Prueba de Hipótesis Acerca de Una Proporción: N X N X ... X X P
Prueba de Hipótesis Acerca de Una Proporción: N X N X ... X X P
Prueba de Hipótesis Acerca de Una Proporción: N X N X ... X X P
Sean X1, X2, ..., Xn una muestra escogida de una población Bernoulli B(1, p), donde p es
la proporción de éxitos en la población.
Sea
X1 X 2 ... X n X
p̂
n n
X np pˆ p
Z N (0, 1)
np(1 p) p(1 p) / n
X np0 pˆ p0
Z N (0, 1)
np0 (1 p0 ) p0 (1 p0 ) / n
X np0 pˆ p0
Se rechaza H0 si el valor de Z R.C. No se rechazará
np0 (1 p0 ) p0 (1 p0 ) / n
en caso contrario.
R.C = {Z >Zα }
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Se rechaza H0 si el valor de Z R.C.
Ejemplo 3.18. Un fabricante afirma que el 30% de todos los consumidores prefieren su
producto. Con el fin de evaluar está afirmación se tomo una m.a de 400 consumidores y
se encontró que 100 de ellos prefieren dicho producto.
¿es ésta, suficiente evidencia para inferir que el porcentaje de preferencia del producto no
es 30% ?.- Utilice el nivel de significancia del 1%.
pˆ p0 pˆ 0.3
Z N (0, 1)
p0 (1 p0 ) (0.3)(0.7)
n n
5) Cálculos:
x 100
n = 400 , x = 100 , pˆ 0.25
n 400
pˆ p0 0.25 0.3
Luego se tiene: Z 2.18
p0 (1 p0 ) (0.3)(0.7)
n 400
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Ejercicio. Una empresa al seleccionar su personal lo somete a un curso de entrenamiento.
Por experiencia el 76% de los aspirantes aprueban el curso. Se efectúan ciertos cambios
en el programa para el cual se inscriben 40 y 24 lo aprueban. ¿Podría afirmarse que los
cambios introducidos reducen la selección?.- Use α = 0.01.
X1 X2
p̂1 y p̂ 2
n1 n2
pˆ 1 pˆ 2 ( p1 p 2 )
Z N (0,1).
p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 )
n1 n2
pˆ 1 pˆ 2
Z N (0,1).
pc (1 pc ) pc (1 pc )
n1 n2
donde pc es el valor común de los parámetros p1 y p2 cuya estimación insesgada es:
x 1 x 2 n 1 p̂1 n 2 p̂ 2
p̂
n1 n 2 n1 n 2
2) Nivel de significancia: α
3) Estadística de prueba:
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pˆ 1 pˆ 2
Z .
pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ )
n1 n2
Hipótesis:
H0: p1 = p2 contra H 1: p1 < p2.
Hipótesis:
H0: p1 = p2 contra H 1: p1 ≠ p2.
La Región crítica es :
Ejemplo 3.19. En una encuesta se preguntó sobre los hábitos de lectura, utilizando una
muestra aleatoria de 350 señoras que trabajan y otra muestra independiente de 325 que
no lo hacen. En el primer caso, 105 manifestaron que estaban suscritas a cierto tipo de
revista. En el segundo, la respuesta fue de 130 que no estaban suscritas ni mostraban
interés por ninguna revista, argumentando la falta de tiempo. ¿Al nivel del 1% se podría
afirmar que las señoras que trabajan leen menos que las señoras que no trabaja?.
Solución.
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pˆ 1 pˆ 2
Z N (0,1)
pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ )
n1 n2
4) Región critica: Para α = 0.01 y una prueba unilateral de cola a la izquierda, la región
critica es:
R.C Z 2.33
105
Señoras que trabajan : n1 = 350, X1 = 105 , pˆ 1 0.3
350
130
Señoras que no trabajan : n2 = 325, X2 = 130, pˆ 2 0.4
325
pˆ 1 pˆ 2 0.3 0.4
Z 2.725
pˆ (1 pˆ ) pˆ (1 pˆ ) (0.348)(0.652) (0.348)(0.652)
n1 n2 350 325
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