UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

TALLER 2

DE ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: “RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN”

RESULTADO DE APRENDIZAJE: Calcular las ecuaciones diferenciales de primer orden

y de orden superior, utilizando los diferentes métodos de solución, para la aplicación de
modelos generales de estas ecuaciones en problemas típicos del campo profesional de
estudio. (Nivel Taxonómico: Aplicación)

AUTOR:

Cristho Robespierre Pinoargote Macias

PROFESOR GUÍA:

Ing. Jairo Ramón Beltrón Cedeño Mg.Sc.

FECHA: 24 junio 2022

TERCER SEMESTRE PARALELO "K"

PERÍODO ACADÉMICO:

MAYO 2022 – SEPTIEMBRE 2022

PORTOVIEJO – MANABÍ – ECUADOR

OBJETIVO

Favorecer el aprendizaje de los estudiantes acerca de la clasificación de las

ecuaciones diferenciales y sus tipos de soluciones, apoyándose en la teoría dada y
promoviendo una práctica y experimentación del aprendizaje en colaboración con
otros para el logro de la independencia individual.

DESARROLLO

 En los siguientes problemas resuelva el problema con valores iniciales.

Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución.

𝟏. 𝒚´ + (𝒕𝒂𝒏𝒙)𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙, 𝒚(𝟎) = −𝟏

La ecuación diferencial 𝒚´ + (𝒕𝒂𝒏𝒙)𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 es de tipo lineal. Para determinar su

solución general, se debe en primer lugar transformarla en la forma 𝒚′ + 𝑷(𝒙)𝒚 =
𝑸(𝒙).

𝒅𝒚
+ (𝒕𝒂𝒏𝒙)𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝒅𝒙
Donde 𝑷(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏 𝒙. El factor de integración es:

𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆∫ 𝒕𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒙 → 𝒖(𝒙) = 𝒆𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒄𝒙) → 𝒖(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 (𝒙)

Se sustituye el valor del factor de integración obtenido en el modelo que da la

solución general de la ecuación diferencial lineal: 𝒖(𝒙) = ∫ 𝒖 (𝒙)𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪

𝒅𝒚
𝒔𝒆𝒄 (𝒙) [ + (𝒕𝒂𝒏𝒙)𝒚] = (𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙)𝒔𝒆𝒄 (𝒙)
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝒔𝒆𝒄 (𝒙) [ + (𝒕𝒂𝒏𝒙)𝒚] = 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙

∫ 𝒅[𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝒙] = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙

𝒚 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪

𝟏
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪 𝒄𝒐𝒔 𝒙

Se aplica las condiciones iniciales 𝒚(𝟎) = −𝟏 para calcular la constante C:

 −𝟏 = 𝒔𝒆𝒏 (𝟎) 𝒄𝒐𝒔 (𝟎) + 𝑪 𝒄𝒐𝒔 (𝟎)

𝑪 = −𝟏

Luego, la solución particular de la ecuación diferencial lineal de orden 1 es:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 (𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟏)

 En los siguientes problemas resuelva la ecuación diferencial dada por

separación de variables.

𝒅𝒚
𝟐. = 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙
𝒅𝒙

 Separar variables:

𝒅𝒚
= 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 → 𝒅𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝒙

 Integrar cada miembro de la ecuación:

𝟏 𝟏
∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 → 𝒚 = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒙 (𝟓𝒅𝒙) → 𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝑪
𝟓 𝟓

 Determinar la solución general:

𝟏 𝟏
𝒚 = − 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝑪 → 𝑪 = 𝒚 + 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙
𝟓 𝟓

𝒅𝑷
𝟑. = 𝑷 − 𝑷𝟐
𝒅𝒕

 Separar variables:

𝒅𝑷
= 𝒅𝒕
𝑷 − 𝑷𝟐

 Integrar cada miembro de la ecuación:

𝒅𝑷 𝟏 𝟏
∫ 𝒅𝒕 = ∫ → 𝒕 + 𝑪 = ∫ ( − ) 𝒅𝑷 → 𝒕 + 𝑪 = 𝒍𝒏𝑷 − 𝒍𝒏(𝟏 − 𝑷)
𝑷 − 𝑷𝟐 𝑷 𝟏−𝑷
𝑷 𝑷 𝑷 𝑷
→ 𝒕 + 𝑪 = 𝒍𝒏 ( ) → 𝒆𝒕+𝑪 = → 𝒆𝒕 𝒆𝑪 = → 𝑪𝒆𝒕 =
𝟏−𝑷 𝟏−𝑷 𝟏−𝑷 𝟏−𝑷
 → 𝑪𝒆𝒕 (𝟏 − 𝑷) = 𝑷 → 𝑷 = 𝑪𝒆𝒕 − 𝑷𝑪𝒆𝒕 → 𝑪𝒆𝒕 = 𝑷 + 𝑷𝑪𝒆𝒕 → 𝑪𝒆𝒕 = 𝑷(𝟏 + 𝑪𝒆𝒕 )

 Determinar la solución general:

𝑪𝒆𝒕
𝑷=
𝟏 + 𝑪𝒆𝒕

 En el siguiente problema encuentre una solución explícita del problema

con valores iniciales dado.

√𝟑
𝟒. √𝟏 − 𝒚𝟐 𝒅𝒙 − √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎 , 𝒚(𝟎) =
𝟐

 Separar variables:

𝒅𝒙 𝒅𝒚
=
√𝟏 − 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒚𝟐

 Integrar cada miembro de la ecuación:

𝒅𝒙 𝒅𝒚
∫ =∫
√𝟏 − 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒚𝟐

 Determinar la solución general:

𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 𝑪

√𝟑
 Aplicamos las condiciones iniciales, 𝒚(𝟎) = :
𝟐

√𝟑 𝝅 𝝅
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝟎 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 ( ) +𝑪→𝟎= +𝑪→𝑪= −
𝟐 𝟑 𝟑

Luego la solución particular es:

𝝅
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒚 −
𝟑
𝝅
𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 +
𝟑
𝝅
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 ( 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + )
𝟑
  Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

𝟓. 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙

 Verificar si la ecuación diferencial es homogénea y su grado:

La ecuación diferencial 𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒆𝒙 o 𝒙𝒅𝒚 = (𝒙𝟐 𝒆𝒙 + 𝒚)𝒅𝒙 o por simple

inspección es homogénea de grado 1.

Introducir una nueva variable:

Se realiza las sustituciones siguientes 𝒚 = 𝒖𝒙; 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 en la ecuación

diferencial:

𝒙(𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = (𝒙𝟐 𝒆𝒙 + 𝒖𝒙)𝒅𝒙; se introduce la nueva variable:

 Simplificar, separa variables e integrar la ecuación:

𝒙(𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝒙(𝒙𝒆𝒙 + 𝒖)𝒅𝒙

𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 = (𝒙𝒆𝒙 + 𝒖)𝒅𝒙

𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 = 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 + 𝒖𝒅𝒙

𝒙𝒅𝒖 = 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒙𝒅𝒖
= 𝒆𝒙 𝒅𝒙
𝒙

∫ 𝒅𝒖 = ∫ 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒖 = 𝒆𝒙 + 𝑪

 Determinar la solución general en término de las variables originales:

𝒚
= 𝒆𝒙 + 𝑪
𝒙

𝒚 = 𝒙𝒆𝒙 + 𝑪𝒙

𝟔. (𝒚 + 𝒙)𝒚′ = 𝒙 − 𝒚

 Verificar si la ecuación diferencial es homogénea y su grado:

La ecuación diferencial (𝒚 + 𝒙)𝒚′ = 𝒙 − 𝒚 o (𝒚 + 𝒙)𝒅𝒚 = (𝒙 − 𝒚)𝒅𝒙 por simple

inspección es homogénea de grado 1.
Introducir una nueva variable:

Se realiza las sustituciones siguientes 𝒚 = 𝒖𝒙; 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 en la ecuación

diferencial:

(𝒖𝒙 + 𝒙)(𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = (𝒙 − 𝒖𝒙)𝒅𝒙 ; se introduce la nueva variable:

 Simplificar, separa variables e integrar la ecuación:

𝒙(𝒖 + 𝟏)(𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝒙(𝟏 − 𝒖)𝒅𝒙

(𝒖 + 𝟏)(𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = (𝟏 − 𝒖)𝒅𝒙

(𝒖 + 𝟏)𝒙𝒅𝒖 = (−𝒖𝟐 − 𝟐𝒖 + 𝟏)𝒖𝒅𝒙

−(𝒖 − 𝟏)𝒅𝒖 𝒅𝒙
=
𝒖𝟐 + 𝟐𝒖 − 𝟏 𝒙
−(𝒖 − 𝟏)𝒅𝒖 𝒅𝒙
∫ =∫
𝒖𝟐 + 𝟐𝒖 − 𝟏 𝒙

𝒍𝒏 (𝒖𝟐 + 𝟐𝒖 − 𝟏)
− = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪
𝟐
𝟏
= 𝒙𝒆𝑪
√𝒖𝟐 + 𝟐𝒖 − 𝟏

 Determinar la solución general en término de las variables originales:

𝟏
= 𝑪𝒙
√ 𝒚𝟐 𝟐𝒚
+ 𝒙 −𝟏
𝒙𝟐

𝟏
= 𝑪𝒙
√ 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐
𝒙𝟐

𝟏
= 𝑪𝒙
√𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐
√𝒙𝟐

𝟏
= 𝑪𝒙
√𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐
𝒙
 𝒙
= 𝑪𝒙
√𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐

𝟏
𝑪=
√𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 − 𝒙𝟐

 En el siguiente problema resuelva el problema con valores iniciales dado.

𝒅𝒚
𝟕. 𝒙𝒚𝟐 = 𝒚𝟑 − 𝒙 𝟑 , 𝒚(𝟏) = 𝟐
𝒅𝒙

 Verificar si la ecuación diferencial es homogénea y su grado:

𝒅𝒚
La ecuación diferencial 𝒙𝒚𝟐 𝒅𝒙 = 𝒚𝟑 − 𝒙𝟑 o 𝒙𝒚𝟐 𝒅𝒚 = (𝒚𝟑 − 𝒙𝟑 )𝒅𝒙 , por simple
inspección es homogénea de grado 1.

Introducir una nueva variable:

Como 𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚𝟐 es más simple que 𝑴(𝒙, 𝒚) = (𝒚𝟑 − 𝒙𝟑 ), se realiza las
sustituciones siguientes 𝒚 = 𝒖𝒙; 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 en la ecuación diferencial:

𝒙𝒚𝟐 𝒅𝒚 = (𝒚𝟑 − 𝒙𝟑 )𝒅𝒙

𝒙(𝒖𝒙)𝟐 (𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = ((𝒖𝒙)𝟑 − 𝒙𝟑 )𝒅𝒙; se introduce la nueva variable:

 Simplificar, separa variables e integrar la ecuación:

𝒙𝟑 𝒖𝟑 (𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖) = 𝒙𝟑 𝒖𝟑 𝒅𝒙 − 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝒙𝟑 𝒖𝟑 𝒅𝒙 + 𝒙𝟒 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = 𝒙𝟑 𝒖𝟑 𝒅𝒙 − 𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝒙𝟒 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = −𝒙𝟑 𝒅𝒙

−𝒙𝟑 𝒅𝒙
𝒖𝟐 𝒅𝒖 =
𝒙𝟒
𝒙
𝒖𝟐 𝒅𝒖 = −
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒖𝟐 𝒅𝒖 = − ∫
𝒅𝒙

𝒖𝟑
= −𝒍𝒏𝒙 + 𝑪
𝟑
 𝒖𝟑 = −𝟑𝒍𝒏𝒙 + 𝟑𝑪

 Determinar la solución general en término de las variables originales:

𝒚𝟑
= −𝟑𝒍𝒏𝒙 + 𝑪
𝒙𝟑

𝒚𝟑 = −𝟑𝒙𝟑 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪𝒙𝟑

 Aplicar las condiciones iniciales 𝒚(𝟏) = 𝟐

𝟐𝟑 = −𝟑(𝟏)𝟑 ∗ 𝒍𝒏(𝟏) + 𝑪(𝟏)𝟑
𝟖 = −𝟑 ∗ 𝟎 + 𝑪
𝟖=𝑪

Luego la solución particular es:

𝒚𝟑 = −𝟑𝒙𝟑 𝒍𝒏𝒙 + 𝟖𝒙𝟑

𝟑
𝒚 = 𝒙 √−𝟑𝒍𝒏𝒙 + 𝟖

8. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer
en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar
los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo
tardará en alcanzar los 98° C?

Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la ley del
calentamiento de Newton. En este caso debemos resolver la ecuación:

𝒅𝑻
= 𝒓(𝑻 − 𝑻𝒂 )
𝒅𝒕
Resolviendo por variables separables:

𝒅𝑻
∫ = ∫ 𝒓𝒅𝒕
𝑻 − 𝑻𝒂

𝒍𝒏|𝑻 − 𝑻𝒂 | = 𝒓𝒕 + 𝒌

𝑻 − 𝑻𝒂 = 𝒆𝒓𝒕+𝒌

𝑻 = 𝑻𝒂 + 𝑪𝒆𝒌𝒕

Sustituyendo condiciones del problema:

 𝑡 = 0 𝑠, 𝑇 = 20° 𝐶

𝟐𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝑪𝒆𝒌(𝟎)

𝑪 = −𝟖𝟎

𝑻 = 𝑻𝒂 − 𝟖𝟎𝒆𝒌𝒕

𝑡 = 1 𝑠, 𝑇 = 22° 𝐶

𝟐𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝒆𝒌(𝟏)

𝟐𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 = −𝟖𝟎𝒆𝒌

𝟐𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
= 𝒆𝒌
−𝟖𝟎

𝒆𝒌 = 𝟎. 𝟗𝟕𝟓

𝒌 = 𝒍𝒏(𝟎. 𝟗𝟕𝟓)

𝒌 = −𝟎. 𝟎𝟐𝟓

𝑡 = ?, 𝑇 = 90° 𝐶

𝟗𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕

𝟗𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
= 𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕
−𝟖𝟎

𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟓

−𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝒕 = 𝒍𝒏(𝟎. 𝟏𝟐𝟓)

−𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝒕 = −𝟐. 𝟎𝟕𝟗

−𝟐. 𝟎𝟕𝟗
𝒕=
−𝟎. 𝟎𝟐𝟓
𝒕 = 𝟖𝟑. 𝟏𝟔

La barra en alcanzar los 90° C tardará 83.16 segundos.

𝑡 = ?, 𝑇 = 98° 𝐶

𝟗𝟖 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕
 𝟗𝟖 − 𝟏𝟎𝟎
= 𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕
−𝟖𝟎

𝒆−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓

−𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝒕 = 𝒍𝒏(𝟎. 𝟎𝟐𝟓)

−𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝒕 = −𝟑. 𝟔𝟖𝟖

−𝟑. 𝟔𝟖𝟖
𝒕=
−𝟎. 𝟎𝟐𝟓
𝒕 = 𝟏𝟒𝟕. 𝟓𝟐

La barra en alcanzar los 98° C tardará 𝟏𝟒𝟕. 𝟓𝟐 segundos.

9. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una

velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio
de la reacción había 200 g de M y una hora más tarde 75 g, calcular el porcentaje
de M transformada después de 2 horas.

Ecuación diferencial que modela problema de crecimiento y de decrecimiento:

𝒅𝒚
= 𝒌𝒚
𝒅𝒕
Resolviendo por variables separables:

𝒅𝒚
∫ = ∫ 𝒌𝒅𝒕
𝒚

𝒍𝒏|𝒚| = 𝒌𝒕 + 𝑪

𝒚 = 𝒆𝒌𝒕+𝑪

𝒚 = 𝒆𝒌𝒕 𝒆𝑪

𝒚 = 𝑪𝒆𝒌𝒕

Sustituyendo condiciones del problema:

𝑡 = 0, 𝑇 = 200 𝑔

𝟐𝟎𝟎 = 𝑪𝒆𝒌(𝟎)
 𝑪 = 𝟐𝟎𝟎

𝑡 = 1 ℎ, 𝑇 = 75 𝑔

𝟕𝟓 = 𝟐𝟎𝟎𝒆𝒌(𝟏)

𝟕𝟓 = 𝟐𝟎𝟎𝒆𝒌

𝟕𝟓
𝒆𝒌 =
𝟐𝟎𝟎

𝒆𝒌 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓

𝒌 = 𝒍𝒏 𝟎. 𝟑𝟕𝟓

𝒌 = −𝟎. 𝟗𝟖

𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟗𝟖𝒕

Encontrando masa (instante t = 2):

𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟗𝟖(𝟐)

𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝒆−𝟏.𝟗𝟔

𝒚 = 𝟐𝟖. 𝟏𝟕

 200𝑔 = 100%
 75𝑔 = 62.5%
 28.17𝑔 = 85.9%

El porcentaje de M transformada después de 2 horas es 𝟖𝟓. 𝟗%

10. Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área 𝑨𝒌 en
su fondo. Cuando el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la
corriente cerca del orificio reducen el volumen de agua que sale del depósito por
segundo 𝒄𝑨𝒌 √𝟐𝒈𝒉, donde c (0 < c < 1) es una constante empírica. Determine la
ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depósito que
𝒑𝒊𝒆𝒔
se muestra en la figura. El radio del orificio es de 2 pulgadas, y g= 𝟑𝟐 .
𝒔𝟐
El volumen del agua en el tanque en el instante t es 𝑉 = 𝐴𝑤 ℎ

𝑑ℎ 1 𝑑𝑣 1 𝑐𝐴0
( )= (−𝑐𝐴0 )√2𝑔ℎ = − ( ) √2𝑔ℎ
𝑑𝑡 𝐴𝑤 𝑑𝑡 𝐴𝑤 𝐴𝑤

2
2 2 𝜋
𝐴𝑤 = 10 = 100, 𝐴0 = 𝜋 ( ) = , 𝑔 = 32
12 36
𝑐𝜋
𝑑ℎ 36 𝑐𝜋
( )= √64ℎ = −( )√ℎ
𝑑𝑡 100 450

CONCLUSIONES FINALES

 El método de separación de variables se resuelve por integración directa en

ambos lados de la ecuación.
 Existen casos donde tenemos que utilizar el factor de integración para poder
resolver ciertas ecuaciones diferenciales como los casos que se presentaron en
la guía práctica.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 CARMONA, Isabel y FILIO, Ernesto (2011). Ecuaciones diferenciales.

Pearson Education

 LARSON, Ron y EDWARDS, Bruce H. (2010). Cálculo. México. Mc Graw

Hill