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Lista Final de Ejercicios
Lista Final de Ejercicios
Lista Final de Ejercicios
1. Funciones 3
2. Límites 9
3. Continuidad 13
4. Diferenciación 17
4.1. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2. Teorema de valor medio, extremos locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3. La Regla de L’Hôpital, Convexidad y graficación de funciones . . . . . . . 25
5. Integración 27
5.1. Cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2 ÍNDICE GENERAL
Funciones
1 √
1. Hallar f (0), f − 34 , f (−x), f 1
x
, , si f (x) = 1 + x2 .
f (x)
2. La función f (x) es lineal. Hallar dicha función, si f (−1) = 2 y f (2) = −3.
3. Sea φ(x) = |x−3|+|x−1| para todo real x. Calcular: φ(0), φ(1), φ(2), φ(3), φ(−1), φ(−2).
Determinar todos los valores de t para los que φ(t + 2) = φ(t).
4. Sea f (x) = x2 para todo real x. Calcular cada una de las fórmulas siguientes.
En cada caso precisar los conjuntos de números reales x, y, t, etc para los que la
fórmula dada es válida.
a) Trazar la gráfica de f .
3
4 CAPÍTULO 1. FUNCIONES
9. La función y = ⌊x⌋ (la parte entera del número x) se define del modo siguiente: si
x = n + r, donde n es un número entero y 0 ≤ r < 1, entonces ⌊x⌋ = n. Construir
la gráfica de esta función.
10. La variable x recorre el intervalo 0 < x < 1. ¿Qué conjunto recorre la variable y,
si
√
1 c) y = x − x2 .
a) y = .
1−x
x
b) y = . d ) y = x + ⌊2x⌋?
2x − 1
f (x) = 1 + ⌊x⌋.
√
1 1
12. Calcular f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f , si f (x) = 1 + x2 .
x f (x)
f (x + 3) − 3f (x + 2) + 3f (x + 1) − f (x) ≡ 0.
1
1+x
a) f (x) = (ax + a−x ). d ) f (x) = log .
√2 √ 1−x
b) f (x) = 1 + x + x2 − 1 − x + x2 .
p p √
c) f (x) = 3 (x + 1)2 + 3 (x − 1)2 . e) f (x) = log(x + 1 + x2 ).
17. Este ejercicio desarrolla ciertas propiedades fundamentales de los polinomios. Sea
Xn
f (x) = ck xk un polinomio de grado n. Demostrar cada uno de los siguientes
k=0
apartados:
18. Demostrar que cualquier función f (x), determinada en el intervalo −ℓ < x < ℓ,
puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
19. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una
función impar.
23. En cada caso, hallar todos los polinomios p de grado ≤ 2 que para todo real x
satisfacen las condiciones que se dan.
25. Sea φ(x) = 12 (ax + a−x ) y ψ(x) = 12 (ax − a−x ). Demostrar que:
26. Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores
negativos de la función y, si
a) y = 1 + x. d ) y = y = x3 − 3x.
2x
b) y = 2 + x − x2 . e) y = log .
1+x
π
c) y = 1 − x + x2 . f ) y = sen .
x
30. Sea f (u) una función definida para 0 < u < 1. Hallar los dominios de definición
de las funciones:
a) f (sen x). b) f (log x). ⌊x⌋
c) f .
x
a) y = 2x + 3. 1−x
f) y= .
1+x
b) y = x2 − 1.
√ 1
g ) y = (ex − e−x ) := senh x.
3
c) y = 1 − x2 .
x 2
d ) y = log .
2 ex − e−x
e) y = arctan(3x). h) y = := tanh x.
ex + e−x
Límites
(a) lȷ́m log x = −∞, (b) lȷ́m 2x = +∞, (c) lȷ́m f (x) = ∞.
x→0+ x→+∞ x→∞
(x + 1)2 2x2 − 3x − 4
a) lȷ́m 2 . f) lȷ́m √ .
x→∞ x + 1 x→∞ x4 + 1
1000x 2x + 3
b) lȷ́m . g) lȷ́m √ .
x→∞ x + x
3
2
x→∞ x − 1
x2 − 5x + 1 x2
c) lȷ́m . h) lȷ́m √ .
3x + 7 x→∞ 10 + x x
x→∞ √
x
2x2 − x + 3 i) lȷ́m q .
d ) lȷ́m . x→∞
p √
3
x→∞ x − 8x + 5 x+ x+ x
(2x + 3)3 (3x − 2)2 x3 + 1
e) lȷ́m . j) lȷ́m 2
.
x→∞ x5 + 5 x→−1 x + 1
9
10 CAPÍTULO 2. LÍMITES
√
x2 − 5x + 10 2− x−3
k) lȷ́m . t) lȷ́m .
x→5 x2 − 25 x→7 x2 − 49
x2 − 1 x−8
l) lȷ́m 2 . u) lȷ́m √ .
x→−1 x + 3x + 2 3
x−2
x→8
x2 − 2x √
m) lȷ́m 2 . x−1
x→2 x − 4x + 4 v) lȷ́m √ .
x→1
3
x−1
x3 − 3x + 2
n) lȷ́m 4 . √
x→1 x − 4x + 3 3− 5+x
w) lȷ́m √ .
(x + h)3 − x3 x→4 1 − 5−x
ñ) lȷ́m . √ √
h→0 h
1+x− 1−x
x) lȷ́m .
1 3
o) lȷ́m − . x→0 x
x→1 1 − x 1 − x3 √ √
√ x+h− x
x−1 y) lȷ́m .
p) lȷ́m . h
x→1 x − 1 h→0
√ √ √
x−8 x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
q) lȷ́m √ . z) lȷ́m .
x→64
3
x−4 x2 − 4x + 3
√ x→3
3
x−1 √ √
r) lȷ́m √ . ) lȷ́m ( x + a − x).
x→1
4
x−1 x→+∞
√ √
3
x2 − 2 3 x + 1 √
s) lȷ́m . ) lȷ́m ( x2 − 5x + 6 − x).
x→1 (x − 1)2 x→+∞
sen x 1 − sen x2
a) lȷ́m . k) lȷ́m .
x→2 x π−x
x→π
sen(3x) 1 − 2 cos x
b) lȷ́m . l ) lȷ́m .
x→0 x π − 3x
x→ π3
sen(πx)
c) lȷ́m . cos(mx) − cos(nx)
x→1 sen(3πx) m) lȷ́m .
1 − cos x x→0 x2
d) lȷ́m . tan x − sen x
x→0 x2 n) lȷ́m .
sen x − sen a x→0 x3
e) lȷ́m .
x→a x−a 1 − x2
ñ) lȷ́m .
cos x − cos a x→1 sen(πx)
f) lȷ́m .
x→a x−a x − sen(2x)
tan(πx) o) lȷ́m .
g) lȷ́m . x→0 x + sen(3x)
x→−2 x + 2
cos πx
sen x − cos x p) lȷ́m √2 .
h) lȷ́m . x→1 1 − x
x→ π4 1 − tan x √
πx 1 − cos x
q) lȷ́m .
i) lȷ́m (1 − x) tan . x→0 x2
x→1 2 √ √
π 1 + sen x − 1 − sen x
j) lȷ́m cot(2x) cot −x . r) lȷ́m .
x→0 2 x→0 x
x3 + 1
lȷ́m kx + b − 2 = 0.
x→∞ x +1
Continuidad
¿Cómo debe elegirse el valor de la función A = f (2), para que la función f (x),
completada de esta forma, sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la
función y = f (x).
carece de sentido cuando x = 0. ¿Cómo elegir el valor de f (0) para que la función
f (x) sea continua en este punto?
3. La función
1
f (x) = arctan
x−2
carece de sentido cuando x = 2. ¿Puede elegirse el valor de f (2) de tal forma,
que la función completada sea continua cuando x = 2?
13
14 CAPÍTULO 3. CONTINUIDAD
1
5. Sea f (x) = y ε = 0, 001. Para los valores x0 = 0, 1; 0, 01; 0, 001; ..., hallar los
x
números positivos más grandes δ = δ(ε, x0 ), tales que de la desigualdad |x−x0 | < δ
se deduzca la desigualdad |f (x) − f (x0 )| < ε
¿Es posible, para el número dado ε = 0, 001, elegir un δ > 0 que sirva para
todos los valores x0 del intervalo (0, 1), es decir tal que, si |x − x0 | < δ, sea
|f (x) − f (x0 )| < ε cualquiera que sea el valor x0 ∈ (0, 1)?
a) y = sgn(senx)
b) y = x − ⌊x⌋.
c) y = x⌊x⌋.
d ) y = ⌊x⌋. sen πx
e) y = x2 − ⌊x2 ⌋.
1
f) y= .
x
8. ¿Es continua la función
(
2x, si 0≤x≤1
f (x) =
2 − x, si 1 < x ≤ 2?
11. La función f (x) carece de sentido para x = 0. Determinar el número f (0) de tal
modo que f (x) sea continua para x = 0, si:
√
1+x−1
a) f (x) = √ 3
1+x−1
tan 2x
b) f (x) =
x
1
c) f (x) = sen x sen
x
1
d ) f (x) = (1 + x) x
14. ¿ Se puede afirmar que el cuadrado de una función discontinua es también una
función discontinua?
Construir un ejemplo de una función que sea discontinua en todos los puntos y
cuyo cuadrado sea una función continua.
y (
x, para x racional
ϕ(x) =
2 − x, para x irracional;
(0 < x < 1)
F (x) = |f (x)|
también es continua.
18. Demostrar que, si las funciones f (x) y g(x) son continuas, las funciones
también lo son.
1
20. Comprobar que la función f (x) = x
es continua en el intervalo (0, 1), pero no es
uniformemente continua en este intervalo.
21. Comprobar que la función f (x) = sen πx es continua y está acotada en el intervalo
(0, 1), pero no es uniformemente continua en este intervalo.
22. Para ϵ > 0 hallar δ = δ(ϵ) (uno cualquiera) que satisfaga a las condiciones de
continuidad uniforme para la función f (x) en el intervalo indicado.
Diferenciación
4.1. La derivada
1. Partiendo de la definición de derivada, hallar directamente las derivadas de las
siguientes funciones:
√
a) y = x2 e) y = 3
x
b) y = x3
1 f ) y = tan x
c) y =
x
√
d) y = x g ) y = cot x
3. Calcular f ′ (2) si
f (x) = x2 sen(x − 2)
4. Calcular f ′ (1) si r
x
f (x) = x + (x − 1) arc sen .
x+1
x3 x2
b) y = + − 2x ¿Para qué valores de x: a) y ′ (x) = 0; b) y ′ (x) = −2; c)
3 2
y ′ (x) = 10?
17
18 CAPÍTULO 4. DIFERENCIACIÓN
c) y = a5 + 5a3 x2 − x5
ax + b
d)
a+b
e) y = (x − a)(x − b)
f ) y = (x + 1)(x + 2)2 (x + 3)3
g ) y = (x sen a + cos a)(x cos a − sen a)
h) y = (1 + nxm )(1 + mxn )
i) y = (1 − x)(1 − x2 )2 (1 − x3 )3
j) y = (5 + 2x)10 (3 − 4x)20
1 2 3
k) y = + 2 + 3
x x x
6. Demostrar la fórmula
a b
′
ax + b c d
=
cx + d (cx + d)2
2x x
a) y = m) y = √
1 − x2 a − x2
2
r
1 + x − x2 1 + x3
b) y = n) y = 3
1 − x + x2 1 − x3
x 1
c) y = ñ) y = √ √
(1 − x) (1 + x)3
2
1+ x2 (x
+ 1 + x2 )
(2 − x2 )(3 − x3 ) q
√
d) y =
p
(1 − x)2 o) y = x + x + x
√
q
(1 − x)p
p
e) y = p) y = 3 1 + 3 1 + 3 x
(1 + x)q
q) y = cos 2x − 2 sen x
xp (1 − x)q
f) y =
1+x r) y = (2 − x2 ) cos x + 2x sen x
√ √
g) y =x+ x+ 3x
s) y = sen(cos2 x) cos(sen2 x)
1 1 1
h) y = +√ +√
x x 3
x t) y = senn x cos nx
√ 2
i) y
3
= x2 − √ u) y = sen[sen(sen x)]
x
√ sen3 x
j) y = x 1 + x2 v) y =
sen x2
√ √ cos x
k) y = (1 + x) 2 + x2 3 3 + x3 w) y =
2 sen2 x
p 1
l) y = m+n (1 − x)m (1 + x)n x) y = 2tan x .
2
q
y) y = 14 log xx2 −1
+1
. ) y = log 1−sen x
.
1+sen x
√ √
z) y = x + 1 − log(1 + x + 1). ) y = arc sen(sen x − cos x).
√ √ arc sen x 1 1−x
) y = x log(x + 1 + x2 ) − 1 + x2 . ) y= √ + log .
1 − x2 2 1+x
√
) y = ex (x2 − 2x + 2). ) y = log(ex + 1 + e2x ).
x
) y = log tan x2 . ) y = x + xx + xx .
c) Encuentre las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto (2, −3)
que son tangentes a la parábola y = x2 + x.
f ) ¿Qué relación tiene que haber entre los coeficientes a, b, c, para que la pará-
bola y = ax2 + bx + c sea tangente al eje OX?
h) ¿Para qué valor del parámetro a, la parábola y = ax2 sea tangente a la curva
y = log x?
i) Demostrar que las curvas y = f (x) con f (x) > 0 e y = f (x) sen(ax), donde
f (x) es una función derivable, son tangentes entre sí en los puntos comunes.
x2 − y 2 = a, xy = b
forman una red ortogonal, es decir, estas curvas se cortan bajo ángulos
rectos.
a) y = x3 + ex ; y (10) .
b) f (x) = log x + sin x; f ′′′ (x).
1 d3 y
c) y = , .
5x − 6 dx3
d ) f (x) = 2cos x ; f ′′ (x).
e) y = log[(2x − 3)(4x − 1)]; y ′′ .
−1
f ) f (x) = x + e x ; f ′′ (x).
18. Suponga que las siguientes ecuaciones definen implítamente a y como función
dy
diferenciable de x y determine dx
.
a) x3 + y 3 − 6xy = 0.
b) sin(xy) + y − x2 = 4.
c) yey = e2x+1 .
y
d) = x2 + 1.
x−y
19. Demostrar que la derivada de una función derivable par es una función impar y
que la derivada de una función derivable impar es una función par.
20. Demostrar que la derivada de una función derivable periódica es de nuevo una
función periódica.
21. ¿Con qué velocidad aumenta el área de un círculo en el momento en que su radio
se hace igual a R = 10 cm, si dicho radio crece uniformemente con la velocidad
2 m/s?
1
b) f (x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 . h) f (x) = x + .
x2
x+1
c) f (x) = x5 + x + 1. i) f (x) = .
x2 + 1
2. Suponga que f es tal que xf ′ (x)+2f (x) = 2, ∀x ∈ I. Demuestre que f (x) = 1+ xc2 ,
donde c es una constante.
d
Sugerencia: Calcule dx
(x2 f (x)).
5. Halle a, b, c, d tales que la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo local
en 0 con f (0) = 0, y un máximo local en 2 con f (2) = 2.
m(x − 1)
1−m
< xm − 1 < m(x − 1) (0 < m < 1, x > 1).
x
11. Suponga que f y g son diferenciables sobre R y suponga que f (0) = g(0) y
f ′ (x) ≤ g ′ (x) para todo x ≥ 0. Demuestre que f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ 0.
f (x) − f (y) ′
x−y − f (x) < ϵ.
15. Halle el trapezoide de mayor área que puede ser inscrito en un semicírculo de
radio a, con una base situada a lo largo del diámetro.
x
17. Demuestre que si g : [−1, 1] → R es la función definida por: g(x) = |x|
para
x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] y g(0) = 0, entonces g no es la derivada de ninguna función f
definida sobre [−1, 1].
1 − x + log x
1 x
a) lȷ́m 3 . k) lȷ́m − .
x→1 x − 3x + 2 x→1+ x − 1 log x
log(ex − 1)
1
b) lȷ́m xe x − x . l ) lȷ́m .
x→−∞
x→0+ log(3x)
1
c) lȷ́m (ex + x) x .
π
x→+∞
m) lȷ́m x − tan x.
x→ π2 2
4 1
d ) lȷ́m − . 6
x→2 x2 − 4 x − 2 n) lȷ́m x log 1 − .
x→+∞ x
e) lȷ́m (1 − ex ) log x2 . −1
x→0 ñ) lȷ́m x2 e x .
x→0−
1
f ) lȷ́m xe x . − x1
x→0 1
o) lȷ́m 1 + .
1 x→0+ x
x2 + 1 sin .
g ) lȷ́m
x→+∞ x p) lȷ́m (sin x)x .
x→0+
1 1
h) lȷ́m − . 3x
x→1 log x x−1 q) lȷ́m x
.
x→+∞ 5 − 4
√
3
x−1
x
x
i) lȷ́m √ . r) lȷ́m .
x→1 x+3−2 x+1
x→+∞
(x + 2) log(x + ex ) 1
j) lȷ́m . s) lȷ́m (1 − 2x) x .
x→0 x x→0
f (x) f ′ (x)
Demuestre que lȷ́m = 0 pero que lȷ́m ′ no existe.
x→0 g(x) x→0 g (x)
4. Muestre que la función f (x) = ax3 +bx2 +cx+d siempre tiene un punto de inflexión.
Además, si su gráfica interseca el eje x en tres puntos, sean estos (x1 , 0), (x2 , 0)
x1 +x2 +x3
y (x3 , 0), muestre que la coordenada x en ese punto de inflexión es 3
.
1 2
5. Determine para cuales valores de c el polinomio P (x) = x4 + cx3 + 24
x tiene:
1 + x2 5(x2 − 1)
a) f (x) = . e) f (x) = .
1 − x2 x4 − 2
x3 − 27
b) f (x) = . f ) f (x) = x log2 x.
8 − x3
x2 − 2x + 2 x
c) f (x) = . g ) f (x) = + cos x.
x−1 2
Integración
√
Z Z q
2 3 1
a) (3 − x ) dx g) 1− 2 x x dx
x
Z
b) x2 (5 − x)4 dx Z √ √
1 + x2 + 1 − x2
h) √ dx
1 − x4
Z
c) (1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x) dx Z
Z
1−x
2 i) (2x + 3x )2 dx
d) dx
x
2x+1 − 5x−1
Z Z
x+1 j) dx
e) √ dx 10x
x
Z √ √3
x − 2 x2 + 1 e3x + 1
Z
f) √ dx k) dx
4
x ex + 1
27
28 CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN
log2 x
Z
dx
Z
i) dx n)
x sen2 +2 cos2 x
Z
dx Z
dx
j) o) √
x log x log(log x)
Z (arc sen x)2 1 − x2
k) sen5 x cos x dx s √
log(x + 1 + x2 )
Z
p) dx
Z
sen x + cos x
l) √3
dx 1 + x2
sin x − cos x
Z Z
sen x 1 1+x
m) √ dx q) log dx
cos 2x 1 − x2 1−x
x2
Z
dx
Z
a) √ dx e) √
x2 − 2 x2 4 − x2
Z
Z √ 2 dx
x +1 f) √ dx
b) dx x 1 + x2
x2 Z √
g) a2 − x2 dx
x2
Z
c) √ dx Z
x dx
1 − x2 h) √
5 + x − x2
Z √ 2 Z
x − a2 cos x dx
d) dx i) √ dx
x 1 + sen x + cos2 x
cos4 x
Z Z
dx
e) dx j)
sen3 x 2 sen x − cos x + 5
sen2 x
Z
dx
Z
k) l) dx
(2 + cos x) sen x 1 + sen2 x
2. Hallar:
Zx2 √ Zx3 cos
Z x
d d dt d
a) 1 + t2 dt; b) √ , c) cos(πt2 ) dt
dx dx 1 + t4 dx
0 x2 sen x
es creciente para x ≥ 0.
log 2
Z Ze
a) xe−x dx d) | log x| dx
1
0 e
Zπ Z1
b) x sen x dx e) arc cos x dx
0 0
√
Z2π Z3
2
c) x cos x dx f) x arctan x dx
0 0
Z1 Z1 √
x arc sen x
a) √ dx e) p dx
5 − 4x x(1 − x)
−1 0
Za log 5 √
2
√ Z
ex ex − 1
b) x a2 − x2 dx f) dx.
ex + 3
0 0
Z3/4 Z5
dx dx
c) √ g) √ .
(x + 1) x2 + 1 2x + 3x + 1
0 0
log 2 Z2π
√
Z
dx
d) ex − 1 dx h) .
5 − 3 cos x
0 0
Zπ/2 Zπ/2
a) f (sen x) dx = f (cos x) dx.
0 0
Zπ Zπ
π
b) xf (sen x) dx = f (sen x) dx. A partir de lo anterior, deducir que
2
0 0
Zπ Z1
x sen x dx π2
dx = π = .
1 + cos2 x 1 + x2 4
0 0
7. Verificar, que
π π
Z2 Z2
f (sen x) dx = f (cos x) dx.
0 0
8. Hallar la integral
Z3
f ′ (x)
dx,
1 + f 2 (x)
−1
(x + 1)2 (x − 1)
si f (x) = .
x3 (x − 2)
9. Verificar que:
π
Z2
π
a) sen2 x dx = .
4
0
π π
Z2 Z2
3π
b) sen4 x dx = sen2 x dx = .
6
0 0
π π
Z 2 Z2
5π
c) sen6 x dx = sen4 x dx = .
32
0 0
Z1 Z2
11. a) Hallar un entero n tal que n xf ′′ (2x) dx = tf ′′ (t) dt.
0 0
Z1
b) Calcular xf ′′ (2x) dx, si se sabe que f (0) = 1, f (2) = 3 y f ′ (2) = 5.
0
12. Encontrar una función f , continua para todo x (y no constantemente nula), tal que
Zx
sen t
f 2 (x) = f (t) · dt.
2 + cos t
0
Zπ/2
sen x cos x
dx.
x+1
0
14. Sea f una función continua en [0, 1]. Suponga que para cada x ∈ [0, 1] se cumple
Zx Z1
que f = f . Calcule explícitamente una fórmula para f (x).
0 x
x2Z
(1+x)
f (t) dt = x, ∀ x ≥ 0.
0
Calcule f (2).
Zx
16. Sea g(x) = x e c 2x
y f (x) = e2t (3t2 + 1)1/2 dt. Para un cierto valor de c, el límite
0
de f ′ (x)/g ′ (x) cuando x → +∞ es finito y no nulo. Determinar c y calcular el
valor del límite.
18. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = log x, el eje OX y la recta
x = e.
19. Hallar el área de la figura limitada por la curva y = x(x − 1)(x − 2) y el eje OX.
22. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 2x−x2 y la recta y = −x.
x2
23. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = x2 , y = y la
2
recta y = 2x.
x2 2
24. Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = e y = 4− x2 .
3 3
1
25. Calcular el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y = y
1 + x2
x2
la parábola y = .
2
26. Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = ex , y = e−x y la recta
x = 1.
27. Calcular los valores medios de las funciones dadas en los intervalos indicados: