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    Ecvv U2 A2 Jehr

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    Este documento presenta los resultados de un ejercicio de cálculo vectorial. Se grafican cinco curvas con ecuaciones vectoriales parametrizadas utilizando GeoGebra. Adicionalmente, se determinan las ecuaciones paramétricas de las rectas tangentes a dos curvas en puntos específicos, resolviendo primero las derivadas de las funciones vectoriales en dichos puntos. Finalmente, se citan dos referencias bibliográficas.

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    Este documento presenta los resultados de un ejercicio de cálculo vectorial. Se grafican cinco curvas con ecuaciones vectoriales parametrizadas utilizando GeoGebra. Adicionalmente, se determinan las ecuaciones paramétricas de las rectas tangentes a dos curvas en puntos específicos, resolviendo primero las derivadas de las funciones vectoriales en dichos puntos. Finalmente, se citan dos referencias bibliográficas.

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    Este documento presenta los resultados de un ejercicio de cálculo vectorial. Se grafican cinco curvas con ecuaciones vectoriales parametrizadas utilizando GeoGebra. Adicionalmente, se determinan las ecuaciones paramétricas de las rectas tangentes a dos curvas en puntos específicos, resolviendo primero las derivadas de las funciones vectoriales en dichos puntos. Finalmente, se citan dos referencias bibliográficas.

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    de 7

    Hernández Rivera Jessica Yoali

    Ingeniería en energías renovables

    Cálculo de Varias Variables

    Actividad 2: Cálculo vectorial

    1. Resuelve los siguientes ejercicios


    i. Mediante una computadora, grafique la curva con la ecuación vectorial dada,
    asegúrese de elegir un dominio para el parámetro y una perspectiva que revelen
    la verdadera naturaleza de la curva.

    a) 𝑟(𝑡) = (cos 𝑡 sin 2𝑡 , sin 𝑡 sin 2𝑡, cos 2𝑡)

    Ilustración 1. Realizado en GeoGebra


    b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 , ln(𝑡), 𝑡)

    Ilustración 2. Realizado en GeoGebra

    c) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sin 𝑡, 𝑡 cos 𝑡)

    Ilustración 3. Realizado en GeoGebra


    d) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑒 𝑡 , cos 𝑡)

    Ilustración 4. Realizado con GeoGebra

    e) 𝑟(𝑡) = (cos 2𝑡, cos 3𝑡, cos 4𝑡)

    Ilustración 5. Realizado con GeoGebra


    ii. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de
    ecuaciones paramétricas dadas en el punto específico.
    a) 𝑥 = 1 + 2√𝑡 , 𝑦 = 𝑡 3 − 𝑡, 𝑧 = 𝑡 3 + 𝑡; (3,0,2)

    Solución:

    Sea 𝑟⃗(𝑡) = (1 + 2√𝑡, 𝑡 3 − 𝑡, 𝑡 3 + 𝑡)

    Si 1 + 2√𝑡 = 3 → 𝑡 = 1

    Si 𝑡 3 + 𝑡 = 2 → 𝑡 = 1

    Entonces podemos afirmar que t=1, derivamos la función 𝑟⃗(𝑡);

    1
    ⃗⃗⃗(𝑡) = (
    𝑟´ , 3𝑡 2 − 1,3𝑡 2 + 1)
    √𝑡

    Evaluamos la derivada en el valor de t;

    ⃗⃗⃗
    𝑟´(1) = (1,2,4) vector director de la recta tangente buscada.

    Entonces ya contamos con un punto y un vector director, con lo que podemos obtener la recta
    paramétrica buscada con la siguiente expresión:

    ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = 𝑃 + 𝑡𝑣⃗

    ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (3,0,2) + 𝑡(1,2,4) Ecuación parametrica de la recta tangente

    Esto implica que:

    𝑥 =3+𝑡

    𝑦 = 2𝑡

    𝑧 = 2 + 4𝑡
    Gráficamente:

    Ilustración 6. La curva (en negro) y su recta tangente (en azul) se tocan en


    un punto. Realizado en GeoGebra.

    b) 𝑥 = 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑒 −𝑡 ; (1,0,1)

    Solución:

    Sea 𝑟⃗(𝑡) = (𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑒 −𝑡 )

    Si 𝑒 −𝑡 = 1 → 𝑡 = 0

    Si t=0 se cumple que 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1 𝑦 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 0

    Entonces podemos afirmar que t=0, derivamos la función 𝑟⃗(𝑡);

    ⃗⃗⃗
    𝑟´(𝑡) = (−𝑒 −𝑡 cos(𝑡) − 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡), −𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑒 𝑡 cos(𝑡), −𝑒 −𝑡 )
    Evaluamos la derivada en el valor de t;

    ⃗⃗⃗(0) = (−1,1, −1)


    𝑟´ vector director de la recta tangente buscada.
    Entonces ya contamos con un punto y un vector director, con lo que podemos obtener la recta
    paramétrica buscada con la siguiente expresión:

    ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = 𝑃 + 𝑡𝑣⃗

    ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = (1,0,1) + 𝑡(−1,1, −1) Ecuación parametrica de la recta tangente

    Esto implica que:

    𝑥 =1−𝑡
    𝑦=𝑡
    𝑧 =1−𝑡

    Gráficamente:

    Ilustración 7. La curva (en negro) y su recta tangente (en azul) se tocan en un punto.
    Realizado en GeoGebra
    Bibliografía:
    ▪ Stewart, J., 2008. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. México City:
    Cengage Learning Editores, S.A. De C.V.

    ▪ (2022). Geogebra clásico edición 6 (2021) [Free Software Foundation]. Recuperado de:
    https://www.geogebra.org/

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