TRIGONOMETRÍA

PROGRAMA ACADÉMICO VIRTUAL

Ciclo Anual Virtual UNI

Docente: Rodolfo Condori
 RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS I
CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

OBJETIVOS

❑Reconocer y comprobar los teoremas de senos y cosenos

❑Calcular los elementos asociados a un triángulo ,utilizando principalmente
el teorema de senos y cosenos.
❑Aplicar los teoremas de senos y cosenos en la resolución de problemas,
tipo admisión UNI.
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

INTRODUCCIÓN

¿Cuánto medirá
la distancia entre
Cuando se requiere calcular
los punto A y B ?
longitudes cuya medición
resulta ser
Inaccesible, (como se
muestra en la figura ) es
necesario utilizar figuras
geométricas como el
A
triángulo, y en dicha figura,
usar las diferentes
relaciones que se dan entre
sus elementos (lados y
¿Qué elementos
serán necesarios
B
ángulos ) para calcular
dicha distancia ?
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Aplicación 1
TEOREMA DE SENOS
Del gráfico halle AB
Resolver un B
triángulo En todo triángulo, los lados son
significa proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos. 2
calcular las
longitudes de sus Del gráfico B 37° 45°
C A
lados
R
y
B Resolución
las medidas de
B
sus ángulos c a Nos piden
AB=x 2 x

A C
A 37° 45°
b C A
Aplicamos Teorema de senos 3
Se cumple lo siguiente ∶ 𝑥 2
= 𝑥 =2× 5
sen37° sen45° 1
a b c
= = 6 2 2
senA senB senC 𝑥=
5
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Comprobación
El teorema de senos se
En un triángulo ABC, de lados a, b y c En el triángulo TCB
a aplica también en el
Hallamos el senA = triángulo obtusángulo
Trazamos el diámetro BT 2R
Despejando a
B 2R = Aplicación 2
senA
R Analogamente Del gráfico halle el lado BC
B b c A
2A 2𝑅 = 2R =
senB senC 150°
R B C
c Se concluye lo siguiente ∶
a 12
a b c
= = = 2R
senA senB senC
Resolución
A R C Donde : Piden BC
b 1
𝑅: circunradio Por teorema de senos
A C 2
a=2RsenA a = 2RsenA
A
b=2RsenB BC = 2(12)sen150°
T c=2RsenC
‫؞‬ BC = 12
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Aplicación 3 Aplicación 4
Se tiene un triángulo ABC de circunradio 6. senα
Calcule , si AM = 3 y MC = 2
Calcule M ,si: senθ
B
senA + senB − senC 2 3 3
M= θ α 𝐴) 3 𝐵) 𝐶) 3
a+b−c 3 4
1 1 1 1 1
𝐴) 𝐵) 𝐶) 𝐷) 𝐸) 5 3 4
6 3 4 12 2 30° M 45° 𝐷) 𝐸)
A 4 5
Resolución C

Nos piden Resolución

senA + senB − senC
M=
a+b−c
Reemplazamos los lados del triangulo
ƴ
por teorema de senos ∶
senA + senB − senC
M=
2RsenA + 2RsenB − 2RsenC
(senA + senB − senC)
M=
2R(senA + senB − senC)
1 1
‫؞‬ 𝑀=
1
2R
=
2(6)
=
12
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Comprobación
En un triángulo ABC, de lados a, b y c a2 = b2 + c 2 − 2cm …. (I)
TEOREMA DE COSENOS
Trazamos la altura CT = h Del triángulo rectángulo ATC
En todo triángulo ABC C m = bcosA
B a2 = b2 + c 2 − 2cbcosA
a Podemos calcular el coseno
B a b
c de cualquier ángulo interno
h en términos de sus lados
a2 = b2 + c 2 − 2bccosA
A C
A B 2bccosA = b2 + c 2 − a2
A b C
A 𝑚 T c −𝒎 B
Se cumple lo siguiente ∶ c b2 + c 2 − a2
cosA =
2bc
a2 =b2 + c 2 − 2bccosA Aplicamos Pitágoras en el triángulo CTB
a2 = h2 + (c − m)2
b2 =a2 + c 2 − 2accosB
a2 = h2 + c 2 − 2cm + m2
c 2 =a2 + b2 − 2abcosC
b2
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Importante Aplicación 5 Desafio

Para aplicar el teorema de Del gráfico, calcule cos θ
De la figura halle el valor de θ
cosenos, se requiere conocer
los siguientes datos :

▪ Los tres lados 2 𝟕 α α

θ θ
4
c a
𝟑
𝐴)30° B)40° C)50° D)60° E)75° 1
b Resolución
▪ Dos lados y un ángulo Aplicando teorema de cosenos 2
comprendido entre 2
7 =22 + 32 − 2(2)(3)cosθ
dichos lados
7=13 − 12cosθ 1 −1 −1
𝐴) 𝐵) 𝐶)
−6=−12cosθ 4 4 3
θ a 1
c cosθ =
2 1 −1
𝐷)
‫؞‬ θ = 60° 3 𝐸)
2
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐀
Demostración para cos Aplicamos diferencia de cuadrados
𝟐
En un triángulo ABC Por teorema de cosenos A (b + c − a)(b + c + a)
de semiperímetro 2cos 2 ( ) =
a2 = b2 + c 2 − 2bccosA 2 2bc
a+b+c
P= Despejamos cos A 2P 2P
2
Se cumple b2 + c 2 − a2 A (b + c + a − a − a)(b + c + a)
cosA = cos 2 ( ) =
A (P−b)(P−c) 2bc 2 4bc
sen( )=
2 bc
Sumando 1 a cada lado de A (2P − 2a)(2P)
la igualdad cos 2 () =
2 4bc
A P(P−a)
cos( )= b2 + c 2 − a2 A 4(P − a)(P)
2 bc 1 + cosA = +1 2
2bc cos ( ) =
2 4bc
A (P−b)(P−c) A b2 + c 2 − a2 + 2bc
tan( )= 2cos2 ( ) =
2 P(P−a) 2 2bc A (P − a)(P)
cos( ) = l.q.q.d.
2 bc
A (b + c)2 −a2
2cos 2 ( ) =
2 2bc
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

PROBLEMA DE EXAMEN UNI 2000- I PROBLEMA DE EXAMEN UNI 2019- II

En un triángulo ABC, se cumple que bcosB = acosA. En un triángulo ABC, bc = 8 4 + 2 2 u2 y
En general, ¿ qué clase de triángulo es? 6 6
5 π
sen A + cos A = , donde A<
𝐴)Acutángulo B)Equilátero C)Escaleno 8 4
Calcule el área de la región triangular (en u2 )
D) Obtusángulo E)Rectángulo e isósceles
Resolución A) 2 B)4 C) 6 D) 8 E)10
Del dato Resolución
bcosB = acosA Por condición aplicamos degradación
(2RsenB)cosB = (2RsenA)cosA 45°
bc = 8 4 + 2 2 ….(I) 2sen2 ( )= 1 − cos45°
2
45° 2
sen2B = sen2A Además 2sen2 ( 2 )= 1 − 2
5
sen2B − sen2A = 0 sen6 A + cos 6 A =
8 → sen 45° = 2 − 2
2cos(A + B)sen(A − B) = 0 5 3 5 2 2
+ cos4A =
▪ sen A − B = 0 → A − B = 0 → A=B 8 8 8 𝕊: Área de la región triangular ABC
bc senA
Por lo tanto, el triangulo
ƴ es isósceles 𝕊=
→ cos4A =0 2
▪ cos A + B = 0 → A + B = 90° (8 4+2 2) 2− 2
→ A = 45° 𝕊= . 2
Por lo tanto, el triángulo es rectángulo 2
2
‫؞‬ 𝕊= 4
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Desafio Resolución
Del gráfico, calcule cos θ Nos piden: 𝐜𝐨𝐬𝛉
Propiedad de a m
B =
La Bisectriz b n
a β β b
α m α
α α
4 4 m n
θ A θ
1 1 ▪ Por Teorema de cosenos (∆ABC)
42 = 22 + 32 − 2 2 3 cosθ
2 2 16 = 13 − 12cosθ
▪ Por propiedad
C 3 = −12cosθ
de la bisectriz
1 −1 −1
𝐴)
4 𝐵)
4
𝐶)
3
m 4
=
1 2
‫؞‬ cosθ =
−1
4
1 −1 m=2
𝐷) 𝐸)
3 2
 CURSO DE TRIGONOMETRÍA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

Bibliografía
❑ Lumbreras Editores. (2017). Temas Selectos “Identidades trigonométricas” , Lima , Perú

❑ Lumbreras Editores. (2018). Trigonometría, Una visión analítica de las funciones , Lima , Perú

❑ Lumbreras Editores. (2016). Trigonometría Esencial , Lima , Perú

❑ PIXABAY. (2020). pixabay.com, Imágenes libres de derecho de autor , Lima , Perú

❑ Juan Carlos Sandoval Peña . (1981). Trigonometría Moderna , 631 pag , Lima , Perú