Matematica 2022

MANUAL DE
MATEMÁTICA
BÁSICA
JOSÉ CARLOS JUÁREZ PULACHE

Índice general
Capítulo 1. Lógica proposicional y conjuntos Página 2
1.1. Lógica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Proposición lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. Operaciones Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6. Formalización de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7. Evaluación de un esquema molecular o Fórmula Bien Formada . . . . . 17
1.1.8. Equivalencias lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1. Determinación de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2. Clases de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3. Relación entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.5. Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.6. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.7. Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Capítulo 2. Números reales Página 37
2.1. Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
M.Sc José C. Juárez P. Pag. 1

2.1.3. Ecuaciones de primer y segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.5. Inecuaciones de primer grado y segundo grado . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.6. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.7. Métodos de solución de una inecuación cuadrática . . . . . . . . . . . 46
2.2. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2. Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Ecuaciones e inecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.1. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.2. Inecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Máximo entero de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Capítulo 3. Función real de variable real Página 72
3.1. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1. Dominio y Rango de una relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.2. Relación de R en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.3. Técnicas para hallar el dominio y rango de una relación real . . . . . . 77
3.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1. Dominio y Rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.2. Función real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.3. Clases de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.4. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.5. Función con varias reglas de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.6. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Capítulo 1
MATEMÁTICA BÁSICA
L ÓGICA PROPOSICIONAL Y CONJUNTOS

Matemática
1.1 Lógica Proposicional
1.1.1. Introducción
En esta sección, pretendemos que el tema nos sirva para ordenar nuestro pensamiento, de
poder expresar de modo racional las ideas que tenemos almacenadas en el cerebro, en mejorar
el razonamiento lógico y matemático y no caer en falacias 1 que siempre surgen en las
conversaciones diarias.
En el contexto real, el ser humano en sus actividades cotidianas puede comunicarse de diversas
formas, 3 formas muy conocidas para poder expresar nuestras ideas, tenemos:
Lenguaje oral, que se manifiesta mediante la comunicación verbal, que emanamos con
nuestra voz.
Lenguaje escrito, que es una traducción del lenguaje oral, mediante frases impreas.
Lenguaje simbólico, que es una traducción de los dos anteriores, mediante simbolos
apropiados que siguen reglas bien definidas.
Tanto el lenguaje oral como escrito sufren el defecto que muchas veces las ideas no se expresan
en forma precisa, dando lugar a ambig´uedades.
en cambio el lenguaje simbólico usado en la matemática, estadística, etc, es por el contrario
preciso y no da lugar a falsas interpretaciones.
¿Qué es la lógica?
El sentido ordinario de la palabra lógica, significa: congruente, ordenado, bien estructurado.
1
Falacia: En el ámbito de la lógica, la falacia se refiere a los argumentos que intentan defender algo que no es
válido.
En ocasiones, las falacias se cometen con la intención de persuadir a otros para lograr un fin, como otras veces se
cometen sin intención alguna, por ignorancia.

Matemática
La lógica es la ciencia que busca las leyes(métodos o principios) que determinan cuando un
argumento es correcto y cuando no. Un argumento es un conjunto de oraciones asertivas que
justifican, prueban o dan razón de otra. A las primeras se les llama premisas y a la última se les
llama, conclusión.
En particular esta ciencia se centra en la forma y no tanto en el contenido de los razonamientos,
de ahí su nombre de lógica formal. Cabanza(2012)
Por ejemplo: Si un estudiante dice:“Siempre que el profesor viene a clases, deja su carro en el
parqueadero; y como hoy no esta su carro; no vino”. El estudiante da un argumento que trata de
probar la verdad a partir de las premisas.
La lógica nos dirá que el argumento anterior es válido.
Lógica proposicional
La lógica proposicional es parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones comple-
jas a partir de proposiciones simples

Matemática
1.1.2. Enunciado
Es la expresión de una idea2 , que sea comprensible.
Ejemplo:
1 ¡Goool! : Sí, es un enunciado.
2 la mañana está fria. : . . . . . . , es un enunciado.
3 La mente de los : . . . . . . , es un enunciado.
4 R : . . . . . . , es un enunciado.
5 R2 : . . . . . . , es un enunciado.
4 Rπ : . . . . . . , es un enunciado.
Enunciado abierto
Es un enunciado que contiene una o más variables, y que tiene la propiedad de no ser verdadera
o falsa.
Ejemplo:
1 Juan es “x” : “x”, puede ser:
Cantante.
Cocinero.
Médico, etc.
2 x+3>0 : “x” puede ser:
x = −3
3 Él es un escritor Peruano : “Él”, puede ser:
Ciro Alegría.
Albert Einstein.
2
Idea: Es una representación mental de algo real o imaginario

Matemática
1.1.3. Proposición lógica

Es un enunciado que informa algo de la realidad que puede ser verdadero o falso, pero no
ambos.
Las proposiciones suelen denotarse por letras minúsculas como : p, q, r, s, t, ...etc.
Ejemplo:
1 p: 16-1=12 : Sí, es una proposición lógica (F).
2 q: El perro. : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).
3 r: Los abogados están : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).

alegres.
4 s: Por fin iremos al : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).

mundial.
Nota
Las preguntas, mandatos(órdenes), fórmulas, deseos, emociones, no representan

una proposición.
Las frases filosóficas, refranes no representan una proposición.
Ejemplo:
¿Cuáles de los siguientes expresiones, son enunciados, enunciados abiertos o proposiciones?
1 p: x2 + y 2 + z 2 = 1 : Enunciado abierto.
2 q: ¡Hola mi amor! : .........................
3 r: Ojalá mi suegra se : .........................

muera.
4 s: Escucha esa noticia. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5 t: La matemática es una : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
ciencia.
6 u: 18 > 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Matemática
1.1.4. Clases de proposiciones
Proposición simple ó atómicas ó monódicas

Son aquellas proposiciones que contienen en su estructura una afirmación ó acción; además no
contiene el adverbio negativo(no).
Ejemplo:
1 p: Wellington es la capital de Nueva Zelandia : P. Simple - Es una afirmación.
2 q: La UNP fue creada en el año 1961 : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 q: Manuel barre el salón de clases. : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 q: José baila en la fiesta. : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La proposiciones simples se clasifican en:
Proposición simple predicativa. Son aquelllas proposiciones simples en la cual se predica

algo de sujeto; es decir se dice alguna propiedad, cualidad o característica del sujeto.
Ejemplo:
1 p: Lima es una ciudad contaminada : Sujeto: Lima – Propiedad o cualidad: Ciudad

contaminada
2 q: 2 es un número par. : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

dad:. . . . . . . . . . . . . . .
3 q: La botánica es una ciencia natu- : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

ral. dad:. . . . . . . . . . . . . . .
4 q: Juan trabaja en el taller. : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

dad:. . . . . . . . . . . . . . .
Proposición Simple Relacional. Son aquellas proposiciones simples que constituyen una
relación o enlace entre 2 sujetos u objetos. Ejemplo:
1 p: Juan y María son amigos : Relación de amistad.
2 q: Perú esta al norte de Chile. : Relación de ubicación.
3 r: Alex llama por teléfono a Eliza- : Relación de . . . . . . . . . . . . . . .

beth.
4 s: Juan Pablo y Martha son esposos. : Relación de . . . . . . . . . . . . . . .

Matemática
Proposiciones compuestas(o moleculares)

Son aquelllas proposiciones que están constituidas por dos o más proposiciones simples
enlazadas entre sí por conjunciones gramaticales 3 o afectadas por el abverbio de negación
“no”. Ejemplo:
• En la ciudad de Huamanga el sol brilla, pero hace mucho frio.

|{z}
conjunción
• Las selecciones de Perú y Nueva Zelanda deleitaron al público con su juego.

|{z}
conjunción
• Los alumnos de la UNSCH festejarón el triunfo Peruano, por consiguiente estudian

| {z }
condicional
con mucho empeño.
• Despúes de 35 años la selección peruana irá al mundial por lo tanto todo el pueblo
es feliz.
• Si desde ahora ahorro dinero, entonces viajare al mundial Rusia 2018.
1.1.5. Operaciones Lógicas
Proposición logica + conectivo lógico = Proposición Compuesta

| {z }
Operación lógica
Entre aquellas operaciones lógicas tenemos;
La conjunción
La disyunción
La condicional
La bicondicional
La negación
a) Conjunción:(∧)
Son aquellas proposiciones que están relacionadas o enlazadas mediante la conjunción gra-
matical “y” o expresiones equivalentes como:
Pero
Incluso
Tambien, etc.
Ejemplo:
3
Las conjunciones son una clase de palabras que funcionan como enlaces o nexos entre palabras, oraciones o
sintagmas.

Matemática
C.L
z}|{
Hoy tuve un día muy lindo y los inspectores fueron la frutilla del postre.
| {z } | {z }
p q
• p: Hoy tuve un día muy lindo.

• q: Los inspectores fueron la frutilla del postre.
• Se simboliza como:
p∧q
C.L
z}|{
Juana empezo con voz muy tembloroza llena de nervios, pero
| {z }
p
de pronto se aclaro y vibraba con un acento nuevo.
| {z }
q
• p: Juana empezo con voz muy tembloroza llena de nervios.

• q: Juana aclaro su voz y vibraba con un acento nuevo.
p∧q
La veo con frecuencia, pero siempre de paso.
• p:
• q:
Esteban es inteligente, pero le falta aplicación.
• p:
• q:
b) Disyunción:
a) Disyunción débil o inclusiva (∨) Son aquellas proposiciones que están relacionadas o
enlazadas mediante la conjunción gramatical “o”. plantea la posibilidad que ambas alter-
nativas puedan cumplirse, sin causar problema alguna.
Ejemplo:
C.L
z}|{
Los alumnos que compren un manual de trabajo tiene derecho a un descuento del 0,1 % o
| {z }
p
a un vale para compras..
| {z }
q
• p: Los alumnos que compren un manual de trabajo tiene derecho a un descuento
del 0,1 %.
• q: Los alimnos tiene derecho a un vale para compras.
p∨q
C.L
z}|{
Los {z } o Chilenos
| Peruanos | iremos
{z al mundial.}.
p q

Matemática
• p: Los Peruanos van al mundial.

• q: Los Chilenos van al mundial.
p∨q
Carlos es abogado o arquitecto
• p:
• q:
Juan compra un auto nuevo o un usado.
• p:
• q:
b) Disyunción fuerte o exclusiva (4) Son aquellas proposiciones que están relacionadas o
enlazadas mediante la conjunción gramatical “o...o...”. plantea dos posibilidades, de las
cuales sólo puede ser elegida una de ellas, por ser ambas excluyentes entre sí.
Ejemplo:
C.L
C.L z}|{
O la
|{z} | sustancia{zes un ácido} o es| un{zalcalí}
p q
• p: La sustancia es un ácido.
• q: La sustancia es un alcalí.
p4q
C.L
z}|{
Manuel viaja a Lima en auto o en | avión
{z }
| {z }
p q
• p: Manuel viaja a Lima en auto.

• q: Manuel viaja a Lima en avión.
p4q
C.L
z}|{
Ramiro
| esta vivo} o muerto
{z | {z }
p q
• p: Ramiro está vivo.
• q: Ramiro está muerto.
p4q
Elizabeth está soltera o casada
• p:
• q:
Ricardo Gareca es DT de Perú o Chile
• p:

Matemática
• q:
c) Condicional:(→)
Son aquellas proposiciones que están relacionadas o enlazadas mediante la conjunción gra-
matical “ Si ... entonces...” o expresiones equivalentes como:
p implica q
p por consiguiente q
p por lo tanto q, etc.
En la bicondicionla se se hace referencia a dos elementos:
Antecedente(Hipótesis)
Consecuente (Conclusión)
Ejemplo:
CL
z }| {
Cada vez que hay inflación por consiguiente los precios suben.
| {z } | {z }
p q
• p: Cada vez que hay inflación.

• q: Los precios suben.
p→q
CL CL
z}|{ z }| {
{zlibertad}.
Si |el acusado{zes inocente} entonces |saldrá en
p q
• p: El acusado es inocente.
• q: El acusado saldrá en libertad.
p→q
Si las tasas de interés se mantienen fijas, los clientes podrán ampliar sus créditos.
• p:
• q:
Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata.
• p:
• q:
Si Perú clasifica al mundial, entonces el dia siguiente es feriado.
p:
q:
Se simboliza como:

Matemática
Bicondicional:(←→)
Son aquellas proposiciones que están enlazadas mediante la conjunción gramatical “ ...si y sólo
si... ” o expresiones equivalentes como:
p es equivalente a q
p es identico a q
Ejemplo:
CL
z }| {
Estos campos se inundan, si y sólo si el agua alcanza esta altura.
| {z } | {z }
p q
• p: Estos campos se inundan.

• q: el agua alcanza esta altura.
• Se simboliza como: p ←→ q
CL
z }| {
Una persona es mayor de edad, si y sólo si |tiene su DNI{zde color azul.}
| {z }
p q
• p: Una Persona mayor de edad.

• q: Tiene su DNI de color azul.
• Se simboliza como: p ←→ q
Dani viajará a Rusia, si y sólo si obtiene un préstamo en el Banco.
• p:
• q:
Apruebo el curso de matemática si y sólo si tengo nota mayor igual a 10.5
• p:
• q:
Un puente está bien construido, si y sólo si resiste a un terremoto de mayor escala.
• p:
• q:
Negación:(∼)
Son aquellas proposiciones que estan acompañadas por el abverbio negativo “no”

Matemática
Tablas de verdad
p q p∧q p∨q p4q p→q p ←→ q ∼p
V V V V F V V F
V F F V V F F F
F V F V V V F V
F F F F F V V V
Para determinar el número de valores lógicos de una tabla de verdad , se calcula mediante la
siguiente fórmula: 2n ;“n” número de proposiciones lógicas, combinandóse la mitad de valores
V y la otra mitad F por cada columna respectivamente.
1.1.6. Formalización de proposiciones

El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar
la forma o estructura de las proposiciones e inferencias.
El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: Variables
proposicionales y operadores lógicos (o conectivos lógicos)
Las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica. Son letras minúscu-
las del alfabeto castellano como: “p¨, “q¨, “r¨, “s¨, etc.
Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proporciones establecen determinadas
operaciones entre ellas; son de dos clases: diádicos y el monódico.
Los operadores diádicos tiene un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir,
afectan a dos variables proposicionales. Y son los siguientes: conjuntivo, disyuntivo, condi-
cional y bicondicional.
El operador monódico es único y es el operador que tiene un sólo alcance: hacia la derecha, es
decir, afecta a una sola variable proposicional.
Reglas de formación de fórmulas lógicas
Una fórmula bien formada (FBF) es una cadena de símbolos construida según reglas estableci-
das por la sintaxis lógica. Puede ser de dos tipos:
Una fórmula simple: es aquella que no contiene entre sus variables proposicionales
operadores lógicos y puede ser representada por una variable proposicional.
Una fórmula molecular: contiene entre sus variables proposicionales, al menos, un

operador lógico.
Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien
formadas(FBF):
1. Toda variables proposicional (“p”, “q”, “r”, “s”) es una FBF.

Matemática
2. Si “p” es una FBF, entonces “∼ p” es también una FBF.
3. Si “p” y “q” son FBF, entonces “p ∧ q”,“p ∨ q”,“p −→ q”, “p ←→ q”, son igualmente
FBF.
4. Una fórmula lógica está bien formada si y solo si existe una jerarquía claramente estable-
cida entres sus operadores; en caso contrario, la fórmula carece de sentido.
5. Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía.
6. El operador de mayor jerarquía es aquel que está libre de los signos de agrupación.
“()00 , “[ ]00 , “{ }00 .
7. Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisión hace ambigua una fórmula, es
decir, cuando una fórmula es supcetible de una doble interpretación.
8. Los operadores diádicos tiene mayor jerarquía que el operador monádico.
9. El operador negativo se escribe antes y no después de la variable proposicional.
Ejemplo 1
Juan viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia se va de viaje.
Solución
p: Juan viene a casa.
q: Juan se va de viaje.
∴ La formalización es: [(p 4 q )∧ ∼ p] → q
Ejemplo 2
Si no es cierto que las estrellas emitan luz y que los planetan la reflejan, entonces estos
no giran alrededor de ellas.
Solución
p: Las estrellas emiten luz.
q: Los planetas reflejan la luz.
r: Los planetas giran alrededor de las estrellas.
∴ La formalización es: ∼ (p ∧ q) →∼ r

Matemática
Ejemplo 3
Si José encuentra trabajo y ahorra, viajará a Qatar.
Solución
p: José encuantra trabajo.
q: Jose ahorra.
r: Jose viaja a Qatar.
∴ La formalización es:
Ejemplo 4
Estudias matemática o estadística, pero no ambas a la vez
Solución
p:
q:
Ejemplo 5
Cuando obtenga mi título entonces ingreso al ministerio público, pero no ingreso al

ministerio público; por lo tanto no obtuve mi título.
Solución
p:
q:

Matemática
Ejemplo 6
Si recibo mi pago de nivelación acádemica en diciembre, entonces me voy a Piura,

pero no recibo mi pago, por consiguiente no viajare a Piura.
Solución
p:
q:
Ejemplo 7
Si la tormenta continua o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir. Si nos

quedamos a cenar o a dormir, no iremos mañana al concierto. Pero si iremos mañana
al concierto. Por lo tanto, la tormenta no continua.
Solución
p:
q:
r:
s:
Ejemplo 8
Si salgo electo presidente del Colegio de Ingenieros del Perú, entonces recibirán un
50 % de aumento en su sueldo el próximo año.
Solución

Matemática
1.1.7. Evaluación de un esquema molecular o Fórmula Bien Formada

Para evaluar un esquema molecular es necesario construir su tabla de valores de verdad
respetando la jerarquía de los operadores de menor a mayor. El esquema molecular puede ser
una tautología, contradicción o contingencia.
Es tautología, si los valores de la matriz principal(conectivo de mayor jerarquía) son todos

verdaderos.
Es contradictorio, si los valores de la matriz principal(conectivo de mayor jerarquía) son

todos falsos.
Es contingente, si los valores de la matriz principal(conectivo de mayor jerarquía) son

verdaderos y falsos.
Ejemplo 9
Evaluar el siguiente esquema molecular:
[(p ←→ q)∧ ∼ p] ←→ (p∨ ∼ q)
Solución
p q [(p ←→ q)∧ ∼ p] ←→ (p∨ ∼ q)

V V
V F
F V
F F
∴ El esquema molecular es una:

Matemática
Ejemplo 10
[(∼ p ∧ q) →∼ r] ←→ [r∧ ∼ (p∧ ∼ q)]
Solución
p q r [(∼ p ∧ q) →∼ r] ←→ [r∧ ∼ (p∧ ∼ q)]

V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Ejemplo 11
{∼ q ∧ [(p → q)∧ ∼ p]} ∧ (p ∨ q)
Solución
p q r {∼ q ∧ [(p → q)∧ ∼ p]} ∧ (p ∨ r)

V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

Matemática
1.1.8. Equivalencias lógicas

Dos esquemas moleculares “A” y “B” son equivalentes, si al unirlos con el bicondicional resulta
una tautología.
Se denota como: A ≡ B
Se lee:“El esquema molecular A es equivalente al esquema molecular B”
Leyes lógicas
Teorema 1
1. Ley de idempotencia
p∧p≡p
p∨p≡p
2. Ley conmutativa
p∧q ≡q∧p
p∨q ≡q∨p
p ←→ q ≡ q ←→ p
p4q ≡ q4p
3. Ley asociativa
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
4. Ley distributiva
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
5. Ley de Morgand
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
6. Ley de absorción
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q

Matemática
Teorema 2
7. Ley del condicional
p → q ≡∼ p ∨ q
8. Ley del bicondicional
p ←→ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
p ←→ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)
9. Ley del elemento neutro
p∧F ≡F
p∧V ≡p
p∨V ≡V
p∨F ≡p
10. Ley del complemento o identidad
p∧ ∼ p ≡ F
p∨ ∼ p ≡ V
11. Ley de la disyunción fuerte
p4q ≡ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
12. Ley de doble negación
∼ (∼ p) ≡ p
Ejemplo 12
Dados los siguientes esquemas moleculares, determine si son equivalentes:
A : q →∼ p y B :∼ (q ∧ p)
Primera forma:
≡ (q →∼ p) ←→∼ (q ∧ p)......Uniendo los esquemas

≡ [(q →∼ p)∧ ∼ (q ∧ p)] ∨ [∼ (q →∼ p)∧ ∼ (∼ (q ∧ p))]......Bicondicional
≡ [(∼ q∨ ∼ p)∧ ∼ (q ∧ p)] ∨ [∼ (∼ q∨ ∼ p) ∧ (q ∧ p)]......condic. y negación
≡ [∼ (p ∧ q)∧ ∼ (p ∧ q)] ∨ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ q)]...... Morgand, idempotencia
≡ ∼ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)......Elemento neutro
≡ V

Matemática
Segunda forma:
p q (q →∼ p) ←→∼ (q ∧ p)
V V F V F
V F V V V
F V V V V
F F V V V
Ejemplo 13
Simplifique el siguiente esquema molecular, utilizando las leyes de equivalencia.
(∼ p → q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
Solución
Primera forma:
≡ (∼ (∼ p) ∨ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)......Condicional
≡ (p ∨ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)......Doble negación
≡ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)......Morgand
≡ ∼ [(p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q)] ......Asoc y Morgand
≡ ∼ (p ←→ q)......Bicondicional
Segunda forma:
p q (∼ p → q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
V V V F F
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Ejemplo 14
Simplifique los siguientes esquemas moleculares, utilizando las leyes de equivalencia.
[(p∧ ∼ q) ∧ (q → p) ∧ r] ∨ p
∼ [(p ∧ q) ∧ ((p → r) ∨ p)]
[(∼ p ∧ q) → (s∧ ∼ s)]∧ ∼ q

Matemática
Ejercicios Propuestos
1. Formalice los siguientes enunciados
a) Si la enfermedad es controlada, entonces no se extenderá.
b) Si dos gases tienen la misma temperatura, entonces sus moléculas tienen el mismo
promedio de energía cinética.
c) Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo, me gustaría acariciarlos.
d) Creería que hay vida extraterrestre si y sólo si viera un marciano con mis propios
ojos.
e) En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.
f ) Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.
g) O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde.
h) O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
i) Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo, además su rey está sobre el
cuadro rojo.
j) Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.
2. Determine cuáles de los siguientes enunciados son: enunciados, enunciados abiertos o

proposiciones.
a) ¡Que viva el carnaval Ayacuchano!
b) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno
c) x > 12
d) item Juan estudia en el Perú
e) 2 + x 6= 5 + x
f) Mañana es el día de las elecciones municipales
g) x3 + y 3 = 100
h) Cada día que pasa siento que aprendo mejor las matemáticas
i) A caballo regalado no se le mira el diente
j) La pandemia del covid-19 ha permitido manejar entornos virtuales

Matemática
3. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones.
a) (p ←→∼ q) ←→ (q ←→ p)
b) (p∧ ∼ q) → (∼ p ∨ q)
c) ∼ (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ r)
d) [(p∨ ∼ r) ∧ (p ∨ r)] ∧ [(q → p) ∧ (q ∨ p)]
e) [[∼ p → (q ∧ r)] ∧ [∼ q ∧ r]] → p
f ) [(p ←→ q) →∼ p] → [q ←→ (p →∼ q)]
g) [∼ (p → q) →∼ (q → p)] ∧ [p ∨ q]
h) [(p → q) ←→∼ q)]∧ ∼ q
4. Determine cuál de los siguientes esquemas son tautologías, contradicciones o contingen-

cia.
a) ∼ [∼ p →∼ (∼ q∧ ∼ p)]∨ ∼ (∼ p∨ ∼ q)
b) [(p∨ ∼ q)∧ ∼ p] ∧ (∼ q → p)
c) ∼ (p → q) ←→∼ (∼ q →∼ p)
d) p → (q → r) ←→ [(p∧ ∼ r) →∼ q]
5. Simplifique los siguientes esquemas moleculares, aplicando leyes lógicas.
a) (p ←→∼ q) ←→ (q ←→ p)
b) (p∧ ∼ q) → (∼ p ∨ q)
c) ∼ (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ r)
d) [(p∨ ∼ r) ∧ (p ∨ r)] ∧ [(q → p) ∧ (q ∨ p)]
e) [[∼ p → (q ∧ r)] ∧ [∼ q ∧ r]] → p
f ) [(p ←→ q) →∼ p] → [q ←→ (p →∼ q)]
g) [∼ (p → q) →∼ (q → p)] ∧ [p ∨ q]
h) [(p → q) ←→∼ q)]∧ ∼ q

Matemática
1.2 Teoría de conjuntos
Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos. Dichos
objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, además
los elementos del conjunto se separan mediante comas y encerrados entre llaves.
Relación de pertenencia
La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto. Se denota como:
x ∈ A se lee “ x es un elemento de A o x pertenece a A”
x∈
/ A se lee “ x no es un elemento de A o x no pertenece a A”
1.2.1. Determinación de un conjunto

1. Por comprensión o de forma constructiva:
Es cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del
conjunto.
Ejemplo 15
a) A = {x ∈ R/x es un número par}
b) B = {x/x ∈ N ∧ 3 < x < 6}
c) C = {x ∈ R/x es un número capicúa de 2 cifras}
2. Por extensión o forma tabular:

Es cuando se nombra explicitamente cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo 16
a) A = {1, 2, 3, 4, 5}
b) B = {2, 4, 6, 8, 10}
c) C = {1, 4, 9, 16, 25, 36}

Matemática
Ejemplo 17
Expresar el siguiente conjunto por comprensión.
A = {99, 999, 9999, 99999, 999999}
Solución
Ejemplo 18
A = {36, 45, 54, 63, 72}
Solución
Ejemplo 19
A = {1, 2, 4, 7, 11, 16}
Solución

Matemática
Ejemplo 20
Expresar el siguiente conjunto por extensión.
A = {x ∈ R/x2 + 3x + 2 = 0}
Solución
Ejemplo 21
Expresar el siguiente conjunto por extensión.
A = {x ∈ N/2x4 + 3x3 − 12x2 − 7x + 6 = 0}
Solución

Matemática
1.2.2. Clases de conjuntos

1. Conjunto vacío: Es aquel conjunto que carece de elementos.
Se denota: A = ∅ o A = { }
2. Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un elementos.
A = {x ∈ N/2 ≤ x < 3} ⇒ A = {2}
3. Conjunto finito: Es aquel que contiene un número limitado de elementos.

A = {x ∈ N/2 ≤ x < 10} ⇒ A = {2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
4. Conjunto infinito: Es aquel que tiene un número ilimitado de elementos.

A = {x ∈ R/2 ≤ x < 6} ⇒ A = {..., 2, 3, 4, 5...}
5. Conjunto universal: Es un conjunto de referencia para el marco de una situación particular
1.2.3. Relación entre conjuntos

1. Relación de inclusión: Se dice que un conjunto “A” esta incluido en un conjunto “B”,
cuando todo elemento que pertenece a “A”, tambien pertenece a “B”.
Se denota como:
A ⊂ B ; Se lee “A esta incluido o contenido en B”
B ⊂ A ; Se lee “B esta incluido o contenido en A”
A 6⊂ B ; Se lee “A no esta incluido o contenido en B”
2. Relación de igualdad: Se dice que un conjunto “A” es igual a un conjunto “B”, cuando
tiene los mismos elementos.
Se denota como:
A=B ⇔A⊂B∧B ⊂A
1.2.4. Operaciones con conjuntos

1. Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A o a B.
Se denota como: A ∪ B
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
A B

Matemática
2. Intersección de conjuntos:
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos co-
munes de A y B.
Se denota como: A ∩ B
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
A B
3. Diferencia de conjuntos:
La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos de A,
pero no de B.
Se denota como: A − B
A − B = {x/x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
A B
4. Complemento de un conjunto:
El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal que no pertenecen al conjunto A.
Se denota como: Ac
Ac = {x/x ∈ U ∧ x ∈ / A} = U − A

Matemática
5. Diferencia simétrica de conjuntos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos
de A o B, pero no a ambos.
Se denota como: A M B
A M B = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A)
A-B B-A
A B
1.2.5. Álgebra de conjuntos

1. Ley de idempotencia
a) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A
2. Ley conmutativa
a) A ∪ B = B ∪ A
b) A ∩ B = B ∩ A
3. Ley asociativa
a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4. Ley distributiva
a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5. Ley de identidad
a) A ∪ = A
b) A ∩ =
c) A ∪ U = U
d) A ∩ U = A

Matemática
Ejemplo 22
Probar que: A − B = A ∩ B c
Solución
Ejemplo 23
Probar que: (A ∩ B) − (A ∩ C) = A ∩ (B − C)
Solución

Matemática
1.2.6. Conjunto potencia
Definición:
SEa A un conjunto de U, el conjunto potencia de A, denotado por P (A) se define

como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Es decir:
P (A) = {X/X ⊂ A}
Nota: El número de elementos de P(A) es 2n ; "n"número de elementos del conjunto A
Ejemplo 24
Dados los conjuntos: A = {{a, b}, c} B = {{1, 2}, c, {b, a}} Halle:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) P (A)
d) P (B)
Ejemplo 25
Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y A ∪ B tiene 32 subconjuntos.

¿Cuántos subconjuntos tiene A ∩ B?

Matemática
1.2.7. Cardinal de un conjunto

Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto.
Se denota como : n(A) y se lee “El cardinal de conjunto A”
Nota
n(A) ≥ 0
Si A = ∅ → card(A) = 0
Teorema 3
Si A y B son dos conjuntos finitos, no vacios y disjuntosa , entonces:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

a
Conjuntos disjuntos: Son aquellos que no tienen elementos comunes.
Teorema 4
Si A y B son dos conjuntos finitos, no vacios, entonces se cumple:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Ejemplo 26
Dados los conjuntos unitarios: A = {a2 + 1, 3a − 1} y B = {3x + y, x − y + 12}.

Halle: “a+x+y”
Solución

Matemática
Problemas con conjuntos
Ejemplo 27
En una encuesta realizada sobre la preferencias de los lugares turísticos en el Perú, se

obtuvieron los siguientes resultados:
22 prefieren visitar Machu Picchu.
24 prefieren visitar Punta Sal
20 prefieren visitar Sacsayhuamán.
Si los que prefieren al menos un lugar turístico son 35 y los que prefieren solamente
un lugar turístico son 5. ¿Cuántos prefieren los tres lugares turísticos del Perú?
Solución
Ejemplo 28
De un grupo de 590 estudiantes se observo que 200 no postulan a derecho, 300 no

postulan a ingeniería y 50 no postulan a ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos
estudiantes postulan a ambas especialidades?
Solución

Matemática
Ejemplo 29
En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente

información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas
mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres
casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la difer-
encia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres
solteras con menos de 20 años.
Solución
Ejemplo 30
A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 porta-
ban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero
no tenían cartera. ¿cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no
llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
Solución

Matemática
Ejemplo 31
De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son

mujeres, de las cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o
estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36
varones no trabajan?
Solución
Ejemplo 32
En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron

literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total,
5 aprobaron los dos cursos, 11 aprobaron solo aritmética, ¿Cuántas mujeres aprobaron
solo literatura?
Solución

Matemática
Ejemplo 33
De 100 personas se tiene la siguiente información:
5 mujeres tiene ojos negros.
26 mujeres no tienen ojos negros.
24 mujeres no tiene ojos azules.
20 hombres no tienen ojos negros ni azules.
¿Cuántos hombres tienen ojos azules o negros?
Solución

Capítulo 2
MATEMÁTICA BÁSICA
N ÚMEROS REALES
Matemática
2.1 Números Reales
2.1.1. Conceptos preliminares

1. Conjunto de los números naturales (N): Es el conjunto de números que se utilizan para
contar y ordenar elementos de un conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
En dicho conjunto están bien definidas las operaciones de la “suma y multiplicación”.
2. Conjunto de los números enteros(Z): Es una extensión del conjunto de los números natu-
rales, en el cual aparece el número cero como punto referencia de los enteros positivos y
negativos. .
Z = {... − 6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
En dicho conjunto están bien definidas las operaciones de la “suma, resta y multipli-
cación”.
3. Conjunto de los números racionales(Q): Es una extensión del conjunto de los números
enteros.
a
Q = { /a ∈ Z ∧ b ∈ Z, b 6= 0}
b
En dicho conjunto están bien definidas las operaciones de la “suma, resta, multiplicación
y división”.
4. Conjunto de los números irracionales(I): Es el conjunto formado por los números que no
se pueden expresar como un número racional.
√3
√ √5
I = {... − 2, 2, π, e, 2, ...}
En dicho conjunto están bien definidas las operaciones de la “suma, resta, multiplicación,
división potenciación y radicación”.
5. Conjunto de los números reales(R): Es el conjunto donde están bien definidas todas las
operaciones aritméticas de la matemática.
R=Q∪I
Reales negativos Reales positivos

Matemática
Definición axiomática del sistema de los números reales

El sistema de los números reales, está provisto de una relación de igualdad, de dos operaciones
internas(suma y multiplicación) y de una relación de orden.
1. Axioma1 de la igualdad
Propiedad reflexiva: a = a, ∀a ∈ R
Propiedad simétrica: Sia = b ⇒ b = a, ∀a, b ∈ R
Propiedad transitiva: Sia = b ∧ b = c ⇒ a = c, ∀a, b, c ∈ R
2. Axioma de la suma y multiplicación
S1 ) Si a, b ∈ R ⇒ (a + b) ∈ R
S2 ) ∀a, b ∈ R : a + b = b + a
S3 ) ∀a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)
S4 ) ∀a ∈ R, ∃!0 ∈ R/a + 0 = a
S5 ) ∀a ∈ R, ∃! − a ∈ R/a + (−a) = 0
M1 ) Si a, b ∈ R ⇒ a.b ∈ R
M2 ) ∀a, b ∈ R : a.b = b.a
M3 ) ∀a, b, c ∈ R : (ab)c = a(bc)
M4 ) ∀a ∈ R, ∃!1 ∈ R/a,1 = a
1
M5 ) ∀a ∈ R, ∃! a1 ∈ R/a. = 1
a
D) ∀a, b, c ∈ R : a(b + c) = a.b + a.c
2.1.2. Ecuaciones
Definición: Ecuación
Es aquella igualdad de expresiones matemáticas

Por ejemplo.
15
1. (−2)3 + 7 = − (−4). . . . . . Dicha igualdad se llama:“Igualdad númerica”
−3
2. x2 − 1 = 3(x + 3). . . . . . Dicha igualdad se llama:“Igualdad literal algebraíca”
1
Axioma:Proposición o enunciado tan evidente que se considera que no requiere demostración

Matemática
2.1.3. Ecuaciones de primer y segundo grado
Definición: Ecuación de primer grado con una incognita
Es aquella ecuación que se reduce a la forma:
ax + b = 0, ∀a, b ∈ R, a 6= 0
donde:
a, b: se llaman coeficientes o constantes.
x: se llama incognita
Teorema 5
a.b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
−b
Si a, b ∈ R, a 6= 0 entonces ax + b = 0 ⇔ x =
a
Definición: Ecuación de segundo grado
Es aquella ecuación que se reduce a la forma:
ax2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R (2.1)
La solución de la ecuación cuadrática se obtiene de la siguiente manera:
ax2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R
≡ 4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0.........Multiplicamos por “4a” a ambos miembros
≡ (4a2 x2 + 4abx) + 4ac = 0.........Agrupando términos
≡ (2ax + b)2 − b2 + 4ac = 0.........completando cuadrados
≡ (2ax + b)2 = b2 − 4ac.........transponiendo términos

√
≡ 2ax + b = ± b2 − 4ac.........estrayendo raiz cuadrada
√
≡ 2ax = −b ± b2 − 4ac.........transponiendo términos

Matemática
√
−b± b2 − 4ac
≡x=
2a
√
− b + b2 − 4ac
∴ x1 =
2a
√
− b − b2 − 4ac
∴ x2 =
2a
Análisis de una ecuación cuadrática

Definición: Discriminante de una ecuación cuadrática
El número real “b2 − 4ac” se llama discriminante de la ecuación cuadrática ax2 + bx +

c = 0. Y se denota como: 4 = b2 − 4ac
Teorema 6
Si 4 > 0 ⇒ tiene dos soluciones reales y diferentes.
Si 4 = 0 ⇒ tiene dos soluciones reales e iguales.
Si 4 < 0 ⇒ tiene dos soluciones complejas y conjugadas.
Cuando 4 > 0, La parábola corta al eje “x”, en dos puntos

Matemática
Cuando 4 = 0, La parábola corta al eje “x”, en un sólo punto
Cuando 4 < 0, La parábola no corta al eje “x”
Ejemplo 34
Resolver en R:
(x − 1)2 = 5
.
Solución
√
≡ x−1=± 5
√ √
≡ x−1= 5∨x−1=− 5
√ √
≡ x= 5+1∨x=1− 5
√ √
∴ C.S = {1 + 5, 1 − 5}

Matemática
Ejemplo 35
Resolver en R:
(x2 − 1)2 = 2
Solución
√
≡ x2 − 1 = 2
√ √
≡ x2 − 1 = 2 ∨ x2 − 1 = − 2
√ √
≡ x2 =p1 + 2 ∨ x2 = 1p− 2
√ √
≡ x= 1+ 2∨x= 1− 2
p √ p √
∴ C.S = { 1 + 2, 1 − 2}
2.1.4. Inecuaciones
Definición: Inecuación
Una inecuación es una expresión algebraica que contiene las relaciones >, <, ≤, ≥.
Por ejemplo:
3x − 4 ≤ 2 + x . . . . . . inecuación polinómica de primer grado.
32 − 4x2 − 5 ≤ 0 . . . . . . inecuación polinómica de segundo grado.

x+4
≥ x + 2 . . . . . . inecuación racional, etc.
x−4
Nota
Resolver una inecuación es determinar los valores de la variable “x” que satisfacen
dicha inecuación.
Al conjunto de todos los valores que satisfacen a la inecuación se llama: “Conjunto
Solución”

Matemática
2.1.5. Inecuaciones de primer grado y segundo grado
Definición: Inecuación de primer grado
Una inecuación lineal o de primer grado en la variable “x” es aquella que se reduce a
la forma:
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0
donde a y b son constantes, a 6= 0
Ejemplo 36
Resolver en R:
3x − 1 4 − 2x
− 3(5 − 2x) ≤
4 3
Solución
3(3x − 1) − 36(5 − 2x)

≡ ≤ (4 − 2x)
4
≡ 3(3x − 1) − 36(5 − 2x) ≤ 4(4 − 2x)
≡ 9x − 3 − 180 + 72x ≤ 16 − 8x
≡ 9x + 72x + 8x ≤ 16 + 3 + 180
≡ 89x ≤ 199
199
≡ x≤
89
199
≡ ∴ x ∈< −∞, ]
89
Ejemplo 37
Resolver en R:
3 − 5x 2x − 8 1
< ≤ x−3
2 4 2

Matemática
Solución
Separando la desigualdad, tenemos:
3 − 5x 2x − 8 2x − 8 1
≡ < ∧ ≤ x−3
2 4 4 2
2x − 8 x − 6
≡ 2(3 − 5x) < 2x − 8 ∧ ≤
4 2
≡ 6 − 10x < 2x − 8 ∧ 4x − 16 ≤ 4x − 24
≡ −10x − 2x < −14 ∧ −16 ≤ −24
≡ −12x < −14 ∧ FALSO
≡ 12x > 14 ∧ ∅
7
≡ x> ∧ ∅
6
7
∴ CS : x ∈< , +∞ > ∩∅ = ∅
6
2.1.6. Inecuaciones de segundo grado
Definición:
Una inecuación cuadrática en la variable “x” es aquella que se puede escribirse en las
formas:  2

 ax + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c > 0 a 6= 0



 ax2 + bx + c ≤ 0 a, b, c ∈ R
 2
ax + bx + c < 0

Matemática
2.1.7. Métodos de solución de una inecuación cuadrática

Primer método: Puntos críticos
Primero el polinomio se transforma la forma:
an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 > 0(<, ≥, ≤)
El procedimiento es:
1. Paso 1: Factorizar el polinomio P (x).
2. Paso 2: Encontrar los puntos críticos el polinomio.
3. Paso 3: Colocar los puntos críticos encontraos en la recta numérica.
4. Paso 4: Determinar las regiones con su respectivo signo empezano con “+” de
derecha a izquierda en foma intercalaa.
5. Paso 5: Analizar la inecuación.
Si P (x) es mayor o igual a cero, se eligen los intervalos positivos.

Si P (x) es menor o igual a cero, se eligen los intervalos negativos.
Ejemplo 38
Resolver en R:
x2 − 2x − 15 < 0
Solución
Aplicando el método e los puntos críticos se tiene:
1. Paso 1: Factorizando el polinomio:(x − 5)(x + 3) < 0
2. Paso 2: Hallando los puntos críticos del polinomio:x = 5, x = −3
3. Paso 3 y 4: Colocando los puntos críticos y determinando las regiones.
+ - +
-3 5
4. Paso 5: Se elige la región negativa, ∴ CS :< −3, 5 >

Matemática
Segundo método:De los signos
Si el producto de “a” por “b” es POSITIVO, entonces esta ocurriendo que “a” es
positivo y “b” es positivo, o que “a” es negativo y “b” negativo. Así:
a.b > 0 ⇔ [a > 0 ∧ b > 0] ∨ [a < 0 ∧ b < 0]
Si el producto de “a” por “b” es NEGATIVO, entonces esta ocurriendo que “a” es
negativo y “b” es positivo, o que “a” es positivo y “b” negativo.Así:
a.b < 0 ⇔ [a < 0 ∧ b > 0] ∨ [a > 0 ∧ b < 0]

Lo mismo ocurre si ab ≤ 0 y ab ≥ 0
Ejemplo 39
Resolver en R:
−2x2 + x + 6 > 0
Solución
1. Facrorizando: (2 − x)(2x + 3) > 0
2. Aplicando puntos críticos: [2−x > 0∧2x+3 > 0]∨[2−x < 0∧2x+3 < 0]
3. Transponiendo términos: [−x > −2 ∧ 2x > −3] ∨ [−x < −2 ∧ 2x < −3]
3 3
4. Resolviendo cada inecuación: [x < 2 ∧ x > − ] ∨ [x > 2 ∧ x < − ]
2 2
-3/2 2 -3/2 2
3 3
5. CS:< − , 2 > ∪∅ =< − , 2 >
2 2

Matemática
Ejemplo 40
Resolver: x2 + 3x + 2 > 0
Solución
Ejemplo 41
Resolver: (x2 + x − 6)(4x − 4 − x2 ) ≤ 0
Solución

Matemática
Ejemplo 42
Resolver: 1 − 2x − 3x2 ≥ 0
Solución
Ejemplo 43
2x − 74
Resolver: x2 + 3x + 8 ≤
x−7
Solución

Matemática
Ejemplo 44
x4 + 2x3 − 13x2 − 14x + 24

Resolver: ≥0
5 − x2
Solución
Ejemplo 45
x2 + 4x + 10
Resolver: >0
x2 − x − 12
Solución

Matemática
Nota
1. Si una inecuación presenta factores primos que se repiten un número par de

veces, se descarta dicho factor, pero su punto crítico se toam en cuenta en el
conjunto solucion de la inecuación.
2. Si una inecuación presenta factores primos que se repiten un número impar de

veces, se descarta dicho exponente y se evalua solamente la base.
Ejemplo 46
(x + 4)3 (x + 1)4
Resolver: >0
(x − 3)5 (x + 1)6
(x + 4)3 (x + 1)4
1. Analizemos la inecuación dada: >0
(x − 3)5 (x + 1)6
x+4
2. Apliquemos el criterio dada en la nota: >0
x−3
3. Hallando los puntos críticos tenemos: {−4, 3}
+ - +
-4 3
4. Aplicando el método de los puntos críticos, se obtiene:
C.S =< −∞, −4 > ∪ < 3, ∞ >
5. Tener en cuento las restricciones efectuadas: Como el punto crítico “x = −1” de la

inecuación original, como no afecta al conjunto solución, entonces no se toma en cuenta.

Matemática
2.2 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número real “x”, se denota por | | y se define como:

x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
2.2.1. Ecuaciones con valor absoluto

Son aquellas ecuaciones que contienen uno, dos o más valores absolutos. Por ejemplo:
|x| = 5
2 + |x − 3| = 20
2|x − 1| + |x + 2| = 3
Propiedades
a) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
b) |x| = a ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ (x = a ∨ x = −a)
c) |x| =|a| ⇐⇒ x = a ∨ x = −a
Ejemplo 47
Resolver:
|x − 2| − 2x = 4
Solución

Matemática
Ejemplo 48
Resolver:
|2x − 1| = 3
|2x − 1| = 1 − 2x
Solución
Ejemplo 49
Resolver:
||x − 2| − 3x + 1| = 0
Solución

Matemática
Ejemplo 50
Resolver:
|4x + 5| = |1 − x|
Solución
Ejemplo 51
Resolver:
5|x + 1| − 3|x − 1| = 2
Solución

Matemática
2.2.2. Inecuaciones con valor absoluto
Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de R. Si a, b ∈ R con a > b tenemos:
1. Intervalo abierto:
< a, b >= {x ∈ R/a < x < b}
a b
2. Intervalo cerrado:
[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}
a b
3. Intervalo abierto por la derecha y cerrado por la izquierda:

[a, b >= {x ∈ R/a ≤ x < b}
a b
4. Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha:

< a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}
a b
5. Intervalos infinitos:
< a, ∞ >= {x ∈ R/x > a}
< −∞, b >= {x ∈ R/x < b}
a b

Matemática
Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, hay que tomar en cuenta las siguientes
propiedades:
1)|x| < a ⇐⇒ a < 0 ∧ −a < x < a

2)|x| ≤ a ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ −a ≤ x ≤ a
3)|x| > a ⇐⇒ x > a ∨ x < −a
4)|x| ≥ a ⇐⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a
5)|x| < |a| ⇐⇒ x2 < a2 = (x + a)(x − a) < 0
6)|x| ≤ |a| ⇐⇒ x2 ≤ a2 = (x + a)(x − a) ≤ 0
7)|x| > |a| ⇐⇒ x2 > a2 = (x + a)(x − a) > 0
8)|x| ≥ |a| ⇐⇒ x2 ≥ a2 = (x + a)(x − a) ≥ 0
Ejemplo 52
Resolver:
a) |3x − 1| > x + 2
b) 4 < |x − 2| ≤ 5
Solución

Matemática
Ejemplo 53
Resolver:
3x − 5
| |≥5
2
Solución
Ejemplo 54
Resolver:
|x − 1| > 2|x + 3| − 9
Solución

Matemática
Ejemplo 55
Resolver:
|x| − 2 3 − |x|
≥
4 − |x| |x| + 2
Solución

Matemática
2.3 Ecuaciones e inecuaciones con radicales
2.3.1. Ecuaciones con radicales

Son aquellas ecuaciones, cuya incógnita se encuentra dentro de un radical, ya sea de índice par
o impar.
Para resolver ecuaciones con radicales se toma en cuenta lo siguiente:
El conjunto universal que limita las soluciones halladas.

El cambio de la ecuación radical a ecuación polinomial.
La verificación de las soluciones halladas en la ecuación radical(ecuación original)
Teorema 7
∀x, a ∈ R, se tiene que:

√
1. 2n x = a ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ (a ≥ 0 ∧ x = a2n )
√
2. 2n+1 x = a ⇐⇒ x = a2n+1
Ejemplo 56
Resolver: ∀x ∈ R
√
a) 5x − 9 = x − 1
√
b) 2x − x − 1 = 3x − 7
Solución

Matemática
Ejemplo 57
Resolver: √ √
x+1+ 4−x=3
Solución
Ejemplo 58
Resolver: s
x−1 √
= 2−x
x+1
Solución

Matemática
2.3.2. Inecuaciones con radicales

Teorema 8
Si n ∈ Z+ y par, se cumple:
√
1. n x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0
√ √
2. n x ≤ n y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y
√ √
3. n x < n y ⇐⇒ 0 ≤ x < y
Teorema 9
Si n ∈ Z+ y impar, se cumple:
√
1. n x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0
√
2. n x < 0 ⇐⇒ x < 0
√ √
3. n x ≤ n y ⇐⇒ x ≤ y
√ √
4. n x < n y ⇐⇒ x < y
Teorema 10
√
1. x < a ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ (a > 0 ∧ x < a2 )
√
2. x ≤ a ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ (a ≥ 0 ∧ x ≤ a2 )
√
3. x > a ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ [a < 0 ∨ (a ≥ 0 ∧ x > a2 )
√
4. x ≥ a ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ [a < 0 ∨ (a ≥ 0 ∧ x ≥ a2 )
Cuando en una inecuación hay varios radicales, se calculan los universos relativos
(U1 , U2 , ...Un ) para cada radical y luego el universo total es la intersección de los uni-
versos relativos.
U = U1 ∩ U2 ∩ ∩... ∩ Un

Matemática
Ejemplo 59
Resolver: √
x + 1 < −x + 1
Solución
Ejemplo 60
Resolver: √
2x − 3 < −3x
Solución

Matemática
Ejemplo 61
Resolver: √
x2 + 4x < 5x − 1
Solución
Ejemplo 62
Resolver: √
x2 − 14x + 13 < x + 1
Solución

Matemática
Ejemplo 63
Resolver: √ √
x + −x + 2 < 2
Solución
Ejemplo 64
Resolver: √ √
2x − 1 − x+1≤0
Solución

Matemática
2.4 Máximo entero de un número real
Si x es un número real, el máximo entero de x, denotado por [[x]] , es el mayor de todos los
enteros menores o iguales a x. Es decir:
[[x]] = n ⇐⇒ n = max{m ∈ Z/m ≤ x}
Nota
Para hallar el máximo entero de un número real x, se ubican sobre la recta numérica
los números enteros menores a x(inclusivamente el mismo número x si es que es
entero). Y el máximo entero es el mayor de todos los números enteros .
Ejemplo:
Halle el máximo entero de:
1. [[2,5]]
el máyor entero de x<=2.5
2.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
El mayor entero menor a 2,5 es x ∴ [[2,5]] = 2
2. [[−2,5]]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3. [[−3,5]]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Matemática
4. [[3]]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5. Halle [[x]] , si x ∈ [1, 2 >
1 1.1 1.2 1.3 1.4 .... 1.9 2

[[1,1]] = ........

[[1,2]] = ........


[[1,3]] = ........ =⇒ se puede concluir que: Si x se encuentra entre dos números enteros con-
[[1,4]] = ........



[[1,9]] = ........

secutivos, se cumple que:
[[x]] = n ⇐⇒ n ≤ x < n + 1, n ∈ Z
Eje y
4
2
1
Eje x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Ecuaciones con máximo entero

Propiedades:
1. [[x]] = n ⇐⇒ n ≤ x < n + 1, n ∈ Z
2. [[x]] = x ⇐⇒ x ∈ Z
3. [[[[x]]]] = [[x]]
4. [[x + n]] = [[x]] + n; ∀n ∈ Z

Matemática
Ejemplo 65
Halle el conjunto solución de:
a) [[2x − 1]] = −1
b) [[3x]] = 2x + 1
Solución
Ejemplo 66

5 − 3x
[[ ]] = 2
x
Solución

Matemática
Ejemplo 67

1
a) [[x2 + 3x − 1]] =
3
b) [[x2 − 2x − 3]] = 0
Solución
Ejemplo 68

3x − 2 2
[[ ]] =
x x
Solución

Matemática
Inecuaciones con máximo entero

1. [[x]] < n ⇐⇒ x < n; n ∈ Z
2. [[x]] ≤ n ⇐⇒ x < n + 1; n ∈ Z
3. [[x]] > n ⇐⇒ x ≥ n + 1; n ∈ Z
4. [[x]] ≥ n ⇐⇒ x ≥ n; n ∈ Z
Ejemplo 69
Resolver:
a) [[7 − x2 ]] ≥ −2
|x| − 2
b) [[ ]] ≥ 5
3
Solución

Matemática
Ejemplo 70
Resolver:
[[4x2 − 5x − 4]] ≤ 1
Solución
Ejemplo 71
Resolver:
x2 + 1
[[ ]] < 2
x+2
Solución

Matemática
Ejemplo 72
Resolver:
x2 + 2
[[ ]] ≤ 0
x−1
Solución
Ejemplo 73
Resolver:
x − 3[[x]] ≥ 1
Solución

Capítulo 3
MATEMÁTICA BÁSICA
F UNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Matemática
3.1 Relaciones Binarias
Definición: Par Ordenado
Es un arreglo de dos elementos, encerrados entre paréntesis y separados por una coma,
llamados en ese orden primera y segunda componente.
(a, b)
Definición: Conjunto Producto
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A y B, denotado por

A × B, es el conjunto formado por pares ordenados (a, b); tal que a ∈ A y b ∈ B.
Es decir:
A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}
Nota
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d
|A × B| = |B × A|
Si A ⊆ R ∧ B ⊆ R, entonces el conjunto producto se llama: PRODUCTO

CARTESIANO

Matemática
Definición: Relación Binaria (R)
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama relación binaria de A en B, denotado

por R : A −→ B a todo subconjunto de A × B.
Es decir:
R es una relación binaria ⇐⇒ R ⊂ A × B
Ejemplo:
Sean los onjuntos:
A={ }
B={ }
Gráfica de la relación binaria
La relación binaria es:

R={ }
Nota
Si el conjunto producto A × B tiene “ n” elementos, entonces se pueden formar

2n − 1 relaciones binarias no vacias.
Como el conjunto ∅ ⊂ A × B, ∅, entonces es una relación de A en B, la cual

se le conoce como “relación binaria nula”
3.1.1. Dominio y Rango de una relación

Si R es una relación de A en B, el dominio de R es el subconjunto de las primeras
componentes de R. Es decir:
Dom R = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R}

El rango de la relación R, es el conjunto formado por las segundas componentes de R. Es
decir:
Ran R = {y ∈ B/∃x ∈ A, (x, y) ∈ R}

Matemática
3.1.2. Relación de R en R
Definición:
Una relación R : A −→ B, se llama relación de R en R, si A y B son subconjuntos

de R. Es decir:
R:R→R
Ejemplo 74
Grafique y halle el dominio y rango de la siguiente relación real:
R1 = {(x, y) ∈ R2 /x + y < 1}
Solución
Primera forma: Tabulando
Para graficar la región x + y < 1, primero se traza la gráfica de la ecuación x + y = 1, luego se
analiza la desigualdad de la relación dada.
x y=1-x
-1 2
-2 3
-3 4
0 1
1 0
2 -1
3 -2
DomR1 = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} =< −∞, ∞ >= R

RangR1 = {... − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} =< −∞, ∞ >= R
Segunda forma para trazar x + y = 1: Intersectando los ejes coordenados
Intersección con el eje x, siem-
pre y = 0
Intersección con el eje y, siem-

pre x = 0
x y
0 1
1 0
Para analizar la desigualdad de la

relación dada, se procede igual que la
forma anterior.

Matemática
Ejemplo 75
Grafique y halle el dominio y rango de la siguiente relación real:
R2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 9}
Solución
Para graficar la región x2 + y 2 < 9, primero se traza la gráfica de la ecuación x2 + y 2 = 9,
luego se analiza la desigualdad de la relación dada.
√
x y = ± 9 − x2
0 ±3√
±1 ±√8
±2 ± 5
±3 0
DomR2 =< −3, 3 >= RangR2
Todo subconjunto de R2 es una relación, por lo cual las siguientes curvas son relaciones
reales.
• La recta:
y = mx + b; m:pendiente
◦ Si m > 0, se inclina hacia la derecha
◦ Si m < 0, se inclina hacia la izquierda
• La circunferencia:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 ; (h, k) : Centro, r : radio
• La parábola:
(y − k)2 = 4a(x − h); (h, k) : Vértice, eje paralelo al eje x
(x − h)2 = 4a(y − k); (h, k) : Vértice, eje paralelo al eje y
• La elipse:
(x − h)2 (y − k)2
+ = 1; (h, k) : Centro
a2 b2
• La hipérbola:
(x − h)2 (y − k)2
− = 1; (h, k) : Centro, eje paralelo al eje x
a2 b2
(y − k)2 (x − h)2
− = 1; (h, k) : Centro, eje paralelo al eje y
a2 b2

Matemática
3.1.3. Técnicas para hallar el dominio y rango de una relación real

• Para el dominio:Para hallar el dominio de una relación R expresada mediante una
ecuación de dos variables E(x, y) = 0, se procede de la siguiente manera:
◦ Despejar “y” en términos de “x”, si esto es posible.

◦ Analizar ¿para que valores de “x”?, “y” es un número real.
• Para el rango: Para hallar el rango de una relación R expresada mediante una
ecuación de dos variables E(x, y) = 0, se procede de la siguiente manera:
◦ Despejar “x” en términos de “y”, si esto es posible.

◦ Analizar ¿para que valores de “y”?, “x” es un número real.
Ejemplo 76
Halle el dominio, rango y grafique la siguiente relación:
R = {(x, y) ∈ R2 /x2 − 4y + 1 = 0}
Solución
Dominio:
x2 − 4y + 1 = 0
4y − 1 = x2
4y = x2 + 1
1 2
y = (x + 1)
4
Analizando el segundo miembro de la ecuación, y existe para todo valor de x
∴ DomR = R
Rango:
x2 − 4y + 1 = 0
x2 = 4y − 1
p
x = ± 4y − 1
Analizando el radical, se tiene:
4y − 1 ≥ 0
4y ≥ 1
y ≥ 14
1
∴ y ∈ [ , ∞ >= RangR
4
Matemática
Gráfica
x2 − 4y + 1 = 0
4y − 1 = x2
1 1 2 1
y− = x ; es una parábola con vérticeV (0, ) y se abre hacía arriba
4 4 4
Ejemplo 77
Grafique R ∩ S y luego halle el dominio, rango de la siguiente relación:
R = {(x, y) ∈ R2 /x ≤ 1} y S = {(x, y) ∈ R2 /y < 3x}
Solución
Primero graficamos las ecuaciones: x = 1 y y = 3x; luego analizamos la desigualdad de
cada relación.
DomR ∩ S =< −∞, 1]

RangR ∩ S =< −∞, 3 >

Matemática
Ejemplo 78
Grafique R ∩ S y luego halle el dominio, rango de la siguiente relación:

R = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ 1} y S = {(x, y) ∈ R2 /y + 2 ≤ −3x}
Ejemplo 79

√
R = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ 3x}
Ejemplo 80
R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = 2x}
Ejemplo 81
R = {(x, y) ∈ R2 /|x| + |y| > 1}
Ejemplo 82
R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 5 ∧ y ≥ |x| + 1 ∧ y ≤ −|x| − 1}
Ejemplo 83
Grafique la siguiente relación:
R = {(x, y) ∈ R2 /(|x| + |y| > 2; ∀xy > 0) ∨ (|x| + |y| < 2; ∀xy < 0)}

Matemática
3.2 Funciones
Definición: Función de A en B
Una relación R : A −→ B, es una función, si y sólo si; a cada elemento x ∈ A le

corresponde un único elemento y ∈ B atraves de f.
f es una función ⇔ ∀x ∈ A, ∃!y ∈ B/(x, y) ∈ f

f
A B
Conjunto de partida Conjunto de llegada
Ejemplo: Dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3}yB = {2, 3, 5}

Determine cuál de las siguientes relaciones, representa una función.
1. f = {(1, 2), (2, 2), (1, 3)}
. . . . . . . . . , es función ; ¿Porque?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. g = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}
3. h = {(1, 2), (2, 3)}
Nota
La definición anterior, tambien se puede interpretar como: “Un conjunto F de pares

ordenados tomados de AxB se denomina función de A en B si y sólo si dos pares
ordenados no pueden tener la misma primera componente”.

Matemática
Ejemplo 84
Sea: f = {(3, a + b), (5, 6), (3, 5), (5, a − b)} una función. Halle “ab”
Solución
Si dos elementos(pares ordenados) de una función tiene la misma primera componente,
estos(pares ordenados) se considerean iguales.
(
a+b =5
a−b =6
11 1
Del sistema, se obtiene que: a = yb=−
2 2
11
∴ ab = −
4
3.2.1. Dominio y Rango de una función

• Si f es una funión de A en B, el dominio de f es el subconjunto de las primeras
componentes de f. Es decir:
Dom f = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ f }

• El rango de la relación f, es el conjunto formado por las segundas componentes de
f. Es decir:
Ran f = {y ∈ B/∃x ∈ A, (x, y) ∈ f }
3.2.2. Función real de variable real

La función f : A −→ B es una función real de variable real si A y B son subconjuntos
de R.
Es decir una función de la forma:
f : I ⊆ R −→ R
Ejemplo 85
Halle el dominio, rango de las siguientes funciones:
a) f = {(x, y) ∈ N2 /y = 2x}
2
b) g = {(x, y) ∈ R+ /y = 2x}
√
c) h = {(x, y) ∈ N2 /y = 4 − x2 }

Matemática
Solución
a) f = {(x, y) ∈ N2 /y = 2x}
f = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), ...}
• Dom f = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N
• Ran f = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
2
b) g = {(x, y) ∈ R+ /y = 2x}
g = {(0.5, 1), (1, 2), (1.5, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 8), ...}
• Dom f = {0.5, 1, 1.5, 2, 3, 4, ...} = R+
• Ran f = {1, 2, 4, 6, 8, ...} = R+

√
c) h = {(x, y) ∈ N2 /y = 4 − x2 }
√
h = {(0, 2), (1, 3), (2, 0)}
La manera práctica de resolver este tipo de funciones es analizando el radical sobre el
conjunto dado.
4 − x2 ≥ 0
x2 − 4 ≤ 0
(x + 2)(x − 2) ≤ 0
Mediante el método de puntos críticos tenemos:
x ∈ [−2, 2]
pero analizando el conjunto de partida y llegada de la función:
Dom h = [0, 2]

Matemática
3.2.3. Clases de funciones

 


 Polinómicas




 Algebraicas Racionales
 
Irracionales

 

 

Exponenciales
 
Clases de funciones =

 Transcendentes Logarítmicas
 
( Trigonométricas

 



Valor absoluto



A trozos


Signo
Funciones Algebraicas
Funciones Polinómicas Son aquellas funciones de la forma:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Funciones Irracionales Son aquellas funciones de la forma:

√
n
f (x) = ax + b
Funciones Racionales Son aquellas funciones de la forma:
ax + b g(x) am xm + am−1 xm−1 + ... + a0

f (x) = = =
cx + d h(x) bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b0
1. Asintotas Vertcales:
Si h(a) = 0 ⇒ x = a, es una asintota vertical.
2. Asintotas Horizontales:
Si: m > n ⇒ la función no tiene asintotas horizontales.

am
Si: m = n ⇒ la recta y = es una asintota horizontal de la funci+on.
bn
Si: m < n ⇒ la recta y = 0 es una asintota horizontal de la función.
3. Asintota Oblícua:
Si el grado de g(x) es uno más que el grado de h(x) (h(x) y g(x) no deben tener
g(x)
factores comunes); entonces el cociente de es una asintota oblícua.
h(x)
3.2.4. Gráfica de una función
Gr(f ) = {(x, y) ∈ R2 /x ∈ Domf ∧ y ∈ Ranf }
Para graficar una función, se debe tener en cuenta lo siguiente:

Matemática
• Intersección con los ejes coordenados.
◦ Con el eje “x”: y=0

◦ Con el eje “y”: x=0
• Hallar el dominio y rango.
• Hallar y trazar las asintotas(para el caso de funciones racionales)

Matemática
Ejemplo 86
Halle el dominio y rango de la función dada y esbozar su gráfica.
x2
f (x) =
x−1
Solución
1) Intersección con los ejes coordenados
• Con el eje “x00 : (y = 0)
x2
0 =
x−1
x = 0
∴ (0, 0)
• Con el eje “y 00 : (x = 0)
0
y =
−1
y = 0
∴ (0, 0)
2) Calcular el dominio y rango:
• Dominio
Dom f = R − {1}
• Rango
x2
y =
x−1
y(x − 1) = x2
0 = x2 − y.x + y
p
y ± (−y)2 − 4(1)(y)
x =
p 2
2
y ± y − 4y
x =
2

Matemática
Analizando el radical tenemos:(¿Para que valores de “y”, “x” es real?)
y 2 − 4y ≥ 0
y(y − 4) ≥ 0
Graficando los puntos críticos en la recta real.
y ∈< −∞, 0] ∪ [4, ∞ >= Ranf
3) Asintotas
• Verticales: x = 1(¿Para qué valor de “‘x”, el denominador es cero?)
• Horizontales: No existe
• Oblicuas: y = x + 1
x2
=⇒ q(x) : x + 1
x−1
Gráfica

Matemática
Ejemplo 87
4(x2 + 1)
f (x) =
2x2 − 8
Solución
1) Intersección con los ejes coordenados
• Con el eje “x00 : (y = 0)
2(x2 + 1)
y =
x2 − 4
2(x2 + 1)
0 =
x2 − 4
2
0 = 2(x − 1)
∴ No existe intersección con el eje “‘x”
• Con el eje “y 00 : (x = 0)
2
y =
−4
1
y = −
2
1
∴ (0, − )
2
2) Calcular el dominio y rango:
• Dominio
2(x2 + 1)
y =
x2 − 4
2(x2 + 1)
y =
(x + 2)(x − 2)
Dom f = R − {±2}
• Rango

Matemática
2(x2 + 1)
y =
x2 − 4
y(x2 − 4) = 2(x2 + 1)
yx2 − 4y = 2x2 + 2
(y − 2)x2 + (−4y − 2) = 0
4y + 2
x2 =
y−2
s
4y + 2
x=±
y−2
Analizando el radical tenemos:(¿Para que valores de “y”, “x” es real?)
4y + 2
≥ 0
y−2
Graficando los puntos críticos en la recta real.
1
y ∈< −∞, − ]∪ < 2, ∞ >= Ranf
2
3) Asintotas
• Verticales: x = ±2(¿Para qué valor de “‘x”, el denominador es cero?)

• Horizontales: y = 2
• Oblicuas: No existe
Gráfica
Ejemplo 88
x2
f (x) =
x2 − 1

Matemática
Ejemplo 89
Grafique la siguiente función:

y − x2 − x = 0
Funciones Transcendentales
Función Exponencial Una función exponencial, es aquella función cuya regla de corre-
spondencia es:
f (x) = ax ; a > 0; a 6= 0
Donde:
• Domf = R
• Ranf =< 0, +∞ >
Función Logaritmo Una función exponencial, es aquella función cuya regla de corre-
spondencia es:
f (x) = loga x; a > 0, a 6= 1; x > 0
Donde:
• Domf =< 0, +∞ >

Matemática
• Ranf = R
Nota
La función: y = ex y la función y = lne x son simétricas con respecto a la recta y = x
Ejemplos para resolver en clase
Ejemplo 90
Halle el dominio y rango de la siguiente función. Grafique
f (x) = logx (1 − x2 )
Solución

Matemática
3.2.5. Función con varias reglas de correspondencia


f1 (x)
 si x ∈ Domf1
f(x) = f2 (x) si x ∈ Domf2

f3 (x) si x ∈ Domf3

Nota
• Los dominios tienen que ser conjuntos disjuntos dos a dos.
• Domf = Domf1 ∪ Domf2 ∪ Domf3
• Ranf = Ranf1 ∪ Ranf2 ∪ Ranf3
Ejemplos para resolver en clase
Ejemplo 91
Halle el
dominio, rango y grafique la siguiente función:
1
 si x ≤ −1
f(x) = x + 2 si − 1 < x ≤ 1

4 si x = 2

Solución

Matemática
3.2.6. Funciones Especiales

Función Constante
Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es:
f (x) = c; ∀x ∈ R
Donde:
• Domf =R
• Ranf ={c}
• Su gráfica es una recta horizontal.
Función Identidad Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es:
f (x) = x; ∀x ∈ R
Donde:
• Domf =R
• Ranf =R
• Su gráfica es una recta bisectriz del I y III cuadrante.
Función Lineal Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es
f (x) = ax; a 6= 0, ∀x ∈ R
Donde:

Matemática
• Domf =R
• Ranf =R
• Su gráfica es una recta oblícua que pasa por el origen de coordenadas, cuya pendi-
ente es “a”.
Función Afin Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax + b; a, b 6= 0, ∀x ∈ R
Donde:
• Domf =R
• Ranf =R
• Su gráfica es una recta oblícua que no pasa por el origen de coordenadas.
Función Raíz Cuadrada Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia

es: √
f (x) = x
Donde:
• Domf =[0, ∞ >
• Ranf =[0, ∞ >
• Su gráfica es una curva que pasa por el origen de coordenadas.

Matemática
Función Cuadrática Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c; a 6= 0, ∀x ∈ R
Donde:
• Domf = R
b

• Ranf = f (− 2a ), ∞ >
b b
• Su gráfica es una parábola con vértice V (− 2a , f (− 2a )).
Función Signo Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia es:


1
 si x > 0
sgn(x) = 0 si x = 0

−1 si x < 0

Donde:
• Domf = R
• Ranf = {−1, 0, 1}

Matemática
Función Valor Absoluto Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia

es:
(
x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
Donde:
• Domf = R
• Ranf = [0, ∞ >
Función Máximo Entero

Es aquella función f : R → R, cuya regla de correspondencia asocia a cada número real “x” un
número entero “n” denotado por [[x]] y se define como:
[[x]] = n ⇔ n ≤ x < n + 1
Donde:
Domf =R
Ranf =Z
Su gráfica son segmentos de recta, en forma escalonada.
Eje y
4
2
1
Eje x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

Matemática
Ejemplo 92
f (x) = [[x + 2]]
Solución
Ejemplo 93
f (x) = [[x]] − x
Solución

Matemática
Ejemplo 94

(
[[x − 1]] si 4 ≤ x < 7
f (x) = p
[[x]] si x < 4
Solución
Ejemplo 95

f (x) = sgn(|x2 − 3| − 1)
Solución

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MANUAL DE

JOSÉ CARLOS JUÁREZ PULACHE

Capítulo 1. Lógica proposicional y conjuntos Página 2

1.1. Lógica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Capítulo 2. Números reales Página 37

2.1. Números Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 1

Capítulo 3. Función real de variable real Página 72

3.1. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

L ÓGICA PROPOSICIONAL Y CONJUNTOS

1.1 Lógica Proposicional

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 4

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 5

1 ¡Goool! : Sí, es un enunciado.

2 la mañana está fria. : . . . . . . , es un enunciado.

3 La mente de los : . . . . . . , es un enunciado.

1 Juan es “x” : “x”, puede ser:

2 x+3>0 : “x” puede ser:

3 Él es un escritor Peruano : “Él”, puede ser:

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 6

1.1.3. Proposición lógica

1 p: 16-1=12 : Sí, es una proposición lógica (F).

2 q: El perro. : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).

3 r: Los abogados están : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).

4 s: Por fin iremos al : . . . . . . , es una proposición lógica ( ).

Las preguntas, mandatos(órdenes), fórmulas, deseos, emociones, no representan

Las frases filosóficas, refranes no representan una proposición.

2 q: ¡Hola mi amor! : .........................

3 r: Ojalá mi suegra se : .........................

4 s: Escucha esa noticia. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 7

1.1.4. Clases de proposiciones

Proposición simple ó atómicas ó monódicas

1 p: Wellington es la capital de Nueva Zelandia : P. Simple - Es una afirmación.

2 q: La UNP fue creada en el año 1961 : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 q: Manuel barre el salón de clases. : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 q: José baila en la fiesta. : P. Simple - Es una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La proposiciones simples se clasifican en:

Proposición simple predicativa. Son aquelllas proposiciones simples en la cual se predica

1 p: Lima es una ciudad contaminada : Sujeto: Lima – Propiedad o cualidad: Ciudad

2 q: 2 es un número par. : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

3 q: La botánica es una ciencia natu- : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

4 q: Juan trabaja en el taller. : Sujeto: . . . . . . . . . . . . . . . – Propiedad o cuali-

1 p: Juan y María son amigos : Relación de amistad.

2 q: Perú esta al norte de Chile. : Relación de ubicación.

3 r: Alex llama por teléfono a Eliza- : Relación de . . . . . . . . . . . . . . .

4 s: Juan Pablo y Martha son esposos. : Relación de . . . . . . . . . . . . . . .

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 8

Proposiciones compuestas(o moleculares)

• En la ciudad de Huamanga el sol brilla, pero hace mucho frio.

• Las selecciones de Perú y Nueva Zelanda deleitaron al público con su juego.

• Los alumnos de la UNSCH festejarón el triunfo Peruano, por consiguiente estudian

1.1.5. Operaciones Lógicas

Proposición logica + conectivo lógico = Proposición Compuesta

Entre aquellas operaciones lógicas tenemos;

M.Sc José C. Juárez P. Pag. 9

• p: Hoy tuve un día muy lindo.

• p: Juana empezo con voz muy tembloroza llena de nervios.