Tarea 2 – Métodos de Integración

Dayana Dueñas Morales

Miguel Armando Guerrero Guio

Tutor

Escuela Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería – ECBTI

Ingeniería Industrial

Cálculo Integral

100411_713

Marzo 2022

1
 Introducción

Tomando como base el teorema fundamental del cálculo, se desarrollan diferentes

métodos de integración que nos permitirán reducir la integral buscada por una ya conocida.

La integración por sustitución nos permite cambiar variables complejas por

términos mas sencillos, donde se obtiene una integral mas sencilla de resolver, igualmente

mediante el método de integración por partes, es posible expresar un producto de una

función por la derivada de otra.

2
Tabla de elección de ejercicios:
Rol A
Nombre Del Estudiante Grupo De Ejercicios A Desarrollar
Desarrollar
El estudiante desarrolla el ejercicio a en
Dayana Dueñas Morales
ompilar todos los 4 Tipo de ejercicios.
El estudiante desarrolla el ejercicio b en
todos los 4 Tipo de ejercicios
El estudiante desarrolla el ejercicio c en
todos los 4 Tipo de ejercicios
El estudiante desarrolla el ejercicio d en
todos los 4 Tipo de ejercicios
El estudiante desarrolla el ejercicio e en
todos los 4 Tipo de ejercicios

3
 Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por

sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio

desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra).

Ejercicio a.

∫ 9 x 5 √ 4−3 x6
1. Pasaremos primero la formula a la expresión √n am =am/ n

∫ 9 x 5 .(4−3 x 6 )1 /2 . dx
2. Hallaremos los valores para u y du.
6
u=4−3 x

du=−18 x 5 . dx
du
5
=dx
−18 x
dx=¿
3. Posteriormente pasamos a reemplazar para la formula
du
∫ 9 x 5 .(u)1/ 2 . −18 x 5

4. Simplificamos la expresión.
du
∫ 9 x 5 .(u)1/ 2 . −18 x 5
du
∫ 1.(u)1 /2 . −2

5. Sacamos la constante de la integral

4
−1
2
∫ 1 /2
(u) . du

6. Procedemos a integrar.

()
1
+1
u2
−1 1
+c
2 1
+1
2

( )
3
−1 2 u 2
+c
2 3

7. Realizamos la operación
−1 3/ 2
. u +c
6
8. Simplificamos
−1 3/ 2
. u +c
3
9. Reemplazamos el valor de u
−1 6 3/ 2
.(4−3 x ) + c
3
10. Utilizamos la regla del exponente para convertirla en raíz.
−1 2
. √ (4−3 x ) + c
6 3
3
11. Tendremos como resultado
−1 2
∫ 9 x 5 √ 4−3 x6 . dx= 3
. √ ( 4−3 x ) + c
6 3

Comprobación Geogebra Ejercicio a.

5
6
 Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes

y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado

anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio a.

∫ x e 3 x dx
1. Debemos seleccionar los valores para u, du, dv y v utilizando el acróstico
ILATE.

∫ x e 3 x dx
u=x
3x
dv =e
2. Procedemos a derivar e integrar
Derivamos
u=x
du=dx
Integramos

dv =e3 x
1
v= e 3 x
3

3. Pasamos a sustituir la formula ∫ u . dv=u . v−∫ v . du

1 1
∫ x e 3 x dx=x . 3 e 3 x−∫ 3 e 3 x . dx

7
 4. Procedemos a integrar
1 3x 1 3x
¿ x . e −∫ e . dx
3 3
1 1 1
( )
¿ x . e3 x− . e3 x + c
3 3 3

5. Realizamos las respectivas operaciones.

3 ( )
e3 x e 3 x
¿ −
9
+c

¿ −( ) +c
3x 3x
e e
3 9

6. Realizamos la respectiva operación

3x 3x
9 x e −3 e
¿ +c
27
7. Factorizamos y tendriamos como resultado.
3x
e (9 x−3)
¿ +c
27

8
Comprobación Geogebra Ejercicio a.

9
 Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones
parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y

comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado

anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio a.
3
x
∫ dx
√ 9−x 2

1. Identificamos la expresion y su respectiva sustitución.

Expresión Sustitución Identidad
√ a2−x 2 x=a sen(θ) 1−sen2 ( θ )=cos2 (θ)

2. Identificamos mediante el teorema de pitagoras la variable x.

3
x
x

√ 9−x2
x
sen θ= =x=3. sen θ
3

cos θ= √
3 −x √ 9−x
2 2 2
= =√ 9−x2 =3.cos θ
3 3
Determinando que:
x=3. sen θ
dx=3. cos θ

10
 3. Reemplazamos los valores por la integral dada

x3
∫ dx=∫ ¿ ¿ ¿¿
√ 9−x 2

4. Simplificamos

x3
∫ dx=∫ ¿ ¿ ¿¿
√ 9−x 2

Entonces quedaría así:

x3
∫ dx=∫ 3 sen (θ)
3 3

√ 9−x 2

5. Sacamos la constante de la integral.

3
x
∫ dx=3 ∫ sen (θ)
3 3

√ 9−x 2

6. Al trabajar una sustitución trigonométrica buscamos una integral más fácil de

solucionar.

11
¿ 33∫ sen 3 (θ)=33∫ sen 2 ( θ ) . sen ( θ ) . d ( θ )

7. Tomamos la identidad trigonométrica sen2 (θ )=1−cos2 ( θ )

¿3
3
∫ ( 1−cos 2 ( θ ) ) . sen ( θ ) . d ( θ )
8. Procedemos a resolver por sustitución
u=cos(θ)

du=−sen ( θ ) . d ( θ )

sen ( θ ) d ( θ )=−du

9. Reemplazamos la ecuación por los términos u y du

¿ 33∫ ( 1−u2 ) . (−du )

¿−3
3
∫ ( 1−u 2) . du
Organizamos la integral y las separamos la integral

¿−3
3
∫ du∫ u2 du
u3
¿−33∫ du 33∫ u2 du=−33 u+33 +c
3

¿−33 . u+32 .u3 + c

10. Procedemos a recuperar la variable θ

3 2 3
¿−3 . cos θ+3 . cos θ+c
11. Procedemos a recuperar la variable x : tomando valores del triangulo rectángulo
descrito al inicio del ejercicio.

cos θ= ( √ 9−x 2
3 )
12
 ( √ 9−x 2
) ( √ 9−x 2
)
3
3 2
¿−3 . +3 . +C
3 3

12. Continuamos desarrollando las operaciones y simplificaciones a las que halla lugar.

3 3
−3 2 −3 2 3
¿ . √ 9−x + 3 . ( √ 9−x ) +C
3 3

2 1 2 3
¿−3 . √ 9−x + . ( √ 9−x ) +C
2
3

1
¿−9.(9−x 2)1 /2 + .(9−x 2)2 /3 +C
3

Tendríamos como resultado final:

3
x 2 1 /2 1
∫ 2 2 /3
dx=−9.(9−x ) + .(9−x ) +C
√ 9−x 2
3

Comprobación Geogebra Ejercicio a

13
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.

14
 Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si

convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del

ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio a.
∞

∫ 3 4√ x dx
1

1. Tomamos la integral cuando el limite tiende a infinito

∞ ∞
4 4
∫ 3 √ x dx lim ∫
b−∞ 1 3√x
dx
1

2. Procedemos a desarrollar la integral y sacamos la constante

4 1
¿ ∫
3 √x

3. Aplicamos la regla de la potencia.

4
¿
3
∫ 1. x−1 /2

4. Procedemos a integrar por la formula del exponente.

−1
+1
4 ∫ 1. x
2

¿
3 −1
+1
2

15
 4 x 1 /2
¿
3
∫ 2

5. Ordenamos la integral.

4 1/ 2 8 1/ 2
¿ .2x = x
3 3

Simplificamos con la regla del exponente

8
¿ √x
3

6. Aplicamos las leyes de los limites

lim
b−∞ ( 83 √ ∞|b1)
8
lim ¿ ∞
b−∞ 3

lim ¿ ∞ Divergente
b−∞

16
Comprobación Geogebra Ejercicio a

17
Tabla links videos explicativos:

Ejercicios
Nombre Estudiante Link Video Explicativo
Sustentados
Dayana Dueñas 1B https://youtu.be/N_QHi0FJlhU
Morales
Alexi Johana
Cometa Hernández
Edwar Melo
Andrés Rodríguez
Juan David Rey

18
 Referencias Bibliográficas

11. Integral indefinida por el método de Sustitución (Cambio Variable). Expresión con raíz

Cuadrada. (2018, 21 enero). [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?

v=aqt6wi3oroU

Integración por partes | Ejemplo 5 | Exponencial. (2018, 20 septiembre). [Vídeo]. YouTube.

https://www.youtube.com/watch?v=dsFHZQPoxWc

Integración por partes | Introducción. (2018, 14 septiembre). [Vídeo]. YouTube.

https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU&t=8s

Rivera, A. (2014). Cálculo y sus Fundamentos para Ingeniería y Ciencias. México: Grupo

Editorial Patria. (pp. 541 - 546).

Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral: La Integral Indefinida y Métodos de Integración.

Editorial Unimagdalena. (pp. 80 – 83).

19