Guía 8 Permutaciones y Combinaciones

AREA: MATEMÁTICAS GRADO: 10
DOCENTE:
ASIGNATURA: ESTADÍSTICA
JUAN GUILLERMO REALES ALFARO
GUIA #8
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PERMUTACIONES
Una permutación es un arreglo de todos los elementos de un conjunto, o de una

parte de ellos, en el que importa el orden.
➢ Caso 1. Sin repetición: cuando todos los elementos de que disponemos son
distintos:
𝑷𝒏 = 𝒏!
Ejemplo: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los

dígitos: 1,2,3,4,5 ?
Solución: Como sí entran todos los elementos, el orden sí importa y no se

repiten los elementos, entonces se procede así:
𝑃5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Se pueden formar 120 números de 5 cifras diferentes.
➢ Caso 2. Con repetición: si disponemos de elementos repetidos
𝒏!
𝑷𝑹𝒂,𝒃,𝒄
𝒏 =
𝒂! 𝒃! 𝒄!
Ejemplo: Durante un entrenamiento de fútbol americano colegial, el
coordinador defensivo necesita tener a 10 jugadores parados en una fila.
Entre estos 10 jugadores hay 1 de primer año, 2 de segundo año, 4 de tercer
año y 3 de cuarto año, respectivamente. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden arreglar en una fila si lo único que los distingue es el grado en el cual
están?
Solución: En este problema se aplica el caso 2 de la siguiente manera:
1,2,4,3 10!
𝑃𝑅10 = = 12.600
1! 2! 4! 3!
Se pueden arreglar 12.600 formas diferentes en una fila.
➢ Caso 3. El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la

vez, es
𝒏!
𝑷𝒓𝒏 =
(𝒏 − 𝒓)!
Ejemplo: ¿Cuántas palabras de cuatro letras pueden formarse, sin repetición,

con las letras A, B, C, D, E y F?
Solución: Como el orden si influye, todas las letras son distintas y de 6 letras
se escogerán 4, aplica el caso 3. Para este caso r = 4, de modo que
sustituyendo valores en la fórmula de permutaciones se obtiene:
1
DOCENTE:
6! 6∙5∙4∙3∙2∙1
𝑃64 = = = 360
(6 − 4)! 2∙1
esto es, pueden formarse 360 palabras de cuatro letras.
➢ Caso 4. Permutación circular: cuando los elementos se encuentran

ordenados en forma circular, el número de permutaciones es
𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!
Ejemplo: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas

alrededor de una mesa redonda?
Solución:
𝑃𝐶8 = (8 − 1)! = 7! = 5.040
Se pueden sentar de 5.040 formas distintas.
La notación factorial se refiere al uso del símbolo ! para representar el

producto de números enteros positivos de la manera siguiente:
n! = n(n – 1) ⋅ (n – 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Por convención, 0! = 1
COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un

conjunto teniendo en cuenta que no influye el orden en que se colocan y no
entran todos los elementos.
➢ Caso 1. Sin repetición: se definen como las distintas agrupaciones

formadas con r elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de
que disponemos
𝒏 𝒏!
𝑪𝒓𝒏 = ( ) =
𝒓 𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
Ejemplo: En un grupo de 30 alumnos se quiere formar equipos de cuatro

personas. ¿Cuántos equipos pueden formarse?
Solución: Como no importa el orden, entonces calculamos las combinaciones

de n = 30 y r = 4:
4
30 30!
𝐶30 =( )= = 27.405
4 4! (30 − 4)!
Pueden formarse 27.405 equipos.

2
DOCENTE:
➢ Caso 2. Con repetición: se definen como las distintas agrupaciones

formadas con r elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n
elementos de que disponemos.
(𝒏 + 𝒓 − 𝟏)!
𝑪𝑹𝒓𝒏 =
𝒓! (𝒏 − 𝟏)!
Ejemplo: En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas
formas se pueden elegir cuatro botellas?
Solución:
Como se va a elegir cuatro botellas, r =4.
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de

ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
Por lo tanto,
(5 + 4 − 1)! 8!
𝐶𝑅54 = = = 70
4! (5 − 1)! 4! 4!
Las cuatro botellas se pueden elegir de 70 formas.
ACTIVIDAD EN CLASES
1. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos: 1, 3, 5, 7, 8

y 9, si ninguno puede aparecer más de una vez en cada número?
2. ¿De cuántas maneras se puede organizar una familia de 5 hijos, si desea
que dos sean niñas y tres niños?.
3. Se quieren ubicar 10 libros en un estante: 4 son de Física, 3 son de
Matemáticas, 2 de Química y 1 de Filosofía (los de una misma materia son
iguales). ¿De cuántas formas se pueden ubicar en el estante? (Recuerda que
cada libro se tiene que repetir tantas veces como elementos se disponen de
él: 4 de Física (a=4), 3 de Matemáticas (b=3), 2 de Química (c=2) y 1 de
Filosofía (d=1).
4. Se va a formar una comisión de 3 personas de un grupo de 4 hombres y 8
mujeres. ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión?
5. ¿De cuántas maneras se pueden plantar 5 árboles diferentes en un círculo?
3
DOCENTE:
BIBLIOGRAFÍA
Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye, A.

Probabilidad y Estadística para Ingenierías y Ciencias. Novena Edición.
Pearson Education. 2012.
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/comb
inatoria/
Moreno, V., Restrepo, M., Espinel, O., Maluendas, P., Silva, L. Ser
Competente en Matemáticas 10. Editorial Norma. 2020.

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Una permutación es un arreglo de todos los elementos de un conjunto, o de una

Ejemplo: ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los

Solución: Como sí entran todos los elementos, el orden sí importa y no se

Se pueden formar 120 números de 5 cifras diferentes.

➢ Caso 2. Con repetición: si disponemos de elementos repetidos

Solución: En este problema se aplica el caso 2 de la siguiente manera:

Se pueden arreglar 12.600 formas diferentes en una fila.

➢ Caso 3. El número de permutaciones de n objetos distintos, tomando r a la

Ejemplo: ¿Cuántas palabras de cuatro letras pueden formarse, sin repetición,

esto es, pueden formarse 360 palabras de cuatro letras.

➢ Caso 4. Permutación circular: cuando los elementos se encuentran

Ejemplo: ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas

𝑃𝐶8 = (8 − 1)! = 7! = 5.040

Se pueden sentar de 5.040 formas distintas.

La notación factorial se refiere al uso del símbolo ! para representar el

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un

➢ Caso 1. Sin repetición: se definen como las distintas agrupaciones

Ejemplo: En un grupo de 30 alumnos se quiere formar equipos de cuatro

Solución: Como no importa el orden, entonces calculamos las combinaciones

Pueden formarse 27.405 equipos.

➢ Caso 2. Con repetición: se definen como las distintas agrupaciones

Como se va a elegir cuatro botellas, r =4.

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de

Las cuatro botellas se pueden elegir de 70 formas.

1. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos: 1, 3, 5, 7, 8

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers y Keying Ye, A.

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