“Año de la

Universalización de
la Salud”

Diseño Metodológico para el Aprendizaje 10 / Unidad 03

EL MUNDO DE LA RACIONALIZACIÓN EN LA VIDA DIARIA.
Asignatura: Matemática Duración: 8 horas pedagógicas
Grado y sección: 3 - A-B-C-D

NOS CONTACTAMOS Y ASUMIMOS RETO DE LOS APRENDIZAJES

Actividad 1: Lee y analiza:

Veamos algunos ejemplos sobre racionalización en nuestro contexto.

➢ “Tenemos que analizar el proceso para lograr la racionalización de la producción”, “El disertante se explayo con
sus opiniones, pero yo necesito la racionalización de lo explicado”.

➢ Los medicamentos, sobre la base de un estricto control de los costos en los laboratorios, se racionalizará la
producción que se entregaran en cantidades suficientes.

➢ Sobre la pandemia del covid-19, se pide la racionalización de los gastos económicos en cada familia.

➢ Se ha reducido la producción en las diferentes empresas generando la racionalización del personal de trabajo,
todo esto debido al problema del covid-19.

➢ La movilización de la población peruana será un proceso que se llevará a cabo bajo los principios de
racionalización, optimización y funcionalidad, respondiendo a instancias de diagnóstico y evaluación.

Lee, piensa y respóndete personalmente

Según los ejemplos sobre racionalización.

………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
Define con tus propias palabras el término racionalización:
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

Actividad 2: Leemos, observamos y analizamos

¿Crees que es importante desarrollar y/o aplicar el método heurístico? Por qué?
En matemática se define:
La aparición de problemas y/o dificultades, ¿sería el inicio de nuevas oportunidades de evolución, como seres
➢ humanos?
La racionalización es un proceso que permite simplificar expresiones que contienen radicales que no son
exactos.
➢ La racionalización es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador
de una fracción, encontrando una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.
➢ La racionalización es un proceso en el cual se transforma una expresión, la cual es una fracción con raíz en el
denominador, a otra equivalente sin raíz en el denominador.
➢ Con frecuencia es necesario alterar la forma de una expresión con raíces para obtener otra expresión más simple.
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Universalización de
la Salud”

Lee, piensa y responde personalmente

Según las definiciones leídas:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
Defina con sus propias palabras la racionalización en matemáticas.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

PREGUNTA TDC: ¿De qué manera los radicales sirven para modelar situaciones cotidianas que tienen múltiples
soluciones?

INVESTIGAMOS Y CONSTRUIMOS EL APRENDIZAJE

PROPÓSITO DE EVIDENCIA DE
APRENDIZAJE APRENDIZAJE Criterios de evaluación AD A B C
• Analiza los • Desarrollar • Traduce cantidades a expresiones
diferentes casos habilidades en numéricas.
de racionalización la
• Comunica su comprensión sobre
y aplica en la racionalización
resolución de mediante la los números y las operaciones.
problemas. resolución de • Usa estrategias y procedimientos
problemas. de estimación y cálculo.
• Argumenta afirmaciones sobre las
relaciones numéricas y las
operaciones.

La investigación autónoma

Actividad 3:
Forma general de los casos de racionalización
𝑛
a) Caso : Racionalización del denominador de la forma √𝑎𝑚
A veces es útil eliminar el radical en un denominador al multiplicar el numerador y el denominador por
una expresión apropiada. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador. Si el
denominador es de la forma √𝑎, multiplicamos numerador y denominados por √𝑎 ,

1 1 1 √𝑎 √𝑎
= .1 = . =
√𝑎 √𝑎 √ 𝑎 √𝑎 𝑎
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Universalización de
la Salud”

Los casos más frecuentes de Racionalizar

racionalización son: Racionalización de
un monomio.
𝟑
a.
4 √𝟓
Ejemplo 1: racionalizar .
√3
Sabiendo que racionalización es un
proceso de expresar una expresión en otra 𝟐
equivalente más simplificada, hacemos: b.
𝟑√𝟕

Hay que multiplicar numerador y

denominador por √3 (factor
racionalizante) 𝟓
4 √3 4. √3 4. √3 c.
𝟐√𝟑
. = 2 =
√3 √3 √3 3

El denominador ahora es un número racional,

También se debe tener en cuenta todas las
propiedades de los radicales para poder resolver los problemas de forma más fácil.

Racionalización: Es un proceso que consiste en convertir un número irracional en racional. Y se realiza

de la siguiente manera:

Primero: Buscamos el factor racionalizante del radical que se desea racionalizar que puede ser del
numerador o del denominador.
Segundo: Multiplicamos tanto al numerador como al denominador de la fracción por su factor
racionalizante.
Al efectuar quedará el numerador o denominador racionalizado.

Ejemplos: Racionalizar los denominadores de:

2 7
, ,
2
1. 3 5
√2 √3 √2

Actividad 4:
Investigamos: Racionalización de binomios con radical mayor a dos.
Para el caso de racionalización aplicar diferencia de cubos y suma de cubos:

(𝑎 − 𝑏). (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 − 𝑏 3
(𝑎 + 𝑏). (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3

Utilizar la tabla para racionalizar:

Denominador Irracional Factor Racionalizante Denominador
Racionalizado
3 2 2
3
√𝑎 + √𝑏 3 3
√𝑎 − √𝑎. 𝑏 + √𝑏
3 𝑎+𝑏
3 2 2
3
√𝑎 − √𝑏 3 3
√𝑎 + √𝑎. 𝑏 + √𝑏
3 𝑎−𝑏

b) Caso : Racionalización del denominador de la forma 𝑨 + 𝑩√𝑪

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Si una fracción tiene un denominador de la forma 𝑨 + 𝑩√𝑪 , podemos racionalizar el denominador al

multiplicar numerador y denominador por el radical conjugado 𝑨 − 𝑩√𝑪.

El producto del denominador y su radical conjugado no contiene radical.

(𝑨 + 𝑩√𝑪) . 𝑨 − 𝑩√𝑪 = 𝐴2 − 𝐵2 𝐶

3
√3
Ejemplo 1: Racionalizar 3 3
√5+ √2
3 2 3 3 2
Según la tabla el factor racionalizante es: √5 − √5.2 + √2 entonces multiplicamos, dividimos
y aplicando suma de cubos:

3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3
√3 ( √5 − √5.2+ √2 ) √3.( √25− √10+ √4) ( √75− √30+ 3√12)
3 3 . 2 2 = 3 3 =
( √5+ √2) ( 3√5 − 3√5.2+ 3√2 ) 3
√5 + √2
3 7

Resolviendo:
1
1. Racionalizar 3 3
√4− √2

2. Una sala de lectura tiene 16 metros de largo y 9 metros de ancho. ¿puede construirse otra sala
cuadrada de igual área? En caso afirmativo ¿Cuánto mide el lado?

2
3. Racionalizar
3−√7

CONCLUIMOS LAS COMPRENSIONES

Actividad 5: Racionalizamos expresiones.
8
Ejemplo 2: Racionalizar 5
√4
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Universalización de
la Salud”

8 5
Sabemos que 4 = 22 , entonces la expresión queda 5 y el factor racionalizante es: √23 ,
√22
multiplicamos y dividimos por el factor racionalizante.
5 5 5 Palabras claves:
8 √23 8 √23 8 √23 5
5 .5 = 5 = , simplificando queda: 4 √23 ✓ Simplificar
√22 √23 √25 2 ✓ Racionalizar
6 ✓ operar
Ejemplo 3: racionalizar 3
5 √9𝑥
6 3
Sabemos que 9 = 32 , entonces la expresión queda 3 y el factor racionalizante es: √31 𝑥 2 ,
5 √32 𝑥
multiplicamos y dividimos por el factor racionalizando.
3 3 3 3
6 √31 𝑥 2 6. √31 𝑥 2 6. √31 𝑥 2 2. √31 𝑥 2
3 .3 = 3 = simplificando queda:
5 √32 𝑥 √31 𝑥 2 5 √33 𝑥 2 5.3.𝑥 5.𝑥

Racionalizar
𝟔
a. 𝟔
√𝟐𝟐

𝟒
b. 𝟑
𝟔. √𝒙.𝒚𝟐

𝟐
c. 𝟓
√𝟖.𝒂𝟑 .𝒃𝟒

A. Racionalización de un Binomio
3√3
Ejemplo 1: Racionalizar
2√3−√6
Sabiendo que debemos multiplicar y dividir por su conjugada que es: 2√3 + √6 para racionalizar.

3√3 (2√3+√6) 3.√3.√3(2+√2) 3.3(2+√2) 3.(2+√2)

. = 2 2 = simplificando queda .
(2√3−√6) (2√3+√6) 2√3 − √6 4.3−6 2

Se aplicó diferencia de cuadrados: (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 ; también √3. √3 = 3

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la Salud”

Cuando el denominador es de la
forma √𝒂 ± √𝒃, entonces el factor
racionalizante es: √𝒂 ∓ √𝒃.

Ver la tabla.

Racionalizar
𝟐
a.
√𝟓−√𝟑

𝟒
b.
√𝟓+√𝟐

𝟐
c.
𝟑−√𝟓

Ver video de repaso: Racionalización de Radicales en el siguiente link

https://www.youtube.com/watch?v=1RxpHLIcQUk&t=352s (7 min)

Antes de iniciar nuestra solución de ejercicios , tomaremos estos siguientes modelos de ejercicios la
cual nos pueda ayudar
1).- Racionaliza:
6 18 18 7 2 3
= 
3 7
16 7 2 4 7 2 3
Solución: 187 8 187 8
= = 97 8
7
27 2
6 6 3
= 
3 3 3 2
3).- Racionaliza:
6 3 6 3 6+ 5
= =2 3
9 3

18
2).- Racionaliza:
7
16
Solución :
Solución:
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la Salud”

2 6− 5 Solución :
x
6+ 5 6− 5
(4 − 2 ) (2 − 5 2 ) 8 − 22 2 + 10
12 − 10 12 − 10 x =
= = 12 − 10 (2 + 5 2 ) (2 − 5 2 )
2 2
2 2
6−5 2 − (5 2 )
6 − 5

12 18 − 22 2 18 − 22 2
4).- Racionaliza: = =
2+ 3− 5 4 − 50 − 46

Solución : 11 2 − 9
=
12 ( 2 + 3 )+ 5 12( 2 + 3 + 5 ) 23
( 2 + 3 )− 5 x ( 2 + 3 )+ 5 = 5 + 2 6 − 5
12( 2 + 3 + 5 ) ( 6 ) 6( 12 + 18 + 30 ) 15
x = 7) Racionaliza:
2 6 6 6 7 4 5
3 5
= 2 3 +3 2 + 30 Solución :

3 2
5).- Efectúa: 15
7
3 5 15 7 27 x 25
4 3 2 x =
B= + + 7 4 5 7 3 2 7 7 7
7− 3 10 + 7 2 3 + 10 3 5 3 5 3 5

15 7 27 x 25
= 7
675
15
Solución :

4
x
( 7 + 3 ) = 4( 7 + 3 ) = 7+ 3 8) Racionaliza:
2

7− 3 7+ 3 4 11 + 120

Luego : Solución :

B= 7 + 3 + 10 − 7 + 2 3 − 10 Transformamos a radicales simples.

B= 3 3 2 2 2
= =
11 + 120 11 + 4 x 30 11 + 2 30
6).- Racionaliza:
2 6− 5 12 − 10
4− 2 x = = 12 − 10
6+ 5 6− 5 2
6 − 5
2

2+5 2

TRANSFERIMOS Y NOS EVALUAMOS

Actividad 7: Desarrollo de problemas de aplicación.
Problema 01: Calcular la expresión después de racionalizar:
2
a.
2√7

1
b. 7
√23
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3
c. 7
√𝑥 3 .𝑦 4 .𝑧 2

Problema 02: Al racionalizar calcular el valor de:

3 2 f) Calcula:
a. − √2 +
√3 √2
5 1 6
+ −
7+ 2 2 +1 7 −1

2 3 5
b. + + − √3 − √5 1
√2 √3 √5
g) Luego de racionalizar es igual a:
11 + 2 30

5 4
c. +
√5 3+√5

h) Resuelve:

− 5
 2 10
2− 8
√5−√3
d. √15 +
√5+√3

2 − 5  2 2 10 
i) Resuelve: − + 
2 + 5  3 3 
3 6
e. −
√7+2 √7−1
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Problema 03: Un microchip rectangular tiene una longitud de 5 mm y una diagonal de 5√2 mm. ¿Cuál es
el área del microchip?

CRITERIO INDICADORES LOGRADO EN PROCESO INICIO

Identifica los datos, incógnita y

Comprendí el condiciones de los problemas planteados.

Problema Establezco relaciones entre los datos e

incógnitas en cada problema.

Realizo cálculos, razonamientos y/o

Diseña la construcciones.
estrategia Comunicó el procedimiento que me
conducirá a resolver el problema.

Desarrollo sin dificultades la estrategia

Ejecuta la diseñada.
estrategia Demuestro facilidad para comenzar de
nuevo si encuentra alguna dificultad.

Reviso si los cálculos, razonamientos y

construcciones ejecutados son correctos.

Compruebo si la respuesta satisface lo

Revisa y verifica
solicitado en el problema.

Reconozco el uso de diversos

procedimientos para resolver el problema

REFLEXIONAMOS EL APRENDIZAJE (20 min)

Actividad 8:
Los estudiantes reciben por parte del docente una retroalimentación colectiva utilizando Pear Deck.

Actividad 9:
El estudiante responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué aprendí el día de hoy?
2. ¿Qué habilidades logré con este proceso de aprendizaje?
3. ¿Para qué me servirá este aprendizaje?

Actividad 10: reflexiona. Autoevaluación

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N° ÍTEM RESPUESTA

1 ¿Lograste responder la mayoría de las preguntas?

2 ¿Cuán distante estaban las preguntas que no respondiste de

las respuestas socializadas?

3 ¿Cuáles son las estrategias que has utilizado y te dieron

éxito?

4 ¿Cómo explicas tus dificultades en responder las preguntas?

5 ¿Qué estrategias y procedimientos te corresponden

incorporar?

Actividad permanente: monitoreo (guía, mediador, intromisión)- evaluación y retroalimentación.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍA

• Buchanan, L. y otros (2015): “Matemáticas Nivel Medio”. Primera publicación. Oxford University
Press. Oxford.
• Problemas selectos “Academia Cesar Vallejo Ediciones Lumbreras”
• Eduardo Espinoza Ramos (2002) Álgebra Perú- Lima
• Recursos tecnológicos (Emulador de la Calculadora de Pantalla Grafica HP prime).
• https://www.youtube.com/watch?v=gaWnRJK-R6A
• https://matematicaj.blogspot.com/2016/05/racionalizacion-ejercicios-resueltos-de.html