Prueba de Hipótesis para la Proporción

Sea una muestra aleatoria X1 , X2 , · · · , Xn de tamaño n escogida de una población de Ber-

noulli, X B(1, p); donde p es el parámetro desconocido o la proporción de éxitos.

Sea:
X1 + X2 + · · · + Xn X
P= =
n n
Llamada la proporción de éxitos en el muestra.
Donde:
X : Número de éxitos en la muestra.
Si n es suficientemente grande, la estadı́stico de prueba será:

X − nP P −P
z= p =q ,→ N (0, 1)
nP (1 − P ) P (1−P )

r
n

ba
1. Formulación de Hipótesis

H0 : P = P0 H0 : P = P0 H0 : P = P0
Yá
H1 : P , P0 H1 : P > P0 H1 : P < P0
za

(Tipo 1) (Tipo 2) (Tipo 3)

ino

2. Nivel de significancia α
p
Es

3. Estadı́stica de Prueba:
X − nP0 P − P0
zc = p =r
za

nP0 (1 − P0 P0 (1 − P0 )
n
rit

4. Región Crı́tica
Ma

• Tipo 1. H0 : P = P0
H1 : P , P0

1
 • Tipo 2. H0 : P = P0
H1 : P > P0

• Tipo 3. H0 : P = P0

r
ba
H1 : P < P0

Yá
za
pino
Es
za
rit
Ma

5. Cálculos.

6. Decisión.

Ejemplo 2. La oficina de relaciones familiares de un juzgado informa que el 50 % de los

matrimonios que viven en una determinada ciudad llegan a la corte de divorcio dentro de su
primer año de casados. ¿ Qué conclusión puede sacarse a cerca de la validez de este informe
si una muestra aleatoria de 400, solo 193 fueron a una corte de divorcio en su primer año de
casados. Usar un nivel de significancia de 0,01

Solución

1. Formulación de la Hipótesis

H0 : P = 0,50
H1 : P < 0,50

2. Nivel de Significancia α = 0,01

2
 3. Estadı́stico de Prueba
X − nP P −P
z= p =q ,→ N (0, 1)
nP (1 − P ) P (1−P )
n

4. Región crı́tica H0 : P = 0,50

H1 : P < P0 Donde:

r
ba
Yá
−z1−α = −z1−0,01 = −z0,99 = −2,33
za

5. Cálculos:
ino

Los datos según el problema son:

X = 193 el número de éxitos en la muestra, personas que fueron a la corte de divorcio
p

en su primer año.
Es

n = 400 Tamaño de muestra.

P0 = 0,50 Proporción de éxitos.
za

X − nP0 193 − 400(0,50) 193 − 200

zc = p =p =p = −0,7
rit

nP0 (1 − P0 400(0,50)(1 − 0,50) 200(0,5)

Ma

6. El valor de zc = −0,7 que we ubica en la región de aceptación, Por tanto, aceptamos la

hipótesis nula, no hay razón para dudar del informe.

Prueba de Hipótesis para dos proporciones

Sean X1 y X2 el número de éxitos en dos muestras aleatorias independientes de tamaños
n1 y n2 seleccionada de dos poblaciones de Bernoulli: B(1, P1 ) y B(1, P2 ), donde los paráme-
tros desconocidos son las proporciones de éxito poblacionales respetivamente.

Sean las proporciones de éxito muestrales:

X1 X
P1 = y P2 = 2
n1 n2
Para n1 y n2 suficientemente grandes n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30 la variable aleatoria z será:
P − P 2 − (P1 − P2 )
z = q1 ,→ N (0, 1)
P1 (1−P1 ) P2 (1−P2 )
n1 + n2

3
 Si H0 : P1 = P2 se supone verdadero la estadı́stica será:

P1−P2
z= q ,→ N (0, 1)
Pc (1−Pc ) Pc (1−Pc )
n1 + n2

Donde Pc es valor común de los parámetros P1 y P2 cuya estimación insesgada será:

X + X2 nP 1 + n2 P 2
Pb = 1 =
n1 + n2 n1 + n2
Entonces:
P1−P2
z= ,→ N (0, 1)
P (1−Pb)
b Pb(1−Pb)
n1 + n2

1. Formulación de Hipótesis

H0 : P1 = P2 H0 : P1 = P2 H0 : P1 = P2

r
ba
H1 : P1 , P2 H1 : P1 > P2 H1 : P1 < P 2

(Tipo 1) (Tipo 2) (Tipo 3)

Yá
za
2. Nivel de significancia α
ino

3. Estadı́stica de Prueba:
P1−P2
z= ,→ N (0, 1)
P (1−Pb) Pb(1−Pb)
p

b
n1 + n2
Es

4. Región Crı́tica
za

• Tipo 1. H0 : P = P0
rit

H1 : P , P0
Ma

4
 • Tipo 2. H0 : P = P0
H1 : P > P0

• Tipo 3. H0 : P = P0

r
ba
H1 : P < P0

Yá
za
p ino
Es
za
rit
Ma

5. Cálculos.

6. Decisión.

Ejemplo 3. Una firma, fabricante de cigarrillos distribuye dos marcas de cigarrillos. En

una encuesta se indica 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores
encuestadores prefieren la marca B se puede concluir al nivel de significancia del 6 % que: ¿
La marca A se vende más rápidamente que la marca B ?.

Solución

1. Formulación de la Hipótesis

H0 : P1 = P2
H1 : P1 > P2

2. Nivel de Significancia α = 0,06

5
3. Estadı́stico de Prueba
P1−P2
z= ,→ N (0, 1)
P (1−Pb)
b Pb(1−Pb)
n1 + n2

X + X2 nP 1 + n2 P 2
Pb = 1 =
n1 + n2 n1 + n2
4. Región Crı́tica
α = 0,06
Es la región del segundo tipo:

H0 : P1 = P2
H1 : P1 > P2

r
ba
Yá
za
p ino

z1−α = z1−0,06 = z0,94 = 1,55

Es

5. Cálculos:
Calculamos los proporciones para las dos marcas de cigarrillos:
za

X1 56
rit

P1 = = = 0,28
n1 200
Ma

X 29
P2 = 2 = = 0,19
n2 150
n1 = 200
n2 = 150
Calculando la proporción estimado:
n P + n2 P 2 200(0,28) + 150(0,19) 56 + 28,95
Pb = 1 1 = = = 0,243
n1 + n2 200 + 150 350
Luego zc es:

P1−P2
zc =
Pb(1−Pb) Pb(1−Pb)
n1 + n2
0,28 − 0,193
zc = 0,243(1−0,243) 0,243(1−0,243)
= 1,9565 ≈ 1,96
200 + 150
6. De acuerdo a los cálculos zc = 1,96 ∈ R.C está en la región crı́tica, por tanto rechazamos
H0 , por lo que concluimos que la marca A se vende más rápidamente que la marca B.