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Taller Parcial Ecuacion Diferencial
Taller Parcial Ecuacion Diferencial
Taller Parcial Ecuacion Diferencial
INTEGRANTES
FABIAN BALCEIRO
LUIS BARCENAS
DAIRO CABALLERO
CARLOS TEHERAN
KARINA HERNANDEZ
KABIR RAMIREZ
WALTER MENDOZA
CARLOS SAN MIGUEL
DORIS ROCHA
CRISTIAN ALVAREZ
ASIGNATURA
ECUACIONES DIFERENCIALES
DOCENTE
CLAUDIO ALDANA
CARTAGENA DE INDIAS D. T. Y C.
2021
PROBLEMAS DE APLICACIONES ECUACION DIFERENCIAL
MODELO “CRECIMIENTO POBLACIONAL”
DESARROLLO:
1paso. Identificar las variables del problema
p= poblacion=numero de habitantes
k =constante de crecimeinto poblacional
t=tiempo=( años )
2paso: la línea del tiempo
2000 t= 16 P=6,24
t=
dp
=kp
dt
dp
=kdt
p
dp
∫ p
=∫ kdt
lnp=kt +C
Convertir la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial
kt +c
e =p
p=ec e kt
Usamos el valor de frontera o valores iniciales de la tabla de valores
t=0 p=4,76
Reemplazar
c kt
p=e e
4,76=e c e0
c
e =4,76
Reemplazar en la
c kt
p=e e
kt
p(t )=4,76 e
t=4 p=5,09290
Reemplazamos
4k
p=4,76 e
4k
5,09290=4,76 e
5,09290 4 k
=e
4,76
ln ( 5,09290
4,76 )
=ln e
4k
ln ( 5,09290
4,76 )
=4 klne
1 5,09290
k = ln
4 4,76
k =0,0169
Reemplazar en el modelo matemático
0,0169t
p(t)=4,76 e solucion del modelo
6paso: en el año 2000
si t=16 entonces reemplazar en p=4,76 e 0,0169t
0,0169 ( 16 )
p=4,76 e
50=4,76 e 0,0169t
50 0,0169 t
=e
4,76
50
ln =0,0169t
4,76
50
ln
4,76
t=
0,0169
0 4,76
2 4,92
16 6,24
CRESIMIENTO POBLACIONAL
7
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
PROBLEMA#2
En 1990 un cultivo tiene una cantidad inicial de 5000 mil bacterias cuando t=
1hora. La cantidad medida de bacterias es de 7500, si la razón de producción
es proporcional a la cantidad de bacterias presente, cual es el tiempo
necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismo.
DESARROLLO:
1paso. Identificar las variables del problema
N= poblacion=numero de bacteria
k =constante de crecimeinto poblacional
t=tiempo=( años )
2paso: la línea del tiempo
dN
=kN
dN
dN
=kdt
N
dN
∫ N
=∫ kdt
lnN =kt +C
Convertir la ecuación logarítmica a una ecuación exponencial
kt +c
e =N
c kt
N=e e
Usamos el valor de frontera o valores iniciales de la tabla de valores
t=0 N=5000
Reemplazar
c kt
N=e e
5000=e c e 0
c
e =5000
Reemplazar en la
c kt
N=e e
kt
N=5000 e
t=1 N=7500
Reemplazamos
kt
N=5000 e
k
7500=5000 e
75 k
=e
50
Simplificar
15 k
=e
10
k
1.5=e
k
ln ( 1.5 ) =ln e
ln ( 1.5 ) =klne
3
k =ln
2
Reemplazar en el modelo matemático
3
ln t
2
N=5000 e solucion delmodelo
3
(ln ) ( 10 )
2
N=5000 e
3
(ln )( t )
2
15000=5000 e
3
15000 (ln 2 ) (t )
=e
5000
3
(ln )(t )
3=e 2
ln ( 3)
t= =2.7 horas
3
ln
2
0 5000
1 7500
2 11250
3 16875
4 25312,5
Chart Title
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
PROBLEMA#3
T =temperatura ( ° F )
T a=temperatura ambiente ( ° F )=375 º F
t=tiempo ( minutos )
k =constante de enfriamiento
2paso: la línea del tiempo
dT
=k (T −T a )
dt
dT
=k (T −375)
dt
dT
=kdt
(T −375)
Integramos a ambos lados
dT
∫ (T −375) =∫ kdt
ln ( T −375 ) =kt+ C
Despejamos a T
e (kt +C ) +375=T
c −kt
T =375+e e
5paso: reemplazar el primer renglón de los valores de frontera para hallar
las constantes
t=0 T =50
c kt
T =375+e e
c 0
50=375+e e
c 0
50−375=e e
c
−325=e
Reemplazar en el modelo matemático de newton
c −kt
T =375+e e
kt
T =375−325 e
6paso: con el segundo renglón de los valores iniciales o de frontera lo
usamos para encontrar la constante k
t=75 T =125
kt
T =375−325 e
75 k
375−325 e =125
75 k
375−125=325 e
375−125 75 k
=e
325
Simplificar
10 75k
=e
13
Aplicamos logaritmos ambos lados de la ecuación
ln ( 1013 )=75 k
1 10
k=
75 13
Reemplazar en el modelo matemático
10
ln t
13
T =375−325 e
T =150 ºF
1 10
ln t
75 13
375−325 e =150
1 10
ln t
375−150=325 e 75 13
1 10
375−150 ln t
=e 75 13
325
1 10
225 ln t
=e 75 13
325
1 10
9 ln t
=e 75 13
13
9 1 10
ln = ln
13 75 13
9
75 ln
13
=t
10
ln
13
t=105,06 minutos
8 pasos: graficar
0 50
2 52,26
4 54,51
54
53
52
51
50
49
48
47
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
PROBLEMA#4
DESARROLLO:
1paso: identificar las variables del problema
T =temperatura ( ° c )
T a=temperatura ambiente
t=tiempo ( minutos )
k =constante de enfriamiento
dT
=k (T −T a )
dt
dT
=k (T −22)
dt
dT
=kdt
(T −22)
Integramos a ambos lados
dT
∫ (T −22) =∫ kdt
ln ( T −22 )=kt+C
Convertir la Ecuación logarítmica en una ecuación exponencial
Despejamos a T
( kt +C )
e +22=T
c kt
T =22+e e
c kt
T =22+e e
c 0
100=22+ e e
c 0
100−22=e e
c
78=e
Reemplazar en el modelo matemático de newton
c kt
T =22+e e
kt
T =22+78 e
6paso: con el segundo renglón de los valores iniciales o de frontera lo
usamos para encontrar la constante k
t=5 T =93
T =22+78 e kt
5k
22+78 e =93
5k
78 e =93−22=71
Simplificar
5k 71
e =
78
1 71
k = ln
5 78
k =−0,018
T =40ºC
−0,018 t
22+78 e =40
−0,018 t
40−22=78 e
18 −0,018 t
=e
78
18
−0,018 t =ln
78
18
ln
78
t=
−0,018
t=78 minutos
8 pasos: graficar
0 100
2 93
4 87,15
100
95
90
85
80
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
PROBLEMA#5
La rapidez con que cambia una deuda es proporcional a la cantidad del
capital, al tiempo y al interés que tenga el banco.
dk
=ki
dt
Un agente de tránsito compra un electrodoméstico al contado pagando una
suma de 3.000.000, euros y le ofrecen una opción de realizar la compra a
crédito a 18 meses donde terminaría pagando 10.000.000.euros
a) calcular el interés mensual
b) c) cual sería la deuda si lo tomo a 7 años (84meses).
DESARROLLO:
1paso: identificar las variables del problema
k =capital=dinero ( eu r os )
i=interes( % porcentajes)
t=tiempo(meses)
2paso: la línea del tiempo
dk
=ki
dt
dk
=idt
k
dk
∫ k =∫ idt
lnk=¿+C
c ¿
k =e e
5paso: usamos el primer renglón de la tabla de valores
Como valores iniciales para reemplazar
c ¿
k =e e
c 0
3.000 .000=e e
c
e =3. 000.000
Reemplazamos en la ecuación diferencial
c ¿
k =e e
¿
k =3.000 .000 e
10.000.000 18 i
=e
3.000.000
Simplificar
10 18i
=e
3
10
ln =18 ilne
3
1 10
i= ln
18 3
i=0,066 convertir a porcentaje 0,066 x 100 %
i=6,66 % mensual
i=6,66 %x12=80.26 % anual
k =3.000 .000 e¿
0,066 t
k =3.000 .000 e solucion
0,066 ( 84 )
k =3.000 .000 e
k =767.096 .254 euros
9paso: grafica
0 3000000
18 10000000
84 767096254
ENDEUDAMINETO BANCARIO
900000000
800000000
700000000
600000000
500000000
400000000
300000000
200000000
100000000
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90