ES MB536 2016 1 Vsfinal
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P .A. 2016-1
22/07/2016
Problema 1
En el siguiente esquema en equilibrio, P = 50 Kgf
y
M=500 Kgf.pulg, determine lo siguiente:
a) (2 P) Determine el sistema de ecuaciones para
calcular las tensiones T1 y T2 y verifique la
convergencia para los mtodos iterativos.
b) (2 P) Usando el mtodo de Jacobi, calcule T1 y T2 en
kgf partiendo del vector nulo y realice 3 iteraciones.
c) (1 P) Desarrolle un script en Matlab para calcular la
solucin usando el mtodo de Gauss-Seidel
Problema 2
En un proceso de ingeniera, el vapor de agua se calienta a temperaturas lo suficiente altas para que
una porcin significativa del agua se disocia o se rompa en partes para formar oxgeno e hidrgeno.
Si se asume que sta es la nica reaccin que se lleva a cabo, la fraccin molar (x) de agua que se
disocia se puede representar por:
2
=(
)
1
2+
Si
= 3atm y K=0.1, determine el valor de x que satisfaga la ecuacin f(x)=0. Debe realizar lo siguiente:
a) (1 P) Tabule la funcin f(x) para valores de x entre 0 y 0.5 con incrementos de 0.1. Elija un
intervalo inicial que contenga la raz de ancho igual a K. Grafique a mano alzada los puntos.
b) (1.5 P) Resuelva la f(x)=0 usando el algoritmo de Newton Raphson con punto inicial xo igual al
medio punto del intervalo elegido en el tem a). hasta que la aproximacin a la raz tenga 4 cifras
decimales exactas.
c) (1 P) Utilizando como intervalo inicial el elegido en el tem a), cul de los algoritmos usara
para realizar el mtodo del punto fijo? Justifique usando el criterio de convergencia.
. 1)
( ) = (1 )
2+
c.2)
2
2(
)=1(
)
2+
c.3) ( ) = (
) 2
d) (1 P) Realice tres iteraciones usando el algoritmo elegido en c). Cul es el error cometido en la
tercera iteracin?
e) (0.5 P) Utilice los comandos de Matlab que definen la funcin f(x) en lnea y la funcin que
permite obtener el cero de la funcin f(x) en un intervalo inicial. Tener cuidado con la sintaxis.
3
2
(1 )
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Problema 3
a) (2 P) La resistencia aerodinmica de un
vehculo es determinada en parte por el
rea de su seccin transversal, por el cual
todos los ingenieros en igualdad de
condiciones, intentan hacer de esta rea
tan pequea como sea posible. Utilice la
regla del Trapecio para estimar el rea de la seccin transversal. Sugerencia : Utilice 02
subintervalos para el caso de las alas.
b) (1 P) Implemente un script en MatLab para la parte (a)
c)
d)
(1 P) Dada que la cuarta derivada2de f(x) 2= [ln(x)]2 satisface |f (IV)(x)| 22 para 1 x 2 (No se necesita verificar esta condicin), use la cota de error de la regla de Simpson (1/3) para encontrar el error en
la aproximacin de la integral 1 [ln(x)] dx, considere n = 4 subintervalos.
(1 P) Aproximar la integral 02(x 1)4dx usando cuadratura Gaussiana para 2 puntos.
Problema 4
El rozamiento (=0.10) y un resorte lineal (k=365 N/m)
oponen resistencia al movimiento del bloque A (W=3580
2
N), g=9.81 m/s , como se muestra en la figura. Si se suelta
Si se suelta el bloque partiendo del reposo con el resorte en
su posicin de equilibrio:
a) (0.5 P) Demuestre que el movimiento obedece a la
siguiente ecuacin diferencial ordinaria:
d2x
4.06
x dt 2
b) (1.5 P) Aproxime la velocidad y el tiempo transcurrido
para que el resorte recorra 6 m desde su posicin inicial, use el mtodo de Euler con h=0.4 s.
c) (2 P) Determine el desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicin de reposo,
aplicando el mtodo de Runge-Kutta de orden 2, con h=0.95 s.
d) (1 P) Implemente un script en Matlab para la parte c)
Los Profesores
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Problema 1
Solucin
a)
En la rueda: 8
1 9 2 = 500
En la barra: 12 1 5 2 = 50 30 = 1500
5 1
1500
]=[
][
2
500
La matriz A es estrictamente diagonal dominante, por lo que converge para cualquiera de los 2
mtodos iterativos.
b)
T
=[
0.41666]
= [1500/12]
j
0.888
500/9
Xini= [0]
0
Iteracio
n
1
2
3
X=TX+c
T1=125
T2=-555.555
T1=101
T2=555.555
T1=148.14
T2=34.97
c)
A=[12 -5
8 -9]
b=[1500 500]'
xx=inv(A)*b
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
%Usando metodo de Gauss-Seidel
T=inv(D-L)*U;
c=inv(D-L)*b;
x=[0 0]';
for i=1:100000
x=T*x+c;
end
disp(x)
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Problema 2
Solucin
( ) = (1 ) 2
a)
x
f(x)
2+
0
-0.1
0.1
0.08781
0.2
0.31286
0.3
0.59221
0.4
0.95409
( )=(
0.1
2
( )
2+
+ +4
2(2+ )
( 1)
( )
=
+
(
i
0
( )
0.05
1
2
-0.009958
0.0553147
0.05529
c)
c.1)
1
=|
1(0.1)|
-4
()=
1
= 0.1 (1 ) 2 + 6
i
0
0.05
1
2
0.05553
0.05528
0.055292
e.)
-4
( +1)
2+
( )
0.0053147
-4
0.437*10
-
( ) = 0.1 (1 )
1
=|
3| = 0.5 10
k=0.1; f=@(t)(t./(1-t)).*sqrt(6./(2+t))-k;
z=fzero(f,0.1);
40 +2
0.5
1.44919
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Problema 3
Solucin:
(a)
Area del cuerpo 42 ( (0) + 2 (4) + 2 (8) + 2 (12) + 2 (16) + 2 (20) + (24)) = = 2(0 + 2(18,75) + 2(24) + 2(26) + 2(24) + 2(18.75) +
0) = 446
Area_Alas:
1,
5
1
2
Area_Alas 2(
2) = 2 30 = 60
Total=446+60=506
(b)
h=24/6
x=[0:h:24]
y=[0 18.75 24 26 24 18.75 0]
ICuerpo=trapz(x,y)
IAla=2*trapz([0 1.5 3],[0 10 0])
Area_Total=ICuerpo+2*IAla
22(1)5
| |
180
= 0,00048
44
(d) 2( 1)4
= 1
0
=1(
+ 1 (
)
3
=
9
(2
10)
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Problema 4
Solucin
a) Del diagrama de Cuerpo Libre:
=0
dt 2
b) Algoritmo de Euler
t0 0
dt
x0 0
v0 0
h 0.4
tN 1 tN h
xN 1 xN h * vN
vN 1 vN h * (4.06 xN )
t
x
v
0
0
0
0.4000
0
1.6240
0.8000
0.6496
3.2480
1.2000
1.9488
4.6122
1.6000
3.7937
5.4566
2.0000
5.9763
5.5632
Para alcanzar la posicin x=6 m., se requiere aproximadamente 2 segundos y su velocidad es de 5.56
m/s.
c) Algoritmo de Runge-Kutta 2
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t0 0
x0 0
v0 0
h 0.95
t N 1 t N h
k1 h * vN
l1 h * 4.06 xN
k2 h * vN l1
l2 h * 4.06 xN k1
xN 1 xN 1/ 2 * k1 k2
vN 1 vN 1/ 2 * l1 l2
t
k1
l1
k2
l2
x
v
0
0
0
0.9500 0
3.8570
3.6641
3.8570 1.8321
3.8570
1.9000 3.6641 2.1165
5.6749
-1.3644 6.5016
4.2331
2.8500 4.0214 -2.3195
1.8179
-6.1398 9.4212
0.0034
Para alcanzar el mximo desplazamiento se requiere que la velocidad sea 0, esto ocurre
aproximadamente al cabo de 2.85 seg y xmax=9.42 m., aproximamente.
d)programa