Sesion 02 - Inecuaciones - en - R

Facultad de Ingeniería
Carrera Profesional de Ingeniería Civil
MATEMÁTICA I
INECUACIONES EN ℝ
Lic. Martha Armas Aguilar
Logro de la sesión
 Resolver inecuaciones haciendo uso de las propiedades de

los números reales.
 Resolver problemas aplicativos haciendo uso de las

inecuaciones.
Contenidos
• Caso aplicativo
• Inecuación lineal
• Inecuación cuadrática
• Inecuación racional
• Ejemplos explicativos
Caso aplicativo
Las ventas mensuales de cierto artículo cuando su precio es 𝑝

nuevos soles están dadas por 𝑝 = 200 − 3𝑥. El costo de
producir 𝑥 unidades del mismo artículo es 𝐶 = 650 + 5𝑥 soles.
¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y
venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de
2500 nuevos soles?
Inecuación
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplo:
𝟒𝒙 − 𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟔
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 > 𝟔
Elementos de una inecuación:

Primer miembro Segundo miembro
𝟔𝒙; 𝒙;𝟖 ;𝟐𝒙;𝟏𝟕

< +𝒙
𝟔 𝟑
Incógnita: 𝒙
Grado: 1
Solución de una inecuación
La solución de una inecuación son todos los puntos que cumplen la desigualdad.
Puede ser:
1. Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.
2. Cualquier número real (𝐶. 𝑆. = ℝ).
3. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución (𝐶. 𝑆. = ∅).
Propiedades
 𝐴≤𝐵 ⇔𝐴+𝐶 ≤𝐵+𝐶

 𝐴≤𝐵 ⇔𝐴−𝐶 ≤𝐵−𝐶
 Si 𝐶 > 0, entonces, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐶𝐴 ≤ 𝐶𝐵
 Si 𝐶 < 0, entonces, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ 𝐶𝐴 ≥ 𝐶𝐵
1 1
 Si 𝐴 > 0 y 𝐵 > 0, entonces, 𝐴 ≤ 𝐵 ⇔ ≥
𝐴 𝐵
 Si 𝐴 ≤ 𝐵 y 𝐶 ≤ 𝐷, entonces A + 𝐶 ≤ 𝐵 + 𝐷
Inecuaciones lineales
Son las que tienen la forma:
𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎; 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎; 𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎; 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎
Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer
grado con una incógnita:
1. Quitar paréntesis
2. Quitar denominadores
3. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
4. Despejar la incógnita
5. En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las
desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad
por un número negativo cambia el sentido de la misma”.
Ejemplos
Resuelve las siguientes desigualdades lineales y grafique el conjunto

solución
1. 5𝑥 − (3 − 2𝑥) + 8 > 9 + 3(2𝑥 − 4)

2. −6𝑥 + 2 ≥ 0
3. 2(1 − 𝑥) + 9 < 3 − (2𝑥 + 5)
2𝑥:1
4. >𝑥−3
2
1 4;3𝑥 1
5. − ≤ ≤
2 5 4
𝑥 𝑥:1 2𝑥;5
6. + < − 1
2 3 6
Inecuaciones cuadráticas
Son las que tienen la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎
Donde 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ
Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el

discriminante ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
1er caso:
Si =0, entonces el polinomio es un cuadrado perfecto.
Ejemplo: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝟏 > 𝟎
2do caso:
Si >0, entonces el polinomio es factorizable sobre ℝ. Se
aplicará el método de los puntos fijos.
Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟕𝟐 > 𝟎
3er caso:
Si <0, entonces aplicamos el teorema del trinomio positivo.
Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 > 𝟎
Ejemplos
1. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟐 > 𝟎
2. 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 ≤ 𝟎
3. 𝒙𝟐 + 𝟗 ≤ 𝟎
4. 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎
5. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 > 𝟎
6. 𝒙 𝒙 + 𝟏 < −𝟑
7. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 > 𝒙(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟐
Inecuaciones polinómicas
Son de la forma:
𝑃 𝑥 >0
donde 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛;1 𝑥 𝑛;1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑖 ∈ ℝ es un

polinomio de una sola variable de grado 𝑛.
Observación: Para 𝑃(𝑥) con coeficientes reales, existen 𝑟1 , 𝑟2 ,…, 𝑟3 no

necesariamente distintos de cero, tales que:
𝑃 𝑥 = 𝑎0 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2 … (𝑥 − 𝑟𝑛 )
Si (𝑥 − 𝑟𝑖 ) es un factor de 𝑃(𝑥), se dice que 𝑟𝑖 es una raíz de 𝑃(𝑥) o

también se llama cero de 𝑃(𝑥)
Solución
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2 … (𝑥 − 𝑟𝑛 )
donde 𝑟1 < 𝑟2 < 𝑟3 < ⋯ < 𝑟𝑛 .
1) Factorizar 𝑃(𝑥) y resolver 𝑃 𝑥 = 0
2) Ubique los valores críticos obre la recta real, marcando los intervalos de
variación.
3) Se anota con + el intervalo <𝑟𝑛 ,∞> , en los demás se alterna los signos
(−). (+), (−),… de derecha a izquierda.
4) El conjunto solución es la unión de los intervalos con signos positivos si
𝑃(𝑥) > 0. O la unión de los intervalos negativos si 𝑃(𝑥) < 0.
Ejemplos
1. 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒 < 𝟎
2. 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 ≥ 𝟎
3. 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟖 ≤ 𝟎
4. 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟖 ≥ 𝟎
5. 𝒙𝟓 − 𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟗 < 𝟎
6. 𝒙+𝟐 𝒙−𝟏 𝟑 𝒙−𝟑 𝒙−𝟔 <𝟎
Inecuaciones racionales
𝑥:5 𝑥
Ejemplo 1: <0 Ejemplo 2: >0
𝑥;3 𝑥 2 ;4
𝑥2 𝑥 2 ;3𝑥
Ejemplo 3: ≥0 Ejemplo 4: ≤0
𝑥 2 ;1 𝑥 2 :9
2
(𝑥 3 ;8) 𝑥 2 ;9 (𝑥 2 :4)
Ejemplo 5: ≥0
(𝑥 2 ;4)(𝑥;1)
𝑥 2 ;𝑥;20
Ejemplo 6: ≤0
𝑥 3 ;3𝑥 2 ;𝑥:3

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 Resolver inecuaciones haciendo uso de las propiedades de

 Resolver problemas aplicativos haciendo uso de las

Las ventas mensuales de cierto artículo cuando su precio es 𝑝

Elementos de una inecuación:

𝟔𝒙; 𝒙;𝟖 ;𝟐𝒙;𝟏𝟕

1. Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.

2. Cualquier número real (𝐶. 𝑆. = ℝ).

 𝐴≤𝐵 ⇔𝐴+𝐶 ≤𝐵+𝐶

Resuelve las siguientes desigualdades lineales y grafique el conjunto

1. 5𝑥 − (3 − 2𝑥) + 8 > 9 + 3(2𝑥 − 4)

Son las que tienen la forma:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎

Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el

donde 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛;1 𝑥 𝑛;1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑖 ∈ ℝ es un

Observación: Para 𝑃(𝑥) con coeficientes reales, existen 𝑟1 , 𝑟2 ,…, 𝑟3 no

Si (𝑥 − 𝑟𝑖 ) es un factor de 𝑃(𝑥), se dice que 𝑟𝑖 es una raíz de 𝑃(𝑥) o

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