ACTIVIDAD 5: EJERCICIOS RESUELTOS

Andrés Aguirre. Andy Meléndez. Rudy Ocampo. Beny Zúñiga.

Estudiante de Maestría en Ingeniería – Universidad Tecnológica de Bolívar

EJERCICIOS
PARTE A
1. Desarrolle el procedimiento para llegar a la solución en cada uno de los casos en un sistema masa-resorte
amortiguado:
A. Sobre-amortiguado: ecuación (10)
B. Críticamente amortiguado: ecuación (11)
C. Sub-amortiguado: ecuación (12)

2. Para cada caso obtenga las constantes 𝐶1 y 𝐶2 con las condiciones iniciales dadas por (10): 𝑠(0)=𝑠0 y
𝑣(0)=𝑠′(0)=𝑣0.

3. Escoja valores de 𝑐, 𝑚 y 𝑘 de tal forma que se obtengan los tres tipos de soluciones.

4. Grafique en Matlab el comportamiento de cada uno de los tres tipos de soluciones del inciso 3,de acuerdo a las
condiciones iniciales siguientes(escoja valores de 𝑠0 y𝑣0):
A. a. 𝑠(0)=𝑠0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=0
B. b. 𝑠(0)=−𝑠0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=0
C. c. 𝑠(0)=0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=𝑣0
D. d. 𝑠(0)=0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=−𝑣0
E. e. 𝑠(0)=𝑠0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=𝑣0
F. f. 𝑠(0)=𝑠0 y 𝑣(0)=𝑠′(0)=−𝑣0

pg. 1
SOLUCIÓN:

1.
𝑠 ′′ + 2𝛼𝑠 ′ + 𝜔𝑜 2 𝑠 = 0
Se define el operador derivada
𝑑()
𝐷=
𝑑𝑥
La ecuación diferencial queda de la siguiente manera:
𝐷 2 𝑠 + 2𝛼𝐷𝑠 + 𝜔𝑜 2 𝑠 = 0 → (𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑠) 𝐷 2 + 2𝛼𝐷 + 𝜔𝑜 2 = 0
Haciendo este artificio las constantes que hacen este polinomio 0 tiene la siguiente forma general:
(𝐷 − 𝑟1 )(𝐷 − 𝑟2 ) … (𝐷 − 𝑟𝑛 ) = 0
¿Cómo resolver este tipo de ecuación diferencial?
A. Si son raíces distintas (sobre-amortiguado).
(𝐷 − 𝑟1 )(𝐷 − 𝑟2 ) … (𝐷 − 𝑟𝑛 ) = 0; 𝑆𝑖 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑧1 = (𝐷 − 𝑟2 ) … (𝐷 − 𝑟𝑛 )
(𝐷 − 𝑟1 )𝑧1 = 0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧1
𝐷𝑧1 − 𝑟1 𝑧1 = 0 → = 𝑟1 𝑧1 → = 𝑟1 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑧1
𝑑𝑧1
∫ = ∫ 𝑟1 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛|𝑧1 | = 𝑟1 𝑥 + 𝑘1 → 𝑧1 = 𝑒 𝑟1𝑥+𝑘1 = 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥
𝑧1
Repitiendo el procedimiento para la siguiente raíz
𝑧1 = (𝐷 − 𝑟2 ) … (𝐷 − 𝑟𝑛 ) 𝑆𝑖 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 … (𝐷 − 𝑟𝑛 ) = 𝑧2
𝑧1 = (𝐷 − 𝑟2 )𝑧2 = 𝐷𝑧2 − 𝑟2 𝑧2
𝑑𝑧2 𝑑𝑧2
𝑧1 = − 𝑟2 𝑧2 → 𝑧1 + 𝑟2 𝑧2 =
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑧2 + (−𝑧1 − 𝑟2 𝑧2 )𝑑𝑥 = 0
Comprobando si es una ED exacta
𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝑁 = 1; 𝑀 = −𝑧1 − 𝑟2 𝑧2 → =0 ≠ = −𝑟2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝑧2
Probando uso de factor integrante en función de x:
𝑀𝑧2 −𝑁𝑥 −𝑟2 −0
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝜇 = 𝑒∫ 𝑁 = 𝑒∫ 1 = 𝑒 −𝑟2𝑥

pg. 2
La ecuación diferencial queda de la siguiente manera:
𝑒 −𝑟2𝑥 𝑑𝑧2 + (−𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 𝑒 −𝑟2𝑥 − 𝑟2 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 )𝑑𝑥 = 0
Probando que ahora ya es una ecuación diferencial exacta:
𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝑁 = 𝑒 −𝑟2𝑥 ; 𝑀 = −𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 𝑒 −𝑟2𝑥 − 𝑟2 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 → = −𝑟2 𝑒 −𝑟2𝑥 ; = −𝑟2 𝑒 −𝑟2𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑧2
Como las derivadas cruzadas son iguales ahora sí es una ecuación diferencial exacta
𝜕𝐹
𝑒 −𝑟2𝑥 = → 𝐹 = 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝜕𝑧2
Derivando parcialmente este resultado con respecto a x
𝜕𝐹
= −𝑟2 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 + 𝑔′ (𝑥)
𝜕𝑥
Esto debe ser igual a M
𝜕𝐹
𝑀= = −𝑟2 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 − 𝑐1 𝑒 (𝑟1−𝑟2)𝑥 = −𝑟2 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 + 𝑔′ (𝑥)
𝜕𝑥
De aquí se concluye que:
𝑐1
𝑔′ (𝑥) = −𝑐1 𝑒 (𝑟1−𝑟2)𝑥 → 𝑔(𝑥) = − 𝑒 (𝑟1−𝑟2)𝑥
(𝑟1 − 𝑟2 )
La solución de la ecuación diferencial sería:
𝑐1
𝐹 = 𝑐2 = 𝑧2 𝑒 −𝑟2𝑥 − 𝑒 (𝑟1−𝑟2)𝑥
(𝑟1 − 𝑟2 )
Si se multiplica todo por 𝑒 𝑟2𝑥
𝑐1
𝑘2 𝑒 𝑟2𝑥 = 𝑧2 − 𝑒 𝑟1𝑥 → 𝑧2 = 𝑘1 𝑒 𝑟1𝑥 + 𝑘2 𝑒 𝑟2𝑥
(𝑟1 − 𝑟2 )
Si se realizará el procedimiento repetidas veces se podría apreciar que la solución general de la ecuación
diferencial cuando se tienen raíces distintas es:
𝒚 = 𝒌𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒙 + 𝒌𝟐 𝒆𝒓𝟐 𝒙 + ⋯ + 𝒌𝒏 𝒆𝒓𝒏𝒙
B. Si son raíces iguales (Caso críticamente amortiguado)
(𝐷 − 𝑟1 )𝑛 = (𝐷 − 𝑟1 )(𝐷 − 𝑟1 )𝑛−1 = 0; 𝑆𝑖 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑧1 = (𝐷 − 𝑟1 )𝑛−1
(𝐷 − 𝑟1 )𝑧1 = 0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧1
𝐷𝑧1 − 𝑟1 𝑧1 = 0 → = 𝑟1 𝑧1 → = 𝑟1 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑧1
𝑑𝑧1
∫ = ∫ 𝑟1 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛|𝑧1 | = 𝑟1 𝑥 + 𝑘1 → 𝑧1 = 𝑒 𝑟1𝑥+𝑘1 = 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥
𝑧1

pg. 3
Repitiendo el procedimiento
𝑧1 = (𝐷 − 𝑟1 )𝑛−1 = (𝐷 − 𝑟1 )(𝐷 − 𝑟1 )𝑛−2
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝐷 − 𝑟1 )𝑛−2 = 𝑧2
𝑧1 = 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 = (𝐷 − 𝑟1 )𝑧2
𝑑𝑧2 𝑑𝑧2
𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 = − 𝑟1 𝑧2 → 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 + 𝑟1 𝑧2 =
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑧2 +(−𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 − 𝑟1 𝑧2 )𝑑𝑥 = 0
Probando si es una ecuación diferencial exacta
𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝑁 = 1; 𝑀 = −𝑐1 𝑒 𝑟1𝑥 − 𝑟1 𝑧2 → =0 ≠ = −𝑟1 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝑧2
Probando uso de factor integrante en función de x:
𝑀𝑧2 −𝑁𝑥 −𝑟1 −0
∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝜇=𝑒 𝑁 = 𝑒∫ 1 = 𝑒 −𝑟1𝑥
La ecuación diferencial queda:
𝑒 −𝑟1𝑥 𝑑𝑧2 + (−𝑐1 − 𝑟1 𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 )𝑑𝑥 = 0
𝜕𝐹
𝑒 −𝑟1𝑥 = → 𝐹 = 𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝜕𝑧2
Derivando parcialmente este resultado con respecto a x
𝜕𝐹
= −𝑟1 𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝜕𝑥
Esto debe ser igual a M
𝜕𝐹
= −𝑟1 𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 + 𝑔′ (𝑥) = −𝑐1 − 𝑟1 𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 → 𝑔′ (𝑥) = 𝑐1
𝜕𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑐1 𝑥
La solución de la ecuación diferencial sería:
𝑧2 𝑒 −𝑟1𝑥 + 𝑐1 𝑥 = 𝑐2
Multiplicando por 𝑒 𝑟1𝑥

𝑧2 = (𝑘1 + 𝑘2 𝑥)𝑒 𝑟1𝑥

Si se repitiera el procedimiento nuevamente se apreciaría que la solución general tiene la forma:
𝒛𝒏 = 𝒚 = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒙 + ⋯ + 𝒌𝒏 𝒙𝒏−𝟏 )𝒆𝒓𝟏 𝒙

pg. 4
 C. Si son raíces imaginarias distintas (Caso sub-amortiguado).
Aplicando el procedimiento para raíces distintas se tiene que:
𝑆𝑖 𝑟1 = 𝑎 + 𝜃𝑖 ; 𝑟2 = 𝑎 − 𝜃𝑖
𝑦 = 𝑘1 𝑒 𝑟1𝑥 + 𝑘2 𝑒 𝑟2𝑥 = 𝑘1 𝑒 (𝑎+𝜃𝑖)𝑥 + 𝑘2 𝑒 (𝑎−𝜃𝑖 )𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 (𝑘1 𝑒 𝜃𝑖𝑥 + 𝑘2 𝑒 −𝜃𝑖𝑥 )
Usando la identidad de Euler se obtiene que:
𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 [𝑘1 (cos 𝜃𝑥 + 𝑖 sin 𝜃𝑥 ) + 𝑘2 (cos 𝜃𝑥 − 𝑖 sin 𝜃𝑥 )]
𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 [(𝑘1 + 𝑘2 ) cos 𝜃𝑥 + (𝑘1 𝑖 + 𝑘2 𝑖) sin 𝜃𝑥 ]
𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 [𝑐1 cos 𝜃𝑥 + 𝑐2 sin 𝜃𝑥]
Aplicando estos resultados al problema planteado se obtiene:
(𝐷 − 𝑟1 )(𝐷 − 𝑟2 ) = 0

−2𝛼 ± √4𝛼 2 − 4𝜔𝑜 2

𝑟= = −𝛼 ± √𝛼 2 − 𝜔𝑜 2
2
Si 𝛼 2 − 𝜔𝑜 2 es mayor que 0 se obtienen raíces reales y distintas por lo tanto
𝒔(𝒕) = 𝒄𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕 + 𝒄𝟐 𝒆𝒓𝟐 𝒕
Si 𝛼 2 − 𝜔𝑜 2 es igual a 0 se obtienen raíces reales e iguales por lo que:
𝒔(𝒕) = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒕)𝒆𝒓𝟏 𝒕
Si 𝛼 2 − 𝜔𝑜 2 es menor a 0 se obtienen raíces imaginarias distintas por lo que:
𝛼 2 − 𝜔𝑜 2 = −𝜔2

𝜔 = √𝜔𝑜 2 − 𝛼 2
𝑟 = −𝛼 ± 𝑖𝜔
𝑠(𝑡) = 𝑒 −𝛼𝑡 [𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑡 ]
Haciendo una modificación en las constantes se tiene
𝑐1 = 𝑐3 cos 𝜑 ; 𝑐2 = −𝑐3 sin 𝜑
𝑠(𝑡) = 𝑐3 𝑒 −𝛼𝑡 [cos 𝜑 cos 𝜔𝑡 − sin 𝜑 sin 𝜔𝑡 ]
Aplicando la identidad de suma de ángulos se obtiene que:
𝐬(𝐭) = 𝐜𝟑 𝐞−𝛂𝐭 [𝐜𝐨𝐬( 𝛚𝐭 + 𝝋)]

pg. 5
2. Hallar el valor de las constantes de integración
Caso I
𝒔(𝒕) = 𝒄𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕 + 𝒄𝟐 𝒆𝒓𝟐 𝒕
𝒔′(𝒕) = 𝒓𝟏 𝒄𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕 + 𝒓𝟐 𝒄𝟐 𝒆𝒓𝟐 𝒕
Si t=0 entonces s=so y s’=vo
𝑠𝑜 = 𝑐1 + 𝑐2 (1)
𝑣𝑜 = 𝑟1 𝑐1 + 𝑟2 𝑐2 (2)
𝑠𝑜 − 𝑐2 = 𝑐1
𝑣𝑜 = 𝑟1 (𝑠𝑜 − 𝑐2 ) + 𝑟2 𝑐2
(𝒗𝒐 − 𝒓𝟏 𝒔𝒐 )
𝒄𝟐 =
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
(𝑣𝑜 − 𝑟1 𝑠𝑜 ) 𝑠𝑜 𝑟2 − 𝑠𝑜 𝑟1 − 𝑣𝑜 + 𝑟1 𝑠𝑜
𝑠𝑜 − = = 𝑐1
𝑟2 − 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1
𝒔𝒐 𝒓𝟐 − 𝒗𝒐
= 𝒄𝟏
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏

Caso II
𝒔(𝒕) = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒕)𝒆𝒓𝟏 𝒕
𝒔′ (𝒕) = 𝒌𝟐 𝒆𝒓𝟏 𝒕 + (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒕)𝒓𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕
Si t=0 entonces s=so y s’=vo
𝑠𝑜 = 𝑘1
𝑣𝑜 = 𝑘2 + 𝑘1 𝑟1 = 𝑘2 + 𝑠𝑜 𝑟1 → 𝒌𝟐 = 𝒗𝒐 − 𝒔𝒐 𝒓𝟏

Caso III
𝐬(𝐭) = 𝐜𝟑 𝐞−𝛂𝐭 [𝐜𝐨𝐬( 𝛚𝐭 + 𝝋)]
𝐬′ (𝐭) = −𝛂𝐜𝟑 𝐞−𝛂𝐭 [𝐜𝐨𝐬( 𝛚𝐭 + 𝝋)] − 𝐜𝟑 𝐞−𝛂𝐭 [𝐬𝐞𝐧( 𝛚𝐭 + 𝝋)]
Si t=0 entonces s=so y s’=vo
𝑠𝑜 = 𝐜𝟑 𝐜𝐨𝐬( 𝝋)

pg. 6
 𝑣𝑜 = −𝛂𝐜𝟑 𝐜𝐨𝐬( 𝝋) − 𝐜𝟑 𝐬𝐞𝐧( 𝝋)
𝑠𝑜
𝐜𝟑 =
𝐜𝐨𝐬( 𝝋)
𝑠𝑜
𝑣𝑜 = −𝛂𝑠𝑜 − 𝐬𝐞𝐧( 𝝋)
𝐜𝐨𝐬( 𝝋)
𝑣𝑜 −𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜
𝐜𝐨𝐭 𝝋 = − −𝛂=
𝑠𝑜 𝑠𝑜

√𝑠𝑜 2 + (−𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜 )2

𝑠𝑜

−𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜
𝑣𝑜
𝝋 = 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 (− − 𝛂)
𝑠𝑜

𝑠𝑜 𝑠𝑜 √𝑠𝑜 𝟐 + (−𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜 )𝟐

𝐜𝟑 = =
𝐜𝐨𝐬( 𝝋) −𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜

pg. 7
 3. Encontrar valores de c, m y k para obtener los tres casos.
c (N*s/m) 30 c (N*s/m) 1 c (N*s/m) 14.1421356
m (Kg) 0.1 m (Kg) 0.1 m (Kg) 0.1
k (N/m) 500 k (N/m) 500 k (N/m) 500
α 75 α 5 α 70.7106781
ωo 70.7106781 ωo 70.7106781 ωo 70.7106781
α2-ωo2 17500 α2-ωo2 -4975 α2-ωo2 0

Sobre-amortiguado Sub-amortiguado Amortiguamiento crítico

4. Graficas de cada uno de los tres tipos de soluciones.

Las ecuaciones son las siguientes:
4.1
𝒔𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒎
𝒗𝒐 = 𝟏 𝒎/𝒔

𝑟1 = −𝛼 + √𝛼 2 − 𝜔𝑜 2
𝒔𝒐 𝒓𝟐 − 𝒗𝒐
= 𝒄𝟏
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
(𝒗𝒐 − 𝒓𝟏 𝒔𝒐 )
𝒄𝟐 =
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
𝒔(𝒕) = 𝒄𝟏 𝒆𝒓𝟏 𝒕 + 𝒄𝟐 𝒆𝒓𝟐 𝒕

4.2

pg. 8
 𝒔𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒎
𝒗𝒐 = 𝟏 𝒎/𝒔

𝑟1 = −𝛼 + √𝛼 2 − 𝜔𝑜 2
𝑠𝑜 = 𝑘1
𝑣𝑜 = 𝑘2 + 𝑘1 𝑟1 = 𝑘2 + 𝑠𝑜 𝑟1 → 𝒌𝟐 = 𝒗𝒐 − 𝒔𝒐 𝒓𝟏
𝒔(𝒕) = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝒕)𝒆𝒓𝟏 𝒕

4.3

pg. 9
 𝒔𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒎
𝒗𝒐 = 𝟏 𝒎/𝒔
𝑣𝑜
𝝋 = 𝐜𝐨𝐭 −𝟏 (− − 𝛂)
𝑠𝑜

𝑠𝑜 𝑠𝑜 √𝑠𝑜 𝟐 + (−𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜 )𝟐

𝐜𝟑 = =
𝐜𝐨𝐬( 𝝋) −𝑣𝑜 − 𝛂𝑠𝑜
𝐬(𝐭) = 𝐜𝟑 𝐞−𝛂𝐭 [𝐜𝐨𝐬( 𝛚𝐭 + 𝝋)]

pg. 10
Script de solución MATLAB
clear all
clc
close all
%%
%%%%%%SOBRE AMORTIGUADO%%%%%%%

%Datos Iniciales

c=30; %(N*s/m)
m=0.1; %(kg)
k=500; %(N/m)
alfa=c/(2*m);
wo=(k/m)^0.5;
a2wo2=(alfa^2)-(wo^2);
so=0.05; %m
vo=1; %m/s
e=exp(1); %euler
%Ecucaciones

r1=-alfa+sqrt((alfa^2)-(wo^2));
r2=-alfa-sqrt((alfa^2)-(wo^2));
%c1=((so*r2)-vo)/(r2-r1);
%c2=(vo-(r1*so))/(r2-r1);

%generando vectores para graficar

sovo=[ so, 0 ;
-so, 0 ;
0 , vo;
0 ,-vo;
so, vo;
so,-vo];
tt=0:0.0001:0.1;
for j=1:6

for i=1:length(tt)

c1=((sovo(j,1)*r2)-sovo(j,2))/(r2-r1);
c2=(sovo(j,2)-(r1*sovo(j,1)))/(r2-r1);
s=(c1*(e^(r1*tt(i))))+(c2*(e^(r2*tt(i))));
ss(i)=s;

end
figure(1)
g(j)=plot(tt,ss);
hold on
end
title('SOBRE AMORTIGUADO')
legend([g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)],{strcat('A: so = ',num2str(sovo(1,1)),'; vo =
',num2str(sovo(1,2))),...
strcat('B: so = ',num2str(sovo(2,1)),'; vo =
',num2str(sovo(2,2))),...
strcat('C: so = ',num2str(sovo(3,1)),'; vo =
',num2str(sovo(3,2))),...
strcat('D: so = ',num2str(sovo(4,1)),'; vo =
',num2str(sovo(4,2))),...
strcat('E: so = ',num2str(sovo(5,1)),'; vo =
',num2str(sovo(5,2))),...

pg. 11
 strcat('F: so = ',num2str(sovo(6,1)),'; vo =
',num2str(sovo(6,2)))})
xlabel("T");
ylabel("S");
hold off
clear all

%%
%%%%%%AMORTIGUACION CRITICA%%%%%%%

%Datos Iniciales

m=0.1; %(kg)
k=500; %(N/m)
wo=(k/m)^0.5;
c=2*m*wo; %(N*s/m)
alfa=c/(2*m);
a2wo2=(alfa^2)-(wo^2);
so=0.05; %m
vo=1; %m/s
e=exp(1); %euler

%Ecucaciones

r1=-alfa+sqrt((alfa^2)-(wo^2));

%generando vectores para graficar

sovo=[ so, 0 ;
-so, 0 ;
0 , vo;
0 ,-vo;
so, vo;
so,-vo];
tt=0:0.0001:0.1;
for j=1:6

for i=1:length(tt)

k1=sovo(j,1); %k1
k2=sovo(j,2)-(sovo(j,1)*r1); %C2
s=(k1+(k2*tt(i)))*e^(r1*tt(i));
ss(i)=s;

end
figure(2)
g(j)=plot(tt,ss);
hold on
end
title('AMORTIGUAMIENTO CRITICO')
legend([g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)],{strcat('A: so = ',num2str(sovo(1,1)),'; vo =
',num2str(sovo(1,2))),...
strcat('B: so = ',num2str(sovo(2,1)),'; vo =
',num2str(sovo(2,2))),...
strcat('C: so = ',num2str(sovo(3,1)),'; vo =
',num2str(sovo(3,2))),...
strcat('D: so = ',num2str(sovo(4,1)),'; vo =
',num2str(sovo(4,2))),...
strcat('E: so = ',num2str(sovo(5,1)),'; vo =
',num2str(sovo(5,2))),...

pg. 12
 strcat('F: so = ',num2str(sovo(6,1)),'; vo =
',num2str(sovo(6,2)))})
xlabel("T");
ylabel("S");
hold off
clear all

%%
%%%%%%SUB AMORTIGUADO%%%%%%%

%Datos Iniciales

c=1; %(N*s/m)
m=0.1; %(kg)
k=500; %(N/m)
alfa=c/(2*m);
wo=(k/m)^0.5;
a2wo2=(alfa^2)-(wo^2);
so=0.05; %m
vo=1; %m/s
e=exp(1); %euler

%Ecucaciones

w=sqrt((wo^2)-(alfa^2));
%generando vectores para graficar
sovo=[ so, 0 ;
-so, 0 ;
0 , vo;
0 ,-vo;
so, vo;
so,-vo];
tt=0:0.0001:0.8;
%ss=(1:length(tt));
for j=1:6

for i=1:length(tt)

fi=acot(-(sovo(j,2)/sovo(j,1))-alfa);
c3=sovo(j,1)/cos(fi);
s=(c3*e^(-alfa*tt(i)))*(cos((w*tt(i))+fi));
ss(i)=s;
end
figure(3)
g(j)=plot(tt,ss,'--');
hold on
end

title('SUB AMORTIGUADO')
legend([g(1) g(2) g(3) g(4) g(5) g(6)],{strcat('A: so = ',num2str(sovo(1,1)),'; vo =
',num2str(sovo(1,2))),...
strcat('B: so = ',num2str(sovo(2,1)),'; vo =
',num2str(sovo(2,2))),...
strcat('C: so = ',num2str(sovo(3,1)),'; vo =
',num2str(sovo(3,2))),...
strcat('D: so = ',num2str(sovo(4,1)),'; vo =
',num2str(sovo(4,2))),...
strcat('E: so = ',num2str(sovo(5,1)),'; vo =
',num2str(sovo(5,2))),...

pg. 13
 strcat('F: so = ',num2str(sovo(6,1)),'; vo =
',num2str(sovo(6,2)))})
xlabel("T");
ylabel("S");
hold off
clear all

pg. 14