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    Taller 3 - Ejercicios de Funciones y Aplicaciones

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    Linx Castro
    Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con funciones y gráficas de funciones. Incluye problemas sobre evaluación y operaciones con funciones, interpretación gráfica de funciones, graficación de funciones, y aplicaciones de funciones a problemas de concentración de anestesia, temperatura, área de rectángulos, costos y utilidades de producción, crecimiento de poblaciones, y porcentajes de infección.

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    Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con funciones y gráficas de funciones. Incluye problemas sobre evaluación y operaciones con funciones, interpretación gráfica de funciones, graficación de funciones, y aplicaciones de funciones a problemas de concentración de anestesia, temperatura, área de rectángulos, costos y utilidades de producción, crecimiento de poblaciones, y porcentajes de infección.

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    Taller 3 - Ejercicios de funciones y aplicaciones

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    Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con funciones y gráficas de funciones. Incluye problemas sobre evaluación y operaciones con funciones, interpretación gráfica de funciones, graficación de funciones, y aplicaciones de funciones a problemas de concentración de anestesia, temperatura, área de rectángulos, costos y utilidades de producción, crecimiento de poblaciones, y porcentajes de infección.

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    Universidad de Santiago de Chile

    Matemáticas I
    Taller 3
    Facultad de Quı́mica y Biologı́a
    Coordinación

    Funciones y aplicaciones
    Evaluación de funciones
    Dada las siguientes funciones funciones:
    x ex
    ˆ f (x) = ˆ h(x) =
    1 e−x + ex
    2−
    x
    x
    ˆ g(x) = cos2 x + senx − tanx ˆ s(x) = ln(cosx) + e 2 + 2x2 − 1

    Determine el valor de
    f (1) − g(π) + 2h(−1)
    s(0)

    Interpretación gráfica
    1. Dada la siguiente gráfica de la función g , determine:

    (a) Dominio de la función g (e) Determine explı́citamente la función


    (b) Conjunto de las imágenes de g (g ◦ g)(x)
    (c) g(0), g(−2) + g(3), g −1 (2), (g ◦ g)(1) (f) Grafique la función (g ◦ g)(x)
    (d) La función g en variable x.

    2. Dado el siguiente gráfico;


    Determinar las ecuaciones de las rectas M, N y T sabiendo que T es perpendicular a M
    y paralela a N.
    3. Dado el siguiente gráfico de cierta función f :

    Determine:
    a) La función f en variable x.
    b) la función g , si es definida por g(x) = f (1 − x).
    c) El gráfico de la nueva función g.

    Operaciones entre funciones


    x 1
    1. Dadas las funciones f , g y h definas por: f (x) = , g(x) = y h(x) = ex .
    x2 +1 x
    Determine
    (a) (f ◦ g)(x)
    (b) g(x) + (f ◦ h)(x)
    (c) (h ◦ h)(0)
    x
    2. Considere las funciones f : R → R y g : R → R, tal que f (x + 1) = 2x + 5 , g(x) = 2
    − 2,
    determine
    (f ◦ g)(x)
    x−2
    3. Dadas las funciones f y g definidas por : f (x) = 3ex − 1 y g(x) = . Determine si
    x+1
    existe solución para la siguiente ecuación:
    (f ◦ g −1 )(x) = 0
    ( justifique primeramente la existencia de la función inversa g −1 )
    Gráfica de funciones
    1. Grafique las siguientes funciones;

    (a) f (x) = x2 − 6x + 7 
     x2 −2 ≤ x < 0

    (b) h(t) = 1 − e−0,01t


    1 (e) f (x) = 1 0≤x<3
    (c) f (x) = 
    √

    2x − 3


    x+1 3≤x
    (d) f (x) = 2ln(x)

    Problemas de aplicación
    1. La concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica sigu-
    iente:

    a) ¿Cuál es la dosis inicial?


    b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 20 minutos?. Al cabo de 1
    hora la concentración en sangre de la anestesia, ¿aumenta o disminuye?
    c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la variable dependiente?

    2. Se sabe que la temperatura de cierto objeto tiene un comportamiento lineal, con respecto
    del tiempo. Sabiendo que en un instante inicial, t = 0, la temperatura era de 10◦ C y que
    pasados 30 minutos era de 20◦ C, determinar la función que proporciona la temperatura
    en función del tiempo, en cualquier instante t. Determinar también el instante t en que
    la temperatura del objeto alcanza el valor de 45◦ C.

    3. Considere un rectángulo de dimensiones x e y :


    Determine la función área en variable y, sı́ el perı́metro del rectángulo es igual a 4mt.
    4. Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artı́culos que produce a un
    precio de 6 pesos cada uno. El costo de producir x artı́culos a la semana (en dólares) es:
    c(x) = 1000 + 6x − 0.003x2 + 10−6 x3
    ¿Cuál es la utilidad si se presenta un nivel de producción de 2000 artı́culos?
    5. Un ecólogo cultiva peces en un lago. Cuanto más peces introduzca, habrá más compe-
    tencia por el alimento disponible y el pez ganará peso en forma más lenta. De hecho,
    se sabe por experimentos previos que cuando hay x peces por unidad de área del lago,
    la cantidad promedio en peso que cada pez gana durante una temporada está dada por
    c(x) = 600 − 30x gramos. ¿Qué valor de x conduce a la producción total máxima en el
    peso de los peces?
    6. La población de ciertas especies en un ambiente limitado con una población inicial de 100
    y capacidad para 1 000 es
    100.000
    P (t) =
    100 + 900e−t
    donde t se mide en años.

    a) ¿Estime cuánto tiempo le toma a la población llegar a 900?.


    b) Encuentre la inversa de esta función.
    7. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta 2.200 pesos fabricar 100 sillas
    en un dı́a y 4.800 pesos producir 300 sillas en un solo dı́a.
    Exprese el costo en función del número de sillas producidas, suponiendo que es lineal. A
    continuación trace la gráfica.
    8. Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son, respectivamente;
    D : 3p + 5x = 22
    S : 2p − 3x = 2
    determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.
    9. El porcentaje de árboles frutales de una plantación que han sido infectados con cierta
    plaga está dado por:
    100
    P (t) =
    1 + 50e−0.1t
    donde t es el tiempo en dı́as ¿Cuál es el porcentaje inicial de árboles infectados?

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