las siguientes matrices:
 2 4 6 10  1 0 0 0 
 1 0 4 2  2 3 0 0 
A  B
 2 4 6 10  0 3 2 0 
   
1 4 10 13   1 2 4 1/ 3
Obtenga:
a) r(A) ; b) r(A’) ; c) r(120 A) d) r(B) e) r(B-1) f) r(A.B) g) r (B-I )
10) Sea:
2 2  1 0 2 0  1 0 0 0
0 3  1 2 1 2  0 2 0 0 
A  B
2  1 0  2 12  0 0 3 0
   
0 6  2 4 2 4  2 1 1 1
obtenga aplicando todas las propiedades posibles: r (-2.A’.B)
11) Obtenga la forma canónica de la siguiente matriz:
228
3 1 1 0 1 1
1 3 1 2 0 2 
G
4 4 2 2 1 3
 
2 6 2 4 0 4
12) Si A es una matriz de mxn , B otra matriz , ¿Cuáles de las siguientes expresiones simbólicas son
verdaderas y cuáles son falsas?
a) r ( A.B)  mín r ( A); r ( B)

b) A  B  r ( A)  r ( B )
c) r ( Amxn )  mín  m ; n 
 )m
d) r ( Amxn . Anxm
e)  )  r ( A).r ( A)
r ( Amxn . Anxm
f) Si In es la matriz identidad de orden n, entonces r(In ) = n.
g) Dos matrices de distinto orden no pueden ser equivalentes.
h) Matrices equivalentes tienen la misma matriz canónica.
229
Actividad 1:
a)
1 3 3   7 3 3 1 0 0
C .C  1 4 3  .  1 1
1
0   0 1 0
1 3 4   1 0 1  0 0 1 
 7 3 3 1 3 3  1 0 0
C.C   1 1 0  . 1 4
1
3   0 1 0
 1 0 1  1 3 4  0 0 1 
Vemos que, si pre o post multiplicamos C por C-1 , obtenemos la matriz Identidad, por lo tanto, C 1 es
la matriz inversa de C.
b) B-1 es la inversa de B si se cumple que:
 1 k   1 2 3 2  1 0  1 2  1 2  k  1  k  3

B 1.B   .
  
    
 1 1    1 2 1 2   0 1   3 2  1 2  k  0
k = -3, pues este valor lo obtenemos despejando de la primera ecuación y observando que también
cumple con la segunda ecuación.
Actividad 2:
  2 3 1  3 
I) Conociendo que A =   y su matriz inversa es A-1 =   , encuentre la matriz
 1 1  1  2 
resultante, en cada uno de los siguientes casos:
  A1  1  3 
1 1
 
a)  A1 1  2 
  
  1 1 
b)  A    A1   
1

 3  2 
1 1 1  3  1 3  1 
c)  3 A   A1  
1

3 3 1  2  1 3  2 3
 1 1 1 0
d)  A1  .  A     A  . A  I  
1
  
0 1 
 1 3
II) Siendo B 1    y A la matriz del ítem I), obtenga:
1 1
230
 1 3 1  3   4 9 
 A.B 
1
a)  B 1. A1   .  
 1 1  1  2   2  5
 1 3 0 0 
 
 A  A 1
  1 2 0 0 
b) C     C 1   
 B   B  1   0 0  1  3
 
0 0 1 1 
0 0 1 3
 1 1 
 A   B  0 0
1
c) F     F 1   1 
 B  A   1 3 0 0 
 
 1 2 0 0 
Actividad 3:
 5 0 0   1 5 0 0 

a) D  0 2 5
 1 
0  D  0 52 0  , por propiedad de la inversa de una

 0 0 7 2   0 0 2 7 
matriz diagonal.
1 0 0 
b) F 1
 0 1 3 0 
0 0 1
 1 5 0 0  1 0 0   4 5 0 0 
1
c) D  F 1 
 0 52    
0   0 1 3 0    0 17 6 0 
 0 0 2 7  0 0 1  0 0  9 7 
 4 0 0  1 4 0 0 

D  F   0 17 5  
0   D  F    0
1
5 17 0 
 0 0  9 2   0 0  2 9 
Conclusión: La inversa de la matriz suma, no es igual a la suma de las correspondientes inversas.
Actividad 4:
 1 1
A =   A  2 entonces A admite inversa.
 1 1
Obtenga la matriz de los cofactores y transponga, para obtener la matriz adjunta de A.
 1 1 1 1
Ac     Adj ( A)   
 1 1 1 1 
231
Apliquemos la fórmula de la matriz inversa:
1 1 1 1 1 2 1 2 
A1  Adj ( A)    A1  
A 2 1 1  1 2 1 2 

3 2 1 
B   2 1 2   B  23 , entonces, dado que su determinante es distinto de cero, podemos
1 0 4 
concluir que existe B 1 .
Luego, obtenga la matriz de cofactores
 1 2 2 2 2 1 
  
 0 4 1 4 1 0 
 2 1 3 1 3 2 
Bc     
 0 4 1 4 1 0 
 
 2 1

3 1 3 2 
 1 2 2 2 2 1 
 4 6 1 
Bc   8 11 2 
 5 4 7 
 4 8 5 
Adj ( B)  Bc   6 11 4 
 1 2 7 
 4 8 5 
1 1 
B  1
Adj ( B)   6 11 4 
B 23
 1 2 7 
Por lo tanto, la inversa de la matriz B es:
 4 23 8 23 5 23
B 1
  6 23 11 23 4 23 

 1 23 2 23 7 23 
 2 3 
C   C  3 entonces C admite inversa.
5 6
232
Obtenga la matriz de los cofactores y transponga, para obtener la matriz adjunta de A.
 6 5  6 3 
Cc     Adj (C )  
 3 2   5  2 
Apliquemos la fórmula de la matriz inversa:
1 1 6 3   2 1 
C 1  Adj (C )     C 1  
C 3  5 2   5 3  2 3
 1 4 
D   D  0 , entonces D no admite inversa.
 2 8 
 1 2 0 
E   3 2 1   E  -16, entonces, dado que su determinante es distinto de cero, podemos
 2 4 1
concluir que existe E 1 .
A continuación, obtenga la matriz de cofactores:
 2 1 3 1 3 2 
  
 4 1 2 1 2 4 
 2 0 1 0 1 2 
Ec     
 4 1 2 1 2 4 
 
 2 0 
1 0 1 2 
 2 1 3 1 3 2 
 6 5 8 
Ec   2 1 8
 2 1 8 
 6 2 2 
Adj ( E )  Ec   5 1 1
 8 8 8 
 6 2 2 
1 1 
E  1
Adj ( E )  5 1 1
E 16 
 8 8 8 
233
Por lo tanto, la inversa de la matriz E es:
 38 18 18 
E 1
  5 16 1 16 1 16 

 1 2 1 2 1 2 
 1 0 
F   1 1  , F no es cuadrada, por lo tanto no admite inversa.
 1 1 
Actividad 5:
El determinante de la matriz inversa de una matriz A, es igual al recíproco del determinante de A.

Demostración:
Por definición de inversa:
A. A1  I  A. A1  I  A . A1  1
Como ya observamos, si existe la matriz inversa, entonces A  0 , por lo tanto, despejando se cumple
1
que A1  , que es lo queríamos demostrar.
A
Actividad 6:
 1 1
Siendo A =  , veamos cómo obtener su matriz inversa, por el método de Gauss-Jordan.
 1 1
Partimos de la matriz A, a la cual le agregamos a la derecha la matriz identidad. Y si deseamos la

columna control que surge de la suma de los elementos de la correspondiente fila:
A I C
1 1 1 0 3
1 1 0 1 1
Columna control
Sumemos la primera fila a la segunda, para así obtener la primera columna de la identidad:
1 1 1 0 3
0 2 1 1 4
Multipliquemos la segunda fila por ½:
1 1 1 0 3
0 1 1/ 2 1/ 2 2
Multipliquemos la segunda fila por (-1) y le sumemos la primera fila:
234
1 0 1/ 2  1/ 2 1
0 1 1/ 2 1/ 2 2
I A-1
1/ 2 1/ 2 
Entonces: A1   
1/ 2 1/ 2 
3 2 1 
 
Siendo B  2 1 2 , para obtener su inversa, el primer paso que deberemos realizar es ampliar
 
1 0 4 
la matriz agregándole la matriz identidad y para verificar paso a los cálculos. También podemos
introducir la columna control, sobre la cual efectuamos las mismas operaciones por filas. A
continuación, controlamos que la suma de los elementos de dicha fila coincida con el correspondiente
valor obtenido en la columna control:
3 2 1 1 0 0 7
 
B / I   2 1 2 0 1 0 4
1 0 4 0 0 1  6
Columna control
Para lograr que el primer elemento de la primera fila sea un 1, podemos intercambiar las filas 1 y 3.
1 0 4 0 0 1 6
 
  2 1 2 0 1 0 4
 3 2 1 1 0 0  7
El paso siguiente, será transformar en cero los elementos que están debajo del elemento pivote. Para
ello, podemos multiplicar la fila 1 (fila pivote) por (-2) y sumarla a la segunda fila (con ello,
transformamos en cero el “2”). De la misma manera, podemos multiplicar por (-3) a la fila 1 y sumarla
a la fila 3 ( así logramos que el 3 se transforme en cero).
1 0 4 0 0 1 6
 
  0 1 6 0 1 2 8
 0 2 11 1 0 3 11
Para obtener el a22=1 (pivote de la segunda fila), multipliquemos la segunda fila por (-1):
1 0 4 0 01 6
 
 0 1 6 0 1 2  8
 0 2 11 1 0 3 11
Para transformar el b32=2 en cero, multipliquemos la segunda fila por (-2) y la sumemos a la tercera
fila:
235
1 0 4 0 0
1 6
 
 0 1 6 0 1 2  8
 0 0 23 1 2 7  27
Ahora, multipliquemos la tercera fila por (-1/23):
1 0 4 0 0
1  6
 
 0 1 6 0 1 2  8
0 0 1 1 23 2 23 7 23 27 23
Finalmente, deberemos transformar en ceros el 4 y el 6 de la tercera columna. Para transformar el 4,

multiplicamos por (-4) la tercera fila y la sumamos a la primera. Y para hacer lo mismo con el 6,
multiplicamos por (-6) a la tercera fila y la sumamos a la segunda:
1 0 0 4 23 8 23
5 23 30 23
 
 0 1 0 6 23 11 23 4 23  22 23
 0 0 1 1 23 2 23 7 23  27 23
 4 23 8 23 5 23
Entonces, B 1
  6 23 11 23 4 23 

 1 23 2 23 7 23 
Actividad 7:
2 0 0 0
 1 1 1 1 
Calcule la matriz inversa de C   , utilizando el método de Gauss-Jordan
0 1 0 0
 
0 1 2 1
2 0 0 01 0 0 0  1 0 0 01 2 0 0 0  1 0 0 0 12 0 0 0
     
1 1 1 10 1 0 0   1 1 1 1 0 1 0 0  0 1 1 1 12 1 0 0
C/I   
0 1 0 00 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 0
     
 0 1 2 10 0 0 1   0 1 2 1 0 0 0 1  0 1 2 1 0 0 0 1 
1 0 0 0 12 0 0 0  1 0 0 0 12 0 0 0  1 0 0 0 12 0 0 0
     
0 1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 0
  
0 1 1 1 12 1 0 0  0 0 1 1 12 1 1 0  0 0 1 1 1 2 1 1 0
     
 0 1 2 1 0 0 0 1  0 0 2 1 0 0 1 1  0 0 0 1 1 2 1 1 
236
1 0 0 0 12 0 0 0  1 0 0 0 12 0 0 0
   
0 1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 0
 
0 0 1 1 12 1 1 0  0 0 1 0  1 2 1 0 1 
   
 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1
 12 0 0 0
 0 0 1 0 
 C 1  
 1 2 1 0 1 
 
 1 2 1 1
Actividad 8:
r ( A)  3  r ( A)  3 r (  A)  3 r (4 A)  3
A4 x 4 / A regular, r ( B )  2  r ( A)  4 r ( A1 )  4 r ( A.B)  2
A5 x 3  B3 x 2  r ( A)  3 r ( B )  2 r ( AB)  2
r (C )  2 , r ( D)  3, H regular  r (C.D)  2 r ( D.H )  3 r (C.D.H )  2
Actividad 9:
1  2  8 3  1 0 0 0  1 0 0 0

A= 2 1 4 0    2 5 20  6    2 1
  0 0  , observamos que, escalonando por

3  1  4 3  3 5 20  6  3 1 0 0 
columnas el rango de A es 2
237
1)
 4 5 2 
I) Opción b) F 1   
 1 1 2 
II) Opción a) Si A es la matriz inversa de B, y B es la matriz inversa de C, entonces, A = C
III) Opción d) (A – B) .B-1 = A . B-1 – I
 2 1
IV) Opción a) Siendo G    .Podemos afirmar que, G 1 es 1/9
 1 4 
1 0 2  0 1 2 1 2 

1
2) A  0 1 1  ; B   2 3 2 3 2 
 1

1 0 1   1 1 2 1 2 
Forma de cálculo de B-1
 0 1 3
 
Siendo B  1 1 2 , para obtener su inversa, el primer paso que deberemos realizar es ampliar la
 
 1 1 2 
matriz agregándole la matriz identidad y para verificar paso a paso los cálculos, también podemos
introducir la columna control, sobre la cual efectuamos las mismas operaciones por filas. A
continuación, controlamos que la suma de los elementos de dicha fila coincida con el correspondiente
valor obtenido en la columna control:
0 1 3 1 0 0 5
 
B / I   1 1 2 0 1 0 3
 1 1 2 0 0 1  5
Columna control
Para lograr que el primer elemento de la primera fila sea un 1, podemos intercambiar las filas 1 y 3.
1 1 2 0 0 1 5
 
  1 1 2 0 1 0 3
 0 1 3 1 0 0 5
El paso siguiente, será transformar en cero los elementos que están debajo del elemento pivote.
Sumamos la fila 1 (fila pivote) a la segunda fila (con ello, transformamos en cero el “-1”).
238
1 1 2 0 0 1 5
 
 0 2 4 0 1 1 8
0 1 3 1 0 0  5
Para obtener el a22=1 (pivote de la segunda fila), intercambiemos filas:
1 1 2 0 0 1 5
 
 0 1 3 1 0 0 5
0 2 4 0 1 1  8
Para hacer ceros los elementos que están por encima y por debajo del pivote, multipliquemos la
segunda fila por (-1) y la sumemos a la primera fila ; y luego multipliquemos la segunda fila por (-2) y
la sumemos a la tercera fila:
1 0 1 1 0 1  0
 
 0 1 3 1 0 0 5
 0 0 2 2 1 1  2
Ahora, multipliquemos la tercera fila por (-1/2):
1 0 1 1 0 1  0
 
 0 1 3 1 0 0  5
 
 0 0 1 1 1
2
1  1
2
Finalmente, deberemos transformar en ceros el -1 y el 3 de la tercera columna. Hacemos F3+F1 y

luego -3F3 + F2:
 0 1 1 
1 0 0 2 2  1
 0 1 0 2 3 3  2
 2 2 
0 0 1 1 1 1 
1
 2 2
 0 1 1 
 2 2 
1 
Entonces, B   2 3 3 
 2 2 
 1 1 1 
 2 2
 
1
3) a) A1 A
239
1  0 1 2 1 2   0 1 1 
1  
1
b)  B   2 B  2 2 3 2
 3 2    4 3 3 
2 
 1 1 2 1 2   2 1 1
1 0 1
c)  A 
1 
  A    0 1
1
0 
 2 1 1 
 0 1 2 1 2  1 0 2   1 2 1 2 0
 A.B   B . A   2 3 2 3 2  .  0 1 1    1 2 3 2  1
1 1 1
d)
 1 1 2 1 2  1 0 1   1 2 1 2 1 
1  0 2 1 
  1   1  
e)   B      B 1   1 2 3 2 1 2
 
 
   
 1 2 3 2 1 2
.
1
  1 0 0    1 0 0 
   
4)  A  C    0 2 0   0  1 2 0 
1
  
  0 0  3   0 0 1 3
 
 1 0 0 0
 0 12 0 0 
1
5) B  
 0 0 1 3 0
 
 2 1 2 1 3 1 
6)
1 0 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0
0 12 0 0 0 0  0 0 0 12 0 0 
 
0 0 13 0 0 0  0 0 0 0 13 0
C 1    D 1   
 2 1 2 1 3 1 0 0  0 0 2 1 2 1 3 1
0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0
   
0 0 0 0 12 12 1 2 1 2 0 0 0 0
7)
I) Opción c) Al rango de una matriz , lo podemos obtener como el número de filas no nulas de la
matriz escalonada.
II) Opción e) El rango de una matriz es, e) el número máximo de líneas paralelas, linealmente
independientes de la matriz.
240
III) Opción c) Si dos matrices cuadradas tienen el mismo rango, podemos asegurar que tienen la
misma cantidad de filas linealmente independientes.
IV) Opción b)
8)
r ( A)  2 ; r ( B )  2 ; r (C )  3 ; r ( D)  3 ; r ( E )  4 ; r ( F )  1 ; r (G )  3 ; r ( H )  3
9)
a) r(A) = 3 ; b) r(A’) =3 ; c) r(120 A)=3 d) r(B) = 4 e) r(B-1) = 4 f) r(A.B)=3 g) r (B -I

)=3
10) r(A) = 2, B regular entonces r (-2.A’.B)= r (.A’.B) = r (.A’ ) = r(A) = 2
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 
11) G*  
0 0 0 0 0 0
 
0 0 0 0 0 0
12)
a) r ( A.B)  mín r ( A); r ( B) (FALSA)

b) A  B  r ( A)  r ( B ) (VERDADERA)
c) r ( Amxn )  mín  m ; n  (VERDADERA)
 )m
d) r ( Amxn . Anxm (FALSA)
e)  )  r ( A).r ( A)
r ( Amxn . Anxm (FALSA)
f) Si In es la matriz identidad de orden n, entonces r(In ) = n. (VERDADERA)
g) Dos matrices de distinto orden NO pueden ser equivalentes. (VERDADERA)
h) Matrices equivalentes tiene la misma matriz canónica. (VERDADERA)
241
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 5
247
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
UNIDAD 5
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
248
UNIDAD 5
Sistemas de ecuaciones lineales
Introducción
Hasta aquí hemos desarrollado un conjunto de herramientas matemáticas, las cuales serán
utilizadas de manera exhaustiva en esta Unidad.
En el estudio de vectores y espacios vectoriales se destacaron los conceptos de dependencia e
independencia lineal. Luego, se introdujeron las nociones de matriz, operaciones elementales,
determinante, matriz inversa y rango.
A partir de estos conocimientos, construiremos los elementos necesarios para arribar al objetivo
fundamental de esta unidad, el cual consiste en desarrollar en forma matricial, métodos de resolución
de sistemas de ecuaciones lineales.
En primer lugar, realizaremos el análisis gráfico de los sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
Luego introduciremos, uno a uno, los métodos más relevantes de resolución matricial de sistemas
de ecuaciones lineales, los cuales se denominan Método de la Inversa, Regla de Cramer, y Método de
Gauss-Jordan.
Destacamos que el método de la Inversa y la Regla de Cramer son sólo aplicables a sistemas de
ecuaciones lineales con igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas y, para su implementación, se
necesitará calcular matrices inversas o determinantes, dependiendo del método que se decida utilizar.
En el caso del Método de Gauss-Jordan partimos de un sistema de ecuaciones lineales, lo
expresamos en su forma matricial, utilizando matrices y vectores. A través de las operaciones
elementales por filas, y usando las propiedades de equivalencia, transformamos el sistema de
ecuaciones original en un sistema mucho más simple de analizar pero equivalente. En este punto se
realiza el denominado análisis de rangos, el cual permite clasificar al sistema en cuanto a su
compatibilidad, utilizando un importante resultado teórico: el Teorema de Rouché-Fröbenius.
Finalmente, nos detendremos en el estudio de los sistemas compatibles indeterminados,
indagando sobre algunas de sus soluciones, denominadas soluciones básicas, las cuales son de gran
importancia en los métodos de resolución de ciertos problemas de índole económicos, llamados de
optimización lineal. Estos problemas no serán objeto de estudio en esta materia.
• Determinar, en forma gráfica, la compatibilidad o incompatibilidad de sistemas de ecuaciones

lineales con dos incógnitas.
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales de una forma organizada y estructurada, usando el
método de la Inversa, la Regla de Cramer y/o el método de Gauss-Jordan.
• Utilizar estos métodos en la resolución de problemas económicos.
• Establecer conclusiones válidas con respecto a la compatibilidad de sistemas basados en el
Teorema de Rouché-Fröbenius.
• Reconocer y obtener soluciones básicas de sistemas indeterminados.
249
El siguiente esquema muestra la relación y orden lógico del tratamiento de los temas principales a
estudiar en esta Unidad. Usted puede volver al mismo las veces que sea necesario para comprender, de
manera integral, los distintos temas abordados.
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
Se clasifican en Se diferencian entre
Admiten
No
Compatibles Incompatibles
Homogéneos homogéneos
Determi- Indeter-
nados minados Forma Forma
Matricial Vectorial
inducen
MÉTODOS DE
RESOLUCIÓN MATRICIAL
Los cuales son
REGLA DE MÉTODO DE LA MÉTODO DE

CRAMER INVERSA GAUSS-JORDAN
basada en basado en basado en
DETERMINANTE INVERSA OPERACIONES

ELEMENTALES
permiten aplicar
TEOREMA DE
ROUCHÉ-FROBENIUS
250
1. IDENTIDADES Y ECUACIONES
Desde la antigüedad, el hombre se interesó en hallar formas de plantear y resolver problemas. Si

bien, hace más de 3000 años los egipcios plasmaron en papiros gran cantidad de problemas
matemáticos resueltos, fue muy largo el camino hasta llegar a estándares de resolución y a la
incorporación de parte de la notación actual. Muestra de ello es que, recién entre los siglos XVI y
XVII, Descartes elabora la teoría general de ecuaciones.
Desde lo aplicado, se ha intentado presentar modelos que representen la realidad, en particular
con un enfoque matemático, donde se exponga, de manera explícita, la relación que vincula valores
conocidos (constantes) con valores desconocidos (incógnitas o variables), dando lugar a lo que
llamamos ecuaciones.
Comencemos recordando que una combinación de constantes (números) y variables (letras),

vinculadas entre sí mediante las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación, se denomina expresión algebraica.
Ahora bien, cuando igualamos dos expresiones algebraicas, puede ocurrir que estemos en
presencia de una identidad o de una ecuación.
Una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas, que se verifica

para cualquier valor de las variables.
Por ejemplo, sabemos que las siguientes igualdades:
( x − 3) 2 = x 2 − 6 x + 9 ; x 2 − 4 = ( x + 2 )( x − 2 )
se cumplen para cualquier valor de x, en consecuencia, son identidades.
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica

para ciertos valores de las variables, a las que denominamos incógnitas.
251
Por ejemplo, en base a nuestros conocimientos previos, podemos concluir que:
a) x 2 − x − 20 = − x + 5 es una igualdad entre expresiones algebraicas, que se verifica para

x = −5 ∧ x = 5 .
b) 2 x − 4 = 3 + x es una igualdad entre expresiones algebraicas, que se verifica únicamente para x=7.
En consecuencia, ambas son ecuaciones.
Si bien se pueden presentar distintos tipos de ecuaciones (lineales, cuadráticas, exponenciales,

logarítmicas, etc.), concentraremos nuestra atención en las ecuaciones lineales o de primer grado.
Una ecuación lineal con n incógnitas es aquella que puede ser llevada, a
través de operaciones algebraicas, a la siguiente estructura:
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b ,
donde:
xj representa la incógnita “j” para j = 1, . . . ,n,
aj indica la constante que acompaña a la incógnita “xj”, la cual se denomina
coeficiente de “xj”, b constituye el término independiente de la ecuación.
Por ejemplo:
2 x1 − 3 x2 = 1
es una ecuación lineal con dos incógnitas.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Si consideramos un conjunto de ecuaciones lineales estaremos frente a un sistema de ecuaciones

lineales.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser expresado en forma general como:
252
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
 ,
……………………………

am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
donde:
xj representa la incógnita “j” para j = 1, . . . ,n,
aij indica el coeficiente en la ecuación “i “ que acompaña a la incógnita “xj” , para i = 1, m j= 1, . . ., n,
bi indica el término independiente de la i-ésima ecuación.
Esto también se puede expresar en forma abreviada, tal como observamos a continuación:
n
 aij x j = bi ∀ i = 1, 2,… , m
j =1
Por ejemplo:
2 x1 − 3 x2 = 1

−5 x1 + 8 x2 = −2 ,
x + x = 3
 1 2
se trata de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
Frente a un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, el objetivo es encontrar lo que se

denomina conjunto solución del sistema.
El conjunto solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n

incógnitas es el conjunto de valores de las incógnitas x1 , x2 ,… , xn que
satisfacen todas las ecuaciones, simultáneamente.
Para encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales se han desarrollado el método
gráfico y distintas técnicas matriciales, las cuales revisaremos más adelante, en esta Unidad.
253
2.1 Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas
Una forma intuitiva de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales es a partir de la visualización
gráfica de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Veamos qué nos aporta esta técnica.
Si estamos en presencia de una única ecuación lineal con dos incógnitas, por ejemplo:
2x + y = 2 ,
podríamos preguntarnos: ¿cuáles son las soluciones?
Pensemos…
Si x = 0, entonces y = 2
Si x = 0,5, entonces y = 1
Si x = 1, entonces y = 0
De esta forma, podríamos encontrar infinitos pares de valores de x e y que son solución de la ecuación.
Si graficáramos los pares que verifican la ecuación en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y),
obtendríamos la siguiente solución gráfica:
y
2 •
•
1 •
•
•
0 0,5 1
Figura Nº1 x
¿Qué forman los valores de x e y que constituye la solución de la ecuación?

Ubicando los pares que son solución(x, y) en un sistema de coordenadas cartesianas, se puede apreciar
que se alinean formando una recta.
Sintetizando:
• Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

• Cada una de las soluciones es un par de valores (x,y) que, gráficamente, representa las
coordenadas de un punto en el plano.
• Al dibujar esos infinitos puntos en un sistema de ejes coordenados se obtiene una recta.
¿Qué ocurriría si tuviéramos dos ecuaciones? Esto daría lugar a un sistema de ecuaciones.
254
Expresemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas con la correspondiente notación:
a11 x + a12 y = b1 (1)


a21 x + a22 y = b2 (2)
El conjunto solución de cada ecuación representa una recta. Entonces, al graficar ambas ecuaciones (1)
y (2) en el mismo sistema de coordenadas, pueden presentarse tres posibilidades:
1) Que las dos rectas se corten en un único punto, como observamos en la siguiente figura:
y
•
•
yo
xo x
Figura Nº2 (2) (1)
En este caso existe un único par (xo, yo) que pertenece al conjunto solución visualizado por la recta (1)
y también al conjunto solución visualizado por la recta (2). Como la solución de un sistema está dado
por el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente, afirmamos que el punto
de corte de las dos rectas es la solución del sistema. Hemos encontrado una única solución.
2) Que las dos rectas sean coincidentes, como muestra la Figura Nº3:
(1) = (2)
y1
y2
Figura Nº3 x
x1 x2
En este caso, todos los pares (x, y) que verifican una ecuación también verifican la otra, afirmamos,
entonces, que el sistema admite infinitas soluciones.
3) Que las rectas resultantes no tengan puntos en común, tal como podemos observar en la Figura
Nº 4.
(2) (1)
x
255
Figura Nº 4
En este caso no existe un par (x,y) que verifique, simultáneamente, ambas ecuaciones. En
consecuencia, el sistema no admite solución.
2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
El método gráfico es conveniente a los fines ilustrativos y didácticos, pues permite analizar el número
de soluciones de los sistemas pero es de poca utilidad práctica, ya que está restringido al caso de
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
El análisis gráfico muestra, de manera particular, tres posibles escenarios que pueden presentar los
sistemas de ecuaciones lineales. Esto se puede generalizar a cualquier sistema de ecuaciones lineales,
permitiendo clasificar a los sistemas de acuerdo con el número de soluciones, de la siguiente forma:
- Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado cuando posee una única solución.
- Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado cuando posee infinitas
soluciones.
- Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no admite solución.
Actividad 1
Indique, en cada caso, la clasificación del sistema representado gráficamente (cada ecuación está
representada por una recta).
a) b) c)
y (1) y (1) y (1) (2)
(2) (2) (3)
x x x
d) e) f)
y (1) (2) (1) y y
(3) (2) (1) (2)
(3)
x x x
256
3. FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES
Existen distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, siendo los más
conocidos el método de sustitución y el método por igualación. En estos procedimientos, cuando el
número de incógnitas y/o el número de ecuaciones aumenta, los cálculos se dificultan y, por ende, su
aplicación se complica. Por este motivo, surge la necesidad de buscar otras alternativas para resolver
sistemas. En tal sentido, los conocimientos adquiridos al estudiar vectores y matrices facilitarán la
obtención de métodos que son más simples y ágiles para la resolución de los sistemas de ecuaciones
lineales.
Como primer paso, y antes de describir los métodos de resolución matricial, veremos las formas
de representación de los sistemas de ecuaciones lineales.
3.1 Forma matricial
Un sistema de ecuaciones lineales también se puede expresar a través de operaciones con matrices.
Analicemos como hacerlo partiendo de la forma general de un sistema:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
 ,
……………………………
am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm

En este contexto, los coeficientes del sistema se registran en forma ordenada en una matriz de orden
mxn, las incógnitas se muestran en una matriz de orden nx1, o vector columna, y los términos
independientes se ubican en otra matriz de orden mx1, también vector columna.
Esto se conoce como forma matricial del sistema y se representa de la siguiente manera:
 a11 a12 … a1n   x1   b1 

     
 a21 a22 … a2 n   x2  b 
    =  2
 ⋮ ⋮ … ⋮  ⋮ ⋮
    
a am 2 … amn  x  b 
 m1  n  m
Vector de términos independientes

Vector de incógnitas
Matriz de los coeficientes
257
Alternativamente, es común trabajar usando la correspondiente notación abreviada:
A X = B,
donde A es la matriz de los coeficientes de las incógnitas, X es el vector de incógnitas y B es el vector

de términos independientes.
Por ejemplo, dado el sistema:
2 x1 − 3 x2 = 1

−5 x1 + 8 x2 = −2
x + x = 3
 1 2
 2 −3
 
Se puede deducir que la matriz de coeficientes es A = −5 8 , el vector de incógnitas es
 
 1 1 
1
 x1 
X =   y el vector de términos independientes es B =  −2  .
 x2   3 
Por lo tanto, la forma matricial del sistema es la siguiente:
 2 −3 1
 −5 8   x1  =  −2 
  x   
 1 1   2   3 
A partir de la forma matricial se puede volver a la forma general de un sistema de ecuaciones lineales,
efectuando el correspondiente producto matricial.
3.2 Forma vectorial
También es posible expresar un sistema de ecuaciones lineales como una combinación lineal de
vectores. Esto es lo que se conoce con el nombre de forma vectorial del sistema.
Nuevamente, partiendo de la forma general del sistema, el mismo se reexpresa como una suma de
productos de incógnitas por vectores, donde cada vector está formado por los coeficientes que
acompañan a las respectivas incógnitas en cada ecuación y el segundo miembro es el vector de
términos independientes.
258
 a11   a12   a1n  b1 

a  a   a  b 
x1  21 
+ x2  22 
+ ⋯ + xn  2 n  =  2  ,
⋮  ⋮  ⋮  ⋮ 
       
 am1   am 2   amn  bm 
o, alternativamente:
x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B
n
 Aj x j = B
j =1
 a1 j 
 
 a2 j 
donde A j =   , esto es, A j es el vector de coeficientes que acompañan a la incógnita x j .
  ⋮
 amj 
2 x1 − 3 x2 = 1

−5 x1 + 8 x2 = −2 ,
x + x = 3
 1 2
su forma vectorial es la siguiente:

 2  − 3  1 
x1  −5 + x2  8  =  −2 
 
 1   1   3 
Antes de continuar, y para reforzar estos preliminares teóricos, le proponemos que realice la siguiente
actividad:
Actividad 2
Encuentre, en cada caso, la forma matricial y la expresión vectorial del sistema:
− x + 3 y = 2
x + 3y = 2 3 x + 4 y = y 
a)  b)  c)  −2 x + y = 0
−2 x = − y −2 x + 1 = 2 y x + 2 y +1 = 0

259
2 x + 3 y + z = 7
− x + 3 y + z = 4 x + 2 y + 2z = 4
  2 x + 4 y = 2 − 2 z
d)  −2 x + 7 y + z = −4 e)  f) 
 y +1 = z 3 x + y + 3 z = −5 x + 2 y + z = 3
 4 x + 3 y + 5 z = −1
3.3 Matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales
La matriz ampliada del sistema surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de
coeficientes de las incógnitas del sistema como una columna adicional. La denotaremos A|B.
En el caso general de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se expresa de la siguiente forma:
 a11 a12 … a1n b1 

 
a a22 … a2 n b2 
A B =  21
 ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ 
a am 2 … amn bm 
 m1

2 x1 − 3 x2 = 1

−5 x1 + 8 x2 = −2 ,
x + x = 3
 1 2
su matriz ampliada será:
 2 −3 1
 
A B =  −5 8 −2 
1 1 3 

4. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Existen métodos de resolución que son sólo aplicables a sistemas con el mismo número de incógnitas
que de ecuaciones y cuya implementación tiene sentido para el caso en que la matriz de coeficientes
sea regular. Ellos son: el Método de la Inversa y la Regla de Cramer.
260
4.1 Método de la inversa
El Método de la Inversa se deriva del siguiente resultado:
Si AX = B es un sistema de ecuaciones lineales tal que A es una matriz regular de orden n entonces,
X = A −1 B .
Demostración:
La demostración es muy sencilla. Partimos de la forma matricial del sistema de ecuaciones lineales:
AX = B
Dado que A es regular, tiene matriz inversa. Premultiplicamos ambos miembros por A−1 y operamos
matricialmente:
A−1 AX = A−1 B
I . X = A−1 B
X = A −1 B
En consecuencia, hemos obtenido la expresión del vector de incógnitas como el producto de la matriz
de coeficientes por el vector de términos independientes, que es lo que queríamos demostrar.
Analicemos los ejemplos que se presentan a continuación:
2 x + y = 5
1) Resuelva el siguiente sistema por el método de la inversa 
 x + 3 y = 10
Planteamos la forma matricial del sistema AX=B:
 2 1  x   5 
1 3  y  = 10 
    
La matriz de coeficientes del sistema es regular, pues su determinante es distinto de cero. Por lo tanto,
podemos encontrar la matriz inversa de la matriz de coeficientes, que en este caso es:
 3 5 −1 5
A−1 =  
 −1 5 2 5 
Luego, en base al resultado anterior:

X = A −1 B
261
 3 5 −1 5  5 
X =   ,
 −1 5 2 5  10 
multiplicando matricialmente, obtenemos el vector solución:
1 
X = 
 3
 x + y + z = 500

2) Aplique el método de la inversa al siguiente sistema: 3 x + 2 y + 4 z = 1500
10 x + 8 y + 6 z = 3800

El mismo puede expresarse en su forma matricial, AX=B, de la siguiente manera:
 1 1 1   x   500 
    
 3 2 4   y  = 1500 
 10 8 6   z  3800 
    
Obtenemos la inversa de la matriz de coeficientes:
 −20 2 2   −10 3 1 3 13 
1
A =  22 −4 −1 
−1
A =  11 3 − 2 3 −1 6 
−1
6
 4 2 −1  2 3 1 3 −1 6 
Luego, X = A-1. B
 −10 3 1 3 1 3   500 
X =  11 3 − 2 3 −1 6  1500 

 2 3 1 3 −1 6  3800 
100 
X =  200 
 200 
262
Actividad 3:
Siendo la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
3 4   x   4 
5 − 2   y  =  −1
    
Aplique el método de la inversa para obtener la solución del sistema.
Actividad 4:
Una fábrica de pinturas produce pinturas de tres colores propios (A, B, C), los cuales requieren de la
mezcla de pinturas de colores primarios (azul, rojo y amarillo). Se dispone de 10 unidades de pintura
azul, 11 de roja y 13 de amarilla. Los requerimientos de cada tipo de pintura son los siguientes:
A B C
AZUL 1 1 1
ROJO 2 0 1
AMARILLO 1 2 1
¿Cuántos tarros producirá de cada uno de los colores propios?
a) Plantee el problema como un sistema de ecuaciones lineales.

b) Encuentre la forma matricial del sistema.
c) Resuelva por el método de la matriz inversa.
4.2 Regla de Cramer
El matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752) escribió sobre filosofía de las

leyes, de gobierno y sobre la historia de las matemáticas. Mantuvo correspondencia
con muchos de los grandes matemáticos de su época, con quienes intercambiaba
información sobre nuevos descubrimientos matemáticos. Aunque la regla lleva su
nombre, hay razones para pensar que Colin Mc Laurin usó antes esta metodología de
cálculo, aunque sin darla a conocer.
Cramer
La Regla de Cramer permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con igual
cantidad de incógnitas que de ecuaciones a través del uso de determinantes.
Esta regla puede ser enunciada del siguiente modo:
Dado el sistema de ecuaciones lineales con igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas, AX= B
con A≠ 0, entonces el sistema es compatible determinado y cada incógnita del sistema se obtiene
como el cociente entre dos determinantes, de la siguiente manera:
263
Ai
xi = ,
A
donde Ai es la matriz que surge de reemplazar la columna i de la matriz de coeficientes por el vector
de términos independientes.
Demostración
Consideremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas expresado en su forma matricial como:
AX = B
Si A es regular, entonces:
∃ A−1 ∧ X = A−1B .
Reemplazamos A−1 por su fórmula:
1
X= adj ( A). B
A
 A11 A21 … An1   b1 

 … An 2  b2 
1  A12 A22
X= . 
A … … … … ⋮
   
 A1n A2 n … An n  bn 
donde Aij es el adjunto del elemento aij.
Multiplicando matricialmente, obtenemos:
 A11b1 + A21b2 + … + An1bn 

 
1  A12b1 + A22b2 + … + An 2bn 
X=
A  ⋮ 
 
 A1nb1 + A2 nb2 + … + An nbn 
Para analizar qué se obtiene a partir de esta igualdad, tomemos la primera componente del vector
solución X:
x1 =
( A11b1 + A21b2 + … + An1bn ) (*)
A
 b1 a12 … a1n 
 
y consideremos la matriz A1 , la cual surge a partir del b2 a22 … a2 n 
⇒ A =  
reemplazo de la primera columna de A por el vector de términos 1 ⋮ ⋮ … ⋮ 
independientes. 
b an 2 … an n 
 n
264
Podemos observar que el numerador de (*) es el desarrollo del determinante por los elementos de la
primera columna de la matriz A 1 .
Como consecuencia de ello, x1 puede calcularse como el siguiente cociente de determinantes:
A1
x1 =
A
Realicemos un análisis similar con la segunda componente del vector solución:
x2 =
( A12 b1 + A22 b2 + … + An 2 bn ) (**)
A
 a11 b1 … a1n 
 
Ahora, consideremos la matriz A2 , que surge del reemplazo de  a21 b2 … a2 n  la
⇒ A2 =  
segunda columna de A por el vector de términos
 ⋮ ⋮ … ⋮ 
independientes. a
 n1 bn … an n 
Podemos observar que el numerador de (**) es el desarrollo del determinante por los elementos de la
segunda columna de la matriz A2 .
Es decir, x2 puede calcularse como:
A2
x2 =
A
Podemos realizar este mismo razonamiento para cualquiera de las n componentes de X.
Concluimos que, en general:

Ai
xi = ,
A
donde Ai es la matriz que surge a partir de A, reemplazando la i-ésima columna de A por el vector de
términos independientes del sistema.
Con esto se ha demostrado la regla de Cramer.
Notación: Una notación alternativa para la matriz Ai que figura en el numerador de la fórmula
anterior, es Ax , haciendo alusión a la incógnita que se desea calcular.
i
265
Ejemplos:
2 x + y = 5
1) Dado el sistema 
 x + 3 y = 10
 2 1  x   5 
Su forma matricial es:   = .
1 3  y  10 
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
2 1
A= = 5.
1 3
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, podemos aplicar la Regla de
Cramer como sigue:
5 1
Ax 10 3 5
x=  x=  x=  x =1
A A 5
2 5
Ay 1 10 15
y=  y=  y=  y=3
A A 5
1 
La solución del sistema es X =  
3
 x + y + z = 500

2) Consideremos el sistema 3 x + 2 y + 4 z = 1500
10 x + 8 y + 6 z = 3800

En este caso, el sistema puede expresarse en su forma matricial como:
 1 1 1   x   500 
    
 3 2 4   y  = 1500 
 10 8 6   z  3800 
    
266
 1 1 1
Calculamos A=
 
 3 2 4 = 6
10 8 6 
 
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, podemos aplicar la Regla de
Cramer como sigue:
 500 1 1 
 
 1500 2 4 
Ax  3800 8 6 
  600
x=  x=  x=  x = 100
A A 6
 1 500 1 
 
 3 1500 4 
Ay 10 3800 6 
  1200
y=  y=  y=  y = 200
A A 6
 1 1 500 
 
 3 2 1500 
Az  10 8 3800 
  1200
z=  z=  z=  z = 200
A A 6
100 
Sintetizando, el sistema tiene por vector solución X =  200 
 
 200 
Actividad 5
Aplicando la Regla de Cramer, resuelva el problema planteado en la Actividad 4.
Actividad 6
Siendo la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
1 − 1  x  1 
2 − 1  y  = 3
     ,
y aplicando la regla de Cramer, determine cuál es el valor de y.
267
4.3 Método de gauss-jordan
Antes de presentar este método, es necesario introducir los siguientes preliminares teóricos:
• Matriz escalonada reducida por filas

• Sistemas equivalentes
• Propiedad de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales
Matriz escalonada reducida por filas
En la Unidad 2 vimos que cualquier matriz puede llevarse a una forma escalonada. Esto resultó útil
para calcular el rango matricial.
Ahora presentaremos el concepto de matriz escalonada reducida por filas, estructura especial a la que
puede ser llevada cualquier matriz a través de operaciones elementales por filas. Este concepto será de
gran utilidad para poder arribar a conclusiones correctas en el método de Gauss-Jordan.
Una matriz es escalonada reducida por filas cuando:
1- El primer elemento no nulo de cada fila es igual a “1” (pivote).
2- El resto de los elementos que están en la columna asociada a cada pivote

son ceros.
3- Cada fila tiene más ceros a izquierda que la anterior (excepto las filas
nulas que, en caso de que existan, serán las últimas).
Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas reducidas por filas (en ellas se ha destacado el
primer elemento no nulo de cada fila):
1 0 2
1 0 0  1 0 3  1 4 0  0 1 2 0 3 0 
1 0 
A =  0 1 0  B = 0 1 1 
   
C = 0 0 1  D =  E = 0 0 1 1 0 
0 0 0
 0 0 1  0 0 0  0 0 0    0 0 0 0 1 
0 0 0
Por otro lado, observemos que:
268
1 5 0 
M =  0 1 0  , si bien está escalonada por filas, no está reducida, pues en la columna asociada al
 0 0 1 
segundo pivote hay un elemento no nulo por encima de dicho pivote.
Algo similar ocurre con las siguientes matrices que no están reducidas por filas:
1 0 2
 1 0 3 0 1 2 0 3 0  1 0 0 
  1 0 
N =  0 1 1 P =  Q =  0 0 1 1 0  R = 0 2 1 
1 0 0
 0 0 1    0 0 1 0 1  0 0 0 
0 0 0
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente

las mismas soluciones.
Por ejemplo, podremos verificar que los sistemas:
2 x1 − 3 x2 = 1  x1 + x2 = 3
  ,
−5 x1 + 8 x2 = −2 −3 x1 + x2 = −5
tienen por única solución x1 = 2 ; x2 = 1 Por esta razón, concluimos que ellos son equivalentes.
Propiedad de equivalencia de sistemas de ecuaciones lineales
Sea AX=B , un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Si E es una matriz regular,
entonces EAX=EB es un sistema de ecuaciones lineales equivalente al sistema dado.
Demostración:
(  ) Si X* es solución de AX = B , entonces premultiplicando ambos miembros por E se mantiene la

igualdad, por lo tanto, es inmediato que X también es solución del sistema ( EA ) X = EB .
( ⇐) Si X* es solución de EAX = EB , como E es regular, existe E −1 . Entonces, pre-multiplicando
ambos miembros por E −1 , resulta:
E −1 EAX = E −1 EB  AX = B
269
En consecuencia, podemos afirmar que X* es solución del sistema AX = B
De esta manera, hemos demostrado que si E es una matriz regular, los sistemas AX = B y
EAX = EB son equivalentes.
Este resultado justifica lo que se conoce como método de Gauss-Jordan.
Observemos que:
• Realizar una operación elemental por filas sobre una matriz es equivalente a pre-multiplicar
dicha matriz por la correspondiente matriz elemental.
• Las matrices elementales son siempre invertibles.
Esta observación sugiere que para resolver un sistema de ecuaciones lineales podemos utilizar
operaciones elementales por filas, tanto sobre la matriz de coeficientes del sistema como sobre el
vector de términos independientes. Obtendremos, de esta manera, un sistema equivalente al dado.
El método de Gauss-Jordan se puede resumir de la siguiente manera:

Partiendo de la matriz ampliada y mediante operaciones elementales por filas sobre
dicha matriz, se busca la matriz escalonada reducida por filas de la matriz de
coeficientes (A). Con ello, se obtiene una matriz ampliada de un sistema de
ecuaciones equivalente al dado y simplificado, cuya resolución es mucho más
sencilla.
Veamos cómo aplicar el método de Gauss-Jordan para resolver algunos sistemas de
Gauss-Jordan ecuaciones lineales.
Ejemplo 1:
A partir del siguiente enunciado:
2 x1 − 3 x2 = 1

Resuelva el sistema  −5 x1 + 8 x2 = −2 por el método de Gauss-Jordan.
x + x = 3
 1 2
Partimos de la matriz ampliada del sistema:
A B
 2 −3 1
 
 −5 8 −2 
1 1 3 

Luego, realizamos operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada A/B hasta obtener la
matriz escalonada y reducida de la matriz de coeficientes del sistema.
270
Sugerencia:
Para trabajar de manera ordenada, los pasos a seguir pueden ser:

1) Transformar el primer elemento no nulo de la primera fila en “1” (pivote).
2) Usar la fila donde está el pivote para transformar el resto de los elementos de la columna
donde está el pivote en ceros.
3) Continuar con la siguiente fila y seguir los pasos 1) y 2).
1 1 3  1 1 3  1 1 3  1 0 2
       
 −5 8 −2  ∼ 0 13 13  ∼ 0 1 1  ∼ 0 1 1
 2 −3 1  0 −5 −5 0 −5 −5 0 0 0 

La última matriz ampliada corresponde al sistema:
1x1 + 0 x2 = 2  x1 = 2

0 x1 + 1x2 = 1  x2 = 1
0 x + 0 x = 0  ésta es una identidad.
 1 2
Como vemos, este último sistema es de resolución inmediata. Además, sabemos que este sistema de
ecuaciones lineales es equivalente al dado, por lo tanto, podemos establecer que la solución de ambos
2
es X =   .
1 
Como existe una única solución podemos asegurar que el sistema es compatible determinado.
Ejemplo 2:
2 x1 − 3 x2 = 1

Veamos qué ocurre al resolver el sistema  − x1 + x2 = −2 por el mismo método.
x + x = 0
 1 2
Del mismo modo que en el ejemplo anterior, partimos de la matriz ampliada del sistema:
A B
 2 −3 1
 
 −1 1 −2 
1 1 0 

Luego, realizamos operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada A/B hasta obtener la
matriz escalonada y reducida de la matriz de coeficientes del sistema.
271
1 1 0  1 1 0  1 1 3  1 0 4
       
 −1 1 −2  ∼  0 2 −2  ∼  0 1 −1 ∼ 0 1 −1
 2 −3 1  0 −5 1  0 −5 1  0 0 −4 

1x1 + 0 x2 = 4

0 x1 + 1x2 = −1
0 x + 0 x = −4  ésta es una contradicción.
 1 2
El último sistema no admite solución, por lo tanto, el sistema dado tampoco la tiene. Concluimos que
el sistema es incompatible.
Ejemplo 3:
A continuación aplicamos el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema:
2 x1 − 2 x2 = −2

− x1 + x2 = 1
En este caso, la matriz ampliada del sistema resulta:
A
B
 2 −2 −2 
 
 −1 1 1 
Realizamos operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada A/B hasta obtener la matriz
escalonada y reducida de la matriz de coeficientes del sistema:
 2 −2 −2   1 −1 −1 1 −1 −1
  ∼  ∼ 
 −1 1 1   −1 1 1  0 0 0 
 x1 − x2 = −1  x1 = x2 − 1

0 x1 + 0 x2 = 0  ésta es una identidad.
Podemos apreciar que para cada valor de x2 que se elija, existe un valor x1 = x2 − 1 , que es solución
del sistema. Entonces, podemos concluir que este sistema admite infinitas soluciones y, por lo tanto, el
sistema dado también. Por ser sistemas equivalentes, la solución general del sistema dado se puede
expresar de la siguiente manera:
272
 x − 1
X =  2  , x2 ∈ℜ
 x2 
Finalmente, afirmamos que estamos frente a un sistema compatible indeterminado.
Sin temor a equivocarnos, dado lo restrictivos que son la regla de Cramer y el método de la inversa,
podemos establecer que el método de mayor importancia, por su practicidad y su uso sin restricciones,
es el Método de Gauss-Jordan.
Actividad 7
Usando el método de Gauss-Jordan, resuelva el problema planteado en la Actividad 4.
Actividad 8:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de la inversa, por la Regla de
Cramer y usando el método de Gauss-Jordan.
x + y = 8

− x + y = 2
5. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA LA COMPATIBILIDAD DE UN

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El método de Gauss-Jordan hace posible implementar uno de los resultados destacados de la

teoría de los sistemas de ecuaciones lineales. Ese resultado está dado por el teorema de Rouché-
Fröbenius, el cual establece la condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones
lineales sea compatible.
Teorema de Rouché-Fröbenius
I) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible si, y sólo si, el rango de la
matriz de coeficientes del sistema es igual al rango de la correspondiente matriz ampliada.
II) Si además el rango de la matriz de coeficientes del sistema es igual al número de incógnitas, el
sistema tendrá solución única.
Demostración:
Dado el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas:
273
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
 ,
……………………………
am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm

podemos expresarlo en su forma vectorial de la siguiente manera:
 a11   a12   a1n  b1 

a  a   a  b 
x1  21 
+ x2  22 
+ ⋯ + xn  2 n  =  2  ,
⋮  ⋮  ⋮  ⋮ 
       
 am1   am 2   amn  bm 
o, en forma alternativa, como:

x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B ,
 a1 j 
 
 a2 j 
donde A j =   y B es el vector de términos independientes del sistema.
  ⋮
 amj 
a) (  )
Si el sistema es compatible, entonces existen valores de las incógnitas x1 , x2 ,… , xn que verifican:
x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B .
Por lo tanto, podemos afirmar que el vector B es combinación lineal de los vectores columnas de la
matriz de coeficientes A, en consecuencia, el rango de la matriz ampliada no varía si se suprime la
columna B, por lo tanto, el r ( A) = r ( A | B ) .
( ⇐ ) Si r ( A) = r ( A | B ) , entonces el número de vectores linealmente independientes en el

conjunto { A1 , A2 ,… , An } es igual al número de vectores linealmente independientes en el conjunto
{ A1 , A2 ,… , An , B} , razón por la cual el vector B se puede expresar como combinación lineal de los
vectores A1 , A2 ,… , An . En consecuencia, el sistema x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B admite solución, y si
tiene solución es compatible.
Hemos demostrado que un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la
matriz de coeficientes del sistema es igual al rango de la correspondiente matriz ampliada.
b) r ( A) = r ( A | B ) = n entonces el conjunto { A1 , A2 ,… , An } es linealmente independiente y por lo

tanto (ver propiedad 6 de independencia lineal - Unidad 1) existe una única forma de expresar al
vector B como combinación lineal de ellos. De lo cual se concluye que el sistema de ecuaciones
lineales tiene única solución.
274
Corolario del teorema de Rouché-Fröbenius
Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si y sólo sí el rango de la matriz de coeficientes del

sistema es menor que el rango de la correspondiente matriz ampliada.
Las conclusiones del teorema de Rouché-Fröbenius se pueden esquematizar de la siguiente manera:
DETERMINADO
r(A) = r(A B) = n
COMPATIBLE
r(A) = r(A B)
SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES INDETERMINADO
AX=B r(A) = r(A B) < n
INCOMPATIBLE
r(A) < r(A B)
Veamos cómo aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius, considerando los ejemplos ya presentados en

el método de Gauss-Jordan.
2 x1 − 3 x2 = 1

Dado el sistema  −5 x1 + 8 x2 = −2 analizado en el Ejemplo 1.
x + x = 3
 1 2
Partimos de la matriz ampliada, arribamos a la matriz ampliada del sistema equivalente y, dado que los
rangos no se modifican al realizar operaciones elementales por filas, obtenemos los rangos a partir de
la última matriz:
A B
 2 −3 1 1 0 2
   
 −5 8 −2  ∼  0 1 1
1 1 3  0 0 0 
 
r(A)=2
r(A/B)=2
r ( A) = r ( A / B ) = 2 = n  el sistema es compatible determinado.
275
2 x1 − 3 x2 = 1

En el caso del sistema  − x1 + x2 = −2 presentado en el Ejemplo 2, cuya matriz ampliada
x + x = 0
 1 2
A B
 2 −3 1 1 0 4
   
 −1 1 −2  es equivalente por filas a 0 1 − 1
1 1 0  0 0 −4 
 
r(A)=2
r(A/B)=3
r ( A) = 2 < r ( A / B ) = 3  el sistema es incompatible.
2 x1 − 2 x2 = −2
Para clasificar el sistema  dado en el Ejemplo 3
− x1 + x2 = 1
Se realizaron operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada A/B hasta obtener la matriz
escalonada y reducida de la matriz de coeficientes del sistema.
 2 −2 −2  1 −1 −1
  ∼ 
 −1 1 1  0 0 0 
r(A)=1
r(A/B)=1
r ( A) = r ( A / B ) = 1 < 2 = n  el sistema es compatible indeterminado.
Actividad 9
En cada uno de los siguientes sistemas:
− x + 3 y = 2
x + 3y = 2 3 x + 4 y = y 
a)  b)  c) −2 x + y = 0
−2 x = − y −2 x + 1 = 2 y 
x + 2 y +1 = 0
276
2 x + 3 y + z = 7
− x + 3 y + z = 4 x + 2 y + 2z = 4
  2 x + 4 y = 2 − 2 z
d) −2 x + 7 y + z = 7 e)  f) 
 y +1 = z 3 x + y + 3 z = −5 x + 2 y + z = 3
 4 x + 3 y + 5 z = −1
2 x + 4 y = 2 − 2 z
g) 
x + 2 y + z = 1
I) Encuentre la matriz ampliada del sistema.

II) Resuelva por el método de Gauss-Jordan.
III) Realice el correspondiente análisis de rangos para clasificar el sistema.
IV) Obtenga explícitamente la solución.
Actividad 10
A partir de las siguientes matrices ampliadas de tres sistemas:
1 0 0 −2  1 0 0 2 1 1 0 0 2 0
     
0 1 0 −4  0 1 0 −3 2  0 1 0 3 0
a) A / B =  b) A / B =  c) A / B = 
0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0
     
 0 0 0 0  0 0 0 0 0  0 0 2 8 2 
Luego de aplicar algunas operaciones elementales por filas:
I) Indique, en cada caso, cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas tenía el sistema dado.
II) Realice las operaciones por filas que a su criterio sean necesarias. Establezca, en cada caso, de qué
tipo de sistema se trata a través del uso del teorema de Rouché-Fröbenius.
III) Encuentre la solución, en caso de que exista.
Actividad 11
A partir de los enunciados, seleccione la alternativa correcta:
A) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que

r(A) = r(A|B) = n, entonces el sistema es:
a) Esta situación no se puede dar.

b) No se puede contestar por falta de datos.
c) Compatible determinado.
d) Compatible indeterminado.
e) Incompatible.
277
B) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que

r(A) < r(A|B) = n, entonces el sistema es:
a) Compatible determinado o compatible indeterminado.

e) Incompatible.
C) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que

r(A) = r(A|B) = m, entonces el sistema es:
a) Compatible determinado o compatible indeterminado.

e) Incompatible.
D) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que

r(A) > r(A|B) = n, entonces el sistema es:

e) Incompatible.
E) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que

r(A) = r(A|B) < n, entonces el sistema es:

e) Incompatible.
Actividad 12
A partir de los siguientes datos, seleccione la alternativa correcta:
La siguiente matriz surgió de efectuar operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada de
un sistema de ecuaciones:
1 0 1 −2 
 
0 1 0 0
AB=
0 1 k 1
 
 0 0 0 0 
Se puede afirmar que el sistema es:
278
a) Compatible indeterminado si k es distinto de cero.

b) Compatible indeterminado si k es igual a cero.
c) Incompatible si k es distinto de cero.
d) Incompatible si k es igual a cero.
e) Compatible determinado si k es igual a cero
Actividad 13
A partir de los siguientes datos, seleccione la alternativa correcta:
La siguiente matriz surgió de efectuar operaciones elementales por filas sobre la matriz ampliada de
un sistema de ecuaciones:
1 0 0 4
 
0 1 1 0
AB=
0 1 1 k
 
0 0 0 0 
a) Compatible indeterminado si k es distinto de cero.

b) Compatible determinado si k es distinto de cero.
c) Compatible determinado si k es igual a cero.
d) Incompatible si k es distinto de cero.
e) Incompatible si k es igual a cero.
Actividad 14
Plantee el siguiente problema y aplique el método de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius

para resolver.
Se nos informa que en cierta oficina de gobierno existe una partida de $40.000 que se debe destinar
totalmente a tres tipos de subsidios para jefes de familia. Los montos de cada tipo de subsidios son de
$100, $200 y $300, respectivamente.
Dada la finalidad social de la iniciativa, se impone que el número de subsidios de $100 represente un
tercio de la suma del número de subsidios de $200 y $300.
Finalmente, se establece que es indispensable que se otorguen, en total, 200 subsidios.
Responda los siguientes interrogantes utilizando el método de Gauss-Jordan para resolver los
correspondientes sistemas:
a) ¿Cuántos subsidios de cada tipo se deberán otorgar?
b) ¿Qué ocurriría si se eliminara la imposición que estipula que el número de subsidios
de $100 representen un tercio de la suma del número de subsidios de $200 y $300?
279
Sistemas homogéneos
Una clasificación muy importante, que analizaremos en detalle, es la siguiente:
Se dice que el sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando el

vector de términos independientes es el vector nulo.
Se simboliza: AX = ∅
Mientras que, si el vector de términos independientes es distinto del nulo, se dice que el sistema es no
homogéneo.
A continuación, analicemos la compatibilidad cuando estamos en presencia de un sistema homogéneo.
Observemos que:
1) r ( A) = r ( A | ∅ ) , pues el rango de una matriz no se modifica si se agrega una columna nula. Por
lo tanto, si se está en presencia de un sistema homogéneo AX = ∅ , el rango de la matriz de
coeficientes coincide siempre con el rango de la ampliada.
En consecuencia, basados en el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos afirmar que:
Los sistemas homogéneos son siempre compatibles
2) Si damos a las incógnitas el valor cero, éstas verifican el sistema homogéneo, es decir,
x1 = x2 = … = xn = 0 es solución y se denomina solución trivial. Por lo tanto:
Los sistemas homogéneos compatibles determinados tienen como única

solución el vector nulo, es decir, la solución trivial y en caso de ser
compatibles indeterminados tienen infinitas soluciones, además de la
trivial.
280
Actividad 15
En cada uno de los siguientes ítems responda cuál es la alternativa correcta. Justifique su elección.
1 0 −5 0 
 
0 1 3 0
A) Sea A B = 
0 0 1 0
 
0 0 0 0 
la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, luego de efectuar algunas operaciones

elementales por filas, se puede afirmar que el sistema:
a) Es compatible determinado con única solución la trivial.

b) Es compatible determinado con única solución X’ = (5, -3, 0).
c) Es compatible indeterminado con solución X’ = (5, -3, 0) , para todo z real.
d) Es compatible indeterminado con solución X’ = (-5z, 3z, z) , para todo z real.
e) Es compatible indeterminado con solución X’ = (5z, -3z, z) , para todo z real.
1 0 −5 0 
 
0 1 3 0
B) Sea A B = 
0 0 0 0
 
 0 0 0 0 
la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, luego de efectuar algunas operaciones

elementales por filas, se puede afirmar que el sistema:
a) Es compatible determinado con única solución la trivial.

b) Es compatible determinado con única solución X’ = (5, -3, 0)
c) Es compatible indeterminado con solución X’ = (5, -3, 0) , para todo z real.
d) Es compatible indeterminado con solución X’ = (-5z, 3z, z) , para todo z real.
e) Es compatible indeterminado con solución X’ = (5z, -3z, z) , para todo z real.
Actividad 16
a) Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que r(A) < n
¿qué se puede concluir con respecto a la compatibilidad del sistema?
b) Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que r(A) = n
¿qué se puede concluir con respecto a la compatibilidad del sistema?
c) Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que A es
singular ¿qué se puede concluir con respecto a la compatibilidad del sistema?
d) Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que A es
regular ¿qué se puede concluir con respecto a la compatibilidad del sistema?
281
Una aplicación de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Partamos del siguiente enunciado:
La compañía X, en su Departamento de Ensamblado, paga $15 por hora a sus trabajadores calificados
y $9 a los trabajadores semi calificados. En el Departamento de Envíos, paga $10 la hora.
A causa de un incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en
los Departamentos de Ensamblado y Envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. Por
imposiciones sindicales debe emplearse el doble de trabajadores semi-calificados que de trabajadores
calificados. ¿Cuántos trabajadores semi-calificados, calificados y empleados de envíos debe contratar
la compañía?

c) Resuelva por el método de Cramer.
d) Resuelva por el método de la matriz inversa.
e) Obtenga la matriz ampliada del sistema.
f) Resuelva por el método de Gauss-Jordan. Realizando el correspondiente análisis de rangos y
explicitando la solución si existiese.
Referencias:
x: número de trabajadores calificados.
y: número de trabajadores semi-calificados.
z: número de empleados de envíos.
a) Planteo
 x + y + z = 70

15 x + 9 y + 10 z = 760
2 x = y

b) Forma matricial del sistema
 1 1 1   x   70 
15 9 10   y  =  760 
     
 2 −1 0   z   0 
c) Resolución a través de la Regla de Cramer
1 1 1
 
Calculamos A=  15 9 10  = -3
 2 −1 0 
 
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, resulta que el sistema es
compatible determinado, por lo tanto, podemos aplicar la Regla de Cramer.
282
 70 1 1 
 
 760 9 10 
 0 −1 0 
Ax   −60
x=  x=  x=  x = 20
A A −3
 1 70 1 
 
 15 760 10 
Ay 2 0 0 
 −120
y=  y=  y=  y = 40
A A −3
 1 1 70 
 
 15 9 760 
 2 −1 0 
Az   −30
z=  z=  z=  z = 10
A A −3
Respuesta:
Se deberán contratar 20 trabajadores calificados, 40 trabajadores semi-calificados y 10 empleados de

envíos.
d) Resolución a través del Método de la Inversa.
Recordando que si en un sistema del Tipo AX=B , la matriz de coeficientes posee inversa, entonces
podemos obtener el vector solución como X = A−1 B . Busquemos la inversa para obtener dicho vector
solución.
A I Columna
Control
1 1 1 1 0 0 4
15 9 10 0 1 0 35
2 −1 0 0 0 1 2
1 1 1 1 0 0 4
0 −6 −5 −15 1 0 −25
0 −3 −2 −2 0 1 −6
1 1 1 1 0 0 4
5 15 1 25
0 1 − 0 6
6 6 6
0 −3 −2 −2 0 1 −6
283
1 0 1 −9 1 0 −1
6 6 6 6
0 1 5 15 −1 0 25
6 6 6 6
0 0 3 33 −1 1 39
6 6 2 6
1 0 1 −9 1 0 −1
6 6 6 6
0 1 5 15 −1 0 25
6 6 6 6
0 0 1 11 −1 2 13
− 10 1 −1 −7
1 0 0 3 3 3 3
0 1 0 − 20 2 −5 −20
3 3 3 3
0 0 1 11 −1 2 13
Ahora encontremos la solución a través del correspondiente producto matricial.
 10 1 1
− 3 3
− 
3  70 
   20 
20 2 5 
X=A B −1
X = − − . 760   X =  40 
 3 3 3 
   0  10 
 11 −1 2  
 
e) Matriz ampliada del sistema.
1 1 1 70
A / B = 15 9 10 760
2 −1 0 0
f) Resolución a través del Método Gauss-Jordan.
1 1 1 70
1 1 1 70 1 1 1 70
5 290
15 9 10 760 ∼ 0 −6 −5 −290 ∼ 0 1
6 6
2 −1 0 0 0 −3 −2 −140
0 −3 −2 −140
1 130 1 130
1 0 1 0
6 6 6 6 1 0 0 20
5 290 5 290
∼ 0 1 ∼ 0 1 ∼ 0 1 0 40
6 6 6 6
0 0 1 10
3 10 0 0 1 10
0 0
6 2
284
Como r(A)= r(A/B) = 3= n, el sistema es compatible determinado y su solución es la siguiente:
 20 
X =  40 
10 
6. SOLUCIONES BÁSICAS
6.1 Concepto
El concepto de solución básica está asociado a los sistemas de ecuaciones lineales compatibles
indeterminados.
Como sabemos, un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, de las cuales las
soluciones básicas son soluciones particulares que cumplen una condición específica. En esta sección
se las define, se analiza su forma de obtención y se las clasifica.
Consideraremos aquellos sistemas con mayor número de incógnitas que de ecuaciones, en donde se
hayan eliminado todas las ecuaciones que son dependientes o redundantes, de tal manera que si m es
el número de ecuaciones del sistema y A es la matriz de coeficientes del mismo, entonces r(A) = m,
decimos, en tal caso, que el sistema tiene m ecuaciones independientes.
Formalmente:
Sea un sistema de m ecuaciones independientes con n incógnitas donde m < n,

entonces, una solución básica será una solución particular del sistema, obtenida
como el vector de orden n tal que:
• posee (n-m) componentes nulas,
• cada una de las m componentes restantes resultará de resolver el sistema cuadrado

obtenido luego de anular las correspondientes (n-m) incógnitas en el sistema dado,
siempre y cuando dicho sistema cuadrado sea compatible determinado.
Para comprender cómo obtener dichas soluciones básicas se puede pensar en la forma general del
sistema m ecuaciones independientes con n incógnitas, donde m < n.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2

……………………………
am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
285
A partir de este sistema se anulan n-m incógnitas. Sin pérdida de generalidad, asumamos que se anulan
las últimas (n-m) incógnitas resultando, entonces, un sistema con la misma cantidad de ecuaciones que
de incógnitas, como se muestra a continuación:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1m xm = b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 m xm = b2

……………………………
am1 x1 + am 2 x2 + … + amm xm = bm
Si este sistema tiene solución única, entonces la misma será también solución del sistema original y,
además, cumplirá con la condición de tener, al menos, m-n componentes nulas, por lo cual, será una
solución básica del sistema.
Caso contrario, diremos que la solución básica no existe.
Las incógnitas del sistema planteado se denominarán variables básicas y las que se anularon
previamente serán las variables no básicas.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema compatible indeterminado:
 x + y − z = −1

− x + y + z = 4
Tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas, entonces una solución básica deberá tener al menos una (3-2)
componente igual a cero. Para obtener sus soluciones básicas, deberemos resolver sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas, como los siguientes:
Si hacemos z = 0, es decir, suponemos que x e y son las variables básicas y z es la variable no básica,
obtenemos el sistema:
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema compatible indeterminado:
x + 2 y − z = 5

2 x + y + z = 4
Tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas, entonces una solución básica deberá tener al menos una (3-2)
componente igual a cero. Para obtener sus soluciones básicas, deberemos resolver sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas, como los siguientes:
Si hacemos z = 0, es decir, suponemos que x e y son las variables básicas y z es la variable no básica,
obtenemos el sistema:
x + 2 y = 5
 resolviendo resulta x = 1; y = 2
2 x + y = 4
1 
 
Por lo cual, la solución básica del sistema originalmente planteado será: X = 2
*
 
 0 
Si hacemos x = 0, obtenemos el sistema:
286
2 y − z = 5
 resolviendo resulta y = 3 ; z = 1
y + z = 4
0
 
Por lo cual, la solución básica del sistema originalmente planteado será: X = 3
*
 
1 
En este último caso las variables básicas son y y z, mientras que la variable no básica es x.
Finalmente, si y = 0, se obtiene el siguiente sistema:
x − z = 5
 , resolviendo el sistema se obtiene x = 3 ; y = −2
2 x + z = 4
3
En consecuencia, la correspondiente solución básica es la siguiente: X =  0 
*
 
 −2 
Por ejemplo, analicemos en el sistema compatible indeterminado:
x − y − 2z + t = 1
 ,
2 x − 3 y − 4 z = 2
si las siguientes son soluciones básicas y, en caso de serlo, cómo se clasifican:
X 1′ = [ 0 , 0 , z * , t * ] ; X 2′ = [ x * , y * , 0 , 0 ] ; X 3′ = [ x * , 0 , z * , 0 ]
La primera condición para que sea solución básica es que (n-m) de las incógnitas asuman el valor cero.
En este caso 2 componentes de cada uno de los vectores propuestos son cero, en consecuencia, para
encontrar tales vectores deberemos obtener el valor de las variables básicas correspondientes a cada
solución.
Para obtener X 1′ consideramos el sistema que resulta de adoptar la condición x= 0 e y= 0
− z + t = 2

−2 z − 4t = 4
−1 1
Como = 6 , podemos afirmar que el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, la
−2 −4
solución básica existe.
Para resolver, podemos implementar cualquiera de los métodos estudiados, por ejemplo la regla de
Cramer:
2 1 −1 2
4 −4 −12 −2 4 0
z= = = −2 ; t= = =0
−1 1 6 −1 1 6
−2 −4 −2 −4
287
Hemos obtenido z= -2 e t= 0, por lo tanto, la solución básica será:
X 1′ = [ 0 , 0 , -2 , 0 ]
Es una solución básica degenerada
Para encontrar X 2′ = [ x * , y * , 0 , 0 ] , debemos considerar el sistema donde z= 0 e t= 0:
2 x − 6 y = 2

x − 3y = 4
2 −6
Como = 0 , este sistema no es compatible determinado, por lo cual se concluye que:
1 −3
La correspondiente solución básica no existe
Finalmente, para obtener X 3′ = [ x * , 0 , 0 , t * ] corresponde resolver el sistema con la

condición de que y= 0 e z= 0:
2 x + t = 2

 x = 4 + 4t
2 1
Como = −9 , el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, la solución básica existe.
1 −4
2 1 2 2
4 −4 −12 4 1 4 6 2
x= = = ¸ t= = =−
2 1 −9 3 2 1 −9 3
1 −4 1 −4
Hemos encontrado que x= 4/3 ; t= -2/3, con lo cual:
4 2
X 3′ = [ , 0, 0, - ]
3 3
Es una solución básica no degenerada
288
Actividad 17
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado:
 −2 x − y + 2 z − w = 1
 ,
 2 x + y − 4 z + 4 w = −1
establezca si los siguientes vectores son soluciones básicas del sistema propuesto (en caso afirmativo
indique de qué tipo):
X 1* = 0 y* z* 0 ′ ; X 2* =  x* y* 0 0 ′ ; X 3* = 0 0 z* w* ′
La forma de encontrar las soluciones básicas no debe restringirse al uso de la regla de Cramer. Es
habitual, sobre todo en el caso de técnicas cuantitativas aplicadas a la economía y a la administración,
utilizar el método de Gauss-Jordan.
Otra forma de obtener las soluciones básicas es a partir de la solución general de un sistema de
ecuaciones lineales compatible indeterminado.
Por ejemplo:
Si se tiene la solución general de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado:
X’= ( 3z , w +1, z, w), z ∈ℜ, w ∈ℜ ,
vemos que hay dos componentes que pueden asumir cualquier valor. En consecuencia, podemos
considerar que estamos en presencia de la solución de un sistema compatible indeterminado con 2
ecuaciones independientes y 4 incógnitas. Cada solución básica tendrá, al menos, dos componentes
nulas.
Para encontrar las soluciones básicas bastará con reemplazar, en la solución general, dos de las
variables por cero y deducir algebraicamente el valor de las otras incógnitas cuando sea posible, como
se muestra a continuación:
Si z=0 y w=0, la solución básica correspondiente es ( 0 , 1, 0, 0)’.

Si x=0 y w=0, la solución básica correspondiente es ( 0 , 1, 0, 0)’.
Si y=0 y w=0, la solución básica no existe.
Si x=0 y z=0, la solución básica no existe.
Si y=0 y z=0, la solución básica correspondiente es( 0 , 0, 0, -1)’.
Si x=0 y y=0, la solución básica correspondiente es( 0 , 0, 0, -1)’.
289
6.3 Cantidad máxima de soluciones básicas
Partimos de la pregunta: ¿cuántas soluciones básicas puede tener, como máximo, un sistema
compatible indeterminado de m ecuaciones independientes con n incógnitas?
Esta cantidad surge de contar el total de selecciones posibles de n-m incógnitas (que son las que
haremos iguales a cero) obtenidas a partir de las n incógnitas existentes.
Recurriendo a nuestros conocimientos sobre las técnicas de conteo, podemos deducir que dicha
n!
cantidad está dada por el número combinatorio Cnn − m = ,
(n − m)!m !
n!
el cual es exactamente igual a Cnm = .
(n − m)! m !
Por ejemplo:
Si tenemos un sistema compatible indeterminado de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, como se planteó en

3!
el primer caso, tendremos como máximo C32 = soluciones básicas, esto es, a lo sumo, 3
(3 − 2)!2!
soluciones básicas, mientras que si se trata de un sistema de 2 ecuaciones con cuatro incógnitas, el
4!
número máximo de soluciones básicas que pueden existir es C42 = , con lo cual se podrán
(4 − 2)!2!
obtener, a lo sumo, 6 soluciones básicas.
Un resultado muy importante que puede ser demostrado es el siguiente:
“Para que un sistema compatible indeterminado (de m ecuaciones y n incógnitas) posea el número
máximo de soluciones básicas y ellas sean no degeneradas, es condición necesaria y suficiente que
cualquier conjunto de vectores formado por m columnas de la matriz ampliada del sistema sea
linealmente independiente”.
Actividad 18
X’= ( 2z −1, z +3, z, z+1), z ∈ℜ
Encuentre todas la soluciones básicas del sistema.
290
Actividad 19
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado
2x + 3 y +5 z + 6w = 10
3x – y + 4z – 2w = 8
a) Determine el número máximo de soluciones básicas posibles.

b) Obtenga las soluciones básicas que existen y clasifíquelas.
Actividad 20
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado
x + 3 y +2 z = 3
2x – 2 y –z = 2
a) Determine el número máximo de soluciones básicas posibles.

b) Obtenga las soluciones básicas que existen y clasifíquelas.
En esta unidad hemos utilizado la mayoría de las herramientas, conceptos y técnicas desarrolladas en
las unidades anteriores. También introdujimos los aspectos formales y metodológicos de la resolución
de sistemas de ecuaciones lineales, a través del uso de matrices.
Destacamos la importancia del conocimiento de este tema central de nuestra asignatura, que
contribuye a la formación cuantitativa, indispensable para nuestra formación profesional.
291
EJERCICIOS
1) Aplicando el método gráfico, establezca el número de soluciones que posee cada uno de los
siguientes sistemas:
2 x − y = 0  x1 − x2 = 3 2 − 2 y = 4 x
a)  b)  c) 
− x + y = 2 −3x1 + 3 x2 = 3 2 x + y = 1
2) Plantee la forma matricial del sistema y resuelva utilizando la regla de Cramer:
2 x + y − z = 0 2 x − y = 5 + 2 z
 
a) 3 x − 2 z = 1 b) 3 x − 2 y − 4 z − 3 = 0
x − 2 y + z = 1 z − x + y = 4
 
2 x + 3 y + z + w = 10

3) Dado el siguiente sistema:  x + y + z = 3
− x + 2 y + z + w = 9

Obtenga las soluciones básicas que existen y clasifíquelas.
4) Plantee el siguiente problema y use la regla de Cramer para resolver:
Una vinería gastó $2.000 en la compra de vinos económicos y vinos de buena calidad. Se compró un
total de 395 botellas. Cada vino económico costó $ 4 y cada vino de buena calidad $10.
¿Cuántas botellas de cada tipo se compraron?
5) Plantee el siguiente problema como un sistema de ecuaciones y resuélvalo por el método de la

inversa:
Una industria metalúrgica fabrica chapas con tres aleaciones distintas. La aleación A requiere la
combinación de 1 unidad de aluminio, 2 unidades de hierro, y 1 de cobre; para la aleación B se
necesita 1 unidad de aluminio y 2 de cobre y la aleación C demanda 1 unidad de aluminio, 1 de hierro
y 1 de cobre. Se dispone de 10 unidades de aluminio, 11 de hierro y 13 de cobre.
¿Cuántas chapas de cada aleación producirá la fabrica?
6) Dado el siguiente problema:
Una compañía produce tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada
uno requiere de madera, plástico y aluminio. Los requerimientos técnicos de producción son los
siguientes: cada silla utiliza 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 2 unidades de aluminio. Cada
292
mecedora utiliza 1 unidad de madera, 1 unidad de plástico y 3 unidades de aluminio. Por último, cada
sillón utiliza 1 unidad de madera, 2 unidades de plástico y 5 unidades de aluminio.
La compañía tiene, en existencia, 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades
de aluminio y quiere utilizarlas a todas. Se pide:
c) Resuelva por el método de Cramer.
d) Resuelva por el método de la matriz inversa.
e) Obtenga la matriz ampliada del sistema.
f) Resuelva por el método de Gauss-Jordan. Realice el correspondiente análisis de rangos y explicite
la solución en caso de que exista.
7) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
 x + 3 y = −8
−2 x + y + 2 z = −4 3 x + y − 2 z = −8
− x + 3 y = 2  
a)  b)  x + y + z = 1 c) 
6 y = 4 + 2 x − x + 2 y + 3 = −3 z 2 x + 3 y + z = 3
 − x + 2 y + 3 z = 5
2 x + 3 y + z = 0
x + 2 y + 2z = 4 3 x + y = 1
  2 x + 4 y = 2 − 2 x
d)  e)  x + 2 y = 0 f) 
3 x + 5 y + 3 z = 4 4 x + 3 y = 1 x + 2 y = 3 − x
− x − 2 y − 2 z = −4 
I) Represente el sistema en su forma vectorial.

II) Represente el sistema en su forma matricial (AX=B).
III) Obtenga la matriz ampliada.
IV) Resuelva el sistema por el método de Gauss- Jordan.
V) Realice el correspondiente análisis de rangos y clasifique al sistema.
VI) Encuentre la solución en caso de que la misma exista.
8) Las siguientes son las matrices ampliadas de sistemas de ecuaciones lineales. Luego de aplicar
algunas operaciones elementales por filas, establezca, en cada caso, de qué tipo de sistema se trata a
través de un análisis de rangos. Encuentre la solución en caso de que exista.
a) b) c)
1 0 0 ⋮ 4 1 0 0 1 ⋮ 4 1 1 0 ⋮ 4
0 1 0 ⋮ 7  0 1 2 3 ⋮ 7  0 1 0 ⋮ 7 
  
0 0 1 ⋮ 0 0 0 1 2 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0
     
0 0 1 ⋮ 1 0 0 0 0 ⋮ 0 0 0 0 ⋮ 0
d) e) f)
1 0 1 ⋮ 0 1 0 1 1 ⋮ 4  1 2 3 ⋮ 1
0 1 0 ⋮ 3  0 1 0 3 ⋮ 7  0 1 2 ⋮ 0 
   
0 0 1 ⋮ 2 0 1 0 3 ⋮ 1  0 0 0 ⋮ 0
   
0 0 0 ⋮ 0 0 0 0 ⋮ 0
293
9) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
x + 3y + z = 0
x + 2z = 1


2 x + 3 y + 3z = 1
− x − 3 y − z = 0
a) Exprese el sistema en su forma vectorial.

b) Sabiendo que el sistema es compatible determinado, recordando la condición necesaria y
suficiente de compatibilidad de sistemas y sin hacer cálculos, determine si el conjunto formado por las
columnas de la matriz ampliada del sistema constituye un conjunto de vectores linealmente
independiente o linealmente dependiente. Justifique teóricamente su decisión.
10) Determine si el vector W = [1, 3, 5] se puede expresar como combinación lineal de los vectores
V1 = [1, 0, 3] ; V2 = [ 2, 1, 4] ; V3 = [ −1, − 1, − 1] . Use el método de Gauss-Jordan para resolver.
11) Establezca cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuáles falsas (F).
a) Un sistema de ecuaciones es compatible si y sólo si tiene una única solución.
b) Un sistema de ecuaciones homogéneo admite la solución trivial.
c) El Teorema de Rouché-Fröbenius afirma que si un sistema tiene solución, entonces el

sistema es compatible.
d) Dado un sistema con cuatro ecuaciones lineales y dos incógnitas, tal que r(A) >1 y r(A/B) =
2, entonces el sistema es compatible determinado.
e) En un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado con m ecuaciones y n

incógnitas, una solución básica no degenerada es aquella que tiene exactamente n-m
componentes no nulas.
f) En un sistema compatible indeterminado con m ecuaciones independientes y n incógnitas,

una solución se dirá básica degenerada si tiene más de m componentes nulas.
g) El número máximo de soluciones básicas que admite un sistema compatible indeterminado

con 3 ecuaciones independientes y 5 incógnitas es 15.
12) En cada uno de los siguientes enunciados identifique la alternativa correcta:
A) Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales del tipo A X = B, si la matriz

escalonada reducida de A es la identidad, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) El sistema tiene solución única.
294
b) El determinante de A es nulo.
c) El rango de A es igual al número de columnas de A.
d) El rango de A es igual al número de filas de A.
e) El sistema se puede resolver por el método de la inversa.
B) Dado un sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas expresado como Ax=B , tal que r(A) =3 ,
r(A|B) =3, entonces el sistema es:
a) Compatible determinado.
b) Compatible indeterminado.
c) Incompatible.
d) Es imposible que se dé esta situación.
C) La siguiente matriz corresponde a la ampliada de un sistema de ecuaciones lineales a la cual se le

han efectuado algunas operaciones elementales por filas:
0 0 0 1
 
0 1 2 0
A/ B = 
1 0 3 2
 
 0 0 0 0 

a) Incompatible, pues el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3.
b) Compatible determinado, pues posee 3 incógnitas y el rango de la matriz de coeficientes es 3.
c) Compatible indeterminado, pues posee 3 incógnitas y el rango de la matriz de coeficientes es 2.
d) Compatible determinado, pues posee 3 incógnitas y el rango de la matriz ampliada es 3.
e) Compatible indeterminado, pues posee 4 incógnitas y el rango de la matriz ampliada es 3.
D) Sea
1 0 0 3 
0 1 0 0 
 
0 0 1 0 
 
0 0 0 0 
la matriz reducida ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, se puede afirmar que el sistema:
a) Tiene por única solución la trivial.

b) Tiene infinitas soluciones.
c) Es incompatible.
d) Su solución se puede expresar como x= 3 , y= 0 , z=0.
e) Su solución se puede expresar como x= -3 , y= 0 , z=0.
E) Si un sistema de n ecuaciones con n incógnitas es homogéneo y su matriz de coeficientes es

singular, entonces el sistema:
a) Posee infinitas soluciones pero no la trivial.

b) Posee infinitas soluciones además de la trivial.
c) Posee, únicamente, la solución trivial.
d) Posee una única solución no trivial.
e) Faltan datos para contestar.
295
F) Sea AX= B un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado, entonces:

a) B se puede expresar como combinación lineal de los vectores columnas de A de infinitas formas.
b) B se puede expresar como combinación lineal de los vectores columnas de A de una única forma.
c) B no se puede expresar como combinación lineal de los vectores columnas de A.
d) Las columnas de la matriz ampliada A|B son linealmente independientes.
e) Todas las alternativas anteriores son incorrectas.
G) Sea AX= B un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado, entonces:

d) Las columnas de la matriz ampliada A|B son linealmente independientes.
H) Sea AX= B un sistema de ecuaciones lineales incompatible, entonces:

d) Las columnas de la matriz ampliada A|B son Linealmente dependientes.
13) Plantee y resuelva los siguientes problemas, usando la Regla de Cramer:
a) Una empresa tiene dos plantas de fabricación de escritorios, una en el norte y otra en el sur de
nuestra provincia. En su planta norte, los costos fijos son de $16.000 anuales y los costos de
fabricación de cada escritorio son de $90. En la planta sur, los costos fijos son de $20.000 anuales y
los costos de fabricación de cada escritorio, de $80. Para el siguiente año, la compañía desea fabricar
un total de 800 escritorios.
Determine las órdenes de producción de cada planta para el año siguiente, de manera que los costos
totales de ambas fábricas sean iguales.
b) Se realizó una encuesta a 3000 exportadores, divididos en agropecuarios y de la industria. De los

3000, 1000 ya pagaron la retención a las exportaciones. El 20% de los exportadores agropecuarios
encuestados y el 60% de los exportadores industriales pagaron dicha retención. ¿Cuántos exportadores
agropecuarios y cuántos industriales se han encuestado?
14) Indique para qué valor/es de k el siguiente sistema es incompatible.

2 x + 4 y = k

 x + 2y = 4
15) Sea AX= B un sistema de ecuaciones lineales compatible, considere los vectores columnas de A,
(A1, A2,…. An), y también el vector B. En este contexto, determine si el conjunto de vectores:
{A1,A2,…,An, B} constituye un conjunto de vectores linealmente independiente o linealmente
dependiente.
296
Actividad 1
a) b) c)
y (1) y (1) y (1) (2)
(2) (2) (3)
x x x
d) e) f)
Incompatible Compatible determinado Compatible determinado
y (1) (2) (1) y y
(3) (2) (1) (2)
(3)
x x x
Incompatible Incompatible Compatible indeterminado
Actividad 2
Recuerde que, antes de encontrar la forma matricial deberá ordenar el sistema, dejando las incógnitas
en el primer miembro y los términos independientes en el segundo miembro.
Por ejemplo en el caso A) corresponde el siguiente procedimiento:
x + 3y = 2 x + 3y = 2
  
−2 x = − y −2 x + y = 0
297
EXPRESIÓN GENERAL EXPRESIÓN MATRICIAL EXPRESIÓN VECTORIAL

x + 3y = 2 1 3  x   2  1 3  2 
A)   −2 = x + y  =  
−2 x + y = 0  1  y   0   −2  1   0 
3 x + 3 y = 0 3 3   x  0  3 3 0
B)   −2 = x + y  =  
−2 x − 2 y = −1  −2   y   −1  −2   −2   −1
− x + 3 y = 2  −1 3 2  −1 3  2 
  −2  x  
C )  −2 x + y = 0  1   =  0  x  −2  + y 1  =  0 
 
y
 x + 2 y = −1
  1 2     −1  1   2   −1
− x + 3 y + z = 4  −1 3 1   x  4   −1 3 1 4
  −2
D ) −2 x + 7 y + z = −4  7 1   y  =  −4  x  −2  + y  7  + z  1  =  −4 
   
 y − z = −1  0 1 −1  z   −1  0   1   −1  −1

2 x + 3 y + z = 7 23 1 7 2 3 1   7 
x + 2 y + 2z = 4 1   x   1  2  2  4 
  2 2    4 
E)  y = x + y + z  =  
3x + y + 3 z = −5 31 3     −5 3 1   3   −5 
4 x + 3 y + 5 z = −1    z           
43 5  −1 4 3  5   −1
 x
2 x + 4 y + 2 z = 2 2 4 2    2 2 4 2 2
F) 1 2 1   y  =  3  x + y + z  =  
x + 2 y + z = 3  z   1  2 1   3 
 
Actividad 3:
3 4  1 13 2 13 
La matriz inversa de A=   es A−1 =   , entonces podemos obtener la solución
5 − 2  5 26 −3 26 
X = A −1 B
 x  1 13 2 13   4 
 y  = 5 26 −3 26   −1
    
x
   2 13 
 y  =  23 26 
   
Actividad 4
a) Planteo
x: cantidad de tarros de pintura A a producir.

y: cantidad de tarros de pintura B a producir.
z: cantidad de tarros de pintura C a producir.
 x + y + z = 10

2 x + z = 11
 x + 2 y + z = 13

298
1 1 1  x  10 
 2 0 1  y  = 11
     
1 2 1  z  13
c) Resolución a través del Método de la Inversa.
Recordando que si en un sistema del Tipo AX=B , la matriz de coeficientes posee inversa entonces
X = A −1 B .
 −2 1 1 
1 1
−1
A = Adj ( A) =  −1 0 1  .
A 1
 4 −1 −2 
 −2 1 1  10  4
X=A B −1
X =  −1 0 1  . 11  X =  3 
 4 −1 −2  13  3 
Respuesta:
Se deberán producir 4 tarros de pintura A, 3 del B y 3 del C.
Actividad 5
Resolución a través de la Regla de Cramer:
 1 1 1
Calculamos A=
 
 2 0 1 = 1
 1 2 1
 
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible

determinado. Podemos aplicar la Regla de Cramer como sigue:
10 1 1
 
 11 0 1
Ax  13 2 1
  4
x=  x=  x=  x=4
A A 1
299
 1 10 1
 
 2 11 1
Ay  1 13 1
  3
y=  y=  y=  y =3
A A 1
 1 1 10 
 
 2 0 11 
Az  1 2 13 
  3
z=  z=  z=  z=3
A A 1
Actividad 6
1 1
1 − 1  x  1  2 3 1
 2 − 1  y  = 3  y= = =1
1 −1 1
    
2 −1
Actividad 7
Observemos que:
A la matriz ampliada se le puede agregar la columna control a los efectos de detectar la ocurrencia de
algún error de cálculo.
A B Columna
Control
1 1 1 10 13
2 0 1 11 14
1 2 1 13 17
1 1 1 10 13
0 −2 −1 −9 −12
0 1 0 3 4
1 1 1 10 13
0 1 0 3 4
0 −2 −1 −9 −12
1 0 1 7 9
0 1 0 3 4
0 0 −1 −3 −4
1 0 0 4 5
0 1 0 3 4
0 0 1 3 4
Vemos que el sistema resulta compatible
300
4
 
determinado con solución: X = 3
 
 3 
Actividad 8
x + y = 8
Resolución del sistema 
− x + y = 2
Regla de Cramer
 1 1   x  8 
La forma matricial del sistema (A X = B) es:  =
 −1 1  y   2 
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema:
A= 1 − (−1) = 2
Como este determinante es distinto de cero, la Regla de Cramer es aplicable.
A xj
xj =
A
Para obtener el valor de cada una de las incógnitas, realizamos los siguientes cálculos:
8 1
Ax 2 1 6
x =  x=  x=  x=3
A 2 2
1 8
Ay −1 2 10
y =  y=  y=  y =5
A 2 2
3
De esta manera, el vector solución del sistema es X =  
5
Resolución por el Método de la inversa

 1 1
Siendo la matriz de coeficientes del sistema A =  , se puede ver que la inversa de esta matriz
 −1 1
es:
1 / 2 − 1 / 2
A-1 =  
1 / 2 1 / 2 
301
para resolver el sistema bastará con realizar el producto matricial entre la inversa de A y el vector de
términos independientes. El cálculo es el siguiente:
1/ 2 − 1/ 2  8  (1/ 2 ) 8 + ( −1/ 2 ) 2  3 
X =  ⋅   X =   X = 
1/ 2 1/ 2   2  (1/ 2 ) 8 + (1/ 2 ) 2  5 
Resolución por el Método de Gauss-Jordan
A B Columna
Control
1 1 8 10
2 2
−1 1
1 1 8 10
10 12
0 2
1 1 8 10
5 6
0 1
1 0 3 4
5 6
0 1
Actividad 9
Por cuestiones de espacio, desarrollaremos en forma apaisada el método de Gauss-Jordan, aunque

normalmente se lo realiza en forma vertical.
x + 3y = 2  1 3 2  1 3 2  1 3 2  1 0 2 7 
a)   A/ B =  ∼ ∼ ∼ 
 −2 x = − y  −2 1 0   0 7 4   0 1 4 7   0 1 4 7 
2 7
r ( A) = r ( A / B ) = 2 = n  El sistema es compatible determinado. Solución X = 
4 7 
3 x + 4 y = y  3 3 0   1 1 0  1 1 0 
b)   A/ B =   ∼ ∼  
 −2 x + 1 = 2 y  −2 −2 −1  −2 −2 −1 0 0 −1
r ( A) = 1 < r ( A / B ) = 2  El sistema es incompatible. No admite solución.
− x + 3 y = 2  −1 3 2  1 −3 −2  1 0 2 5
      
c)  −2 x + y = 0  A / B =  −2 1 0  ∼ 0 −5 −4  ∼ 0 1 4 5
x + 2 y +1 = 0  1 2 −1 0 5 1  0 0 −3 

302
− x + 3 y + z = 4  −1 3 1 4  1 −3 −1 −4  1 0 −4 −7 
      
d)  −2 x + 7 y + z = 7  A / B =  −2 7 1 7  ∼ 0 1 −1 −1 ∼ 0 1 −1 −1
 y +1 = z  0 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 0 0 0 

r ( A) = r ( A / B ) = 2 < 3 = n  El sistema es compatible indeterminado.

4z − 7
 
La solución general es X = z − 1 , z ∈ℜ .
 
 z 
2 x + 3 y + z = 7 2 3 1 7  1 2 2 4  1 2 2 4 
x + 2 y + 2z = 4      
 1 2 2 4  2 3 1 7  0 −1 −3 −1 
e)   A/ B =  ∼ ∼
3 x + y + 3 z = −5 3 1 3 −5   3 1 3 −5 0 −5 −3 −17 
4 x + 3 y + 5 z = −1      
 4 3 5 −1  4 3 5 −1 0 −5 −3 −17 
1 2 2 4  1 0 −4 2   1 0 −4 2  1 0 0 −2 
       
 0 1 3 1  0 1 3 1  0 1 3 1  0 1 0 4
∼ ∼ ∼ ∼
0 −5 −3 −17  0 0 12 −12  0 0 1 −1 0 0 1 −1
       
0 −5 −3 −17  0 0 12 −12  0 0 0 0  0 0 0 0 
 −2 
 
r ( A) = r ( A / B ) = 3 = n  El sistema es compatible determinado. Solución X =  4 
 −1
2 x + 4 y = 2 − 2 z  2 4 2 2  1 2 1 1 1 2 1 1 
f)   A/ B =  ∼ ∼ 
x + 2 y + z = 3 1 2 1 3  1 2 1 3 0 0 0 2 
2 x + 4 y = 2 − 2 z  2 4 2 2  1 2 1 1 1 2 1 1 
g)   A/ B =  ∼ ∼ 
x + 2 y + z = 1 1 2 1 1  1 2 1 1 0 0 0 0 
r ( A) = r ( A / B ) = 1 < 3 = n  El sistema es compatible indeterminado.
 −2 y − z + 1
La solución general es X =
 y  , y ∈ ℜ, z ∈ ℜ .
 
 z 
303
Actividad 10
a)
I) El sistema dado tenía 4 ecuaciones y 3 incógnitas.
1 0 0 −2 
 
0 1 0 −4 
II) A / B = 
0 0 1 0
 
 0 0 0 0 
r(A)=3
 S .C .D
r(A/B)=3=n
 −2 
 
III) Solución X = −4
 
 0 
b)
1 0 0 2 1
 
0 1 0 −3 2 
II) A / B = 
0 0 1 4 0
 
0 0 0 0 0 
r(A)=3
 S .C . I
r(A/B)=3<n
 x  1 − 2 w 
 y   2 + 3w 
III) Solución X =   =   , w ∈ℜ
 z   −4 w 
   
 w  w 
c)
1 0 0 2 0  1 0 0 2 1
   
0 1 0 3 0  0 1 0 3 2
II) A / B =  ∼
0 0 1 4 0  0 0 1 4 0
   
 0 0 2 8 2  0 0 0 0 2 
r(A)=3
 S . Incompatible
r(A/B)=4
304
Actividad 11
A) Opción c) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que
r(A) = r(A|B) = n, entonces el sistema es compatible determinado.
B) Opción e) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B, tal que
r(A) < r(A|B) = n, entonces el sistema es incompatible.
C) Opción a) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B , tal que
r(A) = r(A|B) = m, entonces el sistema es compatible determinado o compatible indeterminado.
D) Opción a) No es posible que r(A) > r(A|B)
E) Opción d) Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, Ax=B , tal que
r(A) = r(A|B) < n, entonces el sistema es compatible indeterminado.
Actividad 12
A partir de la matriz ampliada, sumando la segunda fila multiplicada por (-1) a la tercera fila, se
obtiene:
1 0 1 −2  1 0 1 −2 
   
0 1 0 0 0 1 0 0
AB= ∼
0 1 k 1 0 0 k 1
   
 0 0 0 0  0 0 0 0 
Si k es distinto de cero, r ( A) = r ( A / B ) = 3 = n por lo tanto el sistema es compatible determinado.

Si k es cero, r ( A) = 2 < r ( A / B ) = 3 por lo tanto el sistema es incompatible.
La opción correcta es la c)
Actividad 13
A partir de la matriz ampliada, sumando a la tercera fila, la segunda fila multiplicada por (-1), se
obtiene:
1 0 0 4 1 0 0 4
   
0 1 1 0 0 1 1 0
AB= ∼ 
0 1 1 k 0 0 0 k
   
0 0 0 0  0 0 0 0 
Si k distinto de cero, r ( A) = 2 < r ( A / B ) = 3 por lo tanto el sistema es incompatible.

Si k es cero, r ( A) = r ( A / B ) = 2 < 3 = n por lo tanto el sistema es compatible indeterminado.
La opción correcta es la d)
Actividad 14
a) Definamos:
305
x1= cantidad de subsidios de $100 a otorgar

El sistema resultante está dado por:
100 x1 + 200 x2 + 300 x3 = 40.000


 1
 x1 = ( x2 + x3 )
 3
 x1 + x2 + x3 = 200
haciendo pasaje de términos se obtiene:
100 x1 + 200 x2 + 300 x3 = 40.000


3 x1 − x2 − x3 = 0
 x + x + x = 200
 1 2 3
100 200 300 40.000 Partimos de la matriz ampliada del sistema y operamos por
3 -1 -1 0
1 1 1 200 filas hasta obtener la matriz escalonada reducida de A.
1 2 3 400
3 -1 -1 0
1 1 1 200
1 2 3 400
0 -7 -10 -1200
0 -1 -2 -200
1 2 3 400
0 1 2 200
0 -7 -10 -1200
1 0 -1 0
0 1 2 200
0 0 4 200
1 0 -1 0
0 1 2 200
0 0 1 50
1 0 0 50
0 1 0 100
0 0 1 50
r(A) = 3 Como r(A) = r(AB) = n el sistema es COMPATIBLE

r(A/B) = 3 DETERMINADO
 50 
SOLUCIÓN: x1 = 50; x2 = 100 ; x3 = 50 ó X = 100 
 
 50 
306
b) En este caso el sistema es:

100 x1 + 200 x2 + 300 x3 = 40.000

 x1 + x2 + x3 = 200
Planteando la matriz ampliada y a través de operaciones elementales por filas se llega a la siguiente
matriz ampliada
100 200 300 40.000 Partimos de la matriz ampliada del sistema y operamos por
1 1 1 200 hasta obtener la matriz escalonada reducida de A.
1 2 3 400
1 1 1 200
1 2 3 400
0 -1 -2 -200
1 0 -1 0
0 1 2 200
r(A) = 2
r(A/B) = 2 < n = 3 sistema compatible indeterminado.
A partir de la matriz ampliada del último cuadro resulta la condición que debe cumplir cualquier
solución del sistema
 x3 
 x1 = x3
  X =  200 − x3  , 0 ≤ x3 ≤ 200

x
 2 = 200 − x3
 x3 
Esta condición se debe a que las

variables en el problema dado no pueden
ser negativas.
Actividad 15
A) La opción correcta es la a).

Como es un sistema homogéneo con rango de la matriz de coeficientes igual al número de incógnitas
el sistema es compatible determinado y tiene por única solución a la solución trivial.
B) La opción correcta es la e).

Como es un sistema homogéneo con rango de la matriz de coeficientes menor al número de incógnitas
el sistema es compatible indeterminado y a partir del último cuadro se plantea la condición que deben
cumplir las incógnitas para ser solución del sistema.
307
 5z 
 x − 5z = 0  x = 5z
  X =  −3z  ; z ∈ℜ

 y + 3 z = 0  y = −3 z  z 
Actividad 16
a) Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que
r(A) < n entonces el sistema es compatible indeterminado.
b) Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que r(A) = n
entonces el sistema es compatible determinado.
c) Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que A es singular
entonces el sistema es compatible indeterminado.
d) Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas del tipo AX =∅, tal que A es regular
entonces el sistema es compatible determinado.
Actividad 17
X 1* = 0 y* z* 0 ′ X 2* =  x* y* 0 0 ′ X 3* =  0 0 z * w* ′
Sistema a − y + 2 z = 1  −2 x − y = 1 2 z − w = 1
resolver   
 y − 4 z = −1  2 x + y = −1  −4 z + 4 w = −1
Solución
básica X 1* = [ 0 −1 0 0]′ No existe X 3* = [ 0 0 3 4 2 4]′
Solución básica Solución básica
Tipo
degenerada no degenerada
Actividad 18
X’= (2z −1, z +3, z, z+1), z ∈ℜ
Cada condición sobre las componentes del vector solución está asociada a un vector unitario en la
correspondiente matriz de coeficientes reducida. Por lo tanto, el rango de la misma es, en este caso,
igual a 3. En consecuencia, podemos considerar que estamos en presencia de la solución de un sistema
compatible indeterminado con 3 ecuaciones independientes y 4 incógnitas. Cada solución básica
tendrá, al menos, una componente nula.
Para fijar ideas supongamos que el vector solución tiene por variables a x, y, z, w.
 0 
7 2 
Si x=0  2z −1= 0  z = 1 2 ; y = 7 2; w = 3 2 ,  X 1* =  
1 2 
 
3 2 
308
 −7 
0
Si y=0  z +3= 0  z = −3 ; x = −7; w = −2 ,  X 2 * =  
 −3 
 
 −2 
 −1
3
Si z=0  x = −1; y = 3; w = 1  X 3* =  
,
0
 
1
 − 3
2
Si w=0  z +1= 0  z = −1 ; x = −3; y = 2 ,  X 4* =  
 −1
 
0
Actividad 19
En este caso podemos observar que m=2, n=4.

Para que una solución sea básica se debe verificar que posea, al menos, 4-2 componentes nulas. Por lo
tanto, las posibles elecciones de conjuntos de variables tomadas de a 2 a partir de las 4 existentes,
4!
son C24 = = 6 y se obtendrán a partir del planteo de cada una de las siguientes condiciones:
2!2!
1) x= 0 y=0 2) x= 0 z=0 3) x= 0 w=0 4) y= 0 z=0 5) y= 0 w=0 6) z= 0 w=0
Analicemos cada uno de estos casos

5 z + 6 w = 10
1) x= 0 y=0  Resolviendo z = 2 ; w= 0  la solución básica
4 z − 2w = 8
0
0
encontrada es X =   se trata de una solución básica degenerada.
*
 2
 
0
3 y + 6 w = 10
2) x= 0 z=0  Resolviendo se encuentra un sistema
− y − 2w = 8
incompatible por lo tanto esta solución básica no existe.
3 y + 5 z = 10
3) x= 0 w=0 
− y + 4 z = 8
309
0
0
Resolviendo y = 0 ; z= 2  la solución básica encontrada es X =   se trata de una solución
*
 2
 
0
básica degenerada. El vector de términos independientes...
 2 x + 6 w = 10
4) y= 0 z=0  Resolviendo x = 34/11 ; w= 7/11 la solución básica
3 x − 2 w = 8
34 
 11
 0 
encontrada es X * =   se trata de una solución básica no degenerada.
 0 
7 
 11 
2 x + 5 z = 10
5) y= 0 w=0  Resolviendo x= 0 ; z = 2  la solución básica
3 x + 4 z = 8
0
0
encontrada es X =   se trata de una solución básica degenerada.
*
 2
 
0
2 x + 3 y = 10
6) z= 0 w=0  Resolviendo x = 34/11 ; w= 24/11 la solución básica
3 x − y = 8
34 
 11
14 
encontrada es X * =  11 se trata de una solución básica no degenerada.
 0 
 
 0 
310
1)
a) Tiene solución única. Gráficamente el sistema se visualiza como dos rectas que se cortan en un
único punto.
b) No tiene solución. Gráficamente el sistema se visualiza como dos rectas paralelas y distintas.
c) Tiene infinitas soluciones. Gráficamente el sistema se visualiza como dos rectas coincidentes.
2)
 2 1 − 1  x   0 
    
a) 3 0 −2 y = 1 ; A = −7 es posible aplicar la regla de Cramer.
    
1 −2 1   z  1 
Solución:
x = 1 7 y = −4 7 z = −2 7
 2 −1 −2   x   5 
b)
 3 −2 −4   y  =  3  ; A = 1 es posible aplicar la regla de Cramer.
    
 −1 1 1   z   4 
Solución:
x = 7 y = 13 z = −2
3)
 x   −1  x   −1
 y  4   y  4 
X 1* =   =   Sol. básica degenerada. X 2* =   =   Sol. básica degenerada.
z  0  0  0 
       
0  0   w  0 
x  1 3   0  0 
0  0   y  1 
X 3* =   =   Sol. básica no degenerada. X 4* =   =   Sol. básica no degenerada.
z  8 3   z  2
       
 w  20 3  w 5 
4)
Se compraron 325 vinos económicos y 70 de buena calidad.
5)
x: cantidad de chapas A a fabricar.
y: cantidad de chapas B a fabricar.
z: cantidad de chapas C a fabricar.
311
 x + y + z = 10

2 x + z = 11
 x + 2 y + z = 13

Se deben fabricar 4 chapas A, 3 chapas B y 3 chapas C.
6)
x: cantidad de sillas a fabricar.
y: cantidad de mecedoras a fabricar.
z: cantidad de sillones a fabricar.
a) Planteo
 x + y + z = 400

 x + y + 2 z = 600
2 x + 3 y + 5 z = 1500

1 1 1   x   400 
1 1 2   y  =  600 
     
 2 3 5   z  1500 
c) Resolución a través de la Regla de Cramer
1 1 1
 
Calculemos A=  1 1 2  = -1
2 3 5
 
Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible

determinado, podemos aplicar la Regla de Cramer como sigue:
 400 1 1 
 
 600 1 2 
1500 3 5 
Ax   −100
x=  x=  x=  x = 100
A A −1
 1 400 1 
 
 1 600 2 
Ay  2 1500 5 
  −100
y=  y=  y=  y = 100
A A −1
312
 1 1 400 
 
 1 1 600 
 2 3 1500 
Az   −200
z=  z=  z=  z = 200
A A −1
Respuesta:
Se deberán fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sillones.
d) Resolución a través del Método de la Inversa.
Recordando que si en un sistema lineal AX=B , la matriz de coeficientes posee inversa entonces
X = A −1 B .
 −1 −2 1 
1 1 
A = −1
Adj ( A) =  −1 3 −1 .
A −1
 1 −1 0 
 1 2 −1  400  100 

X=A B  −1
X =  1 −3 1  .  600   X = 100 
 −1 1 0  1500   200 
e) Matriz ampliada del sistema.
1 1 1 400
A/ B = 1 1 2 600
2 3 5 1500
f) A través del Método Gauss-Jordan y aplicando análisis de rango se tiene que,

r(A)= r(A/B) = 3= n por lo cual, el sistema es compatible determinado y su solución es:
100 
X = 100 
 200 
7)
3 y − 2 
a) Sistema compatible indeterminado. Solución X =   , y∈R
 y 
5 1 2 4 
b) Sistema compatible indeterminado. Solución X ′ =  + z , − − z , z , z ∈ R
3 3 3 3 
c) Sistema incompatible
d) Sistema compatible indeterminado. Solución X ′ = [ −12 + 4 z , 8 − 3 z , z ] , z ∈ R
313
2 5
e) Sistema compatible determinado. Solución X =  
 −1 5
f) Sistema incompatible
8)
a) r ( A) = 3 < r ( A / B ) = 4 . Sistema incompatible.
b) r ( A) = 3 = r ( A / B ) < 4 = n . Sistema compatible indeterminado.

Solución: X ' = [ 4 − w 7 + w −2 w w] ; w ∈ ℜ
c) r ( A) = 3 = r ( A / B ) = n . Sistema compatible determinado.

Solución: X ' = [ −3 7 0]
d) r ( A) = 3 = r ( A / B ) = n . Sistema compatible determinado.

Solución: X ' = [ −2 3 2]
e) r ( A) = 2 < r ( A / B ) < 3 . Sistema incompatible.
f) r ( A) = 2 = r ( A / B ) < 3 = n . Sistema compatible indeterminado.

Solución: X ' = [1 + z −2 z z ] ; z ∈ℜ
9)
a) Forma vectorial
1 3  1  0 
1 0  2  1 
x + y + z  =  
2 3  3  1 
       
 −1  −3  −1 0 
b) El conjunto formado por las columnas de la matriz ampliada del sistema constituye un conjunto de
vectores Linealmente Dependientes.
10)
El vector W = [1, 3, 5] no se puede expresar como combinación lineal de los vectores
V1 = [1, 0, 3] ; V2 = [ 2, 1, 4] ; V3 = [ −1, − 1, − 1] .
11)
a) Falso
b) Verdadero
c) Falso
d) Verdadero
e) Falso
f) Falso
g) Falso
314
12)
A) Opción b)
B) Opción b)
C) Opción a)
D) Opción d)
E) Opción b)
F) Opción a)
G) Opción b)
H) Opción c)
13)
a) x a la cantidad de escritorios a producir en la planta norte
y a la cantidad de escritorios a producir en la planta sur
Planteo
90 x + 16000 = 80 y + 20000

 x + y = 800
x= 400 ; y= 400
b) Se han encuestado 2000 exportadores agropecuarios y 1000 industriales.
14)
El sistema es incompatible para todo k distinto de 8.
15)
El conjunto de vectores: { A1, A2,…. An, B} constituyen un conjunto de vectores linealmente
dependiente.
315
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 6
317
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
UNIDAD 6
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
318
UNIDAD 6
Inecuaciones lineales
Introducción
En las unidades anteriores hemos trabajado de manera casi excluyente con igualdades. No
obstante, en diversos escenarios de la realidad relacionados con la economía y la administración,
existe limitación de recursos, exigencias externas de mínimos a cumplir, imposiciones de demandas o
de ofertas, que hacen necesario modelar problemas que involucran restricciones diferentes a la
igualdad. En este contexto, y para poder reflejar tales situaciones de manera algebraica, es de suma
importancia el estudio de lo que se conoce con el nombre de inecuaciones.
Iniciamos esta unidad partiendo de la idea de desigualdad, revisando el concepto de inecuación
y resolviendo inecuaciones con una incógnita, para luego trabajar con inecuaciones con dos incógnitas
y sistemas de inecuaciones, insistiendo en la resolución de ellos de forma gráfica.
Como una aplicación de estos conocimientos, y anticipándonos a lo que se estudiará en forma
exhaustiva en otra asignatura de la carrera, presentamos la resolución de algunos problemas de los
llamados de programación lineal. Éstos son aplicables a aquellos casos en que el objetivo es encontrar
el valor de un conjunto de variables, no negativas, que maximicen o minimicen una función lineal,
sujeta a un conjunto de restricciones expresadas en forma de ecuaciones o inecuaciones, también
lineales. Cabe destacar que, en este punto sólo se introducen los elementos que caracterizan un
problema de programación lineal y se muestra la resolución gráfica, para el caso de tener dos variables
de decisión.
• Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
• Adquirir habilidades para la resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales

identificando la región solución.
• Transferir los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones e inecuaciones a la

resolución de problemas básicos de programación lineal en el caso de dos incógnitas.
319
El siguiente esquema muestra la relación y orden lógico del tratamiento de los conceptos principales a
estudiar en esta unidad. Usted puede volver al mismo las veces que sea necesario, para comprender de
manera integral los distintos temas.
DESIGUALDADES
Involucran
incógnitas
INECUACIONES
incluye el estudio de:
Inecuaciones Inecuaciones Sistemas de

lineales con una lineales con dos inecuaciones
pueden ser resueltos
FORMA GRÁFICA Problemas de

Optimización Lineal
320
1. DESIGUALDADES E INECUACIONES
Es conocido que se pueden presentar distintas relaciones de orden o de desigualdad entre dos números
reales.
Por ejemplo:
Para describir la relación de orden entre 2 y 2 usamos: 2 = 2.

Para describir la relación de orden entre 3 y 7 usamos: 3 < 7.
Para describir la relación de orden entre -1 y -5 simbolizamos: -1 > -5
Estas relaciones están basadas en el orden natural de los números reales en la recta numérica: si “a”
está a la izquierda de “b” en la recta numérica, entonces a < b . Si “a” esta a la derecha de “b” en la
recta numérica entonces a > b , y si “a” y “b” están en la misma posición, entonces a = b.
Extendiendo el espectro de situaciones a considerar, también habrá desigualdades en sentido amplio,
que involucran la posibilidad de igualdad. Distinguiremos los siguientes casos:
a ≤ b (se lee “a es menor o igual que b”)
a < b (se lee “a es menor que b”)
a ≥ b (se lee “a es mayor igual que b”)
a > b (se lee “a es mayor que b”)
Por otro lado, hay que recordar que las desigualdades poseen ciertas propiedades, entre las que
encontramos:
Propiedad 1: Si a ambos miembros de una desigualdad le sumamos un mismo número, el sentido de la

desigualdad no cambia.
2 < 6 ⇒ 2+3< 6+3 ⇒ 5< 9
2 < 6 ⇒ 2 + (−3) < 6 + (−3) ⇒ − 1 < 3
Propiedad 2: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el
sentido de la desigualdad no cambia.
2 < 6 ⇒ 3.2 ≤ 3.6 ⇒ 6 ≤ 18
Propiedad 3: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el
sentido de la desigualdad cambia.
2 < 6 ⇒ (−3).2 > (−3).6 ⇒ − 6 > −18
Las desigualdades y sus propiedades son en sí mismas de interés, sin embargo su mayor relevancia se
presenta al considerar desigualdades que poseen una o más magnitudes desconocidas, las cuales se
conocen con el nombre de inecuaciones.
321
Formalmente:
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se

verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos
incógnitas.
Los siguientes constituyen ejemplos de inecuaciones:
x−2
1) −2 x + 3 ≤ 5 ; 2) 2− x < y ; c) x 2 − 3 x > 2 d) ≥ 4y
2x + 3
Vemos que hay una variedad infinita de posibles inecuaciones que se pueden plantear.
En cualquier caso, el objetivo es encontrar el conjunto de valores de las incógnitas que verifican la
desigualdad; este conjunto se denomina conjunto solución.
2. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Nuestra atención se centrará en las llamadas inecuaciones lineales. A continuación definiremos y

analizaremos las inecuaciones lineales con una incógnita, para luego considerar el caso de
inecuaciones con dos incógnitas.
Una inecuación lineal con una incógnita es una desigualdad entre

expresiones algebraicas que incluyen una única variable y la misma está
elevada a la potencia uno.
Por lo tanto una inecuación lineal con una incógnita es aquella desigualdad que puede ser llevada a
través de operaciones algebraicas a alguna de las siguientes estructuras:
i) ax + b ≤ 0
ii) ax + b < 0
iii) ax + b ≥ 0
iv) ax + b > 0
con a, b números reales tal que a ≠ 0
322
Para encontrar el conjunto solución se requiere de la aplicación lógica y ordenada de las propiedades
1), 2) y 3) de desigualdades enunciadas en la sección anterior. Esto nos permitirá transformar
inecuaciones, de aspecto complicado, en inecuaciones más simples pero equivalentes a las dadas.
Ejemplos:
i) Resolvamos la inecuación x + 3 < 5 , para ello restamos miembro a miembro 3 y operamos
x + 3−3 < 5−3

x<2
La solución está dada por todos los números reales menores que 2, que puede ser expresado como el
conjunto S = { x ∈ R / x < 2} .
Es posible representar gráficamente el conjunto solución sobre la recta real.
Usando x = 2 como punto de referencia, marcamos todos los puntos a la izquierda del valor 2.
Destaquemos que para indicar que 2 no pertenece a este conjunto se suele usar un paréntesis, como se
ve en el siguiente gráfico:
)
2
En símbolos usamos la notación de intervalo, en este caso un intervalo abierto,
S = (−∞, 2) .
ii) Ahora trabajemos de manera similar para resolver la siguiente inecuación:
5x − 3 > 2 .
Sumamos 3 a ambos miembros
5x > 5 .
1
Luego multiplicamos ambos miembros por , resultando:
5
x >1
Con ello el conjunto solución se puede expresar: S = { x ∈ R / x > 1} .
Gráficamente, se señalan los puntos que están a la derecha del 1.
323
Finalmente, en notación de intervalo se expresa: S = (1, ∞ )
iii) Veamos la siguiente inecuación

−2 x + 3 ≤ 7
−2 x ≤ 4
 1
Multiplicamos ambos miembros por  −  , recordando que en este caso “hay que invertir el sentido
 2
de la desigualdad”, pues el factor es negativo.
x ≥ −2
La solución resulta en este caso el conjunto de los números reales mayores o iguales que (−2), es decir
S = { x ∈ R / x ≥ −2} .
Gráficamente:
−2
Para indicar que x = −2 está incluido en el conjunto solución, se utiliza un corchete (con sus extremos
hacia la zona solución). Este mismo criterio se usa en la notación de intervalos:
S = [ −2, ∞ )
Podemos concluir que la mecánica de resolución de inecuaciones es muy similar a la de ecuaciones,

con la salvedad del caso en que multiplicamos o dividimos por un número negativo, situación en la
cual cambia el sentido de la desigualdad.
Observemos:
La solución de una inecuación lineal con una incógnita se puede expresar:
Como conjunto Gráficamente Como intervalo
Actividad 1
Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) 1 + 3 x < −3 x − 5
324
x 10 − x
b) −5 + >
2 2
x −1 x
c) ≤ 2−
2 4
x − 4 2 − 3x
d) ≥
3 3
 1 x
e) 4 x −  < − 1
 2 2
3. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Ahora avancemos un poco más en el estudio, incorporando más de una inecuación a nuestro análisis.
Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones cuya solución

será el conjunto de puntos que verifique simultáneamente todas las
inecuaciones de dicho sistema, pudiendo incluso ser el conjunto vacío.
Ejemplos:
A) Resolvamos el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita.
2 x − 3 ≤ 5 (1)
 1

− x + 2 < 1 (2)
 3
5 x − 5 ≥ 10 (3)
Para un trabajo más ordenado: a) Enumeraremos las inecuaciones que conforman el sistema. b)
Obtendremos la solución de cada una de dichas inecuaciones. c) Determinaremos la solución del
sistema como el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente todas la inecuaciones
(intersección de los correspondientes “conjuntos solución”).
(1) 2 x − 3 ≤ 5 ⇒ 2 x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4 ⇒ S1 = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 4 }
1 1
(2) − x + 2 < 1 ⇒ − x < 1 − 2 ⇒ x > (−3)(−1) ⇒ x > 3 ⇒ S 2 = { x / x ∈ R ∧ x > 3 }
3 3
(3) 5 x + 5 ≥ 10 ⇒ 5 x ≥ 5 ⇒ x ≥ 1 ⇒ S3 = { x / x ∈ R ∧ x ≥ 1 }
325
Si graficamos en una recta los correspondientes conjuntos solución, determinaremos que la

intersección es:
S = S1 ∩ S 2 ∩ S3 = (3 , 4]
( ]
1 3 4
B) Veamos qué ocurre en el siguiente caso:
2 x − 3 ≤ 1 (1)

 − x + 1 ≤ −2 (2)
(1) 2 x − 3 ≤ 1 ⇒ 2 x ≤ 4 ⇒ x ≤ 2 ⇒ S1 = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 2 }
(2) − x + 1 ≤ −2 ⇒ − x ≤ −3 ⇒ x ≥ 3 ⇒ S 2 = { x / x ∈ R ∧ x ≥ 3 }
En este caso S = S1 ∩ S 2 = { } , es el conjunto vacío.

(1 (2
2 3
Observamos que no existen valores de la incógnita que verifiquen simultáneamente ambas
inecuaciones; en consecuencia, el sistema no admite solución. Se dice que el sistema es incompatible
o inconsistente.
C) Consideremos el siguiente conjunto de inecuaciones lineales con una incógnita:
x − 4 ≤ 2 (1)

2 x − 5 < 1 (2)
− x + 4 ≥ 2 (3)

(1) x − 4 ≤ 2 ⇒ x ≤ 6 ⇒ S1 = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 6}
(2) 2 x − 5 < 1 ⇒ 2 x < 6 ⇒ x < 3 ⇒ S 2 = { x / x ∈ R ∧ x < 3}
326
(3) − x + 4 ≥ 2 ⇒ − x ≥ −2 ⇒ x ≤ 2 ⇒ S3 = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 2}
] ) ]
2 3 6
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 = ( ∞ , 2]
Actividad 2
Encuentre el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:
3 x > 18
a) 
4 x − 10 < 22
− x < 6 + 2 x (1)

b)  x − 2 ≤ 1 (2)
7 x > 10 + 2 x (3)


3 x + 2 ≤ 2 (1)

 −x + 5 x +1
c)  < (2)
 2 2
 −2 x
 3 − 1 ≥ 2 (3)
4. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Una inecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que puede ser llevada, a través de operaciones
algebraicas, a alguna de las siguientes estructuras:
1) ax + by + c ≤ 0
2) ax + by + c < 0
3) ax + by + c ≥ 0
4) ax + by + c > 0 ,
con a, b, c números reales tales que a ≠ 0 ∧ b ≠ 0
327
La solución de una inecuación con dos incógnitas estará formada por el

conjunto de los pares de números reales (x, y) que verifiquen la
correspondiente desigualdad.
Como veremos a continuación, una forma de expresar la solución en este tipo de inecuaciones es
a través de su representación gráfica en un plano cartesiano.
Así como cuando teníamos una inecuación con una sola incógnita, despejábamos “x”, tomábamos
de referencia un punto determinado y luego establecíamos si el conjunto solución estaba dado por los
elementos que estaban a la derecha ó a la izquierda de ese punto, ahora vamos a despejar “y”,
tomaremos como referencia la recta que surge de igualar “y” al segundo miembro de la inecuación y
luego estableceremos si son los puntos que están por encima o por debajo de esa recta.
Veamos, a través de un ejemplo, el procedimiento que se sigue para obtener la solución a una
inecuación lineal con dos incógnitas.
Consideremos la siguiente inecuación: 4 x − 2 y ≥ 6
Podemos despejar y
y ≤ 2x − 3
Comenzamos con la búsqueda de los pares ordenados que verifican la igualdad
y = 2x − 3 ,
los que gráficamente, constituyen una recta.
Para graficar la recta basta encontrar dos

puntos que pertenezcan a ella, (es decir dos
pares (x, y) que verifiquen la ecuación).
Normalmente se toman los puntos de
intersección de la recta con los ejes y = 2x-3
coordenados.
Por ejemplo en nuestro caso:
Si x = 0 ⇒ y = −3
Si x = 3 2 ⇒ y = 0 ,
evaluamos y trazamos la recta
Dado que la recta divide al plano en dos semiplanos, podemos deducir intuitivamente que los puntos
que verifican la inecuación (conjunto solución) corresponderán a los que pertenecen a sólo uno de los
dos semiplanos.
328
El conjunto solución será el conjunto de puntos que están por encima de esta recta o será el conjunto
de puntos que están por debajo de ella. La pregunta es entonces ¿cómo se detecta si se trata del
semiplano superior o inferior a la recta?
Una posibilidad es indagar si un punto particular (punto de ensayo) pertenece a la región solución o
no, para luego identificar el semiplano que corresponde a la solución.
En nuestro caso, seleccionamos el punto de ensayo (0, 0), y nos preguntamos:
¿Pertenece el punto (0, 0), a la región solución?
Analicemos:
Si x = 0 e y = 0, reemplazando en el primer miembro de la inecuación 4 x − 2 y ≥ 6 se tiene que 4.0-
2. 0 = 0. Como cero es menor que 6, se tiene que el punto (0, 0) no verifica la inecuación.
Por lo tanto el punto (0,0) no pertenece al

conjunto solución.
Concluimos que:
La región solución corresponde al semiplano que y = 2x-
está por debajo de la recta. Lo cual se muestra 3
gráficamente a través de la zona sombreada.
Observemos que la visualización gráfica de la región solución es de gran interés pues desde el punto
de vista analítico lo único que podemos establecer de la correspondiente solución es que:
S = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≤ 2 x − 3}
Consideremos ahora la siguiente inecuación:
2x + y < 2
Despejemos y
y < −2 x + 1
⇒ S = {( x, y ) ∈ R 2 / y < −2 x + 1}
Busquemos gráficamente la solución. Para ello pensemos en los puntos que verifican la igualdad
y = −2 x + 1
329
Obtengamos dos puntos que verifiquen la

ecuación y grafiquemos la recta y = -2x+1
Por ejemplo: Si x = 0 ⇒ y = 1
Si x = 1 ⇒ y = −1
Luego elijamos un punto cualquiera para establecer si el conjunto solución está formado por los
puntos que están en el semiplano superior o en el semiplano inferior a la recta.
Nuevamente podemos tomar el punto (0,0) y reemplazamos en la inecuación 2 x + y < 2 .
Si x=0 e y=0 se cumple la desigualdad, por lo tanto el punto (0,0) cumple con la inecuación y con ello
el conjunto solución será el semiplano que contiene a dicho punto.
Observemos que en este caso la inecuación indica una desigualdad estricta ( y < −2 x + 1 ), por lo tanto
los puntos que están sobre la recta no forman parte de la solución. Para mostrar gráficamente esta
situación se suele recurrir a marcar la recta como una sucesión de puntos, discontinua.
y = -2x+1
Actividad 3
En cada caso encuentre el conjunto de puntos del plano que cumpla la correspondiente condición:
a) y + x ≤ 0
b) − 2 y + 4 x ≥ 2
c) y < 1
d )x > 0
330
Actividad 4
a) Si la siguiente es la gráfica correspondiente a la ecuación y = –x + 2 , ¿cuál es la región solución de

la inecuación y ≥ –x + 2?
O x
b) Encuentre la región solución de la inecuación
y > −x + 2
Regla de aplicación práctica:
Como ya establecimos, la solución de cada restricción se puede representar como un semiplano que
está por encima o por debajo de la correspondiente recta. Para determinar la región solución, en lugar
de usar la técnica del punto de ensayo, es común decidir en base al sentido de la desigualdad como
sigue:
Si una desigualdad es del tipo y ≤ ax + b, el conjunto solución serán los

puntos que están por debajo de la recta.
Si una desigualdad es del tipo y ≥ ax + b, el conjunto solución serán los
puntos que están por encima de la recta.
5. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
¿Qué ocurre si tenemos un conjunto de inecuaciones?
En tal caso diremos que estamos en presencia de un sistema de inecuaciones y la solución será aquella
región del plano que satisfaga simultáneamente todas las inecuaciones; gráficamente sería la
intersección de las respectivas soluciones.
331
Resolvamos el siguiente sistema:
 4 x − 2 y ≥ 6 (1)

 3 x + y ≥ 2 ( 2)
A continuación se muestran por separado los gráficos correspondientes a las regiones solución de las
inecuaciones 1) y 2)
En el ejemplo anterior encontramos la región

solución a la primera inecuación. y = 2x-3
(1) 4 x − 2 y ≥ 6 ⇒ y ≤ 2 x − 3
⇒ S1 = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≤ 2 x − 3}
(2)
Veamos cuál es la solución a la segunda inecuación. Nuevamente despejamos “y”
y = -3x+2
3 x + y ≥ 2 ⇒ y ≥ −3 x + 2
⇒ S 2 = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≥ −3 x + 2}
Para obtener la solución del sistema de inecuaciones, graficamos ambas restricciones en el mismo
sistema de coordenadas cartesianas y marcamos la zona común a ambos rayados.
332
La región solución es S = S1 ∩ S 2
Analicemos el siguiente caso:
3 x − 6 y ≥ 6 (1)

− x + 2 y ≤ −3 (2)
Resolvamos cada una de las inecuaciones:
1  1 
(1) 3 x − 6 y ≥ 6 ⇒ − 6 y ≥ 6 − 3 x ⇒ y ≤ −1 +x ⇒ S1 = ( x, y ) ∈ R 2 / y ≤ −1 + x 
2  2 
3 1  3 1 
(2) − x + 2 y ≤ −3 ⇒ 2 y ≤ −3 + x ⇒ y ≤ − + x ⇒ S 2 = ( x, y ) ∈ R 2 / y ≤ − + x 
2 2  2 2 
Utilicemos distintos rayados para ubicar las regiones

solución en un mismo gráfico. En este caso son dos
regiones tales que una está contenida dentro de la otra:
La región solución es S = S1 ∩ S 2
333
En la práctica es común indicar con una flecha la dirección correspondiente a cada una de
las soluciones y recién como último paso se procede a sombrear o remarcar la región
solución. Veamos cómo hacerlo en el próximo ejemplo.
x + y ≤ 2 (1)
 −2 x + 2 y ≥ 4 (2)


 − x ≤ −2 x + 1 (3)
 y ≥ 0 (4)
(1) x + y ≤ 2 ⇒ y ≤ 2 − x ⇒ S1 = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≤ 2 − x}
(2) − 2 x + 2 y ≥ 4 ⇒ 2 y ≥ 4 + 2 x ⇒ y ≥ 2 + x ⇒ S 2 = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≥ 2 + x}
(3) − x ≤ −2 x + 1 ⇒ x ≤ 1 ⇒ S3 = {( x, y ) ∈ R 2 / x ≤ 1}
(4) S 4 = {( x, y ) ∈ R 2 / y ≥ 0}
Gráficamente se observa que la zona delimitada por el borde más oscuro es la región solución.
Actividad 5
Observe las direcciones en el siguiente gráfico y sombree la región solución, en base a las rectas de
restricción que se visualizan:
334
(1)
(2)
Actividad 6
Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones lineales.
y − x ≤ 0 2 x − 4 y ≤ 0
2 y + 2 x ≤ 6  −2 y + 4 x ≥ 2 x + y ≥ 2
x − y ≥ 0   
a)  b) 2 y − 2 x ≤ 2 c)  d) 
x + y ≥ 2  x ≥ 0; y ≥ 0 y <1 3 x − y ≤ 5
  x > 0  y ≥ 0
6. APLICACIÓN: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN LINEAL

CON 2 VARIABLES.
En muy variadas disciplinas, una de las preocupaciones fundamentales es la asignación de

recursos escasos, de modo que se optimicen ciertos objetivos.
Un problema típico es encontrar las cantidades a fabricar de ciertos productos, de manera tal que
se maximice el beneficio total, pero sabiendo que se posee limitación de recursos y quizás otro tipo de
restricciones.
De allí que economistas, matemáticos, etc., hayan buscado modelos simplificados de la realidad
que tratan de solucionar este tipo de problemas. Uno de estos modelos es lo que se conoce con el
nombre modelos de programación lineal.
Sin pretender ser exhaustivos y sólo a los efectos de ejemplificar una aplicación de los sistemas
de inecuaciones a la resolución de un problema económico, consideraremos un problema de
programación lineal como aquel cuyo objetivo es encontrar el valor de un conjunto de variables (xi),
no negativas, que maximicen o minimicen una función lineal (Z), sujeta a un conjunto de restricciones
expresadas en forma de ecuaciones o inecuaciones, también lineales.
En general podemos caracterizar un problema de programación lineal, como aquel que puede ser
expresado con la siguiente estructura:
335
Max (Z) = C1 x1 + C2 x2 + ... + Cn xn
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn [ ≤ ; = ; ≥ ] b1


a21 x1 + a22 x2 + … + a2 n xn [ ≤ ; = ; ≥ ] b2

 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
sujeto a 
a x + a x + … + amn xn [ ≤ ; = ; ≥ ] bm
 m1 1 m 2 2
 xi ≥ 0 ∀i = 1,… , n

donde Z representa la función objetivo, que puede ser beneficios, ingresos o, en el caso de mínimos,
puede representar costos, proporción de errores, etc.; en cualquier caso, el objetivo es único.
Los valores Cj son constantes, y se los suele llamar coeficientes de contribución a la función
objetivo.
Las xi son las incógnitas de nuestro problema y se las denomina variables de decisión.
Luego se presentan las restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o una inecuación de tipo
lineal, pero además tenemos la hipótesis de no negatividad de las variables.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofrecer, a lo sumo, 5000 plazas de
dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros,
mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.
El número de plazas tipo T no se puede exceder de 4500 y las del tipo P, debe ser, como máximo, la
tercera parte de las del tipo T que se ofrezcan. Calculemos cuántas plazas tienen que ofrecerse de cada
clase para que las ganancias sean máximas.
Definamos.
x1 = número de plazas de tipo T a ofrecer.
x2 = número de plazas de tipo P a ofrecer.
Podemos plantear como función objetivo maximizar la ganancia y establecer las restricciones a través
de inecuaciones, esto es:
Max(Z) = 30 x1 + 40 x2
 x1 + x2 ≤ 5000
 x ≤ 4500
 1
Sujeto a 
 x2 ≤ x1 3
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Graficamos las rectas de restricción y sus direcciones:
336
Resolviendo, encontramos que la región solución (región factible) está dada por:
C
A
D
Se puede demostrar que si existe el óptimo, se encuentra en la frontera de la región factible; más
precisamente en un vértice. Por ello debemos inspeccionar los vértices y en base al valor de la función
objetivo en ellos, determinamos cuál es el óptimo.
En este caso los vértices son: A(0, 0), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (los vértices B y C se
obtienen resolviendo los sistemas correspondientes)
Vértice Valor de Z
A(0, 0) 0
B(3750, 1250) 162500 ¡Este es el mejor!
C(4500, 500) 155500
D(4500, 0) 135000
El óptimo se alcanza para B (3750, 1250)
337
Si el objetivo fuese encontrar el mínimo, el proceso es idéntico al anterior pero se buscaría el punto
esquina o vértice que dé el valor más bajo a la función objetivo. Esto se puede apreciar en el siguiente
ejemplo:
Mín (Z) = 2 x1 + 4 x2
8 x1 + 12 x2 ≥ 300 (1)
5 x + 2 x ≥ 100 (2)
 1 2
sujeto a: 
 x1 + x2 ≤ 50 (3)
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
(1)
(2)
(3)
En este caso, la restricción (1) está representada por los puntos del plano que están por encima de la
recta que pasa por (37.5, 0) y (0,25) .
La restricción (2) está representada por los puntos del plano que están por encima de la recta que pasa
por (20, 0) y (0,50).
La restricción (3) consiste en los puntos que están por debajo de la recta que pasa por (50,0) y (0,50)
Se puede obtener el punto de encuentro entre las rectas (1) y (2) el cual es aproximadamente el (13.6,
15.9).
Se remarca con el rayado vertical la región factible y luego evaluando la función objetivo en cada uno
de los vértices, se observa que el óptimo se alcanza en (37.5, 0) dando a z un valor de 75.
Actividad 7:
Resuelva por el método gráfico.
338
Max (Z) = 4 x1 + 3 x2
 x1 + 3 x2 ≤ 150 (1)
2 x + x ≤ 100 (2)
 1 2
sujeto a: 2 x1 + 2 x2 ≤ 120 (3)
 x + x ≤ 100 (4)
 1 2
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Actividad 8:
Plantee y resuelva el siguiente problema por el método gráfico.
Una juguetería está planeando su programa de producción para Navidad; en particular quiere saber
cuántos juguetes de moda y cuántos juguetes clásicos debe producir. Un clásico lleva 10 horas de
moldeo más 6 horas de maquinaria; mientras que uno de moda ocupa 5 horas de moldeo y 7 horas de
maquinaria. El beneficio de un clásico es de $8 y el de un juguete de moda es de $6. Si se disponen de
40 horas de tiempo de moldeo y 32 horas de maquinaria, ¿cuántos juguetes de cada tipo se deben
fabricar para maximizar beneficios?
A continuación le proponemos que realice los siguientes ejercicios que le permitirán evaluar la
339
EJERCICIOS
1) Resuelva en forma analítica y gráfica las siguientes inecuaciones:
a) 2 + 3x < x − 4
x
b) − 5 + > 3 − 2 x
2
x −1
c) ≤ 2−x
2
 1 x
d) −4  x −  < − 1
 2 2
x − 1 1 − 3x
e) ≥
3 2
2) Encuentre la solución a los siguientes sistemas de inecuaciones:
2 y + 4 x ≥ 3
  y + 2x ≤ 3
a) 2 y + x ≤ 3 b) 
y ≥ 0  −2 y − 4 x ≤ −8

− y − 2 x ≤ 4
2 y − x ≤ 2
 x ≥ y + 2
c)  d) 
x ≤ 1  y ≥ x +1
0 ≤ y ≤ 1
3) a) ¿Qué significado gráfico tiene exigir que las dos variables involucradas en un sistema de
inecuaciones deban ser no negativas?
b) Encuentre la región solución al siguiente sistema de inecuaciones:
2 x1 + 2 x2 ≤ 10 (1)
 x + 4 x ≤ 12 (2)
 1 2

 x1 + x2 ≤ 8 (3)
 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
4) Considere un problema de Programación lineal de maximización con dos variables, cuya función
objetivo es tal que en A vale 300, en B vale 350, mientras que en C y D vale 280, donde la región
factible se representa gráficamente como sigue:
En base al mismo se puede establecer que:
a) el máx. se alcanza en el vértice A

b) el máx. se alcanza en el vértice B
c) el máx. se alcanza en el vértice C
d) el máx. se alcanza en el vértice D
e) tiene infinitos óptimos.
340
5) Considere un problema de optimización lineal con dos variables, cuya región factible se representa
gráfica y algebraicamente como sigue:
(1) Restricciones:
(2)
1
(1) y + x≤4
3
O
O
(2) 2 y + 2 x ≤ 6
(3)
(3) 2 y − 2 x ≤ 2
x≥0 y ≥0
(2)
Suponiendo que el óptimo se alcanza en “ “, encuentre los valores que maximizan la función
objetivo.
6) Resuelva los siguientes problemas de programación lineal
a) Max (z) = 45 x1 + 80 x2
5 x1 + 20 x2 ≤ 400 (1)

Sujeto a: 10 x1 + 15 x2 ≤ 450 (2)
x ≥ 0 , x ≥ 0
 1 2
b) Max (z) = 5 x1 + 5 x2
12 x1 + 8 x2 ≤ 96 (1)
6 x + 12 x ≤ 72 (2)
 1 2
Sujeto a: 
 x1 ≥ 2 (3)
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
341
Actividad 1
a) S = { x / x ∈ R ∧ x < −1}
b) S = { x / x ∈ R ∧ x > 10}
c) S = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 10 3}
d) S = { x / x ∈ R ∧ x ≥ 3 2}
e) S = { x / x ∈ R ∧ x < 2 7}
Actividad 2
3 x > 18
a) 
4 x − 10 < 22
debemos encontrar los valores numéricos que satisfacen ambas inecuaciones.
Resolvamos la primera:
3 x > 18 ⇔ x>6
Resolvamos la segunda inecuación:
4 x − 10 < 22 ⇔ 4 x < 32 ⇔ x<8
Gráficamente, indiquemos las direcciones de las soluciones de cada inecuación y destaquemos la
intersección entre ambas:
( )
5 6 7 8
Matemáticamente, es posible expresar en símbolos esta solución como sigue:
6< x<8
Como para indicar el conjunto de números reales que son mayores que a y menores que b se usa el
intervalo ( a, b ) , tenemos la alternativa de expresar en intervalos esta solución de la siguiente manera:
( 6, 8)
− x < 6 + 2 x (1)

b)  x − 2 ≤ 1 (2)
7 x > 10 + 2 x (3)

Resolvamos cada una de las inecuaciones
(1) − x < 6 + 2 x ⇒ − 3 x < 6 ⇒ x > −2 ⇒ S1 = { x / x ∈ R ∧ x > −2}
342
(2) x − 2 ≤ 1 ⇒ x ≤ 3 ⇒ S 2 = { x / x ∈ R ∧ x ≤ 3 }
(3) 7 x > 10 + 2 x ⇒ 5 x > 10 ⇒ x > 2 ⇒ S3 = { x / x ∈ R ∧ x > 2 }
( ( ]
- 2 3
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 = ( 2 , 3]

3 x + 2 ≤ 2 (1)

 −x + 5 x +1
c)  < (2)
 2 2
 −2 x
 3 − 1 ≥ 2 (3)
(1) 3 x + 2 ≤ 2 ⇒ 3 x < 0 ⇒ x < 0 ⇒ S1 = { x / x ∈ R ∧ x < 0}

−x + 5 x +1
(2) < ⇒ − x + 5 < x + 1 ⇒ −2 x < −4 ⇒ x > 2 ⇒ S 2 = { x / x ∈ R ∧ x > 2 }
2 2
−2 x −2 x 9  9 
(3) −1 ≥ 2 ⇒ ≥ 3 ⇒ −2 x ≥ 9 ⇒ x ≤ − ⇒ S 3 =  x / x ∈ R ∧ x ≤ − 
3 3 2  2 
-9/2 0 2
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 = { } . Por lo tanto el sistema es inconsistente.

Actividad 3
a) y b) 3
y
3
y ≤ −x
−1 + 2x ≥ y
x x
-3 3 -3 3
-3 -3
343
y
c) 3 d) 3
y
y <1 x>0
x x
-3 3 -3 3
-3 -3
Actividad 4
a) La región solución a la inecuación y ≥ –x + 2 es la que corresponde a la parte rayada.
b) Es casi idéntica a la anterior pero no incluye los puntos que pertenecen a la recta
Actividad 5
344
Actividad 6
a) b)
c) d)
Actividad 7:
Max (z) = 4 x1 + 3 x2
sujeto a: x1 + 3 x2 ≤ 150 (1)

2 x1 + x2 ≤100 (2)
2 x1 + 2 x2 ≤ 120 (3)
x1 + x2 ≤ 100 (4)
x1 ≥0 , x2≥0
En el gráfico vemos que en este caso son todas hacia abajo (una flecha en el extremo de cada recta
muestra el semiplano que es solución de la correspondiente restricción).
100
(4)
(2)
(3)
(1) 60
50
50 60 100 150 x
345
Una vez determinadas todas las direcciones, buscamos la región solución como el conjunto que
cumple todas las restricciones simultáneamente; es decir la intersección de todas estas regiones,
recordando que en el caso de un problema de programación lineal las mismas están en el primer
cuadrante (pues las variables no pueden ser negativas).
100
(4)
(2)
(3)
(1) 60
50
50 60 100 150 x
La región factible está dada por un polígono (sombreado vertical), que posee 5 vértices. Tres de ellos
son fáciles de obtener mirando el gráfico (puntos (0,0) ; (50, 0), (0,50)); los otros dos corresponden a
puntos de encuentro entre las correspondientes rectas. Por ejemplo, para encontrar el punto de
encuentro entre las rectas (2) y (3) se debe resolver el siguiente sistema:
2 x1 + x2 =100 (2)
2 x1 + 2 x2 = 120 (3)
La solución del mismo es x1= 40 ; x2= 20 reemplazando estos valores en la función objetivo se tiene
z = 4. 40 + 3. 20 = 220.
Par determinar cual es la solución óptima del problema se realiza la inspección de vértices que
consiste en encontrar todos los vértices de la región factible, evaluar los mismos en z y ver de todos
ellos cual le da el mejor valor a z.
En este caso sería:
Vértice Valor de z
(0, 0) 0
(0, 50) 150
(15,45) 195
(40,20) 220 Este es el mejor!
(50, 0) 200
Actividad 8:
Sean
x1 = cantidad de juguetes clásicos a fabricar .
x2= cantidad de juguetes de moda a fabricar
Este problema se puede plantear matemáticamente a través de una función que representa el objetivo y
un conjunto de inecuaciones que reflejarán las respectivas restricciones.
346
Max(z) = 8 x1 + 6 x2
 x1 + 0,5 x 2 ≤ 40

Sujeto a 6 x1 + 7 x 2 ≤ 320
 x ≥ 0, x ≥ 0
 1 2
La resolución es a través del método gráfico. Para ello inicialmente dibujamos el sistema de
coordenadas, asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura. Se grafica
las rectas correspondientes a cada restricción, en cada caso se establecen cuales son los puntos del
plano que verifican la inecuación, obteniendo así la región factible (zona sombreada).
Se buscan los vértices. Dos de ellos están dados por los puntos de cortes con los ejes coordenados y el
restante se busca a través del planteo del siguiente sistema:
 x1 + 0,5 x 2 = 40

6 x1 + 7 x 2 = 320
De donde se obtiene x1 =30 ; x2= 20

Luego, reemplazando estos valores en z se comparan los resultados y se concluye, en este caso, que la
función objetivo alcanza el óptimo en x1 =30 ; x2= 20
Dando un valor z óptimo = 360
347
16 5 2 5
1) a) x < -3 b) x > c) x ≤ d) x > e) x ≥
5 3 3 11
2)
a) b)
c) d)
3) a) Que las dos variables involucradas en un sistema de inecuaciones sean no negativas se visualiza
gráficamente ubicando la solución en el primer cuadrante.
b) Observemos:
• Dado que tenemos dos variables podemos establecer que el eje de las abscisas corresponde a x1 y
el eje de las ordenadas a x2.
• Como x1 y x2 son mayores ó iguales que cero nos concentraremos en el primer cuadrante.
Grafiquemos las regiones que corresponden a la región solución de cada inecuación:
Para (1) si x1=0 x2=5 Para (2) si x1=0 x2=3 Para (3) si x1=0 x2=8
si x1=5 x2 = 0 si x1=12 x2 = 0 si x1=8 x2 = 0
En base al sentido de la desigualdad nos quedará el siguiente gráfico:
348
8
(3)
(1)
3
(2)
5 8 12
Asimismo podemos observar que la región que contiene los puntos que son solución simultánea a
todas las restricciones, forman un polígono (como se ve a continuación):
4) opción b) el máximo se alcanza en el vértice B
5) Como el óptimo se alcanza en “O”, que es el punto de intersección de las rectas (2) y (3), buscamos
el punto de encuentro de estas dos rectas, es decir los valores de x e y, que verifican simultáneamente
el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2 y + 2 x = 6

2 y − 2 x = 2
De la primera ecuación despejamos y = 3 − x . Sustituimos en la segunda ecuación:
2(3 − x ) – 2 x = 2 −4x=−4 x=1
Reemplazando el valor de x en alguna de las ecuaciones despejamos “y” y obtenemos y = 2.

Finalmente podemos afirmar que el óptimo se alcanza en el punto (1, 2).
El punto O tiene coordenadas x = 1 y = 2
349
6) a) Max (z) = 45 x1 + 80 x2
Sujeto a: 5 x1 + 20 x2 ≤ 400 (1)

10 x1 + 15 x2 ≤ 450 (2)
x1 ≥0 , x2≥0
En este caso la restricción (1) está representada por los puntos del plano que están por debajo de la
recta que pasa por (80, 0) y (0,20) .
La restricción 2 está representada por los puntos del plano que están por debajo de la recta que pasa
por (45, 0) y (0,30) .
Se puede obtener el punto de encuentro entre las rectas (1) y (2) el cual es el (24, 14).
Se genera una región factible dada por los vértices (0,0); (0,20) ; (24, 14) ; (45, 0). Ahora realizamos
la inspección de vértices.
Vértice Valor de z
(0, 0) 0
(0, 20) 1600
(24,14) 2200 ¡Este es el mejor!
(45, 0) 2025
b) Max (z) = 5 x1 + 5 x2
12 x1 + 8 x2 ≤ 96 (1)
6 x + 12 x ≤ 72 (2)
 1 2
Sujeto a: 
 x1 ≥ 2 (3)
 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
350
En este caso la restricción (1) está (1)

(3)
representada por los puntos del plano que
están por debajo de la recta que pasa por
12
(8, 0) y (0,12) . (2)
La restricción 2 está representada por los
puntos del plano que están por debajo de
la recta que pasa por (12, 0) y (0,6) .
La restricción (3) consiste de los puntos 6
que están a la derecha de una recta
paralela al eje y que pasa por x1=2
2 8 12 x
Se puede obtener el punto de

encuentro entre las rectas (1) y (2) el
cual es el (6, 3).
Se genera una región factible dada por
los vértices (2,0); (2,5) ; (6, 3) ; (8,
0). Evaluando z en cada uno de los
vértices se observa que el óptimo se
alcanza en (6, 3) dando a z un valor de
45.
351
Matemática I-(Año 2022) Nancy Stanecka
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO

UNIDAD 7
353
MATEMÁTICA I
CICLO BÁSICO
AUTORA
UNIDAD 7
Miguelina Chiarle
COLABORADORES
354
UNIDAD 7
Nociones de geometría analítica plana
Introducción
En el recorrido por esta asignatura hemos incorporado numerosos conceptos y métodos, los cuales son
parte de lo que denominamos álgebra lineal. Los mismos, constituyen la base necesaria para poder
avanzar en un sinnúmero de direcciones.
Además de aplicar el álgebra en la resolución de problemas de optimización, de sistemas de
ecuaciones lineales, de problemas de insumo producto, etc., es posible combinarla con la geometría.
Este nuevo enfoque constituye una rama de la matemática denominada geometría analítica, la cual ha
facilitado la solución geométrica de algunos problemas algebraicos y, recíprocamente, ha dado
solución algebraica a algunos problemas geométricos.
Comenzaremos nuestro estudio, admitiendo que existe una relación biyectiva entre los puntos del
plano (R2) y el producto cartesiano (R x R), expresado implícitamente a través de lo que conocemos
como sistema de coordenadas cartesianas.
Luego, deduciremos la fórmula de la distancia entre dos puntos e incorporaremos el concepto de
lugar geométrico.
A continuación, analizaremos en profundidad cuestiones vinculadas con la recta, deduciendo
relaciones algebraicas a partir de elementos geométricos.
Es necesario aclarar que, si bien nuestro objetivo sólo se restringe a estudiar problemas básicos de la
geometría del plano, es posible determinar muchas figuras geométricas por medio de ecuaciones e
inecuaciones con dos incógnitas y describir, matricial y vectorialmente, cuestiones geométricas
(traslaciones, rotaciones, etc.).
La importancia de la geometría analítica en el desarrollo de la matemática se puede apreciar, de
manera contundente, en las palabras de Joseph Louis Lagrange:
“Mientras el álgebra y la geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus
aplicaciones limitadas; pero cuando estas dos ciencias se han unido, han intercambiado sus fuerzas y
han avanzado juntas hacia la perfección”
▪ Expresar resultados geométricos en forma analítica.
▪ Determinar la ecuación analítica de una recta, a partir del lugar geométrico de los puntos del
plano.
▪ Reconocer y representar gráficamente una recta, a partir de su correspondiente ecuación.
▪ Incorporar, a través de elementos matemáticos básicos de la geometría analítica Plana, la

forma de análisis que permitirá ampliar su uso a otros temas correspondientes a las
matemáticas aplicadas.
355
El siguiente esquema muestra la relación y el orden lógico del tratamiento de los contenidos
principales a estudiar en esta unidad. Puede volver al mismo las veces que sea necesario, para
comprender de manera integral los distintos temas.
Álgebra
Geometría
Fórmula de la distancia entre dos puntos del plano
Espacio geométrico
▪ General
Ecuación ▪ Explícita
▪ Segmentaria
Recta que pasa por dos puntos.

La recta
▪ Punto de encuentro
Su relación con ▪ Ángulo entre dos rectas.
otras rectas ▪ Paralelismo
▪ Perpendicularidad.
356
1. EL PLANO Y EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Trabajaremos sobre el plano (R2), también llamado espacio euclidiano o espacio bidimensional.
Comencemos recordando qué es un sistema de coordenadas cartesianas.
Y
Un sistema de coordenadas cartesianas se representa
mediante dos rectas perpendiculares, cuya intersección es lo II I
que se conoce con el nombre de origen del sistema de
coordenadas.
El eje horizontal es el eje de las abscisas y el vertical el eje
de las ordenadas. O X
El plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I,II,III,IV). III IV
Y
Un punto P en el plano se expresa como P(x, y), donde x es el
P(x,y)
y valor de la abscisa e y es el valor de la ordenada.
•
O X
x
Así, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales (abscisa y ordenada) y
recíprocamente, a cada par ordenado de números reales le corresponde un único punto del plano. En
particular, al origen del sistema “O” le corresponde el par ordenado (0,0).
Relación biunívoca
Concepto geométrico Concepto algebraico
Punto del plano Par ordenado
Esta última relación o correspondencia se amplía a distintos subconjuntos de puntos del plano y
determina el siguiente concepto:
Se denomina lugar geométrico a todo subconjunto de puntos del plano que

satisface determinada condición o propiedad.
357
Para expresar esta definición en forma simbólica, representemos por c( x, y) la condición que deben
satisfacer los puntos del plano para que constituyan un determinado lugar geométrico. Entonces,
podemos expresar:
 
G es un lugar geométrico si G = ( x, y )  R 2 / c( x, y )  R 2
A continuación, veamos la circunferencia y el círculo como ejemplos de lugares geométricos:
El conjunto de los puntos del plano que equidistan (misma distancia r) de un punto C, denominado
centro, es el lugar geométrico que se denomina circunferencia. La distancia r se denomina radio.
Circunferencia: La condición
que deben cumplir los puntos del
c. plano es que la distancia de ellos
al centro sea igual al radio.
El conjunto de los puntos del plano cuya distancia a un punto denominado centro C es menor o igual
que determinado valor r, es el lugar geométrico que se denomina círculo de radio r y centro C.
Círculo: La condición que deben

cumplir los puntos del plano es
que la distancia de ellos al centro c.
sea menor o igual al radio
Como anticipamos en la introducción, la geometría analítica plana es una rama de la matemática que
vincula la geometría del plano y el álgebra. Tiene por objetivos:
a) Visualizar y resolver geométricamente problemas algebraicos.

b) Resolver algebraicamente problemas geométricos.
Analizaremos algunos de estos problemas. Sin embargo, cabe aclarar que el tema podría profundizarse
y ampliarse tanto como se requiera.
358
2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO
Un problema que nos ocupa es encontrar la distancia entre dos puntos del plano. Veamos cómo
hacerlo a partir del siguiente gráfico:
Y
y2 Q(x2, y2)
y1 d Dados dos puntos del plano P(x1, y1 ) ; Q(x2, y2), obtener

P(x1, y1 ) la distancia d entre ellos es equivalente a encontrar la
longitud del segmento que los une PQ .
O
x1 x2
y
Determinamos
y2 Q(x2, y2)
un punto C tal que, conjuntamente con los puntos P y
Q, constituyan los vértices de un y1 C(x2, y1 ) triángulo
rectángulo. P(x1, y1 )
Ahora, para obtener la distancia d, podemos
recurrir al Teorema de Pitágoras, el cual expresa que en
un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
x1 x2
x X
En símbolos:
2 2 2
PQ = d 2 = PC + QC ,
donde PC = x2 − x1 y QC = y2 − y1
2
En consecuencia, PQ = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 .
Finalmente, la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano es:
d = PQ = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
A modo de ejemplo, calculemos la distancia entre P(1, -1 ) y Q(5, 2).
Consideremos (x1, y1 ) =(1, -1 ) ; (x2, y2)= (5, 2) y apliquemos la fórmula de distancia:
d = (5 − 1) 2 + (2 − 1) 2
d = 16 + 9
d =5
Podemos concluir que la distancia entre P(1, -1 ) y Q(5, 2) es de 5 unidades.
Apliquemos el concepto de distancia y su fórmula para resolver las siguientes actividades:
359
Actividad 1
En cada caso, encuentre la distancia entre los puntos del plano.
a) P(-2, 5 ) y Q(4, -3).

b) R(5, -1 ) y S(5, 2).
c) T(1, 7 ) y U(5, 2).
Actividad 2
Dé las condiciones algebraicas de circunferencia y de círculo respectivamente, ambos con centro en el

origen del sistema, a partir del conocimiento de la fórmula de la distancia entre dos puntos.
3. ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO
Para evitar ambigüedades, consideraremos la recta como un concepto primitivo, es decir algo que no
puede definirse a través de otros términos ya conocidos pero que tampoco ofrece dificultad en su
interpretación. Por lo tanto, asumimos que todos podemos identificar una recta.
Gráficamente, en un sistema de coordenadas cartesianas, una recta puede presentarse bajo tres
aspectos diferentes, a saber: recta horizontal (paralela al eje de abscisas), recta vertical (paralela al eje
de ordenadas) y recta oblicua.
y y
y
L
L L
O O x O
x x
Recta horizontal Recta vertical Recta oblicua
Desde un enfoque algebraico, sabemos que existen ecuaciones que representan rectas, pero…
¿sabemos cómo se desarrollaron esas ecuaciones?
A continuación, deduciremos cómo se obtuvieron esas ecuaciones.
Si bien existen otras, presentaremos sólo tres formas de expresar algebraicamente una recta:
a) Ecuación general o implícita de la recta.

b) Ecuación explícita de la recta.
c) Ecuación segmentaria de la recta.
360
3.1 Ecuación general o implícita de la recta
A partir del Gráfico nº1, consideremos L, la recta oblicua que pasa por dos puntos fijos: P(x1, y1) y
Q(x2, y2).
Si R(x, y) es un punto arbitrario sobre la recta L, nuestro interés es determinar una condición
algebraica que garantice que el punto R(x, y) pertenece a la recta L.
En este caso, a partir de la información geométrica, se pretende encontrar una ecuación algebraica.
Y L
y R(x, y)
y2
Q(x2, y2)
y1
P(x1, y1)
O X
x1 x2 x
Gráfico nº1
Determinamos los puntos S(x, y2) y T(x, y1). Entonces, es posible observar que se forman dos
triángulos semejantes: PRT y QRS .
Y
L
y Sabemos que, si dos triángulos son semejantes, sus
R(x, y)
lados correspondientes (u homólogos) son
y2 proporcionales, es decir se cumple que:
Q(x2, y2) S(x, y2)
PT RT
y1
T(x, y1) = (1)
P(x1, y1) QS RS
donde PT = x − x1 , QS = x − x2 , RT = y − y1 ,
O X y RS = y − y2
x1 x2 x
Reemplazando en (1), obtenemos:
x − x1 y − y1
= ,
x − x2 y − y2
de donde,
( y − y2 )( x − x1 ) = ( y − y1 )( x − x2 ) .
Aplicamos propiedad distributiva, efectuamos pasaje de términos y cancelamos los opuestos:
361
yx − y2 x − yx1 + y2 x1 = yx − y1x − yx2 + y1x2
− y2 x − yx1 + y2 x1 + y1 x + yx2 − y1 x2 = 0
Asociamos convenientemente y sacamos factor común:
( y1 − y2 ) x + ( x2 − x1 ) y + y2 x1 − y1 x2 = 0
Podemos afirmar que (x, y) pertenece a la recta L, que pasa por los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) si
cumple que:
A x+ B y +C = 0,
donde A = y1 − y2 ; B = x2 − x1; C = y2 x1 − y1x2
Así definida, A x + B y + C = 0 se denomina ecuación general o implícita de la recta.
Esta estructura general sigue siendo válida para el caso en que la recta sea paralela al eje X o paralela
al eje Y, como podemos observar a continuación:
• La ecuación general para el caso en que A=0, permite determinar la ecuación de la recta
paralela al eje X.
Y
C
By + C = 0  y=− , o simplemente,
b L B
P(x1, b) Q(x2, b) y = b,
donde b es una constante.
O
x1 x2 X
• La ecuación general para el caso en que B=0, permite determinar la ecuación de la recta
paralela al eje Y:
L
Y
C
y2 Ax + C = 0  x = −  x=d,
P(d,y2) A
y1 donde d es una constante.
P(d,y1)
O d X
Por ejemplo, si queremos encontrar la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos P(1, 3) y
Q(4, 6), reemplazamos las coordenadas de los puntos del plano en las correspondientes fórmulas y
obtenemos:
362
A = y1 − y2  A = 3 − 6 = −3; B = x2 − x1  B = 4 − 1 = 3;
C = y2 x1 − y1 x2  C = 6.1 − 4.3 = −12
Por lo tanto la ecuación implícita de dicha recta es: −3 x + 3 y −12 = 0 .
Actividad 3
A partir de cada uno de los siguientes gráficos, encuentre la ecuación implícita de la correspondiente
recta:
y
A) B) L
y L
5
5
4
O 2 x
O 2 5 x
3.2 Ecuación explícita de la recta
Sea L una recta oblicua, que corta al eje y en P(0, b) y que forma un ángulo  con el sentido positivo
del eje de abscisas, nos preguntamos: ¿qué condición debe verificar el punto R(x, y) para pertenecer a
la recta?
Usemos auxiliarmente el punto S (x, b) y el triángulo

Y L
rectángulo PRS . En este contexto, observamos la siguiente
y R(x, y) relación:
 RS y − b
S(x, b) tg ( ) = =
b P(0, b)
PS x
x
X Si denotamos a a la tangente de  , deducimos que:
y −b
a = tg ( )  a=  y = ax + b
x
Esta última expresión es la ecuación explícita de la recta,
donde “b” se denomina ordenada al origen y “a” es la pendiente o coeficiente angular.
363
Por ejemplo:
Encontremos la ecuación explícita de una recta que pasa por el punto (0,-1) y que forma un ángulo de
60º con el sentido positivo del eje de abscisas.
Como la recta pasa por el punto (0,-1), la ordenada al origen será b = −1 .
Dado que la recta forma un ángulo de 60º y como tg(60º ) = 3 , valor de su coeficiente angular,
concluimos que la ecuación explícita de esta recta es:
y = 3x − 1
Actividad 4:
Encuentre la ecuación explícita de la recta en cada uno de los siguientes casos:
a) La recta corta al eje de las ordenadas en 3 y forma un ángulo de 135º con el sentido positivo
del eje de abscisas.
b) La recta tiene pendiente igual a 2 y ordenada al origen -2.
c) La recta tiene por ecuación implícita 2x + 6y -3 = 0
3.3 Ecuación segmentaria de la recta
Consideremos una recta L oblicua que no pase por el origen de coordenadas y partamos de la forma
general de la recta:
Ax + By + C = 0
Restemos C a ambos miembros:
Ax + By = −C
Como la recta no pasa por el origen de coordenadas, resulta que C  0 . Dividamos ambos miembros
por –C :
A B
x+ y =1
−C −C
Luego, reexpresemos cada término de la siguiente forma:

x y
+ =1
C C
− −
A B
C C
Si llamamos m = − ; n = − , la ecuación queda:
A B
x y
+ =1
m n
Esta ecuación se denomina ecuación segmentaria de la recta.
364
Veamos el significado geométrico de los parámetros m y Y

n:
y L
Si x = 0  =1 y = n
n
x n
Si y = 0  = 1  x = m
m
m X
Por lo tanto, m y n indican los puntos de intersección con
los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente.
A partir de la ecuación general, es muy simple encontrar la forma explícita y la segmentaria, tal como
lo ejemplificamos en lo que sigue:
1) Dada la ecuación −2 x + y − 4 = 0 , despejando la variable y, obtenemos la ecuación explícita, en

este caso: y = 2 x + 4 .
2) Dada la ecuación −2 x + y − 4 = 0 , sumamos a ambos miembros 4, lo que nos da:

−2x + y = 4 .
x y
Luego dividimos ambos miembros por 4 y así arribamos a la ecuación segmentaria  + =1
−2 4
Actividad 5
En cada caso obtenga: la ecuación segmentaria, determine los puntos de intersección con los ejes y
grafique:
a) La recta tiene por ecuación implícita 2 x + 6 y − 3 = 0 .
b) La recta tiene por ecuación explícita y = 3x − 4 .
c) La recta pasa por los puntos P(0,5) y Q(-2, 0).
3.4 Ecuación del haz de rectas que pasa por un punto
Dado un punto en el plano P(x0, y0), podemos observar que existen infinitas rectas que pasan por dicho
punto, tal como observamos en el siguiente gràfico:
Y
y0 P(x0, y0)
A(x1, y1 )
x0
365
X
O
Nos preguntamos: ¿existe alguna manera de expresar analíticamente esta situación?

La respuesta a nuestro interrogante es que sí existe y que se denomina ecuación del haz de rectas que
pasa por el punto P(x0, y0).
A continuación, deduciremos cuál es la ecuación que representa a todas las rectas que pasan por el
punto P(x0, y0).
Partimos de la ecuación explícita de la recta:
y = ax + b.
Luego, si la recta pasa por el punto P(x0, y0) debe verificar:
y0 = ax0 + b.
Si restamos, miembro a miembro, estas ecuaciones:
y = ax + b
y0 = ax0 + b ,
( y − y0 ) = a ( x − x0 )
de donde surge la ecuación del haz de rectas que pasa por P(x0, y0):
y = a ( x − x0 ) + y0
Para cada valor de la pendiente a, se obtendrá la correspondiente recta que pasa por el punto P(x0, y0).
Por ejemplo, determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2, 4) y cuya pendiente es
igual a 3.
Reemplazamos los valores de a=3 , x0 = −2; y0 = 4 en la ecuación del haz de rectas y operamos:
y = 3( x − (−2)) + 4
y = 3x + 10
Actividad 6
a) Encuentre la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto (1, 3).
b) A partir de la expresión obtenida, y sabiendo que la pendiente de una recta que pasa por el
punto (1, 3) es igual a 1, encuentre la ecuación explícita, implícita y segmentaria de dicha
recta.
366
Actividad 7
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y tiene pendiente 5.
3.5 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
A continuación, veamos cómo obtener la ecuación de la recta y = ax + b que pasa por dos puntos
del plano:
Y L
y2 Q(x2, y2)
y1
P(x1, y1 )
x1 x2 X
Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos en el plano (donde x1 es distinto de x2), se desea obtener la
ecuación de la única recta que pasa por ambos.
Como ambos puntos pertenecen a la recta se cumple que:
y1 = ax1 + b y2 = ax2 + b
Dado que nuestro objetivo es encontrar los valores de a y b que cumplen simultáneamente con ambas
condiciones debemos, resolver el sistema:
 y1 = ax1 + b

 y2 = ax2 + b
Para ello, podemos despejar una b de la primera ecuación, reemplazarla en la segunda y obtener a, de
la siguiente manera:
y1 − y2
b = y1 − ax1  y2 = ax2 + y1 − ax1  y2 − y1 = a( x2 − x1 )  a =
x1 − x2
Reemplazamos a, operamos y obtenemos b
y1 − y2 y ( x − x ) − y1 x1 + y2 x1 x y −x y
b = y1 − x1  b = 1 1 2  b= 1 2 2 1
x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2
Con ello, resulta la ecuación de la recta que pasa por dos puntos del plano:
y1 − y2 x y −x y
y= x+ 1 2 2 1
x1 − x2 x1 − x2
367
Ejemplifiquemos, a través de la búsqueda de la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-2, 5 )
y Q(4, 3).
Consideremos (x1, y1) =(-2, 5 ) ; (x2, y2)= (4, 3) , entonces:
y1 − y2 5−3 1
a= a= a=−
x1 − x2 −2 − 4 3
x1 y2 − x2 y1 −2.3 − 4.5 13
b=  b=  b=
x1 − x2 −2 − 4 3
1 13
La recta es y = − x + .
3 3
Observe que, alternativamente, podremos repetir el razonamiento de la deducción de la fórmula o usar

esta última en forma directa.
Actividad 8
Encuentre, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) R(3, -1 ) y S(5, -3). b) P(1, 7 ) y Q(5, 2) c) R(3, -3 ) y S(5, -3).
3.6 Punto de encuentro entre dos rectas
Dadas dos rectas y = a1 x + b1 e y = a2 x + b2 , se quiere determinar el punto P(x0, y0) donde se

intersectan las mismas.
Para que eso ocurra, se debe cumplir que el
Y
y = a1x + b1 punto P(x0, y0), verifique las siguientes
y = a2 x + b2 ecuaciones simultáneamente:
y0 P(x0, y0 )  y0 = a1 x0 + b1

 y0 = a2 x0 + b2
x0 X
Podemos resolver este sistema por cualquiera de los métodos estudiados (se dejan los cálculos para el
lector).
368
b2 − b1 a1b2 − a2b1
Las fórmulas del punto de encuentro son: x0 = y0 =
a1 − a2 a1 − a2
Actividad 9
1
Determinar las coordenadas del punto de encuentro de las rectas y = 3x + 2 ; y − x = 9.
2
3.7 Ángulo entre dos rectas: L

1
Y 
Sean dos rectas L1 y L2 no verticales, cuyos ángulos de  L2
inclinación son  y  respectivamente.

Al cortarse estas rectas forman, entre ellas, un ángulo
 = − .
Veremos que existe una relación entre las pendientes de
las dos rectas y el ángulo determinado por ellas. O
X
Comencemos recordando que:

Y
y=ax+b
1) La pendiente de una recta es igual al valor de la
tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con
el sentido positivo del eje de abscisas.

O X
a = tg ( )
2) Por propiedad trigonométrica, si se tienen dos ángulos  y  , la tangente del ángulo diferencia
( −  ) es igual a:
tg ( ) − tg (  )
tg ( −  ) =
1 + tg ( ).tg (  )
369
Así, cuando se tienen dos rectas y = a1 x + b1 e

y = a1x + b1
y = a2 x + b2 , podemos asegurar que la tangente
del ángulo  determinado por ellas es: Y 
a −a  y = a2 x + b2
tg ( ) = 1 2
1 + a1. a2

O X
Ejemplo
Llamemos  al ángulo que forman las siguientes rectas: y = 3x + 2 e y = x − 2 . Entonces,

aplicando la fórmula anterior obtenemos:
3 −1 2 1
tg ( ) = =   = arctg      26,57º
1 + 3.1 4 2
Actividad 10
Determine el ángulo que forman las siguientes rectas: 3 y − 3x − 1 = 0 ; y =3 .
3.8 Condición de paralelismo
Cuando dos rectas son paralelas, el ángulo que ellas determinan es igual a cero. Por tal motivo, si
asumimos que las rectas y = a1 x + b1 e y = a2 x + b2 son paralelas, y llamamos  al ángulo que
ellas forman, podemos aplicar la fórmula
Y anterior:
y = a2 x + b2 a1 − a2
tg (0) =
y = a1x + b1 1 + a1. a2
1 a1 − a2 a − a = 0 a1 = a2
0=   1 2  
1 + a1. a2 1 + a1. a2  0 1  −a1
2
O
X
Concluimos, entonces, que:
“Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente”.
370
Así, por ejemplo, cualquier recta paralela a la recta y = 3x + 2 será de la forma y = 3x + b .
Si las rectas están expresadas en forma implícita tendremos:
A1  C 
A1 x + B1 y + C1 = 0  y = − x +− 1 
B1  B1 
A  C 
A2 x + B2 y + C2 = 0  y = − 2 x +  − 2 
B2  B2 
Por lo cual, la condición de paralelismo, en el caso las ecuaciones implícitas, será:
A1 A2
=
B1 B2
3.9 Condición de perpendicularidad
Sean dos rectas perpendiculares y = a1 x + b1 e y = a2 x + b2 , entonces el ángulo entre ellas es

 = 90º .
y = a1 x + b1 En tal caso, la tangente del ángulo no existe, pero sí

Y existe la cotangente y vale cero.
90º y = a2 x + b2
Por lo tanto, se puede plantear la condición de
perpendicularidad de la siguiente manera:
1 1 + a1. a2
= cotg (0) =
tg (0) a1 − a2
O  1
X 1 + a1. a2 1 + a1. a2 = 0 a1 = −
0=     a2
a1 − a2 a1 − a2  0 a  a
 1 2
Concluimos, entonces, que:
“Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una de ellas es igual a la

recíproca de la otra, cambiada de signo”.
371
1
Así, por ejemplo, cualquier recta perpendicular a la recta y = 3x + 2 será de la forma y = − x + b .
3
Si las rectas están expresadas en forma implícita, tendremos:

A1  C 
A1 x + B1 y + C1 = 0  y = − x +− 1 
B1  B1 
A  C 
A2 x + B2 y + C2 = 0  y = − 2 x +  − 2 
B2  B2 
Por lo cual, la condición de perpendicularidad en este caso será:

A1 B
=− 2
B1 A2
Actividad 11:
1
Determine las ecuaciones de la recta paralela y la recta perpendicular a y = − x + 3 , que pasan por
2
el origen del sistema de coordenadas.
A continuación le proponemos que realice los siguientes ejercicios que le permitirán evaluar la
EJERCICIOS
1) Obtenga la distancia entre los puntos A(2, 3) y B(5,7).
2) Calcule el perímetro y la superficie del triángulo cuyos vértices son: A (2, -1 ), B(2, 3) y C(-1, -1 ).
Utilice el centímetro como unidad de medida.
3) Dada la recta −3x = −2 y − 6 , encuentre la forma explícita, implícita y segmentaria. Grafique.
4) a) Encuentre la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(-1, 2) y B(2, 3) en todas las
formas que conozca.
b) Halle la pendiente de r.
c) Encuentre la recta perpendicular a 3x +y =1 y que pase por A.
5) Obtenga el punto de encuentro entre las rectas y = 2 x + 5 , 4 x − y = 3 .
372
6) Dado el siguiente gráfico:

Y
Obtenga la ecuación de la recta en todas las formas posibles.

L 7)
8)
1 9)
O 2
X
7) Dé la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, 7) ; Q(-2, 1).
8) Siendo la recta 4 x − y = 3 obtenga la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto
D(1,6).
9) Encuentre el ángulo entre las rectas 2x + 2y= 4 e y= x +2.
10) Establezca cuál es la recta perpendicular a y+3= -2 x , que pasa por el punto R(4, 3).
11) Dados los puntos del plano P(1, 2) y Q(-3, 1):

a) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos, explicando cada paso.
b) Deduzca, si dicha recta es paralela o si corta a la recta de ecuación x +4y =5 y,
c) En este último caso, calcule el punto de corte.
373
Respuesta a las actividades
Actividad 1
a) d= distancia entre P(-2, 5) y Q(4, -3)  d = (−2 − 4) 2 + (5 + 3) 2  d = 10 .
b) d= distancia entre R(5, -1) y S(5, 2)  d = (5 − 5)2 + (−1 − 2) 2  d = 3 .
c) d= distancia entre T(1, 7) y U(5, 2)  d = (1 − 5)2 + (7 − 2)2  d = 41 .
Actividad 2
Sabemos que la circunferencia con centro en el origen del sistema y radio r es el conjunto de puntos
del plano cuya distancia al (0,0) es igual a r . Conociendo la fórmula de distancia se puede expresar:

G Circunferencia con centro en (0,0) y radio r  G = ( x, y )  R 2 / x 2 + y 2 = r 2 
De forma análoga, el círculo con centro en el origen y radio r es el conjunto de puntos del plano cuya
distancia al (0,0) es menor o igual que r . Por lo cual, se puede expresar:

C Círculo con centro en (0,0) y radio r  C = ( x, y )  R 2 / x 2 + y 2  r 2 
Actividad 3
A) Observamos que la recta pasa por los puntos P(2, 4) y Q(5, 5).
Reemplazamos las coordenadas de los puntos del plano en las correspondientes fórmulas y obtenemos:
A = y1 − y2  A = 4 − 5 = −1; B = x2 − x1  B = 5 − 2 = 3;
C = y2 x1 − y1 x2  C = 5.2 − 5.4 = −10
Por lo tanto, la ecuación implícita de dicha recta − x + 3 y −10 = 0 .
B) Al ser una recta paralela al eje Y con abscisa igual a 2, podemos deducir que la ecuación estará
dada por x − 2 = 0 .
Actividad 4
a) La recta corta al eje de las ordenadas en 3  b = 3 y como tg (135º ) = −1  a = −1 ,

concluimos que y = − x + 3 .
b) y = 2 x − 2 .
1 1
c) Despejamos y de la ecuación implícita y obtenemos la ecuación explícita: y = − x + .
3 2
y
Actividad 5
x y
a) 2x + 6 y − 3 = 0  2x + 6 y = 3  + =1
3 1 1/2
2 2 2
3/2 x
374
3   1
b) Los puntos de corte con los ejes son:  , 0  y  0,  .
2   2
y
x y
c) y = 3x − 4  3x − y = 4  + = 1.
4 −4
3 O 4/3 x
Los puntos de corte con los ejes
4 
son:  , 0  y ( 0, −4 ) .
3  -4
d) La recta pasa por los puntos P(0,5) y Q(-2, 0). Ellos son y
x y
los puntos de corte con los ejes  + =1.
−2 5
5
-2 x
Actividad 6
O
Partimos de la ecuación del haz de rectas: y = a ( x − x0 ) + y0
a) ( x0 , y0 ) = (1,3)  y = a( x −1) + 3 .
b) a = 1  y = ( x − 1) + 3 . Por lo tanto, la ecuación explícita es y = x + 2 , la ecuación implícita
x y
es x − y + 2 = 0 y la ecuación segmentaria es + =1 .
−2 2
Actividad 7
Se quiere determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y tiene pendiente 5.
Basado en la ecuación del haz de rectas obtenemos:
y = a ( x − x0 ) + y0
Reemplazando por los datos obtenemos:

y = 5( x + 2) + 3
Por lo cual, la ecuación de la recta es:
y = 5x + 13
Actividad 8
a) La recta pasa por (x1, y1) =(3, -1 ) ; (x2, y2)= (5, -3) , entonces:
375
y1 − y2 −1 − (−3)
a= a=  a = −1
x1 − x2 3−5
x1 y2 − x2 y1 3(−3) − 5(−1)
b=  b=  b=2
x1 − x2 3−5
La ecuación explícita de la recta es y = − x + 2 .
b) La recta pasa por (x1, y1) =(1, 7 ) ; (x2, y2)= (5, 2) , entonces:
y1 − y2 7−2 5
a= a= a=−
x1 − x2 1− 5 4
x1 y2 − x2 y1 1.2 − 5.7 33
b=  b=  b=
x1 − x2 1− 5 4
5 33
La ecuación explícita de la recta es y = − x+
4 4
c) La recta pasa por (x1, y1) = (3, -3 ) ; (x2, y2)= (5, -3), entonces:
y1 − y2 −3 + 3
a= a= a=0
x1 − x2 3−5
x1 y2 − x2 y1 3.(−3) − (−3).5
b=  b=  b = −3
x1 − x2 3−5
La ecuación explícita de la recta es y = −3 .
Actividad 9
Queremos encontrar ( x0 , y0 ) tal que pertenezca a las dos rectas dadas. Por lo tanto, se busca la
solución del siguiente sistema de ecuaciones:
 y0 = 3x0 + 2

 1
 y0 − 2 x0 = 9
Resolviendo resulta: ( x0 , y0 ) = (14 5,52 5) .
Actividad 10
a1 − a2
Podemos encontrar el ángulo  que determina dos rectas usando la relación: tg ( ) = , donde
1 + a1. a2
3 1 3
3 y − 3x − 1 = 0  y = x +  a1 = ; y = 3  a2 = 0 . Entonces:
3 3 3
376
3
−0  3
3
tg ( ) = 3 =   = arctg     = 30º
3 3  3 
1+ .0
3
Actividad 11:
1 1
Si y = − x + 3  y = − x , es la recta paralela que pasa por el origen mientras que y = 2 x es la
2 2
recta perpendicular que pasa por el origen.

1) 5
2) Perímetro=12 cm. Superficie del triángulo= 6 cm2
3) Para −3x = −2 y − 6 , tenemos:
Ecuación implícita: −3x + 2 y + 6 = 0 ;

Y
L
3
Ecuación explícita: y = x −3.
2
x y
Ecuación segmentaria: + =1 .
2 X 2 −3
-3
1 7
4) a) Ecuación explícita: y = x+ .
3 3
Ecuación implícita: − x + 3 y − 7 = 0 .
x y
Ecuación segmentaria: + =1.
−7 7
3
1
b) Pendiente de la recta: .
3
1 7
c) La recta perpendicular a 3 x +y =1, que pasa por A(-1, 2) es y = x+ .
3 3
5) El punto de encuentro entre las rectas y = 2 x + 5 , 4 x − y = 3 es ( x0 , y0 ) = (4,13) .
6) Ecuación implícita: x + 2 y − 2 = 0 .
377
1
Ecuación explícita: y = − x +1.
2
x y
Ecuación segmentaria: + = 1.
2 1
7) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, 7) ; Q(-2, 1) es y = 2 x + 5 .
8) La recta paralela a 4 x − y = 3 que pasa por el punto D(1,6) es y = 4 x + 2 .
9) Las rectas 2x + 2y= 4 e y= x +2, forman un ángulo de 90º.
1
10) La recta perpendicular a y+3= -2 x , que pasa por el punto R(4, 3) es y = x +1 .
2
11)
1 7
a) y = x + . b) Esta recta intersecta a la recta de ecuación x +4y =5. c) ( x0 , y0 ) = (−1, 3 / 2) .
4 4
378

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Matemática I Nancy Stanecka

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

 Identificar las características propias de leyes de composición interna y externa, a fin de

 Comprobar el cumplimiento o no de las propiedades de las leyes de composición interna para

 Aplicar la definición formal en la deducción de la dependencia o independencia lineal de

 Analizar en base a propiedades la dependencia o independencia lineal de vectores.

 Verificar si un conjunto de vectores constituye una base de un espacio vectorial y determinar

Por ejemplo Por ejemplo

Las leyes de composición son relaciones que se definen a partir de dos

La suma de números Naturales puede pensarse como una NxN  N

Así, la característica de relacionar dos elementos de un conjunto y que la imagen vuelva a

Dado un conjunto no vacío A = {a,b,c,....} de elementos cualesquiera, una

* es una ley de composición interna en A   a  A ,  b  A,  c A / a * b = c

También podemos visualizar la situación usando nuestros conocimientos de relación:

Los símbolos a usar pueden ser:  ; x ;  ;  ;  ; T ;  ;

Comencemos analizando algunos ejemplos de leyes de composición interna, diferentes de las

En el conjunto de los Números Enteros (E), definamos la siguiente relación,

¿Qué significa esto para algunos valores particulares de a y b?

Valores particulares de a y b Resultado de aplicar la ley

Si a= 1 y b= -7 1*(-7) = 1 + (-7) –5  1*(-7) =-11

y a esa suma le restemos

Definamos la relación simbolizada por , en el conjunto de los Números Enteros (E):

donde + y : representan suma y división habituales, respectivamente.

Actividad 1: En el conjunto de los Números Racionales (Q) se define la siguiente relación:

b) Decida y justifique si ésta representa una L.C.I. en Q.

Actividad 2: En el conjunto de los Números Racionales (Q) se define la siguiente relación:

aA, eA / a  e=a  e  a = a.

Se quiere demostrar que:

Necesitamos demostrar que:

Desarrollemos ambos miembros:

c) Existencia de Elemento Neutro “e”

aA, eA / a  e=a  e  a=a

Observemos que el único elemento que cumple con la igualdad es e = 5.

d) Existencia de Elemento Simétrico

Apliquemos la ley recordando que el elemento neutro es 5.

En este caso no es necesario esa verificación, ¿Por qué?

En el conjunto de los Números Reales (R) definimos la siguiente L.C.I:

Investiguemos si esta ley posee alguna de las propiedades enunciadas.

Necesitamos demostrar que:

Trabajemos en ambos miembros de la igualdad:

Se quiere demostrar que :

Desarrollemos ambos miembros:

Nuevamente no se cumple la igualdad, por lo tanto la LCI no goza de la propiedad conmutativa.

c) Existencia de Elemento Neutro “e”

aR, eR / aea  eaa

Consideremos la primera igualdad:

Resolvamos esta ecuación

d) Existencia de Elemento Simétrico

1- El elemento neutro en una L.C.I., es aquel que al operarlo a la derecha o a la izquierda de un

En el producto de Números Reales definido de la manera habitual ¿Cuál es el elemento

2- Para hallar un elemento simétrico, necesariamente debemos conocer el elemento neutro de la

Responda, justificando en forma adecuada:

En símbolos, si denotamos la ley por ,

 es una L.C.E en A sobre      , a  A ,  c A /   a = c

1) Sean = {2, 3, 5} y A= Naturales, definimos de  x A en A el producto habitual; entonces el

2) Sean = {-2, 3, 5} y A= Naturales, definimos de  x A en A el producto habitual, entonces el

3) Considerando el conjunto formado por todos los ángulos y

4) Sea =  y A= {pares ordenados de Números Reales},

Si a= 1 y b= -7 1(-7) = 1 + (-7) –5  1(-7) =-11